Управляемые динамические системы и оператор Карлемана
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44253 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Управляемые динамические системы и оператор Карлемана / В.Ф. Задорожный // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 5. — С. 54-61 . — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860212101501419520 |
|---|---|
| author | Задорожный, В.Ф. |
| author_facet | Задорожный, В.Ф. |
| citation_txt | Управляемые динамические системы и оператор Карлемана / В.Ф. Задорожный // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 5. — С. 54-61 . — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| first_indexed | 2025-12-07T18:14:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 62-50
Â.Ô. ÇÀÄÎÐÎÆÍÛÉ
ÓÏÐÀÂËßÅÌÛÅ ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÅ ÑÈÑÒÅÌÛ
È ÎÏÅÐÀÒÎÐ ÊÀÐËÅÌÀÍÀ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà, êîìïàêò, óïðàâëåíèå, óñòîé÷èâîñòü,
îïåðàòîðû Ãèëüáåðòà–Øìèäòà è Êàðëåìàíà, ìåðà.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ïîíÿòèå äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû âîçíèêëî êàê îáîáùåíèå ïîíÿòèÿ ìåõàíè÷åñêîé
ñèñòåìû, äâèæåíèå êîòîðîé îïèñûâàåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè
Íüþòîíà, Ëàãðàíæà èëè Ãàìèëüòîíà–ßêîáè. Ðàçâèâàÿñü, îíî íàïîëíÿëîñü íîâûì
ãëóáîêèì ìàòåìàòè÷åñêèì ñîäåðæàíèåì, îáúåäèíÿÿ ðàçíûå ïî ñìûñëó ïðèêëàä-
íûå çàäà÷è.  íàñòîÿùåå âðåìÿ ïîíÿòèå äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ âåñüìà
øèðîêèì. Îíî îõâàòûâàåò ñèñòåìû ëþáîé ïðèðîäû: ôèçè÷åñêîé, õèìè÷åñêîé,
áèîëîãè÷åñêîé, ýêîíîìè÷åñêîé è ò.ä. Îïèñàíèå äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì (ìàòåìàòè-
÷åñêèå ìîäåëè) òàêæå äîïóñêàåò áîëüøîå ðàçíîîáðàçèå: îíî ìîæåò áûòü ïðåä-
ñòàâëåíî ñ ïîìîùüþ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, èëè ñðåäñòâàìè ôóíêöèé
àëãåáðû ëîãèêè, èëè ñ ïîìîùüþ ãðàôîâ, ñèìâîëè÷åñêîé äèíàìèêè, ìàðêîâñêèõ
öåïåé è ò.ä. Ââåäåì ïîíÿòèå íåïðåðûâíîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû [1, 2].
Îïðåäåëåíèå 1. Äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìîé (ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì), èëè ïî-
òîêîì íà ìíîæåñòâå M n , íàçûâàþò òàêîå ñåìåéñòâî ïðåîáðàçîâàíèé �t t R, � 1, íà
M n , ÷òî �0 — òîæäåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå è � �t s t s� � �� .
Ïðè ýòîì íàêëàäûâàþòñÿ äîïîëíèòåëüíûå îãðàíè÷åíèÿ — íåïðåðûâíîñòü,
ãëàäêîñòü è ò.ä. Ïðåîáðàçîâàíèå�t çàäàåòñÿ ñ ïîìîùüþ âåêòîðíîãî ïîëÿ X x( ) èëè
âåêòîðíîãî íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ
� ( ), ,x X x x M n� � (1)
ãäå M n — C r -ìíîãîîáðàçèå. Èíîãäà ãîâîðÿò î âåêòîðíîì ïîëå X x( ), x M n� ,
êàê î äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìå. Äàëåå äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû ðàññìàòðèâàþòñÿ èñ-
êëþ÷èòåëüíî íà çàìêíóòûõ îãðàíè÷åííûõ (êîìïàêòàõ) C r -ìíîãîîáðàçèÿõ
� � R n . Âåêòîðíûå ïîëÿ X x( ) íà òàêèõ ìíîãîîáðàçèÿõ îáðàçóþò êîìïàêòíûå
äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû. Îáîçíà÷èì èõ .�
Òåîðåìà Êîøè [2]. Ïóñòü (1) — êîìïàêòíàÿ äèíàìè÷åñêàÿ�-ñèñòåìà. Ïóñòü
êîìïàêò � — ãëàäêîå C r -ìíîãîîáðàçèå. Òîãäà ÷åðåç ëþáóþ òî÷êó x íà � � �int
êàê ÷åðåç íà÷àëüíóþ ïðîõîäèò, è ïðèòîì òîëüêî îäíà, èíòåãðàëüíàÿ êðèâàÿ
x x t x xt t( ) : ( ) ��. Äàííàÿ êðèâàÿ ïðèíàäëåæèò êëàññó C r . Äëÿ êàæäîãî t �
[ , )0
ðàâåíñòâî �t tx x x( ) ( )� îïðåäåëÿåò îòîáðàæåíèå�t : � � . Ïðè ýòîì �0 ÿâëÿåòñÿ
òîæäåñòâåííûì îòîáðàæåíèåì è � � �t t t t1 2 1 2
� � � ( ( ( )) ( )x x x x xt t t t1 2 1 2
� � ).
Ðàâåíñòâî �( , ) ( )t x x xt� îïðåäåëÿåò îòîáðàæåíèå �t
n nR M M: � . Ýòî îòî-
áðàæåíèå ïðèíàäëåæèò êëàññó C r . Èñïîëüçóÿ ÿäðî k x y( , ) , x, y��, ââåäåì îïåðàòîð
A, ãäå k x L Y( , ) ( )� � 2 äëÿ ïî÷òè âñåõ x x( )0 � ��. Ïóñòü k x( , )� — ÿäðî Êàðëåìàíà è
ïóñòü g L� 2�, òîãäà k x g L Y( , ) ( ) ( )� � � 1 äëÿ ïî÷òè âñåõ x. Äëÿ òàêèõ ÿäåð îáëàñòü îïðå-
äåëåíèÿ g ñîñòîèò èç ôóíêöèé g x( ), îáðàç êîòîðûõ ïðèíàäëåæèò L2 ( )� . Òåîðåìà ïðè-
54 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5
Â.Ô. Çàäîðîæíûé, 2008
âîäèò óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè peøåíèÿ x x T xt t( ) � ( )� â öåëîì. Áóäåì
ñ÷èòàòü, ÷òî ñèñòåìà (1) èìååò ðåøåíèe â öåëîì äëÿ ëþáîãî ìîìåíòà âðåìåíè, åñëè
äëÿ ïî÷òè âñåõ òî÷åê x ñ îáû÷íîé ëåáåãîâîé ìåðîé ñóùåñòâóåò äëÿ âñåõ t �
[ , )0
ðåøåíèå ñèñòåìû (1) ïðè íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ x x( )0 � , äëÿ êîòîðîãî êàæäàÿ òî÷êà
ìíîæåñòâà �, çà èñêëþ÷åíèåì òî÷åê íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà ìåðû íóëü, íå óõîäèò
íà áåñêîíå÷íîñòü çà êîíå÷íîå âðåìÿ. Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå âàæíûé êëàññ èíòåã-
ðàëüíûõ îïåðàòîðîâ, êîòîðûå èäåéíî è èñòîðè÷åñêè ñâÿçàíû ñ èìåíåì Êàðëåìàíà.
Îïåðàòîð Êàðëåìàíà (äëÿ ïðîñòîòû çàïèñè îáîçíà÷èì åãî A) ïîðîæäàåòñÿ ÿäðîì
Êàðëåìàíà [4, ñ. 73].
Îïðåäåëåíèå 2. ßäðîì Êàðëåìàíà íàçûâàåòñÿ òàêîå ÿäðî, äëÿ êîòîðîãî
k x L Y( , ) ( )� � 2 äëÿ ïî÷òè âñåõ x.
Ïóñòü k x( , )� ÿâëÿåòñÿ ÿäðîì Êàðëåìàíà è ïóñòü g �L Y2 ( ), òîãäà
k x g L Y( , ) ( ) ( )� � � 1 äëÿ ïî÷òè âñåõ x. Äëÿ òàêèõ ÿäåð îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ñîñòîèò èç
òåõ ôóíêöèé g L Y� 2 ( ), îáðàç êîòîðûõ ïðèíàäëåæèò L X2 ( ) . Èñïîëüçóÿ ÿäðî k x y( , ),
ââåäåì îïåðàòîð Êàðëåìàíà A.
Îïðåäåëåíèå 3. Äëÿ êàæäîãî ÿäðà k x( , )� èìååòñÿ ñâÿçàííàÿ ñ íèì ôóíêöèÿ
�( )� â L2 , îïðåäåëåííàÿ ðàâåíñòâîì �( )( ) ( , )x y k x y� , òàêàÿ, ÷òî äåéñòâèå èíäóöè-
ðîâàííîãî îïåðàòîðà îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé
( )( ) ( , ( )).Ag x g x� �
Ôóíêöèÿ �( )x ñëàáî èçìåðèìà, òàê êàê ( , ( ))g x� �L2 èçìåðèìà äëÿ êàæäîãî g x( ) .
Áîëåå òîãî, åñëè k x y( , ) — îãðàíè÷åííîå ÿäðî, òî ýòè ôóíêöèè è îïåðàòîð A
îãðàíè÷åíû, ò.å. ñóùåñòâóåò ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî p òàêîå, ÷òî
�
� �( , ( )) | | | |g y dy p g� 2
2
2 .
Òàêèì îáðàçîì, â òåðìèíàõ ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà, åñëè g L� 2 ( )� , òî
( )( ) ( , ) ( ) ( , ( , )).Ag x k x y g y dy g k x� � ��
�
(2)
Ñðàâíèòåëüíî íîâûé âàæíûé êëàññ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ñîñòàâëÿþò óïðàâëÿ-
åìûå äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû
u� [5, 6]. Äëÿ òàêèõ ñèñòåì âåêòîðíîå ïîëå
X X x u� ( , ), u U R m� � , m n� , ÿâíî çàâèñèò îò íåêîòîðîãî óïðàâëÿþùåãî âåêòîðà
èç çàäàííîãî êëàñña ôóíêöèé. Ãëàâíàÿ ïðîáëåìà òåîðèè óïðàâëåíèÿ — âûáîð (ñèí-
òåç) óïðàâëÿþùèõ ïàðàìåòðîâ òàêèõ, ÷òîáû çàäàííûé êðèòåðèé êà÷åñòâà J t x u( , , ) ,
õàðàêòåðèçóþùèé ðàáîòó ñèñòåìû
u� ñ ó÷eòîì âîçìîæíûõ îãðàíè÷åíèé, áûë
ìèíèìàëüíûì (âîçìîæíî äîïóñòèìûì).
ÊÎÌÏÀÊÒÍÛÅ ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÅ ÑÈÑÒÅÌÛ È ÎÏÅÐÀÒÎÐ ÊÀÐËÅÌÀÍÀ
Ôàçîâûé ïîðòðåò ñèñòåìû � ñîñòîèò èç ñòàöèîíàðíûõ è ïåðåõîäíûõ ðåæèìîâ.
Ñòàöèîíàðíûå ðåæèìû áûâàþò òîëüêî äâóõ êëàññîâ: íåïîäâèæíûå òî÷êè è çàìêíó-
òûå êðèâûå. Ïåðâûì ñîîòâåòñòâóþò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, âòîðûì — êîëåáàòåëü-
íûå ïðîöåññû (À. Ïóàíêàðå). Çäåñü ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî äåòåðìèíèðîâàííûé õàîñ — ýòî
êîëåáàíèÿ ñ î÷åíü áîëüøèì ïåðèîäîì. Âàæíîé îñîáåííîñòüþ ñèñòåì � ÿâëÿåòñÿ
íàëè÷èå ôóíêöèé �( )x , íà êîòîðûõ íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ñõîäèòñÿ è âûïîë-
íÿåòñÿ ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî:
� � �
�
�� � �( ) ( ( )) , ( )x x x dt xt
0
0.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5 55
Ëåììà 1. Ïóñòü { }� i x( ) — îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà ýëåìåíòîâ â ãèëüáåð-
òîâîì ïðîñòðàíñòâå L2 , ïóñòü x xt ( ) — ðåøåíèå êîìïàêòíîé ñèñòåìû � íà ïîëó-
ïðÿìîé t �
[ , )0 , òîãäà ñèñòåìà ôóíêöèé { }� i tx x( ( ) îáðàçóåò áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå
L d t2 0[ , , [ ])
� , d t�[ ] � d x xt�( ( )) .
Äîêàçàòåëüñòâo ëåììû ëåãêî ïîëó÷èòü. Äëÿ ýòîãî íóæíî äîêàçàòü, ÷òî ñèñòåìà
ôóíêöèé { }� i tx x( ( ) ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ è ïîëíàÿ, ÷òî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî
{ }� i x( ) — ïîëíàÿ îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà ôóíêöèé â L2 ( )� .
Òåîðåìà 1. Êîìïàêòíàÿ äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà� èíäóöèðóåò íà êîìïàêòíîì
ìíîãîîáðàçèè � èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð Êàðëåìàíà.
Ïðåæäå ÷åì äîêàçûâàòü äàííîå óòâåðæäåíèå, ââåäåì íåêîòîðûå îïðåäåëåíèÿ è
ïîÿñíåíèÿ. Ïóñòü B -– ïðîñòðàíñòâî ñ ìåðîé �, ïðè÷åì ��M n — îáúåäèíåíèå ñ÷åò-
íîé ñîâîêóïíîñòè ìíîæåñòâ êîíå÷íîé ìåðû, ãäå �— êëàññ âñåõ �-èçìåðèìûõ ïîä-
ìíîæåñòâ ïðîñòðàíñòâà L M n2 ( ) . Ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ ÷àñòíûé ñëó÷àé ïîñòðîåíèÿ
îïåðàòîðà A äëÿ êîìïàêòíîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû .� Ïîëîæèì � �R n è ðàñ-
ñìîòðèì ïðîñòðàíñòâî Ãèëüáåðòà L2 ( )� ñ îáû÷íîé ìåðîé Ëåáåãà dx. Íàïîìíèì,
÷òî îïåðàòîð A ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì Êàðëåìàíà, åñëè è òîëüêî åñëè ñóùåñòâóåò èç-
ìåðèìàÿ ôóíêöèÿ � íà ��R n òàêàÿ, ÷òî k x L( , ) ( )� � 2 � , x�� , ïî÷òè âñþäó äëÿ
êàæäîé ôóíêöèè g x( )�L2 ( )� . Çàìåòèì, ÷òî íàèáîëåå åñòåñòâåííûìè èíòåãðàëüíûìè
îïåðàòîðàìè íà L2 ÿâëÿþòñÿ òå, êîòîðûå èíäóöèðóþòñÿ ÿäðàìè Êàðëåìàíà k x y( , ) äëÿ
ïî÷òè âñåõ x��. Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ êàðëåìàíîâñêîãî ÿäðà ñëåäóåò, ÷òî åñëè
A — îïåðàòîð Kàðëåìàíà, òî A ïåðåâîäèò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { }� i x( ) , ñõîäÿùóþñÿ ê
íóëþ ïî íîðìå, â ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñõîäÿùóþñÿ ê íóëþ ïî÷òè âñþäó.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü çàäàí îðòîíîðìèðîâàííûé ïðîèçâîëüíûé áàçèñ
{ }� i x( ) â ïðîñòðàíñòâå L2 ( )� . Ðàññìîòðèì èíòåãðàë
g t d t[ ] [ ],
0
� �
(3)
ãäå d t x x dtt� �[ ] ( ( ))� ïî÷òè äëÿ âñåõ x êàê íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé ðåøåíèé x xt ( )
äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû � è ïðè ýòîì � � �( ) [ ] [ ]x y d ts�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
��
�
��
0
2
1
2
, ãäå
�[ ]t — íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ, ñóììèðóåìàÿ íà èíòåðâàëå t �
[ , )0 . Òàêóþ ôóíê-
öèþ ëåãêî ïîñòðîèòü äëÿ êîìïàêòíîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû, íàïðèìåð,
� � ( )x exp( ).�
t
Ðàçëîæèì ôóíêöèþ g x L( ) ( )� 2 � â îáîáùåííûé ðÿä Ôóðüå â ïðîèçâîëüíîé
òî÷êå x�� ïî ýëåìåíòàì ñèñòåìû { }� i tx x( ( )) : g t c x ts s[ ] ( ) [ ]�� � . Çäåñü è äàëåå
îáëàñòü èíòåãðèðîâàíèÿ äëÿ óäîáñòâà îïóñêàåòñÿ. Çàïèøåì ôóíêöèþ Êàðëåìàíà
ñëåäóþùèì îáðàçîì:
� � �( ) [ ] [ ]x t d ts�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
��
�
��
0
2
1
2
ïî÷òè âñþäó. (4)
Åñëè ( )( ) [ ]Ag x c A ts s�� � , òî c A t Ags s� � [ ] , n
, ñëåäîâàòåëüíî,
� � � �Ag c A t A g xs s� �� �{ } { }1/2 1/22 2
2� �[ ] | | ( ) | | ( ) ïî÷òè âñþäó. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïîä-
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷àñòíûõ ñóìì � � �
N
c x ts
s
N
s
�
�
1
( ) [ ] ñõî-
56 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5
äèòñÿ ê � �( ), ( )x x0 � �
, ïî÷òè âñþäó, èìååì
� �Ag g x� | | | | ( ).2 � (5)
Ñëåäîâàòåëüíî, îïåðàòîð A ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì Êàðëåìàíà â ãèëüáåðòîâîì ïðî-
ñòðàíñòâå, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Äàííûé îïåðàòîð èíòåãðàëüíûé è èìååò ïîëíûé íàáîð ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé,
âîçìîæíî îáîáùåííûõ, ïî êîòîðûì ìîæíî ðàçëîæèòü êàðëåìàíîâñêîå ÿäðî, à òàê-
æå îïðåäåëèòü ñïåêòð �( )A . Îáîáùåííûå ñîáñòâåííûå ôóíêöèè (íåèíòåãðèðóå-
ìûå â êâàäðàòå), êàê èçâåñòíî, ñîîòâåòñòâóþò íåïðåðûâíîìó ñïåêòðó îïåðàòîðà A.
Íàìåòèì ïëàí ïîèñêà ôóíêöèè Êàðëåìàíà, êîòîðàÿ ïîðîæäàåòñÿ çàäàííîé äèíàìè-
÷åñêîé ñèñòåìîé. Äëÿ ýòîé öåëè ââåäåì îïåðàòîð L , êîòîðûé áóäåò ñàìîñîïðÿæåí-
íûì ðàñøèðåíèåì îïåðàòîðà L0 , çàäàííîãî äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìîé è ÿâëÿþùåãîñÿ
ðåàëèçàöèåé äèôôåðåíöèàëüíîãî âûðàæåíèÿ X x� � â ïðîñòðàíñòâå L2 ( )� .
Ïîñêîëüêó êîìïàêòíàÿ äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñîõðàíÿåò ìåðó ñîãëàñíî èçâåñ-
òíîé òåîðåìå Êðûëîâà–Áîãîëþáîâà [7], îïåðàòîð L0 ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷åñêèì è
ìîæåò ðàñøèðèòüñÿ äî ñàìîñîïðÿæåííîãî L . Òåïåðü íóæíî òàê ïîäîáðàòü ôóíê-
öèþ Êàðëåìàíà �, ÷òîáû îïåðàòîð L , à òî÷íåå, îïåðàòîð ( )nI L� , èìåë îáðàòíûé
è ýòîò îáðàòíûé áûë îïåðàòîðîì òèïà îïåðàòîðà Êàðëåìàíà.
Òåîðåìà Èîñèäû [8]. Îïåðàòîð ( )
I L� ïðè çíà÷åíèÿõ
� 0 îáëàäàåò îáðàò-
íûì îïåðàòîðîì,
R L I L t t dt( , ) ( ) exp( ) [ ]
�� � � ��
�1
0
(6)
ïðè âñåõ x, Re( )
è ïðîèçâîëüíîì îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå, òîãäà
k x g y L( , ) ( )� � 1, êàê òîëüêî k E� , ãäå E — íåêîòîðîå íóëüìåðíîå ìíîæåñòâî.
Âàæíî çàìåòèòü, ÷òî ñóììà � íå çàâèñèò îò âûáîðà îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòå-
ìû. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóììà � ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ñâîéñòâîì êàðëåìàíîâ-
ñêèõ îïåðàòîðîâ. Èç êîíå÷íîñòè ñóììû �� �lim
N
n
n
N
�
�
1
ñëåäóåò, ÷òî îïåðàòîð A
îòîáðàæàåò êàæäóþ ñõîäÿùóþñÿ ïî íîðìå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü â ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòü, ñõîäÿùóþñÿ ïî÷òè âñþäó. Èíûìè ñëîâàìè, âñå âåùåñòâåííûå ïîëîæèòåëü-
íûå ÷èñëà è âñå êîìïëåêñíûå ÷èñëà (â ñèëó ñàìîñîïðÿæåííîñòè) ïðèíàäëåæàò ðå-
çîëüâåíòíîìó ìíîæåñòâó R L( , )
îïåðàòîðà
I L� � 1. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðàâàÿ ïîëó-
ïëîñêîñòü êîìïëåêñíîé
-ïëîñêîñòè ÿâëÿåòñÿ ðåçîëüâåíòíûì ìíîæåñòâîì R L( , )
îïåðàòîðà L ,
f k x y g y dy� � ( , ) ( ) . (7)
Ïîä èíòåãðàëîì ñòîÿò ôóíêöèè, â òåðìèíàõ êîòîðûõ è áûëà íàéäåíà êàðëåìà-
íîâñêàÿ ôóíêöèÿ. Ôîðìóëà (6), òàêèì îáðàçîì, óñòàíàâëèâàåò ñâÿçü çàäàííîãî
ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà L , õàðàêòåðèçóþùåãî êîìïàêòíóþ äèíàìè÷åñêóþ
ñèñòåìó, ñ îïåðàòîðîì Êàðëåìàíà. Íàéäåì òåïåðü óðàâíåíèå, êîòîðîå îïðåäåëÿåò
äàííóþ ôóíêöèþ. Ïðîäèôôåðåíöèðóåì (ïîêà ôîðìàëüíî) ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè,
â ñèëó âåêòîðíîãî ïîëÿ óðàâíåíèÿ (6), çàäàííîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû:
Lf k x y g y dy x y k x y k x y Xx� � � �� ( , ) ( ) , , , ( , ) ( , ) .* *� � (8)
Ïðåäñòàâèì ôóíêöèþ Lf êàê ñóììó èñêîìîé ôóíêöèè g è íåêîòîðîé çàäàííîé
ôóíêöèè
ñîîòâåòñòâåííî. Ñîãëàñíî óñëîâèÿì ðàçëîæåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå L2 äîë-
æíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå îðòîãîíàëüíîñòè g dx� �
* 0 . ßäðî óðàâíåíèÿ (8)
k x y( , )* áóäåì ïîíèìàòü êàê îáîáùåííóþ ïðîèçâîäíóþ â ñèëó ñèñòåìû .� Äåé-
ñòâèòåëüíî, ðÿä � � �s s sx y� ( ) ( )* ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî è àáñîëþòíî, ïîýòîìó åãî
ìîæíî äèôôåðåíöèðîâàòü, â îáîáùåííîì ñìûñëå, ïî íàïðàâëåíèþ çàäàííîãî âåê-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5 57
òîðíîãî ïîëÿ X . Ñëåäîâàòåëüíî, îáîáùeííàÿ ïðîèçâîäíàÿ ñóùåñòâóåò è ýòî
óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä
g k x y g y dy� � � ( , ) ( ) .* (9)
Ðåøàÿ óðàâíåíèå (8), íàõîäèì ôóíêöèþ g, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
g dx� �
* 0 ïðè çàäàííîé ôóíêöèè
( )x . Ïîêàæåì, ÷òî ÿäðî k D x ys x s s
* *( ) ( )�� � � �
òîæå êàðëåìàíîâñêîå.
Èçâåñòíî [8], ÷òî äîñòàòî÷íî âûñîêàÿ ñòåïåíü � ðåçîëüâåíòû ( )
�I L� � ñàìî-
ñîïðÿæåííîãî ðàñøèðåíèÿ L ýëëèïòè÷åñêîãî îïåðàòîðà L0 ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì
Êàðëåìàíà. Ïîñêîëüêó çäåñü ðàññìàòðèâàþòñÿ äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû, èìååò ìåñòî
òåîðåìà î ðàçëîæåíèè ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì Ãîðäèíãà–Ìàóòíåðà (ñì., íàïðè-
ìåð, [8]). Â òî æå âðåìÿ îïåðàòîð L — ñàìîñîïðÿæåííûé äèôôåðåíöèàëüíûé, ñâÿ-
çàííûé ñ äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìîé, ñîõðàíÿþùåé ìåðó. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò
ñèñòåìà ýëåìåíòîâ { }� i i W�
�1 2
1 ( )� ïðîñòðàíñòâà Ñîáîëåâà, ÿâëÿþùèõñÿ
îáîáùåííûìè ñîáñòâåííûìè ôóíêöèÿìè ýòîãî îïåðàòîðà (ñì. òåîðåìó Ãåëüôàí-
äà–Êîñòþ÷åíêî [9]).
Ðåçþìèðóåì ýòè ðåçóëüòàòû ñëåäóþùèì îáðàçîì.
1. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû íà êîìïàêòå âçàèìî-
îäíîçíà÷íî ïîðîæäàþò èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ ÿäðàìè òèïà ÿäåð Êàðëåìàíà.
2. Åñëè L — äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð, èíäóöèðóåìûé êîìïàêòíîé äèíàìè÷åñ-
êîé ñèñòåìîé, òî åå ìîæíî ðàçëîæèòü ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
îáîáùåííûå ñîáñòâåííûå ôóíêöèè { }� i i W�
�1 2
1 ( )� ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè äèôôåðåí-
öèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (9). Âàæíû ñëó÷àè (óñëîâèÿ), êîãäà ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ðåãóëÿð-
íû, à ñïåêòð äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû îáðàçóåòñÿ òîëüêî ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè. Îäèí èç
òàêèõ ïðèìåðîâ, êîòîðûé çí�÷èì è ñàì ïî ñåáå, êîãäà îáëàñòü int � ÿâëÿåòñÿ îáëàñòüþ
ïðèòÿæåíèÿ òî÷êîé ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû .�
ÀÑÈÌÏÒÎÒÈ×ÅÑÊÀß ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ È ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ ÃÈËÜÁÅÐÒÀ–ØÌÈÄÒÀ
Ïîêàæåì, ÷òî â îáëàñòè ïðèòÿæåíèÿ îïåðàòîð Êàðëåìàíà òðàíñôîðìèðóåòñÿ
â îïåðàòîð Ãèëüáåðòà–Øìèäòà. Äåéñòâèòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ Êàðëåìà-
íà äîëæíà ïðèíàäëåæàòü ïðîñòðàíñòâó Ãèëüáåðòà. Îò îïåðàòîðà Êàðëåìàíà ëåã-
êî ìîæíî ïåðåéòè ê îïåðàòîðó Ãèëüáåðòà–Øìèäòà. Äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî
êàðëåìàíîâñêàÿ ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó Ãèëüáåðòà. Äîêàæåì ïðè-
íàäëåæíîñòü èõ ïðîñòðàíñòâó Ãèëüáåðòà, íå èñïîëüçóÿ ðåøåíèÿ äèíàìè÷åñêîé
ñèñòåìû.
Òåîðåìà 2. Ïóñòü äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà� íà êîìïàêòå ( )� èìååò îäíî ïî-
ëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ x � 0 è îáëàñòü int � — îáëàñòü ïðèòÿæåíèÿ ýòîé òî÷êè, òîãäà
îïåðàòîð Êàðëåìàíà áóäåò îïåðàòîðîì Ãèëüáåðòà–Øìèäòà.
Äîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó òîãî ÷òî îáëàñòü� — îáëàñòü ïðèòÿæåíèÿ, â íåé ñó-
ùåñòâóåò ïàðà ôóíêöèé ( , )
w , óäîâëåòâîðÿþùèõ òåîðåìå Çóáîâà îá àñèìïòîòè-
÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè [10]. Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå îðòîíîðìèðîâàííóþ, â ñìûñëå
L2 , ñèñòåìó { ( )}� s x è îïåðàòîð R ñëåäóþùèì îáðàçîì:
Rg gd t�
�
0
�[ ].
Çäåñü g — ïðîèçâîëüíàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ. Ïðåäñòàâèì åå îáîáùåííûì ðÿ-
äîì Ôóðüå c xs s� � ( ) , òàê ÷òî c g x x dxs s� � ( ) ( )*� è | | | | ( ) ( )*g g x g x dx
2
2 � � —
êâàäðàò íîðìû â L2 . Çàìåíÿÿ ïîä çíàêîì èíòåãðàëà ôóíêöèþ g ñóììîé åå ðÿäà
58 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5
c xs s� �* ( ) è ââîäÿ îïåðàòîð Rg gd t�
�
0
�[ ] , ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâó
| |Rg N gd2 2
0
2
�
� � , ãäå N ds�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
��
��sup � �
2
1 2/
. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî � �sd��
�
�
�
�
�
�
2
—
íåïðåðûâíàÿ íà êîìïàêòå ôóíêöèÿ, èìååì N ds�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
��
�
��sup � �
2
1 2/
. Ïîëó÷à-
åì ñëåäóþùåå íåðàâåíñòâî:
� �Rg g ds�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
��
��| | | | .
/
2
2
1 2
sup � �
Îêîí÷àòåëüíî ïðèõîäèì ê íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèÿì ñóùåñòâîâà-
íèÿ îïåðàòîðà Ãèëüáåðòà–Øìèäòà
� �Rg N g V x� | | | | ( )2 . (10)
Äàííîå íåðàâåíñòâî — íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå òîãî, ÷òî îïåðàòîð
R ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì Ãèëüáåðòà–Øìèäòà [4]. Äîêàçàòåëüñòâî çàêîí÷åíî.
Òàêèì îáðàçîì, äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà â îáëàñòè ïðèòÿæåíèÿ (âïëîòü äî ãðà-
íèöû îáëàñòè àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè) èíäóöèðóåò îïåðàòîð Ãèëüáåð-
òà–Øìèäòà. Íàïîìíèì, ÷òî îïåðàòîðîì Ãèëüáåðòà–Øìèäòà íàçûâàåòñÿ êîìïàêò-
íûé èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð, ñïåêòð êîòîðîãî îáðàçîâàí ÷èñëàìè, ñóììèðóåìûìè ñ
êâàäðàòîì [8]. Ñëåäîâàòåëüíî, ñîáñòâåííûìè ýëåìåíòàìè îïåðàòîðà áóäóò
ðåãóëÿðíûå ôóíêöèè. Ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (1) ïðè ýòîì
ïðåäñòàâèìû ñëåäóþùèì îáðàçîì:
f x x y g y dy( ) ( , ) ( ) .� � � (11)
Ðàçëîæèì ÿäðî � ïî ýëåìåíòàì âûáðàííîãî áàçèñà { }�i ix L( ) ( )�
�1
2 � ïðî-
ñòðàíñòâà è ïðîäèôôåðåíöèðóåì ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè ñîîòíîøåíèÿ (11), ÷òîáû
ðÿä Lf h xs s s�� � �� ( ), ïîëó÷åííûé â ðåçóëüòàòå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ â ñèëó (1),
ðàâíîìåðíî ñõîäèëñÿ. Ïîêàæåì, ÷òî ýòî óñëîâèå âûïîëíÿåòñÿ äëÿ ÿäåð ñî ñõîäÿùè-
ìèñÿ ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè { }� s . Íàïîìíèì, ÷òî èíòåãðàëüíûå îïåðàòîðû ñ òàêè-
ìè ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè íàçûâàþòñÿ ÿäåðíûìè îïåðàòîðàìè [4]. Äåéñòâèòåëüíî,
â ýòîì ñëó÷àå ðÿä � �s s sh x� ( ), h gs s� ( , )� , äîëæåí ñõîäèòüñÿ íå õóæå ÷åì ðÿä
� s sh� . Ïðè ýòîì îïåðàòîð, ðàçðåøàþùèé óðàâíåíèÿ êîìïàêòíîé äèíàìè÷åñêîé
ñèñòåìû, äîëæåí áûòü ÿäåðíûì.
Òåîðåìà 3. Èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð R, ðàçðåøàþùèé óðàâíåíèå (1),
Rg g t d t�
� [ ] [ ]
0
, (12)
ÿâëÿåòñÿ ÿäåðíûì îïåðàòîðîì.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ âñÿêîãî ýëåìåíòà g L( ) ( )� � 1 � óðàâíåíèå (11) ðàçðåøè-
ìî â âèäå
f x x y g y dy( ) ( , ) ( )� � �
ñ ãèëüáåðòîâûì ÿäðîì. Òàê êàê ðåøåíèÿ ñèñòåìû — íåïðåðûâíûå ôóíêöèè, ðÿä
� s sh� äîëæåí ñõîäèòüñÿ ðàâíîìåðíî è àáñîëþòíî, ò.å. � �� s sh� �
äëÿ âñåõ
g L( ) ( )� � 1 � . Èç ïðèíöèïà ðàâíîìåðíîé îãðàíè÷åííîñòè ñëåäóåò, ÷òî ýòî íåðà-
âåíñòâî áóäåò âûïîëíÿòüñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà � �� s� �
. Îòìåòèì, ÷òî
áåñêîíå÷íîìåðíûå ÿäåðíûå îïåðàòîðû íàèáîëåå áëèçêè ê êîíå÷íîìåðíûì îïåðà-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5 59
òîðàì (ìàòðèöàì): 1) ñóùåñòâóþò àáñîëþòíî ñõîäÿùèåñÿ îïðåäåëèòåëè, ò.å.
ê òàêèì îïåðàòîðàì ïîëíîñòüþ ïðèìåíèìà òåîðèÿ èíòåãðàëüíûõ îïåðàòîðîâ Ôðåä-
ãîëüìà; 2) ìàòðè÷íûé ñëåä ñîâïàäàåò ñ åãî ñïåêòðàëüíûì ñëåäîì; 3) ñóììà
� � �s s sx y� ( ) ( )* íå çàâèñèò îò âûáîðà îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìû (ñì. îá ýòîì
ïîäðîáíî â [4]). Âîñïîëüçóåìñÿ ñâîéñòâîì 3 è çàäàäèìñÿ ÿäðîì � � �s s sx y� ( ) ( )* .
Åñëè îïåðàòîð R ÿäåðíûé, òî ñóììà � � �s s sx y� ( ) ( )* íå çàâèñèò îò âûáîðà
îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå.
À.Ì. Ëÿïóíîâ, óñòàíàâëèâàÿ íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ àñèìïòîòè-
÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ëèíåéíûõ êîíå÷íîìåðíûõ ñèñòåì, îïèðàëñÿ íà ñâîéñòâî äèñ-
ñèïàòèâíîñòè ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ. Îäíàêî è áåñêîíå÷íîìåðíûå, íåîãðàíè÷åííûå
îïåðàòîðû ìîãóò îáëàäàòü ýòèì ñâîéñòâîì, à èìåííî, ëèíåéíûé îïåðàòîð L , îòî-
áðàæàþùèé D L L( ) 2 â L2 , íàçûâàåòñÿ äèññèïàòèâíûì, åñëè R ( , )Lg g � 0.
Òåîðåìà 4. Åñëè îïåðàòîð L äèññèïàòèâåí, òî äëÿ âñÿêîãî ÿäåðíîãî ïîëîæè-
òåëüíîãî îïåðàòîðà C óðàâíåíèå
AR R A C� �* (13)
ðàçðåøèìî â âèäå ïîëîæèòåëüíîãî îïåðàòîðà A Ãèëüáåðòà–Øìèäòà.
Äîêàçàòåëüñòâî ñîñòîèò â ïðÿìîì ïîñòðîåíèè îïðåäåëåííî-îòðèöàòåëüíîãî
ÿäðà a x z( , ) êàê ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ
{ }a x z z y y z a z x c x y( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ),* *� �� � �
êîòîðîå íà ìíîæåñòâå ôóíêöèé èç ïðîñòðàíñòâà Ñîáîëåâà W
2
1 ( )� óäîâëåòâîðÿåò
óñëîâèþ
c x y g x g y dxdy( , ) ( ) ( ) .� � 0
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÅ ÁÛÑÒÐÎÄÅÉÑÒÂÈÅ
Âàæíîé îñîáåííîñòüþ ñèñòåì � ÿâëÿåòñÿ íàëè÷èå ôóíêöèé w x x( ), ��, íà êî-
òîðûõ íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ñõîäèòñÿ è âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
w x x dtt( ( )) .
0
� �
Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ, õàðàêòåðèçóþùàÿ ïåðåõîäíîé ïðîöåññ â ñèñòåìå
ñ îäíèì ïîëîæåíèåì ðàâíîâåñèÿ, óáûâàåò âäîëü òðàåêòîðèé ñèñòåìû. Â.È. Çóáî-
âûì äîêàçàíî [6], ÷òî ïåðåõîäíîé ïðîöåññ áóäåò çàòóõàòü îïòèìàëüíûì îáðàçîì,
åñëè è òîëüêî åñëè ôóíêöèÿ Ëÿïóíîâà
( )x áóäåò íàèáîëüøåé äåìïôèðóþùåé
ôóíêöèåé. Êàê èçâåñòíî, óìíîæåíèå âåêòîðíîãî ïîëÿ X íà íåïðåðûâíóþ ïîëîæè-
òåëüíóþ ôóíêöèþ ( )x íå ìåíÿåò òðàåêòîðèé, íî ìåíÿåò ñêîðîñòü äâèæåíèÿ. Ïîñòà-
âèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó: íàéòè ïîëîæèòåëüíóþ ôóíêöèþ ( )x , ïðè êîòîðîé ñêî-
ðîñòü óáûâàíèÿ ôóíêöèè Ëÿïóíîâà
( )x , óäîâëåòâîðÿþùåé óðàâíåíèþ
� � �x X w
( )1 , (14)
áóäåò íàèáîëüøåé ïðè äîïóñòèìûõ îãðàíè÷åíèÿõ íà ñêîðîñòü äâèæåíèÿ.
Ïóñòü ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ x � 0 ñèñòåìû (1) àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî è
îáëàñòü ïðèòÿæåíèÿ — îáëàñòü int �. Êàê ïîêàçàíî ðàíåå, äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìå
ñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå èíòåãðàëüíîå îäíîðîäíîå óðàâíåíèå
g x x y g y dys s s( ) � ( ) ( ) ( ) ,� �� � � �
ãäå � ( , ) ( ) ( ),� � s xD x y X x x� x y, ��.
60 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5
Ðåøàÿ ýòî óðàâíåíèå, íàõîäèì g x x y g y dys s s( ) � ( ) ( ) ( )� �� � � � . Îïðåäåëèì
( )x èç óñëîâèÿ
k i j n k i j nij ij ij� � � � �� , , , , , .0
Òåïåðü ïîñòàâëåííóþ çàäà÷ó ìîæíî òðàêòîâàòü êàê èçâåñòíóþ ïðîáëåìó ìî-
ìåíòîâ [12]: çàäàíî n n� êîýôôèöèåíòîâ � ij
i j
i j
�
�
!
�
�
�
1
0
, ,
, ,
i j n, � , çàäàíî n n� ôóíê-
öèé { }� �i jx x( )� ( ) , íàéòè íàèáîëüøåå ( )x , óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ îãðàíè÷åí-
íîñòè | | ( )| | x l� .
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. À ð í î ë ü ä Â . È . Îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. — Ì.: Íàóêà, 1971. — 239 ñ.
2. Ò à ì ó ð à È . Òîïîëîãèÿ ñëîåíèé. — Ì.: Ìèð, 1979. — 315 ñ.
3. Ï î â ç í å ð À . Òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ â öåëîì äëÿ íåëèíåéíîé ñèñòåìû è èíäåêñ äåôåêòà
ëèíåéíîãî îïåðàòîðà // Ñèá. ìàò. æóð. – 1964. — 5, ¹ 2. — Ñ. 377–386.
4. Õ à ë ì î ø Ï . , Ñ à í ä å ð  . Îãðàíè÷åííûå èíòåãðàëüíûå îïåðàòîðû â ïðîñòðàíñòâå L2. — Ì.:
Íàóêà, 1985. — 158 ñ.
5. Ê ð à ñ î â ñ ê è é Í . Í . Ïðîáëåìû ñòàáèëèçàöèè óïðàâëÿåìûõ äâèæåíèé. Äîïîëíåíèå IV ê
ìîíîãðàôèè: È.Ã. Ìàëêèí. Òåîðèÿ óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ. — Ì.: Íàóêà, 1966. — 530 ñ.
6. Ç ó á î â  . È . Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ ñèñòåì àâòîìàòè÷åñêîãî ðåãóëèðîâàíèÿ. —
Ë.: Ìàøèíîñòðîåíèå, 1974. — 333 ñ.
7. Á î ã î ë þ á î â Í . Í . Ïîëíîå ñîáðàíèå ñî÷èíåíèé. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1976. — Ò. 2. — 517 ñ.
8. Ì î ð å í Ê . Ìåòîäû ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà. — Ì.: Ìèð, 1965. — 570 ñ.
9. Ã å ë ü ô à í ä È . Ì . , Ê î ñ ò þ ÷ å í ê î À . Ã . Î ðàçëîæåíèè ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì
äèôôåðåíöèàëüíûõ è äðóãèõ îïåðàòîðîâ // Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ. — 1955. — 103, ¹ 3. — Ñ. 349–352.
10. Ç ó á î â Â . È . Èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ ôóíêöèè Ëÿïóíîâà // Òàì æå. — 314, ¹ 4. — 1990. —
Ñ. 780–782.
11. Ï å ò ð î â ñ ê è é È . Ã . Ëåêöèè ïî òåîðèè èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé. — Ì.: Íàóêà, 1965. — 127 ñ.
12. Ê ð å é í Ì . à . , Í ó ä å ë ü ì à í À . À . Ïðîáëåìà ìîìåíòîâ Ìàðêîâà è ýêñòðåìàëüíûå çàäà÷è. —
Ì.: Íàóêà, 1978. — 305 ñ.
13. Ç à ä î ð î æ í û é  . Ô . Ïðîáëåìà Ëÿïóíîâà â çàäà÷àõ óïðàâëåíèÿ äèíàìè÷åñêèìè ñèñòåìàìè //
Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2002. — ¹ 6. — Ñ. 133–142.
Ïîñòóïèëà 10.01.2008
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-44253 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:14:45Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Задорожный, В.Ф. 2013-05-27T14:15:04Z 2013-05-27T14:15:04Z 2008 Управляемые динамические системы и оператор Карлемана / В.Ф. Задорожный // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 5. — С. 54-61 . — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44253 62-50 ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Управляемые динамические системы и оператор Карлемана Article published earlier |
| spellingShingle | Управляемые динамические системы и оператор Карлемана Задорожный, В.Ф. Системный анализ |
| title | Управляемые динамические системы и оператор Карлемана |
| title_full | Управляемые динамические системы и оператор Карлемана |
| title_fullStr | Управляемые динамические системы и оператор Карлемана |
| title_full_unstemmed | Управляемые динамические системы и оператор Карлемана |
| title_short | Управляемые динамические системы и оператор Карлемана |
| title_sort | управляемые динамические системы и оператор карлемана |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44253 |
| work_keys_str_mv | AT zadorožnyivf upravlâemyedinamičeskiesistemyioperatorkarlemana |