Многослойная предварительно напряженная плита на жестком основании при воздействии подвижной нагрузки. Плоская задача
У рамках лінеаризованої теорії пружності для тіл з початковими напруженнями розглянуто постановку і метод розв'язання плоскої усталеної задачі про збурення багатошарової попередньо напруженої плити на жорсткій основі поверхневим навантаженням, що рухається з постійною швидкістю. Як приклад розг...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/43826 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Многослойная предварительно напряженная плита на жестком основании при воздействии подвижной нагрузки. Плоская задача / Ю.П. Глухов // Доп. НАН України. — 2011. — № 11. — С. 65-69. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860267264723386368 |
|---|---|
| author | Глухов, Ю.П. |
| author_facet | Глухов, Ю.П. |
| citation_txt | Многослойная предварительно напряженная плита на жестком основании при воздействии подвижной нагрузки. Плоская задача / Ю.П. Глухов // Доп. НАН України. — 2011. — № 11. — С. 65-69. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | У рамках лінеаризованої теорії пружності для тіл з початковими напруженнями розглянуто постановку і метод розв'язання плоскої усталеної задачі про збурення багатошарової попередньо напруженої плити на жорсткій основі поверхневим навантаженням, що рухається з постійною швидкістю. Як приклад розглянуто двовимірну задачу для попередньо напруженого шару на жорсткій основі. За допомогою методу інтегральних перетворень Фур'є отримано в загальному вигляді фундаментальний розв'язок задачі при різних умовах контакту і швидкостях руху навантаження.
Within the linearized theory of elasticity for bodies with initial stresses, we study a planar problem of the perturbation of a multilayered pre-stressed plate with the rigid basis by the surface load moving with a constant speed. As an example, the problem for a two-layered layer with the rigid basis is examined. With the help of the Fourier integral method, a fundamental solution to the problem is obtained in general form under various conditions of contact and speeds of a load.
|
| first_indexed | 2025-12-07T19:02:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
11 • 2011
МЕХАНIКА
УДК 539.3
© 2011
Ю.П. Глухов
Многослойная предварительно напряженная плита
на жестком основании при воздействии подвижной
нагрузки. Плоская задача
(Представлено академиком НАН Украины А.Н. Гузем)
У рамках лiнеаризованої теорiї пружностi для тiл з початковими напруженнями роз-
глянуто постановку i метод розв’язання плоскої усталеної задачi про збурення багато-
шарової попередньо напруженої плити на жорсткiй основi поверхневим навантажен-
ням, що рухається з постiйною швидкiстю. Як приклад розглянуто двовимiрну задачу
для попередньо напруженого шару на жорсткiй основi. За допомогою методу iнтеграль-
них перетворень Фур’є отримано в загальному виглядi фундаментальний розв’язок за-
дачi при рiзних умовах контакту i швидкостях руху навантаження.
В данной работе изучается динамическая задача для многослойной предварительно на-
пряженной полосы, лежащей на жестком основании и подверженной воздействию поверх-
ностной подвижной нагрузки. В рамках линеаризированной теории упругости для тел с
начальными напряжениями различные двумерные модели многослойной среды изучались
в работах [1–7].
Многослойная полоса на жестком основании. Рассмотрим подверженную воздей-
ствию подвижной нагрузки упругую многослойную плиту, состоящую из N плоскопарал-
лельных упругих слоев толщиной hs (s = 1, N ), лежащую на жестком основании. Слои
пронумерованы по порядку s = 1, N сверху вниз и состоят из сжимаемых или несжимае-
мых предварительно напряженных изотропных материалов с произвольной формой упру-
гого потенциала. Плита отнесена к декартовой системе координат ξi (i = 1, 2, 3), которые
вводятся в начальном деформированном состоянии.
Считаем, что начальное напряженно-деформированное состояние плиты является одно-
родным. Пусть нагрузка движется по свободной поверхности верхнего слоя с постоянной
скоростью v в течение большого промежутка времени, причем она не зависит от коорди-
наты ξ3, тогда относительно системы координат, связанной с этой нагрузкой, существует
установившееся плоское деформированное состояние. Для решения задачи воспользуемся
соотношениями линеаризированной теории упругости тел с начальными напряжениями [7].
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №11 65
Предполагая, что картина деформаций инвариантна относительно времени в движущейся
вместе с нагрузкой системе координат (y1, y2), где y1 = ξ1−vt, y2 = ξ2, уравнение установив-
шегося движения слоев и полупространства через функцию χ(y1, y2) можно записать в виде
(
η
{s}2
1
∂2
∂y21
+
∂2
∂y22
)(
η
{s}2
2
∂2
∂y21
+
∂2
∂y22
)
χ{s}(j) = 0, s = 1, N, j = 1, 2. (1)
Корни η
{s}
1 и η
{s}
2 определяются из уравнений
η{s}4 + 2A{s}η{s}2 +A
{s}
1 = 0, (2)
где коэффициенты A{s} и A
{s}
1 являются функциями скорости нагрузки v и параметров,
характеризующих материал элементов слоистой среды [7]: ω̃{s} — в случае сжимаемого
материала и κ̃{s} — в случае несжимаемого.
Рассмотрим следующие граничные условия:
при y2 = 0
Q̃
{1}
21 = P1δθNδ(y1), Q̃
{1}
22 = P2δ(y1), θ =
N∑
s=1
θ
{s}
1 , (3)
при y2 = −hs
u
{s}
2 = u
{s+1}
2 , Q̃
{s}
22 = Q̃
{s+1}
22 , Q̃
{s}
21 = θ
{s}
1 Q̃
{s+1}
21 ,
(
1− θ
{s}
1
)
Q̃
{s+1}
21 = θ
{s}
1
(
u
{s+1}
1 − u
{s}
1
)
,
u
{N}
2 = 0,
(
θ
{N}
1 − 1
)
Q̃
{N}
21 = θ
{N}
1 u
{N}
1 , s = 1, N − 1.
(4)
Здесь параметр θ
{s}
1 = 1 соответствует случаю жесткого контакта между слоями, а θ
{s}
1 =
= 0 — случаю нежесткого (скользящего).
Перемещения и напряжения в формулах (3) и (4) через функции χ{s}(j) можно пред-
ставить в виде
u
{s}
i = −β
{s}(i)
i1
∂2χ{s}(i)
∂y1∂y − 2
+
(
2∑
n=1
β
{s}(j)
i1
∂2
∂y2n
)
χ{s}(j), i, j = 1, 2, i 6= j,
Q̃
{s}
ij =
(
2∑
n=1
α
{s}(n2)
ij
∂2
∂y2n
)
χ{s}(2)
∂y2−δij
+
(
2∑
n=1
α
{s}(n1)
ij
∂2
∂y2n
)
χ{s}(1)
∂y1+δij
,
i, j = 1, 2, s = 1, N.
(5)
В соотношениях (5) коэффициенты β
{s}(j)
im , α
{s}(nk)
ij также являются функциями скорости
нагрузки и параметров, характеризующих материал элементов слоистой среды.
Таким образом, задача об установившейся реакции многослойного полупространства
при воздействии движущейся с постоянной скоростью нагрузки сводится к определению
функций χ(j) с помощью уравнений (1) при граничных условиях (3) и (4). Компоненты на-
пряженно-деформированного состояния двухслойного сжимаемого полупространства опре-
деляются по формулам (5).
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №11
Решение задачи найдем с помощью интегрального преобразования Фурье по перемен-
ной y1. Определим решение задачи в общем виде для случаев неравных и равных корней,
для различных условий сопряжения элементов многослойной среды и для любой скорости
движения нагрузки.
Решение преобразованных уравнений (1) с учетом затухания на бесконечности будем
искать в виде
χ{s}(j)F =
[
1− δ
{s}
j2
(
1− δ{s}η1η2
)]{
C
{s}(j)
1 ekγ
{s}
1
(y2+hs) + C
{s}(j)
3 e−kγ
{s}
2
(y2+hs) +
+
[
1− δ{s}η1η2
+ δ{s}η1η2
(y2 + hs)
][
C
{s}(j)
2 ekγ
{s}
2
(y2+hs) + C
{s}(j)
4 e−kγ
{s}
1
(y2+hs)
]}
, (6)
где C{s}(j)
m (j = 1, 2, m = 1, 4, s = 1, N ) — постоянные интегрирования; k — параметр
преобразования Фурье;
γ
{s}
j = kjη
{s}
j , δ{s}η1η2
=
{
1, η
{s}
1 = η
{s}
2 ,
0, η
{s}
1 6= η
{s}
2 ,
δ
{s}
j2 =
{
1, j = 1,
0, j = 2.
В представлении решения (6) kj ≡ σ = |k|/k, если η
{s}2
j > 0, и kj = i, если η
{s}2
j < 0.
В случае, если η
{s}
j принимает комплексные значения, то в (6) следует положить kj = 1,
η{s} = σRe η
{s}
j − (−1)ji Im η
{s}
j (j = 1, 2).
Введем постоянные интегрирования
C{s}(1)
m = C{s}
m , C{s}(2)
m = iγ{s}m C{s}
m ,
C
{s}(1)
m+2 = C
{s}
m+2, C
{s}(2)
m+2 = iγ
{s}
3−mC
{s}
m+2, γ{s}m = kmη{s}m , m = 1, 2.
(7)
Компоненты напряженно-деформированного состояния (5) в пространстве изображений
с учетом (6) и (7) будут иметь вид
Q̃
{s}F
nj = i1−δnjk2
4∑
m=1
γ
{s}(m)
nj C{s}
m e(−1)m+τkγ
{s}
τ (y2+hs−1),
u{s}Fn = iδ1nk
4∑
m=1
α{s}(m)
n C{s}
m e(−1)m+τkγ
{s}
τ (y2+hs−1),
τ = δm1 + δm4 + 2(δm2 + δm3), n, j = 1, 2.
(8)
Функции γ
{s}(m)
nj и α{s}(m)
n в формулах (8) являются функциями параметров k, δ{s}η1η2
,
γ{s}p , β
{s}(j)
im и α
{s}(nk)
ij .
Подставляя (8) в преобразованную систему уравнений (3), (4), получаем систему алгеб-
раических уравнений относительно неизвестных C{s}
m (m = 1, 4, s = 1, N ):
4∑
m=1
γ
{1}(m)
2q C{1}
m = iδ2q−1k−2δ
δ1q
θNPF
q ,
4∑
m=1
(
α̃
{s}(m)
2 C{s}
m e(−1)m+τ+1kγ
{s}
τ ∆hs − α
{s+1}(m)
2 C{s+1}
m
)
= 0,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №11 67
4∑
m=1
(
γ̃
{s}(m)
2q C{s}
m e(−1)m+τ+1kγ
{s}
τ ∆hs − θ
{s}δ1q
1 γ
{s+1}(m)
2q C{s+1}
m
)
= 0,
4∑
m=1
{[
k
(
1− θ
{s}
1
)
γ
{s+1}(m)
21 − θ
{s}
1 α
{s+1}(m)
1
]
C{s+1}
m + (9)
+ θ
{s}
1 α̃
{s}(m)
1 C{s}
m e(−1)m+τ+1kγ
{s}
τ ∆hs
}
= 0, q = 1, 2, s = 1, N − 1,
4∑
m=1
α̃
{N}(m)
2 C{N}
m e(−1)m+τ kγ
{N}
τ ∆hN = 0,
4∑
m=1
[
k
(
θ
{N}
1 − 1
)
γ̃
{N}(m)
21 − θ
{N}
1 α̃
{N}(m)
1
]
C{N}
m e(−1)m+τkγ
{N}
τ ∆hN = 0.
В формулах (9) используются следующие обозначения:
∆hs = hs+1 − hs, γ
{s}(m)
2n = γ
{s}(m)
2n |y2=−hs−1
, α{s}(m)
n = α{s}(m)
n |y2=−hs−1
,
h0 = 0, γ̃
{s}(m)
2n = γ
{s}(m)
2n |y2=−hs
, α̃{s}(m)
n = α{s}(m)
n |y2=−hs
, s = 1, N.
Таким образом, решение задачи об установившемся движении многослойной упругой
предварительно напряженной плиты, лежащей на жестком основании, воздействием под-
вижной нагрузки в области изображений Фурье сводится к решению системы алгебраичес-
ких уравнений (9) относительно неизвестных C
{s}
j .
Полоса на жестком основании. Рассмотрим плоскую задачу для предварительно
напряженного слоя, лежащего на жестком основании с начальными напряжениями [5]. Ре-
шение системы (9) в этом случае можно записать так:
Cm =
(−1)m(iθ1P
F
1 Um1 + PF
2 Um2)
∆(k)
, m = 1, 4, (10)
где
∆(k) = N12M34 −N13M24 +N14M23 +N23M14 −N24M13 +N34M12,
U1p = aq2M34 − aq3M24 + aq4M23, U2p = aq1M34 − aq3M14 + aq4M13,
U3p = aq1M24 − aq2M14 + aq4M12, U4p = aq1M23 − aq2M13 + aq3M12,
p, q = 1, 2, p 6= q,
Npq = a1pa2q − a2pa1q, Mpq = a3pa4q − a4pa3q, p, q = 1, 4,
anm = γ
(m)
2n , n = 1, 2, a3m = α̃
(m)
2 e(−1)m+τkγτh,
a4m = [k(θ1 − 1)γ̃
(m)
21 − θ1α̃
(m)
1 ]e(−1)m+τkγτh, m = 1, 4,
bn = iδ2n−1k−2δδ1nθN PF
n , n = 1, 2, bn = 0, n = 3, 4.
Трансформанты характеристик напряженно-деформированного состояния определяют-
ся, согласно (8), с учетом (10).
68 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №11
Для того чтобы перейти в формулах (8) к оригиналам, следует воспользоваться обрат-
ным преобразованием Фурье.
1. Бабич С.Ю., Глухов Ю.П., Гузь А.Н. Динамика слоистого несжимаемого полупространства с на-
чальными напряжениями при воздействии подвижной нагрузки // Прикл. механика. – 2008. – 44,
№ 3. – С. 36–54.
2. Бабич С.Ю., Глухов Ю.П., Гузь А.Н. Об одной динамической задаче для слоистого сжимаемого
полупространства с начальными напряжениями // Там же. – № 4. – С. 35–55.
3. Бабич С.Ю., Глухов Ю.П., Гузь А.Н. Определение реакции на движущуюся нагрузку двухслойно-
го упругого полупространства с начальными напряжениями с применением комплексных потенциа-
лов // Там же. – № 5. – С. 3–15.
4. Бабич С.Ю., Глухов Ю.П. Напряженно-деформированное состояние слоистого предварительно-на-
пряженного полупространства при воздействии подвижной нагрузки // Системнi технологiї. Рег.
мiжвуз. зб. наук. праць. Вип. 3(62). – Днiпропетровськ, 2009. – С. 93–98.
5. Глухов Ю.П. Об одной динамической задаче для предварительно напряженной полосы с закреплен-
ным основанием // Вiсн. Нац. Черк. ун-ту. Вип. 172. – Черкаси, 2010. – С. 20–24.
6. Гузь А.Н., Бабич С.Ю., Глухов Ю.П. Статика и динамика упругих оснований с начальными (оста-
точными) напряжениями. – Кременчуг: Кременчуг, 2007. – 795 с.
7. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными (остаточными) напряжениями. – Kиев: A.С. K.,
2004. – 672 с.
Поступило в редакцию 20.01.2011Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украини, Киев
Yu.P. Glukhov
Multilayered pre-stressed plate with the rigid basis under the influence
of a moving load. Plane problem
Within the linearized theory of elasticity for bodies with initial stresses, we study a planar problem
of the perturbation of a multilayered pre-stressed plate with the rigid basis by the surface load moving
with a constant speed. As an example, the problem for a two-layered layer with the rigid basis is
examined. With the help of the Fourier integral method, a fundamental solution to the problem is
obtained in general form under various conditions of contact and speeds of a load.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №11 69
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-43826 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T19:02:14Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Глухов, Ю.П. 2013-05-18T18:22:27Z 2013-05-18T18:22:27Z 2011 Многослойная предварительно напряженная плита на жестком основании при воздействии подвижной нагрузки. Плоская задача / Ю.П. Глухов // Доп. НАН України. — 2011. — № 11. — С. 65-69. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/43826 539.3 У рамках лінеаризованої теорії пружності для тіл з початковими напруженнями розглянуто постановку і метод розв'язання плоскої усталеної задачі про збурення багатошарової попередньо напруженої плити на жорсткій основі поверхневим навантаженням, що рухається з постійною швидкістю. Як приклад розглянуто двовимірну задачу для попередньо напруженого шару на жорсткій основі. За допомогою методу інтегральних перетворень Фур'є отримано в загальному вигляді фундаментальний розв'язок задачі при різних умовах контакту і швидкостях руху навантаження. Within the linearized theory of elasticity for bodies with initial stresses, we study a planar problem of the perturbation of a multilayered pre-stressed plate with the rigid basis by the surface load moving with a constant speed. As an example, the problem for a two-layered layer with the rigid basis is examined. With the help of the Fourier integral method, a fundamental solution to the problem is obtained in general form under various conditions of contact and speeds of a load. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Многослойная предварительно напряженная плита на жестком основании при воздействии подвижной нагрузки. Плоская задача Multilayered pre-stressed plate with the rigid basis under the influence of a moving load. Plane problem Article published earlier |
| spellingShingle | Многослойная предварительно напряженная плита на жестком основании при воздействии подвижной нагрузки. Плоская задача Глухов, Ю.П. Механіка |
| title | Многослойная предварительно напряженная плита на жестком основании при воздействии подвижной нагрузки. Плоская задача |
| title_alt | Multilayered pre-stressed plate with the rigid basis under the influence of a moving load. Plane problem |
| title_full | Многослойная предварительно напряженная плита на жестком основании при воздействии подвижной нагрузки. Плоская задача |
| title_fullStr | Многослойная предварительно напряженная плита на жестком основании при воздействии подвижной нагрузки. Плоская задача |
| title_full_unstemmed | Многослойная предварительно напряженная плита на жестком основании при воздействии подвижной нагрузки. Плоская задача |
| title_short | Многослойная предварительно напряженная плита на жестком основании при воздействии подвижной нагрузки. Плоская задача |
| title_sort | многослойная предварительно напряженная плита на жестком основании при воздействии подвижной нагрузки. плоская задача |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/43826 |
| work_keys_str_mv | AT gluhovûp mnogosloinaâpredvaritelʹnonaprâžennaâplitanažestkomosnovaniiprivozdeistviipodvižnoinagruzkiploskaâzadača AT gluhovûp multilayeredprestressedplatewiththerigidbasisundertheinfluenceofamovingloadplaneproblem |