Buchumschlag

Теоремы инвариантности для одного класса систем случайных нелинейных уравнений над произвольным конечным кольцом с левой единицей

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:Кибернетика и системный анализ
Datum:2008
1. Verfasser: Левитская, А.А.
Format: Artikel
Sprache:Russisch
Veröffentlicht: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2008
Schlagworte:
Системный анализ
Online Zugang:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44280
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Теоремы инвариантности для одного класса систем случайных нелинейных уравнений над произвольным конечным кольцом с левой единицей / А.А. Левитская // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 6. — С. 106-115. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
_version_ 1859606055674183680
author Левитская, А.А.
author_facet Левитская, А.А.
citation_txt Теоремы инвариантности для одного класса систем случайных нелинейных уравнений над произвольным конечным кольцом с левой единицей / А.А. Левитская // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 6. — С. 106-115. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.
collection DSpace DC
container_title Кибернетика и системный анализ
first_indexed 2025-11-28T03:01:19Z
format Article
fulltext ÓÄÊ 519.21 À.À. ËÅÂÈÒÑÊÀß ÒÅÎÐÅÌÛ ÈÍÂÀÐÈÀÍÒÍÎÑÒÈ ÄËß ÎÄÍÎÃÎ ÊËÀÑÑÀ ÑÈÑÒÅÌ ÑËÓ×ÀÉÍÛÕ ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÍÀÄ ÏÐÎÈÇÂÎËÜÍÛÌ ÊÎÍÅ×ÍÛÌ ÊÎËÜÖÎÌ Ñ ËÅÂÎÉ ÅÄÈÍÈÖÅÉ Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñèñòåìà ñëó÷àéíûõ íåëèíåéíûõ (ëèíåéíûõ) óðàâíåíèé íàä êî- íå÷íûì êîëüöîì ñ ëåâîé åäèíèöåé (íàä êîíå÷íûì ïîëåì), ôàêòîðèàëüíûé ìî- ìåíò ÷èñëà íåíóëåâûõ ðåøåíèé ñèñòåìû, ðàñïðåäåëåíèå ÷èñëà íåíóëåâûõ ðåøå- íèé ñèñòåìû. Ïóñòü R — ïðîèçâîëüíîå êîíå÷íîå êîëüöî ñ ëåâîé åäèíèöåé. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî R �GF( )2 . Ðàññìîòðèì íàä R ñèñòåìó óðàâíåíèé k d i j j j j j j n j i k k k a x x i n s � � � � � � � � � � � � � 1 1 1 1 1 2 0 1, , ,� � � , (1) è äîïîëíèòåëüíî ê íåé, â ñëó÷àå íåêîììóòàòèâíîñòè R, åùå îäíó ñèñòåìó k d i j j j j j j n j i k k k a x x i n s � � � � � � � � � � 1 1 1 1 1 2 0 1, , , , , ,� � � , (1�) ãäå s — öåëî÷èñëåííàÿ êîíñòàíòà ïðîèçâîëüíîãî çíàêà, ai j jk, 1� — íåçàâèñèìûå â ñîâîêóïíîñòè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, d i , 2 � �d ni ; i n s� �1, , — íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Äëÿ ñîêðàùåíèÿ çàïèñè èññëåäîâàíèÿ ñèñòåì (1) è (1�) ïðîâåäåì îäíîâðåìåííî. Åñëè ïðè ýòîì áóäóò âîçíèêàòü ðàçëè÷èÿ ìåæäó ñîîòâåòñòâóþùèìè ïîíÿòèÿìè è òåîðåòè÷åñêèìè âûâîäàìè, êàñàþùèìèñÿ (1) è (1�), òî óñëîâèìñÿ îòìå÷àòü èõ íåîáõîäèìûìè êîììåíòàðèÿìè. Ïóñòü � n — ÷èñëî ðåøåíèé (1) ((1�)), îòëè÷íûõ îò íóëåâîãî âåêòîðà 0 � ( )0 0 .  äàííîé ðàáîòå ñèñòåìû (1), (1�) èññëåäóþòñÿ ïðè óñëîâèè, ÷òî ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ai j jk, 1� óäîâëåòâîðÿþò îãðàíè÷åíèÿì l m l c n n a z zn n i j jk 0 0 1 1( ) ln ( ),,� � � � � � P � R, (2) 1 1� �j j nk, ,� , k di�1, , i n s� �1, , ãäå l0 — ÷èñëî, ðàâíîå íàèìåíüøåé èç ìîùíîñòåé íåíóëåâûõ ëåâûõ èäåàëîâ R, m — ìîùíîñòü êîëüöà R, cn — ïðîèçâîëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñòðåìÿùàÿñÿ ê � ïðè n ��. Öåëü ðàáîòû — ïðè äàííûõ õàðàêòåðèñòèêàõ ñèñòåìû (1) ((1�)) è ïðè óñëîâèè, ÷òî n ��, óñòàíîâèòü âèä ïðåäåëüíûõ ôàêòîðèàëüíûõ ìîìåíòîâ � n è íà îñíîâàíèè ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ èññëåäîâàòü âîïðîñ î ïðåäåëüíîì ðàñïðåäåëåíèè � n , à òàêæå îïèñàòü ãåîìåòðè÷åñêóþ ñòðóêòóðó ìíîæåñòâà ðåøå- íèé (1) ((1�)) .  ðàáîòå [1] àíàëîãè÷íàÿ çàäà÷à ðåøåíà äëÿ ñëó÷àÿ ñèñòåìû (1) íàä R �GF( )q , ãäå îáëàñòü ñóììèðîâàíèÿ ïîä çíàêîì âòîðîé ñóììû (1) èìååò âèä 1 1 2� �j j j nk� , k di�1, , i n s� �1, . Êàê è â [1], íàðÿäó ñ ñèñòåìàìè (1), (1�) ââåäåì ñîîòâåòñòâóþùóþ èì ëèíåéíóþ ñèñòåìó a xi j j j n , � � � 0 1 , i n s� �1, , (3) ãäå ai j, , i n s� �1, , j n�1, , — íåçàâèñèìûå â ñîâîêóïíîñòè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, 106 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 6 © À.À. Ëåâèòñêàÿ, 2008 ðàñïðåäåëåíèÿ êîòîðûõ óäîâëåòâîðÿþò îãðàíè÷åíèÿì, àíàëîãè÷íûì (2), ò.å. l m l c n n a z zn n i j 0 P ( ) ln ( ),, 0 1� � � � � � R, i n s� �1, , j n�1, . (4)  äàëüíåéøåì áóäåì èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: � 0n — ÷èñëî íå- íóëåâûõ ðåøåíèé (3); R R R r r � � �� � �� �� — âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä R, ýëåìåíòà- ìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ r-ìåðíûå âåêòîðû-ñòîëáöû; u � � � � � � � � � � � � � � � � � u ur 1 . . . (âîçìîæíû èíäåêñû ââåðõó) — ýëåìåíò R r ; 0 — åäèíèöà àääèòèâíîé ãðóïïû R r ; I (âîçìîæíû èíäåêñû âíèçó) — íåêîòîðûé ëåâûé èäåàë R; I I r r i z z z i r� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � 1 1 . . . , , , � — r-ìåðíîå âåêòîð- íîå ïðîñòðàíñòâî íàä I; I I I I i1 2 1 1� � � � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � t t i z z z i t . . . , , , � � � � � � � � � � ; I I� � �{ :z z1 2 z z1 2, } I ; M r (âîçìîæíû èíäåêñû ââåðõó) — íåêîòîðûé ëåâûé ïîäìîäóëü R r ; u u 1 2 1 1 1 2 1 2 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � u u u ur r . . . , u u R 1 2, r ; z z u z ur u 2 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � . . . , u R r ; � � � �M Mr ru v u v 2 � � : , ; � �x � x xn1 , ,� (âîçìîæíû èíäåêñû ââåðõó) — n-ìåðíûé âåêòîð, êîîðäèíàòû êî- òîðîãî ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè R; X x x r r nx x � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 1 1 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .x xr n r1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � ; a Xi r k d i j j j j j j r j i k k x x x x x � � �� 1 1 1 1 1 1 2 1 a , ... . . . . . . . . . 2 r j rx k . . . � � � � � �� � � � � � �� , i n s� �1, , ãäå îáëàñòü ñóììèðîâàíèÿ � � � � � � �1 1j j nk� â ñëó÷àå ñèñòåìû (1) è � � � � �1 1j j nk, ,� äëÿ ñèñòåìû (1�); a Xi r i j j n j j r a x x 0 1 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � , . . . , i n s� �1, ; ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 6 107 N XM r r j j n j j r j j n x x n x � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! � � � �: . . . � 1 1 1 j j r j j x n j n 1 1 . . . , , , , � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � !� R Z � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �M r , ò.å. N M r — ìíîæåñòâî ìàòðèö X r , ñòîëáöû êàæäîé èç êîòîðûõ ïîðîæäàþò ìîäóëü M r (oòìåòèì, ÷òî â ïîñëåäíèõ òðåõ âûðàæåíèÿõ ñëîæåíèå è óìíîæåíèå ïîä çíàêîì ñóììû ïðîèçâîäèòñÿ ïîêîìïîíåíòíî ïî ìîäóëþ m ); � �i r i r( ) ( ( ))( ) X X� 0 — èí- äèêàòîð ñîáûòèÿ � �a Xi r � 0 ({ })( ) a X i r 0 � 0 , i n s� �1, , " "T — ìîùíîñòü ìíîæåñò- âà T; k j x x j nr j j r u X u( ) : . . . , ,� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 1 � � � � � � � � � � � � # $ # # # # # # # % & % % % % % % % , u R r ; � �� �n r i r i n s r rM MX N X� � ' ' ' ' ' ' � � (: 1 1 ; � �� �0 0 1 1n r i r i n s r rM MX N X� � ' ' ' ' ' ' � � (: ( ) . Óñëîâèìñÿ âïðåäü ñ÷èòàòü, ÷òî âñå àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íàä ýëåìåíòàìè R r ïðîèçâîäÿòñÿ ïî ìîäóëþ m , òå æå îïåðàöèè íàä âåëè÷èíàìè, íå ÿâëÿþùèìèñÿ ýëåìåíòàìè R r , — ýòî îáû÷íûå îïåðàöèè â ïîëå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. Íàïîìíèì íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû èç [2, ãë. 9], êîòîðûå ïðåäïîëàãàåì èñïîëüçî- âàòü ñóùåñòâåííî â íàøèõ ðàññóæäåíèÿõ îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû (1) ((1�)). Èòàê, â [2, ãë. 9] äîêàçàíî, ÷òî äëÿ ñèñòåìû (3) óñëîâèÿ (4) â äàííîé òåðìèíî- ëîãèè ÿâëÿþòñÿ ãðàíèöåé îáëàñòè èíâàðèàíòíîñòè äëÿ ïðåäåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû � 0n è ïðåäåëà ëþáîãî êîíå÷íîãî ìîìåíòà M� 0n r (r — íàòó- ðàëüíîå ÷èñëî), êîãäà n ��, ïðè÷åì ïðåäåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå � 0n è lim n n r � � M� 0 èìåþò ñîîòâåòñòâåííî òå æå çíà÷åíèÿ, ÷òî è â ñëó÷àå P ( ) , ( )a z i j 0 � � m�1, z R, i n s� �1, , j n�1, . Êðîìå òîãî, çäåñü òàêæå óñòàíîâëåíû ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ äëÿ M� 0n r è lim n n r �� M� 0 : � �M M M� � � 0 0 0 1 n r n r i i n s r nr r r r r r r � � ) ) � � � �� � � (M M R M R X N M X ~ n k n ir r r r r r r r ~ : ( )~ , �� ) � �� �P 0 X N X X M u M M R M u a X( )(0) i r 1 n s� ( � (5) � � � � ) � � � (� k n k n r n s r r r r r r r n k u u u M X M u M u u M M R M ( )~ , ( )! [ ( )]1 1! * �**� �� o cn n n r s n n r r r � � ) �� * �*** �� M M R lim M� 0 , ãäå ñóììèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî âñåì ëåâûì ïîäìîäóëÿì M r ìîäóëÿ R r è ïî âñåì ìàòðèöàì X N Mr r . 108 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 6 Êàê è â [1], âåðîÿòíîñòíûé àíàëèç ñèñòåìû (1) ((1�)) íà÷íåì ñ âû÷èñëåíèÿ ôàê- òîðèàëüíûõ ìîìåíòîâ � � � �M M� � � �n r n n n r� � � ! def 1 1... ( ), r — íåêîòîðîå íàòó- ðàëüíîå ÷èñëî. Ìîæíî çàïèñàòü � � � �M M� �n r i r i n s X r � � � (� X 1 , (6) ãäå ñóììèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî ðàçëè÷íûì ìàòðèöàì X r , âñå ñòðîêè êîòîðûõ îò- ëè÷íû îò íóëåâîãî âåêòîðà è äðóã îò äðóãà. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ M ( )� n r èñïîëüçóåì ïîäõîä, ïðåäëîæåííûé â [2, ãë. 9] äëÿ âû÷èñëåíèÿ M� 0n r . Âûäåëèì èç âñåãî ìíîæåñòâà ïîäìîäóëåé ìîäóëÿ R r êëàññ K r òàêèõ ìîäóëåé " " M u u M r r�{ , , }1 � , ó ñîîòâåòñòâóþùèõ ìàòðèö " "� , ,M u u M r r� � � � � � � � def def 1 � " " " " � � � � � � � � � � � � def u u u u r r r r 1 1 1 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M M � � � � � êîòîðûõ âñå ñòðîêè ðàçëè÷íû è îòëè÷íû îò (0…0). Òåïåðü ïåðåïèøåì ïðàâóþ ÷àñòü (6): M M M( ) ( )� � �n r n i n s r r r r r rr r � � � � � �� ( M K M X NM K M X 1 � � � � � � ( M K X N M a X r r r r i n s i rM P 0 1 ( ) . (7) Äëÿ ìîäóëåé èç K r ââåäåì ïîíÿòèÿ ðàñøèðÿåìîñòè è íåðàñøèðÿåìîñòè. Îïðåäåëåíèå 1. Ìîäóëü M Kr r íàçûâàåòñÿ ðàñøèðÿåìûì, åñëè ñóùåñòâóþò ýëåìåíòû u v M, r (íå îáÿçàòåëüíî u v� ), ÷òî u v M� + r . Îïðåäåëåíèå 2. Åñëè u v M� r äëÿ âñåõ u v M, r , òî ìîäóëü M r íàçûâàåòñÿ íåðàñøèðÿåìûì. Ïðèìåðàìè íåðàñøèðÿåìûõ ìîäóëåé â K r ÿâëÿþòñÿ âñå ìîäóëè âèäà I I I1 2� � �� k , ãäå I j j k, ,�1 , — ëåâûå èäåàëû êîëüöà, R ñðåäè ïîñëåäíèõ ìîãóò âñòðå÷àòüñÿ êàê îäèíàêîâûå, òàê è ñîâïàäàþùèå ñ ñàìèì êîëüöîì R. Îäíàêî, ïîìè- ìî íåðàñøèðÿåìûõ ìîäóëåé óêàçàííîãî âèäà â ñëó÷àå R �GF( )q , â R r ñóùåñòâóþò è äðóãèå íåðàñøèðÿåìûå ìîäóëè. Ïðèìåð 1. Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå R êîëüöî � �Z 4 0 1 2 3� , , , âû÷åòîâ ïî ìîäó- ëþ 4. R èìååò åäèíñòâåííûé, îòëè÷íûé îò ñàìîãî R, íåíóëåâîé èäåàë � �I � 0 2, . Ëåã- êî ïðîâåðèòü, ÷òî íåðàñøèðÿåìûìè ñîáñòâåííûìè ïîäìîäóëÿìè ìîäóëÿ Z 4 2 ÿâëÿ- þòñÿ ñëåäóþùèå ýëåìåíòû èç K 2 : M1 1 3 2 2 3 1 3 3 0 2 � � � �� � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �, , , , � � � � � � � �� � � � � � � � � � � ��� � , , 1 1 2 0 0 0 , M I2 2� , M I Z3 4� � , M Z I4 4� � . Ìíîæåñòâî âñåõ íåðàñøèðÿåìûõ ìîäóëåé â K r îáîçíà÷èì K r 0 . Íà îñíîâàíèè ëåììû 1 [1] ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå. Óòâåðæäåíèå. Åñëè R �GF( )q , òî ëþáîé ñîáñòâåííûé ïîäìîäóëü M Kr r ìîäóëÿ � �R r r q� GF( ) ìîæåò áûòü ðàñøèðåí äî R r äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî r.  [1] ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå èãðàåò êëþ÷åâóþ ðîëü ïðè îáîñíîâàíèè ñõîäè- ìîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà � n íåíóëåâûõ ðåøåíèé ñèñòåìû (1) íàä R �GF( )q , ãäå ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 6 109 îáëàñòü ñóììèðîâàíèÿ ïîä çíàêîì âòîðîé ñóììû â (1) èìååò âèä 1 1 2� j j � j nk � , k di�1, , i n s� �1, , ê çàêîíó Ïóàññîíà, êîãäà n ��. Äëÿ êîíå÷íûõ êî- ëåö R �GF( )2 , êàê ïîêàçûâàåò ïðèìåð 1, óòâåðæäåíèå 1 íå èìååò ìåñòà, ïîýòîìó çäåñü ñëåäóåò îæèäàòü èíûõ ðåçóëüòàòîâ, îòëè÷íûõ îò óñòàíîâëåíûõ â [1]. Çàôèêñèðóåì íåêîòîðóþ ìàòðèöó X N Mr r , M Kr r 0 . Îáîçíà÷èì �X ri ìàòðè- öó, ïîëó÷åííóþ èç X r äîáàâëåíèåì ñòîëáöîâ âèäà x x x x j j j r j r k k 1 1 1 1� � � � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , ãäå 1 1� � � �j j nk� , k di�1, , åñëè ðå÷ü èäåò î ñèñòåìå (1), è 1 1� �j j nk,... , , i k d i� , , â ñëó÷àå ñèñòåìû (1'), i n s� �1, . Ïîñêîëüêó M Kr r 0 , òî X N M� r r , i n s� �1, . Åñëè æå X N Mr r , ãäå M Kr r+ 0 , òî, î÷åâèäíî, X N M � �ri ri , ãäå M �ri — íåêî- òîðûé ïîäìîäóëü R r , ïîðîæäàåìûé ñòîëáöàìè ìàòðèöû X N M� �ri r , äëÿ êîòîðîãî M r ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì ïîäìîäóëåì, ò.å. M Mri r, � , i n s� �1, . Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå òîëüêî ÷òî ñêàçàííîå, íå ïðåäñòàâëÿåò òðóäà äîêàçàòü ñëåäóþùèå ëåììû. Ëåììà 1. Åñëè M Kr r 0 , òî " "lim n n r s r�� �M � M M . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü M Kr r 0 . Íà îñíîâàíèè òåîðåìû 1 è ïðèìåðîâ, ïðèâå- äåííûõ â [2] (ãë. 8, §§ 8.2, 8.3), äëÿ P 0( )a Xi r � , i n s� �1, , ãäå X N Mr r è X N M� ri r , i n s� �1, , ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå îöåíêè: min ( ) ( ) max { ( )} ( ) { }P P P 0 P 0 P a z i r i r a zij ij� � � � � �a X a X 0 ( ) ( )( ) a X i r 0 � 0 , (8) ãäå min è max áåðóòñÿ ïî âñåì ðàñïðåäåëåíèÿì ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí aij , i n s� �1, , j n s� �1, , óäîâëåòâîðÿþùèì óñëîâèÿì (4).  ñèëó (5), (7), (8) � �M P 0� n i n s i r nr r r a M X N M X� � � � � �� ( 1 ~ n k n i r n i n r r r r r r ~ : ( )~ , ( ) ~( )�� �� � � �P 0 MX N X X M u Mu a X 0 1 � ( s r s M , (9) ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Ëåììà 2. Äëÿ ëþáîãî ðàñøèðÿåìîãî ìîäóëÿ M K Kr r r \ 0 èìååò ìåñòî ñîîò- íîøåíèå lim n n r�� �M� M 0 . Äîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó (7), (8) äëÿ M �n rM èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå îöåíêè: �0 1 � � � � � �� � (M M P 0� n i n s i r n r r r M X N M a X ) ~ 110 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 6 � �� - �� �~ : ( ) ( ) ~/ ( )( ) n k n i r ir r r r r n r P 0 X N X u M X M M u a X 0 � � ( ! 1 n s ! � � � �� � ( P 0 X N X X M u M M a X r r r r n r rk n i r i n s : ( ) ~ ,u ( ) 1 . (10) Ñîãëàñíî (5) ïåðâàÿ ñóììà â ïðàâîé ÷àñòè âûðàæåíèÿ (10) ïðè n �� ñòðåìèò- ñÿ ê 0, à ÷òî êàñàåòñÿ âòîðîé, òî, ïîñêîëüêó äëÿ ëþáîãî i n s� �1, X N M� �ri ri , ãäå M �ri — íåêîòîðûé ìîäóëü, äëÿ êîòîðîãî ìîäóëü M r ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì ïîäìî- äóëåì, âåðîÿòíîñòü P 0( ) ~ [ ( )]a X Mi r n ri nO c n� � ! �� � � �1 1 11 . Ïîýòîìó è â ñèëó íå- ðàâåíñòâà " " " "M Mr ri � âòîðàÿ ñóììà ïðè n �� ñòðåìèòñÿ ê çíà÷åíèþ " " " "M Mr n ri i n s n n O c� � � � � � � � � � ! * �**� � � � ��( 1 1 11 0[ ( )] . Òàêèì îáðàçîì, óòâåðæäåíèå äîêàçàíî. Ëåììû 1 è 2 ïîçâîëÿþò ïåðåéòè ê äîêàçàòåëüñòâó ñëåäóþùèõ îñíîâíûõ ðå- çóëüòàòîâ äàííîé ðàáîòû. Òåîðåìà 1. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (2) äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî r � � " "lim n n r r s r r �� � �M � M M K 0 . (11) Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî (7) M M M( ) \ � � �n r n nr r r r r r r � ! � �M M K M M K K 0 0 . (12) Íà îñíîâàíèè ëåììû 2 âòîðàÿ ñóììà â (12) ïðè n �� ñòðåìèòñÿ ê 0, à â ñèëó ëåììû 1 ñóììà M M K M M K M r r r r r n n r s �� � �* �*** 0 0 � , ÷òî è äîêàçûâàåò (11). Ñëåäñòâèå 1. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (2) äëÿ ëþáîãî íàáîðà x x 1 , ,� r íå- òðèâèàëüíûõ è îòëè÷íûõ äðóã îò äðóãà ðåøåíèé ñèñòåìû (1) ((1�)) ñ âåðîÿòíîñòüþ, ñòðåìÿùåéñÿ ê 1 ïðè n ��, ñóùåñòâóåò ìîäóëü M Kr r 0 òàêîé, ÷òî ñîîòâåòñòâóþ- ùàÿ ìàòðèöà X x x N Mr r r � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 . . . è ïðè ýòîì k u X M ( ) ~ ,r n r n �� u M r . Çàìå÷àíèå. Äëÿ ñëó÷àÿ R �GF( )q â [1] äîêàçàíî, ÷òî ïðè n �� ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû � n ñòðåìèòñÿ ê çàêîíó Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì qs. Äàííûé ðå- çóëüòàò ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî � �lim n n r srq �� �M � , ãäå r — ôèêñèðîâàííîå íàòóðàëü- íîå ÷èñëî. Åñëè æå R �GF( )q , òî â R ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäèí ëåâûé èäåàë, îòëè÷- íûé îò R è { }0 .  ñèëó ñâîåãî îïðåäåëåíèÿ èäåàëû R (è òîëüêî îíè!) ÿâëÿþòñÿ íå- ðàñøèðÿåìûìè ïîäìîäóëÿìè R. Ïîýòîìó lim ( ) lim n n n n s �� �� ) � � �M M1� � I I R , ãäå ñóììèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî âñåì ëåâûì èäåàëàì êîëüöà R. Äàëåå, íà îñíîâàíèè (11) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 6 111 lim ( ) n n s �� ) � �M 2� M M K 2 2 2 0 . Îäíàêî M I M K I R 2 2 2 2 0 s s ) ) � �� � � � � � � � � , ïîñêîëüêó R — êîëüöî è, êàê âèäíî èç ïðèìåðà 1, K 2 0 ïîìèìî ìîäóëåé âèäà I I1 2� , ãäå I I1 2, ïðîáåãàþò ìíîæåñòâî ëåâûõ èäåàëîâ R, îòëè÷íûõ îò {0}, ñîäåðæèò íåðàñøèðÿåìûå ìîäóëè è èíîãî âèäà. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ R �GF( )q ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû � n ïðè n �� íå ìîæåò ñòðåìèòüñÿ ê çàêîíó Ïóàññîíà. Òåì íå ìåíåå äëÿ ðåøåíèé îïðåäåëåííîãî âèäà çàêîí Ïóàññîíà èìååò ìåñòî è â ñëó÷àå R GF� ( )q . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â R ñóùåñòâóþò èäåàëû, èçîìîðôíûå ïîëÿì. Âûäåëèì èõ: � �I I D01 0 0, ,� t � . Îòíîñèòåëüíî òàêèõ èäåàëîâ ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå òåîðåìû. Òåîðåìà 2. Åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ (2), òî äëÿ ëþáîãî êîíå÷íîãî r " "lim ( ) , , n n r i rs i i t �� � �M � I I 0 0 1 . (13) Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2 àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó ñîîò- âåòñòâóþùåãî óòâåðæäåíèÿ äëÿ ñëó÷àÿ R �GF( )q , ïðèâåäåííîãî â [1]. Ñëåäñòâèå 2. Äëÿ êàæäîãî ôèêñèðîâàííîãî i i t, ,�1 , ïðè âûïîëíåíèè óñëî- âèé (2) äëÿ ëþáîãî íàáîðà x x 1 , ,� r íåíóëåâûõ è îòëè÷íûõ äðóã îò äðóãà ðåøåíèé x j i N I0 , j r�1, , ñ âåðîÿòíîñòüþ, ñòðåìÿùåéñÿ ê 1, êîãäà n ��, èìåþò ìåñòî ñî- îòíîøåíèÿ: " " k n r n i ru X I ( ) ~ �� 0 , u I 0i r , ãäå X x x r r � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 . . . . Òåîðåìà 3. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ (2). Òîãäà äëÿ êàæäîãî ôèêñèðîâàííîãî i i t, ,�1 , ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà � n iI0 ïðè n �� ðàñïðåäåëåíà ïî çàêîíó Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì " "I 0i s . Äîêàçàòåëüñòâî. Íà îñíîâàíèè òåîðåìû 1 èç [3, ñ. 26] òåîðåìà 2 îáåñïå÷èâàåò âûïîëíåíèå óñëîâèé " "lim ( ) / ! / !, n n r i rs i r r �� �M � I I 0 0 r �1 2, , � , ïðè êîòîðûõ ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû � n iI0 ïðè n �� ñòðåìèòñÿ ê çàêîíó Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì " "I 0 i s , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Íà îñíîâàíèè òåîðåì 2 è 3 ñôîðìóëèðóåì áîëåå îáùåå óòâåðæäåíèå. Òåîðåìà 4. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ (2), è ïóñòü äëÿ êîëüöà R ìíîæåñòâî D0 � ./ Òîãäà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà � nD0 , ðàâíàÿ ÷èñëó ðåøåíèé ñèñòåìû (1) ((1�)), êàæäîå èç êîòîðûõ ïðèíàäëåæèò îäíîìó èç ìíîæåñòâ N I , I D 0 , ïðè n �� ðàñ- ïðåäåëåíà ïî çàêîíó Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì " "I 0 1 i s i k � � . Ïðè ýòîì äëÿ ëþáîãî íàáîðà íåíóëåâûõ è îòëè÷íûõ äðóã îò äðóãà ðåøåíèé x x 1 , ,� r ñèñòåìû (1) ((1�)), äëÿ êî- òîðîãî ñîîòâåòñòâóþùàÿ ìàòðèöà X x x N I Ir r i ir � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 0 1 0 . . . � , ãäå I D0 0i j , j r�1, , 112 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 6 r — íåêîòîðîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, ñ âåðîÿòíîñòüþ, ñòðåìÿùåéñÿ ê 1, êîãäà n ��, èìåþò ìåñòî ñîîòíîøåíèÿ " " k n r i j i i j r ru X I u I I( ) ~ , 0 1 0 01 � ( � �� . Ïðèìåð 2. Ðàññìîòðèì êîëüöî R Z� �6 {0, 1, 2, 3, 4, 5} âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ 6. R ñîäåðæèò äâà èäåàëà: I1 3 0�{ , } è I 2 2 4 0�{ , , }. Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ýòè èäåà- ëû èçîìîðôíû ñîîòâåòñòâåííî GF( )2 è GF( )3 . Òàêèì îáðàçîì, � �D I I0 1 2� , . Íà îñíîâàíèè òåîðåì 3, 4 ìîæíî ñäåëàòü ñëåäóþùèé âûâîä: ïðè âûïîëíåíèè óñëî- âèé (2) ðàñïðåäåëåíèå êàæäîé èç ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí �nI1 , �n I2 , �n D 0 ïðè n �� ñòðåìèòñÿ ê çàêîíó Ïóàññîíà ñîîòâåòñòâåííî ñ ïàðàìåòðîì 2s, 3s, 2 3s s! . Çàìåòèì, ÷òî â îòëè÷èå îò òåîðåì 1–3 ñòàòüè [1] â ôîðìóëèðîâêàõ, àíàëîãè÷- íûõ òåîðåì 1–4 íàñòîÿùåé ðàáîòû, íå ãîâîðèòñÿ, ÷òî óñëîâèÿ (2) îïðåäåëÿþò ãðà- íèöó îáëàñòè èíâàðèàíòíîñòè ñîîòâåòñòâóþùèõ âåðîÿòíîñòíûõ õàðàêòåðèñòèê ñèñ- òåìû (1) ((1�)). Çäåñü óñëîâèÿ (2) âûñòóïàþò â ðîëè äîñòàòî÷íûõ. Áóäóò ëè îíè è íå- îáõîäèìûìè, ò.å. îïðåäåëÿþò ëè îíè (â äàííîé òåðìèíîëîãèè) ãðàíèöó îáëàñòè èíâàðèàíòíîñòè � �M � n r è ðàñïðåäåëåíèé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí � n i i tI0 1, ,� , �n D0 , êîãäà n ��, çàâèñèò, âîîáùå ãîâîðÿ, îò âèäà ñàìîé íåëèíåéíîé ñèñòåìû (1) ((1�)) è îò ñòðóêòóðíûõ îñîáåííîñòåé êîëüöà R. Äåéñòâèòåëüíî, èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå òåîðåìû. Òåîðåìà 5. Åñëè â óðàâíåíèÿõ ñèñòåìû (1) ((1�)) îòñóòñòâóþò ñëàãàåìûå âèäà ax k d i n sk i, , , ,� � �2 1 , è äëÿ ðàñïðåäåëåíèé êîýôôèöèåíòîâ ñèñòåìû âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ, àíàëîãè÷íûå (2), òî ïîñëåäíèå (â äàííîé òåðìèíîëîãèè) ÿâëÿþòñÿ íåîáõî- äèìûìè è äîñòàòî÷íûìè äëÿ ñïðàâåäëèâîñòè óòâåðæäåíèé òåîðåìû 1–4. Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî óñëîâèÿ (2) â äàííîé òåðìèíîëîãèè îïðåäåëÿþò ãðàíèöó îáëàñòè èíâàðèàíòíîñòè lim , n n �� M � I0 ãäå I 0 — ìèíèìàëüíûé ïî ìîùíîñòè íåíóëåâîé ëåâûé èäåàë R, ò.å. | I 0 0| � l . Íà îñíîâàíèè (9) ìîæíî çàïèñàòü �M P 0�n i i n s xI x N I a 0 0 1 � � � � � ( ) . (14) Ðàññìîòðèì ÷àñòü ñóììû (14), êîòîðàÿ ñîîòâåòñòâóåò âåêòîðàì x N I 0 ó êîòî- ðûõ îäíà èç êîîðäèíàò ôèêñèðîâàíà è ðàâíà z0 0 0 I \ , à îñòàëüíûå ðàâíû 0. Îáîçíà÷èì ýòó ÷àñòü sn .  ñèëó ðåçóëüòàòîâ § 8.3 [2] äëÿ sn ñïðàâåäëèâà òî÷íàÿ âåðõíÿÿ îöåíêà s n l l m n c n n n n s n n s n n � � ! � � � � 0 $# 1 &% � � � 0 01 1 1 1( ) [ ( )( )] ln � � � � s n ~ ~ ln n c n nne cn �� � �� 1. Îòñþäà ïîëó÷àåì, åñëè cn n � � �� / , òî âåðõíÿÿ îöåíêà äëÿ sn íå ñòðåìèòñÿ ê 0, ò.å. óñëîâèÿ (2), ãäå cn n � � �� / , íå ìîãóò îïðåäåëÿòü ãðàíèöó îáëàñòè èíâàðèàíò- íîñòè äëÿ lim n n �� M� I 0 , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Òåîðåìó 5 ìîæíî ïåðåôîðìóëèðîâàòü â òàêîì âèäå. Òåîðåìà 5�. Åñëè â ñèñòåìå (1) ((1�)) îáëàñòü ñóììèðîâàíèÿ ïîä çíàêîì âòîðîé ñóììû èìååò âèä 1 1� �j j nk� , (1 1� � � �j j n j j i tk i t, , ; ,� ), òî óñëîâèÿ (2) (â äàííîé òåðìèíîëîãèè) ÿâëÿþòñÿ íåîáõîäèìûìè è äîñòàòî÷íûìè äëÿ ñïðàâåäëè- âîñòè óòâåðæäåíèé òåîðåì 1–4. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 6 113 Òåîðåìà 6. Åñëè â êîëüöå R ñðåäè ìèíèìàëüíûõ ïî ìîùíîñòè íåíóëåâûõ ëå- âûõ èäåàëîâ ñóùåñòâóåò èäåàë I 0 , äëÿ êîòîðîãî I I0 0 0� �{ }, òî óñëîâèÿ (2) (â äàí- íîé òåðìèíîëîãèè) ÿâëÿþòñÿ íåîáõîäèìûìè è äîñòàòî÷íûìè äëÿ ñïðàâåäëèâîñòè óòâåðæäåíèé òåîðåì 1–4. Äîêàçàòåëüñòâî. Èç óñëîâèÿ òåîðåìû 6 ñëåäóåò, ÷òî " "I 0 0� l è z 2 0� äëÿ ëþ- áîãî z I 0 . Òåïåðü, èñïîëüçóÿ ïîñëåäíåå è ïîëíîñòüþ ïîâòîðÿÿ ðàññóæäåíèÿ äîêà- çàòåëüñòâà òåîðåìû 5, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî óñëîâèÿ (2) â äàííîé òåðìèíîëîãèè îïðåäåëÿþò ãðàíèöó îáëàñòè èíâàðèàíòíîñòè äëÿ lim n n �� M� I0 , ÷òî è äîêàçûâàåò ñïðàâåäëèâîñòü óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû. Òåîðåìà 7. Ïóñòü â êîëüöå R íå ñóùåñòâóåò ëåâîãî èäåàëà I, äëÿ êîòîðîãî I I� �{ }0 , è ïóñòü â ñèñòåìå (1) ((1�))d d i n si � � �, ,1 , à êîýôôèöèåíòû óäîâëåòâîðÿ- þò óñëîâèÿì l m l c n dn a z zn n i j jk 0 0 1 1( ) ln ( ),, ,...,� � � � � � P R, (15) 1 11� � �j j n k dk, , , ,� , ãäå l m cn0 , , òå æå, ÷òî è â (2). Òîãäà óñëîâèÿ (15) (â äàííîé òåðìèíîëîãèè) ÿâ- ëÿþòñÿ íåîáõîäèìûìè è äîñòàòî÷íûìè äëÿ ñïðàâåäëèâîñòè óòâåðæäåíèé, àíàëî- ãè÷íûõ óòâåðæäåíèÿì òåîðåì 1–4. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü I 0 — îòëè÷íûé îò {0} ìèíèìàëüíûé ïî ìîùíîñòè ëå- âûé èäåàë R, ò.å. " "I 0 0� l . Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 7, êàê è â àíàëîãè÷íîì ñëó- ÷àå ïðè d �1 â [2], äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî óñëîâèÿ (15) â äàííîé òåðìèíîëîãèè îïðåäåëÿþò ãðàíèöó îáëàñòè èíâàðèàíòíîñòè äëÿ lim n n �� M� I0 . Ïîñêîëüêó â ñèëó îïðåäåëåíèÿ I 0 âñå ýëåìåíòû z I 0 0\ òàêîâû, ÷òî R Iz � 0 , òî÷íàÿ íèæíÿÿ è òî÷íàÿ âåðõíÿÿ îöåíêè äëÿ M�n I0 èìåþò ñîîòâåòñòâåííî âèä L n k l z z k z k n k n n s z z z * , ( )! ! [ ( , � � � � � �� � � (� I I I 0 0 0 0 0 1 1 m n k n s� ) ] � , L n k l l z z k z k n k n n s z z z * , ! ! [ ( , ( )� � ! � �� � � (� I I I 0 0 0 0 0 01 � � �1 1)( ) ]m n k n s� , ãäå k k0 0� ( )x — ÷èñëî íóëåâûõ êîîðäèíàò â âåêòîðå x N I 0 , k k k z zt d t z z d � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 0 $ # # � �� � I I 0 0 01 0 1 \ \# 1 & % % % � � k z z 1 0 0I \ . Èç âèäà íèæíåé îöåíêè L * ñëåäóåò, ÷òî L n k l n z z k n l z k n n s z n z z * ~ , ( )~ ! !�� �� � � (� �� � I I I 00 0 0 0 1� � � 0 $ # 1 & % 0 $ # # 1 & % % � �� 1 1 0 0 l c n l dn n k n s n ln ( ) ~ ~ [ ( ) ] n nls cnn n s ls O c n n nd nd nd �� � � �� � � � � � *� � � ! ��0 1 0 � � � �**** ls 0, ãäå �nd dl n l l n l d � � � � � (( ) / ) (( ) / ) 0 0 0 0 1 1 1 1 . (16) 114 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 6 Ïðèñòóïèì ê àíàëèçó L* . Ôèêñèðóåì íåêîòîðûé ýëåìåíò z 0 0 0 I \ è âûäåëèì â L* òó ÷àñòü sn ñóììû, â ñëàãàåìûõ êîòîðîé k z0 1� , k z � 0 , z z 2I 0 0 0\ { }, ò.å. s n ln n s� � �� � 0 ( ) � �� ! � � �[ ( ) ]1 1 10l m n d n s� .  ðåçóëüòàòå àñèìïòîòè÷åñêîãî àíàëèçà sn èìååì s l l l l c n n n n n s n kz ~ ( ) ln( ) �� � � ! � � � � � � �� � � �� 0 $ #0 0 0 0 1 1 1 1 1 & % � �n s n c n n cn n s n n1 1� � � � � � � � �� �ln ~ . (17) ×òî êàñàåòñÿ îñòàâøåéñÿ ÷àñòè îöåíêè L* , ò.å. ñóììû L sn * � , òî L s n k ln n z z k n l z k n n z n z z * ~ , (~ ! ! � � �� �� � � (� �� I I I 00 0 0 0 s n k n s n l m) [ ( )( ) ] ~1 1 10! � � � �� � ~ ~n s n n sl O c n lnd nd �� � �� � � � � � �� !0 $# 1 &% * �*** 0 0 1 � � , ãäå �nd îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (16). Èòàê, íà îñíîâàíèè ïîëó÷åííûõ îöåíîê äëÿ L* , sn è L sn * � ìîæíî ñäåëàòü ñëå- äóþùèé âûâîä: ïðè 2 � �d n óñëîâèÿ (15) (â äàííîé òåðìèíîëîãèè) ÿâëÿþòñÿ äîñ- òàòî÷íûìè äëÿ òîãî, ÷òîáû lim n n sl �� �M� I0 0 . Îäíàêî â ñèëó (17) ïðè cn n � � �� / ñóììà sn íå ñòðåìèòñÿ ê 0, êîãäà n ��. Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèÿ (15) (â äàííîé òåð- ìèíîëîãèè) ÿâëÿþòñÿ íå òîëüêî äîñòàòî÷íûìè, íî è íåîáõîäèìûìè, ÷òîáû lim n n sl �� �M� I0 0 , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Âûðàæàþ áëàãîäàðíîñòü Î.À. Êîðîëü çà ïîìîùü â îôîðìëåíèè ðàáîòû. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ë å â è ò ñ ê à ÿ À . À . Òåîðåìû èíâàðèàíòíîñòè äëÿ îäíîãî êëàññà íåëèíåéíûõ ñèñèòåì óðàâíåíèé íàä ïðîèçâîëüíûì êîíå÷íûì ïîëåì // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 1996. — ¹ 2. — Ñ. 103–112. 2. Ê î â à ë å í ê î È . Í . , Ë å â è ò ñ ê à ÿ À . À . , Ñ à â ÷ ó ê Ì . Í . Èçáðàííûå çàäà÷è âåðîÿòíîñòíîé êîìáèíàòîðèêè. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1986. — 223 ñ. 3. Ñ à ÷ ê î â  . Í . Ââåäåíèå â êîìáèíàòîðíûå ìåòîäû äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè. — Ì.: Íàóêà, 1982. — 384 ñ. Ïîñòóïèëà 27.03.2008 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 6 115
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-44280
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn 0023-1274
language Russian
last_indexed 2025-11-28T03:01:19Z
publishDate 2008
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format dspace
spelling Левитская, А.А.
2013-05-27T17:59:16Z
2013-05-27T17:59:16Z
2008
Теоремы инвариантности для одного класса систем случайных нелинейных уравнений над произвольным конечным кольцом с левой единицей / А.А. Левитская // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 6. — С. 106-115. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.
0023-1274
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44280
519.21
Выражаю благодарность О.А. Король за помощь в оформлении работы.
ru
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
Кибернетика и системный анализ
Системный анализ
Теоремы инвариантности для одного класса систем случайных нелинейных уравнений над произвольным конечным кольцом с левой единицей
Article
published earlier
spellingShingle Теоремы инвариантности для одного класса систем случайных нелинейных уравнений над произвольным конечным кольцом с левой единицей
Левитская, А.А.
Системный анализ
title Теоремы инвариантности для одного класса систем случайных нелинейных уравнений над произвольным конечным кольцом с левой единицей
title_full Теоремы инвариантности для одного класса систем случайных нелинейных уравнений над произвольным конечным кольцом с левой единицей
title_fullStr Теоремы инвариантности для одного класса систем случайных нелинейных уравнений над произвольным конечным кольцом с левой единицей
title_full_unstemmed Теоремы инвариантности для одного класса систем случайных нелинейных уравнений над произвольным конечным кольцом с левой единицей
title_short Теоремы инвариантности для одного класса систем случайных нелинейных уравнений над произвольным конечным кольцом с левой единицей
title_sort теоремы инвариантности для одного класса систем случайных нелинейных уравнений над произвольным конечным кольцом с левой единицей
topic Системный анализ
topic_facet Системный анализ
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44280
work_keys_str_mv AT levitskaâaa teoremyinvariantnostidlâodnogoklassasistemslučainyhnelineinyhuravneniinadproizvolʹnymkonečnymkolʹcomslevoiedinicei

Ähnliche Einträge