Об одном методе эффективного вычисления оптимальных оценок в задачах экстраполяции решений нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. II
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44200 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об одном методе эффективного вычисления оптимальных оценок в задачах экстраполяции решений нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. II / А.А. Фомин-Шаташвили, А.Д. Шаташвили // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 4. — С. 110-119. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-44200 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Фомин-Шаташвили, А.А. Шаташвили, А.Д. 2013-05-26T19:06:00Z 2013-05-26T19:06:00Z 2008 Об одном методе эффективного вычисления оптимальных оценок в задачах экстраполяции решений нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. II / А.А. Фомин-Шаташвили, А.Д. Шаташвили // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 4. — С. 110-119. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44200 519.21 ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Об одном методе эффективного вычисления оптимальных оценок в задачах экстраполяции решений нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. II Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Об одном методе эффективного вычисления оптимальных оценок в задачах экстраполяции решений нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. II |
| spellingShingle |
Об одном методе эффективного вычисления оптимальных оценок в задачах экстраполяции решений нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. II Фомин-Шаташвили, А.А. Шаташвили, А.Д. Системный анализ |
| title_short |
Об одном методе эффективного вычисления оптимальных оценок в задачах экстраполяции решений нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. II |
| title_full |
Об одном методе эффективного вычисления оптимальных оценок в задачах экстраполяции решений нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. II |
| title_fullStr |
Об одном методе эффективного вычисления оптимальных оценок в задачах экстраполяции решений нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. II |
| title_full_unstemmed |
Об одном методе эффективного вычисления оптимальных оценок в задачах экстраполяции решений нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. II |
| title_sort |
об одном методе эффективного вычисления оптимальных оценок в задачах экстраполяции решений нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. ii |
| author |
Фомин-Шаташвили, А.А. Шаташвили, А.Д. |
| author_facet |
Фомин-Шаташвили, А.А. Шаташвили, А.Д. |
| topic |
Системный анализ |
| topic_facet |
Системный анализ |
| publishDate |
2008 |
| language |
Russian |
| container_title |
Кибернетика и системный анализ |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| issn |
0023-1274 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44200 |
| citation_txt |
Об одном методе эффективного вычисления оптимальных оценок в задачах экстраполяции решений нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. II / А.А. Фомин-Шаташвили, А.Д. Шаташвили // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 4. — С. 110-119. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT fominšatašviliaa obodnommetodeéffektivnogovyčisleniâoptimalʹnyhocenokvzadačahékstrapolâciirešeniinelineinyhévolûcionnyhdifferencialʹnyhuravneniivgilʹbertovomprostranstveii AT šatašviliad obodnommetodeéffektivnogovyčisleniâoptimalʹnyhocenokvzadačahékstrapolâciirešeniinelineinyhévolûcionnyhdifferencialʹnyhuravneniivgilʹbertovomprostranstveii |
| first_indexed |
2025-11-26T00:17:30Z |
| last_indexed |
2025-11-26T00:17:30Z |
| _version_ |
1850597595777335296 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.21
À.À. ÔÎÌÈÍ-ØÀÒÀØÂÈËÈ, À.Ä. ØÀÒÀØÂÈËÈ
ÎÁ ÎÄÍÎÌ ÌÅÒÎÄÅ ÝÔÔÅÊÒÈÂÍÎÃÎ ÂÛ×ÈÑËÅÍÈß
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÛÕ ÎÖÅÍÎÊ Â ÇÀÄÀ×ÀÕ ÝÊÑÒÐÀÏÎËßÖÈÈ
ÐÅØÅÍÈÉ ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ ÝÂÎËÞÖÈÎÍÍÛÕ
ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ Â ÃÈËÜÁÅÐÒÎÂÎÌ
ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅ. II1
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ýêñòðàïîëÿöèÿ, ïðîãíîç, ìåðà, ïëîòíîñòü Ðàäîíà–Íèêîäèìà,
ýâîëþöèîííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, êîððåëÿöèîííûé îïåðàòîð.
Íàñòîÿùàÿ ñòàòüÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëæåíèåì èññëåäîâàíèé àâòîðîâ, íà÷àòûå â ðà-
áîòå [1]. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû òåîðåìû 1 èñïîëüçóåì ïðè âû÷èñëåíèè îïòè-
ìàëüíîãî ïðîãíîçà äëÿ ðåøåíèÿ íåëèíåéíîãî ýâîëþöèîííîãî äèôôåðåíöèàëüíî-
ãî óðàâíåíèÿ ñ ãàóññîâûì âîçìóùåíèåì â ïðàâîé ÷àñòè âèäà
dy t
dt
A t y t A t y t f t y t t
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( , ( )) ( )� � � � �1 � � ,
0 0 0 0� � � �t a y P, ( ) ( ) (mod )� , (1)
ðàññìîòðåííîãî âî ââåäåíèè ê ñòàòüå [1]. Òàêèå óðàâíåíèÿ èçó÷àëèñü îäíèì èç ñîàâ-
òîðîâ Ò.À. Ôîìèíîé â ðàáîòàõ [3–8], ãäå áûëè íàéäåíû óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ è
åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèé òàêèõ óðàâíåíèé, ýêâèâàëåíòíîñòè ìåð, ïîðîæäåííûõ ýòèìè
ðåøåíèÿìè ñ ãàóññîâñêèìè âîçìóùåíèÿìè, à òàêæå, ÷òî ñàìîå ãëàâíîå, óñëîâèÿ äëÿ
ñóùåñòâîâàíèÿ èõ ïëîòíîñòåé Ðàäîíà–Íèêîäèìà è ÿâíîå âûðàæåíèå ïëîòíîñòåé
â òåðìèíàõ êîýôôèöèåíòîâ ðàññìàòðèâàåìûõ óðàâíåíèé. Ñëåäîâàòåëüíî, ðåçóëüòàòû
òåîðåìû 1 èç [1] ìîãóò áûòü ýôôåêòèâíî ïðèìåíåíû ê ðåøåíèÿì ýâîëþöèîííûõ
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âèäà (1). Ñôîðìóëèðóåì òåïåðü ñàìó çàäà÷ó.
Ïóñòü { , , }� � P — ôèêñèðîâàííîå âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî; H — ñåïàðà-
áåëüíîå âåùåñòâåííîå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì ( , )x y
è íîðìîé || ||x , x y H, ;�H — �-àëãåáðà èçìåðèìûõ ïîäìíîæåñòâ ïðîñòðàíñòâà H.
Äàëåå L L a H2 2 0� {[ , ], }áóäåì îáîçíà÷àòü ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ íà
îòðåçêå [ , ]0 a ñî çíà÷åíèÿìè èç H è èíòåãðèðóåìûõ ñî ñâîèì êâàäðàòîì ïî íîðìå H.
Î÷åâèäíî, ÷òî L2 ÿâëÿåòñÿ ãèëüáåðòîâûì ïðîñòðàíñòâîì. Îáîçíà÷èì â ïðîñòðàíñò-
âå L2 ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ÷åðåç ( , )f g L è íîðìó ÷åðåç || ||f L , f g L, 2 , è ââå-
äåì èõ òàêèì îáðàçîì:
( , ) ( ( ), ( ))f g f t g t dtL
a
�
0
, || || || ( ) ||f f t dt
L
a
2
0
2�
,
ãäå f g L, 2 , f t g t H( ), ( ) .
Ïóñòü B t s( , ) — îïåðàòîðíàÿ ôóíêöèÿ, äåéñòâóþùàÿ ïðè êàæäîì t s a, [ , ] 0
â ïðîñòðàíñòâå H. Îáîçíà÷èì ÷åðåç | ( , ) |B t s íîðìó îïåðàòîðíîé ôóíêöèè â ïðî-
ñòðàíñòâå H. Èçâåñòíî, ÷òî îïåðàòîðíàÿ ôóíêöèÿ B t s( , ) êàê ÿäðî ïîðîæäàåò â ïðî-
ñòðàíñòâå L2 èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð B ïî ñëåäóþùåìó ïðèíöèïó:
( ) ( , ) ( ) ,B� � �t
a
B t s s ds L�
0
2 . (2)
Îáîçíà÷èì â L2 íîðìó îïåðàòîðà B ÷åðåç | LB | ïî ñëåäóþùåìó ïðèíöèïó:
| | | ( , ) |B
L
a a
B t s dtds2
0 0
2� � �
. (3)
110 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4
1Íà÷àëî ñì. â ¹ 3, 2008.
© À.À. Ôîìèí-Øàòàøâèëè, À.Ä. Øàòàøâèëè, 2008
Íîðìà îïåðàòîðà, îïðåäåëåííàÿ ïî ôîðìóëå (3), íàçûâàåòñÿ ãèëüáåðòî-øìèäòîâ-
ñêîé íîðìîé, à îïåðàòîð B, îáëàäàþùèé òàêîé íîðìîé, íàçûâàåòñÿ îïåðàòîðîì
Ãèëüáåðòà–Øìèäòà.
Ðàññìîòðèì â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H ñèñòåìó èç äâóõ ýâîëþöèîííûõ
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé: íåëèíåéíîãî
dy t
dt
A t y t A t y t f t y t t
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( , ( )) ( )� � � �1 � � ,
(4)
0 0 0 0� � � �t a y P, ( ) ( ) (mod )� ,
è ëèíåéíîãî ê íåìó
dx t
dt
A t x t A t x t t
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � �1 � ,
(5)
0 0 0 0� � � �t a x P, ( ) ( ) (mod )� ,
ãäå � — ïàðàìåòð, à íåîãðàíè÷åííûå ëèíåéíûå îïåðàòîðíûå ôóíêöèè A t( ) è A t1 ( )
ÿâëÿþòñÿ ïðîèçâîäÿùèìè îïåðàòîðàìè ýâîëþöèîííûõ ñåìåéñòâ îãðàíè÷åííûõ
îïåðàòîðîâ U t s( , ) è U t s1 ( , ). Íåëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ f t x( , ) è ãàóññîâñêèé ïðîöåññ
�( )t ñî çíà÷åíèÿìè èç H óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì, ïðèâåäåííûì âî ââåäåíèè
ñòàòüè [1], à òàêæå óñëîâèÿì òåîðåì 3.1.1 èç ðàáîòû [2]. Ïðè ñîáëþäåíèè óñëî-
âèé óêàçàííûõ òåîðåì â òîé æå ðàáîòå ïîêàçàíî, ÷òî òîãäà ìåðû � y è �x , ïî-
ðîæäåííûå ðåøåíèÿìè óðàâíåíèé (4) è (5), ýêâèâàëåíòíû è ýôôåêòèâíî âû÷èñ-
ëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèå ïëîòíîñòè Ðàäîíà–Íèêîäèìà â òåðìèíàõ êîýôôèöèåí-
òîâ ðàññìàòðèâàåìûõ óðàâíåíèé. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ïîñêîëüêó óðàâíåíèå (5)
ëèíåéíî, òî î÷åâèäíî åãî ðåøåíèå x t( ) ÿâëÿåòñÿ ãàóññîâûì ñëó÷àéíûì ïðîöåñ-
ñîì, òàê êàê �( )t — ãàóññîâñêèé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, è î÷åâèäíî, ÷òî Mx t( ) � 0,
à Rx
2 — êîððåëÿöèîííûé îïåðàòîð ãàóññîâñêîãî ýëåìåíòà x â L2 îïðåäåëÿåòñÿ
ñ èñïîëüçîâàíèåì èçâåñòíûõ âåëè÷èí êîýôôèöèåíòîâ ñàìîãî óðàâíåíèÿ:
R B R B B I U Ux
2
1
2
1 1 1
1� � � �
�
* , ( ) , (6)
ãäå R
�
2 — êîððåëÿöèîííûé îïåðàòîð ãàóññîâñêîãî ýëåìåíòà �, ñèìâîë * îáîçíà-
÷àåò çíàê ñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà.
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ îñíîâíûõ ðåçóëüòàòîâ íàñòîÿùåé ñòàòüè íåîáõîäèìî ïðèâåñòè
ðåçóëüòàòû òåîðåìû 3.1.1 ðàáîòû [2] õîòÿ áû â îáùèõ ÷åðòàõ.
Îáîçíà÷èì { ( )}�k t è { }� k ñîîòâåòñòâåííî ñîáñòâåííûå ôóíêöèè è ñîáñòâåí-
íûå ÷èñëà êîððåëÿöèîííîé îïåðàòîðíîé ôóíêöèè R t sx
2 ( , ) êîððåëÿöèîííîãî îïåðà-
òîðà Rx
2 ãàóññîâñêîãî ýëåìåíòà x â L2 . Ñ èõ ïîìîùüþ ïîñòðîèì íîâóþ ñèñòåìó
îðòîíîðìèðîâàííûõ ôóíêöèé { ( )}�k t ïî ôîðìóëå
�
�
�k
k
kt t( ) ( )�
1
.
(7)
Äàëåå ðàññìîòðèì ñèñòåìó ýâîëþöèîííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âèäà (4)
è (5) ñî ñëåäóþùèìè óñëîâèÿìè.
1. Îïåðàòîðû A t( ) è A t1 ( ) ÿâëÿþòñÿ ñåìåéñòâîì ëèíåéíûõ, âîîáùå ãîâîðÿ, íå-
îãðàíè÷åííûõ îïåðàòîðîâ ñ ïëîòíîé, íåçàâèñèìîé îò t îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ
D A H( )
. Îäíîâðåìåííî îíè ÿâëÿþòñÿ ïðîèçâîäÿùèìè îïåðàòîðàìè ýâîëþöèîí-
íûõ ñåìåéñòâ U t s( , ) è U t s1 ( , ) îãðàíè÷åííûõ îïåðàòîðîâ ïðè 0 � �t s a, , äåéñòâóþ-
ùèõ â H, ñèëüíî íåïðåðûâíî çàâèñÿùèõ îò t è s, ïðè÷åì
U t s U t s A s1 1( , ) ( , ) ( )� , (8)
äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ
0
2
0
aa
U t s dtds
� �| ( , ) | è
0
1
2
0
aa
U t s dtds
� �| ( , ) | . (9)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4 111
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå èíòåãðàëüíûå îïåðàòîðû U è U1, äåéñòâóþ-
ùèå â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå L2 , ÿâëÿþòñÿ îïåðàòîðàìè Ãèëüáåðòà–Øìèäòà
è, êðîìå òîãî, ÷èñëî �1 íå ïðèíàäëåæèò ñïåêòðó îïåðàòîðà U t s1 ( , ).
2. Íåëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ f t y t( , ( )), îïðåäåëåííàÿ íà [ , ]0 a H� , ïðèíèìàåò ñâîè
çíà÷åíèÿ èç H, ÿâëÿåòñÿ èíòåãðèðóåìîé ôóíêöèåé ñî ñâîèì êâàäðàòîì ïî íîðìå H
äëÿ âñåõ y t H( ) è äèôôåðåíöèðóåìà ïî y, ïðè ýòîì ïðîèçâîäíàÿ �f t y ty ( , ( )) äëÿ
âñåõ t a [ , ]0 ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì Ãèëüáåðòà–Øìèäòà, äåéñòâóþùèì â H.
Êàê óæå îòìå÷àëîñü, â ðàáîòàõ [3–8] áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ìåæäó ðåøåíèÿìè y t( )
è x t( ) äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (4) è (5) ñîîòâåòñòâåííî ñóùåñòâóåò ñâÿçü â
âèäå íåëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé
S y t y t R t s g s y s ds x t
a
x( ): ( ) ( , ) ( , ( )) ( )� �
�
0
, (10)
T x t x t R t s g s x s ds y t
a
x( ): ( ) ( , ) ~( , ( )) ( )� �
�
0
, (11)
ãäå âûâîäÿòñÿ äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ, ïðè âûïîëíåíèè êîòîðûõ íåëèíåéíûå îòî-
áðàæåíèÿ S è T âçàèìíî îäíîçíà÷íû, îáðàòèìû è ãîëîìîðôíû: S T� �1, ãäå
R t sx
2 ( , ) — êîððåëÿöèîííàÿ îïåðàòîðíàÿ ôóíêöèÿ ãàóññîâñêîãî ñëó÷àéíîãî ïðî-
öåññà x t( ), à ôóíêöèè g x( , )� è ~( , )g x� óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèþ
~( , ) ( , )g x g Tx� � � � (12)
è îïðåäåëÿþòñÿ èç âûðàæåíèÿ
� �( ( , )) ( , ) ( , ( )) ( , ) ( ,I U t s U s u f u y u dsdu R t s g s y
a
x� ��
1
1
0
( ))s ds
aa
00
. (13)
 ðàáîòàõ [2–8] âûâîäÿòñÿ óñëîâèÿ, ïðè âûïîëíåíèè êîòîðûõ äîêàçûâàåòñÿ ñó-
ùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèé y t( ) è x t( ) äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíå-
íèé (4) è (5) ñîîòâåòñòâåííî, ñóùåñòâîâàíèå ôóíêöèé g x( , )� è ~( , )g x� è ñòðîèòñÿ
èõ ÿâíûé âèä ÷åðåç êîýôôèöèåíòû çàäàííûõ óðàâíåíèé. Òàêèì æå ñïîñîáîì
ñòðîèòñÿ âèíåðîâñêàÿ ìåðà w t( ) ïî êîððåëÿöèîííîé îïåðàòîðíîé ôóíêöèè R t sx
2 ( , )
è ñàìèì ãàóññîâñêèì ñëó÷àéíûì ïðîöåññîì x t( ) êàê ñîîòíîøåíèå
x t R t s dw sx
a
( ) ( , ) ( )�
0
(14)
è ïî ýòîé ìåðå ñòðîèòñÿ ðàñøèðåííûé ñòîõàñòè÷åñêèé èíòåãðàë äëÿ ôóíêöèè g x( , )�
(àíàëîãè÷íî äëÿ ~( , )g x� â ñèëó (12))
� �
g t x t dw t
a
( , ( )), ( )
0
è � �
~( , ( )), ( )g t x t dw t
a
0
, (15)
äîêàçûâàåòñÿ èõ ñõîäèìîñòü è âûâîäèòñÿ èõ ÿâíûé âèä â âûðàæåíèÿõ êîýôôèöè-
åíòîâ ðàññìàòðèâàåìûõ óðàâíåíèé. Äàëåå òàêæå êëàññè÷åñêèì ñïîñîáîì ïðè âû-
ïîëíåíèè íåêîòîðûõ äîïîëíèòåëüíûõ îãðàíè÷åíèé, íàëîæåííûõ íà êîýôôèöèåí-
òû ðàññìàòðèâàåìûõ óðàâíåíèé, äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ìåðû � y è �x , ïîðîæäåííûå
ðåøåíèÿìè y t( ) è x t( ) ñîîòâåòñòâåííî, ýêâèâàëåíòíû ( � �y x~ ) è â ÿâíîì âèäå
âûïèñûâàåòñÿ ïëîòíîñòü Ðàäîíà–Íèêîäèìà
d
d
z z
y
x
a
�
�
( ) ( )� è
d
d
z zx
y
a
�
�
( ) ~ ( )� ;
íàïðèìåð,
�
�
�
a z D z g t z dw t g t z( )
~
( )exp ~( , ( )), ( ) || ~( , (� � � � � �
2
2
�
�
�
�
��
�
�
�
��
)) || ( )2
0
dw t
a
, (16)
112 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4
ãäå ôóíêöèîíàëüíûé îïðåäåëèòåëü
~
( )D z âû÷èñëÿåòñÿ â ÿâíîì âèäå ÷åðåç êîýôôè-
öèåíòû óðàâíåíèé (4) è (5). Àíàëîãè÷íûé âèä èìååò ôîðìóëà ïëîòíîñòè ~ ( ) a z
÷åðåç ôóíêöèþ g x( , )� è ôóíêöèîíàëüíûé îïðåäåëèòåëü D z( ).  òîì ñëó÷àå, êîã-
äà êðîìå ïðèíÿòûõ îãðàíè÷åíèé òàêæå èçâåñòíî, ÷òî èìååò ìåñòî
Sp � � � �
b t z dtz
a
( , ( ))
0
,
(17)
ãäå
� � � � ��
b t z I U t s U s u f u z u dsdz
aa
( , ( )) ( ( , )) ( , ) ( , ( ))1
1
00
u , (18)
òîãäà ôóíêöèîíàëüíûå îïðåäåëèòåëè D z( ) è
~
( )D z (ñì. [9, 10]) ïðèíèìàþò âèä
D z b t z dtz
a
( ) exp ( , ( ))� � �
�
�
�
��
�
�
�
��
1
2
0
Sp è
~
( ) exp ( , ( ))D z b t z dtz
a
� � � �
�
�
�
��
�
�
�
��
1
2
0
Sp (19)
è â ýòîì ñëó÷àå âûðàæåíèÿ ïëîòíîñòåé Ðàäîíà–Íèêîäèìà çíà÷èòåëüíî óïðîùà-
þòñÿ (ñì. [2]).
Âîçâðàùàåìñÿ òåïåðü ê íàøåé îñíîâíîé çàäà÷å — íàõîæäåíèå îïòèìàëüíîé
îöåíêè ~( )y t â çàäà÷àõ ýêñòðàïîëÿöèè äëÿ ðåøåíèÿ íåëèíåéíîãî äèôôåðåíöèàëüíî-
ãî óðàâíåíèÿ (4) y t( ) â òî÷êå t T h� � , h � 0, ïðè óñëîâèè, ÷òî åãî òðàåêòîðèÿ íà-
áëþäàåòñÿ äî ìîìåíòà t T� , y T( ) |�
0
. Äëÿ ýòîãî ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé
(19) èç ñòàòüè [1].
Òàêèì îáðàçîì, åñëè äëÿ ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (4) è (5) âû-
ïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 3.1.1 (ñì. [2]), òî ìåðû � y è �x ýêâèâàëåíòíû ( � �y x~ )
è â ÿâíîì âèäå ïî ôîðìóëå (16) âûïèñûâàåòñÿ ïëîòíîñòü Ðàäîíà–Íèêîäèìà, ãäå
âûðàæåíèÿ
~
( )D z , � �
g t x t dw t
a
( , ( )), ( )
0
è || ( ) ||g t dt
a
2
0
âû÷èñëÿþòñÿ â òåðìèíàõ êîýô-
ôèöèåíòîâ çàäàííûõ óðàâíåíèé. Ïîýòîìó ñ ó÷åòîì ôîðìóëû (12) èç ñòàòüè [1] ñíà-
÷àëà çàïèøåì öåïî÷êó ðàâåíñòâ äëÿ îïòèìàëüíîãî ïðîãíîçà ~( )y T h� ñ èñïîëüçîâà-
íèåì ïëîòíîñòè a z( )
~( ) { ( ) / }y T h M y T h T� � � � �
�
�
� � �� � � �
1
0
0
T
T
x
T h T x y
y
M x T h x T
( ( ) | )
{ ( ) ( ( )) / }( ) *
( ) ( )
,
(20)
ãäå �T è��
T — �-àëãåáðû, ïîðîæäåííûå ïîâåäåíèåì ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ y t( ) è
x t( ) ñîîòâåòñòâåííî ïðè t T� . Ïîäñòàâèâ â (20) çíà÷åíèÿ T ( )� è T h� �( ), ïî
ôîðìóëå (16) ïðè a T� è a T h� � ïîëó÷èì
~( )
( ( ) | )
( )y T h
y
M
T
T
x� �
�
�
1
0
�
�
�
�
��
� � � � � ��
x T h D x g t dw t
T h
T h
( )
~
( ( ) | ) exp ( ), ( )
0
0
2
�
�
�
2
0
2
T h
Tg t dt
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�|| ( ) || / *
�
�
�
�
�
��
� � � ��1
0
0
�
T
T
x T h
y
M x T h D x g t
( ( ) | )
( )
~
( ( ) | ) exp (( ) ), ( ) || ( ) ||dw t g t dt
a T
0
2
2
0
2
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4 113
� � � � �
�
�
�
�
�
�
exp ( ), ( ) || ( ) ||�
�
� �
T
T h
T
T h
g t dw t g t dt
2
2
2
�
�
�
�
��
�
� � �
/ *
( ) ( )
T
x y
T
0
�
�
�
�
��
�
�
�
� �
M x T h
D x
D x
g tx
T
T
T
T h
( ) ( )
~
( ( ) )
( ( ) )
exp ( )0
0
�
�
, ( )dw t � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
� � �
�
�2
2
2
0
T
T h
T
x y
g t dt
T
|| ( ) || / .*
( ) ( )
(21)
Òàêèì îáðàçîì, îïòèìàëüíàÿ îöåíêà ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (4) èìååò âèä
~( ) ( )
~
( ( ) | )
( ( ) | )
( )y T h M x T h
D x
D x
x
T
T
� �
�
�
�
��
�
�
�
�0
0
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
exp ( ), ( ) || ( ) ||�
�
� �
T
T h
T
T h
g t dw t g t dt
2
2
2
�
�
�
�
�� � � �
/ .*
( ) ( )
T
x y
T
0
(22)
 ñëó÷àå âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ (18) âûðàæåíèå (22) çíà÷èòåëüíî óïðîùàåòñÿ
~( ) ( )
exp ( , ( ))
( )y T h M x T h
f t x
x
T h
x
� �
�
�
�
��
�
�
�
�
�
� �
�
�
2
0
Sp dt
f t x dt
T
x
�
�
�
��
�
�
�
��
� �
�
�
�
��
�
�
�
��
�
exp ( , ( ))
�
2
0
Sp
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
exp ( ), ( ) || ( ) ||�
�
� �
T
T h
T
T h
g t dw t g t dt
2
2
2
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
� � �
/ *
( ) ( )
T
x y
T
0
�
�
�
�
��
� � �
�
�
�
��
�
�
�
�
�
M x T h f t x dtx
T
T h
x
( ) ( ) exp ( , ( ))
�
2
Sp
�
�
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
exp ( ), ( ) || ( ) ||�
�
� �
T
T h
T
T h
g t dw t g t dt
2
2
2
�
�
�
�
�� � � �
/ *
( ) ( )
T
x y
T
0
. (23)
Ïóñòü, êàê è âûøå, { ( )}�k t è { }� k — ñîáñòâåííûå ôóíêöèè è ñîáñòâåííûå
÷èñëà êîððåëÿöèîííîé îïåðàòîðíîé ôóíêöèè R t sx
2 ( , ) ãàóññîâñêîãî ñëó÷àéíîãî
ïðîöåññà x t( ) .  ðàáîòå [2] ïîêàçàíî, ÷òî ðàñøèðåííûé ñòîõàñòè÷åñêèé èíòåãðàë
� �
g t x t dw t
a
( , ( )), ( )
0
è ôóíêöèÿ g t( ) çàïèñûâàþòñÿ â âèäå
� � � �
!
�
�
g t x t dw t g t x t x s
a
kk
k( , ( )), ( ) ( ( , ( )), ( ))( (
0 1
1
�
� ), ( ))�k
aa
s dtds
00
�
114 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4
� � �
( ( , , ( )) ( , ) ( ), ( ))K s t x R t s dtdsdx
aaa
k k� � � � �
000
� �
"
#
$
$
%
&
'
'
�
�
!
k
a
k
k
a
kg t x t dt x s s
1 0 0
1
( , ( )), ( ) ( ( ), (
�
� � ))ds�
� � �
( ( , , ( )) ( , ) ( ), ( ))K s t x R t s dtdsdx
aaa
k k� � � � �
000
� � �
�
�
!
k
a
k
a
kg t x t dt x s s ds
1 0 0
( ( , ( )), ( )) ( ( ), ( ))� �
� � �
( ( , , ( )) ( , ) ( ), ( ))K s t x R t s dtdsdx
aaa
k k� � � � �
000
� � �
�
�
!
k
a
k kg x x s s ds
1 0
( ( ))( ( ), ( ))�
� �
( ( , , ( )) ( , ) ( ), ( ))K s t x R t s dtdsdx
aaa
k k� � � � �
000
, (24)
ãäå
g x b t x t dtk k
a
( ( )) ( , ( ), ( ))� � �
�
0
, (25)
à îïåðàòîðíàÿ ôóíêöèÿ K s t x( , , ( ))� ÿâëÿåòñÿ ÿäðîì èíòåãðàëüíîãî îïåðàòîðà
� �g t xx ( , ( )). Êàê áûëî ïîêàçàíî â ðàáîòå [2], ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ
k
a
kb t x t dt
�
�
!
� � �
1 0
2( ( , ( ), ( )))� (25�)
cóùåñòâóåò ôóíêöèÿ g t x( , ( ))� , êîòîðàÿ èìååò ÿâíûé âèä
g t x g x t b s xk
k
k
k
a
k( , ( )) ( ( )) ( ) ( ( , ( )),� � � � �
�
�
�
�
! !
1 1 0
� � ( )) ( )s ds tk�� , (26)
ãäå ðÿä â ïðàâîé ÷àñòè (26) ñõîäèòñÿ ïî ìåðå �x ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (25�).
Îòñþäà î÷åâèäíî, ÷òî êâàäðàò íîðìû ôóíêöèè g t x( , ( ))� èìååò âèä
|| ( , ( )) || ( ( , ( )), ( , ( ))) ( ( )) ( )g t x g t x g t x g x tk k� � � � � �2 � , ( ( )) ( )
k
i i
i
g x t
�
�
�
�
! ! �
"
#
$
$
%
&
'
' �
1 1
�
� � �
�
�
�
�
! !
k
k i k i
i
g x g x t t
1 1
( ( )) ( ( ))( ( ), ( ))� � . (27)
Ïîýòîìó
|| ( , ( )) || ( ( )) ( ( )) ( (g t x dt g x g x
a
k
k i
i
k� � � �
! !
�
�
�
�
2
0 1 1
� t t dti
a
), ( ))�
0
�
� � � �
"
#
$
$
%
&
'
�
�
�
�
! !
g x b t x t dt
k
k k
k
2
1 1 0
( ( )) ( ( , ( )), ( ))
�
�
'
2
, (28)
ãäå ðÿä â ïðàâîé ÷àñòè (28) ñõîäèòñÿ ïî ìåðå �x .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4 115
Ñëåäîâàòåëüíî, ïëîòíîñòü Ðàäîíà–Íèêîäèìà a x( ) ïðè ñîáëþäåíèè óñëîâèé
òåîðåìû 3.1.2 èç [2] è ñ ó÷åòîì (18) ïðèíèìàåò âèä
�
�a x
a a
kx f t x dt g x x( ) exp ( , ( )) ( ( ))( (�
�
�
�
��
� � � �
2
0 0
Sp t t dtk
k
), ( ))�
�
�
! �
1
� �
�
�
!
� � � � �
k
x
aaa
k kK s t x R t s dtd
1 000
( ( , , ( )) ( , ) ( ), ( )) sd� �
� �
"
#
$
$
%
&
'
'
�
�
�
���
�
!
�
�
2
1 0
2
2 k
k
a
b t x t dt( ( , ( )), ( )) , (29)
ãäå ðÿäû â ïðàâîé ÷àñòè (29) ñõîäÿòñÿ ïî ìåðå �x . Ïîýòîìó â äàííîì ñëó÷àå
ôîðìóëà îïòèìàëüíîãî ïðîãíîçà (23) ïðèíèìàåò ÿâíûé âèä â òåðìèíàõ êîýôôè-
öèåíòîâ óðàâíåíèÿ (4)
~( ) ( ) exp ( , ( ))( )y T h M x T h f t x dtx
T
T h
x� � � � � � �
�
�
�
��
�
�
2
Sp
�
�
�
�
� � �
�
� �
!
� �
k T
T h
k kg x x t t dt
1
( ( ))( ( ), ( ))
� �
�
� ���
!
� � � � �
k
x
T
T h
T
T h
T
T h
k kK s t x R t
1
( ( , , ( )) ( , ) ( ), (s dtdsd)) � �
� �
"
#
$
$
%
&
'
'
�
�
�
��
�
�
� �
�!
�
�
2
1
2
2 k
k
T
T h
b t x t dt( ( , ( )), ( )) /
�
�
� � �x y
T
( ) ( )
0
, (30)
ãäå ôóíêöèÿ b t x( , ( ))� îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (18), ôóíêöèÿ K s t x( , , ( ))� — èíòåã-
ðàëüíîå ÿäðî îïåðàòîðà Ãèëüáåðòà–Øìèäòà � �b t xx ( , ( )), à ôóíêöèîíàëû g xk ( ( ))� ,
k �1 2, , ... , îïðåäåëÿþòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ (25). Òàêèì îáðàçîì, âñå âåëè÷èíû
â ïðàâîé ÷àñòè (30) èçâåñòíû è îïðåäåëÿþòñÿ ÷åðåç êîýôôèöèåíòû çàäàííûõ
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (4) è (5). Ñëåäóåò ó÷èòûâàòü, ÷òî x t( ) — ãàóññîâ-
ñêèé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ è â èíòåðâàëå [ , ]T T h� äîïóñêàåò ðàçëîæåíèå òèïà (16)
èç ñòàòüè [1], ò.å.
x t l t t t T T hT T( ) ( ) ( ), [ , ]� � �
, (31)
ãäå ôóíêöèÿ
l t l t x M x tT T
T
T( ) ( , ( ) | ) { ( ) / }� � � ��
0
, t T T h �[ , ] , (32)
ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì îïòèìàëüíûì ïðîãíîçîì ãàóññîâñêîãî ïðîöåññà x t( ) è,
ñëåäîâàòåëüíî, ��
T -èçìåðèìîé âåëè÷èíîé, à
T t( ) — ãàóññîâà äîáàâêà, êîòîðàÿ
íå çàâèñèò îò �-àëãåáðû ��
T . Òîãäà, èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (21), (31), (32), à òàêæå
ðåçóëüòàòû òåîðåìû 1 è ôîðìóë (18), (19) èç [1], îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì àëãî-
ðèòì âû÷èñëåíèÿ îïòèìàëüíîãî ïðîãíîçà ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (4) y t( ) â òî÷êå
t T h� � â ñëåäóþùåì âèäå:
~( ) ( ( )) exp ( , ( )( )y T h M u T h f t uT
T
T h
x� � � � � � � �
�
�
1 2
2
Sp )dt �
�
�
�
��
�
�
�
�
�
116 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4
� � � � � �
�
� �
!
�
�
k T
T h
k T kg u l t u t dt
1
2 2( ( ))( ( , ( )), ( ))
� � �
�
� ���
!
�
� � �
k
x
T
T h
T
T h
T
T h
kK s t u R t
1
2( ( , , ( )) ( , ) ( ), � �k s dtdsd( )) �
� � �
"
#
$
$
%
&
'
'
�
�
�
��
� �
!
�
�
2
1
2
2
2 k
T k
T
T h
b t u t dt( ( , ( )), ( ))
�
�
�
� � �
� � �
u l y
u l T h y
T
T
T
T
2 0
1 0
( , ( ) | )
( , ( ) | )
,
(33)
ãäå âåëè÷èíà y T( )|�
0
— êóñîê íàáëþäàåìîé òðàåêòîðèè ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (4) äî
ìîìåíòà t T� , M ( )
— ñèìâîë ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïî ãàóññîâîé ìåðå �
,
êîòîðàÿ ëåãêî îïðåäåëÿåòñÿ ïî çàäàííîé ãàóññîâîé ìåðå �x èç ñîîòíîøåíèÿ (31).
Åñëè òåïåðü äîïóñòèòü, ÷òî óðàâíåíèå (4) ñîäåðæèò ìàëóþ íåëèíåéíîñòü,
ò.å. åñëè ïàðàìåòð � â óðàâíåíèè (4) ÿâëÿåòñÿ ìàëûì, òî î÷åâèäíî, ÷òî èñïîëü-
çóÿ ðàçëîæåíèå ôóíêöèè ex ïî ñòåïåíÿì x , à òàêæå ÷òî M tT
( ) ( )
� 0 è
M g t x dw t
T
T h
T
( ) *( , ( )), ( ) /
�
� � � (
�
�
�
��
�
�
�
��
� 0, ïîëîæèâ â ðàçëîæåíèè ôóíêöèè ex
x A u f t u dtT
T
T h
x� � � � � � � �
�
( , ( )) ( , ( ))�
�
2 2
2
Sp
� � � � � � � �
� �
�
�
T
T h
T
T
T h
Tg t u dw t g t u( , ( )), ( ) || ( , (2
2
2
2
)) ||dt ,
(34)
âûðàæåíèå îïòèìàëüíîãî ïðîãíîçà ïðè íåñëîæíûõ âû÷èñëåíèÿõ ïðèìåò âèä
~( ) [( ( )) exp { ( , ( ))}]( )y T h M u T h A uT T
u lT
� � � � � � �
�
�
1 2
2 ( , ( )| )
( , ( )| )
� �
� � � �
y
u l T h y
T
T
T
0
1 0
�
�
�
� � � � � � � �M u T h A uT T
( ) ( ( )) ( ( , ( )))
�
1 21
�
� �
�
�
�
� � �
�
( ( , ( )))
!
( )
( , ( ) | )
(
A u
oT
u l y
u l
T
T
T
�
�2
2
2
2
2 0
1 T h y T� �
�
, ( )| )0
� � � � � � � � �l T h y B l y B l yT
T
T
T
T( , ( ) | ) ( ( , ( ) | )) ( ( , (
0 1 0
2
2
2
�
�
) | )) ( )
0
2T o� � .
(35)
Çäåñü
M o o( ) ( ) ( )
� �2 2� , (35�)
à B1 ( )� è B2 ( )� ñîîòâåòñòâåííî îïðåäåëÿþòñÿ èç ñîîòíîøåíèé
B l y l y M f tT
T
T
T
T
T h
x1 0 0
1
2
( ( , ( ) | )) ( , ( ) | ) ( (( )� � � � � �
�
Sp , ( , ( )) | ) ( ))l y dtT
T
T� � � � �
0
� � � � � � � �
�
1
2 0
T
T h
T x T
T
TM T h f t l y( ) ( ( ) ( , ( , ( ))| ) ( ))
Sp dt
(36)
è
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4 117
B l y M f t l yT
T
T
T h
x T
T
2 0 0
1
2
( ( , ( )) | ) ( , ( , ( ) | )( )� � � � � �
�
Sp � �
"
#
$
$
%
&
'
'
�
T dt( ))
2
� � � � �
"
#
$
$
%
&
'
'
�
�
2
0
2
M g t l y dw t
T
T h
T
T( ) ( , ( , ( ) | )), ( )
� � � � � � �
� �
T
T h
T
T h
x T
T
TM f t l y g s l y( ) ( , ( , ( )| )) ( , ( , (
Sp
0
)| )), ( )
0
T dw s dt� � ��
� � � � � � � �
� �
T
T h
T
T h
x T T
T
T xM f t l y f( ) ( , ( , ( )| ) ( ))
Sp Sp
0
( , ( , ( )| ) ( ))s l y dtdsT T
T
T� � � � �
0
� � � �
�
T
T h
T
TM g t l y dt( ) || ( , ( , ( ) | )) ||
0
2
� � � � � � �
� �
T
T h
T
T h
x T
T
TM f t l y g s( ) ( , ( , ( ))| ) ( )) ( ,
(Sp
0
l y dw s dtT
T( , ( )| )), ( )� � � �
0
�
(37)
Ñëåäîâàòåëüíî, îïòèìàëüíàÿ îöåíêà äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðîãíîçà ðåøåíèÿ óðàâ-
íåíèÿ (4) y t( ) â òî÷êå t T h� � ïðè óñëîâèè, ÷òî îíî íàáëþäàåòñÿ â èíòåðâàëå
0 � �s T, äîïóñêàåò ðàçëîæåíèå ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó � è èìååò âèä
~( ) ( , ( )| ) ( ( , ( )| ))y T h l T h y B l yT
T
T
T� � � � � � � �
0 1 0
�
� � � �
�
�
2
2 0
2
2
B l y oT
T( ( , ( )| )) ( ) ,
(38)
ãäå âåëè÷èíû B1 è B2 â ÿâíîì âèäå âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì (36) è (37).  (38)
ãëàâíûì ÷ëåíîì ðàçëîæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûé ïðîãíîç (ýêñòðàïîëÿöèÿ) ñëó÷àé-
íîãî ïðîöåññà y t( ) â òî÷êå t T h� � ïðè óñëîâèè, ÷òî îí íàáëþäàåòñÿ äî ìîìåí-
òà t T� .
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî â ôîðìóëå (37) âûðàæåíèÿ ðàñøèðåííîãî ñòîõàñòè÷åñêî-
ãî èíòåãðàëà è êâàäðàòà íîðìû çàïèñûâàþòñÿ â òàêîì âèäå äëÿ êðàòêîñòè ñàìîé ôîð-
ìóëû.  äåéñòâèòåëüíîñòè ïðè ïðàêòè÷åñêîì âû÷èñëåíèè âìåñòî íèõ íàäî ïîëü-
çîâàòüñÿ èõ âûðàæåíèÿìè â êîýôôèöèåíòàõ çàäàííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíå-
íèÿ (4), à èìåííî ôîðìóëàìè (24) è (28) ñ ó÷åòîì (25).
Òàêèì îáðàçîì, èç ôîðìóëû (38) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ âû÷èñëåíèÿ îïòèìàëüíîãî
ïðîãíîçà äëÿ ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà y t( ) ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (4) â òî÷êå t T h� �
äîñòàòî÷íî âû÷èñëèòü åãî ëèíåéíûé ïðîãíîç â òîé æå òî÷êå, à çàòåì ïîïðàâëÿòü
åãî çíà÷åíèÿ ñ ëþáîé òî÷íîñòüþ ìàëîãî ïàðàìåòðà � ïî âåëè÷èíàì B B1 2, , ... , àë-
ãîðèòìû êîòîðûõ â ÿâíîì âèäå çàäàþòñÿ ôîðìóëàìè (36) è (37) è ò.ä.
 íàñòîÿùåé ñòàòüå âïåðâûå ïîëó÷åíû îáùèå ïîëîæåíèÿ è ôîðìóëû äëÿ âû-
÷èñëåíèÿ îïòèìàëüíîé îöåíêè â çàäà÷àõ ýêñòðàïîëÿöèè ðåøåíèé íåëèíåéíûõ ýâî-
ëþöèîííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Î÷åâèäíî, ÷òî ïîëó÷åííûå çäåñü ðå-
çóëüòàòû â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè îáîáùàþò âî ìíîãèõ íàïðàâëåíèÿõ ðàíåå èçâåñò-
íûå ðåçóëüòàòû, íàïðèìåð â ðàáîòàõ [9–17].
Äàëåå ïîïûòàåìñÿ èñïîëüçîâàòü ïîëó÷åííûå çäåñü ôîðìóëû è àëãîðèòìû äëÿ
ïîëíîãî âû÷èñëåíèÿ îïòèìàëüíîãî ïðîãíîçà â íåêîòîðûõ çàäà÷àõ åñòåñòâåííûõ
íàóê, íàïðèìåð ôèçèêè, ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, à òàêæå òåõíèêè, îïèñûâàåìûõ ñ ïî-
ìîùüþ íåëèíåéíûõ ýâîëþöèîííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ êîíêðåòíûìè
àíàëèòè÷åñêèìè âûðàæåíèÿìè.
118 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ô î ì è í - Ø à ò à ø â è ë è À . À . , Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Îá îäíîì ìåòîäå ýôôåêòèâíîãî
âû÷èñëåíèÿ îïòèìàëüíûõ îöåíîê â çàäà÷àõ ýêñòðàïîëÿöèè ðåøåíèé íåëèíåéíûõ ýâîëþöèîííûõ
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå. I // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç.
— 2008. — ¹ 3. — Ñ. 149–157.
2. Ô î ì è í à Ò . À . Íåêîòîðûå ëèíåéíûå è íåëèíåéíûå ýêâèâàëåíòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ãàóññîâñêèõ
ìåð â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå: Äèñ. ... êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê. — Äîíåöê, 2005. — 156 ñ.
3. Ô î ì è í à Ò . À . , Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Îá ýêâèâàëåíòíîñòè ìåð ïðè íåêîòîðûõ ëèíåéíûõ è
íåëèíåéíûõ ýâîëþöèîííûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ ãàóññîâñêèõ ïðîöåññîâ â åâêëèäîâîì è ãèëüáåðòîâîì
ïðîñòðàíñòâàõ // Ïðèêëàäíà ñòàòèñòèêà. Àêòóàðíà òà ôiíàíñîâà ìàòåìàòèêà. — 2000. — ¹ 2. —
Ñ. 105–119.
4. Ô î ì è í à Ò . À . , Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Íåêîòîðûå íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ,
îáåñïå÷èâàþùèå ýêâèâàëåíòíîñòü äâóõ ãàóññîâñêèõ ìåð, èíäóöèðóåìûõ ðåøåíèÿìè
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â åâêëèäîâîì è ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâàõ // Òàì æå. — 2002. —
¹ 1. — Ñ. 61–80.
5. Ô î ì è í à Ò . À . , Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Î ìåðàõ, ïîðîæäåííûõ óðàâíåíèÿìè ñî ñëó÷àéíûìè
êîýôôèöèåíòàìè // Òàì æå. — 2002. — ¹ 2. — Ñ. 61–80.
6. Ô î ì è í à Ò . À . , Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Îá ýêâèâàëåíòíîñòè äâóõ ãàóññîâñêèõ ìåð â åâêëèäîâîì è
ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâàõ // Ñëó÷àéíûå îïåðàòîðû è ñòîõàñòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ. — Utrecht,
the Netherlands; Tokyo, Japan. — 2003. — 11, N 4. — P. 351–371.
7. Ô î ì è í à Ò . À . , Ñ î õ à ä ç å à . À . , Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Íåêîòîðûå äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ
ýêâèâàëåíòíîñòè ìåð, èíäóöèðóåìûõ ðåøåíèÿìè óðàâíåíèé ñî ñëó÷àéíûìè êîýôôèöèåíòàìè.
Ñëó÷àéíûå îïåðàòîðû è ñòîõàñòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ // Ibid. — 2003. — 12, N 3. — P. 267–275.
8. Ô î ì è í à Ò . À . , × ê î í è ÿ Ò . à . , Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Íåêîòîðûå çàìå÷àíèÿ îá àáñîëþòíîé
íåïðåðûâíîñòè ðàñïðåäåëåíèé ðåøåíèé ðàçëè÷íûõ êðàåâûõ çàäà÷ // Òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ.
— 1998. — Âûï. 4(20). — ¹ 1, 2. — Ñ. 95–104.
9. Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Ïðîãíîç è ôèëüòðàöèÿ ôóíêöèîíàëîâ îò ðåøåíèé íåëèíåéíûõ
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñî ñëó÷àéíûìè ôóíêöèÿìè // Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ. — 1970. — 194, ¹ 1.
— Ñ. 35–37.
10. Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Î ïëîòíîñòÿõ ìåð, ñîîòâåòñòâóþùèõ ðåøåíèÿì íåêîòîðûõ
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñî ñëó÷àéíûìè êîýôôèöèåíòàìè // Òàì æå. —1970. — 194, ¹ 2. —
Ñ. 275–277.
11. Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Îá îäíîì êëàññå àáñîëþòíî íåïðåðûâíûõ íåëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèé
ãàóññîâñêèõ ìåð // Òðóäû ÂÖ ÀÍ ÃÑÑÐ. — 1965. — 5, ¹ 1. — Ñ. 69–105.
12. Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Àáñîëþòíàÿ íåïðåðûâíîñòü ãàóññîâñêèõ ìåð â íåêîòîðûõ ôóíêöèîíàëüíûõ
ïðîñòðàíñòâàõ // Ñîîáùåíèÿ ÀÍ ÃÑÑÐ. — 1966. — 11, ¹ 2. — Ñ. 277–284.
13. Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Î ïëîòíîñòÿõ ìåð, ñîîòâåòñòâóþùèõ ðåøåíèÿì ñòîõàñòè÷åñêèõ
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, íàõîäÿùèõñÿ ïîä âîçäåéñòâèåì ãàóññîâñêèõ ïðîöåññîâ // Òðóäû ÂÖ
ÀÍ ÃÑÑÐ. — 1966. — 7, ¹ 1. — Ñ. 43–58.
14. Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Óñëîâèÿ àáñîëþòíîé íåïðåðûâíîñòè ìåð, ñîîòâåòñòâóþùèõ ðåøåíèÿì
ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, íàõîäÿùèõñÿ ïîä âîçäåéñòâèåì ãàóññîâñêèõ ïðîöåññîâ.//
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ôèçèêà. — 1967. — ¹ 4. — Ñ. 198–199.
15. Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Îá îïòèìàëüíîì ïðîãíîçèðîâàíèè äëÿ íåêîòîðîãî êëàññà ñëó÷àéíûõ
ïðîöåññîâ // Òåîð. âåðîÿòíîñòåé è ìàò. ñòàòèñòèêà. — 1970. — Âûï. 1. — Ñ. 222–239.
16. Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Îïòèìàëüíàÿ ýêñòðàïîëÿöèÿ è ôèëüòðàöèÿ äëÿ îäíîãî êëàññà ñëó÷àéíûõ
ïðîöåññîâ. I // Òàì æå. — 1970. — Âûï. 2. — Ñ. 235–253.
17. Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Îïòèìàëüíàÿ ýêñòðàïîëÿöèÿ è ôèëüòðàöèÿ äëÿ îäíîãî êëàññà ñëó÷àéíûõ
ïðîöåññîâ. II // Òàì æå. — 1970. — Âûï. 3. — Ñ. 211–231.
Ïîñòóïèëà 25.05.2007
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4 119
|