Модель оптимального управления нелинейным многомерным процессом диффузии инноваций
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Дата: | 2008 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44201 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Модель оптимального управления нелинейным многомерным процессом диффузии инноваций / В.В. Акименко, И.И. Сугоняк // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 4. — С. 120-133. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860256154188251136 |
|---|---|
| author | Акименко, В.В. Сугоняк, И.И. |
| author_facet | Акименко, В.В. Сугоняк, И.И. |
| citation_txt | Модель оптимального управления нелинейным многомерным процессом диффузии инноваций / В.В. Акименко, И.И. Сугоняк // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 4. — С. 120-133. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| first_indexed | 2025-12-07T18:48:59Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 532.516
Â.Â. ÀÊÈÌÅÍÊÎ, È.È. ÑÓÃÎÍßÊ
ÌÎÄÅËÜ ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÃÎ ÓÏÐÀÂËÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÌ
ÌÍÎÃÎÌÅÐÍÛÌ ÏÐÎÖÅÑÑÎÌ ÄÈÔÔÓÇÈÈ ÈÍÍÎÂÀÖÈÉ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: èííîâàöèÿ, ñèñòåìà Ëîòêå–Âîëüòåððà, ìåòîä ðàñùåïëåíèÿ,
ïðèíöèï ìàêñèìóìà, ñèñòåìà êâàçèëèíåéíûõ óðàâíåíèé, ïàðàáîëè÷åñêèé òèï, àï-
ðèîðíûå îöåíêè, îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå, ÷èñëåííûé àëãîðèòì.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
 îñíîâó ìîäåëèðîâàíèÿ æèçíåííîãî öèêëà êîíêóðèðóþùèõ èííîâàöèé è
âçàèìîäåéñòâèÿ ñóáúåêòîâ ðûíêà ïîëîæåíû íåëèíåéíûå äèíàìè÷åñêèå ìîäåëè
Ëîòêå–Âîëüòåððà [1–3] èç ïîïóëÿöèîííîé ýêîëîãèè. Ìîäåëèðîâàíèå ïîâåäåíèÿ
êîíêóðèðóþùèõ èííîâàöèé ïðîâîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ ìîäåëåé íà÷àëüíî-êðàåâûõ
çàäà÷ äëÿ êâàçèëèíåéíûõ ñèñòåì óðàâíåíèé ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà, îïèñûâàþ-
ùèõ ïðîöåññû äèôôóçèîííîãî òèïà [2–4]. Èçó÷åíèå àíàëèòè÷åñêèõ ñâîéñòâ ðå-
øåíèé äàííîãî êëàññà çàäà÷ ïðîâîäèòñÿ íà îñíîâå ìåòîäîâ ìàòåìàòè÷åñêîé ôè-
çèêè [5–6] ñ èñïîëüçîâàíèåì òåîðåì ïðèíöèïà ìàêñèìóìà è âûâîäà àïðèîðíûõ
îöåíîê äëÿ îáîáùåííûõ ðåøåíèé êâàçèëèíåéíûõ ñèñòåì óðàâíåíèé. Èññëåäîâà-
íèÿ àíàëèòè÷åñêèõ ñâîéñòâ ìîäåëåé äèôôóçèè èííîâàöèé ïîçâîëÿþò ðàçðàáàòû-
âàòü ýôôåêòèâíûå ìåòîäû ìîäåëèðîâàíèÿ äàííîãî òèïà ïðîöåññîâ è ôîðìóëèðî-
âàòü çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ äëÿ íåêîòîðûõ ñöåíàðèåâ ïîâåäåíèÿ îò-
äåëüíûõ èííîâàöèé íà ðûíêå. Ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèé
çàäà÷ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ äëÿ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïðèâåäå-
íû â [7–9] ñ èñïîëüçîâàíèåì [10]. Ðàçðàáîòêà ìåòîäîâ êîìïüþòåðíîé ðåàëèçàöèè
ðåçóëüòàòîâ òåîðåòè÷åñêîãî èññëåäîâàíèÿ çàäà÷ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ
ïðîöåññàìè ìíîãîìåðíîé äèôôóçèè èííîâàöèé îñíîâûâàåòñÿ íà ïðèìåíåíèè
òåîðèè ðàçíîñòíûõ ñõåì [11], òåîðåì ïðèíöèïà ìàêñèìóìà äëÿ ëèíåéíûõ è
êâàçèëèíåéíûõ óðàâíåíèé ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà [12–14], ìåòîäîâ äèñêðåòíîé
îïòèìèçàöèè [15].
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ðàññìîòðåíà êëàññè÷åñêàÿ ìîäåëü äèíàìèêè èííîâàöèè
äëÿ óðàâíåíèÿ Áåðíóëëè. Ìåòîäîì ðàñùåïëåíèÿ îáùåé èííîâàöèè íà äâå êîíêó-
ðèðóþùèå èííîâàöèè ïîñòðîåíà ñèñòåìà óðàâíåíèé äèíàìèêè äëÿ äâóõ èííîâà-
öèé òèïà Ëîòêå–Âîëüòåððà. Ïîëó÷åíû àíàëèòè÷åñêèå ðåøåíèÿ äëÿ ýòîé ñèñòåìû
è èññëåäîâàíû èõ àñèìïòîòèêè ïðè t ��. Íà áàçå äàííîé ìîäåëè äâóõ êîíêóðè-
ðóþùèõ èííîâàöèé ïîñòðîåíà íåîäíîðîäíàÿ ìîäåëü äèôôóçèè èííîâàöèé ñ ïî-
ìîùüþ íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è äëÿ ñèñòåìû êâàçèëèíåéíûõ óðàâíåíèé ïàðàáî-
ëè÷åñêîãî òèïà. Äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû ïðè íåêîòîðûõ îãðàíè÷åíèÿõ íà åå ïàðà-
ìåòðû äîêàçàí ïðèíöèï ìàêñèìóìà è ïîëó÷åíû àïðèîðíûå îöåíêè â íîðìå
ïðîñòðàíñòâà íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé. Äëÿ ñèñòåìû êâàçèëèíåéíûõ óðàâíåíèé ïà-
ðàáîëè÷åñêîãî òèïà ñôîðìóëèðîâàíà çàäà÷à îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ïîâåäåíè-
åì èííîâàöèé ñ ïîìîùüþ èíâåñòèöèé è íà÷àëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé èííîâàöèé è
äîêàçàíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ. Íà
îñíîâå èññëåäîâàííûõ ñâîéñòâ ðåøåíèÿ ñèñòåìû êâàçèïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà
ðàçðàáîòàí ÷èñëåííûé àëãîðèòì ðåøåíèÿ çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ
ìíîãîìåðíîé äèôôóçèåé è ïîëó÷åíû ÷èñëåííûå ðåçóëüòàòû äëÿ îäíîãî èç
ñöåíàðèåâ äèôôóçèè òðåõ êîíêóðèðóþùèõ èííîâàöèé.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4 120
© Â.Â. Àêèìåíêî, È.È. Ñóãîíÿê, 2008
ÌÎÄÅËÜ ÄÈÍÀÌÈÊÈ ÈÍÍÎÂÀÖÈÈ ÁÅÇ ÄÈÔÔÓÇÈÈ È ÈÍÂÅÑÒÈÖÈÉ
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ îáùåé ìîäåëè ìíîãîìåðíîé äèôôóçèè èííîâàöèé ðàññìîòðèì
ñíà÷àëà êëàññè÷åñêóþ ìîäåëü äèíàìèêè èííîâàöèè äëÿ îäíîðîäíîé ñèñòåìû
óðàâíåíèé áåç äèôôóçèè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â çàìêíóòîé ñèñòåìå â åäèíèöó
âðåìåíè ñóùåñòâóåò ïîñòîÿííîå êîëè÷åñòâî � 0 0� ðåöèïèåíòîâ íåêîòîðîãî
èííîâàöèîííîãî ïðîäóêòà, âûïóñêàåìîãî â îáúåìå Y t( ) â åäèíèöó âðåìåíè.
Ðàññìîòðèì íåëèíåéíóþ ìîäåëü äèíàìèêè èííîâàöèè äëÿ óðàâíåíèÿ Áåðíóëëè
Y Y Y t Tt � � �( ) , [ , ]� 0 0 , Y Y( )0 0� . (1)
Ðåøåíèå çàäà÷è (1) èìååò âèä
Y t
Y
Y t t
( )
( ( )) ( )
.�
� � � �
0 0
0 0 0 01
�
� � �exp exp
( )2
Èç (1), (2) ñëåäóåò, ÷òî Y � 0 — îñîáàÿ òî÷êà óðàâíåíèÿ (1) è â îêðåñòíîñòè
îñîáîé òî÷êè ïðè íà÷àëüíîì çíà÷åíèè Y0 0 ðåøåíèå (2) îñòàåòñÿ îãðàíè÷åí-
íûì çà ëþáîé îãðàíè÷åííûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè t T�[ , ]0 . Àñèìïòîòè÷åñêè
Y t( )� � 0 ïðè t �� (ïîëíîå óäîâëåòâîðåíèå ðåöèïèåíòîâ èííîâàöèîííûì
ïðîäóêòîì çà áåñêîíå÷íûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè). Ïóñòü íà ðûíêå ñóùåñòâóåò
äâå êîíêóðèðóþùèå èííîâàöèè îäíîãî ïðîäóêòà y( )1 è y( )2 , òàê ÷òî
Y t y
k
k( ) ( )�
�
1
2
. Ïîäñòàâèì äàííîå ðàçëîæåíèå â (1) è ââåäåì äîïîëíèòåëüíûé
÷ëåí, ìîäåëèðóþùèé ïðîöåññ êîíêóðåíòíîé áîðüáû:
( ) ( ( ))( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (y y y y y y y yt
1 2
0
1 2 1 2
12
1� � � � � �� � 2) .
Ðàñùåïèì ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå íà äâà óðàâíåíèÿ, èñõîäÿ èç ïðèíöèïà
ñèììåòðèè, ñ èñïîëüçîâàíèåì ìîäåëè Ëîòêå–Âîëüòåððà äëÿ êîíêóðèðóþùèõ
ñèñòåì:
y Y t y y yt
( ) ( ) ( ) ( )( ( ))1
0
1
12
1 2� � �� � , (3)
y Y t y y yt
( ) ( ) ( ) ( )( ( ))2
0
2
21
2 1� � �� � , (4)
y y y y( ) ( ) ( ) ( )( ) , ( )1
0
1 2
0
20 0� � . (5)
Çäåñü � �12 21� — êîýôôèöèåíò ìåæèííîâàöèîííîé êîíêóðåíöèè (� 12 �
� �( ; )1 1 , � 12 0� ), y k
0
0( ) � — íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ èííîâàöèîííûõ ïðîäóêòîâ (ïî-
ëîæèòåëüíûå äëÿ îäíîðîäíîé ìîäåëè), ïðè÷åì 0 0
�Y ( ) y y
0
1
0
2
0
( ) ( )� � � . Óðàâ-
íåíèÿ (3), (4) ìîæíî ïîëó÷èòü äðóãèì ñïîñîáîì — íà îñíîâå êëàññè÷åñêîé ìîäå-
ëè (1) ñ ó÷åòîì äèíàìèêè óìåíüøåíèÿ êîëè÷åñòâà ïîòåíöèàëüíûõ ïîòðåáèòå-
ëåé (ðåöèïèåíòîâ) îáùåãî èííîâàöèîííîãî ïðîäóêòà ( ( ))� 0 � Y t . Ñ ó÷åòîì
(2) ñèñòåìà (3)–(5) èìååò âèä
y
t
y yt
( ) ( ) ( )( )
( )
1
0
0
1 11
1
1
2
� �
�
� �
�
�
��
�
�
�� ��
�
� �
�
exp
,
( )6
y
t
y yt
( ) ( ) ( )( )
( )
2
0
0
2 21
1
1
2
� �
�
� �
�
�
��
�
�
�� ��
�
� �
�
exp
,
( )7
y y y y( ) ( ) ( ) ( )( ) , ( )1
0
1 2
0
20 0� � , (8)
121 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4
ãäå êîíñòàíòû � �� � � �0 0
1
0
2 1 0/ ( )( ) ( )y y , � � �� �12 21. Òåïåðü ðåøåíèÿ óðàâ-
íåíèé Áåðíóëëè (6), (7) ìîæíî ïîëó÷èòü ÿâíî:
y
y y y
t
y
( )
( ) ( ) ( )( )
( )1
0
1
0
1
0
2
0
1
1
1
�
�
�
� �
�
�
��
�
�
��
�
�
� �
�
exp
0
2
0 0
1
0
1
1
( ) ( )( )
( )
,
exp
exp
� �
�
� �
�
�
��
�
�
��
�
� �
�
� �
�
t y
t
(9)
y
y y y
t
y
( )
( ) ( ) ( )( )
( )2
0
2
0
1
0
2
0
1
1
1
�
�
�
� �
�
�
��
�
�
��
�
�
� �
�
exp
0
1
0 0
2
0
1
1
( ) ( )( )
( )
.
exp
exp
� �
�
� �
�
t y
t
�
�
� �
�
�
��
�
�
��
(10)
Ïðè ïîëîæèòåëüíûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ (8) ðåøåíèÿ (9), (10) îñòàþòñÿ ïî-
ëîæèòåëüíûìè âñþäó ïðè t � 0. Èç àíàëèòè÷åñêîãî âèäà ðåøåíèé (9), (10) ñëåäó-
åò òàêæå, ÷òî òèï èõ àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ ïðè t �� îïðåäåëÿåòñÿ òîëü-
êî çíàêîì êîýôôèöèåíòà � è èìååò âèä
lim
ïðè
ïðèt
y t
��
�
�
�
�
�
�
( ) ( )
,
,
1 0 0
0 0
� �
�
lim
ïðè
ïðèt
y t
��
�
�
�
�
�
�
( ) ( )
,
,
2
0
0 0
0
�
� �
÷òî ñîîòâåòñòâóåò àñèìïòîòèêå ðåøåíèÿ (2) è ñîãëàñóåòñÿ ñ êà÷åñòâåííûìè
ñâîéñòâàìè ïîâåäåíèÿ êîíêóðèðóþùèõ èííîâàöèé. Îòñþäà ñëåäóåò òàêæå
îãðàíè÷åííîñòü ðåøåíèé ñèñòåìû (3)–(5) ïðè ñäåëàííûõ îãðàíè÷åíèÿõ íà íà-
÷àëüíûå äàííûå è êîýôôèöèåíòû ñèñòåìû âñþäó ïðè t � 0.
Òàêèì îáðàçîì, èñïîëüçîâàíèå ïðîöåäóðû ðàñùåïëåíèÿ äëÿ óðàâíåíèÿ äè-
íàìèêè îáùåé èííîâàöèè (1) ïîçâîëèëî ïîëó÷èòü ñèñòåìó Ëîòêå–Âîëüòåððà
(3)–(5) äëÿ îòäåëüíûõ êîíêóðèðóþùèõ èííîâàöèé è ïðîâåñòè ðåäóêöèþ äàííîé
ñèñòåìû ê ñîâîêóïíîñòè íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé Áåðíóëëè. Ðåøåíèå óðàâíåíèé
Áåðíóëëè ïîçâîëèëî òàêæå ïîëó÷èòü â ÿâíîì âèäå ðåøåíèå ñèñòåìû (3)–(5) è âû-
ÿâèòü äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè åå óñòîé÷èâîãî,
îãðàíè÷åííîãî ðåøåíèÿ.
ÏÐÈÍÖÈÏ ÌÀÊÑÈÌÓÌÀ ÄËß ÌÎÄÅËÈ ÄÈÔÔÓÇÈÈ
ÈÍÍÎÂÀÖÈÉ Ñ Ó×ÅÒÎÌ ÈÍÂÅÑÒÈÖÈÉ
Äëÿ îáúåìîâ âûïóñêà èííîâàöèîííîãî ïðîäóêòà â åäèíèöó âðåìåíè Y x t( , ) â
îáëàñòè Q TT � �[ , ] ( , )0 1 0 ñ ãðàíèöåé �T ðàññìîòðèì íà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷ó
äëÿ êâàçèëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà
Y Y Y aY Ft xx� � � �( )� 0 , (11)
Y Y Yx
x
x
x t
�
�
� � �
�
� �
�
�
� � �0
1
1
2
0
3� � �, , ,
(12)
ãäå � 0 ( )t — êîëè÷åñòâî ðåöèïèåíòîâ äàííîãî èííîâàöèîííîãî ïðîäóêòà,
F x t( , ) — èíâåñòèöèè â åäèíèöó âðåìåíè â èííîâàöèîííóþ ïðîäóêöèþ,
a � �const 0 — êîýôôèöèåíò äèôôóçèè èííîâàöèè, �1 ( )t , � 2 ( )t — çàäàííûå
ïîòîêè íà ãðàíèöå îáëàñòè, 0 03 0
�� �( ) ( )x — íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
èííîâàöèè ïî àðåàëó x�[ , ]0 1 .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4 122
Ðàññìîòðèì ïðèíöèï ìàêñèìóìà äëÿ çàäà÷ (11), (12) è (13), (14) ïî àíàëîãèè
ñ [5].
Òåîðåìà 1.Ïóñòü Y x t( , ) — êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è (11), (12) â îáëàñ-
òè QT , êîýôôèöèåíòû � 0 0( )t � , F x t( , ) 0, � s t( ) 0 (s �1 3, ) — íåïðåðûâíûå,
îãðàíè÷åííûå íà ìíîæåñòâå QT ôóíêöèè. Òîãäà äëÿ Y x t( , ) ñïðàâåäëèâà îöåíêà
0 1 25 0
�Y x t T t
T
t tQ
( , ) , max ; max ( ( ( )) ); max
( (
�
exp
exp
� �
� �
� �
�
�
�
�
�
�
t F
a
))
( )
,
� � 0 2 (13)
ãäå êîíñòàíòà � �� ��
�
�
�
�
� �
�
max ( )
[ , ]t T
t a
0 0
2 0, à îãðàíè÷åííàÿ íåïðåðûâíàÿ
ôóíêöèÿ � ñîâïàäàåò íà ãðàíèöå îáëàñòè �T ñ ôóíêöèÿìè �1, � 2 , � 3 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðåéäåì â óðàâíåíèè (11) ê íîâîé ôóíêöèè
V x t Y x t t x( , ) ( , ) ( )(( , ) )� � � � �exp � 0 5 12 1, ãäå � � 0 — íåîïðåäåëåííàÿ ïîêà êîí-
ñòàíòà. Ôóíêöèÿ V x t( , ) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è
V a x V x t Vt � � � � � � � � ��( (( , ) ) ) (( , ) ) ( )� � �0
2 1 2 22 0 5 1 0 5 1 exp
� � � � � ��2 2 1 0 5 12 1a x x V aVx xx( )(( , ) )
� � � ��(( , ) ) ( )x t F0 5 12 1 exp � , (14)
( . ) ( ) , ( . ) (1 25 1 25
0
1
1
V V t V Vx
x
x
x
�
�
�
� � � � �
�
�
� �
� �
exp exp� � � � �t) 2 ,
V xt| (( , ) )�
�� � �0
2 1
30 5 1 � .
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ îöåíêè (13) ðàññìîòðèì ìàêñèìóì ôóíêöèè V â íåêîòîðîé
òî÷êå ( , )x t0 0 . Âîçìîæíû òðè âàðèàíòà.
1. Ìàêñèìóì V x t( , )0 0 0
, òîãäà ñïðàâåäëèâà îöåíêà (13).
2. Íåîòðèöàòåëüíûé ìàêñèìóìV x t( , )0 0 äîñòèãàåòñÿ íà ãðàíèöå îáëàñòè QT .
Åñëè x0 0� , òî V x tx ( , )0 0 0
è 0 0 0 0 1 0
�V x t t t( , ) ( ) ( )exp � � .
Åñëè x0 1� , òî V x tx ( , )0 0 0 è 0 0 0 0 2 0
�V x t t t( , ) ( ) ( )exp � � .
Åñëè t0 0� , òî 0 0 0 0 2 0
�V x t t x( , ) ( ) ( )exp � � .
3. Íåîòðèöàòåëüíûé ìàêñèìóì äîñòèãàåòñÿ âî âíóòðåííåé òî÷êå îáëàñòè QT .
Òîãäà ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà
V x tt ( , )0 0 0 , V x tx ( , )0 0 0� , ( )� aVxx 0,
(( , ) ) ( ) ( , )x t V x t0
2
0
2
0 00 5 1 0� � exp � .
Èç (14) ñëåäóåò îöåíêà
0
2
0 0
0 0
0
�
� �
V x t
t F x t
a
( , )
( ) ( , )
( )
exp �
� �
,
ãäå êîíñòàíòà � �� � �
�
( max ( ) )
[ , ]t T
t a
0
0 2 0.
Ðàññìîòðèì ìèíèìóì V x t( , )0 0 . Âîçìîæíû òðè âàðèàíòà.
1. Ìèíèìóì V x t( , )0 0 0 , òîãäà ñïðàâåäëèâà îöåíêà (13).
2. Íåïîëîæèòåëüíûé ìèíèìóì V x t( , )0 0 äîñòèãàåòñÿ íà ãðàíèöå îáëàñòè
QT .
123 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4
Åñëè x0 0� , òî V x tx ( , )0 0 0 è V x t t t( , ) ( ) ( )0 0 0 1 0 �exp � � . Îäíàêî ýòî
ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ îòðèöàòåëüíîãî ìèíèìóìà è åäèíñòâåííûé êîððåêòíûé
âàðèàíò â äàííîì ñëó÷àå: V x t V x t t tx ( , ) ( , ) ( ) ( )0 0 0 0 0 1 0 0� � � �exp � � .
Åñëè x0 1� , òî V x tx ( , )0 0 0
è V x t t t( , ) ( ) ( )0 0 0 2 0 �exp � � . Ìèíèìóì íå
ìîæåò áûòü îòðèöàòåëüíûì, V x t V x t t tx ( , ) ( , ) ( ) ( )0 0 0 0 0 1 0 0� � � �exp � � .
Åñëè t0 0� , òî ìèíèìóì òàêæå íå ìîæåò áûòü îòðèöàòåëüíûì è åäèíñòâåí-
íûé êîððåêòíûé âàðèàíò: V x t t x( , ) ( ) ( )0 0 0 2 0 0� � �exp � � .
3. Íåïîëîæèòåëüíûé ìèíèìóì V x t( , )0 0 äîñòèãàåòñÿ âî âíóòðåííåé òî÷êå
îáëàñòè QT . Òîãäà ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà
V x t V x t aVt x xx( , ) , ( , ) , ( )0 0 0 00 0 0
� �
.
Èç (14) òàêæå ñëåäóåò íåðàâåíñòâî
( (( , ) ) ) ( , )� �� � � � ��
0 0
2 1
0 02 0 5 1a x V x t
� � � � (( , ) ) ( ) ( , ) ( ) ( , )x t V x t t F x t0
2
0
2
0 0 0 00 5 1 0exp exp� � .
Îòñþäà âûòåêàåò íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ îòðèöàòåëüíîãî
ìèíèìóìà
V x t t a x x( , ) ( )( (( , ) ) )(( ,0 0 0 0 0
2 1
02 0 5 1 0
� � � � � � ��exp � � � 5 12 1) )�
�
� � � � �0 8 2 00, ( )( )exp � � �T a . (15)
Ðàññìîòðèì ïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî òàêèõ ìèíèìóìîâ, çàâèñÿùèõ îò
T V x t T: ( , , )0 0 . Ïðè T � 0 è ñîîòâåòñòâåííî ïðè t0 0� ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå
ôóíêöèè V x t T( , , )0 0 óâåëè÷èâàåòñÿ, ïîñêîëüêó V x t( , ) — íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ
(êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è (14)), ïðèíèìàþùàÿ íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ â íà-
÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè: V x x( , ) (( , )0 0 5 2� � � � �1 01
3) ( )� x . Îäíàêî óñëîâèå
(15) ïðè T � 0 ïðèâîäèò ê óñëîâèþ ñêà÷êà ôóíêöèè ïðè ïåðåõîäå ê íà÷àëüíîìó
çíà÷åíèþ. Âîçíèêàåò ïðîòèâîðå÷èå. Åäèíñòâåííûé êîððåêòíûé âàðèàíò äëÿ òî÷-
êè ìèíèìóìà: V x t( , )0 0 � � � � ��(( , ) ) ( )x x0
2 1
3 00 5 1 0� .
Òàêèì îáðàçîì, ñ îäíîé ñòîðîíû, V x t( , ) íå ìîæåò ïðèíèìàòü îòðèöàòåëüíî-
ãî ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ â QT , ñ äðóãîé — äëÿ åå ïîëîæèòåëüíîãî ìàêñèìóìà
ñïðàâåäëèâà îöåíêà
0 0
0
�
�
�
V x t t
t F
t tQ
( , ) max ; max ( ( ) ); max
( )
(�
exp
exp
� �
�
� � �
�
�
�
�
�
�2a)
,
ãäå êîíñòàíòà � �
�
� � �
�
( max ( ) )
[ , ]t T
t a
0
2 0, îãðàíè÷åííàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíê-
öèÿ � ñîâïàäàåò íà ãðàíèöå îáëàñòè �T ñ ôóíêöèÿìè �1, � 2 , � 3 . Ïåðåõîäÿ ê
ôóíêöèè Y x t V x t t x( , ) ( , ) ( )(( , ) )� � �exp � 0 5 12 , ïîëó÷àåì îöåíêó (13).
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Çàìå÷àíèå 1.Îöåíêà (13) ãàðàíòèðóåò îãðàíè÷åííîñòü êëàññè÷åñêîãî ðåøå-
íèÿ çàäà÷è (11), (12) íà ëþáîì îãðàíè÷åííîì îòðåçêå âðåìåíè [ , ]0 T . Îäíàêî â
êàæäîé òî÷êå ( , )x t QT� ñóììàðíàÿ èííîâàöèÿ íå ïðåâûøàåò êîëè÷åñòâà ðåöèïè-
åíòîâ: Y t t( ) ( )
� 0 . Åñëè Y t( ) äîñòèãàåò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ çà ñ÷åò âíóò-
ðåííèõ èíâåñòèöèé èëè âíåøíèõ ïîòîêîâ, ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññà
îñòàíàâëèâàåòñÿ.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4 124
Ðàññìîòðèì â îáëàñòè x�[ , ]0 1 äâå êîíêóðèðóþùèå èííîâàöèè { }y k( )
(k �1 2, ), ðàñïîëîæåííûå â ãðàíè÷íûõ òî÷êàõ x � 0, x �1 ñ ëîêàëèçîâàííûìè íà-
÷àëüíûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè òèïà y x A B x
0
1
1 1
20( ) ( , ) ( )� �exp ,
y x A B x
0
2
2 2
20 1( ) ( , ) ( ( ) )� � �exp , Ak � 0, Bk � 0. Ðàñùåïèì çàäà÷ó (11), (12) íà äâå
çàäà÷è äëÿ { }y k( ) ïî àíàëîãèè ñ ñèñòåìîé (3)–(5) è ïîëó÷èì ñèñòåìó
Ëîòêå-Âîëüòåððà
y Y y y y ay ft
k k k k m
xx
k k( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )� � � � � �� �0 1 , (16)
y y y
x
k
x
k
x
k
x
k k
t
k( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,�
�
� � �
�
� �
�
�
� � �0
1
1
2
0
3
� � � . (17)
Çäåñü � — êîýôôèöèåíò ìåæèííîâàöèîííîé êîíêóðåíöèè, m �1 2, , m k� ,
Y x t y x t
k
k( , ) ( , )( )�
�
1
2
, � �s
k
s
k�
�
1
2
( ) (s �1 3, ), ïðè÷åì 0 3
1
2
3
� �
�
� �
k
k( )
� � 0 0( ), F x t f x t
k
k( , ) ( , )( )�
�
1
2
, f x tk( ) ( , ) — èíâåñòèöèè â k-èííîâàöèþ. Ñóì-
ìà óðàâíåíèé (16) ïðèâîäèò ê óðàâíåíèþ (11). Ïîñêîëüêó çàäà÷à (11), (12) íå
çàâèñèò îò ðåøåíèÿ ñèñòåìû (16), (17), åå ðåøåíèå ñëóæèò îïîðíîé ôóíêöèåé
äëÿ ðåäóêöèè ñèñòåìû Ëîòêå–Âîëüòåððà (16), (17) ê ñîâîêóïíîñòè
íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé.
Òåîðåìà 2.Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 1, ôóíêöèè y x t( ) ( , )1 ,
y x t( ) ( , )2 — êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå ñèñòåìû (16), (17) â îáëàñòè QT , êîýôôèöèåí-
òû ñèñòåìû (16) � � �( , )1 1 , �
1
0( ) ( )k t , �
2
0( ) ( )k t , 0 3
�� � �
�
k
k
1
2
3 0 0� �( ) ( ),
f x tk( ) ( , ) 0 — íåïðåðûâíûå, îãðàíè÷åííûå íà ìíîæåñòâå QT ôóíêöèè. Òîãäà
äëÿ y x tk( ) ( , ) (k �1 2, ) ñïðàâåäëèâû îöåíêè
0
y x tk( ) ( , )
�
�
125 0, max ; max ( ( )) ); max
( ( ))( )
(
�t t
T t
T t fk
Q
exp
exp
� �
� k
a
)
( )� �� �
�
�
�
��
�
�
�
��0 2
, (18)
ãäå êîíñòàíòà � �� � �
�
( max ( ) )
[ , ]t T
t a
0
0 2 0, à îãðàíè÷åííûå íåïðåðûâíûå
ôóíêöèè � ( )k äëÿ êàæäîãî ôèêñèðîâàííîãî k ñîâïàäàþò íà ãðàíèöå îáëàñòè
�T ñ ôóíêöèÿìè �
1
( )k , �
2
( )k , �
3
( )k .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîäñòàâèì â ñèñòåìó (16), (17) y Y y( ) ( )2 1� � . Äëÿ y( )1 ïî-
ëó÷àåì óðàâíåíèå
y Y y y ay ft xx
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) )1
0
1 1 1 11
2
� � � � � �� � � . ( )19
Ïåðåéäåì â óðàâíåíèè (19) ê íîâîé ôóíêöèè V x t( ) ( , )1 �
� � � � �y x t t x( ) ( )( , ) ( )(( , ) )1 1 2 10 5 1exp � , ãäå �( )1 0� — íåîïðåäåëåííàÿ ïîêà êîí-
ñòàíòà. Ôóíêöèÿ V x t( ) ( , )1 ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è
125 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4
V Y a x Vt
( ) ( ) ( )( ( ) (( , ) ) )1 1
0
2 1 11 2 0 5 1� � � � � � � ��� � �
� � � � � � �� �(( , ) ) ( ) ( )(( , ) )( ) ( )x t V a x x0 5 1 2 2 1 0 5 12 1 1 22
exp � �1 1Vx
( )
� � � � ��aV x t fxx
( ) ( ) ( )(( , ) ) ( )1 2 1 1 10 5 1 exp � , (20)
( . ) ( )( ) ( ) ( )1 25 1 1
0
1
1V V t
x
x
� �
�
� � �
�
exp � � ,
( . ) ( )( ) ( ) ( )1 25 1 1
1
2
1V V t
x
x
� �
�
� �
�
exp � � , (21)
V x
t
( ) ( )(( . ) )1
0
2 1
3
105 1�
�
� � �
�
� � (22)
Ïîâòîðÿÿ äëÿ çàäà÷è (20)–(22) ðàññóæäåíèÿ, àíàëîãè÷íûå äîêàçàòåëüñòâó òå-
îðåìû 1, ïîëó÷àåì, ÷òî, ñ îäíîé ñòîðîíû, V x t( ) ( , )1 íå ìîæåò ïðèíèìàòü îòðèöà-
òåëüíîãî ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ â QT , ñ äðóãîé — èç íåðàâåíñòâà
( ) ( , )1 0� � Y x t ñëåäóåò, ÷òî äëÿ åå ïîëîæèòåëüíîãî ìàêñèìóìà ñïðàâåäëèâà
îöåíêà
0 01 1
�
�
V x t t
t
t TQ
( ) ( )( , ) max ; max ( ( ) ); max
( )
�
exp
exp
� �
� f
a
( )
( )
1
0 2� �� �
�
�
�
��
�
�
�
��
,
ãäå êîíñòàíòà � �
�
� � �
�
( max ( ) )
[ , ]t T
t a
0
2 0, îãðàíè÷åííàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ
� ( )1 ñîâïàäàåò íà ãðàíèöå îáëàñòè �T ñ ôóíêöèÿìè �
1
1( ) , �
2
1( ) , �
3
1( ) . Ïåðåõîäÿ ê
ôóíêöèè y x t V x t t x( ) ( )( , ) ( , ) ( )(( , ) )1 1 20 5 1� � �exp � , ïîëó÷àåì îöåíêó (18).
Ïîñêîëüêó óðàâíåíèå ñèñòåìû (16), (17) äëÿ ôóíêöèè y( )2 îòëè÷àåòñÿ îò
óðàâíåíèÿ äëÿ y( )1 òîëüêî çíàêîì ïðè êîýôôèöèåíòå � è êîýôôèöèåíòàìè
�
1
2( ) , �
2
2( ) , �
3
2( ) , f ( )2 , äëÿ ðåøåíèÿ y( )2 ïîëó÷àåì àíàëîãè÷íûå îöåíêè (18).
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Çàìå÷àíèå 2. Îöåíêè (18) ãàðàíòèðóþò îãðàíè÷åííîñòü êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ
çàäà÷è (16), (17) íà ëþáîì îãðàíè÷åííîì îòðåçêå âðåìåíè [ , ]0 T . Îäíàêî â êàæäîé
òî÷êå ( , )x t QT� ñóììàðíàÿ èííîâàöèÿ íå ïðåâûøàåò êîëè÷åñòâà ðåöèïèåíòîâ:
0
1
2
0
�
k
ky x t t( ) ( , ) ( )� . Åñëè ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå
k
ky x t
�
1
2
( ) ( , ) äîñòèãàåò â
íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè T * ÷èñëà ðåöèïèåíòîâ èííîâàöèè � 0 ( )*T çà ñ÷åò âíóò-
ðåííèõ èíâåñòèöèé èëè âíåøíèõ ïîòîêîâ, òî T * ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íûì ìîìåíòîì
ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîöåññà äèôôóçèè èííîâàöèé.
ÄÎÑÒÀÒÎ×ÍÛÅ ÓÑËÎÂÈß ÑÓÙÅÑÒÂÎÂÀÍÈß ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÃÎ ÓÏÐÀÂËÅÍÈß ÄËß
ÑÈÑÒÅÌÛ ÄÂÓÕ ÈÍÍÎÂÀÖÈÉ
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ èííîâàöèåé y( )1 ñ ïîìîùüþ èí-
âåñòèöèé è åå íà÷àëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé äëÿ ñèñòåìû äâóõ êîíêóðèðóþùèõ
èííîâàöèé
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4 126
y Y y y y ay f x t ut xx
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( , , )1
0
1 1 2 1 1� � � � �� � , (23)
y Y y y y ay f x tt xx
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( , )2
0
2 2 1 2 2� � � � �� � , (24)
y y
x
k
x
k
x
k
x
k( ) ( ) ( ) ( ),�
�
� � �
�
�
� �0
1
1
2
� � ,
y x u y x
t t
( ) ( ) ( ) ( )( , ), ( )1
0
3
1 2
0
3
2�
�
� �
�
�
� �
� � , ( )25
ãäå Y x t( , ) — ðåøåíèå çàäà÷è (11), (12), u x t U( , )� — ôóíêöèÿ óïðàâëåíèÿ èç
ìíîæåñòâà óïðàâëåíèé U .  çàäà÷å (23)–(25) ïðèíÿòà ãèïîòåçà î òîì, ÷òî èí-
âåñòîðó ïåðâîé èííîâàöèè èçâåñòíà èíâåñòèöèîííàÿ ñòðàòåãèÿ èíâåñòîðà âòî-
ðîé èííîâàöèè f x t( ) ( , )2 . Íà ïðîñòðàíñòâå �J TC Q� �{
2
1 ( ) � �C Q UT2
1 ( ) } ââå-
äåì êðèòåðèé êà÷åñòâà óïðàâëåíèÿ — ôóíêöèîíàë J y y u( , , )( ) ( )1 2 (öåëåâàÿ
ôóíêöèÿ èíâåñòîðà ïåðâîé èííîâàöèè). Çàäà÷à îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ äëÿ
ñèñòåìû (11), (12), (23)–(25) ñ îãðàíè÷åíèÿìè èìååò âèä
u x t J y y u
u U
* ( ) ( )( , ) ( , , )�
�
arg inf 1 2 , (26)
0
1
2
0
�
k
ky x t t( ) ( , ) ( )� . ( )27
Ðàññìîòðèì äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ
äëÿ çàäà÷è (11), (12), (23)–(25) ïî àíàëîãèè ñ [8, 9].
Òåîðåìà 3.Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåì 1 è 2, ìíîæåñòâà ôóíêöèé
F f x t u u U( ) ( ) ( , , ) :1 1� �{ }, ( ) ( ) ( , ) :1
3
1� �{ }� x u u U êîìïàêòíû â C QT( ), C ([ , ])0 1
ñîîòâåòñòâåííî. Ôóíêöèîíàë J y y u J y y( , , ) ( , )( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2� ïîëóíåïðåðûâíûé
ñíèçó íà ïðîñòðàíñòâå �J . Òîãäà ñóùåñòâóåò ïî êðàéíåé ìåðå îäíî îïòèìàëüíîå
óïðàâëåíèå u x t U( , )� çàäà÷è (11), (12), (23)–(25).
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé 0 03
1
2
0
� �
�
� � �
k
s
k( ) ( ) ñëåäóåò,
÷òî îãðàíè÷åíèå (27) íå ïðîòèâîðå÷èò ñóùåñòâîâàíèþ ìèíèìèçèðóþùåé ïîñëå-
äîâàòåëüíîñòè äëÿ (26) { }ul . Â ñèëó êîìïàêòíîñòè ìíîæåñòâ F ( )1 , ( )1 èç ïîñëå-
äîâàòåëüíîñòåé f x t f x t u
l l
( ) ( )( , ) ( , , )1 1� , � �
3
1
3
1
l lx x u( ) ( )( ) ( , )� ìîæíî âûäåëèòü
ñõîäÿùèåñÿ â C QT( ), C ([ , ])0 1 ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè f x t f x t
lp
( ) ( )( , ) � ( , )1 1� ,
� �
3
1 1
lp
x x( ) ( )( ) � ( )� . Èç êîìïàêòíîñòè F ( )1 , ( )1 ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå îïòèìàëü-
íîãî óïðàâëåíèÿ �u U� , äëÿ êîòîðîãî � ( , ) ( , , � )( )f x t f x t u1 � , � ( ) ( , � )( ) ( )� �
3
1
3
1x x u� . Â
ñèëó ñóùåñòâîâàíèÿ êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû (11), (12), (23)–(25) è åãî
íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòè îò íà÷àëüíîé ôóíêöèè è ïðàâîé ÷àñòè (â ñèëó òåîðåì
1 è 2), äëÿ f x t
lp
( ) ( , )1 , �
3
1
lp
x( ) ( ) ñóùåñòâóþò ñõîäÿùèåñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíê-
öèé y x t y x t
lp
( ) ( )( , ) � ( , )1 1� , y x t y x t
lp
( ) ( )( , ) � ( , )2 2� , ãäå � ( , ), � ( , )( ) ( )y x t y x t1 2 —
ðåøåíèå çàäà÷è (11) , (12) , (23)–(25) ïðè f x t u f x t( ) ( )( , , � ) � ( , )1 1� ,
� �
3
1
3
1( ) ( )( , � ) � ( )x u x� .
Èç ïîëóíåïðåðûâíîñòè ôóíêöèîíàëà J y y( , )( ) ( )1 2 ñíèçó ñëåäóåò ñïðàâåäëè-
127 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4
âîñòü îöåíêè
lim
l
l l l
p
p p p
J y y u J y y u
��
( , , ) ( � , � , � )( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 .
Ïîñêîëüêó ulp
— ìèíèìèçèðóþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, èìååì
lim inf
l
l l l
u
p
p p p
J y y u J y y
��
�( , , ) ( , )( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 .
Èç äàííûõ ñîîòíîøåíèé ñëåäóåò, ÷òî �u U� — îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå çà-
äà÷è (11), (12), (23)–(25).
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Çàìå÷àíèå 3. Äëÿ ïðàêòè÷åñêîãî èñïîëüçîâàíèÿ ðåçóëüòàòîâ òåîðåìû 3
óñëîâèÿ êîìïàêòíîñòè ìíîæåñòâ F ( )1 , ( )1 ìîæíî çàìåíèòü óñëîâèÿìè äëÿ U :
åñëè ôóíêöèè f x t u( ) ( , , )1 , �
3
1( ) ( , )x u íåïðåðûâíî çàâèñÿò îò óïðàâëåíèÿ u x t( , ) è
ìíîæåñòâî u U� ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòíûì â C QT( ), òî òåîðåìà 3 ñïðàâåäëèâà. Ýòî
ñëåäóåò èç òåîðåì î íåïðåðûâíûõ îòîáðàæåíèÿõ êîìïàêòíûõ ïðîñòðàíñòâ [10].
×ÈÑËÅÍÍÎÅ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ ÌÍÎÃÎÌÅÐÍÛÕ
ÏÐÎÖÅÑÑÎÂ ÄÈÔÔÓÇÈÈ ÈÍÍÎÂÀÖÈÈ
Ìåòîäû ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ïîçâîëÿþò èññëåäîâàòü ñèñòåìû êîíêóðè-
ðóþùèõ èííîâàöèé äëÿ áîëüøåãî êîëè÷åñòâà ó÷àñòíèêîâ ( )n� 2 . Äëÿ îáúåìîâ
âûïóñêà èííîâàöèîííîãî ïðîäóêòà â åäèíèöó âðåìåíè Y x t( , ) ðàññìîòðèì çà-
äà÷ó (11), (12) â ìíîãîìåðíîé îáëàñòè Q TT � �! ( , )0 ,
! �
� �{ }x x s ns| , ,0 1 1 1 . Ïóñòü â ! ñóùåñòâóåò n êîíêóðèðóþùèõ èííîâà-
öèé { }y k( ) ( , )k N�1 . Ñîãëàñíî êîíöåïöèè äèôôóçèè èííîâàöèè öåíòðû èííî-
âàöèîííûõ ïðîäóêòîâ äîëæíû ðàñïîëàãàòüñÿ â ! íà ðàâíîóäàëåííûõ ðàññòîÿ-
íèÿõ. Ïîýòîìó äëÿ n êîíêóðèðóþùèõ èííîâàöèé ðàçìåðíîñòü îáëàñòè !
äîëæíà áûòü ( )n �1 . Ðàñùåïèì çàäà÷ó (11), (12) íà n çàäà÷ äëÿ { }y k( ) ïî
àíàëîãèè ñ ñèñòåìîé (13), (14) è ïîëó÷èì ñèñòåìó Ëîòêå–Âîëüòåððà
y Y y y yt
k k k
s
k
k
ks
s
s k
n
k
( ) ( ) ( )
( )
( )
(
( )� � � �
�
�
�
� �
� �0
1
1
1
1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
n
ks
s
s
n
x x
k ky a y f
s s
)
( ) ( ) ( ) ,�
1
1
(28)
y y
x
k
x
m
k
x
k
x
m
k
m
m
m
m
( ) ( ) ( ) ( ),�
�
� � � �
�
� �
� �0
1
1
2
� �
( , ), |( ) ( )m n y k
t
k� � ��1 1 0 3
� , (29)
ãäå Y x t y x t
k
n
k( , ) ( , )( )�
�
1
, � �s
k
n
s
k�
�
1
( ) (s �1 3, ), F x t f x t
k
n
k( , ) ( , )( )�
�
1
.
Ñóììà óðàâíåíèé (28) ïðèâîäèò ê óðàâíåíèþ (11). Óñëîâèå óïîðÿäî÷åííîñòè êîí-
êóðåíöèè èííîâàöèé ïðèâîäèò ê óïîðÿäî÷åííîñòè óðàâíåíèé ñèñòåìû (28) ïî êî-
ýôôèöèåíòàì � ks. Èííîâàöèÿ y k( ) äîìèíèðóåò íàä èííîâàöèåé y y ys k s( ) ( ) ( ): � ,
åñëè 0 1
�� ks . Áóäåì ïðåäïîëàãàòü â ñèñòåìå (28) y y y n( ) ( ) ( ). . .1 2
� � � . Ïðè
íàðóøåíèè äàííîãî óñëîâèÿ ïðîèñõîäèò çàöèêëèâàíèå äîìèíèðîâàíèÿ îäíèõ
èííîâàöèé íàä äðóãèìè, ÷òî íåäîïóñòèìî â ýêîíîìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4 128
Áóäåì ïðåäïîëàãàòü ñóùåñòâîâàíèå â ñèñòåìå (28) óïðàâëåíèÿ
s-èííîâàöèåé ñ ïîìîùüþ èíâåñòèöèé f f x t us s s( ) ( ) ( )( , , )� è íà÷àëüíîãî ðàñïðå-
äåëåíèÿ � �
3 3
( ) ( ) ( )( , )s s sx u� . Íà ïðîñòðàíñòâå �J TC Q� �{
2
1 ( ) . . . � �C Q UT2
1 ( ) }
ââåäåì êðèòåðèé êà÷åñòâà óïðàâëåíèÿ — ôóíêöèîíàë J y y un s( , . . . , , )( ) ( ) ( )1 (öå-
ëåâàÿ ôóíêöèÿ èíâåñòîðà s-èííîâàöèè). Çàäà÷à îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ äëÿ
ñèñòåìû (11), (12), (23)–(25) èìååò âèä
u x t J y y u
u U
n s
s
* ( ) ( ) ( )( , ) ( , . . . , , )
( )
�
�
arg inf 1 .
Ïðè ÷èñëåííîì èññëåäîâàíèè ñèñòåìû (28), (29) áóäåì ïðåäïîëàãàòü âûïîë-
íåíèå óñëîâèé òåîðåì 1, 2, 3:
1) êîýôôèöèåíòû çàäà÷è (11), (12) � 0 0( )t � , F x t( , ) 0, �1 0( )t , � 2 0( )t ,
� 3 0( )x — íåïðåðûâíûå, îãðàíè÷åííûå íà ìíîæåñòâå QT ôóíêöèè;
2) ôóíêöèè y x tk( ) ( , ) (k n�1, ) — êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå ñèñòåìû (28), (29) â
îáëàñòè QT , êîýôôèöèåíòû (0 1
�� ks ), f x tk( ) ( , ) 0, �
1
0( ) ( )k t , �
2
0( ) ( )k t ,
�
3
0( ) ( )k x — íåïðåðûâíûå, îãðàíè÷åííûå íà ìíîæåñòâå QT ôóíêöèè;
3) ìíîæåñòâà ôóíêöèé F f x t u u Us s( ) ( ) ( , , ) :� �{ }, ( ) ( ) ( , ) :s s x u� {�
3
u U� }
êîìïàêòíû â C QT( ), C ([ , ])0 1 ñîîòâåòñòâåííî; ôóíêöèîíàë J y y un s( , . . . , , )( ) ( ) ( )1
— ïîëóíåïðåðûâíûé ñíèçó íà ïðîñòðàíñòâå �J .
Ïîñêîëüêó ñèñòåìà (28), (29) ÿâëÿåòñÿ ìíîãîìåðíîé, äëÿ åå ÷èñëåííîãî ðå-
øåíèÿ ìåòîäàìè êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé ïðèìåíÿþò äâà ïîäõîäà. Ïåðâûé ñâÿçàí ñ
èñïîëüçîâàíèåì íåÿâíûõ äâóõñëîéíûõ ìîíîòîííûõ ðàçíîñòíûõ ñõåì è ïðèìåíå-
íèåì ñïåöèàëüíûõ àëãîðèòìîâ ðàñùåïëåíèÿ (ôàêòîðèçàöèè) [11, 12], âòîðîé — ñ
èñïîëüçîâàíèåì ÿâíûõ òðåõñëîéíûõ ìîíîòîííûõ ðàçíîñòíûõ ñõåì [14].
Íåÿâíûå ñõåìû, êàê ïðàâèëî, ýêîíîìè÷íû, ïîñêîëüêó íå íàêëàäûâàþò æåñ-
òêèõ îãðàíè÷åíèé íà ïàðàìåòðû ðàçíîñòíîé ñåòêè (øàãè ïî âðåìåíè è êîîðäèíà-
òå), íî ïðèìåíåíèå ìåòîäîâ ôàêòîðèçàöèè âíîñèò äîïîëíèòåëüíûå ïîãðåøíîñòè
â ðåøåíèå çàäà÷è â îêðåñòíîñòè ãðàíèöû îáëàñòè, ÷òî ìîæåò ñóùåñòâåííî âëè-
ÿòü íà êîíå÷íûé ðåçóëüòàò. Êðîìå òîãî, ïðè áîëüøîé ðàçìåðíîñòè ñèñòåì âîç-
ðàñòàåò êîëè÷åñòâî ëîêàëüíî-îäíîìåðíûõ óðàâíåíèé è çíà÷èòåëüíî óâåëè÷èâà-
åòñÿ ÷èñëî âûïîëíÿåìûõ îïåðàöèé, ÷òî ìîæåò ñâåñòè ê ìèíèìóìó ïðåèìóùåñòâà
íåÿâíûõ ñõåì ïî òðóäîåìêîñòè àëãîðèòìà. Ñëåäóåò îòìåòèòü òàêæå, ÷òî
àëãîðèòì ôàêòîðèçàöèè äîñòàòî÷íî çàòðóäíèòåëåí äëÿ êâàçèëèíåéíûõ
ïàðàáîëè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ.
ßâíûå òðåõñëîéíûå ðàçíîñòíûå ñõåìû äëÿ êâàçèïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé
÷àñòî íàêëàäûâàþò íàìíîãî áîëåå æåñòêèå îãðàíè÷åíèÿ íà øàã ïî âðåìåíè, ÷òî
ïðèâîäèò ê áîëüøèì îáúåìàì âû÷èñëåíèé. Îäíàêî ñ ðîñòîì ðàçìåðíîñòè ñèñòå-
ìû êîëè÷åñòâî îïåðàöèé, çàòðà÷èâàåìûõ íà îäíîì øàãå ïî âðåìåíè, íå ïðèâîäèò
ê ñóùåñòâåííîìó ðîñòó òðóäîåìêîñòè àëãîðèòìà, ïîñêîëüêó ÷èñëî ðåøàåìûõ
óðàâíåíèé â ñèñòåìå íå óâåëè÷èâàåòñÿ. Ïðèìåð èñïîëüçîâàíèÿ ïîäîáíûõ ñõåì
äëÿ ñèñòåì êâàçèëèíåéíûõ óðàâíåíèé ãèäðîòåðìîäèíàìèêè ïðèâîäèòñÿ â [14].
Ââåäåì â ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè ðàâíîìåðíóþ ðàçíîñòíóþ ñåòêó
� h h n j k k k j kn i in ik
x x t x i h t j i
1 1 1
1 1 0� � � �
�
�
{ , ... , , | , ,
I j Mk , 0 }. Îáîç-
íà÷èì
�
y k( ) , y k( ) , � ( )y k çíà÷åíèÿ ôóíêöèé y k( ) â ìîìåíòû âðåìåíè t t tj j j� �1 1, ,
ñîîòâåòñòâåííî. Ñäåëàåì çàìåíó ôóíêöèè â ïåðâîì óðàâíåíèè ñèñòåìû (28) íà
y x t V x t t( ) ( )( , ) ( , ) ( )1 1� exp � (� � 0 — íåîïðåäåëåííàÿ ïîêà êîíñòàíòà) è ïîäñòà-
129 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4
âèì çíà÷åíèå Y x t y x t
k
n
k( , ) ( , )( )�
�
1
. Äëÿ ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ ðàññìîòðèì
óñëîâíî-ìîíîòîííóþ ÿâíóþ íåêîíñåðâàòèâíóþ òðåõñëîéíóþ ñõåìó âòîðîãî ïî-
ðÿäêà òî÷íîñòè c èñïîëüçîâàíèåì ñãëàæèâàþùåãî îïåðàòîðà èç ñõåìû Äþôîðòà
è Ôðàíêåëà [11]
( � / ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )V V V V t
i i i ik k k k
1 1
0
1 12
2
� � � � �
�
� � �exp � �
�
V y
i
s
n
s i
s
k k
( ) ( )( )1
2
1 1�
� � ��
�
�
�
�
� �
�
�
� �
a V V V h
s
n
i i i s
s s s
1
1
1
1 1
1
1 22( ) ( ) ( ) / ( )
� � ��
�
�
�
�
� � �w V V V f t
i
k
i i i ik k k k k
( ) ( ) ( ) ( ) ( )� (1 1 1 12
�
exp � ) , (30)
ãäå wik
— ñåòî÷íàÿ ôóíêöèÿ, îïðåäåëÿåìàÿ èç óñëîâèÿ ïîëó÷åíèÿ ðàçíîñòíîé
ñõåìû òèïà «ðîìá»:
w y y ai i
s
n
s i
s
s
k k k
� � � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
0 5 10
1
2
1, ( )( ) ( )� � �
1
1
2
n
sh
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
. (31)
Òîãäà !y w y y yk
i
k
i
k
i
k
i
k
k k k k
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( � )� � �2
�
— ñãëàæèâàþùèé îïåðàòîð, èìåþ-
ùèé ïîðÿäîê ìàëîñòè O h
s
n
s( ) 2
1
2
�
�
. Ñõåìà (30) îáëàäàåò óñëîâíîé àïïðîêñèìà-
öèåé è èìååò ïîãðåøíîñòü
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
O h h O h
s
n
s
s
n
s
s
n
s
2
1
1
2
1
1
2 2
1
1
2
�
�
�
�
�
�
�
�
ïðè �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Î h
s
n
s
1
1
2 .
Ñ ó÷åòîì (31) ñõåìà (30) ïðèíèìàåò âèä
�
( )
( )
( ) ( )V
w
w
V
i
i
i
ik
k
k
k
1 1
1 2
1 2
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
� �
2
1 2
2
1
1
1
1
1
1 2
a
w
V V h
i s
n
i i s
k
s s( )
( ) / ( )
( ) ( )
exp( )
( )
( )
�
�
�
t
w
f
j
i
i
k
k1 2
1
.
( )32
Ïîñêîëüêó íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ ôóíêöèé y
i
k
s
( ) 0 (k �1), äëÿ òîãî ÷òîáû ñõå-
ìà (32) ôîðìàëüíî óäîâëåòâîðÿëà ðàçíîñòíîé òåîðåìå ïðèíöèïà ìàêñèìóìà èç
[11], äîñòàòî÷íî íàëîæèòü ñëåäóþùèå îãðàíè÷åíèÿ íà ïàðàìåòðû � , :
� � � �� � � �
�
max ( ) max ( ) ( ) max
,
( )
t t s
n
s
x t
st t y0 0
2
1 1 , ( )33
� � �� � � � � �
�
�
�
�
� �
�
�
0
2
1
1
1
1
21 2
s
n
s i
s
i
s
n
sy y a h
k k
( ) ( ) ( )
�
�
�
�
�1
.
(34)
Óñëîâèÿ (33), (34) ãàðàíòèðóþò íåîòðèöàòåëüíîñòü è îãðàíè÷åííîñòü ñâåðõó
ðåøåíèÿ � ( )V
ik
1 , ò.å. ðåøåíèå îñòàåòñÿ îãðàíè÷åííûì â òå÷åíèå ëþáîãî îãðàíè÷åí-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4 130
íîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè. Îäíàêî âûáîð � è ïî (33), (34) âîçìîæåí òîëüêî ÷èñ-
ëåííî, ñ ïîìîùüþ èòåðàöèîííûõ ïðîöåäóð, ïîñêîëüêó òåîðåìà 2 äîêàçàíà ëèøü
äëÿ ñèñòåìû äâóõ èííîâàöèé. Íî îöåíêó äëÿ ñóììàðíîãî îáúåìà èííîâàöèé
Y x t( , ) èç (13) ìîæíî èñïîëüçîâàòü â êà÷åñòâå ãðóáîãî íà÷àëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ
äëÿ � è , ïîñêîëüêó òåîðåìà 1 îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâîé äëÿ ïðîñòðàíñòâà ëþáîé
êîíå÷íîé ðàçìåðíîñòè. Ãðàíè÷íûå è íà÷àëüíûå óñëîâèÿ (29) àïïðîêñèìèðóåì
ñòàíäàðòíûìè ðàçíîñòíûìè îïåðàòîðàìè èç [11] ñ ïîðÿäêîì O h
ik
( )2 . Äëÿ òðåõ-
ñëîéíûõ ðàçíîñòíûõ ñõåì íåîáõîäèìî òàêæå çàäàòü äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå â
íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè. Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî êëàññà ñèñòåì êîððåêòíûì
äîïîëíèòåëüíûì óñëîâèåì áóäåò
yt
k
t
( ) | � �0 0. (35)
Ïîñëå îïðåäåëåíèÿ � ( )V
ik
1 ïåðåõîäèì ê ôóíêöèè � ( )y
ik
1 � � ( )( )V t
i j
k
1
1exp � � è ðàñ-
ñìàòðèâàåì àíàëîãè÷íî âòîðîå è ïîñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (28). Îöåíêà (33)
äëÿ � îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâîé äëÿ âñåõ ïîñëåäóþùèõ óðàâíåíèé íà âñåõ ïîñëåäóþ-
ùèõ âðåìåííûõ ñëîÿõ. Çàìåòèì, ÷òî òåîðåìû ïðèíöèïà ìàêñèìóìà èç [11, 13], èñ-
ïîëüçóåìûå äëÿ íåëèíåéíûõ ðàçíîñòíûõ ñõåì, ãàðàíòèðóþò îãðàíè÷åííîñòü è íåîò-
ðèöàòåëüíîñòü ðàçíîñòíîãî ðåøåíèÿ, íî íå ñõîäèìîñòü äàííîãî ðåøåíèÿ ê ðåøåíèþ
äèôôåðåíöèàëüíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé.  äàííîé ðàáîòå ïðîâåäåì ÷èñëåííûå èñ-
ñëåäîâàíèÿ ïîâåäåíèÿ ðàçíîñòíîãî ðåøåíèÿ íà ïðèìåðå ñèñòåìû äëÿ òðåõ
êîíêóðèðóþùèõ èííîâàöèé.
Ðàññìîòðèì ñèñòåìó îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ äëÿ çàäà÷è (28), (29), (35) ñ
ïàðàìåòðàìè, ïðèâåäåííûìè â òàáë. 1.
Ïàðàìåòðû xi
k( ) â òàáë. 1 — êîîðäèíàòû ðàâíîóäàëåííûõ öåíòðîâ èííîâà-
öèé â îáëàñòè ! �
�{ }x x ss| , ,0 1 1 2 . Íà÷àëüíûå è ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ:
�
1
0( ) ( )k t � , �
2
0( ) ( )k t � , �
3
0( ) ( )k x � . Ðàññìîòðèì ñöåíàðèé óïðàâëåíèÿ ñàìîé íåäî-
ìèíèðóþùåé èííîâàöèåé y( )3 ñ ïîìîùüþ âíóòðåííèõ èíâåñòèöèé:
f x x x x( ) ( ) ( ), ( (( ) ( ) ))1
1 1
1 2
2 2
1 20 1 20� � � � �exp ,
f x x x x( ) ( ) ( ), ( (( ) ( ) ))2
1 1
2 2
2 2
2 20 05 20� � � � �exp ,
f u t x x x x( ) ( ) ( )( ) ( (( ) ( ) ))3
1 1
3 2
2 2
3 220� � � � �exp .
Çàäà÷à îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ — âûâåñòè íåäîìèíèðóþùóþ èííîâàöèþ
y( )3 íà óðîâåíü 50% ðåöèïèåíòîâ çà ìèíèìàëüíî êîðîòêèé ïðîìåæóòîê âðåìåíè
ïðè äîìèíèðóþùåé èíâåñòèöèè f f( ) ( )3 1� , f f( ) ( )3 2� :
U y x t u
U
* ( )( ( , , ) , )� �arg inf 3
0
20 5 � (36)
ïðè îãðàíè÷åíèÿõ ( )( ) ( ) ( )y y y1 2 3
0� �
� . Åäèíñòâåííîå ðåøåíèå çàäà÷è (36)
îïðåäåëÿåòñÿ êàê óïðàâëåíèå ñ ìèíèìàëüíîé íîðìîé íà ìíîæåñòâå
131 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4
n y12 y13 y23 a �0 x
1
1( )
x
2
1( )
x
1
2( )
x
2
2( )
x
1
3( )
x
2
3( )
3 0.1 0.3 0.2 100 10 000 0 0 1 0 0.5 0.866
Ò à á ë è ö à 1
óïðàâëåíèé (36):
u u
U
L QT
*
( )
*
| | | |� arg inf
2
. (37)
Ñîãëàñíî çàìå÷àíèþ ê òåîðåìå 3 ðåøåíèå çàäà÷è (36) ìîæíî èñêàòü íà êëàñ-
ñå êóñî÷íî-ïîñòîÿííûõ îãðàíè÷åííûõ ôóíêöèé (êîìïàêòå) âèäà
u t u t t t t
j
m
j j j( ) ( ) ( )� � �
�
�
1
1� � , (38)
ãäå { }u j — íàáîð îãðàíè÷åííûõ êîýôôèöèåíòîâ (0
u u tj
0 ( ), u t0 0 3( ) ,� �
�0 005, t) íà èíòåðâàëàõ [ , ]t tj j� 1 , � ( )t — ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà. Ðåçóëüòàòû ðå-
øåíèÿ çàäà÷è îïòèìàëü-
íîãî óïðàâëåíèÿ (37),
(38) äëÿ ñèñòåìû (28),
(29) ñ ïîìîùüþ ðàçíîñ-
òíîé ñõåìû (31)–(34) äëÿ
ïàðàìåòðîâ èç òàáë. 1
ïðèâåäåíû íà ðèñ. 1, 2.
Òåñòîâûå ðàñ÷åòû ïî-
êàçàëè, ÷òî â òðåõìåðíîì
ñëó÷àå ðåøåíèÿ ñèñòåìû
(28), (29) ÿâëÿþòñÿ íåîò-
ðèöàòåëüíûìè è îãðàíè-
÷åííûìè ïî àíàëîãèè ñ
äâóõìåðíîé ñèñòåìîé.
Ñöåíàðèé âûâîäà ñàìîé
íåäîìèíèðóþùåé èííî-
âàöèè íà ñðåäíèé óðîâåíü
ïîòðåáëåíèÿ, 50% äîëè
ðûíêà (ðèñ. 1), âîçìîæåí
ïðè çíà÷èòåëüíîì äîìèíè-
ðîâàíèè èíâåñòèöèîííûõ
ðåñóðñîâ ïî ñðàâíåíèþ ñ
äðóãèìè èííîâàöèÿìè. Ïðè
ýòîì ôóíêöèÿ óïðàâëåíèÿ
(ðèñ. 2) ïðèíèìàåò ìàêñè-
ìàëüíûå ãðàíè÷íûå çíà÷å-
íèÿ u u tj j� 0 ( ). Ïîâåäåíèå
ñåòî÷íîé ôóíêöèè — ñóì-
ìàðíîé èííîâàöèè
Y x x ti i j( , , )1 21 2
ñîãëàñóåòñÿ
ñ îöåíêàìè äëÿ àíàëèòè÷åñ-
êîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è (11),
(12). Èñïîëüçîâàíèå ÿâíîé
òðåõñëîéíîé ðàçíîñòíîé ñõåìû (31)–(34) ïîçâîëÿåò â ðåæèìå ðåàëüíîãî âðåìåíè
ìîäåëèðîâàòü äîñòàòî÷íî ñëîæíûå ìíîãîìåðíûå ïðîöåññû äèôôóçèè
èííîâàöèé.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1.  à ñ è ë å í ê î  . Î . , Ø ì à ò ü ê î  . à . ²ííîâàöiéíèé ìåíåäæìåíò. — Ê.: ÖÓË, Ôåíiêñ,
2003. — 440 ñ.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4 132
Ðèñ. 1. Ãðàôèê ïîâåäåíèÿ ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ ñóììàðíîé
èííîâàöèè Y t* ( ) � max ( ( , , ))
,x x
Y x x t
1 2
1 2 è óïðàâëÿåìîé èííî-
âàöèè y x x t( ) ( ) ( )
( , , )3
1
3
2
3
Y
t
Ðèñ. 2. Çíà÷åíèÿ ôóíêöèîíàëà J t( ) " �10 4 è ôóíêöèè óïðàâ-
ëåíèÿ u t( )
J u" �10 4 ,
t
2. Ì î ñ ê î â ê è í Â . Îñíîâû êîíöåïöèè äèôôóçèè èííîâàöèé // Áèçíåñ-èíôîðì. — 1998. —
¹ 17–18. — Ñ. 41–48.
3. Ø ó ì ï å ò å ð È . Òåîðèÿ ýêîíîìè÷åñêîãî ðàçâèòèÿ. — Ì.: Íàóêà è òåõíèêà, 1982. — 293 ñ.
4. À ê i ì å í ê î  .  . , Ñ ó ã î í ÿ ê I . I . Äèíàìi÷íi ìîäåëi æèòò•âîãî öèêëó iííîâàöié â óìîâàõ
íåâèçíà÷åíîñòi // Âiñí. ÊèÂâ. óí-òó. Ñåð.: ôiç.-ìàò. íàóêè. — 2007. — ¹ 3. — Ñ. 35–46.
5. Ë à ä û æ å í ñ ê à ÿ Î . À . , Ñ î ë î í í è ê î â Â . À . , Ó ð à ë ü ö å â à Í . Í . Ëèíåéíûå è
êâàçèëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà. — Ì.: Íàóêà, 1967. — 736 ñ.
6. Ì è õ à é ë î â  . Ï . Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ. — Ì.: Íàóêà,
1983. — 424 ñ.
7. M e n a l d i J . L . , R o f m a n E . , S u l e m A . Optimal control and partial differential
equations // Innovations & Applications. — Amsterdam: IOS Press, 2001. — 600 p.
8. K u n i s c h K . , L e u g e r i n g G . , S p r e k e l s J . , T r o l t z s c h F . Control of
coupled partial differential equations // Intern. Ser. of Numer. Math. — Springer: Birkhauser, 2007.
— 155, N 6. — 382 p.
9. À ê è ì å í ê î Â . Â . , Í à ê î í å ÷ í û é À . Ã . Ìîäåëè îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ïðîöåññà-
ìè ìåæðåãèîíàëüíîé ìèãðàöèè â óñëîâèÿõ ðèñêîâ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. —
2006. — ¹ 3. — Ñ. 107–122.
10. Ê î ë ì î ã î ð î â À . Í . , Ô î ì è í Ñ . Â . Ýëåìåíòû òåîðèè ôóíêöèé è ôóíêöèîíàëüíîãî
àíàëèçà. — Ì.: Íàóêà, 1989. — 624 ñ.
11. Ñ à ì à ð ñ ê è é À . À . Òåîðèÿ ðàçíîñòíûõ ñõåì. — Ì.: Íàóêà, 1989. — 616 c.
12. À ê è ì å í ê î Â . Â . Ìîäåëèðîâàíèå äâóõìåðíûõ ïðîöåññîâ ïåðåíîñà ïðè ïîìîùè íåëèíåé-
íûõ ìîíîòîííûõ ñõåì âòîðîãî ïîðÿäêà // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2003. — ¹ 6.
— Ñ. 75–93.
13. À ê è ì å í ê î Â . Â . Ïðèíöèï ìàêñèìóìà è íåëèíåéíûå ìîíîòîííûå ñõåìû äëÿ óðàâíåíèé
ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè. — 1999. — 39, ¹ 4. —
Ñ. 618–629.
14. À ê è ì å í ê î  .  . , × å ð å ì í û õ Î . Ê . Ìîäåëèðîâàíèå âèõðåâûõ òå÷åíèé íà ôîíå
äâóìåðíîãî ïðîöåññà êîíâåêòèâíîãî òåïëîìàññîáìåíà // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòè-
êè. — 2004. — ¹ 2. — Ñ. 64–80.
15. Ñ å ð ã è å í ê î È .  . , Ø è ë î  . Ï . Çàäà÷è äèñêðåòíîé îïòèìèçàöèè. — Ê.: Íàóê. äóìêà.
— 2003. — 263 ñ.
Ïîñòóïèëà 10.09.2007
133 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-44201 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:48:59Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Акименко, В.В. Сугоняк, И.И. 2013-05-26T19:08:03Z 2013-05-26T19:08:03Z 2008 Модель оптимального управления нелинейным многомерным процессом диффузии инноваций / В.В. Акименко, И.И. Сугоняк // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 4. — С. 120-133. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44201 532.516 ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Модель оптимального управления нелинейным многомерным процессом диффузии инноваций Article published earlier |
| spellingShingle | Модель оптимального управления нелинейным многомерным процессом диффузии инноваций Акименко, В.В. Сугоняк, И.И. Системный анализ |
| title | Модель оптимального управления нелинейным многомерным процессом диффузии инноваций |
| title_full | Модель оптимального управления нелинейным многомерным процессом диффузии инноваций |
| title_fullStr | Модель оптимального управления нелинейным многомерным процессом диффузии инноваций |
| title_full_unstemmed | Модель оптимального управления нелинейным многомерным процессом диффузии инноваций |
| title_short | Модель оптимального управления нелинейным многомерным процессом диффузии инноваций |
| title_sort | модель оптимального управления нелинейным многомерным процессом диффузии инноваций |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44201 |
| work_keys_str_mv | AT akimenkovv modelʹoptimalʹnogoupravleniânelineinymmnogomernymprocessomdiffuziiinnovacii AT sugonâkii modelʹoptimalʹnogoupravleniânelineinymmnogomernymprocessomdiffuziiinnovacii |