Про структуру глобальних атракторів неавтономних систем без єдиності
Для многозначних процесів одержано теореми про структуру глобальних атракторів у термінах повних траєкторій, які застосовано до неавтономного еволюційного включення субдиференціального типу. Theorems of the structure of global attractors in the terms of complete trajectories for multivalued processe...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/43822 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про структуру глобальних атракторів неавтономних систем без єдиності / Т.Б. Шкляр // Доп. НАН України. — 2011. — № 11. — С. 44-48. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859660551277248512 |
|---|---|
| author | Шкляр, Т.Б. |
| author_facet | Шкляр, Т.Б. |
| citation_txt | Про структуру глобальних атракторів неавтономних систем без єдиності / Т.Б. Шкляр // Доп. НАН України. — 2011. — № 11. — С. 44-48. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Для многозначних процесів одержано теореми про структуру глобальних атракторів у термінах повних траєкторій, які застосовано до неавтономного еволюційного включення субдиференціального типу.
Theorems of the structure of global attractors in the terms of complete trajectories for multivalued processes are obtained, which were applied to a nonautonomous evolution inclusion of the subdifferential type.
|
| first_indexed | 2025-11-30T09:12:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
© 2011
Т.Б. Шкляр
Про структуру глобальних атракторiв неавтономних
систем без єдиностi
(Представлено академiком НАН України М.О. Перестюком)
Для многозначних процесiв одержано теореми про структуру глобальних атракторiв
у термiнах повних траєкторiй, якi застосовано до неавтономного еволюцiйного вклю-
чення субдиференцiального типу.
В останнi роки у зв’язку з численними застосуваннями було розвинуто ряд пiдходiв до опису
довгострокової поведiнки еволюцiйних систем, динамiка яких не визначається однозначно
початковими даними. Вiдповiднi результати для автономних задач мiстяться в [1–3], для не-
автономних — в [4–7]. Основним об’єктом вивчення при цьому є глобальний атрактор — ком-
пактна пiдмножина фазового простору, що притягує всi траєкторiї системи. Результати про
iснування та топологiчнi властивостi глобальних атракторiв многозначних процесiв (МП)
мiстяться в [5–7]. В однозначному випадку в [4] дослiджено структуру глобальних атракто-
рiв неавтономних динамiчних систем у термiнах повних обмежених траєкторiй. Для одного
спецiального класу МП структуру атракторiв описано в [7]. У данiй роботi дослiджується
структура атракторiв для загальних многозначних динамiчних процесiв, що породжуються,
зокрема, неавтономними евоюцiйними включеннями субдиференцiального типу.
Постановка задачi. Нехай (X, ρ) — метричний простiр, Rd = {(t, τ) ∈ R
2|t > τ},
P (X) — сукупнiсть усiх непорожнiх пiдмножин X, β(X) — сукупнiсть усiх непорожнiх,
обмежених пiдмножин X, Σ — деякий метричний простiр, на якому задано многозначний
напiвпотiк (m-напiвпотiк) {T (h) : Σ 7→ P (Σ)}h>0, тобто ∀σ ∈ Σ T (0)σ = σ i ∀h1, h2 > 0
T (h1 + h2)σ ⊆ T (h1)T (h2)σ.
Означення 1. Будемо казати, що задано сiм’ю МП {Uσ : Rd × X 7→ P (X)}σ∈Σ, якщо
∀σ ∈ Σ виконанi умови:
1) Uσ(τ, τ, x) = x ∀x ∈ X, ∀ τ ∈ R;
2) Uσ(t, τ, x) ⊆ Uσ(t, s, Uσ(s, τ, x)), ∀ t > s > τ ∀x ∈ X;
3) Uσ(t + h, τ + h, x) ⊆ UT (h)σ(t, τ, x) ∀ t > τ ∀h > 0,
де для A ⊂ X, B ⊂ Σ UB(t, s, A) =
⋃
σ∈B
⋃
x∈A
Uσ(t, s, x).
Означення 2. Компактна множина ΘΣ ⊂ X називається глобальним атрактором сiм’ї
МП {Uσ}σ∈Σ, якщо:
1) ΘΣ є рiвномiрно притягуючою множиною, тобто ∀ τ ∈ R, ∀B ∈ β(X)
dist(UΣ(t, τ, B),ΘΣ) → 0, t→ +∞; (1)
2) ΘΣ — мiнiмальна в класi замкнених рiвномiрно притягуючих множин.
Теорема 1 [6, 7]. Нехай сiм’я МП {Uσ}σ∈Σ задовольняє умови:
1) ∀h > 0 T (h)Σ = Σ i в умовi 3 означення 1 має мiсце рiвнiсть;
2) ∃B0 ∈ β(X) ∀B ∈ β(X) ∃T = T (B) ∀ t > T UΣ(t, 0, B) ⊂ B0;
3) ∀B ∈ β(X) ∀ tn → +∞ ∀ ξn ∈ UΣ(tn, 0, B) є передкомпактною в X.
44 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №11
Тодi iснує ΘΣ — глобальний атрактор МП {Uσ}σ∈Σ, причому
ΘΣ = ωΣ(B0) =
⋂
s>0
⋃
t>s
UΣ(t, 0, B0). (2)
В однозначному випадку вiдомо [4], що одержаний в теоремi глобальний атрактор скла-
дається з обмежених повних траєкторiй процесiв {Uσ}σ∈Σ. Мета даної роботи — одержати
вiдповiдну формулу для МП.
Основнi результати.
Означення 3. Вiдображення ϕ : R 7→ X називається повною траєкторiєю МП Uσ, якщо
для будь-яких ∀ t > s
ϕ(t) ∈ Uσ(t, s, ϕ(s)). (3)
Нехай для довiльних σ ∈ Σ та τ ∈ R задано Kτ
σ — множину вiдображень ϕ : [τ,+∞) 7→ X
таких, що:
a) ∀x ∈ X ∃ϕ(·) ∈ Kτ
σ таке, що ϕ(τ) = x;
b) ∀ϕ(·) ∈ Kτ
σ ∀ s > τ ϕ(·)|[s,+∞) ∈ Ks
σ;
c) ∀h > 0 ∀ϕ(·) ∈ Kτ+h
σ ϕ(· + h) ∈ Kτ
T (h)σ.
Покладемо
Uσ(t, τ, x) = {ϕ(t) | ϕ(·) ∈ Kτ
σ , ϕ(τ) = x}. (4)
Тодi {Uσ}σ∈Σ задовольняє умови 1–3 означення 1, причому для ϕ(·) ∈ Kτ
σ
∀ t > s > τ ϕ(t) ∈ Uσ(t, s, ϕ(s)). (5)
З (5) одразу маємо, що якщо для вiдображення ϕ(·) : R 7→ X для будь-якого τ ∈ R
виконується ϕ(·)|[τ,+∞) ∈ Kτ
σ , то ϕ(·) — повна траєкторiя {Uσ}σ∈Σ.
Теорема 2. Нехай Σ — компакт, m — напiвпотiк T (h) : Σ 7→ P (Σ) та сiм’я МП
{Uσ}σ∈Σ, що задається формулою (4), задовольняють умови теореми 1 i для довiльних
σn → σ0, xn → x0 виконується така умова:
якщо ϕn(·) ∈ K0
σn
, ϕn(0) = xn, то iснує ϕ(·) ∈ K0
σ0
, ϕ(0) = x0
такe, що по пiдпослiдовностi ∀ t > 0 ϕn(t) → ϕ(t).
Тодi для глобального атрактора ΘΣ справедлива формула
ΘΣ =
⋃
σ∈Σ
Kσ(0), (6)
де Kσ — множина повних обмежених траєкторiй МП Uσ.
Доведення. Покажемо, що Kσ(0) ⊂ ΘΣ. Якщо z ∈ Kσ(0), то iснує ϕ(·) — обмежена
траєкторiя Uσ така, що ϕ(0) = z.
Позначимо Γ =
⋃
t∈R
ϕ(t) ∈ β(X). Тодi для z = ϕ(0) виконується
ϕ(0) ∈ Uσ(0,−n,ϕ(−n)) ⊂ UT (n)σn
(0,−n,ϕ(−n)) ⊂ UΣ(n, 0,Γ).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №11 45
Оскiльки ∀ ε > 0 ∃n0 ∀n > n0 UΣ(n, 0,Γ) ⊂ Oε(ΘΣ), то z ∈ ΘΣ i шукане вкладення до-
ведене. Тепер нехай z ∈ ΘΣ = ωΣ(B0). Тодi z = lim
n→+∞
ξn, ξn ∈ UΣ(tn, 0, B0). Отже, по
пiдпослiдовностi
z = lim
n→+∞
ϕn(tn), ϕn(·) ∈ K0
σn
, ϕn(0) ∈ B0, σn → σ.
Для ∀n > 1 розглянемо
ψn(·) := ϕn(·+ tn) ∈ K−tn
T (tn)σn
,
тобто ψn(·) ∈ K−tn
σ̃n
, де σ̃n ∈ T (tn)σn. Тодi ψn(·) ∈ K0
σ̃n
, σ̃n → σ̃, ψn(0) = ϕn(tn) → z, отже,
iснує ψ(0)(·) ∈ K0
σ̃, ψ(0)(0) = z, ∀ t > 0
ψn(t) = ϕn(t+ tn) → ψ(0)(t).
Для τ = −1 ∀n > n1 −tn < −1, отже, ψn(·) ∈ K−1
σ̃n
i по пiдпослiдовностi ψn(−1) = ϕn(tn −
− 1) → z1. При цьому iснує ψ(−1)(·) ∈ K−1
σ̃
така, що по пiдпослiдовностi
ψn(t) = ϕn(t+ tn) → ψ(−1)(t) ∀ t > −1,
зокрема, ∀ t > 0 ψ(0)(t) = ψ(−1)(t). Дiагональною процедурою будуємо послiдовнiсть функ-
цiй
ψ(−k)(·) ∈ K−k
σ̃
, k > 0,
причому ψ(−k+1)(t) = ψ(−k)(t) ∀ t > −k+1. Покладемо ∀ t > 0 ψ(t) := ψ(−k)(t), якщо t > −k.
Тодi функцiя ψ(·) задана коректно, ψ : R 7→ X.
Крiм того, ∀ τ < 0 ∃ k таке, що [τ,+∞) ⊂ [−k,+∞), на [−k,+∞) ψ(·) ≡ ψ(−k), отже,
ψ(·) ∈ K−k
σ̃
, звiдси ψ(·) ∈ Kτ
σ̃ , ψ(0) = ψ(0)(0) = z. Оскiльки по пiдпослiдовностi ∀ t ∈ R
ψ(t) = lim
n→+∞
ϕn(t + tn) ∈ ωΣ(B0) ∈ β(X), то z = ψ(0) ∈ Kσ̃. Теорему доведено.
Як приклад застосування одержаних результатiв розглянемо еволюцiйне неавтономне
включення. Нехай Ω ⊂ R
m — обмежена область, X = L2(Ω), ‖ · ‖, (·, ·) — норма i ска-
лярний добуток в X, Cv(X) — сукупнiсть усiх непорожнiх замкнених обмежених опуклих
пiдмножин X. Розглядаємо задачу
dy
dt
∈ −∂ϕ(y) + F (t, y) + h(t), t > τ,
y(τ) = yτ ,
(7)
де ϕ : X 7→ (−∞,+∞] — власна опукла напiвнеперервна знизу (н. н. зн.) функцiя, ∂ϕ —
її субдиференцiал, D(ϕ) = X, для довiльного R > 0 множина {‖u‖ 6 R,ϕ(u) 6 R} —
компакт, F : R × X 7→ Cv(X) — многозначне вiдображення типу Немицького, тобто iснує
f : R × R 7→ Cv(R) таке, що
∀ y ∈ L2 (Ω)F (t, y) = {u ∈ L2(Ω) | u(x) ∈ f(t, y(x)) для м.в. x ∈ Ω}. (8)
Нехай h ∈ L2
loc(R;X) i виконанi умови:
46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №11
1) ∀ t ∈ R вiдображення f(t, ·) : R 7→ Cv(R) є н. н. зверху (н. н. зв.);
2) ∃C1, C2 > 0 ∀ t, u ∈ R |f(t, u)| 6 C1 + C2|u|;
3) ∀ t, s ∈ R ∀ r > 0 ρr(f(t), f(s)) := dist
H
(graph |rf(t), graph |rf(s)) 6 γ(|t − s|, r), де
γ(p, r) → 0, p → 0+, dist
H
— метрика Хаусдорфа, graph |rf =
⋃
|u|6r
{(u,w) | w ∈ f(u)}.
Тодi для довiльних τ ∈ R, yτ ∈ X iснує принаймнi один сильний розв’язок y ∈ C([τ,+∞);
X) задачi (7). Розглянемо метричний простiр
M = {ψ : R 7→ Cv(R) | ψ — н. н. зв., |ψ(u)| 6 C1 + C2|u|}
зi збiжнiстю, що породжується набором {ρr}r>1. Покладемо
Σ = cl
C(R;M)×L
2,w
loc
(R;X){(f(t+ ·), h(t + ·) | t ∈ R}, (9)
де L2,w
loc (R;X) — простiр L2
loc(R;X) з топологiєю локальної слабкої збiжностi. Для кожного
σ = (fσ, hσ) ∈ Σ розглянемо задачу
dy
dt
∈ −∂ϕ(y) + Fσ(t, y) + hσ(t), t > τ,
y(τ) = yτ ,
(10)
де вiдображення Fσ побудоване по fσ згiдно з формулою (8). Покладемо
Uσ(t, τ, yτ ) = {y(t) | y(·) — розв’язок (10)}. (11)
Теорема 3. Нехай функцiя f задовольняє умови 1–3, функцiя h задовольняє умову
‖h‖2+ := sup
t∈R
t+1∫
t
‖h(s)‖2ds < ∞, i виконується умова дисипативностi
∃ δ > 0,M > 0 такi, що ∀u ∈ D(∂ϕ), |u| > M,∀ t ∈ R
∀ y ∈ −∂ϕ(u) + F (t, u) + h(t)(y, u) 6 −δ.
Тодi формули (9), (11) визначають сiм’ю МП {Uσ}σ∈Σ, що має у фазовому просторi X =
= L2(Ω) iнварiантний, зв’язний, стiйкий глобальний атрактор ΘΣ, для якого справедлива
структурна формула (6).
1. Мельник В.С. Многозначная динамика нелинейных бесконечномерных систем. – Киев, 1994. – 41 с. –
(Препр. Iн-т кiбернетики iм. В.М. Глушкова НАН України; № 94-17).
2. Ball J.M. Continuity properties and global attractors of generalized semiflows and the Navier–Stokes
equations // J. Nonlinear Science. – 1997. – 7, No 5. – P. 475–502.
3. Kapustyan O.V., Mel’nik V. S., Valero J., Yasinsky V.V. Global attractors of multi-valued dynamical
systems and evolution equations without uniqueness. – Kyiv: Nauk. Dumka, 2008. – 215 p.
4. Chepyzhov V.V., Vishik M. I. Attractors for equations of mathematical physics. – Providence: AMS, 2002. –
360 p.
5. Капустян О.В. Атрактори многозначних напiвпроцесiв та їх залежнiсть вiд параметра // Доп. НАН
України. – 2002. – № 6. – С. 20–23.
6. Капустян О.В., Шкляр Т. Б. Якiсна поведiнка розв’язкiв неавтономного параболiчного включення
з трансляцiйно-компактною правою частиною // Вiсн. Київ. ун-ту. Сер. мат., мех. – 2009. – Вип. 22. –
С. 17–20.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №11 47
7. Wang Y., Zhou S. Kernel sections and uniform attactors of multi-valued semiprocesses // J. Different.
Equat. – 2007. – 232. – P. 573–622.
Надiйшло до редакцiї 17.03.2011Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
T.B. Shkliar
About the structure of global attractors of nonautonomous systems
without uniqueness
Theorems of the structure of global attractors in the terms of complete trajectories for multivalued
processes are obtained, which were applied to a nonautonomous evolution inclusion of the subdi-
fferential type.
48 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №11
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-43822 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-30T09:12:24Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шкляр, Т.Б. 2013-05-18T18:06:57Z 2013-05-18T18:06:57Z 2011 Про структуру глобальних атракторів неавтономних систем без єдиності / Т.Б. Шкляр // Доп. НАН України. — 2011. — № 11. — С. 44-48. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/43822 517.9 Для многозначних процесів одержано теореми про структуру глобальних атракторів у термінах повних траєкторій, які застосовано до неавтономного еволюційного включення субдиференціального типу. Theorems of the structure of global attractors in the terms of complete trajectories for multivalued processes are obtained, which were applied to a nonautonomous evolution inclusion of the subdifferential type. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Про структуру глобальних атракторів неавтономних систем без єдиності About the structure of global attractors of nonautonomous systems without uniqueness Article published earlier |
| spellingShingle | Про структуру глобальних атракторів неавтономних систем без єдиності Шкляр, Т.Б. Математика |
| title | Про структуру глобальних атракторів неавтономних систем без єдиності |
| title_alt | About the structure of global attractors of nonautonomous systems without uniqueness |
| title_full | Про структуру глобальних атракторів неавтономних систем без єдиності |
| title_fullStr | Про структуру глобальних атракторів неавтономних систем без єдиності |
| title_full_unstemmed | Про структуру глобальних атракторів неавтономних систем без єдиності |
| title_short | Про структуру глобальних атракторів неавтономних систем без єдиності |
| title_sort | про структуру глобальних атракторів неавтономних систем без єдиності |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/43822 |
| work_keys_str_mv | AT šklârtb prostrukturuglobalʹnihatraktorívneavtonomnihsistembezêdiností AT šklârtb aboutthestructureofglobalattractorsofnonautonomoussystemswithoutuniqueness |