Обращение локального преобразования Помпейю на двухточечно-однородных пространствах
Досліджено проблеми, пов'язані з ін'єктивністю локального перетворення Помпейю на двоточково-однорідних просторах. Знайдено явну формулу обернення для оператора середнього значення по шарах та сферах одного фіксованого радіуса. Problems related to the injectivity of a local Pompeiu transfo...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44164 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Обращение локального преобразования Помпейю на двухточечно-однородных пространствах / В.В. Волчков, Вит.В. Волчков // Доп. НАН України. — 2011. — № 12. — С. 7-12. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860243991903076352 |
|---|---|
| author | Волчков, В.В. Волчков, Вит.В. |
| author_facet | Волчков, В.В. Волчков, Вит.В. |
| citation_txt | Обращение локального преобразования Помпейю на двухточечно-однородных пространствах / В.В. Волчков, Вит.В. Волчков // Доп. НАН України. — 2011. — № 12. — С. 7-12. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Досліджено проблеми, пов'язані з ін'єктивністю локального перетворення Помпейю на двоточково-однорідних просторах. Знайдено явну формулу обернення для оператора середнього значення по шарах та сферах одного фіксованого радіуса.
Problems related to the injectivity of a local Pompeiu transform on two-point homogeneous spaces are studied. An explicit inversion formula for the mean-value operator over balls and spheres with single fixed radius is found.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:33:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
12 • 2011
МАТЕМАТИКА
УДК 517.988.28
© 2011
В.В. Волчков, Вит.В. Волчков
Обращение локального преобразования Помпейю
на двухточечно-однородных пространствах
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.П. Моторным)
Дослiджено проблеми, пов’язанi з iн’єктивнiстю локального перетворення Помпейю
на двоточково-однорiдних просторах. Знайдено явну формулу обернення для оператора
середнього значення по шарах та сферах одного фiксованого радiуса.
Пусть X — риманово двухточечно-однородное пространство с функцией расстояния d(·, ·),
G — группа изометрий X, F = {Ti}si=1 — заданное семейство распределений с компактным
носителем в X [1, гл. 1]. При фиксированном g ∈ G рассмотрим распределение gTi, дей-
ствующее на C∞(X) по правилу 〈gTi, f〉 = 〈Ti, f ◦ g−1〉, f ∈ C∞(X). Для любого открытого
множества U ⊂ X такого, что каждое из множеств Λ(U , Ti) = {g ∈ G : supp gTi ⊂ U},
i = 1, . . . , s, непусто, преобразование Помпейю PF ,U отображает C∞(U) в декартово прои-
зведение C∞(Λ(U , T1))× · · · ×C∞(Λ(U , Ts)) следующим образом: PF ,U (f) = (f1, . . . , fs), где
fi(g) = 〈gTi, f〉, g ∈ Λ(U , Ti), i = 1, . . . , s. Для заданных F и U возникают следующие пробле-
мы (см., например, [2, § 3]): (i) выяснить, является ли преобразование PF ,U инъективным;
(ii) если PF ,U не является инъективным, то описать его ядро; (iii) если PF ,U инъективно,
то найти обратное отображение.
Помимо самостоятельного интереса, эти задачи имеют глубокие связи с периодичностью
в среднем, теорией гармонических функций, рядами экспонент, теорией аппроксимации,
микролокальным анализом, оценками плотности упаковок в комбинаторной геометрии,
а также различными вопросами комплексного анализа, теории дифференциальных урав-
нений в частных производных, теории отображений, сохраняющих меру, и теории графов
(см. [2–5]).
Следуя классическим работам Минковского, Функа, Радона и Помпейю (см., напри-
мер, [6, прил., п. 6; 2, § 3]), многие исследователи изучали проблемы (i)–(iii), когда Ti
равно χri или σri , где χri — индикатор открытого шара Bri радиуса ri с центром в нуле,
а σri — поверхностная дельта-функция сферы ∂Bri , i = 1, . . . , s. Однако даже в этих модель-
ных случаях полное решение сформулированных задач далеко от завершения и известно
лишь при s = 1 [5, ч. 2; 7; 8]. Для семейства F = {χr1 , χr2} и U = BR найдены необходимые
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №12 7
и достаточные условия инъективности PF ,U [8, 9], а по проблемам (ii), (iii) получены только
некоторые частные результаты [10–12]. При s > 3 даже исследование инъективности PF ,U
в рассматриваемой ситуации наталкивается на непреодолимые трудности. Немногочислен-
ные результаты, относящиеся к этому случаю, содержатся в [13, ч. 4].
В современных исследованиях особое внимание уделяется нахождению явных формул,
позволяющих восстанавливать функцию по известному преобразованию Помпейю. Резуль-
татов в этом направлении получено немного и все они относятся к случаю глобального
преобразования Помпейю, т. е. когда U = X [13, ч. 4]. Для локального преобразования
Помпейю известны лишь достаточно громоздкие процедуры восстановления для отдель-
ных пространств X, семейства F = {χr1 , χr2} и U = BR (см. [10–12]). В данной работе
мы приводим явную формулу обращения для P{χr ,σr},BR
в случае произвольного двухто-
чечно-однородного пространства X.
Обозначения и предварительные конструкции. В работе используются следую-
щие стандартные обозначения: R, C, N, Z, Z+ — соответственно множества вещественных,
комплексных, натуральных, целых и целых неотрицательных чисел; [t] — целая часть чис-
ла t ∈ R; λ — комплексное сопряжение к числу λ ∈ C; δA,B — символ Кронекера; Γ —
гамма-функция; P
(α,β)
l (t) — многочлены Якоби; Cγ
l (t) — многочлены Гегенбауэра.
Пусть a ∈ [0, 1], ψ ∈ [0, π]. Для α > β > −1/2, p > q, p, q ∈ Z+ положим
ξα,βp,q (a, ψ) = P (α−β−1,β+p−q)
q (2a2 − 1)ap−qCβ
p−q(ψ), (1)
где Cβ
p−q(ψ) = (β + p − q)Γ(β)Cβ
p−q(cosψ), если β 6= 0,
C0
p−q(ψ) =
{
2 cos((p − q)ψ), p 6= q,
1, p = q.
Если α = β или β = −1/2, то вместо (1) ниже используется система Cα
p (ψ). Для единства
записи разложений по указанным системам положим
ξα,αp,q (1, ψ) = δq,0Cα
p (ψ),
ξα,−1/2
p,q (a, 0) =
√
π(−1)p−q
(p− q)!
(1− 2p + 2q)P (α−1/2,p−q−1/2)
q (2a2 − 1)ap−q, a ∈ [−1, 1].
Некоторая информация о сходимости рядов по системе ξα,βp,q (a, ψ) содержится в [14, разд. 8.1].
Дальнейшие построения опираются на классификацию двухточечно-однородных про-
странств и их реализации. Как известно (см. [1, гл. 1, § 4, п. 2.3]), все такие пространства
состоят из: 1) вещественных евклидовых пространств Rn; 2) гиперболических пространств
Hn
K (K обозначает поля R, C, или тело кватернионов Q); 3) гиперболической плоскости
Кэли H2
Ca; 4) евклидовых сфер Sn; 5) проективных пространств Pn
K; 6) проективной плос-
кости Кэли P2
Ca.
Пусть X1 — класс некомпактных пространств X, отличных от Rn, а X2 — класс ком-
пактных X. Если X ∈ X1, условимся, что максимум секционной кривизны X равен −1,
а в случае X ∈ X2 предположим, что минимум секционной кривизны X равен 1. Указан-
ные максимум и минимум обозначим εX , а для X = Rn положим εX = 0. Кроме того, будем
считать, что вещественная размерность aX пространства X не меньше 2 и использовать
реализации для X, описанные в [13, ч. 1, гл. 2, 3]. В частности, из [13, ч. 1, гл. 2, 3] видно,
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №12
что геодезический шар BR = {x ∈ X : d(0, x) < R} (0 < R 6 diamX) совпадает с открытым
евклидовым шаром из RaX с центром в нуле и соответствующим радиусом.
Далее, пусть αX = −1 + aX/2, а βX = n/2 − 1,−1/2, 0, 1, 3 соответственно в каждом из
следующих пяти случаев: 1) X = Rn, X = Hn
R, X = Sn; 2) X = Pn
R; 3) X = Hn
C, X = Pn
C;
4) X = Hn
Q, X = Pn
Q; 5) X = H2
Ca, X = P2
Ca. Площадь сферы радиуса r в X равна
AX(r) = bX
(Ω(r))2αX+1
(1 + εXΩ2(r))ρX
, где bX =
2πaX/2
Γ(aX/2)
; ρX = αX + βX + 1;
Ω — обратная функция к функции Ω−1(r) = d(0, re), e = (1, 0, . . . , 0) ∈ RaX .
Пусть X3 — класс двухточечно-однородных пространств постоянной кривизны, т. е. X3 =
= {Rn,Hn
R,S
n,Pn
R}. Возьмем k ∈ Z+, m ∈ {0, . . . ,MX(k)}, где MX(k) = 0, если X ∈ X3,
и MX(k) = [k/2], если X /∈ X3. Определим Hk,m
X = Hk
aX в случае X ∈ X3 и
Hk,m
X = {f ∈ Hk
aX
: (Lf)(x) = 4εX(m− βX)(k −m)(1 + εX |x|2)f(x)}
в случае X /∈ X3, где Hk
aX — пространство однородных гармонических многочленов степе-
ни k в RaX , L — оператор Лапласа–Бельтрами на X. Обозначим через O(aX) ортогональ-
ную группу в RaX . После отождествления Hk,m
X с пространством сужений его элементов
на сферу SaX−1 = {x ∈ RaX : |x| = 1} Hk,m
X становится инвариантным подпространством
квазирегулярного представления T(τ) группы K = G∩O(aX) на L2(SaX−1). Если T
k,m(τ) —
сужение T(τ) на Hk,m
X , то T(τ) является ортогональной прямой суммой попарно неэкви-
валентных неприводимых унитарных представлений T
k,m(τ), k ∈ Z+, m ∈ {0, . . . ,MX(k)}
(см. [7, § 2; 13, ч. 1, гл. 4]).
Произвольная точка x ∈ RaX \ {0} представима в виде x = ̺σ, где ̺ = |x|, σ = x/|x|.
Всякой функции f ∈ L1,loc(BR) соответствует ряд Фурье
f(x) ∼
∞
∑
k=0
MX(k)
∑
m=0
dk,m
X
∑
j=1
fk,m,j(̺)Y
k,m
j (σ), (2)
где dk,mX — размерность Hk,m
X , {Y k,m
j } — фиксированный ортонормированный базис в Hk,m
X
относительно поверхностной меры dω на SaX−1 и
fk,m,j(̺) =
∫
SaX−1
f(̺σ)Y k,m
j (σ) dω(σ).
Если f ∈ C∞(BR), то ряд (2) сходится к f в пространстве C∞(BR) (см. [13, ч. 2]). Положим
C∞
k,m,j(BR) = {f ∈ C∞(BR) : f = fk,m,j}, где fk,m,j(x) = fk,m,j(̺)Y
k,m
j (σ). Аналогом класса
C∞
0,0,1(BR) в одномерном случае является совокупность C∞
♮ (−R,R) всех четных функций
из C∞(−R,R).
Положим Ak,m
j = A
−1
0,0,1Ak,m,j, где Ak,m,j — гомеоморфизм между C∞
k,m,j(BR)
и C∞
♮ (−R,R), определенный в [13, ч. 2]. Обратное отображение (Ak,m
j )−1 будем обозначать
Bk,m
j . Операторы Ak,m
j играют важную роль при изучении проблем (i)–(iii) и их обобщений.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №12 9
Формулировка основного результата. Положим ǫX = εX , если X ∈ X1 ∪X2, и ǫX =
= −1, если X = Rn. Для t1, t2 > 0 таких, что t1 + t2 < diamX введем функцию Ξt1,t2
по формуле
Ξt1,t2(a, ψ) = Ω(d(Ω(t1)η,Ω(t2)e)), (a, ψ) ∈ M(Ξt1,t2),
где множество M(Ξt1,t2) и точка η = (η1, . . . , ηaX ) ∈ SaX−1 определяются для каждого X
следующим образом:
1) если X 6∈ X3, то M(Ξt1,t2) = {(a, ψ) : a ∈ [0, 1], ψ ∈ [0, π]}, η1 = εXa cosψ, η2 =
√
1− a2,
ηaX/2+1 = εXa sinψ;
2) если X ∈ X3 и X 6= Pn
R, то M(Ξt1,t2) = {(1, ψ) : ψ ∈ [0, π]}, η1 = ǫX cosψ, η2 = sinψ;
3) если X = Pn
R, то M(Ξt1,t2) = {(a, 0): a ∈ [−1, 1]}, η1 = a, η2 =
√
1− a2.
Определим операторы D(α, β) и D(α, β) равенствами
(D(α, β)ϕ)(̺) =
(1 + εX̺
2)β+1
̺α
d
d̺
(
̺α
(1 + εX̺2)β
ϕ(̺)
)
,
(D(α, β)ϕ)(̺) =
(1 + εX̺
2)β+1
̺α
̺
∫
0
ξα
(1 + εXξ2)β
ϕ(ξ) dξ.
Для краткости обозначим
ζp,q =
Γ(βX + p+ 1)
(αX + p+ q)Γ(αX + p)
,
Dp,q,1 =
ζp−1,q
ζp+1,q
D(2αX + p+ q + 1, ρX + p)D(1− p− q, 1− p),
Dp,q,2 =
2ζp,q
ζp+1,q
p+ q + αX − εXΩ2(r)(βX + p− q)
Ω(r)
D(2αX + p+ q + 1, ρX + p),
Dp,q,3 =
(αX+ p− 1)(αX+ p+ q+ 1)
(αX+ p+ q − 1)(βX+ p)
D(2αX+ p+ q+ 1, αX+ q+ 1)D(1 − p− q, 1− p),
Dp,q,4 =
2(αX + p+ q + 1)
Ω(r)
D(2αX + p+ q + 1, αX + p+ 1),
Dp,1 = D
(
n+ p− 1,
n+ p− 1
2
)
D
(
1− p,
1− p
2
)
,
Dp,2 =
n+ 2p − 2
Ω(r)
D
(
n+ p− 1,
n+ p− 1
2
)
,
Dp,3 = D(n+ p− 1, 0)D(1 − p, 0), Dp,4 =
n+ 2p − 2
r
D(n+ p− 1, 0).
Символ × ниже используется для свертки распределений на областях в X [1, гл. 2].
Известно, что преобразование P{χr ,σr},BR
инъективно лишь при условии R > 2r (см. [13,
ч. 4]). Основным результатом данной работы является следующая теорема.
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №12
Теорема 1. Пусть f ∈ C∞(BR), R > 2r. Тогда
f =
∞
∑
k=0
MX(k)
∑
m=0
dk,m
X
∑
j=1
Bk,m
j h,
где ряд сходится к f в пространстве C∞(BR) и радиальная функция h однозначно восста-
навливается по известным f × χr и f × σr с помощью разложения
h(Ξt,r(a, ψ)e) =
∞
∑
p=0
p
∑
q=0
dp,q(h, t, r)ξ
αX ,βX
p,q (a, ψ), t ∈ (0, R − r), (a, ψ) ∈ M(Ξr,t), (3)
в котором
d0,0(h, t, r) =
Ak,m
j ((f × σr)
k,m,j)(Ω(t)e)
AX(r)Γ(βX + 1)
, (4)
d1,0(h, t, r) = −ǫX
(αX + 1)
AX(r)Γ(βX + 2)
D(0, 0)(Ak,m
j ((f × χr)
k,m,j)(̺e))(Ω(t)) (5)
и для каждого пространства X справедливы следующие рекуррентные соотношения:
(i) если X 6∈ X3, то при p − 1 > q > 0
dp+1,q(h,Ω
−1(t), r) = Dp,q,1(dp−1,q(h,Ω
−1(̺), r))(t) + εXDp,q,2(dp,q(h,Ω
−1(̺), r))(t),
dp,q+1(h,Ω
−1(t), r) = Dp,q,3(dp−1,q(h,Ω
−1(̺), r))(t) + εXDp,q,4(dp,q(h,Ω
−1(̺), r))(t);
(6)
(ii) если X = Hn
R или X = Sn, то имеет место соотношение (6) при q = 0;
(iii) если X = Pn
R, то
dp+1(h,Ω
−1(t), r) = Dp,1(dp−1(h,Ω
−1(̺), r))(t) +Dp,2(dp(h,Ω
−1(̺), r))(t), p > 1, (7)
где
dp(h, t, r) =
Γ(1/2 + [(p + 1)/2])
(αX + p)Γ(αX + [(p + 1)/2])
d[(p+1)/2],[p/2](h, t, r), p ∈ Z+; (8)
(iv) если X = Rn, то
dp+1(h, t, r) = Dp,3(dp−1(h, ̺, r))(t) −Dp,4(dp(h, ̺, r))(t), p > 1, (9)
где
dp(h, t, r) = dp,0(h, t, r), p ∈ Z+.
Сделаем несколько замечаний. Явный вид операторов Bk,m
j = A
−1
k,m,jA0,0,1 содержится
в [13, ч. 2]. Если X ∈ X3 и X 6= Pn
R, то двойная сумма в (3) вырождается и сводится к ряду
по парам вида (p, 0), p ∈ Z+. Таким образом, h определяется коэффициентами dp,0(h, t, r),
которые находятся из (4), (5), соотношения (6) при q = 0 и (9). Аналогично, если X = Pn
R, то
суммирование в (3) происходит по парам (p, p) и (p+1, p), p ∈ Z+. Тем самым равенства (7)
и (8) восстанавливают h по известным f × χr и f × σr. Наконец, ввиду вышесказанного
и [14, разд. 8.1], сходимость в (3) является абсолютной и равномерной на M(Ξr,t).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №12 11
1. Хелгасон С. Группы и геометрический анализ. – Москва: Мир, 1987. – 735 с.
2. Беренстейн К.А., Струппа Д. Комплексный анализ и уравнения в свертках // Итоги науки и те-
хники. Соврем. пробл. матем. Фундам. направления. Т. 54. – Москва: ВИНИТИ, 1989. – С. 5–111.
3. Zalcman L. A bibliographic survey of the Pompeiu problem // Approximation by solutions of partial
differential equations / Eds. B. Fuglede et al. – Dordrecht: Kluwer, 1992. – P. 185–194.
4. Zalcman L. Supplementary bibliography to “A bibliographic survey of the Pompeiu problem” // Radon
Transforms and Tomography, Contemp. Math. – 2001. – 278. – P. 69–74.
5. Volchkov V.V. Integral geometry and convolution equations. – Dordrecht: Kluwer, 2003. – 454 p.
6. Хелгасон С. Преобразование Радона. – Москва: Мир, 1983. – 150 с.
7. Волчков Вит.В. О функциях с нулевыми шаровыми средними на компактных двухточечно-одноро-
дных пространствах // Матем. сб. – 2007. – 198, № 4. – С. 21–46.
8. Волчков В.В. Локальная теорема о двух радиусах на симметрических пространствах // Там же. –
2007. – 198, № 11. – С. 21–46.
9. Volchkov V.V., Volchkov Vit. V. New results in integral geometry // Contemp. Math. – 2005. – 382. –
P. 417–432.
10. Berenstein C.A., Gay R., Yger A. Inversion of the local Pompeiu transform // J. Anal. Math. – 1990. –
54. – P. 259–287.
11. Berkani M., El Harchaoui M., Gay R. Inversion de la transformation de Pompéiu locale dans l’espace
hyperbolique quaternique – Cas des deux boules // J. Complex Variables. – 2000. – 43. – P. 29–57.
12. Волчков Вит. В., Волчкова Н.П. Обращение локального преобразования Помпейю на кватернионном
гиперболическом пространстве // Докл. РАН. – 2001. – 379, № 5. – С. 587–590.
13. Volchkov V.V., Volchkov Vit. V. Harmonic analysis of mean periodic functions on symmetric spaces and
the Heisenberg group. – London: Springer, 2009. – 671 p.
14. Koornwinder T.H. Jacobi functions and analysis on noncompact semisimple Lie groups // Special Func-
tions: Group Theoretical Aspects and Applications / Eds. R.A. Askey et al. – Dordrecht: Reidel, 1984. –
P. 1–85.
Поступило в редакцию 11.01.2011Донецкий национальный университет
V.V. Volchkov, Vit. V. Volchkov
Inversion of a local Pompeiu transform on two-point homogeneous
spaces
Problems related to the injectivity of a local Pompeiu transform on two-point homogeneous spaces
are studied. An explicit inversion formula for the mean-value operator over balls and spheres with
single fixed radius is found.
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №12
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-44164 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:33:58Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Волчков, В.В. Волчков, Вит.В. 2013-05-26T13:48:36Z 2013-05-26T13:48:36Z 2011 Обращение локального преобразования Помпейю на двухточечно-однородных пространствах / В.В. Волчков, Вит.В. Волчков // Доп. НАН України. — 2011. — № 12. — С. 7-12. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44164 517.988.28 Досліджено проблеми, пов'язані з ін'єктивністю локального перетворення Помпейю на двоточково-однорідних просторах. Знайдено явну формулу обернення для оператора середнього значення по шарах та сферах одного фіксованого радіуса. Problems related to the injectivity of a local Pompeiu transform on two-point homogeneous spaces are studied. An explicit inversion formula for the mean-value operator over balls and spheres with single fixed radius is found. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Обращение локального преобразования Помпейю на двухточечно-однородных пространствах Inversion of a local Pompeiu transform on two-point homogeneous spaces Article published earlier |
| spellingShingle | Обращение локального преобразования Помпейю на двухточечно-однородных пространствах Волчков, В.В. Волчков, Вит.В. Математика |
| title | Обращение локального преобразования Помпейю на двухточечно-однородных пространствах |
| title_alt | Inversion of a local Pompeiu transform on two-point homogeneous spaces |
| title_full | Обращение локального преобразования Помпейю на двухточечно-однородных пространствах |
| title_fullStr | Обращение локального преобразования Помпейю на двухточечно-однородных пространствах |
| title_full_unstemmed | Обращение локального преобразования Помпейю на двухточечно-однородных пространствах |
| title_short | Обращение локального преобразования Помпейю на двухточечно-однородных пространствах |
| title_sort | обращение локального преобразования помпейю на двухточечно-однородных пространствах |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44164 |
| work_keys_str_mv | AT volčkovvv obraŝenielokalʹnogopreobrazovaniâpompeiûnadvuhtočečnoodnorodnyhprostranstvah AT volčkovvitv obraŝenielokalʹnogopreobrazovaniâpompeiûnadvuhtočečnoodnorodnyhprostranstvah AT volčkovvv inversionofalocalpompeiutransformontwopointhomogeneousspaces AT volčkovvitv inversionofalocalpompeiutransformontwopointhomogeneousspaces |