Стохастический метод последовательных приближений для оценки риска неплатежеспособности страховой компании
Работа посвящена аналитико-статистическим оценкам (модификациям метода Монте-Карло) вероятности разорения (обрыва) так называемого процесса риска, который описывает стохастическую эволюцию капитала страховой компании....
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Datum: | 2008 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2008
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44281 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Стохастический метод последовательных приближений для оценки риска неплатежеспособности страховой компании / Б.В. Норкин // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 6. — С. 116-130. — Бібліогр.: 37 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-44281 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Норкин, Б.В. 2013-05-27T18:01:17Z 2013-05-27T18:01:17Z 2008 Стохастический метод последовательных приближений для оценки риска неплатежеспособности страховой компании / Б.В. Норкин // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 6. — С. 116-130. — Бібліогр.: 37 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44281 519.21 Работа посвящена аналитико-статистическим оценкам (модификациям метода Монте-Карло) вероятности разорения (обрыва) так называемого процесса риска, который описывает стохастическую эволюцию капитала страховой компании. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Стохастический метод последовательных приближений для оценки риска неплатежеспособности страховой компании Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Стохастический метод последовательных приближений для оценки риска неплатежеспособности страховой компании |
| spellingShingle |
Стохастический метод последовательных приближений для оценки риска неплатежеспособности страховой компании Норкин, Б.В. Системный анализ |
| title_short |
Стохастический метод последовательных приближений для оценки риска неплатежеспособности страховой компании |
| title_full |
Стохастический метод последовательных приближений для оценки риска неплатежеспособности страховой компании |
| title_fullStr |
Стохастический метод последовательных приближений для оценки риска неплатежеспособности страховой компании |
| title_full_unstemmed |
Стохастический метод последовательных приближений для оценки риска неплатежеспособности страховой компании |
| title_sort |
стохастический метод последовательных приближений для оценки риска неплатежеспособности страховой компании |
| author |
Норкин, Б.В. |
| author_facet |
Норкин, Б.В. |
| topic |
Системный анализ |
| topic_facet |
Системный анализ |
| publishDate |
2008 |
| language |
Russian |
| container_title |
Кибернетика и системный анализ |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| description |
Работа посвящена аналитико-статистическим оценкам (модификациям метода Монте-Карло) вероятности разорения (обрыва) так называемого процесса риска, который описывает стохастическую эволюцию капитала страховой компании.
|
| issn |
0023-1274 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44281 |
| citation_txt |
Стохастический метод последовательных приближений для оценки риска неплатежеспособности страховой компании / Б.В. Норкин // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 6. — С. 116-130. — Бібліогр.: 37 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT norkinbv stohastičeskiimetodposledovatelʹnyhpribliženiidlâocenkiriskaneplatežesposobnostistrahovoikompanii |
| first_indexed |
2025-11-25T13:47:36Z |
| last_indexed |
2025-11-25T13:47:36Z |
| _version_ |
1850516039664664576 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.21
Á.Â. ÍÎÐÊÈÍ
ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÌÅÒÎÄ ÏÎÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÍÛÕ
ÏÐÈÁËÈÆÅÍÈÉ ÄËß ÎÖÅÍÊÈ ÐÈÑÊÀ
ÍÅÏËÀÒÅÆÅÑÏÎÑÎÁÍÎÑÒÈ ÑÒÐÀÕÎÂÎÉ ÊÎÌÏÀÍÈÈ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ïðîöåññ ðèñêà, âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ, îáðûâàþùèéñÿ ïðî-
öåññ âîññòàíîâëåíèÿ, èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå âîññòàíîâëåíèÿ, ìåòîä ïîñëåäîâà-
òåëüíûõ ïðèáëèæåíèé, ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ðàáîòà ïîñâÿùåíà àíàëèòèêî-ñòàòèñòè÷åñêèì îöåíêàì (ìîäèôèêàöèÿì ìåòîäà
Ìîíòå-Êàðëî) âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ (îáðûâà) òàê íàçûâàåìîãî ïðîöåññà ðèñ-
êà [1–8], êîòîðûé îïèñûâàåò ñòîõàñòè÷åñêóþ ýâîëþöèþ êàïèòàëà ñòðàõîâîé êîì-
ïàíèè. Â ïðÿìîì ìåòîäå Ìîíòå-Êàðëî ìîäåëèðóþòñÿ òðàåêòîðèè ïðîöåññà ðèñêà
è ïîäñ÷èòûâàåòñÿ äîëÿ òðàåêòîðèé, ïðèâîäÿùèõ ê ðàçîðåíèþ [2]. Ýòîò ìåòîä ÿâ-
ëÿåòñÿ îáùèì, íî íå îáëàäàåò äîñòàòî÷íîé òî÷íîñòüþ äëÿ ñëó÷àÿ ìàëûõ âåðîÿò-
íîñòåé ðàçîðåíèÿ. Àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû è îöåíêè [1–8] âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ
äàþò òî÷íûå èëè õîðîøèå ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ, íî ïðèìåíèìû äëÿ âåñüìà
îãðàíè÷åííîãî ÷èñëà ñëó÷àåâ.
Àíàëèòèêî-ñòàòèñòè÷åñêèå ìåòîäû êîìáèíèðóþò ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî ñ èñ-
ïîëüçîâàíèåì òîé èëè èíîé àíàëèòè÷åñêîé (ôîðìóëüíîé) èíôîðìàöèåé î ïðîöåñ-
ñå [9–11]. Â íàñòîÿùåé ñòàòüå â îñíîâíîì ðàññìàòðèâàþòñÿ äâà òàêèõ ïîäõîäà.
Ïåðâûé îñíîâàí íà ôîðìóëå Ïîëà÷åêà–Õèí÷èíà äëÿ âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ [1, 5,
6], êîãäà âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ êàê ôóíêöèÿ íà÷àëüíîãî êàïèòàëà ïðåäñòàâëÿåòñÿ â
âèäå áåñêîíå÷íîé ñóììû ñ óáûâàþùèìè êîýôôèöèåíòàìè ñâåðòîê íåêîòîðîé âñïî-
ìîãàòåëüíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.  äàííîì ìåòîäå ñòàòèñòè÷åñêè îöåíèâàþòñÿ
ñâåðòêè, êîòîðûå çàòåì ñóììèðóþòñÿ ñ êîýôôèöèåíòàìè àíàëèòè÷åñêîãî ïðåäñòàâ-
ëåíèÿ. Äëÿ òî÷å÷íîé îöåíêè âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ (ïðè ôèêñèðîâàííîì íà÷àëü-
íîì êàïèòàëå) ïîäîáíûé ìåòîä áûë ïðèìåíåí â [12–15], à ðàíåå â ñòàòüå [16] îí èñ-
ïîëüçîâàëñÿ äëÿ îöåíîê íàäåæíîñòè. Îòìåòèì, ÷òî â îòëè÷èå îò [13] â ðàáî-
òàõ [12–15] íå èñïîëüçîâàëñÿ ÿâíûé âèä ðàñïðåäåëåíèÿ òðåáîâàíèé, à ïðèìåíÿëàñü
åãî íåïàðàìåòðè÷åñêàÿ (ýìïèðè÷åñêàÿ) îöåíêà. Ïðè òî÷å÷íîì îöåíèâàíèè (äëÿ
ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèé íà÷àëüíîãî êàïèòàëà) ñõîäèìîñòü ìåòîäà ñ âåðîÿòíîñòüþ
åäèíèöà ñëåäóåò èç çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë. Åñòåñòâåííî, ýòî ñïðàâåäëèâî è äëÿ ñî-
âîêóïíîñòè ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà òî÷åê îöåíèâàíèÿ.  íàñòîÿùåé ñòàòüå ýòîò
ðåçóëüòàò íåñêîëüêî óñèëèâàåòñÿ, à èìåííî äîêàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíàÿ (äëÿ êîíòè-
íóóìà çíà÷åíèé íà÷àëüíîãî êàïèòàëà) ñõîäèìîñòü ìåòîäà ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà.
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñõîäèìîñòè ïðèâëåêàåòñÿ òåîðåìà Ãëèâåíêî–Êàíòåëëè [17] î
ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ýìïèðè÷åñêèõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ, à â îáùåì ñëó÷àå
èñïîëüçóåòñÿ îáîáùåííàÿ òåîðåìà Ãëèâåíêî–Êàíòåëëè [17, Ïðèëîæåíèå 1] î
ðàâíîìåðíîì çàêîíå áîëüøèõ ÷èñåë íà êëàññå âûïóêëûõ ìíîæåñòâ.
Âòîðîé ðàññìàòðèâàåìûé ïîäõîä ÿâëÿåòñÿ ñòîõàñòè÷åñêîé ìîäèôèêàöèåé ìå-
òîäà ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé [18, 19] äëÿ ðåøåíèÿ îñíîâíîãî èíòåãðàëüíî-
ãî óðàâíåíèÿ ñòðàõîâîé ìàòåìàòèêè, êîòîðîìó óäîâëåòâîðÿåò âåðîÿòíîñòü ðàçîðå-
íèÿ êàê ôóíêöèÿ íà÷àëüíîãî êàïèòàëà. Òàêèì îáðàçîì, ýòîò ïîäõîä òàêæå èñïîëü-
çóåò àíàëèòè÷åñêèå çíàíèÿ îá èñêîìîì îáúåêòå, ò.å. óðàâíåíèå ñ àíàëèòè÷åñêè
çàäàííîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ òðåáîâàíèé, êîòîðîìó óäîâëåòâîðÿåò âåðîÿò-
íîñòü ðàçîðåíèÿ, ïðè ýòîì ñòàòèñòè÷åñêè îöåíèâàþòñÿ èíòåãðàëû, âõîäÿùèå â
óðàâíåíèå. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ñàìà ôîðìóëà Ïîëà÷åêà–Õèí÷èíà ìîæåò áûòü
ïîëó÷åíà ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé ïðè ñïåöèàëüíîì âûáîðå íà-
÷àëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ (â âèäå íà÷àëüíîé ôóíêöèè, òîæäåñòâåííî ðàâíîé íóëþ).
Îäíàêî â ìåòîäå ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé ìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿ è äðóãèå
116 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 6
© Á.Â. Íîðêèí, 2008
íà÷àëüíûå ïðèáëèæåíèÿ, íàïðèìåð èçâåñòíûå àíàëèòè÷åñêèå àïïðîêñèìàöèè äëÿ
ôóíêöèè âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ. Êðîìå òîãî, ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæå-
íèé ïðèìåíèì è â ñëó÷àå áîëåå îáùèõ ïðîöåññîâ ðèñêà [20–22].  íàñòîÿùåé
ñòàòüå äîêàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà
ñòîõàñòè÷åñêîãî ìåòîäà ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé, â êîòîðîì íà êàæäîé
èòåðàöèè èíòåãðàëû àïïðîêñèìèðóþòñÿ ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî.
Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî â ïåðâîì ðàññìàòðèâàåìîì ïîäõîäå ñíà÷àëà
ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé íàõîäèòñÿ àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå, à çàòåì
äëÿ åãî ÷èñëåííîé îöåíêè èñïîëüçóåòñÿ ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî. Ïðè âòîðîì ïîäõîäå â ñà-
ìîì ìåòîäå ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé íà êàæäîé èòåðàöèè èñïîëüçóþòñÿ îöåí-
êè Ìîíòå-Êàðëî äëÿ èíòåãðàëîâ.  îáîèõ ïîäõîäàõ âìåñòî àíàëèòè÷åñêè çàäàííîé
ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ òðåáîâàíèé ìîæíî èñïîëüçîâàòü åå íåïàðàìåòðè÷åñêóþ (ýì-
ïèðè÷åñêóþ) îöåíêó.  ñòàòüå ïðîâåäåíî ÷èñëåííîå ñðàâíåíèå äâóõ ïîäõîäîâ. Íà ïðè-
ìåðå ïîêàçàíî, ÷òî âòîðîé ïîäõîä ÿâëÿåòñÿ áîëåå òî÷íûì è ýêîíîìíûì.
ÈÍÒÅÃÐÀËÜÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÄËß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÈ ÐÀÇÎÐÅÍÈß
È ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÐÅØÅÍÈß
Êëàññè÷åñêèé ïðîöåññ ðèñêà, îïèñûâàþùèé ýâîëþöèþ êàïèòàëà ñòðàõîâîé êîì-
ïàíèè, çàäàåòñÿ ñîîòíîøåíèåì [1–8]
� t tu ct S� � � , (1)
ãäå t — âðåìÿ, u — íà÷àëüíûé êàïèòàë ñòðàõîâîé êîìïàíèè, c — èíòåíñèâíîñòü
ïîñòóïëåíèÿ ïðåìèé, S t — àãðåãèðîâàííûå âûïëàòû ê ìîìåíòó t , S xt k
k
N t
�
�
�
1
,
xk — íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû (òðåáîâàíèÿ)
ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F ( )� è ñðåäíèì çíà÷åíèåì
� � � �
� �
� �xdF x F x dx( ) ( ( ))
0 0
1 ,
N t — ÷èñëî âûïëàò ê ìîìåíòó t (ïóàññîíîâñêèé ïðîöåññ ñ èíòåíñèâíîñòüþ �).
Òåîðèÿ òàêèõ ïðîöåññîâ äåòàëüíî èçó÷åíà â [1–4]. Êàê èçâåñòíî, ôóíêöèÿ âåðî-
ÿòíîñòè íåáàíêðîòñòâà � �( ) }u tt�
Pr{ 0 0 ïðè íà÷àëüíîì êàïèòàëå u óäîâëåò-
âîðÿåò (íåñîáñòâåííîìó) èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ âîññòàíîâëåíèÿ:
�
�� �
�( ) ( )( ( ))u
c c
u z F z dz
u
� � � � ��1 1
0
. (2)
Çàïèøåì ýòî óðàâíåíèå â îïåðàòîðíîé ôîðìå. Ââåäåì îïåðàòîð
A u
c c
u z F z dz
u
�
�� �
�( ) ( ) ( ( ))� � � � ��1 1
0
. (3)
Òîãäà óðàâíåíèå (2) ïðèíèìàåò âèä � �( ) ( )u A u� . Ýòî óðàâíåíèå ðåøàåòñÿ, êàê
ïðàâèëî, ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà. Òàêèì ñïîñîáîì ïîëó÷åíû òî÷íûå
ðåøåíèÿ â ñëó÷àÿõ ýêñïîíåíöèàëüíûõ è ôèêñèðîâàííûõ òðåáîâàíèé. Ïðè óñëîâèè
q c� �( / )�� 1 èçâåñòíî àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2) â âèäå áåñêîíå÷íîãî
ðÿäà (ôîðìóëà Ïîëà÷åêà–Õèí÷èíà [1, 3, 6])
�( ) ( ) ( )*u q q G uk k
k
� �
�
�
�1
0
, (4)
ãäå G uk*( ) — k-êðàòíàÿ ñâåðòêà âñïîìîãàòåëüíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ
G u F x dx
u
( ) ( ( ))� ��
1
1
0
�
. (5)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 6 117
Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ �( )u èç (4) ñïðàâåäëèâî lim ( ) .
u
u
���
�� 1 Åñëè ñóùåñò-
âóåò ïîëîæèòåëüíîå ðåøåíèå R (êîýôôèöèåíò Ëóíäáåðãà) óðàâíåíèÿ
�
c
e F x dxRx[ ( )]1 1
0
� �
��
� , (6)
÷òî èìååò ìåñòî äëÿ ðàñïðåäåëåíèé ñ «ëåãêèìè õâîñòàìè», êîãäà îáðàòíàÿ ôóíê-
öèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F x F x( ) ( )� �1 óáûâàåò ñ ðîñòîì x áûñòðåå, ÷åì íåêîòîðàÿ ýêñ-
ïîíåíòà, òî äëÿ ðåøåíèÿ �( )u óðàâíåíèÿ (2) ñïðàâåäëèâà îöåíêà Êðàìåðà–Ëóíä-
áåðãà
�( ) ,u e Ru � �1 u 0 . (7)
Èçâåñòåí òàêæå ðÿä ýêñïîíåíöèàëüíûõ àïïðîêñèìàöèé �( )u äëÿ áîëüøèõ u
(ñì., íàïðèìåð, [3–6]). Äëÿ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ F x( ) ñ «òÿæåëûìè õâîñòàìè»
óðàâíåíèå (6) íå èìååò ïîëîæèòåëüíîãî ðåøåíèÿ, îäíàêî ïðè óñëîâèè
q c� �( / )�� 1 ôîðìóëà (4) ïî-ïðåæíåìó ñïðàâåäëèâà.
Îïðåäåëåíèå 1 [3, 5]. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ G( )� íàçûâàåòñÿ ñóáýêñïîíåíöè-
àëüíîé, åñëè äëÿ âñåõ n 2
lim
( )
( )
*
u
nG u
G u
n
��
�
�
�
1
1
.
Äëÿ ñóáýêñïoíåíöèàëüíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ G( )� èìååò ìåñòî
lim ( ( )) /
x
xG x e
��
�� � ��1 � ïðè ëþáîì �
0 . Ðàçíîîáðàçíûå äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ äëÿ
ñóáýêñïîíåíöèàëüíîñòè ðàñïðåäåëåíèé ñîäåðæàòñÿ â [3, 5, 6].  ÷àñòíîñòè, äîñòà-
òî÷íî, ÷òîáû lim
( )
( )x
G tx
G x��
�1 äëÿ ëþáîãî t
0 èëè
lim sup
( )
( )
*
u
G u
G u��
�
�
�
1
1
2
2
.
Åñëè âñïîìîãàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå (5) ñóáýêñïîíåíöèàëüíî, òî ñïðàâåäëèâà
àñèìïòîòè÷åñêàÿ àïïðîêñèìàöèÿ
lim
( )
( ( ))
u
u
u
c
F x dx
�� ��
�
�
�
�
�
1
1
1
�
�
��
. (8)
 ÷àñòíîñòè, (8) èìååò ìåñòî, êîãäà F x( ) ÿâëÿåòñÿ ëîãíîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíè-
åì èëè ðàñïðåäåëåíèåì Ïàðåòî.
 ðàáîòå [23] ïîëó÷åí àíàëîã óðàâíåíèÿ (2) äëÿ ïðîöåññà ðèñêà ñ ïîñòîÿííûì
òåìïîì � óâåëè÷åíèÿ êàïèòàëà ìåæäó òðåáîâàíèÿìè
�
�
�
�
� � �( ) ( ) ( )( ( ( ))u
c
c u c u
u z F z dz
u
�
�
�
�
� � ��0
1
1
0
, (9)
ãäå �( )0 — íåèçâåñòíàÿ êîíñòàíòà (âåðîÿòíîñòü íåðàçîðåíèÿ ïðè íóëåâîì íà-
÷àëüíîì êàïèòàëå).  [24] ïðåäëàãàåòñÿ íàõîäèòü ýòó êîíñòàíòó ïóòåì ðåøå-
íèÿ (9) îòíîñèòåëüíî ~( ) ( ) / ( )� � �u u� 0 è ñîîòíîøåíèÿ
� �� � � �( ) lim ( ) / ~ ( )) lim ( ) / lim ~ ( ) / ~0 1� � �
� � �� ��u u u
u u u u � ( )�� .
Óðàâíåíèå (2) âûòåêàåò èç (9) ïðè � � 0 . Èññëåäîâàíèå è ðåøåíèå óðàâíåíèé (2),
(9) ïðîâîäèòñÿ àíàëîãè÷íî.
Àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ è àïïðîêñèìàöèè ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2) íå ñíèìà-
þò ïðîáëåìû åãî ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ. Ýòà çàäà÷à ïðîäîëæàåò ïðèâëåêàòü âíèìà-
íèå èññëåäîâàòåëåé [5–8, 11–16, 18–33].  ÷àñòíîñòè, â ðàáîòå [13] íà îñíîâå
ïðåäñòàâëåíèÿ (4) ïîñòðîåíà òî÷å÷íàÿ îöåíêà âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ òèïà Ìîíòå-Êàð-
118 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 6
ëî. Îäíèì èç ðåçóëüòàòîâ íàñòîÿùåé ñòàòüè ÿâëÿåòñÿ óñèëåíèå ýòîãî ðåçóëüòàòà,
à èìåííî äîêàçàòåëüñòâî ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè îöåíêè ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà.
Çàìåòèì, ÷òî (2) çàìåíîé ïåðåìåííûõ x u z� � ñâîäèòñÿ ê èíòåãðàëüíîìó óðàâ-
íåíèþ Âîëüòåððà (ñ ÿäðîì, çàâèñÿùèì îò ðàçíîñòè àðãóìåíòîâ). Êàê èçâåñòíî [34],
ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ Âîëüòåððà (2) ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì ñæàòèÿ (â îáùåì ñëó÷àå
ñæàòèå èìååò ìåñòî òîëüêî ïîñëå íåñêîëüêèõ ïðèìåíåíèé îïåðàòîðà), ïîýòîìó îíî
èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, êîòîðîå ìîæíî íàéòè ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ
ïðèáëèæåíèé.  ÷àñòíîñòè, ðåøåíèå (4) ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî ýòèì ìåòîäîì. Ìå-
òîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé ïîçâîëÿåò óòî÷íèòü è ÷èñëåííî ïðîâåðèòü ðàç-
ëè÷íûå àïïðîêñèìàöèè ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2), èñïîëüçóÿ èõ â êà÷åñòâå íà÷àëüíîãî
ïðèáëèæåíèÿ. Îäíàêî óðàâíåíèå (2) ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì Âîëüòåððà ñïåöèàëüíîãî
âèäà, ïîýòîìó åãî ðåøåíèå è ïîñëåäîâàòåëüíûå ïðèáëèæåíèÿ ê ðåøåíèþ îáëàäàþò
ñïåöèôè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè. Ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé äëÿ ðåøåíèÿ
èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé ñòðàõîâîé ìàòåìàòèêè ñ öåëüþ íàõîæäåíèÿ âåðîÿòíîñòè
áàíêðîòñòâà íà áåñêîíå÷íîì âðåìåííîì èíòåðâàëå èçó÷àëñÿ â [18–20], à äëÿ êîíå÷-
íîãî âðåìåííîãî èíòåðâàëà — â [21, 22].  ÷àñòíîñòè, â [19] ïîêàçàíî, ÷òî îïåðà-
òîð (3) ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî ñæèìàþùèì â ïåðâîé ñòåïåíè è îáëàäàåò îïðåäåëåííîé
ìîíîòîííîñòüþ. Ýòî ãàðàíòèðóåò âûñîêóþ ñêîðîñòü ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ìåòîäà.
Îñíîâíàÿ òðóäíîñòü â ðàñ÷åòàõ ïî ôîðìóëå (4) è ïî ìåòîäó ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëè-
æåíèé ñîñòîèò â ìíîãîêðàòíîì âû÷èñëåíèè èíòåãðàëîâ ñ áåñêîíå÷íûìè ïðåäåëàìè
èíòåãðèðîâàíèÿ. Ïîýòîìó â íàñòîÿùåé ñòàòüå ïðåäëàãàåòñÿ è îáîñíîâûâàåòñÿ ìåòîä
ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé ñ ïðèáëèæåííûì âû÷èñëåíèåì èíòåãðàëîâ, à òàêæå
ñòîõàñòè÷åñêèé ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé, â êîòîðîì àíàëîãè÷íî [21, 22]
íà êàæäîé èòåðàöèè èñïîëüçóþòñÿ ñòîõàñòè÷åñêèå îöåíêè Ìîíòå-Êàðëî äëÿ èíòåãðà-
ëîâ. Ïðè ýòîì äîêàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíàÿ ïî u ñõîäèìîñòü ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà ïî-
ëó÷àåìûõ ñòîõàñòè÷åñêèõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé.
Îòìåòèì, ÷òî íàðÿäó ñ íåïðåðûâíûì êëàññè÷åñêèì ïðîöåññîì ðèñêà (1) ìîæ-
íî ðàññìîòðåòü åãî äèñêðåòíûé àíàëîã (àïïðîêñèìàöèþ), â êîòîðîì âðåìÿ è ðàñïðåäå-
ëåíèå òðåáîâàíèé äèñêðåòíû.  ðàáîòå [25] ïîëó÷åí àíàëîã óðàâíåíèÿ (2) äëÿ äèñêðåò-
íîãî ïðîöåññà ðèñêà è íà åãî îñíîâå ïðåäëîæåí ðåêóððåíòíûé ìåòîä îöåíêè âåðîÿò-
íîñòè ðàçîðåíèÿ äèñêðåòíîãî ïðîöåññà, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ äèñêðåòíûì âàðèàíòîì
ìåòîäà ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé. Èñïîëüçîâàëîñü òàêæå ñïåöèàëüíîå (íóëåâîå)
íà÷àëüíîå ïðèáëèæåíèå è ïîëó÷åíû äâóñòîðîííèå îöåíêè äëÿ ïðèáëèæåíèé, îäíàêî
íå èññëåäîâàíà ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè ìåòîäà. Èäåè ðàáîòû [25] ïîëó÷èëè äàëüíåéøåå
ðàçâèòèå â [26–33].  îòëè÷èå îò ðàáîò [25–33] â íàñòîÿùåé ñòàòüå ìåòîä ïîñëåäîâà-
òåëüíûõ ïðèáëèæåíèé [19] ïðèìåíÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî ê óðàâíåíèþ (2) äëÿ âåðîÿò-
íîñòè íåðàçîðåíèÿ èñõîäíîãî ïðîöåññà ðèñêà, äîêàçûâàåòñÿ åãî ðàâíîìåðíàÿ ñõîäè-
ìîñòü è ïîëó÷åíû îöåíêè ðàâíîìåðíîé ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè ïðè ëþáîì íà÷àëüíîì
ïðèáëèæåíèè. Êðîìå òîãî, â íàñòîÿùåé ñòàòüå ýòè ðåçóëüòàòû îáîáùàþòñÿ íà ìåòîä
ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé ñ îøèáêàìè, à òàêæå íà åãî ñòîõàñòè÷åñêèé âàðèàíò,
êîãäà èíòåãðàëû îöåíèâàþòñÿ ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî.
ÐÀÂÍÎÌÅÐÍÀß ÎÖÅÍÊÀ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÈ ÍÅÐÀÇÎÐÅÍÈß ÌÅÒÎÄÎÌ ÌÎÍÒÅ-ÊÀÐËÎ
Ïðåäñòàâëåíèå (4) ÿâëÿåòñÿ èñòî÷íèêîì ìíîãî÷èñëåííûõ ïîäõîäîâ äëÿ îöåíèâà-
íèÿ âåðîÿòíîñòè íåðàçîðåíèÿ �( )u [12–16]. Íàïðèìåð, â ñèëó òåîðåìû Á. Ëåâè
[34, ñ. 305] ðÿä (4) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
�( ) ( ) ( )u q E q I u x q E q I u xx
k
i
i
k
k
x
k
i
i
� � � � � �
��
�
�
��1 1
10 1
{ } {
k
k
u
��
�
},
( )
0
(10)
ãäå { }xk — ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àé-
íûõ âåëè÷èí ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ (5); ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ( )u òàêîâà, ÷òî
x x u x xu u1 1 1� � � � � ��� � ( ) ( ) (î÷åâèäíî, ïðè êàæäîì u ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíè-
öà ( )u � ��); Ex— çíàê ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ; I x( ) �1 ïðè x 0 è I x( ) � 0 â
ïðîòèâíîì ñëó÷àå; ïî îïðåäåëåíèþ ( )
i
i
�
� � �
1
0
0 . Åñëè â (10) â êàæäîì ñëàãàåìîì
âçÿòü óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïî xk ïðè ôèêñèðîâàííûõ, x xk1 1,... , � ,
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 6 119
òî ïîëó÷èì ôîðìóëó [13]
�( ) ( )( ( )) ( )(u q E q G u x q E qx
k
i
i
k
k
x
k� � � � � � �
�
�
�
�
��1 1 1 1
1
1
1
G u xi
i
k
k
u
( ))
( )
�
�
�
�
��
1
1
1
. (11)
Ïðåäñòàâëåíèÿ (10), (11) ìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ îöåíèâàíèÿ �( )u ìåòîäîì
Ìîíòå-Êàðëî. Åñëè çàäàòü òî÷íîñòü � âû÷èñëåíèÿ âåëè÷èíû �( )u , òî â (10), (11)
ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ ñëàãàåìûìè äî k q( ) (ln ) /� � .
Îöåíêà âåðîÿòíîñòè íåðàçîðåíèÿ ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî èìååò âèä
� �N
n
n
N
u N u( ) ( / ) ( )�
�
�1
1
, (12)
ãäå
� n
k
nk
i
k
k
ku q q I u x q q I u( ) ( )( ) ( )(� � � � � � � �
��
�
��1 1 1 1
11
{ } { xnk
i
k
k
un
��
��
11
}
( )
) (13)
èëè
� n
k
nk
i
k
k
ku q q G u x q q G( ) ( )( ( )) ( )( (� � � � � � �
�
�
�
�
��1 1 1 1
1
1
1
u xnk
i
k
k
un
�
�
�
�
��
1
1
1
))
( )
(14)
(îöåíêà (14) áûëà ïðåäëîæåíà â [13]), ãäå { }xnk — íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñ-
ïðåäåëåííûå ïðè âñåõ n N�1,... , è k �1 2, ,... ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ ôóíêöèåé
ðàñïðåäåëåíèÿ (5); êîíå÷íàÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà ïðè êàæäîì u ñëó÷àéíàÿ
âåëè÷èíà n u( ) îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåì x x u x xn n u n n un n1 1 1� � � � � ��� �( ( ) ) ( ) .
Âñëåäñòâèå óñèëåííîãî çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë äëÿ êàæäîãî ôèêñèðîâàííîãî u ñ
âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà èìååì lim ( ) ( )
N
N u u
��
�� � .  òåîðåìå 1 ìû óñèëèì ðå-
çóëüòàò [13], äîêàçàâ, ÷òî çäåñü èìååò ìåñòî ðàâíîìåðíàÿ ïî u 0 cõîäèìîñòü ñ
âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà.
Ìîæíî èñïîëüçîâàòü è áåðíóëèåâñêóþ ñõåìó äëÿ îöåíêè âåðîÿòíîñòè íåðàçî-
ðåíèÿ ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (10), (11). Äëÿ k K�1, ,� ìîäåëèðóåòñÿ áåðíóëèåâñêàÿ
ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà nk ìîìåíòà ïåðâîãî óñïåõà ñ âåðîÿòíîñòüþ óñïåõà íà êàæäîì
øàãå p c� �1 �� / è çàòåì íàáëþäàþòñÿ íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå
ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû x xk knk1 , ... , ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ (5). Òîãäà â ñèëó çàêîíà
áîëüøèõ ÷èñåë îöåíêà âåðîÿòíîñòè íåðàçîðåíèÿ èìååò âèä � �K
k
k
K
u K u( ) ( / ) ( )�
�
�1
1
,
ãäå � k ki
i
n
I u x
k
� �
�
�( )
1
èëè � k ki
i
n
G u x
k
� �
�
�
�( )
1
1
(ïî îïðåäåëåíèþ xki
i�
� �
1
0
0).
Òåîðåìà 1 (î ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè îöåíîê Ìîíòå-Êàðëî). Ñ âåðîÿòíîñòüþ
åäèíèöà äëÿ îöåíîê (12)–(14) âûïîëíåíî
lim lim | ( ) ( ) |
N
N
N u
Nu u
�� ��
� � � �� � � �sup
0
0 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü � n u( ) çàäàþòñÿ ôîðìóëîé (13), òîãäà äëÿ ëþáûõ íàáî-
ðîâ { }xnk îöåíêó (12) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
� �N
n
n
N
k
n nku N u N q q I u x x( ) ( / ) ( ) ( / ) ( )(� � � � � � �
�
�1 1 1 1
1
1{ � }
kn
N
�
�
�
�� �
11
)
� � � � � �
��
�
��( )( ( / ) )1 1 1 1
11
q q N I u x xk
n nk
n
N
k
{ }� .
 ñèëó (10) è òîæäåñòâà 1 1
0
� �
�
�
�( )q qk
k
ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
sup
u
N u u
� �
0
| ( ) ( )|� �
� � � � � �
�
�
�
� �( ) ( / ) ...1 1
1 0 1
1q q N I u x x E Ik
k u n
N
n nk xsup { } {u x xk� � �1 ... } . (15)
120 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 6
 ñèëó òåîðåìû Ãëèâåíêî–Êàíòåëëè [17] ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà ýìïèðè÷åñ-
êèå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíîìåðíî ñõîäÿòñÿ ê èñòèííîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëå-
íèÿ, ïîýòîìó äëÿ êàæäîãî k ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà
lim ( ) ( )
N u
n kn
n
N
x k
N
I u x x E I u x x
�� �
� � � � � � � ��sup
0
1
1
1
1
0� � . (16)
Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî (16) èìååò ìåñòî äëÿ ñîâîêóïíîñòè k �12, ,� , î÷åâèäíî
òàêæå ðàâíà åäèíèöå. Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó â (15) ïî N �� è âíîñÿ ïðåäåë ïîä çíàê
ñóììû (÷òî äîïóñòèìî, òàê êàê ðÿä â (15) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî ïî N), ñ ó÷åòîì
(16) ïîëó÷àåì, ÷òî ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà
lim | ( ) ( )|
N u
N u u
��
� �sup
0
0� � .
Ïóñòü òåïåðü � n u( ) çàäàþòñÿ ôîðìóëîé (14). Òîãäà îöåíêà (12) ìîæåò áûòü
ïåðåïèñàíà â âèäå
� �N
n
n
N
k
n nu N u N q q G u x x( ) ( / ) ( ) ( / ) ( )( ( (� � � � � � �
�
�1 1 1 1
1
1 � k
kn
N
�
�
�
�
�� �1
11
) ))
� � � � � � �
��
�
��( )( ( / ) ( )).( )1 1 1 1 1
11
q q N G u x xk
n n k
n
N
k
� (17)
Àíàëîãè÷íî (15) â ñèëó (11) ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
sup
u
N u u
� �
0
| ( ) ( )|� �
� � � � � � �
�
�
�( ) ( / ) ( ) (( )1 1
0
1 1
1
q q N G u x x E G u xk
u
n n k
n
N
xsup � 1 1
1
� � �
�
�
� � x k
k
( ) ) .
(18)
Àíàëîãè÷íî [35, Lemma 29.1]
sup
u
n n k
n
N
x kN G u x x E G u x x
�
�
�� � � � � � ��
0
1 1
1
11( / ) ( ) (( ) (� � 1) ) �
� �
�
� � �
� �
sup {
u w n
N
G u x x w xN I P
n n k
0 0 1
1
1 1
,
( ... ) }( / ) {
( )
G u x x wk( ... ) }( )� � �
�1 1 , (19)
ãäå I { }� è Px{ }� — ñîîòâåòñòâåííî èíäèêàòîð è âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ {}� . Â ñèëó
ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ G äëÿ êàæäîãî ôèêñèðîâàííîãî w ìíîæå-
ñòâà {x x x G u x x wk
k k
�
� �� � � �
1
1 1 1 1( , ... , ): ( ) }( ) ( )� âûïóêëû. Îáîçíà÷èì Ck�1
êëàññ âûïóêëûõ ìíîæåñòâ â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå R k�1. Èç (19) ñëåäóåò, ÷òî
sup
u
n n k
n
N
x kN G u x x E G u x x
�
�
�� � � � � � ��
0
1 1
1
11( / ) ( ) (( ) (� � 1) ) �
� � �
�
�
��
��sup
S C
x x S x
n
N
k
n n k
N I P S
1
1 1
1 0
1
( / ) { }{( , ... , ) }( )
, (20)
ãäå ïðàâàÿ ÷àñòü â (20) ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà ïðè
N �� äëÿ êàæäîãî k â ñèëó ðàâíîìåðíîãî íà êëàññå âûïóêëûõ ìíîæåñòâ çàêî-
íà áîëüøèõ ÷èñåë [17, Ïðèëîæåíèå 1]. O÷åâèäíî, ýòî èìååò ìåñòî è äëÿ ñîâî-
êóïíîñòè k � 2 3, ,� Òåïåðü ïåðåõîäÿ â (18) ê ïðåäåëó ïî N �� è âíîñÿ ïðåäåë
ïîä çíàê ñóììû, ñ ó÷åòîì (20) ïîëó÷àåì óòâåðæäåíèå òåîðåìû äëÿ îöåíîê (14).
Òåîðåìà äîêàçàíà.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 6 121
ÌÅÒÎÄ ÏÎÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÍÛÕ ÏÐÈÁËÈÆÅÍÈÉ
Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2) ìîæíî íàéòè ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé
�
�� �
�k k
u
u
c c
u z F z dz� � � � � ��1
0
1 1( ) ( )[ ( )] , k = 0,1, ..., (21)
ãäå �0 ( )u — íåêîòîðàÿ íà÷àëüíàÿ ôóíêöèÿ. Âñå ôóíêöèè �k u( ) ñ÷èòàþòñÿ îïðå-
äåëåííûìè íà èíòåðâàëå [ , )0 � � . Çàìåòèì, ÷òî äëÿ íàõîæäåíèÿ �k u�1 ( ) äîñòà-
òî÷íî çíàòü �k u( ) íà èíòåðâàëå [ , ]0 u . Äëÿ îãðàíè÷åííûõ íà èíòåðâàëå [ , )0 �
ôóíêöèé f u( ) îïðåäåëèì íîðìó f f uu� sup | ( )|0 .
Òåîðåìà 2 (î ñõîäèìîñòè ìåòîäà ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé). Åñëè
� � � � �
��
� ( ( ))1
0
F z dz , �� / c �1, ôóíêöèÿ �0 ( )u , u� ��[ , )0 , íå óáûâàåò ñ ðîñòîì
u è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ 0 10� �� ( )u , òî:
1) âñå �k u( ) íåïðåðûâíû è íå óáûâàþò íà èíòåðâàëå [ , )0 � � ,
1 1� � ��� �/ ( )c uk , k 1;
2) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { }�k u( ) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê ðåøåíèþ � èñõîäíîãî
óðàâíåíèÿ (2) ñî ñêîðîñòüþ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè, à èìåííî � �k kq� � �1,
q c� ��� / 1;
3) ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ � �( ) lim ( )u u
k
k�
��
íåïðåðûâíà è íå óáûâàåò, êðîìå
òîãî, 1 1� � ��� �/ ( )c u .
Äîêàçàòåëüñòâî. Óðàâíåíèå Âîëüòåððà (2) âñåãäà èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå.
Äîêàæåì ñõîäèìîñòü ìåòîäà ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé ê ýòîìó ðåøåíèþ.
1. Ôóíêöèÿ �0 1( )[ ( )]u z F z� � ìîíîòîííà (íå âîçðàñòàåò) ïî z, ïîýòîìó èíòåã-
ðèðóåìà ïî Ðèìàíó (ñì. [36]). Çíà÷èò, � ( )u íåïðåðûâíà è ìîíîòîííî íå óáûâàåò.
Ïî èíäóêöèè âñå �k u( ) , k 1, íåïðåðûâíû è íå óáûâàþò. Çàìåòèì, ÷òî
� � �
��
�
0
1( ( ))F z dz. Åñëè 0 1� ��k u( ) , òî ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà
1 1 1 11
0
� � � � � � � �� �
��
�
�� �
�
c
u
c c
u z F z dzk k
u
( ) ( )[ ( )] .
Òàêèì îáðàçîì, ïî èíäóêöèè ñëåäóåò, ÷òî 1 11� � ���� �/ ( ) ,c uk k 1.
2. Îöåíèì ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè ïðîöåññà ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé.
Ñïðàâåäëèâî
� � � ��
�� �
�k k
u
u
c c
u z F z dz� � � � � ��1
0
1 1( ) [ ] , k � 0 1, ,... ,
� � � ��
�� �
�( ) [ ]u
c c
u z F z dz
u
� � � � ��1 1
0
.
Îòñþäà
� � � �� �
�
� �k k
u
u u
c
u z u F z dz� � � � � ��1
0
1( ) ( ) ( ( ))[ ] ,
� � � �� �
�
� �
�
� �k k
u
k
c
F z dz
c
F z dz�
��
� � � � � � � � �� �1
0 0
1 1[ ] [ ]
� � � ��
�
�
�
�
� �
��
� �
��
� �
c c
k
k
0 .
122 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 6
3. Ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ � ( )u íåïðåðûâíà è ìîíîòîííà, 1 1� � ��� �/ ( )c u , êàê
ðàâíîìåðíûé ïðåäåë íåïðåðûâíûõ è ìîíîòîííûõ ôóíêöèé �k u( ) òàêèõ, ÷òî
1 1� � ��� �/ ( )c uk . Òåîðåìà äîêàçàíà.
Ëåììà 1. Åñëè:
1) � � ��0 0 1( ) ( ) /u c� � � , òîãäà èòåðàöèîííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {�k u( )}
ìîíîòîííî âîçðàñòàåò;
2) �0 1( )u � , òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {�k u( )} ìîíîòîííî óáûâàåò.
Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Äëÿ � ��0 1( ) /u c� � ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå
� � � ��
�� �
�
��
�1 0
0
01 1 1( ) [ ] ( ) .u
c c
u z F z dz
c
u
u
� � � � � � ��
Èìååò ìåñòî
� �� �
�
� �k k k k
u
u u
c
u z u z F z dz� �� � � � � ��1 1
0
1( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) . (22)
Òàêèì îáðàçîì, î÷åâèäíî, åñëè � �k ku u( ) ( )� �1
� �u [ , )0 , òî
� �k ku u� 1 ( ) ( )
� �u [ , )0 . Ïåðâîå óòâåðæäåíèå äîêàçàíî.
2. Ïóñòü �0 1( )u � , òîãäà
� � � �� � � �� ��
�� �
�
�� �1 0
0 0
1 1 1 1( )u
c c
u z F z dz
c c
F z dz
u u
� � � � � � � � � �� �
� �� �� � � � � �
��
�1 1 1
0
0�� �
�
c c
F z dz u( ).
Ïî èíäóêöèè èç íåðàâåíñòâà (22) ñëåäóåò, ÷òî � �k ku u( ) ( )� �1
� �u [ , )0 , k
0 .
Òàêèì îáðàçîì, ïðè ñòàðòå ñ íà÷àëüíîé ôóíêöèè �0 1( )u � èëè � ��0 1( ) /u c� �
èòåðàöèîííûé ïðîöåññ ìîíîòîííî ñõîäèòñÿ ê ðåøåíèþ èñõîäíîãî èíòåãðàëüíîãî
óðàâíåíèÿ.
Ëåììà 2. Åñëè íà÷àëüíàÿ ôóíêöèÿ �0 1( )u � , òî äëÿ âñåõ k èìååò ìåñòî
lim ( )
u
k u
��
�� 1.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäñòàâèì u u u� �1 2 , u1 0 , u2 0 . Â ñèëó òåîðåìû 2 âñå
�k u( ) íå óáûâàþò ïî u, ïîýòîìó
� � � �� �k
u
k
u
u z F z dz u u z F z dz( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � �1 1
0
1 2
0
1
� � � � � � �� �� �k
u
k
u
u F z dz u F z dz( ) ( ) ( ) ( ) .2
0
2
0
1 1
1 1
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî lim ( )
u
k u
��
�� 1. Ïóñòü u u u� � ��1 2 è u1 ��, u2 ��.
Òîãäà
1 1 11
0
� � � � �
��
�
� � �lim ( ) lim ( )[ ( )]
u
k
u
k
u
u
c c
u z F z dz�
�� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � � � � �
� � �� �1 1 1
0
��
�
� �� ��
c
u
c
F z dz
c cu
k
u
u
lim ( ) lim [ ( )] �1,
îòñþäà ïî èíäóêöèè ñëåäóåò, ÷òî lim ( )
u
k u
��
�� 1 äëÿ âñåõ k.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 6 123
Ñëåäñòâèå 1. Åñëè �0 1( )u � , òî äëÿ âñåõ k ïðèáëèæåíèÿ �k u( ) ÿâëÿþòñÿ ìî-
íîòîííûìè (íå óáûâàþùèìè) íåïðåðûâíûìè ôóíêöèÿìè òàêèìè, ÷òî 1� ��� / c
� � �� �k k u( ) ( )0 1 è lim ( )
u
k u
��
�� 1.
Ëåììà 3. Åñëè �k Ruu e( ) � �1 äëÿ âñåõ u 0 , òî è �k Ruu e� � �1 1( ) äëÿ ëþ-
áîãî u 0 , ãäå R – êîíñòàíòà Ëóíäáåðãà, ÿâëÿþùàÿñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ (6).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü �k Ruu e( ) � �1 , òîãäà
�
�� �k R u z
u
u
c c
e F z dz� � � � � � � ��1
0
1 1 1( ) ( ) ( ( ))( )
� � � �� � � � � � �� ��1 1 1
0 0
�� � �
c c
F z dz e
c
e F z dz
u
Ru Rz
u
( ) ( )
� � � �� � � � � � �� � �
��
�1 1 1
0
�� � � �
c c
F z dz
c
e F z dz e
c
e
u
R z u
u
Ru( ) ( )( ) � �Rz F z dz1
0
�
��
� ( )
� � � � � � � � � � �� �
��
�1 1 1
0
�� � �
c c
F z dz
c
F z dz e
u
u
Ru( ) ( )
� �� � � � � � ��
��
��1 1 1
0
e
c c
F z dz eRu Ru�� �
( ) .
Ñëåäñòâèå 2. Åñëè �0 1( )u � , òî �k Ruu e( ) � �1 äëÿ âñåõ u 0 , k 1.
Ñëåäñòâèå 3. Åñëè �0 1( )u e Ru� � � , òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé { ( )}�k u
ìîíîòîííî âîçðàñòàåò è ñõîäèòñÿ ñíèçó ê ðåøåíèþ �( )u óðàâíåíèÿ (2).
Çàìå÷àíèå 1. Îòìåòèì, ÷òî àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå (4) íàõîäèòñÿ ìåòîäîì ïî-
ñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé (21) ïðè íà÷àëüíîé ôóíêöèè �0 0( )u � .
Çàìå÷àíèå 2. Ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé ïðèìåíèì íå òîëüêî äëÿ
îöåíêè ðèñêà ðàçîðåíèÿ, íî è äëÿ ðåøåíèÿ ìíîãî÷èñëåííûõ çàäà÷ îöåíêè íàäåæíî-
ñòè [1, 9–11], ñâîäÿùèõñÿ ê ðåøåíèþ èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ âîññòàíîâëåíèÿ âèäà
Z u z u Z u z dP z
u
( ) ( ) ( ) ( )� � ��
0
, u 0 , (23)
ãäå Z u( ) – íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ, z u( ) 0 – çàäàííàÿ ôóíêöèÿ, P( )� – èçâåñòíàÿ
(âîçìîæíî, íåñîáñòâåííàÿ) ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, P z( ) � 0 ïðè z � 0 . Óðàâíå-
íèå (2) ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì (23) ïðè P z
c
F x dx
z
( ) ( ( ))� ��
�
1
0
, z u
c
( ) � �1
��
.
Àíàëîãè÷íî (21) ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíå-
íèÿ (23) èìååò âèä
Z u z u Z u z dP zk k
u
� � � ��1
0
( ) ( ) ( ) ( ), k � 0 1, ,... , (24)
ãäå Z u0 ( ) – íåêîòîðîå íà÷àëüíîå ïðèáëèæåíèå, íàïðèìåð Z u0 0( ) � èëè
Z u0 1( ) � . Ïðè óñëîâèè z u P u( ) ( )� �1 àíàëîãè÷íî ëåììå 1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
{ ( )}Z uk , ñòàðòóþùàÿ ñ Z u0 0( ) � , ìîíîòîííî âîçðàñòàåò, à ñòàðòóþùàÿ ñ
Z u0 1( ) � , ìîíîòîííî óáûâàåò è ïîòî÷å÷íî ñõîäèòñÿ ê ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ (23).
Äëÿ íåñîáñòâåííîãî óðàâíåíèÿ âîññòàíîâëåíèÿ èìååì P( )�� �1, ïîýòîìó ïðàâàÿ
÷àñòü óðàâíåíèÿ (23) ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì ñæàòèÿ ñ êîýôôèöèåíòîì P( )�� . Â
ýòîì ñëó÷àå àíàëîãè÷íî òåîðåìå 2 ìåòîä (24) ïðè z u Z u( ) ( )� �0 1 ðàâíîìåðíî ïî
u 0 ñõîäèòñÿ ê ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ (23) ñ ãåîìåòðè÷åñêîé ñêîðîñòüþ ñõîäèìîñ-
òè ñ ïîêàçàòåëåì q P� �� �( ) 1.
124 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 6
Î ÌÅÒÎÄÅ ÏÎÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÍÛÕ ÏÐÈÁËÈÆÅÍÈÉ Ñ ÎØÈÁÊÀÌÈ
 [19] ÷èñëåííàÿ ðåàëèçàöèÿ ìåòîäà (21) îñíîâûâàëàñü íà âûñîêîòî÷íîì ÷èñëåí-
íîì íàõîæäåíèè èíòåãðàëà (3) ôóíêöèè � �� u , çàäàííîé çíà÷åíèÿìè â óçëàõ íå-
ðàâíîìåðíîé ñåòêè è âû÷èñëÿåìîé ïóòåì èíòåðïîëÿöèè äëÿ äðóãèõ òî÷åê.
Ðàññìîòðèì áîëåå îáùèé, ÷åì (21) ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé, â
êîòîðîì îïåðàòîð â ïðàâîé ÷àñòè èçìåíÿåòñÿ îò îäíîé èòåðàöèè ê äðóãîé
� �k
k
ku A u� �1 ( ) ( ), 0 10� �� ( ) ,u k � 0 1, , ... , (25)
ãäå ëèíåéíûå îïåðàòîðû Ak ðàçëè÷íû, íî â íåêîòîðîì ñìûñëå áëèçêè ê îïåðà-
òîðó A, à èìåííî âûïîëíåíû ñëåäóþùèå ïðåäïîëîæåíèÿ. Ïóñòü � — ìíîæåñòâî
îãðàíè÷åííûõ íà [ , )0 � ìîíîòîííûõ ôóíêöèé f ñ íîðìîé � �f f x
x
�
sup
0
( ) .
Ïðåäïîëîæåíèå 1. Îïåðàòîðû Ak â óðàâíåíèè (25) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì:
a) Ak :� �� ;
á) ñóùåñòâóåò îïåðàòîð A òàêîé, ÷òî A u A u uk
k k
k� � �( ) ( ) ( )� � , ãäå
� �lim lim ( )sup sup sup
k
k
k u
k u
�� ��
� � � � �
0
0 ;
â) ïðåäåëüíûé îïåðàòîð A ëèíåéíûé, íåðàñòÿãèâàþùèé, ìîíîòîííûé è ÿâëÿåò-
ñÿ ñæàòèåì â ñëåäóþùåì ñìûñëå:
ñóùåñòâóåò ÷èñëî q, 0 1� �q , òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîé ôóíêöèè ��� âûïîëíåíî
íåðàâåíñòâî A q� �� .
Ââèäó ïðåäïîëîæåíèÿ 1á, äîïóñêàþùåãî îøèáêè ïðè ÷èñëåííîì èíòåãðèðîâà-
íèè, ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé (25) óæå ìîæåò áûòü íåìîíîòîííûì.
Òåîðåìà 3 (î ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ìåòîäà ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæå-
íèé). Åñëè âûïîëíåíî ïðåäïîëîæåíèå 1, òî ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæå-
íèé (25), ñòàðòóþùèé ñ íà÷àëüíîãî ìîíîòîííîãî ïðèáëèæåíèÿ � ��0 u òàêîãî, ÷òî
0 10� �� ( )u , ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê ðåøåíèþ �( )u çàäà÷è (2), ò.å.
� �lim ( , ) lim ( ) ( ) / ( )sup supsup
k
k
k u
k u u q
�� ��
� � � �
� � � � �
0
1 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî òåîðåìå 1 ðåøåíèå �( )u çàäà÷è (2) ñóùåñòâóåò è
åäèíñòâåííî. Â ñèëó ïðåäïîëîæåíèÿ 1à âñå ïîñëåäîâàòåëüíûå ïðèáëèæåíèÿ ÿâëÿþò-
ñÿ ìîíîòîííûìè ôóíêöèÿìè. Îáîçíà÷èì
� � � �( , ) | ( ) ( )|� �
sup
u
u u
0
, �
� �k
k� ( , ) .
Ñïðàâåäëèâû îöåíêè
� �
� �
� � �( , ) ( , ) ( , )k
k
k k
kA A� � � � �1
� � � � �
� �
� � �
� � �( , ) ( , ) ( , ) .A A A Ak k k
k
k
k (26)
Âñëåäñòâèå ïðåäïîëîæåíèÿ 1â ñïðàâåäëèâî
� �
� �( , ) ( , )A qk k� � ; ñëåäîâà-
òåëüíî, íåðàâåíñòâî (26) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
� � �k k kq� � �1 , k 0 , (27)
ãäå 0 1� �q è lim sup
k
k
��
�� �. Èç íåðàâåíñòâà (27) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî
k k
0
0
� � � � �k
k k
k
k i
i k
k
k
k k
k
k k
kq q q�
� � �
�
�
�
� � � ��1
1
1
0
0
0
0
0
0
sup / ( )1�q .
Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { }�k îãðàíè÷åíà, sup
k
k C� � è
� �k
k k
k k
kq C q�
�
� � �1
0
0
1sup / ( ) . (28)
Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó â (28), ïîëó÷àåì
lim sup sup
k
k
k k
k q
��
� �� �
0
1/ ( ) .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 6 125
Tàê êàê k0 ìîæíî âçÿòü êàê óãîäíî áîëüøèì è lim
k k k
k
0 0
��
�sup � �, òî
lim sup
k
k q
��
� �� � / ( )1 . Òåîðåìà äîêàçàíà .
ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÌÅÒÎÄ ÏÎÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÍÛÕ ÏÐÈÁËÈÆÅÍÈÉ
Ñ ÀÏÏÐÎÊÑÈÌÀÖÈÅÉ ÈÍÒÅÃÐÀËÎÂ ÌÅÒÎÄÎÌ ÌÎÍÒÅ-ÊÀÐËÎ
 [21, 22] ðàññìîòðåí ïðîöåññ ðèñêà ñ äèâèäåíäíûì áàðüåðîì, à äëÿ íàõîæäå-
íèÿ âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ íà êîíå÷íîì èíòåðâàëå âðåìåíè ïðèìåíåí ìåòîä ïî-
ñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé ñ èñïîëüçîâàíèåì ðàçëè÷íûõ ìåòîäèê ïðèáëèæåí-
íîãî âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ, â ÷àñòíîñòè ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî (áåç îáîñíîâà-
íèÿ).  äàííîì ðàçäåëå äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ â èòåðàòèâíîé ñõåìå
èñïîëüçóåòñÿ ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñõîäèìîñòè ìåòîäà ïîñëå-
äîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé â äàííîì âèäå èñïîëüçóåòñÿ ðàâíîìåðíûé ôóíêöèî-
íàëüíûé çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë.  îòëè÷èå îò [21, 22] â íàñòîÿùåé ñòàòüå èñïîëü-
çóåòñÿ íåðàâíîìåðíàÿ àäàïòèðîâàííàÿ ê çàäà÷å ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè èñïûòà-
íèé â ìåòîäå Ìîíòå-Êàðëî.
 ñëó÷àå àïïðîêñèìàöèè èíòåãðàëîâ ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî ìåòîä ïîñëåäîâà-
òåëüíûõ ïðèáëèæåíèé (óæå ñòîõàñòè÷åñêèé) èìååò âèä
� �� �k
k
k
n
k
n
N
u q
q
N
u z
k�
�
� � � ��1
1
1 ( ) , (29)
ãäå q c� ( ) /�� ; N k – âîçðàñòàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü öåëûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë;
ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû { , ,... , , , ,...}z n N kn
k
k� �1 01 íåçàâèñèìû è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëå-
íû ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ (5). Îáîçíà÷èì A u
c
k �
��
( ) � � �1
��
�
cN
u z
k
k
n
k
n
N k
( )�
�
�
1
,
�
��
�
��
� �k
k
k
n
k
n
N
k
k
ku
cN
u z
c
u z dG z A
k
( ) ( ) ( ) ( )� � � � �
�
�
� �
1 0
( ) ( ).u A uk� � (30)
Ëåììà 4. Åñëè lim / ln
k
kN k
��
� ��, òî ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà
lim lim | ( )|
k
k
k u
k u
�� ��
� �� �sup
0
0 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì q c� �� / , P u z wG
k{ ( ) }� �
�
� �
�
� I dG z
z u z wk{ : ( ) }
( )
0
0
�
. Àíàëîãè÷íî ðàáîòå [35, Lemma 29.1] îöåíèì
� �� � �k
k
k
n
k
n
N
ku q
N
u z u z dG z
k
( ) ( ) ( ) ( )� � � �
�
�
�
�
�
��
�
�
� �
1
1 0
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�q
N
I P u z w
k
z u z w G
k
n
N
k
n
k
k1
0
1
{ : ( ) }
{ ( ) }
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
� dw
0
� � �
�
�
�
�q
N
I P u z w
w k
z u z w G
k
n
N
k
n
k
k
sup
0
0
1
1
{ : ( ) }
{ ( ) }
�
�
�
�
�
�
�.
Îòñþäà
� �� �
�k
u
k
u w k
z u z w Gu q
N
I Pk
n
k� � �
�
sup sup
0 0 0
0
1
( )
,
{ : ( ) }
{ ( ) } .�k
n
N
u z w
k
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
Îáîçíà÷èì F z n N i kk n
i
i� � � � �� { , , }1 1 �-àëãåáðó, ïîðîæäåííóþ ñëó÷àé-
íûìè âåëè÷èíàìè { , , }z n N i kn
i
i1 1� � � � . Îöåíèì âåðîÿòíîñòü
126 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 6
� �P P q
N
I P u zk
u w k
z u z w G
k
k
n
k� � �
�
� � �
�
sup
0 0
0
1
,
{ : ( ) }
{ ( )
�
�
�
�
�
�
!
"
#"
$
%
"
&"
�
�
� w
n
N k
}
1
�
� � �
�
�
EP
N
I P u z w
u w k
z u z w G
k
n
k
n
ksup
0 0
0
1
,
{ : ( ) }
{ ( ) }
�
�
1
1
N
k
k
q
F�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
!
"
#"
$
%
"
&"
�
�
,
ãäå E — çíàê ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, P{}� è P Fk{ | }� �1 — çíàêè âåðîÿòíîñòè
è óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè. Ôóíêöèÿ �k u z( )� óáûâàåò ïî z, ïîýòîìó ìíîæåñòâà
S z u z wu w
k k
, { : ( ) }� �
0 � ÿâëÿþòñÿ êîíå÷íûìè èíòåðâàëàìè ñ íóëåâîé ëåâîé ãðà-
íèöåé. Ñîãëàñíî [37, Ãë. 10, §3] ìíîæåñòâî èíòåðâàëîâ S Sk
u w
k�{ , , u 0 , 0 1� �w }
èìååò ôóíêöèþ ðîñòà m l lS k
( ) � �1, ïîýòîìó [35, Theorem 10.2]
P
N
I P u z w
u w k
z u z w G
k
n
N
k
n
ksup
�
�
� �
0 0
0
1
1
,
{ : ( ) }
{ ( ) }
�
�
k
q
Fk�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
!
"
#"
$
%
"
&"
��
�
1
� �
�
!
"
#"
$
%
"
&"
� � �6 2
1
4
12 1
2
2
2
m N
N
q
NS
k
k
k
k
( )exp
( )
( )exp
� � ( )
.
N
q
k �
!
"
#"
$
%
"
&"
1
4 2
Òàêèì îáðàçîì,
� �P N
N
q
k k
k� �
�
� � �
�
!
"
#"
$
%
"
&"
12 1
1
4
2
2
( )exp
( )
.
 ïðåäïîëîæåíèÿõ ëåììû 4 âûïîëíåí êðèòåðèé ñõîäèìîñòè ê íóëþ ñ âåðîÿò-
íîñòüþ åäèíèöà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè � ��k , à èìåííî äëÿ ëþáîãî �
0
� �P N
N
q
k
k
k
k
k
� �
�
� � �
�
!
"
#"
$
%
"
&"
�
�
�
�
�
� �
0
2
2
0
12 1
1
4
( )exp
( )
� �.
Ëåììà äîêàçàíà.
Òåîðåìà 4 (ñõîäèìîñòü ñòîõàñòè÷åñêîãî ìåòîäà ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæå-
íèé). Ïóñòü �� / c �1. Òîãäà ïðè óñëîâèè lim / ln
k k
N k
��
� �� ìåòîä ïîñëåäîâàòåëü-
íûõ ïðèáëèæåíèé (29) ñ íà÷àëüíîé ôóíêöèåé 0 10� �� ( )u ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ñ
âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà ê ðåøåíèþ �( )u çàäà÷è (2).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðè óñëîâèè �� / c �1 óðàâíåíèå (2) èìååò åäèíñòâåííîå ðå-
øåíèå. Î÷åâèäíî, ÷òî âñå îïåðàòîðû Ak ÿâëÿþòñÿ ìîíîòîííûìè è Ak :� �� .
Îïðåäåëèì �k u( ) ñîãëàñíî (30). Â ñèëó ëåììû 4 lim
k k��
�� 0 ñ âåðîÿòíîñòüþ åäè-
íèöà. Òåïåðü ñõîäèìîñòü ìåòîäà ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà ñëåäóåò èç òåîðåìû 4. Òå-
îðåìà äîêàçàíà.
×ÈÑËÅÍÍÛÅ ÝÊÑÏÅÐÈÌÅÍÒÛ
Ïðèìåð 1. Ïóñòü F z z z( ) ( exp( )) ( ) ( exp( ))� � � � � � �� � �1 1 1 , � �� � � �
��
� 1
0
F z dz( )
� �2 �. Îáîçíà÷èì q c� �� / , òîãäà � �/ /c q� , âåðîÿòíîñòü íåáàíêðîñòâà �( )u çà-
âèñèò îò íà÷àëüíîãî êàïèòàëà u è äâóõ ïàðàìåòðîâ: q è �. Âîçüìåì � � � �1 01q , .
Ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé (21) äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2) ìîæ-
íî çàïèñàòü â âèäå
� � � ��
�
�k k
u
u q
q
u z F z dz k� � � � � � ��1
0
1 1 0 1( ) [ ] , , ,... (31)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 6 127
Åñëè �0 1( )u � , òî ñîãëàñíî ëåììå 1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðèáëèæåíèé ìîíî-
òîííî óáûâàåò, à ñîãëàñíî ëåììå 2 lim ( )
u
k u
� ��
�� 1. Åñëè � �0 0 1( ) ( )u q� � � , òî ñî-
ãëàñíî ëåììå 1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðèáëèæåíèé ìîíîòîííî âîçðàñòàåò è ñõîäèòñÿ
ê ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ (2) ñíèçó. Ñîãëàñíî òåîðåìå 2 àïðèîðíàÿ îöåíêà òî÷íîñòè
ïðèáëèæåíèé èìååò âèä
� �max ( ) ( )
u
k k
ku u q
�
�� � �
0
1
1� � � .
Íàïðèìåð, �45 00087' . , �65 00011' . .
Íà ðèñ. 1 ïîëó÷åííîå ðåøåíèå �65 ( )u èçîáðàæåíî æèðíîé øòðèõîâîé ëèíèåé.
Ñòîõàñòè÷åñêèé ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé â äàííîì ïðèìåðå èìååò
âèä (29). Õîä èòåðàöèé ìåòîäà, â êîòîðîì N1 50� , N 2 10 10� � , N11 11� , ...
... ,N 50 50� , ïîêàçàí òîíêèìè ëèíèÿìè; ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå �50 ( )u
èçîáðàæåíî æèðíîé ñïëîøíîé ëèíèåé.
 òàáë. 1 ñðàâíèâàåòñÿ òî÷íîñòü äåòåðìèíèðîâàííîãî è ñòîõàñòè÷åñêîãî ìåòîäîâ
ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé íà ïðèìåðå 1. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ñòàíäàðòíîå îò-
êëîíåíèå â ñòîõàñòè÷ñêîì ìåòîäå (29) ïîëó÷åíî ïðè 100 ïðîãîíàõ ìåòîäà.
128 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 6
Ðèñ. 1. Èòåðàöèè ìåòîäà ñòîõàñòè÷åñêèõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé
Êàïèòàë êîìïàíèè
Â
åð
îÿ
òí
îñ
òü
í
åð
àç
îð
åí
è
ÿ
Ò à á ë è ö à 1
Ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå /
òî÷íîñòü ìåòîäà
Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ïðè íà÷àëüíîì êàïèòàëå
u � 50 u � 100 u � 200
Ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå �65 ( )u ,
íàéäåííîå ìåòîäîì (31)
0.6272 0.8354 0.9680
Îøèáêà äåòåðìèíèðîâàííîãî ìåòîäà
(31), �65 0 0011' .
0.0011 � 0 0011. � 0 0011.
Còàíäàðòíîå îòêëîíåíèå äëÿ �50 ( )u â
ñòîõàñòè÷åñêîì ìåòîäå (29)
0.0152 0.0103 0.0038
Ñðåäíåêâàäðàòè÷íàÿ îøèáêà ìåòîäà
(12), (14) ïðè N � 100 [13]
0.14 0.09 0.028
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Èçâåñòíî, ÷òî âåðîÿòíîñòè áàíêðîòñòâà �( )u è íåáàíêðîòñòâà �( )u êëàññè÷åñêîãî
ïðîöåññà ðèñêà, êàê ôóíêöèè íà÷àëüíîãî êàïèòàëà u, à òàêæå âåðîÿòíîñòü îáðû-
âà ïðîöåññà âîññòàíîâëåíèÿ óäîâëåòâîðÿþò èíòåãðàëüíûì óðàâíåíèÿì âîññòàíîâ-
ëåíèÿ (òèïà Âîëüòåððà). Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ âîññòàíîâëåíèÿ ìîæåò áûòü âûïèñà-
íî àíàëèòè÷åñêè â âèäå áåñêîíå÷íîé ñóììû ñâåðòîê íåêîòîðîé ôóíêöèè ðàñïðå-
äåëåíèÿ (ôîðìóëà Ïîëà÷åêà–Õèí÷èíà). Ýòî ïðåäñòàâëåíèå ìîæåò áûòü
èñïîëüçîâàíî äëÿ àíàëèòèêî-ñòàòèñòè÷åñêèõ îöåíîê ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ. Îäíàêî
óðàâíåíèå âîññòàíîâëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñïåöèàëüíûì óðàâíåíèåì Âîëüòåððà, ïîýòî-
ìó åãî ðåøåíèå ìîæåò áûòü íàéäåíî ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé
Ïèêàðà. Êàê èçâåñòíî, ìåòîä Ïèêàðà äëÿ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé Âîëüòåððà
ñõîäèòñÿ íà êàæäîì êîíå÷íîì èíòåðâàëå çíà÷åíèé u â ñèëó ïðèíöèïà ñæèìàþ-
ùèõ îòîáðàæåíèé.  îáùåì ñëó÷àå ñæàòèå èìååò ìåñòî òîëüêî ïîñëå íåñêîëüêèõ
èòåðàöèé, ïîýòîìó ãàðàíòèðîâàííàÿ ñõîäèìîñòü ìåòîäà ïðè áîëüøèõ u ÿâëÿåòñÿ
ìåäëåííîé. Îäíàêî äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî óðàâíåíèÿ Âîëüòåððà, êîòîðîìó óäîâ-
ëåòâîðÿåò �( )u , ñæàòèå èìååò ìåñòî íà êàæäîé èòåðàöèè ñ êîýôôèöèåíòîì q �1
ðàâíîìåðíî ïî âñåì u� ��[ , )0 , ÷òî îáåñïå÷èâàåò âûñîêóþ ñêîðîñòü ñõîäèìîñ-
òè ïðè âñåõ u. Â íàñòîÿùåé ñòàòüå äåòàëüíî èññëåäîâàíû ñâîéñòâà ïîñëåäîâà-
òåëüíûõ ïðèáëèæåíèé äëÿ íàõîæäåíèÿ âåðîÿòíîñòè íåáàíêðîòñòâà �( )u êëàññè-
÷åñêîãî ïðîöåññà ðèñêà. Ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé ïîçâîëÿåò íàõî-
äèòü êàê ÷èñëåííûå, òàê è àíàëèòè÷åñêèå ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ äëÿ
âåðîÿòíîñòè � êàê ôóíêöèè u è äðóãèõ ïàðàìåòðîâ ïðîöåññà, â ÷àñòíîñòè ôîðìó-
ëà Ïîëà÷åêà-Õèí÷èíà ïîëó÷àåòñÿ ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé ïðè
ñòàðòå ñ íóëåâîé íà÷àëüíîé ôóíêöèè. Ïîêàçàíî, ÷òî ïðè ñòàðòå ñ íà÷àëüíûõ
ôóíêöèé �0 1( )u � è � �0 0 1( ) ( )u q� � � ïîñëåäîâàòåëüíûå ïðèáëèæåíèÿ ìîíîòîí-
íî ñõîäÿòñÿ ê ðåøåíèþ �( )u ñîîòâåòñòâåííî ñâåðõó è ñíèçó. Ïðè ñòàðòå ñ íà-
÷àëüíîé ôóíêöèè �0 1( )u � âñå ïîñëåäîâàòåëüíûå ïðèáëèæåíèÿ �k u( ) óäîâëåòâî-
ðÿþò óñëîâèþ �k Ruu e( ) � �1 , ãäå R
0 — êîíñòàíòà Ëóíäáåðãà (åñëè òàêîâàÿ
èìååòñÿ). Ðàññìîòðåíû âàðèàíòû ìåòîäà ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé ñ ïðè-
áëèæåííûì âû÷èñëåíèåì èíòåãðàëîâ.  ýòîì ñëó÷àå ìåòîä ïåðåñòàåò áûòü ìîíî-
òîííûì. Ïðè èñïîëüçîâàíèè îöåíîê Ìîíòå-Êàðëî äëÿ èíòåãðàëîâ ìåòîä ñòàíî-
âèòñÿ ñòîõàñòè÷åñêèì. Äëÿ îáîñíîâàíèÿ åãî ñõîäèìîñòè èñïîëüçóåòñÿ ðàâíîìåð-
íûé ôóíêöèîíàëüíûé çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë (ÿâëÿþùèéñÿ îáîáùåíèåì òåîðåìû
Ãëèâåíêî–Êàíòåëëè î ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ýìïèðè÷åñêèõ ôóíêöèé ðàñïðå-
äåëåíèÿ). Âñå ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ïðèìåíèìû äëÿ çàäà÷ îöåíêè íàäåæíîñòè,
ñâîäÿùèõñÿ ê ðåøåíèþ íåñîáñòâåííîãî óðàâíåíèÿ âîññòàíîâëåíèÿ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ô å ë ë å ð Â . Ââåäåíèå â òåîðèþ âåðîÿòíîñòåé è åå ïðèëîæåíèÿ. — Ì.: Ìèð, 1967. — Ò. 2. —
752 ñ.
2. B e a r d R . E . , P e n t i k ��a i n e n T . , P e s o n e n E . Risk theory. The stochastic basis of insurance. 3-rd
edition. — London; New York: Chapman and Hall, 1984. — 408 p.
3. Ý ì á ð å õ ò ñ Ï . , Ê ë þ ï ï å ë ü á å ð ã Ê . Íåêîòîðûå àñïåêòû ñòðàõîâîé ìàòåìàòèêè // Òåîðèÿ
âåðîÿòíîñòåé è åå ïðèìåíåíèÿ. — 1991. — 38, âûï. 2. — Ñ. 374–417.
4. Ë å î í å í ê î Ì . Ì . , Ì ³ ø ó ð à Þ . Ñ . , Ï à ð õ î ì å í ê î ß . Ì . , ß ä ð å í ê î Ì . É .
Òåîðåòèêî-éìîâ³ðí³ñí³ òà ñòàòèñòè÷í³ ìåòîäè â åêîíîìåòðèö³ òà ô³íàíñîâ³é ìàòåìàòèö³. — Ê.:
²íôîðìòåõí³êà, 1995. — 380 ñ.
5. E m b r e c h t s P . , K l u p p e l b e r g C . , M i k o s c h T . Modelling extremal events for insurance and
finance. — Berlin; Heidelberg: Springer, 1997. — 648 p.
6. A s m u s s e n S . Ruin probabilities. — Singapore: World Scientific, 2000. — 385 p.
7. B e n i n g V . E . , K o r o l e v V . Y u . Generalized Poisson models and their applications in insurance
and finance. — Utrecht: VSP, 2002. — 434 p.
8. Á î í ä à ð å â Á .  . Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè â ñòðàõîâàíèè. — Äîíåöê: ÀÏÅÊÑ, 2002. — 116 c.
9. Ê î â à ë å í ê î È . Í . , Ê ó ç í å ö î â Í . Þ . Ìåòîäû ðàñ÷åòà âûñîêîíàäåæíûõ ñèñòåì. — Ì.: Ðàäèî
è ñâÿçü, 1988. — 176 ñ.
10. Ê à ë à ø í è ê î â  .  . Êîëè÷åñòâåííûå îöåíêè â òåîðèè íàäåæíîñòè. — Ì.: Çíàíèå, 1989. — 48 ñ.
11. Ø ï à ê  . Ä . Àíàëèòèêî-ñòàòèñòè÷åñêèå îöåíêè äëÿ îáðûâàþùèõñÿ ïðîöåññîâ âîññòàíîâëåíèÿ è
èõ ýôôåêòèâíîñòü // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2005. — ¹ 1. — Ñ. 138–156.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 6 129
12. C r o u x K . , V e r a v e r b e k e N . Nonparametric estimators for the probability of ruin // Insurance:
Math. Econ. — 1990. — N 9. — P. 127–130.
13. Í à ê î í å ÷ í û é À . Í . Îöåíêà Ìîíòå-Êàðëî äëÿ âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ â ñëîæíîé ïóàññîíîâñêîé
ìîäåëè òåîðèè ðèñêà // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 1995. — ¹ 6. — Ñ. 160-162.
14. S h i u E . S . W . Calculation of the probability of eventual ruin by Beekman’s convolution series // Insu-
rance: Math. Econ. — 1988. — N 7. — P. 41–47.
15. Á å í è í ã  . Å . , Ê î p î ë å â  . Þ . Íåïàpàìåòpè÷åñêîå îöåíèâàíèå âåpîÿòíîñòè pàçîpåíèÿ äëÿ
îáîáùåííûõ ïpîöåññîâ ðèñêà // Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è åå ïðèìåíåíèå. — 2003. — 47, âûï. 1. —
C. 1–16.
16. B r o w n M . , S o l o m o n H . . S t e p h e n s M . A . Monte Carlo simulation of the renewal function //
J. Appl. Probab. — 1981. — 18. — P. 426–434.
17. Á î ð î â ê î â Ë . Ë . Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà. — Ì.: Íàóêà, 1984. — 472 ñ.
18.  è í î ã ð à ä î â Î . Ï . Îá îäíîì ýëåìåíòàðíîì ìåòîäå ïîëó÷åíèÿ îöåíîê âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ //
Îáîçðåíèå ïðèêëàäíîé è ïðîìûøëåííîé ìàòåìàòèêè. — 1998. — 5, âûï. 1. — Ñ. 134–140.
19. Í î ð ê è í Á .  . Î ìåòîäå ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòè
áàíêðîòñòâà êëàññè÷åñêîãî ïðîöåññà ðèñêà // Òåîð³ÿ îïòèìàëüíèõ ð³øåíü. — 2003. — ¹ 2. —
Ñ. 10–18.
20. Í î ð ê è í Á .  . Íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèé
èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé ñòðàõîâîé ìàòåìàòèêè // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2006. —
¹ 5. — Ñ. 157–164.
21. A l b r e c h e r H . , K a i n h o f e r R . Risk theory with a non-linear dividend barrier // Computing. —
2002. — 68, N 4. — P. 289–311.
22. A l b r e c h e r H . , K a i n h o f e r R . , T i c h y R . F . Simulation methods in ruin models with non-linear
dividend barriers // Mathematics and Computers in Simulation. — 2003. — 62. — P. 277–287.
23. S u n d t B . , T e u g e l s J . L . Ruin estimates under interest force // Insurance: Math. Econ. — 1995. —
16. — P. 7–22.
24. D i c k s o n D . C . M . , W a t e r s H . R . Ruin probabilities with compounding assets // Ibid. — 1999. —
25. — P. 49–62.
25. P a n j e r H . H . Recursive calculation of a family of compound distributions // ASTIN Bulletin. — 1981.
— 12. — P. 22–26.
26. G o o v a e r t s M . , D e V i j y l d e r F . A stable recursive algorithm for evaluation of ultimate ruin proba-
bilities // Ibid. — 1984. — 14. — P. 53–59.
27. P a n j e r H . H . Direct calculation of ruin probabilities // J. of Risk and Insurance. — 1986. — 53. —
P. 521–529.
28. D i c k s o n D . C . M . Recursive calculation of the probability and severity of ruin // Insurance: Math.
Econ. — 1989. — 8. — P. 145–148.
29. D i c k s o n D . C . M . , W a t e r s H . R . Recursive calculation of survival probabilities // ASTIN Bulle-
tin. — 1991. — 21. — P. 199–221.
30. R a m s a y C . M . Improving Goovaerts’ and De Vylder’s stable recursive algorithm // Ibid. — 1992. —
22. — P. 51–59.
31. P a n j e r H . H . , W a n g S . On the stability of recursive formulas // Ibid. — 1993. — 23. — P. 227–258.
32. D i c k s o n D . C . M . , E g i d i o d o s R e i s A . D . , W a t e r s H . R . Some stable algorithms in ruin
theory and their application // Ibid. — 1995. — 25. — P. 153–175.
33. R a m s a y C . M . , U s a( b e l M . Calculating ruin probabilities via product integration // Ibid. — 1997.
— 27 (2). — P. 263–271.
34. Ê î ë ì î ã î ð î â À . Í . , Ô î ì è í Ñ . Â . Ýëåìåíòû òåîðèè ôóíêöèé è ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà. —
Ì.: Íàóêà, 1981. — 544 ñ.
35. D e v r o y e L . , G y o r f i L . , L u g o s i G . A probabilistic theory of pattern recognition. — New York:
Springer, 1996. — 634 p.
36. Í à ò à í ñ î í È . Ï . Òåîðèÿ ôóíêöèé âåùåñòâåííîé ïåðåìåííîé. — Ì.: Íàóêà, 1974. — 480 ñ.
37.  à ï í è ê  . Í . , × å ð â î í å í ê è ñ À . ß . Òåîðèÿ ðàñïîçíàâàíèÿ îáðàçîâ. Ñòàòèñòè÷åñêèå
ïðîáëåìû îáó÷åíèÿ. — Ì.: Íàóêà, 1974. — 416 ñ.
Ïîñòóïèëà 19.12.2007
130 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 6
|