Теоремы сходимости и компактности для уравнений Бельтрами с ограничениями теоретико-множественного типа
Доведено теореми збіжності та компактності класів регулярних розв'язків вироджених рівнянь Бельтрамі з обмеженнями теоретико-множинного типу на дилатацію. The convergence and compactness theorems for classes of regular solutions to the degenerate Beltrami equations with constraints of the set-t...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44166 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Теоремы сходимости и компактности для уравнений Бельтрами с ограничениями теоретико-множественного типа / Т.В. Ломако // Доп. НАН України. — 2011. — № 12. — С. 18-23. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860127652947427328 |
|---|---|
| author | Ломако, Т.В. |
| author_facet | Ломако, Т.В. |
| citation_txt | Теоремы сходимости и компактности для уравнений Бельтрами с ограничениями теоретико-множественного типа / Т.В. Ломако // Доп. НАН України. — 2011. — № 12. — С. 18-23. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Доведено теореми збіжності та компактності класів регулярних розв'язків вироджених рівнянь Бельтрамі з обмеженнями теоретико-множинного типу на дилатацію.
The convergence and compactness theorems for classes of regular solutions to the degenerate Beltrami equations with constraints of the set-theoretic type on a dilatation are proved.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:42:59Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
© 2011
Т.В. Ломако
Теоремы сходимости и компактности для уравнений
Бельтрами с ограничениями теоретико-множественного
типа
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.Я. Гутлянским)
Доведено теореми збiжностi та компактностi класiв регулярних розв’язкiв виродже-
них рiвнянь Бельтрамi з обмеженнями теоретико-множинного типу на дилатацiю.
ПустьD — область в C, C = C
⋃
{∞}. Уравнениями Бельтрами называются уравнения вида
fz = µ(z) · fz, (1)
где µ(z) : D → C — измеримая функция с |µ(z)| < 1 п. в., fz = ∂f = (fx + ify)/2, fz =
= ∂f = (fx − ify)/2, z = x + iy, fx и fy — частные производные отображения f по x и y
соответственно. Функция µ называется комплексным коэффициентом и
Kµ(z) =
1 + |µ(z)|
1− |µ(z)|
— (2)
дилатационным отношением, или просто дилатацией уравнения (1).
Напомним, что отображение f : D → C называется регулярным в точке z0 ∈ D, если f
в этой точке имеет полный дифференциал и его якобиан Jf (z) = |fz|
2 − |fz|
2 6= 0. Гомео-
морфизм f класса W 1,1
loc называется регулярным, если Jf (z) > 0 п. в. Наконец, регулярным
решением уравнения Бельтрами (1) в области D будем называть регулярный гомеомор-
физм, который удовлетворяет (1) п. в. в D. Понятие регулярного решения впервые введено
в работе [1].
Сохраняющий ориентацию гомеоморфизм f : D → C класса ACL, заданный в некоторой
области D комплексной плоскости C, будем называть Q(z)-квазиконформным (Q(z)-к. к.)
отображением, если его дилатация
Kµf
(z) 6 Q(z) п. в., (3)
где Q(z) : C → I = [1,∞] — произвольная функция. Здесь µf = fz/fz, если fz 6= 0, и µf =
= 0, если fz = 0. Отметим, что понятие Q(z)-к. к. отображения впервые было введено
М. Шиффером и Г. Шобером в [2] для случая, когда Q(z) ∈ L∞, т. е. фактически для Q-к. к.
отображений, где Q = ‖Q(z)‖∞.
В работах К. Андриян-Казаку, Л.И. Волковыского, М.С. Иоффе, С.Л. Крушкаля,
Р. Кюнау, М. Летинена, Г. Ренельта, В.И. Рязанова, О. Тейхмюллера, М. Шиффера, Г. Шо-
бера и др. исследовались классы Q(z)-к. к. отображений, для которых
µ(z) ∈ ∆q(z) п. в., (4)
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №12
где
∆q(z) = {ν ∈ C : |ν| 6 q(z)}, z ∈ C, (5)
q(z) =
Q(z)− 1
Q(z) + 1
, (6)
а также классы с дополнительными ограничениями вида
F(µ(z), z) 6 0 п. в., (7)
где F(µ, z) : C× C → R. Наконец, последняя из постановок М. Шиффера –Г. Шобера при-
вела к рассмотрению классов с ограничениями общего теоретико-множественного вида:
µ(z) ∈M(z) ⊆ ∆q(z) п. в. (8)
Однако все это развитие происходило, фактически, в рамках Q-к. к. отображений, посколь-
ку предполагалось, что
ess supQ(z) = Q <∞. (9)
Теорема существования и единственности Давида [3] позволила продвинуться много
дальше в указанном направлении. Именно, обозначим MM класс всех измеримых функций,
удовлетворяющих условию (8), но где, вообще говоря, не выполнено (9). Через HM (H∗
M )
обозначим совокупность всех (регулярных) гомеоморфизмов плоскости f : C → C класса
ACL, сохраняющих ориентацию с комплексными характеристиками из MM и нормировка-
ми f(0) = 0, f(1) = 1, f(∞) = ∞.
Будем говорить, что измеримая функция Q(z) : C → I = [1,∞] экспоненциально ограни-
чена по мере, если существуют постоянные T > 1, γ > 0 и c > 0 такие, что для всех t > T
mes{z ∈ C : Q(z) > t} 6 ce−γt. (10)
В работе [4] была доказана компактность класса HM с Q(z), экспоненциально ограниченной
по мере. В настоящей работе ставиться задача доказать компактность класса регулярных
гомеоморфизмов H∗
M с более общими условиями на Q(z).
Всюду далее D = {z ∈ C : |z| < 1}, B(z0, r) = {z ∈ C : |z − z0| < r}, dist(E,F ) —
евклидово расстояние между множествами E и F в C. Обозначим через h сферическое
(хордальное) расстояние между точками z1 и z2 в C: h(z1,∞) = 1/
√
1 + |z1|
2, h(z1, z2) =
= |z1 − z2|/
(√
1 + |z1|
2
√
1 + |z2|
2
)
, z1, z2 6= ∞. Через dS(z) = (1 + |z|2)−2dxdy обозначим
элемент сферической площади в C, соответственно, через L1
s — класс всех функций Q : C →
→ R, интегрируемых в C относительно сферической площади.
Теоремы сходимости. Рассмотрим теоремы сходимости для уравнений Бельтрами
с ограничениями теоретико-множественного типа на дилатацию. Для формулировки основ-
ных результатов нам понадобятся некоторые элементы теории инвариантно-выпуклых мно-
жеств (см., например, [5]).
Пусть G — группа всех дробно-линейных отображений D на себя. Множество M из D на-
зывается инвариантно-выпуклым, если все множества g(M), g ∈ G, являются выпуклыми.
В частности, такие множества являются выпуклыми.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №12 19
Инвариантно-выпуклой оболочкой inv coM множества M из D, M ⊆ D, будем называть
минимальное по включению замкнутое инвариантно-выпуклое множество, содержащее M .
Следующая лемма является обобщением теоремы 3.1 (см. также замечание 3.1) в [6].
Лемма 1. Пусть fn : D → C, n = 1, 2, . . ., — последовательность Q(z)-к. к. отобра-
жений с локально суммируемой Q(z) и fn → f локально равномерно, где f : D → C —
гомеоморфизм.
Тогда f является Q(z)-к. к. отображением и (fn)z → fz, (fn)z → fz при n → ∞ слабо
в L1
loc. Кроме того, для почти всех z ∈ E′
µ(z) ∈ inv coM(z), (11)
где E′ — множество всех регулярных точек отображения f и
M(z) = Lsn→∞{µn(z)}. (12)
Замечание 1. Здесь, как обычно, через Ls{µn(z)} обозначен верхний топологический
предел одноточечных множеств {µn(z)}, т. е. множество всех точек накопления последова-
тельности µn(z) (см. [7, c. 344]).
Теорема 1. Пусть fn : C → C — последовательность регулярных гомеоморфизмов,
fn(0) = 0, fn(1) = 1, fn(∞) = ∞, сходящаяся локально равномерно в C относительно сфе-
рической метрики к некоторому отображению f , причем Kµfn
(z) 6 Q(z) ∈ L1
S. Тогда f —
регулярный гомеоморфизм C с нормировками f(0) = 0, f(1) = 1, f(∞) = ∞.
Комбинируя лемму 1 и теорему 1 получаем:
Следствие 1. В условиях теоремы 1
µ(z) ∈ inv coM(z) п. в., (13)
где M(z) определено в (12).
Теоремы компактности. Семейство F непрерывных отображений из области D ⊆ C
в C называется нормальным, если каждая последовательность отображений fm из F имеет
подпоследовательность fmk
, которая сходится к непрерывному отображению f : D → C
равномерно на каждом компактном множестве K ⊂ D относительно сферической метрики.
Семейство F называется замкнутым, если все предельные отображения f принадлежат F.
Наконец, класс отображений F называется компактным, если F нормален и замкнут.
Будем говорить, что семейство замкнутых множеств в M(z) ⊆ D, z ∈ C, измеримо по
параметру z, если для любого замкнутого множества M0 ⊆ C множество точек
E0 = {z ∈ C : M(z) ⊆M0} (14)
измеримо по Лебегу (ср. [8, c. 27]). В дальнейшем мы используем следующее обозначение:
QM (z) :=
1 + qM(z)
1− qM(z)
, (15)
где
qM(z) = max
ν∈M(z)
|ν|. (16)
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №12
Лемма 2. Пусть M(z), z ∈ C, — семейство замкнутых инвариантно-выпуклых мно-
жеств в D, измеримое по параметру, такое, что QM (z) ∈ L1
S. Предположим, что для
некоторых фиксированных ε0 > 0 и p < 2
∫
ε<|z−z0|<ε0
QM (z) · ψ2(|z − z0|) dxdy 6 c · Ip(ε) ∀ ε ∈ (0, ε0), (17)
где ψ(t) — неотрицательная измеримая функция на (0,∞),
0 < I(ε) =
ε0∫
ε
ψ(t) dt <∞ ∀ ε ∈ (0, ε0). (18)
Тогда класс H∗
M компактен.
Следуя работе [9], говорим, что функция ϕ : D → R имеет конечное среднее колебание
в точке z0 ∈ D, если
lim
ε→0
−
∫
B(z0,ε)
|ϕ(z) − ϕ̃ε(z0)| dxdy <∞, (19)
где
ϕ̃ε(z0) = −
∫
B(z0,ε)
ϕ(z) dxdy <∞ — (20)
среднее значение функции ϕ(z) по кругу B(z0, ε). Также говорят, что функция ϕ : D → R
имеет конечное среднее колебание в D, сокр. ϕ ∈ FMO(D), или просто ϕ ∈ FMO, если ϕ
имеет конечное среднее колебание в каждой точке z0 ∈ D.
Концепция конечного среднего колебания может быть распространена в бесконечность
стандартным образом. Именно, пусть даны область D ⊆ C, ∞ ∈ D, и функция ϕ : D → R.
Будем говорить, что ϕ имеет конечное среднее колебание в ∞, если функция ϕ∗(z) = ϕ(1/z)
имеет конечное среднее колебание в 0. Применяя инверсию z → 1/z получаем следующее
эквивалентное условие
∫
|z|>R
|ϕ(z) − ϕ̃R|
dxdy
|z|4
= O
(
1
R2
)
при R→ ∞,
где
ϕ̃R =
R2
π
∫
|z|>R
ϕ(z)
dxdy
|z|4
.
Теорема 2. Пусть M(z), z ∈ C, — семейство замкнутых инвариантно-выпуклых мно-
жеств в D, измеримое по параметру. Если QM ∈ FMO(C), то класс H∗
M компактен.
Следствие 2. Пусть M(z), z ∈ C, — семейство замкнутых инвариантно-выпуклых
множеств в D, измеримое по параметру. Если
lim
ε→0
−
∫
B(z0,ε)
QM (z) dxdy <∞ ∀ z0 ∈ C
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №12 21
и
lim
R→∞
R2
π
∫
|z|>R
QM(z)
dxdy
|z|4
<∞ z0 = ∞,
то класс H∗
M компактен.
Точка z0 ∈ C называется точкой Лебега функции Q : C → R, если
lim
ε→0
−
∫
B(z0,ε)
|Q(z)−Q(z0)| dxdy = 0. (21)
Аналогично, z0 = ∞ будем называть точкой Лебега функции Q, если
lim
R→∞
R2
∫
|z|>R
|Q(z) −Q(∞)|
dxdy
|z|4
= 0. (22)
Следствие 3. Пусть M(z), z ∈ C, — семейство замкнутых инвариантно-выпуклых
множеств в D, измеримое по параметру. Если каждая точка z0 ∈ C является точкой
Лебега для функции QM , то класс H∗
M компактен.
Теорема 3. Пусть M(z), z ∈ C, — семейство замкнутых инвариантно-выпуклых мно-
жеств в D, измеримое по параметру. Предположим, что
1∫
0
dr
rkz0(r)
= ∞ ∀ z0 ∈ C, (23)
где kz0(r) — среднее значение функции QM(z) на сфере |z − z0| = r при z0 ∈ C и на сфере
|z| = 1/r при z0 = ∞. Тогда класс H∗
M компактен.
Следствие 4. Пусть M(z), z ∈ C, — семейство замкнутых инвариантно-выпуклых
множеств в D, измеримое по параметру. Предположим, что
kz0(r) = O
(
log
1
r
)
при r → 0 (24)
в каждой точке z0 ∈ C и
kz0(R) = O(logR) при R→ ∞ (25)
в точке z0 = ∞. Тогда класс H∗
M компактен.
Для каждой неубывающей функции Φ: R+ → R+ обратную функцию Φ−1
R+ → R+
можно корректно определить следующим образом:
Φ−1(τ) = inf
Φ(t)>τ
t.
Здесь inf равен ∞, если множество t ∈ [0,∞], где Φ(t) > τ , является пустым.
Теорема 4. Пусть M(z), z ∈ C, — семейство замкнутых инвариантно-выпуклых мно-
жеств в D, измеримое по параметру, и пусть
∫
C
Φ(QM (z)) dS(z) <∞, (26)
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №12
где Φ: [0,∞] → [0,∞] — неубывающая выпуклая функция такая, что
∞∫
δ0
dτ
τ [Φ−1(τ)]
= ∞ (27)
для некоторого δ0 > Φ(0). Тогда класс H∗
M компактен.
Отметим, что условие (27) является не только достаточным, но и необходимым для
компактности классов H∗
M с ограничениями интегрального типа (26).
1. Bojarski B., Gutlyanskii V., Ryazanov V. On the Beltrami equations with two characteristics // Complex
Variables and Elliptic Equations. – 2009. – 54, No 10. – P. 935–950.
2. Schiffer M., Schober G. Representation of fundamental solutions for generalized Cauchy–Riemann equati-
ons by quasiconformal mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A. 1. – 1976. – 2. – P. 501–531.
3. David G. Solutions de l’equation de Beltrami avec |µ|∞ = 1 // Ibid. – 1988. – 13. – P. 25–70.
4. Рязанов В.И. Топологические аспекты теории квазиконформных отображений: Дис. . . . д-ра
физ.-мат. наук. – Донецк, 1993. – 281 с.
5. Рязанов В.И. Об усилении теоремы сходимости К. Штребеля // Изв. РАН. Сер. мат. – 1992. – 56,
No 3. – С. 636–653.
6. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On convergence theory for Beltrami equations // Укр. мат. вестн. –
2008. – 5, No 4. – P. 524–535.
7. Куратовский К. Топология. – Москва: Мир, 1966. – Т. 1. – 594 с.
8. Сакс С. Теория интеграла. – Москва: Изд-во иностр. лит-ры, 1949. – 494 с.
9. Игнатьев А., Рязанов В. Конечное среднее колебание в теории отображений // Укр. мат. вестн. –
2005. – 2, No 3. – С. 395–417.
Поступило в редакцию 28.02.2011Институт прикладной математики
и механики НАН Украины, Донецк
T.V. Lomako
The convergence and compactness theorems for Beltrami equations
with restrictions of the set-theoretic type
The convergence and compactness theorems for classes of regular solutions to the degenerate Belt-
rami equations with constraints of the set-theoretic type on a dilatation are proved.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №12 23
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-44166 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:42:59Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ломако, Т.В. 2013-05-26T13:52:24Z 2013-05-26T13:52:24Z 2011 Теоремы сходимости и компактности для уравнений Бельтрами с ограничениями теоретико-множественного типа / Т.В. Ломако // Доп. НАН України. — 2011. — № 12. — С. 18-23. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44166 517.5 Доведено теореми збіжності та компактності класів регулярних розв'язків вироджених рівнянь Бельтрамі з обмеженнями теоретико-множинного типу на дилатацію. The convergence and compactness theorems for classes of regular solutions to the degenerate Beltrami equations with constraints of the set-theoretic type on a dilatation are proved. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Теоремы сходимости и компактности для уравнений Бельтрами с ограничениями теоретико-множественного типа The convergence and compactness theorems for Beltrami equations with restrictions of the set-theoretic type Article published earlier |
| spellingShingle | Теоремы сходимости и компактности для уравнений Бельтрами с ограничениями теоретико-множественного типа Ломако, Т.В. Математика |
| title | Теоремы сходимости и компактности для уравнений Бельтрами с ограничениями теоретико-множественного типа |
| title_alt | The convergence and compactness theorems for Beltrami equations with restrictions of the set-theoretic type |
| title_full | Теоремы сходимости и компактности для уравнений Бельтрами с ограничениями теоретико-множественного типа |
| title_fullStr | Теоремы сходимости и компактности для уравнений Бельтрами с ограничениями теоретико-множественного типа |
| title_full_unstemmed | Теоремы сходимости и компактности для уравнений Бельтрами с ограничениями теоретико-множественного типа |
| title_short | Теоремы сходимости и компактности для уравнений Бельтрами с ограничениями теоретико-множественного типа |
| title_sort | теоремы сходимости и компактности для уравнений бельтрами с ограничениями теоретико-множественного типа |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44166 |
| work_keys_str_mv | AT lomakotv teoremyshodimostiikompaktnostidlâuravneniibelʹtramisograničeniâmiteoretikomnožestvennogotipa AT lomakotv theconvergenceandcompactnesstheoremsforbeltramiequationswithrestrictionsofthesettheoretictype |