Анализ достоверности компьютерных решений систем линейных алгебраических уравнений с приближенно заданными исходными данными
В работе рассматривается задача взвешенных наименьших квадратов с положительно-определенными весами. Получены погрешности взвешенного нормального псевдорешения для следующих трeх случаев: а) ранг исходной матрицы А сохраняется при ее возмущении; б) ранг возмущенной матрицы больше ранга исходной матр...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44278 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Анализ достоверности компьютерных решений систем линейных алгебраических уравнений с приближенно заданными исходными данными / А.Н. Химич, Е.А. Николаевская // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 6. — С. 83-95. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-44278 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Химич, А.Н. Николаевская, Е.А. 2013-05-27T17:54:55Z 2013-05-27T17:54:55Z 2008 Анализ достоверности компьютерных решений систем линейных алгебраических уравнений с приближенно заданными исходными данными / А.Н. Химич, Е.А. Николаевская // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 6. — С. 83-95. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44278 519.6 В работе рассматривается задача взвешенных наименьших квадратов с положительно-определенными весами. Получены погрешности взвешенного нормального псевдорешения для следующих трeх случаев: а) ранг исходной матрицы А сохраняется при ее возмущении; б) ранг возмущенной матрицы больше ранга исходной матрицы А; в) ранг исходной матрицы больше ранга возмущенной. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Анализ достоверности компьютерных решений систем линейных алгебраических уравнений с приближенно заданными исходными данными Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Анализ достоверности компьютерных решений систем линейных алгебраических уравнений с приближенно заданными исходными данными |
| spellingShingle |
Анализ достоверности компьютерных решений систем линейных алгебраических уравнений с приближенно заданными исходными данными Химич, А.Н. Николаевская, Е.А. Системный анализ |
| title_short |
Анализ достоверности компьютерных решений систем линейных алгебраических уравнений с приближенно заданными исходными данными |
| title_full |
Анализ достоверности компьютерных решений систем линейных алгебраических уравнений с приближенно заданными исходными данными |
| title_fullStr |
Анализ достоверности компьютерных решений систем линейных алгебраических уравнений с приближенно заданными исходными данными |
| title_full_unstemmed |
Анализ достоверности компьютерных решений систем линейных алгебраических уравнений с приближенно заданными исходными данными |
| title_sort |
анализ достоверности компьютерных решений систем линейных алгебраических уравнений с приближенно заданными исходными данными |
| author |
Химич, А.Н. Николаевская, Е.А. |
| author_facet |
Химич, А.Н. Николаевская, Е.А. |
| topic |
Системный анализ |
| topic_facet |
Системный анализ |
| publishDate |
2008 |
| language |
Russian |
| container_title |
Кибернетика и системный анализ |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| description |
В работе рассматривается задача взвешенных наименьших квадратов с положительно-определенными весами. Получены погрешности взвешенного нормального псевдорешения для следующих трeх случаев: а) ранг исходной матрицы А сохраняется при ее возмущении; б) ранг возмущенной матрицы больше ранга исходной матрицы А; в) ранг исходной матрицы больше ранга возмущенной.
|
| issn |
0023-1274 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44278 |
| citation_txt |
Анализ достоверности компьютерных решений систем линейных алгебраических уравнений с приближенно заданными исходными данными / А.Н. Химич, Е.А. Николаевская // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 6. — С. 83-95. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT himičan analizdostovernostikompʹûternyhrešeniisistemlineinyhalgebraičeskihuravneniispribližennozadannymiishodnymidannymi AT nikolaevskaâea analizdostovernostikompʹûternyhrešeniisistemlineinyhalgebraičeskihuravneniispribližennozadannymiishodnymidannymi |
| first_indexed |
2025-11-25T23:50:42Z |
| last_indexed |
2025-11-25T23:50:42Z |
| _version_ |
1850585958131433472 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.6
À.Í. ÕÈÌÈ×, Å.À. ÍÈÊÎËÀÅÂÑÊÀß
ÀÍÀËÈÇ ÄÎÑÒÎÂÅÐÍÎÑÒÈ ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÕ ÐÅØÅÍÈÉ
ÑÈÑÒÅÌ ËÈÍÅÉÍÛÕ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ
Ñ ÏÐÈÁËÈÆÅÍÍÎ ÇÀÄÀÍÍÛÌÈ ÈÑÕÎÄÍÛÌÈ ÄÀÍÍÛÌÈ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà, âçâåøåííîå íîðìàëüíîå
ïñåâäîðåøåíèå, çàäà÷à âçâåøåííûõ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ, ïîëíàÿ ïîãðåøíîñòü.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ìíîãî íàó÷íûõ ïðèëîæåíèé ñâîäèòñÿ ê çàäà÷àì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ [1].
Èññëåäîâàíèþ òàêèõ çàäà÷ è ðàçðàáîòêå ìåòîäîâ èõ ðåøåíèÿ ïîñâÿùåíî çíà÷è-
òåëüíîå êîëè÷åñòâî ðàáîò (ñì., íàïðèìåð, [2–5]). Ïî òåîðèè âîçìóùåíèÿ ðåøå-
íèÿ âçâåøåííûõ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ èìååòñÿ ìåíüøå ïóáëèêàöèé.
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî èñõîäíûå äàííûå òàêèõ çàäà÷ çàäàíû ïðèáëèæåííî.
Îñíîâíàÿ òðóäíîñòü çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ïðèõîäèòñÿ ðàññìàòðè-
âàòü öåëûé êëàññ çàäà÷ â îêðåñòíîñòè âîçìóùåíèÿ èñõîäíûõ äàííûõ, ñâîéñòâà êî-
òîðûõ ìîãóò áûòü ÷óâñòâèòåëüíû ê íåçíà÷èòåëüíûì âîçìóùåíèÿì äàííûõ è ñóùåñ-
òâåííî îòëè÷àòüñÿ ìåæäó ñîáîé. Èññëåäîâàíèå ÷óâñòâèòåëüíîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷
íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ê âîçìóùåíèþ èñõîäíûõ äàííûõ ðàññìàòðèâàëîñü â ðàáî-
òàõ [6–13]. Äëÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ïîëó÷åíû ðåçóëüòàòû â îñíîâ-
íîì äëÿ ñëó÷àÿ íåïîëíîãî ðàíãà â ïðåäïîëîæåíèè ñîõðàíåíèÿ ðàíãà âîçìóùåííîé
ìàòðèöû [14–18].  äàííîé ðàáîòå ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à âçâåøåííûõ íàèìåíü-
øèõ êâàäðàòîâ ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè. Ïîëó÷åíû ïîãðåøíîñòè
âçâåøåííîãî íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ äëÿ ñëåäóþùèõ òðeõ ñëó÷àåâ:
à) ðàíã èñõîäíîé ìàòðèöû À ñîõðàíÿåòñÿ ïðè åå âîçìóùåíèè;
á) ðàíã âîçìóùåííîé ìàòðèöû áîëüøå ðàíãà èñõîäíîé ìàòðèöû À;
â) ðàíã èñõîäíîé ìàòðèöû áîëüøå ðàíãà âîçìóùåííîé.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 6 83
© À.Í. Õèìè÷, Å.À. Íèêîëàåâñêàÿ, 2008
1. ÏÐÅÄÂÀÐÈÒÅËÜÍÛÅ ÑÂÅÄÅÍÈß
Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ. Ïóñòü R m n� — ìíîæåñòâî ìàòðèö ðàçìåðíîñòè m n� . Äëÿ
ìàòðèöû A R m n� � îáîçíà÷èì AT ìàòðèöó, òðàíñïîíèðîâàííóþ ê À, rank ( )A —
ðàíã ìàòðèöû À, R ( )A — ìíîæåñòâî îáðàçîâ ìàòðèöû À, A ( )A — íóëü-ïðîñòðà-
íñòâî À, — åâêëèäîâà âåêòîðíàÿ è ñîãëàñîâàííàÿ ñ íåé ñïåêòðàëüíàÿ ìàòðè÷-
íàÿ íîðìû, I — åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà.
Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöû A R m n� � è ñèììåòðè÷íûõ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäå-
ëåííûõ ìàòðèö M è N ïîðÿäêà m è n ñîîòâåòñòâåííî åäèíñòâåííàÿ ìàòðèöà
X R m n� � , óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì
AXA A� , XAX X� , ( )MAX MAXT � , ( )NXA NXAT � , (1)
íàçûâàåòñÿ âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöåé Ìóðà–Ïåíðîóçà äëÿ ìàòðèöû
À è îáîçíà÷àåòñÿ X A
MN
� � .  ÷àñòíîñòè, êîãäà M I R m m� � � è N I R n n� � � ,
ìàòðèöà X , óäîâëåòâîðÿþùàÿ (1), íàçûâàåòñÿ ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöåé
Ìóðà–Ïåíðîóçà è îáîçíà÷àåòñÿ X A� � . Ïóñòü A # — âçâåøåííàÿ òðàíñïîíèðî-
âàííàÿ ìàòðèöà ê À, P è Q — èäåìïîòåíòíûå ìàòðèöû, A A A� � � — âîçìóùåí-
íàÿ ìàòðèöà, ò.å
A N A MT# � �1 , (2)
P A A
MN
� � , Q AA
MN
� � ,
P A A
MN
� � , Q AA
MN
� � . (3)
Ïóñòü x R m� , y R n� . Âçâåøåííûå âåêòîðíûå è ìàòðè÷íûå íîðìû îïðåäåëèì
ñëåäóþùèì îáðàçîì:
x M x
M
� 1 2/ , y N y
N
� 1 2/ , (4)
A Ax M AN
MN
x
M
N
� �
�
�max
|| ||
/ /
1
1 2 1 2 , A R m n� � , (5)
B By N AM
NM
y
N
M
� �
�
�max
|| ||
/ /
1
1 2 1 2 , B R n m� � . (6)
Ðàññìîòðèì âçâåøåííîå ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå ìàòðèöû, ïðåäñòàâëåííîå â [19].
Ïóñòü A R m n� � è rank( )A k� , M è N — ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûå ìàòðèöû
ïîðÿäêà m è n ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà ñóùåñòâóþò ìàòðèöû U R m m� � è V R n n� � ,
óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ U MU IT � è V N V IT � �1 , òàêèå, ÷òî
A U
D
V T�
�
�
�
0
0 0
, A N V
D
U M
MN
T� �
�
�
�
�
�
1
1 0
0 0
, (7)
ãäå � �D k� diag � � �1 2, , ... , , � � �1 2 0� � � �� k è � i
2 — íåíóëåâûå ñîáñòâåí-
íûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû A A# . Íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ � i íàçûâàþòñÿ âçâå-
øåííûìè ñèíãóëÿðíûìè çíà÷åíèÿìè ìàòðèöû À, ïðè÷åì A
MN
� �1,
A
MN NM k
� �
1
�
.
Âçâåøåííîå SVD ìàòðèöû À îáåñïå÷èâàåò M-îðòîíîðìàëüíûé áàçèñ âåêòîðîâ
U è N �1-îðòîíîðìàëüíûé áàçèñ âåêòîðîâ V.
84 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 6
2. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Ïðè èññëåäîâàíèè äîñòîâåðíîñòè ïîëó÷àåìûõ ìàøèííûõ ðåçóëüòàòîâ ðàññìàòðè-
âàþòñÿ òðè çàäà÷è.
Èñõîäíàÿ çàäà÷à âçâåøåííûõ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäå-
ëåííûìè âåñàìè M è N
min
x C N
x
�
, C x Ax b
M
� � �{ }| min , (8)
ãäå A R m n� � — ìàòðèöà íåïîëíîãî ðàíãà, b R m� .
Çàäà÷à ñ âîçìóùåííûìè èñõîäíûìè äàííûìè
min
x C N
x
�
, C x A A x b b
M
� � � � �{ }| ( ) ( ) min� � , (9)
ãäå
A A A� � � , b b b� � � , x x x� � � . (10)
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ ïîãðåøíîñòè ýëåìåíòîâ ìàòðèöû è ïðàâîé ÷àñòè âû-
ïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:
� �A A b b
MN A MN M b M
� �� �, . (11)
Ñîîòíîøåíèå äëÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ x çàäà÷è (9)
A x b r� � . (12)
Àíàëèç äîñòîâåðíîñòè ïîëó÷åííîãî ðåøåíèÿ âêëþ÷àåò îöåíêó íàñëåäñòâåííîé
ïîãðåøíîñòè x x
N
� , âû÷èñëèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè x x
N
� è ïîëíîé ïîãðåøíîñ-
òè x x
N
� , à òàêæå óòî÷íåíèå ïîëó÷åííîãî ìàøèííîãî ðåøåíèÿ.
Îöåíêè ïîëíîé ïîãðåøíîñòè ó÷èòûâàþò êàê íàñëåäñòâåííóþ ïîãðåøíîñòü
âñëåäñòâèå ïîãðåøíîñòè èñõîäíûõ äàííûõ, òàê è âû÷èñëèòåëüíóþ âñëåäñòâèå ïðè-
áëèæåííîãî ñïîñîáà îïðåäåëåíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è.  äàííîì ñëó÷àå íå ó÷èòûâàåòñÿ
ñàì ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèÿ. Âû÷èñëèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü ìîæåò áûòü ñëåä-
ñòâèåì êàê ïðèáëèæåííîãî ìåòîäà ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèÿ, òàê è ïîãðåøíîñòè âñëå-
äñòâèå íåòî÷íîñòè âûïîëíåíèÿ àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé íà êîìïüþòåðå. Âåêòîð
íåâÿçêè r A x b� � ó÷èòûâàåò îáùèé ýôôåêò âëèÿíèÿ ýòèõ ïîãðåøíîñòåé.
Ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü M-âçâåøåííîãî ðåøåíèÿ íàèìåíüøèõ êâàä-
ðàòîâ ñ ìèíèìàëüíîé N-íîðìîé ñèñòåìû Ax b� óñòàíîâëåíî, íàïðèìåð, â [20].
3. ÍÅÊÎÒÎÐÛÅ ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÂÇÂÅØÅÍÍÎÉ ÏÑÅÂÄÎÎÁÐÀÒÍÎÉ ÌÀÒÐÈÖÛ
Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû Ìóðà–Ïåí-
ðîóçà.
Ëåììà 1 [18]. Ïóñòü A A R m n, � � � , � i A( ) è � i A( ) — âçâåøåííûå ñèíãóëÿð-
íûå çíà÷åíèÿ ìàòðèö A è A ñîîòâåòñòâåííî.
Òîãäà
� � �i MN i i MN
A A A A A( ) ( ) ( )� � � �� � . (13)
Ëåììà 2. Ïóñòü A A R m n, � � � , rank rank( ) ( )A A� è �A A
MN MN NM
� � 1.
Òîãäà
A
A
A A
MN NM
MN NM
MN MN NM
�
�
�
�
�1 �
. (14)
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü �k A( ) , �k A( ) — k-å âçâåøåííûå ñèíãóëÿðíûå çíà÷å-
íèÿ ìàòðèö A è A ñîîòâåòñòâåííî, óïîðÿäî÷åííûå òàêèì îáðàçîì, ÷òî
� � �1 2 0( ) ( ) ( )A A Ak� � � �� , � � �1 2 0( ) ( ) ( )A A Ak� � � �� .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 6 85
Èç (13) ñëåäóåò
1 1
( )
( ) ( )
A A
A A A
A
A
MN NM
k k MN
MN NM
MN
�
� � � � �
� ��
� �� � .
Îòñþäà ïðèõîäèì ê (14).
Ëåììà 3. Ïóñòü G A A
MN MN
� �� � , A A A� � � è rank rank( ) ( )A A� . Òîãäà G
ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû òðeõ ìàòðèö: G G G G� � �1 2 3 , ãäå
G A AA
MN MN1 � � � �� , (15)
G I P N A A NA I P A A AT
MN
T
MN MN MN2
1� � � � � �� � � � �( ) ( ) ( )# #� � , (16)
G A I Q
MN3 � �� ( ) . (17)
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî àíàëîãèè ñ [21] çàïèøåì G êàê ñóììó ñëåäóþùèõ ìàò-
ðèö:
G P I P A A Q I Q
MN MN
� � � � � � �� �[ ( ) ] ( )[ ( )]
� � � � � � � � �� � � � �P A Q P A I Q PA Q PA I Q I P A Q
MN MN MN MN MN
( ) ( ) ( )
� � � � � � � �� � �( ) ( ) ( ) ( ) ( )I P A I Q I P A Q I P A I Q
MN MN MN
.
Òàê êàê
P A A
MN MN
� �� , ( )I P A
MN
� �� 0 , A Q A
MN MN
� �� , A I Q
MN
� � �( ) 0,
ïîëó÷àåì
G A Q A I Q PA I P A
MN MN MN MN
� � � � � � �� � � �( ) ( )
� � � � � �� � � �( ) ( ) ( )A Q PA I P A A I Q
MN MN MN MN
. (18)
Ðàññìîòðèì êàæäîå ñëàãàåìîå èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà
G A Q PA A AA A AA
MN MN MN MN MN MN1 � � � � �� � � � � �
� � � �� � � �A A A A A AA
MN MN MN MN
( ) � .
Äëÿ îöåíêè âòîðîãî ñëàãàåìîãî âîñïîëüçóåìñÿ ñâîéñòâàìè (1)
A A A A N NA A A N A A NA
MN MN MN MN
T
MN
T
MN
T
MN
� � � � � � � � �� � � �( ) ( )1 1
� �� � � � � �N A A NA N A A NAT
MN
T
MN
T
MN
T
MN
1 1� . (19)
Ïîäñòàâëÿÿ (19) âî âòîðîå ñëàãàåìîå ðàâåíñòâà (18), ïîëó÷àåì
G I P A I P N A A NA N A A NA
MN
T
MN
T
MN
T
MN
T
MN2
1 1� � � � �� � � � � �( ) ( ) ( � � ) .
Ïîñêîëüêó
( )I P N A A NA N A A NA A AN A AT
MN
T
MN
T
MN
T
MN MN
T
MN
� � �� � � � � � � �1 1 1 � � �T
MN
NA
� � �� � � � � �N A A NA N A A NAT
MN
T
MN
T
MN
T
MN
1 1 0 ,
òî
G I P A I P N A A NA
MN
T
MN
T
MN2
1� � � � � �� � � �( ) ( ) � � � � �( ) ( )# #I P A A A
MN MN
� .
Òàêèì îáðàçîì, îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì
G A A A AA I P N A A NA A
MN MN MN MN
T
MN
T
MN MN
� � � � � � �� � � � � � � �� �( ) 1 ( )I Q� .
Ëåììà 4. Åñëè rank rank( ) ( )A A k� � , òî
Q I Q Q I Q
MM MM
( ) ( )� � � , (20)
ãäå Q è Q îïðåäåëåíû â (3).
86 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 6
Äîêàçàòåëüñòâî. Çàïèøåì âçâåøåííîå ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö A è A:
A UDV T� , A U D V T� . Èç (3) è ïðåäïîëîæåíèÿ î òîì, ÷òî A è A èìåþò îäèíàêî-
âûé ðàíã, ñëåäóåò
Q U
I
U M
k T�
�
�
�
0
0
0
, Q U
I
U M
k T�
�
�
�
0
0
0
.
Îïðåäåëèì îðòîãîíàëüíóþ ìàòðèöó W R m m� � ñ ïîäìàòðèöàìè Wij ñîîòíîøåíèåì
�
�
U U
W
W
W
W
T
k m k
k
m k
1 1
11
21
21
22
�
�
�
�
�
�
��� ���
.
Òîãäà
Q I Q U
I
U MU
I
U M
MM
k T
m k
T
MM
( )� �
�
�
�
�
�
�
�
�
0
0 0
0 0
0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�M U
I
U MU
I
U MM
k T
m k
T1 2 1 20
0 0
0 0
0
/ /
�
�
�
�
�
�
�
�
�
M U
I
U M M U
I
U M
k T
m k
T1 2 1 2 1 2 1 20
0 0
0 0
0
/ / / /
�
�
�
�
�
�
�
�
�
U
I
U U
I
U
k T
m k
T
1
1 1
0
0 0
0 0
0
1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
I
W
I
W
W
k
m k
0
0 0
0 0
0
0
0 0
12
12 .
Òî÷íî òàê æå ìîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî Q I Q W
MM
( )� � 21 . Îñòàåòñÿ ïîêàçàòü,
÷òî W W12 21� . Ïóñòü X R m k� � — ïðîèçâîëüíûé âåêòîð. Ïîëîæèì y
x
k
m k
�
�
�
�
�
0 }
}
.
Èñïîëüçóÿ îðòîãîíàëüíîñòü W, èìååì x y Wy W x
2 2 2
12
2� � � �
� W x22
2
, îòêóäà W x x W x12
2 2
22
2� � . Ñëåäîâàòåëüíî, W12
2 �
� �
�
max
|| ||x
W x
1
12
2
1 1
1
22
2 2� � �
� �min
|| ||x m k
W x s , ãäå sm k� — íàèìåíüøåå ñèíãóëÿðíîå
÷èñëî W22 . Àíàëîãè÷íî èç x y W y W x W xT T T2 2 2
21
2
22
2
� � � � ïîëó÷àåì
W W x s
x
T
m k21
2
1 22
2
21 1� � � �
� �min
|| ||
.
Èç ðàâåíñòâà W W12 21� ñëåäóåò óòâåðæäåíèå òåîðåìû.
4. ÎÖÅÍÊÈ ÏÎÃÐÅØÍÎÑÒÈ ÂÇÂÅØÅÍÍÎÃÎ ÍÎÐÌÀËÜÍÎÃÎ ÏÑÅÂÄÎÐÅØÅÍÈß
Äàëåå ïîëó÷èì îöåíêè äëÿ íàñëåäñòâåííîé, âû÷èñëèòåëüíîé è ïîëíîé ïîãðåø-
íîñòåé âçâåøåííîãî íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ. Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷å-
íèÿ:
� �
�b
A x
M
MN N
, � �
r
x A
M
N MN
, � �
r
A x
M
MN N
,
� l
M
MN l N
b
A x
�
�
, � l
M
l N MN
r
x A
� , � l
l M
MN l N
r
A x
� , � k
k M
MN N
r
A x
� .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 6 87
Ðàññìîòðèì òðè ñëó÷àÿ.
1. Ðàíã èñõîäíîé ìàòðèöû À ñîõðàíÿåòñÿ ïðè åå âîçìóùåíèè
Òåîðåìà 1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî �A A
MN MN NM
� � 1, rank rank( ) ( )A A� .
Òîãäà èìååò ìåñòî îöåíêà
� �
x x
x
h
h
hN
N A
A A
�
�
�
� �
1
2
�
� � � � , (21)
ãäå h h A A A
MN MN NM
� � �( ) — âçâåøåííîå ÷èñëî îáóñëîâëåííîñòè ìàòðè-
öû À, ñèìâîëû
MN
è
NM
îáîçíà÷àþò âçâåøåííûå ìàòðè÷íûå íîðìû â ñî-
îòâåòñòâèè ñ (1), A
MN
� — âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà Ìóðà–Ïåíðîóçà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Îöåíêà íàñëåäñòâåííîé ïîãðåøíîñòè ñëåäóåò èç ñîîòíîøåíèÿ
x x A A b A b b
MN MN MN
� � � � �� � �( ) ( ) . (22)
Èñïîëüçóÿ äëÿ ïîãðåøíîñòè ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ïðåäñòàâëåíèå
A A A AA I P N A A NA A I
MN MN MN MN
T
MN
T
MN MN
� � � � � � � �� � � � � �� �( ) (1 �Q ) , (23)
ïîëó÷àåì
x x A AA I P N A A NA A I Q b
MN MN
T
MN
T
MN MN
� � � � � � �� � � � � �[ ( ) ( )]� �1 A b b
MN
� � �( )
� � � � � �� � � � � �A AA b I P N A A NA b A I Q b A
MN MN
T
MN
T
MN MN MN
� �( ) ( )1 � � �( )b b
� � � � � � �� � � � �A Ax I P N A A Nx A I Q b A b b
MN
T
MN
T
MN MN
� �( ) ( ) ( )1 . (24)
Òàêèì îáðàçîì,
x x A Ax I P N A A Nx A I Q b A b b
MN
T
MN
T
MN MN
� � � � � � � �� � � � �� �( ) ( ) (1 ). (25)
Ïåðåõîäÿ ê âçâåøåííûì íîðìàì, ïîëó÷àåì
x x A Ax I P N A A Nx A I Q b A b b
N MN
T
MN
T
MN MN
� � � � � � � �� � � �� �( ) ( ) (1 )
N
�
� � � � � � �� � � �A Ax I P N A A Nx A I Q b A b bMN N
T
MN
T
N MN N MN
� �( ) ( ) ( )1
N
.
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
( ) ( )I Q b I Q r r� � � � , r b x� � , x A b
MN
� � , (26)
è èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû ëåììû 4, ïðåîáðàçóåì âçâåøåííóþ íîðìó êàæäîãî èç
ñëàãàåìûõ â (25):
a) A Ax N A M M AN N x
MN N MN
� � � �� �� �1 2 1 2 1 2 1 2 1 2/ / / / /
� �
� � � �
N A M M AN N x A A x
MN MN
NM
NM N
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2/ / / / /� � .
á) ( )I P N A A NxT
MN
T
N
� �� �1�
� � �� � � �N I P N N A M M A N N xT
MN
T1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2/ / / / / / /( ) �
� � �� � � �N I P N M AN N A M N x
MN
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2/ / / / / / /( ) �
� � �( )I P A A x
NN MN MN NM N
� .
â) èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû ëåììû 5 è ðàâåíñòâà (26), ìîæåì çàïèñàòü
A Q I Q b A AA I Q r A Q I Q r
MN N MN MN N MN NM MM M
� � � �� � � � � �( ) ( ) ( )
� ��A Q I Q r
MN NM MM M
( ) , (27)
88 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 6
Q I Q AA I Q M AA I Q M
MM MN MM MN
( ) ( ) ( )/ /� � � � � �� � �1 2 1 2
� � �� � �M MAA I Q M
MN
T1 2 1 2/ /( ) ( )
� � � �� � �M A A A M M I Q M
MN
T T T1 2 1 2 1 2 1 2/ / / /( ) ( ) ( )
� � �� � �M A A M I Q M
MN
T T1 2 1 2/ /( ) ( )� M A A M
MN
T T� � �1 2 1 2/ /( ) �
� �� � �M AN N A M
MN
1 2 1 2 1 2 1 2/ / / /� M AN N A M
MN
1 2 1 2 1 2 1 2/ / / /� � � � �
� ��A A
MN MN NM
.
(28)
Ïîäñòàâèâ ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò â (27), ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî
A Q I Q b A A A r
MN N MN NM MN MN NM M
� � �� �( ) � .
ã) A b b N A M M b b
MN N MN
� � �� � � �( ) ( )/ / /1 2 1 2 1 2
� � � �� � �N A M M b b A b b
MN MN NM M
1 2 1 2 1 2/ / / ( ) ( ) .
Ïîñêîëüêó I P
NN
� � 1, òî, ó÷èòûâàÿ ðåçóëüòàòû ëåììû 2 äëÿ îòíîñèòåëüíîé
ïîãðåøíîñòè, ïðèõîäèì ê îöåíêå âî âçâåøåííîé íîðìå:
x x
x
A A x
x
A A x
x
N
N
MN NM MN N
N
MN MN NM N
N
�
� � �
� �� �
� � �
� � �A A A r
x
A b
x
MN NM MN NM MN M
N
MN NM M
N
� �
� � �� �A A A A
MN NM MN MN MN NM
� �
� � �
� � �A A A r
x
A b
x
MN NM MN NM MN M
N
MN NM M
N
� �
�
�
� �
�
�
�
A A
A A
A
A
b
A x
MN NM MN
MN MN NM
MN
MN
M
MN N1
2
�
� �
� ��A A
A
A
r
A xMN NM MN
MN
MN
M
MN N
�
)
�
�
� �
�
�
�
h A
h A
b
A x
h A
r
x AA
A
M
MN N
A
M
N MN
( )
( )
( )
1
2
�
� �
�
.
Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðèõîäèì ê òðåáóåìîé îöåíêå.
Äàëåå ïîëó÷èì îöåíêó ïîëíîé ïîãðåøíîñòè âçâåøåííîãî íîðìàëüíîãî ïñåâäî-
ðåøåíèÿ ïî àíàëîãèè ñ [22].
Òåîðåìà 2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî �A A
MN MN NM
� � 1, rank rank( ) ( )A A k� � è
ïóñòü x A�R ( )# .
Òîãäà èìååò ìåñòî îöåíêà ïîëíîé ïîãðåøíîñòè
� �
x x
x
h
h
hN
N A
A A
�
�
�
� � � �
1
2
�
� �� � � � . (29)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 6 89
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ íàñëåäñòâåííîé ïîãðåøíîñòè â ýòîì ñëó÷àå èìååò ìåñòî
îöåíêà (21).
Äëÿ îöåíêè âû÷èñëèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè x x� âîñïîëüçóåìñÿ ñîîòíîøåíèåì
A x x r b Axk( )� � � � , (30)
ãäå bk — ïðîåêöèÿ âåêòîðà b íà ãëàâíîå ëåâîå âçâåøåííîå ñèíãóëÿðíîå ïîä-
ïðîñòðàíñòâî ìàòðèöû A, ò.å. b R Ak � ( ) .
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî x x R A� � ( )# è ÷òî A A
MN
� � — âçâåøåííûé ïðîåêòîð â R A( )# ,
èìååì A A x x x x A r
MN MN
� �� � � �( ) .
Îòñþäà ïîëó÷àåì îöåíêó âû÷èñëèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè
x x
x
A A
r
b
N
N
MN MN NM
M
k M
�
� � . (31)
Îöåíêà ïîëíîé ïîãðåøíîñòè íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ ñëåäóåò èç ñîîòíî-
øåíèé
x x
x
x x
x
x x
x
N
N
N
N
N
N
�
�
�
�
�
, (32)
x x
x
A A
r
b
N
N
MN MN NM
M
k M
�
� � (33)
è îöåíîê (21), (14).
Òåîðåìà äîêàçàíà.
2. Ðàíã âîçìóùåííîé ìàòðèöû áîëüøå ðàíãà èñõîäíîé ìàòðèöû À
Ââåäeì ñëåäóþùèå èäåìïîòåíòíûå ìàòðèöû:
P A A
MN
� � , Q AA
MN
� � ,
P A Ak kMN
� � , Q A Ak kMN
� � � , (34)
ãäå k — ðàíã ìàòðèöû A.
Òåîðåìà 3. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå �A A
MN MN NM
� �
1
2
,
rank rank( ) ( )A A k� � .
Òîãäà äëÿ íàñëåäñòâåííîé ïîãðåøíîñòè èìååò ìåñòî îöåíêà
� �
x x
x
h
h
h
k N
N A
A A
�
�
�
� � �
1 2
2
�
� �� � � . (35)
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ îöåíêè èñïîëüçóåì ñïîñîá èç [12], îñíîâàí-
íûé íà ñèíãóëÿðíîì ðàçëîæåíèè ìàòðèö. Ïðåäñòàâèì A â âèäå âçâåøåííîãî ñèíãó-
ëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ
A U DV T� . (36)
Íàðÿäó ñ (36) ðàññìîòðèì ðàçëîæåíèå
A U D Vk k
T� , (37)
ãäå Dk — ïðÿìîóãîëüíàÿ ìàòðèöà, ïåðâûå k äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ êîòîðîé
îòëè÷íû îò íóëÿ è ñîâïàäàþò ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ýëåìåíòàìè ìàòðèöû D,
à âñå îñòàëüíûå ýëåìåíòû ðàâíû íóëþ.
Âçâåøåííîå íîðìàëüíîå ïñåâäîðåøåíèå çàäà÷è (9) áóäåì àïïðîêñèìèðîâàòü
xk âçâåøåííûì íîðìàëüíûì ïñåâäîðåøåíèåì çàäà÷è
min
x C N
x
�
, C x A x bk M
� � �{ | min }. (38)
Ìàòðèöà Ak ïîñòðîåíà â ñîîòâåòñòâèè (37), èìååò ðàíã k, òàêîé æå, êàê è ìàòðè-
öà íåâîçìóùåííîé çàäà÷è. Òàêèì îáðàçîì, ïðîáëåìà îöåíêè ïîãðåøíîñòè ïñåâäîðå-
øåíèÿ äëÿ ìàòðèö, ðàíã êîòîðûõ èçìåíèëñÿ, ñâåäåíà ê ñëó÷àþ, êîãäà ðàíãè ìàòðèö
îäèíàêîâû [23]. Èñïîëüçóåì ýòîò ôàêò äëÿ îöåíêè x x xk N N
� / . Âûðàæåíèå äëÿ
ïîãðåøíîñòè âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ýòîì ñëó÷àå ïðèîáðåòàåò âèä
90 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 6
G P I P A A Q I Qk k k kMN MN
� � � � � � �� �[ ( )] ( ) [ ( )]
� � � � � � � �� � � �P A Q P A I Q P A Q P A I Q I P Ak kMN k kMN k MN k MN k( ) ( ) ( )
kMN
Q� �
� � � � � � � � �� � �( ) ( ) ( ) ( ) ( )I P A I Q I P A Q I P A I Qk kMN k MN k MN
� � � � � � �� � � �( ) ( ) ( )A Q P A I P A A I Q
kMN k MN k MN kMN
� � � � � � �� � � � � �A AA A AA I P A A I Q
kMN MN kMN MN k MN kMN
( ) ( )
� � � � � �� � � �A A A A I P A A I Q
kMN MN k MN kMN
( ) ( ) ( ) .
Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû ëåììû 3, ïîëó÷àåì
G A Ak kMN MN
� � �� �
� � � � � �� � � � � �A AA I P N A A NA A I Q
kMN MN k
T
MN
T
MN kMN
� �( ) ( ) .1 (39)
Äëÿ ïîãðåøíîñòè âçâåøåííîãî ïñåâäîðåøåíèÿ áóåì èìåòü
x x A Ax I P N A A Nx A I Q b Ak kMN k
T
MN
T
kMN kMN
� � � � � � �� � � �� �( ) ( )1 � �( ).b b (40)
Òîãäà èç (40), ïåðåõîäÿ ê âçâåøåííûì íîðìàì è ó÷èòûâàÿ ðåçóëüòàòû ëåì-
ìû 2, èìååì
x x
x
A A x
x
A A x
x
k N
N
kMN NM MN N
N
MN MN NM N
N
�
� � �
� �� �
� � �
� � �A A A r
x
A b
x
kMN NM MN NM MN M
N
kMN NM M
N
� �
� � �� �A A A A
kMN NM MN MN MN NM
� �
� � �
� � �A A A r
x
A b
x
kMN NM MN NM MN M
N
kMN NM M
N
� �
�
�
� �
�
�
A A
A A
A
A
b
A x
MN NM MN
k MN MN NM
MN
MN
M
MN N1
2
�
� �
(
� �A A
A
A
r
A xMN NM MN
MN
MN
M
MN N
�
) . (41)
Îöåíèì �A A Ak k� � :
� � �A A A A A A A A Ak MN k MN k MN k MN MN
� � � � � � � � �
�
�
�
�
� �
�
U
D
V A A
k
T
MN
MN MN
0 0
0
2
1
� � .
Êðîìå òîãî, óñëîâèå òåîðåìû �A A
MN MN NM
� �
1
2
ïðèâîäèò ê íåðàâåíñòâó
�A Ak MN MN NM
� � 1, ÷òî íåîáõîäèìî äëÿ êîððåêòíîñòè âûðàæåíèÿ (41). Ó÷èòû-
âàÿ ýòî, èç (41) ïðèõîäèì ê îöåíêå (35) äëÿ ïîãðåøíîñòè íîðìàëüíîãî âçâåøåííîãî
ïñåâäîðåøåíèÿ. Äàëåå ïîëó÷èì îöåíêó ïîëíîé ïîãðåøíîñòè âçâåøåííîãî íîðìàëü-
íîãî ïñåâäîðåøåíèÿ.
Åñëè âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå �A A
MN MN NM
� � 1, òî èç [21] ñëåäóåò, ÷òî ðàíã
âîçìóùåííîé ìàòðèöû íå ìîæåò óìåíüøèòüñÿ.  ýòîì ñëó÷àå èìååò ìåñòî ñëåäóþ-
ùàÿ òåîðåìà.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 6 91
Òåîðåìà 4. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå �A A
MN MN NM
� �
1
2
,
rank rank( ) ( )A A k� � è ïóñòü x R A
k
� ( )# .
Òîãäà èìååò ìåñòî îöåíêà
� �
x x
x
h
h
hN
N A
A A k
�
�
�
� � �
1
2
�
� � � � � . (42)
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ îöåíêè âû÷èñëèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè x xk N
� èñïîëü-
çóåì òîò ôàêò, ÷òî A x bk k k� . Òîãäà äëÿ ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà x A
k
�R ( )# èìåþò
ìåñòî ñîîòíîøåíèÿ A x x r b A xk k k k k( )� � � � .
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî x x Ak k
� �R ( )# , à îïåðàòîð A A
kMN
k
� — îïåðàòîð ïðîåêòèðîâà-
íèÿ â R ( )#A
k
, ïîëó÷àåì
A A x x x x A r
kMN
k k k kMN k
� �� � � �( ) ,
x x A rk kMN k� � � . (43)
Îòñþäà ñëåäóåò îöåíêà âû÷èñëèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè äëÿ ïðîåêöèè íîðìàëü-
íîãî ïñåâäîðåøåíèÿ
x x
x
A A
r
b
k N
k N
k MN kMN NM
k M
k M
�
� � .
Îöåíêà ïîëíîé ïîãðåøíîñòè ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâ
x x
x
x x
x
x x
x
N
N
k N
N
k N
N
�
�
�
�
�
,
x x
x
A A r
b
k N
N
MN kMN NM
k M
k M
�
�
�
è îöåíîê (14), (35).
3. Ðàíã èñõîäíîé ìàòðèöû áîëüøå ðàíãà âîçìóùåííîé
Àíàëîãè÷íî (34) ââåäåì èäåìïîòåíòíûå ìàòðèöû:
P A Al lMN
� � , Q AAl lMN
� � ,
P A A
MN
� � , Q AA
MN
� � , (44)
ãäå l — ðàíã ìàòðèöû A.
Òåîðåìà 5. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî rank rank( ) ( )A A l� � ,
�A
MN
l�
�
1
2
.
Òîãäà èìååò ìåñòî îöåíêà
x x
x A
l N
l N
l
MN l
A l
l
A l
�
�
�
� �
�
�
�
� �
�
� �
�
�
� �1 1
1 2
2
/
/�
, (45)
ãäå � i — âçâåøåííûå ñèíãóëÿðíûå ÷èñëà ìàòðèöû A.
Äîêàçàòåëüñòâî. Íàðÿäó ñ çàäà÷åé (8) ðàññìîòðèì çàäà÷ó
min
x C
l N
x
�
, C x A x bl M
� � �
�
�
�
��
�
�
�
��
min (46)
ñ ìàòðèöåé A UD Vl l
T� ðàíãà l .
Àíàëîãè÷íî, çàïèñûâàÿ ðàâåíñòâà (23), (25) äëÿ çàäà÷ (9) è (46), ðàíãè ìàòðèö
êîòîðûõ ñîâïàäàþò, ïîëó÷àåì
G A A A AA I P N A A N Al MN lMN MN lMN
T
lMN
T
lMN
� � � � � �� � � � � � �� �( ) 1 � �� ��A I Q
MN l ,
� �x x A Ax I P N A A Nx A I Q b Al MN l
T
lMN
T
l MN l MN
� � � � � � �� � � � �� �( ) (1 b b� ).
92 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 6
Ó÷èòûâàÿ ðåçóëüòàòû ëåììû 2 è ïåðåõîäÿ ê âçâåøåííûì íîðìàì, ïðèõîäèì ê
îöåíêå
x x
x
A A A A
l N
l N
MN NM MN MN lMN NM
�
� � �� �� �
� � �
� � �A A A r
x
A b
x
MN NM lMN NM MN M
l N
MN NM M
l N
� �
�
�
� �
�
�
�
A A
A A
A
A
b
A x
lMN NM MN
l MN lMN NM
MN
MN
M
MN l N1
2
�
� �
�
�
�
�A A
A
A
r
A xlMN NM MN
MN
MN
M
MN l N
�
,
îòêóäà ñëåäóåò (45), ò.å. óòâåðæäåíèå òåîðåìû 5.
Òåîðåìà 6. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî rank rank( ) ( )A A l� � ,
�A
MN
l�
�
1
2
è ïóñòü
x A�R ( )# .
Òîãäà èìååò ìåñòî îöåíêà
x x
x A
l N
l N
l
MN l
A l
l
A l l
�
�
�
� � �
�
�
�
� �
�
� �
�
�
� � �1 1
1 2
2
/
/�
. (47)
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íàðÿäó ñ çàäà÷åé (8) ðàññìîòðèì çàäà÷ó
min
x C
l N
x
�
, C x A x bl M
� � ��
�
�
�
�
�
min (48)
ñ ìàòðèöåé A U Vl l
T� � ðàíãà l.
Îöåíêîé âû÷èñëèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè â ýòîì ñëó÷àå áóäåò
x x
x
A A
r
b
N
N
MN MN NM
M
l M
�
� � .
Îöåíêà ïîëíîé ïîãðåøíîñòè ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâ
x x
x
x x
x
x x
x
l N
l N
l N
l N
N
l N
�
�
�
�
�
,
x x
x
A A r
b
N
l N
MN lMN
NM
l M
l M
�
�
�
,
î÷åâèäíûõ ñîîòíîøåíèé, A A
MN l MN
� , A
lMN NM
l
� � 1/ � — îöåíêè íàñëåä-
ñòâåííîé ïîãðåøíîñòè (45) è íåðàâåíñòâà � �A Al MN MN
� 2 .
Çàìå÷àíèå. Ñâÿçü ìåæäó ÷èñëîì îáóñëîâëåííîñòè çàäà÷è ñ òî÷íûìè èñõîäíû-
ìè äàííûìè h A( ) è ÷èñëîì îáóñëîâëåííîñòè ìàòðèöû ñèñòåìû ñ ïðèáëèæåííî çà-
äàííûìè èñõîäíûìè äàííûìè h A( ) óñòàíàâëèâàþò îöåíêè
� � �k MN k k MN
A A� � � �� � , � � �1 1 1� � � �� �A A
MN MN
,
�
�
�
�
�
�
1 1 1�
�
� �
�
�
�
�
�
�
A
A
A
A
MN
k MN k
MN
k MN
,
1
1
1
1
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
A
A
A
Ah
h A
h A h
( )
( )
,
êîòîðûå ëåãêî ïîëó÷èòü äëÿ âçâåøåííîé ìàòðè÷íîé íîðìû íà îñíîâàíèè ðåçóëü-
òàòîâ ëåììû 2.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 6 93
Ëåììà 5. Ïóñòü A A R m n, � � � , rank rank( ) ( )A A� è �A A
MN MN NM
� � 1.
Òîãäà îòíîñèòåëüíàÿ îöåíêà íàñëåäñòâåííîé ïîãðåøíîñòè âçâåøåííîé ïñåâäî-
îáðàòíîé ìàòðèöû èìååò âèä
A A
A
C
h
h
MN MN NM
MN NM
A
A
� �
�
�
�
�
�
�1
, (49)
ïðè÷åì åñëè À — ìàòðèöà íå ïîëíîãî ðàíãà, òî C � 3 ; åñëè m n k� � è n m k� � ,
òî C � 2 ; åñëè m n k� � , òî C � 1.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ îöåíîê âîñïîëüçóåìñÿ ðåçóëüòàòàìè ëåììû 3:
A A A AA I P A A A A I Q
MN MN MN MN MN MN MN
� � � � � � �� � � � � � �� �( ) ( ) (# # ) .
Ïåðåõîäÿ ê âçâåøåííûì íîðìàì è èñïîëüçóÿ (20) è (28), ïîëó÷àåì îöåíêó àáñî-
ëþòíîé ïîãðåøíîñòè âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû À:
A A A AA A A A
MN MN NM MN MN NM MN MN NM
� � � � � �� � � �� � # #( )
� � � � �� � � � �A Q I Q A AA A A A
MN NM MN MN
NM
MN MN NM
( ) ( )# #� �
� � � � �� � � �A Q I Q A A A A A
MN NM MN NM MN MN NM MN MN NM
( ) � �
2
� � �A A A
MN NM MN NM MN
� ,
A A
A
A A
A A
MN MN NM
MN NM
MN MN NM
MN MN NM
� �
�
�
�� �
�
��
1 �
�
� � �
�
�� �� �A A A A
MN MN NM MN NM MN
h
h
h h h C
h
h
A
A
A A A
A
A
�
�
� � �
�
�1 1
2
�
� � �
�
( )
( )
, C � 1 2 3, , .
Äëÿ îöåíêè îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè èìååì
A A
A
C A A
A A
C
h
h
MN MN NM
MN NM
MN MN NM
MN MN NM
A
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
1 1
�
�A
,
C � 1 2 3, , .
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ïîëó÷åíèÿ îöåíîê îïðåäåëÿþùèì ÿâëÿåòñÿ èñïîëüçîâàíèå
âçâåøåííîãî ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ [19] è ìåòîäèêà ñâåäåíèÿ ïðîáëåìû îöåí-
êè ïîãðåøíîñòè ïñåâäîðåøåíèÿ ê îöåíêå ïîãðåøíîñòè [12] äëÿ çàäà÷ ñ ìàòðèöà-
ìè îäèíàêîâîãî ðàíãà. Íà îñíîâàíèè ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ ìîæåò áûòü ðàçðà-
áîòàí àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ ýôôåêòèâíîãî ðàíãà ìàòðèö, à òàêæå àëãîðèòì âû-
÷èñëåíèÿ óñòîé÷èâûõ ïðîåêöèé âçâåøåííîãî íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. B e n I s r a e l A . , G r e v i l l e T . N . E . Generalized Inverse: Theory and Applica-
tions. — New York: Springer Verlag, 2003. — 400 p.
2. À ë á å ð ò À . Ðåãðåññèÿ, ïñåâäîèíâåðñèÿ è ðåêóððåíòíîå îöåíèâàíèå. — Ì.: Íàóêà, 1977. — 224 ñ.
94 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 6
3. Ê è ð è ÷ å í ê î Í . Ô . Àíàëèòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå âîçìóùåíèé ïñåâîîáðàòíûõ ìàòðèö //
Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 1997. — ¹ 2. — Ñ. 98–107.
4. Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . , Ã à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . Ïðåäåëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ
âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ ïîëîæèòåëüíî — îïðåäåëåííûìè âåñàìè è ðåãóëÿðèçàöèÿ
çàäà÷ // Òàì æå. — 2003. — ¹ 6. — Ñ. 46 — 65.
5. È ê ð à ì î â Õ . Ä . , Ì à ò è í ô à ð Ì . Ïåðåñ÷åò íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé â ðåêóðñèâíîé
çàäà÷å íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ ëèíåéíûìè ñâÿçÿìè // Æóðí. âû÷èñ. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè. —
2004. — 44, ¹ 10. — Ñ. 1726–1734.
6. à î ë ó á Ä æ ,  à í Ë î ó í × . Ìàòðè÷íûå âû÷èñëåíèÿ. — Ì.: Ìèð, 1999. — 548 ñ.
7. Ã î ä ó í î â Ñ . Ê . , À í ò î í î â À . Ã . , Ê è ð è ë þ ê Î . Ï . , Ê î ñ ò è í Â . Í .
Ãàðàíòèðîâàííàÿ òî÷íîñòü ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé â åâêëèäîâûõ
ïðîñòðàíñòâàõ. — Íîâîñèáèðñê: Íàóêà, 1992. — 360 ñ.
8. E l d e n L . Perturbation theory for the least squares problem with linear equality constraints // SIAM
J.Numer. Anal. — 1980. — 17. — P. 338–350.
9. B j o r k A . Numerical methods for Least squares problems. — 1996. — 408 p.
10. Ì à ë û ø å â À . Í . Ââåäåíèå â âû÷èñëèòåëüíóþ ëèíåéíóþ àëãåáðó. — Íîâîñèáèðñê: Íàóêà,
1991. — 229 ñ.
11.  î å â î ä è í  .  . , Ê ó ç í å ö î â Þ . À . Ìàòðèöû è âû÷èñëåíèÿ. — Ì.: Íàóêà, 1989. —
320 ñ.
12. Õ è ì è ÷ À . Í . Îöåíêè âîçìóùåíèé äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ // Êèáåðíåòèêà è
ñèñòåìíûé àíàëèç. — 1996. — ¹ 3. — Ñ. 142–145.
13. Õ è ì è ÷ À . Í . , Â î é ö å õ î â ñ ê è é Ñ . À . , Á ð ó ñ í è ê è í Ð . Í . Äîñòîâåðíîñòü
ðåøåíèé ëèíåéíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ñ ïðèáëèæåííî çàäàííûìè èñõîäíûìè äàííûìè //
Ìàòåìàòè÷åñêèå ìàøèíû è ñèñòåìû. — 2004. — ¹ 3. — Ñ. 3–17.
14. E l d e n L . A weighted pseudoinverse, generalized singular values and constrained least squares prob-
lems // BIT. — 1982. — 22. — P. 487–502.
15. W e i Y . , W u H . Expression for the Perturbation of the Weighted Moore– Penrose Inverse // Comput.
and Mathematics with Appl. — 2000. — 39. — P. 13–18.
16. W e i M . Supremum and Stability of Weighted Pseudoinverses and Weighted Least Squares Problems:
Analysis and Computations. — New York: Huntington, 2001. — 182 p.
17. W a n g D . Some topics on weighted Moore–Penrose inverse, weighted least squares and weighted regu-
larized Tikhonov problems // Appl. Math. and Comput. — 2004. — 157. — P. 243–267.
18. W e i Y . , W a n g D . Condition numbers and perturbation of weighted Moore-Penrose inverse and
weighted least squares problem // Ibid. — 2003. — 145. — P. 45–58.
19. V a n L o a n C . F . Generalizing the singular value decomposition // SIAM J. Numer. Anal. —
1976. — 13. — P. 76–83.
20. Ì î ë ÷ à í î â È . Í . , Ã à ë á à Å . Ô . Âçâåøåííûå ïñåâäîîáðàùåíèÿ êîìïëåêñíûõ ìàòðèö //
Óêð. ìàò. æóðí. — 1983. — 35, ¹ 1. — Ñ. 53–57.
21. Ë î ó ñ î í × . , Õ å í ñ î í Ð . ×èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷ ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ. — Ì.:
Íàóêà, 1986. — 232 c.
22. Õ è ì è ÷ À . Í . , Í è ê î ë à å â ñ ê à ÿ Å . À . Îöåíêà ïîãðåøíîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è âçâåøåííûõ
íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ // Êîìïüþòåðíàÿ ìàòåìàòèêà. — 2006. — ¹ 3. — Ñ. 36–45.
Ïîñòóïèëà 08.01.2008
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 6 95
|