Осесиметричний напружено-деформований стан у тілі з плоскою пеленою теплових джерел або диполів
Визначення стаціонарного темпертурного поля в тілі з пеленою теплових джерел або диполів зведено до інтегральних рівнянь першого роду і запропоновано метод знаходження множини їх розв'язків. За відомим температурним полем і рівняннями термопружності в переміщеннях знайдені компоненти вектора пр...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/43731 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Осесиметричний напружено-деформований стан у тілі з плоскою пеленою теплових джерел або диполів / В.А. Галазюк, Г.С. Кіт // Доп. НАН України. — 2011. — № 10. — С. 54-60. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860129130708729856 |
|---|---|
| author | Галазюк, В.А. Кіт, Г.С. |
| author_facet | Галазюк, В.А. Кіт, Г.С. |
| citation_txt | Осесиметричний напружено-деформований стан у тілі з плоскою пеленою теплових джерел або диполів / В.А. Галазюк, Г.С. Кіт // Доп. НАН України. — 2011. — № 10. — С. 54-60. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Визначення стаціонарного темпертурного поля в тілі з пеленою теплових джерел або диполів зведено до інтегральних рівнянь першого роду і запропоновано метод знаходження множини їх розв'язків. За відомим температурним полем і рівняннями термопружності в переміщеннях знайдені компоненти вектора пружного переміщення та компоненти тензора температурних напружень.
The determination of the stationary temperature field in a body with a plane sheet of thermal sources or dipoles is reduced to the solution of an integral equation of the first type. The method of determination of the set of solutions of this equation is proposed. The components of the elastic displacement vector and the components of the temperature stress tensor are found with regard for the known temperature field and thermoelasticity equations.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:43:59Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
10 • 2011
МЕХАНIКА
УДК 539.3
© 2011
В.А. Галазюк, член-кореспондент НАН України Г. С. Кiт
Осесиметричний напружено-деформований стан у тiлi
з плоскою пеленою теплових джерел або диполiв
Визначення стацiонарного темпертурного поля в тiлi з пеленою теплових джерел або
диполiв зведено до iнтегральних рiвнянь першого роду i запропоновано метод знаход-
ження множини їх розв’язкiв. За вiдомим температурним полем i рiвняннями тер-
мопружностi в перемiщеннях знайденi компоненти вектора пружного перемiщення та
компоненти тензора температурних напружень.
У класичнiй постановцi задач стацiонарої теплопровiдностi з теплоактивними або тепло-
iзольованими включеннями [1] постулюється наявнiсть джерел тепла або теплових диполiв
тiльки в областi включення, а це призводить до сингулярного розподiлу теплових потокiв
на його краю.
Нижче запропонована нова постановка i метод розв’язування осесиметричних задач
стацiонарної теплопровiдностi та термопружностi для тiла з тонкими теплоактивним або
теплоiзольованим включеннями. Локалiзованi тонкi плоскi неоднорiдностi в межах цiєї по-
становки моделюються пеленою теплових джерел або диполiв, а зумовлене ними темпера-
турне поле визначається розв’язками iнтегральних рiвнянь першого роду. При додаткових
некласичних умовах серед множини розв’язкiв цих рiвнянь завжди iснує розв’язок, який
виконує фiзично зумовлену вимогу неперервностi теплових потокiв на краю неоднорiдностi.
Фундаментальна система розв’язкiв рiвнянь термопружностi з плоскою пеле-
ною джерел тепла. В однорiдному iзотропному пружному просторi введемо цилiндричну
систему координат r = Rα, β, z = Rγ з початком у площинi γ = 0, де R — деякий ха-
рактерний лiнiйний розмiр (радiус включення). Пiд дiєю осесиметричного температурного
поля у просторi реалiзується осесиметричний вiдносно осi γ напружено-деформований стан.
У цьому випадку векторне рiвняння [2] квазiстатичної термопружностi
(λ+ 2µ) grad divu− µ rot rotu = αT (3λ+ 2µ) grad T
у цилiндричнiй системi координат зводиться до двох рiвнянь в частинних похiдних
k2∂αθ + 2∂γωβ = αT (3k
2 − 4)∂αT,
k2∂γθ − 2α−1∂α(αωβ) = αT (3k
2 − 4)∂γT
(1)
54 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №10
стосовно iнварiантних величин
θ(α, γ) = divu = α−1∂α(αuα) + ∂γuγ ,
2ωβ(α, γ) = rotuβ = ∂γuα − ∂αuγ .
(2)
Тут k2 = (λ+2µ)/µ = 2(1−ν)/(1−2ν), де λ i µ — сталi Ламе; ν — коефiцiєнт Пуассона; αT —
коефiцiєнт лiнiйного теплового розширення; Ruα, Ruγ — компоненти вектора пружного
перемiщення u в напрямку осей α i γ, вiдповiдно; ∂α, ∂γ — оператори диференцiювання
за α, γ.
З урахуванням виразiв (2) система рiвнянь (1) розпадається на два незалежнi рiвняння
α−1∂α(α∂αθ) + ∂2
γθ = αTk
−2(3k2 − 4)[α−1∂α(α∂αT ) + ∂2
γT ], (3)
α−1∂α(α∂αuγ) + ∂2
γuγ = −(k2 − 1)∂γθ + αT (3k
2 − 4)∂γT (4)
вiдносно ключових функцiй θ(α, γ), uγ(α, γ).
Нехай у площинi γ = 0 джерела тепла розподiленi за законом
W (α, p) = T0
∞
∫
0
η2H(η, p)J0(ηα) dη, (5)
де H(η, p) — твiрна функцiя з параметром p > 0; J0(ηα) — функцiя Бесселя першого роду;
T0 — множник iз розмiрнiстю температури. Тодi температурне поле визначиться розв’язком
рiвняння стацiонарної теплопровiдностi з пеленою джерел тепла
∆T (α, γ) = α−1∂α(α∂αT ) + ∂2
γT = 2T0δ(γ)
∞
∫
0
η2H(η, p)J0(ηα) dη,
де δ(γ) — дельта-функцiя Дiрака, i буде таким:
T (α, γ) = T0
∞
∫
0
ηH(η, p)e−η|γ|J0(ηα) dη. (6)
Цей результат при фiксованому p збiгається з наведеним у роботi [3]. Вiдзначимо, що похiдна
∂γT = −T0 sign γ
∞
∫
0
η2H(η, p)e−η|γ|J0(ηα) dη
має стрибок при переходi площини γ = 0, а тому, за означенням [4], ця площина є мате-
рiальною поверхнею розриву параметрiв поля першого порядку — внутрiшнiм тепловим
шаром (internal thermal layer).
Якщо температурне поле (6) пiдставити в диференцiальне рiвняння (3), то для визна-
чення температурної об’ємної деформацiї θT (α, γ) одержимо рiвняння Пуассона
∆θT (α, γ) = 2βTT0δ(γ)
∞
∫
0
η2H(η, p)J0(ηα) dη,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №10 55
розв’язком якого є функцiя
θT (α, γ) = βTT (α, γ), βT = αTk
−2(3k2 − 4) = αT
1 + ν
1− ν
, (7)
у чому легко переконатися, якщо врахувати значення похiдної (sign γ)′ = 2δ(γ). За вiдо-
мою функцiєю θT (α, γ), диференцiальне рiвняння (4) вiдносно компоненти uTγ (α, γ) набуде
вигляду
∆uTγ (α, γ) ≡ −βTT0 sign γ
∞
∫
0
η2H(η, p)J0(ηα)e
−η|γ|dη
i його розв’язок
uTγ (α, γ) = 0,5βTγT (α, γ). (8)
Якщо ввести функцiю P T (α, γ) таку, що uTα(α, γ) = ∂αP
T (α, γ), то перше рiвняння (2)
матиме вигляд
α−1∂α(α∂αP
T ) = θT (α, γ) − ∂γu
T
γ , (9)
i його, з урахуванням (7) та (8), запишемо таким чином:
α−1∂α(α∂αP
T ) = 0,5βTT0
∞
∫
0
ηH(η, p)(1 + η|γ|)e−η|γ|J0(ηα) dη.
Розв’язок цього неоднорiдного рiвняння такий:
P T (α, γ) = −0,5βTT0
∞
∫
0
η−1H(η, p)(1 + η|γ|)e−η|γ|J0(ηα) dη.
Вiдзначимо, що функцiя P T (α, γ) є вiдомим [2] термопружним потенцiалом перемiщень
в цилiндричнiй системi координат, оскiльки
uTα(α, γ) = ∂αP
T (α, γ), uTγ (α, γ) = ∂γP
T (α, γ).
За функцiєю P T (α, γ) знайдемо радiальну компоненту uTα(α, γ) вектора u
uTα(α, γ) = 0,5βTT0
∞
∫
0
H(η, p)(1 + η|γ|)e−η|γ|J1(ηα) dη. (10)
Отже, пелена джерел тепла, розподiлених у площинi γ = 0 за законом (5), викликає у тi-
лi симетричне вiдносно цiєї площини радiальне поле перемiщень uTα(α, γ) за законом (10)
i антисиметричне поле перемiщень uTγ (α, γ) за законом (8), що цiлком узгоджується з фi-
зикою явища.
56 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №10
За вiдомими компонентами uTα(α, γ) та uTγ (α, γ) i спiввiдношеннями Дюамеля–Неймана
можна знайти всi характеристики напружено-деформованого стану у тiлi. Зокрема,
σT
γγ(α, γ) = −βTµ
[
T (α, γ) + T0|γ|
∞
∫
0
η2H(η, p)e−η|γ|J0(ηα) dη
]
,
σT
αα(α, γ) = −0,5βTµ
[
3T (α, γ) + T0
∞
∫
0
ηH(η, p)(1 + η|γ|)e−η|γ|J2(ηα) dη −
− T0|γ|
∞
∫
0
η2H(η, p)e−η|γ|J0(ηα) dη
]
,
σT
ββ(α, γ) = (3λ+ 2µ)βTT (α, γ) − [σT
γγ(α, γ) + σT
αα(α, γ)],
(11)
σT
αγ(α, γ) = −βTµγT0
∞
∫
0
η2H(η, p)e−η|γ|J1(ηα) dη. (12)
Таким чином, при iснуваннi у площинi γ = 0 пелени джерел тепла, згiдно з (11) i (12), у цiй
площинi σT
γγ(α, 0) = −βTµT (α, 0) i σT
αγ(α, 0) = 0.
Фундаментальна система розв’язкiв рiвнянь термопружностi з плоскою пе-
леною теплових диполiв. Нехай у площинi γ = 0 розподiленi тепловi диполi за законом
D(α, p) = T0
∞
∫
0
ηH(η, p)J0(ηα) dη (13)
з твiрною функцiєю H(η, p) i параметром p > 0. Тодi температурне поле у тiлi визначається
iз рiвняння стацiонарної теплопровiдностi з пеленою теплових диполiв
∆T (α, γ) = −2T0δ
′(γ)
∞
∫
0
ηH(η, p)J0(ηα) dη,
де δ′(γ) — похiдна вiд дельта-функцiї Дiрака, i є таким:
T (α, γ) = T0 sign γ
∞
∫
0
ηH(η, p)e−η|γ|J0(ηα) dη. (14)
Отже, пелена теплових диполiв зумовлює стрибкову змiну температури при переходi
площини γ = 0, про що свiдчить наявнiсть у законi розподiлу (14) функцiї стрибка sign γ.
Тому, за означенням [4], площина γ = 0 є матерiальною поверхнею розриву параметрiв
поля нульового порядку — внутрiшнiм тепловим вихором (internal thermal vortex). Дiйсно,
у цьому випадку обчислена за поданням (14) складова безрозмiрного вектора q
∗ = Rq/λT0
вздовж осi α
T0q
∗
α(α, γ) = −∂αT = T0 sign γ
∞
∫
0
η2H(η, p)e−η|γ|J1(ηα) dη
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №10 57
i, вiдповiдно до рiвняння балансу div q∗ = α−1∂α(αq
∗
α) + ∂γq
∗
γ = 0, його складова вздовж
осi γ є такою:
T0q
∗
γ(α, γ) = T0
∞
∫
0
η2H(η, p)e−η|γ|J0(ηα) dη. (15)
Тому пелена диполiв у площинi γ = 0 зумовлює виникнення пелени теплових вихорiв iз
складовою
(rotq∗)β = (∂γq
∗
α − ∂αq
∗
γ) = 2δ(γ)
∞
∫
0
η2H(η, p)e−η|γ|J1(ηα) dη
i, отже, при iснуваннi у площинi γ = 0 вихорової складової вектора теплового потоку q
∗
класичний закон теплопровiдностi Фур’є q = −λ grad T не має мiсця, оскiльки складова
q∗γ(α, γ) (15) ним не визначається.
Якщо закон розподiлу температурного поля (14) пiдставити в диференцiальне рiвнян-
ня (3), то для визначення температурної об’ємної деформацiї θT (α, γ) одержимо рiвняння
Пуассона
∆θT (α, γ) = 2βTT0δ
′(γ)
∞
∫
0
ηH(ηα)J0(ηα) dη,
розв’язком якого є функцiя (7). За вiдомою функцiєю θT (α, γ), диференцiальне рiвняння (4)
вiдносно температурної компоненти uTγ (α, γ) набуде вигляду
∆uTγ (α, γ) = 2βTT0
{
2δ(γ)
∞
∫
0
ηH(η, p)J0(ηα) dη −
∞
∫
0
η2H(η, p)J0(ηα) dη
}
i його розв’язок
uTγ (α, γ) = 0,5βT
{
γT (α, γ)− T0
∞
∫
0
H(η, p)−η|γ|J0(ηα) dη
}
. (16)
З урахуванням подань (7) та (16) диференцiальне рiвняння (9) вiдносно ключової функ-
цiї P T (α, γ) стане таким:
α−1∂α(α∂αP
T ) = 0,5βTT0γ
∞
∫
0
η2H(η, p)e−η|γ|J0(ηα) dη
i його розв’язок
P T (α, γ) = −0,5βTT0γ
∞
∫
0
H(η, p)e−η|γ|J0(ηα) dη.
58 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №10
Оскiльки uTα(α, γ) = ∂αP
T (α, γ), то радiальна температурна компонента вектора u
uTα(α, γ) = 0,5βTT0γ
∞
∫
0
ηH(η, p)e−η|γ|J1(ηα) dη (17)
i uTα(α, 0) = 0, тобто радiальнi температурнi перемiщення у площинi γ = 0 вiдсутнi.
За вiдомими компонентами uTγ (α, γ) (16) i uTα(α, γ) (17) та спiввiдношеннями Дюамеля–
Неймана знайдемо всi характеристики напруженого стану в тiлi, зумовленого температур-
ним полем (14). Зокрема,
σT
γγ(α, γ) = −βTµT0γ
∞
∫
0
η2H(η, p)e−η|γ|J0(ηα) dη,
σT
αα(α, γ) = −βTµ
{
2T (α, γ) − T0γ
∞
∫
0
η2H(η, p)e−η|γ|[J0(ηα)− J2(ηα)]dη
}
,
σT
ββ(α, γ) = (3λ+ 2µ)βTT (α, γ) − [σT
αα(α, γ) + σT
γγ(α, γ)],
σT
αγ(α, γ) = βTµ
∞
∫
0
ηH(η, p)(1 − η|γ|)e−η|γ|J1(ηα) dη.
(18)
Отже, при iснуваннi у площинi γ = 0 пелени теплових диполiв, розподiлених за за-
коном (13), нормальне напруження σT
γγ(α, γ), вiдповiдно до подання (18), дорiвнює нулю
у площинi γ = 0, а нормальнi напруження σT
αα(α, γ) i σT
ββ(α, γ) мають стрибок при пе-
реходi цiєї площини вздовж нормалi. Цей стрибок зумовлений стрибком температурного
поля (14). Таким чином, з механiчного погляду, за означенням [4], площина γ = 0 є ма-
терiальною поверхнею розриву характеристик напружено-деформованого стану першого
порядку — внутрiшнiм межовим шаром (internal boundary layer).
Вiдзначимо, що вирази для перемiщень (8), (10), (16) i (17) та напружень (11) (12) i (18)
збiгаються з наведеними у роботi [1], якi одержанi методом теорiї гармонiчних потенцiалiв
простого i подвiйного шарiв та термопружних потенцiалiв перемiщень.
1. Кiт Г. С., Сушко О.П. Осесиметричнi задачi теплопровiдностi та термопружностi для тiла з теп-
лоактивним або теплоiзольованим дисковим включенням (трiщиною) // Мат. методи та фiз.-мех.
поля. – 2010. – 53, № 1. – С. 58–70.
2. Новацкий В. Вопросы термоупругости. – Москва: Изд-во АН СССР, 1962. – 364 с.
3. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. – Москва: Наука, 1964. – 487 с.
4. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. – Москва: Наука, 1975. –
592 с.
Надiйшло до редакцiї 30.12.2010Львiвський нацiональний унiверситет
iм. Iвана Франка
Iнститут прикладних проблем механiки
i математики iм. Я.С. Пiдстригача
НАН України, Львiв
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №10 59
V.A. Halazyuk, Corresponding Member of the NAS of Ukraine H. S. Kit
The axisymmetric stress-strain state of a body with a plane sheet of
thermal sources or dipoles
The determination of the stationary temperature field in a body with a plane sheet of thermal
sources or dipoles is reduced to the solution of an integral equation of the first type. The method
of determination of the set of solutions of this equation is proposed. The components of the elastic
displacement vector and the components of the temperature stress tensor are found with regard for
the known temperature field and thermoelasticity equations.
60 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №10
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-43731 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:43:59Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Галазюк, В.А. Кіт, Г.С. 2013-05-15T15:57:28Z 2013-05-15T15:57:28Z 2011 Осесиметричний напружено-деформований стан у тілі з плоскою пеленою теплових джерел або диполів / В.А. Галазюк, Г.С. Кіт // Доп. НАН України. — 2011. — № 10. — С. 54-60. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/43731 539.3 Визначення стаціонарного темпертурного поля в тілі з пеленою теплових джерел або диполів зведено до інтегральних рівнянь першого роду і запропоновано метод знаходження множини їх розв'язків. За відомим температурним полем і рівняннями термопружності в переміщеннях знайдені компоненти вектора пружного переміщення та компоненти тензора температурних напружень. The determination of the stationary temperature field in a body with a plane sheet of thermal sources or dipoles is reduced to the solution of an integral equation of the first type. The method of determination of the set of solutions of this equation is proposed. The components of the elastic displacement vector and the components of the temperature stress tensor are found with regard for the known temperature field and thermoelasticity equations. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Осесиметричний напружено-деформований стан у тілі з плоскою пеленою теплових джерел або диполів The axisymmetric stress-strain state of a body with a plane sheet of thermal sources or dipoles Article published earlier |
| spellingShingle | Осесиметричний напружено-деформований стан у тілі з плоскою пеленою теплових джерел або диполів Галазюк, В.А. Кіт, Г.С. Механіка |
| title | Осесиметричний напружено-деформований стан у тілі з плоскою пеленою теплових джерел або диполів |
| title_alt | The axisymmetric stress-strain state of a body with a plane sheet of thermal sources or dipoles |
| title_full | Осесиметричний напружено-деформований стан у тілі з плоскою пеленою теплових джерел або диполів |
| title_fullStr | Осесиметричний напружено-деформований стан у тілі з плоскою пеленою теплових джерел або диполів |
| title_full_unstemmed | Осесиметричний напружено-деформований стан у тілі з плоскою пеленою теплових джерел або диполів |
| title_short | Осесиметричний напружено-деформований стан у тілі з плоскою пеленою теплових джерел або диполів |
| title_sort | осесиметричний напружено-деформований стан у тілі з плоскою пеленою теплових джерел або диполів |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/43731 |
| work_keys_str_mv | AT galazûkva osesimetričniinapruženodeformovaniistanutílízploskoûpelenoûteplovihdžerelabodipolív AT kítgs osesimetričniinapruženodeformovaniistanutílízploskoûpelenoûteplovihdžerelabodipolív AT galazûkva theaxisymmetricstressstrainstateofabodywithaplanesheetofthermalsourcesordipoles AT kítgs theaxisymmetricstressstrainstateofabodywithaplanesheetofthermalsourcesordipoles |