Моделювання квазіідеальних полів для тонких просторово викривлених анізотропних пластів
Розглядається задача моделювання квазіідеальної фільтраційної течії у деякому неоднорідному анізотропному пористому просторово викривленому пласті, обмеженому двома еквіпотенціальними поверхнями-стінками та чотирма поверхнями течії. Проведено її апроксимацію деяким ''усередненим''...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/43728 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Моделювання квазіідеальних полів для тонких просторово викривлених анізотропних пластів / А.Я. Бомба, А.В. Теребус // Доп. НАН України. — 2011. — № 10. — С. 37-43. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859948265858924544 |
|---|---|
| author | Бомба, А.Я. Теребус, А.В. |
| author_facet | Бомба, А.Я. Теребус, А.В. |
| citation_txt | Моделювання квазіідеальних полів для тонких просторово викривлених анізотропних пластів / А.Я. Бомба, А.В. Теребус // Доп. НАН України. — 2011. — № 10. — С. 37-43. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Розглядається задача моделювання квазіідеальної фільтраційної течії у деякому неоднорідному анізотропному пористому просторово викривленому пласті, обмеженому двома еквіпотенціальними поверхнями-стінками та чотирма поверхнями течії. Проведено її апроксимацію деяким ''усередненим'' плоским аналогом. На цій основі і з використанням розроблених числових методів квазіконформних відображень побудовано алгоритм її розв'язання.
We consider the modeling of quasiideal flow for a heterogeneous anisotropic porous spatially curved layer, which is restricted by two equipotential surfaces and four stream surfaces. We approximate it by some averaged plane analogue. On this basis with the use of developed numerical methods of quasiconformal mappings, we build an algorithm for its solution.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:15:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
10 • 2011
IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА
УДК 519.6
© 2011
А.Я. Бомба, А.В. Теребус
Моделювання квазiiдеальних полiв для тонких
просторово викривлених анiзотропних пластiв
(Представлено членом-кореспондентом НАН України C. I. Ляшком)
Розглядається задача моделювання квазiiдеальної фiльтрацiйної течiї у деякому неодно-
рiдному анiзотропному пористому просторово викривленому пластi, обмеженому двома
еквiпотенцiальними поверхнями-стiнками та чотирма поверхнями течiї. Проведено її
апроксимацiю деяким “усередненим” плоским аналогом. На цiй основi i з використан-
ням розроблених числових методiв квазiконформних вiдображень побудовано алгоритм
її розв’язання.
Мотивом для дослiдження фiльтрацiйних процесiв у неоднорiдних анiзотропних середови-
щах, типовими представниками яких є трiщинувато-пористi грунти, є їх широка пошире-
нiсть у природi. При розв’язаннi вiдповiдних цим процесам плоских крайових задач мо-
делювання квазiiдеальних полiв ефективним є метод квазiконформних вiдображень (див.,
наприклад, [1]), безпосереднє узагальнення якого на простiр пов’язане з низкою проблем.
У цiй роботi дослiджується окремий випадок просторової анiзотропiї, для якого допу-
скається можливiсть апроксимацiї задачi моделювання просторової течiї деяким плоским її
аналогом [2, 3]. При цьому розглядаються спецiального типу тонкi просторово викривленi
пласти, фiльтрацiйну течiю в яких можна умовно iнтерпретувати як плоско-паралельний
рух вздовж окремих їх прошаркiв таким чином, щоб один iз головних напрямкiв анiзотропiї
в кожнiй точцi був напрямлений по нормалi до вiдповiдного прошарку.
Постановка задачi.Розглянемо квазiiдеальний процес фiльтрацiйної течiї в деякому
неоднорiдному пластi змiнної малої товщини H (областi Gτ , τ = (x, y, z)), обмеженому дво-
ма непроникними стiнками — пiдошвою та крiвлею, рiвняння яких в деяких ортогональних
криволiнiйних координатах (ξ, η, ς) вiдповiдно наведемо у виглядi ς = ς∗, ς = ς∗. Обмежимо
пласт з бокiв чотирма поверхнями, двi з яких — еквiпотенцiалi (f∗(ξ, η) = 0, f∗(ξ, η) = 0),
а двi — поверхнi течiї (g∗(ξ, η) = 0, g∗(ξ, η) = 0), побудованi по нормалi до пiдошви та крiвлi.
При цьому ортогональнi криволiнiйнi координати (ξ, η, ς) пов’яжемо з фiзичними (x, y, z)
такими спiввiдношеннями: x = X(ξ, η, ς), y = Y (ξ, η, ς), z = Z(ξ, η, ς), (X(ξ, η, ς), Y (ξ, η, ς),
Z(ξ, η, ς) — заданi неперервно-диференцiйованi функцiї).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №10 37
Пласт вважатимемо пористим неоднорiдним середовищем, для якого один з головних
напрямiв анiзотропiї в кожнiй точцi направлений по дотичнiй вздовж ς координатних лiнiй,
а решта два вiдносно координатних лiнiй ξ та η мають довiльну орiєнтацiю (див., наприк-
лад, [2]). В такому разi тензор провiдностi набуває вигляду
κ =
κ11(ξ, η, ς) κ12(ξ, η, ς) 0
κ12(ξ, η, ς) κ22(ξ, η, ς) 0
0 0 κ33(ξ, η, ς)
,
де κij(ξ, η, ς) = κ̃ij(x, y, z) = κ̃ij(X(ξ, η, ς), Y (ξ, η, ς), Z(ξ, η, ς)), i = 1, 3, j = 1, 3. У випадку,
коли товщина пласта є малою порiвняно з геометричними розмiрами основи (пiдошви),
а поверхнi ς = const є поверхнями течiї, вiдповiдний процес можна вважати двовимiрним
вiдносно змiнних (ξ, η)). Таким чином, розв’язок задачi шукатимемо у плоскiй областi змiни
(ξ, η) Gz = ABCD, такiй, що AB = {(ξ, η) : f∗(ξ, η) = 0}, CD = {(ξ, η) : f∗(ξ, η) = 0},
AD = {(ξ, η) : g∗(ξ, η) = 0}, BC = {(ξ, η) : g∗(ξ, η) = 0}. На основi [2] рiвняння нерозривностi
подамо у виглядi
∂
∂ξ
(
T11(ξ, η)
∂ϕ
∂ξ
+ T12(ξ, η)
∂ϕ
∂η
)
+
∂
∂η
(
T12(ξ, η)
∂ϕ
∂ξ
+ T22(ξ, η)
∂ϕ
∂η
)
= 0, (1)
де
T11(ξ, η) =
ς2∫
ς1
H2(ξ, η, ς)H3(ξ, η, ς)
H1(ξ, η, ς)
κ11(ξ, η, ς)dς; T12(ξ, η) =
ς2∫
ς1
H3(ξ, η, ς)κ12(ξ, η, ς)dς;
T22(ξ, η) =
ς2∫
ς1
H1(ξ, η, ς)H3(ξ, η, ς)
H2(ξ, η, ς)
κ22(ξ, η, ς)dς ; H1(ξ, η, ς) =
√
X2
ξ + Y 2
ξ + Z2
ξ ;
H2(ξ, η, ς) =
√
X2
η + Y 2
η + Z2
η ; H3(ξ, η, ς) =
√
X2
ς + Y 2
ς + Z2
ς —
вiдповiднi коефiцiєнти Ламе; ϕ = ϕ(ξ, η) — квазiпотенцiал швидкостi −→ν
(
ϕ|f∗(ξ,η)=0 = ϕ∗,
ϕ|f∗(ξ,η)=0 = ϕ∗,
dϕ
dn
∣∣∣∣
g∗(ξ,η)=0
=
dϕ
dn
∣∣∣∣
f∗(ξ,η)=0
= 0
)
.
Введемо функцiю усередненої течiї ψ = ψ(ξ, η) — квазiкомплексно-спряжену до ϕ =
= ϕ(ξ, η) (див., наприклад, [1]), таку, що
T11(ξ, η)
∂ϕ
∂ξ
+ T12(ξ, η)
∂ϕ
∂η
=
∂ψ
∂η
,
T12(ξ, η)
∂ϕ
∂ξ
+ T22(ξ, η)
∂ϕ
∂η
= −
∂ψ
∂ξ
.
(2)
Очевидно, що виконання останньої системи перетворює (1) в тотожну рiвнiсть. Система (2)
визначає деяку квазiаналiтичну функцiю ω = ω(z ) = ϕ(ξ, η) + iψ(ξ, η), яка при виконаннi
умов
ϕ|f∗(ξ,η)=0 = ϕ∗, ϕ|f∗(ξ,η)=0 = ϕ∗, ψ|g∗(ξ,η)=0 = 0, ψ|g∗(ξ,η)=0 = Q (3)
38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №10
здiйснює квазiконформне вiдображення областi Gz на вiдповiдну область квазiкомплексно-
го потенцiалу [1] Gω = {ω : ϕ∗ < ϕ < ϕ∗, 0 < ψ < Q}, де стала Q — повна витрата (невiдомий
параметр, що шукається в процесi розв’язання задачi). При цьому, щоб попередити пору-
шення квазiконформностi в кутових точках Gz, на рiвняння граничних лiнiй накладаються
умови гладкостi [4]. Наприклад, для точки A перетину кривих f∗(ξ, η) = 0 та g∗(ξ, η) = 0
така умова набуде вигляду g∗ξ(A)(T11(A)f∗ξ(A) + T12(A)f∗η(A)) + g∗η(A)(T12(A)f∗ξ(A) +
+ T22(A)f∗η(A)) = 0.
Вiдповiдну нелiнiйну обернену задачу до (2), (3) на квазiконформне вiдображення
z = z(ω) = ξ(ϕ,ψ) + iη(ϕ,ψ) областi Gω на Gz при невiдомому Q, аналогiчно [1], отримаємо
у виглядi
T11(ξ, η)
∂η
∂ψ
− T12(ξ, η)
∂ξ
∂ψ
=
∂ξ
∂ϕ
,
T12(ξ, η)
∂η
∂ψ
− T22(ξ, η)
∂ξ
∂ψ
=
∂η
∂ϕ
,
(4)
{
f∗(ξ(ϕ∗, ψ), η(ϕ∗, ψ)) = 0, f∗(ξ(ϕ∗, ψ), η(ϕ∗ , ψ)) = 0, 0 6 ψ 6 Q,
g∗(ξ(ϕ, 0), η(ϕ, 0)) = 0, g∗(ξ(ϕ,Q), η(ϕ,Q)) = 0, ϕ∗ 6 ϕ 6 ϕ∗,
(5)
зокрема, як наслiдок (4), матимемо
∂
∂ϕ
(
1
T11(ξ, η)
∂ξ
∂ϕ
+
T12(ξ, η)
T11(ξ, η)
∂ξ
∂ψ
)
+
+
∂
∂ψ
(
−
T12(ξ, η)
T11(ξ, η)
∂ξ
∂ϕ
+
T11(ξ, η)T22(ξ, η)− T 2
12(ξ, η)
T11(ξ, η)
∂ξ
∂ψ
)
= 0,
∂
∂ϕ
(
1
T22(ξ, η)
∂η
∂ϕ
−
T12(ξ, η)
T22(ξ, η)
∂η
∂ψ
)
+
+
∂
∂ψ
(
T12(ξ, η)
T22(ξ, η)
∂η
∂ϕ
+
T11(ξ, η)T22(ξ, η) − T 2
12(ξ, η)
T22(ξ, η)
∂η
∂ψ
)
= 0.
(6)
Умови квазiортогональностi [1] в околах граничних лiнiй f∗(ξ, η) = 0, f∗(ξ, η) = 0,
g∗(ξ, η) = 0, g∗(ξ, η) = 0 запишуться, вiдповiдно, у виглядi
−(T11f∗ξ(ξ, η) + T12f∗η(ξ, η))ηϕ + (T12f∗ξ(ξ, η) + T22f∗η(ξ, η))ξϕ = 0,
−(T11f
∗
ξ (ξ, η) + T12f
∗
η (ξ, η))ηϕ + (T12f
∗
ξ (ξ, η) + T22f
∗
η (ξ, η))ξϕ = 0,
(T11g∗ξ(ξ, η) + T12g∗η(ξ, η))ηψ − (T12g∗ξ(ξ, η) + T22g∗η(ξ, η))ξψ = 0,
(T11g
∗
ξ (ξ, η) + T12g
∗
η(ξ, η))ηψ − (T12g
∗
ξ (ξ, η) + T22g
∗
η(ξ, η))ξψ = 0.
(7)
Рiзницевi апроксимацiї та алгоритм розв’язання. Рiзницевi аналоги крайових
умов (5), приграничних аналогiв умов квазiортогональностi (7) у рiвномiрнiй сiтковiй об-
ластi Gγω = {(ϕi, ψj) : ϕi = ϕ∗ + ∆ϕ · i, i = 0,m; ψj = ∆ψ · j, j = 0,n; ∆ϕ = (ϕ∗ − ϕ∗)/m,
∆ψ = Q/n, γ = ∆ϕ/∆ψ, m,n ∈ N} подамо так:
{
f∗(ξ0,j, η0,j) = 0, f∗(ξm,j , ηm,j) = 0, j = 1, n − 1,
g∗(ξi,0, ηi,0) = 0, g∗(ξi,n, ηi,n) = 0, i = 1,m− 1;
(8)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №10 39
−(T11(ξ0,j , η0,j)f∗ξ(ξ0,j , η0,j) + T12(ξ0,j , η0,j)f∗η(ξ0,j, η0,j))(η1,j − η0,j) +
+ (T12(ξ0,j , η0,j)f∗ξ(ξ0,j, η0,j) + T22(ξ0,j , η0,j)f∗η(ξ0,j , η0,j))(ξ1,j − ξ0,j) = 0,
−(T11(ξm,j , ηm,j)f
∗
ξ (ξm,j , ηm,j) + T12(ξm,j , ηm,j)f
∗
η (ξm,j, ηm,j))(ηm,j − ηm−1,j) +
+(T12(ξm,j , ηm,j)f
∗
ξ (ξm,j , ηm,j)+T22(ξm,j, ηm,j)f
∗
η (ξ0,j, η0,j))(ξm,j−ξm−1,j)=0,
(T11(ξi,0, ηi,0)g∗ξ(ξi,0, ηi,0) + T12(ξi,0, ηi,0)g∗η(ξi,0, ηi,0))(ηi,1 − ηi,0)−
− (T12(ξi,0, ηi,0)g∗ξ(ξi,0, ηi,0) + T22(ξi,0, ηi,0)g∗η(ξi,0, ηi,0))(ξi,1 − ξi,0) = 0,
(T11(ξi,n, ηi,n)g
∗
ξ (ξi,n, ηi,n) + T12(ξi,n, ηi,n)g
∗
η(ξi,n, ηi,n))(ηi,1 − ηi,0)−
− (T12(ξi,n, ηi,n)g
∗
ξ (ξi,n, ηi,n) + T22(ξi,n, ηi,n)g
∗
η(ξi,n, ηi,n))(ξi,n − ξi,n−1) = 0,
i = 1,m− 1, j = 1, n − 1.
(9)
Невiдому величину Q знаходимо на пiдставi умов “квазiконформної” подiбностi елемен-
тарних чотирикутникiв двох областей [1]
γ =
m,n∑
i,j=1
√
(ξi,j−1−ξi−1,j−1)2+(ηi,j−1−ηi−1,j−1)2+
√
(ξi,j−ξi−1,j)2+(ηi,j−ηi−1,j)2
mn(ai−1,j + ai,j)
,
ai,j = ((T11(ξi,j, ηi,j)(ηi,j − ηi,j−1) + T12(ξi,j, ηi,j)(ξi,j − ξi,j−1))
2 +
+ (T12(ξi,j, ηi,j)(ηi,j − ηi,j−1) + T22(ξi,j, ηi,j)(ξi,j − ξi,j−1))
2)1/2, Q =
∆ϕn
γ
.
(10)
Задавши кiлькостi вузлiв розбиття сiтки m та n параметр точностi ε, початковi на-
ближення координат граничних вузлiв ξ
(0)
0,j , η
(0)
0,j , ξ
(0)
m,j , η
(0)
m,j , ξ
(0)
i,n , η
(0)
i,n , ξ
(0)
i,0 , η
(0)
i,0 (так, щоб
задовольнялись умови (8)), початковi наближення координат внутрiшнiх вузлiв (ξ
(0)
i,j , η
(0)
i,j ),
i = 1, n − 1, j = 1,m− 1 (наприклад, як середнi пропорцiйнi значень вiдповiдних коор-
динат граничних вузлiв), знаходимо вiдповiднi наближення величин γ та Q (за (10)). Да-
лi, на основi рiзницевого аналогу рiвняння (6), уточнюємо координати внутрiшнiх вузлiв
(ξ
(k)
i,j , η
(k)
i,j ) (k = 0, 1, . . . — крок iтерацiї):
ξi,j =
0,5
1 + γ2(T11T22 − T 2
12)
{
ξi+1,j + ξi−1,j −
ξi+1,j − ξi−1,j
4T11
(T11ξ(ξi+1,j − ξi−1,j) +
+ T11η(ηi+1,j − ηi−1,j)) + γ2
ξi,j+1 − ξi,j−1
4T11
((T 2
11T22ξ − 2T11T22T12ξ + T 2
12T11ξ)×
× (ξi,j+1 − ξi,j−1) + (T 2
11T22η − 2T11T22T12η + T 2
12T11η)(ηi,j+1 − ηi,j−1)) +
+ γ
[
ξi,j+1 − ξi,j−1
4T11
(T11T12ξ − T12T11ξ)((T11T12ξ − T12T11ξ)(ξi+1,j − ξi−1,j)+
+ (T11T12η − T12T11η)(ηi+1,j − ηi−1,j))−
ξi+1,j − ξi−1,j
4T11
((T11T12ξ − T12T11ξ)×
× (ξi,j+1 − ξi,j−1) + (T11T12η − T12T11η)(ηi,j+1 − ηi,j−1))
]
+
+ γ2(T11T22 − T 2
12)(ηi,j−1 + ηi,j+1)
}
,
40 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №10
ηi,j =
0,5
1 + γ2(T11T22 − T 2
12)
{
ηi+1,j + ηi−1,j −
ηi+1,j − ηi−1,j
4T22
(T22ξ(ξi+1,j − ξi−1,j) +
+ T22η(ηi+1,j − ηi−1,j)) + γ2
ηi,j+1 − ηi,j−1
4T22
((T 2
22T11ξ − 2T11T22T12ξ + T 2
12T22ξ)×
× (ξi,j+1 − ξi,j−1) + (T 2
22T11η − 2T11T22T12η + T 2
12T22η)(ηi,j+1 − ηi,j−1))−
− γ
[
ηi,j+1 − ηi,j−1
4T22
((T22T12ξ − T12T22ξ)(ξi+1,j − ξi−1,j) + (T22T12η − T12T22η)×
× (ηi+1,j − ηi−1,j))−
ηi+1,j − ηi−1,j
4T22
((T22T12ξ − T12T22ξ)(ξi,j+1 − ξi,j−1) +
+ (T22T12η − T12T22η)(ηi,j+1 − ηi,j−1))
]
+ γ2(T11T22 − T 2
12)(ηi,j−1 + ηi,j+1)
}
,
i = 1,m, j = 1, n,
при цьому ξi,j = ξ(ϕi, ψj), ηi,j = η(ϕi, ψj), а значення функцiй Tss = Tss(ξi,j , ηi,j), s = 1, 2,
T12 = T12(ξi,j , ηi,j) та вiдповiдних частинних похiдних обчислюємо за такими квадратурними
формулами:
Tss =
1
h
N∑
k=1
κss(ξi,j , ηi,j, ςk − h/2)
H3−s(ξi,j, ηi,j , ςk − h/2)H3(ξi,j , ηi,j, ςk − h/2)
Hs(ξi,j , ηi,j, ςk − h/2)
,
Tssξ =
1
h
N∑
k=1
1
H2
s (ξi,j , ηi,j, ςk − h/2)
((H3−sξ(ξi,j, ηi,jςk − h/2)H3(ξi,j , ηi,jςk − h/2) ×
× κss(ξi,j, ηi,jςk − h/2) +H3−s(ξi,j, ηi,j, ςk − h/2)H3ξ(ξi,j, ηi,jςk − h/2)κss ×
× (ξi,j, ηi,jςk − h/2) +H3−s(ξi,j, ηi,j , ςk − h/2)H3(ξi,j , ηi,jςk − h/2) ×
× κssξ(ξi,j, ηi,jςk − h/2))Hs(ξi,j, ηi,jςk − h/2) −H3−s(ξi,j, ηi,jςk − h/2) ×
×H3(ξi,j, ηi,jςk − h/2)κss(ξi,j, ηi,jςk − h/2)Hsξ(ξi,j, ηi,jςk − h/2)),
Tssη =
1
h
N∑
k=1
1
H2
s (ξi,j, ηi,j , ςk − h/2)
((H3−sη(ξi,j , ηi,jςk − h/2)H3(ξi,j, ηi,jςk − h/2) ×
× κss(ξi,j, ηi,jςk − h/2) +H3−s(ξi,j, ηi,j, ςk − h/2)H3η(ξi,j, ηi,jςk − h/2) ×
× κss(ξi,j, ηi,jςk − h/2) +H3−s(ξi,j, ηi,j, ςk − h/2)H3(ξi,j , ηi,jςk − h/2) ×
× κssη(ξi,j , ηi,jςk − h/2))Hs(ξi,j , ηi,jςk − h/2) −H3−s(ξi,j , ηi,jςk − h/2) ×
×H3(ξi,j, ηi,jςk − h/2)κss(ξi,j, ηi,jςk − h/2)Hsη(ξi,j , ηi,jςk − h/2)),
T12 =
1
h
N∑
k=1
κ12(ξi,j, ηi,j , ςk − h/2)H3(ξi,j, ηi,j , ςk − h/2),
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №10 41
T12ξ =
1
h
N∑
k=1
(κ12ξ(ξi,j , ηi,j, ςk − h/2)H3(ξi,j, ηi,j , ςk − h/2) +
+ κ12(ξi,j, ηi,j , ςk − h/2)H3ξ(ξi,j, ηi,j , ςk − h/2)),
T12η =
1
h
N∑
k=1
(κ12η(ξi,j, ηi,j , ςk − h/2)H3(ξi,j , ηi,j, ςk − h/2) +
+ κ12(ξi,j, ηi,j , ςk − h/2)H3ξ(ξi,j, ηi,j , ςk − h/2)),
h =
ς∗ − ς∗
N
, ςk = ς∗ + hk, k = 0, N, i = 1,m− 1, j = 1,n− 1,
використовуючи вiдповiднi значення ξi,j, ηi,j , одержанi на попередньому кроцi. Координати
граничних вузлiв пiдправляємо шляхом наближеного розв’язання системи рiвнянь (8), (9),
наприклад, згiдно з [1].
При виконаннi умов
max
ξi,j ,ηi,j
(|ξ
(k+1)
i,j − ξ
(k)
i,j |, |η
(k+1)
i,j − η
(k)
i,j |) < ε, |Q(k+1) −Q(k)| < ε,
max
ξi,j ,ηi,j
|γ(k+1)(T
(k+1)
11 (η
(k+1)
i,j+1 − η
(k+1)
i,j )− T
(k+1)
12 (ξ
(k+1)
i,j+1 − ξ
(k+1)
i,j ))− (η
(k+1)
i+1,j − η
(k+1)
i,j )| < ε,
max
ξi,j ,ηi,j
|γ(k+1)(T
(k+1)
12 (η
(k+1)
i,j+1 − η
(k+1)
i,j )− T
(k+1)
22 (ξ
(k+1)
i,j+1 − ξ
(k+1)
i,j ))− (η
(k+1)
i+1,j − η
(k+1)
i,j )| < ε,
i = 0,m, j = 0, n,
i т. iн. (див., наприклад, [1]) обчислювальний процес припиняємо; у протилежному випадку
переходимо до обчислення нових наближень параметрiв γ(k+1) та Q(k+1), уточнення коор-
динат внутрiшнiх та граничних вузлiв.
На основi рiвняння руху −→v T =
κ̃11 κ̃12 0
κ̃12 κ̃22 0
0 0 κ̃33
ϕx
ϕy
ϕz
у фiзичнiй областi Gτ та спiв-
вiдношень ϕx = ϕξξx+ϕηηx, ϕy = ϕξξy+ϕηηy, ϕz = ϕξξz+ϕηηz величину швидкостi у внут-
рiшнiх вузлах сiтки υi,j,k = υ(xi,j,k, yi,j,k, zi,j,k) (xi,j,k = X(ξi,j, ηi,j , ςk), yi,j,k = Y (ξi,j, ηi,j , ςk),
zi,j,k = Z(ξi,j, ηi,j, ςk)) знаходимо за такими рiзницевими формулами:
υi,j,k = 2
∆ϕ
Ji,j,kJ̃i,j
√
υ2xi,j,k + υ2yi,j,k + υ2zi,j,k, i = 1,m− 1, j = 1, n− 1, k = 1, N − 1,
J̃i,j = (ξi+1,j − ξi−1,j)(ηi,j+1 − ηi,j−1)− (ξi,j+1 − ξi,j−1)(ηi+1,j − ηi−1,j),
Ji,j,k = xξi,j,kyηi,j,kzςi,j,k + yξi,j,kzηi,j,kxςi,j,k + zξi,j,kxηi,j,kyςi,j,k − zξi,j,kyηi,j,kxςi,j,k −
− yξi,j,kxηi,j,kzςi,j,k − xξi,j,kzηi,j,kyςi,j,k,
υxi,j,k = ((ηi,j+1 − ηi,j−1)(yηi,j,kzςi,j,k − zηi,j,kyςi,j,k) + ((ξi,j+1 − ξi,j−1)×
× (xηi,j,kzςi,j,k − zηi,j,kxςi,j,k))κ̃11 − ((ηi,j+1 − ηi,j−1)(yξi,j,kzςi,j,k − zξi,j,kyςi,j,k) +
+ (ξi,j+1 − ξi,j−1)(xξi,j,kzςi,j,k − zξi,j,kxςi,j,k))κ̃12,
42 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №10
υyi,j,k = ((ηi,j+1 − ηi,j−1)(yηi,j,kzςi,j,k − zηi,j,kyςi,j,k) + (ξi,j+1 − ξi,j−1)×
× (xηi,j,kzςi,j,k − zηi,j,kxςi,j,k))κ̃12 − ((ηi,j+1 − ηi,j−1)(yξi,j,kzςi,j,k − zξi,j,kyςi,j,k)+
+(ξi,j+1 − ξi,j−1)(xξi,j,kzςi,j,k − ((ηi,j+1 − ηi,j−1)(yξi,j,kzςi,j,k − zξi,j,kyςi,j,k) +
+ (ξi,j+1 − ξi,j−1)(xξi,j,kzςi,j,k − zξi,j,kxςi,j,k))κ̃22,
υzi,j,k = ((ηi,j+1 − ηi,j−1)(yξi,j,kzηi,j,k − zξi,j,kyηi,j,k) +
+ (ξi,j+1 − ξi,j−1)(xξi,j,kzηi,j,k − zξi,j,kxηi,j,k))κ̃33,
де κ̃p,q = κ̃(xi,j,k, yi,j,k, zi,j,k), p = 1, 3, q = 1, 3. Аналогiчно можна одержати спiввiдношення
для обчислення швидкостi у граничних вузлах.
У перспективi дослiджень — розвинення розробленої методологiї на випадки двозв’язних
областей та її застосування при моделюваннi процесiв руху рiдин у водоймах-охолоджува-
чах, водонафтогазових пластах тощо.
1. Бомба А.Я., Булавацький В.М., Скопецький В.В. Нелiнiйнi математичнi моделi процесiв геогiдро-
динамiки. – Київ: Наук. думка, 2007. – 308 с.
2. Толпаев В.А. Математические модели двумерной фильтрации в анизотропных, неоднородных и мно-
гослойных средах: Автореф. дис. . . . д-ра физ.-мат. наук. – Ставрополь, 2004. – 38 с.
3. Толпаев В.А., Ледовской В.И. Уравнения линейной двумерной фильтрации жидкости в анизотроп-
ных искривленных слоях переменной и постоянной толщины // Изв. высш. уч. заведений. Естеств.
науки, 2004. – Прилож. № 2. – С. 19–30.
4. Бомба А.Я., Теребус А. В. Моделювання iдеальних полiв для тонких просторово викривлених плас-
тiв // Математ. та комп’ют. моделювання. – 2010. – Вип. 4. – С. 31–40.
Надiйшло до редакцiї 28.02.2011Рiвненський державний гуманiтарний унiверситет
A.Ya. Bomba, A. V. Terebus
Modeling of quasiideal fields for thin spatially curved anisotropic layers
We consider the modeling of quasiideal flow for a heterogeneous anisotropic porous spatially curved
layer, which is restricted by two equipotential surfaces and four stream surfaces. We approximate
it by some averaged plane analogue. On this basis with the use of developed numerical methods of
quasiconformal mappings, we build an algorithm for its solution.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №10 43
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-43728 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:15:33Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бомба, А.Я. Теребус, А.В. 2013-05-15T15:54:46Z 2013-05-15T15:54:46Z 2011 Моделювання квазіідеальних полів для тонких просторово викривлених анізотропних пластів / А.Я. Бомба, А.В. Теребус // Доп. НАН України. — 2011. — № 10. — С. 37-43. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/43728 519.6 Розглядається задача моделювання квазіідеальної фільтраційної течії у деякому неоднорідному анізотропному пористому просторово викривленому пласті, обмеженому двома еквіпотенціальними поверхнями-стінками та чотирма поверхнями течії. Проведено її апроксимацію деяким ''усередненим'' плоским аналогом. На цій основі і з використанням розроблених числових методів квазіконформних відображень побудовано алгоритм її розв'язання. We consider the modeling of quasiideal flow for a heterogeneous anisotropic porous spatially curved layer, which is restricted by two equipotential surfaces and four stream surfaces. We approximate it by some averaged plane analogue. On this basis with the use of developed numerical methods of quasiconformal mappings, we build an algorithm for its solution. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика Моделювання квазіідеальних полів для тонких просторово викривлених анізотропних пластів Modeling of quasiideal fields for thin spatially curved anisotropic layers Article published earlier |
| spellingShingle | Моделювання квазіідеальних полів для тонких просторово викривлених анізотропних пластів Бомба, А.Я. Теребус, А.В. Інформатика та кібернетика |
| title | Моделювання квазіідеальних полів для тонких просторово викривлених анізотропних пластів |
| title_alt | Modeling of quasiideal fields for thin spatially curved anisotropic layers |
| title_full | Моделювання квазіідеальних полів для тонких просторово викривлених анізотропних пластів |
| title_fullStr | Моделювання квазіідеальних полів для тонких просторово викривлених анізотропних пластів |
| title_full_unstemmed | Моделювання квазіідеальних полів для тонких просторово викривлених анізотропних пластів |
| title_short | Моделювання квазіідеальних полів для тонких просторово викривлених анізотропних пластів |
| title_sort | моделювання квазіідеальних полів для тонких просторово викривлених анізотропних пластів |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/43728 |
| work_keys_str_mv | AT bombaaâ modelûvannâkvazíídealʹnihpolívdlâtonkihprostorovovikrivlenihanízotropnihplastív AT terebusav modelûvannâkvazíídealʹnihpolívdlâtonkihprostorovovikrivlenihanízotropnihplastív AT bombaaâ modelingofquasiidealfieldsforthinspatiallycurvedanisotropiclayers AT terebusav modelingofquasiidealfieldsforthinspatiallycurvedanisotropiclayers |