Оптическая буферность стационарных структур
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Дата: | 2008 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44254 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Оптическая буферность стационарных структур / Е.П. Белан // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 5. — С. 61-75 . — Бібліогр.: 30 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859937509349261312 |
|---|---|
| author | Белан, Е.П. |
| author_facet | Белан, Е.П. |
| citation_txt | Оптическая буферность стационарных структур / Е.П. Белан // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 5. — С. 61-75 . — Бібліогр.: 30 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| first_indexed | 2025-12-07T16:10:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 517.9
Å.Ï. ÁÅËÀÍ
ÎÏÒÈ×ÅÑÊÀß ÁÓÔÅÐÍÎÑÒÜ ÑÒÀÖÈÎÍÀÐÍÛÕ ÑÒÐÓÊÒÓÐ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ïàðàáîëè÷åñêàÿ çàäà÷à, áóôåðíîñòü, áèôóðêàöèÿ, óñòîé÷è-
âîñòü, ñòàöèîíàðíûå ñòðóêòóðû.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Íàáëþäàåìûé â ïîñëåäíåå âðåìÿ áóðíûé ðîñò èññëåäîâàíèé â íåëèíåéíîé îïòè-
êå âûçâàí øèðîêèì èñïîëüçîâàíèåì îïòè÷åñêèõ ñèñòåì â ðàçâèòèè èíôîðìàöè-
îííûõ òåõíîëîãèé [1]. Ãëàâíûå ïðåèìóùåñòâà îïòè÷åñêèõ ìåòîäîâ â çàäà÷àõ
õðàíåíèÿ è ïðåîáðàçîâàíèÿ èíôîðìàöèè ñâÿçàíû ñ ïàðàëëåëüíîñòüþ îáðàáîòêè
ñèãíàëîâ, âîçìîæíîñòüþ ðåçêîãî ïîâûøåíèÿ áûñòðîäåéñòâèÿ âûïîëíåíèÿ îïåðà-
öèé. Áëàãîäàðÿ åñòåñòâåííûì ïðåèìóùåñòâàì îïòè÷åñêèå ñèñòåìû èñïîëüçóþòñÿ
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5 61
© Å.Ï. Áåëàí, 2008
äëÿ ñîçäàíèÿ ýëåìåíòîâ àññîöèàòèâíîé ïàìÿòè, ñèñòåì ðàñïîçíàâàíèÿ îáðàçîâ,
îáó÷àþùèõñÿ àíàëîãîâûõ êîìïüþòåðîâ (ñì. [1–3] è äð.).
Ñðåäè íåëèíåéíûõ îïòè÷åñêèõ ñèñòåì îäíîé èç ñàìûõ ïîïóëÿðíûõ ÿâëÿåòñÿ
ñèñòåìà, ñîñòîÿùàÿ èç òîíêîãî ñëîÿ íåëèíåéíîé ñðåäû êåððîâñêîãî òèïà è ðàçëè÷-
íûì îáðàçîì îðãàíèçîâàííîãî êîíòóðà äâóìåðíîé îáðàòíîé ñâÿçè [1, 3]. Ïðèíöè-
ïèàëüíàÿ îñîáåííîñòü òàêèõ ñèñòåì ñîñòîèò â òîì, ÷òî âíåøíèé êîíòóð îáðàòíîé
ñâÿçè ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ íåïîñðåäñòâåííîãî âîçäåéñòâèÿ íà íåëèíåéíóþ
äèíàìèêó ñèñòåìû ïîñðåäñòâîì óïðàâëÿåìîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðîñòðàíñòâåííûõ
ïåðåìåííûõ, âûïîëíÿåìûõ ïðèçìàìè, ëèíçàìè, äèíàìè÷åñêèìè ãîëîãðàììàìè è
äðóãèìè óñòðîéñòâàìè. Ýêñïåðèìåíòàëüíî ïîêàçàíî, ÷òî ïðè èñïîëüçîâàíèè äàæå
ïðîñòåéøèõ âèäîâ ïðåîáðàçîâàíèé (ïîâîðîò, ïîâîðîò è ñæàòèå, îòðàæåíèå) ìîæíî
ðåàëèçîâàòü øèðîêèé ñïåêòð ñàìîîðãàíèçàöèè ñâåòîâîãî ïîëÿ: ìíîãîëåïåñòêîâûå
ðîòàöèîííûå âîëíû, îïòè÷åñêèå ñïèðàëè, ñòàöèîíàðíûå ñòðóêòóðû, âîëíû ïåðå-
êëþ÷åíèÿ è äð. (ñì. [1, 4] è áèáëèîãðàôèþ ê íèì). Îòìåòèì, ÷òî ïðè îïðåäåëåí-
íûõ óñëîâèÿõ â ðàññìàòðèâàåìûõ ñèñòåìàõ íàáëþäàëàñü ñòîõàñòèçàöèÿ ïîëÿ —
îïòè÷åñêàÿ òóðáóëåíòíîñòü [5, 1].
Ïàðàáîëè÷åñêèå ôóíêöèîíàëüíî-äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ ïðåîáðàçîâà-
íèåì àðãóìåíòîâ èñêîìîé ôóíêöèè, èñïîëüçóåìûå äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ îïòè÷åñêèõ
ñèñòåì ñ äâóìåðíîé îáðàòíîé ñâÿçüþ, ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé íîâûé êëàññ äëÿ èññëåäî-
âàíèÿ ôåíîìåíà ñòðóêòóðîîáðàçîâàíèÿ. Ïðîáëåìà âîçíèêíîâåíèÿ ñòðóêòóð â óêàçàí-
íûõ óðàâíåíèÿõ èññëåäóåòñÿ â ìàòåìàòè÷åñêîé ëèòåðàòóðå ñ íà÷àëà 1990-õ ãîäîâ.
Îáîñíîâàíèå íàáëþäàåìûõ àâòîâîëíîâûõ ÿâëåíèé äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîâîðîòà íà
ôèêñèðîâàííûé óãîë â êðóãå èëè êîëüöå ïðîâåäåíî â [6–8] íà îñíîâå òåîðèè áèôóð-
êàöèè Àíäðîíîâà–Õîïôà, ãäå äàíî îïèñàíèå âðàùàþùèõñÿ ìíîãîëåïåñòêîâûõ âîëí
è èññëåäîâàíà èõ óñòîé÷èâîñòü. Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ïåðèîäè÷åñêèõ ðåøåíèé äëÿ
ïðîèçâîëüíîé îáëàñòè è íåâûðîæäåííîãî ãëàäêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ðàçâèâàëàñü â
[9–11]. Ìåòîä öåíòðàëüíûõ ìíîãîîáðàçèé èñïîëüçîâàëñÿ â ðàáîòàõ [12–15] äëÿ èñ-
ñëåäîâàíèÿ áèôóðêàöèé âðàùàþùèõñÿ ñòðóêòóð â êîëüöå è êðóãå äëÿ ñëó÷àÿ ïîâîðî-
òà, à òàêæå â êðóãå äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîâîðîòà ñîâìåñòíî ñ ðàäèàëüíûì ñæàòèåì.
Äëÿ èññëåäîâàíèÿ áèôóðêàöèîííûõ âðàùàþùèõñÿ ñòðóêòóð, êàê ïîêàçàíî â [16],
ïðèìåíèì ìåòîä, îñíîâàííûé íà ïîñòðîåíèè ïðèáëèæåííûõ ïåðèîäè÷åñêèõ ðåøå-
íèé [17].  ðàáîòàõ [12, 18 ] èçó÷àëèñü áèôóðêàöèè ñòàöèîíàðíûõ ñòðóêòóð.
Ïàðàáîëè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ñ ïðåîáðàçîâàííûì àðãóìåíòîì è ìàëîé äèôôóçè-
åé ïðåäñòàâëÿþò èíòåðåñ â ñâÿçè ñ èññëåäîâàíèåì îïòè÷åñêîé òóðáóëåíòíîñòè. Ìå-
òîä êâàçèíîðìàëüíûõ ôîðì äëÿ óêàçàííîãî óðàâíåíèÿ ñ ïðåîáðàçîâàíèåì ïîâîðîòà
ïðèìåíÿëñÿ â [19, 20] äëÿ îïèñàíèÿ äèíàìèêè áåãóùèõ âîëí, ìåäëåííî ìåíÿþùèõ-
ñÿ ñòðóêòóð. Îïòè÷åñêàÿ áóôåðíîñòü áåãóùèõ âîëí áûëà óñòàíîâëåíà â ðàáî-
òàõ [21–23]. Íàïîìíèì, ñëåäóÿ [22], ÷òî â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå íåêîòîðîé áåñêî-
íå÷íîìåðíîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ðåàëèçóåòñÿ ôåíîìåí áóôåðíîñòè, åñëè ïðè
ïîäõîäÿùåì âûáîðå ïàðàìåòðîâ ìîæíî ãàðàíòèðîâàòü ñóùåñòâîâàíèå â íåé ëþáîãî
ôèêñèðîâàííîãî ÷èñëà îäíîòèïíûõ àòòðàêòîðîâ (ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ, öèêëîâ
è ò.ä.). Ðîëü ôåíîìåíà áóôåðíîñòè â äèíàìèêå ñëîæíûõ ñèñòåì è â ïðîöåññàõ ñàìî-
îðãàíèçàöèè âûÿâëåíà â [22]. Îòìåòèì, ÷òî â íåé ïîñòðîåíà òåîðèÿ äèññèïàòèâíûõ
ñòðóêòóð Òüþðèíãà–Ïðèãîæèíà äëÿ ñèñòåì ïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ ìàëîé
äèôôóçèåé è ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè Íåéìàíà íà îòðåçêå.
Äàííàÿ ðàáîòà ïîñâÿùåíà äèíàìèêå ñòàöèîíàðíûõ ñòðóêòóð ïàðàáîëè÷åñêîãî
óðàâíåíèÿ íà îêðóæíîñòè è ìàëîé äèôôóçèåé â ñëó÷àå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîâîðîòà íà
ðàöèîíàëüíî ñîèçìåðèìóþ � âåëè÷èíó. Ïðèìåíÿåìûé ìåòîä èññëåäîâàíèÿ óêàçàí-
íîé çàäà÷è îñíîâàí íà ñâîåîáðàçíîì ñî÷åòàíèè ôîðìàëèçìà ìåòîäà öåíòðàëüíûõ
ìíîãîîáðàçèé è ìåòîäà Ãàëåðêèíà. Ýòîò ìåòîä áûë ïðåäëîæåí è îáîñíîâàí àâòî-
ðîì â [23] äëÿ èññëåäîâàíèÿ äèíàìèêè áåãóùèõ âîëí ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ
íà îêðóæíîñòè ñ ïðåîáðàçîâàíèåì ïîâîðîòà è ìàëîé äèôôóçèåé.
Ñòàòüÿ îðãàíèçîâàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì.  ðàçä. 1 ïðèâîäèòñÿ ïàðàáîëè÷åñ-
êîå óðàâíåíèå íà îêðóæíîñòè ñ ïðåîáðàçîâàíèåì ïîâîðîòà íà óãîë, ðàöèîíàëüíî
ñîèçìåðèìûé �, è ìàëîé äèôôóçèåé. Çäåñü ðàññìîòðåíà çàäà÷à î âûäåëåíèè ïðî-
ñòðàíñòâåííî îäíîðîäíîãî ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ óêàçàííîé çàäà÷è, â îêðåñòíîñ-
òè êîòîðîãî èçó÷àåòñÿ çàäà÷à î áèôóðêàöèè ðîæäåíèÿ ïðîñòðàíñòâåííî íåîäíîðîä-
62 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5
íûõ ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé. Â ðàçä. 2 ñòðîÿòñÿ äâå ñòàöèîíàðíûå ñòðóêòóðû: îäíà
èç íèõ îòâåòâëÿåòñÿ èç íóëÿ ïðè ïîòåðå èì óñòîé÷èâîñòè, à âòîðàÿ òîãäà, êîãäà ðàç-
ìåðíîñòü íåóñòîé÷èâîãî ìíîãîîáðàçèÿ íóëÿ ñòàíîâèòñÿ ðàâíîé 4. Ðàçäåë 3 ïîñâÿ-
ùåí àíàëèçó óñòîé÷èâîñòè ñòðóêòóð, ïîñòðîåííûõ â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå. Îñíîâ-
íîé ðåçóëüòàò ñòàòüè — òåîðåìà 1 î ñóùåñòâîâàíèè è óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíûõ
ñòðóêòóð ñôîðìóëèðîâàíà â ðàçä. 4. Èç ýòîé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî â èñõîäíîé çàäà-
÷å ðåàëèçóåòñÿ ÿâëåíèå áóôåðíîñòè ñòàöèîíàðíûõ ñòðóêòóð.  ñëåäóþùåì ðàçäåëå
ðàññìîòðåí ïðåäåëüíûé ñëó÷àé — êîýôôèöèåíò äèôôóçèè ðàâåí íóëþ. Ñîãëàñíî
òåîðåìå 2 â ýòîì ñëó÷àå ðåàëèçóåòñÿ ÿâëåíèå ãèïåðáóôåðíîñòè, ò.å. ñîñóùåñòâîâà-
íèå â óêàçàííîì ñëó÷àå ñ÷åòíîãî ÷èñëà ýêñïîíåíöèàëüíî îðáèòàëüíî óñòîé÷èâûõ
ñòàöèîíàðíûõ ñòðóêòóð. Çàêëþ÷åíèå ñîäåðæèò íåêîòîðûå âûâîäû, îñíîâàííûå íà
ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòàõ.
1. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Íà îêðóæíîñòè S R Z1 2� / � ðàññìîòðèì êðàåâóþ çàäà÷ó [1, 19–23]
�
�
� �
�
�
� � � �
u
t
u
u
K Qu u t u t�
�
� � � �
2
2
1 2( cos ), ( , ) ( , ) (1)
ñ ìàëûì ïàðàìåòðîì �. Çäåñü u t( , )� — ôàçà ñâåòîâîé âîëíû, Qu t u t h( , ) ( , )� �� � ,
h — óãîë ïîâîðîòà â äâóìåðíîé îáðàòíîé ñâÿçè, êîýôôèöèåíò K � 0 ïðîïîðöèî-
íàëåí èíòåíñèâíîñòè ñâåòîâîãî ïîòîêà, � � ( , )0 1 — âèäíîñòü èíòåðôåðàöèîííîé
êàðòèíû.
Áóäåì äàëåå ïðåäïîëàãàòü, ÷òî h óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
h
p
q
� � ,
(2)
ãäå p q, — âçàèìíî ïðîñòûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, à p — íå÷åòíîå.
Ðàññìîòðèì ñâîéñòâà ïîëóãðóïïû, ïîðîæäåííîé çàäà÷åé (1). Ïóñòü H — ãèëü-
áåðòîâî ïðîñòðàíñòâî èçìåðèìûõ íà îêðóæíîñòè S R Z1 2� / � ôóíêöèé L S2
1( ) ñî
ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì
� � � u u d, ( ) ( ) .�
�
� � � �
�
1
2
0
2
Îáîçíà÷èì H Hl l S� ( )1 , l Z� � , ïðîñòðàíñòâî Ñîáîëåâà. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå
â Hl îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé
� � �
�
u u dl
k k
k
l
, ( ) ( )( ) ( )�
�
� � � �
�
1
2
0
2
0
.
 ïðîñòðàíñòâå H íîðìó îáîçíà÷èì || ||� . Íîðìó â ïðîñòðàíñòâå Hl îáîçíà÷èì || ||� l .
Ïóñòü T � 0. Ñîãëàñíî [11] çàäà÷à (1) ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì u u u
t�
� �
0 0 0, H,
èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå u L L l� �
( ) ( )H H2 . Çäåñü L B L T Bp p( ) ([ , ], )� 0 , ãäå B
ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ H, Hl .
Îáîçíà÷èì { }S t ïîëóãðóïïó, ïîðîæäåííóþ çàäà÷åé (1). { }S t îáëàäàåò ñâîéñò-
âàìè, ñôîðìóëèðîâàííûìè â òåîðåìå 4 [24, ãë.1] (ñì. òàêæå [11]). Ïîëóãðóïïà { }S t
S 1-ýêâèâàðèàíòíà, ò.å. èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ãðóïïû âðàùåíèé îêðóæíîñòè.
Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè u t( , )� — ðåøåíèå çàäà÷è (1), òî u t g( , )� � , ãäå g S� 1, — òàê-
æå åå ðåøåíèå.
 êà÷åñòâå ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà çàäà÷è (1), ò.å. ïðîñòðàíñòâà åå íà÷àëüíûõ
óñëîâèé, ïðèìåì ïðîñòðàíñòâî H. Áóäåì äàëåå èíòåðåñîâàòüñÿ âîïðîñàìè î ñóùåñòâî-
âàíèè, ôîðìå è óñòîé÷èâîñòè (â ìåòðèêå H) åå ïðîñòðàíñòâåííî íåîäíîðîäíûõ ñîñòî-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5 63
ÿíèé ðàâíîâåñèÿ, áèôóðöèðóþùèõ èç ïðîñòðàíñòâåííî îäíîðîäíûõ ñîñòîÿíèé
ðàâíîâåñèÿ, ò.å. åå ðåøåíèé u t w( , )� � , w w K� ( ), îïðåäåëÿåìûõ èç óðàâíåíèÿ
w K w� �( cos )1 � (3)
è êîòîðûå òåðÿþò óñòîé÷èâîñòü ïðè óâåëè÷åíèè K àïåðèîäè÷åñêè. Äëÿ ýòîãî
ôèêñèðóåì êàêóþ-ëèáî ãëàäêóþ âåòâü ðåøåíèé
w w K K w K� � �( ), sin ( )1 0� (4)
óðàâíåíèÿ (3). Çàòåì ëèíåàðèçóåì óðàâíåíèå (1) íà ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèÿ
w w K� ( ) è ïðèìåíèì ê ïîëó÷åííîìó íà S 1 óðàâíåíèþ � ( )u u u K Q u� � ��� � ,
â êîòîðîì �( ) sin ( )K K w K� � � , ìåòîä Ôóðüå ïî ñèñòåìå ôóíêöèé exp ( )im� ,
m � � �0 1 2, , � .  ðåçóëüòàòå óáåæäàåìñÿ, ÷òî ñïåêòð óñòîé÷èâîñòè ðàññìàòðèâà-
åìîãî ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñîñòîèò èç ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé � � �1 2�m
� �( )exp( )K imh , m � � �0 1 2, , ,� .
Îòñþäà â ñèëó (2) ñëåäóåò, ÷òî ïîòåðÿ óñòîé÷èâîñòè w K( ) ïðè óâåëè÷åíèè K
è ìàëûõ � íîñèò àïåðèîäè÷åñêèé õàðàêòåð, åñëè K óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
�( )K � �1. (5)
Ñîãëàñíî [21, 22] ýòî óðàâíåíèå èìååò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ðåøåíèé. Âûáåðåì
îäíî èç íèõ è îáîçíà÷èì åãî �K . ßñíî, ÷òî ñóùåñòâóåò àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ k( )� ,
k( )� � 0, îïðåäåëåííàÿ â îêðåñòíîñòè íóëÿ è òàêàÿ, ÷òî �( � ( ))K k� � � �� �1 .
Âûïîëíèì òåïåðü â (1) ïðåîáðàçîâàíèå u w� �� �( ), ãäå w w K k( ) ( � ( ))� �� � ,
è ïðåäñòàâèì ïîëó÷åííîå â H óðàâíåíèå â âèäå
� ( , ) ( , )� � � � � �� �L R Q , (6)
â êîòîðîì
L Q( , ) ( )� � � � � � � �� � � �� 1 , (7)
R w( , ) ( � )� � �0
1
2
1
6
2 3� � � � �ctg � .
(8)
Çäåñü � ( � )w w K� . Î÷åâèäíî, L im imm( , )exp ( ) ( , )exp ( )� � � � � �� , m � �0 1, ,� ,
ãäå � � � �m m imh( , ) ( ) exp ( )� � � � �1 12 , m � �0 1, ,� . Ñîãëàñíî (2) � �
s� �( , )
� � �� �( )sq 2 , s sq� � , s � 1 3 5, , ,� . Îñòàëüíûå æå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðà-
òîðà L( , )0 0 , ðàññìàòðèâàåìîãî â ïðîñòðàíñòâå H, ëåæàò â ëåâîé êîìïëåêñíîé
ïîëóïëîñêîñòè è ðàâíîìåðíî îòäåëåíû îò ìíèìîé îñè.
Äàëåå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî � � 0. Ïðèìåì òåïåðü â êà÷åñòâå áèôóðêàöèîííîãî
ïàðàìåòðà
�
�
� q2 . Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè óáûâàíèè ïàðàìåòðà
è ïðîõîæäåíèè åãî
÷åðåç êðèòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ s s� �2 1 3 5, , , ,� , êàæäûé ðàç ðàçìåðíîñòü íåóñòîé÷èâî-
ãî ìíîãîîáðàçèÿ íóëåâîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (6) óâåëè÷èâàåòñÿ íà äâà ïîðÿäêà.
Îáúåêòîì äàëüíåéøåãî àíàëèçà ÿâëÿåòñÿ äèíàìèêà ñòàöèîíàðíûõ ïðîñòðàíñòâåííî
íåîäíîðîäíûõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (6), áèôóðöèðóþùèõ èç íóëåâîãî ðåøåíèÿ ïðè
óáûâàíèè ïàðàìåòðà
è ïðîõîæäåíèè ÷åðåç êðèòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ s s� �2 1 3 5, , , ,� .
Òî÷íåå ãîâîðÿ, ïîñòàâèì âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè, ôîðìå, âçàèìîäåéñòâèÿõ è
óñòîé÷èâîñòè óêàçàííûõ ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé.
2. ÏÐÈÁËÈÆÅÍÍÛÅ ÑÒÀÖÈÎÍÀÐÍÛÅ ÐÅØÅÍÈß
Ïîñòðîèì çäåñü ñòàöèîíàðíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (6), êîòîðûå îòâåòâëÿþòñÿ èç
íóëÿ ïðè óáûâàíèè ïàðàìåòðà
è åãî ïðîõîæäåíèè ÷åðåç çíà÷åíèÿ 1 3 2, � . Äëÿ
ýòîãî â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìàëèçìîì ïîñòðîåíèÿ öåíòðàëüíûõ ìíîãîîáðàçèé äëÿ
64 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5
S 1-ýêâèâàðèàíòíûõ óðàâíåíèé [23] â êðèòè÷åñêîì ñëó÷àå ðàçìåðíîñòè 10 ïî-
ñòðîèì ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (6) â âèäå
� � �� �
�
k
k
z im( exp( ( ) ), . . )ê ñ
1
3
, (9)
ãäå z im z i s ssexp( ( ) ) ( exp( ( ) ), , , )� � � ��� �2 1 2 1 1 5� , � �� q , ê.ñ. — ñòàíäàðòíîå îáî-
çíà÷åíèå êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííîé âåëè÷èíû, �1
1
5
2 1( , ) . .z z z
s
s� �
�
�
ê ñ , � k — ôîð-
ìà ñòåïåíè k, k � 2 3, , îòíîñèòåëüíî z , z , à ïåðåìåííàÿ z s2 1� , s � 1 5, ,� , óäîâëåò-
âîðÿåò óðàâíåíèþ
� ( , ), , , ,
( )
z z g z z ss s s s2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 5� � � �� � �� � . (10)
Óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûõ ïåðåìåííûõ, êàê îáû÷íî,
îïóùåíû. Ñèñòåìà (10) S 1-ýêâèâàðèàíòíà, ò.å. ôîðìû òðåòüåé ñòåïåíè g z zs2 1� ( , ),
s � 1 2 5, , ,� , óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì
g z im i s g z z s
s s2 1 2 12 1
� �� � �( exp( ( ) ), . . ) exp( ( ) ) ( , ),� �ê ñ � 1 2 5, , ,� . (11)
Ïîäñòàâèì (9), (10) â óðàâíåíèå (6). Çàòåì ïîñëå çàìåíû z im zexp( ( ) )� �� ïðè-
ðàâíÿåì ôîðìû âòîðîé, òðåòüåé ñòåïåíè îòíîñèòåëüíî z , z . Ïîëàãàÿ � � 0, � � 0
è âîñïîëüçîâàâøèñü (8), ïîëó÷èì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî � 2 :
� �2 2
1
5
2 1
2
1
2
( , ) ( , ) � . .z z z z w z
s
s� � � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
ctg ê ñ .
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî � 2
1
5
2 1
2
1
4
( , ) � . .z z w z
s
s� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
ctg ê ñ . Ïåðåéäåì òåïåðü ê óðàâ-
íåíèþ îòíîñèòåëüíî � 3 :
� � �3 3 3 2 1
1
5
2
1
2
( , ) ( , ) � . . ( , )z z z z P w z z zs
s
� � � � � ��
�
ctg ê ñ
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
��
�
2
� �
�
�
�
�
�
�
�
� ��
�
�
�
1
6
2 1
1
5
3
2 1
1
5
z g z zs
s
s
s
ê ñ. . ( , ), (12)
â êîòîðîì P3 — ïðîåêòîð â ïðîñòðàíñòâå ìíîãî÷ëåíîâ îòíîñèòåëüíî z , z íà
ïðîñòðàíñòâî èõ ôîðì ïîðÿäêà 3. Î÷åâèäíî, ÷òî ëåâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà (12) ðàâ-
íà íóëþ äëÿ ëþáîé ôîðìû � 3 òðåòüåé ñòåïåíè. Âûáåðåì òåïåðü g z zs2 1� ( , ) ,
s � 1 2 5, , ,� , òàê, ÷òîáû êàæäûé ìîíîì â (12), óäîâëåòâîðÿþùèé îäíîìó èç óñëî-
âèé (11), áûë íóëåâûì. Îòñþäà îäíîçíà÷íî íàõîäèì S 1-ýêâèâàðèàíòíûå ôîðìû
g z zs2 1� ( , ), s � 1 2 5, , ,� . Çàòåì â ñîîòâåòñòâèè ñ ìåòîäîì Ãàëåðêèíà ïîëàãàåì
� 3 0� . Îáîçíà÷èì d w� ��
�
�
�
�
�
1
2
3
4
2ctg � . Â ñèñòåìå (10) âûïîëíèì ïðåîáðàçîâàíèå
zd z1 2/ � .  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì S 1-ýêâèâàðèàíòíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé. Ïðè
ýòîì îíà ÿâëÿåòñÿ ãðàäèåíòíîé ñèñòåìîé óðàâíåíèé
�
( , , )
, , ,z
V z z
z
ss
s
2 1
5
2 1
1 5�
�
� �
�
�
�
� ,
(13)
â êîòîðîé
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5 65
V z z
k
k k
s k
s5
1
5
2 1
2
2 1
1
5
2 1
21
2
2� � �
�
�
�
�
� �
� �
�
�| | ( ) | |
( )
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
��
1
2
2 1
4| |z k
� � � � � � �
1
3 1
3
3 3
3
9 1
2
3 5 5 7 7 9 3
2
1 5 1 7( ) ( ) (z z z z z z z z z z z z z z z z ) �
� � � � � �z z z z z z z z z z z z z z z z z z
5
2
1 9 3 7 1 3 5 7 7 9 1 3 5 9 3 5 72 2( ) ( ) ( z9 ) . .� ê ñ , (14)
à
�
( )
( ) ( ( ) )
2 1
21 2 1
k
k
� � � � � , k � 1 5, ,� . Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ãðàäèåíòíîñòü ñèñòå-
ìû (10) óñòàíîâëåíà çäåñü â ðåçóëüòàòå ïðîâåäåííîãî àíàëèçà.
Ïåðåõîäèì òåïåðü ê áèôóðêàöèîííîìó àíàëèçó ñèñòåìû (13). Ïðè óáûâàíèè
ïàðàìåòðà
è åãî ïðîõîæäåíèè ÷åðåç 1 èç íóëåâîãî ðåøåíèÿ (13) îòâåòâëÿåòñÿ
âåùåñòâåííàÿ ñòàöèîíàðíàÿ òî÷êà A x x1
1
1 2 1 1( ) ( )( ( ), ( ))/
� � . Çäåñü x1 ( )
�
� ��( ( ), , , ),x kk1 2 1 1 5
� , à x k1 2 1, ( )�
, k � 1 5, ,� , — ãëàäêèå ôóíêöèè
. Ëåãêî âè-
äåòü, ÷òî
x x kk1 1 1 2 11 0 2 3 4 5 1 0, ,( ) , ( ) , , , , ,
� � � � �� . (15)
Ñîãëàñíî ïðîâåäåííîìó ÷èñëåííîìó àíàëèçó ôóíêöèè | ( ) |
,
x
k1 2 1�
, k � 1 5, ,� ,
óáûâàþò íà ( , )0 1 , ïðè÷åì ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà ( ) ( ),� ��
�1 01
1 2 1
k
kx
, k � 1,�.
� , 5. Îòìåòèì, ÷òî â ñîîòâåòñòâèè ñ S 1-ýêâèâàðèàíòíîñòüþ ñèñòåìû (13) òî÷êà
A1 ( )
ïîðîæäàåò îêðóæíîñòü ñòàöèîíàðíûõ òî÷åê {
1
1 2 1/ ( )(exp( ( ) ) ( )im x� ,
exp ( ( ) ) ( )),� � �im x S
1 1}.
Èòàê, ïðè óáûâàíèè ïàðàìåòðà
è åãî ïðîõîæäåíèè ÷åðåç 1 èç íóëåâîãî ðåøå-
íèÿ ñèñòåìû (13) áèôóðöèðóåò ñòàöèîíàðíîå ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå
~
( , )
( ) ~ ( , ) �
( )
/
� �
�
1
1
1 2
1
12�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�� �
d
y w
d
ctg
�
�
�
�
�
�
�
~ ( , )y
1
2 �
, (16)
ãäå
~ ( , ) ( )cos( ) ,,y x k q
k
k1
1
5
1 2 1 2 1�
� � �� � �
�
�
.
 ñèëó (15) ~ ( , )y1 �
— êâàçèãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, åñëè
�� �( , )1 1 , ãäå � � 0 —
ìàëî. Ïðè çíà÷èòåëüíîì îòêëîíåíèè
îò 1 ôóíêöèÿ ~ ( , )y1 �
òåðÿåò êâàçèãàð-
ìîíè÷åñêóþ ôîðìó, ïåðåõîäÿ ïðè
� 0 íà ïðîìåæóòêå [ , ]0 � èçìåíåíèÿ �
â êîíòðàñòíóþ ñòðóêòóðó ñ äâóìÿ êðèâîëèíåéíûìè ïîëî÷êàìè. Èìååò ìåñòî
ðàâåíñòâî
~ ( , ) , cos , cos , cos , cosy
1
0 1083 0 352 3 0 2 5 0132 7� �� � � �� � � � 0 093 9, cos �.
Íåñëîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ôóíêöèþ ~ ( , )y1 0� ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïðèáëè-
æåííîå ðàçëîæåíèå sign(cos )� ïî ñèñòåìå ôóíêöèé cos ( )2 1k � �, k � 1 5, ,� .
Ðàññìîòðèì òåïåðü âîïðîñ î ñòåïåíè òî÷íîñòè ðåøåíèÿ
~
( ,� �
�1 óðàâíåíèÿ (6),
óäîâëåòâîðÿþùåãî ðàâåíñòâó (16). Ïîäñòàâèì
~
( , )� �
1 , � �� q , â óðàâíåíèå (6).  ðå-
çóëüòàòå íåñëîæíîãî àíàëèçà ïðèõîäèì ê çàêëþ÷åíèþ, ÷òî
~
( ,� �
�1 óäîâëåòâîðÿåò
óðàâíåíèþ (6) ïî íîðìå ïðîñòðàíñòâà H ñ òî÷íîñòüþ
c c x x x
i J k
i j k1 1
3 2
2 1
9
1 1 1
/
, , ,( ) ( ) | ( ) ( ) ( ) |�
� � �
ïî íåâÿçêå. Çäåñü ck , k � 1 2, , — ïîëîæèòåëüíûå ïîñòîÿííûå.
66 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5
Ïðè óáûâàíèè
è ïðîõîæäåíèè ÷åðåç 3 2� èç íåóñòîé÷èâîãî íóëåâîãî ðåøåíèÿ
ñèñòåìû (13) îòâåòâëÿåòñÿ âåùåñòâåííàÿ òî÷êà A x x3
3
1 2 3 3( ) ( )( ( ), ( ))/
� � , ãäå
x x x3
3 1 3 30 0 0( ) ( , ( ), , , ( )), ,
� . Î÷åâèäíî, x3 1 1, ( )
� ., x3 3 0, ( )
� ,
� ��3 02 . Îò-
ìåòèì, ÷òî ôóíêöèè | ( ) |,x k3
, k � 1 3, , óáûâàþò íà ïðîìåæóòêå ( , )0 3 2� , ïðè÷åì
x3 1 0, ( )
� , x3 3 0, ( )
� .
Êàê è âûøå, òåïåðü ìîæíî óêàçàòü ïðèáëèæåííîå ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå
~
( , )� �
3 óðàâíåíèÿ (6), êîòîðîå îòâåòâëÿåòñÿ èç íóëÿ ïðè óáûâàíèè
è åãî ïðîõîæ-
äåíèè ÷åðåç 3 2� . Çàìåòèì, îäíàêî, ÷òî
~
( , )� �
3 ìîæíî ïîëó÷èòü èç
~
( , )� �
1 ñ ïî-
ìîùüþ ïðèíöèïà ïîäîáèÿ [25, 22]. Ïðèâåäåì â ýòîé ñâÿçè îáùèé ðåçóëüòàò. Îáî-
çíà÷èì � �
2 1k� ( , ), k � 2 3, , ,� ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå (6), êîòîðîå îòâåòâëÿåòñÿ èç
íóëÿ ïðè óáûâàíèè
è åãî ïðîõîæäåíèè ÷åðåç ( )2 1 2k � � . Íåïîñðåäñòâåííîé ïðî-
âåðêîé óáåæäàåìñÿ, ÷òî èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî
� �
� �
2 1 1
22 1 2 1 2 3k k k k� � � � �( , ) (( ) , ( ) ), , ,� , (17)
â êîòîðîì � �
� �
1 1( , )
~
( , )� . Ñîãëàñíî [26] è ïðîâåäåííîìó íèæå àíàëèçó íà
óñòîé÷èâîñòü ñóùåñòâóåò ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå � �
1 ( , ) óðàâíåíèÿ (6), îïðåäå-
ëåííîå íà ïðîìåæóòêå ( , )01 èçìåíåíèÿ
è ñîõðàíÿþùåå íà íåì ýêñïîíåíöèàëü-
íóþ îðáèòàëüíóþ óñòîé÷èâîñòü.
3. ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ
~
( , ),
~
( , )� �
� �
1 3
Äëÿ èññëåäîâàíèÿ íà óñòîé÷èâîñòü ðåøåíèÿ
~
( , )� �
1 îáðàòèìñÿ ê âîïðîñó îá
óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíîé òî÷êè A1 ( )
ñèñòåìû (13). Óêàçàííàÿ òî÷êà ðîæäàåò-
ñÿ è ñîõðàíÿåò ýêñïîíåíöèàëüíóþ îðáèòàëüíóþ óñòîé÷èâîñòü íà âñåì ïðîìåæóò-
êå ( , )0 1 èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðà
. Äëÿ îáîñíîâàíèÿ ýòîãî ïðåäëîæåíèÿ ðàññìîòðèì
ñèñòåìó óðàâíåíèé ðàçìåðíîñòè 8, ïîëîæèâ â (13) z9 0� . Ïðåäïîëîæèì òåïåðü,
÷òî ïðè ïðîõîæäåíèè
çíà÷åíèÿ 1 îòâåòâëÿþùàÿñÿ èç íóëÿ òî÷êà îñòàëàñü áû íà
êîîðäèíàòíîé îñè. Òîãäà îíà ïîòåðÿëà áû óñòîé÷èâîñòü ïðè
� 0 01721, . Åå «îò-
õîä» îò êîîðäèíàòíîé îñè ïîçâîëÿåò åé ñîõðàíèòü óñòîé÷èâîñòü. Èíòåðåñíî, ÷òî
1
0 01721 2 311 2127 2 02 1993 1916 1� � � � � � �( , )( , , , , , , , , , , ,712 1115 0174, , , , )� �
ÿâëÿåòñÿ ñïåêòðîì óñòîé÷èâîñòè ýòîé òî÷êè, à ïðè � � 0, � � 0 ( )
� 0 èì ÿâëÿåòñÿ
�( , , , , , , , , , , , , ,� � � � � � �2 408 2 225 2184 1968 1803 1600 1482, , )� 0 094 .
Òàê êàê ðàññìàòðèâàåìàÿ ñòàöèîíàðíàÿ òî÷êà ïîðîæäàåò çàìêíóòóþ êðèâóþ ñòà-
öèîíàðíûõ òî÷åê ñèñòåìû, òî åå ñïåêòð èìååò îäíî íóëåâîå ñîáñòâåííîå çíà÷å-
íèå. Â ýòîé ðîëè ïðè
� 0,
� 0 017210, âûñòóïàþò �� 0 094, ,
1
0 01721 01740� ( , ) ,
ñîîòâåòñòâåííî.
Ïîä÷åðêíåì òàêæå, ÷òî ñòàöèîíàðíàÿ òî÷êà, îòâåòâëÿþùàÿñÿ èç íóëÿ ïðè ïðî-
õîæäåíèè
çíà÷åíèÿ
� �3 2 óêàçàííîé ñèñòåìû ðàçìåðíîñòè 8, ðîæäàåòñÿ è îñòà-
åòñÿ íåóñòîé÷èâîé íà âñåì ïðîìåæóòêå ( , )0 3 2� èçìåíåíèÿ
.
Ðàññìîòðèì òåïåðü âîïðîñ îá óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ
~
( , )� �
1
óðàâíåíèÿ (6), âîñïîëüçîâàâøèñü óðàâíåíèåì ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ. Èòàê, ëèíåà-
ðèçóåì (6) íà ðåøåíèè
~
( , )� �
1 .  ïîëó÷åííîì óðàâíåíèè âûïîëíèì çàìåíó � �� q .
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì óðàâíåíèå
� � � � � � � ���t Q q w Q Q� � � � � � ��
�
�
�
�
�( ) ( � )
~
(
~
)1
1
2
1
2
1 1 1
2ctg Q1� , � � � � �( ) ( )� �2 q ,
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5 67
ãäå Q1� � � � �( ) ( )� � . Ðàññìîòðèì â ïðîñòðàíñòâå H ñîîòâåòñòâóþùóþ ýòîìó
óðàâíåíèþ ñïåêòðàëüíóþ çàäà÷ó
� � � � � ��
�
�
�
�
�� � � � � � � ���( ) ( � )
~
(
~
)1
1
2
1
2
1 1 1
2
1Q q w Q Q Qctg � � ,
(18)
� � � � �( ) ( )� �2 q .
Ó÷òåì òåïåðü, ÷òî äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåé åé íåâîçìóùåííîé çàäà÷è íóëü ÿâëÿåòñÿ
ñîáñòâåííûì ÷èñëîì áåñêîíå÷íîé êðàòíîñòè. Ïðè ýòîì span {exp( ( ) )}i k2 1� � ,
k � � �0 1 2, , ,� , — ñîîòâåòñòâóþùåå ñîáñòâåííîå ïðîñòðàíñòâî. Ïîñòðîèì ðåøå-
íèÿ çàäà÷è (18) â âèäå
� � �� � � � � �� � �
�
(b b2 1 (2 1)k k
k
i k i k pexp ( ) exp( ( )) )2 1 2 1
0
3
1 2( , ) ( , )�
�
� �p � ,
� � �s s1 2( ) ( ) � .
Ïîäñòàâèì ýòè ðàâåíñòâà â (18). Â ðåçóëüòàòå îòíîñèòåëüíî p1 âûâîäèì óðàâíåíèå
� � �p Q p1 1
� �
�
�
�
�
� � �� �ctg (b b2 1 (2�
( ) ~( , ) exp ( )
/
w
d
y i kk
�
�1
1 2
2 1 k
k
i k�
�
� �
1) exp( ( )) )2 1
0
3
� .
Îòñþäà íàõîäèì
p w
d
y i kk1
1
1 2
1
2
2 1� � �
�
�
�
�
� ��ctg (b2 1�
( ) ~( , ) exp ( )
/
�
� � � �� �
�
b (2 1)k
k
i kexp( ( )) )2 1
0
3
� .
Èç íåîáõîäèìîãî óñëîâèÿ ðàçðåøèìîñòè óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî p2 âûâîäèì, ÷òî
( , , , )b b b T
1 1 7� �� — ñîáñòâåííûé âåêòîð ìàòðèöû óñòîé÷èâîñòè óêàçàííîé ñèñòå-
ìû ðàçìåðíîñòè 8 â òî÷êå ( ( ), ( ))x x1 1
, à s1 ( )
— ñîîòâåòñòâóþùåå ñîáñòâåííîå
çíà÷åíèå. Ïðè óêàçàííîì âûáîðå ( , , , )b b b T
1 1 7� �� è s1 ( )
óðàâíåíèå îòíîñèòåëü-
íî p2 îñòàåòñÿ íåðàçðåøèìûì â ïðîñòðàíñòâå H. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ èñïîëüçîâàíèåì
ãàëåðêèíñêîé ñõåìû ìåòîäà âîçìóùåíèé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è (18). Î÷åâèäíî òàêæå,
÷òî äëÿ óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ
~
( , )� �
1 óðàâíåíèÿ (6) íåîáõîäèìî,
÷òîáû óêàçàííàÿ ìàòðèöà áûëà óñòîé÷èâîé. Òî÷íåå, ÷òîáû âñå åå ñîáñòâåííûå çíà-
÷åíèÿ, êðîìå îäíîãî ïðîñòîãî íóëåâîãî, áûëè îòðèöàòåëüíûìè. Òàêèì îáðàçîì,
ïîäòâåðæäàåòñÿ öåëåñîîáðàçíîñòü ïåðåõîäà îò óðàâíåíèÿ (6) ê ãðàäèåíòíîé ñèñòåìå
(8) ïðè àíàëèçå íà óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ
~
( , )� �
1 .
Ïåðåéäåì òåïåðü ê îäíîìó èç öåíòðàëüíûõ âîïðîñîâ — óñòîé÷èâîñòü ðå-
øåíèÿ � 3 óðàâíåíèÿ (6). Îáðàòèìñÿ â ýòîé ñâÿçè ê âîïðîñó îá óñòîé÷èâîñòè ñòàöè-
îíàðíîé òî÷êè A3 ( )
ãðàäèåíòíîé ñèñòåìû (8). Ðàçìåðíîñòü íåóñòîé÷èâîãî ìíîãî-
îáðàçèÿ òî÷êè A3 ( )
âáëèçè òî÷êè áèôóðêàöèè
� �3 2 , î÷åâèäíî, ðàâíÿåòñÿ äâà.
Íàéäåì ñïåêòð òî÷êè A3 ( )
. Äëÿ ýòîãî ïîíàäîáÿòñÿ êâàäðàòè÷íûå ôîðìû:
W x
k k
k k3 1
1 2
4
2 1
2
3 2 1 3 1
21
2
2,
,
, ,
( , ) ( ) ( ( )) (�
� �
� � �
� �
� �
))�
� � � �( )( ( ) ( ) ( )) (
, , , ,� � � �
� �
1 5 1 7 3 1
2
3 1 3 3 5 7 3 12 2x x x x ) ( ),x3 3
,
W3 9 1
2
2
2
3 3 3
2
4
21
2
1, ,( , ) (( ) ( ))�
� � � � �� � � � � � � � �
� � � �( ( ) ( ) ( ))( ) ( )
, , , , ,x x x x x
3 1
2
3 1 3 3 1 3 2 4 3 1 32 2
� � � �
3 1 4 2 3( )( )
� � � �� ,
68 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5
ãäå �
3 2 1 2 1 3, ( )
( ) ( ) / ( )s s� �
� � � , s �1 3 4 5, , , . Îáîçíà÷èì B
W
3 1
2
3 1
2,
,
( )
( , )
� �
��
� ,
B
W
3 9
2
3 1
2,
,
( )
( , )
� �
��
� . Íåñëîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ñïåêòð òî÷êè A3 ( )
ðàâåí
{ ( ( )), ( ( )), ( ( ))}, , ,� � ��
�
�
B B B3 1 3 1 3 9 . Çäåñü, êàê îáû÷íî, �( )B îáîçíà÷àåò
ñïåêòð ìàòðèöû B. À îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî õàðàêòåð óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàð-
íîé òî÷êè A3 ( )
ãðàäèåíòíîé ñèñòåìû (8) íà âñåì ïðîìåæóòêå ( , )0 3 2� èçìå-
íåíèÿ
îïðåäåëÿåòñÿ êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé W3 1, ( , )�
, ãäå � �R 3 . Òàêèì îá-
ðàçîì, ñòàöèîíàðíàÿ òî÷êà A3 ( )
ãðàäèåíòíîé ñèñòåìû (8) ýêñïîíåíöèàëüíî
îðáèòàëüíî óñòîé÷èâà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà
W3 1, ( , )�
ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ. Ñîãëàñíî ïðîâåäåííîìó ÷èñëåííîìó
àíàëèçó êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà W3 1, ( , )�
ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåí-
íîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
� ( , ),0 3 1 . Çäåñü
3 1 0 0367, ,� . Îòìåòèì,
3
0 0367 2 45943 157572 0 02018� ( , )( , , , , , ) — ñïåêòð ìàòðèöû B3 1 0 0367, ( , ) , ñïåêòð æå
ìàòðèöû B3 9 0, ( ) ðàâåí � ( , , , , , )2 0967348 1721817 13470184 .
Î÷åâèäíî, ñïðàâåäëèâî ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî � �3 3�
~
, ãäå
~
( , )
( ) ~ ( , ) �
( ) ~
/
� �
�
3
3
1 2
3
32�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
d
y w
d
ctg y
3
2 ( , )�
, (19)
~ ( , ) ( )cos ( )cos, ,y x x3 3 1 3 33 9�
�
�� � .
Îòìåòèì, ÷òî èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî ~ ( , , ) , cos , cosy
3
0 0367 10323 3 0 0732 9� � �� � .
Ïîñòðîèì òåïåðü ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (6) â âèäå (9), ãäå
z im z i s ssexp( ( ) ) ( exp ( ( ) ), , , )� � � ��� �2 1 2 1 1 8� . Ðàññóæäàÿ, êàê è âûøå, ïðèõîäèì
ê S 1-ýêâèâàðèàíòíîé ãðàäèåíòíîé ñèñòåìå óðàâíåíèé
�
( , , )
z
V z z
z
s
s
2 1
8
2 1
�
�
� �
�
�
, s � 1 8,... , . (20)
Ïðåäñòàâëåíèå ïîòåíöèàëüíîé ôóíêöèè V8 îïóñòèì.
Ïðè óáûâàíèè
è ïðîõîæäåíèè ÷åðåç çíà÷åíèå 3 2� èç íåóñòîé÷èâîãî òðè-
âèàëüíîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû (20) îòâåòâëÿåòñÿ âåùåñòâåííàÿ òî÷êà. Êàê è âûøå, îáî-
çíà÷èì åå A x x3
3
1 2 3 3( ) ( )( ( ), ( ))/
� � , ãäå x x x x3
3 1 3 3 3 50 0 0( ) ( , ( ), , ( ), , ( )), , ,
� .
ßñíî, ÷òî x3 1 1, ( )
� , x k3 0, ( )
� , k � 3 5, ,
� ��3 02 , ïðè ýòîì x3 3 0, ( )
� ,
x3 5 0, ( )
� . Íåñëîæíî òåïåðü óáåäèòüñÿ, ÷òî äëÿ îðáèòàëüíîé ýêñïîíåíöèàëüíîé
óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíîé òî÷êè A3 ( )
ñèñòåìû (20) íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî,
÷òîáû êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà
W x x
k
k k3 1
5
1
5
2
3 3 1
2
3 3
21
2
2
, , , ,
( , ) ( � ( ) ( ( ) (�
� �
� � � �
�
) ( ))
,
� �x
3 5
2
� � � � � �( )( ( ) ( ) ( )
, , ,� � � � � � � �
1 2 1 3 2 4 3 5 3 1
2
3 1 3 32 2x x x x3 3 3 5, ,( ) ( ))
x �
� � � � �2 1 4 1 5 2 3 3 1 3 3 3 1 3 5( )( ( ) ( ) ( ) ( )), , , ,� � � � � �
x x x x
� � �2 22 5 3 4 3 1 3 5 4 5 3 3 3 5( ) ( ) ( ) ( ) ( ),, , , ,� � � �
� �
x x x x
â êîòîðîé � ( )
( )
( )
,�
3 1
1
3
�
�
�
, � ( )
( )
( )
,�
3 2
5
3
�
�
�
, � ( )
( )
( )
,�
3 3
7
3
�
�
�
, � ( )
( )
( )
,�
3 4
11
3
�
�
�
,
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5 69
� ( )
( )
( )
,�
3 5
13
3
�
�
�
, áûëà ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííîé. Óêàçàííûé êðèòåðèé óñòîé-
÷èâîñòè èìååò ìåñòî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
� ( , ),0 3 2 . Çäåñü
3 2 0 0367, ,� .
Îòìåòèì, ÷òî
3
0 0367 6 71555 4 97546 2 36450 1534678 0 03� �( , )( , , , , , , , , , 1276) — ñïåêòð
ìàòðèöû � �2
3 1
5 2W
,
( , ) /�
� ïðè
� 0 0367, . Ñïåêòð ýòîé æå ìàòðèöû â íóëå ðàâåí
� ( , , , , , , , , , )2147745 21069288 1848899 1556897 0 94891325 .
Îòìåòèì òàêæå ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî � �3 3�
~
, ãäå
~
� 3 óäîâëåòâîðÿåò ðà-
âåíñòâó (19), à ~ ( , , ) , cos , cos , cosy3 0 0367 10323 3 0 0732 9 0 0056 15� � � �� � � .
Ñîãëàñíî ïðîâåäåííîìó âûøå àíàëèçó ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå � �
3 ( , ) óðàâíå-
íèÿ (6) îáðåòàåò óñòîé÷èâîñòü ïðè óáûâàíèè áèôóðêàöèîííîãî ïàðàìåòðà
è åãî
ïðîõîæäåíèè ÷åðåç êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå
3 0 0367� � , è ñîõðàíÿåò åå íà ( , )0 3
� .
Òî÷íåå ãîâîðÿ, íà ( , )0 3
� ýêñïîíåíöèàëüíî îðáèòàëüíî óñòîé÷èâà îêðóæíîñòü
{ ( , }, / }� �
�3 2� �R Z ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (6). Ïåðåõîä ñòðóêòóðû
� �
3 ( , ) â êëàññ óñòîé÷èâûõ ðåæèìîâ îáñóäèì, ïðèâëåêàÿ ìåõàíèçì êîíêóðåíöèè
ñòðóêòóð [27]. Àíàëèç ìàòðèö
�
�
2
3 1
2
W , ( , )�
�
,
�
�
2
3 1
5
2
W
,
( , )�
�
ïîçâîëÿåò ãîâîðèòü, ÷òî
íà ýòîì ïóòè � �
3 ( , ) ïðåîäîëåâàåò ñîâìåñòíîå âîçäåéñòâèå ñòðóêòóð �1, �5 , �7 ,
à çàòåì ñîâìåñòíîå âîçäåéñòâèå ñòðóêòóð �1, � 5 , � 7 , �11, �13 . Ïðè ýòîì ìîæíî
óòâåðæäàòü ÷òî, ïðåîäîëåâàÿ ñîâìåñòíîå äàâëåíèå �1, � 5 , � 7 , ñòðóêòóðà � 3 îáðå-
òàåò óñòîé÷èâîñòü. Óêàçàííîå âîçäåéñòâèå îïèñûâàåòñÿ âåùåñòâåííîé ãðàäèåíòíîé
ñèñòåìîé
�
� ( , )
�
�
�
s
s
V
� �
�
�
1
2
5 , s � 1 5, ,� , (21)
â êîòîðîé � ( , ) ( , , )V V5 5�
� �
� . Ïðè ýòîì ñòðóêòóðàì � 2 1k� , k � 1 5, ,� , ñîîòâåò-
ñòâóþò ñòàöèîíàðíûå òî÷êè � ( )( )A k2 1�
, k � 1 5, ,� , ãðàäèåíòíîé ñèñòåìû (21), êî-
òîðûå îòâåòâëÿþòñÿ ïðè óáûâàíèè áèôóðêàöèîííîãî ïàðàìåòðà
è åãî ïðîõîæ-
äåíèè ÷åðåç êðèòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ ( )2 1 1k � � , k � 1 5, ,� . Ïîä÷åðêíåì, ÷òî îáðåòå-
íèå ðåøåíèåì � 3 óñòîé÷èâîñòè îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðè
� 3
* òàêîì, ÷òî ñòðóêòóðà
� 7 íå ïîÿâèëàñü. Òåì íå ìåíåå óìåñòíî ãîâîðèòü î ñîâìåñòíîì äàâëåíèè �1,
� 5 , � 7 íà � 3 , òàê êàê îíî íå ñâîäèòñÿ ê âîçäåéñòâèþ �1, � 5 . Õîòÿ äàâëåíèå
ïàðû �1, � 5 â îêðåñòíîñòè
� 3
* è ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëÿþùèì. Ðàçóìååòñÿ, ïðè
çíà÷èòåëüíîì «îòõîäå» ïàðàìåòðà
îò áèôóðêàöèîííîãî çíà÷åíèÿ
� �
3 âîçäåé-
ñòâèå ñòðóêòóð �1, � 5 , � 7 , �11, �13 íà � 3 íå ñâîäèòñÿ ê äàâëåíèþ �1, � 5 , � 7 .
Ñîõðàíåíèå æå óñòîé÷èâîñòè � 3 ïðè ýòîì îáåñïå÷èâàåòñÿ çà ñ÷åò óñëîæíåíèÿ
ôîðìû � 3 , âàæíóþ ðîëü ïðè ýòîì èãðàåò «çàõâàò» íîâûõ ìîä. Èçìåíåíèå ôîð-
ìû � 3 ñ òî÷êè çðåíèÿ îáðåòåíèÿ óñòîé÷èâîñòè íîñèò â îïðåäåëåííîì ñìûñëå
îïòèìàëüíûé õàðàêòåð. Ïðèâëåêàÿ ðàâåíñòâî (17), ïðèõîäèì ê çàêëþ÷åíèþ î
ñâÿçè ýòîãî ÿâëåíèÿ ñ èçìåíåíèåì ôîðìû �1. Óñëîæíåíèå æå ôîðìû �1 åñòåñ-
òâåííî ðàññìàòðèâàòü êàê ìåõàíèçì ñàìîîðãàíèçàöèè ñèñòåìû ïî ñîõðàíåíèþ
óñòîé÷èâîñòè �1 ïðè óáûâàíèè
íà ôîíå óñèëèâàþùåãîñÿ ñîâìåñòíîãî äàâëåíèÿ
âñåé öåïî÷êè � k , k � 3 5, ,� , ñòðóêòóð.
4. ÎÑÍÎÂÍÎÉ ÐÅÇÓËÜÒÀÒ
Ïåðåéäåì ê èññëåäîâàíèþ íà óñòîé÷èâîñòü ðåøåíèÿ � 2 1k� óðàâíåíèÿ (6), ãäå
k � 2 — íåêîòîðûé ôèêñèðîâàííûé íîìåð. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì âîïðîñ îá
óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèÿ � 2 1k� â ñâÿçè ñ äàâëåíèåì íà íåå äèññèïàòèâíûõ ñòðóê-
òóð � 2 1s� , � 4 2 1k s� � , � 4 2 3k s� � , 0 � �s k . Ïåðåõîäèì â ýòîé ñâÿçè ê ïîñòðîåíèþ
ïðèáëèæåííûõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (6) â âèäå (9), ãäå
z im z i k z i k
z
exp( ( ) ) ( exp( ( ) ), exp( ( ) ),
e
� � � �� � �1 2
3
2 1 3 2 1
xp ( ( ) ), exp ( ( ) ), exp( ( ) )i s z i k s z i k s2 1 4 2 1 4 2 34 5� � � � �� � � ).
70 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5
Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó ïðèõîäèì ê ãðàäèåíòíîé ñèñòåìå äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé
�
( , , ),
z
V z z
z
p
k s
p
� �
�
�
, p � 1 5, ,� , (22)
â êîòîðîé ïîòåíöèàëüíàÿ ôóíêöèÿ V z zk s, ( , , )
ïîëó÷àåòñÿ èç ôóíêöèè V z z5 ( , , )
,
îïðåäåëåííîé â (14), ïîñðåäñòâîì çàìåí z z1 3� , z z3 1� , z z5 4� , z z7 5� ,
z z9 2� ,
1 2 1� ��
�
( ) ( )
( )k
,
2 3 2 1� ��
�
( ) ( )
( ( ))k
,
3 2 1� ��
�
( ) ( )
( )s
,
4 4 2 1
( ) ( )
( )
�
� � �k s
,
�
( ) ( )
( )
�
� � �4 2 3k s
. Ïåðåéäåì òåïåðü îò (22) ê ãðà-
äèåíòíîé ñèñòåìå
�
� ( , ),
�
�
�
p
k s
p
V
� �
�
�
1
2
, p � 1 5, ,� , (23)
â êîòîðîé � ( , ) ( , , ), ,V Vk s k s�
� �
� . Ïðè óáûâàíèè áèôóðêàöèîííîãî ïàðàìåòðà
è
åãî ïðîõîæäåíèè ÷åðåç êðèòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ ( )2 1 2s � � , ( )2 1 2k � � , ( )4 2 1 2k s� � � ,
( )4 2 3 2k s� � � , ( ( ))3 2 1 2k � � êàæäûé ðàç èç íóëåâîãî ðåøåíèÿ ãðàäèåíòíîé ñèñòåìû
(23) îòâåòâëÿåòñÿ ñòàöèîíàðíàÿ òî÷êà As( )
, Ak ( )
, A k s2 � ( )
, A Ak s k2 2 3� � ( ), ( )
ñîîòâåòñòâåííî. Èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî A x xk
k
k k( ) ( )( ( ), ( ), , , )/
, ,
� �
1 2
1 2 0 0 0 ,
ãäå ( ( ), ( )), ,x xk k1 2
— ãëàäêîå ïî
ðåøåíèå ñèñòåìû
1 2 0
1
2
1 2 2
2� � � �x x x x ,
(24)
x x x xk2 1
2
2
2
1
32
1
3
0( ( ) )�
� � � � ,
�
k
k
k
( ) �
�
�
1 3
1
2
,
k k� �( )2 1 2 , òàêîå, ÷òî xk , ( )1 1
� , xk , ( )2 0
� ,
� �1 0. Êàê
è âûøå, ïðèõîäèì ê çàêëþ÷åíèþ, ÷òî äëÿ ýêñïîíåíöèàëüíîé óñòîé÷èâîñòè ñòà-
öèîíàðíîé òî÷êè Ak ( )
ãðàäèåíòíîé ñèñòåìû (23) íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî,
÷òîáû êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà
W x xk s
p
p p k k k, , , ,
( , ) ( ( ) ( ) ( ))�
� �
� � � �
�
1
2
2 2
3
5
2
1
2
2
2 �
� � � �( ( ) ( ) ( ))( ) ( )
, , , , ,x x x x x
k k k k k1
2
1 2 3 4 3 5 12 2
� � � �
2 4 5( )
� � ,
ãäå �
3
2 1
2 1
,
( )
( )
( )
( )
( )
k
s
k
�
�
�
�
�
, �
4
4 2 1
2 1
,
( )
( )
( )
( )
( )
k
k s
k
�
� �
�
�
�
, �
5
4 2 3
2 1
,
( )
( )
( )
( )
( )
k
k s
k
�
� �
�
�
�
, áûëà
ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííîé.
Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ óñòîé÷èâîñòè ñòðóêòóðû � 2 1k� íåîáõîäèìî, ÷òîáû îíà
áûëà óñòîé÷èâîé îòíîñèòåëüíî äàâëåíèÿ íà íåå âñåõ òðîåê ñòðóêòóð � 2 1s� ,
� 4 2 1k s� � , � 4 2 3k s� � , 0 � �s k . Ïîñëåäíåå ýêâèâàëåíòíî ïîëîæèòåëüíîé îïðåäå-
ëåííîñòè âñåõ êâàäðàòè÷íûõ ôîðì Wk s, ( , )�
, 0 � �s k . Ñîãëàñíî ïðîâåäåííîìó
àíàëèçó èç ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè Wk k, ( , )�1 �
ñëåäóåò ïîëîæèòåëüíàÿ
îïðåäåëåííîñòü êâàäðàòè÷íûõ ôîðì W
k s,
( , )�
, 0 1� � �s k . Óñòàíîâëåíî, ÷òî
êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà Wk k, ( , )�1 �
ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà íà ïðîìåæóòêå
( , ( ) )0 2 1 32 1k k� � � � , �k � 1, èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðà
. Îòìåòèì â ýòîé ñâÿçè, ÷òî
( )
( ))( , , , , , )
2 1
2 4654 15763 0 0207
k� � — ñïåêòð ìàòðèöû � ��
2
1
2Wk k, ( , ) /�
� ïðè
� � � �( )2 1 32 1k .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5 71
Ïðîâåäåííûå âûøå ïîñòðîåíèÿ îáîñíîâûâàåò ñëåäóþùåå ïðåäëîæåíèå.
Òåîðåìà 1. Ïóñòü h óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (2),
��� �1 2q , à s íå÷åòíî. Ñó-
ùåñòâóåò �0 òàêîå, ÷òî äëÿ 0 2 2
0� � �� � � è
� �( , )0 2s ñóùåñòâóåò ñòàöèîíàðíîå
ðåøåíèå � �
s ( , ), � �� q óðàâíåíèÿ (6). Èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî � �
� �
s s s( , ) ( , )� 1
2 ,
ãäå
� ��
�
��
��
1
1
1 2
1 22,
( )
� , �
( )
�
/
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
d
y w
d
yctg ��
� � �, (( ) )/� �O 2 2 3 2 ,
� ( , ) � ( )cos (( ) )y x kk
k
�
�� �
�
2 1
1
.
Ðåøåíèå � �
1 ( , ) ýêñïîíåíöèàëüíî îðáèòàëüíî óñòîé÷èâî.
Ñóùåñòâóåò ��s ( � )�s � 1 òàêîå, ÷òî � � � �s ( , , ) — íåóñòîé÷èâîå ðåøåíèå, åñëè
�� � � �( � , )s s s3 1 2 2 .
Åñëè
�� � �( , � )0 3 1 2
s s , òî � � � �s ( , , ) — ýêñïîíåíöèàëüíî îðáèòàëüíî óñòîé÷è-
âîå ðåøåíèå.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ñëåäóåò ìåòîäèêå, ðàçâèòîé â [17].
5. ÑËÓ×ÀÉ � � 0
Ðàññìàòðèâàåìûé ñëó÷àé ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ ñ òî÷êè çðåíèÿ ïðåäåëüíîãî ïðè
� � 0 ïîâåäåíèÿ ñòàöèîíàðíûõ ñòðóêòóð óðàâíåíèÿ (6). Êðîìå òîãî, îí ïðåäñòàâ-
ëÿåò è ñàìîñòîÿòåëüíûé èíòåðåñ. Äëÿ ïðîñòîòû îãðàíè÷èìñÿ çàäà÷åé
� ( ) ( )� � � � �� � � � �1 1 1 1Q R Q , � � � � �( ) ( )� �2 , (25)
â êîòîðîé Q1� � � � �( ) ( )� � , � � 0, à R R1 0( ) ( , )� �� . Ôóíêöèÿ R( , )� 0 óäîâëåòâî-
ðÿåò ðàâåíñòâó (8). Çàäà÷ó (25) ðàññìîòðèì â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå H.
Èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå ïðåäëîæåíèå.
Òåîðåìà 2. Ñóùåñòâóåò � 0 0� òàêîå, ÷òî ïðè 0 0� �� � óðàâíåíèå (25) äëÿ
êàæäîãî íàòóðàëüíîãî n � 1èìååò ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå � � � � � �2 1 1 2 1n n� � �( , ) (( ) , ).
Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
� � �
�
� �1
1
1 2
2( , ) ( ( )) (cos )
/
�
�
�
��
�
�
�� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
d
O sign ctg � ( ( ))w
d
O
�
�
1
1
�
�
��
�
�
�� �
�
�
��
�
�
�� , d w1
2 4
3
� �ctg � .
Ðåøåíèå � � �2 1n� ( , ) ýêñïîíåíöèàëüíî îðáèòàëüíî óñòîé÷èâî.
Äîêàçàòåëüñòâî. Íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé óáåæäàåìñÿ, ÷òî ôóíêöèÿ
� ( , ) (cos ) �
/
� � �
�
�
�
1
1
1 2
1
2�
�
�
��
�
�
�� �
d
w
d
sign ctg
óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (25) ñ òî÷íîñòüþ ïîðÿäêà � 2 ïî íåâÿçêå. Ëèíåàðèçóåì
òåïåðü óðàâíåíèå (25) íà ýòîì ïðèáëèæåííîì ðåøåíèè. Â ðåçóëüòàòå â ïðî-
ñòðàíñòâå H âûâîäèì óðàâíåíèå
� ( ) � � ( � )� � � � � � �� � � � � � ��
�
�
�
�
�1
1
2
1 1 1 1 1
2
1Q wQ Q Qctg , � � � � �( ) ( )� �2 .
Ðàññìîòðèì â ïðîñòðàíñòâå H ñîîòâåòñòâóþùóþ ýòîìó óðàâíåíèþ ñïåêòðàëüíóþ
çàäà÷ó
� � � � � ��
�
�
�
�
� �� � � � � � �( ) � � ( � )1
1
2
1 1 1 1
2
1Q wQ Q Qctg , � � � � �( ) ( )� �2 . (26)
72 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5
Íóëåâîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ ñîîòâåòñòâóþùåé íåâîçìóùåííîé çàäà÷è �� � 0)
îòâå÷àåò ñ÷åòíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé sign (cos ( ) )2 1k � � ,
sign (sin ( ) )2 1k � � , k � 0 1 2, , ,� . Äëÿ àíàëèçà ñïåêòðà çàäà÷è (26), ðàñïîëîæåí-
íîãî â îêðåñòíîñòè íóëÿ, âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùåé ñõåìîé ìåòîäà âîçìóùå-
íèÿ. Ïîëîæèì
�
� � � � � � �� � � � � ��2 1
1 2
1 22 1k k x x( , ) (cos ( ) ) ( ) ( )/sign � ,
(27)
� �� � �s s1 2
2
� .
Ïîäñòàâèì çòè ðàâåíñòâà â (26) è ïðèðàâíÿåì çàòåì êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêî-
âûõ ñòåïåíÿõ �1 2/ . Â ðåçóëüòàòå îòíîñèòåëüíî x1 èìååì óðàâíåíèå
� � �
�
�
��
�
�
�� �x Q x w
d
k1 1 1 2 2 1ctg
1
sign sign
1
� (cos ) (cos ( )� �) . (28)
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
x w
d
k1
1 2
2 1� �
�
�
��
�
�
�� �ctg
1
sign sign
1
� (cos ) (cos ( ) )
/
� � .
Èç óñëîâèÿ ðàçðåøèìîñòè óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî x2 íàõîäèì s1 2� � , à çàòåì
x2 0� . Óðàâíåíèå æå îòíîñèòåëüíî x3 èìååò ðåøåíèå x3 0� . Ïåðåõîäÿ çàòåì ê
óðàâíåíèþ îòíîñèòåëüíî x4 è èñïîëüçóÿ åãî óñëîâèå ðàçðåøèìîñòè, íàõîäèì s2 .
Ýòîò ïðîöåññ íåîãðàíè÷åííî ïðîäîëæèì. Çàìåíèì òåïåðü â (27) sign (cos ( ) )2 1k � �
íà sign (sin ( ) )2 1k � � . Êàê è âûøå, ïðèõîäèì ê çàêëþ÷åíèþ, ÷òî è â ýòîì ñëó÷àå
s1 2� � . Ó÷èòûâàÿ òåïåðü, ÷òî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì 1, sign (cos )2k� , sign (sin )2k�
íåâîçìóùåííîé çàäà÷è ñîîòâåòñòâóåò ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå �2, çàêëþ÷àåì, ÷òî ïðè-
áëèæåííîå ðåøåíèå � ( , )� � �1 óðàâíåíèÿ (25) ýêñïîíåíöèàëüíî îðáèòàëüíî óñòîé÷è-
âîå. Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî, óáåæäàåìñÿ, ÷òî ýêñïîíåíöèàëüíî îðáèòàëüíî óñòîé÷è-
âûì ÿâëÿåòñÿ òàêæå è ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå � (( ) , )� � �1 2 1n � , n � 1 2, ,� .
Ïåðåéäåì òåïåðü ê âîïðîñó ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ � � � � � �1 1( , ) � ( , )� . Äëÿ
ýòîãî âûïîëíèì â óðàâíåíèè (25) çàìåíó � � � � �� � � ( , )1 .  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì
óðàâíåíèå
� ( ) � � ( � ) (� � � � � � �� � � � � � ��
�
�
�
�
� �1
1
2
1 1 1 1 1
2
1 0Q wQ Q Q rctg � � � � �, ) ( , , )� r2 ,
� � � � �( ) ( )� �2 ,
â êîòîðîì ôóíêöèè r0 , r2 óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:
|| ( , ) ||r c0 3
2� � �� , r r2 20 0 0( , , ) ( , , )� � � ��� � .
Ïðè ýòîì r2 ( , , )� � � , êàê ôóíêöèÿ � �R, ÿâëÿåòñÿ â îêðåñòíîñòè íóëÿ àíàëèòè÷åñ-
êîé. Ïóñòü
� �0 ( , ) — ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ çàäà÷è (26) òàêàÿ, ÷òî
�0 0 1( , ) � .
Îáîçíà÷èì M ( ) { ( , ), ( , )}�
� �
� �� span 0 1 . Ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ
� �1 ( , ) çàäà-
÷è (26) îïðåäåëåíà â (27). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî r M0 ( , ) ( )� � �� , à r2 ( , , ) :� � � .
M M( ) ( )� �� . Îáîçíà÷èì P1 ( )� ïðîåêòîð â ïðîñòðàíñòâå H íà span { ( , )}
�
1 .
Íåñëîæíî óáåäèòüñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè íåðàâåíñòâà
|| ( ) ( , ) || /P r c1 0 3
5 2� � � �� .
Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à ñóùåñòâîâàíèÿ ñòàöèîíàðíîé òî÷êè çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ äâó-
ìåðíîé çàäà÷åé, à èìåííî çàäà÷åé íà äâóìåðíîì ïðîñòðàíñòâå M ( )� . Ñóùåñòâî-
âàíèå ñòàöèîíàðíîé òî÷êè çàäà÷è (28) ââèäó óêàçàííûõ îöåíîê íà ôóíêöèè
r0 ( , )� � , r2 ( , , )� � � ïðè ìàëûõ � � 0 î÷åâèäíî.
Òåîðåìà äîêàçàíà.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5 73
Èç ïðîâåäåííîãî àíàëèçà ñëåäóåò, ÷òî â óðàâíåíèè (25) ðåàëèçóåòñÿ ÿâëåíèå
ãèïåðáóôåðíîñòè [28], ò.å. ýòî óðàâíåíèå èìååò ñ÷åòíîå ÷èñëî ñòàöèîíàðíûõ ýêñïî-
íåíöèàëüíî îðáèòàëüíî óñòîé÷èâûõ ðåøåíèé. Îòìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå (25) ïðè-
íàäëåæèò êëàññó ñìåøàííûõ ôóíêöèîíàëüíî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé [29].
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Ïîäâîäÿ èòîã, ïîä÷åðêíåì îñíîâíûå ìîìåíòû. Âî-ïåðâûõ, â óðàâíåíèè (6) ïðè
� 0 ðåàëèçóåòñÿ ÿâëåíèå áóôåðíîñòè. Âî-âòîðûõ, êàæäîå îòâåòâëÿþùååñÿ èç
íóëÿ ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6) èìååò êâàçèãàðìîíè÷åñêóþ ôîðìó, êî-
òîðàÿ ïðè óáûâàíèè
ýâîëþöèîíèðóåò, ïðèíèìàÿ ïðè ìàëûõ
âèä êîíòðàñòíîé
ñòðóêòóðû. Â-òðåòüèõ, âîçíèêíîâåíèå áóôåðíîñòè ñâÿçàíî ñ îñîáûì òèïîì âçàè-
ìîäåéñòâèÿ ñòàöèîíàðíûõ ñòðóêòóð.
Óêàçàííûé âûøå òèï âçàèìîäåéñòâèÿ ñòàöèîíàðíûõ ñòðóêòóð ñ äîñòàòî÷íîé
ñòåïåíüþ òî÷íîñòè îòðàæàåò ñëåäóþùèé ïðèíöèï.
Ïðèíöèï 1:3 âçàèìîäåéñòâèÿ ñòàöèîíàðíûõ ñòðóêòóð. Õàðàêòåð óñòîé÷èâîñ-
òè ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ � k , k � 3 5, ,� , óðàâíåíèÿ (6) îïðåäåëÿåòñÿ â ðåçóëüòàòå
âçàèìîäåéñòâèÿ ñ òðîéêàìè ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé � s, � 2k s� , � 2k s� , s k� �1 3 2, , ,� .
Õàðàêòåð âçàèìîäåéñòâèÿ ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ � k óðàâíåíèÿ (6) ñ òðîéêîé
ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé � s, � 2k s� , � 2k s� îïðåäåëÿåòñÿ êàê âçàèìîäåéñòâèå ñòàöèî-
íàðíîé òî÷êè Ak ( )
ñî ñòàöèîíàðíûìè òî÷êàìè As ( )
, A k s2 � ( )
, A k s2 2� � ( )
ãðàäè-
åíòíîé ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (23).
Ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ âîïðîñ î ñóäüáå ïðè ðîñòå K ñòàöèîíàðíûõ ñòðóêòóð,
îáíàðóæåííûõ ïðè ëîêàëüíîì àíàëèçå óðàâíåíèÿ (1). Äàííàÿ ïðîáëåìà, ðàçóìååòñÿ,
ñëîæíàÿ. Ïî-âèäèìîìó, ëîêàëüíûå ñòðóêòóðû ïðè óâåëè÷åíèè K ñîõðàíÿþò óñòîé-
÷èâîñòü è ñòàíîâÿòñÿ íåëîêàëüíûìè ñòðóêòóðàìè ñ èçðåçàííûìè ôîðìàìè òèïà
sign(cos ( ) )2 1k � � , k � 0 1 2, , � . Óêàçàííîå ïîâåäåíèå ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé óðàâ-
íåíèÿ (1) ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ K ìîæíî îæèäàòü è ïðè çíà÷åíèÿõ � ïîðÿäêà 1.
 ñîîòâåòñòâèè ñ [30, 22, 25] ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äèíàìèêà óðàâíåíèÿ (6) êàê ïðè
� � 0, òàê è K �
ïðèîáðåòàåò òóðáóëåíòíûé õàðàêòåð.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. À õ ì à í î â Ñ . À . ,  î ð î í ö î â Ì . À . , È â à í î â  . Þ . Ãåíåðàöèÿ ñòðóêòóð â îïòè÷åñêèõ
ñèñòåìàõ ñ äâóìåðíîé îáðàòíîé ñâÿçüþ: íà ïóòè ê ñîçäàíèþ íåëèíåéíî-îïòè÷åñêèõ àíàëîãîâ íåé-
ðîííûõ ñåòåé // Íîâûå ôèçè÷åñêèå ïðèíöèïû îïòè÷åñêîé îáðàáîòêè èíôîðìàöèè. — Ì.: Íàóêà,
1990. — Ñ. 263–325.
2. H a y a s a k i Y . H i k o s a k a E . , Y a m o m o t o H . , N i s h i d a N . Image processing based on
seededspontaneus optical pattern formation using optoelectronic feedback // Appl. Opt. — 2005. — 125.
— P. 123–141.
3. Ð à ç ã ó ë è í À .  . Çàäà÷à óïðàâëåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèåì àðãóìåíòîâ â ôóíêöèîíàëüíî-äèôôåðåí-
öèàëüíûõ óðàâíåíèÿõ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè — Ì.: ÌÀÊÑ Ïðåññ, 2006. — 152 ñ.
4. R e s i d o r i S . Patterns, fronts and structures in a liquid-crystal-light-valve with optical feedback // Phys-
ics Reports. — 2005. — 416, N 5–6. — P. 201–272.
5. À õ ì à í î â Ñ . À . ,  î ð î í ö î â Ì . À . , È â à í î â  . Þ . Êðóïíîìàñøòàáíûå ïîïåðå÷íûå íåëè-
íåéíûå âçàèìîäåéñòâèÿ â ëàçåðíûõ ïó÷êàõ; íîâûå òèïû íåëèíåéíûõ âîëí, âîçíèêíîâåíèå îïòè-
÷åñêîé òóðáóëåíòíîñòè // Ïèñüìà â ÆÝÒÔ. — 1988. — 147, âûï. 12. — Ñ. 611–614.
6. Ð à ç ã ó ë è í À .  . Îá àâòîêîëåáàíèÿõ â íåëèíåéíîé ïàðàáîëè÷åñêîé çàäà÷å ñ ïðåîáðàçîâàííûì àð-
ãóìåíòîì // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè. — 1993. — 33, ¹ 1. — Ñ. 69–80.
7. Ð à ç ã ó ë è í À .  . Óñòîé÷èâîñòü áèôóðêàöèîííûõ àâòîêîëåáàíèé â íåëèíåéíîé ïàðàáîëè÷åñêîé
çàäà÷å ñ ïðåîáðàçîâàííûì àðãóìåíòîì // Òàì æå. — 1993. — 33, ¹ 10. — Ñ. 1499–1510.
8. Ð à ç ã ó ë è í À .  . Ðîòàöèîííûå âîëíû â îïòè÷åñêîé ñèñòåìå ñ äâóìåðíîé îáðàòíîé ñâÿçüþ // Ìàò.
ìîäåëèðîâàíèå. — 1993. — 5, ¹ 4. — Ñ. 105–119.
9. S k u b a c h e v s k i i A . L . Bifurcation of periodic solution for nonlinear parabolic functional differential
equations arising in optoelectronics // Nonlinear analysis: Theory, Meth.& Appl. — 1998. — 32, N 2. —
P. 261–278
74 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5
10. Ñ ê ó á à ÷ å â ñ ê è é À . Ë . Î áèôóðêàöèè Õîïôà äëÿ êâàçèëèíåéíîãî ïàðàáîëè÷åñêîãî ôóíêöèî-
íàëüíî-äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ // Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. — 1998. — 34, ¹ 10. —
Ñ. 1394–1401.
11. Á å ë à í Å . Ï . Î áèôóðêàöèè ïåðèîäè÷åñêèõ ðåøåíèé â ïàðàáîëè÷åñêîì ôóíêöèîíàëüíî-äèôôåðåí-
öèàëüíîì óðàâíåíèè // Ó÷. çàïèñêè Òàâð. íàö. óí-òà èì. Â.È. Âåðíàäñêîãî. Ñåð. Ìàòåìàòèêà.
Ìåõàíèêà. Èíôîðìàòèêà è Êèáåðíåòèêà. — 2002 — 2. — C. 11–23.
12. Á å ë à í Å . Ï . Áèôóðêàöèÿ ðîæäåíèÿ ïåðèîäè÷åñêèõ ðåøåíèé â ïàðàáîëè÷åñêîé çàäà÷å ñ ïðåîáðà-
çîâàííûì àðãóìåíòîì // Òàì æå. — 2001. — ¹ 1. — Ñ. 24–33.
13. Á å ë à í Å . Ï . , Ë û ê î â à Î . Á . Î áèôóðêàöèè âðàùàþùèõñÿ âîëí â ïàðàáîëè÷åñêîé çàäà÷å ñ ïðå-
îáðàçîâàííûì àðãóìåíòîì // Äîï. ÍÀÍÓ. — 2003. — 1. — Ñ. 7–13.
14. Á å ë à í Å . Ï . Î âçàèìîäåéñòâèè áåãóùèõ âîëí â ïàðàáîëè÷åñêîì ôóíêöèîíàëüíî-äèôôåðåíöèàëü-
íîì óðàâíåíèè // Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. — 2004. — 40, ¹ 5. — C. 645–654.
15. Á å ë à í Å . Ï . , Ë û ê î â à Î . Á . Âðàùàþùèåñÿ ñòðóêòóðû â ïàðàáîëè÷åñêîì ôóíêöèîíàëüíî-äèô-
ôåðåíöèàëüíîì óðàâíåíèè // Òàì æå. — 2004. — 40, ¹ 10. — Ñ. 1348–1357.
16. Á å ë à í Å . Ï . , Ë û ê î â à Î . Á . Áèôóðêàöèè âðàùàþùèõñÿ ñòðóêòóð â ïàðàáîëè÷åñêîì ôóíêöèî-
íàëüíî-äèôôåðåíöèàëüíîì óðàâíåíèè // Íåëiíiéíi êîëèâàííÿ. — 2006. — 9, ¹ 2. — Ñ. 155–169.
17. Â à ñ è ë ü å â à À . Á . , Ê à ù å í ê î Ñ . À . , Ê î ë å ñ î â Þ . Ñ . , Ð î ç î â Í . Õ . Áèôóðêàöèÿ àâòîêî-
ëåáàíèé íåëèíåéíûõ ïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ ìàëîé äèôôóçèåé // Ìàò. ñáîðíèê. — 1986. —
130(172), Â. 4(7). — Ñ. 488–499.
18. × ó ø ê è í Â . À . , Ð à ç ã ó ë è í À . Â . Ñòàöèîíàðíûå ñòðóêòóðû â ôóíêöèîíàëüíî-äèôôåðåí-
öèàëüíîì óðàâíåíèè äèôôóçèè ñ îòðàæåííûì àðãóìåíòîì // Âåñòí. Ìîñêîâ. óí-òà. Ñåð. 15. — 2003.
— ¹ 2. — Ñ. 13–20.
19. Ê à ù å í ê î Ñ . À . Àñèìïòîòèêà ïðîñòðàíñòâåííî íåîäíîðîäíûõ ñòðóêòóð â êîãåðåíòíûõ íåëèíåé-
íî-îïòè÷åñêèõ ñèñòåìàõ // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè. — 1994. — 31, ¹ 3. —
Ñ. 467–473.
20. G r i g o r i e v a E . V . , H a k e n H . , K a s h c h e n k o S . A . , P e l s t e r A . Travelling wave dynamics
in a nonlinear interferometer with spatial field transformer in feedback // Physika D. — 1999. — 125. —
P. 123–141.
21. Ê î ë å ñ î â À . Þ . , Ð î ç î â Í . Õ . Îïòè÷åñêàÿ áóôåðíîñòü è ìåõàíèçìû åå âîçíèêíîâåíèÿ // Òåîð.
è ìàò. ôèçèêà. — 2004. — 140, ¹ 1. — C. 14–28.
22. Ì è ù å í ê î Å . Ô . , Ñ à ä î â í è ÷ è é Â . À . , Ê î ë å ñ î â À . Þ . , Ð î ç î â Í . Õ . Àâòîâîëíîâûå
ïðîöåññû â íåëèíåéíûõ ñðåäàõ ñ äèôôóçèåé. — Ì.: Ôèçìàòëèò, 2005. — 430 ñ.
23. Á å ë à í Å . Ï . Î äèíàìèêå áåãóùèõ âîëí â ïàðàáîëè÷åñêîì óðàâíåíèè ñ ïðåîáðàçîâàíèåì ñäâèãà
ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé // Æóðí. ìàò. ôèç., àíàë., ãåîì. — 2005. — 1, ¹ 1. — Ñ. 3–34.
24. Á à á è í À . Á . , Â è ø è ê Ì . È . Àòòðàêòîðû ýâîëþöèîííûõ óðàâíåíèé. — Ì.: Íàóêà, 1989. —
294 ñ.
25. Ê î ë å ñ î â À . Þ . , Ð î ç î â Í . Õ . Èíâàðèàíòíûå òîðû íåëèíåéíûõ âîëíîâûõ óðàâíåíèé. — Ì.:
Ôèçìàòëèò, 2004. — 408 ñ.
26. Á å ë à í Å . Ï . Áèôóðêàöèÿ äèññèïàòèâíûõ ñòðóêòóð â ïàðàáîëè÷åñêîé çàäà÷å ñ ïðåîáðàçîâàííûì
àðãóìåíòîì è ìàëîé äèôôóçèåé // Äèíàì³÷í³ ñèñòåìè: Ïðàö³ Óêð. ìàò. êîíãðåñó — 2001. — Êè¿â,
²í-ò ìàòåìàòèêè ÍÀÍÓ. — 2003. — Ñ. 20–33.
27. Ã à ï î í î â - Ã ð å õ î â À . Â . , Ë î ì î â À . Ñ . , Î ñ è ï î â Ã . Â . , Ð à á è í î â è ÷ Ì . È . Ðîæäåíèå
è äèíàìèêà äâóìåðíûõ ñòðóêòóð â íåðàâíîâåñíûõ äèññèïàòèâíûõ ñðåäàõ // Íåëèíåéíûå âîëíû.
Äèíàìèêà è ýâîëþöèÿ. ÈÏÔ ÀÍ ÑÑÑÐ — 1989. — Ñ. 61–73.
28. Ê î ë å ñ î â À . Þ . , Ì è ù å í ê î Å . Ô . , Ð î ç î â Í . Õ . Àñèìïòîòè÷åñêèå ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ
ïåðèîäè÷åñêèõ ðåøåíèé íåëèíåéíûõ ãèïåðáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé // Òð. ÌÈÀÍ èì. Â.À. Ñòåêëîâà.
— 1998. — 222. — 192 ñ.
29. Ì û ø ê è ñ À . Ä . Ñìåøàííûå ôóíêöèîíàëüíî-äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ // Ñîâðåìåííàÿ ìàòå-
ìàòèêà. Ôóíäàìåíòàëüíûå íàïðàâëåíèÿ. — 2003. — 4. — Ñ. 5–120.
30. Ð à á è í î â è ÷ Ì . È . Íåëèíåéíàÿ äèíàìèêà è òóðáóëåíòíîñòü // Íåëèíåéíûå âîëíû. Äèíàìèêà è
ýâîëþöèÿ. — ÈÏÔ ÀÍ ÑÑÑÐ, 1989. — Ñ. 50–61.
Ïîñòóïèëà 05.04.2008
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5 75
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-44254 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:10:04Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Белан, Е.П. 2013-05-27T14:16:47Z 2013-05-27T14:16:47Z 2008 Оптическая буферность стационарных структур / Е.П. Белан // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 5. — С. 61-75 . — Бібліогр.: 30 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44254 517.9 ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Оптическая буферность стационарных структур Article published earlier |
| spellingShingle | Оптическая буферность стационарных структур Белан, Е.П. Системный анализ |
| title | Оптическая буферность стационарных структур |
| title_full | Оптическая буферность стационарных структур |
| title_fullStr | Оптическая буферность стационарных структур |
| title_full_unstemmed | Оптическая буферность стационарных структур |
| title_short | Оптическая буферность стационарных структур |
| title_sort | оптическая буферность стационарных структур |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44254 |
| work_keys_str_mv | AT belanep optičeskaâbufernostʹstacionarnyhstruktur |