Інваріантні розв'язки нелокальної моделі самогравітуючого геосередовища
Розглянуто нелокальну модель самогравітуючого геосередовища. Особливу увагу було приділено аналізу режимів моделі в зонах, де швидкість звуку в середовищі є немонотонною функцією просторових координат. Якісний аналіз хвильових розв'язків моделі при значеннях параметрів, які відповідають астенос...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44178 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Інваріантні розв'язки нелокальної моделі самогравітуючого геосередовища / В.А. Даниленко, С.І. Скуратівський // Доп. НАН України. — 2011. — № 12. — С. 91-97. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860066772445560832 |
|---|---|
| author | Даниленко, В.А. Скуратівський, С.І. |
| author_facet | Даниленко, В.А. Скуратівський, С.І. |
| citation_txt | Інваріантні розв'язки нелокальної моделі самогравітуючого геосередовища / В.А. Даниленко, С.І. Скуратівський // Доп. НАН України. — 2011. — № 12. — С. 91-97. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Розглянуто нелокальну модель самогравітуючого геосередовища. Особливу увагу було приділено аналізу режимів моделі в зонах, де швидкість звуку в середовищі є немонотонною функцією просторових координат. Якісний аналіз хвильових розв'язків моделі при значеннях параметрів, які відповідають астеносфері Землі, доводить наявність періодичних та хаотичних розв'язків. Існування локалізованих режимів свідчить про те, що особливості внутрішньої будови самогравітуючих систем можуть відповідати за утворення зон з автоколивальними властивостями, зумовлюючи динаміку системи в цілому.
A nonlocal model for self-gravitating geomedium is studied. Special attention is paid to the analysis of model's regimes in zones in which the sound velocity in a medium is a nonmonotonic function of spatial variables. Qualitative analysis of the wave solutions to the model proves the availability of periodic and chaotic solutions at the parameters corresponding to the asthenosphere of the Earth. Existence of the localized regimes testifies that the peculiarities of an internal structure of self-gravitating systems can be responsible for the creation of zones with auto-oscillating properties stipulating the dynamics of a system in general.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:08:03Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.182+518.5+517.986.69
© 2011
Член-кореспондент НАН України В. А. Даниленко,
С. I. Скуратiвський
Iнварiантнi розв’язки нелокальної моделi
самогравiтуючого геосередовища
Розглянуто нелокальну модель самогравiтуючого геосередовища. Особливу увагу було
придiлено аналiзу режимiв моделi в зонах, де швидкiсть звуку в середовищi є немоно-
тонною функцiєю просторових координат. Якiсний аналiз хвильових розв’язкiв моделi
при значеннях параметрiв, якi вiдповiдають астеносферi Землi, доводить наявнiсть
перiодичних та хаотичних розв’язкiв. Iснування локалiзованих режимiв свiдчить про
те, що особливостi внутрiшньої будови самогравiтуючих систем можуть вiдповiдати
за утворення зон з автоколивальними властивостями, зумовлюючи динамiку системи
в цiлому.
У даному повiдомленнi вивчається самогравiтуюче середовище, яке в рiвноважному станi
описується вiдомою моделлю [1–3]
∂ρ
∂t
+ div ρu = 0, ρ
(
∂u
∂t
+ u∇u
)
+∇p = −gρ, 4πρG = div g (1)
з рiвнянням стану в формi Тета
p+ p0 = 2p0
(
ρ
ρ0
)n
. (2)
Тут u — швидкiсть; p — тиск; ρ — густина середовища; p0 i ρ0 — значення тиску й густини
в стацiонарному станi; G = 6, 67 · 10−11 м3 · кг−1 · с−2; n — показник полiтропи.
Пiсля втрати стiйкостi середовище переходить у нерiвноважний стан, який описується
нелокальним динамiчним рiвнянням стану [4]:
Γεr
ρ2τpTβ
[
−ρxx(1 + a) +
ρ2x
ρ
(1− an)
]
+
+
1
ρ2β
[
−d2ρ
dt2
(1 + a) +
2
ρ
(
dρ
dt
)2(
1− a(n− 1)
2
)
+
1
τpT
dρ
dt
(1 + a)
]
+ 2p0
(
ρ
ρ0
)n
=
= p+ p0 + τTV
dp
dt
− χT0
χT∞
τ2TV
d2p
dt2
− ΓεrτTV
(
pxx +
ρx
ρ
px
)
, (3)
де β = χT0/(ρ0τ
2
pT ); доданки з a = T0α∞n(ρ/ρ0)
n+1 пов’язанi з врахуванням термiчних
ефектiв.
В обох моделях стiйкiсть розв’язкiв можна пов’язати iз параметром n. Таким чином,
постає задача про аналiз структури розв’язкiв моделi (1), (3) в околi нестiйкого розв’язку
моделi (1), (2) залежно вiд змiни параметра n.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №12 91
Хоча проiнтегрувати модель (1), (2) у загальному випадку досi не вдалося, однак вi-
домо, що ця модель має частковi стацiонарнi центрально-симетричнi розв’язки такого ви-
гляду [1–3]:
ρ = Qrα, p = AQnrnα, (4)
де α = 2/(n − 2); Qn−2 = 2πG(n − 2)2/(An(4 − 3n)).
Як показано в монографiї [3], у лiнiйному наближеннi стацiонарний розв’язок (4) при
0 < n < 6/5 є нестiйким фокусом, при n = 6/5 — центром, при 6/5 < n <
√
128 − 10 —
стiйким фокусом, при
√
128−10 < n < 4/3 — стiйким вузлом, при 4/3 < n < 2 — сiдлом, при
n > 2 — стiйким вузлом. Таким чином, надалi нас цiкавитиме iнтервал 0 < n < 1,2, в якому
розв’язок (4) моделi (1), (2) є нестiйким, що передбачає використання моделi (1), (3).
Для визначеностi розглянемо режими, якi виникають у моделi (1), (3), при змiнi пара-
метра n уздовж радiуса Землi на глибинах до 300 км. У даному випадку слiд наголосити,
що в умовах проходження релаксацiйних процесiв показник полiтропи може вiдрiзнятися
вiд свого рiвноважного значення [5].
Для оцiнки змiни параметра n з глибиною використаємо спiввiдношення [6, 7]:
c2S0 =
(
∂p
∂ρ
)
S0
=
n(p+ p0)
ρ
= Φ = v2p −
4
3
v2s
(тут Φ — гравiтацiйний параметр). Тодi
n =
(
v2p −
4
3
v2s
)
ρ
p+ p0
. (5)
В умовах Землi розподiл швидкостей vp й vs з глибиною вимiрюється достатньо точно.
Як свiдчать результати вимiрювань, в окремих (часто сейсмоактивних) зонах Землi спосте-
рiгається аномальне зниження цих швидкостей. Iснування таких зон на глибинах до 300 км
пов’язують з особливостями структури оболонки Землi [6], а саме, з наявнiстю сумiшi час-
тково розплавленої породи, твердих частинок та речовини на межi фазових переходiв [7].
Цiй зонi властиве зменшення коефiцiєнта в’язкостi, що пов’язують з полегшеною здатнiстю
розмiщених вище шарiв ковзати в межах цiєї областi. Така зона проявляє iстотно нелi-
нiйнi й дисипативнi властивостi та в кiнцевому рахунку має значний вплив на утворення
дисипативних структур земної кори.
Полiномiальний вигляд функцiй vs,p можна оцiнити методом найменших квадратiв за
даними розподiлiв швидкостей поздовжнiх та поперечних хвиль:
Vs(z) = (5,0505 − 0,0097za + 4,5413 · 10−5[za]2 − 7,0526 · 10−8[za]3 +
+ 3,9804 · 10−11[za]4) · 103,
Vp(z) = (8,6187 − 0,0185za + 1,4434 · 10−4[za]2 − 3,9799 · 10−7[za]3 +
+ 3,9674 · 10−10[za]4) · 103;
при a = 10−3; z ∈ (0,6 · 105) м.
92 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №12
Рис. 1. Залежнiсть параметра n вiд глибини
Використовуючи вiдомi моделi розподiлу густини та тиску з глибиною [6–8], апрокси-
муємо данi про густину та тиск полiномiальними функцiями:
ρ(z) = (3,3754 + 9,1972 · 10−5za− 2,318 · 10−6[za]2 + 1,2315 · 10−8[za]3 −
− 9,237 · 10−12[za]4) · 103,
p(z) = (−0,0186 + 0,4931 · 10−3za− 0,148 · 10−6[za]2 + 0,0699 · 10−9[za]3 −
− 0,0071 · 10−12[za]4) · 1011.
Таким чином, за виразом (5) можна визначити залежнiсть параметра n вiд глибини z
(рис. 1). Аналiзуючи графiки залежностi n(z) можна переконатись, що їх форма залежить
вiд параметра p0. Виберемо значення p0 так, щоб координата точки мiнiмуму n(z) збiгалася
з координатою точки мiнiмуму функцiї Φ(z). Тодi p0 = 1,393 · 1011. Густина при такому
тиску має значення ρ0 = 5,461 · 103 на глибинi z0 = 2,93398 · 106 м.
Знайдену залежнiсть n(z) пiдставимо в модель (1), (3), де гравiтацiйну силу в системi (1)
оцiнимо за допомогою стацiонарного розв’язку (4):
gρ = −A
√
Qn−2
2n
n− 2
ρn/2+1 = −|n− 2|
n− 2
ρn/2+1
√
8πAGn
4− 3n
.
Виконаємо знерозмiрення моделi (1)–(3), використовуючи такi спiввiдношення:
ρ = ρ1ρ, t = t1t, p+ p0 = p1p, u = u1u, x = x1x,
x1
t1
= u1 =
√
p1
ρ1
,
σ =
ΓεrτTV
(t1u1)2
, τ =
τTV
t1
, h =
χT0
χT∞
τ2, χ =
1
ρ1u21χT∞
, κ = 2
p0
p1
.
Отримаємо систему диференцiальних рiвнянь:
ρ̇+ ρux = 0, ρu̇+ px = γ(n)ρn/2+1,
σχρ−2[−ρxx(1 + a) + ρ2xρ
−1(1− na)] + hχρ−2[−ρ̈(1 + a) + 2ρ̇2ρ−1(1− 0,5a(n− 1)) +
+ τh−1ρ̇(1 + a)] + κρn = p+ τ ṗ− hp̈− σ(pxx + ρxpxρ
−1),
(6)
де γ(n) = −|n− 2|
n− 2
√
8πAGn
4− 3n
ρ
(n+1)/2
1
t1√
p1
; a = δnρn+1; A = 2p0ρ
−n
0 .
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №12 93
Рис. 2. Бiфуркацiйнi дiаграми розвитку коливань в околi стацiонарної точки (9) залежно вiд глибини z: а —
σ = 0,5; б — σ = 0,7
Не обмежуючи загальностi, приймемо, що p1 = p0, ρ1 = ρ0.
Система (6) допускає такi розв’язки [9]:
ρ = R(ω), p = P (ω), u = 2ξt+ U(ω), ω = x− ξt2, (7)
де функцiї R, P , U задовольняють спiввiдношення UR = C = const та динамiчну систему:
R′ = W, P ′ = γRm − 2ξR+ C2R−2W,
W ′ = −
(
R3(κRn − P )− P ′(R2τC + hC2W −R2σW ) + γmR2+mσW + χLCτW +
+ γhmRmC2W + hχL
(
CW
R
)2
− 2C2σW 2 + χMσW 2 − 2C2hU2W 2 +
+ 2hχNU2W 2 − 2R3σWξ − 2hRC2Wξ
)
((C2 − χL)R(σ + hU2))−1
(8)
(тут (·)′ = d/dω(·); L = 1 + a; M = 1− an; N = 1− 0,5a(n − 1); a = δnRn+1, m = n/2 + 1).
Дослiдимо структуру фазового простору цiєї динамiчної системи в околi стацiонарної
точки
R0 =
(
2ξ
γ
)2/n
, P0 = κRn
0 , W0 = 0 (9)
методами якiсного аналiзу. Необхiднi умови народження перiодичних коливань пов’язанi
з наявнiстю у матрицi лiнеаризованої системи одного вiд’ємного та пари суто уявних влас-
них значень. Цi умови в просторi параметрiв можна зобразити у виглядi поверхнi нейтраль-
ної стiйкостi. Поблизу поверхнi нейтральної стiйкостi при значеннях параметрiв h = 1,25,
ξ = 0,28, τ = 0,25, C = −5, δ = 1, χ = 30, t1 = 100 шляхом числового iнтегрування
системи (8) був виявлений граничний цикл (рис. 2).
Залежнiсть структури околу стацiонарної точки (9) вивчалась за допомогою побудо-
ви перетинiв Пуанкаре (див. рис 2). За бiфуркацiйний параметр виберемо глибину z, тодi
параметр n обчислюється за формулою (5).
94 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №12
Рис. 3. Локалiзованi траєкторiї динамiчної системи (8): хаотичний атрактор (а) та вiдокремлена перiодична
траєкторiя (б ) при σ = 0,9, ξ = 0,197
Аналiз дiаграм Пуанкаре показав, що у випадку малих σ у фазовому просторi системи
розвивається тiльки граничний цикл, тодi як при бiльших σ дiаграма iстотно змiнюється.
На графiках видно, що в околi мiнiмуму параметра n залежно вiд параметра просторової
нелокальностi σ може спостерiгатись як перiодичний режим (див. рис. 2, а), так i хао-
тичнi (рис. 2, б ). Слiд пiдкреслити, що областi iснування хаотичних атракторiв роздiленi
перiодичними вiкнами з фейгенбаумiвськими масштабними характеристиками. На дiагра-
мах присутня значна кiлькiсть точок, в яких перiод коливань змiнюється стрибком. Такi
переходи мають гiстерезисний характер.
Дослiдимо детальнiше вплив на локалiзованi розв’язки врахування температурних та
релаксацiйних ефектiв, якi особливо яскраво проявляються в цiй зонi. Вони описуються
в моделi (1), (3) параметрами δ та h. Числове iнтегрування динамiчної системи (8) в околi
стацiонарної точки (9) показали, що локалiзованi структури iснують при таких значеннях
параметрiв:
ξ = 0,197, τ = 0,25, C = −4, χ = 30, σ = 0,7, t1 = 80, κ = 2 (10)
та
δ = 0, h = 0.
У цьому випадку поблизу кривої нейтральної стiйкостi
σ(ξ) =
C(C2 − χ)τ(C2 − κnR1+n
0 + CnR0τξ)
nR3
0ξ(χ+ nR0{Cτξ − κRn
0})
при z = 70000 та n = 0,816245, γ = 0,248305 за допомогою числового iнтегрування дина-
мiчної системи (8) переконуємось в iснуваннi граничного циклу праворуч вiд кривої ней-
тральної стiйкостi.
Бiфуркацiї граничних циклiв у цiй областi параметрiв спричинюють утворення хаоти-
чних атракторiв (рис. 3, а). Також виявлено атрактори, на якi можна потрапити лише
з початкових умов (див. рис. 3, б ). Зазначимо, що при ξ = 0,205641 параметр σ = 0. То-
дi розв’язки (7) описуються динамiчною системою на площинi, яка не має перiодичних
розв’язкiв.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №12 95
Рис. 4. Бiфуркацiйнi дiаграми Пуанкаре при значеннях параметрiв (10), z = 7 · 10
4: а — δ = 0,03; б —
δ = 0,08; в — δ = 0,09; г — δ = 0,10
Розглянемо структуру локалiзованих розв’язкiв динамiчної системи (8) при фiксова-
них значенях σ = 0,9, δ та змiнному h. З аналiзу бiфуркацiйних дiаграм Пуанкаре рис. 4
випливає, що варiювання параметра h спричинює реалiзацiю сценарiю подвоєння перiоду
граничного циклу з утворенням хаотичного атрактора. При достатньо малих δ хаотичний
атрактор iснує у вузькому iнтервалi значень h. Iз збiльшенням δ iнтервал значень h з хао-
тичним атрактором зростає. При цьому починає проявлятись iнший хаотичний атрактор
(на дiаграмi при δ = 0,08 присутнi коливання значно бiльшої амплiтуди, нiж основнi).
Врештi-решт, iснує δ, при якому хаотичний атрактор не руйнується, а спостерiгається зво-
ротний каскад бiфуркацiй подвоєння.
За результатами дослiдження динамiчної системи (8), модель (1), (3) у зонi зниження
швидкостей може мати як завгодно складнi розв’язки, зокрема перiодичнi, мультиперiо-
дичнi, хаотичнi хвильовi (7).
Отже, згiдно з наведеною вище обставиною, можна стверджувати, що ця зона поводить
себе як джерело автоколивальних режимiв рухiв геофiзичного середовища, обумовлюючи
самоподiбнi, динамiчнi геофiзичнi явища у земнiй корi, в тому числi сейсмiчнi.
1. Станюкович К.П. Неустановившиеся движения сплошной среды. – Москва: Наука, 1971. – 856 с.
2. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. – Москва: Наука, 1977. – 440 с.
3. Богоявленский О.И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой
динамике. – Москва: Наука, 1980. – 320 с.
96 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №12
4. Даниленко В.А., Даневич Т. Б., Скуратiвський С. I. Нелiнiйнi математичнi моделi середовищ з часо-
вою та просторовою нелокальностями. – Київ: Iн-т геофiзики iм. С. I. Субботiна НАН України, 2008. –
86 с.
5. Буевич Ю.А., Ясников Г.П. Релаксационные методы в исследованиях процессов переноса // Инж.-
физ. журн. – 1983. – 44, № 3. – С. 489–501.
6. Жарков В.Н. Внутреннее строение Земли и планет. – Москва: Наука, 1978. – 192 с.
7. Anderson Don L. Theory of the Earth. – Blackwell Scientific Publ., 1989. – 366 p.
8. Dziewonski А.M., Anderson D.L. Preliminary reference Earth model // Physics of the Earth and Planetary
Interiors. – 1981. – 25. – P. 297–356.
9. Danilenko V.A., Skurativskyy S. I. Invariant chaotic and quasi-periodic solutions of nonlinear nonlocal
models of relaxing media // Rep. Math. Phys. – 2007. – 59, No 1. – P. 45–51.
Надiйшло до редакцiї 13.05.2011Вiддiлення геодинамiки вибуху Iнституту геофiзики
iм. С. I. Субботiна НАН України, Київ
Corresponding Member of the NAS of Ukraine V.A. Danylenko, S. I. Skurativskyy
Invariant solutions to a nonlocal model of self-gravitating geomedium
A nonlocal model for self-gravitating geomedium is studied. Special attention is paid to the analysis
of model’s regimes in zones in which the sound velocity in a medium is a nonmonotonic function of
spatial variables. Qualitative analysis of the wave solutions to the model proves the availability of
periodic and chaotic solutions at the parameters corresponding to the asthenosphere of the Earth.
Existence of the localized regimes testifies that the peculiarities of an internal structure of self-
gravitating systems can be responsible for the creation of zones with auto-oscillating properties
stipulating the dynamics of a system in general.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №12 97
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-44178 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:08:03Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Даниленко, В.А. Скуратівський, С.І. 2013-05-26T14:18:08Z 2013-05-26T14:18:08Z 2011 Інваріантні розв'язки нелокальної моделі самогравітуючого геосередовища / В.А. Даниленко, С.І. Скуратівський // Доп. НАН України. — 2011. — № 12. — С. 91-97. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44178 539.182+518.5+517.986.69 Розглянуто нелокальну модель самогравітуючого геосередовища. Особливу увагу було приділено аналізу режимів моделі в зонах, де швидкість звуку в середовищі є немонотонною функцією просторових координат. Якісний аналіз хвильових розв'язків моделі при значеннях параметрів, які відповідають астеносфері Землі, доводить наявність періодичних та хаотичних розв'язків. Існування локалізованих режимів свідчить про те, що особливості внутрішньої будови самогравітуючих систем можуть відповідати за утворення зон з автоколивальними властивостями, зумовлюючи динаміку системи в цілому. A nonlocal model for self-gravitating geomedium is studied. Special attention is paid to the analysis of model's regimes in zones in which the sound velocity in a medium is a nonmonotonic function of spatial variables. Qualitative analysis of the wave solutions to the model proves the availability of periodic and chaotic solutions at the parameters corresponding to the asthenosphere of the Earth. Existence of the localized regimes testifies that the peculiarities of an internal structure of self-gravitating systems can be responsible for the creation of zones with auto-oscillating properties stipulating the dynamics of a system in general. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Науки про Землю Інваріантні розв'язки нелокальної моделі самогравітуючого геосередовища Invariant solutions to a nonlocal model of self-gravitating geomedium Article published earlier |
| spellingShingle | Інваріантні розв'язки нелокальної моделі самогравітуючого геосередовища Даниленко, В.А. Скуратівський, С.І. Науки про Землю |
| title | Інваріантні розв'язки нелокальної моделі самогравітуючого геосередовища |
| title_alt | Invariant solutions to a nonlocal model of self-gravitating geomedium |
| title_full | Інваріантні розв'язки нелокальної моделі самогравітуючого геосередовища |
| title_fullStr | Інваріантні розв'язки нелокальної моделі самогравітуючого геосередовища |
| title_full_unstemmed | Інваріантні розв'язки нелокальної моделі самогравітуючого геосередовища |
| title_short | Інваріантні розв'язки нелокальної моделі самогравітуючого геосередовища |
| title_sort | інваріантні розв'язки нелокальної моделі самогравітуючого геосередовища |
| topic | Науки про Землю |
| topic_facet | Науки про Землю |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44178 |
| work_keys_str_mv | AT danilenkova ínvaríantnírozvâzkinelokalʹnoímodelísamogravítuûčogogeoseredoviŝa AT skuratívsʹkiisí ínvaríantnírozvâzkinelokalʹnoímodelísamogravítuûčogogeoseredoviŝa AT danilenkova invariantsolutionstoanonlocalmodelofselfgravitatinggeomedium AT skuratívsʹkiisí invariantsolutionstoanonlocalmodelofselfgravitatinggeomedium |