Игры с комбинаторными ограничениями
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Datum: | 2008 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2008
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44202 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Игры с комбинаторными ограничениями / О.А. Емец, Н.Ю. Устьян // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 4. — С. 134-141. — Бібліогр.: 30 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859606053336907776 |
|---|---|
| author | Емец, О.А. Устьян, Н.Ю. |
| author_facet | Емец, О.А. Устьян, Н.Ю. |
| citation_txt | Игры с комбинаторными ограничениями / О.А. Емец, Н.Ю. Устьян // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 4. — С. 134-141. — Бібліогр.: 30 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| first_indexed | 2025-11-28T04:33:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
134 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4
ÓÄÊ 519.85
Î.À. ÅÌÅÖ, Í.Þ. ÓÑÒÜßÍ
ÈÃÐÛ Ñ ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÍÛÌÈ ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÈßÌÈ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: êðèòåðèè ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé, «èãðû ñ ïðèðîäîé», îïòèìàëüíàÿ
ñòðàòåãèÿ, çàäà÷à îïòèìèçàöèè íà ïåðåñòàíîâêàõ, êîìáèíàòîðíàÿ îïòèìèçàöèÿ.
Ïðèíÿòèå ðåøåíèé â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè ÿâëÿåòñÿ âàæíîé çàäà÷åé, âåäü
ìíîãî ýêîíîìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé êîíôëèêòíûå ñèòóàöèè,
â êîòîðûõ ó÷àñòíèêè äîñòèãàþò ñâîèõ öåëåé ðàçëè÷íûìè ïóòÿìè, è íèêòî èç íèõ
íå çíàåò çàðàíåå, êàê ïîñòóïèò äðóãîé. Òàêèå ñèòóàöèè èçó÷àåò òåîðèÿ èãð (ñì.,
íàïðèìåð, [1–7]), çàäà÷à êîòîðîé — âûðàáîòàòü ðåêîìåíäàöèè, êàê ëó÷øå âñåãî
ñåáÿ âåñòè â êîíêðåòíîé ñèòóàöèè.
 ðàáîòàõ [8–12] ñôîðìóëèðîâàí è èçó÷åí íîâûé êëàññ èãðîâûõ çàäà÷ — çàäà÷è
êîìáèíàòîðíîé îïòèìèçàöèè èãðîâîãî òèïà, â êîòîðûõ îäèí èëè îáà èãðîêà èìåþò
êîìáèíàòîðíûå îãðàíè÷åíèÿ íà èñïîëüçîâàíèå ñâîèõ ñòðàòåãèé. Äëÿ ðåøåíèÿ ìíîãèõ
êëàññîâ çàäà÷ êîìáèíàòîðíîé îïòèìèçàöèè ðàçðàáîòàíû ìåòîäû [13–30], êîòîðûå ìîæ-
íî èñïîëüçîâàòü è äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ êîìáèíàòîðíîé îïòèìèçàöèè èãðîâîãî òèïà,
â ÷àñòíîñòè ìåòîä êîìáèíàòîðíîãî îòñå÷åíèÿ äëÿ êîìáèíàòîðíûõ çàäà÷ íà ïåðåñòàíîâ-
êàõ è ðàçìåùåíèÿõ [24–30] ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ íàõîæäåíèÿ îïòèìàëüíîé ñòðàòå-
ãèè èãðîêà, êîòîðûé èìååò êîìáèíàòîðíûå îãðàíè÷åíèÿ.
Ñðåäè çàäà÷ êîìáèíàòîðíîé îïòèìèçàöèè èãðîâîãî òèïà ðàññìàòðèâàëèñü òà-
êèå, ãäå íà ñòðàòåãèè îäíîãî èãðîêà íàêëàäûâàþòñÿ êîìáèíàòîðíûå îãðàíè÷åíèÿ,
êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ ïåðåñòàíîâêàìè, à äðóãèì èãðîêîì âûñòóïàåò ïðèðîäà [12].
Òàêèå çàäà÷è ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñïåöèôè÷åñêèå «èãðû ñ ïðèðîäîé» (ñì., íà-
ïðèìåð, [6, 7]).  êëàññè÷åñêîé òåîðèè èãð äëÿ ðåøåíèÿ òàêèõ çàäà÷ ðàññìàòðèâàþò-
ñÿ ðàçëè÷íûå êðèòåðèè, à íå òîëüêî ìàêñèìèííûé, êîòîðûé èñïîëüçîâàëñÿ äëÿ íà-
õîæäåíèÿ ðåøåíèé çàäà÷ êîìáèíàòîðíîé îïòèìèçàöèè èãðîâîãî òèïà â [12].
Èñïîëüçîâàíèå òîãî èëè èíîãî êðèòåðèÿ ïðè ïðèíÿòèè ðåøåíèÿ â êîíôëèêòå äëÿ
êàæäîé êîíêðåòíîé ñèòóàöèè ïîçâîëèò íàéòè íàèáîëåå àäåêâàòíûé âàðèàíò
äåéñòâèé èãðîêà, ïîýòîìó öåëåñîîáðàçíî ðàññìîòðåòü ïðèìåíåíèÿ èçâåñòíûõ
êðèòåðèåâ äëÿ çàäà÷ êîìáèíàòîðíîé îïòèìèçàöèè èãðîâîãî òèïà.
 íàñòîÿùåé ñòàòüå èññëåäóåòñÿ èñïîëüçîâàíèå ðàçëè÷íûõ èçâåñòíûõ êðèòåðè-
åâ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé äëÿ çàäà÷ êîìáèíàòîðíîé îïòèìèçàöèè èãðîâîãî òèïà, ãäå íà
ñòðàòåãèè îäíîãî èãðîêà íàêëàäûâàþòñÿ êîìáèíàòîðíûå îãðàíè÷åíèÿ, êîòîðûå
îïðåäåëÿþòñÿ ïåðåñòàíîâêàìè, à äðóãèì èãðîêîì âûñòóïàåò ïðèðîäà. Èçó÷åíî íà-
õîæäåíèå îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè èãðîêà ïðè èñïîëüçîâàíèè êàæäîãî êðèòåðèÿ.
 [12] ñôîðìóëèðîâàíà ýêîíîìè÷åñêàÿ çàäà÷à ñåëüñêîõîçÿéñòâåííîãî
ïðîèçâîäñòâà.
Çàäà÷à. Ôåðìåðñêîå õîçÿéñòâî âûðàùèâàåò m âèäîâ ñåëüñêîõîçÿéñòâåííûõ êóëü-
òóð íà ñâîèõ m ïîëÿõ. Ïîëÿ èìåþò ðàçíóþ ïëîùàäü, ïîýòîìó êîëè÷åñòâî êàæäîé âûðà-
ùåííîé êóëüòóðû çàâèñèò îò òîãî, íà êàêîì èìåííî ïîëå îíà ïîñàæåíà. Êðîìå òîãî,
óðîæàéíîñòü êàæäîãî âèäà êóëüòóðû, à çíà÷èò, è ïðèáûëü õîçÿéñòâà çàâèñÿò îò ïîãîäû.
Íóæíî ðàçðàáîòàòü îïòèìàëüíûé â íåêîòîðîì ñìûñëå ïëàí âûðàùèâàíèÿ êóëüòóð.
Äàííàÿ çàäà÷à ðàññìàòðèâàëàñü êàê àíòàãîíèñòè÷åñêàÿ èãðà äâóõ èãðîêîâ: õîçÿ-
éñòâî è ïðèðîäà, è áûëà ïîëó÷åíà ñëåäóþùàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü.
Íàéòè � � F X Yi j( ),,1 2
ãäå:
� X i1
íàõîäèòñÿ èç âûðàæåíèÿ F X Y F X Yi j
i j
( , ) maxmin ( , );
1 1
�
� Y j2
— èç âûðàæåíèÿ F X Y F X Yi j
j i
( , ) min max ( , );
2 2
�
© Î.À. Åìåö, Í.Þ. Óñòüÿí, 2008
� ôóíêöèÿ F X Y( , ) èìååò âèä F X Y x a yi
i
m
ij j
j
n
( , ) ;�
� �
� �
1 1
� ìàòðèöà A
a a a
a a a
a a a
n
n
m m mn
�
11 12 1
21 22 2
1 1
...
...
... ... ... ...
...
�
�
�
�
�
��
�
— ýòî ìàòðèöà, â êîòîðîé ýëåìåíò aij —
ýòî ïðèáûëü õîçÿéñòâà â òîì ñëó÷àå, åñëè áû îíî âûðàùèâàëî íà âñåõ ñâîèõ ïîëÿõ
òîëüêî êóëüòóðó òèïà i, à ïîãîäà íàõîäèëàñü â j-ì ñîñòîÿíèè.
ïðè îãðàíè÷åíèÿõ:
� Y y y yn� ( , ,... , )1 2 óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì � �
�
�
�j J y yn j j
j
n
0 1
1
; ;
� X x x x E Pm m
x� �( , ,... , ) ( ),1 2 ãäå E Pm
x( ) — ìíîæåñòâî ïåðåñòàíîâîê èç
ýëåìåíòîâ âåêòîðà P x ;
� P P P Px x x
m
x� ( , ,... , )
1 2
óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì � �
�
�
�i J P Pm i
x
i
x
i
m
0 1
1
; , çäåñü
P i Ji
x
m( )� � — îòíîøåíèå ïëîùàäè i-ãî ïîëÿ ê ñóììå ïëîùàäåé âñåõ ïîëåé õîçÿéñòâà.
 äàííîé ñòàòüå ðàññìàòðèâàåòñÿ ñôîðìóëèðîâàííàÿ çàäà÷à êàê ñïåöèôè÷åñêàÿ
«èãðà ñ ïðèðîäîé», ò.å. áóäåì íàõîäèòü îïòèìàëüíóþ ñòðàòåãèþ èãðîêà äëÿ êàæäî-
ãî êðèòåðèÿ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé, à îïòèìàëüíóþ ñòðàòåãèþ ïðèðîäû íàõîäèòü íå áó-
äåì. Ïóñòü, êàê è â ïðèâåäåííîé âûøå ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè, åñòü âåêòîð ñòðàòå-
ãèé èãðîêà X x x x E Pm m
x� �( , ,... , ) ( )1 2 è ìàòðèöà âûèãðûøåé A a i Jij m� �( ), ,
j J n� . Ôóíêöèÿ ïðèáûëè F X Y( , ) è îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ èãðîêà äëÿ êàæäîãî èç
êðèòåðèåâ áóäåò èìåòü ðàçëè÷íûé âèä. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå êðèòåðèè: ìàêñè-
ìàëüíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ âûèãðûøà, íåäîñòàòî÷íîãî îñíîâàíèÿ Ëàïëà-
ñà, ìàêñèìèííûé êðèòåðèé Âàëüäà, ìèíèìàêñíîãî ðèñêà Ñýâèäæà, ïåññèìèçìà-
îïòèìèçìà Ãóðâèöà è êðèòåðèé Õîäæà–Ëåìàíà (ñì., íàïðèìåð, [6, 7]).
1. Êðèòåðèé ìàêñèìàëüíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ âûèãðûøà. Ïðè-
ìåíÿåòñÿ â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà èçâåñòíû âåðîÿòíîñòè ñîñòîÿíèé ïðèðîäû è ìèíèìè-
çàöèÿ ðèñêà ïðîèãðûøà ÿâëÿåòñÿ ìåíåå ñóùåñòâåííûì ôàêòîðîì ïðèíÿòèÿ ðåøå-
íèÿ, ÷åì ìàêñèìèçàöèÿ ñðåäíåãî âûèãðûøà. Ñíà÷àëà âû÷èñëÿþòñÿ ÷èñëà
c a p i Ji ij j
j
n
m� �
�
�
1
, , — âûèãðûø, êîòîðûé ïîëó÷èò èãðîê ïðè çàäàííûõ âåðîÿò-
íîñòÿõ ñîñòîÿíèé ïðèðîäû â òîì ñëó÷àå, åñëè îí ïðèìåíèò ñâîþ i-þ ñòðàòåãèþ.
Äëÿ ñìåøàííîé ñòðàòåãèè X x xm� ( ,... , )1 ôóíêöèÿ âûèãðûøà F X Y( , ) áóäåò èìåòü
ñëåäóþùèé âèä: F X Y c x a p xi i
i
m
ij j
j
n
i
i
m
( , ) .� �
� ��
� ��
1 11
Îïòèìàëüíîé ïî äàííîìó êðèòå-
ðèþ ñ÷èòàþò òó ñòðàòåãèþ, ïðè âûáîðå êîòîðîé çíà÷åíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäà-
íèÿ âûèãðûøà ìàêñèìàëüíî:
F X Y a p xij j
j
n
i
i
m
( , ) max� �
��
��
11
äëÿ X x x E Pm m
x� �( ,... , ) ( ).1
Óïîðÿäî÷èì êîýôôèöèåíòû c a pi ij j
j
n
�
�
�
1
è ýëåìåíòû ìíîæåñòâà Pi
x ïî âîç-
ðîñòàíèþ: ïîëó÷åííûå ýëåìåíòû îáîçíà÷èì � i è � i ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà, èñïîëü-
çóÿ òåîðåìó 3.1 è çàìå÷àíèå 3.3 èç [16], ïîëó÷èì max .
j
ij j
j
n
i
i
m
i i
i
m
a p x
�� �
�� ��
11 1
� �
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4 135
2. Êðèòåðèé íåäîñòàòî÷íîãî îñíîâàíèÿ Ëàïëàñà. Èñïîëüçóåòñÿ ïðè íàëè÷èè
íåïîëíîé èíôîðìàöèè î âåðîÿòíîñòÿõ ñîñòîÿíèé ïðèðîäû, ýòè âåðîÿòíîñòè áëèçêè
ïî ñâîèì çíà÷åíèÿì, è ìèíèìèçàöèÿ ðèñêà ïðîèãðûøà — ìåíåå ñóùåñòâåííûé
ôàêòîð ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ, ÷åì ìàêñèìèçàöèÿ ñðåäíåãî âûèãðûøà. Âû÷èñëèì
c
a
n
i Ji
ij
j
n
m� �
�
�
1
, , — âûèãðûø, êîòîðûé ïîëó÷èò èãðîê â òîì ñëó÷àå, åñëè ïðèìå-
íèò ñâîþ i-þ ñòðàòåãèþ. Äëÿ ñìåøàííîé ñòðàòåãèè X x xm� ( ,... , )1 ôóíêöèÿ âûèã-
ðûøà F X Y( , ) áóäåò èìåòü ñëåäóþùèé âèä: F X Y c x x
a
n
i i
i
m
i
i
m
ij
j
n
( , ) � � �
� �
�
� �
�
1 1
1
�
��
��
1
11n
a xij
j
n
i
i
m
. Îïòèìàëüíîé ïî äàííîìó êðèòåðèþ ñ÷èòàþò òó ñòðàòåãèþ, ïðè âû-
áîðå êîòîðîé çíà÷åíèå ñðåäíåãî âûèãðûøà ìàêñèìàëüíî:
F X Y a xij
j
n
i
i
m
( , ) max� �
��
��
11
äëÿ X x x E Pm m
x� �( ,... , ) ( ).1
Êàê è äëÿ ïðåäûäóùåãî êðèòåðèÿ, èñïîëüçóåì òåîðåìó 3.1 è çàìå÷àíèå 3.3 èç
[16] — óïîðÿäî÷èì ñóììû aij
j
n
�
�
1
ïðè ôèêñèðîâàííûõ i è ýëåìåíòû ìíîæåñòâà Pi
x
ïî âîçðàñòàíèþ, ïîëó÷åííûå ýëåìåíòû îáîçíà÷èì � i è � i . Òîãäà ñîîòâåòñòâåííî
max .
j
ij
j
n
i
i
m
i i
i
m
a x
�� �
�� ��
11 1
� �
3. Ïðèìåíåíèå ìàêñèìèííîãî êðèòåðèÿ Âàëüäà. Ðàññìàòðèâàëñÿ äëÿ çàäà÷
ñ êîìáèíàòîðíûìè îãðàíè÷åíèÿìè (ñì. [12]), îïðàâäàíî â òàêèõ ñèòóàöèÿõ, êîãäà
î âîçìîæíîñòè ïîÿâëåíèÿ ñîñòîÿíèé ïðèðîäû íè÷åãî íåèçâåñòíî, çàäà÷à ðåàëèçóåò-
ñÿ ëèøü îäèí ðàç è íóæíî èñêëþ÷èòü ëþáîé ðèñê.
4. Êðèòåðèé ìèíèìàêñíîãî ðèñêà Ñýâèäæà. Ïðèìåíÿåòñÿ â òàêèõ æå ñèòóà-
öèÿõ, êàê è ìàêñèìèííûé êðèòåðèé Âàëüäà, òîëüêî íàèáîëåå ñóùåñòâåííûì ÿâëÿåò-
ñÿ ó÷åò ñòåïåíè äåéñòâèÿ ôàêòîðà íà âåëè÷èíó âûèãðûøà. Ñîñòàâëÿåòñÿ ìàòðèöà
ðèñêîâ R r a a i J j Jij j ij m n� � � � �( ) , , .max Îïòèìàëüíîé ïî äàííîìó êðèòåðèþ
ñ÷èòàåòñÿ òà ñòðàòåãèÿ, ïðè êîòîðîé äîñòèãàåòñÿ min max .
( )X E P j
ij i
i
m
m
x
r x
� �
�
1
Ïóñòü � — ìàêñèìóì r xij i
i
m
�
�
1
, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî r x j Jij i
i
m
n
�
� � � �
1
� . Ââåäåì
âñïîìîãàòåëüíûå íåîòðèöàòåëüíûå ïåðåìåííûå x r xm j ij i
i
m
�
�
� ���
1
äëÿ êàæäîãî j-ãî
íåðàâåíñòâà è ïðèáàâèì ê ëåâîé ÷àñòè êàæäîãî j-ãî íåðàâåíñòâà ñîîòâåòñòâóþùóþ
âñïîìîãàòåëüíóþ ïåðåìåííóþ xm k� . Ïîëó÷èì ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà:
r x x r x r x j Jij i
i
m
m j ij i
i
m
ij i
i
m
n� � � � � � �
�
�
� �
� � �
1 1 1
� � .
Âûäåëèâ ïåðâîå ðàâåíñòâî ïðè j � 1: r x xi i
i
m
m1
1
1� �
�
�� � è îòíÿâ åãî îò âñåõ äðó-
ãèõ ðàâåíñòâ äëÿ j J nn� �2 2{ },... , , ïîëó÷èì
( ) ;r r x x x j Jij i i
i
m
m j m n� � � � � �
�
� �� 1
1
1
20 ( ) .r r x x j Jij i i
i
m
m n� � � �
�
�� 1
1
1
2
136 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4
Öåëåâàÿ ôóíêöèÿ áóäåò èìåòü âèä r x xi i
i
m
m1
1
1� �
�
�� min èëè
� � �
�
�� r x xi i
i
m
m1
1
1 max. Ïîëó÷èì òàêóþ çàäà÷ó îïòèìèçàöèè:
� � �
�
�� r x xi i
i
m
m1
1
1 max
( ) ;r r x x j Jij i i
i
m
m n� � � �
�
�� 1
1
1
2
xm�
1 0; X x x x E Pm m
x� �( , ,... , ) ( );1 2 � �
�
�
�i J P Pm i
x
i
x
i
m
0 1
1
; .
Åñëè îáîçíà÷èòü c r b r r j Ji i i j ij i n� � � � � ��1 1 1
2, ( ) ,( ) òî çàäà÷à áóäåò èìåòü âèä
F c x xi i m
i
m
� � ��
�
� 1
1
max ,
b x x j Jij i m n
i
m
� � �� �
�
� 1 1
1
;
xm�
1 0; X x x x E Pm m
x� �( , ,... , ) ( );1 2 � �
�
�
�i J P Pm i
x
i
x
i
m
0 1
1
; .
Ýòó çàäà÷ó êîìáèíàòîðíîé îïòèìèçàöèè íà ïåðåñòàíîâêàõ ìîæíî ðåøàòü ìåòî-
äîì, ïðåäëîæåííûì â [11].
5. Êðèòåðèé ïåññèìèçìà-îïòèìèçìà Ãóðâèöà. Èñïîëüçóþò â ñèòóàöèÿõ, êîã-
äà èíôîðìàöèÿ î ñîñòîÿíèÿõ ïðèðîäû îòñóòñòâóåò èëè íåäîñòîâåðíà; êîãäà íóæíî
ó÷èòûâàòü ëþáîå ñîñòîÿíèå ïðèðîäû, è êîãäà ðåàëèçóåòñÿ òîëüêî ìàëîå êîëè÷åñòâî
ðåøåíèé è äîïóñêàåòñÿ íåêîòîðûé ðèñê. Äëÿ òîãî ÷òîáû çàíÿòü íàèáîëåå óðàâíîâå-
øåííóþ ïîçèöèþ, ââîäèòñÿ îöåíî÷íûé êîýôôèöèåíò C , íàçûâàåìûé êîýôôèöèåí-
òîì ïåññèìèçìà, êîòîðûé íàõîäèòñÿ â èíòåðâàëå [0,1] è îòðàæàåò ñèòóàöèþ, ïðîìå-
æóòî÷íóþ ìåæäó òî÷êîé çðåíèÿ êðàéíåãî îïòèìèçìà è êðàéíåãî ïåññèìèçìà. Ïðè
C � 1 êðèòåðèé Ãóðâèöà ïðåâðàùàåòñÿ â ìàêñèìèííèé êðèòåðèé Âàëüäà, à ïðè
C � 0 — â êðèòåðèé «àçàðòíîãî èãðîêà», äåëàþùåãî ñòàâêó íà ñ÷àñòëèâûé ñëó÷àé.
Îïòèìàëüíîé ïî ýòîìó êðèòåðèþ ñ÷èòàåòñÿ òà ñòðàòåãèÿ, ïðè êîòîðîé äîñòèãàåòñÿ
max min ( )max
( )X E P j
ij i
i
m
j
ij i
i
m
m
x
C a x C a x
� � �
� �� �
�
�
�
� 1 1
1
�
�
�
�
��
.
Ïóñòü � — ìèíèìóì a xij i
i
m
�
�
1
, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî a x j Jij i
i
m
n
�
�
� �
1
� , . Ââåäåì
âñïîìîãàòåëüíûå íåîòðèöàòåëüíûå ïåðåìåííûå x a xm j ij i
i
m
�
�
� ��
1
� äëÿ êàæäîãî
j-ãî íåðàâåíñòâà è îòíèìåì îò ëåâîé ÷àñòè êàæäîãî j-ãî íåðàâåíñòâà ñîîòâåòñòâóþ-
ùóþ âñïîìîãàòåëüíóþ ïåðåìåííóþ xm k� . Ïîëó÷èì ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà:
a x x a x a x j Jij i m j ij i
i
m
ij i
i
m
n
i
m
� � � � � � ��
� ��
� ��
1 11
� � .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4 137
Âûäåëèâ ïåðâîå ðàâåíñòâî ïðè j � 1: a x xi i m
i
m
1 1
1
� ��
�
� � è îòíÿâ åãî îò âñåõ
äðóãèõ ðàâåíñòâ äëÿ j J nn� �2 2{ },... , , ïîëó÷èì
( )a a x x x j Ji ij i m m j n
i
m
1 1
2
1
0� � � � � �� �
�
� èëè ( ) .a a x x j Jij i i m n
i
m
� � � ��
�
� 1 1
2
1
Èòàê, min
j
ij i
i
m
i i m
i
m
a x a x x
�
�
�
� �� � �
1
1 1
1
� ïðè îãðàíè÷åíèè ( )a a x xij i i m
i
m
� � �
�
� 1 1
1
� �j J n
2 è xm�
1 0.
Ïóñòü � — ìàêñèìóì a xij i
i
m
�
�
1
, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî a x j Jij i
i
m
n
�
� � � �
1
� . Ââåäåì
âñïîìîãàòåëüíûå íåîòðèöàòåëüíûå ïåðåìåííûå x a xm j ij i
i
m
� �
�
� ��1
1
� äëÿ êàæäîãî
j-ãî íåðàâåíñòâà è ïðèáàâèì ê ëåâîé ÷àñòè êàæäîãî j-ãî íåðàâåíñòâà ñîîòâåòñòâóþ-
ùóþ âñïîìîãàòåëüíóþ ïåðåìåííóþ xm k� . Ïîëó÷èì ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà:
a x x a x a x j Jij i
i
m
m j ij i
i
m
ij i
i
m
n� � � � � � �
�
� �
� �
� � �
1
1
1 1
� � .
Âûäåëèâ ïåðâîå ðàâåíñòâî ïðè j � 1: a x xi i
i
m
m1
1
2� �
�
�� � è îòíÿâ åãî îò âñåõ
äðóãèõ ðàâåíñòâ äëÿ j J nn� �2 2{ },,... , ïîëó÷èì
( ) ;a a x x x j Jij i i
i
m
m j m n� � � � � �
�
� � �� 1
1
1 2
20 ( ) .a a x x j Jij i i
i
m
m n� � � �
�
�� 1
1
2
2
Èòàê, max
j
ij i
i
m
i i m
i
m
a x a x x
�
�
�
� �� � �
1
1 2
1
� ïðè îãðàíè÷åíèè ( )a a xij i i
i
m
� �
�
� 1
1
� �xm 2 � �j J n
2 è xm�
2 0.
Ïîäñòàâèâ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ â öåëåâóþ ôóíêöèþ
C a x C a x C a x x
j
ij i
i
m
j
ij i
i
m
i i m
i
min ( )max
� �
�
�
� �� � � �
1 1
1 1
1
1
m
i i m
i
m
C a x x� �
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
��
�
( )1 1 2
1
� � � � � ��
� �
�
�
� �C a x Cx a x C a x C xi i m
i
m
i i
i
m
i i m
i
m
1 1
1
1
1
1 2
1
1( )� �
� � � � �� �
�
� a x Cx C xi i m m
i
m
1 1 2
1
1( ) max,
ïîëó÷èì òàêóþ çàäà÷ó êîìáèíàòîðíîé îïòèìèçàöèè íà ïåðåñòàíîâêàõ:
íàéòè
a x Cx C xi i m m
i
m
1 1 2
1
1� � � �� �
�
� ( ) max
ïðè îãðàíè÷åíèÿõ
( ) ;a a x x j Jij i i m n
i
m
� � � ��
�
� 1 1
2
1
( ) ;a a x x j Jij i i
i
m
m n� � � �
�
�� 1
1
2
2
xm�
1 0; xm�
2 0.
X x x x E Pm m
x� �( , ,... , ) ( );1 2 � �
�
�
�i J P Pm i
x
i
x
i
m
0 1
1
; .
138 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4
Ýòó çàäà÷ó ìîæíî ðåøàòü ìåòîäîì êîìáèíàòîðíîãî îòñå÷åíèÿ äëÿ ÷àñòè÷íî
êîìáèíàòîðíûõ çàäà÷ [24–30], ïîñêîëüêó âåêòîð X — ïåðåñòàíîâêà èç ìíîæåñòâà
E Pm
x( ), à xm�1 è xm� 2 — íåêîìáèíàòîðíûå ïåðåìåííûå.
6. Êðèòåðèé Õîäæà–Ëåìàíà. Ïðèìåíÿåòñÿ â òåõ ñèòóàöèÿõ, êîãäà èìååòñÿ èí-
ôîðìàöèÿ î âåðîÿòíîñòÿõ ñîñòîÿíèé îêðóæàþùåé ñðåäû, îäíàêî ýòà èíôîðìàöèÿ
ïîëó÷åíà íà îñíîâå îòíîñèòåëüíî íåáîëüøîãî ÷èñëà íàáëþäåíèé è ìîæåò èçìå-
íèòüñÿ; ïðèíÿòîå ðåøåíèå òåîðåòè÷åñêè äîïóñêàåò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ðåàëèçàöèé;
ïðè ìàëîì ÷èñëå ðåàëèçàöèè äîïóñêàåòñÿ íåêîòîðûé ðèñê. Ïðè îïðåäåëåíèè îïòè-
ìàëüíîé ñòðàòåãèè ïî ýòîìó êðèòåðèþ ââîäèòñÿ ïàðàìåòð äîñòîâåðíîñòè èíôîðìà-
öèè î ðàñïðåäåëåíèè âåðîÿòíîñòåé ñîñòîÿíèé ïðèðîäû u, çíà÷åíèå êîòîðîãî íàõî-
äèòñÿ â èíòåðâàëå [0, 1]. Åñëè ñòåïåíü äîñòîâåðíîñòè âåëèêà, òî äîìèíèðóåò êðèòå-
ðèé ìàêñèìàëüíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ âûèãðûøà, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå —
ìàêñèìèííûé êðèòåðèé Âàëüäà. Îïòèìàëüíîé ïî äàííîìó êðèòåðèþ ñ÷èòàåòñÿ òà
ñòðàòåãèÿ, ïðè êîòîðîé äîñòèãàåòñÿ
max ( )min
( )X E P
j ij i
i
m
j
j
ij i
i
m
m
x
n
u p a x u a x
� �� �
�� �� �
�
11 1
1�
�
��
�
�
�
��
.
Ïðîâåäÿ òàêèå æå ïðåîáðàçîâàíèÿ, êàê è äëÿ ïðåäûäóùåãî êðèòåðèÿ, ìîæíî
íàéòè min
j
ij i
i
m
i i m
i
m
a x a x x
�
�
�
� �� � �
1
1 1
1
� ïðè îãðàíè÷åíèÿõ ( )a a x xij i i m
i
m
� � �
�
� 1 1
1
� �j J n
2 è xm�
1 0. Ïîäñòàâèâ min
j
ij i
i
m
a x
�
�
1
â öåëåâóþ ôóíêöèþ u p a xj
j
n
ij i
i
m
� �
� � �
1 1
( )min max,1
1
� �
�
�u a x
j
ij i
i
m
ïîëó÷èì
u p a x u a x u p aj
j
n
ij i
i
m
j
ij i
i
m
j
j
n
ij
� � � �
� � � �� � �
1 1 1 1
1( )min x u a x xi
i
m
i i m
i
m
�
�
�
� �� � �
�
�
�
�
�
�
1
1 1
1
1( )
� � � � � �
� �
�
�
� � �u p a x u a x u xj
j
n
ij i
i
m
i i m
i
m
1 1
1 1
1
1 1( ) ( )
� � �
�
�
�
�
�
� � �
��
��� u p a u a x u xj
j
n
ij i i
i
m
m
1
1
1
11 1( ) ( ) max .
Åñëè u � ( , ),01 òî
u p a u a x u xj ij
j
n
i i
i
m
m
��
��� � �
�
�
�
�
�
� � �
1
1
1
11 1( ) ( )
� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�( )
( )
( )
1
1
1
1
1
1
u
u p a u a
u
x x
j ij
j
n
i
i
i
m
m 1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
���( )1
1 1
1
1
1u
u
u
p a a x xj ij
j
n
i i
i
m
m
� max
ïðè îãðàíè÷åíèè ( ) .a a x x j Jij i i m n
i
m
� � � ��
�
� 1 1
2
1
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4 139
Êîýôôèöèåíò u �1, êîòîðûé ñòîèò ïåðåä ñêîáêàìè â öåëåâîé ôóíêöèè, ìîæíî
íå ó÷èòûâàòü, è åñëè îáîçíà÷èòü c
u
u
p a ai j ij
j
n
i�
�
�
�
�
1 1
1 , b a ai j ij i( ) ( )� � �1 1
� �j J n
2 , òî çàäà÷à áóäåò èìåòü âèä
F c x xi i m
i
m
� � ��
�
� 1
1
max ,
b x x j Jij i m n
i
m
� � �� �
�
� 1 1
1
;
xm�
1 0; X x x x E Pm m
x� �( , ,... , ) ( );1 2 � �
�
�
�i J P Pm i
x
i
x
i
m
0 1
1
; .
Ýòó çàäà÷ó êîìáèíàòîðíîé îïòèìèçàöèè íà ïåðåñòàíîâêàõ ìîæíî ðåøàòü ìå-
òîäîì, ïðèâåäåííûì â [11].
Òàêèì îáðàçîì, ðàññìîòðåíî ïðèìåíåíèå ðàçëè÷íûõ êðèòåðèåâ ïðèíÿòèÿ ðå-
øåíèé äëÿ çàäà÷ êîìáèíàòîðíîé îïòèìèçàöèè èãðîâîãî òèïà, ãäå íà ñòðàòåãèè îä-
íîãî èãðîêà íàêëàäûâàþòñÿ êîìáèíàòîðíûå îãðàíè÷åíèÿ, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ
ïåðåñòàíîâêàìè, à äðóãèì èãðîêîì âûñòóïàåò ïðèðîäà. Â çàâèñèìîñòè îò èìåþ-
ùåéñÿ èíôîðìàöèè î ñîñòîÿíèÿõ ïðèðîäû, êîëè÷åñòâà ðåàëèçàöèè ñèòóàöèè è îò-
íîøåíèÿ ÷åëîâåêà, ïðèíèìàþùåãî ðåøåíèå, ê ðèñêó íåîáõîäèìî âûáèðàòü îäèí èç
ðàññìîòðåííûõ êðèòåðèåâ äëÿ îáåñïå÷åíèÿ íàèëó÷øåãî äëÿ äàííîé ñèòóàöèè ðå-
çóëüòàòà. Äàëüíåéøèå èññëåäîâàíèÿ ìîæíî íàïðàâèòü íà èçó÷åíèå çàäà÷ êîìáèíà-
òîðíîé îïòèìèçàöèè èãðîâîãî òèïà, ãäå íà ñòðàòåãèè èãðîêà íàêëàäûâàþòñÿ êîìáè-
íàòîðíûå îãðàíè÷åíèÿ, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ ðàçìåùåíèÿìè, à òàêæå
èññëåäîâàíèå âîçìîæíîñòè óäàëåíèÿ çàâåäîìî íåâûãîäíûõ ñòðàòåãèé èãðîêà äëÿ
óìåíüøåíèÿ ðàçìåðíîñòè çàäà÷.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. ô î í Í å é ì à í Ä æ . , Ì î ð ã å í ø ò å ð í Î . Òåîðèÿ èãð è ýêîíîìè÷åñêîå ïîâåäåíèå. — Ì.:
Íàóêà, 1970. — 780 ñ.
2. Â å í ò ö å ë ü Å . Ñ . Ýëåìåíòû òåîðèè èãð. — Ì.: Ôèçìàòãèç, 1961. — 67 ñ.
3. Ê ð ó ø å â ñ ê è é À . Â . Òåîðèÿ èãð. — Êèåâ: Âèùà øê.., 1977. — 215 ñ.
4. Ï å ò ð î ñ ÿ í Ë . À . , Ç å í ê å â è ÷ Í . À . , Ñ å ì è í à Å . À . Òåîðèÿ èãð. — Ì.: Âûñø. øê., 1998. —
304 ñ.
5. Ç à é ÷ å í ê î Þ . Ï . Èññëåäîâàíèå îïåðàöèé. — Êèåâ: Âèùà øê, 1979. — 391 ñ.
6. Ê ó ç í å ö î â Þ . Í . , Ê ó ç ó á î â  . È . ,  î ë î ù å í ê î À . Á . Ìàòåìàòè÷åñêîå
ïðîãðàìèìðîâàíèå: Ó÷. ïîñîáèå. — Ì.: Âûñø. øê., 1980. — 300 ñ.
7. Ê ó ä ð ÿ â ö å â Å . Ì . Èññëåäîâàíèå îïåðàöèé â çàäà÷àõ, àëãîðèòìàõ è ïðîãðàììàõ. — Ì.: Ðàäèî è
ñâÿçü, 1984. — 184 ñ.
8. Å ì å ö Î . À . , Ó ñ ò ü ÿ í Í . Þ . Ðåøåíèå íåêîòîðûõ çàäà÷ êîìáèíàòîðíîé îïòèìèçàöèè íà
ðàçìåùåíèÿõ è ïåðåñòàíîâêàõ èãðîâîãî òèïà // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 2006. —
¹ 3. — Ñ. 37–47.
9. Å ì å ö Î . À . , Ó ñ ò ü ÿ í Í . Þ . Èññëåäîâàíèå çàäà÷ êîìáèíàòîðíîé îïòèìèçàöèè èãðîâîãî òèïà
íà ðàçìåùåíèÿõ // Òàì æå. — 2007. — ¹ 1. — Ñ. 26–36.
10. Å ì å ö Î . À . , Ó ñ ò ü ÿ í Í . Þ . Çàäà÷è íà ïåðåñòàíîâêàõ èãðîâîãî òèïà / Òåç. äîêë. XIV Ìåæäó-
íàð. êîíô. «Ïðîáëåìû òåîðåòè÷åñêîé êèáåðíåòèêè» — Ì.: Èçä-âî ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî
ôàêóëüòåòà ÌÃÓ, 2005. — Ñ. 46.
11. ª ì å ö ü Î . Î . , Ó ñ ò ü ÿ í Í . Þ . Ðîçâ’ÿçóâàííÿ ³ãðîâèõ çàäà÷ íà ïåðåñòàâëåííÿõ // Íàóêîâ³ â³ñò³
ÍÒÓÓ «Êϲ». — 2007. — ¹ 3. — Ñ. 47–52
12. Å ì å ö Î . À . , Ó ñ ò ü ÿ í Í . Þ . Èññëåäîâàíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé è ìåòîäîâ ðåøåíèÿ çàäà÷
íà ïåðåñòàíîâêàõ èãðîâîãî òèïà // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2007. — ¹ 6. —
Ñ. 103–114.
140 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4
13. Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . , Ê à ñ ï ø è ö ê à ÿ Ì . Ô . Ìîäåëè è ìåòîäû ðåøåíèÿ íà ÝÂÌ êîìáèíàòîðíûõ
çàäà÷ îïòèìèçàöèè. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1981. — 288 ñ.
14. Ñ å ð ã è å í ê î È .  . , Ø è ë î  . Ï . Çàäà÷è äèñêðåòíîé îïòèìèçàöèè: ïðîáëåìû, ìåòîäû
èññëåäîâàíèÿ, ðåøåíèÿ. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 2003. — 263 ñ.
15. Å ì å ö Î . À . Åâêëèäîâû êîìáèíàòîðíûå ìíîæåñòâà è îïòèìèçàöèÿ íà íèõ. Íîâîå â
ìàòåìàòè÷åñêîì ïðîãðàììèðîâàíèè: Ó÷. ïîñîáèå. — Êèåâ.: ÓÌÊ ÂÎ, 1992. — 92 ñ.
16. Ñ ò î ÿ í Þ . à . , ª ì å ö ü Î . Î . Òåîð³ÿ ³ ìåòîäè åâêë³äîâî¿ êîìá³íàòîðíî¿ îïòèì³çàö³¿. — Êè¿â:
²ÑÄÎ, 1993. — 188 ñ.
17. Ñ ò î ÿ í Þ . à . , ª ì å ö ü Î . Î . , ª ì å ö ü ª . Ì . Îïòèì³çàö³ÿ íà ïîë³ðîçì³ùåííÿõ: òåîð³ÿ òà
ìåòîäè. — Ïîëòàâà: ÐÂÖ ÏÓÑÊÓ, 2005. — 103 ñ.
18. ª ì å ö ü Î . Î . , Ê î ë º ÷ ê ³ í à Ë . Ì . Çàäà÷³ êîìá³íàòîðíî¿ îïòèì³çàö³¿ ç äðîáîâî-ë³í³éíèìè
ö³ëüîâèìè ôóíêö³ÿìè: Ìîíîãðàô³ÿ. — Êè¿â: Íàóê. äóìêà, 2005. — 117 ñ.
19. ª ì å ö ü Î . Î . , Ð î ñ ê ë à ä ê à Î .  . Çàäà÷³ îïòèì³çàö³¿ íà ïîë³êîìá³íàòîðíèõ ìíîæèíàõ:
âëàñòèâîñò³ òà ðîçâ’ÿçóâàííÿ: Ìîíîãðàô³ÿ. — Ïîëòàâà: ÐÂÖ ÏÓÑÊÓ, 2006. — 129 ñ.
20. Ñ ò î ÿ í Þ . Ã . , ß ê î â ë å â Ñ . Â . , Å ì å ö Î . À . , Â à ë ó é ñ ê à ÿ Î . À . Ïîñòðîåíèå âûïóêëûõ
ïðîäîëæåíèé äëÿ ôóíêöèé, çàäàííûõ íà ãèïåðñôåðå // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 1998. —
¹ 2. — Ñ. 27–37.
21. Å ì å ö Î . À . , Ð î ñ ê ë à ä ê à À . À . Àëãîðèòìè÷åñêîå ðåøåíèå äâóõ ïàðàìåòðè÷åñêèõ çàäà÷
îïòèìèçàöèè íà ìíîæåñòâå ñî÷åòàíèé ñ ïîâòîðåíèÿìè // Òàì æå. — 1999. — ¹ 6. — Ñ. 1–6.
22. Å ì å ö Î . À . , Å â ñ å å â à Ë . à . , Ð î ì à í î â à Í . à . Èíòåðâàëüíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü
êîìáèíàòîðíîé çàäà÷è öâåòíîé óïàêîâêè ïðÿìîóãîëüíèêîâ // Òàì æå. — 2001. — ¹ 3. —
Ñ. 131–138.
23. Å ì å ö Î . À . , Ð î ñ ê ë à ä ê à Å . Â . Ðåøåíèå íåêîòîðûõ åâêëèäîâûõ êîìáèíàòîðíûõ çàäà÷
îïòèìèçàöèè ìåòîäîì äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ // Òàì æå. — 2002. — ¹ 1. — Ñ. 138–146.
24. Å ì å ö Î . À . , Á à ð á î ë è í à Ò . Í . Ðåøåíèå ëèíåéíûõ çàäà÷ îïòèìèçàöèè íà ðàçìåùåíèÿõ
ìåòîäîì îòñå÷åíèé // Òàì æå. — 2003. — ¹ 6. — Ñ. 131–141.
25. Á à ð á î ë è í à Ò . Í . , Å ì å ö Î . À . Ïîëíîñòüþ öåëî÷èñëåííûé ìåòîä îòñå÷åíèÿ äëÿ ðåøåíèÿ
ëèíåéíûõ óñëîâíûõ çàäà÷ îïòèìèçàöèè íà ðàçìåùåíèÿõ // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò.
ôèçèêè. — 2005. — 45, ¹ 2. — Ñ. 254–261.
26. ª ì å ö ü Î . Î . , Á à ð á î ë ³ í à Ò . Ì . Îïòèì³çàö³ÿ íà ðîçì³ùåííÿõ: ö³ëî÷èñëîâ³ â³äñ³êàííÿ //
Äåñÿòà ì³æíàð. íàóê. êîíô. ³ì. àêàä. Ì. Êðàâ÷óêà (Êè¿â, 13–15 òðàâíÿ 2004 ð.). — Êè¿â: Çàäðóãà,
2004. — Ñ. 375.
27. Å ì å ö Î . À . , Ê î ë å ÷ ê è í à Ë . Í . Ðåøåíèå çàäà÷ îïòèìèçàöèè ñ äðîáíî-ëèíåéíûìè öåëåâûìè
ôóíêöèÿìè è äîïîëíèòåëüíûìè ëèíåéíûìè îãðàíè÷åíèÿìè íà ïåðåñòàíîâêàõ // Êèáåðíåòèêà è
ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2004. — ¹ 3. — Ñ. 30–43.
28. Å ì å ö Î . À . Îá îäíîì ìåòîäå îòñå÷åíèÿ äëÿ çàäà÷ êîìáèíàòîðíîé îïòèìèçàöèè // Ýêîíîìèêà è
ìàò. ìåòîäû. — 1997. — 33, âûï. 4. — Ñ. 120–129.
29. ª ì å ö ü Î . Î . , ª ì å ö ü ª . Ì . ³äñ³êàííÿ â ë³í³éíèõ ÷àñòêîâî êîìá³íàòîðíèõ çàäà÷àõ åâêë³äîâî¿
êîìá³íàòîðíî¿ îïòèì³çàö³¿ // Äîï. ÍÀÍ Óêðà¿íè. — 2000. — ¹ 9. — Ñ. 105–109.
30. Å ì å ö Î . À . , Å ì å ö Å . Ì . Îòñå÷åíèÿ â ëèíåéíûõ ÷àñòè÷íî êîìáèíàòîðíûõ çàäà÷àõ îïòè-
ìèçàöèè íà ïåðåñòàíîâêàõ // Ýêîíîìèêà è ìàò. ìåòîäû. — 2001. — 37, ¹ 1. — Ñ. 118–121.
Ïîñòóïèëà 28.11.2007
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 4 141
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-44202 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-28T04:33:09Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Емец, О.А. Устьян, Н.Ю. 2013-05-26T19:10:16Z 2013-05-26T19:10:16Z 2008 Игры с комбинаторными ограничениями / О.А. Емец, Н.Ю. Устьян // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 4. — С. 134-141. — Бібліогр.: 30 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44202 519.85 ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Игры с комбинаторными ограничениями Article published earlier |
| spellingShingle | Игры с комбинаторными ограничениями Емец, О.А. Устьян, Н.Ю. Системный анализ |
| title | Игры с комбинаторными ограничениями |
| title_full | Игры с комбинаторными ограничениями |
| title_fullStr | Игры с комбинаторными ограничениями |
| title_full_unstemmed | Игры с комбинаторными ограничениями |
| title_short | Игры с комбинаторными ограничениями |
| title_sort | игры с комбинаторными ограничениями |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44202 |
| work_keys_str_mv | AT emecoa igryskombinatornymiograničeniâmi AT ustʹânnû igryskombinatornymiograničeniâmi |