Дослідження зовнішньої практичної стійкості диференціальних включень
Отримано умови належності точки до границі максимальної області початкових умов для задачі аналізу зовнішньої практичної стійкості незбуреного розв’язку диференціального включення. Наведено оптимальну функцію деформації та алгоритм побудови максимальної множини зовнішньої практичної стійкості для лі...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Системні дослідження та інформаційні технології |
|---|---|
| Дата: | 2006 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
2006
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/42178 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Дослідження зовнішньої практичної стійкості диференціальних включень / Ф.Г. Гаращенко, В.В. Пічкур // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2006. — № 2. — С. 72–83. — Бібліогр.: 23 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860219992080908288 |
|---|---|
| author | Гаращенко, Ф.Г. Пічкур, В.В. |
| author_facet | Гаращенко, Ф.Г. Пічкур, В.В. |
| citation_txt | Дослідження зовнішньої практичної стійкості диференціальних включень / Ф.Г. Гаращенко, В.В. Пічкур // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2006. — № 2. — С. 72–83. — Бібліогр.: 23 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Системні дослідження та інформаційні технології |
| description | Отримано умови належності точки до границі максимальної області початкових умов для задачі аналізу зовнішньої практичної стійкості незбуреного розв’язку диференціального включення. Наведено оптимальну функцію деформації та алгоритм побудови максимальної множини зовнішньої практичної стійкості для лінійного диференціального включення при опуклих фазових обмеженнях.
Получены условия принадлежности точки к границе максимальной области начальных условий для задачи анализа внешней практической устойчивости невозмущенного решения дифференциального включения. Приведены оптимальная функция деформации и алгоритм построения максимального множества внешней практической устойчивости для линейного дифференциального включения при выпуклых фазовых ограничениях.
The conditions for the point belonging to the frontier of the maximum domain of initial data have been obtained. In the case of linear differential inclusion and convex phase constraints, optimal deformation function and algorithm for building a maximum set of external practical stability are offered.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:18:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Ф.Г. Гаращенко, В.В. Пічкур, 2006
72 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 2
TIДC
МЕТОДИ ОПТИМІЗАЦІЇ, ОПТИМАЛЬНЕ
УПРАВЛІННЯ І ТЕОРІЯ ІГОР
УДК 517.925.51
ДОСЛІДЖЕННЯ ЗОВНІШНЬОЇ ПРАКТИЧНОЇ СТІЙКОСТІ
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ ВКЛЮЧЕНЬ
Ф.Г. ГАРАЩЕНКО, В.В. ПІЧКУР
Отримано умови належності точки до границі максимальної області початко-
вих умов для задачі аналізу зовнішньої практичної стійкості незбуреного
розв’язку диференціального включення. Наведено оптимальну функцію
деформації та алгоритм побудови максимальної множини зовнішньої прак-
тичної стійкості для лінійного диференціального включення при опуклих фа-
зових обмеженнях.
ВСТУП
Проблеми адекватності математичних моделей реальних процесів приводять
до необхідності аналізу динаміки систем в умовах невизначеності. Як пра-
вило, параметри об’єкту та початкові дані відомі з похибкою. Крім того, мо-
дель описує поведінку окремих характеристик явища, що означає наявність
постійно діючих збурень. Таким чином, виникає розкид правої частини та
початкових умов відповідної системи диференціальних рівнянь. Отже, при-
ходимо до постановки задачі стійкості незбуреного розв’язку диференціаль-
ного включення. У роботах [1–7] наведено теореми щодо неперервної зале-
жності від початкових умов і параметрів, умови існування розв’язку задачі
Коші, продовження розв’язку, структуру інтегральної воронки для ди-
ференціальних включень. Досліджено апроксимативні та асимптотичні
властивості розв’язків, розвивається метод усереднення [4–7]. Для систем з
розподіленими параметрами здійснюється узагальнення моделей до дифере-
нціальних включень у банахових просторах, до операторних включень, і для
них розв’язуються оптимізаційні задачі [4, 5, 8].
Один з сучасних підходів якісного дослідження динамічних систем по-
лягає в аналізі незбуреного розв’язку на фіксованому інтервалі часу при за-
даних фазових обмеженнях. Теорія практичної стійкості була започаткована
М.Г. Четаєвим [9] при дослідженні питання нестійкості руху і набула розви-
тку завдяки роботам [10–20]. Для динамічних систем виявлено два види
практичної стійкості — внутрішню і зовнішню.
ВЛАСТИВОСТІ МАКСИМАЛЬНОЇ МНОЖИНИ ПОЧАТКОВИХ УМОВ
Введемо позначення: )(comp nR — множина непорожніх компактів з nR ;
)(conv nR — множина непорожніх опуклих компактів з nR ; ⋅ — друга
Дослідження зовнішньої практичної стійкості диференціальних включень
Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 2 73
норма n -вимірного евклідового простору; S — одинична сфера; Aint , A∂ ,
εA { }Aaaxx ∈≤−= ,: ε , { }AxxA ⊆=>< εε : — відповідно множина внут-
рішніх точок, границя, ε -розширення та ε -звуження множини nRA ⊂ ;
),( ⋅⋅α — метрика Хаусдорфа; )( fΓ , )( f∆ — графік і трубка відображення
f ; )(co f
x
— обопуклення функції f за змінною x ; ),( ψAc — опорна фун-
кція множини nRA ⊂ , nR∈ψ [1, 21, 22].
Розглянемо диференціальне включення
),( txF
dt
dx
∈ , (1)
де nRx∈ — n -вимірний вектор фазових координат, багатозначне відобра-
ження ( ) ( )txFtxF ,,: задовольняє основним умовам [1, 2, 6], тобто є на-
півнеперервним зверху на D відображенням і ( ) )(conv, nRtxF ∈ , ( ) Dtx ∈, ,
D — замкнена область в 1+nR . Крім того, ( )tF ,00∈ , ],[ 0 Ttt∈ та викону-
ється умова Ліпшиця. Вона полягає у тому, що існує абсолютно неперервна
додатна функція )(tL , для якої vutLtvFtuF −≤ )()),(),,((α , Dtu ∈),( ,
Dtv ∈),( .
Нехай ),,( 00 txtX — множина досяжності (1), що відповідає початко-
вій умові 00 )( xtx = , ),,( 00 txtxx = — деякий розв’язок (1) за умови
00 )( xtx = , ),,( 00 txX ⋅ — множина розв’язків включення (1) за умови
00 )( xtx = , ),,(:)( 000 txtXtxX , ],[ 0 Ttt ∈ .
Задамо багатозначну функцію [ ] )(comp,: 0
nRTt →Φ , яка описує фазові
обмеження, при цьому графік ( ) D⊂ΦΓ , )(int0 tΦ∈ , ],[ 0 Ttt ∈ . Розглянемо
множину nRD ⊆0 , 00 D∈ .
Означення 1. Нульовий розв’язок диференціального включення (1) на-
зивається зовнішньо { }TttD ,),(, 00 Φ -стійким, якщо для довільної точки
00 Dx ∈ для будь-якого розв’язку ),,( 00 txx ⋅ диференціального включен-
ня (1) знайдеться момент ],[ 0 Ttt ∈ такий, що )(),,( 00 ttxtx Φ∈ .
Дослідимо властивості множини початкових даних, для якої мають мі-
сце умови зовнішньої практичної стійкості нульового розв’язку диференціа-
льного включення (1).
Означення 2. Якщо незбурений розв’язок (1) є зовнішньо
{ }TttD ,),(, 0* Φ -стійким згідно з означенням 1 і *0 DD ⊆ для всіх nRD ⊆0 ,
для яких виконується зовнішня { }TttD ,),(, 00 Φ -стійкість розв’язку 0)( =tx
диференціального включення (1), то сукупність nRD ⊆* називається мак-
симальною за включенням множиною зовнішньої практичної стійкості ну-
льового розв’язку (1) при фазових обмеженнях )(tΦ на відрізку ],[ 0 Tt .
Нехай відображення Φ є напівнеперервним зверху. Справедлива така
теорема.
Ф.Г. Гаращенко, В.В. Пічкур
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 2 74
Теорема 1. Множина )(comp*
nRD ∈ .
Доведення. Обмеженість випливає з того, що *D міститься у максима-
льній за включенням множині зовнішньої практичної слабкої стійкості, яка є
обмеженою [23]. Доведемо замкненість *D . Припустимо, що існує послідо-
вність *}{ Dxk ⊂ , для якої zxk =lim , ∞→k , *Dz ∉ . З означення 2 випли-
ває існування розв’язку ),,(),,( 00 tzXtzxx ⋅∈⋅= такого, що )(),,( 0 ttztx Φ∉ ,
],[ 0 Ttt ∈ . Оскільки ∅=ΦΓ∩Γ )()(x і )(ΦΓ — компакт, то знайдеться
0>λ , для якого ∅=ΦΓ∩Γ )()( λx . За теоремою про неперервну залеж-
ність розв’язку (1) від початкових умов [1, 6, 7], починаючи з деякого номе-
ра 0k , для 0kk ≥ існує ),,(),,( 00 tzXtxx k ⋅∈⋅ , для якого −),,( 0txtx k
λ≤− ),,( 0tztx , ],[ 0 Ttt ∈ . Отримали протиріччя між співвідношенням
∅=ΦΓ∩Γ )()( λx і умовою існування ],[ 0 Ttt ∈ такого, що ∈),,( 0txtx k
)(tΦ∈ . Теорему доведено.
Теорема 2. Якщо точка *0 Dx ∂∈ , то знайдеться розв’язок =x
),,(),,( 0000 txXtxx ⋅∈⋅= , для якого ∅≠ΦΓ∩Γ )()(x , /)(()( ΦΓ∩Γ x
∅=Φ∆ ))(/ .
Доведення. Якщо *0 Dx ∈ , то за означенням 2 для будь-якого розв’язку
),,(),,( 0000 txXtxxx ⋅∈⋅= можна вказати момент ],[ 0 Ttt ∈ і точку
),,( 00 txtxu = , яка належить )(tΦ . Множина Π таких точок ),( tu є ком-
пактом в 1+nR . Справді, обмеженість Π випливає з обмеженості )(ΦΓ , а
замкненість Π є наслідком замкненості ))(( 0xXΓ і компактності )(ΦΓ
[1,6,7]. Припустимо від супротивного, що усі точки Π∈),( tu є такими, що
не належать )(Φ∆ . Тоді у силу компактності Π виконується включення
)(tu Φ⊆σ для всіх Π∈),( tu при деякому 0>σ . За теоремою про непере-
рвну залежність розв’язків диференціального включення (1) від початкових
умов [1] існує 0>λ таке, що σ)),,((),,( 000 txtxtztx ∈ за умови λ)( 00 xz ∈ .
Це означає, що *0 )( Dx ⊂λ . А це суперечить *0 Dx ∂∈ . Теорему доведено.
Означення 3. Будемо говорити, що розв’язок ),,(),,( 0000 tzXtzxx ⋅∈⋅=
відтіняє відображення Φ , якщо ∅≠ΦΓ∩Γ )()(x та існує послідовність
розв’язків ),,( 0tzXx kk ⋅∈ , ,...2,1=k така, що xxk → у рівномірній метриці
і ∅=ΦΓ∩Γ )()( kx .
Розглянемо відображення )(: εε Dg , 0≥ε , де nRD ⊂)(ε є макси-
мальною за включенням множиною зовнішньої практичної стійкості
розв’язку 0)( =tx включення (1) при фазових обмеженнях )(t><Φ ε ,
],[ 0 Ttt ∈ . Тут ><Φ ε — ε -звуження відображення Φ , 0≥ε [21].
Теорема 3. Нехай знайдеться розв’язок ),,(),,( 0000 txXtxxx ⋅∈⋅= , для
якого ∅≠ΦΓ∩Γ )()(x , ∅=Φ∆ΦΓ∩Γ ))(/)(()(x . Тоді або *0 Dx ∂∈ , або
точка *0 Dx ∈ є захопленою відображенням g у точці 0 . Якщо цей
розв’язок відтіняє відображення Φ , то *0 Dx ∂∈ .
Дослідження зовнішньої практичної стійкості диференціальних включень
Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 2 75
Доведення. За означенням 3 )0(gD =∗ . Функція g є монотонно не-
спадною в околі точки 0=ε . При цьому )(0 εgx ∉ , 0>ε . Припустимо,
що для точки 0x існує розв’язок ),,(),,( 0000 txXtxxx ⋅∈⋅= , який відтіняє
відображення Φ . Тоді знайдеться послідовність 0xxk → , ),,( 0txXz kk ⋅∈ ,
...,2,1=k , для якої ∅=ΦΓ∩Γ )()( kz . Це означає, що *Dxk ∉ , ...,2,1=k , і
тому *0 Dx ∂∈ . Теорему доведено.
ЗОВНІШНЯ ПРАКТИЧНА СТІЙКІСТЬ ЛІНІЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ
ВКЛЮЧЕНЬ
Нехай багатозначне відображення )(conv],[: 0
nRTtU → є неперервним.
Розглянемо лінійне диференціальне включення
{ } )()( tUxtA
dt
dx
+∈ , ],[ 0 Ttt ∈ . (2)
Тут nRx∈ — n -вимірний вектор фазових координат, nntA ×−)( —
матриця з неперервними компонентами. Позначимо ),( 0ttΘ фундаменталь-
ну матрицю системи xtA
dt
dx )(= , нормовану за моментом 0tt = , 00 )( xtx = і
інтеграл ∫Θ=
t
t
dssUsttQ
0
)(),()( розуміється у сенсі Аумана [1]. За теоремою
Ляпунова [1] відображення )(: tQtQ є опуклозначним і неперервним на
відрізку ],[ 0 Tt . Крім того, { } )(),(),,( 0000 tQxtttxtX +Θ= [3].
Розглянемо задачу побудови максимальної множини зовнішньої прак-
тичної стійкості незбуреного розв’язку диференціального включення (2),
яку позначимо *D . Нехай відображення Φ є неперервним, опуклозначним і
виконується умова )(int)( ttQ Φ⊂ , ],[ 0 Ttt ∈ . Позначимо )(UΣ клас вимір-
них селекторів багатозначної функції U , )(int0 tU∈ , ],[ 0 Ttt ∈ . Справджу-
ється таке твердження.
Теорема 4. Множина *D є зірковою.
Доведення. Нехай ∗∈Dz . З означення 2 випливає, що для довільного
)(Uu Σ∈ існує ],[ 0 Ttt ∈ таке, що )()(),(),(
0
0 tdssustztt
t
t
Φ∈Θ+Θ ∫ . Оскільки
)(int0 tU∈ , то )(int0 tQ∈ , ],[ 0 Ttt ∈ . Виберемо довільне [ ]1,0∈λ . Тоді з
умови )(int)( ttQ Φ⊂ і опуклості )(tΦ випливає
+
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
Θ+Θ=Θ+Θ ∫∫
t
t
t
t
dssustzttdssustztt
00
)(),(),()(),())(,( 00 λλ
)()(),()1(
0
tdssust
t
t
Φ∈Θ−+ ∫λ .
Ф.Г. Гаращенко, В.В. Пічкур
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 2 76
Таким чином, ∗∈Dzλ , [ ]1,0∈λ . Теорему доведено.
Позначимо ∫Θ=
t
t
dssustutq
0
)(),(),( , )(Uu Σ∈ , )(: tUtU ∂∂ , ],[ 0 Ttt ∈ .
Критерій 1. Для того щоб точка *0 Dx ∂∈ , необхідно і достатньо, аби
справджувалась рівність
[ ]
1
),()),((
),(
maxminmax 00
,)( 0
=
−Φ
Θ
∈∈∂Σ∈ utqtc
xtt
T
T
STttUu ψψ
ψ
ψ
(3)
за умови
[ ]
( ) 0)),(()),((minmin
,0
>−Φ
∈∈
ψψ
ψ
tQctc
STtt
.
Доведення проведемо у два кроки.
Крок 1. Покажемо, що *0 Dx ∈ тоді і тільки тоді, коли
[ ]
1
),()),((
),(
maxminmax 00
,)( 0
≤
−Φ
Θ
∈∈∂Σ∈ utqtc
xtt
T
T
STttUu ψψ
ψ
ψ
. (4)
Для цього виберемо довільну точку *0 Dx ∈ . Яким би не був розв’язок
),,(),,( 0000 txXtxx ⋅∈⋅ , існує ],[ 0 Ttt∈ таке, що )(),,( 00 ttxtx Φ∈ . Це озна-
чає, що для будь-якого )(Uu Σ∈ знайдеться ],[ 0 Ttt ∈ , при якому для
довільного S∈ψ справджується нерівність ≤+Θ ),(),( 00 utqxtt TT ψψ
)),(( ψtc Φ≤ .
Тому за вказаних умов ),()),((),( 00 utqtcxtt TT ψψψ −Φ≤Θ . Оскільки
0),()),(( >−Φ utqtc Tψψ , ],[ 0 Ttt ∈ , S∈ψ , то для будь-якого )(Uu Σ∈ іс-
нує ],[ 0 Ttt ∈ таке, що
1
),()),((
),( 00 ≤
−Φ
Θ
utqtc
xtt
T
T
ψψ
ψ
, S∈ψ .
Звідси випливає нерівність
[ ]
1
),()),((
),(
maxminsup 00
,)( 0
≤
−Φ
Θ
∈∈Σ∈ utqtc
xtt
T
T
STttUu ψψ
ψ
ψ
. (5)
Оскільки ),0,( 0tX ⋅ є компакт у просторі )],,([ 0
nRTtC , то отримуємо
)(
sup
Uu Σ∈ [ ] STtt ∈∈ ψ
maxmin
,0
=
−Φ
Θ
),()),((
),( 00
utqtc
xtt
T
T
ψψ
ψ
[ ]
=
−Φ
Θ
=
∈∈⋅∈ )()),((
),(
maxminsup 00
,),0,( 00 txtc
xtt
T
T
STtttXx ψψ
ψ
ψ
[ ]
=
−Φ
Θ
=
∈∈⋅∈ )()),((
),(
maxminmax 00
,),0,( 00 txtc
xtt
T
T
STtttXx ψψ
ψ
ψ
Дослідження зовнішньої практичної стійкості диференціальних включень
Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 2 77
[ ] ),()),((
),(
maxminmax 00
,)( 0 utqtc
xtt
T
T
STttUu ψψ
ψ
ψ −Φ
Θ
=
∈∈Σ∈
. (6)
Для довільних ],[ 0 Ttt ∈ , S∈ψ розглянемо
),(max)),((
),(
),()),((
),(
max
)(
0000
)( utqtc
xtt
utqtc
xtt
T
Uu
T
T
T
Uu ψψ
ψ
ψψ
ψ
Σ∈
Σ∈ −Φ
Θ
=
−Φ
Θ
.
За властивостями інтегралу Аумана [1] ∫Θ
t
t
T dssUst
0
)(),(ψ є відрізок.
Тому існує на цьому відрізку максимальна точка. З означення інтеграла від
багатозначної функції слідує, що знайдеться селектор )(Uu Σ∈ , для якого
),()(),()(),(max
00
utqdssustdssUst T
t
t
T
t
t
T ψψψ ∫∫ =Θ=Θ .
З іншої сторони, )),(()(),(max
0
ψψ tQcdssUst
t
t
T =Θ∫ . Оскільки
∫∫ Θ∂=Θ=
t
t
T
t
t
T dsstsUcdsstsUctQc
00
)),(),(()),(),(()),(( ψψψ ,
то
),()),((
),(
max
),()),((
),(
max 00
)(
00
)( utqtc
xtt
utqtc
xtt
T
T
UuT
T
Uu ψψ
ψ
ψψ
ψ
−Φ
Θ
=
−Φ
Θ
∂Σ∈Σ∈
.
Оскільки для довільного ],[ 0 Ttt∈
[ ]
≤
−Φ
Θ
∈∈Σ∈ ),()),((
),(
maxminmax 00
,)( 0 utqtc
xtt
T
T
STttUu ψψ
ψ
ψ
=
−Φ
Θ
≤
∈Σ∈ ),()),((
),(
maxmax 00
)( utqtc
xtt
T
T
SUu ψψ
ψ
ψ
=
−Φ
Θ
Σ∈∈ ),()),((
),(
maxmax 00
)( utqtc
xtt
T
T
UuS ψψ
ψ
ψ
=
−Φ
Θ
=
Σ∈∈ ),()),((
),(
maxmax 00
)( utqtc
xtt
T
T
UuS ψψ
ψ
ψ
),()),((
),(
maxmax 00
)( utqtc
xtt
T
T
SUu ψψ
ψ
ψ −Φ
Θ
=
∈∂Σ∈
,
то
[ ]
≤
−Φ
Θ
∈∈Σ∈ ),()),((
),(
maxminmax 00
,)( 0 utqtc
xtt
T
T
STttUu ψψ
ψ
ψ
[ ] ),()),((
),(
maxminmax 00
,)( 0 utqtc
xtt
T
T
STttUu ψψ
ψ
ψ −Φ
Θ
≤
∈∈∂Σ∈
.
Ф.Г. Гаращенко, В.В. Пічкур
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 2 78
Але )()( UU Σ⊆∂Σ , тому
[ ]
≥
−Φ
Θ
∈∈Σ∈ ),()),((
),(
maxminmax 00
,)( 0 utqtc
xtt
T
T
STttUu ψψ
ψ
ψ
[ ] ),()),((
),(
maxminmax 00
,)( 0 utqtc
xtt
T
T
STttUu ψψ
ψ
ψ −Φ
Θ
≥
∈∈∂Σ∈
.
Остаточно отримуємо
)(
max
Uu Σ∈ [ ] STtt ∈∈ ψ
maxmin
,0
=
−Φ
Θ
),()),((
),( 00
utqtc
xtt
T
T
ψψ
ψ
)(
max
Uu ∂Σ∈
=
[ ] STtt ∈∈ ψ
maxmin
,0 ),()),((
),( 00
utqtc
xtt
T
T
ψψ
ψ
−Φ
Θ
. (7)
З (5), (6) і (7) випливає (4). І навпаки, якщо виконується (4), то має міс-
це (5). З (5) слідує, що для довільного )(Uu Σ∈ знайдеться ],[ 0 Ttt ∈ таке,
що для S∈ψ має місце нерівність )),((),(),( 00 ψψψ tcutqxtt TT Φ≤+Θ . За
властивостями опорних функцій це означає *0 Dx ∈ .
Крок 2. Нехай *0 Dx ∂∈ . Тоді за теоремою 2 існує )(Uu Σ∈ таке, що
при будь-якому ],[ 0 Ttt ∈ знайдеться S∈ψ , і має місце нерівність
)),((),(),( 00 ψψψ tcutqxtt TT Φ≥+Θ . Звідси отримуємо аналогічно до (4)
співвідношення
)(
max
Uu ∂Σ∈ [ ] STtt ∈∈ ψ
maxmin
,0
1
),()),((
),( 00 ≥
−Φ
Θ
utqtc
xtt
T
T
ψψ
ψ
. (8)
Таким чином, з (4), (8) випливає, що при *0 Dx ∂∈ виконується рів-
ність (3). Покажемо: якщо для деякої точки 0x справджується (3), то
*0 Dx ∂∈ . Оскільки має місце (7), то з (3) випливає, що для будь-якого
)(Uu Σ∈ існує ],[ 0 Ttt ∈ , для якого 1
),()),((
),( 00 ≤
−Φ
Θ
utqtc
xtt
T
T
ψψ
ψ
, S∈ψ . Оскі-
льки 0),()),(( >−Φ utqtc Tψψ , ],[ 0 Ttt ∈ , S∈ψ , то для деякого ],[ 0 Ttt ∈
справедлива нерівність )),((),(),( 00 ψψψ tcutqxtt TT Φ≤+Θ . Звідси *0 Dx ∈ .
Візьмемо 00 >= xm , Sxx ∈= 0/ . З формули (3) випливає
)(
max
Uu ∂Σ∈ [ ] STtt ∈∈ ψ
maxmin
,0 mutqtc
tt
T
T 1
),()),((
),( 0 =
−Φ
Θ
ψψ
ψ
.
Виберемо довільну послідовність mmr > , mmr → , ...,2,1=r .
Тоді
)(
max
Uu ∂Σ∈ [ ] STtt ∈∈ ψ
maxmin
,0 r
T
T
mutqtc
tt 1
),()),((
),( 0 >
−Φ
Θ
ψψ
ψ
, ...,2,1=r .
Дослідження зовнішньої практичної стійкості диференціальних включень
Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 2 79
Звідси
)(
max
Uu ∂Σ∈ [ ] STtt ∈∈ ψ
maxmin
,0
1
),()),((
),( 0 >
−Φ
Θ
utqtc
xtt
T
r
T
ψψ
ψ
, де rr mx = . З (4)
випливає *Dxr ∉ . Але 0xxr → , ...,2,1=r , тому *0 Dx ∂∈ . Критерій дове-
дено.
Наслідок 1. Функція деформації множини *D (оптимальна функція
деформації) задовольняє співвідношенню
[ ] ),(
),()),((minmaxmin)(
00),(,,)(*
00 tt
utqtck T
T
ttSTttUu T Θ
−Φ
=
>Θ∈∈∂Σ∈ ψ
ψψ
ψψ
, S∈ .
Тоді [ ]{ }SkkkxRxD n ∈∈=∈= ,)(,0,: ** — строго зіркова множина.
Наслідок 2. Функція
[ ] ),()),((
),(
maxminmax)( 0
,)( 0 utqtc
ztt
z T
T
STttUu ψψ
ψ
ξ
ψ −Φ
Θ
=
∈∈∂Σ∈
є визначаючою для *D . При цьому має місце умова локальності віднос-
но *D .
Доведення. Те, що функція ξ є визначаючою для *D , випливає з дове-
дення критерію 1. Доведемо умову локальності. Візьмемо послідовність
0→kω , ...,2,1=k і точку nRz∈ таку, що kz ωξ +≤ 1)( . З наслідку 1 кри-
терію 1 випливає, що kkz ε+≤ )(* , де zz /= , )(max *k
S
kk
∈
= ωε ,
0+→kε , ...,2,1=k . Звідси ])(,0[ * kkzz ε+∈= . Оскільки ** )( Dk ∈ та
kkz ε))(( *∈ , то kDz ε)( *∈ . Наслідок доведено.
Теорема 5. Опорна функція множини *D має вигляд
[ ]
( )),(),()),(),((maxminco),( 00
,)(
*
0
utqtttttcDc TT
TttUu
Θ−ΘΦ=
∈Σ∈
ψψψ
ψ
, nR∈ψ .
Доведення. Візьмемо довільну точку *0 Dx ∈ . Тоді за означенням 2
для будь-якого ),,( 00 txXx ⋅∈ знайдеться момент ],[ 0 Tt∈τ такий, що
)(),,( 00 ττ Φ∈txx . Це означає: для довільного селектора )(Uu Σ∈ існує
],[ 0 Tt∈τ , при якому )(),(),( 00 τττ Φ∈+Θ uqxt . За властивостями опорних
функцій [1] для всіх nR∈ξ виконується нерівність ≤Θ 00 ),( xtT τξ
),()),(( uqc T τξξτ −Φ≤ . Здійснюємо заміну ξτψ ),( 0t
TΘ= .
Тоді
),(),()),(),(( 000 uqttcx TTT ττψξττψ Θ−ΘΦ≤ .
Таким чином, для будь-якого )(Uu Σ∈
[ ]
( )),(),()),(),((max 00
,
0
0
utqtttttcx TT
Ttt
T Θ−ΘΦ≤
∈
ψξψ .
Звідси отримуємо
Ф.Г. Гаращенко, В.В. Пічкур
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 2 80
[ ]
( )),(),()),(),((maxmin 00
,)(
0
0
utqtttttcx TT
TttUu
T Θ−ΘΦ≤
∈Σ∈
ψξψ .
За означенням обопуклення функції [22]
[ ]
( )),(),()),(),((maxminco 00
,)(
0
0
utqtttttcx TT
TttUu
T Θ−ΘΦ≤
∈Σ∈
ψξψ
ψ
.
З властивостей опорних функцій [1] випливає, що
[ ]
( )),(),()),(),((maxminco)( 00
,)( 0
utqtttttch TT
TttUu
Θ−ΘΦ=
∈Σ∈
ψψψ
ψ
є опорною для множини *D . Теорему доведено.
Теорема 6. Нехай сукупність )(* pD є максимальною за включенням
множиною зовнішньої практичної стійкості (2) при фазових обмеженнях,
що задаються неперервним опуклозначним відображенням ),(: ptΘ
),( ptΦ , ),()( pttQ Φ⊂ , ],[ 0 Ttt ∈ , Pp∈ , mRP ⊆ — замкнена область.
Тоді відображення )(: * pDpF компактозначне і неперервне, Pp∈ .
Якщо існує 0>ε , для якого ( ) ),(),( qtpt Φ⊆Φ ε , Pp∈ , Pq∈ , ],[ 0 Ttt ∈ , то
)(int)( ** qDpD ⊆ .
Доведення. Функція
)(
max),(
Uu
pz
∂Σ∈
=ξ
[ ] STtt ∈∈ ψ
maxmin
,0 ),()),,((
),( 0
utqptc
ztt
T
T
ψψ
ψ
−Φ
Θ
є неперервною. Справді,
)(
max),(
Uu
pz
∂Σ∈
=ξ
[ ] STtt ∈∈ ψ
maxmin
,0
=
−Φ
Θ
),()),,((
),( 0
utqptc
ztt
T
T
ψψ
ψ
).0,( 0
max
tXx ⋅∈
=
[ ] STtt ∈∈ ψ
maxmin
,0 )()),,((
),( 0
txptc
ztt
T
T
ψψ
ψ
−Φ
Θ
.
Оскільки ),0,( 0tX ⋅ є компактом у просторі )],,([ 0
nRTtC , то ),( pzξ є
неперервною [2]. Тоді з критерію 1 випливає, що ),( pzξ — визначаюча для
множини )(* pD . За властивостями визначаючої функції відображення F є
неперервним. Доведемо монотонність. З ( ) ),(),( qtpt Φ⊆Φ ε випливає
)),,(()),,(( ψεψ qtcptc Φ≤+Φ , S∈ψ . Позначимо
ztt
utqptcpztuf T
T
),(
),()),,((),,,,(
0Θ
−Φ
=
ψ
ψψ
ψ , 0),( 0 >Θ zttTψ .
Тоді
1
00 ),(
),()),,((
),(
),()),,((),,,,( ε
ψ
ψψ
ψ
ψεψ
ψ +
Θ
−Φ
=
Θ
−+Φ
≥
ztt
utqptc
ztt
utqptcqztuf T
T
T
T
,
де
zttT ),( 0
1
Θ
=
ψ
εε .
Дослідження зовнішньої практичної стійкості диференціальних включень
Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 2 81
Таким чином, 1),,,,(),,,,( εψψ +≥ pztufqztuf .
Звідси
1111 ),,(),,,,(min),,,,(min),,( εεψψ
ψψ
+=+≥=
∈∈
ptufpztufqztufqtuf
SS
.
Нехай ),,(maxarg* 1
],[ 0
ptuft
Ttt∈
= . Справджується нерівність
11
],[
111 ),,(max)*,,()*,,(
0
εε +=+≥
∈
ptufptufqtuf
Ttt
і 11
],[
1
],[
),,(max),,(max
00
ε+≥
∈∈
ptufqtuf
TttTtt
.
Остаточно отримуємо
),,(maxmin),,(maxmin 1
],[)(
1
],[)( 00
ptufqtuf
TttUuTttUu ∈∂Σ∈∈∂Σ∈
> .
Звідси ),(),( qzpz ξξ > . З критерію 1 випливає: якщо )(* pDz ∂∈ , то
)(int * qDz∈ . Наслідок доведено.
Теорема 7. Нехай Φ є неперервною і опуклозначною функцією на
інтервалі ],[ Tt . Припустимо, що відображення θ ставить у відповідність
значенням початкового і кінцевого моментів часу ],[0 Ttt ∈ , ],[ TtT ∈ мак-
симальну за включенням множину зовнішньої практичної стійкості незбу-
реного розв’язку диференціального включення (2) на відрізку ],[ 0 Tt , тобто
*0 ),( DTt =θ . Тоді відображення θ є неперервним, ),(),( 2010 TtTt θθ ⊇ ,
],[ 201 TtT ∈ , ],[ 02 TtT ∈ .
Доведення наслідку випливає з неперервності функції
[ ] ),()),,((
),(
maxminmax),,( 0
,)(
0
0 utqptc
ztt
Ttz T
T
STttUu ψψ
ψ
ξ
ψ −Φ
Θ
=
∈∈∂Σ∈
.
Теорему доведено.
Алгоритм
Вводимо сітки { }Ttkittttt kiik =−=<= + ,1,...,1,0,:,...,, 110α , S⊂ω ,
)()( tUt ∂⊂γ , α∈t . Сітку )(tγ можна побудувати, виходячи з опорної фун-
кції )),(( ψtUc , S∈ψ . Для цього застосуємо рівність 1
)),((
max =
∈ ψ
ψ
ψ tUc
uT
S
,
)(tUu ∂∈ . Тоді { }ωλγ ∈== ,)(:)( ii uut , де T
tUc
T ψ
ψ
λ
ψωψ
)),((min)(
0, >∈
= ,
ω∈ .
Крок 1. Обчислюємо фундаментальну матрицю ),( τtΘ , α∈t , ατ ∈ ,
задаємо опорну функцію )),(( ψtc Φ , S∈ψ . Формуємо множину
}1,...,1,0),(:),...,,{( 110 −=∈= − kituuuuW iik γ
Ф.Г. Гаращенко, В.В. Пічкур
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 2 82
і функцію ∑
=
Θ=
i
r
rrrii huttwtq
0
),(),( , де rrr tth −= +1 , ir ,...,1,0= , ,...1,0=i
1..., −k , Wuuuw k ∈= − ),...,,( 110 .
Крок 2. Перевіряємо нерівність
ωψα ∈∈
minmin
t
( ) 0)),(()),(( >−Φ ψψ tQctc .
Якщо вона порушується, то переходимо на крок 5.
Крок 3. Для кожного ω∈ знаходимо
),(
),()),((minmaxmin)(
00),(, 0 tt
utqtck T
T
tttWw T Θ
−Φ
=
>Θ∈∈∈ ψ
ψψ
ψωψα
.
Крок 4. Будуємо множину { }ω∈∈=∈= ,)](,0[,: kkkxRxD n , яка
апроксимує *D .
Крок 5. Вихід.
Розглянемо приклад застосування критерію 1.
Приклад. Нехай фазові обмеження задаються формулою
}1|)(|max:{)(
,...,2,1
≤∈=Φ
=
xtRxt T
k
nk
n ,
де )(tk — n -вимірні неперервні вектор-функції, [ ]Ttt ,0∈ , nk ,...,2,1= ,
{ } ntk =)(rang . Тоді ∑
=
=Φ
n
i
T
i tgtc
1
)()),(( ψψ . Тут матриця ( ×= )()( 1 ssL
))()(2 ss n…× , )(tgk — n -вимірні неперервні вектор-функції, [ ]Ttt ,0∈ ,
nk ,...,2,1= такі, що ( ) T
n sLsgsgsg ))(()()()( 1
21
−=… . Тоді з (8) випливає,
що оптимальна функція деформації має вигляд
[ ] ),(
),()(
minmaxmin)(
0
1
0),(,,)(
*
00 tt
utqtg
k T
T
n
i
T
i
ttSTttUu T Θ
−
=
∑
=
>Θ∈∈∂Σ∈ ψ
ψψ
ψψ
, S∈ .
Припустимо відображення U задається співвідношенням
( ){ }nitruRutU ii
n ,...,2,1,:)( =≤∈= .
Тут функції ( ) 0>tri є неперервними, ],[ 0 Ttt ∈ , ni ,...,2,1= . Тоді сітку
)(tγ в алгоритмі 1 можна побудувати за допомогою функції
T
n
i
ii tr
T ψ
ψ
λ
ψωψ
∑
=
>∈
= 1
0,
)(
min)( , ω∈ .
Таким чином, у статті проведено дослідження властивостей оптималь-
ної за включенням множини зовнішньої практичної стійкості диференціаль-
ного включення і побудовано алгоритм знаходження цієї множини для лі-
нійного включення. Результати дослідження в перспективі можуть бути
розповсюдженими на задачі зовнішньої практичної стійкості динамічних
систем при постійно діючих збуреннях.
Дослідження зовнішньої практичної стійкості диференціальних включень
Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 2 83
ЛІТЕРАТУРА
1. Благодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и опти-
мальное управление // Тр. МИАН. — 1985. — 169. — С. 194–252.
2. Гаращенко Ф.Г., Пічкур В.В. Вступ до аналізу та оптимізації структурно заданих
систем: Навчальний посібник. — Київ: КНУ ім. Т. Шевченка, 2003. — 113 с.
3. Панасюк А.И., Панасюк В.И. Асимптотическая магистральная оптимизация
управляемых систем. — Минск: Наука и техника, 1986. — 296 с.
4. Плотников В.А., Плотников А.В., Витюк А.Н. Дифференциальные уравнения с
многозначной правой частью. Асимптотические методы. — Одесса:
АстроПринт, 1999. — 354 с.
5. Толстоногов А.А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. —
Новосибирск: Наука, 1986. — 295с.
6. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. —
М.: Наука, 1985. — 224 с.
7. Aubin J.-P., Frankowska H. Set-valued analysis. — Boston: Birkhäuser. — 1990. —
462 p.
8. Згуровский М.З., Мельник В.С. Нелинейный анализ и управление бесконечно-
мерными системами. — Київ: Наук. думка, 1999. — 630 с.
9. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. —
М.: Изд-во АН СССР, 1962. — 535 с.
10. Башняков О.М., Гаращенко Ф.Г., Пічкур В.В. Практична стійкість та структур-
на оптимізація динамічних систем. — Київ: КНУ ім. Т. Шевченка, 2000. —
197 с.
11. Бублик Б.Н., Гаращенко Ф.Г., Кириченко Н.Ф. Структурно-параметрическая
оптимизация и устойчивость динамики пучков. — Київ: Наук. думка, 1985.
— 304 с.
12. Гаращенко Ф.Г., Панталієнко Л.А. Аналіз та оцінка параметричних систем. —
Київ: ІСДО, 1995. — 140 с.
13. Еругин Н.П. Некоторые общие вопросы теории устойчивости движения // При-
кладная математика и механика. — 1951. — 15, вып. 2. — С. 227–236.
14. Карачаров К.А., Пилютик А.Г. Введение в техническую теорию устойчивости
движения. — М.: Физматиздат, 1962. — 244 с.
15. Кириченко Н.Ф. Введение в теорию стабилизации движения. — Київ: Выща
шк., 1978. — 184 с.
16. Лебедев А.А. К задаче об устойчивости движения на конечном интервале време-
ни // Прикладная математика и механика. — 1954. — 18, вып.1. — С. 75–94.
17. Мартынюк А.А. Практическая устойчивость движения. — Київ: Наук. думка,
1983. — 248 с.
18. Michel A.N., Porter D.W. Practical stability and finite-time stability // IEEE Trans.
Circuit. Theory. — 1972. — 19, № 2. — P. 123–129.
19. Weiss L., Infante E.F. On the stability of systems defined over finite time interval //
Proc. National Acad. Science — 1965. — 54, № 1. — P. 44–48.
20. Weiss L., Infante E.F. Finite time stability under pertrubing forces on product spaces
// IEEE Trans. On Automat. Cont. — 1967. — 12, № 1. — P. 54–59.
21. Пічкур В.В. Властивості трубки багатозначної функції // Вісн. Київського ун-
ту. Сер. фіз.-мат. науки. — 2003. — Вип. 3. — С. 253–256.
22. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи.— М.: Наука, 1980.
— 319 с.
23. Гаращенко Ф.Г., Пичкур В.В. Свойства оптимальных множеств внешней прак-
тической слабой устойчивости дифференциальных включений // Проблемы
управления и информатики. — 2004. — № 1. — С. 5–16.
Надійшла 16.05.2005
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-42178 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1681–6048 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:18:09Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гаращенко, Ф.Г. Пічкур, В.В. 2013-03-11T12:40:40Z 2013-03-11T12:40:40Z 2006 Дослідження зовнішньої практичної стійкості диференціальних включень / Ф.Г. Гаращенко, В.В. Пічкур // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2006. — № 2. — С. 72–83. — Бібліогр.: 23 назв. — укр. 1681–6048 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/42178 517.925.51 Отримано умови належності точки до границі максимальної області початкових умов для задачі аналізу зовнішньої практичної стійкості незбуреного розв’язку диференціального включення. Наведено оптимальну функцію деформації та алгоритм побудови максимальної множини зовнішньої практичної стійкості для лінійного диференціального включення при опуклих фазових обмеженнях. Получены условия принадлежности точки к границе максимальной области начальных условий для задачи анализа внешней практической устойчивости невозмущенного решения дифференциального включения. Приведены оптимальная функция деформации и алгоритм построения максимального множества внешней практической устойчивости для линейного дифференциального включения при выпуклых фазовых ограничениях. The conditions for the point belonging to the frontier of the maximum domain of initial data have been obtained. In the case of linear differential inclusion and convex phase constraints, optimal deformation function and algorithm for building a maximum set of external practical stability are offered. uk Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України Системні дослідження та інформаційні технології Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор Дослідження зовнішньої практичної стійкості диференціальних включень Исследование внешней практической устойчивости дифференциальных включений Analysis of external practical stability of differential inclusions Article published earlier |
| spellingShingle | Дослідження зовнішньої практичної стійкості диференціальних включень Гаращенко, Ф.Г. Пічкур, В.В. Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор |
| title | Дослідження зовнішньої практичної стійкості диференціальних включень |
| title_alt | Исследование внешней практической устойчивости дифференциальных включений Analysis of external practical stability of differential inclusions |
| title_full | Дослідження зовнішньої практичної стійкості диференціальних включень |
| title_fullStr | Дослідження зовнішньої практичної стійкості диференціальних включень |
| title_full_unstemmed | Дослідження зовнішньої практичної стійкості диференціальних включень |
| title_short | Дослідження зовнішньої практичної стійкості диференціальних включень |
| title_sort | дослідження зовнішньої практичної стійкості диференціальних включень |
| topic | Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор |
| topic_facet | Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/42178 |
| work_keys_str_mv | AT garaŝenkofg doslídžennâzovníšnʹoípraktičnoístíikostídiferencíalʹnihvklûčenʹ AT píčkurvv doslídžennâzovníšnʹoípraktičnoístíikostídiferencíalʹnihvklûčenʹ AT garaŝenkofg issledovanievnešneipraktičeskoiustoičivostidifferencialʹnyhvklûčenii AT píčkurvv issledovanievnešneipraktičeskoiustoičivostidifferencialʹnyhvklûčenii AT garaŝenkofg analysisofexternalpracticalstabilityofdifferentialinclusions AT píčkurvv analysisofexternalpracticalstabilityofdifferentialinclusions |