Цілі функції із заданим зростанням їх характеристик
Доведено існування цілих функцій як скінченного, так і нескінченного порядку із заданим зростанням їх характеристик. Нові моменти полягають у розгляді асимптотики логарифма модуля цілої функції в інтегральних метриках та застосуванні апроксимаційних теорем. We prove the existence of entire functions...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/43723 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Цілі функції із заданим зростанням їх характеристик / М.О. Гiрник // Доп. НАН України. — 2011. — № 10. — С. 7-12. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-43723 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Гірник, М.О. 2013-05-15T15:48:14Z 2013-05-15T15:48:14Z 2011 Цілі функції із заданим зростанням їх характеристик / М.О. Гiрник // Доп. НАН України. — 2011. — № 10. — С. 7-12. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/43723 517.53 Доведено існування цілих функцій як скінченного, так і нескінченного порядку із заданим зростанням їх характеристик. Нові моменти полягають у розгляді асимптотики логарифма модуля цілої функції в інтегральних метриках та застосуванні апроксимаційних теорем. We prove the existence of entire functions of finite and infinite orders having a prescribed growth of their characteristics. We consider the asymptotics of the logarithm of the modulus of such entire functions in integral metrics. Our approach consists in the usage of approximation theorems. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Цілі функції із заданим зростанням їх характеристик Entire functions with prescribed growth of their characteristics Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Цілі функції із заданим зростанням їх характеристик |
| spellingShingle |
Цілі функції із заданим зростанням їх характеристик Гірник, М.О. Математика |
| title_short |
Цілі функції із заданим зростанням їх характеристик |
| title_full |
Цілі функції із заданим зростанням їх характеристик |
| title_fullStr |
Цілі функції із заданим зростанням їх характеристик |
| title_full_unstemmed |
Цілі функції із заданим зростанням їх характеристик |
| title_sort |
цілі функції із заданим зростанням їх характеристик |
| author |
Гірник, М.О. |
| author_facet |
Гірник, М.О. |
| topic |
Математика |
| topic_facet |
Математика |
| publishDate |
2011 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Entire functions with prescribed growth of their characteristics |
| description |
Доведено існування цілих функцій як скінченного, так і нескінченного порядку із заданим зростанням їх характеристик. Нові моменти полягають у розгляді асимптотики логарифма модуля цілої функції в інтегральних метриках та застосуванні апроксимаційних теорем.
We prove the existence of entire functions of finite and infinite orders having a prescribed growth of their characteristics. We consider the asymptotics of the logarithm of the modulus of such entire functions in integral metrics. Our approach consists in the usage of approximation theorems.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/43723 |
| citation_txt |
Цілі функції із заданим зростанням їх характеристик / М.О. Гiрник // Доп. НАН України. — 2011. — № 10. — С. 7-12. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT gírnikmo cílífunkcííízzadanimzrostannâmíhharakteristik AT gírnikmo entirefunctionswithprescribedgrowthoftheircharacteristics |
| first_indexed |
2025-11-25T17:13:56Z |
| last_indexed |
2025-11-25T17:13:56Z |
| _version_ |
1850518668555845632 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
10 • 2011
МАТЕМАТИКА
УДК 517.53
© 2011
М. О. Гiрник
Цiлi функцiї iз заданим зростанням їх характеристик
(Представлено членом-кореспондентом НАН України Б. Й. Пташником)
Доведено iснування цiлих функцiй як скiнченного, так i нескiнченного порядку iз зада-
ним зростанням їх характеристик. Новi моменти полягають у розглядi асимптотики
логарифма модуля цiлої функцiї в iнтегральних метриках та застосуваннi апроксима-
цiйних теорем.
Застосовуємо стандартнi позначення i основнi факти теорiї потенцiалу [1] та теорiї розпо-
дiлу значень мероморфних функцiй [2, 3]. Наведемо деякi з них. Позначаємо буквами C
з iндексами додатнi сталi, log+ x := max(x, 0). Для цiлої функцiї позначаємо через
M(r, f) := max{|f(z)| : |z| = r}, T (r, f) :=
1
2π
2π
∫
0
log+ |f(reiϕ)| dϕ,
mq(r, log |f |) := ‖ log |f(reiϕ)|‖Lq [0,2π] =
(
1
2π
2π
∫
0
log |f(reiϕ)|qdϕ
)1/q
(q > 1).
Порядок ρ = ρ[V ] неспадної функцiї V : [0,∞) → [0,∞) означується за формулою
ρ = lim sup
r→∞
log V (r)
log r
.
Як вiдомо (див. [1, с. 31]), функцiя V (r), V (0) = 0, опукла вiдносно log r, зображується
у виглядi
V (r) =
r
∫
0
v(t)
t
dt,
де v(t) — неспадна на [0,∞) функцiя. У цiй роботi доводиться така теорема.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №10 7
Теорема. Нехай опукла вiдносно логарифма неспадна на [0,∞) функцiя V (r) у випадку
ρ[V ] = ∞ задовольняє умову
v(r) 6 rV (r) log3/2 V (r). (1)
Тодi iснує цiла функцiя f(z), для якої виконуються спiввiдношення
logM(r, f) ∼ T (r, f) ∼ mq(r, log |f |) ∼ V (r) ∼ N(r, a, f) ∼ V (r), r → ∞, a ∈ C. (2)
Прокоментуємо змiст теореми 1. Дж. Коварi [4] та Дж. Клунi i Т. Коварi [5] для довiльної
опуклої вiдносно логарифма неспадної функцiї V : [0,∞) → [0,∞) побудували приклад цiлої
функцiї g з такими властивостями:
logM(r, g) ∼ T (r, g) ∼ V (r) ∼ N(r, a, g) ∼ V (r), r → ∞, a ∈ C, (3)
однак в їх результатах вiдсутнє спiввiдношення mq(r, log |f |) ∼ V (r), r → ∞, яке стано-
вить iнтерес з огляду на застосування методу рядiв Фур’є до мероморфних функцiй [6].
О. Бродяк [7] довела iснування цiлої функцiї h, для якої logM(r, h) ∼ T (r, h) ∼ V (r) ∼
∼ N(r, g) ∼ logmq(r, |h|) ∼ m2(r, log |h|) ∼ V (r), r → ∞, за умови, що для довiльного ε > 0
iснує таке r0, що при r > r0 виконується
v((1 + ε)r) 6 ε
√
v(r)V (r)
log v(r)
, (4)
а v(r) — неперервна i строго зростаюча функцiя. Зазначимо, що умова (1) простiша за
умову (4). Також функцiя v(r) := exp(er) (тодi має мiсце V (r) ∼ exp(er − r)/r, r → ∞, що
легко показати за правилом Лопiталя) задовольняє умову (1) i не задовольняє умову (4).
Дiйсно, запишемо (4) для цiєї функцiї
exp(e(1+ε)r) 6 ε exp
(
er
2
)
exp(er − r)/(r exp r) = ε exp
(
3
2
er − 2r
)
r
.
Логарифмуючи, отримуємо нерiвнiсть (er)1+ε
6
3
2
er−2r+log ε− log r, що неможливо, якщо
r достатньо велике число. Далi, з умови (4) при ε = 1, з врахуванням нерiвностi
V (r) =
r
∫
1
v(t)
t
dt+
1
∫
0
v(t)
t
dt 6 v(r) log r + C,
маємо
v(2r) 6
√
v(r)v(r) log r +C
log v(r)
.
Звiдси log v(2r) 6
3
2
log v(r) + o(log v(r)), r → ∞, отже, порядок функцiї log v(r) скiнчен-
ний. Ми встановили, що умова (4) накладає сильнi обмеження на зростання функцiї V (r).
Дж. Коварi та Т. Клунi застосували апарат степеневих рядiв, О. Бродяк використала ка-
нонiчнi добутки, наша побудова базується на апроксимацiї субгармонiчних функцiй.
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №10
Доведення теореми 1. Покладемо u(z) := V (|z|). З теореми 2.2 [1] випливає, що u(z) —
субгармонiчна в C, це твердження легко доводиться i безпосередньо. Розрiзнятимемо ви-
падки скiнченного i нескiнченного порядкiв. Якщо ρ[V ] < ∞, то з апроксимацiйної теореми
Юлмухаметова [8, теорема 5] одержуємо, поклавши в нiй α = ρ+1, що iснують цiла функцiя
f(z), стала C(ρ) та виняткова множина S такi, що
| log |f(z)| − V (|z|)| 6 C(ρ) log |z|, z /∈ S, (5)
i (див. [8, зауваження на с. 275 та доведення теорем 4 i 5])
log |f(z)| 6 V (|z|) + C(ρ) log |z|, z /∈ S1, (6)
де
S = S1
⋃
S2 ⊂
⋃
j
{z : |z − zj | < rj},
∑
|zj |>R
rj = o(R−1), R → ∞. (7)
Зазначимо (див. [8, с. 278]), що виняткова множина S1 складається з точок, якi не є нор-
мальними вiдносно мiри Рiса субгармонiчної функцiї V (|z|), а виняткова множина S2 скла-
дається з точок, якi не є (|z|α, |z|−α) нормальними вiдносно мiри Рiса функцiї log |f(z)|.
З радiальної симеричностi функцiї випливає, що для неї множина S1
⋂{z : |z| = R} порожя,
коли R > R0. Дiйсно, якщо якась точка кола {z : |z| = R} не є (|z|α, |z|−α) нормальною, то
такими є всi точки цього кола, а це суперечить (7). Отже, зi спiввiдношення (6) випливає
logM(r, f) 6 V (r) + o(V (r)), r → ∞,
а зi спiввiдношення (5) з урахуванням (7) маємо
logM(r, f) > V (r) + o(V (r)), r → ∞.
Таким чином,
logM(r, f) ∼ V (r) + o(V (r)), r → ∞. (8)
Далi, для цiєї ж цiлої функцiї f(z) в [9] доведена апроксимацiя в iнтегральнiй метрицi
Lq[0, 2π]
‖V (reiϕ)− log |f(reiϕ)|‖Lq [0,2π] = O(log r), r → ∞,
з якої з урахуванням нерiвностi | log+ |x| − log+ |y| | 6 | log |x| − log |y| | та нерiвностi трикут-
ника для норми ‖ · ‖Lq [0,2π] випливає спiввiдношення
T (r, f) ∼ mq(r, log |f | ∼ V (r), r → ∞. (9)
Тепер оцiнимо
m(r, a, f) =
1
2π
2π
∫
0
log+
1
|f(reiϕ)− a|dϕ =
=
1
2π
∫
E1={ϕ:reiϕ /∈S}
log+
1
|f(reiϕ)− a|dϕ+
1
2π
∫
E2={ϕ:reiϕ∈S}
log+
1
|f(reiϕ)− a|dϕ, (10)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №10 9
де S — виняткова множина з (7). З (5) випливає, що для достатньо великих значень r
виконується нерiвнiсть
|f(reiϕ)− a| > exp
(
1
2
V (r)
)
> 1, z /∈ S,
тому
∫
E1
log+
1
|f(reiϕ)− a|dϕ = 0. (11)
Для оцiнки другого iнтеграла в (10) застосуємо теорему Едрея–Фукса [2, теорема 7.3]
з δ = mes(E2) < r−2 i k = 2. Тодi одержимо, що
∫
E2
log+
1
|f(reiϕ)− a|dϕ 6
12
r2
log(2πer2)T (2r, f − a) = o(V (r)), r → ∞. (12)
З (10)–(12) випливає, що m(r, a, f) = o(V (r)), r → ∞, i за першою основною теоремою теорiї
розподiлу значень N(r, a, f)+m(r, a, f) = T (r, f)+O(1), r → ∞, має мiсце N(r, a, f) ∼ V (r),
r → ∞, a ∈ C.
Переходимо до розгляду випадку нескiнченного порядку ρ[V ] = ∞. У цьому випадку
застосуємо до V (|z|) апроксимацiйну теорему з [10, теорема 2], поклавши в нiй ε = 1,
i одержимо, що iснують цiла функцiя f(z), стала C i множини S = S1
⋃
S2 та L ⊂ R,
mes(L) < ∞, такi, що
| log |f(z)| − V (|z|)| 6 C(log |z|+ log V (|z|), z /∈ S ⊂
⋃
j
{z : |z − zj | < rj},
log |f(z)| 6 V (|z|) + C(log |z|+ log V (|z|), z /∈ S1,
(13)
∑
R6|zj |<R+(log V (R))−1
rj = o(V (R)−1), R → ∞, R /∈ L, (14)
Зазначимо, що множина S1 складається з (V (|z|)1+ε, V (|z|)−1−ε) нормальних точок вiднос-
но мiри Рiса функцiї V (|z|), а множина S2 — з (V (|z|)1+ε, V (|z|)−1−ε) нормальних точок
вiдносно мiри Рiса функцiї log |f(z)|. Поява виняткової множини L пов’язана iз застосуван-
ням такого варiанта теореми Бореля–Неванлiнни [3, с. 120; 11] (у роботi [11] знято умову
неперервностi функцiї V (r)):
Нехай на [r0,∞) задана неспадна функцiя V (r) → +∞, r → ∞ i ε > 0. Тодi для всiх
r > r0, крiм, можливо, множини L скiнченної мiри, виконується нерiвнiсть
V
(
r +
2
log V (r)
)
< V (r)1+ε ⇔ log V
(
r +
2
log V (r)
)
< (1 + ε) log V (r). (15)
Покажемо, що виконання умови (1) гарантує вiдсутнiсть виняткової множини L в (14).
Дiйсно, розглянемо рiзницю
1
log V (r)
− 1
log V (r + 2/ log V (r))
= −
r+2/ log V (r)
∫
r
(log−1/2 V (t))′dt =
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №10
=
1
2
r+2/ logV (r)
∫
r
log−3/2 V (t)
v(t)/t
V (t)
dt =
1
2
r+2/ log V (r)
∫
r
v(t) log−3/2 V (t)
tV (t)
dt 6
6
1
2
r+2/ logV (r)
∫
r
1dt =
1
log V (r)
.
Звiдси випливає нерiвнiсть
1−
√
log V (r)
log V (r + 2/ log V (r))
6
1
√
log V (r)
6 δ := 1− 1√
ε+ 1
для r > r0(δ), а
√
log V (r)
log V (r + 2/ log V (r))
> 1− δ ⇔ log V
(
r +
2
log V (r)
)
6
1
(1− δ)2
log V (r) =
= (1 + ε) log V (r).
Тепер такими ж мiркуваннями, як при виведеннi асимптотики (8) з апроксимацiйних
оцiнок (5)–(7), з оцiнок (13) i (14) одержуємо асимптотику
logM(r, f) ∼ V (r), r → ∞, (16)
без виняткової множини.
Для цiєї ж цiлої функцiї f(z) в [9, с. 135] доведено наближення в iнтегральнiй метрицi
Lq[0, 2π]
‖V (reiϕ)− log |f(reiϕ)|‖Lq [0,2π] 6
6 C(1 + log s(r) + log r + V (r + 3s(r))
(
2s(r)
r
+ 1
)1/q(
log
r
s(r)
+ 1
)
, (17)
де s(r) — додатна незростаюча на [0,∞) функцiя. Покладемо s(r) := V (r)−2q в (17), тодi,
враховуючи (15), маємо
T (r, f) ∼ mq(log |f |, r) ∼ V (r), r → ∞.
Подiбно, замiсть (12) запишемо (δ := r−1V (r)−1, k := (r + log−1 V (r))/r)):
∫
E2
log+
1
|f(reiϕ)− a|dϕ 6 12 log(2πerV (r)) log
(
r +
1
V (r)
)
= o(V (r)), r → ∞. (18)
Тепер з (10), (11) i (18) випливає асимптотика N(r, a, f) ∼ V (r), r → ∞, a ∈ C.
Теорема 1 доведена.
Таким чином, розглянуто новий пiдхiд до доведення iснування цiлої функцiї iз заданою
асимптотикою її характеристик, який базується на апроксимацiї субгармонiчних функцiй.
У випадку скiнченного порядку доведення значно простiше за ранiше вiдомi, а у випадку
нескiченного порядку цей пiдхiд пiдсилює ранiше вiдомий результат О. Бродяк.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №10 11
1. Hayman W.K., Kennedy P. B. Subharmonic functions. Vol. 1. – London; New York; San Francisco:
Academic Press, 1976. – 285 p.
2. Hayman W.K. Meromorphic functions. – Oxford: Clarendon Press, 1964. – 191 p.
3. Гольдберг А.А., Островский И.В. Распределение значений мероморфных функций. – Москва: Наука,
1970. – 592 с.
4. Clunie J. On integral functions having prescribed asymptotic growth // Canad. J. Math. – 1965. – 17,
No 3. – P. 396–404.
5. Clunie J., Kövari T. On integral functions having prescribed asymptotic growth. II // Ibid. – 1968. – 20,
No 1. – P. 7–20.
6. Кондратюк А.А. Ряды Фурье и мероморфные функции. – Львов: Вища шк., 1988. – 196 с.
7. Lyzun O. Entire functions with prescribed growth // Мат. методи та фiз.-мех. поля. – 2004. – 47, No 2. –
С. 50–59.
8. Юлмухаметов Р.С. Аппроксимация субгармонических функций // Anal. Math. – 1985. – 11, № 3. –
P. 257–282.
9. Girnyk M., Goldberg A. Approximation of subharmonic functions by logarithms of moduli of entire functions
in integral metrics // Israel Math. Conf. Proc. – 2001. – 15. – P. 117–135.
10. Гирнык М. Точность приближения субгармонической функции логарифмом модуля аналитической в
чебышевской метрике // Зап. науч. семинаров Санкт-Петербург. отд. Мат. ин-та АН. – 2005. – 327. –
С. 55–73.
11. Андрусяк I. В., Фiлевич П.В. Мiнiмальне зростання цiлої функцiї iз заданими нулями // Наук. вiсн.
Чернiвец. ун-ту. Сер. мат. – 2008. – Вип. 421. – С. 13–19.
Надiйшло до редакцiї 20.12.2010Львiвська комерцiйна академiя
M.O. Hirnyk
Entire functions with prescribed growth of their characteristics
We prove the existence of entire functions of finite and infinite orders having a prescribed growth
of their characteristics. We consider the asymptotics of the logarithm of the modulus of such entire
functions in integral metrics. Our approach consists in the usage of approximation theorems.
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №10
|