О граничном поведении регулярных решений уравнений Бельтрами
В роботі отримано інтегральні умови на дилатаційне відношення рівнянь Бельтрамі, за яких має місце гомеоморфне продовження загальних гомеоморфних розв'язків класу Wloc^1,1 на межу у випадку обмежених опуклих областей та обмежених областей з гладкими межами класу C¹. Крім того, наведено критерії...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/43819 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О граничном поведении регулярных решений уравнений Бельтрами / Д.А. Ковтонюк, И.В. Петков, В.И. Рязанов // Доп. НАН України. — 2011. — № 11. — С. 27-30. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859534835428622336 |
|---|---|
| author | Ковтонюк, Д.А. Петков, И.В. Рязанов, В.И. |
| author_facet | Ковтонюк, Д.А. Петков, И.В. Рязанов, В.И. |
| citation_txt | О граничном поведении регулярных решений уравнений Бельтрами / Д.А. Ковтонюк, И.В. Петков, В.И. Рязанов // Доп. НАН України. — 2011. — № 11. — С. 27-30. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | В роботі отримано інтегральні умови на дилатаційне відношення рівнянь Бельтрамі, за яких має місце гомеоморфне продовження загальних гомеоморфних розв'язків класу Wloc^1,1 на межу у випадку обмежених опуклих областей та обмежених областей з гладкими межами класу C¹. Крім того, наведено критерії усувності ізольованих особливостей розв'язків вироджених рівнянь Бельтрамі.
We obtained integral conditions on the dilatation quotient of the Beltrami equation guaranteing a homeomorphic extension of general homeomorphic solutions of the class Wloc^1,1 to the boundary in the case of bounded convex domains, as well as bounded domains with smooth boundaries of the class C¹. Moreover, the criteria of removability for the isolated singularities of degenerate Beltrami equations are given.
|
| first_indexed | 2025-11-25T23:24:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
© 2011
Д.А. Ковтонюк, И. В. Петков, В. И. Рязанов
О граничном поведении регулярных решений
уравнений Бельтрами
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.Я. Гутлянским)
В роботi отримано iнтегральнi умови на дилатацiйне вiдношення рiвнянь Бельтрамi, за
яких має мiсце гомеоморфне продовження загальних гомеоморфних розв’язкiв класу W 1,1
loc
на межу у випадку обмежених опуклих областей та обмежених областей з гладкими
межами класу C1. Крiм того, наведено критерiї усувностi iзольованих особливостей
розв’язкiв вироджених рiвнянь Бельтрамi.
Пусть D — область в комплексной плоскости C, т. е. связное и открытое подмножество в C,
и пусть µ : D → C — измеримая функция с |µ(z)| < 1 почти всюду (п. в.) в D. Уравнением
Бельтрами называется уравнение вида
fz = µ(z)fz, (1)
где fz = ∂f = (fx+ ify)/2, fz = ∂f = (fx− ify)/2, z = x+ iy, fx и fy — частные производные
отображения f по x и y соответственно. Функция µ называется комплексным коэффициен-
том, а
Kµ(z) =
1 + |µ(z)|
1− |µ(z)|
— (2)
дилатационным отношением для уравнения (1). Уравнение Бельтрами (1) называется вы-
рожденным, если ess supKµ(z) = ∞.
Теорема существования гомеоморфных решений класса Соболева W 1,1
loc была доказана
для многих вырожденных уравнений Бельтрами (см., например, [1–4]).
Об устранении изолированных особенностей. Начнем, прежде всего, с критериев
устранимости изолированных особенностей.
Теорема 1. Пусть D — область в C, z0 ∈ D, и пусть f — гомеоморфное решение
уравнения Бельтрами (1) класса W 1,1
loc в D \ {z0}. Предположим, что
ε0
∫
0
dr
rkµ(r)
= ∞, (3)
где ε0 < dist(z0, ∂D) и kµ(r) — среднее значение Kµ(z) по окружности |z− z0| = r. Тогда f
имеет непрерывное продолжение в D.
Отсюда мы имеем, в частности, следующие следствия.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №11 27
Следствие 1. Пусть D — область в C и пусть f — гомеоморфное решение уравнения
Бельтрами (1) класса W 1,1
loc в D \ {z0}. Если
kµ(r) = O
(
log
1
r
)
при r → 0, (4)
то f имеет непрерывное продолжение в D.
Следствие 2. Пусть D — область в C, x0 ∈ D, и пусть f — гомеоморфное решение
уравнения Бельтрами (1) класса W 1,1
loc в D \ {z0}. Если
kµ(r) = O
(
log
1
r
log log
1
r
· · · log · · · log
1
r
)
при r → 0, (5)
то f имеет непрерывное продолжение в D.
Продолжение решений на границы. Наиболее простой критерий может быть сфор-
мулирован для обратных отображений гомеоморфных решений уравнения Бельтрами.
Теорема 2. Пусть D и D′ — ограниченные выпуклые области или ограниченные об-
ласти с гладкими границами в C. Если f : D → D′ — гомеоморфное решение уравнения
Бельтрами (1) класса W 1,1
loc с Kµ ∈ L1(D), то f−1 имеет непрерывное продолжение в D′.
Однако, как показывают соответствующие примеры (см., например, предложение 6.3
в [2]), любая степень интегрируемости Kµ ∈ Lp(D), p ∈ [1,∞), не гарантирует продолже-
ние f на границу по непрерывности. Условия для этого имеют более сложную природу.
Теорема 3. Пусть D и D′ — ограниченные выпуклые области или ограниченные облас-
ти с гладкими границами в C. Предположим, что f : D → D′ — гомеоморфное решение
уравнения Бельтрами (1) класса W 1,1
loc с
δ(z0)
∫
0
dr
||Kµ||1(z0, r)
= ∞ ∀ z0 ∈ ∂D (6)
для некоторого δ(z0) ∈ (0, d(z0)), где d(z0) = sup
z∈D
|z − z0| и
‖Kµ‖1(z0, r) =
∫
D∩S(z0,r)
Kµ ds. (7)
Тогда f имеет непрерывное продолжение на D, которое гомеоморфно отображает D
на D′.
Приведем также критерий продолжимости для отображений, квазиконформных в сред-
нем.
Теорема 4. Пусть D и D′ — ограниченные выпуклые области или ограниченные облас-
ти с гладкими границами в C. Предположим, что f : D → D′ — гомеоморфное решение
класса W 1,1
loc уравнения Бельтрами (1) с
∫
D
Φ(Kµ(z)) dm(z) < ∞ (8)
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №11
для выпуклой возрастающей функции Φ: [0,∞] → [0,∞]. Если
∞
∫
δ0
dτ
τΦ−1(τ)
= ∞ (9)
для некоторого δ0 > Φ(0), то f имеет гомеоморфное продолжение f : D → D′.
Следующая теорема показывает, что условие (9) является не только достаточным, но
и необходимым условием для продолжимости на границу отображений, квазиконформных
в среднем.
Теорема 5. Пусть Φ: [0,∞] → [0,∞] — выпуклая возрастающая функция такая, что
∞
∫
δ∗
dτ
τΦ−1(τ)
< ∞ (10)
для некоторого δ∗ ∈ (τ0,∞), где τ0 : = Φ(0). Тогда существует диффеоморфное решение f
уравнения Бельтрами (1), отображающее проколотый единичный круг D \ {0} на кольцо
R = {ζ ∈ C : 1 < |ζ| < R} такое, что
∫
D
Φ(Kµ(z)) dm(z) < ∞, (11)
но f не имеет продолжения в начало координат по непрерывности.
Наш метод доказательства теорем о граничном поведении решений позволяет перенести
все сформулированные выше результаты на случай так называемых слабо плоских границ,
в частности, доказать обобщение известной теоремы Геринга–Мартио о гомеоморфном про-
должении на границу квазиконформных отображений между областями квазиэкстремаль-
ной длины (см. [6, 7]).
Заметим также, что приведенные теоремы о гомеоморфном продолжении на границу по-
зволяют, в частности, исследовать задачу о существовании регулярных решений проблемы
Дирихле для вырожденных уравнений Бельтрами (см., например, [5]).
1. Astala K., Iwaniec T., Martin G. J. Elliptic partial differential equations and quasiconformal mappings in
the plane // Princeton Math. Ser. Vol. 48. – Princeton: Princeton Univ. Press, 2009. – 677 p.
2. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in Modern Mapping Theory. – New York: Springer,
2009. – 367 p.
3. Gutlyanskii V., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On recent advances in the degenerate Beltrami equa-
tions // Ukr. Math. Bull. – 2010. – 7, No 4. – P. 467–515.
4. Srebro U., Yakubov E. The Beltrami equation // Handbook in Complex Analysis: Geometric function
theory. Vol. 2. – Amsterdam: Elsevier, 2005. – P. 555–597.
5. Dybov Yu. On regular solutions of the Dirichlet problem for the Beltrami equations // Complex Variables
and Elliptic Equations. – 2010. – 55, No 12. – P. 1099–1116.
6. Gehring F.W., Martio O. Quasiextremal distance domains and extension of quasiconformal mappings //
J. Anal. Math. – 1985. – 45. – P. 181–206.
7. Kovtonyuk D., Petkov I., Ryazanov V. On homeomorphisms with finite distortion in the plane // arXiv:
1011.3310v2 [math. CV], 2010. – P. 1–16.
Поступило в редакцию 05.01.2011Институт прикладной математики
и механики НАН Украины, Донецк
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №11 29
D.A. Kovtonyuk, I. V. Petkov, V. I. Ryazanov
On the boundary behavior of regular solutions to the Beltrami equations
We obtained integral conditions on the dilatation quotient of the Beltrami equation guaranteing
a homeomorphic extension of general homeomorphic solutions of the class W 1,1
loc
to the boundary
in the case of bounded convex domains, as well as bounded domains with smooth boundaries of
the class C1. Moreover, the criteria of removability for the isolated singularities of degenerate
Beltrami equations are given.
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №11
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-43819 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-25T23:24:44Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ковтонюк, Д.А. Петков, И.В. Рязанов, В.И. 2013-05-18T17:51:16Z 2013-05-18T17:51:16Z 2011 О граничном поведении регулярных решений уравнений Бельтрами / Д.А. Ковтонюк, И.В. Петков, В.И. Рязанов // Доп. НАН України. — 2011. — № 11. — С. 27-30. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/43819 517.5 В роботі отримано інтегральні умови на дилатаційне відношення рівнянь Бельтрамі, за яких має місце гомеоморфне продовження загальних гомеоморфних розв'язків класу Wloc^1,1 на межу у випадку обмежених опуклих областей та обмежених областей з гладкими межами класу C¹. Крім того, наведено критерії усувності ізольованих особливостей розв'язків вироджених рівнянь Бельтрамі. We obtained integral conditions on the dilatation quotient of the Beltrami equation guaranteing a homeomorphic extension of general homeomorphic solutions of the class Wloc^1,1 to the boundary in the case of bounded convex domains, as well as bounded domains with smooth boundaries of the class C¹. Moreover, the criteria of removability for the isolated singularities of degenerate Beltrami equations are given. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика О граничном поведении регулярных решений уравнений Бельтрами On the boundary behavior of regular solutions to the Beltrami equations Article published earlier |
| spellingShingle | О граничном поведении регулярных решений уравнений Бельтрами Ковтонюк, Д.А. Петков, И.В. Рязанов, В.И. Математика |
| title | О граничном поведении регулярных решений уравнений Бельтрами |
| title_alt | On the boundary behavior of regular solutions to the Beltrami equations |
| title_full | О граничном поведении регулярных решений уравнений Бельтрами |
| title_fullStr | О граничном поведении регулярных решений уравнений Бельтрами |
| title_full_unstemmed | О граничном поведении регулярных решений уравнений Бельтрами |
| title_short | О граничном поведении регулярных решений уравнений Бельтрами |
| title_sort | о граничном поведении регулярных решений уравнений бельтрами |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/43819 |
| work_keys_str_mv | AT kovtonûkda ograničnompovedeniiregulârnyhrešeniiuravneniibelʹtrami AT petkoviv ograničnompovedeniiregulârnyhrešeniiuravneniibelʹtrami AT râzanovvi ograničnompovedeniiregulârnyhrešeniiuravneniibelʹtrami AT kovtonûkda ontheboundarybehaviorofregularsolutionstothebeltramiequations AT petkoviv ontheboundarybehaviorofregularsolutionstothebeltramiequations AT râzanovvi ontheboundarybehaviorofregularsolutionstothebeltramiequations |