Проекционная теорема для банаховых и локально выпуклых пространств
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44259 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Проекционная теорема для банаховых и локально выпуклых пространств / В.В. Семенов // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 5. — С. 109-116. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860083106600452096 |
|---|---|
| author | Семенов, В.В. |
| author_facet | Семенов, В.В. |
| citation_txt | Проекционная теорема для банаховых и локально выпуклых пространств / В.В. Семенов // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 5. — С. 109-116. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| first_indexed | 2025-12-07T17:17:50Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 517.98
Â.Â. ÑÅÌÅÍÎÂ
ÏÐÎÅÊÖÈÎÍÍÀß ÒÅÎÐÅÌÀ ÄËß ÁÀÍÀÕÎÂÛÕ
È ËÎÊÀËÜÍÎ ÂÛÏÓÊËÛÕ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂ
1
Êëþ÷åâûå ñëîâà: áèëèíåéíàÿ ôîðìà, ïðåäñòàâëåíèå, ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë, ëè-
íåéíûé îïåðàòîð, òåîðåìà Ëàêñà–Ìèëüãðàìà.
ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÈÅ ÐÅÇÓËÜÒÀÒÛ È ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè îáîáùåííûõ ðåøåíèé ãðàíè÷íûõ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé
ôèçèêè, êàê ïðàâèëî, ñâîäèòñÿ ôóíêöèîíàëüíûìè ìåòîäàìè ê ïðîáëåìå âîçìîæ-
íîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ ëèíåéíûõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèîíàëîâ ñ ïîìîùüþ çàäàí-
íîé áèëèíåéíîé ôîðìû.
Äëÿ ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâ èçâåñòíà êëàññè÷åñêàÿ òåîðåìà Ëàêñà–Ìèëü-
ãðàìà.
Òåîðåìà 1 (Ëàêñ, Ìèëüãðàì). Ïóñòü H — ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî, b — îãðà-
íè÷åííàÿ íà H H� áèëèíåéíàÿ ôîðìà. Åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå c � 0 , ÷òî
c x b x x x H
H
| | | | | ( , )|2 � � � ,
òî äëÿ ëþáîãî f H� ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ýëåìåíò x H� , óäîâëåòâîðÿþùèé
òîæäåñòâó
b x y f y y HH( , ) ( , )� � � . (1)
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1 ñì. â [1, ñ. 134, 135] (âïåðâûå îïóáëèêîâàíà â [2, 3]).
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5 109
1Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå ÃÔÔÈ Óêðàèíû.
� Â.Â. Ñåìåíîâ, 2008
Äàííàÿ òåîðåìà ñòàëà ýôôåêòèâíûì ñðåäñòâîì èçó÷åíèÿ ýëëèïòè÷åñêèõ ãðà-
íè÷íèõ çàäà÷ [4]. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî åñòåñòâåííûå îáîáùåííûå ïîñòàíîâêè ýâî-
ëþöèîííûõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ íå èìåþò âèä òîæäåñ-
òâà (1) (òèïè÷íûå ïîñòàíîâêè ñì. â [5]). Ïîýòîìó Æ.-Ë. Ëèîíñîì áûëà
ñôîðìóëèðîâàíà áîëåå îáùàÿ «ïðîåêöèîííàÿ òåîðåìà», îðèåíòèðîâàííàÿ íà ýâî-
ëþöèîííûå çàäà÷è (âïåðâûå îïóáëèêîâàíà â [6]; ñì. òàêæå ðàáîòó [7], ñîäåðæàùóþ
íåêîòîðîå óñèëåíèå òåîðåìû 2).
Òåîðåìà 2 (Æ.-Ë. Ëèîíñ). Ïóñòü F — ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî, � — ëèíåé-
íîå ïîäïðîñòðàíñòâî F, ñíàáæåííîå íîâûì ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì ( , ) �.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî | | | | | | | |x c x xF � � �� �.
Ïóñòü b F: �
� � — áèëèíåéíàÿ ôîðìà è âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ:
� � �y x b x y F� � ( , ) * ;
� � � � �c b y y c y y1 1
20: | ( , )| | | | |� �.
Òîãäà äëÿ ëþáîãî f ��* ñóùåñòâóåò ýëåìåíò x F� , óäîâëåòâîðÿþùèé òîæäåñòâó
b x y f y y( , ) ( )� � ��.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2 è åå ïðèëîæåíèÿ ñì. â [8, ñ. 382, 383].
Öåëü äàííîé ðàáîòû — ïîëó÷åíèå óñëîâèé ïðåäñòàâèìîñòè ñåìåéñòâ ëèíåé-
íûõ ôóíêöèîíàëîâ è ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ ñ ïîìîùüþ çàäàííîãî áèëèíåéíîãî îïå-
ðàòîðà. Òî÷íåå, ïóñòü E F G, , — ëèíåéíûå òîïîëîãè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà,
b E F G: �
— íåïðåðûâíîå áèëèíåéíîå îòîáðàæåíèå. Âîçíèêàåò âîïðîñ: ïðè êà-
êèõ óñëîâèÿõ íà áèëèíåéíîå îòîáðàæåíèå b äëÿ ïðîèçâîëüíîãî îïåðàòîðà
A L F G� ( , ) ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ òî÷êà x E� òàêàÿ, ÷òî b x y Ay y F( , ) � � � ?
ÐÅÇÓËÜÒÀÒÛ ÄËß ÁÀÍÀÕÎÂÛÕ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂ
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé áàíàõîâûõ ïðîñòðàíñòâ. Âñå ïðîñòðàíñòâà ÿâëÿþòñÿ ïðîñòðà-
íñòâàìè íàä ïîëåì äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. Îáîçíà÷èì B F y F y F1 1( ) : | | | |� � �{ }
çàìêíóòûé åäèíè÷íûé øàð ïðîñòðàíñòâà F.
Ïðåäïîëîæèì âíà÷àëå, ÷òî G � �.  áàíàõîâîì ñëó÷àå ñïðàâåäëèâ ñëåäóþùèé
ðåçóëüòàò [9]. Åãî äîêàçàòåëüñòâî ïðèâîäèì èç ñîîáðàæåíèé óäîáñòâà èçëîæåíèÿ.
Òåîðåìà 3. Ïóñòü E — áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî, F — ðåôëåêñèâíîå áàíàõîâî
ïðîñòðàíñòâî, b — îãðàíè÷åííàÿ íà E F� áèëèíåéíàÿ ôîðìà. Òîãäà ýêâèâàëåíòíû
ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
1. � � � � �
� � �f F x E b x y f y y F
F F
*
,
! : ( , ) , * .
2. à) � � � � �
�
c c x b x y x EE
y B F
0
1
: | | | | | ( , )|
( )
sup ; á) b x y x E y( , ) � � � � �0 0 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ââåäåì îïåðàòîð E F
T�
� * , äåéñòâóþùèé ïî ïðàâèëó
E x Tx b x F� � �� ( , ) .*
Îïåðàòîð T ëèíåéíûé è íåïðåðûâíûé, ïðè÷åì
| | | | | | ( , )| | | ( , )| | | | |* *
( )
Tx b x b x y M x
F F
y B F
E� � �
�
sup
1
.
Ïóñòü âûïîëíåíî óòâåðæäåíèå 1, ò.å. îïåðàòîð T áèåêòèâåí. Ïî òåîðåìå Áàíà-
õà îá îáðàòíîì îïåðàòîðå îí íåïðåðûâíî îáðàòèì, ò.å. � � �c c x TxE F
0: | | | | | | | | * , ÷òî
ðàâíîñèëüíî óñëîâèþ 2à. Óñëîâèå 2á îçíà÷àåò òîòàëüíîñòü R T( ) â F * , ÷òî èìååò
ìåñòî, êîãäà R T F( ) *� .
Îáðàòíî, ïóñòü ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå 2. Èç ñâîéñòâà 2à ñëåäóåò, ÷òî
c x TxE F
| | | | | | | | *� , ò.å. îïåðàòîð T íåïðåðûâíî îáðàòèì íà R T F( ) *� è ëèíåéíîå
ìíîãîîáðàçèå R T( ) çàìêíóòî â F *. Ïîñêîëüêó R T( ) òîòàëüíî â F * (ñâîéñòâî 2á), òî,
ó÷èòûâàÿ ðåôëåêñèâíîñòü F, ïîëó÷àåì R T F( ) .*�
Òåîðåìà äîêàçàíà.
110 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5
Çàìå÷àíèå 1. Åñëè E — ðåôëåêñèâíîå áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî, à F — áàíàõî-
âî, òî óñëîâèÿ 1 è 2 òåîðåìû 3 òàêæå ðàâíîñèëüíû. Åñëè ñ ïîìîùüþ ôîðìû b îäíî-
çíà÷íî ïðåäñòàâèìû âñå ýëåìåíòû, êàê E * , òàê è F * , òî ïðîñòðàíñòâà E è F ðåôëåê-
ñèâíû [9].
Ïóñòü òåïåðü G — êîíå÷íîìåðíîå áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî (dimG n� ). Ôèêñèðó-
åì íåêîòîðûé áàçèñ { }e e Gn1 , . . . , � . Åñëè b E F G: �
— íåïðåðûâíûé áèëèíåé-
íûé îïåðàòîð, òî ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèå
b x y b x y e x E y F
k
n
k k( , ) ( , ) , ,� � �
�
�
1
,
ãäå b E Fk : �
� — íåïðåðûâíûå áèëèíåéíûå ôîðìû.
Òåîðåìà 4. Ïóñòü E — áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî, F — ðåôëåêñèâíîå áàíàõîâî
ïðîñòðàíñòâî, G êîíå÷íîìåðíî (dimG n� ), b E F G: �
— íåïðåðûâíûé áèëèíåé-
íûé îïåðàòîð. Òîãäà ýêâèâàëåíòíû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
1. � � � � � � �A L F G x E b x y Ay y F( , ) ! : ( , ) .
2. à) � � �
�
�
��
� �
�c c x b x yE
y y B F
k
k
n
k
n
0
1 1 1
: | | | | ( , )
, . . . , ( )
sup
{ }
�
�
�� � �x E;
á) b x y x E y k nk
k
n
k k( , ) , ,
�
� � � � � � �
1
0 0 1 .
Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ ðàññóæäåíèé, ïîäîáíûõ èñïîëüçîâàí-
íûì ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 3, ñ ó÷åòîì èçîìîðôíîñòè áàíàõîâûõ ïðîñòðàíñòâ
L F G( , ) è F F F
n
* * *. . .� � �
ðàç
� ���� ����
.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà G — áåñêîíå÷íîìåðíîå áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî ñ áà-
çèñîì Øàóäåðà ( )en . Ïóñòü b E F G: �
— íåïðåðûâíûé áèëèíåéíûé îïåðàòîð,
òîãäà äëÿ îïåðàòîðà b ìîæåì çàïèñàòü ïðåäñòàâëåíèå
b x y b x y e x E y Fk
k
k( , ) ( , ) , ,� � �
�
�
�
1
,
ãäå b E Fk : �
� — íåïðåðûâíûå áèëèíåéíûå ôîðìû.
Îáîçíà÷èì K F G( , ) ìíîæåñòâî âñåõ âïîëíå íåïðåðûâíûõ ëèíåéíûõ îïåðàòî-
ðîâ, äåéñòâóþùèõ èç ïðîñòðàíñòâà F â G, ò.å. íåïðåðûâíûõ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ,
îòîáðàæàþùèõ îãðàíè÷åííûå ìíîæåñòâà èç F â ïðåäêîìïàêòíûå ìíîæåñòâà
ïðîñòðàíñòâà G.
Òåîðåìà 5. Ïóñòü E F, — ðåôëåêñèâíûå áàíàõîâû ïðîñòðàíñòâà, G — áàíàõî-
âî ïðîñòðàíñòâî ñ áàçèñîì Øàóäåðà ( )en , b E F G: �
— íåïðåðûâíûé áèëèíåé-
íûé îïåðàòîð. Òîãäà ýêâèâàëåíòíû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
1. � � � � � � �A K F G x E b x y Ay y F( , ) ! : ( , ) .
2. à) � � � � �
� �
�n c c x b x yn n E
y y B F
k
k
n
n
� 0
1 1 1
: | | | | ( ,
, . . . , ( )
sup
{ }
k x E)
�
�
��
�
�
�� � � ;
á) � � � � � � � �
�
�n b x y x E y k nk
k
n
k k� ( , ) , ,
1
0 0 1 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Îïðåäåëèì � �n �
b x y b x y e x E y Fn k
k
n
k( , ) ( , ) , ,� � �
�
�
1
.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5 111
ßñíî, ÷òî bn — íåïðåðûâíûé áèëèíåéíûé îïåðàòîð, îòîáðàæàþùèé E F�
â ëèíåéíóþ îáîëî÷êó (ë.î.){ }e en1 , . . . , .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âûïîëíåíî óñëîâèå 1. Ðàññìîòðèì êîíå÷íîìåðíîå ïîäïðîñ-
òðàíñòâî G e en n� ë.î.{ }1 , . . . , . Òîãäà � � � � �A L F G K F G x En( , ) ( , ) ! :
b x y b x y Ay y Fn( , ) ( , )� � � � .
Ïî òåîðåìå 4 äëÿ n �� âûïîëíåíû óñëîâèÿ 2.
Îáðàòíî, ïóñòü âûïîëíåíî óñëîâèå 2. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé îïåðàòîð
A K F G� ( , ) . Îïðåäåëèì � �n � îïåðàòîð A P An n� � , ãäå Pn — ñòàíäàðòíûé ïðî-
åêòîð G íà ë.î.{ }e en1 , . . . , , ò.å. P g e g en
k
n
k G G k�
�
�
�
1
*
,
, * , { }e e Gn1
* * *, . . . , , . . . � —
ñîïðÿæåííàÿ ñèñòåìà ýëåìåíòîâ.
Ïî òåîðåìå 4 � �n � � �! x En : A y b x y y Fn n n� � �( , ) .
Ïîêàæåì, ÷òî ïîñòðîåííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ( )xn îãðàíè÷åíà â ïðîñòðà-
íñòâå E. Èç óñëîâèÿ 2à ñëåäóåò c x b x yn E
y B F
n1 1
1
| | | | | ( , )|
( )
�
�
sup .
Íåîáõîäèìî äîêàçàòü, ÷òî sup sup
n y B F
nb x y
� �
� � �
� 1
1
( )
| ( , )| .
Èç ñõîäèìîñòè | | | | | | | |( , ) ( , )A A A P An L F G n L F G n
� � � �
��
�
� 0 ñëåäóåò, ÷òî
e P A e An1 1
* *
� � �
ðàâíîìåðíî íà B F1 ( ) .
Èìååì � �y B F1 ( )
| ( , )| | , | | , ,*
,
*
,
*
* *b x y e A y e A y e Ayn n G G n G G1 1 1 1�
� �
� �
�
G G G G
e Ay* *,
*
,
| | , |�
�1 .
Çà ñ÷åò óêàçàííîé ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè è îãðàíè÷åííîñòè ìíîæåñòâà B F1 ( )
ïîëó÷àåì
sup sup sup sup
n y B F
n
n y B F
b x y e A
� � � �
�
� �1 1
1 1
( ) ( )
*| ( , )| | , n G G G G
y e Ay� �
� �* *,
*
,
, |1
�
� � � �
�
sup
y B F
G G
e Ay
1
1
( )
*
,
| , |* .
Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî x x En
�0 â òîïîëîãèè �( , )*E E .
Ïóñòü y F� . Ïîñêîëüêó � �k �: E x b x y Ek� �� ( , ) * , èìååì
b x y b x y kk n n k( , ) ( , )
�
�
�� � �0 � .
 òî æå âðåìÿ
b x y e A y Ayk n
k
n
k n n
( , )
�
�� � �
��
1
.
Òîãäà
b x y e Ay kk n n k G G
( , ) ,*
,*
�
�
��
� � �� .
Ñëåäîâàòåëüíî, èìååì
b x y e Ay kk k G G
( , ) ,*
,*0 �
� � �� .
Îòñþäà ïîëó÷àåì Ay b x y y F� � �( , )0 .
Ïîêàæåì åäèíñòâåííîñòü òî÷êè x E0 � . Ïóñòü � � �y F b x y( , ) 0. Òîãäà � �n � :
b x y y Fn ( , ) � � �0 . Èç óñëîâèÿ 2à ñëåäóåò, ÷òî | | | |x E � 0, ò.å. x � 0 .
Òåîðåìà äîêàçàíà.
 ñâÿçè ñ äîêàçàííîé òåîðåìîé âîçíèêàåò åñòåñòâåííûé âîïðîñ.
Çàäà÷à 1. Ïóñòü b l l l: 2 2 2�
— íåïðåðûâíûé áèëèíåéíûé îïåðàòîð. Âñåãäà
ëè ñóùåñòâóåò îïåðàòîð A L l l� ( , )2 2 , íå ïðåäñòàâèìûé ñ ïîìîùüþ îïåðàòîðà b, ò.å.
A b x x l� � �( , ) 2 ?
112 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5
ÐÅÇÓËÜÒÀÒÛ ÄËß ËÎÊÀËÜÍÎ ÂÛÏÓÊËÛÕ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂ
Âñå èçëîæåííîå îáîáùàåòñÿ íà ëîêàëüíî âûïóêëûå ëèíåéíûå òîïîëîãè÷åñêèå
ïðîñòðàíñòâà E, F è G îïðåäåëåííîãî âèäà.
Ïóñòü E — îòäåëèìîå ëîêàëüíî âûïóêëîå ïðîñòðàíñòâî (ë.â.ï.) ñ ñîïðÿæåí-
íûì E * . Áóäåì íàçûâàòü ìíîæåñòâî A E* *� ïî÷òè çàìêíóòûì, åñëè A U o* �
�( , )*E E -çàìêíóòî äëÿ êàæäîé îêðåñòíîñòè íóëÿ U èç E, ãäå U y Eo � �{ * * :
sup }
x U
E E
y x
�
� �*
,
, * 1 — ïîëÿðà ìíîæåñòâà U.
Îïðåäåëåíèå 1. Ïðîñòðàíñòâî E íàçûâàåòñÿ ñîâåðøåííî ïîëíûì, åñëè êàæäîå
ïî÷òè çàìêíóòîå ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî â E * �( , )*E E -çàìêíóòî.
Çàìå÷àíèå 2. Êàæäîå ïðîñòðàíñòâî Ôðåøå ñîâåðøåííî ïîëíî [10, c. 163].
Ïðîñòðàíñòâî E * , ñîïðÿæåííîå ê áàíàõîâó ïðîñòðàíñòâó E, íàäåëåííîå òîïîëîãèåé
�( , )*E E , ñîâåðøåííî ïîëíî [10, c. 179]. Ñèëüíîå ñîïðÿæåííîå ïðîñòðàíñòâî
ê ðåôëåêñèâíîìó ïðîñòðàíñòâó Ôðåøå ñîâåðøåííî ïîëíî [10, c. 180].
Íàïîìíèì, ÷òî áî÷êîé â ë.â.ï. íàçûâàåòñÿ âñÿêîå åãî âûïóêëîå, óðàâíîâåøåí-
íîå, ïîãëîùàþùåå è çàìêíóòîå ïîäìíîæåñòâî. Êàæäîå ë.â.ï. èìååò ôóíäàìåíòàëü-
íóþ ñèñòåìó îêðåñòíîñòåé íóëÿ, ñîñòîÿùóþ èç áî÷åê. Ëîêàëüíî âûïóêëîå ïðîñòðà-
íñòâî íàçûâàåòñÿ áî÷å÷íûì, åñëè êàæäàÿ áî÷êà â íåì ÿâëÿåòñÿ îêðåñòíîñòüþ íóëÿ
[10, ñ. 99].
Èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå ôàêòû [10, c. 170].
Òåîðåìà 6 (îá îòêðûòîì îòîáðàæåíèè). Íåïðåðûâíîå ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå
ñîâåðøåííî ïîëíîãî ïðîñòðàíñòâà íà îòäåëèìîå áî÷å÷íîå ïðîñòðàíñòâî îòêðûòî.
Ñëåäñòâèå 1. Áèåêòèâíîå íåïðåðûâíîå ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå ñîâåðøåííî ïîë-
íîãî ïðîñòðàíñòâà íà îòäåëèìîå áî÷å÷íîå ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì.
Ïóñòü V — ôóíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà çàìêíóòûõ, âûïóêëûõ è óðàâíîâåøåí-
íûõ îêðåñòíîñòåé íóëÿ ïðîñòðàíñòâà E, B — ôóíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà îãðàíè÷åí-
íûõ ïîäìíîæåñòâ ïðîñòðàíñòâà F. Îáîçíà÷èì x xO� � ( ) ôóíêöèîíàë Ìèíêîâñêî-
ãî ìíîæåñòâà O E� .
Òåîðåìà 7. Ïóñòü ë.â.ï. E ñîâåðøåííî ïîëíîå è áî÷å÷íîå, à ë.â.ï. F ïîëóðåô-
ëåêñèâíî, b — íåïðåðûâíàÿ íà E F� áèëèíåéíàÿ ôîðìà. Òîãäà ýêâèâàëåíòíû ñëåäó-
þùèå óòâåðæäåíèÿ.
1. � � � � �
� � �f F x E b x y f y y F
F F
*
,
! : ( , ) , * .
2. à) � � � � � � �
�
O V P B x b x y x EO
y P
: ( ) | ( , )|� sup ;
á) b x y x E y( , ) � � � � �0 0 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññóæäàåì, êàê ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 3. Ââåäåì ëè-
íåéíûé îïåðàòîð E F
T�
� * , äåéñòâóþùèé ïî ïðàâèëó E x Tx b x F� � �� ( , ) * .
Íàäåëèì ïðîñòðàíñòâî F * ñèëüíåéøåé òîïîëîãèåé ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè
�( , )*F F . Îïåðàòîð E F
T�
� * ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì. Äåéñòâèòåëüíî,
{ }P P Bo : � — ôóíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà âûïóêëûõ è óðàâíîâåøåííûõ îêðåñòíîñ-
òåé íóëÿ â ñèëüíîì ñîïðÿæåííîì F * . Ïóñòü P B� , òîãäà ìíîæåñòâî T P o� 1 ( ) âû-
ïóêëîå, óðàâíîâåøåííîå è ïîãëîùàþùåå. Ïîêàæåì, ÷òî T P o� 1 ( ) çàìêíóòî. Òîãäà
èç áî÷å÷íîñòè ïðîñòðàíñòâà E ñëåäóåò, ÷òî T P o� 1 ( ) — îêðåñòíîñòü íóëÿ â E.
Ïóñòü Tx b x P o� �( , ) . Òîãäà sup
y P
b x y
�
�| ( , )| 1, ò.å. � ��y P : | ( , )|b x y � �1. Èç íåïðå-
ðûâíîñòè ôîðìû b ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ îêðåñòíîñòü O òî÷êè x E� , ÷òî
| ( , )|b x y x O� � � � � � ��1 , ò.å. Tx P o��� � � ��x O.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5 113
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî R T F( ) *� è N T( ) �{ }0 . Ïîñêîëüêó ïðîñòðàíñòâî E ñîâåð-
øåííî ïîëíîå, à ïðîñòðàíñòâî F * ïðè íàäåëåíèè ñèëüíåéøåé òîïîëîãèåé ðàâíî-
ìåðíîé ñõîäèìîñòè �( , )*F F áî÷å÷íîå [11, c. 183, 184], îïåðàòîð T ÿâëÿåòñÿ èçî-
ìîðôèçìîì (ñì. ñëåäñòâèå 1) E è F * ñ òîïîëîãèåé �( , )*F F . Óñëîâèå 2á ñëåäóåò
èç ñþðúåêòèâíîñòè îïåðàòîðà T.
Äîêàæåì âûïîëíåíèå óñëîâèÿ 2à. Ïóñòü ìíîæåñòâî O V� . Ïîñêîëüêó îïåðàòîð
T — èçîìîðôèçì E è F * ñ òîïîëîãèåé �( , )*F F , ñóùåñòâóåò òàêîå P B� , ÷òî
P T Oo � ( ) . Èç èíúåêòèâíîñòè îïåðàòîðà T ñëåäóåò T P Oo� �1 ( ) . Î÷åâèäíî, ÷òî
� �O T P
x xo( ) ( )
( )
� � 1 äëÿ ëþáîãî x E� . Ïîêàæåì, ÷òî èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî
�
T P
y P
o x b x y x E� � � �
�
1( )
( ) | ( , )|sup , (2)
÷òî è äîêàçûâàåò òðåáóåìîå.
Ìíîæåñòâî P Fo � * — âûïóêëàÿ óðàâíîâåøåííàÿ îêðåñòíîñòü íóëÿ â ñèëü-
íîì ñîïðÿæåííîì F * . Ìíîæåñòâî T P Eo� �1 ( ) — âûïóêëîå, óðàâíîâåøåííîå è
ïîãëîùàþùåå. Ïóñòü x E� . Ïî îïðåäåëåíèþ � � �
T P î
x� � �
1
0
( )
( ) : ,inf{
x T P o� �� 1 ( )}. Åñëè Tx b x P o� �( , ) � ïðè íåêîòîðîì � � 0 , òî | ( , )|b x y y P� � �� .
Ñëåäîâàòåëüíî, �
T P
y P
î x b x y� �
�
1( )
( ) | ( , )|sup .
Ïóñòü � � 0. Èìååì
1
1
sup
y P
b x y
b x y y P
�
�
� � �
| ( , )|
| ( , )|
�
,
ò.å. Tx b x b x y P
y P
o� � �
�
!
!
"
#
$
$�
( , ) | ( , )|sup � .
Òàêèì îáðàçîì, �
T P o x� �1( )
( ) sup
y P
b x y
�
�| ( , )| �.
Ó÷èòûâàÿ ïðîèçâîëüíîñòü � � 0 è äîêàçàííîå ðàíåå íåðàâåíñòâî, ïîëó÷àåì ðà-
âåíñòâî (2).
Îáðàòíî, ïðåäïîëîæèì âûïîëíåíèå óñëîâèé 2. Ïîêàæåì, ÷òî N T( ) �{ }0 . Ïóñòü
Tx � 0, ò.å. b x y y F( , ) � � �0 . Òîãäà � �O V èìååì �O x( ) � 0 . Ñëåäîâàòåëüíî,
� � �O V x O: .  ñèëó îòäåëèìîñòè ïðîñòðàíñòâà E ïîëó÷àåì, ÷òî x � 0 , ò.å. îïåðàòîð
T èíúåêòèâåí.
Èç óñëîâèÿ 2á ñëåäóåò òîòàëüíîñòü R T( ) â F * . Ïîêàæåì, ÷òî R T( ) — çàìêíó-
òîå ïîäïðîñòðàíñòâî â ñèëüíîì ñîïðÿæåííîì ïðîñòðàíñòâå F * . Òîãäà èç ïîëóðåô-
ëåêñèâíîñòè ïðîñòðàíñòâà F ñëåäóåò R T F( ) .*�
Ïóñòü O V� è
~
O V� : 2
~
Î O� . Ïî óñëîâèþ � �P B: � ~ ( ) | ( , )|
O
y P
x b x y� �
�
sup
� � ���
T P î x x E1( )
( ) . Îòñþäà � � �x T P o1 ( ) ïîëó÷èì, ÷òî 2� �O O
x x( ) ( )~� �
� ���
T P î x1 1
( )
( ) . Åñëè x T P o� � 1 ( ) , òî x O� , ò.å. T P Oo� �1 ( ) . Òàêèì îáðàçîì,
R T P T Oo( ) ( )� � . Ñëåäîâàòåëüíî, T — íåïðåðûâíûé îòêðûòûé (îòíîñèòåëüíî) è
áèåêòèâíûé ëèíåéíûé îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé èç E íà R T( ) . Ïîäïðîñòðàíñòâî
R T( ) ñ òîïîëîãèåé, èíäóöèðîâàííîé �( , )*F F , ñîâåðøåííî ïîëíîå [10, ñ. 166],
à çíà÷èò, çàìêíóòî â F * .
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Ðàññóæäàÿ, êàê ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 4, ïîëó÷àåì èç òåîðåìû 7 ðåçóëü-
òàò äëÿ îïåðàòîðîâ, äåéñòâóþùèõ â êîíå÷íîìåðíîå ë.â.ï.
114 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5
Òåîðåìà 8. Ïóñòü ë.â.ï. E ñîâåðøåííî ïîëíîå è áî÷å÷íîå, à ë.â.ï. F ïîëóðåô-
ëåêñèâíî, G êîíå÷íîìåðíî (dimG n� ), b E F G: �
— íåïðåðûâíûé áèëèíåéíûé
îïåðàòîð. Òîãäà ýêâèâàëåíòíû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
1. � � � � � � �A L F G x E b x y Ay y F( , ) ! : ( , ) .
2. à) � � � � �
�
�
��
�
�� �
�O V P B x b x yO
y y P
k
k
n
k
n
: ( ) ( , )
, . . . ,
� sup
{ }1 1
�� � �x E;
á) b x y x E y k nk
k
n
k k
�
� � � � � � �
1
0 0 1( , ) , , .
Äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 4.
Ðàññìîòðèì ëèíåéíîå òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî G ñ áàçèñîì Øàóäåðà
( )en . Ïóñòü { }e e e Gn1 2
* * * *, , . . . , , . . . � — ñîïðÿæåííàÿ ñèñòåìà ýëåìåíòîâ. Äëÿ
êàæäîãî n�� îïðåäåëåí íåïðåðûâíûé ëèíåéíûé îïåðàòîð
G g P g e g en
k
n
k G G k� �
�
�
��
1
*
,
, * .
Îïåðàòîð Pn ïðîåêòèðóåò âñå ïðîñòðàíñòâî G íà ë.î. { }e e en1 2, , . . . , . Áóäåì
ðàññìàòðèâàòü òàêèå áàçèñû, äëÿ êîòîðûõ ñåìåéñòâî ïðîåêòîðîâ { }Pn ðàâíîñòåïåí-
íî íåïðåðûâíî â ïðîñòðàíñòâå L G G( , ) , ò.å. äëÿ êàæäîé îêðåñòíîñòè íóëÿ O1 èç G
ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü O2 â G òàêàÿ, ÷òî P O On ( )2 1� äëÿ âñåõ n �� . Òàêèå áàçèñû
íàçîâåì ðàâíîñòåïåííî íåïðåðûâíûìè.
Çàìå÷àíèå 3.  áàíàõîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ è ïðîñòðàíñòâàõ Ôðåøå äëÿ áàçèñîâ
Øàóäåðà ñåìåéñòâî ïðîåêòîðîâ { }Pn ðàâíîñòåïåííî íåïðåðûâíî [12, 13].
Òåîðåìà 9. Ïóñòü ë.â.ï. E ðåôëåêñèâíî è ñîâåðøåííî ïîëíîå, à ë.â.ï. F ïîëó-
ðåôëåêñèâíî, G — ëèíåéíîå òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ñ ðàâíîñòåïåííî íåïðå-
ðûâíûì áàçèñîì Øàóäåðà ( )en , b E F G: �
— íåïðåðûâíûé áèëèíåéíûé îïåðà-
òîð. Òîãäà ýêâèâàëåíòíû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
1. � � � � � � �A K F G x E b x y Ay y F( , ) ! : ( , ) .
2. à) � � � � � � � �
� �
�n O V P B x b x y xO
y y P
k
k
n
k
n
� : ( ) ( , )
, . . . ,
� sup
{ }1 1
�E;
á) � � � � � � � �
�
�n b x y x E y k nk
k
n
k k�
1
0 0 1( , ) , , .
Äîêàçàòåëüñòâî. Èìïëèêàöèÿ 1 2� ñëåäóåò èç òåîðåìû 8.
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà 2 1� âîçüìåì ïðîèçâîëüíûé îïåðàòîð A K F G� ( , ) è ðàññìîòðèì
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îïåðàòîðîâ A P A L F Gn n n� �� ( , ) , ãäå G e e en n� ë.î.{ }1 2, , . . . , .
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðîåêòîðîâ ( )Pn ðàâíîñòåïåííî íåïðåðûâíà è ñõîäèòñÿ
ïîòî÷å÷íî ê åäèíè÷íîìó îïåðàòîðó I G G:
. Ñëåäîâàòåëüíî, ( )Pn ñõîäèòñÿ ê I ðàâ-
íîìåðíî íà ïðîèçâîëüíîì ïðåäêîìïàêòíîì ìíîæåñòâå âèäà A P( ), ãäå P B� . Òàêèì
îáðàçîì, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ( )An ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà ïðîèçâîëüíîì
ìíîæåñòâå P B� ê îïåðàòîðó A.
Ïî òåîðåìå 8 � � � �n x En� ! : A y b x y b x y y Fn n n k
k
n
n� � � �
�
�( , ) ( , )
1
.
Äîêàæåì îãðàíè÷åííîñòü â E ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ( )xn , ò.å. � �O V :
sup
n
O nx
�
� � �
�
� ( ) .
Ôèêñèðóåì îêðåñòíîñòü O V� . Èç óñëîâèÿ 2à âûòåêàåò ñóùåñòâîâàíèå òàêîãî
ìíîæåñòâà P B� , ÷òî �Î n
y P
nx b x y n( ) | ( , )|� � �
�
sup 1 � .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5 115
Ñëåäîâàòåëüíî, äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî sup sup
n y P
nb x y
� �
� � �
�
| ( , )|
1
, ÷òî ìîæíî
ñäåëàòü òàêèì æå îáðàçîì, êàê â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 5.
Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî x x En
�0 â òîïîëîãèè �( , )*E E .
Äàëåå, ïðîâåäÿ ðàññóæäåíèÿ, èäåíòè÷íûå èñïîëüçîâàííûì â äîêàçàòåëüñòâå
òåîðåìû 5, ïîëó÷àåì Ay b x y y F� � �( , )0 .
Ïîêàæåì åäèíñòâåííîñòü òî÷êè x E0 � . Ïóñòü � � �y F b x y( , ) 0 . Òîãäà � �n � :
b x y y Fn ( , ) � � �0 . Èç óñëîâèÿ 2à ñëåäóåò, ÷òî � �O V: �O x( ) � 0, ò.å. x � 0 .
Òåîðåìà äîêàçàíà.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ïîëó÷åíî ðÿä óñëîâèé ïðåäñòàâèìîñòè ñåìåéñòâ ëèíåéíûõ
ôóíêöèîíàëîâ è ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ ñ ïîìîùüþ çàäàííîãî áèëèíåéíîãî îïåðà-
òîðà. Ýòè ðåçóëüòàòû ìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿ ñïåöèàëèñòàìè â îáëàñòè òåîðèè
óðàâíåíèé ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè è òåîðèè óïðàâëåíèÿ.  òåîðèè óïðàâëå-
íèÿ çàäà÷è óïðàâëÿåìîñòè ñèñòåì ÷àñòî ñâîäÿò ê âîïðîñó î ïðåäñòàâèìîñòè.
 îïåðàòîðíûõ âàðèàíòàõ (òåîðåìû 5 è 9) èìååòñÿ âàæíîå óñëîâèå ðåôëåêñèâ-
íîñòè ïðîñòðàíñòâà E. Âîçíèêàåò âîïðîñ: ê ÷åìó ïðèâåäåò îòêàç îò ýòîãî óñëîâèÿ?
Ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ ïîñòðîåíèå òåîðèè îáîáùåííûõ ïðåäñòàâëåíèé îïåðàòîðîâ
ñ ïîìîùüþ, íàïðèìåð, ýëåìåíòîâ âòîðîãî ñîïðÿæåííîãî E ** .
Îïåðàòîðíûå òåîðåìû êàñàëèñü ïðåäñòàâëåíèé âïîëíå íåïðåðûâíûõ îïåðàòî-
ðîâ. Èíòåðåñíî òàêæå ïîëó÷èòü ðåçóëüòàòû î ïðåäñòàâëåíèè ïðîèçâîëüíîãî îïåðà-
òîðà L F G( , ) . Âîïðîñ òðèâèàëåí äëÿ ñèòóàöèè, êîãäà L F G K F G( , ) ( , )� . Ïîñëåäíåå
èìååò ìåñòî, íàïðèìåð, â ñëåäóþùèõ ñëó÷àÿõ:
1) F — ïîëóðåôëåêñèâíîå ë.â.ï., G — ïðîñòðàíñòâî Ôðåøå ñ áàçèñîì Øàóäåðà
( )en , â êîòîðîì ñîâïàäàåò ñèëüíàÿ è ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü;
2) F — ìîíòåëåâñêîå ïðîñòðàíñòâî [10, c. 112], G — ïðîñòðàíñòâî Ôðåøå ñ áà-
çèñîì Øàóäåðà ( )en ;
3) F lq� , G lp� , 1� � � � �p q (òåîðåìà Ïèòòà [14]).
Àâòîð áëàãîäàðåí ïðîôåññîðó Þ.È. Ïåòóíèíó çà ðÿä çàìå÷àíèé.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. È î ñ è ä à Ê . Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç. — Ì.: Ìèð, 1967. — 624 ñ.
2.  è ø è ê Ì . È . Î ñèëüíî ýëëèïòè÷åñêèõ ñèñòåìàõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé // Ìàò. ñá. —
1951. — 29. — Ñ. 615–676.
3. L a x P . D . , M i l g r a m N . Parabolic equations. Contributions to the theory of partial differential equa-
tions // Ann. Math. Studies. — 1954. — 33. — P. 167–190.
4. à è ë á à ð ã Ä . , Ò ð ó ä è í ã å ð Í . Ýëëèïòè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè
ïðîèçâîäíûìè âòîðîãî ïîðÿäêà. — Ì.: Íàóêà, 1989. — 463 ñ.
5. Ë ÿ ø ê î Ñ . È . Îáîáùåííîå óïðàâëåíèå ëèíåéíûìè ñèñòåìàìè. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1998. —
471 ñ.
6. L i o n s J . - L . Sur les problemes mixtes pour certains systemes paraboliques dans les ouverts non
cylindriques // Ann. de l’institut Fourier. — 1957. — 7. — P. 143–182.
7. Ê è ñ ë î â Í .  . Ïðîåêöèîííàÿ òåîðåìà è åå ïðèëîæåíèå ê íåîäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì çàäà÷àì //
ÄÀÍ ÑÑÑÐ. — 1982. — 265, ¹ 1. — Ñ. 31–34.
8. Ô ð è ä ì à í À . Óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà. — Ì.: Ìèð, 1968. —
427 ñ.
9. H a ó d e n T . Representation theorems in reflexive Banach spaces // Math. Z. — 1968. — 104. —
Ð. 405–406.
10. Ð î á å ð ò ñ î í À . , Ð î á å ð ò ñ î í  . Òîïîëîãè÷åñêèå âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà. — Ì.: Ìèð, 1967.
— 257 ñ.
11. Ø å ô å ð Õ . Òîïîëîãè÷åñêèå âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà. — Ì.: Ìèð, 1971. — 359 ñ.
12. Ô ó í ê ö è î í à ë ü í û é àíàëèç (Ñåð.: «Ñïðàâî÷íàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ áèáëèîòåêà») / Ðåä. Ñ.Ã. Êðåéí.
— Ì.: Íàóêà, 1972. — 544 ñ.
13. Ï è ÷ À . ßäåðíûå ëîêàëüíî âûïóêëûå ïðîñòðàíñòâà. — Ì.: Ìèð, 1967. — 266 ñ.
14. P i t t H . R . A note on bilinear forms // J. London Math. Soc. — 1936. — 11. — P. 174–180.
Ïîñòóïèëà 14.06.2007
116 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-44259 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:17:50Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Семенов, В.В. 2013-05-27T14:36:56Z 2013-05-27T14:36:56Z 2008 Проекционная теорема для банаховых и локально выпуклых пространств / В.В. Семенов // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 5. — С. 109-116. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44259 517.98 Работа выполнена при финансовой поддержке ГФФИ Украины.
 Автор благодарен профессору Ю.И. Петунину за ряд замечаний. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Проекционная теорема для банаховых и локально выпуклых пространств Article published earlier |
| spellingShingle | Проекционная теорема для банаховых и локально выпуклых пространств Семенов, В.В. Системный анализ |
| title | Проекционная теорема для банаховых и локально выпуклых пространств |
| title_full | Проекционная теорема для банаховых и локально выпуклых пространств |
| title_fullStr | Проекционная теорема для банаховых и локально выпуклых пространств |
| title_full_unstemmed | Проекционная теорема для банаховых и локально выпуклых пространств |
| title_short | Проекционная теорема для банаховых и локально выпуклых пространств |
| title_sort | проекционная теорема для банаховых и локально выпуклых пространств |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44259 |
| work_keys_str_mv | AT semenovvv proekcionnaâteoremadlâbanahovyhilokalʹnovypuklyhprostranstv |