Поширення плоских теплових і термопружних сейсмічних хвиль у в'язці реологічних тіл Фойгта
Розглянуто задачу про поширення плоских теплових і термопружних сейсмічних хвиль у реологічному тілі, яке складається з довільного числа послідовно з'єднаних реологічних тіл (РТ) Фойгта (в узагальненому РТ Фойгта). Отримано аналітичні вирази для швидкостей і коефіцієнтів згасання теплових і тер...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/43736 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Поширення плоских теплових і термопружних сейсмічних хвиль у в'язці реологічних тіл Фойгта / Є.М. Бицань // Доп. НАН України. — 2011. — № 10. — С. 86-92. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859736085420048384 |
|---|---|
| author | Бицань, Є.М. |
| author_facet | Бицань, Є.М. |
| citation_txt | Поширення плоских теплових і термопружних сейсмічних хвиль у в'язці реологічних тіл Фойгта / Є.М. Бицань // Доп. НАН України. — 2011. — № 10. — С. 86-92. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Розглянуто задачу про поширення плоских теплових і термопружних сейсмічних хвиль у реологічному тілі, яке складається з довільного числа послідовно з'єднаних реологічних тіл (РТ) Фойгта (в узагальненому РТ Фойгта). Отримано аналітичні вирази для швидкостей і коефіцієнтів згасання теплових і термопружних сейсмічних хвиль. Доведено, що для цього РТ виконується принцип причинності.
The problem of propagation of plane thermal and thermoelastic seismic waves in a rheological body, which consists of an arbitrary number of connected in series Voigt's rheological bodies (extended Voigt's rheological body), is solved. The analytic expressions for velocities and the extinction coefficient of thermal and thermoelastic waves are obtained. It is proved that, for this rheological body, the causality principle is realized.
|
| first_indexed | 2025-12-01T15:07:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
10 • 2011
НАУКИ ПРО ЗЕМЛЮ
УДК 530.3+550.344
© 2011
Є.М. Бицань
Поширення плоских теплових i термопружних
сейсмiчних хвиль у в’язцi реологiчних тiл Фойгта
(Представлено академiком НАН України В. I. Старостенком)
Розглянуто задачу про поширення плоских теплових i термопружних сейсмiчних хвиль
у реологiчному тiлi, яке складається з довiльного числа послiдовно з’єднаних реологiчних
тiл (РТ) Фойгта (в узагальненому РТ Фойгта). Отримано аналiтичнi вирази для швид-
костей i коефiцiєнтiв згасання теплових i термопружних сейсмiчних хвиль. Доведено,
що для цього РТ виконується принцип причинностi.
Сейсмiчнi хвилi є важливим джерелом iнформацiї про будову Землi, а тому дослiдження
їхнiх властивостей — одна з основних задач геофiзики. Мiж параметрами сейсмiчних хвиль
i властивостями фiзичних середовищ, в яких вони поширюються, iснують певнi залежностi,
за допомогою яких можна одержати данi про їхнiй склад i структуру. Зауважимо, що реаль-
нi фiзичнi середовища є непружними, що враховується за допомогою реологiчних моделей
включенням в математичну модель поряд iз пружними елементами в’язкi й пластичнi [1, 2].
У цьому повiдомленнi розглядатиметься задача про поширення плоских теплових i тер-
мопружних хвиль в однорiдному iзотропному середовищi, непружнiсть якого апроксимуєть-
ся реологiчним тiлом, що схематично зображається послiдовним об’єднанням n (n > 2)
реологiчних тiл (РТ) Фойгта.
Реологiчна формула РТ записується таким чином:
V ∗
n = V1 − V2 − · · · − Vn,
де V = N |H — тiло Фойгта; H й N — пружний й в’язкий елементи, вертикальна риска
означає паралельне, а горизонтальна — послiдовне з’єднання.
Реологiчне рiвняння (РР) узагальненого тiла Фойгта виводиться рекурентно з умови
V ∗
k = V ∗
k−1 − Vk, k = 2, . . . , n, (1)
враховуючи, що в дослiджуваному тiлi деформацiя дорiвнює сумi деформацiй у його скла-
дових, а напруга в ньому i в його складових однакова:
σ∗
k = σ∗
k−1 = σk = σ, ε∗k = ε∗k−1 + εk = ε, (2)
де σ — напруга; ε — деформацiя; нижнiй iндекс указує на належнiсть до певного РТ.
86 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №10
Зв’язок мiж напругою й деформацiєю в ординарному РТ Фойгта описується так:
σi = Ei[(1 + τiD)εi − βiθi], (3)
а τi = ηi/Ei — час релаксацiї напруги при постiйнiй деформацiї в i-му тiлi Фойгта, ηi
й Ei — його в’язкий i пружний модулi; βi = αT i(1 + νi)/(1− νi), αT i — коефiцiєнт лiнiйного
температурного розширення; νi — коефiцiєнт Пуассона; θi = Ti − T0i, T0i — температура
недеформованого, а Ti — деформованого i-го тiла Фойгта в точцi з поточною координатою
x (θi/T0i ≪ 1); D = d/dt — оператор диференцiювання по часовiй координатi t.
РР дослiджуваного тiла отримаємо шляхом виключення iз системи (1) за допомогою
рiвнянь (2) парцiальних напруг й деформацiй та припущення, що θn ∼= θn−1 = θ:
Pn−1(D)σ = Ẽn[Qn(D)ε − β∗
nRn−1θ], (4)
де Pn−1, Qn i Rn−1 — лiнiйнi диференцiальнi вирази (ЛДВ) вiд D, адитивна константа в яких
дорiвнює одиницi, а iншi виражаються через термомеханiчнi параметри дослiджуваного РТ,
нижнiй iндекс вказує на порядок цих полiномiв; Ẽn = Ẽn−1En/(Ẽn−1 +En) — релаксуючий
пружний модуль узагальненого РТ Фойгта; β∗
n = β∗
n−1 + βn — константа зв’язностi, мала́
порiвняно з одиницею.
Треба сказати, що можуть бути виродженi випадки об’єднання РТ Фойгта у випадку,
коли один з елементiв останнього РТ Фойгта буде дорiвнювати нулю:
V ∗H
n = V ∗
n − E, V ∗N
n = V ∗
n−1 − η.
РР цих РТ запишемо таким чином:
PH
n σ = ẼH
n (Qnε− βH
n RH
n θ), PN
n−1σ = ηD(Qn−1ε− β∗
n−1Rn−2θ), (5)
звiдки PH
n = (QnẼn+Pn−1E)/(E+Ẽn), Ẽ
H
n = EẼn/(E+Ẽn), β
H
n = β∗
n+β0, R
H
n = (β∗
nRn−1+
+ β0Qn)/β
H
n , PN
n−1 = Qn−1 + τ0,n−1Pn−2, τ0,n−1 = η/Ẽn−1, а Pn−1, Qn й Rn−1 — коефiцiєнти
вiдповiдно при напрузi, деформацiї i температурi в РР РТ Фойгта V ∗
n .
Система рiвнянь зв’язаної динамiчної задачi термопружностi складається з рiвняння
руху в перемiщеннях та рiвняння теплопровiдностi.
Рiвняння руху для плоскої поздовжньої одновимiрної хвилi отримаємо за допомогою
другого закону Ньютона, який встановлює зв’язок мiж напругою i перемiщенням:
ρü = σ′, (6)
де u — поздовжнє змiщення середовища в напрямi поширення сейсмiчної хвилi; ρ — питома
густина; штрихом позначено диференцiювання по лiнiйнiй змiннiй x.
Продиференцiюємо спiввiдношення (4) по змiннiй x та пiдставимо σ з рiвняння (6).
Враховуючи, що ε = u′, отримаємо в пiдсумку рiвняння руху в перемiщеннях для дослi-
джуваного тiла:
ρD2Pn−1u = En(Qnu
′′ − β∗
nRn−1θ). (7)
Рiвняння теплопровiдностi, згiдно з публiкацiями [3, 4], можна записати так:
θ′′ − 1
κ
θ̇ −mu̇′ = 0, (8)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №10 87
звiдки κ — коефiцiєнт температуропровiдностi; m = β0E0T0/λq, λq — коефiцiєнт теплопро-
вiдностi, E0 — пружний модуль.
Розв’язок системи рiвнянь термопружностi (7) й (8) шукаємо в такому виглядi [3, 4]:
u = u0e
i(kx−ωt), θ = θ0e
i(kx−ωt), (9)
де u0 й θ0 — довiльнi сталi iнтегрування; ω — колова частота; k = ω/c0 + iα — хвильо-
ве число, c0 — фазова швидкiсть, а α — коефiцiєнт згасання дослiджуваних сейсмiчних
хвиль; i =
√
−1. Знак при часовiй координатi t вибираємо так, щоб виконувався принцип
причинностi [5, 6].
Пiдставимо u й θ в формi (9) у спiввiдношення (7), (8) та отримаємо однорiдну лiнiйну
систему рiвнянь вiдносно сталих iнтегрування u0 й θ0:
(
−k2 +
iω
κ
)
θ0 −mωku0 = 0,
iẼnβ
∗
nRn−1kθ0 + [−ρω2Pn−1 + Ẽnk
2Qn]u0 = 0.
(10)
Згiдно з умовою нетривiальностi розв’язку системи рiвнянь (7), (8), маємо характерис-
тичне бiквадратне рiвняння для хвильових чисел
EnQnk
4 −
[
ρω2Pn−1 + i
ωEn
κ
Qn1 + imωβ∗
n
]
k2 − iρω3Pn−1
κQn
= 0,
яке можна записати у формi
k4 −
[
ω2
c20
+
ω
κ
(1 + δ0)i
]
k2 − iω3
κc20
= 0, (11)
де c20 = E/ρ — комплексна швидкiсть; E = ẼnQn/Pn−1 = Ẽ0(1 − iβ) — комплексний,
а Ẽ0 = Re(E) — динамiчний модуль; β = arctg(Im(E)/Re(E)) — фазова характеристика
комплексного модуля, яка для бiльшостi гiрських порiд є малою вiдносно одиницi i нази-
вається кутом втрат або внутрiшнiм тертям [7–9]; δ0 = mκβ∗
nRn−1/Qn — константа зв’яз-
ностi, яка є малою порiвняно з одиницею [3, 4].
Зауважимо, що для вироджених випадкiв процедура отримання характеристичних рiв-
нянь вiдрiзняється тим, що рiвняння руху в перемiщеннях оцiнимо за допомогою рiв-
нянь (5).
Коренi бiквадратного рiвняння (10) знаходимо за формулою
k21,2 =
1
2
[
ω2
c20
+
iω
κ
(1 + δ0)±
(
ω2
c20
− iω
κ
(1 + δ0)
)√
1 + δ
]
, (12)
де δ = 4iδ0ξ/[ξ − i(1 − δ0)]
2 ≪ 1, ξ = ωκ/c20 ≪ 1.
Рiвняння (12) дає двi пари хвильових чисел. Перша пара вiдноситься до термопружної
хвилi, а друга — до теплової. Додатна величина береться для хвилi, що рухається в пози-
тивному напрямi осi x, а вiд’ємна — для хвилi, що рухається у зворотному напрямi.
Модуль комплексної константи δ є малим порiвняно з одиницею, i це дозволяє лiнеаризу-
вати радикал у формулi (12) та отримати в пiдсумку лiнеаризованi формули для хвильових
88 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №10
чисел, за допомогою яких можна записати такi вирази для фазових швидкостей i коефi-
цiєнтiв згасання термопружних й теплових сейсмiчних хвиль [4]:
V1 =
ω
Re(k1)
=
c̃0
1− δ0/2
, α1 = Im(k1) =
ωβ
2c̃0
,
V2 =
ω
Re(k2)
=
√
2κ(1 + δ0)
ω
, α2 = Im(k2) =
√
ω(1 + δ0)
2κ
.
Повернемося до питання про знак при часовiй компонентi в формулi (9). Необхiдною
i достатньою умовою дотримання принципу причинностi [5, 6] є аналiтичнiсть хвильових
чисел, яка зводиться до вимоги, щоб хвильове число k(ω) не мало особливостей в нижнiй
пiвплощинi (Imω < 0). Переконаємося, що ця умова буде виконуватися у випадку, коли
показник степеня у виразi (9) для часової складової буде вiд’ємним.
Наявнiсть особливостей в хвильовому числi k(ω) визначається структурою коренiв комп-
лексного модуля
Ẽn =
ẼnQn(D)
Pn−1(D)
. (13)
Iз запису видно, що точками розгалуження хвильового числа k(ω) є коренi полiнома Qn.
Характеристичнi полiноми P й Q розкладаються на множники таким чином:
Qn =
n∑
i=0
biD
i = bn
n∏
i=1
(D − µi),
Pn−1 =
n−1∑
i=0
aiD
i = an−1
n−1∏
i=1
(D − λi)
(14)
(тут a0 = b0 = 1, λi = −τ−1
i , µi = −ν−1
i — коренi характеристичних рiвнянь P (D) й
Q(D); τi й νi — часи релаксацiй й пiслядiї вiдповiдно). Пiдставимо в формулу (13) вирази
для характеристичних полiномiв P й Q, згiдно з формулами (14), i враховуючи, згiдно
з теоремою Вiєта, що bn =
n∏
i=1
νi, an−1 =
n−1∏
i=1
τi, отримаємо при D = −iω такий вираз для
комплексного модуля:
E =
Ẽn
n∏
i=1
(
ω +
i
νi
)
n−1∏
i=1
(
ω +
i
τi
) ,
звiдки випливає, що комплексний модуль, а отже, i хвильове число не мають коренiв у ниж-
нiй пiвплощинi.
Далi розглянемо поведiнку дослiджуваного РТ у стандартних випадках для фiксованої
точки x = x0.
1. Якщо в РТ V ∗
n пiдтримується постiйна напруга σ = σ0 = const, то в цьому випадку
в тiлi вiдбувається процес повзучостi. Рiвняння теплопровiдностi (8) дає залежнiсть мiж
температурою й деформацiєю
θ = −mκε, (15)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №10 89
а реологiчне рiвняння (4) зводиться до такого диференцiального рiвняння вiдносно дефор-
мацiї ε:
(Qn + δ̃
(n)
0 Rn−1)ε =
σ0
Ẽn
, (16)
розв’язок якого (функцiя повзучостi) можна записати так:
ε =
n∑
i=1
cie
−t/λi +
σ0
(1 + δ̃
(n)
0 )Ẽn
, (17)
де δ̃
(n)
0 = mkδ∗n; ci — сталi iнтегрування, що знаходяться з початкових умов, а λi — часи
релаксацiї деформацiї при постiйнiй напрузi, якi визначаються за допомогою характери-
стичного рiвняння
Qn(λ) + δ∗nRn−1(λ) = 0.
Якщо в момент t = t1 тiло розвантажити, то в ньому буде вiдбуватись пiслядiя. Дефор-
мацiю (функцiю пiслядiї) в цьому випадку опишемо виразом
ε =
n∑
i=1
die
−t′/λi ,
де di — сталi iнтегрування, що визначаються з початкових умов; t′ = t − t1, i вона буде
змiнюватися вiд ε1 = ε(t1) при t = t1 до 0 при t = ∞.
Зауважимо, що для узагальненого РТ Фойгта V ∗N
n вiдмiнностi функцiй повзучостi та
пiслядiї вiд аналогiчних у РТ Фойгта V ∗
n будуть визначатись рiзницею коефiцiєнтiв у лiвих
частинах їхнiх РР. Деформацiю в узагальненому РТ Фойгта V ∗N
n опишемо диференцiаль-
ним рiвнянням
ηD(QN
n−1 − δ∗n−1Rn−2)ε =
σ0
E(1 + δ̃n−1
0 )
,
за допомогою якого можна отримати такi вирази:
для функцiї повзучостi
ε(1) =
n∑
i=1
c′ie
−t/λi +
σ0
E(1 + δ0)
;
для функцiї пiслядiї
ε(2) =
n∑
i=1
c′ie
−t′/λi .
2. У випадку, коли в узагальненому РТ Фойгта V ∗
n пiдтримується постiйна деформацiя
ε = ε0 = const, має мiсце релаксацiя напруг, а реологiчне рiвняння (4) перетворюється
в диференцiальне рiвняння для напруг σ
Pn(D)σ = 0, (18)
90 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №10
розв’язок якого (функцiя релаксацiї) наведемо виразом
σ =
n∑
i=1
die
−t/τi , (19)
де di — сталi iнтегрування, якi визначаються з початкових умов, а часи релаксацiї напруг
при постiйнiй деформацiї τi (часи пiслядiї) задовольняють характеристичному рiвнянню
Pn(τ) = 0. (20)
З рiвняння (19) випливає, що напруга буде релаксувати вiд σ0 при t = 0 до 0 при t = ∞.
Релаксацiя напруг в узагальненому РТ Фойгта V ∗N
n зводиться до розглянутого вище
випадку при показнику в ЛДВ P , що дорiвнює n − 1, для узагальненого РТ Фойгта V ∗H
n
рiвняння (18) матиме вигляд
Pn(D)σ = ẼH
n ε0(1 + δ̃
(n)
0 ),
а функцiю релаксацiї запишемо виразом
σ =
n∑
i=1
die
−t/τi + ẼH
n ε0(1 + δ̃
(n)
0 ).
Тодi напруга буде релаксувати вiд σ0 при t = 0 до ẼH
n ε0(1 + δ̃
(n)
0 ) при t = ∞.
3. Якщо в тiлi пiдтримується гармонiчна напруга σ = σ0e
iωt, то деформацiя в цьому
випадку буде запiзнюватись по фазi вiд напруги:
ε = ε0e
i(ωt−φ). (21)
Зсув фаз φ мiж деформацiєю й напругою та початкову деформацiю ε0 знаходимо за
формулами
φ = β, ε0 =
σ0
|E| , (22)
де E — комплексний в’язкопружний модуль.
1. Кондратьев О.К. Сейсмические волны в поглощающих средах. – Москва: Недра, 1986. – 176 с.
2. Рейнер М. Реология. – Москва: Наука, 1965. – 294 с.
3. Коваленко А.Д. Основы термоупругости. – Киев: Наук. думка, 1970. – 239 с.
4. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. – Москва: Мир, 1970. – 165 с.
5. Коган С.Я. Краткий обзор теорий поглощения сейсмических волн // Изв. АН СССР. Физика Земли. –
1966. – № 11. – С. 1–28.
6. Futterman W. I. Dispersive body waves // J. Geoph. Res. – 1962. – 67. – P. 5279–5291.
7. Уайт Дж. Возбуждение и распространение сейсмических волн. – Москва: Недра, 1986. – 261 с.
8. Сорокин Е.С. К теории внутреннего трения. – Москва: Госстройиздат, 1960. – 152 с.
9. Ржаницын А. Р. Теория ползучести. – Москва: Госстройиздат, 1968. – 416 с.
Надiйшло до редакцiї 24.02.2011Iнститут геофiзики iм. С. I. Субботiна
НАН України, Київ
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №10 91
Je.M. Bytsan’
Propagation of plane thermal and thermoelastic seismic waves in
Voigt’s rheological bodies’ cluster
The problem of propagation of plane thermal and thermoelastic seismic waves in a rheological body,
which consists of an arbitrary number of connected in series Voigt’s rheological bodies (extended
Voigt’s rheological body), is solved. The analytic expressions for velocities and the extinction coeffi-
cient of thermal and thermoelastic waves are obtained. It is proved that, for this rheological body,
the causality principle is realized.
92 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №10
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-43736 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-01T15:07:51Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бицань, Є.М. 2013-05-15T16:17:08Z 2013-05-15T16:17:08Z 2011 Поширення плоских теплових і термопружних сейсмічних хвиль у в'язці реологічних тіл Фойгта / Є.М. Бицань // Доп. НАН України. — 2011. — № 10. — С. 86-92. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/43736 530.3+550.344 Розглянуто задачу про поширення плоских теплових і термопружних сейсмічних хвиль у реологічному тілі, яке складається з довільного числа послідовно з'єднаних реологічних тіл (РТ) Фойгта (в узагальненому РТ Фойгта). Отримано аналітичні вирази для швидкостей і коефіцієнтів згасання теплових і термопружних сейсмічних хвиль. Доведено, що для цього РТ виконується принцип причинності. The problem of propagation of plane thermal and thermoelastic seismic waves in a rheological body, which consists of an arbitrary number of connected in series Voigt's rheological bodies (extended Voigt's rheological body), is solved. The analytic expressions for velocities and the extinction coefficient of thermal and thermoelastic waves are obtained. It is proved that, for this rheological body, the causality principle is realized. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Науки про Землю Поширення плоских теплових і термопружних сейсмічних хвиль у в'язці реологічних тіл Фойгта Propagation of plane thermal and thermoelastic seismic waves in Voigt's rheological bodies' cluster Article published earlier |
| spellingShingle | Поширення плоских теплових і термопружних сейсмічних хвиль у в'язці реологічних тіл Фойгта Бицань, Є.М. Науки про Землю |
| title | Поширення плоских теплових і термопружних сейсмічних хвиль у в'язці реологічних тіл Фойгта |
| title_alt | Propagation of plane thermal and thermoelastic seismic waves in Voigt's rheological bodies' cluster |
| title_full | Поширення плоских теплових і термопружних сейсмічних хвиль у в'язці реологічних тіл Фойгта |
| title_fullStr | Поширення плоских теплових і термопружних сейсмічних хвиль у в'язці реологічних тіл Фойгта |
| title_full_unstemmed | Поширення плоских теплових і термопружних сейсмічних хвиль у в'язці реологічних тіл Фойгта |
| title_short | Поширення плоских теплових і термопружних сейсмічних хвиль у в'язці реологічних тіл Фойгта |
| title_sort | поширення плоских теплових і термопружних сейсмічних хвиль у в'язці реологічних тіл фойгта |
| topic | Науки про Землю |
| topic_facet | Науки про Землю |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/43736 |
| work_keys_str_mv | AT bicanʹêm poširennâploskihteplovihítermopružnihseismíčnihhvilʹuvâzcíreologíčnihtílfoigta AT bicanʹêm propagationofplanethermalandthermoelasticseismicwavesinvoigtsrheologicalbodiescluster |