Математическое и компьютерное моделирование динамических процессов в композитных средах
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Дата: | 2008 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44261 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Математическое и компьютерное моделирование динамических процессов в композитных средах / О.Н. Коновалова // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 5. — С. 127-134. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-44261 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Коновалова, О.Н. 2013-05-27T14:41:32Z 2013-05-27T14:41:32Z 2008 Математическое и компьютерное моделирование динамических процессов в композитных средах / О.Н. Коновалова // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 5. — С. 127-134. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44261 004.94:519.633 ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Математическое и компьютерное моделирование динамических процессов в композитных средах Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Математическое и компьютерное моделирование динамических процессов в композитных средах |
| spellingShingle |
Математическое и компьютерное моделирование динамических процессов в композитных средах Коновалова, О.Н. Системный анализ |
| title_short |
Математическое и компьютерное моделирование динамических процессов в композитных средах |
| title_full |
Математическое и компьютерное моделирование динамических процессов в композитных средах |
| title_fullStr |
Математическое и компьютерное моделирование динамических процессов в композитных средах |
| title_full_unstemmed |
Математическое и компьютерное моделирование динамических процессов в композитных средах |
| title_sort |
математическое и компьютерное моделирование динамических процессов в композитных средах |
| author |
Коновалова, О.Н. |
| author_facet |
Коновалова, О.Н. |
| topic |
Системный анализ |
| topic_facet |
Системный анализ |
| publishDate |
2008 |
| language |
Russian |
| container_title |
Кибернетика и системный анализ |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| issn |
0023-1274 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44261 |
| citation_txt |
Математическое и компьютерное моделирование динамических процессов в композитных средах / О.Н. Коновалова // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 5. — С. 127-134. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT konovalovaon matematičeskoeikompʹûternoemodelirovaniedinamičeskihprocessovvkompozitnyhsredah |
| first_indexed |
2025-11-24T05:32:21Z |
| last_indexed |
2025-11-24T05:32:21Z |
| _version_ |
1850843630830354432 |
| fulltext |
ÓÄÊ 004.94:519.633
Î.Í. ÊÎÍÎÂÀËÎÂÀ
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÅ È ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÎÅ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ
ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÏÐÎÖÅÑÑΠ ÊÎÌÏÎÇÈÒÍÛÕ ÑÐÅÄÀÕ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: êîìïüþòåðíîå ìîäåëèðîâàíèå, äèíàìè÷åñêèå çàäà÷è, íåëè-
íåéíûå êîëåáàíèÿ, ìíîãîêîìïîíåíòíûå ñðåäû, êîìïîçèòû, ìåæôàçîâîå âçàè-
ìîäåéñòâèå.
Øèðîêèé êëàññ ïðèêëàäíûõ ïðîáëåì â îáëàñòè ôèçèêè, ìåõàíèêè, òåõíèêè è
äðóãèõ íàóê ñâÿçàí ñ èññëåäîâàíèåì ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí â íåîäíîðîäíûõ
ñðåäàõ. Ðåçóëüòàòû ìíîãî÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ ñâèäåòåëüñòâóþò î òîì,
÷òî ðàçâèòèå êîëåáàòåëüíûõ ïðîöåññîâ â òàêèõ ñðåäàõ â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè
çàâèñèò îò íåîäíîðîäíîñòè èññëåäóåìîãî îáúåêòà. Ýòà íåîäíîðîäíîñòü ìîæåò
áûòü îáóñëîâëåíà êàê êîíñòðóêòèâíûìè îñîáåííîñòÿìè, òàê è íàëè÷èåì â ñðå-
äå ïîñòîðîííèõ âêëþ÷åíèé, ïðèìåñåé, ïóñòîò è ò.ï. Ê òàêèì ñðåäàì îòíîñÿòñÿ
êîìïîçèòíûå ìàòåðèàëû, ñîñòîÿùèå èç íåñêîëüêèõ êîìïîíåíò ñ ðàçëè÷íûìè
ôèçèêî-ìåõàíè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè.
Âàæíûì íàïðàâëåíèåì â ñîâðåìåííîé ìåõàíèêå ÿâëÿåòñÿ ìåõàíèêà ìåæôàç-
íîãî âçàèìîäåéñòâèÿ â êîìïîçèòíûõ ìàòåðèàëàõ. Ìåõàíèêà ìåæôàçíûõ ñëîåâ,
êàê îáëàñòü ìåõàíèêè êîìïîçèòîâ, äîñòèãëà çíà÷èòåëüíûõ ðåçóëüòàòîâ çà ïî-
ñëåäíèå òðèäöàòü ëåò. Ïåðâûå ðàáîòû çàðóáåæíûõ èññëåäîâàòåëåé â ýòîì íà-
ïðàâëåíèè áûëè ïðîèëëþñòðèðîâàíû çíà÷èòåëüíûìè äîñòèæåíèÿìè îòå÷åñòâåí-
íîãî ìàòåðèàëîâåäåíèÿ è ìåõàíèêè äåôîðìèðóåìîãî òâåðäîãî òåëà. Ýòî êàñàåòñÿ
ïðåæäå âñåãî ìàëî èçâåñòíûõ, îäíàêî äîñòàòî÷íî îðèãèíàëüíûõ íà ñåãîäíÿøíèé
äåíü íàó÷íûõ äîñòèæåíèé ïî ïðîãðàììå «Áóðàí».
Îáçîð äîñòèæåíèé ìåõàíèêè ìåæôàçíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ïîñëåäíèõ òðåõ äå-
ñÿòèëåòèé äîñòàòî÷íî ïîäðîáíî èçëîæåí â [1]. Âïåðâûå ïîñòðîåíà ìîäåëü âçàèìî-
äåéñòâèÿ ìåæäó êîìïîíåíòàìè êîìïîçèòíîãî ìàòåðèàëà, êîòîðàÿ àäåêâàòíà
ðåàëüíîé òåõíîëîãè÷åñêîé ñõåìå. Ýòà ìîäåëü ó÷èòûâàåò íàëè÷èå ïðîìåæóòî÷íîãî
(ìåæôàçíîãî ïåðåõîäíîãî) ñëîÿ äîñòàòî÷íî ìàëîé òîëùèíû, îáðàçóþùåãîñÿ â ðå-
çóëüòàòå ìíîãîñòàäèéíûõ (ñëîæíûõ) õèìè÷åñêèõ ðåàêöèé, äèôôóçèè è ðàñòâîðå-
íèÿ, êîòîðûå âîçìîæíû íà ãðàíèöàõ ðàçäåëà êîìïîíåíòîâ. Ôèçèêî-ìåõàíè÷åñêèå
õàðàêòåðèñòèêè òàêîãî ìåæôàçíîãî îáðàçîâàíèÿ çíà÷èòåëüíî îòëè÷àþòñÿ îò õà-
ðàêòåðèñòèê êîíòàêòèðóþùèõ êîìïîíåíò êîìïîçèòíîãî ìàòåðèàëà. Äàííûé ñëîé
èãðàåò ðîëü ôàêòîðà ïåðåäà÷è íàïðÿæåíèé îò îäíîé ôàçû êîìïîçèòíîé ñèñòåìû ê
äðóãîé è îáåñïå÷èâàåò ïðî÷íîñòü è ìîíîëèòíîñòü ìàòåðèàëà â öåëîì. Íàëè÷èå
óêàçàííîãî ìåæôàçíîãî îáðàçîâàíèÿ áóäåò ïðîÿâëÿòüñÿ ïðè ïðîòåêàíèè ëþáûõ
ïðîöåññîâ â êîìïîçèòíûõ ìàòåðèàëàõ, â òîì ÷èñëå è êîëåáàòåëüíûõ.
Áîëüøèíñòâî ñóùåñòâóþùèõ íà äàííûé ìîìåíò èññëåäîâàíèé êîëåáàíèé
êîìïîçèòíûõ ìàòåðèàëîâ âûïîëíÿþòñÿ â ïðåäïîëîæåíèè îòñóòñòâèÿ ãðàíèöû
ðàçäåëà ôàç èëè åå íóëåâîé òîëùèíå. Â ñâÿçè ñ ýòèì âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü
ïðîâåäåíèÿ èññëåäîâàíèé ñ ó÷åòîì ñóùåñòâîâàíèÿ ìåæôàçíîãî îáðàçîâàíèÿ íà
ãðàíèöàõ ðàçäåëà êîìïîíåíòîâ è èçó÷åíèÿ åãî âëèÿíèÿ íà ðàçâèòèå ìåõàíè÷åñ-
êèõ ïðîöåññîâ â êîìïîçèòíîì ìàòåðèàëå. Äëÿ êîëè÷åñòâåííîé îöåíêè óêàçàííûõ
ïðîöåññîâ íåîáõîäèìî îñóùåñòâèòü ñîîòâåòñòâóþùåå ìàòåìàòè÷åñêîå è
êîìïüþòåðíîå ìîäåëèðîâàíèå.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5 127
© Î.Í. Êîíîâàëîâà, 2008
Ñ ó÷åòîì ðåàëüíûõ óñëîâèé ñîçäàíèÿ è ýêñïëóàòàöèè êîìïîçèòíûõ ìàòåðèà-
ëîâ íåîáõîäèìî èññëåäîâàíèå è ÷èñëåííàÿ ðåàëèçàöèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ íåëè-
íåéíûõ ìîäåëåé. Ãëóáîêîå èññëåäîâàíèå òàêèõ çàäà÷ íåâîçìîæíî îñóùåñòâèòü,
íå èñïîëüçóÿ ìåòîäû ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà è âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè.
Ââèäó ÷ðåçâû÷àéíîé ñëîæíîñòè íåîäíîðîäíûõ è íåëèíåéíûõ çàäà÷ â áîëüøè-
íñòâå ñëó÷àåâ íåäîñòàòî÷íî îãðàíè÷èòüñÿ ìåòîäàìè èõ òåîðåòè÷åñêîãî ìàòåìà-
òè÷åñêîãî èññëåäîâàíèÿ. Òàêèå íåëèíåéíûå íåñòàöèîíàðíûå êðàåâûå çàäà÷è íàè-
áîëåå ýôôåêòèâíî èññëåäîâàòü ÷èñëåííûìè ìåòîäàìè ñ èñïîëüçîâàíèåì ñîâðå-
ìåííûõ êîìïüþòåðíûõ òåõíîëîãèé. Ïîñêîëüêó äëÿ íåëèíåéíûõ çàäà÷ ïðîâåñòè
ïðàêòè÷åñêèå ýêñïåðèìåíòû äîñòàòî÷íî ñëîæíî (à èíîãäà è íåâîçìîæíî), òî
åäèíñòâåííûì ñðåäñòâîì ðàñ÷åòà, ïðîãíîçèðîâàíèÿ ïîâåäåíèÿ èëè óòî÷íåíèÿ
íà÷àëüíîé ìîäåëè ÿâëÿåòñÿ ÷èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå.
Íà âàæíîñòü è âîçìîæíîñòü èññëåäîâàíèé íåëèíåéíûõ äèíàìè÷åñêèõ çàäà÷
âïåðâûå îáðàòèë âíèìàíèå Æ.-Ë. Ëèîíñ [2]. Îí ïðåäëîæèë äîñòàòî÷íî îáùèé
ïîäõîä ñ ïðèìåíåíèåì ìåòîäîâ ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà.  ÷àñòíîñòè,
ðàññìàòðèâàåòñÿ íà÷àëüíî-êðàåâàÿ çàäà÷à
�
�
� � �
2
1
2 1
2
1 1 2
u
t
a u u u f� [ , ] , (1)
a u u u2
2
2 1 1 0� � �[ , ] (2)
â îáëàñòè � � [ , ]0 T ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè
u
u
n
1
1 0,
�
�
� , u
u
n
2
2 0,
�
�
� íà ��
(3)
è íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè
u x u x( , ) ( )0 01� ,
�
�
�
u x
t
u x
( , )
( )
0
11 . ( )4
Ýòà ïëîñêàÿ çàäà÷à íåëèíåéíîãî èçãèáà ìåìáðàíû ïðåäñòàâëÿåò ÷àñòíûé ñëó-
÷àé áîëåå îáùåé çàäà÷è èçãèáà îáîëî÷êè (ïëàñòèíû), ò.å. íåèçâåñòíîé èñêîìîé
ôóíêöèåé ÿâëÿåòñÿ ( , , , )u u w t1 2 , ãäå u x t1 ( , ) è u x t2 ( , ) — êîìïîíåíòû äåôîðìà-
öèé â íàïðàâëåíèè îñåé Ox1 è Ox2 ñîîòâåòñòâåííî; w x t( , ) — ôóíêöèÿ ïðîãèáà
ïðè ðàññìîòðåíèè çàäà÷è î êîëåáàíèè îáîëî÷êè (ïëàñòèíû); x x x�
( , )1 2 �; � —
îáëàñòü, çàíÿòàÿ ìåìáðàíîé èëè ïëàñòèíîé; �� — ãðàíèöû ýòîé îáëàñòè;
f x t f( , ) � — ôóíêöèÿ âíåøíèõ óñèëèé; a a1 2, — ïîëîæèòåëüíûå ïîñòîÿííûå âå-
ëè÷èíû; u u01 11, — íàïåðåä çàäàííûå ôóíêöèè; t è [ , ]0 T — âðåìÿ è èíòåðâàë èç-
ìåíåíèÿ âðåìåíè; [ , ]u u D u D u D u D u D D u D D u1 2 1
2
1 2
2
2 2
2
1 1
2
2 1 2 1 1 2 22� � � � � � (ãäå
D
x
i
i
�
�
�
) — îïåðàòîð, îïðåäåëÿþùèé íåëèíåéíîñòü êðàåâîé çàäà÷è.
Äëÿ òàêîé íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è ñôîðìóëèðîâàíà òåîðåìà î ñóùåñòâîâàíèè
è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ â ñîáîëåâñêèõ ïðîñòðàíñòâàõ. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû
ïðîâîäèòñÿ ïóòåì ïîñòðîåíèÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ ñ ïîìîùüþ ìåòîäà Áóáíî-
âà–Ãàëåðêèíà, ïîëó÷åíèÿ àïðèîðíûõ îöåíîê è äîêàçàòåëüñòâà ñóùåñòâîâàíèÿ ïîñëå-
äîâàòåëüíîñòè ïðèáëèæåííûõ ðåøåíèé, ñõîäÿùåéñÿ ê òî÷íîìó ðåøåíèþ çàäà÷è.
Íåîáõîäèìî çàìåòèòü, ÷òî òàêîé ïîäõîä áûë ðàíåå ïðåäëîæåí È.È. Âîðîâè-
÷åì [3] ïðè ðàññìîòðåíèè çàäà÷è î íåëèíåéíûõ êîëåáàíèÿõ ïîëîãîé îáîëî÷êè. Íå-
ëèíåéíûå êîëåáàíèÿ òîíêèõ ïëàñòèí èññëåäîâàëèñü òàêæå Í.Ô. Ìîðîçîâûì [4].
Î÷åâèäíî, ÷òî âñå âûøåóïîìÿíóòûå çàäà÷è ðàññìàòðèâàëèñü òîëüêî äëÿ
èçîòðîïíûõ ìàòåðèàëîâ. Â ðàññìîòðåííûõ ìîäåëÿõ íèêàêèå íåîäíîðîäíîñòè íå
ó÷èòûâàëèñü. Ïîýòîìó äëÿ ïîñòàâëåííîé â íà÷àëå íàñòîÿùåé ñòàòüè çàäà÷è âñå
128 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5
ïîäõîäû, ðàññìîòðåííûå â óïîìÿíóòûõ ëèòåðàòóðíûõ èñòî÷íèêàõ, íå ìîãóò
áûòü èñïîëüçîâàíû.
Íîâûå äèôôåðåíöèàëüíûå ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè äèíàìè÷åñêîãî ðàâíîâå-
ñèÿ íåîäíîðîäíûõ ñðåä ñ ó÷åòîì ïðîèçâîëüíî îðèåíòèðîâàííûõ òîíêèõ âêëþ÷å-
íèé âïåðâûå ïîñòðîåíû â [5]. Äàííûå ìîäåëè îòíîñÿòñÿ ê ïðèíöèïèàëüíî íîâî-
ìó êëàññó çàäà÷ ñ ðàçðûâíûìè ðåøåíèÿìè, â êîòîðûõ âëèÿíèå òîíêèõ âêëþ÷å-
íèé ó÷èòûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ óñëîâèé ñîïðÿæåíèÿ.  ÷àñòíîñòè, àâòîðàìè [5]
ðàññìàòðèâàåòñÿ íåîäíîðîäíàÿ íà÷àëüíî-êðàåâàÿ (íî ëèíåéíàÿ) çàäà÷à äèíàìè-
÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ äâóõ îáëàñòåé: �1 è � 2 , ñîåäèíåííûõ êðèâîé ðàçðåçà,
� � � �i i i iu
x
u
x
u
x
f x t� 1
1
1
1
2
2
1� �
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�� � �
�
( ) ( , )
2
1
2
u
t�
,
� � � �i i i iu
x
u
x
u
x
f x t� 2
2
1
1
2
2
2� �
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�� � �
�
( ) ( , )
2
2
2
u
t�
, (5)
ãäå � �i i, — óïðóãèå ïîñòîÿííûå, � i — ïëîòíîñòü ìàòåðèàëà ñîîòâåòñòâóþ-
ùåé îáëàñòè. Êðîìå òðàäèöèîííîãî çàäàíèÿ êðàåâûõ è íà÷àëüíûõ óñëîâèé
ó÷èòûâàþòñÿ íåîäíîðîäíûå óñëîâèÿ ñîïðÿæåíèÿ íåèäåàëüíîãî êîíòàêòà.
Äëÿ îïåðàòîðíîé ôîðìû ñèñòåìû óðàâíåíèé (5) â [5] ñòðîÿòñÿ ñîîòâåòñòâó-
þùèå èíòåãðàëüíûå ñîîòíîøåíèÿ, êîòîðûå äîïîëíÿþòñÿ ñ ó÷åòîì êðàåâûõ è íà-
÷àëüíûõ óñëîâèé. Ââîäèòñÿ ïîíÿòèå îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ, óñòàíàâëèâàåòñÿ ñó-
ùåñòâîâàíèå åäèíñòâåííîãî ðàçðûâíîãî ðåøåíèÿ íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è. Íà
îñíîâå èñïîëüçîâàíèÿ êëàññîâ ðàçðûâíûõ ôóíêöèé ìåòîäà êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ
(ÌÊÝ) ðàçðàáîòàíû âû÷èñëèòåëüíûå ñõåìû ïîâûøåííîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè
äèñêðåòèçàöèè óêàçàííîé çàäà÷è.
Ñòðåìëåíèå ê áîëåå ïîëíîìó ìîäåëèðîâàíèþ êîëåáàíèé êîìïîçèòíûõ ìàòå-
ðèàëîâ è ýëåìåíòîâ êîíñòðóêöèé èç íèõ, âûÿâëåíèå è èçó÷åíèå òðåõìåðíûõ ýô-
ôåêòîâ â òàêèõ òåëàõ ïðèâîäèò ê íåîáõîäèìîñòè èññëåäîâàíèÿ äèíàìè÷åñêèõ çà-
äà÷ â ïðîñòðàíñòâåííîé ïîñòàíîâêå. Ðåøåíèå òàêèõ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêèìè ìå-
òîäàìè ñîïðÿæåíî ñî çíà÷èòåëüíûìè òðóäíîñòÿìè, îáóñëîâëåííûìè
íåîäíîðîäíîñòüþ ìàòåðèàëà, ñëîæíîñòüþ ñèñòåìû èñõîäíûõ äèôôåðåíöèàëü-
íûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ è êðàåâûõ óñëîâèé íà ãðàíè÷íûõ ïîâåð-
õíîñòÿõ. Ïîýòîìó àêòóàëüíîé ÿâëÿåòñÿ ðåàëèçàöèÿ òðåõìåðíûõ íåñòàöèîíàðíûõ
çàäà÷ ñ ïîìîùüþ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ, ïîçâîëÿþùèõ ïîëó÷àòü ðåøåíèÿ òàêèõ çà-
äà÷ ñ äîñòàòî÷íî âûñîêîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè. Âîçìîæíîñòè ñîâðåìåííîé êîì-
ïüþòåðíîé òåõíèêè, ðàçâèòèå ñóïåðêîìïüþòåðíûõ âû÷èñëåíèé [6] ïîçâîëÿþò
îñóùåñòâëÿòü ìîäåëèðîâàíèå ñëîæíûõ ïðîñòðàíñòâåííûõ äèíàìè÷åñêèõ çàäà÷,
ñîäåðæàùèõ â ñåáå áîëüøèå îáúåìû äàííûõ. Ýôôåêòèâíîñòü ðåøåíèÿ
óêàçàííûõ çàäà÷ ÷àñòî äîñòèãàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ïàðàëëåëüíûõ âû÷èñëåíèé [6].
 ðàáîòå [7] èññëåäîâàíû òðåõìåðíûå äèíàìè÷åñêèå çàäà÷è ñîâðåìåííûìè
ìàòåìàòè÷åñêèìè è êîìïüþòåðíûìè ìåòîäàìè. Ðàññìîòðåíû ýôôåêòèâíûå ÷èñ-
ëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ óêàçàííûõ çàäà÷. Ñ ïîìîùüþ ðàçðàáîòàííûõ ìåòîäîâ
èññëåäîâàíû êîëåáàíèÿ àíèçîòðîïíûõ íåîäíîðîäíûõ óïðóãèõ öèëèíäðîâ ñ
êðóãîâûì è íåêðóãîâûì ïîïåðå÷íûì ñå÷åíèåì.
Ïîäõîä, îïèñàííûé â [5, 7], ïî íàøåìó ìíåíèþ, ÿâëÿåòñÿ íàèáîëåå ãëóáî-
êèì è ñîâðåìåííûì. Íîâóþ òåîðåòè÷åñêóþ ïëàòôîðìó èíôîðìàöèîííûõ òåõíî-
ëîãèé èññëåäîâàíèÿ ïðîöåññîâ â íåîäíîðîäíûõ ñðåäàõ ñîñòàâëÿþò ïîñòðîåííûå
íîâûå ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ñ óñëîâèÿìè ñîïðÿæåíèÿ, îïèñûâàþùèå ïðîöåññû
â ìíîãîêîìïîíåíòíûõ ñðåäàõ; ïîëó÷åííûå êëàññè÷åñêèå îáîáùåííûå çàäà÷è,
îïðåäåëåííûå íà êëàññàõ ðàçðûâíûõ ôóíêöèé; ìåòîäèêà è âû÷èñëèòåëüíûå àëãî-
ðèòìû ïîñòðîåíèÿ ïðèáëèæåííûõ ðåøåíèé íà îñíîâå ÌÊÝ. Ïðèìåðîì ïðîãðàì-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5 129
ìíîé ðåàëèçàöèè äàííîé òåîðåòè÷åñêîé ïëàòôîðìû ÿâëÿåòñÿ àâòîìàòèçèðîâàííàÿ
ñèñòåìà ÍÀÄÐÀ-3Ä, ïðåäíàçíà÷åííàÿ äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîöåññîâ â òðåõìåðíûõ
ìíîãîêîìïîíåíòíûõ òåëàõ ñ ïðîèçâîëüíî ðàñïîëîæåííûìè â ïðîñòðàíñòâå òîíêè-
ìè âêëþ÷åíèÿìè èëè òðåùèíàìè [8].  äàëüíåéøåì èçëîæåíèè áóäåì ïðèäåðæè-
âàòüñÿ ïðåäëîæåííîé â ðàáîòàõ [5, 7] ñõåìû èññëåäîâàíèé.
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ðàññìàòðèâàåòñÿ íåëèíåéíàÿ íåñòàöèîíàðíàÿ íà÷àëü-
íî-êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ êóñî÷íî-íåîäíîðîäíîé îáëàñòè � �T
i
n
i T� �
�
�
1
0( ) [ , ], ãäå
� ( )i — íåîäíîðîäíûå ïîäîáëàñòè òðåõìåðíîé (äâóìåðíîé) îáëàñòè �; [ , ]0 T —
ïðîìåæóòîê èçìåíåíèÿ âðåìåíè êîëåáàíèé t. Òàêèå ïîäîáëàñòè � ( )i áóäóò òðàê-
òîâàòüñÿ â äàëüíåéøåì êàê ïðåäñòàâèòåëüñêèå ýëåìåíòû íåêîòîðîé êîìïîçèòíîé
ñèñòåìû, èìåþùåé àðìèðóþùóþ êîìïîíåíòó F j( ) , êîòîðàÿ ñîåäèíÿåòñÿ ñ ìàò-
ðè÷íûì ìàòåðèàëîì M j( ) ïîñðåäñòâîì
ìåæôàçíîãî ïåðåõîäíîãî ñëîÿ S
FM
j( ) . Âñÿ
îáëàñòü � îãðàíè÷åíà ãðàíèöåé ��, ñîîò-
âåòñòâåííî êàæäàÿ ïîäîáëàñòü èìååò ñâîþ
ãðàíèöó �� ( )i . Çàìåòèì, ÷òî íà êàæäîé
ïîäîáëàñòè ìîãóò çàäàâàòüñÿ óñëîâèÿ ñî-
ïðÿæåíèÿ, íàïðèìåð, àðìèðóþùåé êîìïî-
íåíòû F j( ) ñ ìåæôàçíûì îáðàçîâàíèåì
S
FM
j( ) è ýëåìåíòà ìàòðè÷íîãî ìàòåðèàëà
M j( ) ñ S
FM
j( ) ( j m�1 2, , . . . , ) (ðèñ. 1).
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî âñëåäñòâèå
ðàçáèåíèÿ îáëàñòè � îòäåëüíûå ïîäîáëàñ-
òè � ( )i áóäóò èìåòü ðàçëè÷íûå êðàåâûå
óñëîâèÿ. Ýòî êàñàåòñÿ, â ÷àñòíîñòè, ïîäî-
áëàñòåé, êîòîðûå ðàñïîëàãàþòñÿ âäîëü
ãðàíèöû �� îáëàñòè �. ×òî êàñàåòñÿ ïîäîáëàñòåé, ðàñïîëîæåííûõ âíóòðè îáëàñ-
òè, òî íà èõ ãðàíèöàõ �� ( )i ñîâåðøåííî åñòåñòâåííî çàäàòü êðàåâûå óñëîâèÿ æåñ-
òêîãî ñöåïëåíèÿ, íàïðèìåð (3). Êðîìå òîãî, âûïîëíåííîå ðàçáèåíèå ìîæåò ñî-
äåðæàòü ïîäîáëàñòè, íå èìåþùèå â êà÷åñòâå âêëþ÷åíèÿ àðìèðóþùóþ êîìïîíåí-
òó F . Ïîýòîìó áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî êîëè÷åñòâî ïîäîáëàñòåé � ( )i (i n�1 2, , . . . , ) íå
ñîâïàäàåò ñ ÷èñëîì ìåæôàçíûõ ñëîåâ S
FM
j( ) ( j m�1 2, , . . . , ). Êîìïüþòåðíî-ìàòåìà-
òè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå â äàëüíåéøåì áóäåò ïðîâîäèòüñÿ äëÿ ïîäîáëàñòåé,
èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. 1.
Òàêèì îáðàçîì, îïåðàòîðíûå óðàâíåíèÿ îïèñàííûõ âûøå íà÷àëüíî-êðàåâûõ
çàäà÷ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå [9]
Lu P u u l u l u Su T u T u f u utt� � �( , , , , , ) ( , , , ,( )2
1 2 1 2 1 2 01 1� � � 1 ) ( )6
èëè äëÿ îáîëî÷êè (ïëàñòèíû)
�w P w hw q w q w Sw T w T w Nw m w m w wtt� � �( , , , , , ) ( , , ,( )4
1 2 1 2 1 2 0� 1 11, ).w ( )7
 ïðèâåäåííûõ îïåðàòîðíûõ óðàâíåíèÿõ u x t u x t u x t( , ) ( ( , ), ( , ),� 1 2 u x t3 ( , ))
— âåêòîð ïåðåìåùåíèé, u u u1 2 3, , — åãî ïðîåêöèè íà ñîîòâåòñòâóþùèå êîîðäè-
íàòíûå îñè Ox Ox Ox1 2 3, , ; w x t( , ) — ôóíêöèÿ ïðîãèáà ïðè ðàññìîòðåíèè çàäà÷è
130 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5
Ðèñ. 1. Cõåìà îáúåìíîãî
ïðåäñòàâèòåëüñêîãî ýëåìåíòà êîìïîçèòíîé
î êîëåáàíèè îáîëî÷êè (ïëàñòèíû); P ( )2 è P ( )4 — ñîîòâåòñòâåííî ãàðìîíè÷åñêèé
è áèãàðìîíè÷åñêèé îïåðàòîðû; l l q q1 2 1 2, , , — îïåðàòîðû êðàåâûõ óñëîâèé;
� �1 2, , m w1 , m w2 — çíà÷åíèÿ ýòèõ îïåðàòîðîâ; T T1 2, , w w01 11, — îïåðàòîðû íà-
÷àëüíûõ óñëîâèé è èõ çíà÷åíèÿ; S — îïåðàòîð óñëîâèé ñîïðÿæåíèÿ; f , Nw —
ëèíåéíûé (äëÿ ìåìáðàííîé àíàëîãèè) è íåëèíåéíûé (äëÿ îáîëî÷êè (ïëàñòèíû))
îïåðàòîðû ïðàâûõ ÷àñòåé óðàâíåíèé ðàâíîâåñèÿ.
Âñå âûêëàäêè èç [5] ïîëíîñòüþ ïåðåíîñÿòñÿ íà îïåðàòîðíîå óðàâíåíèå (6).
Ýòî êàñàåòñÿ ïîñòàíîâêè îáîáùåííîé çàäà÷è, åå ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ, ñõîäè-
ìîñòè òàêèõ ïðèáëèæåííûõ ðåøåíèé, èõ îöåíîê â òåðìèíàõ ñîáîëåâñêèõ
ïðîñòðàíñòâ è ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè ÌÊÝ.
Ïîñòðîåíèåì èíòåãðàëüíîãî òîæäåñòâà, êîòîðîå ñîîòâåòñòâóåò îïåðàòîðíîìó
óðàâíåíèþ (7), ââîäèòñÿ ïîíÿòèå îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ w Wm
2 ( )� äëÿ
�
� Wm
2 ( )� (m � 2). Äèôôåðåíöèàëüíûå ñâîéñòâà ñîîòâåòñòâóþùèõ êðàåâûõ çàäà÷
èññëåäóþòñÿ â ñîáîëåâñêèõ ïðîñòðàíñòâàõ Wm
4 ( )� . Îöåíèâàÿ êîýôôèöèåíòû íåëè-
íåéíûõ ñîñòàâëÿþùèõ îïåðàòîðíîãî óðàâíåíèÿ (7), ìîæíî ïîëó÷èòü ñîîòâåòñòâóþ-
ùèå ýíåðãåòè÷åñêèå íåðàâåíñòâà. Èç ýòèõ íåðàâåíñòâ áóäåò âûòåêàòü êîððåêòíîñòü
ïîñòàíîâîê èññëåäóåìûõ íåëèíåéíûõ íåñòàöèîíàðíûõ êðàåâûõ çàäà÷ â ñîáîëåâñêèõ
ïðîñòðàíñòâàõ Wm
l4 � ( )� (l � 0).
Ïðèâåäåì ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè ïîñòàâëåííîé âûøå íåëèíåé-
íîé íåñòàöèîíàðíîé íà÷àëüíî-êðàåâîé çà-
äà÷è äëÿ ïðåäñòàâèòåëüñêîãî ýëåìåíòà êîì-
ïîçèòíîé ñðåäû. ×èñëåííûå èññëåäîâàíèÿ
ïðîâîäèëèñü äëÿ âîëîêíèñòîãî êîìïîçèòíî-
ãî ìàòåðèàëà Al- B, ïðåäñòàâëÿþùåãî ñîáîé
àëþìèíèåâóþ ìàòðèöó, àðìèðîâàííóþ âî-
ëîêíàìè áîðà. Çíà÷åíèÿ ìåõàíè÷åñêèõ
õàðàêòåðèñòèê äëÿ ìàòðèöû M è âîëîêíà F :
— ìîäóëü Þíãà E M � �7 1010 Ïà, êî-
ýôôèöèåíò Ïóàññîíà � M � 0 33, äëÿ ìàòåðè-
àëà ìàòðèöû;
— ìîäóëü Þíãà EF � �42 1010 Ïà, êî-
ýôôèöèåíò Ïóàññîíà � F � 0 23, äëÿ ìàòåðèàëà âîëîêíà.
Ïëîòíîñòü àëþìèíèÿ ñîñòàâëÿëà � M � 2700 3êã ì/ , áîðà — � F �
� 2630 3êã ì/ .
Äëÿ ïðåäñòàâèòåëüñêîãî ýëåìåíòà, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 2, ðåøàëàñü íà-
÷àëüíî-êðàåâàÿ çàäà÷à
� �i iu u u f u t
u
t
� 1 1 2 1 1
2
1
2
� � �
�
�
[ , ] ( , ) ,
� �i iu u u f u t
u
t
� 2 1 2 2 2
2
2
2
� � �
�
�
[ , ] ( , ) , i t�
1 2 3 0 1, , , [ , ], (8)
ãäå [ , ]u u1 2 — îïåðàòîð, îïðåäåëÿþùèé íåëèíåéíîñòü êðàåâîé çàäà÷è.
Áåçðàçìåðíûå çíà÷åíèÿ óïðóãèõ êîíñòàíò è ïëîòíîñòè ìàòðèöû, àðìèðóþ-
ùåé êîìïîíåíòû, è ìåæôàçíîãî ñëîÿ ïðèíèìàëèñü ðàâíûìè ñîîòâåòñòâåííî
�1 0 26� , , �1 0 51� , , �1 0 027� , , �2 1 7� , , � 2 1 45� , , � 2 0 0263� , , �3 0 98� , , � 3 0 98� , ,
� 3 0 02665� , . Äëÿ ìåæôàçíîãî ñëîÿ ýòè çíà÷åíèÿ âû÷èñëÿëèñü ïî ïðàâèëàì òåî-
ðèè ñìåñè ñîîòâåòñòâóþùèõ çíà÷åíèé ìàòðè÷íîãî ìàòåðèàëà è âîëîêíà.
Êðàåâûå è íà÷àëüíûå óñëîâèÿ èìåþò âèä
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5 131
Ðèñ. 2. Ñõåìà äâóìåðíîãî ïðåäñòàâèòåëü-
ñêîãî ýëåìåíòà êîìïîçèòíîãî ìàòåðèàëà
u
x x
i
1 2
0
,
( )
�
�
�
, u
u
tt
t
�
�
�
�
�
�
0
0
0 0, ,
(9)
ãäå �� ( )i — ãðàíèöà ðàññìàòðèâàåìîãî ïðåäñòàâèòåëüñêîãî ýëåìåíòà.
Êðîìå ïðèâåäåííûõ âûøå óñëîâèé, íà ãðàíèöàõ ðàçäåëà ìåæôàçíîãî ñëîÿ ñ ìàò-
ðèöåé è âîëîêíîì çàäàâàëèñü óñëîâèÿ ñîïðÿæåíèÿ íåèäåàëüíîãî êîíòàêòà [5, 10]:
[ ] ,u pn n� � �0 � ,
[ ] , [ ], ( , )
s s s jR u x t� �
�0 { } , (10)
ãäå
j ( j �1 2, ) — ïîâåðõíîñòè êîíòàêòà ìåæôàçíîé îáëàñòè ñ ìàòðèöåé è âî-
ëîêíîì (ñì. ðèñ. 2); [ ]u u un n n� �� � , [ ] s s s� �� � , [ ]u u us s s� �� � ; n — íîð-
ìàëü ê �� i (i �1 2 3, , ); u un s, (� n s, ) — ñîîòâåòñòâåííî íîðìàëüíàÿ è êàñà-
òåëüíàÿ ñîñòàâëÿþùèå âåêòîðà ïåðåìåùåíèé (íàïðÿæåíèé); p — íàïðÿæåíèå
(äàâëåíèå) íà ïîâåðõíîñòÿõ
j ; R � �const 0.
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ïðîâåäåíî çíà÷èòåëüíîå êîëè÷åñòâî ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåí-
òîâ äëÿ ðàçëè÷íûõ õàðàêòåðíûõ ðàçìåðîâ àðìèðóþùåé êîìïîíåíòû F è ìåæôàçíîãî
îáðàçîâàíèÿ S FM . Èññëåäóåòñÿ òàêæå âëèÿíèå íàëè÷èÿ è øèðèíû ìåæôàçíîãî ñëîÿ
íà ôîðìó è äèíàìèêó ëèíåéíûõ è íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé êîìïîçèòíîé ñðåäû.
Ðàññìîòðèì ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ çàäà÷è êîëåáàíèé (8)–(10) êîìïîçèòíîé
ñèñòåìû Al- B ñ äèàìåòðîì âîëîêíà d � 0 4, äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé øèðèíû h
ìåæôàçíîãî ñëîÿ.
Äëÿ âîçìîæíîñòè äàëüíåéøåãî èññëåäîâàíèÿ è ñðàâíåíèÿ âëèÿíèÿ íåëèíåé-
íîñòè íà ôîðìó è äèíàìèêó êîëåáàòåëüíîãî ïðîöåññà ñíà÷àëà íàõîäèëîñü ðåøåíèå
ëèíåéíîé íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è, à çàòåì ñîîòâåòñòâóþùåé íåëèíåéíîé çàäà÷è.
Ïóñòü íà ïðåäñòàâèòåëüñêèé ýëåìåíò êîìïîçèòíîé ñðåäû äåéñòâóåò âíåøíÿÿ
âûíóæäàþùàÿ ñèëà f e
u t
1
1� , f e
u t
2
2� .
Ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ëèíåéíûõ è íåëèíåéíûõ íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷
äëÿ íåêîòîðûõ çíà÷åíèé øèðèíû ìåæôàçíîãî ñëîÿ â ðàçëè÷íûå ìîìåíòû âðåìåíè
èçîáðàæåíû íà ðèñ. 3. Ïîâåðõíîñòè ðåøåíèé ïðèâîäÿòñÿ òîëüêî äëÿ ôóíêöèè u1,
ïîñêîëüêó äëÿ u2 îíè èìåþò àíàëîãè÷íûé âèä. Èç ðèñ. 3 âèäíî, ÷òî ïðè øèðèíå
ìåæôàçíîãî ñëîÿ h � 01, ôîðìà, àìïëèòóäà è äèíàìèêà íåëèíåéíîãî êîëåáàòåëüíî-
ãî ïðîöåññà çíà÷èòåëüíî îòëè÷àþòñÿ îò ëèíåéíîãî ñëó÷àÿ. Òàê, ïðè t � 0 4, ìàêñè-
ìàëüíîå çíà÷åíèå àìïëèòóäû ëèíåéíûõ êîëåáàíèé ñîñòàâëÿåò 0 038, , à íåëèíåéíûõ
— 0 09, , ò.å. ïî÷òè â òðè ðàçà áîëüøå. Ïðè åùå áo ëüøèõ� çíà÷åíèÿõ âðåìåíè t ðàç-
ëè÷èå ñîñòîèò óæå íå òîëüêî â çíà÷åíèè àìïëèòóäû, íî è â ôîðìå êîëåáàíèé.  ìî-
ìåíò âðåìåíè t � 0 8, ðåøåíèå ëèíåéíîé çàäà÷è èìååò ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå â îá-
ëàñòè âîëîêíà è ïðèìûêàþùåãî ê íåìó ìåæôàçíîãî ñëîÿ, ïðèáëèçèòåëüíî ðàâíîå
015, .  ýòîò æå ìîìåíò âðåìåíè ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóþùåé íåëèíåéíîé çàäà÷è òàê-
æå ìàêñèìàëüíî â îáëàñòè àðìèðóþùåé êîìïîíåíòû, íî, êðîìå ýòîãî, èìååò
÷åòûðå ñèììåòðè÷íûõ ëîêàëüíûõ ìàêñèìóìà â îáëàñòè ìàòðèöû. Íàèáîëüøåå çíà-
÷åíèå àìïëèòóäû â äàííîì ñëó÷àå â äâà ðàçà áîëüøå, ÷åì ñîîòâåòñòâóþùåå çíà÷å-
íèå ëèíåéíîé çàäà÷è è ñîñòàâëÿåò 0 3, .  êîíå÷íûé ìîìåíò âðåìåíè t �1 ïðè íåëè-
íåéíûõ êîëåáàíèÿõ ìàêñèìàëüíûå çíà÷åíèÿ ïåðåìåùåíèé íàõîäÿòñÿ â îáëàñòè
ìàòðè÷íîãî ìàòåðèàëà, âáëèçè îò ìåæôàçíîãî ñëîÿ, â îòëè÷èå îò ëèíåéíîé çàäà÷è,
ãäå ìàêñèìóì íàõîäèòñÿ â îáëàñòè âîëîêíà. Ïðè ýòîì çíà÷åíèå ðåøåíèÿ íåëèíåé-
íîé çàäà÷è ïî÷òè â òðè ðàçà ìåíüøå, ÷åì ïðè ëèíåéíûõ êîëåáàíèÿõ.
×èñëåííûå ýêñïåðèìåíòû, ïðîâåäåííûå äëÿ ñîîòíîøåíèÿ äèàìåòðà âîëîêíà
è øèðèíû ìåæôàçíîãî îáðàçîâàíèÿ d h/ � 8, ïîêàçàëè, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå íåëè-
íåéíûé êîëåáàòåëüíûé ïðîöåññ åùå áîëüøå îòëè÷àåòñÿ îò ëèíåéíîãî, ÷åì ïðè
132 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5
ñîîòíîøåíèè d h/ � 4, ðàññìîòðåííîì âûøå (ñì. ðèñ. 3). Äëÿ ñîîòíîøåíèÿ äèà-
ìåòðà âîëîêíà è øèðèíû ìåæôàçíîãî ñëîÿ d h/ �1 íåëèíåéíûå êîëåáàíèÿ ïðàêòè-
÷åñêè íè÷åì íå îòëè÷àþòñÿ îò ëèíåéíûõ. Ïðè ýòîì îäèíàêîâû íå òîëüêî ôîðìà è
äèíàìèêà êîëåáàíèé, íî òàêæå è çíà÷åíèå àìïëèòóäû ïåðåìåùåíèé. Îòëè÷èå ôîð-
ìû è àìïëèòóäû êîëåáàíèé íàáëþäàåòñÿ òîëüêî â åäèíñòâåííûé ìîìåíò âðåìåíè,
êîãäà t � 0 8, . Ïðè ýòîì ðåøåíèå ëèíåéíîé çàäà÷è èìååò ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå â
îáëàñòÿõ àðìèðóþùåé êîìïîíåíòû è ìåæôàçíîãî ñëîÿ è ñîñòàâëÿåò 0 018, . Ñîîòâå-
òñòâóþùåå ðåøåíèå íåëèíåéíîé çàäà÷è èìååò ÷åòûðå ìàêñèìóìà, êîòîðûå â äàííîì
ñëó÷àå ðàñïîëîæåíû â îáëàñòè ìàòðèöû. Ýòî çíà÷åíèå ñîñòàâëÿåò 0 038, è
îêàçûâàåòñÿ ïî÷òè â äâà ðàçà áîëüøå, ÷åì çíà÷åíèå ïðè ëèíåéíûõ êîëåáàíèÿõ.
Êðîìå ðàññìîòðåííûõ âûøå ïëîñêèõ çàäà÷ ïðîäîëüíûõ êîëåáàíèé, íàìè
áûëà ðåàëèçîâàíà ñëåäóþùàÿ òðåõìåðíàÿ çàäà÷à äèíàìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ
ïðåäñòàâèòåëüñêîãî ýëåìåíòà êîìïîçèòíîé ñðåäû (ñì. ðèñ. 1):
� � � �i
k
j
k
i i
k
k
j k
j i
ju
x
u
x x
F
u
t� �
� �
�
�
� �
�
� �
� �
�
�1
3 2
2
1
3 2 2
( )
2
,
i j k t, , , , , [ , ].�
1 2 3 0 1 (11)
Äàííàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé äîïîëíÿëàñü ñîîòâåòñòâóþùèìè íà÷àëüíûìè è
êðàåâûìè óñëîâèÿìè, à òàêæå óñëîâèÿìè ñîïðÿæåíèÿ (10) íà ïîâåðõíîñòÿõ ìåæ-
ôàçíîãî îáðàçîâàíèÿ.
Áåçðàçìåðíûå çíà÷åíèÿ óïðóãèõ êîíñòàíò � � �i i i, , âûáèðàëèñü äëÿ êîìïî-
çèòíîé ïàðû Al- B òàêèìè æå, êàê è â ïðåäûäóùåé çàäà÷å ïëîñêèõ êîëåáàíèé.
Îäèí èç ðåçóëüòàòîâ êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ òðåõìåðíîé çàäà÷è äèíàìè-
÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ ïðèâåäåí íà ðèñ. 4.
Òàêèì îáðàçîì, ïðîâåäåííûå êîìïüþòåðíûå èññëåäîâàíèÿ ñâèäåòåëüñòâóþò
î òîì, ÷òî íàëè÷èå íåëèíåéíûõ ñîñòàâëÿþùèõ â óðàâíåíèÿõ, îïèñûâàþùèõ êî-
ëåáàòåëüíûé ïðîöåññ, çíà÷èòåëüíî èçìåíÿåò õàðàêòåð êîëåáàíèé ïðåäñòàâèòå-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5 133
Ðèñ. 3. Ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå ëèíåéíûõ (à) è íåëèíåéíûõ (á) çàäà÷ äëÿ øèðèíû ìåæôàçíîãî ñëîÿ
h � 0 1, â ðàçëè÷íûå ìîìåíòû âðåìåíè
t � 0 4. t � 08. t �1
t � 0 4. t � 08. t �1
a
á
ëüñêîãî ýëåìåíòà êîìïîçèòíîãî
ìàòåðèàëà.  ðàçëè÷íûõ ñëó÷àÿõ
íåçàâèñèìî îäèí îò äðóãîãî ìîãóò
èçìåíÿòüñÿ ôîðìà, äèíàìèêà èëè
çíà÷åíèå àìïëèòóä ïåðåìåùåíèé.
Ïðè÷åì ýòè èçìåíåíèÿ çàâèñÿò îò
âõîäíûõ äàííûõ íåëèíåéíîé çàäà-
÷è — õàðàêòåðèñòèê ìàòåðèàëîâ,
èç êîòîðûõ îáðàçîâàíà êîìïîçèò-
íàÿ ñèñòåìà, âíåøíåé âûíóæäàþ-
ùåé ñèëû, êðàåâûõ è íà÷àëüíûõ
óñëîâèé, à òàêæå õàðàêòåðíûõ ðàç-
ìåðîâ âîëîêíà è ìåæôàçíîãî ñëîÿ.
Ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ýêñïå-
ðèìåíòîâ ñâèäåòåëüñòâóþò î ñóùåñ-
òâåííîì âëèÿíèè íàëè÷èÿ è øèðè-
íû ìåæôàçíîãî ñëîÿ íà êîëåáàíèÿ
êîìïîçèòíîé ñèñòåìû â öåëîì. Òà-
êèì îáðàçîì, øèðèíà ìåæôàçíîãî îáðàçîâàíèÿ âëèÿåò íå òîëüêî íà õàðàêòåð ëèíåé-
íûõ êîëåáàíèé, íî è íà ôîðìó è äèíàìèêó íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé. Ïðè ýòîì íåîá-
õîäèìî çàìåòèòü, ÷òî â íà÷àëüíûå ìîìåíòû âðåìåíè( , ,t � �01 0 3) ðåøåíèÿ ëèíåéíîé
è ñîîòâåòñòâóþùåé íåëèíåéíîé çàäà÷ ïðàêòè÷åñêè íå ðàçëè÷àþòñÿ. Ñóùåñòâåííûå
îòëè÷èÿ ïðîÿâëÿþòñÿ, íà÷èíàÿ ñ t � 0 4, è äî êîíå÷íîãî ìîìåíòà âðåìåíè.
Ðàññìàòðèâàÿ ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû, ìîæíî ñäåëàòü âûâîä î âëèÿíèè õà-
ðàêòåðíûõ ðàçìåðîâ àðìèðóþùåé êîìïîíåíòû è ìåæôàçíîãî îáðàçîâàíèÿ íà íå-
ëèíåéíûå êîëåáàíèÿ êîìïîçèòíîé ñèñòåìû. ×åì áîëüøåå çíà÷åíèå èìååò ñîîò-
íîøåíèå äèàìåòðà âîëîêíà è øèðèíû ìåæôàçíîãî ñëîÿ d h/ , òåì áîëüøå ïðîÿâ-
ëÿåòñÿ âëèÿíèå ìåæôàçíîãî ñëîÿ íà êîëåáàòåëüíûé ïðîöåññ, ïðè ñîîòíîøåíèè
d h/ �1ëèíåéíûå è íåëèíåéíûå êîëåáàíèÿ ìàëî îòëè÷àþòñÿ îäíî îò äðóãîãî.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ê à þ ê ß . Ô . , Ñ å ð å ä å í ê î  . Ì . ÌåõàíŸêà ìŸæôàçîâî¿ âçàºìî䟿 â êîìïîçèòíèõ
ìàòåð³àëàõ. — ×åðêàñè: Îñåðåäîê íàóêîâîãî ò-âà Ÿì. Ò. Øåâ÷åíêà â ×åðêàñàõ, 2005. — 172 ñ.
2. Ë è î í ñ Æ . - Ë . Íåêîòîðûå ìåòîäû ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ êðàåâûõ çàäà÷. — Ì.: Ìèð, 1972. —
588 ñ.
3. Â î ð î â è ÷ È . È . Î íåêîòîðûõ ïðÿìûõ ìåòîäàõ â íåëèíåéíîé òåîðèè êîëåáàíèé ïîëîãèõ
îáîëî÷åê // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ñåð. ìàòåìàòèêà. — 1957. — 21, ¹ 6. — Ñ. 747–784.
4. Ì î ð î ç î â Í . Ô . Ñóùåñòâîâàíèå ãëàäêîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è î íåëèíåéíûõ êîëåáàíèÿõ
òîíêîé ïëàñòèíû // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè. — 1966. — 6, ¹ 4. — Ñ. 773–776.
5. Ä å é í å ê à Â . Ñ . , Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . Ìîäåëè è ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ â íåîäíî-
ðîäíûõ ñðåäàõ. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 2001. — 606 ñ.
6. Ï å ð å â î ç ÷ è ê î â à Î . Ë . , Ò ó ë ü ÷ è í ñ ê è é Â . Ã . , Þ ù å í ê î Ð . À . Ïîñòðîåíèå è
îïòèìèçàöèÿ ïàðàëëåëüíûõ êîìïüþòåðîâ äëÿ îáðàáîòêè áîëüøèõ îáúåìîâ äàííûõ //
Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2006. — 42, ¹ 4. — Ñ. 117–135.
7. G r i g o r e n k o A . Y a . Numerical analysis of stationary dynamic processes in anisotropic
inhomogeneous cylinders // International Applied Mechanics. — 2005. — 41, N 8. — P. 831–866.
8. Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . , Â å ù ó í î â Â . Â . Èíôîðìàöèîííàÿ
òåõíîëîãèÿ NADRA 3D èññëåäîâàíèÿ ïðîöåññîâ ìíîãîêîìïîíåíòíûõ ãðóíòîâûõ ñðåä //
Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2006. — 42, ¹ 6. — Ñ. 157–174.
9. Ñ å ð å ä å í ê î  . , Ê î í î â à ë î â à Î . Êîìï’þòåðíå ìîäåëþâàííÿ çàäà÷ äèíàì³êè
êîìïîçèò³â ç ì³æôàçîâîþ âçàºìî䳺þ êîìïîíåíò³â // ³ñí. Ëüâ³â. óí-òó. Ñåð. ïðèêëàäíà
ìàòåìàòèêà òà ³íôîðìàòèêà. — 2006. — Âèï. 11. — Ñ. 193–202.
10. Ñ å ð å ä å í ê î  . Ì . , Ê î í î â à ë î â à Î . Ì . Êîìï’þòåðíî-ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ
çàäà÷ äèíàìŸêè ì³æôàçîâî¿ âçàºìî䳿 â êîìïîçèòàõ // ³ñí. Êè¿â. óí-òó. Ñåð. ô³ç.-ìàò. íàóêè.
— 2007. — Âèï. 1. — Ñ. 188–191.
Ïîñòóïèëà 19.12.2007
134 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 5
Ðèñ. 4. Êîìïüþòåðíîå ðåøåíèå çàäà÷è äëÿ êîìïî-
íåíòû u1 â ìîìåíò âðåìåíè t � 0 1,
|