Про узагальнену гіпергеометричну функцію Гаусса та її застосування
The-generalized Gauss hypergeometric function is considered, and the basic properties of this function are investigated. Some applications of this function, in particular, to the solution of a Fredholm integral equation of the first kind are given.
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4172 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про узагальнену гіпергеометричну функцію Гаусса та її застосування / Н.О. Вірченко, О.В. Рум’янцева // Доповіді Національної академії наук України. — 2008. — № 4. — С. 12-19. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859655125435416576 |
|---|---|
| author | Вірченко, Н.О. Рум’янцева, О.В. |
| author_facet | Вірченко, Н.О. Рум’янцева, О.В. |
| citation_txt | Про узагальнену гіпергеометричну функцію Гаусса та її застосування / Н.О. Вірченко, О.В. Рум’янцева // Доповіді Національної академії наук України. — 2008. — № 4. — С. 12-19. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | The-generalized Gauss hypergeometric function is considered, and the basic properties of
this function are investigated. Some applications of this function, in particular, to the solution
of a Fredholm integral equation of the first kind are given.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:38:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.581
© 2008
Н.О. Вiрченко, О. В. Рум’янцева
Про узагальнену гiпергеометричну функцiю Гаусса та її
застосування
(Представлено академiком НАН України I. I. Ляшком)
The τ , β-generalized Gauss hypergeometric function is considered, and the basic properties of
this function are investigated. Some applications of this function, in particular, to the solution
of a Fredholm integral equation of the first kind are given.
Iнтерес до спецiальних функцiй рiзної природи та складностi за останнє пiвстолiття рiзко
зрiс у зв’язку з широкими потребами практичного застосування диференцiальних та iн-
тегральних рiвнянь, з розвитком обчислювальної математики тощо [1–3 та iн.]. Iз великої
низки спецiальних функцiй гiпергеометричнi функцiї вiдiграють особливо важливу роль
як у теорiї, так i в застосуваннi при розв’язаннi рiзноманiтних задач у багатьох галузях
прикладної математики, фiзики та iн.
Гаусс, Рiман, Куммер, Якобi першими дослiджували гiпергеометричне рiвняння
z(1 − z)
d2u
dz2
+ [c− (a+ b+ 1)z]
du
dz
− abu = 0, (1)
де a, b, c не залежать вiд z, можуть бути довiльними комплексними числами. Вiдзначимо,
що рiвняння (1) — це рiвняння фуксового класу рiвнянь з трьома особливими точками.
Гiпергеометричне рiвняння (1) — приклад лiнiйного диференцiального рiвняння, яке не
iнтегрується елементарними методами.
Спираючись на працi Ейлера, Вейєрштрасса, Шварц створює новий напрям у вивченнi
гiпергеометричних функцiй, розв’язує питання про алгебраїчнiсть iнтегралiв гiпергеомет-
ричного рiвняння. У XX ст. значно посилюється вивчення, дослiдження, узагальнення гiпер-
геометричних функцiй, а саме: гiпергеометричнi функцiї узагальнюють на випадок двох та
багатьох змiнних, запроваджуються p i q параметри, розглядаються рiзнi випадки виродже-
них (конфлюентних) гiпергеометричних функцiй та iн. За останнi десятирiччя розширилось
вивчення та використання узагальнених гiпергеометричних функцiй за Райтом [4], дослi-
джено окремi випадки, якi мають не тiльки теоретичне, але i практичне значення, зокрема,
у теорiї ймовiрностей та математичної статистики, теорiї кодування, квантовiй механiцi,
астрофiзицi, теорiї моделювання, бiомедицинi та iн.
У данiй роботi розглянуто (τ, β)-узагальнену гiпергеометричну функцiю Гаусса, дослiд-
жено її основнi властивостi, подано застосування, зокрема, до розв’язання iнтегрального
рiвняння Фредгольма I роду.
1. Запровадимо узагальнену (за Райтом) (τ, β)-узагальнену гiпергеометричну функцiю
Гаусса у виглядi
2F
τ,β
1
(a, b; c; z) =
Γ(c)
Γ(a)Γ(b)Γ(c − b)
1∫
0
tb−1(1 − t)c−b−1
2Ψ1
[
(a, 1), (c, τ)
(c, β)
∣∣∣∣∣zt
τ
]
dt, (2)
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №4
де Re c > Re b > 0, τ ∈ R, τ > 0, β ∈ R, β > 0, τ −β 6 1, Γ(a) — класична гамма-функцiя [1],
1Ψ1-функцiя Фокса–Райта [5]. Якщо β = τ у (2), то одержимо функцiю 2R
τ
1(z) [6]; при
τ = β = 1 маємо класичну гiпергеометричну функцiю Гаусса [1].
Вивчимо основнi властивостi функцiї 2F
τ,β
1
(z).
Формулу (2) можна розглядати як аналог формули Ейлера для 2F1(a, b; c; z) [1]. Щоб
довести (2) при |z| < 1 досить скористатись зображенням функцiї 1Ψ1 у виглядi ряду, а да-
лi — можливiстю перестановки операцiй iнтегрування та пiдсумовування, з використанням
бета-iнтеграла.
Лема 1. При умовах iснування функцiї 2F
τ,β
1
(a, b; c; z) справедливi такi спiввiдношення:
(c− aβ − 1)2F
τ,β
1
= (c− 1)2F
τ,β
1
(c− 1) − aβ2F
τ,β
1
(a+ 1), (3)
(b− aτ)2F
τ,β
1
= b2F
τ,β
1
(b+ 1) − aτ2F
τ,β
1
(a+ 1), (4)
Γ(b)Γ(c+β)2F
τ,β
1
= Γ(b)Γ(c+β)2F
τ,β
1
(a+1) − zΓ(c)Γ(b+τ)2F
τ,β
1
(a+1, b+τ ; c+β; z), (5)
де
2F
τ,β
1
(a, b; c; z) = 2F
τ,β
1
,
2F
τ,β
1
(a+ 1, b; c; z) = 2F
τ,β
1
(a+ 1),
2F
τ,β
1
(a, b+ 1; c; z) = 2F
τ,β
1
(b+ 1).
Доведення спiввiдношень (3)–(5) здiйснюємо безпосередньо за допомогою використання
зображення (τ, β)-узагальненої гiпергеометричної функцiї у виглядi ряду
2F
τ,β
1
(a, b; c; z) =
Γ(c)
Γ(a)Γ(b)
∞∑
n=0
Γ(a+ n)Γ(b+ nτ)
Γ(c+ βn)
zn
n!
. (6)
Доведемо, наприклад, спiввiдношення (5):
Γ(b)Γ(c+ β)2F
τ,β
1
= Γ(c)Γ(c + β)
Γ(c)
Γ(b)aΓ(a)
∞∑
n=0
Γ(a+ 1 + n)Γ(b+ τn)
Γ(c+ βn)
zn
n!
=
=
Γ(b)Γ(c+ β)Γ(c)
aΓ(a)Γ(b)
∞∑
n=0
Γ(a+ n)Γ(b+ τn)
Γ(c+ βn)
(a+ n)
zn
n!
,
zΓ(c)Γ(b+ τ)2F
τ,β
1
(a+ 1, b+ τ ; c+ β; z) =
Γ(b)Γ(c+ β)
a
∞∑
n=0
Γ(a+ n)Γ(b+ τn)
Γ(c+ βn)
n
zn
n!
.
Порiвнюючи цi двi рiвностi, одержуємо (5).
Зауважимо, що аналогiчним способом можна отримати низку узагальнених спiввiдно-
шень вигляду (28)–(45) iз [1, 2.9].
Лема 2. Для (τ, β)-узагальненої гiпергеометричної функцiї Гаусса справедливi такi
диференцiальнi формули:
d
dz
2F
τ,β
1
(a, b; c; z) = a
Γ(c)
Γ(b)
Γ(b+ τ)
Γ(c+ β)
2F
τ,β
1
(a+ 1, b+ τ ; c+ β; z), (7)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №4 13
d
dz
[za
2F
τ,β
1
(a, b; c; z)] = aza−1
2F
τ,β
1
(a+ 1, b; c; z), (8)
dn
dzn 2F
τ,β
1
(a, b; c; z) =
Γ(c)Γ(a + n)Γ(b+ τn)
Γ(a)Γ(b)Γ(c + βn)
2F
τ,β
1
(a+ n, b+ τn; c+ βn; z), (9)
a2F
τ,β
1
(a+ 1, b; c; z) =
(
z
d
dz
+ a
)
2F
τ,β
1
(a, b; c; z), (10)
dn
dzn
[za+n−1
2F
τ,β
1
(a, b; c; z)] =
Γ(a+ n)
Γ(a)
zn−1
2F
τ,β
1
(a+ n, b; c; z). (11)
Доведення формул (7)–(11) здiйснюється безпосередньою перевiркою. Доведемо, на-
приклад, (10). Маємо:
a[2F
τ,β
1
(a+ 1, b; c; z) − 2F
τ,β
1
(a, b; c; z)] =
=
Γ(c)
Γ(b)
∞∑
n=0
[
aΓ(a+ 1 + n)Γ(b+ τn)
Γ(a+ 1)Γ(c+ βn)
−
aΓ(a+ n)Γ(b+ τn)
Γ(a)Γ(c+ βn)
]
zn
n!
=
=
Γ(c)
Γ(a)Γ(b)
∞∑
n=0
Γ(b+ τn)
Γ(c+ βn)
[(a+ n)Γ(a+ n) − aΓ(a+ n)]
zn
n!
=
=
Γ(c)
Γ(a)Γ(b)
∞∑
n=0
Γ(a+n)Γ(b+τn)
Γ(c+βn)
nzn
n!
=
Γ(c)
Γ(a)Γ(b)
∞∑
n=0
Γ(a+n)Γ(b+τn)
Γ(c+βn)
zn
(n− 1)!
=
= z
d
dz
2F
τ,β
1
(a, b; c; z).
Зауважимо, що формули (9), (11) доводяться за допомогою методу математичної iндук-
цiї з використанням вiдповiдних рядiв.
П ри м i т ка . Для функцiї 2F
τ,β
1
(a, b; c; z) не виконується спiввiдношення
2F
τ,β
1
(a, b; c; z) = 2F
τ,β
1
(b, a; c; z). (12)
Теорема 1 (узагальнення iнтегральної формули Г. Бейтмена [1, 2.4 (2)]. При умовах
Re c > 0, z 6= 1, arg(1−z) < π; {τ, β} ⊂ R, Re τ > 0, Re β > 0, Re δ > 0 справедлива формула
2F
τ,β
1
(a, b; c + δ; z) =
Γ(c+ δ)
Γ(δ)Γ(c)
1∫
0
tc−1(1 − t)δ−1
2F
τ,β
1
(a, b; c; ztβ) dt. (13)
Доведення. Розгорнемо функцiю 2F
τ,β
1
(a, b; c; ztβ) у ряд, почленно проiнтегруємо та
використаємо формули для В-функцiї. Одержимо
1∫
0
tc−1(1 − t)δ−1
Γ(δ)Γ(c)
2F
τ,β
1
(a, b; c; ztβ) dt =
=
1∫
0
tc−1(1 − t)δ−1
Γ(δ)Γ(c)
(
Γ(c)
Γ(a)Γ(b)
∞∑
n=0
Γ(a+ n)
Γ(b+ τn)
Γ(c+ βn)
zntβn
n!
)
dt =
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №4
=
1
Γ(δ)Γ(a)Γ(b)
∞∑
n=0
Γ(a+ n)
Γ(b+ τn)
Γ(c+ βn)
zn
n!
1∫
0
tc+βn−1(1 − t)δ−1dt =
=
1
Γ(c+ δ)
2F
τ,β
1
(a, b; c + δ; z).
2. (τ, β)-узагальнену гiпергеометричну функцiю Гаусса 2F
τ,β
1
(a, b; c; z) можна використа-
ти для обчислення невласних iнтегралiв, наприклад, вигляду (5)–(15) [1, 2.12] та iн.
Подамо застосування 2F
τ,β
1
для нових узагальнень Γ-функцiї. У [7] було подано узагаль-
нення Γ-функцiї у виглядi
D
(
a, b; c; p
u, υ
)
= υ−a
∞∫
0
tu−1e−pt
2F1
(
a; b; c;−
t
υ
)
dt, (14)
де a, b, c — комплекснi параметри, c 6= 0, Re p > 0, Re u > 0. При p = 1, b = c, a = m (14)
зводиться до функцiї [8]
Γm(u, υ) =
∞∫
0
e−ttu−1
(t+ υ)m
dt, (15)
де Re u > 0, | arg υ| < π.
Запровадимо нове узагальнення Γ-функцiї (15).
Означення. Нехай a, b, c, p — комплекснi параметри, {τ, β} ⊂ R, τ > 0, β > 0, Reu > 0,
Re p > 0, | arg υ| < π, c 6= 0, −1, −2, . . ., тодi вираз
Γ
(
a, b; c;
u, υ,
p, τ, β
)
= Γ̃ = υ−a
∞∫
0
tu−1e−pt
2F
τ,β
1
(
a, b; c;−
t
υ
)
dt (16)
є узагальненою гамма-функцiєю. Тут 2F
τ,β
1
— функцiя, визначена формулою (2).
Зауважимо, що при β = τ = 1 (16) зводиться до гамма-функцiї, визначеної (14). А функ-
цiя (15) — частинний випадок функцiї (16) при p = 1, β = τ = 1, b = c, a = m.
Лема 3. Частиннi похiднi функцiї Γ
(
a, b; c;
u, υ,
p, τ, β
)
мають вигляд
∂nΓ
∂un
(
a, b; c;
u, υ,
p, τ, β
)
= υ−a
∞∫
0
tu−1e−pt(ln t)n − 2F τ,β
1
(
a, b; c;−
t
υ
)
dt, (17)
∂nΓ
∂υn
(
a, b; c;
u, υ,
p, τ, β
)
= (−1)n
Γ(a+ n)
Γ(a)
Γ
(
a+ n, b; c;
u, υ,
p, τ, β
)
. (18)
Доведення виконується безпосередньою перевiркою з урахуванням формули (16), влас-
тивостей Γ-функцiї.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №4 15
Лема 4. Якщо a, b, c, p — комплекснi параметри, c 6= 0, Re p > 0, {τ, β} ⊂ R, τ > 0,
β > 0, то виконується спiввiдношення
Γ
(
a, b; c;
u, υ,
p, τ, β
)
= pu−1Γ
(
a, b; c;
u+ 1, υ,
p, τ, β
)
+
+ au−1 Γ(c)Γ(b+ τ)
Γ(b)Γ(c+ β)
Γ
(
a+ 1, b+ τ ; c+ β;
u+ 1, υ,
p, τ, β
)
. (19)
Доведення. Використавши формулу (7), iнтегрування частинами до iнтегрального зо-
браження Γ
(
a, b; c;
u+ 1, υ,
p, τ, β
)
, одержимо (19). Справдi,
Γ
(
a, b; c;
u, υ,
p, τ, β
)
− au−1 Γ(c)Γ(b+ τ)
Γ(b)Γ(c+ β)
Γ
(
a+ 1, b+ τ ; c+ β;
u+ 1, υ,
p, τ, β
)
=
= υ−a
∞∫
0
tu−1e−pt
2F
τ,β
1
(
a, b, c,−
t
υ
)
dt− au−1 Γ(c)Γ(b+ τ)
Γ(b)Γ(c+ β)
υ−a−1 ×
×
∞∫
0
tue−pt
2F
τ,β
1
(
a+ 1, b+ τ, c+ β,−
t
υ
)
dt,
далi — пiсля простих перетворень матимемо (19).
Використовуючи спiввiдношення (3)–(5) та iншi подiбнi спiввiдношення мiж
2F
τ,β
1
(a, b; c; z) i сумiжними функцiями, можна отримати багато нових спiввiдношень
для Γ
(
a, b; c;
u+ 1, υ,
p, τ, β
)
. Наприклад, формула (4) дає
(b− aτ)Γ
(
a, b; c;
u, υ,
p, τ, β
)
= bΓ
(
a, b+ 1; c;
u, υ,
p, τ, β
)
− aτυΓ
(
a+ 1, b; c;
u, υ,
p, τ, β
)
. (20)
3. Розглянемо iнтегральне рiвняння Фредгольма I роду з дослiджуваною узагальненою
гiпергеометричною функцiєю Гаусса, зокрема, рiвняння вигляду
∞∫
0
tc−1
Γ(c)
2F
τ
1
(
a, b; c;−
tτ
x
)
ϕ(t) dt = ψ(x), (21)
де τ ∈ R, τ > 0, a, b, c можуть бути i комплексними, Re c > 0, ψ(x) — задана функцiя,
ϕ(x) — шукана функцiя, причому ϕ(x) ∈ C∞(M), M = [0,∞).
Для розв’язання iнтегрального рiвняння (21)доведемо такi леми.
Лема 5. Якщо a, b, c, r — комплекснi параметри, 0 < Re c < Re r, x > 0, t > 0,
{τ, β} ⊂ R, τ > 0, β > 0, то справедлива рiвнiсть
∞∫
0
(t− ω)r−c−1ωc−1
Γ(c)Γ(r − c)
2F
τ,β
1
(
a, b; c;−
ωβ
x
)
dω =
tr−1
Γ(r)
2F
τ,β
1
(
a, b; r;−
tβ
x
)
. (22)
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №4
Доведення. Виконаємо низку перетворень над лiвою частиною формули (22). Поклав-
ши −x = z, причому |z| > t, матимемо
t∫
0
(t− ω)r−c−1ωc−1
Γ(c)Γ(r − c)
Γ(c)
Γ(b)
∞∑
n=0
Γ(a+ n)Γ(b+ τn)
Γ(a)Γ(c + βn)
(
ωβ
z
)n 1
n!
dω =
=
1
Γ(a)Γ(b)Γ(r − c)
∞∑
n=0
Γ(a+n)Γ(b+τn)
Γ(c+ βn)
z−n
n!
t∫
0
(t− ω)r−c−1ωc+βn−1dω = |ω= tξ| =
=
1
Γ(a)Γ(b)Γ(r − c)
∞∑
n=0
Γ(a+ n)Γ(b+ τn)
Γ(c+ βn)
z−n
n!
tr+βn−1
t∫
0
ξc+βn−1(1 − ξ)r−c−1dξ =
=
tr−1
Γ(a)Γ(b)Γ(r − c)
∞∑
n=0
Γ(a+ n)Γ(b+ τn)
Γ(c+ βn)
z−ntβn
n!
Γ(c+ βn)Γ(r − c)
Γ(r + βn)
=
=
tr−1Γ(r)
Γ(r)Γ(a)Γ(b)
∞∑
n=0
Γ(a+ n)Γ(b+ τn)
Γ(c+ βn)
(
tβ
z
)n 1
n!
=
tr−1
Γ(r)
2F
τ,β
1
(
a, b; r;−
tβ
x
)
.
Лема 6. При умовах a, b, c, r — комплекснi параметри, Re a > 0, 0 < Re c < Re r,
x > 0, {τ, β} ⊂ R, τ > 0, β > 0, ϕ ∈ C∞(M), M = [0,∞) справедлива формула
∞∫
0
tr−1
Γ(r)
2F
τ,β
1
(
a, b; r;−
tβ
x
)
ϕ(t) dt =
∞∫
0
tc−1
Γ(c)
2F
τ,β
1
(
a, b; c;−
tβ
x
)
Jr−cϕ(t) dt, (23)
де Jr−c — дробовий iнтеграл Вейля [9]:
Jαf(x) =
∞∫
x
(t− x)α−1
Γ(α)
f(t)dt (Reα > 0). (24)
Доведення леми випливає iз формул (22), (24).
Лема 7. Якщо a, b, c — комплекснi параметри такi, що Re a, Re c > 0, τ ∈ R, τ > 0,
то справедлива формула
∞∫
0
tc−1
Γ(c)
2F
τ
1
(
a, b; c;−
tτ
x
)
ϕ(t) dt =
xa
Γ(b)
∞∫
0
tb−1
(x+ tτ )a
Jc−bϕ(t) dt. (25)
Доведення. Застосуємо формулу (23) (при β = τ) до Jc−rϕ:
∞∫
0
tr−1
Γ(r)
2F
τ
1
(
a, b; r;−
tτ
x
)
Jc−rϕ(t) dt =
∞∫
0
tc−1
Γ(c)
2F
τ
1
(
a, b; c;−
tτ
x
)
Jc−r(Jr−cϕ(t)) dt =
=
∞∫
0
tc−1
Γ(c)
2F
τ
1
(
a, b; c;−
tτ
x
)
ϕ(t) dt;
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №4 17
пiсля замiни c на b у (23), а потiм — ϕ на Jc−rϕ одержимо
∞∫
0
tr−1
Γ(r)
2F
τ
1
(
a, b; r;−
tτ
x
)
ϕ(t) dt =
∞∫
0
tb−1
Γ(b)
2F
τ
1
(
a, b; b;−
tτ
x
)
Jr−bϕ(t) dt;
∞∫
0
tr−1
Γ(r)
2F
τ
1
(
a, b; r;−
tτ
x
)
Jc−rϕ(t) dt =
∞∫
0
tb−1
Γ(b)
2F
τ
1
(
a, b; b;−
tτ
x
)
Jc−bϕ(t) dt =
=
xa
Γ(b)
∞∫
0
tb−1 1
(x+ tτ )a
Jc−bϕ(t) dt.
Повернемося до рiвняння (21). Справедлива
Теорема 2. При умовах τ ∈ R, τ > 0, Re b > 0, Re c > 0, Re a > 0 i x−aψ(x) ∈ M
рiвняння (21) має розв’язок
ϕ(x1/τ ) = Φ(x) = τΓ(a)Γ(b)Jb−cx−
b
τ
+1Ia−1 lim
n→∞
Ln[x−aψ(x)], (26)
де
Ln[f(x)] =
(−x)n−1
n!(n− 2)!
d2n−1
dx2n−1
{xnf(x)}, (27)
Ia−1 — дробовий iнтеграл Рiмана–Лiувiля [9]:
Iµf(x) =
x∫
0
(x− t)µ−1
Γ(µ)
f(t) dt (28)
(µ — комплексне, Reµ > 0). Оператор Jb−c визначений формулою (24).
Доведення. Врахувавши (25), виконавши замiну tτ = z та скориставшись рiвнiстю
∞∫
0
I1−µ
x+ t
dt =
∞∫
0
Γ(µ)
(x+ t)µ
f(t) dt (0 < Re(1 − µ) < 1), (29)
яка легко перевiряється, перепишемо рiвняння (2) у виглядi
xa
τΓ(a)Γ(b)
∞∫
0
I1−at
b
τ
−1Jc−bΦ(t)
x+ t
dt = ψ(x), (30)
де Φ(t) = ϕ(t1/τ ).
Використавши формулу обернення узагальненого iнтегрального перетворення Стiльтьє-
са [10], отримаємо розв’язок iнтегрального рiвняння Фредгольма I роду (21) у виглядi (26).
1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. – Москва: Наука, 1965. – Т. 1. – 296 с.;
Т. 2. – 296 с.; Т. 3. – 300 с.
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №4
2. Aomoto K. Hypergeometric functions: the past, today and . . . (from the complex analytic point of view) //
Sugaku Expositions. – 1996. – 9. – P. 99–116.
3. Andrews L. C., Askey R., Roy R. Special functions. – New York: Cambridge University Press, 1999. – 664 p.
4. Wright E.M. On the coefficient of power series having exponential singularities // J. London Math. Soc. –
1933. – 8. – P. 71–79.
5. Kilbas A.A., Saigo M. H-transforms. – London: Charman and Hall, 2004. – 390 p.
6. Virchenko N.O. On some generalizations of gamma functions // Доп. НАН України. – 1999. – № 10. –
С. 39–44.
7. Al-Musallam F., Kalla S. L. Asymptotic expansions for generalized gamma and incomplete gamma functi-
ons // Appl. Anal. – 1997. – 66. – P. 173–187.
8. Kobayashi K. On generalized gamma functions occurring in diffraction theory // J. Phys. Soc. Jap. –
1991. – 60. – P. 1501–1512.
9. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые
их приложения. – Минск: Наука и техника, 1987. – 688 с.
10. Widder D.V. The Laplace transform. – Princeton: Princeton University Press, 1946. – 276 с.
Надiйшло до редакцiї 10.10.2007НТУ України “Київський полiтехнiчний iнститут”
УДК 517.9
© 2008
Н.В. Задоянчук, П.О. Касьянов
Про розв’язнiсть диференцiально-операторних
включень II порядку з некоерцитивними операторами
Wλ0
-псевдомонотонного типу
(Представлено членом-кореспондентом НАН України В. С. Мельником )
We consider the second-order differential-operator inclusions with operators of the pseudomo-
notone type. The existence of solutions for the Cauchy problem for such inclusions by using the
singular perturbation method is justified. The important a priori estimates have been obtained.
An example that illustrates the given result is presented.
Диференцiально-операторнi включення та еволюцiйнi варiацiйнi нерiвностi, що зводяться
до них, вивчаються досить iнтенсивно багатьма дослiдниками [1–5]. По аналогiї з диферен-
цiально-операторними рiвняннями II порядку, еволюцiйнi включення II порядку зводяться
до диференцiально-операторних включень I порядку, а потiм, з використанням вiдомих
методiв, для них доводиться розв’язнiсть. При перенесеннi цiєї технiки на включення ево-
люцiйного типу з некоерцитивними вiдображеннями виникають iстотнi технiчнi складностi.
У данiй роботi розглядаються еволюцiйнi включення II порядку з некоерцитивними ба-
гатозначними вiдображеннями. Для досить широкого класу iстотно багатозначних вiдобра-
жень доводиться їх розв’язнiсть та виводяться апрiорнi оцiнки для розв’язкiв. Як приклад
розглядається клас задач з нелiнiйними операторами, для якого доводиться розв’язнiсть.
Одержанi результати є новими i для рiвнянь також.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №4 19
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4172 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:38:34Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Вірченко, Н.О. Рум’янцева, О.В. 2009-07-16T09:43:15Z 2009-07-16T09:43:15Z 2008 Про узагальнену гіпергеометричну функцію Гаусса та її застосування / Н.О. Вірченко, О.В. Рум’янцева // Доповіді Національної академії наук України. — 2008. — № 4. — С. 12-19. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4172 517.581 The-generalized Gauss hypergeometric function is considered, and the basic properties of this function are investigated. Some applications of this function, in particular, to the solution of a Fredholm integral equation of the first kind are given. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Про узагальнену гіпергеометричну функцію Гаусса та її застосування Article published earlier |
| spellingShingle | Про узагальнену гіпергеометричну функцію Гаусса та її застосування Вірченко, Н.О. Рум’янцева, О.В. Математика |
| title | Про узагальнену гіпергеометричну функцію Гаусса та її застосування |
| title_full | Про узагальнену гіпергеометричну функцію Гаусса та її застосування |
| title_fullStr | Про узагальнену гіпергеометричну функцію Гаусса та її застосування |
| title_full_unstemmed | Про узагальнену гіпергеометричну функцію Гаусса та її застосування |
| title_short | Про узагальнену гіпергеометричну функцію Гаусса та її застосування |
| title_sort | про узагальнену гіпергеометричну функцію гаусса та її застосування |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4172 |
| work_keys_str_mv | AT vírčenkono prouzagalʹnenugípergeometričnufunkcíûgaussataíízastosuvannâ AT rumâncevaov prouzagalʹnenugípergeometričnufunkcíûgaussataíízastosuvannâ |