Циклы в экономических системах с открытым рынком труда
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Дата: | 2008 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44196 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Циклы в экономических системах с открытым рынком труда / Е.П. Белан, М.В. Михалевич, И.В. Сергиенко // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 4. — С. 48-71. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-44196 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Белан, Е.П. Михалевич, М.В. Сергиенко, И.В. 2013-05-26T18:56:25Z 2013-05-26T18:56:25Z 2008 Циклы в экономических системах с открытым рынком труда / Е.П. Белан, М.В. Михалевич, И.В. Сергиенко // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 4. — С. 48-71. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44196 338.5 ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Циклы в экономических системах с открытым рынком труда Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Циклы в экономических системах с открытым рынком труда |
| spellingShingle |
Циклы в экономических системах с открытым рынком труда Белан, Е.П. Михалевич, М.В. Сергиенко, И.В. Системный анализ |
| title_short |
Циклы в экономических системах с открытым рынком труда |
| title_full |
Циклы в экономических системах с открытым рынком труда |
| title_fullStr |
Циклы в экономических системах с открытым рынком труда |
| title_full_unstemmed |
Циклы в экономических системах с открытым рынком труда |
| title_sort |
циклы в экономических системах с открытым рынком труда |
| author |
Белан, Е.П. Михалевич, М.В. Сергиенко, И.В. |
| author_facet |
Белан, Е.П. Михалевич, М.В. Сергиенко, И.В. |
| topic |
Системный анализ |
| topic_facet |
Системный анализ |
| publishDate |
2008 |
| language |
Russian |
| container_title |
Кибернетика и системный анализ |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| issn |
0023-1274 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44196 |
| citation_txt |
Циклы в экономических системах с открытым рынком труда / Е.П. Белан, М.В. Михалевич, И.В. Сергиенко // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 4. — С. 48-71. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT belanep ciklyvékonomičeskihsistemahsotkrytymrynkomtruda AT mihalevičmv ciklyvékonomičeskihsistemahsotkrytymrynkomtruda AT sergienkoiv ciklyvékonomičeskihsistemahsotkrytymrynkomtruda |
| first_indexed |
2025-11-25T00:42:26Z |
| last_indexed |
2025-11-25T00:42:26Z |
| _version_ |
1850499679473631232 |
| fulltext |
Å.Ï. ÁÅËÀÍ, Ì.Â. ÌÈÕÀËÅÂÈ×, È.Â. ÑÅÐÃÈÅÍÊÎ
ÓÄÊ 338.5 ÖÈÊËÛ Â ÝÊÎÍÎÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÑÈÑÒÅÌÀÕ
Ñ ÎÒÊÐÛÒÛÌ ÐÛÍÊÎÌ ÒÐÓÄÀ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû, áèôóðêàöèÿ, ìîíîïñîíèÿ, òðóäîâàÿ
ìèãðàöèÿ, ýêîíîìè÷åñêèå öèêëû.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ðàçëè÷íûå ôîðìû íåñîâåðøåííîé êîíêóðåíöèè ñ ïðåèìóùåñòâåííûì ïîëîæå-
íèåì ðàáîòîäàòåëåé äîñòàòî÷íî òèïè÷íû äëÿ ðûíêîâ òðóäà ìíîãèõ ïîñòñî-
öèàëèñòè÷åñêèõ ñòðàí. Ýòîìó ñïîñîáñòâóþò òàêèå ôàêòîðû, êàê íèçêàÿ àêòèâ-
íîñòü ïðîôñîþçîâ è èõ çàâèñèìîñòü îò ðàáîòîäàòåëåé, íåäîñòàòî÷íûé óðîâåíü
ðàçâèòèÿ ìàëîãî è ñðåäíåãî áèçíåñà, íåñîâåðøåíñòâî íàöèîíàëüíîãî çàêîíîäàò-
åëüñòâà, íàëè÷èå ìîíîôóíêöèîíàëüíûõ ãîðîäîâ è íèçêàÿ ìîáèëüíîñòü íàñåëå-
íèÿ. Ïðîöåññû ôîðìèðîâàíèÿ ñèëüíûõ ôèíàíñîâî-ïðîìûøëåííûõ ãðóïï, óñè-
ëèâøèåñÿ â íà÷àëå XXI âåêà âî ìíîãèõ ñòðàíàõ, âîçíèêøèõ ïîñëå ðàñïàäà Ñî-
âåòñêîãî Ñîþçà, òàêæå ñïîñîáñòâóþò íåñîâåðøåííîé êîíêóðåíöèè. Ñëåäóåò
îòìåòèòü, ÷òî èìåííî ðûíîê òðóäà ñ ìîíîïîëèçìîì ðàáîòîäàòåëÿ (ìîíîïñîíè-
÷åñêèé ðûíîê) ïîçâîëÿåò ïîëó÷àòü ìàêñèìàëüíóþ ïðèáûëü íà îãðàíè÷åííîì
âðåìåííîì èíòåðâàëå. Ýòî ñïîñîáñòâóåò ðàñïðîñòðàíåíèþ òàêîé ôîðìû íåñî-
âåðøåííîé êîíêóðåíöèè â óñëîâèÿõ íåñòàáèëüíîé ñîöèàëüíî-ýêîíîìè÷åñêîé è
ïîëèòè÷åñêîé ñèòóàöèè, òèïè÷íîé äëÿ ðàííèõ ñòàäèé ðûíî÷íûõ ðåôîðì.
Ìîíîïñîíèÿ, îáóñëîâëåííàÿ íàëè÷èåì ôèíàíñîâî-ïðîìûøëåííûõ ãðóïï,
êîòîðûå áåðóò ïîä ñâîé êîíòðîëü ìîíîôóíêöèîíàëüíûå ãîðîäà, îñîáåííî ñèëüíî
ïðîÿâëÿåòñÿ íà óðîâíå îòäåëüíûõ ðåãèîíîâ ïîñòñîöèàëèñòè÷åñêèõ ñòðàí. Òàê, ïî
äàííûì ðàáîòû [1] 16 êðóïíåéøèõ êîðïîðàöèé Ðîññèè êîíòðîëèðóþò (ïðÿìî
èëè îïîñðåäîâàííî) ïðîèçâîäñòâåííóþ ñôåðó 53% ìîíîôóíêöèîíàëüíûõ ãîðî-
äîâ. Áîëåå 60% íàñåëåíèÿ íåêîòîðûõ ðîññèéñêèõ ðåãèîíîâ ïðîæèâàþò â òàêèõ
ãîðîäàõ [1]. Â ñðåäíåì æå ïî ñòðàíå ýòîò ïîêàçàòåëü ñîñòàâëÿåò 26%. Ãåîãðà-
ôè÷åñêèå ïðåäïîñûëêè äëÿ ìîíîïñîíèè ñèëüíû â Âîñòî÷íîé Ñèáèðè (Êðàñíîÿð-
ñêèé è Íîðèëüñêèé ïðîìóçëû), íà ñåâåðå Çàïàäíîé Ñèáèðè (ðàéîíû íåôòå- è ãàçî-
äîáû÷è) è íà Óðàëå, ãäå îëèãàðõè÷åñêèå ôèíàíñîâî-ïðîìûøëåííûå ñòðóêòóðû îá-
ëàäàþò îñîáîé ñèëîé. Îêîëî òðåòè ãîðîäîâ Óêðàèíû (ïðåèìóùåñòâåííî ìàëûõ) è
áîëåå ïîëîâèíû ïîñåëêîâ ãîðîäñêîãî òèïà òàêæå ÿâëÿþòñÿ ìîíîôóíêöèîíàëüíû-
ìè [2]. Íàèáîëüøàÿ êîíöåíòðàöèÿ òàêèõ íàñåëåííûõ ïóíêòîâ íàáëþäàåòñÿ â ðåãè-
îíàõ ñ ðàçâèòîé ãîðíîäîáûâàþùåé (ïðåæäå âñåãî óãîëüíîé), õèìè÷åñêîé è ìåòàë-
ëóðãè÷åñêîé ïðîìûøëåííîñòüþ, à òàêæå ñ íåêîòîðûìè ïîäîòðàñëÿìè ïèùåâîé
ïðîìûøëåííîñòè (ïðîèçâîäñòâî ñàõàðà è ñïèðòà). Äëÿ ïåðå÷èñëåííûõ îòðàñëåé
òàêæå ñóùåñòâåííî âëèÿíèå ôèíàíñîâî-ïðîìûøëåííûõ ãðóïï.
48 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4
© Å.Ï. Áåëàí, Ì.Â. Ìèõàëåâè÷, È.Â. Ñåðãèåíêî, 2008
Òàêèì îáðàçîì, åñòü âñå îñíîâàíèÿ ðàññìàòðèâàòü öåíòðàëèçîâàííûå áèç-
íåñ-ñòðóêòóðû, êîíòðîëèðóþùèå çíà÷èòåëüíóþ ÷àñòü ýêîíîìèêè îáøèðíûõ ðå-
ãèîíîâ, â êà÷åñòâå ðàáîòîäàòåëåé-ìîíîïîëèñòîâ. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî íåñìîò-
ðÿ íà òðàäèöèîííî íèçêóþ ìîáèëüíîñòü íàñåëåíèÿ íà òåððèòîðèè áûâøåãî
ÑÑÑÐ, ðûíîê òðóäà òàêèõ ðåãèîíîâ îñòàåòñÿ îòêðûòûì. Äåéñòâèå íåýêîíîìè÷åñêèõ
ôàêòîðîâ, ïðåïÿòñòâóþùèõ ìèãðàöèÿì íàñåëåíèÿ â ïðåäåëàõ îäíîé ñòðàíû, áûëî
îñëàáëåíî â êîíöå 90-õ ãîäîâ âñëåäñòâèå ëèáåðàëèçàöèè ïîëèòè÷åñêèõ ñèñòåì ïî-
ñòñîöèàëèñòè÷åñêèõ ñòðàí. Ìåæäó ýòèìè ñòðàíàìè ñóùåñòâóåò òàêæå òðàíñãðàíè÷-
íàÿ (ïðåèìóùåñòâåííî ïîëóëåãàëüíàÿ è íåëåãàëüíàÿ) òðóäîâàÿ ìèãðàöèÿ. Íà ïåðâûé
âçãëÿä, ìèãðàöèîííûå ïðîöåññû óñòðàíÿþò ìîíîïñîíèþ íà ðûíêå òðóäà, îäíàêî ýòî
íå ñîâñåì òàê. Åñëè èíòåíñèâíîñòü òàêèõ ïðîöåññîâ îòíîñèòåëüíî íåâåëèêà, à ðàáî-
òîäàòåëè íå ìîãóò íè ïðîãíîçèðîâàòü ìèãðàöèîííûå ïîòîêè, íè óïðàâëÿòü èìè, îíè
áóäóò âîñïðèíèìàòü èìåþùèåñÿ â èõ ðàñïîðÿæåíèè òðóäîâûå ðåñóðñû êàê íåêîòî-
ðûé ýêçîãåííûé ïàðàìåòð, âëèÿþùèé íà ïðåäëîæåíèå òðóäà. Âåëè÷èíà îïëàòû òðó-
äà áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ ðàáîòîäàòåëÿìè, êàê è â ñëó÷àå ÷èñòîé ìîíîïñîíèè, ñ ó÷åòîì
òåêóùèõ çíà÷åíèé óêàçàííîãî ïàðàìåòðà. Òîãäà ðûíîê òðóäà îñòàíåòñÿ
ìîíîïñîíè÷åñêèì, íî áóäåò îòêðûòûì, ïîñêîëüêó ðåøåíèÿ ðàáîòîäàòåëåé âëèÿþò
íà âåëè÷èíó òðóäîâûõ ðåñóðñîâ â ïîñëåäóþùèå ìîìåíòû âðåìåíè.
Ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ àíàëèç âîçäåéñòâèÿ òàêîãî ðûíêà òðóäà íà îáùóþ
ýêîíîìè÷åñêóþ äèíàìèêó.
Èçâåñòíî, ÷òî ìîíîïñîíèÿ ïîðîæäàåò ðÿä íåãàòèâíûõ ñîöèàëüíî-ýêîíîìè-
÷åñêèõ ïðîöåññîâ. Íèçêàÿ çàðàáîòíàÿ ïëàòà, òèïè÷íàÿ äëÿ ýòîé ôîðìû íåñîâåð-
øåííîé êîíêóðåíöèè, îãðàíè÷èâàåò êîíå÷íûé ñïðîñ íà òîâàðû è óñëóãè, ÷òî ìî-
æåò áûòü ïðè÷èíîé ýêîíîìè÷åñêîãî ñïàäà [3]. Îäíàêî áåçðàáîòèöà â åå êëàññè-
÷åñêîì ïîíèìàíèè, êàê ïðåâûøåíèå ïðåäëîæåíèÿ òðóäà íàä ñïðîñîì, ïðè
ìîíîïñîíèè òàêæå íåâåëèêà. «Ëèøíÿÿ» (äëÿ ðàáîòîäàòåëÿ) ðàáî÷àÿ ñèëà âûòåñ-
íÿåòñÿ ñ ðûíêà òðóäà ââèäó åå íèçêîé îïëàòû. Åñëè òàêîé ðûíîê áóäåò îòêðû-
òûì, òî ñîçäàþòñÿ ïðåäïîñûëêè äëÿ ìàñøòàáíîé òðóäîâîé ìèãðàöèè, óìåíüøàþ-
ùåé ïðåäëîæåíèå òðóäà è òîðìîçÿùåé ñíèæåíèå çàðàáîòíîé ïëàòû. Äàííûé ïðî-
öåññ, áåçóñëîâíî, ïîâëèÿåò êàê íà ãëóáèíó ñïàäà, òàê è íà ïðîäîëæèòåëüíîñòü
ýêîíîìè÷åñêîé äåïðåññèè. Îïëàòà òðóäà íà ìîíîïñîíè÷åñêîì ðûíêå âîçðàñòàåò
â óñëîâèÿõ ïîäúåìà ýêîíîìèêè, íî íåðàâåíñòâî â ðàñïðåäåëåíèè äîõîäîâ ïðè ýòîì
òàêæå óâåëè÷èâàåòñÿ. Èíòåíñèâíàÿ òðóäîâàÿ èììèãðàöèÿ ïîçâîëÿåò ðàáîòîäàòåëÿì
çàìåäëèòü ðîñò îïëàòû òðóäà è ïîëó÷èòü äîïîëíèòåëüíóþ ïðèáûëü. Îäíàêî ýòî ìî-
æåò ñòàòü ïðè÷èíîé ñåðüåçíûõ ñîöèàëüíûõ ïðîáëåì. Îäíîé èç îñîáåííîñòåé çà-
ìêíóòîãî ìîíîïñîíè÷åñêîãî ðûíêà òðóäà ÿâëÿåòñÿ ïîðîæäåíèå èì ýêîíîìè÷åñêèõ
öèêëîâ êëàññè÷åñêîãî òèïà ñî ñòàäèÿìè ðîñòà, áóìà, ñïàäà, äåïðåññèè è îæèâëåíèÿ
ýêîíîìèêè [4]. Ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ èññëåäîâàíèå îñîáåííîñòåé ýêîíîìè÷åñêîé
äèíàìèêè â ñèñòåìàõ ñ òîé æå ôîðìîé íåñîâåðøåííîé êîíêóðåíöèè íà îòêðûòîì
ðûíêå òðóäà, ðå÷ü î êîòîðîé øëà ðàíåå.  íàñòîÿùåé ñòàòüå ðàññìàòðèâàåòñÿ äèíà-
ìè÷åñêàÿ ìàêðîìîäåëü, ïðåäíàçíà÷åííàÿ äëÿ ýòèõ öåëåé. Ïðè åå àíàëèçå îñîáîå
âíèìàíèå óäåëÿåòñÿ öèêëè÷åñêèì ïðîöåññàì è èõ ñðàâíåíèþ ñ öèêëàìè,
íàáëþäàåìûìè â ìîäåëè, ïðèâåäåííîé â [4]. Òåîðåòè÷åñêèé àíàëèç äîïîëíåí
ðåçóëüòàòàìè ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ, îñîáåííî âàæíûõ â ñëó÷àå, ãäå íå ìîãóò
áûòü èñïîëüçîâàíû àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû.
Ðàáîòà ñîñòîèò èç ââåäåíèÿ, ÷åòûðåõ ðàçäåëîâ è âûâîäîâ.  ðàçä. 1 ðàññìîò-
ðåíû äèíàìè÷åñêàÿ ìàêðîìîäåëü ñèñòåìû ñ îòêðûòûì ìîíîïñîíè÷åñêèì ðûí-
êîì òðóäà è åå ÷àñòíûé ñëó÷àé. Êà÷åñòâåííûé àíàëèç ìîäåëè äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ
âûïîëíåí â ðàçä. 2. Â ðàçä. 3 èññëåäîâàíû íåêîòîðûå àñïåêòû âçàèìîäåéñòâèÿ
îòêðûòîãî ìîíîïñîíè÷åñêîãî ðûíêà ñ âíåøíèì ðûíêîì.  ðàçä. 4 ïðèâåäåíû è
ïðîàíàëèçèðîâàíû ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ íà ïðåäëîæåííîé ìî-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4 49
äåëè.  çàêëþ÷åíèè ñôîðìóëèðîâàíû âûâîäû è îáñóæäåíû íàïðàâëåíèÿ
äàëüíåéøèõ èññëåäîâàíèé.
1. ÌÎÄÅËÜ ÝÊÎÍÎÌÈ×ÅÑÊÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ
Ñ ÎÒÊÐÛÒÛÌ ÌÎÍÎÏÑÎÍÈ×ÅÑÊÈÌ ÐÛÍÊÎÌ ÒÐÓÄÀ
Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ñòðóêòóðó ðûíêà òðóäà. Èìåþòñÿ L ëèö, ðàáîòàþùèõ ïî
íàéìó, è åäèíñòâåííûé ðàáîòîäàòåëü, ÿâëÿþùèéñÿ ìîíîïîëüíûì ïîòðåáèòåëåì
ðàáî÷åé ñèëû. Ïóñòü êîëè÷åñòâî ðàáîòàþùèõ ïî íàéìó íàñòîëüêî âåëèêî, à èí-
äèâèäóàëüíîå ïðåäëîæåíèå òðóäà êàæäîãî èç íèõ íàñòîëüêî ìàëî, ÷òîáû îñîç-
íàííî âëèÿòü íà âåëè÷èíó îïëàòû òðóäà. Ïðè ýòîì ðàáîòàþùèå ïî íàéìó íå ìî-
ãóò êîîðäèíèðîâàòü ñâîè äåéñòâèÿ, à ðàáîòîäàòåëþ èçâåñòíû âåëè÷èíà ñîâîêóï-
íîãî ïðåäëîæåíèÿ òðóäà è ñïðîñ íà ïðîäóêöèþ, êîòîðóþ îí èçãîòîâëÿåò,
èñïîëüçóÿ ïðèîáðåòàåìóþ ðàáî÷óþ ñèëó. Ðàáîòîäàòåëü äåéñòâóåò, èñõîäÿ èç ñâî-
èõ êðàòêîñðî÷íûõ èíòåðåñîâ, ñòðåìÿñü ìàêñèìèçèðîâàòü ïðèáûëü îò ïðîèçâî-
äñòâà óêàçàííîé ïðîäóêöèè. Â ìîäåëè òàêæå ïðåäïîëàãàåòñÿ íåèçìåííîñòü öåí,
ïîýòîìó çíà÷åíèÿ âñåõ èñïîëüçóåìûõ ýêîíîìè÷åñêèõ èíäèêàòîðîâ áóäóò îäíîâðå-
ìåííî íîìèíàëüíûìè è ðåàëüíûìè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äîïîëíèòåëüíûå çàòðàòû
ðàáîòîäàòåëÿ, ñâÿçàííûå ñ ïðèîáðåòåíèåì ðàáî÷åé ñèëû (êîñâåííûå íàëîãè íà
ôîíä îïëàòû òðóäà, ñîöèàëüíûå îò÷èñëåíèÿ è äð.), ïðîïîðöèîíàëüíû âåëè÷èíå
ôîíäà îïëàòû òðóäà W.
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ S W L( , ) — ìàêñèìàëüíîå êîëè÷åñòâî ðàáî÷åé ñèëû,
êîòîðóþ ìîæåò ïðèîáðåñòè ðàáîòîäàòåëü ïðè çàäàííîé âåëè÷èíå W è çàäàííîì L
— êîëè÷åñòâå ëèö, ðàáîòàþùèõ ïî íàéìó. Ôàêòè÷åñêè
S W L L L
X W
S( , ) max � ( , )
( )
�
��
� , ãäå � ( , )L L
S
� — ôóíêöèÿ ñîâîêóïíîãî ïðåäëîæå-
íèÿ òðóäà, çàâèñÿùàÿ îò âåëè÷èíû çàðàáîòíîé ïëàòû � è îò L; X W( ) :� {�
� � �� ( , ) ,L L W
S
� � 0}. ( ñëó÷àå, êîãäà ââîäèòñÿ ìèíèìàëüíûé óðîâåíü îïëàòû
òðóäà � 0 , âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå X W( ) � { }� � � � �: � ( , ) ,L L WS � � 0 . Åñëè ïðè
ýòîì ìíîæåñòâî X W( ) ïóñòî, òî äîîïðåäåëÿåì S W L( , ) � 0.) Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî
êîëè÷åñòâî ðàáî÷åé ñèëû, ïðèîáðåòàåìîå ðàáîòîäàòåëåì ïðè óñòàíîâëåííîì èì
ôîíäå îïëàòû òðóäà, âñåãäà áóäåò ìàêñèìàëüíûì: ìåíüøåå êîëè÷åñòâî ðàáî÷åé
ñèëû ïîçâîëèò ïðîèçâåñòè ìåíüøå ïðîäóêöèè è ïîëó÷èòü ìåíüøóþ ïðèáûëü ïðè
òåõ æå çàòðàòàõ íà îïëàòó òðóäà. Ðàáîòîäàòåëü óìåíüøèò âåëè÷èíó W, åñëè
ñíèæåíèå ñïðîñà íà ïðîèçâîäèìóþ èì ïðîäóêöèþ âûíóäèò åãî ñîêðàòèòü çàíÿòîñòü.
 äàëüíåéøåì áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ôóíêöèÿ S W L( , ) íåîòðèöàòåëüíàÿ,
íåïðåðûâíàÿ è ïðèíèìàåò íóëåâûå çíà÷åíèÿ äëÿ W W� 0 (â ÷àñòíîì ñëó÷àå âîç-
ìîæíî, ÷òî W0 0� ). Âåëè÷èíà W0 îïðåäåëÿåòñÿ ìèíèìàëüíîé çàðàáîòíîé ïëàòîé
� 0 , â ÷àñòíîñòè åñëè � 0 0� , òî è W0 0� . Ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî ôóíêöèÿ
S W L( , ) âîãíóòàÿ è ìîíîòîííî âîçðàñòàåò ïî W ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì L íà
ìíîæåñòâå X W W W0 0� �{ }: , äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ïî W íà
X 0 , ïðè÷åì S W LW � �( , ) 0, S W LWW � � �( , ) 0. Çàìåòèì, ÷òî ïðè îòêàçå îò ïðåäïî-
ëîæåíèÿ î äèôôåðåíöèðóåìîñòè óñëîæíÿþòñÿ òåõíè÷åñêèå àñïåêòû àíàëèçà
ìîäåëè, íî âûòåêàþùèå èç íåå êà÷åñòâåííûå âûâîäû â îñíîâíîì ñîõðàíÿòñÿ.
Àíàëîãè÷íî [3] ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè ñäåëàííûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ íàè-
áîëüøåé ïðèáûëè ðàáîòîäàòåëÿ áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü òî÷êà ìàêñèìóìà ïî
ïåðåìåííîé W ôóíêöèè
F W L lS W L V h W( , ) min ( ( , ), ) ( )�
� 1 , (1)
ðàññìàòðèâàåìîé ïðè ôèêñèðîâàííîì L, ãäå l — ïðîèçâîäèòåëüíîñòü òðóäà â
ïåðåñ÷åòå íà äîáàâëåííóþ ñòîèìîñòü, V — ñïðîñ íà ïðîäóêöèþ, ïðîèçâîäè-
50 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4
ìóþ ðàáîòîäàòåëåì, � — äîëÿ äîáàâëåííîé ñòîèìîñòè â öåíå ýòîé ïðîäóêöèè,
h — äîïîëíèòåëüíûå çàòðàòû, ñâÿçàííûå ñ ïðèîáðåòåíèåì ðàáî÷åé ñèëû (êîñ-
âåííûå íàëîãè íà ôîíä îïëàòû òðóäà, ñîöèàëüíûå ïëàòåæè è ò.ä.); ïóñòü
H h�
1. Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ F W L( , ) — íåïðåðûâíàÿ è âîãíóòàÿ íà ìíîæåñ-
òâå X 0 ïî W, òî÷êàìè åå ìàêñèìóìà ìîãóò áûòü òî÷êè, ãäå îíà íåäèôôåðåí-
öèðóåìàÿ (ïî W) èëè ãäå åå ïðîèçâîäíàÿ ïî W ðàâíà íóëþ. Ñëó÷àé, êîãäà òî÷-
êîé ìàêñèìóìà áóäåò W0 , ìîæíî èñêëþ÷èòü, åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ïðàâàÿ
ïðîèçâîäíàÿ S W L
W
� ( , )0 ïî W ôóíêöèè S W L( , ) â òî÷êå W W� 0 äîñòàòî÷íà
âåëèêà:
S W L
H
lW
� �( , )0
ïðè âñåõ L � 0. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïðåäåëüíîå ïðåäëîæåíèå òðóäà ïðè åãî ìàëîé
îïëàòå, êàê ïðàâèëî, âåñüìà âåëèêî, ïîñëåäíåå ïðåäïîëîæåíèå âïîëíå àäåêâàò-
íî ñâîéñòâàì ðåàëüíûõ ðûíêîâ òðóäà.
Òàêèì îáðàçîì, òî÷êîé ìàêñèìóìà ïî W ôóíêöèè F W L( , ), îïðåäåëåííîé
ñîãëàñíî (1) è ðàññìàòðèâàåìîé ïðè ôèêñèðîâàííîì L, áóäåò
W S
V
l
L S Hl L
W W
* min , , ( ) ( , )�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
� 1 1 1�
,
( )2
ãäå S X L
W
1 ( , ) — ôóíêöèÿ, îáðàòíàÿ ê S W L( , ) ïî ïåðåìåííîé W (ò.å. ðåøåíèå
óðàâíåíèÿ S W L X( , ) � ïðè çàäàííûõ X è L), ( ) ( )SW � � 1 — ôóíêöèÿ, îáðàòíàÿ
ê S W L
S W L
W
W � �
�
�
( , )
( , )
ïî ýòîé æå ïåðåìåííîé.
Ðàññìàòðèâàåìàÿ ìîäåëü — äèíàìè÷åñêàÿ, ñ íåïðåðûâíî èçìåíÿþùèìñÿ
âðåìåíåì t. Ïîýòîìó âåëè÷èíû V W, * è L äàëåå áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê íå-
ïðåðûâíûå ôóíêöèè îò t. ×èñëåííîñòü ðàáîòàþùèõ ïî íàéìó L ìîæåò ïðèíèìàòü
òîëüêî öåëî÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ, íî ïðè áîëüøîé âåëè÷èíå L è ïðè ñîîòâåòñòâó-
þùåì âûáîðå ìàñøòàáà, à òàêæå ñ ó÷åòîì ëèö, êîòîðûå ìîãóò áûòü çàíÿòû ëèøü
÷àñòè÷íî (ó÷àùèåñÿ, ëèöà ñ îãðàíè÷åííûìè ôèçè÷åñêèìè âîçìîæíîñòÿìè è äð.),
îò ýòîãî òðåáîâàíèÿ ìîæíî îòêàçàòüñÿ.
Âåëè÷èíà L â ìîäåëè èçìåíÿåòñÿ âñëåäñòâèå ìèãðàöèè ðàáî÷åé ñèëû. Äâè-
æóùåé ñèëîé ìèãðàöèè âûñòóïàåò ðàçíèöà â îïëàòå òðóäà íà âíóòðåííåì (â ðàì-
êàõ ìîäåëèðóåìîé ñèñòåìû) è âíåøíåì ðûíêàõ òðóäà. Åñëè îáîçíà÷èòü W âå-
ëè÷èíó ôîíäà îïëàòû òðóäà íà âíåøíåì ðûíêå, ïðèâåäåííóþ ê ìàñøòàáó âíóò-
ðåííåãî ðûíêà, òî èíòåíñèâíîñòü ìèãðàöèé áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ ôóíêöèåé
F W W( , ) . Ïðè ýòîì F W W( , ) � 0, åñëè W W� (ò.å. áîëüøàÿ îïëàòà òðóäà íà
âíóòðåííåì ðûíêå âûçûâàåò òðóäîâóþ èììèãðàöèþ); åñëè W W� , òî
F W W( , )� 0. Ïðè W W� èìååì F W W( , ) � 0. Ñîãëàñíî ïðåäïîëîæåíèé F W W( , )
— íåïðåðûâíàÿ âîçðàñòàþùàÿ ïî W è óáûâàþùàÿ ïî W ôóíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþ-
ùàÿ óñëîâèþ Ëèïøèöà ïî îáåèì ïåðåìåííûì. Èçìåíåíèå ïåðåìåííîé L
îïðåäåëÿåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì
L F W W� � ( , )* . (3)
Äàëåå äëÿ ïðîñòîòû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî âåëè÷èíà W è ôóíêöèÿ
F W W( , ) íå çàâèñÿò íåïîñðåäñòâåííî îò âðåìåíè t.
Èçìåíåíèå ñïðîñà V îïðåäåëÿåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì
V a W a V a� �
1 2 3
* , (4)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4 51
àíàëîãè÷íûì ðàññìîòðåííîìó â [3].  (4) ïîëàãàåòñÿ, ÷òî a1 0� , a2 0� , a3 0�
— íåêîòîðûå êîíñòàíòû. Ñîîòíîøåíèÿ (2)–(4) è íà÷àëüíûå óñëîâèÿ
V V L L( ) , ( )0 00 0� � (5)
îáðàçóþò ðàññìàòðèâàåìóþ ìîäåëü.
Ôàçîâûì ïðîñòðàíñòâîì ñèñòåìû (2)–(4) áóäåò ìíîæåñòâî E V L� {( , ) :
0 0� � � �V V L Lmax max, }, ãäå Vmax è Lmax — íåêîòîðûå äîñòàòî÷íî áîëüøèå
êîíñòàíòû. Äàëåå áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ôàçîâàÿ òî÷êà, âûéäÿ íà ãðàíèöó E,
áóäåò äâèãàòüñÿ ïî íåé â ñêîëüçÿùåì ðåæèìå [5] ïîä âîçäåéñòâèåì âåêòîðíîãî
ïîëÿ. Ïðè ðàññìàòðèâàåìûõ äàëåå óñëîâèÿõ âåêòîðíîå ïîëå ñèñòåìû âíóòðè E
ÿâëÿåòñÿ ãëàäêèì, èñêëþ÷àÿ ëèíèþ ïåðåêëþ÷åíèÿ, íà êîòîðîé îíî ñîõðàíÿåò íå-
ïðåðûâíîñòü. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ðåøåíèå ( ( ), ( ))L t V t çàäà÷è (2)–(5) ñóùåñòâóåò
ïðè ñäåëàííûõ ðàíåå ïðåäïîëîæåíèÿõ, åñëè ( , )V L E0 0 � . Îíî îïðåäåëåíî íà ïîëî-
æèòåëüíîé ïîëóîñè è ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèåé t âî âñåõ
òî÷êàõ, êðîìå òåõ (åñëè òàêèå ñóùåñòâóþò), â êîòîðûõ ðåøåíèå ( ( ), ( ))L t V t ëèáî ïî-
ïàäàåò íà ãðàíèöó ìíîæåñòâà E, ëèáî ïîêèäàåò åå.  óêàçàííûõ òî÷êàõ âåêòîð-ôóíê-
öèÿ ( ( ), ( ))L t V t íåïðåðûâíà. Âîçìîæíî òàêæå ðàññìîòðåíèå ìîäåëè (2)–(5) ïðè
ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ôàçîâàÿ òî÷êà, âûéäÿ íà ãðàíèöó E, ïðåêðàòèò ñâîå äâèæåíèå.
Àíàëèç ñèñòåìû ïðîâîäèòñÿ äàëåå äëÿ ïðåäñòàâëÿþùåãî ñàìîñòîÿòåëüíûé
èíòåðåñ ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ, êîãäà
S W L
L W W W W
W W
( , )
( ) , ,
, ,
/
�
�
�
�
�
�
0
1 2
0
00
åñëè
åñëè
F W W W W( , ) � , a3 0� .
Ôóíêöèè òàêîãî âèäà óäîâëåòâîðÿþò ðàíåå ñäåëàííûì ïðåäïîëîæåíèÿì î
ñâîéñòâàõ S W L( , ) è F W W( , ) . Ñóùåñòâóþò âåñêèå îñíîâàíèÿ ïðåäïîëàãàòü,
÷òî âîçíèêàþùèå çäåñü îñíîâíûå çàêîíîìåðíîñòè äèíàìèêè ñèñòåìû èìåþò
ìåñòî è â îáùåì ñëó÷àå. Íåñëîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû
ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà:
S W L L W W W WW � � � ( , ) , ( ) ,/0 5 0
1 2
0 ,
S
V
l
L
V
l L
W
W
�
�
�
�
� �
1
2 2
2 2 0
� �
, , (6)
( ) ( , )S Hl L
l
H
L WW � �
�
�
�
�
�
1 1
2
2
0
2
.
Ïðåäñòàâëÿåò îñîáûé èíòåðåñ àíàëèç çàâèñèìîñòè ðåøåíèé ñèñòåìû (2)–(4)
äëÿ äàííîãî ñëó÷àÿ îò èçìåíåíèé âåëè÷èíû W0 . Êàê îòìå÷àëîñü âûøå, ïîñëåäíÿÿ
çàâèñèò îò óðîâíÿ ìèíèìàëüíîé îïëàòû òðóäà � 0 , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç
âàæíåéøèõ èíñòðóìåíòîâ ãîñóäàðñòâåííîãî ðåãóëèðîâàíèÿ ðûíêà òðóäà â óñëî-
âèÿõ íåñîâåðøåííîé êîíêóðåíöèè [6]. Òàêîé àíàëèç áóäåò âûïîëíåí â
ñëåäóþùåì ðàçäåëå.
2. ÀÍÀËÈÇ ÌÎÄÅËÈ
Çàìåòèì, ÷òî âåëè÷èíû êîíñòàíò-ìíîæèòåëåé ïðè ïðàâûõ ÷àñòÿõ äèôôåðåíöè-
àëüíûõ óðàâíåíèé, êàê ïðàâèëî, íå âëèÿþò íà ðåçóëüòàòû êà÷åñòâåííîãî àíà-
ëèçà ñèñòåìû. Ïîýòîìó, ïîëîæèâ äëÿ ïðîñòîòû äàëüíåéøèõ ðàññóæäåíèé ýòè
êîíñòàíòû ðàâíûìè åäèíèöå è âûïîëíèâ ñîîòâåòñòâóþùèå çàìåíû ïåðåìåí-
52 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4
íûõ, çàäà÷ó (2)–(5), â êîòîðîé S
W
�1 ( ) è ( ) ( )SW � � 1 îïðåäåëåíû ñîãëàñíî (6),
ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ê âèäó
L W W� � , (7)
V aW V� � , (8)
W L
V
L
�
�
�
�
�
�
�
min ,� � �2
2
2
, (9)
V V L L( ) , ( )0 00 0� � , (10)
ãäå W � 0, a �1 , 0 � �� W , � � 0 — íåêîòîðûå êîíñòàíòû, ( , )V L E0 0 � .
Àíàëèç ñèñòåìû íà÷íåì ñ ïîñòðîåíèÿ ëèíèè ïåðåêëþ÷åíèÿ �H — ìíîæåñ-
òâà òî÷åê, äëÿ êîòîðîãî ìèíèìóì â ðàâåíñòâå (9) äîñòèãàåòñÿ îäíîâðåìåííî äëÿ
îáîèõ âûðàæåíèé. Èç óðàâíåíèÿ � � �
�
L
V
L
2
2
2
ñëåäóåò, ÷òî �H áóäåò ÷àñòüþ
ïàðàáîëû V L� � 1 2 2/ , ïðèíàäëåæàùåé E. Äëÿ òî÷åê ( , )V L , ëåæàùèõ íàä êðèâîé
�H , áóäåò âûïîëíÿòüñÿ ðàâåíñòâî W L�
� � 2 , à äëÿ òî÷åê, ëåæàùèõ ïîä ýòîé êðè-
âîé, — ðàâåíñòâî W
V
L
�
�
2
2
.
Îïðåäåëèì òåïåðü òî÷êè, â êîòîðûõ ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (7) ïðèíèìàåò
íóëåâûå çíà÷åíèÿ. Íàä ëèíèåé �H ýòè òî÷êè óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ
� �
�L W2 èëè L W� � �1 2 1 2/ /( ) . Ñîîòâåòñòâóþùèé ýòîìó ìíîæåñòâó îòðå-
çîê âåðòèêàëüíîé ïðÿìîé â äàëüíåéøåì áóäåì îáîçíà÷àòü H1. Ïîä ëèíèåé �H
óêàçàííûå òî÷êè äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ W
V
L
�
�
2
2
èëè
V L W� ( ) /� 1 2 . Îòðåçîê ïðÿìîé, ñîîòâåòñòâóþùèé ýòîìó ìíîæåñòâó,
â äàëüíåéøåì áóäåì îáîçíà÷àòü H 2 .
Ñòàöèîíàðíûå òî÷êè ñèñòåìû (7)–(9) äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèÿì
W W� è aW V� ; ñëåäîâàòåëüíî, â äàííûõ òî÷êàõ áóäåò âûïîëíÿòüñÿ ðàâåíñòâî
V aW� . Òàêèì îáðàçîì, ñèñòåìà (7)–(9) ïðè íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ (10) ìîæåò
èìåòü íå áîëåå îäíîé ñòàöèîíàðíîé òî÷êè íàä ëèíèåé �H (òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ãî-
ðèçîíòàëüíîé ëèíèè V aW� ñ îòðåçêîì H1) è íå áîëåå îäíîé ñòàöèîíàðíîé òî÷-
êè ïîä �H (òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ óêàçàííîé ãîðèçîíòàëüíîé ëèíèè ñ îòðåçêîì H 2).
Äàëåå ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ñóùåñòâóþò îáå ýòè òî÷êè. Íåîáõîäèìûì è
äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì èõ ñóùåñòâîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà
a
W
�
�
�
�
�
��
max ( , )/ /� �
�3 2 1 2 1 .
(11)
Ñòàöèîíàðíóþ òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè ( , ) ( ( )( ) ( ) / /L V W1 1 1 2 1 2� � � , a W ),
ëåæàùóþ íàä �H , â äàëüíåéøåì áóäåì îáîçíà÷àòü O1. Òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè
( , ) ( ( ) , )( ) ( ) /L V a W W aW2 2 1 2� � , ëåæàùóþ ïîä �H , îáîçíà÷èì O2 . Îïðåäåëèì
ìíîæåñòâà òî÷åê, ëåæàùèõ ñîîòâåòñòâåííî íàä è ïîä �H , äëÿ êîòîðûõ ïðàâàÿ
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4 53
÷àñòü óðàâíåíèÿ (8) ïðèíèìàåò íóëåâîå çíà÷åíèå. Äëÿ òî÷åê, ëåæàùèõ íàä �H ,
áóäåò âûïîëíÿòüñÿ ðàâåíñòâî V a L�
( )� � 2 . Ñåãìåíò äàííîé ïàðàáîëû, ïðèíàä-
ëåæàùèé E, â äàëüíåéøåì áóäåì îáîçíà÷àòü
~
H
1
. Ïðè âûïîëíåíèè íåðàâåíñòâà
(11) ýòîò ñåãìåíò áóäåò ðàñïîëîæåí íàä �H . Äëÿ òî÷åê, ëåæàùèõ ïîä �H , ïðàâàÿ
÷àñòü óðàâíåíèÿ (8) ðàâíà íóëþ, åñëè âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî V a
V
L
�
�
�
�
�
�
�
�
2
2
.
Îòñþäà
V
L
a
L
a
L� �
2 4
2
2
2 4
�
(12)
ïðè L a� 2 1 2� / .
Ìíîæåñòâî òî÷åê, óäîâëåòâîðÿþùèõ ðàâåíñòâó (12), îáðàçîâàíî äâóìÿ âåò-
âÿìè. Ïåðâàÿ èç íèõ —
~
H 2 ÿâëÿåòñÿ ãðàôèêîì äèôôåðåíöèðóåìîé è âîçðàñòàþ-
ùåé ôóíêöèè, ïðèáëèæàþùåéñÿ ñíèçó ê ïàðàáîëå V � �
a L a1 2 � ïðè íåîãðà-
íè÷åííî óâåëè÷èâàþùåìñÿ L. Âòîðàÿ âåòâü —
~
H 3 áóäåò ãðàôèêîì äèôôåðåíöè-
ðóåìîé è óáûâàþùåé ôóíêöèè îò L, èìåþùåé ãîðèçîíòàëüíóþ àñèìïòîòóV a� �.
Ïðè ýòîì ðàññòîÿíèå ìåæäó
~
H 3 è äàííîé àñèìïòîòîé èìååò ïîðÿäîê O
L
1
2
�
�
�
�
�� ïðè
äîñòàòî÷íî áîëüøèõ L. Äëÿ � � 0 ëèíèÿ
~
H 3 ïðåâðàùàåòñÿ â ãîðèçîíòàëüíóþ îñü
êîîðäèíàò V � 0. Âåòâè
~
H 2 è
~
H 3 ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå B ñ êîîðäèíàòàìè
( , )/2 21 2a a� � . Ïðè � � 0 òî÷êà B ñîâïàäàåò ñ íà÷àëîì êîîðäèíàò 0.
Ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâ-
íåíèÿ (7) áóäåò ïîëî-
æèòåëüíîé â òî÷êàõ, ëå-
æàùèõ ìåæäó ëèíèÿìè
H1 è H 2 , è îòðèöàòåëü-
íîé â îñòàëüíûõ òî÷êàõ
ìíîæåñòâà E. Ïðàâàÿ
÷àñòü óðàâíåíèÿ (8) ïî-
ëîæèòåëüíà â òî÷êàõ,
ëåæàùèõ ìåæäó êðèâû-
ìè
~
H
1
è
~
H 2 , à òàêæå â
òî÷êàõ, ëåæàùèõ ïîä
êðèâîé
~
H 3 . Â îñòàëü-
íûõ òî÷êàõ ìíîæåñòâà
E îíà áóäåò îòðèöà-
òåëüíîé.
Ôàçîâûé ïîðòðåò
ñèñòåìû (7)–(9) ïðåä-
ñòàâëåí íà ðèñ. 1. Ìíî-
æåñòâà òî÷åê, äëÿ êîòî-
ðûõ ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâ-
íåíèÿ (7) èìååò çíàê � 1,
à ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíå-
íèÿ (8) — çíàê � 2 , îá-
î ç í à ÷ à þ ò ñ ÿ
54 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4
Ðèñ. 1. Ñõåìàòè÷åñêèé ôàçîâûé ïîðòðåò ñèñòåìû, ãäå � � � —
ôàçîâûå òðàåêòîðèè
D
� � � �1 2
1 2( , , )�
. Ðàññìîòðèì ïîäðîáíåå ýòè ìíîæåñòâà (îáëàñòè).
Îáëàñòü D ðàñïîëîæåíà ñâåðõó îò ëèíèè
~
H1 è ñëåâà îò âåðòèêàëüíîãî îò-
ðåçêà H1, à òàêæå ìåæäó ëèíèÿìè H 2 è
~
H 3 . Îáëàñòü D
ðàñïîëîæåíà ìåæäó
H1 è
~
H1, à òàêæå ìåæäó
~
H 2 è H 2 . Îáëàñòü D
îãðàíè÷åíà ëèíèÿìè
~
H1, H1, H 2
è
~
H 2 . Ìíîæåñòâî D
íàõîäèòñÿ ïîä ëèíèåé
~
H1 (ñëåâà îò H1) è ïîä H 2 è
~
H 3
(ñïðàâà îò H1).
Ðàññìîòðèì îñîáåííîñòè äâèæåíèÿ ôàçîâîé òî÷êè íà âûøåïåðå÷èñëåííûõ
ìíîæåñòâàõ. Åñëè ôàçîâàÿ òî÷êà íàõîäèòñÿ â îáëàñòè D ñëåâà îò ëèíèè H1, òî
ïðè åå äâèæåíèè áóäóò óìåíüøàòüñÿ êàê èìåþùèåñÿ òðóäîâûå ðåñóðñû L, òàê è
ñïðîñ íà ïðîèçâîäèìûå òîâàðû V . Ïîñêîëüêó ôàçîâàÿ òî÷êà íàõîäèòñÿ íàä ëèíèåé
ïåðåêëþ÷åíèÿ �H , òî ôîíä îïëàòû òðóäà W � � �
L2 áóäåò óìåíüøàòüñÿ ïðè
óìåíüøåíèè L. Ýòî óñèëèò òðóäîâóþ ýìèãðàöèþ è óìåíüøèò ñïðîñ íà ïðîèçâî-
äèìûå òîâàðû. Êàê ñëåäñòâèå, âîçíèêàåò îáðàòíàÿ ñâÿçü: ñîêðàùåíèå îïëàòû òðó-
äà — óìåíüøåíèå òðóäîâûõ ðåñóðñîâ âñëåäñòâèå óñèëåíèÿ ýìèãðàöèè — ñîêðà-
ùåíèå îïëàòû òðóäà, ïîðîæäàþùàÿ ïðîäîëæèòåëüíûé ñïàä ïðîèçâîäñòâà. Ðå-
çóëüòàòîì äàííîãî ïðîöåññà áóäåò çàâåðøåíèå ôàçîâîé òðàåêòîðèè íà ãðàíèöå
ïðîñòðàíñòâà E â òî÷êå, ãäå L � 0, ò.å. êîëëàïñ ìîäåëèðóåìîé ýêîíîìè÷åñêîé ñèñ-
òåìû âñëåäñòâèå ïîëíîé ïîòåðè åþ òðóäîâûõ ðåñóðñîâ. Çàìåòèì, ÷òî åñëè ôàçîâàÿ
òî÷êà îêàæåòñÿ âáëèçè ëèíèè
~
H
1
, òî ââèäó íåïðåðûâíîñòè ïðàâîé ÷àñòè óðàâíå-
íèÿ (8) âåëè÷èíàV � áóäåò áëèçêà ê íóëþ, â òî âðåìÿ êàê L� áóäåò ñóùåñòâåííî îò-
ëè÷àòüñÿ îò íóëÿ. Ôàçîâàÿ òî÷êà ïðîäîëæèò ñâîå äâèæåíèå ê îñè 0V ïî òðàåêòî-
ðèè, áëèçêîé ê ãîðèçîíòàëüíîé ïðÿìîé. Ïîýòîìó îíà íå ñìîæåò ïåðåñå÷ü ëèíèè
~
H1 è îêàçàòüñÿ â îáëàñòè D
. Òàêèì îáðàçîì, â ñëó÷àå ïîïàäàíèÿ ôàçîâîé
òî÷êè â îáëàñòü D ñëåâà îò H1 êîëëàïñ ýêîíîìèêè âñëåäñòâèå
ïðîäîëæèòåëüíîãî ñïàäà ïðîèçâîäñòâà áóäåò íåîòâðàòèìûì.
Äâèæåíèå ôàçîâîé òî÷êè â îáëàñòè D ìåæäó ëèíèÿìè H 2 è
~
H 3 òàêæå áó-
äåò ñîïðîâîæäàòüñÿ êàê óñèëåíèåì òðóäîâîé ýìèãðàöèè (óìåíüøåíèåì L), òàê è
ñïàäîì ïðîèçâîäñòâà (óìåíüøåíèåì V ). Êàê ñëåäñòâèå, ôàçîâàÿ òî÷êà ïåðåñå÷åò
ëèáî êðèâóþ
~
H
2
, ëèáî êðèâóþ
~
H 3 .  ïîñëåäíåì ñëó÷àå ïðè � � 0 áóäåò âûïîë-
íÿòüñÿ ñîîòíîøåíèå V � 0 è íàñòóïèò êîëëàïñ ýêîíîìèêè. Ïðè � � 0 ôàçîâàÿ òî÷-
êà, ïåðåñåêøàÿ
~
H
3
, ïðîäîëæèò ñâîå äâèæåíèå â îáëàñòè D
. Ïðè ýòîì âåëè÷è-
íà V � áóäåò áëèçêà ê íóëþ â ñèëó íåïðåðûâíîñòè ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (8) è
ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ áóäåò áëèçêà ê ãîðèçîíòàëüíîé ëèíèè. Çàìåòèì, ÷òî êðèâàÿ
~
H
3
âäàëè îò òî÷êè B òàêæå áóäåò áëèçêà ê ãîðèçîíòàëüíîé ïðÿìîé è ôàçîâûå
òðàåêòîðèè, ïåðåñåêàþùèå ýòó êðèâóþ â ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ, áóäóò ïðîõîäèòü
âáëèçè îäíà îò äðóãîé, ò. å. ïðîèçîéäåò èõ «ñëèïàíèå».
Ðàññìîòðèì òåïåðü äâèæåíèå ôàçîâîé òî÷êè â îáëàñòè D
. Âåëè÷èíà L ïðè
ýòîì áóäåò óìåíüøàòüñÿ âñëåäñòâèå ïðîäîëæàþùåéñÿ ýìèãðàöèè, íî âåëè÷èíà V
íà÷íåò âîçðàñòàòü âñëåäñòâèå óâåëè÷åíèÿ ôîíäà îïëàòû òðóäà W
V
L
�
�
2
2
. Íåõ-
âàòêà òðóäîâûõ ðåñóðñîâ, ïîòåðÿííûõ â ïðîöåññå ýêîíîìè÷åñêîãî ñïàäà, âûíóæ-
äàåò ìîíîïîëèñòà-ðàáîòîäàòåëÿ óâåëè÷èâàòü îïëàòó òðóäà, ÷òîáû êîìïåíñèðî-
âàòü óìåíüøåíèå ïðåäëîæåíèÿ ðàáî÷åé ñèëû. Ýòî óâåëè÷èâàåò âíóòðåííèé ñïðîñ
íà ïîòðåáèòåëüñêèå òîâàðû, ÷òî ïðèâîäèò ê îæèâëåíèþ ýêîíîìèêè. Êîãäà îïëàòà
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4 55
òðóäà íà âíóòðåííåì ðûíêå ïðåâûøàåò îïëàòó òðóäà íà âíåøíåì, òðóäîâàÿ ýìèã-
ðàöèÿ ïðåêðàùàåòñÿ, ôàçîâàÿ òî÷êà ïåðåñåêàåò ëèíèþ H 2 è ïîïàäàåò â îáëàñòü
D
. Îäíàêî åñëè ôàçîâàÿ òî÷êà â ñâîåì äâèæåíèè îêàçûâàåòñÿ ñëåâà îò ëèíèè
L W� � �1 2 1 2/ /( ) , îíà ïåðåñåêàåò
~
H1 è ïîïàäàåò â îáëàñòü D .  ýòîì ñëó÷àå
îæèâëåíèå ýêîíîìèêè íîñèò âðåìåííûé õàðàêòåð è ñìåíÿåòñÿ ñïàäîì, çàâåðøàþ-
ùèìñÿ êîëëàïñîì ýêîíîìèêè ïðè L � 0. Äâèæåíèå ôàçîâîé òî÷êè â îáëàñòè D
ñîïðîâîæäàåòñÿ êàê óâåëè÷åíèåì òðóäîâûõ ðåñóðñîâ L âñëåäñòâèå èììèãðàöèè,
òàê è ðîñòîì ñïðîñàV íà ïðîèçâîäèìóþ ïðîäóêöèþ. Ýòè ïåðåìåííûå ðàñòóò îñî-
áåííî áûñòðî â òî÷êàõ, ðàñïîëîæåííûõ íàä ëèíèåé �H , ãäå ñêîðîñòü èõ ðîñòà ïðî-
ïîðöèîíàëüíà L2 . Ýòîìó ñîîòâåòñòâóåò áûñòðûé ðîñò ýêîíîìèêè ñ ýëåìåíòàìè
áóìà. Äâà ñöåíàðèÿ âîçìîæíû äëÿ äàëüíåéøåãî ðàçâèòèÿ ñîáûòèé: 1) ðîñò V è L
áóäåò ïðîäîëæàòüñÿ äî âûõîäà ôàçîâîé òî÷êè íà âåðõíþþ ãðàíèöó ôàçîâîãî
ïðîñòðàíñòâà E (äî òåõ ïîð, ïîêà íå áóäåò âûïîëíÿòüñÿ ðàâåíñòâî V V� max èëè
L L� max); 2) ôàçîâàÿ òî÷êà, äâèãàÿñü ïî D
, ïåðåñåêàåò ëèíèþ
~
H 2 è ïîïàäàåò â
îáëàñòü D
. Ïðè÷èíîé ïîñëåäíåãî ñöåíàðèÿ ìîæåò áûòü çíà÷èòåëüíîå ïðåâû-
øåíèå îïëàòû òðóäà íà âíóòðåííåì ðûíêå ïî ñðàâíåíèþ ñ âíåøíèì.
Èíòåíñèâíàÿ òðóäîâàÿ èììèãðàöèÿ ðåçêî óâåëè÷èâàåò ïðåäëîæåíèå ðàáî÷åé
ñèëû, ÷òî ïîçâîëÿåò ðàáîòîäàòåëþ-ìîíîïîëèñòó ñóùåñòâåííî ñíèçèòü îïëàòó
òðóäà. Òàêîå ñíèæåíèå ñòàíîâèòñÿ ïðè÷èíîé óìåíüøåíèÿ ñïðîñà íà
ïðîèçâîäèìóþ ïðîäóêöèþ, è áóì ñìåíÿåòñÿ ýêîíîìè÷åñêèì ñïàäîì.
Äâèæåíèå ôàçîâîé òî÷êè íà ìíîæåñòâå D
ñîïðîâîæäàåòñÿ óìåíüøåíèåì
îáúåìîâ ïðîèçâîäñòâà. Ïðè ýòîì îïëàòà òðóäà íà âíóòðåííåì ðûíêå íà ïðîòÿæå-
íèè íåêîòîðîãî âðåìåíè ïðåâûøàåò îïëàòó íà âíåøíåì ðûíêå. Ïðîäîëæàþùàÿ-
ñÿ èììèãðàöèÿ âåäåò ê èçáûòêó òðóäîâûõ ðåñóðñîâ, ÷òî â óñëîâèÿõ ìîíîïñîíèè
ðåçêî ñîêðàùàåò îïëàòó òðóäà è óñóãóáëÿåò ñïàä. Ïðè ïåðåñå÷åíèè ôàçîâîé òî÷-
êîé ëèíèè H 2 îïëàòà òðóäà íà âíóòðåííåì è âíåøíåì ðûíêàõ ñîâïàäàåò, èììèã-
ðàöèÿ ïðåêðàùàåòñÿ è ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ ïðîäîëæàåòñÿ â îáëàñòè D . Åñëè æå
ôàçîâàÿ òî÷êà äâèæåòñÿ ìåæäó ëèíèÿìè H1 è
~
H1, òî âåëè÷èíà ôîíäà îïëàòû òðó-
äà W L�
� � 2 óâåëè÷èâàåòñÿ ñ ðîñòîì òðóäîâûõ ðåñóðñîâ L âñëåäñòâèå
èììèãðàöèè. Ýòî ïðèâîäèò ê îæèâëåíèþ ýêîíîìèêè.
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû (7)–(9) ïðè ðàçëè÷íûõ íà-
÷àëüíûõ óñëîâèÿõ âèäà (10) âîçìîæíû òðè òèïà ýêîíîìè÷åñêîé äèíàìèêè: 1)
ïðîäîëæèòåëüíûé ñïàä ñëåâà îò ëèíèè H1, çàâåðøàþùèéñÿ êîëëàïñîì ýêîíîìè-
êè; 2) äëèòåëüíûé ðîñò íà ìíîæåñòâå D
, çàâåðøàþùèéñÿ âûõîäîì ôàçîâîé
òî÷êè íà âåðõíþþ ãðàíèöó ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà E; 3) öèêëè÷åñêîå ðàçâèòèå
âîêðóã ñòàöèîíàðíîé òî÷êè O2 .  ïîñëåäíåì ñëó÷àå âîçíèêàþò ýêîíîìè÷åñêèå
öèêëû, ïîäîáíûå êëàññè÷åñêîìó áèçíåñ-öèêëó ñî ñòàäèÿìè ñïàäà (äâèæåíèå ôà-
çîâîé òî÷êè íà ìíîæåñòâå D
), äåïðåññèè (äâèæåíèå òî÷êè íà D ), îæèâëå-
íèÿ (äâèæåíèå íà D
) è ðîñòà, ïåðåõîäÿùåãî â áóì (äâèæåíèå íà D
). Èñõîäÿ
èç àíàëîãèè ñ ìîäåëüþ, èññëåäîâàííîé â [4] äëÿ çàìêíóòîãî ìîíîïñîíè÷åñêîãî
ðûíêà òðóäà, èññëåäîâàíèå òàêèõ öèêëîâ, â ÷àñòíîñòè áèôóðêàöèîííûé àíàëèç,
ïðåäñòàâëÿåò îñîáûé èíòåðåñ.  êà÷åñòâå áèôóðêàöèîííîãî ïàðàìåòðà ðàññìàò-
ðèâàåòñÿ �, âåëè÷èíà êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ óðîâíåì ìèíèìàëüíîé îïëàòû òðó-
äà. Ïîñêîëüêó îñíîâíîå âíèìàíèå áóäåò óäåëÿòüñÿ öèêëàì, â äàëüíåéøåì
îãðàíè÷èìñÿ ïðåäïîëîæåíèåì î òîì, ÷òî ôàçîâàÿ òî÷êà, âûéäÿ íà ãðàíèöó E,
áóäåò äâèãàòüñÿ ïî íåé â ñêîëüçÿùåì ðåæèìå ïîä âîçäåéñòâèåì âåêòîðíîãî ïîëÿ.
Ïðîâåäåì êëàññèôèêàöèþ ñòàöèîíàðíûõ òî÷åê ñèñòåìû.
56 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4
Òî÷êà O1 è åå íåêîòîðàÿ îêðåñòíîñòü ðàñïîëîæåíû íàä êðèâîé �H . Äëÿ òî÷åê
óïîìÿíóòîé îêðåñòíîñòè áóäåò âûïîëíÿòüñÿ ñîîòíîøåíèå W � � �
L2 è ìàòðèöà
ßêîáè J1 äëÿ ñèñòåìû ïðèìåò âèä
J
L
a L
1
2 0
2 1
�
�
�
�
�
�
�
�
.
Çíà÷åíèå ýòîé ìàòðèöû â òî÷êå O W a W1
1 2 1 2� ( ( ) , )/ /� � , íàçûâàåìîå ìàò-
ðèöåé óñòîé÷èâîñòè, îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé
A
W
a W
1
3 2 1 2
3 2 1 2
2 0
2 1
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
/ /
/ /
( )
( )
.
Ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè ìàòðèöû A1 áóäóò 1 è 2 1 2 1 2� � / /( )W , èì ñî-
îòâåòñòâóþò ñîáñòâåííûå âåêòîðû ( , )0 1 è ( , ( ) )/ /1 2 1 2 1 2� � W . Òàêèì îáðàçîì,
òî÷êà O1 áóäåò ñåäëîì è ñåïàðàòðèñû, âõîäÿùèå â O1, ïðèíàäëåæàò âåðòèêàëüíîé
ïðÿìîé L W� � �1 2 1 2/ /( ) . Èçîêëèíîé ãîðèçîíòàëüíûõ íàêëîíîâ ñèñòåìû (7)–(9)
â îáëàñòè, ëåæàùåé íàä �H , ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëà V a L�
( )� � 2 , ò.å. êðèâàÿ
~
H1.
Ôàçîâàÿ òî÷êà ìîæåò ïîïàñòü â O1, äâèãàÿñü ïî ëèíèè ðàçäåëà ìåæäó ðàíåå
óïîìÿíóòûìè ñöåíàðèÿìè ýêîíîìè÷åñêîé äèíàìèêè; O1 áóäåò òî÷êîé íåóñòîé-
÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ, ëþáûå ìàëûå èçìåíåíèÿ V è (èëè) L ñòàíóò ïðè÷èíîé ëèáî
íåîáðàòèìîãî ñïàäà, ëèáî öèêëè÷åñêîãî ðàçâèòèÿ. (Ïðè ñäåëàííûõ âûøå ïðåäïî-
ëîæåíèÿõ î âîçìîæíîñòè ñêîëüçÿùåãî äâèæåíèÿ âäîëü ãðàíèöû ôàçîâîãî ïðî-
ñòðàíñòâà E äîëãîâðåìåííûé ðîñò ïðåâðàùàåòñÿ â îäèí èç òàêèõ âàðèàíòîâ
ýêîíîìè÷åñêîé äèíàìèêè.)
Òî÷êà O2 è åå íåêîòîðàÿ îêðåñòíîñòü ðàñïîëîæåíû ïîä êðèâîé �H .
Àíàëîãè÷íî òî÷êå O1 ìàòðèöà ßêîáè J2 äëÿ ñèñòåìû è ìàòðèöà óñòîé÷èâîñòè A2
îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
J
V
L
V
L
a
V
L
a
V
L
2
2
3 2
2
3 2
2 2
2 2 1
�
�
�
�
�
�
�
�
��
, A
W
aW
W
aW
a
W
W
W
W
2
3 2
3 2
2
2 1
�
�
�
�
�
�
�
�
( )
( )
/
/
� �
� �
��
.
 äàëüíåéøåì áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñëó÷àé, êîãäà íåðàâåíñòâî (11), îáåñïå-
÷èâàþùåå ñóùåñòâîâàíèå òî÷êè O2 , âûïîëíÿåòñÿ ïðè ëþáûõ � � 0, îòñþäà
� 1 2 1/ a � . (13)
Çàìåòèì, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè íåðàâåíñòâà (13) âåêòîðíîå ïîëå ñèñòåìû
(7)–(9) íåïðåðûâíî íà ëèíèè �H . Ïîñêîëüêó
tr ( ) ( ) ( ( ) )A W W W a2
1 12 1 1� � � ,
det ( ) ( ) ( ) ( )/ /A W a W W W a2
3 2 1 1 5 2 2 12 4 1�
� �
è âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå a �1, òî det ( )A2 0� . Äàëåå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ñïðà-
âåäëèâî íåðàâåíñòâî
( ( )) ( )tr detA A2
2
24 0 � .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4 57
Òîãäà åñëè tr ( )A2 0� , òî òî÷êà O2 ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâûì ôîêóñîì ñèñòåìû
(7)–(9); åñëè æå tr ( )A2 0� , òî O2 — íåóñòîé÷èâûé ôîêóñ ñèñòåìû.
Èçîêëèíàìè ãîðèçîíòàëüíûõ è âåðòèêàëüíûõ íàêëîíîâ ñèñòåìû äëÿ òî÷åê,
ëåæàùèõ ïîä �H , áóäóò ñîîòâåòñòâåííî V
V
L
�
�
�
�
�
�
�
�
2
2
è V � L W( ) / � 1 2 , ò.å. êðè-
âûå
~
H 2 ,
~
H 3 è H 2 .
Áèôóðêàöèîííûé àíàëèç ñèñòåìû ïðè âîçðàñòàþùåé âåëè÷èíå � íà÷íåì ñî
ñëó÷àÿ, êîãäà tr ( )A2 0� è � � 0. Ïðè ýòîì ïðåäïîëîæèì, ÷òî âûõîäÿùàÿ â íà-
ïðàâëåíèè ê D
ñåïàðàòðèñà òî÷êè O1 ïðèíàäëåæèò îáëàñòè âëèÿíèÿ ëîêàëüíîãî
èíâàðèàíòíîãî ìíîãîîáðàçèÿ [7] { }( , ) : , maxL V V L L� � �0 0 . Ôàçîâûé ïîðòðåò
ñèñòåìû äëÿ äàííîãî ñëó÷àÿ ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 2. Êàê îòìå÷àëîñü âûøå, êðèâàÿ
~
H 3 ïðè ýòîì ñîâïàäàåò ñ îñüþ 0L, ïîýòîìó îíà íå îáîçíà÷åíà íà ðèñóíêå.
Îòìåòèì õàðàêòåðíûå
îñîáåííîñòè äâèæåíèÿ ôà-
çîâîé òî÷êè. Ïðè ïðîõîæ-
äåíèè åþ ìíîæåñòâà D
ìåæäó ëèíèÿìè
~
H 2 è H 2
èìååò ìåñòî áûñòðîå (ïî-
ðÿäêà ýêñïîíåíöèàëüíîãî)
óáûâàíèå ñïðîñà V ïðè
ìåäëåííîì âîçðàñòàíèè
÷èñëåííîñòè ðàáîòàþùèõ
ïî íàéìó L. Åñëè ôàçîâàÿ
òî÷êà, äâèãàÿñü íà ìíîæåñ-
òâå D , ïðèáëèæàåòñÿ ê
îñè 0L, òî èìåþò ìåñòî
ïðèáëèæåííûå ðàâåíñòâà
L W� � , V � � 0. Êàê
ñëåäñòâèå, ôàçîâàÿ òðàåêòî-
ðèÿ áóäåò ïðîõîäèòü ïî÷òè
ïàðàëëåëüíî 0L íà íåáîëü-
øîì ðàññòîÿíèè îò ýòîé îñè
è çàâåðøèòñÿ â òî÷êå íà÷àëà
êîîðäèíàò 0, ÿâëÿþùåéñÿ
îñîáîé óñòîé÷èâîé òî÷êîé
ñèñòåìû (7)–(9), ðàññìàòðè-
âàåìîé ïîä êðèâîé �H .
Ïóñòü âûïîëíåíû óêà-
çàííûå âûøå óñëîâèÿ, ïðè ýòîì ïàðàìåòð � � 0 è ÿâëÿåòñÿ ìàëûì. Ôàçîâûé ïî-
ðòðåò ñèñòåìû (7)–(9) ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 3. Çàìåòèì, ÷òî ïîñëå ïåðåñå÷åíèÿ
êðèâîé
~
H 3 ôàçîâàÿ òî÷êà ïðîäîëæèò äâèæåíèå â îáëàñòè D
âáëèçè ýòîé êðè-
âîé è ïî÷òè ïàðàëëåëüíî åé. Ñëåäóÿ [7], ïðèõîäèì ê çàêëþ÷åíèþ, ÷òî ñóùåñòâó-
åò ëîêàëüíî ýêñïîíåíöèàëüíî óñòîé÷èâîå èíâàðèàíòíîå ìíîãîîáðàçèå
J {� �� �V L� ( , ), 2a L L� � � max } óêàçàííîé ñèñòåìû, ïðè ýòîì � ( , )L
L
a
� �
2
2
L
a
L
4
2
2
4
� . Îòñþäà ñ äîñòàòî÷íîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî òî÷-
58 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4
Ðèñ. 2. Ôàçîâûé ïîðòðåò ñèñòåìû, êîãäà � � 0 è òî÷êà O2 —
íåóñòîé÷èâàÿ, ãäå � � � — ôàçîâûå òðàåêòîðèè, �� �
— ñåïàðàòðèñû òî÷êè O1
L Lmax ,
V
Vmax
D D
D
D
D
D
D
O1
H1
O2
~
H1
�H
~
H 2
H 2
0
êà B ñõîæäåíèÿ êðèâûõ
~
H 2 è
~
H 3 ïðèíàäëåæèò âû-
øåóïîìÿíóòîìó ìíîãîîá-
ðàçèþ. Çàìåòèì, ÷òî B ÿâ-
ëÿåòñÿ òî÷êîé âîçâðàòà, â
íåé L W� � 2� , V � � 0. Òà-
êèì îáðàçîì, äëÿ ��
1
2
W â
îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè
L t( ) óáûâàåò, à V t( ) âîç-
ðàñòàåò è ôàçîâàÿ òðàåêòî-
ðèÿ ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ
ïåðåñå÷åò ëèíèþ ïåðåêëþ-
÷åíèÿ �H . Êîîðäèíàòû
òî÷êè òàêîãî ïåðåñå÷åíèÿ
áóäóò íåïðåðûâíûìè
ôóíêöèÿìè îò �; ïåðâàÿ åå
êîîðäèíàòà òàêæå áóäåò
ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé
ôóíêöèåé. Ñåïàðàòðèñà,
âûõîäÿùàÿ èç òî÷êè O1 â
îáëàñòü D
, ïåðåñå÷åò
ëèíèþ �H ïðè çàäàííîì � â
òî÷êå P ( )� . Ïîâòîðÿÿ ðàñ-
ñóæäåíèÿ, ñäåëàííûå ðà-
íåå, ïðèõîäèì ê âûâîäó î
òîì, ÷òî êîîðäèíàòû P ( )�
áóäóò íåïðåðûâíûìè ôóíêöèÿìè, ïðè ýòîì ïåðâàÿ êîîðäèíàòà âîçðàñòàåò ñ óâå-
ëè÷åíèåì � è ïðèíèìàåò íóëåâîå çíà÷åíèå ïðè � � 0. Ïîñêîëüêó ïåðâàÿ êîîðäèíà-
òà òî÷êè O1 ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé ìîíîòîííî óáûâàþùåé ôóíêöèåé îò �, ïðèíè-
ìàþùåé íóëåâîå çíà÷åíèå äëÿ � � W , òî íàéäåòñÿ òàêîå �* , ÷òî ïåðâûå
êîîðäèíàòû òî÷åê P ( )� è O1 ñîâïàäóò ïðè � �� * è â ñèñòåìå (7)–(9) âîçíèêíåò
ãîìîêëèíè÷åñêàÿ ïåòëÿ � * [8, 9], èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 3.
Åñëè ñåïàðàòðèñà, âûõîäÿùàÿ èç òî÷êè O1 â íàïðàâëåíèè ìíîæåñòâà D
,
ïîëíîñòüþ ïðèíàäëåæèò âíóòðåííîñòè ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà E, òî óñòîé÷èâîñòü ãîìîê-
ëèíè÷åñêîé ïåòëè � * áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ çíàêîì ñåäëîâîé âåëè÷èíû òî÷êè O1 [8, 9].
Äàííàÿ âåëè÷èíà ðàâíà
�
�
W V L
L
( , )
�
�
( ( , ) )aW V L V
V
, ãäå ôóíêöèÿ W V L( , ) çàäàíà
ñîãëàñíî (9). Çàìåòèì, ÷òî òî÷êà O1 è åå íåêîòîðàÿ îêðåñòíîñòü âñåãäà áóäóò ðàñïî-
ëîæåíû íàä ëèíèåé ïåðåêëþ÷åíèÿ �H , ïîýòîìó W V L( , ) â òî÷êå O1 áóäåò äèôôåðåí-
öèðóåìîé ôóíêöèåé.  ñîîòâåòñòâèè ñ [8, 9] ãîìîêëèíè÷åñêàÿ ïåòëÿ ÿâëÿåòñÿ óñòîé-
÷èâîé, åñëè ñåäëîâàÿ âåëè÷èíà òî÷êè O1 îòðèöàòåëüíàÿ è ÿâëÿåòñÿ íåóñòîé÷èâîé â
ñëó÷àå ïîëîæèòåëüíîñòè ñåäëîâîé âåëè÷èíû. Îòìåòèì, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå
ñîãëàñíî ïðîâåäåííûì ðàñ÷åòàì ñåäëîâàÿ âåëè÷èíà òî÷êè O1 îòðèöàòåëüíà.
Êîãäà âûõîäÿùàÿ ñåïàðàòðèñà ïåðåñåêàåò ãðàíèöó ïðîñòðàíñòâà E, äàëüíåéøåå
äâèæåíèå ôàçîâîé òî÷êè ïðîäîëæàåòñÿ âäîëü ýòîé ãðàíèöû â ñêîëüçÿùåì ðåæèìå.
Ôàçîâûå êðèâûå, ðàñïîëîæåííûå â äîñòàòî÷íî ìàëîé îêðåñòíîñòè ñåïàðàòðèñû, òàê-
æå ïåðåñåêóò ãðàíèöó E â òî÷êàõ, äîñòàòî÷íî áëèçêèõ ê òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ ýòîé ãðà-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4 59
Ðèñ. 3. Ôîðìèðîâàíèå óñòîé÷èâîé ãîìîêëèíè÷åñêîé ïåòëè,
ãäå � � � — ôàçîâûå òðàåêòîðèè, ��� — ñåïàðàòðèñû
òî÷êè O1 è ñêîëüçÿùåå äâèæåíèå, ��� — ãîìîêëèíè÷åñêàÿ
ïåòëÿ
L Lmax ,
V
Vmax
D
D
D
D
D
D
O1
H1
O2
H 2
0
B
P ( )�
�* D
~
H1
�H
~
H 2
~
H 3
íèöû è ñåïàðàòðèñû. Ïîýòîìó äâèæåíèå ïî äàííûì êðèâûì ïðîäîëæèòñÿ âäîëü ãðà-
íèöû â ñêîëüçÿùåì ðåæèìå. Çàìåòèì, ÷òî òî÷êà, â êîòîðîé çàâåðøèòñÿ ñêîëüçÿùåå
äâèæåíèå, áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ èñêëþ÷èòåëüíî êîíôèãóðàöèåé âåêòîðíîãî ïîëÿ ñèñ-
òåìû è âûøåóïîìÿíóòûå òðàåêòîðèè ñîâïàäóò ñ ãîìîêëèíè÷åñêîé êðèâîé ïîñëå èõ
îòðûâà îò ãðàíèöû E.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà � �� * . Ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîé âåëè÷èíå � � *
ïåðâàÿ êîîðäèíàòà P ( )� áóäåò áîëüøå, ÷åì � � 1 2/ ( )W . Îòñþäà ñîãëàñíî [8, 9]
â îêðåñòíîñòè � * ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé óñòîé÷èâûé ïðåäåëüíûé öèêë ��
(ðèñ. 4). Ïðè ýòîì ïåðèîä äâèæåíèÿ ôàçîâûõ òî÷åê ïî ýòîìó öèêëó ñòðåìèòñÿ ê
áåñêîíå÷íîñòè ïðè � �� * . Çäåñü íàáëþäàåòñÿ îïðåäåëåííàÿ àíàëîãèÿ ñ äèíàìè-
êîé ñèñòåìû ñ çàìêíóòûì ìîíîïñîíè÷åñêèì ðûíêîì òðóäà, ðàññìîòðåííîé â [4],
â êîòîðîé ïðè âîçðàñòàíèè áèôóðêàöèîííîãî ïàðàìåòðà òàêæå âîçíèêàë
åäèíñòâåííûé ïðåäåëüíûé öèêë.
Ïðè äàëüíåéøåì ðîñòå � âîçìîæíî íåñêîëüêî âàðèàíòîâ èçìåíåíèÿ ôàçîâî-
ãî ïîðòðåòà ñèñòåìû. Ïðè îòñóòñòâèè äðóãèõ ïðåäåëüíûõ öèêëîâ, êðîìå �� , ïî-
ñëåäíèé, óìåíüøàÿñü ñ ðîñòîì �, ïðè íåêîòîðîì � �� ** ñòÿãèâàåòñÿ â òî÷êó O2 ,
êîòîðàÿ ñòàíîâèòñÿ óñòîé÷èâûì ôîêóñîì ñ îáøèðíîé îáëàñòüþ ïðèòÿæåíèÿ.
×èñëåííûå ýêñïåðèìåíòû ïîäòâåðäèëè âîçìîæíîñòü òàêîé äèíàìèêè.  ýòîì
ñëó÷àå óâåëè÷åíèå ìèíèìàëüíîé îïëàòû òðóäà ïðèäàåò êëàññè÷åñêèì öèêëàì â
ñèñòåìå ñ îòêðûòûì ìîíîïñîíè÷åñêèì ðûíêîì ñõîæåñòü ñ ïîñòêëàññè÷åñêèìè
60 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4
Ðèñ. 4. Âîçíèêíîâåíèå óñòîé÷èâîãî ïðåäåëüíîãî öèêëà, ãäå � � � — ôàçîâûå
òðàåêòîðèè, ��� — ñåïàðàòðèñû òî÷êè O1, ��� — óñòîé÷èâûé
ïðåäåëüíûé öèêë
~
H 2
~
H1
~
H 3
L
V
D
D
D
D
O1
H1
O2
H 2
0
B ( )�
P ( )�
D
��
D
D
öèêëàìè, ñîêðàùàÿ ïðè
ýòîì ïðîäîëæèòåëüíîñòü
áóìà è äåïðåññèè.
Åñëè æå ñèñòåìà
èìååò ïðåäåëüíûå öèê-
ëû, îòëè÷íûå îò �� ,
ëèáî îíè ïîÿâëÿþòñÿ
ïðè óâåëè÷åíèè �, òî
ñðåäè íèõ ñóùåñòâóþò è
óñòîé÷èâûå ïðåäåëüíûå
öèêëû.  ýòîì ñëó÷àå
âûõîä ñèñòåìû íà îäèí
èç íèõ çàâèñèò îò íà-
÷àëüíûõ óñëîâèé. Çäåñü
òàêæå íàáëþäàåòñÿ àíà-
ëîãèÿ ñ ñèñòåìîé, èìåþ-
ùåé çàìêíóòûé
ìîíîïñîíè÷åñêèé ðûíîê
òðóäà [4].
Ïðåäïîëîæèì òåïåðü,
÷òî ôàçîâûå òî÷êè ñèñòå-
ìû (7)–(9), ðàñïîëîæåííûå
íà âûøåóïîìÿíóòîé ñåïà-
ðàòðèñå, íå ïðèíàäëåæàò
îáëàñòÿì âëèÿíèÿ íà÷àëà
êîîðäèíàò è òî÷êè O2 . Ôà-
çîâûé ïîðòðåò òàêîé ñèñ-
òåìû ïðè � � 0 ñõåìàòè-
÷åñêè ïîêàçàí íà ðèñ. 5. Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ñåïàðàòðèñû, âûõîäÿùåé èç O1 è ïðîõîäÿ-
ùåé ÷åðåç D
, ñ ëèíèåé ïåðåêëþ÷åíèÿ �H îáîçíà÷åíà P ( )0 .
Àíàëîãè÷íóþ òî÷êó, ïîëó÷åííóþ ïðè � � 0, îáîçíà÷èì P ( )� . Êàê óæå îòìå-
÷àëîñü ðàíåå, ïðè óâåëè÷åíèè � òî÷êà O1 ñäâèãàåòñÿ âëåâî, à òî÷êà O2 — âïðàâî
âäîëü îñè 0L, ïðèòÿæåíèå òî÷êè O2 è ïðèòÿæåíèå ïî âòîðîé êîîðäèíàòå òî÷êè O1
óñèëèâàþòñÿ. Êàê ñëåäñòâèå, òî÷êà P ( )� ïîäíèìàåòñÿ ïî êðèâîé �H , âñëåäñòâèå
ýòîãî ñóùåñòâóåò òàêîå �* , ÷òî ïðè � �� * âîçíèêàåò ãîìîêëèíè÷åñêàÿ ïåòëÿ � * .
Êàê óæå îòìå÷àëîñü, óñòîé÷èâîñòü ãîìîêëèíè÷åñêîé ïåòëè áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ
çíàêîì tr ( ) ( ) /A W1
1 22 1� � � ïðè � �� * . Ïîñêîëüêó âåëè÷èíà �* (çàâèñÿùàÿ
îò a è �), êàê ïðàâèëî, äîñòàòî÷íî ìàëà, ñ íåêîòîðîé äîëåé îãðóáëåíèÿ ìîæíî
ñ÷èòàòü, ÷òî ãîìîêëèíè÷åñêàÿ ïåòëÿ íåóñòîé÷èâà, åñëè 2 11 2W� / � , è óñòîé÷èâà,
åñëè 2 11 2W� / � (ðèñ. 6).
Ðàññìîòðèì ïîäðîáíî ñëó÷àé, êîãäà ïåòëÿ íåóñòîé÷èâàÿ. Åñëè � �� * , íî âå-
ëè÷èíà � � * äîñòàòî÷íî ìàëà, â îêðåñòíîñòè � * ñóùåñòâóåò ñåìåéñòâî óñòîé-
÷èâûõ ïðåäåëüíûõ öèêëîâ �� . Åñëè O2 — íåóñòîé÷èâûé ôîêóñ, òî äèíàìèêà
ñèñòåìû ïîäîáíà ðàññìîòðåííîé ðàíåå. Åñëè O2 — óñòîé÷èâûé ôîêóñ, òî âíóòðè
�� èìååòñÿ ïî êðàéíåé ìåðå îäèí íåóñòîé÷èâûé öèêë. Ýòîò öèêë ðàñøèðÿåòñÿ
ïðè âîçðàñòàíèè �, â òî âðåìÿ êàê �� ñæèìàåòñÿ. Ïîýòîìó óêàçàííûå öèêëû ñî-
ëüþòñÿ ïðè íåêîòîðîì çíà÷åíèè �, â ðåçóëüòàòå âîçíèêíåò ïîëóóñòîé÷èâûé öèêë,
êîòîðûé èñ÷åçíåò ïðè äàëüíåéøåì óâåëè÷åíèè áèôóðêàöèîííîãî ïàðàìåòðà è ñèñ-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4 61
Ðèñ. 5. Ôàçîâûé ïîðòðåò â ñëó÷àå, êîãäà åïàðàòðèñà íå
ïðèíàäëåæèò îáëàñòè ïðèòÿæåíèÿ òî÷åê O1 è O2 ïðè � � 0, ãäå
� � � — ôàçîâûå òðàåêòîðèè, ��� — ñåïàðàòðèñû òî÷êè O1.
V
L
D
D
D
D
D
D
O1
H1
O2
H 2
0
P ( )0
D
~
H1
~
H 2
�H
òåìà áóäåò èìåòü óñòîé÷è-
âûé ôîêóñ ñ îáøèðíîé îá-
ëàñòüþ ïðèòÿæåíèÿ è ñåä-
ëîâóþ òî÷êó. Àíàëîãè÷íûå
ýôôåêòû îòìå÷àëèñü è äëÿ
ìîäåëè, ïðèâåäåííîé â [4].
Çàâåðøèì áèôóðêàöè-
îííûé àíàëèç ñëó÷àåì,
êîãäà ïðè � � 0 òî÷êè ñåïà-
ðàòðèñû, âûõîäÿùåé èç O1,
ïðèíàäëåæàò îáëàñòè âëèÿ-
íèÿ óñòîé÷èâîãî ôîêóñà
O2 . Ïðè óâåëè÷åíèè � òî÷-
êà O1 ñäâèãàåòñÿ âëåâî, à
O2 — âïðàâî, åå îáëàñòü
âëèÿíèÿ óâåëè÷èâàåòñÿ.
Ôàçîâûå òðàåêòîðèè, çà-
âåðøàþùèåñÿ â O2 , áóäóò
èìåòü ôîðìó ñæèìàþùèõ-
ñÿ ñïèðàëåé. Ðîñò � íå ïðè-
âåäåò ê êà÷åñòâåííûì èç-
ìåíåíèÿì ôàçîâîãî ïî-
ðòðåòà ñèñòåìû. Ïðè ýòîì
èìåþùèåñÿ òðóäîâûå ðå-
ñóðñû L è âåëè÷èíà ðàâíî-
âåñíîãî ñïðîñà V áóäóò èç-
ìåíÿòüñÿ âçàèìíî ïðîïîð-
öèîíàëüíî. Óâåëè÷åíèå
ìèíèìàëüíîé îïëàòû òðó-
äà ïîçâîëèò ïðèâëå÷ü äîïîëíèòåëüíûå òðóäîâûå ðåñóðñû, èíòåíñèôèöèðîâàâ
èììèãðàöèþ, íî ñëàáî ïîâëèÿåò íà ñðåäíèå äîõîäû ëèö, ðàáîòàþùèõ ïî íàéìó.
Çàìåòèì òàêæå, ÷òî óâåëè÷åíèå àìïëèòóäû ýêîíîìè÷åñêèõ öèêëîâ, õàðàê-
òåðíîå äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà O2 áóäåò íåóñòîé÷èâûì ôîêóñîì, ìîæåò ïðèâåñòè ê ïå-
ðåõîäó îò öèêëè÷åñêîãî ðàçâèòèÿ ê äîëãîâðåìåííîìó ýêîíîìè÷åñêîìó ñïàäó,
åñëè ôàçîâàÿ òî÷êà ïåðåñå÷åò âåðòèêàëüíóþ ïðÿìóþ L W� � �1 2 1 2/ /( ) . Äàí-
íûé ñöåíàðèé íàáëþäàëñÿ ïðè ïðîâåäåíèè ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ.
Òàêèì îáðàçîì, äèíàìèêà ñèñòåìû ñ îòêðûòûì ìîíîïñîíè÷åñêèì ðûíêîì
òðóäà âî ìíîãîì àíàëîãè÷íà äèíàìèêå ñ çàìêíóòûì ðûíêîì, èññëåäîâàííîé â
[4]. Çäåñü òàêæå ìîãóò âîçíèêàòü óñòîé÷èâûå è íåóñòîé÷èâûå ïðåäåëüíûå öèêëû,
à òàêæå òðàåêòîðèè, èìåþùèå ôîðìó ñæèìàþùèõñÿ è ðàñêðó÷èâàþùèõñÿ ñïèðà-
ëåé.  îáîèõ èññëåäîâàííûõ ñëó÷àÿõ ýêîíîìè÷åñêèå öèêëû ïîäîáíû êëàññè÷åñ-
êîìó áèçíåñ-öèêëó ñî ñòàäèÿìè ðîñòà, áóìà, ñïàäà, äåïðåññèè è îæèâëåíèÿ ýêî-
íîìèêè.  îòëè÷èå îò ñèñòåìû ñ çàìêíóòûì ðûíêîì ïåðåõîä îò áóìà ê ñïàäó è
îò äåïðåññèè ê îæèâëåíèþ ýêîíîìèêè äëÿ îòêðûòîãî ðûíêà ìîæåò ïðîèñõîäèòü
áåç ñóùåñòâåííîãî èçìåíåíèÿ öåí. Îáåñöåíèâàíèå ðàáî÷åé ñèëû âñëåäñòâèå èí-
òåíñèâíîé èììèãðàöèè âî âðåìÿ áóìà è ïîâûøåíèå îïëàòû òðóäà èç-çà ñîêðàùå-
íèÿ òðóäîâûõ ðåñóðñîâ íà çàêëþ÷èòåëüíîé ñòàäèè äåïðåññèè èãðàþò òó æå ðîëü,
÷òî è èíôëÿöèîííîå îáåñöåíèâàíèå ñáåðåæåíèé è äåôëÿöèîííûé ðîñò àêòèâîâ
â ñèñòåìå ñ çàìêíóòûì ðûíêîì òðóäà.
62 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4
Ðèñ. 6. Ôîðìèðîâàíèå íåóñòîé÷èâîé ãîìîêëèíè÷åñêîé
êðèâîé ïðè � �� *, ãäå � � � — ôàçîâûå òðàåêòîðèè,
��� — ñåïàðàòðèñû òî÷êè O1 è ñêîëüçÿùåå äâèæåíèå,
��� — ãîìîêëèíè÷åñêîé êðèâàÿ
L
V
D
D
D
D
D
D
O1 O2
H 2
0
P ( )�
�*
D
~
H 3
B
~
H1
~
H 2
�H
Îñîáåííîñòü ñèñòåìû ñ îòêðûòûì ðûíêîì òðóäà — ýòî âîçìîæíîñòü âîç-
íèêíîâåíèÿ â íåé êàòàñòðîôè÷åñêîãî ñïàäà, ñîïðîâîæäàåìîãî ïîòåðåé òðóäîâûõ
ðåñóðñîâ âñëåäñòâèå ýìèãðàöèè. Ïåðåõîä îò öèêëè÷åñêîãî ðàçâèòèÿ ê ýòîìó ñöå-
íàðèþ âîçìîæåí ïðè óâåëè÷åíèè àìïëèòóäû öèêëîâ. Ðîñò ìèíèìàëüíîé çàðàáîò-
íîé ïëàòû, êàê ïðàâèëî, ÿâëÿåòñÿ ñòàáèëèçèðóþùèì ôàêòîðîì, ïðåïÿòñòâóþùèì
òàêîìó ðàçâèòèþ ñîáûòèé.
3. ÍÅÊÎÒÎÐÛÅ ÀÑÏÅÊÒÛ ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈß ÈÑÑËÅÄÓÅÌÎÉ
ÝÊÎÍÎÌÈ×ÅÑÊÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ Ñ ÂÍÅØÍÈÌ ÐÛÍÊÎÌ ÒÐÓÄÀ
Ïðè ðàññìîòðåíèè ìîäåëè, èññëåäîâàííîé â ïðåäûäóùèõ ðàçäåëàõ, áûë ñäåëàí
ðÿä ïðåäïîëîæåíèé, íå âñåãäà àäåêâàòíûõ ðåàëüíîé ýêîíîìè÷åñêîé ñèòóàöèè.
Ïðåäïîëàãàëîñü, â ÷àñòíîñòè, ÷òî êîëè÷åñòâî ëèö, ïîòåíöèàëüíî çàíÿòûõ ïî íàé-
ìó (çíà÷åíèå ïåðåìåííîé L) ìîæåò óìåíüøàòüñÿ äî íóëÿ âñëåäñòâèå òðóäîâîé
ýìèãðàöèè ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì ðàçðûâå â îïëàòå òðóäà íà âíåøíåì è âíóò-
ðåííåì ðûíêàõ. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ñóùåñòâóþò êàòåãîðèè ëèö, êîòîðûå ìåíåå
äðóãèõ ñêëîííû ê ìèãðàöèè ïðè ëþáîé âåëè÷èíå òàêîãî ðàçðûâà. Ê íèì îòíîñÿò-
ñÿ ðàáîòíèêè ïðåäïåíñèîííîãî âîçðàñòà, êîòîðûå èìåþò ïîíèæåííóþ ìîòèâàöèþ
ê ïåðåõîäó íà íîâîå ìåñòî; ëèöà ñ çàíèæåííîé îöåíêîé ñâîèõ âîçìîæíîñòåé è òå,
êòî ñ÷èòàåò, ÷òî èõ îãðàíè÷åííûå ñïîñîáíîñòè (íåçíàíèå ÿçûêà, íåâîçìîæíîñòü
ïðèñïîñîáèòüñÿ ê íîâûì óñëîâèÿì æèçíè è äð.) áóäóò ïðåïÿòñòâîâàòü äîñòèæåíèþ
óñïåõà íà íîâîì ìåñòå; ëèöà, èìåþùèå îáÿçàòåëüñòâà, çàòðóäíÿþùèå ýìèãðàöèþ, è
ò.ä. [10]. Ïîýòîìó âïîëíå ëîãè÷íî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî âåëè÷èíà L íå ìîæåò
áûòü ìåíüøå, ÷åì íåêîòîðîå Lmin � 0, è ôàçîâûì ïðîñòðàíñòâîì ñèñòåìû
(7)–(9) áóäåò ìíîæåñòâî E V L V V L L L( )
max min max( , ) : ,1 0� � � � �{ }.
 ðàññìîòðåííîé ðàíåå ìîäåëè íåÿâíî (÷åðåç âåëè÷èíó Lmax) ïðåäïîëàãà-
ëàñü îãðàíè÷åííîñòü ñâåðõó ìèãðàöèîííûõ ïîòîêîâ, îáóñëîâëåííàÿ êîíå÷íîñòüþ
ðåñóðñîâ âíåøíåãî ðûíêà. Èññëåäóÿ ìîäåëü, ìû ðàññìàòðèâàëè ñëó÷àé, êîãäà
Lmax íàñòîëüêî âåëèêî, ÷òî âñå îñîáûå òî÷êè óðàâíåíèé, îáðàçóþùèõ ìîäåëü,
ïðèíàäëåæàò åå ôàçîâîìó ïðîñòðàíñòâó. Ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ ðàññìîòðåíèå
ñëó÷àÿ, êîãäà ýòè ïðåäïîëîæåíèÿ íå âûïîëíÿþòñÿ.
Èññëåäóÿ ñèñòåìó (7)–(9), ìû ïîëàãàëè âåëè÷èíó W ïîñòîÿííîé. Ïðåäñòàâ-
ëÿåò èíòåðåñ ðàññìîòðåíèå äàííîé âåëè÷èíû êàê ïàðàìåòðà, èçìåíÿþùåãîñÿ ïî-
äîáíî ïàðàìåòðó � (ñì. ðàçä. 2). Èññëåäóåì èçìåíåíèå ïîâåäåíèÿ ìîäåëèðóåìîãî
ïðîöåññà äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ.
Âíà÷àëå îöåíèì âëèÿíèå èçìåíåíèé W íà ïîâåäåíèå ñèñòåìû (7)–(9) è âëèÿ-
íèå äèíàìèêè ñèñòåìû íà âîçìîæíûå èçìåíåíèÿ W ïðè ðàçëè÷íûõ ôîðìàõ îðãà-
íèçàöèè âíåøíåãî ðûíêà òðóäà. Çàìåòèì, ÷òî óâåëè÷åíèå W ñäâèãàåò ñòàöèîíàð-
íóþ òî÷êó O1 ñèñòåìû (7)–(9) âïðàâî, à ñòàöèîíàðíóþ òî÷êó O2 — âëåâî, ò.å. ïîñëå-
äñòâèÿ òàêîãî óâåëè÷åíèÿ áóäóò ïðîòèâîïîëîæíû ïîñëåäñòâèÿì óâåëè÷åíèÿ
ïàðàìåòðà �. Ïðè ýòîì âåëè÷èíà tr ( )A2 áóäåò óáûâàòü ñ óâåëè÷åíèåì W , åñëè � äîñ-
òàòî÷íî ìàëî. Êàê ñëåäñòâèå, òî÷êà O2 , êîòîðàÿ áûëà íåóñòîé÷èâûì ôîêóñîì ïðè
ìàëûõ çíà÷åíèÿõ W , ïðåâðàòèòñÿ â óñòîé÷èâûé ôîêóñ ñèñòåìû ïðè âîçðàñòàíèè ýòî-
ãî ïàðàìåòðà. Îáëàñòü { }L L W: ( )/ /0 1 2 1 2� � � � , íà êîòîðîé ïðîèñõîäèò äëè-
òåëüíûé ñïàä, çàâåðøàþùèéñÿ êîëëàïñîì ýêîíîìèêè, óâåëè÷èòñÿ. Òàêèì îáðàçîì,
óâåëè÷åíèå îïëàòû òðóäà íà âíåøíèõ ðûíêàõ èçìåíèò õàðàêòåð öèêëè÷åñêèõ ïðî-
öåññîâ, êîòîðûå ïðèìóò ôîðìó ñæèìàþùèõñÿ ñïèðàëåé, çàâåðøàþùèõñÿ â ñòàöèî-
íàðíîé òî÷êå O2 , åñëè òðóäîâûå ðåñóðñû L ñèñòåìû äîñòàòî÷íî âåëèêè, è ïðèâåäåò
ê íåîáðàòèìîìó ñïàäó ïðîèçâîäñòâà, ñîïðîâîæäàþùåìóñÿ óñèëåíèåì òðóäîâîé
ýìèãðàöèè, åñëè ýòè ðåñóðñû ìàëû. Óìåíüøåíèå îïëàòû òðóäà íà âíåøíèõ ðûíêàõ
áóäåò îêàçûâàòü âîçäåéñòâèå, ïðîòèâîïîëîæíîå îïèñàííîìó.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4 63
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî â îòëè÷èå îò çàìêíóòîãî ìîíîïñîíè÷åñêîãî ðûíêà,
ãäå, êàê ïðàâèëî, îïëàòà òðóäà íèæå, ÷åì íà êîíêóðåíòíîì ðûíêå, íàõîäÿùåìñÿ â
àíàëîãè÷íîé ñèòóàöèè [11], óðîâåíü çàðàáîòíîé ïëàòû íà îòêðûòîì ðûíêå â
óñëîâèÿõ äîëãîâðåìåííîãî ðîñòà (èëè íà ñòàäèè ðîñòà ïðè öèêëè÷åñêîì ðàçâè-
òèè ýêîíîìèêè) ïðåâûøàåò óðîâåíü îïëàòû òðóäà âíåøíåãî ðûíêà. Åñëè ïîñëåä-
íèé áóäåò êîíêóðåíòíûì, à ìèãðàöèîííûå ïîòîêè áóäóò ñðàâíèòåëüíî íåâåëèêè,
ïðåäëîæåíèå ðàáî÷åé ñèëû íà íåì íå ïðåòåðïèò ñóùåñòâåííûõ èçìåíåíèé è âå-
ëè÷èíà W îñòàíåòñÿ ïîñòîÿííîé. Ïðè òàêèõ óñëîâèÿõ íà ïðîòÿæåíèè äëèòåëüíî-
ãî âðåìåíè âåëè÷èíà çàðàáîòíîé ïëàòû íà âíóòðåííåì ðûíêå òðóäà áóäåò áîëü-
øåé, ÷åì íà âíåøíåì. Ýòèì, â ÷àñòíîñòè, ìîæíî îáúÿñíèòü îòðèöàòåëüíóþ íîð-
ìó ìîíîïñîíè÷åñêîé ýêñïëóàòàöèè óíèâåðñèòåòñêîãî ïåðñîíàëà â òàêèõ
êðóïíåéøèõ èññëåäîâàòåëüñêèõ öåíòðàõ ÑØÀ, êàê «Óíèâåðñèòåòñêèé òðåóãîëü-
íèê» â Ñåâåðíîé Êàðîëèíå è «Áîñòîíñêàÿ àãëîìåðàöèÿ» â Ìàññà÷óñåòñå. Îðãàíè-
çàöèè, ðàñïîëîæåííûå â äàííûõ ðåãèîíàõ, íà÷èíàÿ ñ 60-õ ãîäîâ XX âåêà, ïðîâî-
äÿò ñîãëàñîâàííóþ ïîëèòèêó â ñôåðå çàíÿòîñòè è îïëàòû òðóäà [6], ïîýòîìó ñî-
îòâåòñòâóþùèå èì ñåãìåíòû ðûíêà òðóäà áëèçêè ê îòêðûòîìó
ìîíîïñîíè÷åñêîìó ðûíêó. Òåì íå ìåíåå, îïëàòà òðóäà íà äàííûõ ñåãìåíòàõ íà
10–15% ïðåâîñõîäèò àíàëîãè÷íûå ïîêàçàòåëè â áëèçëåæàùèõ ðåãèîíàõ,
îñîáåííî äëÿ ëèö, ìåíÿþùèõ ìåñòî ðàáîòû [12].
Ïîñòîÿííûé ïðèòîê ðàáî÷åé ñèëû â óñëîâèÿõ ðàñòóùåãî ñïðîñà íà ïðîèçâî-
äèìóþ ïðîäóêöèþ ñëóæèò îñíîâíûì èñòî÷íèêîì äîõîäîâ ðàáîòîäàòåëÿ-ìîíîïî-
ëèñòà, óâåëè÷èâàþùåãî îáúåìû ïðîèçâîäñòâà. Ýòî ïîáóæäàåò åãî óñòàíàâëèâàòü
îïëàòó òðóäà íà áîëåå âûñîêîì óðîâíå, ÷åì åå ðàâíîâåñíîå çíà÷åíèå äëÿ
âíåøíåãî êîíêóðåíòíîãî ðûíêà.
Êîãäà îòòîê ðàáî÷åé ñèëû ñ âíåøíåãî êîíêóðåíòíîãî ðûíêà ñòàíîâèòñÿ çíà-
÷èòåëüíûì, óìåíüøàåòñÿ ïðåäëîæåíèå òðóäà íà íåì è óâåëè÷èâàåòñÿ çíà÷åíèå
W . Âñëåäñòâèå ýòîãî èçìåíÿåòñÿ ýêîíîìè÷åñêàÿ äèíàìèêà. Ïðè çíà÷èòåëüíîì
ñäâèãå âïðàâî ëèíèè H1 ðîñò èëè öèêëè÷åñêîå ðàçâèòèå ýêîíîìèêè ñìåíÿåòñÿ
äîëãîâðåìåííûì ñïàäîì. Ââèäó èçìåíåíèÿ òèïà ñòàöèîíàðíîé òî÷êè O2 è óâåëè-
÷åíèÿ îáëàñòè åå ïðèòÿæåíèÿ ôàçîâûå òðàåêòîðèè, èìåâøèå ðàíåå ôîðìó ìîíî-
òîííî âîçðàñòàþùèõ èëè çàìêíóòûõ êðèâûõ, ïðîõîäÿùèõ â îêðåñòíîñòè ïðåä-
åëüíîãî öèêëà íà íåêîòîðîì óäàëåíèè îò ýòîé òî÷êè, ïðèìóò ôîðìó
ñæèìàþùèõñÿ ñïèðàëåé, äâèæåíèå ïî êîòîðûì áûñòðî çàâåðøèòñÿ âáëèçè O2 .
Ñïàä â ìîäåëèðóåìîé ñèñòåìå ïîðîæäàåò îòòîê ðàáî÷åé ñèëû íà âíåøíèé
êîíêóðåíòíûé ðûíîê. Ïðè ýòîì ëèíèÿ H1 ñìåñòèòñÿ âëåâî, à óñòîé÷èâîñòü è îá-
ëàñòü ïðèòÿæåíèÿ òî÷êè O2 óìåíüøèòñÿ, ÷òî ìîæåò ñòàòü ôàêòîðîì îæèâëåíèÿ
ýêîíîìèêè è âîçîáíîâëåíèÿ ðîñòà. Òàêèì îáðàçîì, â ñèñòåìå ñ îòêðûòûì ìîíîï-
ñîíè÷åñêèì ðûíêîì òðóäà âîçìîæíî òàêæå âîçíèêíîâåíèå öèêëîâ, ïîðîæäåííûõ
åå âçàèìîäåéñòâèåì ñ âíåøíèì ðûíêîì. Ïîñëåäíèå òðåáóþò îòäåëüíîãî
èçó÷åíèÿ, â òîì ÷èñëå ñ èñïîëüçîâàíèåì ýêîíîìèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî
ìîäåëèðîâàíèÿ.
Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé, êîãäà âíåøíèé ðûíîê ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì ìî-
íîïñîíè÷åñêèì, ïðè ýòîì èìååò ìåñòî öèêëè÷åñêîå ðàçâèòèå. Òîãäà ïðè âçàèìî-
äåéñòâèè âíóòðåííåãî è âíåøíåãî ðûíêîâ áîëüøóþ ðîëü èãðàåò ñîâïàäåíèå èëè
íåñîâïàäåíèå íà íèõ ñòàäèé öèêëîâ. Ðûíîê, íàõîäÿùèéñÿ íà ñòàäèè ðîñòà, ïîëó-
÷àåò äîïîëíèòåëüíûé êðàòêîñðî÷íûé âûèãðûø îò ñïàäà íà âçàèìîäåéñòâóþùåì
ñ íèì ðûíêå, ïîñêîëüêó óñèëèâàþùèéñÿ ïðèòîê ðàáî÷åé ñèëû ïîçâîëÿåò îáåñïå-
÷èâàòü òå æå òåìïû ðîñòà ïðîèçâîäñòâà ïðè ìåíüøèõ òåìïàõ ðîñòà îïëàòû òðóäà.
 òî æå âðåìÿ ðîñò îïëàòû òðóäà íà âíåøíåì ðûíêå ìîæåò óãëóáèòü ñïàä íà
âíóòðåííåì è ïðèäàòü åìó íåîáðàòèìûé õàðàêòåð, åñëè ôàçîâàÿ òî÷êà îêàæåòñÿ
64 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4
ñëåâà îò ëèíèè H1. Ýòîãî
ìîæíî èçáåæàòü, óìåíüøèâ
òðóäîâóþ ýìèãðàöèþ. Òàêèì
îáðàçîì, â ñèñòåìå ñ îòêðû-
òûì ìîíîïñîíè÷åñêèì
ðûíêîì òðóäà öåëåñîîáðàçíî
ñ ò è ì ó ë è ð î â à í è å
ìèãðàöèîííûõ ïðîöåññîâ íà
ñòàäèè ðîñòà è èõ
îãðàíè÷åíèå âî âðåìÿ ñïàäà.
Ñîâïàäåíèå ñòàäèé ñïàäà
íà âíåøíåì è âíóòðåííåì
ðûíêàõ ìîæåò áûòü ôàêòîðîì
óñêîðåííîãî ïåðåõîäà ê ðîñ-
òó. Ñîâïàäåíèå ñòàäèé ðîñòà
âåäåò ê îáîñòðåíèþ êîíêó-
ðåíòíîé áîðüáû çà ðàáî÷óþ
ñèëó.
Ðàññìîòðèì òåïåðü îñî-
áåííîñòè äèíàìèêè ñèñòåìû ñ
ôàçîâûì ïðîñòðàíñòâîì E ( )1
ïðè Lmin � 0. Àíàëîãè÷íî
ðàññóæäåíèÿì, èçëîæåí-
íûì â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå,
áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ôà-
çîâàÿ òî÷êà, äîñòèãíóâ ãðàíè-
öû ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà,
ïðîäîëæèò ñâîå äâèæåíèå â ñêîëüçÿùåì ðåæèìå ïîä äåéñòâèåì âåêòîðíîãî ïîëÿ.
Ïóñòü L Wmin
/ /( )� � �1 2 1 2 è ëèíèÿ L L� min ïåðåñåêàåò îáëàñòè D è D
(ðèñ. 7). Òîãäà ôàçîâàÿ òî÷êà, âûéäÿ íà ãðàíèöó ìíîæåñòâà E ( )1 â îáëàñòè D
,
ïðîäîëæèò ñâîå äâèæåíèå â ñêîëüçÿùåì ðåæèìå ââåðõ, âäîëü ëèíèè L L� min .
Åñëè æå ôàçîâàÿ òî÷êà âûéäåò íà ãðàíèöó E ( )1 â îáëàñòè D , òî äàëüíåéøåå åå
äâèæåíèå â ñêîëüçÿùåì ðåæèìå áóäåò íàïðàâëåíî âíèç. Î÷åâèäíî, ÷òî â îáîèõ
ñëó÷àÿõ äâèæåíèå çàâåðøèòñÿ â îñîáîé òî÷êå ñèñòåìû ( , )min minV L — òî÷êå ïå-
ðåñå÷åíèÿ ëèíèé
~
H1 è L L� min . Ïðè ýòîì êîëëàïñ ýêîíîìèêè çàìåíÿåòñÿ ñòàãíà-
öèåé íà óðîâíå, îáóñëîâëåííîì ÷èñëåííîñòüþ ëèö, ðàáîòàþùèõ ïî íàéìó è íå
ñêëîííûõ ê òðóäîâûì ìèãðàöèÿì. Ïðè óâåëè÷åíèè ýòîé ÷èñëåííîñòè óðîâåíü
ïðîèçâîäñòâà Vmin , íà êîòîðîì ïðåêðàùàåòñÿ ñïàä, áóäåò âûøå, îäíàêî ðîñò ïðî-
èçâîäñòâà ïðè ýòîì íå âîçîáíîâèòñÿ. Òî÷êà ( , )min minV L áóäåò òî÷êîé óñòîé÷èâîãî
ðàâíîâåñèÿ ìîäåëèðóåìîé ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû: ïðè ìàëîì óâåëè÷åíèè çíà÷å-
íèé V è (èëè) L âîçîáíîâèâøååñÿ äâèæåíèå çàâåðøàåòñÿ â ýòîé æå òî÷êå.
Ðàññìîòðèì òåïåðü, êàê ïîâëèÿåò íà ôàçîâûå òðàåêòîðèè ïðîõîæäåíèå ëè-
íèè L L� max ñëåâà îò òî÷êè O2 .  ýòîì ñëó÷àå ïîñëå ïåðåñå÷åíèÿ ôàçîâîé òî÷-
êîé ïðÿìîé L L� max åå äâèæåíèå ïðîäîëæèòñÿ âäîëü ýòîé ïðÿìîé â ñêîëüçÿùåì
ðåæèìå. Çàìåòèì, ÷òî òî÷êà òàêîãî ïåðåñå÷åíèÿ ìîæåò ïðèíàäëåæàòü ëèáî îá-
ëàñòè D
, ëèáî D
(ñì. ðèñ. 7).  ïåðâîì ñëó÷àå ñêîëüçÿùåå äâèæåíèå ñîïðî-
âîæäàåòñÿ óìåíüøåíèåì âåëè÷èíû ñïðîñà V íà òîâàðû, ïðîèçâîäèìûå ðàáîòîäà-
òåëåì, âî âòîðîì ñëó÷àå äàííàÿ âåëè÷èíà óâåëè÷èâàåòñÿ.  îáîèõ ñëó÷àÿõ ñêîëü-
çÿùåå äâèæåíèå çàâåðøàåòñÿ â òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ ëèíèé
~
H1 è L L� max . Äàííàÿ
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4 65
Ðèñ. 7. Ôàçîâûå òðàåêòîðèè ïðè âçàèìîäåéñòâèè
âíóòðåííåãî è âíåøíåãî ðûíêîâ, ãäå � � � — ôàçîâûå
òðàåêòîðèè, ��� — ñêîëüçÿùåå äâèæåíèå, � � —
íîâîå ïîëîæåíèå H1 è H2 ïîñëå óâåëè÷åíèÿ W
L
V
D
D
Vmin
D
D
D
O1
O2
H 2
0
~
H 3
B
D
O1
Lmin
Lmax
H1
D
~
H1
~
H 2
�H
O2
òî÷êà, íå ÿâëÿþùàÿñÿ ñòàöèîíàðíîé òî÷êîé ñèñòåìû (7)–(9), áóäåò ñîñòîÿíèåì
óñòîé÷èâîãî ýêîíîìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ. Ìàëûå èçìåíåíèÿ âåëè÷èí V è L (ïî-
ñëåäíåé âåëè÷èíû, ïðè íåèçìåííîì Lmax , òîëüêî â íàïðàâëåíèè óáûâàíèÿ) íå
âûâåäóò ôàçîâóþ òî÷êó çà ïðåäåëû îáëàñòåé D
è D
, ïîýòîìó âîçîáíîâèâ-
øååñÿ äâèæåíèå çàâåðøèòñÿ â òîé æå òî÷êå ðàâíîâåñèÿ. Íàëè÷èå îãðàíè÷åíèÿ
ñâåðõó íà âåëè÷èíó L íå ïîâëèÿåò íà ôàçîâûå òðàåêòîðèè, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç
îáëàñòè D è D
ñëåâà îò ïðÿìîé L L� max , ïîñêîëüêó äâèæåíèå ôàçîâîé
òî÷êè â óêàçàííûõ îáëàñòÿõ ñîïðîâîæäàåòñÿ óìåíüøåíèåì L.
Òàêèì îáðàçîì, ïðè îãðàíè÷åííîñòè ñâåðõó ìèãðàöèîííûõ ïîòîêîâ âîçìîæ-
íû ëèáî ñòàáèëèçàöèÿ ýêîíîìèêè â òî÷êå óñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ, äëÿ êîòîðîãî
âñå äîñòóïíûå òðóäîâûå ðåñóðñû áóäóò ïðèâëå÷åíû íà âíóòðåííèé ðûíîê òðóäà,
ëèáî ïðîäîëæèòåëüíûé ñïàä. Ïîñëåäíèé ìîæåò çàâåðøèòüñÿ ëèáî ñòàãíàöèåé
(ïðè íàëè÷èè íåìèãðèðóþùåé ÷àñòè ðàáîòîñïîñîáíîãî íàñåëåíèÿ), ëèáî
êîëëàïñîì (â ñëó÷àå åå îòñóòñòâèÿ).
Òåîðåòè÷åñêèé àíàëèç áûë äîïîëíåí ÷èñëåííûìè ýêñïåðèìåíòàìè, âûïîë-
íåííûìè ñòóäåíòîì Òàâðè÷åñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà Â. Áàðèíîâûì.
Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå èç ýòèõ ýêñïåðèìåíòîâ.
4. ÐÅÇÓËÜÒÀÒÛ ×ÈÑËÅÍÍÛÕ ÝÊÑÏÅÐÈÌÅÍÒÎÂ
Ýêñïåðèìåíòû çàêëþ÷àëèñü â ðåøåíèè ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
(7)–(9) ÷èñëåííûìè ìåòîäàìè äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé åå ïàðàìåòðîâ è íà-
÷àëüíûõ ïðèáëèæåíèé. Öåëü ýêñïåðèìåíòîâ, êðîìå èëëþñòðàöèè ðåçóëüòàòîâ
òåîðåòè÷åñêîãî àíàëèçà âûøåóïîìÿíóòîé ñèñòåìû, — èññëåäîâàíèå òåõ îñî-
áåííîñòåé äèíàìèêè ìîäåëèðóåìûõ ýêîíîìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ, êîòîðûå íå
áûëè âûÿâëåíû ïðè òåîðåòè÷åñêîì àíàëèçå. Ïîñêîëüêó êîíúþíêòóðà îòêðûòî-
ãî ðûíêà òðóäà ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò ïåðâîíà÷àëüíîé âåëè÷èíû òðóäîâûõ
ðåñóðñîâ, ðàñ÷åòû âûïîëíÿëèñü äëÿ ñåðèè íà÷àëüíûõ ïðèáëèæåíèé, îòëè÷àþ-
ùèõñÿ ëèøü çíà÷åíèÿìè L ( )0 . Ê ñîæàëåíèþ, îãðàíè÷åííûé îáúåì ðàáîòû íå
ïîçâîëÿåò ïðèâåñòè ðåçóëüòàòû âñåõ òàêèõ ðàñ÷åòîâ, ïîýòîìó îñòàíîâèìñÿ íà
íàèáîëåå òèïè÷íûõ èç íèõ. Äðóãèå ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû íå ïðîòèâîðå÷àò
ïðèâåäåííûì íèæå äàííûì.
Íà ðèñ. 8 ãðàôè÷åñêè ïîêàçàíû òðàåêòîðèè íà ïëîñêîñòè V L0 , ïîëó÷åííûå
êàê ðåøåíèÿ ñèñòåìû (7)–(9) ïðè çíà÷åíèÿõ åå ïàðàìåòðîâ
a W� � �4 5 0 5 019, ; , ; ,� è ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ � äëÿ äåñÿòè íà÷àëüíûõ ïðèáëè-
æåíèé. Ïðè ýòîì V ( )0 5� , à âåëè÷èíà L ( )0 ïîñëåäîâàòåëüíî ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ
1,6; 1,7; 1,8; 2,5; 3,0; 4,0; 4,5; 5,0; 5,3; 5,5.
Ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ ñèñòåìû äëÿ ýòèõ íà÷àëüíûõ ïðèáëèæåíèé ïðè � � 0
ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 8,à. Çàìåòèì, ÷òî âñå íà÷àëüíûå ïðèáëèæåíèÿ, êðîìå òî÷êè
V ( )0 5� , L ( ) ,0 16� , íàõîäÿòñÿ ñïðàâà îò âîîáðàæàåìîé ëèíèè
L W� � � �1 2 1 2 1622/ /( ) , (âñå âû÷èñëåíèÿ, ðåçóëüòàòû êîòîðûõ ïðèâåäåíû äà-
ëåå, âûïîëíåíû ñ òî÷íîñòüþ äî òðåòüåãî çíàêà ïîñëå äåñÿòè÷íîé òî÷êè). Ñîîòâå-
òñòâóþùèå èì ôàçîâûå òðàåêòîðèè íà÷èíàþòñÿ íà ìíîæåñòâàõ D
, D
è
D . Ñòàöèîíàðíàÿ òî÷êà O2 ñèñòåìû áóäåò íåóñòîé÷èâûì ôîêóñîì, ïîñêîëüêó
tr ( ) ,A2 0 686 0� � . Êàê ñëåäñòâèå, äàæå òå ôàçîâûå òðàåêòîðèè, êîòîðûå ïðîõîäÿò
îòíîñèòåëüíî áëèçêî îò O2 , íå ïðèòÿãèâàþòñÿ ýòîé òî÷êîé è öèêëè÷íîñòè â ìî-
äåëèðóåìîé ñèñòåìå íå íàáëþäàåòñÿ. Çàâåðøåíèþ âñåõ ôàçîâûõ òðàåêòîðèé
ñîîòâåòñòâóåò êîëëàïñ ýêîíîìèêè, êîãäà ëèáî V � 0, ëèáî L � 0.
Ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ àíàëîãè÷íîé ñèñòåìû ïðè � � 01, ïðèâåäåíû íà ðèñ. 8,á.
Çàìåòèì, ÷òî âñå íà÷àëüíûå ïðèáëèæåíèÿ íàõîäÿòñÿ òåïåðü ñïðàâà îò ëèíèè
66 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4
L W� � � �1 2 1 2 1 451/ /( ) , . Íåóñòîé÷èâîñòü ñòàöèîíàðíîé òî÷êè O2 ñîõðàíÿåòñÿ,
ïîñêîëüêó tr ( ) ,A2 0 375� . Ïðè çíà÷åíèÿõ �, áëèçêèõ ê 01, , âîçíèêíåò ãîìîêëèíè-
÷åñêàÿ ïåòëÿ, êîòîðàÿ áóäåò óñòîé÷èâîé, ïîñêîëüêó ñåäëîâîé âåëè÷èíîé òî÷êè
O1 ÿâëÿåòñÿ S W1
1 2 1 22 1� �� �/ /( ) �0 499 0, . Ñàì ïðîöåññ åå âîçíèêíîâåíèÿ
êðàéíå íåóñòîé÷èâ, ïîýòîìó îòñëåäèòü åãî âî âðåìÿ ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ,
êàê ïðàâèëî, íå óäàåòñÿ. Îäíàêî íà ðèñ. 8,á îò÷åòëèâî âèäíî âîçíèêíîâåíèå
ïðåäåëüíîãî öèêëà, áëèçêîãî ê ãîìîêëèíè÷åñêîé ïåòëå.
Èçìåíåíèå ðåøåíèé ñèñòåìû ïðè äàëüíåéøåì óâåëè÷åíèè � ïîêàçàíî íà
ðèñ. 8,â,ã. Êàê âèäíî, ïðè � � 0 2, èìååòñÿ óñòîé÷èâûé ïðåäåëüíûé öèêë, ñæèìàþ-
ùèéñÿ ïðè ðîñòå � â òî÷êó O2 . Ïîñëåäíÿÿ ïðè ýòîì ïðèîáðåòàåò óñòîé÷èâîñòü, è
ôàçîâûå òðàåêòîðèè èìåþò âèä áûñòðî ñæèìàþùèõñÿ ñïèðàëåé (ðèñ. 8,ã). Òàêèì
îáðàçîì, ìîäåëèðóåìûé ïðîöåññ ïåðåõîäèò (ñ òî÷íîñòüþ äî âû÷èñëèòåëüíûõ
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4 67
Ðèñ. 8. Òðàåêòîðèè äëÿ ïåðâîé ñåðèè íà÷àëüíûõ ïðèáëèæåíèé: çíà÷åíèÿ � � 0 (à);
� � 0 1, (á); � � 0 2, (â); � � 0 4, (ã)
a
á
â
ã
ïîãðåøíîñòåé ïðè ìîäåëüíûõ ðàñ÷åòàõ) â ñîñòîÿíèå ðàâíîâåñèÿ, ïðîéäÿ íåñêîëüêî
ïîñëåäîâàòåëüíûõ ñòàäèé îäíîãî ýêîíîìè÷åñêîãî öèêëà, íî íå çàâåðøèâ ýòîò öèêë.
Çàìåòèì, ÷òî äèíàìèêà òàêîãî òèïà òàêæå íàáëþäàëàñü äëÿ ðàññìîòðåííûõ â [4] ìî-
äåëåé ýêîíîìè÷åñêèõ ñèñòåì ñ çàìêíóòûì ìîíîïñîíè÷åñêèì ðûíêîì òðóäà.
Íà ðèñ. 9 ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû ñëåäóþùåé ñåðèè ÷èñëåííûõ ýêñïåðè-
ìåíòîâ, âûïîëíåííûõ äëÿ ñèñòåìû (7)–(10) ñ ïàðàìåòðàìè a W� � �4 0 9 0 5; , ; ,�
è äëÿ íà÷àëüíûõ ïðèáëèæåíèé: V ( )0 2� , L ( )0 ïîñëåäîâàòåëüíî ïðèíèìàåò çíà÷å-
íèÿ 1,0; 1,2; 1,35; 1,4; 1,5; 1,9; 2,1; 2,3; 2,5.
Íà ðèñ. 9,à ïîêàçàíû ôàçîâûå òðàåêòîðèè ïðè � � 0. Íà÷àëüíûå òî÷êè ( ; )2 1 è
( ; , )2 1 2 íàõîäÿòñÿ ñëåâà îò âåðòèêàëüíîé ïðÿìîé L � � � �1 2 1 2 1342/ /( ) ,W , ïîý-
òîìó ôàçîâûå òðàåêòîðèè, íà÷èíàþùèåñÿ â ýòèõ òî÷êàõ, íå âûõîäÿò çà ïðåäåëû ìíî-
æåñòâà D è çàâåðøàþòñÿ êîëëàïñîì ïðè L � 0. Äëÿ äðóãèõ íà÷àëüíûõ ïðèáëèæåíèé
68 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4
Ðèñ. 9. Òðàåêòîðèè äëÿ âòîâîé ñåðèè íà÷àëüíûõ ïðèáëèæåíèé: çíà÷åíèÿ � � 0 (à);
� � 0 1, (á); � � 0 3, (â); � � 0 6, (ã)
a
á
â
ã
íàáëþäàåòñÿ öèêëè÷åñêàÿ äèíàìèêà. Ïîñêîëüêó òî÷êà O2 ÿâëÿåòñÿ íåóñòîé÷èâûì ôî-
êóñîì, ýòè òðàåêòîðèè ïðèîáðåòàþò âèä ðàñêðó÷èâàþùèõñÿ ñïèðàëåé. Èì ñîîòâåòñòâó-
þò ýêîíîìè÷åñêèå öèêëû ñ óâåëè÷èâàþùåéñÿ àìïëèòóäîé, íî áåç òåíäåíöèé ê äîëãîâ-
ðåìåííîìó ðîñòó. Ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîé àìïëèòóäå öèêëà ôàçîâàÿ òî÷êà ïåðåñåêàåò
âûøåóïîìÿíóòóþ âåðòèêàëüíóþ ïðÿìóþ è öèêëè÷åñêîå ðàçâèòèå ñìåíÿåòñÿ äîëãîâðå-
ìåííûì ñïàäîì, çàâåðøàþùèìñÿ ïðè L � 0. Òî÷êà O2 ïðèîáðåòàåò óñòîé÷èâîñòü ñ ðîñ-
òîì �. Íà ðèñ. 9,á ïðè � � 01, íàáëþäàåòñÿ ñëèÿíèå âîçíèêøèõ óñòîé÷èâîãî è íåóñòîé-
÷èâîãî ïðåäåëüíûõ öèêëîâ. Ïðè äàëüíåéøåì óâåëè÷åíèè � (� � 0 3, ) ñèñòåìà èìååò
óñòîé÷èâûé ôîêóñ ñ îáøèðíîé îáëàñòüþ ïðèòÿæåíèÿ è ñåäëîâóþ òî÷êó (ðèñ. 9,â). Ôà-
çîâûå òðàåêòîðèè, çà èñêëþ÷åíèåì íà÷èíàþùåéñÿ â òî÷êå ( ; )2 1 è ëåæàùåé ñëåâà îò
ãðàíèöû îáëàñòè D âåðòèêàëüíîé ïðÿìîé L �1095, , èìåþò âèä ñæèìàþùèõñÿ
ñïèðàëåé, çàâåðøàþùèõñÿ â òî÷êå óñòîé÷èâîãî ôîêóñà.
Ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ � (� � 0 6, ) ôàçîâûå òðàåêòîðèè ñîîòâåòñòâóþò áûñ-
òðîìó ïåðåõîäó ìîäåëèðóåìîé ñèñòåìû â ðàâíîâåñíîå ñîñòîÿíèå (ðèñ. 9,ã). Òà-
êîé ïåðåõîä ìîæåò çàíèìàòü ëèøü íåñêîëüêî ñòàäèé îäíîãî öèêëà.
Òàêèì îáðàçîì, ââåäåíèå äîñòàòî÷íî âûñîêîé ìèíèìàëüíîé îïëàòû òðóäà â
óñëîâèÿõ îòêðûòîãî ìîíîïñîíè÷åñêîãî ðûíêà, îïèñûâàåìîãî ìîäåëüþ (7)–(10),
ìîæåò ñóùåñòâåííî ïîâëèÿòü íà ýêîíîìè÷åñêóþ äèíàìèêó, ïðåäîòâðàùàÿ êàòàñ-
òðîôè÷åñêèé ñïàä ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõV è L è ìåíÿÿ ôîðìó öèêëîâ. Öèêëû, áî-
ëåå ñîîòâåòñòâîâàâøèå êëàññè÷åñêîìó òèïó ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà �,
ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ ýòîãî ïàðàìåòðà ïðèîáðåòàþò ÷åðòû ïîñòêëàññè÷åñêèõ
öèêëîâ.
5. ÂÛÂÎÄÛ È ÍÀÏÐÀÂËÅÍÈß ÄÀËÜÍÅÉØÈÕ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÉ
Ïðîâåäåííûé àíàëèç ýêîíîìèêè ñ ìîíîïñîíè÷åñêèì ðûíêîì òðóäà ïîçâîëèë
ñäåëàòü ñëåäóþùèå âûâîäû.
1.  ðàññìàòðèâàåìîé ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìå âîçìîæíû òðè òèïà äèíàìè-
êè: äîëãîâðåìåííûé ðîñò, ñïàä è öèêëè÷åñêîå ðàçâèòèå. Ïåðâûé òèï òðåáóåò ïî-
ñòîÿííîãî ïðèâëå÷åíèÿ äîïîëíèòåëüíûõ òðóäîâûõ ðåñóðñîâ ïðè ïîääåðæàíèè
áîëåå âûñîêîé ïî ñðàâíåíèþ ñ âíåøíèì ðûíêîì îïëàòû òðóäà. Ïðè îãðàíè÷åí-
íîñòè òðóäîâûõ ðåñóðñîâ, êîòîðûå ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû ïóòåì ñòèìóëèðîâàíèÿ
èììèãðàöèè, ðàçâèòèå ñèñòåìû çàâåðøèòñÿ â òî÷êå åå óñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ,
ïîëîæåíèå êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíîé âûøåóïîìÿíóòûõ ðåñóðñîâ.
2. Äîëãîâðåìåííûé ñïàä íà÷èíàåòñÿ, åñëè òðóäîâûå ðåñóðñû ñèñòåìû óìåíü-
øàþòñÿ âñëåäñòâèå ýìèãðàöèè íèæå êðèòè÷åñêîãî óðîâíÿ. Âåëè÷èíà ýòîãî óðîâíÿ
çàâèñèò îò ïðîèçâîäèòåëüíîñòè òðóäà, äîïîëíèòåëüíûõ çàòðàò ðàáîòîäàòåëÿ íà
ïðèîáðåòåíèå ðàáî÷åé ñèëû è îò îïëàòû òðóäà íà âíåøíåì ðûíêå. Ñïàä ñîïðîâîæ-
äàåòñÿ òðóäîâîé ýìèãðàöèåé è ñíèæåíèåì îïëàòû òðóäà íà âíóòðåííåì (îòêðûòîì
ìîíîïñîíè÷åñêîì) ðûíêå. Ñ ó÷åòîì ïðåäïîëîæåíèÿ, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì
ðàçðûâå â îïëàòå òðóäà íà âíåøíåì è âíóòðåííåì ðûíêàõ âîçìîæíà ýìèãðàöèÿ
âñåõ ïîòåíöèàëüíî çàíÿòûõ ïî íàéìó, ñïàä çàâåðøèòñÿ êîëëàïñîì ýêîíîìèêè
âñëåäñòâèå ïîëíîé ïîòåðè òðóäîâûõ ðåñóðñîâ.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ñèñòåìà ïîïà-
äåò â ñîñòîÿíèå óñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ, êîòîðîìó ñîîòâåòñòâóåò ñòàãíàöèÿ ïðè
íèçêîì óðîâíå ïðîèçâîäñòâà. Ïîëîæåíèå óêàçàííîãî ñîñòîÿíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ êî-
ëè÷åñòâîì ïîòåíöèàëüíî çàíÿòûõ, êîòîðûå íå ìèãðèðóþò ïðè ëþáîì ñîîòíîøå-
íèè îïëàòû òðóäà íà âíåøíåì è âíóòðåííåì ðûíêàõ.
3. Öèêëè÷åñêîå ðàçâèòèå â ñèñòåìå ñ îòêðûòûì ìîíîïñîíè÷åñêèì ðûíêîì
òðóäà âî ìíîãîì àíàëîãè÷íî äèíàìèêå ñèñòåìû ñ çàìêíóòûì ðûíêîì, ðàññìîò-
ðåííîé â [4].  îáîèõ ñëó÷àÿõ ôîðìèðóþòñÿ öèêëû, ïîäîáíûå êëàññè÷åñêîìó
áèçíåñ-öèêëó ñî ñòàäèÿìè ðîñòà, áóìà, ñïàäà, ñòàãíàöèè è îæèâëåíèÿ ýêîíîìèêè.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4 69
 ìîäåëÿõ îáåèõ óïîìÿíóòûõ ñèñòåì âîçìîæíî ïîÿâëåíèå ãîìîêëèíè÷åñêèõ ïå-
òåëü è ïðåäåëüíûõ öèêëîâ (óñòîé÷èâûõ è íåóñòîé÷èâûõ), âîçíèêíîâåíèå òðàåê-
òîðèé, èìåþùèõ ôîðìó ñæèìàþùèõñÿ è ðàñêðó÷èâàþùèõñÿ ñïèðàëåé, à òàêæå
ïåðåõîä ñèñòåìû â ðàâíîâåñíîå ñîñòîÿíèå ïîñëå ïîñëåäîâàòåëüíîãî ïðîõîæäå-
íèÿ íåñêîëüêèõ ñòàäèé îäíîãî öèêëà. Ïðè ýòîì ìåõàíèçìû ôîðìèðîâàíèÿ öèê-
ëîâ â ñèñòåìå ñ îòêðûòûì ðûíêîì òðóäà èìåþò ñâîè îñîáåííîñòè. Ïðèòîê ðàáî-
÷åé ñèëû èçâíå âñëåäñòâèå óñèëåíèÿ òðóäîâîé èììèãðàöèè âî âðåìÿ áóìà óâåëè-
÷èâàåò ïðåäëîæåíèå òðóäà, ÷òî ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ åãî îïëàòû. Ýòî
ñïîñîáñòâóåò óñêîðåíèþ è óãëóáëåíèþ ñïàäà. Îòòîê ðàáî÷åé ñèëû âî âðåìÿ äåï-
ðåññèè óìåíüøàåò ïðåäëîæåíèå òðóäà. Êàê ñëåäñòâèå, ðåàëüíàÿ çàðàáîòíàÿ ïëàòà
ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ ìîæåò âûðàñòè, ÷òî ñïîñîáñòâóåò îæèâëåíèþ ýêîíî-
ìèêè. Òàêèì îáðàçîì, â ýêîíîìèêå ñ îòêðûòûì ðûíêîì òðóäà ìèãðàöèîííûå
ïðîöåññû èãðàþò ðîëü â ôîðìèðîâàíèè öèêëîâ, àíàëîãè÷íóþ èíôëÿöèîííîìó
îáåñöåíèâàíèþ íàêîïëåíèé è äåôëÿöèîííîìó ðîñòó àêòèâîâ â ñëó÷àå
çàìêíóòîãî ðûíêà.
4. Ââåäåíèå ìèíèìàëüíîé îïëàòû òðóäà â ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìå ñïîñî-
áñòâóåò åå ñòàáèëèçàöèè. Ïðè ýòîì èñêëþ÷àåòñÿ âîçìîæíîñòü êàòàñòðîôè÷åñêîãî
óìåíüøåíèÿ ñïðîñà; òðàåêòîðèè ñ íåèçìåííîé èëè óâåëè÷èâàþùåéñÿ àìïëèòó-
äîé öèêëîâ ïðèîáðåòàþò ôîðìó ñæèìàþùèõñÿ ñïèðàëåé; ñîñòîÿíèå ðàâíîâåñèÿ
ñèñòåìû, ê êîòîðîìó ñõîäÿòñÿ òàêèå òðàåêòîðèè, ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ çíà÷å-
íèÿõ ìèíèìàëüíîé îïëàòû òðóäà ñòàíîâèòñÿ óñòîé÷èâûì ôîêóñîì ñ îáøèðíîé
îáëàñòüþ ïðèòÿæåíèÿ, ò.å. îáåñïå÷èâàåò äîñòàòî÷íî áûñòðóþ ñòàáèëèçàöèþ
ìîäåëèðóåìîãî ïðîöåññà ïðè çíà÷èòåëüíîì ðàçáðîñå åãî íà÷àëüíûõ ñîñòîÿíèé.
5. Âçàèìîäåéñòâèå âíóòðåííåãî è âíåøíåãî îòêðûòûõ ìîíîïñîíè÷åñêèõ ðûí-
êîâ òðóäà ìîæåò íåãàòèâíî ïîâëèÿòü íà äèíàìèêó ïðîèñõîäÿùèõ ïðîöåññîâ â ñëó-
÷àå ñîâïàäåíèÿ ñòàäèé ðîñòà è (èëè) îæèâëåíèÿ ýêîíîìèêè íà ýòèõ ðûíêàõ.  òî æå
âðåìÿ ñîâïàäåíèå ñòàäèé ñïàäà áóäåò ñïîñîáñòâîâàòü óñêîðåíèþ îæèâëåíèÿ ýêîíî-
ìèêè. Ðåçóëüòàòîì âçàèìîäåéñòâèÿ ðûíêîâ ïðè èõ ïåðåõîäå â ñîñòîÿíèå óñòîé÷èâî-
ãî ðàâíîâåñèÿ ìîæåò ñòàòü âûðàâíèâàíèå âåëè÷èíû îïëàòû òðóäà íà íèõ.
Îñíîâíûìè íàïðàâëåíèÿìè äàëüíåéøèõ èññëåäîâàíèé ïðîöåññîâ âçàèìîäå-
éñòâèÿ ðûíêîâ òðóäà ñ íåñîâåðøåííîé êîíêóðåíöèåé, íà íàø âçãëÿä, ìîãóò áûòü:
à) àíàëèç àëüòåðíàòèâíûõ ìîäåëåé ïîâåäåíèÿ ðàáîòîäàòåëÿ-ìîíîïîëèñòà,
íàïðèìåð ðàññìîòðåíèå ñëó÷àÿ, êîãäà ðàáîòîäàòåëü ó÷èòûâàåò âëèÿíèå îïëàòû
òðóäà íà ñïðîñ íà ïðîèçâîäèìóþ èì ïðîäóêöèþ;
á) èññëåäîâàíèå ìîäåëåé ýêîíîìèêè ñ èíûìè, êðîìå ìîíîïñîíèè, ôîðìàìè
íåñîâåðøåííîé êîíêóðåíöèè íà îòêðûòîì ðûíêå òðóäà, íàïðèìåð äâóñòîðîííåé
ìîíîïîëèñòè÷åñêîé êîíêóðåíöèè;
â) ó÷åò íåñèììåòðè÷íîé èíôîðìèðîâàííîñòè è ðàçëè÷èé â ðåàêöèè íà èçìå-
íåíèå îïëàòû òðóäà ìèãðàíòîâ è íåìèãðèðóþùåé ÷àñòè òðóäîñïîñîáíîãî
íàñåëåíèÿ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. B i g n e b a t C . Labour market concentration and migration patterns in Russia. — Marches Orga-
nization Institutions et Strategies d’Acteurs. Working Paper. — 2006. — N 4. — 36 p.
2. Ñ ò à ò è ñ ò è ÷ í è é ùîðŸ÷íèê ÓêðàÂíè çà 2002 ðŸê. Ñòàòèñòè÷íèé çáŸðíèê. — Ê.:
Äåðæêîìñòàò, 2003. — 356 ñ.
3. Ê î ø ë à é Ë . Á . , Ì è õ à ë å â è ÷ Ì . Â . , Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . Ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññîâ
çàíÿòîñòè è ðîñòà â ïåðåõîäíîé ýêîíîìèêå // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 1999. — ¹
3. — Ñ. 58–75.
4. Á å ë à í Å . Ï . , Ì è õ à ë å â è ÷ Ì .  . , Ñ å ð ã è å í ê î È .  . Öèêëè÷íîñòü ýêîíîìè÷åñêèõ
70 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4
ïðîöåññîâ â ñèñòåìàõ ñ ìîíîïñîíè÷åñêèì ðûíêîì òðóäà // Òàì æå. — 2003. — ¹ 4. —
Ñ. 24–39.
5. Ô è ë è ï ï î â À . Ô . Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ ðàçðûâíîé ïðàâîé ÷àñòüþ. — Ì.:
Íàóêà, 1985. — 223 ñ.
6. B e l t o n M . , F l e i s h e r T h . , K n i e s n e r L . Labour economics: theory, evidence and
policy. — New York: Prentice Hall, 1984. — 768 p.
7. Ì è ò ð î ï î ë ü ñ ê è é Þ . À . , Ë û ê î â à Î . Á . Èíòåãðàëüíûå ìíîãîîáðàçèÿ â íåëèíåéíîé
ìåõàíèêå. — Ì.: Íàóêà, 1967. — 512 ñ.
8. À í ä ð î í î â À . À . , Ë å î í ò î â è ÷ Å . À . , Ã î ð ä î í È . È . , Ì à é å ð À . Ã . Òåîðèÿ
áèôóðêàöèé äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì íà ïëîñêîñòè. — Ì.: Íàóêà, 1967. — 488 ñ.
9. à ó ê å í õ å é ì å ð Ä æ . , Õ î ë ì ñ Ô . Íåëèíåéíûå êîëåáàíèÿ, äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû è
áèôóðêàöèè âåêòîðíûõ ïîëåé. — Ìîñêâà–Èæåâñê: Èíñòèòóò êîìïüþòåðíûõ èññëåäîâàíèé,
2002. — 560 ñ.
10. Ë Ÿ á à í î â à Å . Ì . Ðèíîê ïðàöŸ. — Ê.: Öåíòð íàâ÷àëüíî ëŸòåðàòóðè, 2003. — 224 ñ.
11. E r g i n H a l u k I . , S a y a n S e r d a r . A microeconomic analysis of slavery in comparison to
free labor economies. — Bilkent: University, 1997. — 368 p.
12. B o a l W . , R a n s o n M . Monopsony in American labor market. — EH. Net Encyclopedia/ Ed.
by R. Whaples, Jan. 24, 2002, — URL http://eh/net/encyclopedia/article/boal.monopsony.
Ïîñòóïèëà 22.02.2008
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4 71
|