Большие уклонения для обратных стохастических уравнений с квадратичным ростом
Доведено принцип великих відхилень для обернених стохастичних рівнянь, пов'язаних із сім'єю марковських процесів з малою дифузією, коефіцієнти яких залежать від малого параметра. При обгрунтуванні даного принципу встановлено рівномірну на компактах збіжність розв'язків напівлінійних п...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/43817 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Большие уклонения для обратных стохастических уравнений с квадратичным ростом / И.А. Качанова // Доп. НАН України. — 2011. — № 11. — С. 15-19. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-43817 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Качанова, И.А. 2013-05-18T17:42:36Z 2013-05-18T17:42:36Z 2011 Большие уклонения для обратных стохастических уравнений с квадратичным ростом / И.А. Качанова // Доп. НАН України. — 2011. — № 11. — С. 15-19. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/43817 519.21 Доведено принцип великих відхилень для обернених стохастичних рівнянь, пов'язаних із сім'єю марковських процесів з малою дифузією, коефіцієнти яких залежать від малого параметра. При обгрунтуванні даного принципу встановлено рівномірну на компактах збіжність розв'язків напівлінійних параболічних рівнянь другого порядку з малим параметром при старшій похідній і коефіцієнтами, що залежать від цього параметра і слабко збігаються в L2,loc. We prove the large deviation principle for backward stochastic equations related to a family of Markov processes with small diffusion, where the coefficients of these forward-backward equations depend on a small parameter. To prove this principle, we show the convergence of solutions of second-order semilinear parabolic partial equations, which is uniform on compact sets, with small parameter by the second derivative and coefficients which depend on this parameter and weakly converge in L2,loc. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Большие уклонения для обратных стохастических уравнений с квадратичным ростом Large deviations for backward stochastic equations with quadratic growth Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Большие уклонения для обратных стохастических уравнений с квадратичным ростом |
| spellingShingle |
Большие уклонения для обратных стохастических уравнений с квадратичным ростом Качанова, И.А. Математика |
| title_short |
Большие уклонения для обратных стохастических уравнений с квадратичным ростом |
| title_full |
Большие уклонения для обратных стохастических уравнений с квадратичным ростом |
| title_fullStr |
Большие уклонения для обратных стохастических уравнений с квадратичным ростом |
| title_full_unstemmed |
Большие уклонения для обратных стохастических уравнений с квадратичным ростом |
| title_sort |
большие уклонения для обратных стохастических уравнений с квадратичным ростом |
| author |
Качанова, И.А. |
| author_facet |
Качанова, И.А. |
| topic |
Математика |
| topic_facet |
Математика |
| publishDate |
2011 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Large deviations for backward stochastic equations with quadratic growth |
| description |
Доведено принцип великих відхилень для обернених стохастичних рівнянь, пов'язаних із сім'єю марковських процесів з малою дифузією, коефіцієнти яких залежать від малого параметра. При обгрунтуванні даного принципу встановлено рівномірну на компактах збіжність розв'язків напівлінійних параболічних рівнянь другого порядку з малим параметром при старшій похідній і коефіцієнтами, що залежать від цього параметра і слабко збігаються в L2,loc.
We prove the large deviation principle for backward stochastic equations related to a family of Markov processes with small diffusion, where the coefficients of these forward-backward equations depend on a small parameter. To prove this principle, we show the convergence of solutions of second-order semilinear parabolic partial equations, which is uniform on compact sets, with small parameter by the second derivative and coefficients which depend on this parameter and weakly converge in L2,loc.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/43817 |
| citation_txt |
Большие уклонения для обратных стохастических уравнений с квадратичным ростом / И.А. Качанова // Доп. НАН України. — 2011. — № 11. — С. 15-19. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kačanovaia bolʹšieukloneniâdlâobratnyhstohastičeskihuravneniiskvadratičnymrostom AT kačanovaia largedeviationsforbackwardstochasticequationswithquadraticgrowth |
| first_indexed |
2025-11-24T21:03:13Z |
| last_indexed |
2025-11-24T21:03:13Z |
| _version_ |
1850494267404845056 |
| fulltext |
УДК 519.21
© 2011
И.А. Качанова
Большие уклонения для обратных стохастических
уравнений с квадратичным ростом
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.Я. Гутлянским)
Доведено принцип великих вiдхилень для обернених стохастичних рiвнянь, пов’язаних iз
сiм’єю марковських процесiв з малою дифузiєю, коефiцiєнти яких залежать вiд малого
параметра. При обгрунтуваннi даного принципу встановлено рiвномiрну на компактах
збiжнiсть розв’язкiв напiвлiнiйних параболiчних рiвнянь другого порядку з малим па-
раметром при старшiй похiднiй i коефiцiєнтами, що залежать вiд цього параметра
i слабко збiгаються в L2,loc.
Обратные стохастические уравнения (ОСУ) были введены в работе [1] для вероятностно-
го представления решений квазилинейных параболических уравнений. Затем ОСУ начали
исследоваться в связи с проблемами финансовой математики, оптимального управления,
теории игр, усреднения нелинейных параболических уравнений и др. Появилась необходи-
мость в исследовании поведения решений самих ОСУ. Принцип больших уклонений для
решений стохастических уравнений с винеровским процессом w(t) вида
Y ε,s,x(t) = g(Xε,s,x(T )) +
T
∫
t
f(v,Xε,s,x(v), Y ε,s,x(v), Zε,s,x(v)) dv −
T
∫
t
Zε,s,x(v) dw(v),
где
Xε,s,x(t) = x+
t
∫
s
b(v,Xε,s,x(v)) dv +
√
2ε
t
∫
s
σ(v,Xε,s,x(v)) dw(v),
изучался в работах [2, 3], где функция f(s, x, y, z) могла иметь рост не выше линейного
по последнему аргументу. В этой работе рассматриваются уравнения, имеющие квадратич-
ный рост по аргументу z, и, кроме того, коэффициенты уравнений для процессов Xε,s,x(t)
Y ε,s,x(t) сами зависят от малого мараметра ε. При этом не требуется существование у них
поточечных пределов при ε → 0, эти функции могут иметь осцилляции по временной пе-
ременной.
Далее R
n — n-мерное евклидово пространство со скалярным произведением (·, ·), A′ —
транспонированная к матрице A матрица. Множество непрерывных на [0, T ] функций со
значениями в R
n обозначим C([0, T ];Rn). Функция f(t) ∈ C1
p([0, T ]), если отрезок [0, T ]
можно разбить на конечное число интервалов 0 = t1 < t2 < . . . < tn = T , внутри каждого
из которых функции f(t) и f ′(t) непрерывны и имеют конечные левые и правые пределы
в точках {ti}. Через C1
p([0, T ];R
n) обозначим класс n-мерных функций, каждая координата
которых принадлежит C1
p([0, T ]). Для классов функций, имеющих локально суммируемые
производные в смысле Соболева, используются обозначения W 2
p,loc(R
n) W 1,2
p,loc([0, T ] × R
n).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №11 15
Через (Ω,F , P ) обозначим вероятностное пространство, w(t) — n-мерный винеровский про-
цесс. В дальнейшем Ft — наименьшая σ-алгебра, порожденная винеровским процессом
σ{w(s), s 6 t}, E — символ математического ожидания.
Пусть при каждом ε > 0 заданы функции σεij(t, x), b
ε
i (t, x), i, j = 1, n, f ε(t, x, y), gε(x),
t ∈ [0, T ], x ∈ R
n, y ∈ R
1.
Рассмотрим ОСУ вида
Y ε,s,x(t) = gε(Xε,s,x(T )) +
+
T
∫
t
[
f ε(v,Xε,s,x(v), Y ε,s,x(v)) +
1
2ε
|Zε,s,x(v)|2
]
dv −
T
∫
t
(Zε,s,x(v), dw(v)), (1)
где
Xε,s,x(t) = x+
t
∫
s
bε(v,Xε,s,x(v)) dv +
√
2ε
t
∫
s
σε(v,Xε,s,x(v)) dw(v) (2)
и докажем, что процесс Y ε,s,x(t) удовлетворяет принципу больших уклонений.
Через M2 обозначим класс Ft-согласованных процессов ξ(t), t ∈ [0, T ], для которых
E
T
∫
0
|ξ(t)|2dt < ∞.
Пара Ft-согласованных процессов (Y ε,s,x(t), Zε,s,x(t)) со значениями в R
1 × R
n назы-
вается решением уравнения (1), если
a) Zε,s,x(t) ∈ M2;
b) равенство (1) выполнено с вероятностью 1.
Обозначим aε(t, x) = σε(t, x)(σε(t, x))′. Введем предположения.
Условие I.
I1. Функции aεij(t, x), i, j = 1, n, непрерывны при каждом ε > 0. Существуют положи-
тельные постоянные λ, µ, не зависящие от ε, такие, что ∀ θ ∈ R
n
λ|θ|2 6 (aε(t, x)θ, θ) 6 µ|θ|2.
I2. Функции bεi (t, x), i = 1, n, непрерывны при каждом ε > 0 и ограничены равномерно
по (t, x, ε).
I3. Функции f ε(t, x, y) непрерывны при каждом ε > 0 и ограничены равномерно по
(t, x, y, ε).
I4. Функции gε(x) ограничены равномерно по (x, ε) и имеют шесть непрерывных про-
изводных при каждом ε > 0.
I5. Две из отмеченных в условии I4 производных ограничены равномерно по (x, ε).
I6. Функции aεij(t, x), b
ε
i (t, x), i, j = 1, n, четырежды непрерывно дифференцируемы по x
при каждом ε > 0, и две из этих производных ограничены равномерно по (t, x, ε).
I7. Функции f ε(t, x, y) четырежды непрерывно дифференцируемы по x, y при каждом
ε > 0, и две из этих производных ограничены равномерно по (t, x, y, ε). Смешанные произ-
водные до четвертого порядка по переменным x, y непрерывны при каждом ε > 0 и вторые
смешанные производные ограничены равномерно по (t, x, y, ε).
При предположениях I3 и I4 при каждом ε > 0 существует решение уравнения (1)
класса M2 [4, теорема 2]. Единственность этого решения следует из [5, теорема 2.6].
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №11
Условие II. Существуют функции aij(t), bi(t) ∈ C([0, T ]; R1)
⋂
C1
p([0, T ];R
1)
(i, j = 1, n) такие, что:
II1. a
ε
ij(t, x) ⇀
ε→0
aij(t);
II2. b
ε
i (t, x) ⇀
ε→0
bi(t).
Условие III. Существуют функции g(x), f(t, x, y) такие, что:
III1. f
ε(t, x, y) ⇀
ε→0
f(t, x, y);
III2. lim
ε→0
sup
x∈SN
|gε(x) − g(x)| = 0, ∀N < ∞.
Пусть функция u(t, x) — решение следующей задачи Коши:
∂u
∂t
+ aij(t)
∂u
∂xi
∂u
∂xj
+ bi(t)
∂u
∂xi
+ f(t, x, u(t, x)) = 0,
t ∈ [0, T ), x ∈ R
n,
u(T, x) = g(x), x ∈ R
n.
(3)
Отметим, что классическое (непрерывно дифференцируемое) решение для (3) сущест-
вует, вообще говоря, лишь для малых T . Для построения теории, свободной от этого огра-
ничения, используем подход, основываясь на понятии обобщенного решения [6].
Обозначим через Lloc([0, T ]×R
n) множество функций ϕ(t, x), определенных на [0, T ]×R
n
и удовлетворяющих локальному условию Липшица. Через Eloc([0, T ]×R
n) обозначим класс
функций ϕ(t, x) таких, что ϕ(t, x) ∈ Lloc([0, T ] × R
n) и
△2 ϕ
△ l2
=
ϕ(t, x+ l)− 2ϕ(t, x) + ϕ(t, x− l)
|l|2 > −α(t),
где α(t) 6 Cδ < ∞ при 0 6 t 6 T − δ < T , Cδ — положительная постоянная.
Следуя [6], введем понятие обобщенного решения задачи (3).
Определение. Обобщенным решением задачи (3) назовем функцию u(t, x) ∈
∈ Lloc([0, T ] × R
n), удовлетворяющую уравнению из (3) почти всюду и имеющую соответ-
ствующее начальное значение из (3).
Известно [6], что для (3) обобщенное решение единственно в классе ограниченных функ-
ций из Eloc([0, T ] × R
n).
Основные результаты. Сформулируем результаты работы для случая s = 0, хотя
они очевидным образом переформулируются для произвольного s ∈ [0, T ]. Доказательство
принципа больших уклонений для процесса Y ε,x(t) = Y ε,0,x(t) использует следующую тео-
рему.
Теорема 1. Пусть при каждом ε > 0 функции aεij(t, x), b
ε
i (t, x), f
ε(t, x, y),
∂
∂y
f ε(t, x, y),
gε(x) измеримы, ограничены и функции aεij(t, x) непрерывны, функции gε(x) ∈ W 2
p,loc(R
n),
p > n + 1. Тогда при каждом ε > 0 задача Коши
∂uε
∂t
+ εaεij(t, x)
∂2uε
∂xi∂xj
+ aεij(t, x)
∂uε
∂xi
∂uε
∂xj
+ bεi (t, x)
∂uε
∂xi
+
+ f ε(t, x, uε(t, x)) = 0, t ∈ [0, T ), x ∈ R
n,
uε(T, x) = gε(x), x ∈ R
n,
(4)
имеет единственное решение в классе uε(t, x) ∈ W
1,2
p,loc([0, T ] × R
n), p > n + 1.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №11 17
Семейство мер νε(A) на метрическом пространстве (X, ρ,B) с метрикой ρ и борелевской
σ-алгеброй B удовлетворяет принципу больших уклонений с функционалом I(x), если [7,
с. 118]:
для любого a > 0 множество {x : I(x) 6 a} компактно;
для любого открытого множества A ∈ B, lim inf
ε→0
ε ln νε(A) > − inf{I(x), x ∈ A};
для любого замкнутого множества A ∈ B, lim sup
ε→0
ε ln νε(A) 6 − inf{I(x), x ∈ A}.
Теорема 2. Пусть условия I–III выполнены. Тогда семейство вероятностных мер
νε(A) = P (Y ε,x ∈ A) на пространстве C([0, T ];Rn) с равномерной метрикой удовлетво-
ряет принципу больших уклонений с функционалом действия
I ′(ψ) = inf{I(ϕ) : ϕ(t) абсолютно непрерывна и ϕ(0) = x | ψ(t) = u(t, ϕ(t)),
∀ t ∈ [0, T ]}, (5)
где функционал I(ϕ) определяется формулой
I(ϕ) =
1
4
∫ T
0
(a−1(t)(b(t)− ϕ̇(t)), b(t) − ϕ̇(t))) dt,
если ϕ(t) абсолютно непрерывна и ϕ (0) = x,
+∞, в противном случае.
Доказательство. Используем связь между решением ОСУ и решением задачи Коши
для уравнения (4). Применив обобщенную формулу Ито [8, гл. 2, § 10] к uε(t, x) и процессу
(2), получим, что процесс Y ε,x(t) имеет представление
Y ε,x(t) = uε(t,Xε,x(t)), Xε,x(t) = Xε,0,x(t),
с функцией Zε,x(t) = Zε,0,x(t) =
√
2ε(∇uεσε)(t,Xε,x(t)), t ∈ [0, T ]. Семейство мер, поро-
жденное процессами Xε,x(t), на пространстве C([0, T ];Rn) удовлетворяет принципу боль-
ших уклонений с функционалом действия I(ϕ) [9, теорема 6.1]. Методами, развитыми в [9],
аналогично доказательству [9, теорема 1.1] устанавливается, что задача (3) имеет един-
ственное решение в классе Eloc([0, T ] × R
n) и равномерно на компактах
sup
x∈K
s∈ [0,T ]
|uε(s, x)− u(s, x)| →
ε→0
0.
Применяя “contraction” принцип [10, теорема 2.4], получаем нужный результат.
1. Pardoux E., Peng S. Adapted solution of backward stochastic differential equation // Systems and Control
Lett. – 1990. – 14, No 1. – P. 55–61.
2. Essaky E.H. Large deviation for BSDE with subdifferential operator // Comptes Rendus Mathematique. –
2008. – 346, No 1–2. – P. 75–78.
3. Rainero S. Un principle de grandes déviations pour une équation différentielle stochastique progressive
rétrograde // Comptes Rendus Mathematique. – 2006. – 343, No 2. – P. 141–144.
4. Braind Ph., Hu Y. BSDE with quadratic growth and unbounded terminal value // Prob. Theory Relat.
Fields. – 2006. – 136, No 4. – P. 604–618.
5. Kobylanski M. Backward stochastic differential equations and partial differential equations with quadratic
growth // Ann. Probab. – 2000. – 28. – P. 558–602.
6. Кружков С.Н. Обобщенные решения нелинейных уравнений первого порядка со многими независи-
мыми переменными // Матем. сб. – 1966. – 70. – С. 394–415.
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №11
7. Вентцель А.Д., Фрейдлин М.И. Флуктуации в динамических системах под действием малых слу-
чайных возмущений. – Москва: Наука, 1979. – 424 с.
8. Крылов Н.В. Управляемые процессы диффузионного типа. – Москва: Наука, 1977. – 400 с.
9. Махно С.Я. Параболические уравнения с малым параметром и большие уклонения для диффузион-
ных процессов // Матем. сб. – 1994. – 185, № 11. – С. 41–56.
10. Varadhan S. R. S. Large deviations and applications. – Filadelphia: SIAM, 1984. – 75 p.
Поступило в редакцию 27.12.2010Институт прикладной математики
и механики НАН Украины, Донецк
I. A. Kachanova
Large deviations for backward stochastic equations with quadratic
growth
We prove the large deviation principle for backward stochastic equations related to a family of
Markov processes with small diffusion, where the coefficients of these forward-backward equations
depend on a small parameter. To prove this principle, we show the convergence of solutions of
second-order semilinear parabolic partial equations, which is uniform on compact sets, with small
parameter by the second derivative and coefficients which depend on this parameter and weakly
converge in L2,loc.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №11 19
|