Фредгольмовість періодичних задач для систем рівнянь біжучих хвиль
Доводиться альтернатива Фредгольма для загальної лінійної одновимірної строго гіперболічної системи першого порядку з періодичними умовами за часовою змінною та умовами відображення за просторовою змінною. Вибираються два банахові простори неперервних функцій, які задовольняють умову оптимальної рег...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/43818 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Фредгольмовість періодичних задач для систем рівнянь біжучих хвиль / I.Я. Кмiть, Л. Рекке // Доп. НАН України. — 2011. — № 11. — С. 20-26. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859774266509099008 |
|---|---|
| author | Кміть, І.Я. Рекке, Л. |
| author_facet | Кміть, І.Я. Рекке, Л. |
| citation_txt | Фредгольмовість періодичних задач для систем рівнянь біжучих хвиль / I.Я. Кмiть, Л. Рекке // Доп. НАН України. — 2011. — № 11. — С. 20-26. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Доводиться альтернатива Фредгольма для загальної лінійної одновимірної строго гіперболічної системи першого порядку з періодичними умовами за часовою змінною та умовами відображення за просторовою змінною. Вибираються два банахові простори неперервних функцій, які задовольняють умову оптимальної регулярності між розв'язками та правими частинами диференціальних рівнянь і показується, що диференціальний оператор задачі є бієктивним з одного простору на інший. Для доведення фредгольмовості задача регуляризується шляхом побудови правого параметриксу в явному вигляді. Контроль над малими знаменниками відбувається через коефіцієнти відображення в крайових умовах.
We prove the Fredholm alternative for the general linear first-order strictly hyperbolic system in a single spatial variable with periodicity conditions in time and reflection boundary conditions in space. We choose Banach spaces of continuous functions providing an optimal regularity relation between the solutions and the right-hand sides of equations and prove that a differential part of the problem is modeled as a bijective operator from one space onto another. To prove the Fredholmness, we regularize the problem by explicitly constructing a right parametrix. The problem under consideration allows a control over small divisors via reflection coefficients in the boundary conditions.
|
| first_indexed | 2025-12-02T08:02:40Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.95
© 2011
I.Я. Кмiть, Л. Рекке
Фредгольмовiсть перiодичних задач для систем рiвнянь
бiжучих хвиль
(Представлено членом-кореспондентом НАН України Б. Й. Пташником)
Доводиться альтернатива Фредгольма для загальної лiнiйної одновимiрної строго гi-
перболiчної системи першого порядку з перiодичними умовами за часовою змiнною та
умовами вiдображення за просторовою змiнною. Вибираються два банаховi простори не-
перервних функцiй, якi задовольняють умову оптимальної регулярностi мiж розв’язка-
ми та правими частинами диференцiальних рiвнянь i показується, що диференцiальний
оператор задачi є бiєктивним з одного простору на iнший. Для доведення фредгольмо-
востi задача регуляризується шляхом побудови правого параметриксу в явному вигля-
дi. Контроль над малими знаменниками вiдбувається через коефiцiєнти вiдображення
в крайових умовах.
У роботi дослiджується загальна лiнiйна одновимiрна гiперболiчна система першого по-
рядку
ω∂tuj + aj(x, t)∂xuj +
n∑
k=1
bjk(x, t)uk = fj(x, t), j 6 n, (x, t) ∈ (0, 1) × R, (1)
з перiодичними умовами за часовою змiнною
uj(x, t+ 2π) = uj(x, t), j 6 n, (x, t) ∈ [0, 1] × R, (2)
та умовами вiдображення за просторовою змiнною
uj(0, t) =
n∑
k=m+1
r0jkuk(0, t), j 6 m, t ∈ R,
uj(1, t) =
m∑
k=1
r1jkuk(1, t), m+ 1 6 j 6 n, t ∈ R.
(3)
Тут 1 6 m < n, ω > 0 i r0jk, r
1
jk є фiксованими дiйсними числами. Правi частини fj : [0, 1]×
×R → R i коефiцiєнти aj, bjk : [0, 1]×R → R є 2π-перiодичними за t. Основним результатом
роботи є критерiй розв’язностi (альтернатива Фредгольма) у деякому пiдпросторi просто-
ру неперервних функцiй. За певних умов на вихiднi данi ми показуємо, що задача (1)–(3)
моделюється фредгольмовим оператором нульового iндексу, тобто задача є розв’язною то-
дi i лише тодi, коли права частина f = (f1, . . . , fn) є ортогональною до всiх розв’язкiв
вiдповiдної однорiдної спряженої задачi. Вiдзначимо, що фредгольмовiсть лiнеаризацiй не-
лiнiйних задач вiдiграє ключову роль при розв’язаннi останнiх за допомогою теореми про
неявну функцiю у банахових просторах та зведення до бiфуркацiйних рiвнянь за схемою
Ляпунова–Шмiдта [1, 2].
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №11
Покладемо a = (a1, . . . , an), b = [bjk]
n
j,k=1. Позначимо через W = C2π([0, 1] × R)n прос-
тiр правих частин з нормою ‖f‖W = max
j6n
max
06x61
max
06t62π
|f(x, t)|. Для заданих ω > 0 i aj ∈
∈ C1([0, 1] × [0, 2π]) таких, що aj 6= 0 для всiх j 6 n, введемо простiр розв’язкiв
U(ω, a) = {u ∈ W : [ω∂tuj + aj∂xuj ]
n
j=1 ∈ W}
з нормою
‖u‖2U(ω,a) = ‖u‖2W + ‖[ω∂tuj + aj∂xuj]
n
j=1‖
2
W ,
де ∂tuj i ∂xuj розумiємо в сенсi узагальнених похiдних. Зауважимо, що добуток aj∂xuj є ко-
ректно визначеним в D′ для довiльного j 6 n. Розглянемо замкнений пiдпростiр V (ω, a, r) =
= {u ∈ U(ω, a) : виконується (3)}. Тут r = (r0, r1), де r0 = [r0jk]
mn
j=1,k=m+1, r
1 = [r1jk]
nm
j=m+1,k=1
є матрицi, складенi з коефiцiєнтiв r0jk i r1jk. Далi використовуватимемо позначення b0 =
= diag{b11, b22, . . . , bnn} i b1 = b − b0. Введемо оператори A(ω, a, b0) ∈ L(V (ω, a, r);W )
i B(b1) ∈ L(W ) за правилами
A(ω, a, b0)u = [ω∂tu+ aj∂xuj + bjjuj ]
n
j=1, B(b1)u =
[
∑
j 6=k
bjkuk
]n
j=1
.
Тодi операторне рiвняння
A(ω, a, b0)u+ B(b1)u = f (4)
є абстрактним зображенням задачi (1)–(3). Покладемо
La = exp
{
ωmax
j,x,t
|∂ta
−1
j |
}
,
R(a, b) = max
m+16j6n
max
16k6m
max
x,t,ξ,τ
exp
{(
bjj
aj
)
(x, t)−
(
bkk
ak
)
(ξ, τ)
}
.
(5)
Позначимо через τ = ωj(ξ;x, t) рiвняння j-тої характеристики системи (1), яка проходить
через точку (x, t). Нижченаведена теорема стверджує, що пара просторiв (W,V (ω, a, r))
забезпечує оптимальну регулярнiсть мiж розв’язками та правими частинами рiвнянь.
Теорема 1. Нехай bjj ∈ W ,
aj ∈ C1([0, 1] × [0, 2π]), min
x,t
|aj | > 0 для всiх j 6 n. (6)
q = R(a, b)
n∑
j,l=m+1
m∑
k=1
|r1jkr
0
kl| < 1, (7)
LaR(a, ∂xa− b)×
×
n∑
j,l=m+1
m∑
k=1
max
x,t
∣∣∣∣
(
ak
aj
)
(1, ωj(1;x, t))
(
al
ak
)
(0, ωk(0; 1, ωj(1;x, t)))
∣∣∣∣|r
1
jkr
0
kl| < 1. (8)
Тодi для будь-якого c > 0 такого, що
n∑
j=1
‖bjj‖∞ +
m∑
j=1
n∑
k=m+1
|r0jk|+
n∑
j=m+1
m∑
k=1
|r1jk| 6 c (9)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №11 21
iснує C > 0 таке, що оператор A(ω, a, b0) є iзоморфiзмом з V (ω, a, r) на W i
‖A(ω, a, b0)−1‖L(W ;V (ω,a,r)) 6 C.
Позначимо через [·, ·]W : W ∗×W → R дуальну пару i сформулюємо альтернативу Фред-
гольма для розглядуваної задачi.
Теорема 2. Припустимо, що bjk ∈ C(0, 1;C1[0, 2π]), qL2
a < 1, виконуються умови (6),
(8) та
aj 6= ak для всiх j 6= k i для всiх (x, t) ∈ [0, 1] × [0, 2π]. (10)
Тодi мають мiсце такi твердження:
(i) A(ω, a, b0) + B(b1) ∈ L(V (ω, a, r);W ) є фредгольмовим оператором 0-го iндексу;
(ii) Im(A(ω, a, b0) + B(b1)) = {f ∈ W : [f, u]W = 0 для всiх u ∈ ker(A(ω, a, b0) + B(b1))∗}.
У роботах [3, 4] ми запропонували загальний пiдхiд до доведення фредгольмовостi для
одновимiрних гiперболiчних систем першого порядку i застосували його до часткового ви-
падку системи (1)–(3) з коефiцiєнтами, незалежними вiд часу. Тут ми поширюємо цей пiдхiд
на загальнi гiперболiчнi системи першого порядку, використовуючи цiлком вiдмiнну технiку.
Про банаховiсть простору розв’язкiв.
Лема 1. Простiр U(ω, a) є повним.
Доведення. У доведеннi вважатимемо, що a = diag(a1, . . . , an). Нехай (uk)k∈N — фун-
даментальна послiдовнiсть в U(ω, a). Тодi (uk)k∈N i (∂tu
k + a∂xu
k)k∈N є фундаментальними
послiдовностями в W , де ∂tu
k та ∂xu
k розумiємо в сенсi узагальнених похiдних. Оскiльки W
є повним, то iснують v, w ∈ W такi, що uk → v в W , ω∂tu
k + a∂xu
k → w в W при k → ∞.
Залишається довести, що ω∂tv + a∂xv = w в D′. Розглянемо C1-послiдовнiсть vk → v в W
i гладку функцiю ϕ : (0, 1)×(0, 2π) → R
n з компактним носiєм. Маємо, що 〈ω∂tv+a∂xv, ϕ〉D =
= −〈v, ω∂tϕ+ ∂x(aϕ)〉C = lim
k→∞
〈vk, ω∂tϕ+ ∂x(aϕ)〉C = lim
k→∞
〈ω∂tv
k + a∂xv
k, ϕ〉D = 〈w,ϕ〉D.
Властивiсть iзоморфiзму (доведення теореми 1). Нехай f ∈ W є довiльною, але
фiксованою функцiєю з простору W . Достатньо показати, що iснує єдина функцiя u ∈
∈ V (ω, a, r), яка задовольняє систему
ω∂tuj + aj(x, t)∂xuj + bjj(x, t)uj = fj(x, t), j 6 n, (11)
умови (2), (3) i апрiорну оцiнку
‖u‖V (ω,a,r) 6 C‖f‖W , (12)
де C не залежить вiд f . Позначимо
cj(ξ;x, t) = exp
ξ∫
x
(
bjj
aj
)
(ξ1, ωj(ξ1;x, t)) dξ1, βj(ξ;x, t) =
cj(ξ;x, t)
aj(ξ, ωj(ξ;x, t))
.
Тодi за умови (8) довiльний неперервний розв’язок системи (1) визначається формулою
uj(x, t) = cj(0;x, t)uj(0, ωj(0;x, t)) +
x∫
0
βj(ξ;x, t)fj(ξ, ωj(ξ;x, t)) dξ, j 6 n. (13)
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №11
Крайовi умови (3) еквiвалентнi таким двом умовам:
uj(0, t) =
n∑
k=m+1
r0jkuk(0, t), j 6 m, (14)
cj(0; 1, t)uj(0, ωj(0; 1, t)) −
m∑
k=1
n∑
p=m+1
r1jkr
0
kpck(0; 1, t)up(0, ωk(0; 1, t)) =
= −
1∫
0
βj(ξ; 1, t)fj(ξ, ωj(ξ; 1, t)) dξ +
m∑
k=1
r1jk
1∫
0
βk(ξ; 1, t)fk(ξ, ωk(ξ; 1, t)) dξ, (15)
m+ 1 6 j 6 n.
Зафiксуємо m+1 6 j 6 n i покладемо τ = ωj(0; 1, t). Тодi t = ωj(1; 0, τ). Введемо позначення
djkp(θ) = c−1
j (0; 1, ωj(1; 0, τ))ck(0; 1, ωj(1; 0, τ))r
1
jkr
0
kp. Тодi рiвнiсть (15) записується у виглядi
uj(0, τ) =
m∑
k=1
n∑
p=m+1
djkp(τ)up(0, ωk(0; 1, ωj(1; 0, τ))) + Fj(τ), m+ 1 6 j 6 n, (16)
де
Fj(τ) = c−1
j (0; 1, ωj(1; 0, τ))
[
−
1∫
0
β−1
j (ξ; 1, ωj(1; 0, τ))fj(ξ, ωj(ξ; 0, τ)) dξ +
+
m∑
k=1
r1jk
1∫
0
βk(ξ; 1, ωj(1; 0, τ))fk(ξ, ωk(ξ; 1, ωj(1; 0, τ))) dξ
]
. (17)
Ми отримали систему лiнiйних функцiональних рiвнянь щодо функцiй uj(0, τ), m+1 6 j 6
6 n. Оператор правої частини вiдображає простiр неперервних 2π-перiодичних функцiй
в себе, а також є стиском завдяки умовi q < 1. За теоремою Банаха про нерухому точку
система (16) має єдиний неперервний 2π-перiодичний розв’язок (um+1(0, τ), . . . , un(0, τ)).
Таким чином, враховуючи (14), задача (11), (2), (3) має єдиний неперервний 2π-перiодичний
розв’язок, який визначається формулою (13). Функцiя (um+1(0, τ), . . . , un(0, τ)) може бути
знайдена методом послiдовних наближень, а вiдтак справедливим є операторне зображення
uj(0, τ) =
∞∑
l=1
(Dl
jF )(τ), m+ 1 6 j 6 n, (18)
де D0
jF = Fj , (D
1
jF )(τ) =
m∑
k=1
n∑
p=m+1
djkp(τ)Fp(ωk(0; 1, ωj(1; 0, τ))) i
(Dl
jF )(τ) = [D1
j (D
l−1
j F )](τ). (19)
Враховуючи (14), отримуємо оцiнку
‖u(0, ·)‖C[0,2π] 6 C‖f‖W , (20)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №11 23
яка є справедливою для деякої константи C, що не залежить вiд f i u. Беручи тепер до
уваги (13), встановлюємо апрiорну оцiнку
‖u‖W 6 C‖f‖W (21)
з новою константою C > 0, що не залежить вiд f i u. Зауважимо, що uj(0, ωj(0;x, t)),
fj(ξ, ωj(ξ;x, t)) i (bjj/aj)(ξ, ωj(ξ;x, t)) є розподiлами уздовж j-го характеристичного напрям-
ку через точку (x, t), а вiдтак вони є слабкими розв’язками рiвняння ω∂twj +aj(x, t)∂xwj =
= 0. Тому неважко показати, що функцiя u, визначена формулою (13), задовольняє рiв-
няння (11) у сенсi розподiлiв. Остаточна апрiорна оцiнка (12) тепер випливає з рiвностей
ω∂tuj + aj(x, t)∂xuj = −bjj(x, t)uj + fj(x, t), j 6 n.
Альтернатива Фредгольма (доведення теореми 2). За теоремою 1 оператор A+
+B ∈ L(V (ω, a, r);W ) є фредгольмовим тодi i лише тодi, коли є фредгольмовим I+BA−1 ∈
∈ L(W ), де I — тотожний оператор на W . Будемо використовувати такий критерiй фре-
дгольмовостi (див. [3, лема 11; 5, твердження 5.7.1]).
Лема 2. Нехай W — деякий банахiв простiр, I — тотожний оператор на W , C ∈ L(W ),
причому C2 — компактний оператор. Тодi I + C є фредгольмовим оператором нульового
iндексу.
Покладемо C = BA−1 i застосуємо лему 2, тобто покажемо, що C2 є компактним операто-
ром. Для цього будемо використовувати критерiй передкомпактностi в просторi неперерв-
них функцiй. Нехай N ⊂ W — деяка обмежена множина i M = C2(N). Оскiльки C2 ∈ L(W )
є обмеженим оператором, то M є обмеженою в W . Залишається перевiрити властивiсть
одностайної неперервностi множини M . Покладемо ũ = C2f . Отже, необхiдно довести, що
iснує така функцiя α : R+ → R, що α(p) → 0 при p → 0 i має мiсце оцiнка
‖ũ(x+ h1, t+ h2)− ũ(x, t)‖W 6 α(|h|) (22)
для всiх ũ ∈ M i h = (h1, h2) ∈ R
2. Позначимо u = A−1f . Тодi
ũj(x, t) =
n∑
k=m+1,k 6=j
bjk(x, t)ck(0;x, t)
∞∑
l=0
(Dl
kF )(ωk(0;x, t)) +
+
m∑
k=1,k 6=j
bjk(x, t)ck(0;x, t)
n∑
p=m+1
r0kp
∞∑
l=0
(Dl
pF )(ωp(0;x, t)) +
+
n∑
k=1,k 6=j
bjk(x, t)
x∫
0
βk(ξ;x, t)
n∑
s=1,s 6=k
(bksus)(ξ, ωk(ξ;x, t)) dξ, j 6 n, (23)
де (Dl
jF )(τ) задається формулою (19) i
Fp(τ) = c−1(0; 1, ωp(1; 0, τ))
[
−
1∫
0
βp(ξ; 1, ωp(1; 0, τ))
n∑
s=1,s 6=p
(bpsus)(ξ, ωp(ξ; 0, τ)) dξ +
+
m∑
k=1
r1pk
1∫
0
βk(ξ; 1, ωp(1; 0, τ))
n∑
s=1,s 6=k
(bksus)(ξ, ωk(ξ; 1, ωp(1; 0, τ))) dξ
]
. (24)
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №11
Перетворимо вираз (23) для ũ таким чином, щоб u|x=0 i f у правiй частинi не залежа-
ли вiд x i t. Перетворення проiлюструємо на прикладi iнтегрального виразу Iks(x, t) =
=
x∫
0
βk(ξ;x, t)(bksus)(ξ, ωk(ξ;x, t)) dξ для довiльно фiксованих k i s 6= k (перетворення решти
iнтегралiв здiйснюється аналогiчно). Використовуючи формулу (13) i припущення (10),
отримуємо
Iks(x, t) =
x∫
0
βk(ξ;x, t)bks(ξ, τ)
[
cs(0; ξ, τ)us(0, ωs(0; ξ, τ)) +
+
ξ∫
0
βs(ξ1; ξ, τ)fs(ξ1, ωs(ξ1; ξ, τ)) dξ1
∣∣∣∣
τ=ωk(ξ;x,t)
]
dξ =
=
ωs(0;x,t)∫
ωk(0;x,t)
βk(ρ;x, t)bks(ρ, ωk(ρ;x, t))us(0, τ)|J(0, ρ)|
∣∣∣
ρ=θ(0,τ ;x,t)
dτ +
+
x∫
0
ωs(ξ;x,t)∫
ωk(ξ;x,t)
βk(ρ;x, t)bks(ρ, ωk(ρ; ξ, τ))βs(ξ; ρ, ωk(ρ; ξ, τ)) ×
× |J(ξ, ρ)|
∣∣∣
ρ=θ(ξ,τ ;x,t)
fs(ξ, τ) dξdτ,
де θ(ξ, τ ;x, t) позначає x-координату точки, у якiй перетинаються характеристики ωk(ξ1;x, t)
i ωs(ξ1; ξ, τ), J(ξ, ρ) позначає якобiан вiдповiдного перетворення змiнних:
J(ξ, ρ) =
(
akaj
ak − aj
)
(ρ, ωj(ρ)) exp
{ ρ∫
ξ
(
∂2ak
a2k
)
(η, ωk(η; ρ, ωj(ρ))) dη
}
.
Отже, з огляду на (20) i припущення гладкостi щодо aj i bij, справедливою є оцiнка
|Iks(x+ h1, t+ h2)− Iks(x, t)| 6 CI |h|‖f‖W , (25)
де CI не залежить вiд x, t, k 6= s, h ∈ R
2 i f . Покажемо тепер, що подiбна оцiнка виконується
для iнтегралiв у правiй частинi оператора (D0
pF )(ωp(0;x, t)) = Fp(ωp(0;x, t)). Для прикла-
ду розглянемо iнтеграл J0(x, t) = Ips(1, ωp(1; 0, ωp(0;x, t))) = Ips(1, ωp(1;x, t)). Зауважимо,
що La є спiльною константою Лiпшиця функцiй ωp(ξ;x, t) за змiнною t, а Laωmax
j,x,t
|a−1
j |
є спiльною константою Лiпшиця функцiй ωp(ξ;x, t) за змiнною x. Отже, враховуючи (25),
маємо оцiнку
|J0(ωp(1;x+ h1, t+ h2))− J0(ωp(1;x, t))| 6 CILa
(
1 + ωmax
j,x,t
|a−1
j |
)
|h|‖f‖W ,
яка є рiвномiрною за m + 1 6 p 6 n, s 6 n, p 6= s i f ∈ N. Звiдси
|(D0
pF )(ωp(0;x+ h1, t+ h2))− (D0
pF )(ωp(0;x, t))| 6 CF |h|‖f‖W , (26)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №11 25
де константа CF не залежить вiд x, t, m + 1 6 p 6 n, h i f ∈ N , причому CF > CI .
Наступну оцiнку встановлюємо для iнтегральних виразiв, що входять до зображення опе-
ратора (D1
kF )(ωk(0;x, t)), де m + 1 6 k 6 n. Для прикладу розглянемо вираз J1(x, t) =
= Ips(1, ωp(1; 0, ωl(0; 1, ωk(1;x, t)))). Беручи до уваги (25), отримуємо
|J1(x+ h1, t+ h2)− J1(x, t)| 6 CIL
3
a
(
1 + ωmax
j,x,t
|a−1
j |
)
|h|‖f‖W .
В загальному для довiльного q ∈ N0 справедливою є оцiнка
|Jq(x+ h1, t+ h2)− Jq(x, t)| 6 CIL
2q+1
a
(
1 + ωmax
j,x,t
|a−1
j |
)
|h|‖f‖W , (27)
де Jq(x, t) позначає довiльний фiксований iнтеграл у зображеннi (Dq
pF )(ωp(0;x, t)). Повер-
таючись тепер до (23) i беручи до уваги (25)–(27), а також припущення теореми qL2
a < 1,
отримуємо потрiбну оцiнку (22).
1. Chow S.-N., Hale J. K. Methods of bifurcation theory. – New York; Berlin; Heidelberg: Springer, 1982. –
515 p.
2. Kielhöfer H. Bifurcation theory. An introduction with applications to PDEs. – New York; Berlin; Hei-
delberg: Springer, 2004. – 346 p.
3. Kmit I., Recke L. Fredholm Alternative for periodic-Dirichlet problems for linear hyperbolic systems //
J. Math. Anal. and Appl. – 2007. – 335. – P. 355–370.
4. Kmit I., Recke L. Fredholmness and smooth dependence for linear hyperbolic periodic-Dirichlet problems. –
Berlin: DFG Research Center Matheon, 2010. – Preprint 701. – P. 1–22.
5. Zeidler E. Applied functional analysis. Main principles and their applications. – New York; Berlin; Hei-
delberg: Springer-Verlag, 1995. – 404 p.
Надiйшло до редакцiї 10.01.2011Iнститут пpикладних пpоблем механiки
i математики iм. Я.С. Пiдстpигача
НАН Укpаїни, Львiв
Iнститут математики, Берлiнський унiверситет
iм. Гумбольдта
I. Ya. Kmit, L. Recke
Fredholm property of periodic problems for systems of traveling-wave
equations
We prove the Fredholm alternative for the general linear first-order strictly hyperbolic system in
a single spatial variable with periodicity conditions in time and reflection boundary conditions in
space. We choose Banach spaces of continuous functions providing an optimal regularity relation
between the solutions and the right-hand sides of equations and prove that a differential part of the
problem is modeled as a bijective operator from one space onto another. To prove the Fredholmness,
we regularize the problem by explicitly constructing a right parametrix. The problem under consi-
deration allows a control over small divisors via reflection coefficients in the boundary conditions.
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №11
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-43818 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-02T08:02:40Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кміть, І.Я. Рекке, Л. 2013-05-18T17:44:07Z 2013-05-18T17:44:07Z 2011 Фредгольмовість періодичних задач для систем рівнянь біжучих хвиль / I.Я. Кмiть, Л. Рекке // Доп. НАН України. — 2011. — № 11. — С. 20-26. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/43818 517.95 Доводиться альтернатива Фредгольма для загальної лінійної одновимірної строго гіперболічної системи першого порядку з періодичними умовами за часовою змінною та умовами відображення за просторовою змінною. Вибираються два банахові простори неперервних функцій, які задовольняють умову оптимальної регулярності між розв'язками та правими частинами диференціальних рівнянь і показується, що диференціальний оператор задачі є бієктивним з одного простору на інший. Для доведення фредгольмовості задача регуляризується шляхом побудови правого параметриксу в явному вигляді. Контроль над малими знаменниками відбувається через коефіцієнти відображення в крайових умовах. We prove the Fredholm alternative for the general linear first-order strictly hyperbolic system in a single spatial variable with periodicity conditions in time and reflection boundary conditions in space. We choose Banach spaces of continuous functions providing an optimal regularity relation between the solutions and the right-hand sides of equations and prove that a differential part of the problem is modeled as a bijective operator from one space onto another. To prove the Fredholmness, we regularize the problem by explicitly constructing a right parametrix. The problem under consideration allows a control over small divisors via reflection coefficients in the boundary conditions. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Фредгольмовість періодичних задач для систем рівнянь біжучих хвиль Fredholm property of periodic problems for systems of traveling-wave equations Article published earlier |
| spellingShingle | Фредгольмовість періодичних задач для систем рівнянь біжучих хвиль Кміть, І.Я. Рекке, Л. Математика |
| title | Фредгольмовість періодичних задач для систем рівнянь біжучих хвиль |
| title_alt | Fredholm property of periodic problems for systems of traveling-wave equations |
| title_full | Фредгольмовість періодичних задач для систем рівнянь біжучих хвиль |
| title_fullStr | Фредгольмовість періодичних задач для систем рівнянь біжучих хвиль |
| title_full_unstemmed | Фредгольмовість періодичних задач для систем рівнянь біжучих хвиль |
| title_short | Фредгольмовість періодичних задач для систем рівнянь біжучих хвиль |
| title_sort | фредгольмовість періодичних задач для систем рівнянь біжучих хвиль |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/43818 |
| work_keys_str_mv | AT kmítʹíâ fredgolʹmovístʹperíodičnihzadačdlâsistemrívnânʹbížučihhvilʹ AT rekkel fredgolʹmovístʹperíodičnihzadačdlâsistemrívnânʹbížučihhvilʹ AT kmítʹíâ fredholmpropertyofperiodicproblemsforsystemsoftravelingwaveequations AT rekkel fredholmpropertyofperiodicproblemsforsystemsoftravelingwaveequations |