Багатоточкова задача для одного класу диференціально-операторних рівнянь
Встановлено коректну розв'язність m-точкової задачі для еволюційних рівнянь з невід'ємними самоспряженими операторами, спектри яких суто дискретні, з крайовими умовами в просторах формальних рядів Фур'є. The correct solvability of the m-point problem for evolution equations with integ...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/43725 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Багатоточкова задача для одного класу диференціально-операторних рівнянь / О.В. Мартинюк // Доп. НАН України. — 2011. — № 10. — С. 19-24. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860259882011197440 |
|---|---|
| author | Мартинюк, О.В. |
| author_facet | Мартинюк, О.В. |
| citation_txt | Багатоточкова задача для одного класу диференціально-операторних рівнянь / О.В. Мартинюк // Доп. НАН України. — 2011. — № 10. — С. 19-24. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Встановлено коректну розв'язність m-точкової задачі для еволюційних рівнянь з невід'ємними самоспряженими операторами, спектри яких суто дискретні, з крайовими умовами в просторах формальних рядів Фур'є.
The correct solvability of the m-point problem for evolution equations with integral self-adjoint operators, whose spectra are purely discrete, with boundary conditions in the space of formal Fourier series is established.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:53:52Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.96
© 2011
О.В. Мартинюк
Багатоточкова задача для одного класу
диференцiально-операторних рiвнянь
(Представлено академiком НАН України М.О. Перестюком)
Встановлено коректну розв’язнiсть m-точкової задачi для еволюцiйних рiвнянь з не-
вiд’ємними самоспряженими операторами, спектри яких суто дискретнi, з крайовими
умовами в просторах формальних рядiв Фур’є.
Задачi з нелокальними багатоточковими умовами виникають у теорiї фiзики плазми та
ядерних реакцiй, математичнiй бiологiї, теорiї перiодичних хвилеводiв, теорiї вологопере-
носу, при дослiдженнi коливань рiзних систем, поширень електромагнiтних хвиль, при дов-
гостроковому прогнозуваннi погоди, демографiчних дослiдженнях тощо. Нелокальнi задачi
для диференцiально-операторних рiвнянь у рiзних аспектах вивчали О.О. Дезiн, В.К. Ро-
манко, М. Юнусов, В. I. Чесалiн, М. I. Юрчук, В.М. Борок та iн., видiляючи в основному
випадки коректно поставлених задач. Для еволюцiйних рiвнянь з псевдодиференцiальни-
ми та сингулярними операторами такi задачi дослiджували Б.Й. Пташник, М. I. Матiйчук,
Я.М. Дрiнь, В.В. Городецький, Л. I. Корбут та iн.
У данiй роботi розвивається теорiя нелокальних задач для еволюцiйних рiвнянь з не-
вiд’ємними самоспряженими операторами, спектри яких суто дискретнi, з крайовими умо-
вами в просторах лiнiйних неперервних функцiоналiв нескiнченного порядку, що отото-
жнюються з формальними рядами Фур’є.
1. Простори основних та узагальнених елементiв. Формальнi ряди Фур’є. Не-
хай H — сепарабельний гiльбертiв простiр зi скалярним добутком (·, ·) та нормою ‖ · ‖,
{ek, k > 1} — ортонормований базис в H,
Φm =
{
ϕ ∈ H : ϕ =
m∑
k=1
ck,ϕek, ck,ϕ ∈ C
}
, Φ = lim
m→∞
indΦm.
Очевидно, що Φ лежить щiльно в H. Символом Φ′ позначатимемо простiр усiх антилiнiйних
неперервних функцiоналiв на Φ зi слабкою збiжнiстю. Зiставлення
H ∋ ϕ −→ fϕ ∈ Φ′ : 〈fϕ, ψ〉 = (ϕ,ψ), ∀ψ ∈ Φ,
визначає вкладення H ⊂ Φ′. Елементи з простору Φ′ називатимемо узагальненими.
Нехай f ∈ Φ′. Ряд
∞∑
k=1
ckek, де ck = 〈f, ek〉, називається рядом Фур’є елемента f ∈ Φ′,
а числа ck — його коефiцiєнтами Фур’є. Для довiльного елемента f ∈ Φ′ його ряд Фур’є
збiгається в Φ′ до f [1]. Навпаки, довiльний ряд
∞∑
k=1
ckek збiгається в Φ′ до деякого елемента
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №10 19
f ∈ Φ′ i цей ряд є рядом Фур’є для f [1]. Отже, Φ′ можна розумiти як простiр формальних
рядiв вигляду
∞∑
k=1
ckek. Звiдси випливає, що Φ лежить щiльно в Φ′.
Нехай G: [0,∞) → [c,+∞), c > 0, — неперервна, монотонно зростаюча функцiя така, що
∞∑
k=1
G−2(k) < +∞. За функцiєю G у просторi Φ′ побудуємо оператор
 : Φ′ ∋ f =
∞∑
k=1
ck(f)ek −→
∞∑
k=1
G(k)ck(f)ek = Âf ∈ Φ′,
який є лiнiйним i неперервним в Φ′. Якщо A — звуження оператора Â на H, то A — невiд’єм-
ний самоспряжений оператор в H зi щiльною в H областю визначення D(A), причому Φ ⊂
⊂ D(A). Спектр оператора A суто дискретний з єдиною граничною точкою у нескiнченностi:
σ(A) = {λk, k > 1}, де λk := G(k), k ∈ N (див. [1]).
Введемо деякi класи нескiнченно диференцiйовних елементiв оператора A [1]. Для цього
розглянемо монотонно зростаючу послiдовнiсть {mn, n ∈ Z+}, m0 = 1, додатних чисел, яка
має властивостi:
1) ∀ γ > 0 ∃ cγ > 0 ∀n ∈ Z+: mn > cγ · γn;
2) ∃M > 0 ∃h > 0 ∀n ∈ Z+: mn+1 6 Mhnmn. Позначимо H∞(A) = lim
α→∞
prHα(A),
Hα(A) = D(Aα),
(ϕ,ψ)Hα
= (ϕ,ψ) + (Aαϕ,Aαψ), ∀ {ϕ,ψ} ⊂ D(Aα),
Hα〈mn〉 := {ϕ ∈ H∞(A) | ∃ c > 0: ‖Anϕ‖ 6 cαnmn}, α > 0, n ∈ Z+.
ПростiрHα〈mn〉 ⊃ Φ є банаховим вiдносно норми ‖ϕ‖Hα〈mn〉 = sup
n∈Z+
(‖Anϕ‖/(αnmn)). Покла-
демоH∞〈mn〉 : = lim
α→∞
indHα〈mn〉. Тодi Φ ⊂ H∞〈mn〉 ⊂ H∞(A) ⊂ H, причому всi вкладення
є щiльними i неперервними. Якщо через H ′
∞(A), H ′
α〈mn〉 позначити простори антилiнiйних
неперервних функцiоналiв зi слабкою збiжнiстю над H∞(A), Hα〈mn〉 вiдповiдно, то, згiдно
з [1], прийдемо до ланцюжка щiльних i неперервних вкладень H ⊂ H ′
∞(A) ⊂ H ′
∞〈mn〉 ⊂ Φ′;
при цьому H ′
∞〈mn〉 = lim
α→∞
prH ′
α〈mn〉.
Простори G{β}(A) := H∞〈nnβ〉, β > 0, називаються просторами Жевре порядку β, по-
родженими оператором A; G{1}(A) збiгається з множиною аналiтичних векторiв операто-
ра A [1].
З точки зору поведiнки коефiцiєнтiв Фур’є їхнiх елементiв простори H∞〈mn〉 та H ′
∞〈mn〉
описуються так [1]:
(f ∈ H∞〈mn〉) ⇔ (∃µ > 0 ∃ c > 0 ∀ k ∈ N : |ck(f)| 6 cρ−1(µλk)); (A)
(f ∈ H ′
∞〈mn〉) ⇔ (∀µ > 0 ∃ c = c(µ) > 0 ∀ k ∈ N : |ck(f)| 6 cρ(µλk)); (B)
тут λk = G(k), ρ(λ) = 1, якщо λ ∈ [0, 1) i ρ(λ) = sup
n∈Z+
(λn/mn), якщо λ ∈ [1,∞). Iз влас-
тивостей послiдовностi {mn, n ∈ Z+} випливає [1], що функцiя ρ неперервна на [0,+∞)
i монотонно зростає (швидше, нiж λn, ∀n ∈ N) на [1,+∞).
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №10
Якщо mn = nnβ, β > 0, то ρ(λ) ∼ exp{λ1/β}, λ ∈ [1,+∞), тобто в цьому випадку для
f ∈ Φ′ правильними є спiввiдношення еквiвалентностi:
(f ∈ G{β}(A)) ⇔ (∃µ > 0 ∃ c > 0 ∀ k ∈ N : |ck(f)| 6 c exp{−µλ1/βk });
(f ∈ G′
{β}(A)) ⇔ (∀µ > 0 ∃ c = c(µ) > 0 ∀ k ∈ N : |ck(f)| 6 c exp{µλ1/βk }).
Припустимо, що послiдовнiсть {mn, n ∈ Z+} задовольняє ще одну умову:
3) lim
n→∞
n
√
mn/n = 0, тобто [2]
∀ ε > 0 ∃ δ = δ(ε) > 0 ∀λ : λ > max{1, δ} ⇒ ρ(λ) > eελ.
У працi [3] доведено, що в цьому випадку функцiя ρ є диференцiйовною на [0,+∞),
а функцiя ln ρ — опуклою на [1,+∞), тобто
∀ {λ1, λ2} ⊂ [1,+∞) : ln ρ(λ1) + ln ρ(λ2) 6 ln ρ(λ1 + λ2).
Якщоmn = nnβ, n ∈ Z+, де β ∈ (0, 1), то, очевидно, послiдовнiсть {nnβ, n ∈ Z+} задовольняє
умову 3. В [3] встановлено, що послiдовнiсть {n!ρn, n ∈ Z+}, де ρn = inf
λ>1
(ρ(λ)/λn), n ∈ Z+,
також задовольняє умови 1–3. Зауважимо, що якщо ρ(λ) ∼ exp{λ1/(1−β)}, β ∈ (0, 1), то
ρn ∼ n−n(1−β), а mn = n!ρn ∼ nnβ.
2. Згортка в просторi Φ
′. Невiд’ємнi самоспряженi оператори як оператори
згортки. Нехай
{f1, f2} ⊂ Φ′, f1 =
∞∑
k=1
ck(f1)ek, f2 =
∞∑
k=1
ck(f2)ek.
У просторi Φ′ визначимо операцiю “∗” за правилом
f1 ∗ f2 :=
∞∑
k=1
ck(f1)ck(f2)ek ≡
∞∑
k=1
ck(f1 ∗ f2)ek,
тобто f1∗f2 — узагальнений елемент з простору Φ′, коефiцiєнти Фур’є якого пов’язанi з кое-
фiцiєнтами Фур’є узагальнених елементiв f1, f2 спiввiдношенням ck(f1 ∗f2) = ck(f1) · ck(f2),
k ∈ N.
Якщо {f1, f2} ⊂ H ′
∞〈mn〉, то f1 ∗ f2 ∈ H ′
∞〈mn〉. Для доведення цiєї властивостi досить
переконатися в тому, що коефiцiєнти Фур’є ck(f1 ∗ f2) задовольняють умову B.
Лема 1. Якщо f ∈ H ′
∞〈mn〉, то f ∗ ϕ ∈ H∞〈mn〉 тодi й лише тодi, коли ϕ ∈ H∞〈mn〉.
Нехай F (t, λ) =
s∑
i=1
αi(t)Fi(λ), t ∈ (0, T ], 0 < T <∞, де Fi(λ) =
∞∑
n=1
b
(i)
n λn, i ∈ {1, . . . , s}, —
невiд’ємна, нескiнченно диференцiйовна, монотонно зростаюча на [0,∞) функцiя така, що
F̃i :=
∞∑
k=1
Fi(G(k))ek ∈ H ′
∞〈mn〉, i ∈ {1, . . . , s}; αi: (0, T ] → (0,∞), i ∈ {1, . . . , s}, — непе-
рервна функцiя, iнтегровна на (0, T ]. За функцiєю F та оператором A побудуємо оператор
F (t, A) вигляду
F (t, A) :=
s∑
i=1
αi(t)Fi(A) ≡
s∑
i=1
αi(t)
∞∑
n=1
b(i)n An;
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №10 21
при цьому вважаємо, що оператор F (t, A) задано в просторi H∞〈mn〉, якщо при фiксованому
t ∈ (0, T ] для довiльного елемента ϕ ∈ H∞〈mn〉 сума
F (t, A)ϕ =
s∑
i=1
αi(t)Fi(A)ϕ ≡
s∑
i=1
αi(t)
∞∑
n=1
b(i)n Anϕ
зображає деякий елемент з простору H∞〈mn〉.
Теорема 1. Якщо функцiї Fi, αi, i ∈ {1, . . . , s}, задовольняють сформульованi умо-
ви, то при кожному t ∈ (0, T ] в просторi H∞〈mn〉 визначений i є неперервним оператор
F (t, A).
Зауваження 1. Нехай F̃ (t) :=
s∑
i=1
αi(t)F̃i, t ∈ (0, T ]. Тодi F̃ (t) ∈ H ′
∞〈mn〉 при кожному
t ∈ (0, T ] i F (t, A)ϕ = F̃ (t)∗ϕ, ∀ϕ ∈ H∞〈mn〉. Отже, при кожному t ∈ (0, T ] оператор F (t, A)
можна розумiти як оператор згортки вказаного вигляду.
Зауваження 2. Умова F̃i ∈ H ′
∞〈mn〉, i ∈ {1, . . . , s}, еквiвалентна такiй умовi на функ-
цiю Fi:
∀µ > 0 ∃ c = c(µ) > 0: 0 < Fi(λ) 6 cρ(µλ), λ ∈ [0,∞).
3. m-точкова задача (m > 1). Розглянемо диференцiально-операторне рiвняння
u′(t) + F (t, A)u(t) = 0, t ∈ (0, T ], 0 < T <∞, (1)
де F (t, A) =
s∑
i=1
αi(t)Fi(A) — оператор, побудований у п. 2, який є лiнiйним i неперервним
у просторi H∞〈mn〉 (при кожному t ∈ (0, T ]). Надалi вважаємо також, що функцiї Fi, i ∈
∈ {1, . . . , s}, задовольняють умову
∃µ0 > 0 ∃ c0 > 0: Fi(λ) > c0 ln ρ(µ0λ), λ ∈ [µ∗,+∞),
µ∗ = max
{
1
µ0
,
1
λ1
}
, λ1 = G(1), i ∈ {1, . . . , s}.
Пiд розв’язком рiвняння (1) розумiємо функцiю u: (0, T ] → H∞〈mn〉, сильно диферен-
цiйовну в H, яка задовольняє рiвняння (1).
Для (1) розглянемо багатоточкову задачу
µ lim
t→+0
u(t)−
m∑
n=1
µn lim
t→tn
u(t) = f, f ∈ H ′
∞〈mn〉, (2)
де границi розглядаються в просторiH ′
∞〈mn〉;m ∈ N, {µ, µ1, . . . , µm} ⊂ (0,∞), {t1, . . . , tm} ⊂
⊂ (0, T ], — фiксованi числа, µ >
m∑
n=1
µn, t1 < t2 < · · · < tm.
При дослiдженнi задачi (1), (2) важливу роль вiдiграє функцiя
G̃(t) =
∞∑
k=1
Q1(t, λk)Q2(λk)ek, t ∈ (0, T ],
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №10
де
Q1(t, λk) := exp{−q(t, λk)},
q(t, λk) =
s∑
i=1
bi(t)Fi(λk), bi(t) =
t∫
0
αi(τ) dτ, i ∈ {1, . . . , s},
Q2(λk) ≡ Q2(t1, . . . , tm;λk) :=
(
µ−
m∑
n=1
µn exp{−q(tn, λk)}
)−1
.
Основнi властивостi функцiї G̃(t) сформульовано в нижченаведених твердженнях.
Лема 2. Функцiя G̃(t) ∈ H∞〈mn〉 при кожному t ∈ (0, T ]. Функцiя G̃(t), t ∈ (0, T ], як
абстрактна функцiя параметра t iз значеннями в просторi H∞〈mn〉, диференцiйовна за t.
Наслiдок 1. Нехай ω(t) = G̃(t) ∗ f , f ∈ H ′
∞〈mn〉, t ∈ (0, T ]. Тодi ω(t) ∈ H∞〈mn〉
при кожному t ∈ (0, T ]. Функцiя ω(t), як абстрактна функцiя параметра t iз значеннями
в просторi H∞〈mn〉, диференцiйовна за t.
Наслiдок 2. Функцiя ω(t) = G̃(t) ∗ f , f ∈ H ′
∞〈mn〉, t ∈ (0, T ], сильно диференцiйовна,
при цьому ω′(t) = G̃′(t) ∗ f , t ∈ (0, T ].
Теорема 2. Функцiя ω(t) = G̃(t) ∗ f , f ∈ H ′
∞〈mn〉, t ∈ (0, T ], є розв’язком рiвняння (1)
i в просторi H ′
∞〈mn〉 задовольняє граничне спiввiдношення (2).
Зауваження 3. Нехай f ≡ δ̃ =
∞∑
k=1
ek ∈ H ′
∞〈mn〉. Тодi ω(t) = G̃(t) ∗ δ̃ = G̃(t), t ∈ (0, T ].
Отже, з теореми 2 випливає, що функцiя G̃(t) у просторi H ′
∞〈mn〉 задовольняє граничне
спiввiдношення µ lim
t→+0
G̃(t) −
m∑
n=1
µn lim
t→tn
G̃(t) = δ̃.
Пiдсумовуючи вищесказане, сформулюємо основне твердження.
Теорема 3. m-точкова задача (1), (2) є коректно розв’язною, її розв’язок зображаєть-
ся формулою u(t) = G̃(t) ∗ f , t ∈ (0, T ].
Як приклад оператора A розглянемо гармонiчний осцилятор, тобто невiд’ємний само-
спряжений оператор, породжений в L2(R) диференцiальним виразом −d2/dx2+x2. Власни-
ми функцiями оператора A є функцiї Ермiта
hk(x) = (−1)kπ−1/4(2kk!)−1/2ex
2/2(e−x2
)(k), k ∈ Z+, x ∈ R,
якi утворюють ортонормований базис в L2(R). Формальнi ряди Фур’є у данiй ситуацiї збi-
гаються з формальними рядами Фур’є–Ермiта
∞∑
k=0
ckhk. Власними числами оператора A
є числа λk = 2k + 1, k ∈ Z, тобто в даному випадку G(x) = 2x + 1, x ∈ [0,∞). При цьо-
му [1] клас Жевре G{β}(A), β > 1, збiгається з простором S
β/2
β/2 , який належить до просторiв
типу S, введених I.М. Гельфандом та Г.Є. Шиловим в [4].
1. Горбачук В.И., Горбачук М.Л. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений. –
Киев: Наук. думка, 1984. – 284 с.
2. Бабенко К.И. Об одной новой проблеме квазианалитичности и о преобразовании Фурье целых функ-
ций // Тр. Москов. мат. об-ва. – 1956. – 5. – С. 523–542.
3. Городецький В.В. Задача Кошi для еволюцiйних рiвнянь нескiнченного порядку. – Чернiвцi: Рута,
2005. – 291 с.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №10 23
4. Гельфанд И.М., Шилов Г. Е. Пространства основных и обобщенных функций. – Москва: Физматгиз,
1958. – 307 с.
Надiйшло до редакцiї 20.12.2010Чернiвецький нацiональний унiверситет
iм. Юрiя Федьковича
O.V. Martynyuk
The multipoint problem for one class of differential-operational
equations
The correct solvability of the m-point problem for evolution equations with integral self-adjoint
operators, whose spectra are purely discrete, with boundary conditions in the space of formal Fourier
series is established.
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №10
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-43725 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:53:52Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мартинюк, О.В. 2013-05-15T15:50:07Z 2013-05-15T15:50:07Z 2011 Багатоточкова задача для одного класу диференціально-операторних рівнянь / О.В. Мартинюк // Доп. НАН України. — 2011. — № 10. — С. 19-24. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/43725 517.96 Встановлено коректну розв'язність m-точкової задачі для еволюційних рівнянь з невід'ємними самоспряженими операторами, спектри яких суто дискретні, з крайовими умовами в просторах формальних рядів Фур'є. The correct solvability of the m-point problem for evolution equations with integral self-adjoint operators, whose spectra are purely discrete, with boundary conditions in the space of formal Fourier series is established. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Багатоточкова задача для одного класу диференціально-операторних рівнянь The multipoint problem for one class of differential-operational equations Article published earlier |
| spellingShingle | Багатоточкова задача для одного класу диференціально-операторних рівнянь Мартинюк, О.В. Математика |
| title | Багатоточкова задача для одного класу диференціально-операторних рівнянь |
| title_alt | The multipoint problem for one class of differential-operational equations |
| title_full | Багатоточкова задача для одного класу диференціально-операторних рівнянь |
| title_fullStr | Багатоточкова задача для одного класу диференціально-операторних рівнянь |
| title_full_unstemmed | Багатоточкова задача для одного класу диференціально-операторних рівнянь |
| title_short | Багатоточкова задача для одного класу диференціально-операторних рівнянь |
| title_sort | багатоточкова задача для одного класу диференціально-операторних рівнянь |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/43725 |
| work_keys_str_mv | AT martinûkov bagatotočkovazadačadlâodnogoklasudiferencíalʹnooperatornihrívnânʹ AT martinûkov themultipointproblemforoneclassofdifferentialoperationalequations |