Оптическая буферность стационарных структур

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :Кибернетика и системный анализ
Дата:2008
Автор: Белан, Е.П.
Формат: Стаття
Мова:Російська
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2008
Теми:
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44254
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Оптическая буферность стационарных структур / Е.П. Белан // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 5. — С. 61-75 . — Бібліогр.: 30 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
_version_ 1859937509349261312
author Белан, Е.П.
author_facet Белан, Е.П.
citation_txt Оптическая буферность стационарных структур / Е.П. Белан // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 5. — С. 61-75 . — Бібліогр.: 30 назв. — рос.
collection DSpace DC
container_title Кибернетика и системный анализ
first_indexed 2025-12-07T16:10:04Z
format Article
fulltext ÓÄÊ 517.9 Å.Ï. ÁÅËÀÍ ÎÏÒÈ×ÅÑÊÀß ÁÓÔÅÐÍÎÑÒÜ ÑÒÀÖÈÎÍÀÐÍÛÕ ÑÒÐÓÊÒÓÐ Êëþ÷åâûå ñëîâà: ïàðàáîëè÷åñêàÿ çàäà÷à, áóôåðíîñòü, áèôóðêàöèÿ, óñòîé÷è- âîñòü, ñòàöèîíàðíûå ñòðóêòóðû. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Íàáëþäàåìûé â ïîñëåäíåå âðåìÿ áóðíûé ðîñò èññëåäîâàíèé â íåëèíåéíîé îïòè- êå âûçâàí øèðîêèì èñïîëüçîâàíèåì îïòè÷åñêèõ ñèñòåì â ðàçâèòèè èíôîðìàöè- îííûõ òåõíîëîãèé [1]. Ãëàâíûå ïðåèìóùåñòâà îïòè÷åñêèõ ìåòîäîâ â çàäà÷àõ õðàíåíèÿ è ïðåîáðàçîâàíèÿ èíôîðìàöèè ñâÿçàíû ñ ïàðàëëåëüíîñòüþ îáðàáîòêè ñèãíàëîâ, âîçìîæíîñòüþ ðåçêîãî ïîâûøåíèÿ áûñòðîäåéñòâèÿ âûïîëíåíèÿ îïåðà- öèé. Áëàãîäàðÿ åñòåñòâåííûì ïðåèìóùåñòâàì îïòè÷åñêèå ñèñòåìû èñïîëüçóþòñÿ ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5 61 © Å.Ï. Áåëàí, 2008 äëÿ ñîçäàíèÿ ýëåìåíòîâ àññîöèàòèâíîé ïàìÿòè, ñèñòåì ðàñïîçíàâàíèÿ îáðàçîâ, îáó÷àþùèõñÿ àíàëîãîâûõ êîìïüþòåðîâ (ñì. [1–3] è äð.). Ñðåäè íåëèíåéíûõ îïòè÷åñêèõ ñèñòåì îäíîé èç ñàìûõ ïîïóëÿðíûõ ÿâëÿåòñÿ ñèñòåìà, ñîñòîÿùàÿ èç òîíêîãî ñëîÿ íåëèíåéíîé ñðåäû êåððîâñêîãî òèïà è ðàçëè÷- íûì îáðàçîì îðãàíèçîâàííîãî êîíòóðà äâóìåðíîé îáðàòíîé ñâÿçè [1, 3]. Ïðèíöè- ïèàëüíàÿ îñîáåííîñòü òàêèõ ñèñòåì ñîñòîèò â òîì, ÷òî âíåøíèé êîíòóð îáðàòíîé ñâÿçè ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ íåïîñðåäñòâåííîãî âîçäåéñòâèÿ íà íåëèíåéíóþ äèíàìèêó ñèñòåìû ïîñðåäñòâîì óïðàâëÿåìîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðîñòðàíñòâåííûõ ïåðåìåííûõ, âûïîëíÿåìûõ ïðèçìàìè, ëèíçàìè, äèíàìè÷åñêèìè ãîëîãðàììàìè è äðóãèìè óñòðîéñòâàìè. Ýêñïåðèìåíòàëüíî ïîêàçàíî, ÷òî ïðè èñïîëüçîâàíèè äàæå ïðîñòåéøèõ âèäîâ ïðåîáðàçîâàíèé (ïîâîðîò, ïîâîðîò è ñæàòèå, îòðàæåíèå) ìîæíî ðåàëèçîâàòü øèðîêèé ñïåêòð ñàìîîðãàíèçàöèè ñâåòîâîãî ïîëÿ: ìíîãîëåïåñòêîâûå ðîòàöèîííûå âîëíû, îïòè÷åñêèå ñïèðàëè, ñòàöèîíàðíûå ñòðóêòóðû, âîëíû ïåðå- êëþ÷åíèÿ è äð. (ñì. [1, 4] è áèáëèîãðàôèþ ê íèì). Îòìåòèì, ÷òî ïðè îïðåäåëåí- íûõ óñëîâèÿõ â ðàññìàòðèâàåìûõ ñèñòåìàõ íàáëþäàëàñü ñòîõàñòèçàöèÿ ïîëÿ — îïòè÷åñêàÿ òóðáóëåíòíîñòü [5, 1]. Ïàðàáîëè÷åñêèå ôóíêöèîíàëüíî-äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ ïðåîáðàçîâà- íèåì àðãóìåíòîâ èñêîìîé ôóíêöèè, èñïîëüçóåìûå äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ îïòè÷åñêèõ ñèñòåì ñ äâóìåðíîé îáðàòíîé ñâÿçüþ, ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé íîâûé êëàññ äëÿ èññëåäî- âàíèÿ ôåíîìåíà ñòðóêòóðîîáðàçîâàíèÿ. Ïðîáëåìà âîçíèêíîâåíèÿ ñòðóêòóð â óêàçàí- íûõ óðàâíåíèÿõ èññëåäóåòñÿ â ìàòåìàòè÷åñêîé ëèòåðàòóðå ñ íà÷àëà 1990-õ ãîäîâ. Îáîñíîâàíèå íàáëþäàåìûõ àâòîâîëíîâûõ ÿâëåíèé äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîâîðîòà íà ôèêñèðîâàííûé óãîë â êðóãå èëè êîëüöå ïðîâåäåíî â [6–8] íà îñíîâå òåîðèè áèôóð- êàöèè Àíäðîíîâà–Õîïôà, ãäå äàíî îïèñàíèå âðàùàþùèõñÿ ìíîãîëåïåñòêîâûõ âîëí è èññëåäîâàíà èõ óñòîé÷èâîñòü. Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ïåðèîäè÷åñêèõ ðåøåíèé äëÿ ïðîèçâîëüíîé îáëàñòè è íåâûðîæäåííîãî ãëàäêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ðàçâèâàëàñü â [9–11]. Ìåòîä öåíòðàëüíûõ ìíîãîîáðàçèé èñïîëüçîâàëñÿ â ðàáîòàõ [12–15] äëÿ èñ- ñëåäîâàíèÿ áèôóðêàöèé âðàùàþùèõñÿ ñòðóêòóð â êîëüöå è êðóãå äëÿ ñëó÷àÿ ïîâîðî- òà, à òàêæå â êðóãå äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîâîðîòà ñîâìåñòíî ñ ðàäèàëüíûì ñæàòèåì. Äëÿ èññëåäîâàíèÿ áèôóðêàöèîííûõ âðàùàþùèõñÿ ñòðóêòóð, êàê ïîêàçàíî â [16], ïðèìåíèì ìåòîä, îñíîâàííûé íà ïîñòðîåíèè ïðèáëèæåííûõ ïåðèîäè÷åñêèõ ðåøå- íèé [17].  ðàáîòàõ [12, 18 ] èçó÷àëèñü áèôóðêàöèè ñòàöèîíàðíûõ ñòðóêòóð. Ïàðàáîëè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ñ ïðåîáðàçîâàííûì àðãóìåíòîì è ìàëîé äèôôóçè- åé ïðåäñòàâëÿþò èíòåðåñ â ñâÿçè ñ èññëåäîâàíèåì îïòè÷åñêîé òóðáóëåíòíîñòè. Ìå- òîä êâàçèíîðìàëüíûõ ôîðì äëÿ óêàçàííîãî óðàâíåíèÿ ñ ïðåîáðàçîâàíèåì ïîâîðîòà ïðèìåíÿëñÿ â [19, 20] äëÿ îïèñàíèÿ äèíàìèêè áåãóùèõ âîëí, ìåäëåííî ìåíÿþùèõ- ñÿ ñòðóêòóð. Îïòè÷åñêàÿ áóôåðíîñòü áåãóùèõ âîëí áûëà óñòàíîâëåíà â ðàáî- òàõ [21–23]. Íàïîìíèì, ñëåäóÿ [22], ÷òî â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå íåêîòîðîé áåñêî- íå÷íîìåðíîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ðåàëèçóåòñÿ ôåíîìåí áóôåðíîñòè, åñëè ïðè ïîäõîäÿùåì âûáîðå ïàðàìåòðîâ ìîæíî ãàðàíòèðîâàòü ñóùåñòâîâàíèå â íåé ëþáîãî ôèêñèðîâàííîãî ÷èñëà îäíîòèïíûõ àòòðàêòîðîâ (ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ, öèêëîâ è ò.ä.). Ðîëü ôåíîìåíà áóôåðíîñòè â äèíàìèêå ñëîæíûõ ñèñòåì è â ïðîöåññàõ ñàìî- îðãàíèçàöèè âûÿâëåíà â [22]. Îòìåòèì, ÷òî â íåé ïîñòðîåíà òåîðèÿ äèññèïàòèâíûõ ñòðóêòóð Òüþðèíãà–Ïðèãîæèíà äëÿ ñèñòåì ïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ ìàëîé äèôôóçèåé è ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè Íåéìàíà íà îòðåçêå. Äàííàÿ ðàáîòà ïîñâÿùåíà äèíàìèêå ñòàöèîíàðíûõ ñòðóêòóð ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ íà îêðóæíîñòè è ìàëîé äèôôóçèåé â ñëó÷àå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîâîðîòà íà ðàöèîíàëüíî ñîèçìåðèìóþ � âåëè÷èíó. Ïðèìåíÿåìûé ìåòîä èññëåäîâàíèÿ óêàçàí- íîé çàäà÷è îñíîâàí íà ñâîåîáðàçíîì ñî÷åòàíèè ôîðìàëèçìà ìåòîäà öåíòðàëüíûõ ìíîãîîáðàçèé è ìåòîäà Ãàëåðêèíà. Ýòîò ìåòîä áûë ïðåäëîæåí è îáîñíîâàí àâòî- ðîì â [23] äëÿ èññëåäîâàíèÿ äèíàìèêè áåãóùèõ âîëí ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ íà îêðóæíîñòè ñ ïðåîáðàçîâàíèåì ïîâîðîòà è ìàëîé äèôôóçèåé. Ñòàòüÿ îðãàíèçîâàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì.  ðàçä. 1 ïðèâîäèòñÿ ïàðàáîëè÷åñ- êîå óðàâíåíèå íà îêðóæíîñòè ñ ïðåîáðàçîâàíèåì ïîâîðîòà íà óãîë, ðàöèîíàëüíî ñîèçìåðèìûé �, è ìàëîé äèôôóçèåé. Çäåñü ðàññìîòðåíà çàäà÷à î âûäåëåíèè ïðî- ñòðàíñòâåííî îäíîðîäíîãî ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ óêàçàííîé çàäà÷è, â îêðåñòíîñ- òè êîòîðîãî èçó÷àåòñÿ çàäà÷à î áèôóðêàöèè ðîæäåíèÿ ïðîñòðàíñòâåííî íåîäíîðîä- 62 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5 íûõ ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé.  ðàçä. 2 ñòðîÿòñÿ äâå ñòàöèîíàðíûå ñòðóêòóðû: îäíà èç íèõ îòâåòâëÿåòñÿ èç íóëÿ ïðè ïîòåðå èì óñòîé÷èâîñòè, à âòîðàÿ òîãäà, êîãäà ðàç- ìåðíîñòü íåóñòîé÷èâîãî ìíîãîîáðàçèÿ íóëÿ ñòàíîâèòñÿ ðàâíîé 4. Ðàçäåë 3 ïîñâÿ- ùåí àíàëèçó óñòîé÷èâîñòè ñòðóêòóð, ïîñòðîåííûõ â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå. Îñíîâ- íîé ðåçóëüòàò ñòàòüè — òåîðåìà 1 î ñóùåñòâîâàíèè è óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíûõ ñòðóêòóð ñôîðìóëèðîâàíà â ðàçä. 4. Èç ýòîé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî â èñõîäíîé çàäà- ÷å ðåàëèçóåòñÿ ÿâëåíèå áóôåðíîñòè ñòàöèîíàðíûõ ñòðóêòóð.  ñëåäóþùåì ðàçäåëå ðàññìîòðåí ïðåäåëüíûé ñëó÷àé — êîýôôèöèåíò äèôôóçèè ðàâåí íóëþ. Ñîãëàñíî òåîðåìå 2 â ýòîì ñëó÷àå ðåàëèçóåòñÿ ÿâëåíèå ãèïåðáóôåðíîñòè, ò.å. ñîñóùåñòâîâà- íèå â óêàçàííîì ñëó÷àå ñ÷åòíîãî ÷èñëà ýêñïîíåíöèàëüíî îðáèòàëüíî óñòîé÷èâûõ ñòàöèîíàðíûõ ñòðóêòóð. Çàêëþ÷åíèå ñîäåðæèò íåêîòîðûå âûâîäû, îñíîâàííûå íà ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòàõ. 1. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È Íà îêðóæíîñòè S R Z1 2� / � ðàññìîòðèì êðàåâóþ çàäà÷ó [1, 19–23] � � � � � � � � � � u t u u K Qu u t u t� � � � � � 2 2 1 2( cos ), ( , ) ( , ) (1) ñ ìàëûì ïàðàìåòðîì �. Çäåñü u t( , )� — ôàçà ñâåòîâîé âîëíû, Qu t u t h( , ) ( , )� �� � , h — óãîë ïîâîðîòà â äâóìåðíîé îáðàòíîé ñâÿçè, êîýôôèöèåíò K � 0 ïðîïîðöèî- íàëåí èíòåíñèâíîñòè ñâåòîâîãî ïîòîêà, � � ( , )0 1 — âèäíîñòü èíòåðôåðàöèîííîé êàðòèíû. Áóäåì äàëåå ïðåäïîëàãàòü, ÷òî h óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ h p q � � , (2) ãäå p q, — âçàèìíî ïðîñòûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, à p — íå÷åòíîå. Ðàññìîòðèì ñâîéñòâà ïîëóãðóïïû, ïîðîæäåííîé çàäà÷åé (1). Ïóñòü H — ãèëü- áåðòîâî ïðîñòðàíñòâî èçìåðèìûõ íà îêðóæíîñòè S R Z1 2� / � ôóíêöèé L S2 1( ) ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì � � � u u d, ( ) ( ) .� � � � � � � 1 2 0 2 Îáîçíà÷èì H Hl l S� ( )1 , l Z� � , ïðîñòðàíñòâî Ñîáîëåâà. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â Hl îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé � � � � u u dl k k k l , ( ) ( )( ) ( )� � � � � � � 1 2 0 2 0 .  ïðîñòðàíñòâå H íîðìó îáîçíà÷èì || ||� . Íîðìó â ïðîñòðàíñòâå Hl îáîçíà÷èì || ||� l . Ïóñòü T � 0. Ñîãëàñíî [11] çàäà÷à (1) ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì u u u t� � � 0 0 0, H, èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå u L L l� � ( ) ( )H H2 . Çäåñü L B L T Bp p( ) ([ , ], )� 0 , ãäå B ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ H, Hl . Îáîçíà÷èì { }S t ïîëóãðóïïó, ïîðîæäåííóþ çàäà÷åé (1). { }S t îáëàäàåò ñâîéñò- âàìè, ñôîðìóëèðîâàííûìè â òåîðåìå 4 [24, ãë.1] (ñì. òàêæå [11]). Ïîëóãðóïïà { }S t S 1-ýêâèâàðèàíòíà, ò.å. èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ãðóïïû âðàùåíèé îêðóæíîñòè. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè u t( , )� — ðåøåíèå çàäà÷è (1), òî u t g( , )� � , ãäå g S� 1, — òàê- æå åå ðåøåíèå.  êà÷åñòâå ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà çàäà÷è (1), ò.å. ïðîñòðàíñòâà åå íà÷àëüíûõ óñëîâèé, ïðèìåì ïðîñòðàíñòâî H. Áóäåì äàëåå èíòåðåñîâàòüñÿ âîïðîñàìè î ñóùåñòâî- âàíèè, ôîðìå è óñòîé÷èâîñòè (â ìåòðèêå H) åå ïðîñòðàíñòâåííî íåîäíîðîäíûõ ñîñòî- ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5 63 ÿíèé ðàâíîâåñèÿ, áèôóðöèðóþùèõ èç ïðîñòðàíñòâåííî îäíîðîäíûõ ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ, ò.å. åå ðåøåíèé u t w( , )� � , w w K� ( ), îïðåäåëÿåìûõ èç óðàâíåíèÿ w K w� �( cos )1 � (3) è êîòîðûå òåðÿþò óñòîé÷èâîñòü ïðè óâåëè÷åíèè K àïåðèîäè÷åñêè. Äëÿ ýòîãî ôèêñèðóåì êàêóþ-ëèáî ãëàäêóþ âåòâü ðåøåíèé w w K K w K� � �( ), sin ( )1 0� (4) óðàâíåíèÿ (3). Çàòåì ëèíåàðèçóåì óðàâíåíèå (1) íà ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèÿ w w K� ( ) è ïðèìåíèì ê ïîëó÷åííîìó íà S 1 óðàâíåíèþ � ( )u u u K Q u� � ��� � , â êîòîðîì �( ) sin ( )K K w K� � � , ìåòîä Ôóðüå ïî ñèñòåìå ôóíêöèé exp ( )im� , m � � �0 1 2, , � .  ðåçóëüòàòå óáåæäàåìñÿ, ÷òî ñïåêòð óñòîé÷èâîñòè ðàññìàòðèâà- åìîãî ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñîñòîèò èç ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé � � �1 2�m � �( )exp( )K imh , m � � �0 1 2, , ,� . Îòñþäà â ñèëó (2) ñëåäóåò, ÷òî ïîòåðÿ óñòîé÷èâîñòè w K( ) ïðè óâåëè÷åíèè K è ìàëûõ � íîñèò àïåðèîäè÷åñêèé õàðàêòåð, åñëè K óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ �( )K � �1. (5) Ñîãëàñíî [21, 22] ýòî óðàâíåíèå èìååò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ðåøåíèé. Âûáåðåì îäíî èç íèõ è îáîçíà÷èì åãî �K . ßñíî, ÷òî ñóùåñòâóåò àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ k( )� , k( )� � 0, îïðåäåëåííàÿ â îêðåñòíîñòè íóëÿ è òàêàÿ, ÷òî �( � ( ))K k� � � �� �1 . Âûïîëíèì òåïåðü â (1) ïðåîáðàçîâàíèå u w� �� �( ), ãäå w w K k( ) ( � ( ))� �� � , è ïðåäñòàâèì ïîëó÷åííîå â H óðàâíåíèå â âèäå � ( , ) ( , )� � � � � �� �L R Q , (6) â êîòîðîì L Q( , ) ( )� � � � � � � �� � � �� 1 , (7) R w( , ) ( � )� � �0 1 2 1 6 2 3� � � � �ctg � . (8) Çäåñü � ( � )w w K� . Î÷åâèäíî, L im imm( , )exp ( ) ( , )exp ( )� � � � � �� , m � �0 1, ,� , ãäå � � � �m m imh( , ) ( ) exp ( )� � � � �1 12 , m � �0 1, ,� . Ñîãëàñíî (2) � � s� �( , ) � � �� �( )sq 2 , s sq� � , s � 1 3 5, , ,� . Îñòàëüíûå æå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðà- òîðà L( , )0 0 , ðàññìàòðèâàåìîãî â ïðîñòðàíñòâå H, ëåæàò â ëåâîé êîìïëåêñíîé ïîëóïëîñêîñòè è ðàâíîìåðíî îòäåëåíû îò ìíèìîé îñè. Äàëåå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî � � 0. Ïðèìåì òåïåðü â êà÷åñòâå áèôóðêàöèîííîãî ïàðàìåòðà � � � q2 . Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè óáûâàíèè ïàðàìåòðà è ïðîõîæäåíèè åãî ÷åðåç êðèòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ s s� �2 1 3 5, , , ,� , êàæäûé ðàç ðàçìåðíîñòü íåóñòîé÷èâî- ãî ìíîãîîáðàçèÿ íóëåâîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (6) óâåëè÷èâàåòñÿ íà äâà ïîðÿäêà. Îáúåêòîì äàëüíåéøåãî àíàëèçà ÿâëÿåòñÿ äèíàìèêà ñòàöèîíàðíûõ ïðîñòðàíñòâåííî íåîäíîðîäíûõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (6), áèôóðöèðóþùèõ èç íóëåâîãî ðåøåíèÿ ïðè óáûâàíèè ïàðàìåòðà è ïðîõîæäåíèè ÷åðåç êðèòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ s s� �2 1 3 5, , , ,� . Òî÷íåå ãîâîðÿ, ïîñòàâèì âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè, ôîðìå, âçàèìîäåéñòâèÿõ è óñòîé÷èâîñòè óêàçàííûõ ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé. 2. ÏÐÈÁËÈÆÅÍÍÛÅ ÑÒÀÖÈÎÍÀÐÍÛÅ ÐÅØÅÍÈß Ïîñòðîèì çäåñü ñòàöèîíàðíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (6), êîòîðûå îòâåòâëÿþòñÿ èç íóëÿ ïðè óáûâàíèè ïàðàìåòðà è åãî ïðîõîæäåíèè ÷åðåç çíà÷åíèÿ 1 3 2, � . Äëÿ ýòîãî â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìàëèçìîì ïîñòðîåíèÿ öåíòðàëüíûõ ìíîãîîáðàçèé äëÿ 64 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5 S 1-ýêâèâàðèàíòíûõ óðàâíåíèé [23] â êðèòè÷åñêîì ñëó÷àå ðàçìåðíîñòè 10 ïî- ñòðîèì ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (6) â âèäå � � �� � � k k z im( exp( ( ) ), . . )ê ñ 1 3 , (9) ãäå z im z i s ssexp( ( ) ) ( exp( ( ) ), , , )� � � ��� �2 1 2 1 1 5� , � �� q , ê.ñ. — ñòàíäàðòíîå îáî- çíà÷åíèå êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííîé âåëè÷èíû, �1 1 5 2 1( , ) . .z z z s s� � � � ê ñ , � k — ôîð- ìà ñòåïåíè k, k � 2 3, , îòíîñèòåëüíî z , z , à ïåðåìåííàÿ z s2 1� , s � 1 5, ,� , óäîâëåò- âîðÿåò óðàâíåíèþ � ( , ), , , , ( ) z z g z z ss s s s2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 5� � � �� � �� � . (10) Óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûõ ïåðåìåííûõ, êàê îáû÷íî, îïóùåíû. Ñèñòåìà (10) S 1-ýêâèâàðèàíòíà, ò.å. ôîðìû òðåòüåé ñòåïåíè g z zs2 1� ( , ), s � 1 2 5, , ,� , óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì g z im i s g z z s s s2 1 2 12 1 � �� � �( exp( ( ) ), . . ) exp( ( ) ) ( , ),� �ê ñ � 1 2 5, , ,� . (11) Ïîäñòàâèì (9), (10) â óðàâíåíèå (6). Çàòåì ïîñëå çàìåíû z im zexp( ( ) )� �� ïðè- ðàâíÿåì ôîðìû âòîðîé, òðåòüåé ñòåïåíè îòíîñèòåëüíî z , z . Ïîëàãàÿ � � 0, � � 0 è âîñïîëüçîâàâøèñü (8), ïîëó÷èì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî � 2 : � �2 2 1 5 2 1 2 1 2 ( , ) ( , ) � . .z z z z w z s s� � � � � � � � � � � � � � � � ctg ê ñ . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî � 2 1 5 2 1 2 1 4 ( , ) � . .z z w z s s� � � � � � � � � � � � � ctg ê ñ . Ïåðåéäåì òåïåðü ê óðàâ- íåíèþ îòíîñèòåëüíî � 3 : � � �3 3 3 2 1 1 5 2 1 2 ( , ) ( , ) � . . ( , )z z z z P w z z zs s � � � � � �� � ctg ê ñ � � � � � � � � � � � �� � � � �� � 2 � � � � � � � � � � �� � � � 1 6 2 1 1 5 3 2 1 1 5 z g z zs s s s ê ñ. . ( , ), (12) â êîòîðîì P3 — ïðîåêòîð â ïðîñòðàíñòâå ìíîãî÷ëåíîâ îòíîñèòåëüíî z , z íà ïðîñòðàíñòâî èõ ôîðì ïîðÿäêà 3. Î÷åâèäíî, ÷òî ëåâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà (12) ðàâ- íà íóëþ äëÿ ëþáîé ôîðìû � 3 òðåòüåé ñòåïåíè. Âûáåðåì òåïåðü g z zs2 1� ( , ) , s � 1 2 5, , ,� , òàê, ÷òîáû êàæäûé ìîíîì â (12), óäîâëåòâîðÿþùèé îäíîìó èç óñëî- âèé (11), áûë íóëåâûì. Îòñþäà îäíîçíà÷íî íàõîäèì S 1-ýêâèâàðèàíòíûå ôîðìû g z zs2 1� ( , ), s � 1 2 5, , ,� . Çàòåì â ñîîòâåòñòâèè ñ ìåòîäîì Ãàëåðêèíà ïîëàãàåì � 3 0� . Îáîçíà÷èì d w� �� � � � � � 1 2 3 4 2ctg � .  ñèñòåìå (10) âûïîëíèì ïðåîáðàçîâàíèå zd z1 2/ � .  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì S 1-ýêâèâàðèàíòíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé. Ïðè ýòîì îíà ÿâëÿåòñÿ ãðàäèåíòíîé ñèñòåìîé óðàâíåíèé � ( , , ) , , ,z V z z z ss s 2 1 5 2 1 1 5� � � � � � � � , (13) â êîòîðîé ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5 65 V z z k k k s k s5 1 5 2 1 2 2 1 1 5 2 1 21 2 2� � � � � � � � � � � � �| | ( ) | | ( ) � � � � � � � � � � � � � � �� 1 2 2 1 4| |z k � � � � � � � 1 3 1 3 3 3 3 9 1 2 3 5 5 7 7 9 3 2 1 5 1 7( ) ( ) (z z z z z z z z z z z z z z z z ) � � � � � � �z z z z z z z z z z z z z z z z z z 5 2 1 9 3 7 1 3 5 7 7 9 1 3 5 9 3 5 72 2( ) ( ) ( z9 ) . .� ê ñ , (14) à � ( ) ( ) ( ( ) ) 2 1 21 2 1 k k � � � � � , k � 1 5, ,� . Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ãðàäèåíòíîñòü ñèñòå- ìû (10) óñòàíîâëåíà çäåñü â ðåçóëüòàòå ïðîâåäåííîãî àíàëèçà. Ïåðåõîäèì òåïåðü ê áèôóðêàöèîííîìó àíàëèçó ñèñòåìû (13). Ïðè óáûâàíèè ïàðàìåòðà è åãî ïðîõîæäåíèè ÷åðåç 1 èç íóëåâîãî ðåøåíèÿ (13) îòâåòâëÿåòñÿ âåùåñòâåííàÿ ñòàöèîíàðíàÿ òî÷êà A x x1 1 1 2 1 1( ) ( )( ( ), ( ))/ � � . Çäåñü x1 ( ) � � ��( ( ), , , ),x kk1 2 1 1 5 � , à x k1 2 1, ( )� , k � 1 5, ,� , — ãëàäêèå ôóíêöèè . Ëåãêî âè- äåòü, ÷òî x x kk1 1 1 2 11 0 2 3 4 5 1 0, ,( ) , ( ) , , , , , � � � � �� . (15) Ñîãëàñíî ïðîâåäåííîìó ÷èñëåííîìó àíàëèçó ôóíêöèè | ( ) | , x k1 2 1� , k � 1 5, ,� , óáûâàþò íà ( , )0 1 , ïðè÷åì ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà ( ) ( ),� �� �1 01 1 2 1 k kx , k � 1,�. � , 5. Îòìåòèì, ÷òî â ñîîòâåòñòâèè ñ S 1-ýêâèâàðèàíòíîñòüþ ñèñòåìû (13) òî÷êà A1 ( ) ïîðîæäàåò îêðóæíîñòü ñòàöèîíàðíûõ òî÷åê { 1 1 2 1/ ( )(exp( ( ) ) ( )im x� , exp ( ( ) ) ( )),� � �im x S 1 1}. Èòàê, ïðè óáûâàíèè ïàðàìåòðà è åãî ïðîõîæäåíèè ÷åðåç 1 èç íóëåâîãî ðåøå- íèÿ ñèñòåìû (13) áèôóðöèðóåò ñòàöèîíàðíîå ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå ~ ( , ) ( ) ~ ( , ) � ( ) / � � � 1 1 1 2 1 12� � � � � � � � � � �� � d y w d ctg � � � � � � � ~ ( , )y 1 2 � , (16) ãäå ~ ( , ) ( )cos( ) ,,y x k q k k1 1 5 1 2 1 2 1� � � �� � � � � .  ñèëó (15) ~ ( , )y1 � — êâàçèãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, åñëè �� �( , )1 1 , ãäå � � 0 — ìàëî. Ïðè çíà÷èòåëüíîì îòêëîíåíèè îò 1 ôóíêöèÿ ~ ( , )y1 � òåðÿåò êâàçèãàð- ìîíè÷åñêóþ ôîðìó, ïåðåõîäÿ ïðè � 0 íà ïðîìåæóòêå [ , ]0 � èçìåíåíèÿ � â êîíòðàñòíóþ ñòðóêòóðó ñ äâóìÿ êðèâîëèíåéíûìè ïîëî÷êàìè. Èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî ~ ( , ) , cos , cos , cos , cosy 1 0 1083 0 352 3 0 2 5 0132 7� �� � � �� � � � 0 093 9, cos �. Íåñëîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ôóíêöèþ ~ ( , )y1 0� ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïðèáëè- æåííîå ðàçëîæåíèå sign(cos )� ïî ñèñòåìå ôóíêöèé cos ( )2 1k � �, k � 1 5, ,� . Ðàññìîòðèì òåïåðü âîïðîñ î ñòåïåíè òî÷íîñòè ðåøåíèÿ ~ ( ,� � �1 óðàâíåíèÿ (6), óäîâëåòâîðÿþùåãî ðàâåíñòâó (16). Ïîäñòàâèì ~ ( , )� � 1 , � �� q , â óðàâíåíèå (6).  ðå- çóëüòàòå íåñëîæíîãî àíàëèçà ïðèõîäèì ê çàêëþ÷åíèþ, ÷òî ~ ( ,� � �1 óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (6) ïî íîðìå ïðîñòðàíñòâà H ñ òî÷íîñòüþ c c x x x i J k i j k1 1 3 2 2 1 9 1 1 1 / , , ,( ) ( ) | ( ) ( ) ( ) |� � � � ïî íåâÿçêå. Çäåñü ck , k � 1 2, , — ïîëîæèòåëüíûå ïîñòîÿííûå. 66 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5 Ïðè óáûâàíèè è ïðîõîæäåíèè ÷åðåç 3 2� èç íåóñòîé÷èâîãî íóëåâîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû (13) îòâåòâëÿåòñÿ âåùåñòâåííàÿ òî÷êà A x x3 3 1 2 3 3( ) ( )( ( ), ( ))/ � � , ãäå x x x3 3 1 3 30 0 0( ) ( , ( ), , , ( )), , � . Î÷åâèäíî, x3 1 1, ( ) � ., x3 3 0, ( ) � , � ��3 02 . Îò- ìåòèì, ÷òî ôóíêöèè | ( ) |,x k3 , k � 1 3, , óáûâàþò íà ïðîìåæóòêå ( , )0 3 2� , ïðè÷åì x3 1 0, ( ) � , x3 3 0, ( ) � . Êàê è âûøå, òåïåðü ìîæíî óêàçàòü ïðèáëèæåííîå ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå ~ ( , )� � 3 óðàâíåíèÿ (6), êîòîðîå îòâåòâëÿåòñÿ èç íóëÿ ïðè óáûâàíèè è åãî ïðîõîæ- äåíèè ÷åðåç 3 2� . Çàìåòèì, îäíàêî, ÷òî ~ ( , )� � 3 ìîæíî ïîëó÷èòü èç ~ ( , )� � 1 ñ ïî- ìîùüþ ïðèíöèïà ïîäîáèÿ [25, 22]. Ïðèâåäåì â ýòîé ñâÿçè îáùèé ðåçóëüòàò. Îáî- çíà÷èì � � 2 1k� ( , ), k � 2 3, , ,� ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå (6), êîòîðîå îòâåòâëÿåòñÿ èç íóëÿ ïðè óáûâàíèè è åãî ïðîõîæäåíèè ÷åðåç ( )2 1 2k � � . Íåïîñðåäñòâåííîé ïðî- âåðêîé óáåæäàåìñÿ, ÷òî èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî � � � � 2 1 1 22 1 2 1 2 3k k k k� � � � �( , ) (( ) , ( ) ), , ,� , (17) â êîòîðîì � � � � 1 1( , ) ~ ( , )� . Ñîãëàñíî [26] è ïðîâåäåííîìó íèæå àíàëèçó íà óñòîé÷èâîñòü ñóùåñòâóåò ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå � � 1 ( , ) óðàâíåíèÿ (6), îïðåäå- ëåííîå íà ïðîìåæóòêå ( , )01 èçìåíåíèÿ è ñîõðàíÿþùåå íà íåì ýêñïîíåíöèàëü- íóþ îðáèòàëüíóþ óñòîé÷èâîñòü. 3. ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ~ ( , ), ~ ( , )� � � � 1 3 Äëÿ èññëåäîâàíèÿ íà óñòîé÷èâîñòü ðåøåíèÿ ~ ( , )� � 1 îáðàòèìñÿ ê âîïðîñó îá óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíîé òî÷êè A1 ( ) ñèñòåìû (13). Óêàçàííàÿ òî÷êà ðîæäàåò- ñÿ è ñîõðàíÿåò ýêñïîíåíöèàëüíóþ îðáèòàëüíóþ óñòîé÷èâîñòü íà âñåì ïðîìåæóò- êå ( , )0 1 èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðà . Äëÿ îáîñíîâàíèÿ ýòîãî ïðåäëîæåíèÿ ðàññìîòðèì ñèñòåìó óðàâíåíèé ðàçìåðíîñòè 8, ïîëîæèâ â (13) z9 0� . Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî ïðè ïðîõîæäåíèè çíà÷åíèÿ 1 îòâåòâëÿþùàÿñÿ èç íóëÿ òî÷êà îñòàëàñü áû íà êîîðäèíàòíîé îñè. Òîãäà îíà ïîòåðÿëà áû óñòîé÷èâîñòü ïðè � 0 01721, . Åå «îò- õîä» îò êîîðäèíàòíîé îñè ïîçâîëÿåò åé ñîõðàíèòü óñòîé÷èâîñòü. Èíòåðåñíî, ÷òî 1 0 01721 2 311 2127 2 02 1993 1916 1� � � � � � �( , )( , , , , , , , , , , ,712 1115 0174, , , , )� � ÿâëÿåòñÿ ñïåêòðîì óñòîé÷èâîñòè ýòîé òî÷êè, à ïðè � � 0, � � 0 ( ) � 0 èì ÿâëÿåòñÿ �( , , , , , , , , , , , , ,� � � � � � �2 408 2 225 2184 1968 1803 1600 1482, , )� 0 094 . Òàê êàê ðàññìàòðèâàåìàÿ ñòàöèîíàðíàÿ òî÷êà ïîðîæäàåò çàìêíóòóþ êðèâóþ ñòà- öèîíàðíûõ òî÷åê ñèñòåìû, òî åå ñïåêòð èìååò îäíî íóëåâîå ñîáñòâåííîå çíà÷å- íèå.  ýòîé ðîëè ïðè � 0, � 0 017210, âûñòóïàþò �� 0 094, , 1 0 01721 01740� ( , ) , ñîîòâåòñòâåííî. Ïîä÷åðêíåì òàêæå, ÷òî ñòàöèîíàðíàÿ òî÷êà, îòâåòâëÿþùàÿñÿ èç íóëÿ ïðè ïðî- õîæäåíèè çíà÷åíèÿ � �3 2 óêàçàííîé ñèñòåìû ðàçìåðíîñòè 8, ðîæäàåòñÿ è îñòà- åòñÿ íåóñòîé÷èâîé íà âñåì ïðîìåæóòêå ( , )0 3 2� èçìåíåíèÿ . Ðàññìîòðèì òåïåðü âîïðîñ îá óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ ~ ( , )� � 1 óðàâíåíèÿ (6), âîñïîëüçîâàâøèñü óðàâíåíèåì ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ. Èòàê, ëèíåà- ðèçóåì (6) íà ðåøåíèè ~ ( , )� � 1 .  ïîëó÷åííîì óðàâíåíèè âûïîëíèì çàìåíó � �� q .  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì óðàâíåíèå � � � � � � � ���t Q q w Q Q� � � � � � �� � � � � �( ) ( � ) ~ ( ~ )1 1 2 1 2 1 1 1 2ctg Q1� , � � � � �( ) ( )� �2 q , ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5 67 ãäå Q1� � � � �( ) ( )� � . Ðàññìîòðèì â ïðîñòðàíñòâå H ñîîòâåòñòâóþùóþ ýòîìó óðàâíåíèþ ñïåêòðàëüíóþ çàäà÷ó � � � � � �� � � � � �� � � � � � � ���( ) ( � ) ~ ( ~ )1 1 2 1 2 1 1 1 2 1Q q w Q Q Qctg � � , (18) � � � � �( ) ( )� �2 q . Ó÷òåì òåïåðü, ÷òî äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåé åé íåâîçìóùåííîé çàäà÷è íóëü ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì ÷èñëîì áåñêîíå÷íîé êðàòíîñòè. Ïðè ýòîì span {exp( ( ) )}i k2 1� � , k � � �0 1 2, , ,� , — ñîîòâåòñòâóþùåå ñîáñòâåííîå ïðîñòðàíñòâî. Ïîñòðîèì ðåøå- íèÿ çàäà÷è (18) â âèäå � � �� � � � � �� � � � (b b2 1 (2 1)k k k i k i k pexp ( ) exp( ( )) )2 1 2 1 0 3 1 2( , ) ( , )� � � �p � , � � �s s1 2( ) ( ) � . Ïîäñòàâèì ýòè ðàâåíñòâà â (18).  ðåçóëüòàòå îòíîñèòåëüíî p1 âûâîäèì óðàâíåíèå � � �p Q p1 1 � � � � � � � � �� �ctg (b b2 1 (2� ( ) ~( , ) exp ( ) / w d y i kk � �1 1 2 2 1 k k i k� � � � 1) exp( ( )) )2 1 0 3 � . Îòñþäà íàõîäèì p w d y i kk1 1 1 2 1 2 2 1� � � � � � � � ��ctg (b2 1� ( ) ~( , ) exp ( ) / � � � � �� � � b (2 1)k k i kexp( ( )) )2 1 0 3 � . Èç íåîáõîäèìîãî óñëîâèÿ ðàçðåøèìîñòè óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî p2 âûâîäèì, ÷òî ( , , , )b b b T 1 1 7� �� — ñîáñòâåííûé âåêòîð ìàòðèöû óñòîé÷èâîñòè óêàçàííîé ñèñòå- ìû ðàçìåðíîñòè 8 â òî÷êå ( ( ), ( ))x x1 1 , à s1 ( ) — ñîîòâåòñòâóþùåå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå. Ïðè óêàçàííîì âûáîðå ( , , , )b b b T 1 1 7� �� è s1 ( ) óðàâíåíèå îòíîñèòåëü- íî p2 îñòàåòñÿ íåðàçðåøèìûì â ïðîñòðàíñòâå H. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ èñïîëüçîâàíèåì ãàëåðêèíñêîé ñõåìû ìåòîäà âîçìóùåíèé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è (18). Î÷åâèäíî òàêæå, ÷òî äëÿ óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ ~ ( , )� � 1 óðàâíåíèÿ (6) íåîáõîäèìî, ÷òîáû óêàçàííàÿ ìàòðèöà áûëà óñòîé÷èâîé. Òî÷íåå, ÷òîáû âñå åå ñîáñòâåííûå çíà- ÷åíèÿ, êðîìå îäíîãî ïðîñòîãî íóëåâîãî, áûëè îòðèöàòåëüíûìè. Òàêèì îáðàçîì, ïîäòâåðæäàåòñÿ öåëåñîîáðàçíîñòü ïåðåõîäà îò óðàâíåíèÿ (6) ê ãðàäèåíòíîé ñèñòåìå (8) ïðè àíàëèçå íà óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ ~ ( , )� � 1 . Ïåðåéäåì òåïåðü ê îäíîìó èç öåíòðàëüíûõ âîïðîñîâ — óñòîé÷èâîñòü ðå- øåíèÿ � 3 óðàâíåíèÿ (6). Îáðàòèìñÿ â ýòîé ñâÿçè ê âîïðîñó îá óñòîé÷èâîñòè ñòàöè- îíàðíîé òî÷êè A3 ( ) ãðàäèåíòíîé ñèñòåìû (8). Ðàçìåðíîñòü íåóñòîé÷èâîãî ìíîãî- îáðàçèÿ òî÷êè A3 ( ) âáëèçè òî÷êè áèôóðêàöèè � �3 2 , î÷åâèäíî, ðàâíÿåòñÿ äâà. Íàéäåì ñïåêòð òî÷êè A3 ( ) . Äëÿ ýòîãî ïîíàäîáÿòñÿ êâàäðàòè÷íûå ôîðìû: W x k k k k3 1 1 2 4 2 1 2 3 2 1 3 1 21 2 2, , , , ( , ) ( ) ( ( )) (� � � � � � � � � � ))� � � � �( )( ( ) ( ) ( )) ( , , , ,� � � � � � 1 5 1 7 3 1 2 3 1 3 3 5 7 3 12 2x x x x ) ( ),x3 3 , W3 9 1 2 2 2 3 3 3 2 4 21 2 1, ,( , ) (( ) ( ))� � � � � �� � � � � � � � � � � � �( ( ) ( ) ( ))( ) ( ) , , , , ,x x x x x 3 1 2 3 1 3 3 1 3 2 4 3 1 32 2 � � � � 3 1 4 2 3( )( ) � � � �� , 68 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5 ãäå � 3 2 1 2 1 3, ( ) ( ) ( ) / ( )s s� � � � � , s �1 3 4 5, , , . Îáîçíà÷èì B W 3 1 2 3 1 2, , ( ) ( , ) � � �� � , B W 3 9 2 3 1 2, , ( ) ( , ) � � �� � . Íåñëîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ñïåêòð òî÷êè A3 ( ) ðàâåí { ( ( )), ( ( )), ( ( ))}, , ,� � �� � � B B B3 1 3 1 3 9 . Çäåñü, êàê îáû÷íî, �( )B îáîçíà÷àåò ñïåêòð ìàòðèöû B. À îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî õàðàêòåð óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàð- íîé òî÷êè A3 ( ) ãðàäèåíòíîé ñèñòåìû (8) íà âñåì ïðîìåæóòêå ( , )0 3 2� èçìå- íåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé W3 1, ( , )� , ãäå � �R 3 . Òàêèì îá- ðàçîì, ñòàöèîíàðíàÿ òî÷êà A3 ( ) ãðàäèåíòíîé ñèñòåìû (8) ýêñïîíåíöèàëüíî îðáèòàëüíî óñòîé÷èâà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà W3 1, ( , )� ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ. Ñîãëàñíî ïðîâåäåííîìó ÷èñëåííîìó àíàëèçó êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà W3 1, ( , )� ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåí- íîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà � ( , ),0 3 1 . Çäåñü 3 1 0 0367, ,� . Îòìåòèì, 3 0 0367 2 45943 157572 0 02018� ( , )( , , , , , ) — ñïåêòð ìàòðèöû B3 1 0 0367, ( , ) , ñïåêòð æå ìàòðèöû B3 9 0, ( ) ðàâåí � ( , , , , , )2 0967348 1721817 13470184 . Î÷åâèäíî, ñïðàâåäëèâî ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî � �3 3� ~ , ãäå ~ ( , ) ( ) ~ ( , ) � ( ) ~ / � � � 3 3 1 2 3 32� � � � � � � � � � � � d y w d ctg y 3 2 ( , )� , (19) ~ ( , ) ( )cos ( )cos, ,y x x3 3 1 3 33 9� � �� � . Îòìåòèì, ÷òî èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî ~ ( , , ) , cos , cosy 3 0 0367 10323 3 0 0732 9� � �� � . Ïîñòðîèì òåïåðü ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (6) â âèäå (9), ãäå z im z i s ssexp( ( ) ) ( exp ( ( ) ), , , )� � � ��� �2 1 2 1 1 8� . Ðàññóæäàÿ, êàê è âûøå, ïðèõîäèì ê S 1-ýêâèâàðèàíòíîé ãðàäèåíòíîé ñèñòåìå óðàâíåíèé � ( , , ) z V z z z s s 2 1 8 2 1 � � � � � � , s � 1 8,... , . (20) Ïðåäñòàâëåíèå ïîòåíöèàëüíîé ôóíêöèè V8 îïóñòèì. Ïðè óáûâàíèè è ïðîõîæäåíèè ÷åðåç çíà÷åíèå 3 2� èç íåóñòîé÷èâîãî òðè- âèàëüíîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû (20) îòâåòâëÿåòñÿ âåùåñòâåííàÿ òî÷êà. Êàê è âûøå, îáî- çíà÷èì åå A x x3 3 1 2 3 3( ) ( )( ( ), ( ))/ � � , ãäå x x x x3 3 1 3 3 3 50 0 0( ) ( , ( ), , ( ), , ( )), , , � . ßñíî, ÷òî x3 1 1, ( ) � , x k3 0, ( ) � , k � 3 5, , � ��3 02 , ïðè ýòîì x3 3 0, ( ) � , x3 5 0, ( ) � . Íåñëîæíî òåïåðü óáåäèòüñÿ, ÷òî äëÿ îðáèòàëüíîé ýêñïîíåíöèàëüíîé óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíîé òî÷êè A3 ( ) ñèñòåìû (20) íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà W x x k k k3 1 5 1 5 2 3 3 1 2 3 3 21 2 2 , , , , ( , ) ( � ( ) ( ( ) (� � � � � � � � ) ( )) , � �x 3 5 2 � � � � � �( )( ( ) ( ) ( ) , , ,� � � � � � � � 1 2 1 3 2 4 3 5 3 1 2 3 1 3 32 2x x x x3 3 3 5, ,( ) ( )) x � � � � � �2 1 4 1 5 2 3 3 1 3 3 3 1 3 5( )( ( ) ( ) ( ) ( )), , , ,� � � � � � x x x x � � �2 22 5 3 4 3 1 3 5 4 5 3 3 3 5( ) ( ) ( ) ( ) ( ),, , , ,� � � � � � x x x x â êîòîðîé � ( ) ( ) ( ) ,� 3 1 1 3 � � � , � ( ) ( ) ( ) ,� 3 2 5 3 � � � , � ( ) ( ) ( ) ,� 3 3 7 3 � � � , � ( ) ( ) ( ) ,� 3 4 11 3 � � � , ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5 69 � ( ) ( ) ( ) ,� 3 5 13 3 � � � , áûëà ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííîé. Óêàçàííûé êðèòåðèé óñòîé- ÷èâîñòè èìååò ìåñòî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà � ( , ),0 3 2 . Çäåñü 3 2 0 0367, ,� . Îòìåòèì, ÷òî 3 0 0367 6 71555 4 97546 2 36450 1534678 0 03� �( , )( , , , , , , , , , 1276) — ñïåêòð ìàòðèöû � �2 3 1 5 2W , ( , ) /� � ïðè � 0 0367, . Ñïåêòð ýòîé æå ìàòðèöû â íóëå ðàâåí � ( , , , , , , , , , )2147745 21069288 1848899 1556897 0 94891325 . Îòìåòèì òàêæå ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî � �3 3� ~ , ãäå ~ � 3 óäîâëåòâîðÿåò ðà- âåíñòâó (19), à ~ ( , , ) , cos , cos , cosy3 0 0367 10323 3 0 0732 9 0 0056 15� � � �� � � . Ñîãëàñíî ïðîâåäåííîìó âûøå àíàëèçó ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå � � 3 ( , ) óðàâíå- íèÿ (6) îáðåòàåò óñòîé÷èâîñòü ïðè óáûâàíèè áèôóðêàöèîííîãî ïàðàìåòðà è åãî ïðîõîæäåíèè ÷åðåç êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå 3 0 0367� � , è ñîõðàíÿåò åå íà ( , )0 3 � . Òî÷íåå ãîâîðÿ, íà ( , )0 3 � ýêñïîíåíöèàëüíî îðáèòàëüíî óñòîé÷èâà îêðóæíîñòü { ( , }, / }� � �3 2� �R Z ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (6). Ïåðåõîä ñòðóêòóðû � � 3 ( , ) â êëàññ óñòîé÷èâûõ ðåæèìîâ îáñóäèì, ïðèâëåêàÿ ìåõàíèçì êîíêóðåíöèè ñòðóêòóð [27]. Àíàëèç ìàòðèö � � 2 3 1 2 W , ( , )� � , � � 2 3 1 5 2 W , ( , )� � ïîçâîëÿåò ãîâîðèòü, ÷òî íà ýòîì ïóòè � � 3 ( , ) ïðåîäîëåâàåò ñîâìåñòíîå âîçäåéñòâèå ñòðóêòóð �1, �5 , �7 , à çàòåì ñîâìåñòíîå âîçäåéñòâèå ñòðóêòóð �1, � 5 , � 7 , �11, �13 . Ïðè ýòîì ìîæíî óòâåðæäàòü ÷òî, ïðåîäîëåâàÿ ñîâìåñòíîå äàâëåíèå �1, � 5 , � 7 , ñòðóêòóðà � 3 îáðå- òàåò óñòîé÷èâîñòü. Óêàçàííîå âîçäåéñòâèå îïèñûâàåòñÿ âåùåñòâåííîé ãðàäèåíòíîé ñèñòåìîé � � ( , ) � � � s s V � � � � 1 2 5 , s � 1 5, ,� , (21) â êîòîðîé � ( , ) ( , , )V V5 5� � � � . Ïðè ýòîì ñòðóêòóðàì � 2 1k� , k � 1 5, ,� , ñîîòâåò- ñòâóþò ñòàöèîíàðíûå òî÷êè � ( )( )A k2 1� , k � 1 5, ,� , ãðàäèåíòíîé ñèñòåìû (21), êî- òîðûå îòâåòâëÿþòñÿ ïðè óáûâàíèè áèôóðêàöèîííîãî ïàðàìåòðà è åãî ïðîõîæ- äåíèè ÷åðåç êðèòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ ( )2 1 1k � � , k � 1 5, ,� . Ïîä÷åðêíåì, ÷òî îáðåòå- íèå ðåøåíèåì � 3 óñòîé÷èâîñòè îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðè � 3 * òàêîì, ÷òî ñòðóêòóðà � 7 íå ïîÿâèëàñü. Òåì íå ìåíåå óìåñòíî ãîâîðèòü î ñîâìåñòíîì äàâëåíèè �1, � 5 , � 7 íà � 3 , òàê êàê îíî íå ñâîäèòñÿ ê âîçäåéñòâèþ �1, � 5 . Õîòÿ äàâëåíèå ïàðû �1, � 5 â îêðåñòíîñòè � 3 * è ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëÿþùèì. Ðàçóìååòñÿ, ïðè çíà÷èòåëüíîì «îòõîäå» ïàðàìåòðà îò áèôóðêàöèîííîãî çíà÷åíèÿ � � 3 âîçäåé- ñòâèå ñòðóêòóð �1, � 5 , � 7 , �11, �13 íà � 3 íå ñâîäèòñÿ ê äàâëåíèþ �1, � 5 , � 7 . Ñîõðàíåíèå æå óñòîé÷èâîñòè � 3 ïðè ýòîì îáåñïå÷èâàåòñÿ çà ñ÷åò óñëîæíåíèÿ ôîðìû � 3 , âàæíóþ ðîëü ïðè ýòîì èãðàåò «çàõâàò» íîâûõ ìîä. Èçìåíåíèå ôîð- ìû � 3 ñ òî÷êè çðåíèÿ îáðåòåíèÿ óñòîé÷èâîñòè íîñèò â îïðåäåëåííîì ñìûñëå îïòèìàëüíûé õàðàêòåð. Ïðèâëåêàÿ ðàâåíñòâî (17), ïðèõîäèì ê çàêëþ÷åíèþ î ñâÿçè ýòîãî ÿâëåíèÿ ñ èçìåíåíèåì ôîðìû �1. Óñëîæíåíèå æå ôîðìû �1 åñòåñ- òâåííî ðàññìàòðèâàòü êàê ìåõàíèçì ñàìîîðãàíèçàöèè ñèñòåìû ïî ñîõðàíåíèþ óñòîé÷èâîñòè �1 ïðè óáûâàíèè íà ôîíå óñèëèâàþùåãîñÿ ñîâìåñòíîãî äàâëåíèÿ âñåé öåïî÷êè � k , k � 3 5, ,� , ñòðóêòóð. 4. ÎÑÍÎÂÍÎÉ ÐÅÇÓËÜÒÀÒ Ïåðåéäåì ê èññëåäîâàíèþ íà óñòîé÷èâîñòü ðåøåíèÿ � 2 1k� óðàâíåíèÿ (6), ãäå k � 2 — íåêîòîðûé ôèêñèðîâàííûé íîìåð. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì âîïðîñ îá óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèÿ � 2 1k� â ñâÿçè ñ äàâëåíèåì íà íåå äèññèïàòèâíûõ ñòðóê- òóð � 2 1s� , � 4 2 1k s� � , � 4 2 3k s� � , 0 � �s k . Ïåðåõîäèì â ýòîé ñâÿçè ê ïîñòðîåíèþ ïðèáëèæåííûõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (6) â âèäå (9), ãäå z im z i k z i k z exp( ( ) ) ( exp( ( ) ), exp( ( ) ), e � � � �� � �1 2 3 2 1 3 2 1 xp ( ( ) ), exp ( ( ) ), exp( ( ) )i s z i k s z i k s2 1 4 2 1 4 2 34 5� � � � �� � � ). 70 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5 Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó ïðèõîäèì ê ãðàäèåíòíîé ñèñòåìå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé � ( , , ), z V z z z p k s p � � � � , p � 1 5, ,� , (22) â êîòîðîé ïîòåíöèàëüíàÿ ôóíêöèÿ V z zk s, ( , , ) ïîëó÷àåòñÿ èç ôóíêöèè V z z5 ( , , ) , îïðåäåëåííîé â (14), ïîñðåäñòâîì çàìåí z z1 3� , z z3 1� , z z5 4� , z z7 5� , z z9 2� , 1 2 1� �� � ( ) ( ) ( )k , 2 3 2 1� �� � ( ) ( ) ( ( ))k , 3 2 1� �� � ( ) ( ) ( )s , 4 4 2 1 ( ) ( ) ( ) � � � �k s , � ( ) ( ) ( ) � � � �4 2 3k s . Ïåðåéäåì òåïåðü îò (22) ê ãðà- äèåíòíîé ñèñòåìå � � ( , ), � � � p k s p V � � � � 1 2 , p � 1 5, ,� , (23) â êîòîðîé � ( , ) ( , , ), ,V Vk s k s� � � � . Ïðè óáûâàíèè áèôóðêàöèîííîãî ïàðàìåòðà è åãî ïðîõîæäåíèè ÷åðåç êðèòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ ( )2 1 2s � � , ( )2 1 2k � � , ( )4 2 1 2k s� � � , ( )4 2 3 2k s� � � , ( ( ))3 2 1 2k � � êàæäûé ðàç èç íóëåâîãî ðåøåíèÿ ãðàäèåíòíîé ñèñòåìû (23) îòâåòâëÿåòñÿ ñòàöèîíàðíàÿ òî÷êà As( ) , Ak ( ) , A k s2 � ( ) , A Ak s k2 2 3� � ( ), ( ) ñîîòâåòñòâåííî. Èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî A x xk k k k( ) ( )( ( ), ( ), , , )/ , , � � 1 2 1 2 0 0 0 , ãäå ( ( ), ( )), ,x xk k1 2 — ãëàäêîå ïî ðåøåíèå ñèñòåìû 1 2 0 1 2 1 2 2 2� � � �x x x x , (24) x x x xk2 1 2 2 2 1 32 1 3 0( ( ) )� � � � � , � k k k ( ) � � � 1 3 1 2 , k k� �( )2 1 2 , òàêîå, ÷òî xk , ( )1 1 � , xk , ( )2 0 � , � �1 0. Êàê è âûøå, ïðèõîäèì ê çàêëþ÷åíèþ, ÷òî äëÿ ýêñïîíåíöèàëüíîé óñòîé÷èâîñòè ñòà- öèîíàðíîé òî÷êè Ak ( ) ãðàäèåíòíîé ñèñòåìû (23) íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà W x xk s p p p k k k, , , , ( , ) ( ( ) ( ) ( ))� � � � � � � � 1 2 2 2 3 5 2 1 2 2 2 � � � � �( ( ) ( ) ( ))( ) ( ) , , , , ,x x x x x k k k k k1 2 1 2 3 4 3 5 12 2 � � � � 2 4 5( ) � � , ãäå � 3 2 1 2 1 , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k s k � � � � � , � 4 4 2 1 2 1 , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k s k � � � � � � , � 5 4 2 3 2 1 , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k s k � � � � � � , áûëà ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííîé. Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ óñòîé÷èâîñòè ñòðóêòóðû � 2 1k� íåîáõîäèìî, ÷òîáû îíà áûëà óñòîé÷èâîé îòíîñèòåëüíî äàâëåíèÿ íà íåå âñåõ òðîåê ñòðóêòóð � 2 1s� , � 4 2 1k s� � , � 4 2 3k s� � , 0 � �s k . Ïîñëåäíåå ýêâèâàëåíòíî ïîëîæèòåëüíîé îïðåäå- ëåííîñòè âñåõ êâàäðàòè÷íûõ ôîðì Wk s, ( , )� , 0 � �s k . Ñîãëàñíî ïðîâåäåííîìó àíàëèçó èç ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè Wk k, ( , )�1 � ñëåäóåò ïîëîæèòåëüíàÿ îïðåäåëåííîñòü êâàäðàòè÷íûõ ôîðì W k s, ( , )� , 0 1� � �s k . Óñòàíîâëåíî, ÷òî êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà Wk k, ( , )�1 � ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà íà ïðîìåæóòêå ( , ( ) )0 2 1 32 1k k� � � � , �k � 1, èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðà . Îòìåòèì â ýòîé ñâÿçè, ÷òî ( ) ( ))( , , , , , ) 2 1 2 4654 15763 0 0207 k� � — ñïåêòð ìàòðèöû � �� 2 1 2Wk k, ( , ) /� � ïðè � � � �( )2 1 32 1k . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5 71 Ïðîâåäåííûå âûøå ïîñòðîåíèÿ îáîñíîâûâàåò ñëåäóþùåå ïðåäëîæåíèå. Òåîðåìà 1. Ïóñòü h óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (2), ��� �1 2q , à s íå÷åòíî. Ñó- ùåñòâóåò �0 òàêîå, ÷òî äëÿ 0 2 2 0� � �� � � è � �( , )0 2s ñóùåñòâóåò ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå � � s ( , ), � �� q óðàâíåíèÿ (6). Èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî � � � � s s s( , ) ( , )� 1 2 , ãäå � �� � �� �� 1 1 1 2 1 22, ( ) � , � ( ) � / � � � � � � � � � � � d y w d yctg �� � � �, (( ) )/� �O 2 2 3 2 , � ( , ) � ( )cos (( ) )y x kk k � �� � � 2 1 1 . Ðåøåíèå � � 1 ( , ) ýêñïîíåíöèàëüíî îðáèòàëüíî óñòîé÷èâî. Ñóùåñòâóåò ��s ( � )�s � 1 òàêîå, ÷òî � � � �s ( , , ) — íåóñòîé÷èâîå ðåøåíèå, åñëè �� � � �( � , )s s s3 1 2 2 . Åñëè �� � �( , � )0 3 1 2 s s , òî � � � �s ( , , ) — ýêñïîíåíöèàëüíî îðáèòàëüíî óñòîé÷è- âîå ðåøåíèå. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ñëåäóåò ìåòîäèêå, ðàçâèòîé â [17]. 5. ÑËÓ×ÀÉ � � 0 Ðàññìàòðèâàåìûé ñëó÷àé ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ ñ òî÷êè çðåíèÿ ïðåäåëüíîãî ïðè � � 0 ïîâåäåíèÿ ñòàöèîíàðíûõ ñòðóêòóð óðàâíåíèÿ (6). Êðîìå òîãî, îí ïðåäñòàâ- ëÿåò è ñàìîñòîÿòåëüíûé èíòåðåñ. Äëÿ ïðîñòîòû îãðàíè÷èìñÿ çàäà÷åé � ( ) ( )� � � � �� � � � �1 1 1 1Q R Q , � � � � �( ) ( )� �2 , (25) â êîòîðîé Q1� � � � �( ) ( )� � , � � 0, à R R1 0( ) ( , )� �� . Ôóíêöèÿ R( , )� 0 óäîâëåòâî- ðÿåò ðàâåíñòâó (8). Çàäà÷ó (25) ðàññìîòðèì â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå H. Èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå ïðåäëîæåíèå. Òåîðåìà 2. Ñóùåñòâóåò � 0 0� òàêîå, ÷òî ïðè 0 0� �� � óðàâíåíèå (25) äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî n � 1èìååò ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå � � � � � �2 1 1 2 1n n� � �( , ) (( ) , ). Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî � � � � � �1 1 1 2 2( , ) ( ( )) (cos ) / � � � �� � � �� � � � � � � � � � � d O sign ctg � ( ( ))w d O � � 1 1 � � �� � � �� � � � �� � � �� , d w1 2 4 3 � �ctg � . Ðåøåíèå � � �2 1n� ( , ) ýêñïîíåíöèàëüíî îðáèòàëüíî óñòîé÷èâî. Äîêàçàòåëüñòâî. Íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé óáåæäàåìñÿ, ÷òî ôóíêöèÿ � ( , ) (cos ) � / � � � � � � 1 1 1 2 1 2� � � �� � � �� � d w d sign ctg óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (25) ñ òî÷íîñòüþ ïîðÿäêà � 2 ïî íåâÿçêå. Ëèíåàðèçóåì òåïåðü óðàâíåíèå (25) íà ýòîì ïðèáëèæåííîì ðåøåíèè.  ðåçóëüòàòå â ïðî- ñòðàíñòâå H âûâîäèì óðàâíåíèå � ( ) � � ( � )� � � � � � �� � � � � � �� � � � � �1 1 2 1 1 1 1 1 2 1Q wQ Q Qctg , � � � � �( ) ( )� �2 . Ðàññìîòðèì â ïðîñòðàíñòâå H ñîîòâåòñòâóþùóþ ýòîìó óðàâíåíèþ ñïåêòðàëüíóþ çàäà÷ó � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �( ) � � ( � )1 1 2 1 1 1 1 2 1Q wQ Q Qctg , � � � � �( ) ( )� �2 . (26) 72 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5 Íóëåâîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ ñîîòâåòñòâóþùåé íåâîçìóùåííîé çàäà÷è �� � 0) îòâå÷àåò ñ÷åòíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé sign (cos ( ) )2 1k � � , sign (sin ( ) )2 1k � � , k � 0 1 2, , ,� . Äëÿ àíàëèçà ñïåêòðà çàäà÷è (26), ðàñïîëîæåí- íîãî â îêðåñòíîñòè íóëÿ, âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùåé ñõåìîé ìåòîäà âîçìóùå- íèÿ. Ïîëîæèì � � � � � � � �� � � � � ��2 1 1 2 1 22 1k k x x( , ) (cos ( ) ) ( ) ( )/sign � , (27) � �� � �s s1 2 2 � . Ïîäñòàâèì çòè ðàâåíñòâà â (26) è ïðèðàâíÿåì çàòåì êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêî- âûõ ñòåïåíÿõ �1 2/ .  ðåçóëüòàòå îòíîñèòåëüíî x1 èìååì óðàâíåíèå � � � � � �� � � �� �x Q x w d k1 1 1 2 2 1ctg 1 sign sign 1 � (cos ) (cos ( )� �) . (28) Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî x w d k1 1 2 2 1� � � � �� � � �� �ctg 1 sign sign 1 � (cos ) (cos ( ) ) / � � . Èç óñëîâèÿ ðàçðåøèìîñòè óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî x2 íàõîäèì s1 2� � , à çàòåì x2 0� . Óðàâíåíèå æå îòíîñèòåëüíî x3 èìååò ðåøåíèå x3 0� . Ïåðåõîäÿ çàòåì ê óðàâíåíèþ îòíîñèòåëüíî x4 è èñïîëüçóÿ åãî óñëîâèå ðàçðåøèìîñòè, íàõîäèì s2 . Ýòîò ïðîöåññ íåîãðàíè÷åííî ïðîäîëæèì. Çàìåíèì òåïåðü â (27) sign (cos ( ) )2 1k � � íà sign (sin ( ) )2 1k � � . Êàê è âûøå, ïðèõîäèì ê çàêëþ÷åíèþ, ÷òî è â ýòîì ñëó÷àå s1 2� � . Ó÷èòûâàÿ òåïåðü, ÷òî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì 1, sign (cos )2k� , sign (sin )2k� íåâîçìóùåííîé çàäà÷è ñîîòâåòñòâóåò ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå �2, çàêëþ÷àåì, ÷òî ïðè- áëèæåííîå ðåøåíèå � ( , )� � �1 óðàâíåíèÿ (25) ýêñïîíåíöèàëüíî îðáèòàëüíî óñòîé÷è- âîå. Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî, óáåæäàåìñÿ, ÷òî ýêñïîíåíöèàëüíî îðáèòàëüíî óñòîé÷è- âûì ÿâëÿåòñÿ òàêæå è ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå � (( ) , )� � �1 2 1n � , n � 1 2, ,� . Ïåðåéäåì òåïåðü ê âîïðîñó ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ � � � � � �1 1( , ) � ( , )� . Äëÿ ýòîãî âûïîëíèì â óðàâíåíèè (25) çàìåíó � � � � �� � � ( , )1 .  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì óðàâíåíèå � ( ) � � ( � ) (� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 0Q wQ Q Q rctg � � � � �, ) ( , , )� r2 , � � � � �( ) ( )� �2 , â êîòîðîì ôóíêöèè r0 , r2 óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì: || ( , ) ||r c0 3 2� � �� , r r2 20 0 0( , , ) ( , , )� � � ��� � . Ïðè ýòîì r2 ( , , )� � � , êàê ôóíêöèÿ � �R, ÿâëÿåòñÿ â îêðåñòíîñòè íóëÿ àíàëèòè÷åñ- êîé. Ïóñòü � �0 ( , ) — ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ çàäà÷è (26) òàêàÿ, ÷òî �0 0 1( , ) � . Îáîçíà÷èì M ( ) { ( , ), ( , )}� � � � �� span 0 1 . Ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ � �1 ( , ) çàäà- ÷è (26) îïðåäåëåíà â (27). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî r M0 ( , ) ( )� � �� , à r2 ( , , ) :� � � . M M( ) ( )� �� . Îáîçíà÷èì P1 ( )� ïðîåêòîð â ïðîñòðàíñòâå H íà span { ( , )} � 1 . Íåñëîæíî óáåäèòüñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè íåðàâåíñòâà || ( ) ( , ) || /P r c1 0 3 5 2� � � �� . Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à ñóùåñòâîâàíèÿ ñòàöèîíàðíîé òî÷êè çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ äâó- ìåðíîé çàäà÷åé, à èìåííî çàäà÷åé íà äâóìåðíîì ïðîñòðàíñòâå M ( )� . Ñóùåñòâî- âàíèå ñòàöèîíàðíîé òî÷êè çàäà÷è (28) ââèäó óêàçàííûõ îöåíîê íà ôóíêöèè r0 ( , )� � , r2 ( , , )� � � ïðè ìàëûõ � � 0 î÷åâèäíî. Òåîðåìà äîêàçàíà. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5 73 Èç ïðîâåäåííîãî àíàëèçà ñëåäóåò, ÷òî â óðàâíåíèè (25) ðåàëèçóåòñÿ ÿâëåíèå ãèïåðáóôåðíîñòè [28], ò.å. ýòî óðàâíåíèå èìååò ñ÷åòíîå ÷èñëî ñòàöèîíàðíûõ ýêñïî- íåíöèàëüíî îðáèòàëüíî óñòîé÷èâûõ ðåøåíèé. Îòìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå (25) ïðè- íàäëåæèò êëàññó ñìåøàííûõ ôóíêöèîíàëüíî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé [29]. ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Ïîäâîäÿ èòîã, ïîä÷åðêíåì îñíîâíûå ìîìåíòû. Âî-ïåðâûõ, â óðàâíåíèè (6) ïðè � 0 ðåàëèçóåòñÿ ÿâëåíèå áóôåðíîñòè. Âî-âòîðûõ, êàæäîå îòâåòâëÿþùååñÿ èç íóëÿ ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6) èìååò êâàçèãàðìîíè÷åñêóþ ôîðìó, êî- òîðàÿ ïðè óáûâàíèè ýâîëþöèîíèðóåò, ïðèíèìàÿ ïðè ìàëûõ âèä êîíòðàñòíîé ñòðóêòóðû. Â-òðåòüèõ, âîçíèêíîâåíèå áóôåðíîñòè ñâÿçàíî ñ îñîáûì òèïîì âçàè- ìîäåéñòâèÿ ñòàöèîíàðíûõ ñòðóêòóð. Óêàçàííûé âûøå òèï âçàèìîäåéñòâèÿ ñòàöèîíàðíûõ ñòðóêòóð ñ äîñòàòî÷íîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè îòðàæàåò ñëåäóþùèé ïðèíöèï. Ïðèíöèï 1:3 âçàèìîäåéñòâèÿ ñòàöèîíàðíûõ ñòðóêòóð. Õàðàêòåð óñòîé÷èâîñ- òè ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ � k , k � 3 5, ,� , óðàâíåíèÿ (6) îïðåäåëÿåòñÿ â ðåçóëüòàòå âçàèìîäåéñòâèÿ ñ òðîéêàìè ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé � s, � 2k s� , � 2k s� , s k� �1 3 2, , ,� . Õàðàêòåð âçàèìîäåéñòâèÿ ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ � k óðàâíåíèÿ (6) ñ òðîéêîé ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé � s, � 2k s� , � 2k s� îïðåäåëÿåòñÿ êàê âçàèìîäåéñòâèå ñòàöèî- íàðíîé òî÷êè Ak ( ) ñî ñòàöèîíàðíûìè òî÷êàìè As ( ) , A k s2 � ( ) , A k s2 2� � ( ) ãðàäè- åíòíîé ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (23). Ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ âîïðîñ î ñóäüáå ïðè ðîñòå K ñòàöèîíàðíûõ ñòðóêòóð, îáíàðóæåííûõ ïðè ëîêàëüíîì àíàëèçå óðàâíåíèÿ (1). Äàííàÿ ïðîáëåìà, ðàçóìååòñÿ, ñëîæíàÿ. Ïî-âèäèìîìó, ëîêàëüíûå ñòðóêòóðû ïðè óâåëè÷åíèè K ñîõðàíÿþò óñòîé- ÷èâîñòü è ñòàíîâÿòñÿ íåëîêàëüíûìè ñòðóêòóðàìè ñ èçðåçàííûìè ôîðìàìè òèïà sign(cos ( ) )2 1k � � , k � 0 1 2, , � . Óêàçàííîå ïîâåäåíèå ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé óðàâ- íåíèÿ (1) ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ K ìîæíî îæèäàòü è ïðè çíà÷åíèÿõ � ïîðÿäêà 1.  ñîîòâåòñòâèè ñ [30, 22, 25] ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äèíàìèêà óðàâíåíèÿ (6) êàê ïðè � � 0, òàê è K � ïðèîáðåòàåò òóðáóëåíòíûé õàðàêòåð. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. À õ ì à í î â Ñ . À . ,  î ð î í ö î â Ì . À . , È â à í î â  . Þ . Ãåíåðàöèÿ ñòðóêòóð â îïòè÷åñêèõ ñèñòåìàõ ñ äâóìåðíîé îáðàòíîé ñâÿçüþ: íà ïóòè ê ñîçäàíèþ íåëèíåéíî-îïòè÷åñêèõ àíàëîãîâ íåé- ðîííûõ ñåòåé // Íîâûå ôèçè÷åñêèå ïðèíöèïû îïòè÷åñêîé îáðàáîòêè èíôîðìàöèè. — Ì.: Íàóêà, 1990. — Ñ. 263–325. 2. H a y a s a k i Y . H i k o s a k a E . , Y a m o m o t o H . , N i s h i d a N . Image processing based on seededspontaneus optical pattern formation using optoelectronic feedback // Appl. Opt. — 2005. — 125. — P. 123–141. 3. Ð à ç ã ó ë è í À .  . Çàäà÷à óïðàâëåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèåì àðãóìåíòîâ â ôóíêöèîíàëüíî-äèôôåðåí- öèàëüíûõ óðàâíåíèÿõ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè — Ì.: ÌÀÊÑ Ïðåññ, 2006. — 152 ñ. 4. R e s i d o r i S . Patterns, fronts and structures in a liquid-crystal-light-valve with optical feedback // Phys- ics Reports. — 2005. — 416, N 5–6. — P. 201–272. 5. À õ ì à í î â Ñ . À . ,  î ð î í ö î â Ì . À . , È â à í î â  . Þ . Êðóïíîìàñøòàáíûå ïîïåðå÷íûå íåëè- íåéíûå âçàèìîäåéñòâèÿ â ëàçåðíûõ ïó÷êàõ; íîâûå òèïû íåëèíåéíûõ âîëí, âîçíèêíîâåíèå îïòè- ÷åñêîé òóðáóëåíòíîñòè // Ïèñüìà â ÆÝÒÔ. — 1988. — 147, âûï. 12. — Ñ. 611–614. 6. Ð à ç ã ó ë è í À .  . Îá àâòîêîëåáàíèÿõ â íåëèíåéíîé ïàðàáîëè÷åñêîé çàäà÷å ñ ïðåîáðàçîâàííûì àð- ãóìåíòîì // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè. — 1993. — 33, ¹ 1. — Ñ. 69–80. 7. Ð à ç ã ó ë è í À .  . Óñòîé÷èâîñòü áèôóðêàöèîííûõ àâòîêîëåáàíèé â íåëèíåéíîé ïàðàáîëè÷åñêîé çàäà÷å ñ ïðåîáðàçîâàííûì àðãóìåíòîì // Òàì æå. — 1993. — 33, ¹ 10. — Ñ. 1499–1510. 8. Ð à ç ã ó ë è í À .  . Ðîòàöèîííûå âîëíû â îïòè÷åñêîé ñèñòåìå ñ äâóìåðíîé îáðàòíîé ñâÿçüþ // Ìàò. ìîäåëèðîâàíèå. — 1993. — 5, ¹ 4. — Ñ. 105–119. 9. S k u b a c h e v s k i i A . L . Bifurcation of periodic solution for nonlinear parabolic functional differential equations arising in optoelectronics // Nonlinear analysis: Theory, Meth.& Appl. — 1998. — 32, N 2. — P. 261–278 74 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5 10. Ñ ê ó á à ÷ å â ñ ê è é À . Ë . Î áèôóðêàöèè Õîïôà äëÿ êâàçèëèíåéíîãî ïàðàáîëè÷åñêîãî ôóíêöèî- íàëüíî-äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ // Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. — 1998. — 34, ¹ 10. — Ñ. 1394–1401. 11. Á å ë à í Å . Ï . Î áèôóðêàöèè ïåðèîäè÷åñêèõ ðåøåíèé â ïàðàáîëè÷åñêîì ôóíêöèîíàëüíî-äèôôåðåí- öèàëüíîì óðàâíåíèè // Ó÷. çàïèñêè Òàâð. íàö. óí-òà èì. Â.È. Âåðíàäñêîãî. Ñåð. Ìàòåìàòèêà. Ìåõàíèêà. Èíôîðìàòèêà è Êèáåðíåòèêà. — 2002 — 2. — C. 11–23. 12. Á å ë à í Å . Ï . Áèôóðêàöèÿ ðîæäåíèÿ ïåðèîäè÷åñêèõ ðåøåíèé â ïàðàáîëè÷åñêîé çàäà÷å ñ ïðåîáðà- çîâàííûì àðãóìåíòîì // Òàì æå. — 2001. — ¹ 1. — Ñ. 24–33. 13. Á å ë à í Å . Ï . , Ë û ê î â à Î . Á . Î áèôóðêàöèè âðàùàþùèõñÿ âîëí â ïàðàáîëè÷åñêîé çàäà÷å ñ ïðå- îáðàçîâàííûì àðãóìåíòîì // Äîï. ÍÀÍÓ. — 2003. — 1. — Ñ. 7–13. 14. Á å ë à í Å . Ï . Î âçàèìîäåéñòâèè áåãóùèõ âîëí â ïàðàáîëè÷åñêîì ôóíêöèîíàëüíî-äèôôåðåíöèàëü- íîì óðàâíåíèè // Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. — 2004. — 40, ¹ 5. — C. 645–654. 15. Á å ë à í Å . Ï . , Ë û ê î â à Î . Á . Âðàùàþùèåñÿ ñòðóêòóðû â ïàðàáîëè÷åñêîì ôóíêöèîíàëüíî-äèô- ôåðåíöèàëüíîì óðàâíåíèè // Òàì æå. — 2004. — 40, ¹ 10. — Ñ. 1348–1357. 16. Á å ë à í Å . Ï . , Ë û ê î â à Î . Á . Áèôóðêàöèè âðàùàþùèõñÿ ñòðóêòóð â ïàðàáîëè÷åñêîì ôóíêöèî- íàëüíî-äèôôåðåíöèàëüíîì óðàâíåíèè // Íåëiíiéíi êîëèâàííÿ. — 2006. — 9, ¹ 2. — Ñ. 155–169. 17.  à ñ è ë ü å â à À . Á . , Ê à ù å í ê î Ñ . À . , Ê î ë å ñ î â Þ . Ñ . , Ð î ç î â Í . Õ . Áèôóðêàöèÿ àâòîêî- ëåáàíèé íåëèíåéíûõ ïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ ìàëîé äèôôóçèåé // Ìàò. ñáîðíèê. — 1986. — 130(172), Â. 4(7). — Ñ. 488–499. 18. × ó ø ê è í  . À . , Ð à ç ã ó ë è í À .  . Ñòàöèîíàðíûå ñòðóêòóðû â ôóíêöèîíàëüíî-äèôôåðåí- öèàëüíîì óðàâíåíèè äèôôóçèè ñ îòðàæåííûì àðãóìåíòîì // Âåñòí. Ìîñêîâ. óí-òà. Ñåð. 15. — 2003. — ¹ 2. — Ñ. 13–20. 19. Ê à ù å í ê î Ñ . À . Àñèìïòîòèêà ïðîñòðàíñòâåííî íåîäíîðîäíûõ ñòðóêòóð â êîãåðåíòíûõ íåëèíåé- íî-îïòè÷åñêèõ ñèñòåìàõ // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè. — 1994. — 31, ¹ 3. — Ñ. 467–473. 20. G r i g o r i e v a E . V . , H a k e n H . , K a s h c h e n k o S . A . , P e l s t e r A . Travelling wave dynamics in a nonlinear interferometer with spatial field transformer in feedback // Physika D. — 1999. — 125. — P. 123–141. 21. Ê î ë å ñ î â À . Þ . , Ð î ç î â Í . Õ . Îïòè÷åñêàÿ áóôåðíîñòü è ìåõàíèçìû åå âîçíèêíîâåíèÿ // Òåîð. è ìàò. ôèçèêà. — 2004. — 140, ¹ 1. — C. 14–28. 22. Ì è ù å í ê î Å . Ô . , Ñ à ä î â í è ÷ è é  . À . , Ê î ë å ñ î â À . Þ . , Ð î ç î â Í . Õ . Àâòîâîëíîâûå ïðîöåññû â íåëèíåéíûõ ñðåäàõ ñ äèôôóçèåé. — Ì.: Ôèçìàòëèò, 2005. — 430 ñ. 23. Á å ë à í Å . Ï . Î äèíàìèêå áåãóùèõ âîëí â ïàðàáîëè÷åñêîì óðàâíåíèè ñ ïðåîáðàçîâàíèåì ñäâèãà ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé // Æóðí. ìàò. ôèç., àíàë., ãåîì. — 2005. — 1, ¹ 1. — Ñ. 3–34. 24. Á à á è í À . Á . , Â è ø è ê Ì . È . Àòòðàêòîðû ýâîëþöèîííûõ óðàâíåíèé. — Ì.: Íàóêà, 1989. — 294 ñ. 25. Ê î ë å ñ î â À . Þ . , Ð î ç î â Í . Õ . Èíâàðèàíòíûå òîðû íåëèíåéíûõ âîëíîâûõ óðàâíåíèé. — Ì.: Ôèçìàòëèò, 2004. — 408 ñ. 26. Á å ë à í Å . Ï . Áèôóðêàöèÿ äèññèïàòèâíûõ ñòðóêòóð â ïàðàáîëè÷åñêîé çàäà÷å ñ ïðåîáðàçîâàííûì àðãóìåíòîì è ìàëîé äèôôóçèåé // Äèíàì³÷í³ ñèñòåìè: Ïðàö³ Óêð. ìàò. êîíãðåñó — 2001. — Êè¿â, ²í-ò ìàòåìàòèêè ÍÀÍÓ. — 2003. — Ñ. 20–33. 27. à à ï î í î â - à ð å õ î â À .  . , Ë î ì î â À . Ñ . , Î ñ è ï î â à .  . , Ð à á è í î â è ÷ Ì . È . Ðîæäåíèå è äèíàìèêà äâóìåðíûõ ñòðóêòóð â íåðàâíîâåñíûõ äèññèïàòèâíûõ ñðåäàõ // Íåëèíåéíûå âîëíû. Äèíàìèêà è ýâîëþöèÿ. ÈÏÔ ÀÍ ÑÑÑÐ — 1989. — Ñ. 61–73. 28. Ê î ë å ñ î â À . Þ . , Ì è ù å í ê î Å . Ô . , Ð î ç î â Í . Õ . Àñèìïòîòè÷åñêèå ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ ïåðèîäè÷åñêèõ ðåøåíèé íåëèíåéíûõ ãèïåðáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé // Òð. ÌÈÀÍ èì. Â.À. Ñòåêëîâà. — 1998. — 222. — 192 ñ. 29. Ì û ø ê è ñ À . Ä . Ñìåøàííûå ôóíêöèîíàëüíî-äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ // Ñîâðåìåííàÿ ìàòå- ìàòèêà. Ôóíäàìåíòàëüíûå íàïðàâëåíèÿ. — 2003. — 4. — Ñ. 5–120. 30. Ð à á è í î â è ÷ Ì . È . Íåëèíåéíàÿ äèíàìèêà è òóðáóëåíòíîñòü // Íåëèíåéíûå âîëíû. Äèíàìèêà è ýâîëþöèÿ. — ÈÏÔ ÀÍ ÑÑÑÐ, 1989. — Ñ. 50–61. Ïîñòóïèëà 05.04.2008 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5 75
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-44254
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn 0023-1274
language Russian
last_indexed 2025-12-07T16:10:04Z
publishDate 2008
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format dspace
spelling Белан, Е.П.
2013-05-27T14:16:47Z
2013-05-27T14:16:47Z
2008
Оптическая буферность стационарных структур / Е.П. Белан // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 5. — С. 61-75 . — Бібліогр.: 30 назв. — рос.
0023-1274
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44254
517.9
ru
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
Кибернетика и системный анализ
Системный анализ
Оптическая буферность стационарных структур
Article
published earlier
spellingShingle Оптическая буферность стационарных структур
Белан, Е.П.
Системный анализ
title Оптическая буферность стационарных структур
title_full Оптическая буферность стационарных структур
title_fullStr Оптическая буферность стационарных структур
title_full_unstemmed Оптическая буферность стационарных структур
title_short Оптическая буферность стационарных структур
title_sort оптическая буферность стационарных структур
topic Системный анализ
topic_facet Системный анализ
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44254
work_keys_str_mv AT belanep optičeskaâbufernostʹstacionarnyhstruktur