Комутанти операторів композиції, породжених параболічними автоморфізмами одиничного круга
Описано комутант оператора композиції, породженого довільним параболічним дробово-лінійним перетворенням одиничного круга на себе, в класі лінійних неперервних операторів, що діють у просторі функцій, аналітичних в одиничному крузі. The commutant of a composition operator induced by a parabolic line...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/43820 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Комутанти операторів композиції, породжених параболічними автоморфізмами одиничного круга / Ю.С. Лiнчук // Доп. НАН України. — 2011. — № 11. — С. 31-35. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860174481767530496 |
|---|---|
| author | Лінчук, Ю.С. |
| author_facet | Лінчук, Ю.С. |
| citation_txt | Комутанти операторів композиції, породжених параболічними автоморфізмами одиничного круга / Ю.С. Лiнчук // Доп. НАН України. — 2011. — № 11. — С. 31-35. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Описано комутант оператора композиції, породженого довільним параболічним дробово-лінійним перетворенням одиничного круга на себе, в класі лінійних неперервних операторів, що діють у просторі функцій, аналітичних в одиничному крузі.
The commutant of a composition operator induced by a parabolic linear fractional transformation of a unit disk onto itself in the class of linear continuous operators, which act in the space of analytic functions, is described.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:59:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.983
© 2011
Ю.С. Лiнчук
Комутанти операторiв композицiї, породжених
параболiчними автоморфiзмами одиничного круга
(Представлено членом-кореспондентом НАН України М.Л. Горбачуком)
Описано комутант оператора композицiї, породженого довiльним параболiчним дробо-
во-лiнiйним перетворенням одиничного круга на себе, в класi лiнiйних неперервних опе-
раторiв, що дiють у просторi функцiй, аналiтичних в одиничному крузi.
Нехай G — довiльна область комплексної площини. Через H(G) позначатимемо простiр усiх
аналiтичних в областi G функцiй, що надiлений топологiєю компактної збiжностi. Якщо
ϕ(z) — аналiтична в областiGфункцiя, для якої ϕ(G) ⊂ G, то формулою (Kϕf)(z) = f(ϕ(z))
визначається оператор композицiї Kϕ, який лiнiйно та неперервно дiє на просторi H(G).
Починаючи з другої половини XX ст. здiйснюється систематичне дослiдження власти-
востей операторiв композицiї в банахових просторах Хардi, Бергмана i Дiрiхле, якi скла-
даються з аналiтичних у крузi D = {z ∈ C : |z| < 1} функцiй з певними обмеженнями на
їхнiй модуль. Як вiдзначали К. Коуен та Б. Макклуер в [1], важливою i актуальною є за-
дача про опис комутанта оператора композицiї в таких просторах. Якщо ψ(z) — фiксована
функцiя з вiдповiдного банахового простору аналiтичних функцiй, для якої ψ ◦ ϕ = ψ, то
оператор множення Qψ на функцiю ψ є переставним з оператором Kϕ. Б. Клод в [2, 3] до-
слiджував комутант оператора композицiї Kϕ у просторi Хардi H2 у випадку, коли функцiя
ϕ(z) є автоморфiзмом круга D. Вiн описав оператори множення на аналiтичнi функцiї, якi
переставнi з операторами композицiї, що породженi елiптичними автоморфiзмами одини-
чного круга. У висновках до [3] автор вiдзначав, що задача про опис комутанта операто-
ра Kϕ у просторi H2 для гiперболiчного та параболiчного автоморфiзмiв одиничного круга
ним не розв’язана. П. Розенталь [4] вважав, що задача знаходження комутанта оператора
композицiї в загальному випадку в цих просторах є досить складною i не розв’язаною.
Загальний вигляд конформного вiдображення одиничного круга D = {z ∈ C : |z| < 1}
на себе дається формулою
ϕ(z) = eiα
z − z0
1− z0z
, (1)
де |z0| < 1 i α ∈ R. Кожне таке вiдображення породжує оператор композицiї Kϕ, який
лiнiйно i неперервно дiє в просторi H(D) за правилом (Kϕf)(z) = (f ◦ ϕ)(z). Вiдомо, що
залежно вiд кiлькостi та характеру розмiщення нерухомих точок вiдображення ϕ(z) виду
(1), дробово-лiнiйнi автоморфiзми одиничного круга розбиваються на три класи: елiптичнi,
гiперболiчнi та параболiчнi [5]. У роботi [6] одержано опис комутанта оператора композицiї,
породженого довiльним елiптичним автоморфiзмом одиничного круга. Значно складнiшою
виявилася задача про опис комутанта оператора композицiї, породженого гiперболiчним
автоморфiзмом одиничного круга. Для її розв’язання в [7, 8] використовуються спецiально
побудованi характеристичнi функцiї лiнiйних неперервних операторiв.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №11 31
У цiй роботi дослiджується проблема опису комутанта оператора композицiї, породжено-
го довiльним параболiчним автоморфiзмом одиничного круга. Нагадаємо, що дробово-лi-
нiйне перетворення ϕ(z) виду (1) є параболiчним тодi i тiльки тодi, коли воно має одну
нерухому точку, яка лежить на одиничному колi {z ∈ C : |z| = 1}. Для того щоб перетво-
рення (1) було параболiчним, необхiдно i достатньо, щоб |z0| = | sin(α/2)|. Не порушуючи
загальностi, вважатимемо, що α ∈ (0, π)
⋃
(π, 2π), тодi |z0| = sin(α/2). Кожне таке перетво-
рення має одну скiнченну нерухому точку z1, причому якщо z0 = sin(α/2)eiγ , γ ∈ R, то
z1 = ei(
α
2
+γ−π
2
). Перетворення w = ϕ(z) можна подати в канонiчному виглядi
1
w − z1
=
1
z − z1
+ iz1 tg
α
2
. (2)
Наведемо деякi допомiжнi твердження.
Лема 1. Нехай ϕ(z) = eiα
z − z0
1− z0z
, причому α ∈ (0, π)
⋃
(π, 2π) i z0 = sin
α
2
eiγ, γ ∈ R,
а ϕ̃(z) = z+tg
α
2
. Тодi оператор Kϕ у просторi H(D) еквiвалентний до оператора Kϕ̃ у про-
сторi H(P ), де P = {z ∈ C : Im z > 0}. При цьому для функцiї ψ(z) = −iz1
(
1
z − z1
+
z1
2
)
,
де z1 — нерухома точка перетворення ϕ(z), виконується рiвнiсть
KϕKψ = KψKϕ̃. (3)
Лема 2. Нехай оператори A та B лiнiйно та неперервно дiють у просторах H(P )
та H(D) вiдповiдно i є еквiвалентними мiж собою, тобто iснує iзоморфiзм T простору
H(P ) на простiр H(D), для якого TA = BT . Для того щоб лiнiйний неперервний опера-
тор T2 : H(D) → H(D) був переставним з оператором B, необхiдно i достатньо, щоб вiн
подавався у виглядi T2 = TT1T
−1, де T1 — деякий лiнiйний неперервний оператор, що дiє
в просторi H(P ) i комутує з оператором A.
Для числа h ∈ R через Eh позначатимемо оператор зсуву, який лiнiйно та неперерв-
но дiє в H(P ) за правилом (Ehf)(z) = f(z + h). Враховуючи леми 1 та 2, одержуємо,
що для опису комутанта оператора Kϕ у просторi H(D) нам потрiбно описати комутант
оператора зсуву в просторi H(P ). Для розв’язання цiєї задачi використаємо iнтегральне
зображення Кете [9] лiнiйних неперервних операторiв у просторi H(P ), за яким формулою
t(λ, z) = T [1/(λ − z)] встановлюється взаємно однозначна вiдповiднiсть мiж лiнiйними не-
перервними операторами T : H(P ) → H(P ) i їхнiми характеристичними функцiями t(λ, z),
якi є локально аналiтичними на множинi ∁P × P .
Для додатних чисел a та b через Ma,b позначимо прямокутник Ma,b = {z ∈ C : − a 6
6 Re z 6 a; 0 6 Im z 6 b}. Символом S позначатимемо множину функцiй t1(µ, z), для
кожної з яких iснують додатнi числа a та b такi, що функцiя t1(µ, z) є аналiтичною на
множинi ∁Ma,b × P .
Для довiльного натурального n покладемо Pn = {z ∈ C : −n−1 < Re z < n+1; 1/(n+1) <
< Im z < n + 1}. Послiдовнiсть множин {Pn}
∞
n=1 апроксимує область P , тобто P =
∞⋃
n=1
Pn
i Pn ⊂ Pn+1, n = 1, 2, . . ..
Теорема 1. Нехай h — фiксоване дiйсне число. Для того щоб оператор T ∈ L(H(P ))
був переставним з оператором Eh, необхiдно i достатньо, щоб його характеристична
функцiя t(λ, z) подавалася у виглядi
t(λ, z) = t1(λ− z, z), (4)
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №11
де t1(µ, z) — деяка функцiя, яка належить множинi S i є перiодичною за змiнною z з перiо-
дом h. При цьому вiдповiдний оператор T дiє на довiльну f ∈ H(P ) при z ∈ Pn за правилом
(Tf)(z) =
1
2πi
∫
γn
t1(λ− z, z)f(λ) dλ,
де γn = ∂PN(n)+1, а N(n) вибирається за означенням локально аналiтичної на множинi
∁P × P функцiї t1(λ − z, z).
Зауваження 1. Твердження теореми 1 буде правильним i в тому випадку, коли оператор
зсуву Eh лише дiє в просторi H(P ), але не обов’язково є iзоморфiзмом, тобто для h ∈ C
при умовi, що Imh > 0.
Зауваження 2. Комутант оператора зсуву в просторi цiлих функцiй за допомогою дифе-
ренцiальних операторiв нескiнченного порядку описаний в [10]. В [11] за допомогою характе-
ристичних функцiй операторiв одержано зображення всiх лiнiйних неперервних операторiв,
якi дiють у просторi цiлих функцiй i є переставними з лiнiйними комбiнацiями зсувiв.
Якщо µ0 — деяке комплексне число, для якого Imµ0 > 0, то функцiя t1(µ, z) =
= n!/(µ − µ0)
n+1 для кожного натурального n задовольняє умови теореми для довiльного
h ∈ R. Вiдповiдний оператор, який комутує з Eh, дiє в H(P ) за правилом
(Tnf)(z) = f (n)(z + µ0).
Враховуючи це зауваження, одержуємо, що є правильним таке твердження.
Наслiдок 1. Нехай h ∈ R, µ0 ∈ C, причому Imµ0 > 0, а (ψn(z))
∞
n=0 — послiдовнiсть
функцiй з простору H(P ), кожна з яких є перiодичною з перiодом h, i для кожної функцiї
f(z) з простору H(P ) ряд
∞∑
n=0
ψn(z)f
(n)(z + µ0) збiгається за топологiєю простору H(P ).
Тодi формулою
(Tf)(z) =
∞∑
n=0
ψn(z)f
(n)(z + µ0), (5)
визначається оператор T з класу L(H(P )), який є переставним з оператором Eh.
З лем 1, 2 та теореми 1 випливає правильнiсть основного результату цiєї роботи.
Теорема 2. Нехай ϕ(z) = eiα
z − z0
1− z0z
, причому α ∈ (0, π)
⋃
(π, 2π) i z0 = sin
α
2
eiγ , γ ∈ R.
Для того щоб оператор T1 з класу L(H(D)) був переставним з оператором Kϕ, необхiдно
i достатньо, щоб вiн зображався у виглядi
T1 = KψT (Kψ)
−1, (6)
де T — оператор з класу L(H(P )), який переставний з оператором Eh для h = tg
α
2
,
а ψ(z) = −iz1
(
1
z − z1
+
z1
2
)
, z1 — нерухома точка перетворення ϕ(z).
Теорема 2 i наслiдок 1 дозволяють побудувати досить широкий клас операторiв з мно-
жини L(H(D)), якi комутують з оператором композицiї, породженим фiксованим параболi-
чним автоморфiзмом одиничного круга D. Для цього використаємо аналог формули 0.430
з [12] для аналiтичних функцiй.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №11 33
Якщо функцiї f(z) та Θ(z) є аналiтичними в областi G, причому Θ(G) ⊂ G, то при
z ∈ G для довiльного натурального n є правильною формула
dn
dzn
[f(Θ(z))] =
n∑
k=1
Uk(z)
k!
f (k)(Θ(z)), (7)
де
Uk(z) =
k∑
m=1
(−1)m−1 k(k − 1) · · · (k −m+ 2)
(m− 1)!
[Θ(z)]m−1 d
n
dzn
[Θ(z)]k+1−m.
Тепер, використовуючи формули (6) та (7), одержуємо, що оператор T1, який вiдповiдає
оператору T , що визначається формулою (5), дiє в L(H(D)) за правилом
(T1f)(z) = ψ̃0(z)f
(
C
z − z2
1− z2z
)
+
∞∑
n=1
ψ̃n(z)
n∑
k=1
Ũk(z)
k!
f (k)
(
C
z − z2
1− z2z
)
, (8)
де
Ũk(z) = Uk(ψ(z)), Θ(z) = k
z − z2
1− z2z
, C =
i− µ0
i+ µ0
, z2 =
m0z1
µ0 − i
.
Тому є правильним таке твердження.
Наслiдок 2. Нехай ϕ(z) = eiα
z − z0
1− z0z
, причому α ∈ (0, π)
⋃
(π, 2π) i z0 = sin
α
2
eiγ,
γ ∈ R, z1 — нерухома точка перетворення ϕ(z), а µ0 ∈ C, причому Imµ0 > 0, µ0 6= i. Тодi
якщо (ψ̃n(z))
∞
n=0 — послiдовнiсть функцiй з простору H(D), для якої ряд у правiй частинi
формули (8) збiгається в просторi H(D) для довiльної функцiї f(z) з H(D) i ψ̃n(ϕ(z)) =
= ψ̃n(z) при z ∈ D i n = 0, 1, . . . , то формулою (8) визначається оператор T1 з класу
L(H(D)), який є переставним з оператором Kϕ.
Зауважимо, що при µ0 ∈ R вiдповiдна функцiя Θ(z) є автоморфiзмом одиничного кру-
га D. Якщо ж µ0 ∈ C, причому Imµ0 > 0 i µ0 6= i, то вiдповiдна функцiя Θ(z) вiдображає D
в себе i не є автоморфiзмом.
1. Cowen C.C., MacCluer B.D. Some problems on composition operators // Contemporary Mathematics.
Vol. 213 / Studies on Composition Operators. AMS. – Providence, RI, 1998. – P. 17–26.
2. Cload B. Toeplitz operators in the commutant of composition operators // Stud. Math. – 1999. – 133,
No 2. – P. 187–196.
3. Cload B. Commutants of composition operators. – Toronto: University of Toronto, 1997. – 45 p.
4. Rosenthal P. Book review // Bull. Amer. Math. Soc. – 1995. – 32, No 1. – P. 150–153.
5. Форд Л.Р. Автоморфные функции. – Москва: ОНТИ НКТП СССР, 1936. – 340 с.
6. Лiнчук Ю.С. Комутант оператора композицiї, породженого елiптичним дробово-лiнiйним перетворе-
нням, та його застосування // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. Вип. 228. Математика. Зб. наук. праць. –
Чернiвцi: Рута, 2004. – С. 48–50.
7. Лiнчук Ю.С. Комутант одного класу операторiв композицiї в просторах аналiтичних функцiй //
Доп. НАН України. – 2005. – № 11. – С. 14–17.
8. Linchuk Yu. S. Representation of commutants for composition operators induced by a hyperbolic linear
fractional automorphisms of the unit disk // Meth. Funct. Anal. and Top. – 2008. – 14, No 4. – P. 361–371.
9. Kothe G. Dualitat in der Funktionentheorie // J. reine und angew. Math. – 1953. – 191, No 1–2. – S. 30–49.
10. Подпорин В.П. К вопросу о представлении линейных операторов в виде дифференциальных опера-
торов бесконечного порядка // Сиб. мат. журн. – 1977. – 18, № 6. – С. 1422–1425.
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №11
11. Лiнчук Ю.С. Комутанти деяких класiв операторiв, що пов’язанi з операторами зсуву // Укр. мат.
журн. – 2007. – 59, № 6. – С. 859–865.
12. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, рядов, сумм и произведений. – Москва: Физ-
матгиз, 1963. – 1100 с.
Надiйшло до редакцiї 28.12.2010Чернiвецький нацiональний унiверситет
iм. Юрiя Федьковича
Yu. S. Linchuk
Commutants of composition operators induced by parabolic
automorphisms of a unit disk
The commutant of a composition operator induced by a parabolic linear fractional transformation
of a unit disk onto itself in the class of linear continuous operators, which act in the space of
analytic functions, is described.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №11 35
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-43820 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:59:44Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Лінчук, Ю.С. 2013-05-18T17:52:03Z 2013-05-18T17:52:03Z 2011 Комутанти операторів композиції, породжених параболічними автоморфізмами одиничного круга / Ю.С. Лiнчук // Доп. НАН України. — 2011. — № 11. — С. 31-35. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/43820 517.983 Описано комутант оператора композиції, породженого довільним параболічним дробово-лінійним перетворенням одиничного круга на себе, в класі лінійних неперервних операторів, що діють у просторі функцій, аналітичних в одиничному крузі. The commutant of a composition operator induced by a parabolic linear fractional transformation of a unit disk onto itself in the class of linear continuous operators, which act in the space of analytic functions, is described. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Комутанти операторів композиції, породжених параболічними автоморфізмами одиничного круга Commutants of composition operators induced by parabolic automorphisms of a unit disk Article published earlier |
| spellingShingle | Комутанти операторів композиції, породжених параболічними автоморфізмами одиничного круга Лінчук, Ю.С. Математика |
| title | Комутанти операторів композиції, породжених параболічними автоморфізмами одиничного круга |
| title_alt | Commutants of composition operators induced by parabolic automorphisms of a unit disk |
| title_full | Комутанти операторів композиції, породжених параболічними автоморфізмами одиничного круга |
| title_fullStr | Комутанти операторів композиції, породжених параболічними автоморфізмами одиничного круга |
| title_full_unstemmed | Комутанти операторів композиції, породжених параболічними автоморфізмами одиничного круга |
| title_short | Комутанти операторів композиції, породжених параболічними автоморфізмами одиничного круга |
| title_sort | комутанти операторів композиції, породжених параболічними автоморфізмами одиничного круга |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/43820 |
| work_keys_str_mv | AT línčukûs komutantioperatorívkompozicííporodženihparabolíčnimiavtomorfízmamiodiničnogokruga AT línčukûs commutantsofcompositionoperatorsinducedbyparabolicautomorphismsofaunitdisk |