Дослідження переміщення берегів двох колінеарних тріщин рівної довжини
Розглянуто задачу нелінійної механіки руйнування про визначення переміщення берегів двох колінеарних тріщин у пружному ізотропному нескінченному тілі під дією рівномірного сталого навантаження на нескінченності, прикладеного перпендикулярно до лінії тріщин. Побудовано графіки залежностей переміщень...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/43827 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Дослідження переміщення берегів двох колінеарних тріщин рівної довжини / А.О. Камiнський, М.Ф. Селiванов, Ю.О. Чорноiван // Доп. НАН України. — 2011. — № 11. — С. 70-75. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859682069500657664 |
|---|---|
| author | Камінський, А.О. Селіванов, М.Ф. Чорноіван, Ю.О. |
| author_facet | Камінський, А.О. Селіванов, М.Ф. Чорноіван, Ю.О. |
| citation_txt | Дослідження переміщення берегів двох колінеарних тріщин рівної довжини / А.О. Камiнський, М.Ф. Селiванов, Ю.О. Чорноiван // Доп. НАН України. — 2011. — № 11. — С. 70-75. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Розглянуто задачу нелінійної механіки руйнування про визначення переміщення берегів двох колінеарних тріщин у пружному ізотропному нескінченному тілі під дією рівномірного сталого навантаження на нескінченності, прикладеного перпендикулярно до лінії тріщин. Побудовано графіки залежностей переміщень берегів тріщини та розкриття у фізичній вершині тріщини від геометричних параметрів задачі.
We study the non-linear fracture mechanics problem of elastic crack opening for two collinear cracks in an isotropic infinite body under the uniform constant loading applied transversally to the crack line. Results are shown as the plots of the crack opening along the crack length and at the physical ends versus the geometric parameters of the problem.
|
| first_indexed | 2025-11-30T20:18:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.421
© 2011
А.О. Камiнський, М. Ф. Селiванов, Ю.О. Чорноiван
Дослiдження перемiщення берегiв двох колiнеарних
трiщин рiвної довжини
(Представлено академiком НАН України В. Д. Кубенком)
Розглянуто задачу нелiнiйної механiки руйнування про визначення перемiщення берегiв
двох колiнеарних трiщин у пружному iзотропному нескiнченному тiлi пiд дiєю рiвномiр-
ного сталого навантаження на нескiнченностi, прикладеного перпендикулярно до лiнiї
трiщин. Побудовано графiки залежностей перемiщень берегiв трiщини та розкриття
у фiзичнiй вершинi трiщини вiд геометричних параметрiв задачi.
Вивченню напружено-деформованого стану нескiнченного пружного iзотропного тiла, по-
слабленого колiнеарними трiщинами, пiд дiєю нормального до лiнiй трiщин навантаження
присвячено роботи [1–3] та iн. Для постановки задач механiки руйнування у цих робо-
тах було використано модель з урахуванням зон нелiнiйної поведiнки матерiалу у вершинi
трiщини. Однак поза увагою дослiдникiв залишилося визначення перемiщення берегiв трi-
щини, що є важливим для вивчення питань поширення трiщини.
Нехай у пружному нескiнченному iзотропному тiлi вздовж однiєї прямої розташовано
систему двох трiщин, що перебувають пiд дiєю однорiдного напруження p, прикладеного на
нескiнченностi перпендикулярно до лiнiї трiщин. Введемо ортогональну декартову систему
координат, вiсь x якої спрямуємо вздовж лiнiї трiщин (рис. 1).
Згiдно з моделлю Леонова–Панасюка–Дагдейла, вважатимемо, що областi нелiнiйної
поведiнки матерiалу в околi вершин трiщин можна замiнити розрiзами, до берегiв яких
прикладено стискаючi напруження iнтенсивнiстю σ0. Вiдповiднi позначення наведенi на
рис. 1.
Рис. 1
70 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №11
Запишемо граничнi умови поставленої задачi
v = 0, τ12 = 0 при |x| < c
⋃
|x| > d,
σ22 = σ0, τ12 = 0 при c 6 x < a
⋃
b < |x| 6 d,
σ22 = −p, τ12 = 0 при a 6 |x| 6 b,
причому координати кiнцiв розрiзiв слiд визначати з умови скiнченностi напружень у вер-
шинах трiщин.
Для визначення умов пружної рiвноваги та деформованого стану матерiалу навколо
трiщини важливим є встановлення залежностi мiж навантаженням на трiщину, геометрич-
ними параметрами трiщини та її розкриттям.
Загальний розв’язок задачi для площини з прямолiнiйними розрiзами в роботi [4] дається
двома комплексними функцiями Φ(z) i Ω(z):
σy + σx = 2[Φ(z) + Φ(z)],
σy − σx + 2iτxy = 2[Ω(z) − Φ(z)− (z − z)Φ′(z)],
2µ(u+ iv) = κϕ(z)− ω(z)− (z − z)Φ(z),
(1)
де κ = (3λ + µ)/(λ + µ); λ та µ — параметри Ламе матерiалу пластини,
ω(z) =
∫
Ω(z) dz, ϕ(z) =
∫
Φ(z) dz.
Функцiї Φ(z) i Ω(z) для розглянутої задачi визначенi в роботi [1] i мають вигляд
Φ(z) = Ω(z)−
p
2
= −
σ0
πi
lnU(z) −
p
4
, (2)
де
U(z) = ln
(dazc + acdz)bz
(dbzc + bcdz)za
,
а d2a = d2 − a2, z2c = z2 − c2 тощо, da =
√
d2a, zc =
√
z2c тощо.
Для забезпечення обмеженостi i неперервностi напружень у точках z = ±c i z = ±d
покладено
d2c cos
2 ρ1 = a2c + b2c − 2acbc sin ρ1,
daac
[
F(k) +
a2
d2a
Π
(
−
d2c
d2a
, k
)]
= dbbc
[
F(k) +
b2
d2b
Π
(
−
d2c
d2b
, k
)]
,
(3)
де F(k) i Π(n, k) — елiптичнi iнтеграли першого i третього роду вiдповiдно,
ρ1 =
π
2ρ2
, ρ2 =
σ0
p
—
силовi параметри.
Рiвняння (3) враховано при отриманнi виразiв (2) i використано для знаходження зов-
нiшнiх границь зон нелiнiйної поведiнки матерiалу c i d.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №11 71
При c = 0 i a > 0 з першого з рiвнянь (3) можна визначити d:
d =
√
a2 + b2 − 2ab sin ρ1
cos ρ1
,
друге рiвняння при цьому перетвориться на нерiвнiсть
bd
ab
6 ch
(
b
a
arch
d
b
)
,
яка є умовою додатностi вертикального перемiщення в точцi початку координат.
Вертикальне перемiщення для випадку c > 0 отримаємо з (1) пiдстановкою функцiй
Φ(z) i Ω(z) з (2):
v(x) =
ρ3p
E
Re
x∫
c
U(z) dz, ρ3 =
4ρ2
π
, (4)
де E — модуль Юнга матерiалу пластини.
Позначимо ṽ = Ev/ρ3p i проiнтегруємо в (4). Отримаємо
ṽ(x) = xU1(x)− qaΠa(x) + qbΠb(x),
U1(x) = ReU(x) = ln
(daxc + acdx)
√
|b2x|
(dbxc + bcdx)
√
|x2a|
,
qa =
dac
2
dac
, Πa(x) = Π(ϕ(x),−na, k), na =
dca
2
d2a2c
;
qb =
dbc
2
dbc
, Πb(x) = Π(ϕ(x),−nb, k), nb =
dcb
2
d2b2c
.
Тут Π(ϕ, n, k) — неповний елiптичний iнтеграл третього роду,
ϕ(x) = arcsin
(
xxc
k
)
, k =
dc
d
.
При x = a i x = b, вiдповiдно, отримаємо
ṽ(a) = a ln
da(a+ c)ba
(dbac + bcda)a
+
b
2
ln
(a+ b)(b− c)
(b− a)(b+ c)
− dEa
(
da
ac
−
db
bc
)
+
d2a
a
−
dadbac
abc
+
+ d2c
(
Iaa
ac
−
Iba
bc
)
,
ṽ(b) = b ln
(dabc + acdb)b
db(b+ c)ba
+
a
2
ln
(b− a)(a+ c)
(a+ b)(a− c)
− dEb
(
da
ac
−
db
bc
)
+
dadbbc
bac
−
d2b
b
+
+ d2c
(
Iab
ac
−
Ibb
bc
)
,
Ea = E(κa, k), κa = arcsin
ac
ak
, Eb = E(κb, k), κb = arcsin
bc
bk
,
72 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №11
де E(ϕ, k) — неповний елiптичний iнтеграл другого роду,
Iaa =
a∫
c
x2dx
dx(daxc + acdx)
, Iba =
a∫
c
x2dx
dx(dbxc + bcdx)
,
Iab =
b∫
c
x2dx
dx(daxc + acdx)
, Ibb =
b∫
c
x2dx
dx(dbxc + bcdx)
.
Вертикальне перемiщення для випадку c = 0 (внутрiшнi зони нелiнiйної поведiнки ма-
терiалу об’єднанi) матиме вигляд
ṽ(x) = Re
x∫
d
U(z) dz.
Iнтегруючи, отримаємо
ṽ(x) = x ln
(dax+ adx)
√
|b2x|
(dbx+ bdx)
√
|x2a|
+
a
2
ln
|dx − da|
dx + da
−
b
2
ln
|dx − db|
dx + db
.
При x = a та x = b, вiдповiдно, отримаємо
ṽ(a) = a ln
aba
dba+ bda
+
b
2
ln
da + db
da − db
;
ṽ(b) =
a
2
ln
da − db
da + db
+ b ln
dab+ adb
bba
.
При a = 0 одержуємо перемiщення берегiв трiщини довжиною 2b
ṽ(x) = x ln
d
√
|b2x|
dbx+ bdx
−
b
2
ln
|dx − db|
dx + db
. (5)
Покладаючи x = b в розв’язку (5), отримаємо перемiщення в кiнцi фiзичної трiщини
довжиною 2b:
ṽ(b) = b ln
d
b
.
Проведемо чисельний аналiз одержаних результатiв.
На рис. 2 наведено залежностi вiд координати вертикального перемiщення для п’ятьох
геометричних конфiгурацiй трiщин. Для кожної з конфiгурацiй b = 1, а для параметра a
вибрано такi значення: 1) a = 0,4, a = 0,2 — для цих двох випадкiв c > 0; 2) a = 0,1, a =
= 0,05 — для цих двох випадкiв зони нелiнiйної поведiнки матерiалу з’єднуються; 3) a = 0 —
зона нелiнiйної поведiнки матерiалу, що розташована мiж трiщинами, зникає. Крапками на
рисунку для кожної з трiщин позначенi перемiщення в точках a i b.
Проведемо аналiз взаємного впливу трiщин. Розв’язки отримаємо для ρ2 = 3.
На рис. 3 проiлюстровано вплив на вертикальне перемiщення в кiнцях фiзичних трiщин
вiдстанi мiж ними. Покладаємо довжини трiщин рiвними одиницi i обчислюємо вказанi
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №11 73
Рис. 2 Рис. 3
Рис. 4
перемiщення залежно вiд розташування точки a. Штрихпунктирна крива вiдповiдає пере-
мiщенню в точцi a, суцiльна — в точцi b = a+1. Пунктирна пряма вiдповiдає перемiщенню,
обчисленому при вiдсутностi другої трiщини (вираз (5) при напiвдовжинi, що дорiвнює
(b − a)/2 = 1/2). При a = 1 розбiжностi по перемiщеннях в кiнцях фiзичної трiщини по-
рiвняно з трiщиною такої ж довжини при вiдсутностi другої трiщини становлять 4,19%
74 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №11
(в точцi a) i 2,96% (в точцi b), при a = 2 цi розбiжностi становлять 1,32 i 1,08%, при a = 3 —
0,65 i 0,56%.
На рис. 4 зображено залежностi вертикального перемiщення в кiнцях фiзичної трiщини
(блок а) та рiзницi мiж цими перемiщеннями (блок б) вiд положення точки a ∈ (0, b − 1)
для значень b = 2 (пунктирнi кривi), b = 3 (штриховi кривi), b = 4 (штрихпунктирнi кривi)
i b = 5 (суцiльнi кривi). Жирнi кривi блока а вiдповiдають перемiщенню в точцi b.
Наведенi данi можуть бути використанi для якiсного аналiзу необхiдностi застосування
у реальних iнженерних задачах моделей з багатьма осередками руйнування, а також для
дослiджень довготривалого поширення та злиття трiщин в елементах конструкцiй.
1. Витвицкий П.М. Полосы скольжения при растяжении тонких пластин с прямолинейными разреза-
ми // Концентрация напряжений. – Киев: Наук. думка, 1965. – С. 77–85.
2. Collins R.A., Cartwright D. J. An analytical solution for two equal-length collinear strip yield cracks //
Eng. Fract. Mech. – 2001. – 68. – P. 915–924.
3. Nishimura T. Strip yield analysis of two collinear unequal cracks in an infinite sheet // Ibid. – 2002. –
69. – P. 1173–1191.
4. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. – Москва: Нау-
ка, 1966. – 707 с.
Надiйшло до редакцiї 31.01.2011Iнститут механiки iм. С. П. Тимошенка
НАН України, Київ
A.A. Kaminsky, M. F. Selivanov, Yu. O. Chornoivan
Study of a displacement of crack edges for two collinear cracks of equal
length
We study the non-linear fracture mechanics problem of elastic crack opening for two collinear cracks
in an isotropic infinite body under the uniform constant loading applied transversally to the crack
line. Results are shown as the plots of the crack opening along the crack length and at the physical
ends versus the geometric parameters of the problem.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №11 75
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-43827 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-30T20:18:02Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Камінський, А.О. Селіванов, М.Ф. Чорноіван, Ю.О. 2013-05-18T18:23:21Z 2013-05-18T18:23:21Z 2011 Дослідження переміщення берегів двох колінеарних тріщин рівної довжини / А.О. Камiнський, М.Ф. Селiванов, Ю.О. Чорноiван // Доп. НАН України. — 2011. — № 11. — С. 70-75. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/43827 539.421 Розглянуто задачу нелінійної механіки руйнування про визначення переміщення берегів двох колінеарних тріщин у пружному ізотропному нескінченному тілі під дією рівномірного сталого навантаження на нескінченності, прикладеного перпендикулярно до лінії тріщин. Побудовано графіки залежностей переміщень берегів тріщини та розкриття у фізичній вершині тріщини від геометричних параметрів задачі. We study the non-linear fracture mechanics problem of elastic crack opening for two collinear cracks in an isotropic infinite body under the uniform constant loading applied transversally to the crack line. Results are shown as the plots of the crack opening along the crack length and at the physical ends versus the geometric parameters of the problem. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Дослідження переміщення берегів двох колінеарних тріщин рівної довжини Study of a displacement of crack edges for two collinear cracks of equal length Article published earlier |
| spellingShingle | Дослідження переміщення берегів двох колінеарних тріщин рівної довжини Камінський, А.О. Селіванов, М.Ф. Чорноіван, Ю.О. Механіка |
| title | Дослідження переміщення берегів двох колінеарних тріщин рівної довжини |
| title_alt | Study of a displacement of crack edges for two collinear cracks of equal length |
| title_full | Дослідження переміщення берегів двох колінеарних тріщин рівної довжини |
| title_fullStr | Дослідження переміщення берегів двох колінеарних тріщин рівної довжини |
| title_full_unstemmed | Дослідження переміщення берегів двох колінеарних тріщин рівної довжини |
| title_short | Дослідження переміщення берегів двох колінеарних тріщин рівної довжини |
| title_sort | дослідження переміщення берегів двох колінеарних тріщин рівної довжини |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/43827 |
| work_keys_str_mv | AT kamínsʹkiiao doslídžennâperemíŝennâberegívdvohkolínearnihtríŝinrívnoídovžini AT selívanovmf doslídžennâperemíŝennâberegívdvohkolínearnihtríŝinrívnoídovžini AT čornoívanûo doslídžennâperemíŝennâberegívdvohkolínearnihtríŝinrívnoídovžini AT kamínsʹkiiao studyofadisplacementofcrackedgesfortwocollinearcracksofequallength AT selívanovmf studyofadisplacementofcrackedgesfortwocollinearcracksofequallength AT čornoívanûo studyofadisplacementofcrackedgesfortwocollinearcracksofequallength |