Анализ системы со складом и коррелированным марковским групповым потоком заявок с разнотипными катастрофическими сбоями

Рассмотрена система со складом, моделирующая ситуации, когда во время отсутствия требований обслуживающее устройство производит «заготовки», которые хранятся на «складе заготовок». Время обслуживания требования зависит от количества заготовок на складе на момент начала обслуживания. Катастрофа — это...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2006
Автор:	Казимирский, А.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України 2006
Назва видання:	Системні дослідження та інформаційні технології
Теми:	Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/42176
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Анализ системы со складом и коррелированным марковским групповым потоком заявок с разнотипными катастрофическими сбоями / А.В. Казимирский // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2006. — № 2. — С. 40–56. — Бібліогр.: 28 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-42176
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-421762025-02-09T20:45:20Z Анализ системы со складом и коррелированным марковским групповым потоком заявок с разнотипными катастрофическими сбоями Аналіз системи зі складом і корельованим марковським груповим потоком заявок із різнотипними катастрофічними збоями Analysis of system with storehouse and correlated multiple markovian arrival process of demands with disasters Казимирский, А.В. Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Рассмотрена система со складом, моделирующая ситуации, когда во время отсутствия требований обслуживающее устройство производит «заготовки», которые хранятся на «складе заготовок». Время обслуживания требования зависит от количества заготовок на складе на момент начала обслуживания. Катастрофа — это специальный вид заявки, уничтожающий все заявки в очереди или на складе. Описана система с мгновенным восстановлением после прихода катастрофы. Описано систему зі складом, яка моделює ситуації, коли під час відсутності вимог обслуговуючий пристрій виготовляє «заготовки», що зберігаються на «складі заготовок». Час обслуговування вимоги залежить від кількості заготовок на складі на момент початку обслуговування. Катастрофа — це спеціальний вид заявки, що знищує всі заявки в черзі чи на складі. Розглянуто систему з миттєвим відновленням після приходу катастрофи. A system with a storehouse that models real-life situations when in an idle state of the system so called «items» can be produced, in the storehouse. Service time depends on the quantity of items in the storehouse at the moment of the beginning of the service. Disaster is a special type of demand that clears up the queue or the storehouse. A system with instantaneous recovery after disaster arrival is considered. 2006 Article Анализ системы со складом и коррелированным марковским групповым потоком заявок с разнотипными катастрофическими сбоями / А.В. Казимирский // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2006. — № 2. — С. 40–56. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. 1681–6048 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/42176 519.872 (621.321.1) ru Системні дослідження та інформаційні технології application/pdf Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах
spellingShingle	Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Казимирский, А.В. Анализ системы со складом и коррелированным марковским групповым потоком заявок с разнотипными катастрофическими сбоями Системні дослідження та інформаційні технології
description	Рассмотрена система со складом, моделирующая ситуации, когда во время отсутствия требований обслуживающее устройство производит «заготовки», которые хранятся на «складе заготовок». Время обслуживания требования зависит от количества заготовок на складе на момент начала обслуживания. Катастрофа — это специальный вид заявки, уничтожающий все заявки в очереди или на складе. Описана система с мгновенным восстановлением после прихода катастрофы.
format	Article
author	Казимирский, А.В.
author_facet	Казимирский, А.В.
author_sort	Казимирский, А.В.
title	Анализ системы со складом и коррелированным марковским групповым потоком заявок с разнотипными катастрофическими сбоями
title_short	Анализ системы со складом и коррелированным марковским групповым потоком заявок с разнотипными катастрофическими сбоями
title_full	Анализ системы со складом и коррелированным марковским групповым потоком заявок с разнотипными катастрофическими сбоями
title_fullStr	Анализ системы со складом и коррелированным марковским групповым потоком заявок с разнотипными катастрофическими сбоями
title_full_unstemmed	Анализ системы со складом и коррелированным марковским групповым потоком заявок с разнотипными катастрофическими сбоями
title_sort	анализ системы со складом и коррелированным марковским групповым потоком заявок с разнотипными катастрофическими сбоями
publisher	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
publishDate	2006
topic_facet	Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/42176
citation_txt	Анализ системы со складом и коррелированным марковским групповым потоком заявок с разнотипными катастрофическими сбоями / А.В. Казимирский // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2006. — № 2. — С. 40–56. — Бібліогр.: 28 назв. — рос.
series	Системні дослідження та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT kazimirskiiav analizsistemysoskladomikorrelirovannymmarkovskimgruppovympotokomzaâvoksraznotipnymikatastrofičeskimisboâmi AT kazimirskiiav analízsistemizískladomíkorelʹovanimmarkovsʹkimgrupovimpotokomzaâvokízríznotipnimikatastrofíčnimizboâmi AT kazimirskiiav analysisofsystemwithstorehouseandcorrelatedmultiplemarkovianarrivalprocessofdemandswithdisasters
first_indexed	2025-11-30T15:49:00Z
last_indexed	2025-11-30T15:49:00Z
_version_	1850230956515917824
fulltext	© А.В. Казимирский, 2006 40 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 2 УДК 519.872 (621.321.1) АНАЛИЗ СИСТЕМЫ СО СКЛАДОМ И КОРРЕЛИРОВАННЫМ МАРКОВСКИМ ГРУППОВЫМ ПОТОКОМ ЗАЯВОК С РАЗНОТИПНЫМИ КАТАСТРОФИЧЕСКИМИ СБОЯМИ А.В. КАЗИМИРСКИЙ Рассмотрена система со складом, моделирующая ситуации, когда во время от- сутствия требований обслуживающее устройство производит «заготовки», ко- торые хранятся на «складе заготовок». Время обслуживания требования зави- сит от количества заготовок на складе на момент начала обслуживания. Катастрофа — это специальный вид заявки, уничтожающий все заявки в оче- реди или на складе. Описана система с мгновенным восстановлением после прихода катастрофы. ВВЕДЕНИЕ Рассмотрим систему BMAP/G/1 со складом и марковским потоком разно- типных катастрофических сбоев. Система со складом моделирует множество ситуаций, возникающих при анализе производственных процессов, проектировании информацион- ных и телекоммуникационных систем. Предполагается, что во время отсут- ствия требований обслуживающее устройство производит «заготовки», ко- торые хранятся на «складе заготовок». Время обслуживания зависит от количества заготовок на складе в момент начала обслуживания. Если об- служивание требования было начато при непустом складе, то после его окончания количество заготовок на складе убывает. В работе [1] рассмотре- на система BMAP/G/1 с конечным складом заготовок. Рассмотрим пример, когда система со складом моделирует работу сложного узла информационной или телекоммуникационной сети (рис. 1). Процесс выполнения задания в вычислительной системе состоит из кодиро- вания данных, их передачи и раскодирования. Последовательность заданий в системе известна заранее, но конкретное время начала выполнения неиз- вестно. Например, по причине занятости принимающей системы и т.п. На стороне передающей системы может быть выполнено предварительное ко- дирование данных с помещением их на «склад» еще перед поступлением соответствующих заданий на выполнение. Таким образом, когда появится возможность передачи данных, то будут переданы уже закодированные данные со склада. Вместе с тем, если задержек перед выполнением заданий не будет, то кодирование произойдет непосредственно при отправке, и не- обходимости в использовании склада не будет. Системы массового обслуживания с катастрофическими сбоями явля- ются разновидностью систем с негативными заявками. Предполагается, что в них наряду с входящим потоком требований существует и поток их отме- ны, называемый потоком негативных заявок. Катастрофический сбой — это Анализ системы со складом и коррелированным марковским групповым потоком заявок … Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 2 41 специальный вид негативной заявки, который уничтожает все заявки в оче- реди и, возможно, выводит из строя на некоторое время обслуживающий прибор. Теория сетей массового обслуживания с отрицательными заявками была создана и развита в работах Э. Джеленбе и соавторов [2–6]. Под- робный обзор сетей и систем с отрицательными заявками проведен П. Бочаровым и В. Вишневским [7], Х. Арталехо [8]. Системы с потоком катастрофических сбоев очень близки к стохастическим системам с очище- нием (см., например, [9,10]). А. Чен и Э. Реншо [11] рассмотрели систему M/M/1 с простейшим потоком катастрофических сбоев. Г. Джейн и К. Сигман [12] исследовали систему M/G/1 с простейшим потоком катаст- роф. А. Дудин и С. Нишимура [13,14] рассмотрели более сложную систему BMAP/SM/1 с марковским потоком катастрофических сбоев. А. Дудин и А. Каролик [15] рассмотрели систему BMAP/SM/1 с марковским потоком катастроф и немгновенным восстановлением. А. Дудин и О. Семенова [16] предложили устойчивый алгоритм для расчета стационарных вероятностей в системе BMAP/SM/1 с марковским потоком катастрофических сбоев. К. Ли и И. Жао [17] рассмотрели систему BMAP/G/1 с марковским потоком катастрофических сбоев и негативных требований, отменяющих обслужи- вание. Я. Шин [18] рассмотрел систему BMAP/G/1 с марковским потоком катастрофических сбоев, где катастрофа может приходить в потоке заявок. В рассматриваемой системе предполагается наличие трех типов катаст- рофических сбоев, которые могут поступать во входящем потоке требова- ний. Рис. 1. Схема системы приема-передачи данных Список заданий Передающая система Принимающая система Очередь требований "Склад" закодированных данных Устройство передачи данных Устройство приёма данных Кодирование данных Раскодирование данных ... ... 0 ... ... ... K Разрешение на обслуживание новой группы требований Склад приема А.В. Казимирский ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 2 42 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ Рассмотрим систему BMAP/G/1 со складом и марковским потоком разно- типных катастрофических сбоев. В данной системе предполагается наличие бесконечного буфера для требований и склада заготовок конечного размера +∞<≤ K0 . Когда система оказывается пустой, то начинается производство заготовки, которое может быть прервано входящей группой требований, иначе — по окончании производства заготовка помещается на склад, и на- чинается производство новой. Время обслуживания требования зависит от количества заготовок на складе на момент начала обслуживания и имеет функцию распределения )()( tB j , 0≥t , Kj ,...,1,0= с конечными начальны- ми моментами ( ) ( ) ( )∫ ∞ = 0 tdBtb jij i , 0≥i . После окончания обслуживания тре- бования число заготовок на складе убывает на единицу. Время производства заготовки зависит от количества заготовок на складе в момент начала про- изводства и имеет функцию распределения )()( tC j , 0≥t , 1,...,1,0 −= Kj с конечными начальными моментами ( ) ( ) ( )∫ ∞ = 0 tdCtc jij i , 0≥i . При заполнен- ном складе производство заготовок прекращается. В систему поступает марковский поток катастрофических сбоев трех типов: 1. Опустошение склада заготовок. 2. Опустошение буфера. 3. Опустошение склада заготовок и буфера. При поступлении катастрофы типа 1 во время производства заготовки оно прерывается, и все заготовки, находящиеся в данный момент на складе, теряются. При поступлении катастрофы типа 1 во время обслуживания требова- ния, начатого при непустом складе заготовок, склад опустошается. Требова- ние, которое обслуживалось в момент прихода катастрофы, с вероятностью 10 )1( ≤≤ s остается в системе, и его обслуживание начинается заново, с ве- роятностью )1(1 s− уходит из системы. При поступлении катастрофы типа 2 во время обслуживания требова- ния обслуживание прерывается. Буфер опустошается, требование, которое находилось в обслуживании в момент прихода катастрофы, теряется. Заго- товка, участвовавшая в обслуживании в момент прихода катастрофы, с ве- роятностью 10 )2( ≤≤ s остается на складе, с вероятностью ( )21 s− исчезает. При поступлении катастрофы типа 3 в систему в любой момент време- ни обслуживание требования или производство заготовки прерываются, бу- фер и склад опустошаются. После поступления каждой из катастроф происходит мгновенное вос- становление обслуживающего устройства. В рассматриваемой системе марковский входящий поток требований и катастроф задается следующим образом. Анализ системы со складом и коррелированным марковским групповым потоком заявок … Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 2 43 Пусть имеется цепь Маркова с непрерывным временем tν , 0≥t и ко- нечным пространством состояний { }W,...,1,0 , которую назовем управляю- щим процессом входящего потока. Время пребывания процесса tν в состоя- нии W,...,1,0=ν имеет показательное распределение с параметром νλ , W,...,1,0=ν . После того как пребывание в состоянии ν заканчивается, про- цесс tν скачкообразно переходит в состояние W,...,1,0=′ν . При этом с за- данной вероятностью ( )νν ′,0p происходит изменение состояния процесса tν без прихода группы требований или катастрофы, с вероятностью ( )νν ′,kp , 1≥k приходит группа из k запросов, и с вероятностью ( )( )νν ′,ip , 3,2,1=i приходит катастрофа типа i . Предполагается, что скачок из любого состояния в самого себя без генерации запросов или катастроф невозможен, т.е. ( ) 0,0 =ννp , W,...,1,0=ν . Входящий поток полностью характеризуется размерностью 1+W управляющего процесса, интенсивностями νλ времен пребывания этого процесса в своих состояниях и набором вероятностей ( )νν ′,kp , ( )( )νν ′,ip , 0≥k , 3,2,1=i , W,...,1,0, =′νν . Предполагается, что выполняется условие нормировки ( ) ( ) ( ) 1,, 0 3 10 =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′+′∑ ∑∑ =′ = ∞ = W i i k k pp ν νννν , W,...,1,0=ν . Составим матрицы kD , 0≥k и ( )iD , 3,2,1=i размера ( ) ( )11 +×+ WW , элемент ( ) νν ′,kD и ( )( ) νν ′, iD которых задается следующим образом: ( ) ( ) ⎩ ⎨ ⎧ =′=− =′′≠′ =′ ,,...,1,0,, ,,...,1,0,,,,0 ,0 W Wp D νννλ ννννννλ ν ν νν ( ) ( )ννλννν ′=′ ,, kk pD , W,...,1,0, =′νν , 0≥k , ( )( ) ( ) ( )ννλννν ′=′ ,, ii pD , W,...,1,0, =′νν , 3,2,1=i . Предполагается, что в системе всегда присутствует поток катастроф типа 2 или 3, т.е. ( ) 02 ≠D или ( ) 03 ≠D . В дальнейшем используется матричная производящая функция ( ) ∑∞ = = 0k k k zDzD , 1≤z . Несложно видеть, что ( ) ( ) 011 =+∑ = 3 1 1 i iDD , (1) где 1 ( 0 ) — вектор-столбец, состоящий из единиц (нулей). Интенсивность входящего потока требований λ и интенсивности пото- ков катастрофических сбоев ( )iγ вычисляются следующим образом: ( )1θ 1D′=λ , ( ) ( )1θ ii D=γ , 3,1=i , где θ — вектор-строка, которая является единственным решением системы линейных уравнений А.В. Казимирский ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 2 44 ( ) ( ) T i iDD 0θ =⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ +∑ = 3 11 , 1=θ1 . Данный поток является марковским потоком разнотипных требований (Marked Markovian Arrival Process — MMAP). Впервые MMAP-поток рас- смотрен в работе [19]. Он является расширением группового марковского потока требований (Batch Markovian Arrival Process — BMAP), введенного в [20]. 2. АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ СТАЦИОНАРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЛОЖЕННОЙ ЦЕПИ МАРКОВА Исследуем процесс с непрерывным временем ( )tttt ji νξ ,,= , 0t ≥ , где ,...1,0=ti — число требований в буфере; Kjt ,...,1,0= — число заготовок на складе; Wt ,...,1,0=ν — состояние управляющего процесса входящего пото- ка требований и катастроф в момент 0≥t . Рассмотрим процесс tξ , 0≥t в моменты времени 0+nt , 1≥n , ......0 21 <<<<≤ nttt : • начало обслуживания требования; • начало производства заготовки; • приход катастрофы любого типа. Несложно убедиться, что процесс с дискретным временем ntn ξξ = , 1≥n является цепью Маркова. Предположим, что существует стационарное распределение цепи Мар- кова nξ , 1≥n { }ννπ ν ==== ∞→ nnn n ji jjii ,,lim,, P , 0≥i , Kj ,...,1,0= , W,...,1,0=ν . Покажем, что при наличии в системе ненулевого потока катастроф типа 2 или 3 стационарное распределение цепи Маркова nξ , 1≥n существует при любой загрузке в системе. Упорядочим стационарные вероятности νπ ,, ji в лексикографическом порядке и получим векторы ( )Wjijiji ,,0,,, ,...,ππ=π , 0≥i , Kj ,...,1,0= , ( )Kiii ,0, ,...,πππ = , 0≥i . Введем производящую функцию ∑ ∞ = −=Π 1 1)(ˆ i i i zz π , 1≤z . Введем также обозначения 1+= KK , 1+=WW ; ( ) jiA , — элемент, находящийся на пересечении i -й строки и j -го столбца некоторой матрицы A . Анализ системы со складом и коррелированным марковским групповым потоком заявок … Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 2 45 Лемма 1. Система уравнений равновесия для вектора стационарных вероятностей ,...),( 10 ππ цепи Маркова nξ , 1≥n может быть записана как ,...),( 0 ,...),( 10 10 210 3210 3210 10 ππππ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + YYH YYYH YYYYH VVVV , где ( ) ( ) ( )( )( )31 disasterproduction0 DDEIEV W +⊗×Φ+⊗×Α= , ( )iKi DIV ⊗×Φ= , 1≥i , ( ) ( )( ) ( )( )( )2 disaster 3 disaster1 DSDEH ⊗+⊗×∆= , ( ) ( )( ) ( )( )1 disaster0 1 service00 1 DEsIEY W ⊗′×∆−+⊗×Χ= , ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 disaster1 11 service 1 DEssIEY iiWii ⊗′×∆+∆−+⊗×Χ= − , 1≥i . Здесь × — символ операции матричного произведения; ⊗ — символ операции кронекерова произведения матриц; матрицы disasterS , disasterE , productionE , serviceE , disasterE′ являются квад- ратными, имеют размерность K и следующую структуру: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = )2()2( )2( )2()2( disaster 100 000 001 0001 ss s ss S , ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0001 0001 0001 0001 disasterE , ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0000 1000 0100 0010 productionE , ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0100 0010 0001 0001 serviceE , ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =′ 0001 0001 0001 0000 disasterE ; А.В. Казимирский ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 2 46 ( ){ }Kjj …,1,0,diag =Α=Α — блочная квадратная матрица размерности KW с блоками ( )jΑ , расположенными на главной диагонали; ( ) ( )( ){ } ( ) ( )∫ ∞ +=Α 0 2 0exp tdCtDD jj , 1,...,1,0 −= Kj — квадратная матри- ца размерности W , элемент ( )( ) νν ′Α , j , W,...,1,0, =′νν которой является ве- роятностью того, что за время производства заготовки с функцией распре- деления времени производства ( )( )tС j , 0≥t во входящем потоке не придет ни одна катастрофа типов 1 и 3 и ни одна группа требований, и по оконча- нии производства заготовки состояние процесса tν будет равно ν ′ , если в начале производства заготовки оно было равно ν ; ( ) 0=Α K ; ( ){ }Kjj …,1,0,diag =Φ=Φ — блочная квадратная матрица размер- ности KW с блоками ( )jΦ , расположенными на главной диагонали; ( ) ( )( ){ } ( ) ( )( )∫ ∞ −+=Φ 0 2 0 1exp dttCtDD jj , 1,...,1,0 −= Kj ; ( ) ( )( ){ } ( )( ) 12 0 0 2 0exp − ∞ +−=+=Φ ∫ DDdttDDK ; ( ) i j D×Φ , 1≥i ( ( ) ( )kj D×Φ , 3,1=k ), Kj ,...,1,0= — квадратная матри- ца размерности W , элемент ( )( ) νν ′×Φ ,i j D ( ( ) ( )( ) νν ′×Φ , kj D ), W,...,1,0, =′νν которой является вероятностью того, что во время производства заготовки с функцией распределения времени производства ( )( )tC j , 0≥t во входящем потоке придет группа i требований (катастрофа типа k ), и во время ее при- хода состояние процесса tν будет равно ν ′ , если в начале производства за- готовки оно было равно ν ; ( ){ }KjΧ j ii ,...,1,0,diag =Χ= , 0i ≥ — блочная квадратная матрица раз- мерности WK с блоками ( )j iΧ , расположенными на главной диагонали; ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∞ = 0 00 , tdBtiPΧ i , 0≥i ; ( ) ( ) ( ) ( )tdBtiPΧ jj i ∫ ∞ = 0 ,ˆ , Kj ,...,1= , 0≥i ; ( )j iΧ , Kj ,...,1,0= , 0≥i — квадратная матрица размерности W , эле- мент ( )( ) νν ′, j iΧ , W,...,1,0, =′νν которой является вероятностью того, что за время обслуживания требования с функцией распределения времени обслу- Анализ системы со складом и коррелированным марковским групповым потоком заявок … Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 2 47 живания ( )( )tB j , 0≥t не придет ни одна катастрофа типов 1, 2 и 3 для Kj ,...,2,1= (типов 2 и 3 для 0=j ), а придет i требований, и по окончании обслуживания состояние процесса tν будет равным ν ′ , если в начале об- служивания оно было равным ν ; ( )tiP , ( ( )tiP ,ˆ ), 0≥t , 0≥i — квадратная матрица размерности W , элемент ( )( ) , ,P i t ν ν ′ ( ( )( ) νν ′,,ˆ tiP ), W,...,1,0, =′νν которой является вероят- ностью того, что за некоторый промежуток времени t во входящем потоке придет i требований и ни одной катастрофы типов 2 и 3 (1, 2 и 3), и в конце рассматриваемого промежутка времени состояние процесса tν будет равно ν ′ , если в его начале оно было равно ν ; ( ) ( ) ( )∑ ∞ = = 0i ij i j zΧzΧ , Kj ,...,1,0= , ( ) ∑ ∞ = = 0i i i zΧzΧ , 1z ≤ ; ( ){ }Kjj ii ,...,1,0,diag =∆=∆ , 0≥i — блочная диагональная матрица раз- мерности KW с блоками ( )j i∆ , расположенными на главной диагонали; ( ) ( ) ( ) ( )( )dttBtiPi ∫ ∞ −=∆ 0 00 1, , 0≥i ; ( ) ( ) ( ) ( )( )dttBtiP jj i ∫ ∞ −=∆ 0 1,ˆ , Kj ,...,1= , 0i ≥ ; ( ) ( )kj i D×∆ , 3,2,1=k , Kj ,...,1,0= ( ( ) ( )k i D×∆ 0 , 2,1=k ), 0≥i — квадрат- ная матрица размерности W , элемент ( ) ( )( ) νν ′×∆ , kj i D , W,...,1,0, =′νν кото- рой является вероятностью того, что во время обслуживания требования с функцией распределения ( )( )tB j , 0≥t придет катастрофа типов 1, 2 или 3 для Kj ,...,2,1= (типа 2 или 3 для 0=j ), и в момент прихода катастрофы состояние процесса tν будет равно ν ′ , если в момент начала обслуживания оно было равно ν . ( )( ) ( )∑ ∞ = ∆=∆ 0i ij i j zz , Kj ,...,1,0= , ( ) ∑ ∞ = ∆=∆ 0i i i zz , 1≤z . Несложно показать (см., например, [20], [21]), что матрицы ( )tiP , , ( )tiP ,ˆ , 0≥t , 0≥i являются коэффициентами разложения следующих мат- ричных производящих функций: ( ) ( ) ( )( ){ }tDzDztiP i i 1 0 exp, +=∑ ∞ = , ( ) ( ){ }tzDztiP i i exp,ˆ 0 =∑ ∞ = , 0≥t , 1≤z . А.В. Казимирский ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 2 48 Эффективный алгоритм вычисления матриц ( )j iΧ , ( )j i∆ , Kj ,...,1,0= , 0≥i может быть построен с применением метода униформизации (см. [20], [21]). Введем следующие матричные производящие функции: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )0 31 disasterproduction 0 DzDIDDEIEzVzV KW i i i −⊗++⊗Φ+⊗Α==∑ ∞ = , ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 disaster 11 service 0 1 DEzzssIEzzYzY W i i i ⊗′∆+−+⊗Χ==∑ ∞ = , 1≤z . Цепь Маркова nξ , 1≥n входит в класс цепей Маркова, рассмотренный в работе [22], согласно которой для существования стационарного распре- деления в рассматриваемой цепи Маркова nξ достаточно того, чтобы мат- рица ( )1Y являлась субстохастической. Несложно видеть, что в рассматри- ваемой системе матрица ( )1Y является субстохастической при любых допустимых значениях параметров входящего потока, функций распреде- ления времени обслуживания требования и производства заготовки, по- скольку предполагается обязательное наличие потока катастроф типа 2 или 3, т.е. ( ) 02 ≠D или ( ) 03 ≠D . Рассмотрим задачу вычисления векторов iπ , 0≥i . Построим эффек- тивный алгоритм их нахождения, применяя матрично-аналитический под- ход. Лемма 2. Векторная производящая функция ( )zΠ̂ и вектор 0π удовле- творяют матричному уравнению ( ) ( )( ) ( )( ) ( )HzVIzIzYz 1ˆˆ 0 Π−−=−Π π , 1≤z . (2) Доказательство. Система уравнений равновесия для цепи Маркова с дискретным временем nξ имеет вид (см. лемму 1) .1, , 1 1 10 1 01000 ≥+= ++= ∑ ∑ + = −+ ∞ = iYV HYV i j jijii j j πππ ππππ (3) Умножая левую и правую части каждого из уравнений на iz и склады- вая их, после несложных преобразований получаем уравнение (1). Теорема 1. Векторы 0π и ( )1Π̂ являются решением такой системы ли- нейных уравнений: ( ) ( ) ( ) TYV 0 11 0 1ˆ eπ =Π+ , (4) ( ) 01ˆ 0 0 =Π+⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −∑ ∞ = HIGV i i iπ , (5) Анализ системы со складом и коррелированным марковским групповым потоком заявок … Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 2 49 ∑ ∞ = = 0i i iGYG , (6) где ( )1V — матрица ( ) IV −1 , нулевой столбец которой заменен на 1 ; ( )1Y — матрица ( ) IHY −+1 , нулевой столбец которой заменен на 1 ; 0e — вектор- столбец, нулевой элемент которой равен единице, а остальные — нулю; G — минимальное неотрицательное решение уравнения (6). Доказательство. Подставляя 1=z в уравнение (1), получаем ( ) ( )( ) ( )( )111ˆ 0 VIHIY −=+−Π π . Матрицы ( ) HIY +−1 и ( )1VI − являются вырожденными. Заменим их нулевые столбцы на единичные вектор-столбцы, исходя из условия норми- ровки ( )( ) 11ˆ 0 =Π+ 1π . Таким образом, справедливо уравнение (4). Вывод уравнения (5) проиллюстрируем следующим образом. Под ми- нимальным неотрицательным решением уравнения (6) понимается такое его решение, которое может быть получено при решении данного уравнения методом последовательных приближений с начальным приближением 0=G . В работе [23] показано, что в случае, когда матрица ( )1Y является субстохастической, алгоритм нахождения минимального неотрицательного решения уравнения (6), построенный на применении метода последователь- ных приближений, является устойчивым. После умножения левой и правой частей каждого уравнения систе- мы (3), где в левой части стоит вектор iπ , на матрицу iG справа и сложения получаем уравнение (5). Здесь показан матрично-алгебраический способ получения уравне- ния (5). Вероятностный способ вывода данного уравнения подробно описан в работе [16]. Теорема 2. Векторы iπ , 1≥i находятся следующим образом: 1 1 1 1 1 01 −∞ = − ∞ = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −×⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∑∑ i i i i i i GYIGVππ , 1 1 1 1 1 10 −∞ = − − = ∞ = − −+ ∞ = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −× ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ += ∑∑ ∑∑ i i i k j ki ki jij ki ki ik GYIGYGV πππ , 2≥k . (7) Доказательство. Чтобы получить выражение для kπ , 1≥k , умножим все уравнения системы (3), где в левой части стоит iπ , ki ≥ , на kiG − и про- суммируем их. После несложных преобразований получим выражение (7). Очевидно, что матрица ∑ ∞ = − 1 1 i i iGY является субстохастической, поэтому матрица ∑ ∞ = −− 1 1 i i iGYI обратима (см. например, [24]). А.В. Казимирский ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 2 50 3. АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ СТАЦИОНАРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОЦЕССА С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ Используя сведения из теории процессов марковского восстановления (см. [25], [26], [27]), несложно показать, что в рассматриваемой системе стацио- нарное распределение процесса с непрерывным временем tξ , 0≥t сущест- вует, если существует стационарное распределение вложенной цепи Марко- ва nξ , 1≥n . Обозначим стационарное распределение процесса tξ , 0≥t { }ννν ==== ∞→ ttt t ji jjiip ,,lim,, P , 0≥i , 0,1,...,j K= , W,...,1,0=ν . Упорядочим данные вероятности в лексикографическом порядке и по- лучим следующие векторы: ( ), , ,0 , ,,...,i j i j i j Wp p=p , 0i ≥ , Kj ,...,1,0= , ( )Kiii ,0, ,...,ppp = , 0≥i . Введем векторную производящую функцию ( ) ∑ ∞ = −= 1 1ˆ i i i zz pP , 1≤z . Теорема 1. Вектор 0p и векторная производящая функция ( )zP̂ , 1z ≤ вычисляются следующим образом: Φ= 00 1 πp τ , (8) ( ) ( ) ( )zzz ∆Π= ˆ1ˆ τ P , 1≤z , (9) ( ) ( )( )1π 11ˆ 0 ∆Π+Φ=τ , (10) где τ — математическое ожидание длительности промежутка времени ме- жду двумя последовательными вложенными моментами nt и 1+nt , 1≥n . Доказательство. Согласно узловой теореме для процессов марковско- го восстановления, в рассматриваемой системе связь между стационарным распределением процесса tξ во вложенные и произвольные моменты вре- мени задается в виде ( )( ){ } ( ) ( )( )∫ ∞ −+= 0 2 0,0,0 1exp1 dttCtDD j jj πp τ , ( ) ( ) ( )( )∫∑ ∞ = −−= 0 0 1 0,0, 1,1 dttBtkiP i k ki πp τ , Анализ системы со складом и коррелированным марковским групповым потоком заявок … Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 2 51 ( ) ( ) ( )( )∫∑ ∞ = −−= 01 ,, 1,ˆ1 dttBtkiP j i k jkji πp τ , 1i ≥ , Kj ,...,1,0= . Для векторов ip , 0≥i эти уравнения будут выглядеть как Φ= 00 1 πp τ , ∑ = −∆= i k kiki 1 1 πp τ , 1≥i . (11) Умножая левую и правую части уравнений (9) на iz , 1≤z и складывая их, получаем уравнение (9). Выражение (10) для средней длительности промежутка времени между двумя последовательными вложенными моментами τ несложно получить путем простых преобразований интегралов для его вычисления. 4. ДОЛЯ ПОСТУПИВШИХ ТРЕБОВАНИЙ, КОТОРЫЕ УШЛИ ИЗ СИСТЕМЫ ОБСЛУЖЕННЫМИ В предыдущих разделах мы находили стационарное распределение процесса tξ , 0≥t во вложенные и произвольные моменты времени. Также немало- важной характеристикой при исследовании систем с катастрофическими сбоями является доля требований, ушедших из системы обслуженными servicedP , определяемая следующим образом: ( ) ( ) ( ) ( )nini ni P d d ls s n ∑ = ∞→ + = 3 1 serviced lim , где ( )nis — число успешно обслуженных требований до момента nt , 1≥n включительно; ( )( )ni d l — число требований, ушедших из системы не обслу- женными вследствие прихода катастрофического сбоя типа d , 3,1=d до момента nt , 1≥n включительно. Теорема 2. Доля поступивших требований servicedP , которые ушли из системы обслуженными, ( )∑ = + = 3 1 serviced d d ls s qq qP , (12) где ( ) ( )111ˆ ΧΠ=sq ; ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )11 disaster 11 11ˆ1 DEsql ⊗′∆Π−= ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )1d K d l DIq ⊗×∆′Π+∆Π′+∆Π= 11ˆ11ˆ11ˆ , 3,2=d . Доказательство. Рассмотрим цепь Маркова ( ) ( ) ( )( ncnc lsnn 1,,ξψ = , ( ) ( ) ( ) ( ))ncnc ll 32 , , 1≥n , где ( )ncs , ( ) 1,0=ncs — число требований, уходящих А.В. Казимирский ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 2 52 из системы обслуженными в момент nt , 1≥n ; ( )1 lc , ( ) 1,01 =lc — число тре- бований, покидающих систему в результате прихода катастрофического сбоя типа 1 в момент nt ; ( )( )nc d l , ( )( ) 0≥nc d l — число требований, поки- дающих систему в результате прихода катастрофического сбоя типа d , 3,2=d в момент nt . Несложно показать, что если существует стационарное распределение цепи Маркова nξ , 1≥n , то существует и стационарное распределение цепи Маркова nψ , 1≥n . ( ) ( ) ( )( )=321 ,, ,,, lllsji ccccνπ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }332211 ,,,,,,lim llllllssnnnn cnccnccnccncjjii ======== ∞→ ννP , 0≥i , Kj ,...,1,0= , W,...,1,0=ν , 1,0=sc , ( ) 1,01 =lc , ( ) 0≥d lc , 3,2=d . Упорядочим стационарные вероятности ( ) ( ) ( )( )321 ,, ,,, lllsji ccccνπ в лекси- кографическом порядке и получим векторы ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )321 ,, 321 0,, 321 , ,,,,...,,,,,,, lllsWjilllsjilllsji cccccccccccc ππ=π , ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )321 , 321 0, 321 ,,,,...,,,,,,, lllsKilllsilllsi cccccccccccc πππ = . Несложно показать, что ненулевые из данных векторов вероятностей вычисляются следующим образом: ( ) 000 0,0,0,0 Vππ = , ( ) ( ) ( )( )1 disaster 1 1 00,0,0,0 DEsV i j jijii ⊗′∆+= ∑ = −πππ , 1≥i , ( ) ( )W i j jiji IE ⊗Χ=∑ + = −+ service 1 1 10,0,0,1 ππ , 0i ≥ , ( ) ( )( ) ( )( )∑ + = −+ ⊗′∆−= 1 1 1 disaster1 110,0,1,0 i j jiji DEs ππ , 0≥i , ( ) ( )( )2 disaster 1 0 0,,0,0 DSi i j jij ⊗∆=∑ = −ππ , 0i ≥ , ( ) ( )( )3 disaster 1 0 ,0,0,0 DEi i j jij ⊗∆=∑ = −ππ , 0≥i . Как сказано выше, величина servicedP определена как ( ) ( ) ( )( ) ( )∑∑ == ∞→ + = + = 3 1 3 1 serviced lim d d ls s d d ls s n qq q nini niP , Анализ системы со складом и коррелированным марковским групповым потоком заявок … Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 2 53 где ( )ninq sns 1lim − ∞→ = , ( ) ( ) ( )ninq d ln d l 1lim − ∞→ = , 3,1=d , ( ) ( )∑ = = n k ss kcni 1 , ( )( ) =ni d l ( ) ( )∑ = = n k d l kc 1 , 3,1=d , 1≥k . Для дальнейшего доказательства используется эргодическая теорема для функционалов, определенных на множестве состояний цепи Маркова (см. [28, с.243]). Условие данной теоремы формулируется так. Пусть имеется некоторая цепь Маркова с дискретным временем nx , 1≥n со множеством состояний X и стационарными вероятностями xp , Xx∈ , а также некоторый функционал ( )xf , Xx∈ . Тогда при условии ( ) +∞<∑ ∈Xx x xfp с вероятностью 1 выполняется соотношение ( ) ( )∑∑ ∈ − =∞→ = Xy y n k k n yfpxf n 1 1 1lim . Тогда, согласно данной теореме, получаются выражения для вычисле- ния пределов sq и ( )d lq , 3,1=d ( )1π∑ ∞ = = 0 0,0,0,1 i isq , ( ) ( )1π∑ ∞ = = 0 1 0,0,1,0 i ilq , ( ) ( )1π∑ ∞ = = 1 0 2 0,,0,0 i l iiq , ( ) ( )1π∑ ∞ = = 1 0 3 ,0,0,0 i l iiq . После несложных преобразований получается выражение (10). 5. ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ Пусть входящий поток требований и катастроф задается матрицами ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −−− −−− = 0,00038786 0,00038786 0D , ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ == 0,049258180,0038786 0,019199051,64840360 21 DD , ( ) ( )ID ii γ= , 3,2,1=i . Интенсивность входящего потока требований 1=λ , интенсивности по- токов катастроф задаются как параметры ( )iγ , 3,2,1=i . Диагональные эле- менты матрицы 0D вычисляются согласно условию (1). Время обслужива- ния требований имеет вырожденное распределение с математическим ожиданием ( ) 6,00 1 =b и ( ) 2,01 =jb , Kj ,...,1= . Время производства заготовки имеет вырожденное распределение с математическим ожиданием ( ) 4,01 =jc , 1,...,0 −= Kj . Также предполагается, что ( ) 11 =s и ( ) 12 =s . В первом эксперименте ( ) 01 =γ , а пара интенсивностей ( ) ( )( )32 ;γγ принимает все значения из множества ( ) ( ) ( ) ( ){ 001,0;0,0;1,0,0;01,0,0;001,0 , А.В. Казимирский ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 2 54 ( ) ( )}1,0;0,01,0;0 , размер склада заготовок K изменяется от 0 до 50 с ша- гом 10 . Исследуется зависимость среднего числа требований в системе в произвольный момент времени ∑∞ = = 1i iiL 1p и доли поступивших требова- ний, которые ушли из системы обслуженными servicedP от K . Численные результаты данного эксперимента приведены в табл. 1 и 2. Т а б л и ц а 1 . Среднее число требований в системе в произвольный момент времени L ( )2γ ( ( ) 01 =γ , ( ) 03 =γ ) ( )3γ ( ( ) 01 =γ , ( ) 02 =γ ) K 0,001 0,01 0,1 0,001 0,01 0,1 0 72,2975 30,6192 5,5534 72,2974 30,6192 5,5535 10 69,2629 28,9127 5,1068 69,2746 28,9747 5,2185 20 66,3337 27,3566 4,7859 66,3777 27,5783 5,1046 30 63,5302 25,9058 4,4964 63,6257 26,365 5,0519 40 60,8549 24,5549 4,235 61,0198 25,3139 5,0275 50 58,3040 23,2963 3,9984 58,5550 24,4039 5,0162 Т а б л и ц а 2 . Доля поступивших требований, которые ушли из системы обслуженными servicedP ( )2γ ( ( ) 01 =γ , ( ) 03 =γ ) ( )3γ ( ( ) 01 =γ , ( ) 02 =γ ) K 0,001 0,01 0,1 0,001 0,01 0,1 0 0,9277 0,6938 0,4447 0,9277 0,6938 0,4447 10 0,9307 0,7109 0,4781 0,9307 0,7103 0,4781 20 0,9337 0,7264 0,4895 0,9336 0,7242 0,4895 30 0,9365 0,7409 0,4948 0,9364 0,7363 0,4948 40 0,9391 0,7545 0,5765 0,9390 0,7469 0,4973 50 0,9417 0,7670 0,6002 0,9414 0,7560 0,4984 Рис. 2. Численные результаты эксперимента K (размер склада заготовок) L (с ре дн ее ч ис ло т ре бо ва ни й к си ст ем е γ(1)=0 γ(1)=0,01 γ(1)=0,1 γ(1)=1 γ(1)=10 Анализ системы со складом и коррелированным марковским групповым потоком заявок … Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 2 55 Во втором эксперименте ( )1γ принимает все значения из множества { }10;1;1,0;01,0;0 , ( ) 000001,02 =γ и ( ) 03 =γ , размер склада заготовок K из- меняется от 0 до 30 . Исследуется зависимость среднего числа требований в системе в произвольный момент времени L от K . Численные результаты данного эксперимента приведены на рис. 2. ВЫВОДЫ Рассмотрена система BMAP/G/1 со складом и марковским потоком разно- типных катастрофических сбоев. Получен устойчивый алгоритм для вычис- ления стационарного распределения числа требований в системе, основан- ный на применении матрично-аналитического и аналитического подходов. Предложена формула для вычисления доли требований, покинувших систе- му обслуженными. Приведены результаты двух численных экспериментов, цель кото- рых — оценка необходимости защиты склада от катастрофических сбоев при различных интенсивностях их потоков. В первом эксперименте предполагается, что поток катастрофических сбоев типа 1 отсутствует, а изменяются интенсивности потоков катастрофи- ческих сбоев типов 2 и 3, которые взяты по отдельности, что соответствует случаю защищенного и незащищенного склада, соответственно. Экспери- мент показал, что при сравнительно небольшой интенсивности потока ката- строфических сбоев в обоих случаях исследуемые характеристики сущест- венно не различаются, но с ее увеличением они все больше начинают различаться. Во втором эксперименте потоки катастрофических сбоев типов 2 и 3 взяты сравнительно малыми, но изменяется интенсивность потока ка- тастрофических сбоев типа 1. Данный эксперимент показал, что присутст- вие потока катастрофических сбоев этого типа существенно влияет на эф- фективность функционирования склада даже при его сравнительно небольших интенсивностях. ЛИТЕРАТУРА 1. Kazimirsky A.V. A BMAP/G/1 queue with preliminary service. Queues: flows, net- works, systems. Proceedings of the International conference «Modern Mathe- matical Methods of Analysis and Optimization of Telecommunication Net- works», 23–25 September, Gomel. — Minsk: BSU, 2003. — P. 115–120. 2. Gelenbe E. Random neural networks with positive and negative signals and product form solution // Neural Computation. — 1989. — № 1. — Р. 502–511. 3. Gelenbe E. Product form networks with negative and positive customers // Journal of Applied Probability. — 1991. — 28. — P. 655–663. 4. Gelenbe E., Glynn P., Sigman K. Queues with negative arrivals // Journal of Applied Probability. — 1991. — 28. — P. 245–250. 5. Gelenbe E. G-network: an unifying model for queueing networks and neural net- works // Annals of Operations Research. — 1994. — № 1. — P. 433–461. 6. Gelenbe E., Labed A. G-networks with multiple classes of signals and positive custom- ers // European Journal of Operations Research. — 1998. — 108. — P. 293–305. А.В. Казимирский ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 2 56 7. Бочаров П.П., Вишневский В.М. G-сети. Развитие теории мультипликативных сетей // Автоматика и телемеханика. — 2003. — №5 — С. 46–74. 8. Artalejo J. G-networks: a versatile approach for work removal in queueing networks // European Journal of Operations Research. — 2000. — 126. — P. 233–249. 9. Serfozo R., Stidham S. Semi-stationary clearing processes // Stochastic Processes and Applications. — 1978. — № 6. — Р. 165–178. 10. Stidham S. Stochastic clearing systems // Stochastic Processes and Applications. — 1974. — № 2. — P. 85–113. 11. Chen A., Renshaw E. The M/M/1 queue with mass exodus and mass arrivals when empty // Journal of Applied Probability. — 1997. — 34. — P. 192–207. 12. Jain G., Sigman K. Pollaczeck-Khinchine formula for M/G/1 queues with disasters // Journal of Applied Probability. — 1996. — 33. — P. 1191–1200. 13. Dudin A.N. Nishimura S. Embedded stationary distribution for BMAP/SM/1/N queue with disasters // Queues: flows, networks, systems. — 1998. — 14. P. 92–97. 14. Dudin A.N., Nishimura S. A BMAP/SM/1 queueing system with Markovian arrival of distasters // Journal of Applied Probability. — 1999. — 36. — P. 868–881. 15. Dudin A.N., Karolik A.V. A BMAP/SM/1 queue with Markovian input of disasters and non-instantaneous recovery // Performance Evaluation. — 2001. — 45. — P. 19–32. 16. Dudin A.N., Semenova O.V. Stable algorithm for stationary distribution calculation for a BMAP/SM/1 queueing system with Markovian arrival input of disasters // Journal of Applied Probability. — 2004. — 42, № 2. — Р. 547–556. 17. Li Q.L., Zhao Y.Q. A MAP/G/1 Queue with negative customers // Queueing Systems. — 2004. — 47. — P. 5–43. 18. Yang Woo Shin. A BMAP/G/1 Queue with correlated arrivals of customers and disas- ters // Operational Research Letters. — 2004. — 32. — P. 364–373. 19. He Q.M. Queues with marked customers // Advances in Applied Probability. — 1996. — 28. — P. 567–587. 20. Lucantoni D. New results on the single server queue with a batch Markovian arrival process // Stochastic Models. — 1991. — 7. — P. 1–46. 21. Дудин А.Н., Клименок В.И. Системы массового обслуживания с коррелирован- ными потоками. — Минск: БГУ, 2000. — 175 c. 22. Клименок В.И., Дудин А.Н. Условие эргодичности для одного класса много- мерных цепей Маркова. Теория вероятностей, мат. статистика и их прило- жения // Материалы науч. конф. — Минск: БГУ, 2004. — С. 47–53. 23. Neuts M. Matrix Geometric Solutions in Stochastic Models. Johns Hopkins Univer- sity Press. — Baltimore: 1981. — 332 p. 24. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1967. — 575 c. 25. Броди С.И., Погосян И.А. Вложенные стохастические процессы в теории мас- сового обслуживания. — Киев: Наук. думка, 1973. — 127 c. 26. Cinlar E. Introduction to stochastic processes. New Jersey: Prentice-Hall, 1975. — 400 p. 27. Neuts M.F. Structured Matrices of M/G/1 Type and Their Applications. — New York: Marcel Dekker, 1989. — 512 p. 28. Скороход А.В. Элементы теории вероятностей и случайных процессов. — Ки- ев: Высш. шк., 1980. — 344 с. Поступила 11.10.2004

Анализ системы со складом и коррелированным марковским групповым потоком заявок с разнотипными катастрофическими сбоями

Репозитарії

Схожі ресурси