Деформации параметров динамических систем и их влияние на вычислительный процесс
Розглянуто динамічні системи як математичні моделі фізичних явищ і вплив малих збурень початкових умов та їх структури на точність обчислень. Показано, що для коректності обчислювальних процесів спочатку необхідно дослідити фазовий портрет динамічної системи. Dynamic systems as mathematical models o...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2009 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44308 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Деформации параметров динамических систем и их влияние на вычислительный процесс / В.Ф. Задорожный // Кибернетика и системный анализ. — 2009. — № 1. — С. 94-99. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860154416024256512 |
|---|---|
| author | Задорожный, В.Ф. |
| author_facet | Задорожный, В.Ф. |
| citation_txt | Деформации параметров динамических систем и их влияние на вычислительный процесс / В.Ф. Задорожный // Кибернетика и системный анализ. — 2009. — № 1. — С. 94-99. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Розглянуто динамічні системи як математичні моделі фізичних явищ і вплив малих збурень початкових умов та їх структури на точність обчислень. Показано, що для коректності обчислювальних процесів спочатку необхідно дослідити фазовий портрет динамічної системи.
Dynamic systems as mathematical models of physical phenomena and the influence of small perturbations of initial conditions and their structure on the calculation accuracy are considered. It is shown that, to provide the correctness of a computational process, the phase portrait of a dynamical system should first be studied.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:53:07Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 518.5, 518:512:25
Â.Ô. ÇÀÄÎÐÎÆÍÛÉ*
ÄÅÔÎÐÌÀÖÈÈ ÏÀÐÀÌÅÒÐΠÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÑÈÑÒÅÌ
È ÈÕ ÂËÈßÍÈÅ ÍÀ ÂÛ×ÈÑËÈÒÅËÜÍÛÉ ÏÐÎÖÅÑÑ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà, ôàçîâûé ïîðòðåò, ÷èñëî îáóñëîâ-
ëåííîñòè ìàòðèöû, ñæàòèå.
Èçó÷åíèå ôèçè÷åñêèõ, áèîëîãè÷åñêèõ, òåõíè÷åñêèõ, ýêîíîìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ ñ
ïîìîùüþ ìàòåìàòè÷åñêèõ çàâèñèìîñòåé ñòàëî îñíîâîé ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè äè-
íàìè÷åñêèõ ñèñòåì (ä.ñ.). Ó èñòîêîâ ýòîé íàóêè ñòîÿëè È. Íüþòîí, Ë. Ëàãðàíæ,
Ï. Ëàïëàñ. Êà÷åñòâåííûå ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ, êîòîðûå ëåæàò â îñíîâå ñîâðåìåí-
íîé òåîðèè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, âíåñëè À. Ïóàíêàðå è À.Ì. Ëÿïóíîâ. Ýòè ìåòî-
äû íå èñïîëüçóþò â ÿâíîì âèäå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé, êîòîðûìè çàäàþòñÿ êîíêðåò-
íûå äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû, à òðåáóþò ïðÿìûõ àïðèîðíûõ ìåòîäîâ.
Îïèñàíèå äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì (ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè) òàêæå äîïóñêàåò
áîëüøîå ðàçíîîáðàçèå: îíî ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâ-
íåíèÿìè èëè ñðåäñòâàìè ôóíêöèé àëãåáðû ëîãèêè, èëè ñ ïîìîùüþ ãðàôîâ, ñèì-
âîëè÷åñêîé äèíàìèêè, ìàðêîâñêèõ öåïåé è ò.ä.
Áëàãîäàðÿ âûñîêîìó óðîâíþ ðàçâèòèÿ âû÷èñëèòåëüíûõ ìàøèí ÷èñëåííûé
ýêñïåðèìåíò ñåé÷àñ çàíèìàåò âàæíîå ìåñòî â èññëåäîâàíèè äèíàìè÷åñêèõ ñèñ-
òåì. Îí äàåò âîçìîæíîñòü âûÿâèòü ðîëü è çíà÷åíèå ðàçëè÷íûõ ïàðàìåòðîâ (ôàê-
òîðîâ), îïðåäåëÿþùèõ èçó÷àåìûå îáúåêòû èëè ÿâëåíèÿ. Ó÷èòûâàÿ ñëîæíîñòü äè-
íàìè÷åñêèõ ñèñòåì, ïðè êîòîðûõ êîíå÷íûå ðåçóëüòàòû íåïðåäñêàçóåìû,
âîçíèêàåò ïðîáëåìà äîñòîâåðíîñòè ðåøåíèé, ïîëó÷àåìûõ íà ÝÂÌ.
Ïðîáëåìà äîñòîâåðíîñòè ðåçóëüòàòîâ ñîäåðæèò äâà åñòåñòâåííûõ àñïåêòà:
äîñòîâåðíîñòü ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ä.ñ. è äîñòîâåðíîñòü ìàòåìàòè÷åñêîãî ðå-
øåíèÿ ýòîé ìîäåëè. Ñòàâèòñÿ çàäà÷à îöåíêè îòêëîíåíèÿ ìàøèííîãî ðåøåíèÿ îò
ìàòåìàòè÷åñêîãî. Îòìåòèì, ÷òî ïîñëåäíåãî ìîæåì è íå çíàòü. Çäåñü ïðèìåíèìî
çàìå÷àíèå À. Ýéíøòåéíà: «Åñëè òåîðåìû ìàòåìàòèêè ïðèëàãàþòñÿ ê îòðàæåíèþ
ðåàëüíîãî ìèðà, îíè íåòî÷íû, îíè òî÷íû äî òåõ ïîð, ïîêà íå ññûëàþòñÿ íà äå-
éñòâèòåëüíîñòü».  äåéñòâèòåëüíîñòè äàííûå, ñíÿòûå ñ äàò÷èêîâ äëÿ ââåäåíèÿ
èõ â óðàâíåíèÿ äèíàìèêè, íèêîãäà íå ìîãóò áûòü òî÷íûìè. Íåòî÷íû õîòÿ áû ïî-
òîìó, ÷òî â ïðèðîäå íå ñóùåñòâóåò òî÷êè. Òî÷êà — ýòî ïîãîíÿ çà ïðèçðàêîì.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, íåâîçìîæíî ñ äàò÷èêà ñíÿòü íà÷àëüíûå äàííûå â âèäå èððà-
öèîíàëüíîãî ÷èñëà, è ýòî èíîãäà ïðèíöèïèàëüíî. Íàïðèìåð, ðàññìîòðèì
äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó y x� 2 1, mod , íà îòðåçêå [ , ]0 1 .
Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî äëÿ âñåõ ðàöèîíàëüíûõ íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé
x0 0 1�[ , ] ðåøåíèå y y x� ( ) áóäåò ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé, åñëè æå x0
* — èððà-
öèîíàëüíîå ÷èñëî, òî y x( )* — ýðãîäè÷åñêîå äâèæåíèå, ò.å., èñêëþ÷àÿ ìíîæåñ-
òâî ëåáåãîâîé ìåðû íóëü èç ëþáîé òî÷êè x0
* , ìîæíî ïîïàñòü â ëþáóþ òî÷êó
x�[ , ]0 1 çà èñêëþ÷åíèåì ðàöèîíàëüíûõ òî÷åê.
Ýòà ïðîñòåéøàÿ äèíàìè÷åñêàÿ ìîäåëü, êàê è ìíîãèå äðóãèå (áîëåå ñëîæ-
íûå), ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó çàêëþ÷åíèþ. Äëÿ êîððåêòíîñòè âû÷èñëèòåëüíîãî
ïðîöåññà íåîáõîäèìî ñíà÷àëà ñîñòàâèòü ôàçîâûé ïîðòðåò ðàññìàòðèâàåìîé
äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû.
94 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 1
*
© Â.Ô. Çàäîðîæíûé, 2009
Óòî÷íèì, ÷òî ïîíèìàåòñÿ ïîä äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìîé è ÷òî òàêîå ôàçîâûé
ïîðòðåò.
Îïðåäåëåíèå 1 [1]. Äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìîé ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì èëè
ïîòîêîì íà ìíîæåñòâå M n íàçûâàþò òàêîå ñåìåéñòâî ïðåîáðàçîâàíèé �t , t R� ,
íà M n , ÷òî �0 — òîæäåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå è � � �t s t s� � � .
Ïðè ýòîì íàêëàäûâàþòñÿ äîïîëíèòåëüíûå îãðàíè÷åíèÿ — íåïðåðûâíîñòü,
ãëàäêîñòü è ò.ä. Ïðåîáðàçîâàíèå �t çàäàþòñÿ ãëàâíûì îáðàçîì ñ ïîìîùüþ âåê-
òîðíîãî ïîëÿ X x( ) èëè âåêòîðíîãî íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ
dx
dt
X x x M n� �( ), ,
( )1
ãäå M n — C r -ìíîãîîáðàçèå ñ âûáðàííîé íà íåì ñèñòåìîé êîîðäèíàò
{ }x xn1
0 0, . . . , . Ðåøåíèÿ x xt ( ) ä.ñ. (1) íàçûâàþò ñòàöèîíàðíûìè, åñëè îáðàçîì
ýòîãî ðåøåíèÿ áóäåò òî÷êà èëè çàìêíóòàÿ êðèâàÿ íà ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå.
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñòàöèîíàðíûì ñîñòîÿíèåì ä.ñ. ÿâëÿþòñÿ òîëüêî ïîëîæåíèÿ
ðàâíîâåñèÿ (òî÷êè ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà) èëè êîëåáàòåëüíûå ðåæèìû (çàìêíó-
òûå ëèíèè). Äðóãèõ ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé ó ä.ñ. íå ñóùåñòâóåò. Ýòîò ðåçóëü-
òàò óñòàíîâëåí À. Ïóàíêàðå åùå äî îòêðûòèÿ äåòåðìèíèðîâàííîãî õàîñà. Åñëè
ñ÷èòàòü, ÷òî äåòåðìèíèðîâàííûé õàîñ — ýòî êîëåáàíèÿ ñ áåñêîíå÷íî áîëüøèì
ïåðèîäîì, òî ñòàöèîíàðíûå ðåæèìû ä.ñ. íå èçìåíèëèñü.
Îïðåäåëåíèå 2. Ôàçîâûé ïîðòðåò ä.ñ. � ÿâëÿåòñÿ ôàçîâûì ïðîñòðàíñòâîì ñî
ñòàöèîíàðíûìè ôàçîâûìè êðèâûìè. Òî÷êà ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ x0 ÿâëÿåòñÿ
òàêæå ôàçîâîé êðèâîé.
Èñõîäíûå äàííûå äëÿ ïðèêëàäíûõ çàäà÷ ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè çàäàþòñÿ
ïðèáëèæåííî, ò.å. ñ íåêîòîðîé ïîãðåøíîñòüþ. Ýòà ïîãðåøíîñòü ìîæåò ñóùåñ-
òâåííî èñêàçèòü ðåøåíèå, è íå òîëüêî â êîëè÷åñòâåííîì ïëàíå, íî è êà÷åñòâåííî,
ò.å. âìåñòî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ìîæåò âîçíèêíóòü êîëåáàòåëüíûé ðåæèì.
Ðàññìîòðèì ïðîñòîé ïðèìåð [2]. Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè ñëåäó-
þùåãî óðàâíåíèÿ:
du
dx
u x x u� � � � �, , ( )0 100 0 1 .
( )2
Êàê íåòðóäíî çàìåòèòü, îáùèì ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ áóäåò ôóíêöèÿ
u x c x cex( , ) � � �1 . Ïðè çàäàííîì íà÷àëüíîì óñëîâèè x 0 íàõîäèì, ÷òî c � 0, à
u ( )100 101� .
Ðàññìîòðèì òåïåðü çàäà÷ó ñ âîçìóùåííûìè íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè
du
dx
u x u� �
�, ( ) ,0 1 000001,
ãäå c
� �10 6 , à u ( ) ,100 2 7 1037� � . Òàêèì îáðàçîì, íåáîëüøîå èçìåíåíèå èñ-
õîäíûõ äàííûõ ñèëüíî èçìåíèëî ðåøåíèå. Â ñâÿçè ñ òàêîé ñèòóàöèåé ïðàâî-
ìåðíûé âîïðîñ: êîãäà ìàëûå èçìåíåíèÿ íà÷àëüíûõ äàííûõ âûçîâóò ìàëûå èç-
ìåíåíèÿ ðåøåíèé? Êàê èçâåñòíî, ïðè ðàññìîòðåíèè ëîêàëüíûõ ðåøåíèé íà
ýòîò âîïðîñ îòâå÷àåò òåîðåìà î íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòè ðåøåíèé îò íà÷àëü-
íûõ äàííûõ [3]. Åñëè æå ðàññìàòðèâàåòñÿ ãëîáàëüíàÿ êàðòèíà ïîâåäåíèÿ
ðåøåíèé, òî íà ýòîò âîïðîñ îòâå÷àåò òåîðèÿ óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ [4].
Îäíàêî íóæíî îòìåòèòü, ïðåæäå âñåãî, ÷òî ðàññìàòðèâàåìàÿ ìîäåëü ôèçè-
÷åñêè íåñîñòîÿòåëüíà. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè åå ñîñòàâëåíèè äîïóùåíà îøèáêà, ò.å.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 1 95
ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ íåàäåêâàòíàÿ èäåàëèçàöèÿ, ïðè êîòîðîé ìû ïðåíåáðåãëè
êàêèì-ëèáî ìàëûì ýôôåêòîì, ñïîñîáíûì êà÷åñòâåííî èçìåíèòü ïîâåäåíèå îñî-
áûõ òî÷åê. Êðîìå òîãî, äîïóùåíèå, ÷òî ëèíåéíàÿ ñèñòåìà êîððåêòíàÿ íà âñåì îä-
íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå R
, î÷åâèäíî íåñîñòîÿòåëüíàÿ.  ñâÿçè ñ ýòèì ïîïðîáóåì
ñäåëàòü êîìïàêòèôèêàöèþ ïðàâîé ÷àñòè, ò.å. îòîáðàçèì R
íà îòðåçîê (êîìïàêò)
[ , ]�1 1 : y
u
u
�
�1 2
. Â òåðìèíàõ ïåðåìåííîé y èìååòñÿ êîìïàêòíàÿ ä.ñ. íà îòðåçêå
[ , ]�1 1 . Åñëè òåïåðü ñðàâíèòü çíà÷åíèå y
äëÿ u
�( )0 1 è y
äëÿ u
�( ) ,0 1 000001,
òî ìàëûå èçìåíåíèÿ íà÷àëüíûõ äàííûõ ìàëî èçìåíÿþò êîíå÷íûé ðåçóëüòàò.
Ýòîò ïðèìåð, êàê è ìíîãèå äðóãèå, ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî äëÿ âûïîëíå-
íèÿ êîððåêòíîé ÷èñëåííîé ïðîöåäóðû ñíà÷àëà íóæíî èññëåäîâàòü ôàçîâûé
ïîðòðåò ä.ñ.
Ôàçîâûå ïîðòðåòû. Äëÿ èçó÷åíèÿ ñâîéñòâ äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû íà êîìïàê-
òå èëè æå â îêðåñòíîñòè íåêîòîðîé òî÷êè x 0 èñïîëüçóþò ìåòîä ôàçîâîãî ïîðòðåòà.
Ñàìûå âàæíûå îáúåêòû ôàçîâîãî ïîðòðåòà ä.ñ. — ýòî åå ñòàöèîíàðíûå ðåæèìû.
Äëÿ òîãî ÷òîáû ñòàöèîíàðíûå ðåæèìû áûëè íàáëþäàåìû äëÿ âû÷èñëèòåëüíûõ ïðî-
öåññîâ, íåîáõîäèìî, ÷òîáû îíè áûëè óñòîé÷èâû ïî Ëÿïóíîâó. Ïîñêîëüêó ñòðóêòóðà
ïàðàìåòðîâ ä.ñ. ñàìà ïîäâåðãàåòñÿ âîçìóùåíèÿì, òî íóæíî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû ä.ñ.
îáëàäàëà ñâîéñòâàìè ãðóáîñòè. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî, ÷òîáû ðàññìàòðèâàåìûé ñòà-
öèîíàðíûé ðåæèì áûë àñèìòîòè÷åñêè óñòîé÷èâ [4], òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå èìååò
ìåñòî îáÿçàòåëüíî ñòðóêòóðíàÿ óñòîé÷èâîñòü, ò.å. ä.ñ. ãðóáàÿ. Åñëè ðàññìàòðèâàòü
äîñòàòî÷íî ìàëóþ îêðåñòíîñòü ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé â âîçìó-
ùåíèÿõ, òî ôóíêöèþ Ëÿïóíîâà ìîæíî ïîñòðîèòü â âèäå êâàäðàòè÷íîé ôîðìû. Â
ñèëó ýòîãî âîçíèêàåò âîïðîñ îáóñëîâëåííîñòè ìàòðèö.
Ðàññìîòðèì ëèíåéíóþ ñèñòåìó �x Ax� , ãäå A — ñòàöèîíàðíàÿ ìàòðèöà. Åñëè
ñïåêòð � ( )A ëåæèò â ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè, òî äëÿ âñÿêîé çàäàííîé ìàòðèöû C —
ñèììåòðè÷íîé è òàêîé, ÷òî � ( )C
0, ñóùåñòâóåò ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà
B B( ( ) )� � 0 òàêàÿ, ÷òî â ìåòðèêå | | | |� , ïîðîæäàåìîé ýòîé ìàòðèöåé, îïåðàòîð A áóäåò
äèññèïàòèâíûì îïåðàòîðîì. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ëèíèè óðîâíÿ ôóíêöèè Ëÿïóíîâà
(êâàäðàòî÷íîé ôîðìû) ãîìåîìîðôíû íåêîòîðûì ñôåðàì â íîâîé ìåòðèêå.
Äëÿ òîãî ÷òîáû îöåíèòü ãðóáîñòü ñèñòåìû èëè ÷óâñòâèòåëüíîñòü ïàðàìåòðîâ
ñèñòåìû ê âîçìóùåíèÿì, ðàññìîòðèì óðàâíåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìàòðèöû B:
AB BA C� �* (3)
äëÿ çàäàííîé îïðåëåííî-îòðèöàòåëüíîé ìàòðèöû C. Óðàâíåíèå (3) ñòàâèò â
ñîîòâåòñòâèå ìàòðèöå C ìàòðèöó B, ïðè÷åì ýòî ñîîòâåòñòâèå ëèíåéíî. Cëåäîâà-
òåëüíî, â ïðîñòðàíñòâå êâàäðàòè÷íûõ ìàòðèö n-ãî ïîðÿäêà óðàâíåíèå (3) îïðåäåëÿ-
åò ëèíåéíûé îïåðàòîð F B A B BA( ) *� � . Ðàçðåøèìîñòü óðàâíåíèÿ (3), òàêèì îá-
ðàçîì, îïðåäåëÿåòñÿ ñóùåñòâîâàíèåì îáðàòíîãî îïåðàòîðà F �1, òàê êàê B F C� 1 .
Èçâåñòíî, ÷òî äëÿ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ñó-
ùåñòâîâàíèÿ îáðàòíîãî åñòü óñëîâèå îòñóòñòâèÿ â åãî ñïåêòðå íóëåâèõ ýëåìåíòîâ.
À. Ëÿïóíîâ äîêàçàë òåîðåìó [4] î òîì, ÷òî âñå êîðíè { }� îïåðàòîðà F îïðåäåëÿ-
þòñÿ ôîðìóëîé { }� � � �� � � �m m mn n1 1 2 2 . . . , ãäå � �i A� ( ), i n�1, . . . , , { }mi
— ëþáûå öåëûå íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëà, ñâÿçàííûå ñîîòíîøåíèåì � �m mi ,
ãäå m — ïîðÿäîê ôîðìû V . Òàê êàê çäåñü ðàññìàòðèâàþòñÿ òîëüêî êâàäðàòè÷-
íûå ôîðìû, òî ëþáîå ÷èñëî � îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì � � �� �i j .
Ïîñêîëüêó îïðåäåëåíèå ìàòðèöû B ñâÿçàíî ñ îïðåäåëåíèåì îáðàòíîãî îïå-
ðàòîðà F �1, èìååò ñìûñë ðàññìîòðåòü çàäà÷ó îöåíèâàíèÿ îøèáîê, âîçíèêàþùèõ
96 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 1
ïðè ïîñòðîåíèè ôóíêöèè Ëÿïóíîâà, êàê êâàäðàòè÷íîé ôîðìû ïðè ðåøåíèè óðàâ-
íåíèÿ (3). Èçâåñòíî, ÷òî åñëè âû÷èñëåíèÿ ïðîâîäÿòñÿ íà öèôðîâîì êîìïüþòåðå ñ
êîíå÷íûì ìàøèííûì ñëîâîì, íåèçáåæíî âîçíèêàþò îøèáêè îêðóãëåíèÿ è óñå÷å-
íèÿ. Áîëåå òîãî, äàæå åñëè âñå âû÷èñëåíèÿ áóäóò âûïîëíÿòüñÿ ñ ïðåäåëüíîé òî÷-
íîñòüþ, ýëåìåíòû ìàòðèöû A ìîãóò ÿâëÿòüñÿ ðåçóëüòàòàìè íåêîòîðûõ ýêñïåðè-
ìåíòîâ èëè íåêîòîðûõ ïðåäâàðèòåëüíûõ âû÷èñëåíèé, âíîñÿùèõ îøèáêè. Òàê
èëè èíà÷å ïîãðåøíîñòü óæå åñòü â èñõîäíîé èíôîðìàöèè. Òàêèì îáðàçîì, ïðà-
âûå ÷àñòè ä.ñ. çàäàþòñÿ ñ íåêîòîðîé ïîãðåøíîñòüþ. Èçâåñòíî, ÷òî â áîëüøèíñòâå
èñïîëüçóåìûõ àëãîðèòìàõ ýôôåêò îøèáîê îêðóãëåíèÿ ïðè âû÷èñëåíèÿõ ìîæíî
ñìîäåëèðîâàòü ñ ïîìîùüþ âîçìóùåíèé ëèøü íà÷àëüíûõ äàííûõ, ò.å. âû÷èñëÿþò
íå ìàòðèöû B è B �1, à ìàòðèöû ( )B E� è ( )B E� �1, ãäå ìàòðèöà E — íåêîòî-
ðîå ìàëîå â ìàòðè÷íîé íîðìå | | | |� âîçìóùåíèå, òàê ÷òî ìàòðèöà E îáðàòèìà.
Âåëè÷èíó
� ( )
| | | | | | | | , ,
,
B
B B B
B
�
�
�1 åñëè íåâûðîæäåííà
åñëè âûðîæäåííà,
�
�
�
��
íàçûâàþò ÷èñëîì îáóñëîâëåííîñòè ìàòðèöû B [5] ïî îòíîøåíèþ ê ââåäåííîé
âûøå ìàòðè÷íîé íîðìå | | | | . Çàìåòèì, ÷òî
� ( ) | | | | | | | | | | | | | | | |B B B B B I� � � � �� �1 1 1
äëÿ ëþáîé ìàòðè÷íîé íîðìû. Ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ íîðìû || | |E , êàê íåòðóä-
íî ïîêàçàòü, îòíîñèòåëüíàÿ îøèáêà â îáðàòíîé ìàòðèöå èìååò îäèíàêîâûé ïî-
ðÿäîê ìàëîñòè ñ îòíîñèòåëüíîé îøèáêîé â íà÷àëüíûõ äàííûõ ïðè óñëîâèè,
÷òî � ( )B íå î÷åíü âåëèêà. Òåïåðü, èìåÿ â âèäó çàäà÷ó îáðàùåíèÿ, ïðè áîëü-
øèõ � ( )B ãîâîðÿò î ïëîõîé îáóñëîâëåííîñòè ìàòðèöû B ïî îòíîøåíèþ ê
íîðìå | | | |� , ïðè ìàëûõ � ( )B (áëèçêèõ ê åäèíèöå) ãîâîðÿò î õîðîøåé îáóñëîâ-
ëåííîñòè ìàòðèöû B ïî îòíîøåíèþ ê íîðìå | | | |� . Íàêîíåö, ïðè � ( )B �1 ìàò-
ðèöó B íàçûâàþò èäåàëüíîé îáóñëîâëåííîé ïî îòíîøåíèþ ê íîðìå | | | |� . ×èñëî
îáóñëîâëåííîñòè íåâûðîæäåííîé íîðìàëüíîé ìàòðèöû ïî îòíîøåíèþ ê ñïåê-
òðàëüíîé íîðìå çàäàåòñÿ ôîðìóëîé
� � �
�
�
( ) ( ) ( )
| max ( )|
| min ( )|
A A A
A
A
� ��1 .
Çäåñü � — ñïåêòðàëüíûé ðàäèóñ, à min è max ïîíèìàþòñÿ ïî àáñîëþòíîé
âåëè÷èíå. Òàê êàê B — ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà, òî îíà íîðìàëüíàÿ, ñëåäîâàòåëü-
íî, äëÿ íåå ÷èñëî îáóñëîâëåííîñòè áóäåò
�
�
�
( )
max ( )
min ( )
B
B
B
��
�
� �
�
�.
Óñëîâèå íîðìàëüíîñòè ìàòðèöû: AA A A* *� çäåñü ñóùåñòâåííî. Èçâåñòíû ïðè-
ìåðû, êîãäà ÷èñëî îáóñëîâëåííîñòè äëÿ ìàòðèöû áóäåò óäîâëåòâîðÿòü óðàâíå-
íèþ � �( ) ( )A � �0 1 ïðè �� 0, ò.å. ìàòðèöà ïëîõî îáóñëîâëåíà, õîòÿ îòíîøåíèå àá-
ñîëþòíûõ âåëè÷èí íàèáîëüøåãî è íàèìåíüøåãî ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé áëèçêî ê
åäèíèöå. Ðàññìîòðèì ïðèìåð [5, c. 409]:
A1
1 1
1 1
0�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
�
�, .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 1 97
Ïðÿìûì ïîäñ÷åòîì ëåãêî óñòàíîâèòü, ÷òî
�
�
max ( )
min ( )
( )
A
a
O1
1
1
�
�
� �
�
�� .
Îäíàêî � �( ) ( )A O1
1� � ïî îòíîøåíèþ ê ïðîèçâîëüíîé ìàòðè÷íîé íîðìå è,
ñëåäîâàòåëüíî, ìàòðèöà A1 ïëîõî îáóñëîâëåíà, ò.å. | | | | | |A A�1 — äîñòàòî÷íî
áîëüøàÿ âåëè÷èíà.
Áåñêîíå÷íûå ìàòðèöû. Î÷åíü ÷àñòî âû÷èñëèòåëüíàÿ ïðîöåäóðà íà êàæäîì
øàãå óâåëè÷èâàåò ðàçìåðíîñòü îïåðàòîðà, íàïðèìåð ïðè ðåøåíèè èíòåãðàëüíûõ
óðàâíåíèé Ôðåäãîëüìà ìåòîäîì çàìåíû èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ àëãåáðàè÷åñ-
êîé ñèñòåìîé ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ ïîìîùüþ ïðèìåíåíèÿ êâàäðàòóðíîé ôîð-
ìóëû (ñì. [6]). Ïîñêîëüêó ëèíåéíûé îïåðàòîð, ó÷àñòâóþùèé â ýòèõ ðàñ÷åòàõ, ìî-
æåò è íå èìåòü îãðàíè÷åííîãî ïðåäåëüíîãî, âîçíèêàþò äîïîëíèòåëüíûå îãðàíè-
÷åíèÿ. Ýòî âèäíî íà îäíîì èç ñàìûõ óïîìèíàåìûõ ïðèìåðîâ ïëîõî
îáóñëîâëåííîé ìàòðèöû, ìàòðèöû Ãèëüáåðòà
H h M h i j nn ij n ij� � � � � �[ ] , / ( ), , , , . . .1 1 1 2 3 .
Ìàòðèöà H n ñèììåòðè÷íà è ïîýòîìó åå ÷èñëî îáóñëîâëåííîñòè
�
�
�
( )
max
min
H n ��
�
� �
�
�.
Èçâåñòíî [5, ñ. 411], ÷òî ÷èñëî îáóñëîâëåííîñòè ìàòðèöû H n àñèìïòîòè÷åñ-
êè ñîâïàäàåò ñ ýêñïîíåíòîé exp ( )cn , ãäå êîíñòàíòà c� 3 5, , à ñïåêòðàëüíûé ðàäè-
óñ ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê
� ( ) [ / ]H O nn � � 1 log ïðè n��,
ïîýòîìó èìååì
� � �( ) , ( ) , , ( ) ,H H H3
2
6
7
8
105 10 1 5 10 1 5 10� � � � � � .
Õîòÿ âñå ýëåìåíòû ìàòðèöû ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíû è ñïåêòðàëüíûé ðàäèóñ
íå î÷åíü áîëüøîé, îáóñëîâëåííîñòü î÷åíü ïëîõàÿ. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ äîñòàòî÷íî
ïðîñòî. Ïîñêîëüêó ïî îïðåäåëåíèþ
� ( ) | | | | | | | |H H Hn n n� �1 ,
íî ïðè n�� | | | | lim | | | |H i jn
n
�
��
�
� � � � �1 1 , ÷òî è îáúÿñíÿåò ïëîõóþ ñõî-
äèìîñòü.
Äëÿ ìàòðèö äîñòàòî÷íî áîëüøîãî ïîðÿäêà ÷èñëåííîå îïðåäåëåíèå îáðàòíîé
ìàòðèöû, è òåì áîëåå îïðåäåëåíèå ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ìàòðèöû, òðåáóåò áîëüøî-
ãî îáúåìà ðàáîò è âðåìåíè. Ýòîò òðàäèöèîííûé ñïîñîá ìîæíî îáîéòè, åñëè
âîñïîëüçîâàòüñÿ ñæàòèåì.
Ìàòðèöû ñæàòèÿ. Áóäåì íàçûâàòü íåêîòîðóþ ìàòðèöó B ìàòðèöåé ñæàòèÿ,
åñëè åå íîðìà ìåíüøå åäèíèöû: | | | |B
1 .
Âîñïîëüçóåìñÿ èçâåñòíûìè êðóãàìè Ãåðøãîðèíà. Ïóñòü r — ðàäèóñ êðóãà
ïåðåìåííîãî z íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè è òàêîé, ÷òî ìíîæåñòâî
� � �
�
�i
n
ii iZ C Z b R B G B
1
{ }:| | ( ) ( ),
R B b i ni
j
j i
ij
� � �
�
�( ) | | ,
1
1 ,
98 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 1
êðóãîâ Ãåðøãîðèíà íàõîäèòñÿ âíóòðè:
C C C Z Z C! �
0 0 2 0, :| | | |{ }.
Îòîáðàçèì êðóã C â êðóã åäèíè÷íîãî ðàäèóñà � �
�Z a
r
, ãäå a — öåíòð êðó-
ãà C. Ëåãêî ñäåëàòü çàêëþ÷åíèå, ÷òî âñå ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû B ðàñïîëà-
ãàþòñÿ âíóòðè ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
lim
n
k
B aE
r��
��
�
�
"
#
$
� 0. Òàêîé ïîäõîä èíîãäà ìîæåò ñîêðàòèòü êîëè÷åñòâî ÷èñëî-
âûõ îïåðàöèé è óëó÷øèòü àíàëèç ä.ñ. [7].
Òàêèì îáðàçîì, äåëàåì ñëåäóþùåå çàêëþ÷åíèå. Àíàëèç äèíàìè÷åñêîé ñèñ-
òåìû íóæíî âûïîëíÿòü, èñïîëüçóÿ êîìáèíèðîâàííûé ìåòîä: à) ïîñòðîèòü ôàçî-
âûé ïîðòðåò èññëåäóåìîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû; á) äëÿ ôàçîâûõ îáëàñòåé, ëå-
æàùèõ «äàëåêî» îò îñîáûõ ëèíèé, èíòåãðèðîâàòü ñ ïîìîùüþ ÷èñëåííûõ ìåòî-
äîâ, à êîãäà ïîëó÷åííûå òàêèì ñïîñîáîì ðåøåíèÿ ïîäõîäÿò äîñòàòî÷íî áëèçêî ê
íèì, ïðèìåíèòü êà÷åñòâåííûå ìåòîäû àíàëèçà.
 èþíå 2007 ã. â Ñàíêò-Ïåòåðáóðãå ïðîõîäèë Ìåæäóíàðîäíûé êîíãðåññ
«Íåëèíåéíûé äèíàìè÷åñêèé àíàëèç — 2007» [8], íà êîòîðîì âîçíèêëà íåçàïëà-
íèðîâàííàÿ äèñêóññèÿ î êîððåêòíîñòè ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ôèçè÷åñêèõ ïðî-
öåññîâ è êîððåêòíîñòè ñîîòâåòñòâóþùèõ èì âû÷èñëèòåëüíûõ ïðîöåäóð.
Àêàäåìèê ÐÀÍ Ñ.Ê. Ãîäóíîâ è ïðîô. Þ.Ì. Ïåòðîâ ïðåäëîæèëè àâòîðó èçëîæèòü
ñâîþ òî÷êó çðåíèÿ íà ýòîò âîïðîñ, â ÷àñòíîñòè, äëÿ ïåðâîãî ìåòîäà Ëÿïóíîâà.
Àâòîð âûðàæàåò ãëóáîêóþ áëàãîäàðíîñòü ïðîô. È.Í. Ìîë÷àíîâó çà ïîìîùü â
ðàññìîòðåíèè ýòîãî âåñüìà íåòðèâèàëüíîãî âîïðîñà.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ò è ì ó ð à È . Òîïîëîãèÿ ñëîåíèé. — Ì.: Ìèð, 1979. — 317 ñ.
2. Ì î ë ÷ à í î â È . Í . Ìàøèííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ ïðèêëàäíûõ çàäà÷. Àëãåáðà, ïðèáëèæåíèå
ôóíêöèé. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1987. — 288 ñ.
3. Ï å ò ð î â ñ ê è é È . Ã . Ëåêöèè ïî òåîðèè îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. —
Ì.: Íàóêà, 1964. — 272 ñ.
4. Ì à ë ê è í È . à . Òåîðèÿ óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ. — Ì.: Íàóêà, 1966. — 530 ñ.
5. Õ î ð í Ð . , Ä æ î í ñ î í È . Ìàòðè÷íûé àíàëèç. — Ì.: Ìèð, 1989. — 654 ñ.
6. Ê à í ò î ð î â è ÷ Ë . Â . , À ê è ë î â Ã . Ì . Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç. — Ì.: Íàóêà, 1984.
— 750 ñ.
7. Ç ó á î â È . Òåîðèÿ êîëåáàíèé. — Ì.: Âûñø. øê., 1979. — 400 ñ.
8. Ç à ä î ð î æ í û é  . Ô . , È ã í à ò å í ê î À . Ï . Íàó÷íàÿ èíôîðìàöèÿ: Ìåæäóíàð. êîíãðåññ
«Íåëèíåéíûé äèíàìè÷åñêèé àíàëèç–2007», ïîñâÿùåííûé 150-ëåòèþ ñî äíÿ ðîæäåíèÿ
àêàäåìèêà À.Ì. Ëÿïóíîâà // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2007. — ¹ 5. —
Ñ. 188–189.
Ïîñòóïèëà 27.03.2008
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 1 99
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-44308 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:53:07Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Задорожный, В.Ф. 2013-05-28T19:20:53Z 2013-05-28T19:20:53Z 2009 Деформации параметров динамических систем и их влияние на вычислительный процесс / В.Ф. Задорожный // Кибернетика и системный анализ. — 2009. — № 1. — С. 94-99. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44308 518.5, 518:512:25 Розглянуто динамічні системи як математичні моделі фізичних явищ і вплив малих збурень початкових умов та їх структури на точність обчислень. Показано, що для коректності обчислювальних процесів спочатку необхідно дослідити фазовий портрет динамічної системи. Dynamic systems as mathematical models of physical phenomena and the influence of small perturbations of initial conditions and their structure on the calculation accuracy are considered. It is shown that, to provide the correctness of a computational process, the phase portrait of a dynamical system should first be studied. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Деформации параметров динамических систем и их влияние на вычислительный процесс Деформації параметрів динамічних систем та їх вплив на обчислювальний процес Deformations of parameters of dynamical systems and their influence on computational processes Article published earlier |
| spellingShingle | Деформации параметров динамических систем и их влияние на вычислительный процесс Задорожный, В.Ф. Системный анализ |
| title | Деформации параметров динамических систем и их влияние на вычислительный процесс |
| title_alt | Деформації параметрів динамічних систем та їх вплив на обчислювальний процес Deformations of parameters of dynamical systems and their influence on computational processes |
| title_full | Деформации параметров динамических систем и их влияние на вычислительный процесс |
| title_fullStr | Деформации параметров динамических систем и их влияние на вычислительный процесс |
| title_full_unstemmed | Деформации параметров динамических систем и их влияние на вычислительный процесс |
| title_short | Деформации параметров динамических систем и их влияние на вычислительный процесс |
| title_sort | деформации параметров динамических систем и их влияние на вычислительный процесс |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44308 |
| work_keys_str_mv | AT zadorožnyivf deformaciiparametrovdinamičeskihsistemiihvliânienavyčislitelʹnyiprocess AT zadorožnyivf deformacííparametrívdinamíčnihsistemtaíhvplivnaobčislûvalʹniiproces AT zadorožnyivf deformationsofparametersofdynamicalsystemsandtheirinfluenceoncomputationalprocesses |