К критерию при многократном выборе решения
Отримано розв'язок проблеми невизначеності задачі багаторазових рішень для досить широкого класу правил вибору переваг в системі прийняття рішень у вигляді переваг на рішеннях, які задаються функцією корисності, параметрично залежної від опуклої статистичної закономірності на множині станів і ф...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/43823 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | К критерию при многократном выборе решения / В.М. Михалевич // Доп. НАН України. — 2011. — № 11. — С. 49-53. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859631751273381888 |
|---|---|
| author | Михалевич, В.М. |
| author_facet | Михалевич, В.М. |
| citation_txt | К критерию при многократном выборе решения / В.М. Михалевич // Доп. НАН України. — 2011. — № 11. — С. 49-53. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Отримано розв'язок проблеми невизначеності задачі багаторазових рішень для досить широкого класу правил вибору переваг в системі прийняття рішень у вигляді переваг на рішеннях, які задаються функцією корисності, параметрично залежної від опуклої статистичної закономірності на множині станів і функції корисності на наслідках, що визначається з точністю до додатного лінійного перетворення.
We obtain a solution of the fundamental problem of multiple solutions for a sufficiently broad class of rules of choosing preferences in decision-making systems without memory with a criterion which bijectively corresponds to a convex statistical regularity on the set of states and the utility function on the consequences, which is determined up to a positive linear transformation.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:12:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
11 • 2011
IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА
УДК 519.81
© 2011
В.М. Михалевич
К критерию при многократном выборе решения
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.А. Чикрием)
Отримано розв’язок проблеми невизначеностi задачi багаторазових рiшень для досить
широкого класу правил вибору переваг в системi прийняття рiшень у виглядi переваг
на рiшеннях, якi задаються функцiєю корисностi, параметрично залежної вiд опуклої
статистичної закономiрностi на множинi станiв i функцiї корисностi на наслiдках,
що визначається з точнiстю до додатного лiнiйного перетворення.
Рассмотрим многократный выбор решения для задач решения (ЗР) в необайесовской фор-
ме, определяемых в [1]. Напомним некоторые определения.
Для произвольного векторного пространства V введем отношение эквивалентности (
co
≈)
на 2V следующим образом. Для любых X,Y ⊆ V
X
co
≈ Y ⇔ coX = coY. (1)
Определение 1. Статистической закономерностью на Θ, где Θ — произвольное мно-
жество с заданной алгеброй подмножества Σ (если Σ не задается, то считается, по умол-
чанию, что Σ = 2Θ) называется всякое непустое замкнутое множество P в топологии τ(Θ)
пространства
PF (Θ) := {p ∈ ([0, 1])Σ : p(Θ) = 1, p(C
⋃
D) = p(C) + p(C \D),∀C,D ∈ Σ} (2)
всех аддитивных вероятностных мер на Θ, являющейся следом * — слабой топологии в со-
пряженном к банаховому пространству BΣ(Θ) с нормой ‖f‖ := sup
θ∈Θ
|f(Θ)|. Семейство всех
статистических закономерностей на Θ будем обозначать P (Θ).
Ясно, что в топологии τ(Θ) пространство PF (Θ) компактно.
Рассмотрим класс ССЗР с заданными отношениями предпочтений на соответствую-
щих множествах последствий. Тогда каждой такой параметрической ССЗР этого класса
соответствует упорядоченная четверка вида Z := ((X,<),Θ, U, g), где (<) — соответству-
ющее отношение предпочтения на последствиях этой СЗР. Через Z обозначим класс всех
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №11 49
ССЗР вида Z. Также введем обозначения: Z((X,<)) := {((X,<), ·, ·, ·) ∈ Z}, Z((X,<),Θ) :=
= {((·, ·),Θ, ·, ·) ∈ Z(X,<)}.
Определение 2. Проекцией ССЗР класса Z называется такое отображение Πp: Z −→ Z,
что для любой ССЗР ((X,<),Θ, U, g) ∈ Z имеем Πp(((X,<),Θ, U, g) = (X,Θ, U, g).
Рассмотрим теперь задачу многократных решений (ЗМР) в классе ССЗР Z(Y,Θ)
(см. [1]).
Определение 3. Моделью ПВП для ЗМР, сокращенно МПВП (Ω-параметрической
МПВП, сокращенно Ω-МПВП) в Z′(X,Θ) ⊆ Z(X,Θ) будем называть конечную совоку-
пность условий (аксиом) У на ПВП в ЗМР для Z′(X,Θ), которые задают единственный
ПВП (в зависимости от параметра ω ∈ Ω, где Ω — множество значений параметра ω),
и обозначать [Y] для ЗМР в классе Z′(Y,Θ) (с параметром ω ∈ Ω).
Определим класс ПВП в ЗМР для Z′(Y,Θ) ⊆ Z(Y,Θ), который будем обозначать через
Π∞
0 (Z′(Y,Θ)), как подкласс всех таких ПВП π ∈ Π∞(Z′(Y,Θ)), что для любой определяющей
ССЗР Z = (Y,Θ, U, g) ∈ Z′(Y,Θ) (см. [1]) выполняются условия:
Y1) если Zi = (Y,Θ, Ui, gi) ∈ Z′(Y,Θ), i = 1, 2, то
a) (Y,<Z1
) = (Y,<Z2
) =: (Y,<) — невырожденное, т. е. не для всех y1, y2 ∈ Y выпол-
няется y1 < y2,
б) из (y1)Θ <
∗
Z (y2)Θ следует y1 < y2 ∀ y1, y2 ∈ Y ,
в) из u1, v1 ∈ U1, u2, v2 ∈ U2, g1(θ, u1) = g2(θ, u2), g1(θ, v1) = g2(θ, v2) ∀ θ ∈ Θ, u1 <
∗
Z1
v1
следует u2 <
∗
Z2
v2;
Y2) (U∞,<∗
Z) — нестрогий порядок;
Y3) если ui ∈ U , i = 1, 2, y ∈ Y , u1 ≻∗
Z u2, α ∈ (0, 1), то
αu1 + (1− α)yΘ ≻∗
Z αu2 + (1− α)yΘ;
Y4) если ui ∈ U , i = 1, 3, u1 ≻∗
Z u2 ≻∗
Z u3, то найдутся такие α, β ∈ (0, 1), что
αu1 + (1− α)u3 ≻
∗
Z u2 ≻
∗
Z βu1 + (1− β)u3;
Y5) если u, v ∈ U∞, u =
k
∑
i=1
© ui, v =
l
∑
j=1
© vj и
k
∑
i=1
© g(θ, ui) <Z
l
∑
j=1
© g(θ, vj) для любых k, l ∈ N,
θ ∈ Θ, то
u <
∗
Z v;
Y6) если ui ∈ U , yi ∈ Y , i = 1, 2, то
u1 ⊕ u2 ∼
∗
Z u2 ⊕ u1, y1 ⊕ y2∼Z y2 ⊕ y1;
Y7) если ui ∈ U∞, yi ∈ Y ∞, i = 1, 4, то из u1∼
∗
Z u2 следует, что u3 ⊕ u1 <
∗
Z u4 ⊕ u2
равносильно u3 <
∗
Z u4, а из y1∼
∗
Z y2 следует, что y3 ⊕ y1 <
∗
Z y4 ⊕ y2 равносильно y3 <
∗
Z y4;
Y8) если ui ∈ U∞, yi ∈ Y ∞, i = 1, 4, то из u1 <
∗
Z u2 следует, что найдется такое
натуральное n, для которого
(n⊗ u1)⊕ u3 ≻
∗
Z (n⊗ u2)⊕ u4,
а из y1 <
∗
Z y2 следует, что найдется такое натуральное n, для которого
(n⊗ y1)⊕ y3 ≻
∗
Z (n⊗ y2)⊕ y4;
50 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №11
Y9) если ui ∈ U , i = 1, 3, то из
g(θ, u1)⊕ g(θ, u2)∼Z 2⊗ g(θ, u3) ∀ θ ∈ Θ (3)
следует, что
2⊗ u3 <
∗
Z u1 ⊕ u2. (4)
Далее для произвольного непустого множества A определим в функциональном про-
странстве RA отношение эквивалентности (
m
≈) следующим образом. Для любых f , g ∈ RA
f
m
≈ g ⇔ f = mg, m ∈ R, m > 0. (5)
Введем в рассмотрение соответствие χ∞
Z′(Y,Θ) из RX/
m
≈ ×P (Θ)/
co
≈ в Π∞(Z′(Y,Θ)), где
P (Θ) — семейство всех статистических закономерностей на Θ, а (
co
≈) — эквивалентность,
введенная согласно (1). Это соответствие определяется следующим образом. Если ω ∈
∼
ω∈
∈ RX/
m
≈, P ∈
∼
P∈ P (Θ)/
co
≈, Z = (Y,Θ, U, g) ∈ Z′(Y,Θ) ⊆ Z(Y,Θ), то χ∞
Z′(Y,Θ)(ω,P ) :=
= (χ∞
1Z′(Y,Θ)(ω,P ), χ∞
2Z′(Y,Θ)(ω,P )), а [χ∞
1Z′(Y,Θ)(ω,P )](Z) := (Y ∞,<Z), [χ
∞
2Z′(Y,Θ)(ω,P )](Z) :=
= (U∞,<∗
Z) и при этом для любых θ ∈ Θ и для любых m′, n′
i ∈ N, x′ij ∈ X, α′
ij ∈ [0, 1], u′i ∈ U ,
если j = 1, n′
i,
n′
i
∑
j=1
α′
ij = 1, g(θ, u′i) =
l(θ,u′
i
)
∑
k=1
βk(θ, u
′
i)gk(θ, u
′
i),
l(θ,u′
i
)
∑
k=1
βk(θ, u
′
i) = 1, βk(θ, u
′
i) ∈ [0, 1],
gk(θ, u
′
i) ∈ X, k = 1, l(θ, u′i), l(θ, u
′
i) ∈ N, i = 1,m′, а также для любых m′′, n′′
i ∈ N, x′′ij ∈
∈ X, α′′
ij ∈ [0, 1], u′′i ∈ U , если j = 1, n′′
i ,
n′′
i
∑
j=1
α′′
ij = 1, g(θ, u′′i ) =
l(θ,u′′
i
)
∑
k=1
βk(θ, u
′′
i )gk(θ, u
′′
i ),
l(θ,u′′
i
)
∑
k=1
βk(θ, u
′′
i ) = 1, βk(θ, u
′′
i ) ∈ [0, 1], gk(θ, u
′′
i ) ∈ X, k = 1, l(θ, u′′i ), l(θ, u′′i ) ∈ N, i = 1,m′′
выполняются соотношения:
m′
∑
i=1
©
n′
i
∑
j=1
α′
ijx
′
ij <Z
m′′
∑
i=1
©
n′′
i
∑
j=1
α′′
ijx
′′
ij ⇔
m′
∑
i=1
n′
i
∑
j=1
α′
ijω(x
′
ij) >
m′′
∑
i=1
n′′
i
∑
j=1
α′′
ijω(x
′′
ij), (6)
m′
∑
i=1
© u′i <
∗
Z
m′′
∑
i=1
© u′′i ⇔
m′
∑
i=1
min
p∈P
∫
Θ
l(θ,u′
i
)
∑
k=1
βk(θ, u
′
i)ω(gk(θ, u
′
i))p(dθ) >
>
m′′
∑
i=1
min
p∈P
∫
Θ
l(θ,u′′
i
)
∑
k=1
βk(θ, u
′′
i )ω(gk(θ, u
′′
i ))p(dθ). (7)
Теорема 1. Для любого класса ССЗР Z
′
1(Y,Θ)
Π∞
0 (Z′
01(Y,Θ)) = χ∞
Z′
01
(Y,Θ)(R
X/
m
≈, P (Θ)/
co
≈)
и всякое ПВП π ∈ Π∞
0 (Z′
01(Y,Θ)) можно, и притом единственным образом, продолжить
до ПВП π ∈ Π∞
0 (ПрZ′
1(Y,Θ)), при этом χ∞
ПрZ′
1
(Y,Θ) является инъекцией и
Π∞
0 (ПрZ′
1(Y,Θ)) = χ∞
ПрZ′
1
(Y,Θ)(R
X/
m
≈, P (Θ)/
co
≈).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №11 51
Следствие 1. Для любого класса Z
′
1(Y,Θ) условия Y1–Y9 на ПВП для ЗМР в классе
Z′
01(Y,Θ) представляют собой RX�
m
≈ ×P (Θ)�
co
≈ — МПВП для ЗМР в классе ПрZ′
1(Y,Θ),
т. е. (Y1–Y9) для ЗМР в ПрZ′
1(Y,Θ) с параметрами
∼
ω∈ RX�
m
≈ и P ∈ P (Θ)�
co
≈, при этом
разным значениям параметров
∼
ω и P соответствуют несовпадающие ПВП.
Следствие 2. МСЗР M = (Y,Θ, U, g, P ), где Z = (Y,Θ, U, g) ∈ ПрZ′
1(Y,Θ), а зако-
номерность P ∈ P (Θ)�
co
≈ является полным математическим описанием ситуации для
(Y1–Y9) для ЗМР в Z′
01(Y,Θ) с параметрами
∼
ω∈ RX�
m
≈ и P ∈ P (Θ)�
co
≈.
Другими словами, ТПРы с ПВП из класса Π∞
0 (Z′
01(Y,Θ)) в ситуации с одинаковой мо-
делью имеют одинаковые отношения предпочтений на решениях, при условии совпадения
их отношений предпочтений на последствиях.
Теорема 2. Для произвольного класса ССЗР Z
′
1(Y,Θ) всякое ПВП π ∈ Π21(Z
′
01(Y,Θ))
можно, и притом единственным образом, продолжить до ПВП π ∈ Π∞
0 (ПрZ′
1(Y,Θ)).
Далее, если через Π∞
21(Z
′(Y,Θ)) обозначим класс таких ПВП в ЗМР для Z′(Y,Θ) ⊆
⊆ Z(Y,Θ), что для любой определяющей ССЗР Z = (Y,Θ, U, g) ∈ Z′(Y,Θ) выполняются
условия Y1–Y8, то расширяя на Y ∞ и U∞ функции полезности, определяющие предпоч-
тения на Y и U соответственно, в силу условий Y1–Y5, согласно теореме 6 (см. [2]), требуя
выполнения соотношений для любого u ∈ U∞, где u = u1 ⊕ · · · ⊕ un =
n
∑
i=1
© ui, n ∈ N,
ωU∞(u) = ωU∞
(
n
∑
i=1
© ui
)
=
n
∑
i=1
ωU (ui), (8)
а также для любых yj ∈ Y , j = 1,m, m ∈ N,
ωY ∞
(
m
∑
j=1
© yj
)
=
m
∑
j=1
ωY (yj), (9)
мы приходим к следующему результату.
Теорема 3. Для произвольного класса ССЗР Z
′
1(Y,Θ)
Π∞
21(ПрZ′
1(Y,Θ)) = Π∞
0 (ПрZ′
1(Y,Θ)).
Доказательство следует из определения Π∞
21(ПрZ′
1(Y,Θ)) и теоремы 2.
Доказанная теорема является в некотором смысле обобщением для ЗМР результатов
И. Гильбоа и Д. Шмейдлера (см. [3, c. 145]).
1. Михалевич, В.М. Многократный выбор решения при наличии одной из форм принципа гарантиро-
ванного результата // Доп. НАН України – 2011. – № 8. – С. 43–47.
2. Михалевич, В.М. О некоторых классах правил выбора предпочтений в задачах принятия решений //
Кибернетика и системный анализ. – 2011. – № 6. – С. 140–154.
3. Gilboa I., Schmeidler D. Maxmin expected utility with non-unique prior // J. of Math. Economics. – 18. –
P. 141–153.
Поступило в редакцию 24.03.2011НУ “Киево-Могилянская академия”, Киев
52 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №11
V.M. Mykhalevich
To the criterion when selecting multiple solutions
We obtain a solution of the fundamental problem of multiple solutions for a sufficiently broad class
of rules of choosing preferences in decision-making systems without memory with a criterion which
bijectively corresponds to a convex statistical regularity on the set of states and the utility function
on the consequences, which is determined up to a positive linear transformation.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №11 53
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-43823 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:12:23Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Михалевич, В.М. 2013-05-18T18:07:27Z 2013-05-18T18:07:27Z 2011 К критерию при многократном выборе решения / В.М. Михалевич // Доп. НАН України. — 2011. — № 11. — С. 49-53. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/43823 519.81 Отримано розв'язок проблеми невизначеності задачі багаторазових рішень для досить широкого класу правил вибору переваг в системі прийняття рішень у вигляді переваг на рішеннях, які задаються функцією корисності, параметрично залежної від опуклої статистичної закономірності на множині станів і функції корисності на наслідках, що визначається з точністю до додатного лінійного перетворення. We obtain a solution of the fundamental problem of multiple solutions for a sufficiently broad class of rules of choosing preferences in decision-making systems without memory with a criterion which bijectively corresponds to a convex statistical regularity on the set of states and the utility function on the consequences, which is determined up to a positive linear transformation. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика К критерию при многократном выборе решения To the criterion when selecting multiple solutions Article published earlier |
| spellingShingle | К критерию при многократном выборе решения Михалевич, В.М. Інформатика та кібернетика |
| title | К критерию при многократном выборе решения |
| title_alt | To the criterion when selecting multiple solutions |
| title_full | К критерию при многократном выборе решения |
| title_fullStr | К критерию при многократном выборе решения |
| title_full_unstemmed | К критерию при многократном выборе решения |
| title_short | К критерию при многократном выборе решения |
| title_sort | к критерию при многократном выборе решения |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/43823 |
| work_keys_str_mv | AT mihalevičvm kkriteriûprimnogokratnomvyborerešeniâ AT mihalevičvm tothecriterionwhenselectingmultiplesolutions |