Индивидуально-оптимальные равновесия некооперативных игр в отношениях предпочтения
Для гри, що задана відношеннями переваги гравців на множині ситуацій, розглядається принцип індивідуальної оптимальності, який є узагальненням принципів оптимальності за Нешем, Бержем та Парето. На його основі проводяться характеризація і дослідження стабільності різних типів рівноваг ігрових задач....
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Дата: | 2009 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2009
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44315 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Индивидуально-оптимальные равновесия некооперативных игр в отношениях предпочтения / С.О. Мащенко // Кибернетика и системный анализ. — 2009. — № 1. — С. 171-179. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-44315 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Мащенко, С.О. 2013-05-28T19:38:28Z 2013-05-28T19:38:28Z 2009 Индивидуально-оптимальные равновесия некооперативных игр в отношениях предпочтения / С.О. Мащенко // Кибернетика и системный анализ. — 2009. — № 1. — С. 171-179. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44315 519.8 Для гри, що задана відношеннями переваги гравців на множині ситуацій, розглядається принцип індивідуальної оптимальності, який є узагальненням принципів оптимальності за Нешем, Бержем та Парето. На його основі проводяться характеризація і дослідження стабільності різних типів рівноваг ігрових задач. For a game specified on a set of situations by preference relations of players, the individual optimum principle is considered that is a generalization of Nesh, Berge, and Pareto optimum principles. On this basis, different types of equilibria and stability of game problems are characterized and investigated. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Индивидуально-оптимальные равновесия некооперативных игр в отношениях предпочтения Індивідуально-оптимальні рівноваги некооперативних ігор у відношеннях переваги Individual-optimum equilibria of non-cooperative games in preference relations Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Индивидуально-оптимальные равновесия некооперативных игр в отношениях предпочтения |
| spellingShingle |
Индивидуально-оптимальные равновесия некооперативных игр в отношениях предпочтения Мащенко, С.О. Системный анализ |
| title_short |
Индивидуально-оптимальные равновесия некооперативных игр в отношениях предпочтения |
| title_full |
Индивидуально-оптимальные равновесия некооперативных игр в отношениях предпочтения |
| title_fullStr |
Индивидуально-оптимальные равновесия некооперативных игр в отношениях предпочтения |
| title_full_unstemmed |
Индивидуально-оптимальные равновесия некооперативных игр в отношениях предпочтения |
| title_sort |
индивидуально-оптимальные равновесия некооперативных игр в отношениях предпочтения |
| author |
Мащенко, С.О. |
| author_facet |
Мащенко, С.О. |
| topic |
Системный анализ |
| topic_facet |
Системный анализ |
| publishDate |
2009 |
| language |
Russian |
| container_title |
Кибернетика и системный анализ |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Індивідуально-оптимальні рівноваги некооперативних ігор у відношеннях переваги Individual-optimum equilibria of non-cooperative games in preference relations |
| description |
Для гри, що задана відношеннями переваги гравців на множині ситуацій, розглядається принцип індивідуальної оптимальності, який є узагальненням принципів оптимальності за Нешем, Бержем та Парето. На його основі проводяться характеризація і дослідження стабільності різних типів рівноваг ігрових задач.
For a game specified on a set of situations by preference relations of players, the individual optimum principle is considered that is a generalization of Nesh, Berge, and Pareto optimum principles. On this basis, different types of equilibria and stability of game problems are characterized and investigated.
|
| issn |
0023-1274 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44315 |
| citation_txt |
Индивидуально-оптимальные равновесия некооперативных игр в отношениях предпочтения / С.О. Мащенко // Кибернетика и системный анализ. — 2009. — № 1. — С. 171-179. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT maŝenkoso individualʹnooptimalʹnyeravnovesiânekooperativnyhigrvotnošeniâhpredpočteniâ AT maŝenkoso índivídualʹnooptimalʹnírívnovaginekooperativnihígoruvídnošennâhperevagi AT maŝenkoso individualoptimumequilibriaofnoncooperativegamesinpreferencerelations |
| first_indexed |
2025-11-27T08:08:33Z |
| last_indexed |
2025-11-27T08:08:33Z |
| _version_ |
1850807704657854464 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.8
Ñ.Î. ÌÀÙÅÍÊÎ
ÈÍÄÈÂÈÄÓÀËÜÍÎ-ÎÏÒÈÌÀËÜÍÛÅ ÐÀÂÍÎÂÅÑÈß
ÍÅÊÎÎÏÅÐÀÒÈÂÍÛÕ ÈÃÐ Â ÎÒÍÎØÅÍÈßÕ ÏÐÅÄÏÎ×ÒÅÍÈß
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ðàâíîâåñèå Íýøà, êîàëèöèîííàÿ èãðà, ñòàáèëüíîñòü ðàâíîâåñèÿ.
Èãðû, çàäàííûå â îòíîøåíèÿõ ïðåäïî÷òåíèÿ èãðîêîâ íà ìíîæåñòâå ñèòóàöèé,
ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îáîáùåíèå èãð, â êîòîðûõ öåëè èãðîêîâ îïèñûâàþòñÿ
ôóíêöèÿìè âûèãðûøà. Ñ îäíîé ñòîðîíû, òàêîå îáîáùåíèå ïîçâîëÿåò àíàëèçè-
ðîâàòü êîíôëèêòíûå ñèòóàöèè â ñëó÷àå íåâîçìîæíîñòè ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèé
ïîëåçíîñòè (âûèãðûøà) èãðîêîâ, c äðóãîé — ãëóáæå ïîíÿòü ñóòü êîíôëèêòà,
ïóòè åãî ðàçðåøåíèÿ è èñïîëüçóåìûå ïðèíöèïû îïòèìàëüíîñòè.
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ðàññìàòðèâàþòñÿ êëàññè÷åñêèå ïðèíöèïû îïòèìàëüíîñ-
òè â íåêîîïåðàòèâíûõ èãðàõ, çàäàííûõ îòíîøåíèÿìè ïðåäïî÷òåíèÿ èãðîêîâ, è èõ
îáîáùåíèå ïðèíöèïîì èíäèâèäóàëüíîé îïòèìàëüíîñòè [1]. Ýòîò ïðèíöèï ïðåä-
ñòàâëÿåò îòäåëüíûé èíòåðåñ, íî òàêæå ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ èññëåäîâàíèÿ
ñòàáèëüíîñòè äðóãèõ ðàâíîâåñèé.
Ðàññìîòðèì èãðó G â íîðìàëüíîé ôîðìå ( , ; )X R i Ni i � , ãäå N n� { }1 2, , . . . ,
— ìíîæåñòâî èç n èãðîêîâ; X i — ìíîæåñòâî ñòðàòåãèé èãðîêà i N� ; R X Xi � �
— áèíàðíîå îòíîøåíèå ïðåäïî÷òåíèÿ èãðîêà i N� , êîòîðîå îïðåäåëåíî íà ìíî-
æåñòâå ñèòóàöèé èãðû X X
i N
i�
�
� . Êàæäûé èãðîê, âûáèðàÿ ñâîè ñòðàòåãèè
x Xi i� , ñòðåìèòñÿ ê òîìó, ÷òîáû ñëîæèëàñü íàñêîëüêî âîçìîæíî áîëåå ïðåäïî÷-
òèòåëüíàÿ äëÿ íåãî ñèòóàöèÿ èãðû. Ïîä ïðåäïî÷òåíèåì çäåñü ïîíèìàåòñÿ ðåô-
ëåêñèâíîå áèíàðíîå îòíîøåíèå, èñïîëüçóåìîå äëÿ öåëåâîé îðèåíòàöèè èãðîêà.
Îòíîøåíèå ïðåäïî÷òåíèÿ R èíäóöèðóåò íà X : îòíîøåíèå áåçðàçëè÷èÿ
P R R� � �1 — ñèììåòðè÷íîå è ðåôëåêñèâíîå áèíàðíîå îòíîøåíèå; îòíîøåíèå äî-
ìèíèðîâàíèÿ S R R� �\ 1 — àñèììåòðè÷íîå è àíòèðåôëåêñèâíîå áèíàðíîå îòíîøå-
íèå.  ñâîþ î÷åðåäü, îòíîøåíèå äîìèíèðîâàíèÿ S èíäóöèðóåò íà X îòíîøåíèÿ áåç-
ðàçëè÷èÿ P S S� � �( ) 1 è ïðåäïî÷òåíèÿ R S P� .
Èãðà G â íîðìàëüíîé ôîðìå ( , ; )X R i Ni i � ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì èãð
( , ; )X u i Ni i � ñ çàäàííûìè ñêàëÿðíûìè ôóíêöèÿìè âûèãðûøà èãðîêîâ
u X Ei :
1 è èãð ( , ; )X U i Ni i � ñ âåêòîðíûìè ôóíêöèÿìè âûèãðûøà èãðîêîâ
U X Ei
mi:
, ãäå mi — êîëè÷åñòâî êðèòåðèåâ, ïî êîòîðûì èãðîê i N� îöåíèâàåò
ñâîé âûèãðûø. Ýòî îáîñíîâûâàåòñÿ òåì, ÷òî ëþáàÿ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ u X E:
1
ïîðîæäàåò îòíîøåíèå äîìèíèðîâàíèÿ u x( ) � u y xSy( )
� �x y X, , êîòîðîå, â
ñâîþ î÷åðåäü, ïîðîæäàåò îòíîøåíèÿ áåçðàçëè÷èÿ P S S� � �( ) 1 è ïðåäïî÷òåíèÿ
R S P� .  èãðàõ ñ âåêòîðíûìè ôóíêöèÿìè âûèãðûøà ñëåäóåò ðàçëè÷àòü ñëó÷àè,
êîãäà èãðîê ìàêñèìèçèðóåò ñâîè êðèòåðèè îäíîâðåìåííî (ìíîãîêðèòåðèàëüíûå
èãðû) è êîãäà — ïîî÷åðåäíî.
 ìíîãîêðèòåðèàëüíûõ èãðàõ â ñîîòâåòñòâèè ñ àêñèîìîé Ïàðåòî (ñëàáîé àê-
ñèîìîé Ïàðåòî) âåêòîð-ôóíêöèÿ U u X Ej j m
m�
�( ) :,1 ïîðîæäàåò îòíî-
øåíèå äîìèíèðîâàíèÿ u x u yj j( ) ( )
, j m�1, , U x U y xSy( ) ( )�
� �x y X, (è
òàê íàçûâàåìîå îòíîøåíèå ñèëüíîãî äîìèíèðîâàíèÿ u x u yj j( ) ( )� ,
j m xS ys�
1, , � �x y X, ).
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 1 171
© Ñ.Î. Ìàùåíêî, 2009
 èãðàõ, â êîòîðûõ èãðîê ìàêñèìèçèðóåò ñâîè êðèòåðèè ïîî÷åðåäíî, îòíîøåíèå
äîìèíèðîâàíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñòðîãèé ëåêñèêîãðàôè÷åñêèé ïîðÿäîê S lex . Ãîâîðÿò,
÷òî xS ylex , åñëè � �k m1, , äëÿ êîòîðîãî u x u yj j( ) ( )� , j k� �1 1, , è u x u yk k( ) ( )� .
Îòíîøåíèÿ áåçðàçëè÷èÿ è ïðåäïî÷òåíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ ñî ñêà-
ëÿðíûìè ôóíêöèÿìè âûèãðûøà èãðîêîâ.
Ðàññìîòðèì èçâåñòíûå ïðèíöèïû îïòèìàëüíîñòè, êîòîðûå ìîæíî ïðèìå-
íèòü äëÿ íåêîîïåðàòèâíîé èãðû G â íîðìàëüíîé ôîðìå ( , ; )X R i Ni i � .
Êîíöåïöèÿ îïòèìàëüíîñòè ïî Ïàðåòî, íàïðèìåð [2], ÿâëÿåòñÿ îñíîâîïîëàãàþ-
ùåé â òåîðèè êîîïåðàòèâíûõ èãð è ìíîãîêðèòåðèàëüíîé îïòèìèçàöèè. Ïðèìåíåíèå
ýòîãî ïðèíöèïà ïðè íåêîîïåðàòèâíîì ïîâåäåíèè èãðîêîâ íèêîèì îáðàçîì íå ìîæåò
áûòü àðãóìåíòèðîâàíî. Ïîýòîìó â êëàññè÷åñêîé òåîðèè íåêîîïåðàòèâíûõ èãð îïòè-
ìàëüíîñòü ïî Ïàðåòî ñêîðåå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îïðåäåëåííûé ýòàëîí, ñ êîòîðûì
ñðàâíèâàþòñÿ äðóãèå ïðèíöèïû îïòèìàëüíîñòè. Â äàííîé ðàáîòå èñïîëüçóåì îïòè-
ìàëüíîñòü ïî Ïàðåòî â òåõíè÷åñêèõ öåëÿõ äëÿ àíàëèçà äðóãèõ ïðèíöèïîâ.
Ïóñòü S i — îòíîøåíèå äîìèíèðîâàíèÿ èãðîêà i N� , èíäóöèðîâàííîå îòíîøå-
íèåì ïðåäïî÷òåíèÿ Ri , ò.å. S R Ri i i� �\ 1. Äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ êîíöåïöèè îïòèìàëü-
íîñòè ïî Ïàðåòî â èãðå G àãðåãèðóåì îòíîøåíèÿ äîìèíèðîâàíèÿ S i èãðîêîâ i N�
â îòíîøåíèå äîìèíèðîâàíèÿ âñåãî èõ ñîîáùåñòâà S SN
i N
i� �
�
. Ñèòóàöèÿ x íàçû-
âàåòñÿ îïòèìàëüíîé ïî Ïàðåòî, åñëè � �y X yS xN: . Îáîçíà÷èì
PO G x X y S x y XN( ) |� � � �{ } ìíîæåñòâî îïòèìàëüíûõ ïî Ïàðåòî ñèòóàöèé
èãðû G. Î÷åâèäíî, ÷òî PO G( ) � �� ( )S N , ãäå �� � � � �( ) |S x X ySx y X{ } —
ìíîæåñòâî ìàæîðàíò îòíîøåíèÿ S .
Îäíèì èç ñïîñîáîâ çàäàíèÿ ìíîæåñòâ, à ñëåäîâàòåëüíî, è áèíàðíûõ îòíîøå-
íèé, ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ. Áóëåâó ôóíêöèþ r X X: ,�
{ }0 1
íàçîâåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèåé áèíàðíîãî îòíîøåíèÿ R, îïðåäåëåííîãî
íà ìíîæåñòâå ñèòóàöèé X èãðû G, åñëè r x y xRy( , ) � �1 , r x y x R y( , ) � �0
� �x y X, . Ïóñòü S i — îòíîøåíèå äîìèíèðîâàíèÿ èãðîêà i N� , èíäóöèðîâàííîå
îòíîøåíèåì ïðåäïî÷òåíèÿ Ri , êîòîðîå çàäàíî õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèåé ri .
Òîãäà, î÷åâèäíî, õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ îòíîøåíèÿ S R R R Ri i i i i� � �� �\ 1 1
áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ êàê s x y r x y r x yi i i( , ) min ( ( , ), ( ( , )))� �1 , à îòíîøåíèÿ S N —
ñîîòâåòñòâåííî êàê s x y s x yN
i N
i( , ) min ( , )�
�
. Çäåñü è äàëåå áóäåì îáîçíà÷àòü îòíî-
øåíèå ïðîïèñíîé áóêâîé, à ñîîòâåòñòâóþùóþ õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ —
ñòðî÷íîé. Ìíîæåñòâî îïòèìàëüíûõ ïî Ïàðåòî ñèòóàöèé èãðû G â òåðìèíàõ õà-
ðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè ïðèìåò âèä
PO G x X s x y y X x X s x y y XN
i N
i( ) | ( , ) | min ( , )� � � � � � � � � �
�
{ } {0 0 }.
Åñëè èãðîêè ïîëíîñòüþ èíôîðìèðîâàíû, òî èì öåëåñîîáðàçíî çàêëþ÷èòü
îïðåäåëåííîå íåîáÿçàòåëüíîå ñîãëàøåíèå, êîòîðîå íåâûãîäíî íè îäíîìó èç íèõ
íàðóøàòü. Èäåÿ ñòàáèëüíîãî ñîãëàøåíèÿ ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó îïðåäåëåíèþ
[3]. Ñèòóàöèÿ x * íàçûâàåòñÿ ðàâíîâåñèåì ïî Íýøó (èõ ìíîæåñòâî îáîçíà÷èì
NE G( )), åñëè x R y xi i N i
*
\
*( , ) � �y Xi i , i N� . Âåêòîð ( , )\
*y xi N i îáîçíà÷àåò ñè-
òóàöèþ, â êîòîðîé èãðîê i N� ïîìåíÿë ñòðàòåãèþ xi
* íà yi , à îñòàëüíûå èãðîêè
j N i� \ { } âûáðàëè x j
* .
Ââåäåì R NE T( ) — îòíîøåíèå NE-ïðåäïî÷òåíèÿ êîàëèöèè èãðîêîâ T N� ,
ïîðîæäåííîå íåêîòîðûì îòíîøåíèåì ïðåäïî÷òåíèÿ R. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî
xR yNE T( ) , åñëè xRy x yN T N T� �( )\ \ . Î÷åâèäíî, R RNE T( ) � è ðåôëåêñèâíî, ïî-
ýòîìó òàêæå ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ïðåäïî÷òåíèÿ. Â òåðìèíàõ NE-ïðåäïî÷òåíèé
172 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 1
îïðåäåëåíèå ðàâíîâåñèÿ Íýøà ïðèìåò ñëåäóþùèé âèä: x NE x R yi
NE i* * ( )� � { }
� �y X , � �i N . Òîãäà ðàâíîâåñèå Íýøà x * ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíûì ýëåìåíòîì
êàæäîãî îòíîøåíèÿ Ri
NE i( ){ } , i N� , ò.å. x R
i N
i
NE i* ( )( )� �
�
�� { } . Íàïîìíèì, ÷òî
ìíîæåñòâî ìàêñèìàëüíûõ ýëåìåíòîâ îòíîøåíèÿ R íà ìíîæåñòâå X îïðåäåëÿåòñÿ
êàê �� �( )R { }x X xRy y X� � �| .
Åñëè ìàêñèìàëüíîãî ýëåìåíòà íå ñóùåñòâóåò, òî öåëåñîîáðàçíî èñêàòü ìà-
æîðàíòó.  ÷àñòíîñòè, ýòî ìîæåò áûòü â ñëó÷àå, êîãäà îòíîøåíèÿ ïðåäïî÷òåíèÿ
èãðîêîâ ïîðîæäåíû âåêòîðíûìè ôóíêöèÿìè âûèãðûøà èãðîêîâ [4].
Ïóñòü S R RNE T NE T NE T( ) ( ) ( )\ ( )� �1 — îòíîøåíèå NE-äîìèíèðîâàíèÿ,
ïîðîæäåííîå íåêîòîðûì îòíîøåíèåì NE-ïðåäïî÷òåíèÿ R NE T( ) êîàëèöèè èãðî-
êîâ T N� . Îòíîøåíèå NE-ïðåäïî÷òåíèÿ R NE T( ) ïîðîæäåíî íåêîòîðûì îòíî-
øåíèåì ïðåäïî÷òåíèÿ R, êîòîðîå, â ñâîþ î÷åðåäü, ïîðîæäàåò îòíîøåíèå äîìè-
íèðîâàíèÿ S R R� �\ 1. Ðàññìîòðèì ñâÿçü îòíîøåíèé S è S NE T( ) .
Òåîðåìà 1.Ñïðàâåäëèâî îòíîøåíèå xS y xSy x yNE T
N T N T
( )
\ \( ) ( )� � �
� �T N .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ öåïî÷êà èìïëèêàöèé � �T N :
S R RNE T NE T NE T( ) ( ) ( )\ ( )� ��1
� � � � � � �(( ) ( )) (( ) ( ))\ \ \ \xRy x y yRx x yN T N T N T N T
� � � � � � �(( ) ( )) (( ) ( ))\ \ \ \xRy x y yRx x yN T N T N T N T
� � � � � � �(( ) (( ) ( ))) ((( )\ \ \ \xRy yRx x y x yN T N T N T N T
� � � �( )) ( ))\ \x y yRxN T N T
� � � � � � �( ) (( ) ( )) ( ) ( )\ \ \ \xRy yRx x y xSy x yN T N T N T N T .
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Äàëåå áóäåì íàçûâàòü S NE T( ) îòíîøåíèåì NE-äîìèíèðîâàíèÿ êîàëèöèè
èãðîêîâ T N� , ïîðîæäåííîå îòíîøåíèåì äîìèíèðîâàíèÿ S .
Íàçîâåì ñèòóàöèþ x * ìàæîðàíòíûì (âåêòîðíûì [4]) ðàâíîâåñèåì ïî Íýøó,
åñëè y S xi
NE i( ) *{ } � �y X , � �i N (èõ ìíîæåñòâî îáîçíà÷èì MNE G( )). Î÷åâèä-
íî, NE G MNE G( ) ( )� . Ïîñêîëüêó íà îñíîâàíèè òåîðåìû 1
yS x yS x x yi
NE i
i N i N i
( )
\ \( ) ( ){ } � � � , òî x MNE y x S xi N i i
*
\
* *( , )� �
� �y Xi i , i N� . Ïîýòîìó â òåðìèíàõ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè ìàæîðàí-
òíûå ðàâíîâåñèÿ Íýøà îïðåäåëèì êàê
MNE G x X s y x x y X i Ni i N i i i( ) | (( , ), ) ,*
\
* *� � � � � �{ }0 .
Íåñìîòðÿ íà êàæóùóþñÿ ïðèâëåêàòåëüíîñòü, êîíöåïöèÿ îïòèìàëüíîñòè ïî
Íýøó íå ëèøåíà íåäîñòàòêîâ. Îíà îáîñíîâàíà òîëüêî â èãðîâûõ ñèòóàöèÿõ, êîã-
äà èãðîêè ýêñòðåìàëüíî ïðàãìàòè÷íû (ýãîèñòè÷íû). Ðàâíîâåñèÿ Íýøà (â ÷èñòûõ
ñòðàòåãèÿõ) íå âñåãäà ñóùåñòâóþò äàæå â ïðîñòûõ èãðàõ ñ êîíå÷íûìè ìíîæåñ-
òâàìè ñòðàòåãèé èãðîêîâ. Èõ íàõîæäåíèå áûâàåò äîñòàòî÷íî ñåðüåçíîé âû÷èñëè-
òåëüíîé ïðîáëåìîé. Åñëè ðàâíîâåñèå Íýøà íååäèíñòâåííî, òî âîçíèêàåò ñëîæíàÿ
ïðîáëåìà âûáîðà [5].
Êîíöåïöèÿ êîàëèöèîííîãî ðàâíîâåñèÿ ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ðàâíîâåñèÿ
Íýøà íà ñëó÷àé, êîãäà ñòðàòåãèè è öåëè ðàññìàòðèâàþòñÿ äëÿ êîàëèöèé èãðîêîâ
� � �N k N( ) , k K� , ãäå K — ìíîæåñòâî êîàëèöèé.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 1 173
Ïóñòü Q N k k K� �{ }( ) — íåêîòîðîå ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà èãðîêîâ íà êîàëè-
öèè: N k N( ) � , k K� : N i N j( ) ( )� ��, i j� ; �
k K
N k N
�
�( ) . Ïîñêîëüêó îòíî-
øåíèå äîìèíèðîâàíèÿ S N k( ) êîàëèöèè N k N( ) � íà ìíîæåñòâå ñèòóàöèé èãðû
îïðåäåëÿåòñÿ îòíîøåíèÿìè äîìèíèðîâàíèÿ âñåõ åå ÷ëåíîâ i N k� ( ), òî
S SN k
i N k
i( )
( )
� �
�
, k K� . Ñèòóàöèÿ x * íàçûâàåòñÿ êîàëèöèîííûì ðàâíîâå-
ñèåì [6] â èãðå G ïðè çàäàííîì ðàçáèåíèè Q N k k K� �{ }( ) ìíîæåñòâà èãðîêîâ íà
êîàëèöèè, åñëè
( , )( ) \ ( )
*
( )
*
( ) ( )y x S x y XN k N N k N k N k N k� � , � �k K, (1)
ãäå X XN k
i N k
i( )
( )
�
�
� — ìíîæåñòâî ñòðàòåãèé êîàëèöèè k K� . Áóäåì îá-
îçíà÷àòü ìíîæåñòâî ýòèõ ðàâíîâåñèé èãðû G êàê KNE GQ ( ). Îáîçíà÷èì
s x yN k( ) ( , ) õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ îòíîøåíèÿ äîìèíèðîâàíèÿ êîàëèöèè
k K� . Î÷åâèäíî, s x y s x yN k
i N k
i( )
( )
( , ) min ( , )�
�
. Òîãäà ìíîæåñòâî êîàëèöèîííûõ
ðàâíîâåñèé îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
KNE G x X s y x x yQ
i N k
i N k N k N k( ) min (( , ), )
( )
( ) \ ( )
* *
( )� � � �
�
0 � ��
�
��
�
�
�
�
�
X k KN k( ) , .
.
Êîàëèöèîííîå ðàâíîâåñèå x * ñòàáèëüíî äëÿ | |K àãåíòîâ èãðû, êîòîðûìè ÿâëÿ-
þòñÿ êîàëèöèè. Âíóòðè êàæäîé êîàëèöèè k K� êîàëèöèîííàÿ ñòðàòåãèÿ
x xN k i i N k( )
* *
( )( )� � ìîæåò áûòü íåñòàáèëüíîé, ïîñêîëüêó êàæäûé èãðîê i N k� ( )
ìîæåò èçìåíèòü ñòðàòåãèþ xi
* íà äðóãóþ, áîëåå âûãîäíóþ ëè÷íî äëÿ ñåáÿ.
Èç ïðèâåäåííûõ ðàññóæäåíèé ìîæíî ñäåëàòü ñëåäóþùèé âûâîä. ×åì áîëüøå
êîàëèöèé, òåì äëÿ áîëüøåãî êîëè÷åñòâà àãåíòîâ èãðû áóäåò ñòàáèëüíûì êîàëèöè-
îííîå ðàâíîâåñèå.  ÷àñòíîñòè, ïðè | |K n� êîàëèöèîííîå ðàâíîâåñèå x * áóäåò
ðàâíîâåñèåì Íýøà, êîòîðîå ñòàáèëüíî äëÿ âñåõ èãðîêîâ. Åñëè | |K �1, òî ñèòóàöèÿ
x * ñòàáèëüíà äëÿ åäèíñòâåííîãî àãåíòà èãðû, êîòîðûì áóäåò âñå ñîîáùåñòâî èãðî-
êîâ.  îòëè÷èå îò ðàâíîâåñèé Íýøà, êîàëèöèîííûå ðàâíîâåñèÿ ìîãóò ðàçðåøèòü
áîëåå øèðîêèé êðóã èãðîâûõ êîíôëèêòîâ. Âî-ïåðâûõ, óñëîâèÿ èõ ñóùåñòâîâà-
íèÿ ìîãóò áûòü ñëàáåå; âî-âòîðûõ, îíè îáîñíîâàíû â èãðàõ, ãäå èãðîêè ðàäè ðàç-
ðåøåíèÿ êîíôëèêòà ãîòîâû íà êîìïðîìèññ (â ðàìêàõ êîàëèöèè).
Åñëè ðàâíîâåñèÿ Íýøà îáîñíîâàíû ýãîèçìîì èãðîêîâ, îïòèìàëüíûå ïî Ïàðåòî
ñèòóàöèè — êîëëåêòèâèçìîì, à êîàëèöèîííûå ðàâíîâåñèÿ îáîáùàþò èõ íà ñëó÷àé
êîàëèöèîííîé èãðû, òî ðàâíîâåñèÿ Áåðæå [7] îáîñíîâàíû âçàèìíûì àëüòðóèçìîì
èãðîêîâ. Ñèòóàöèÿ x * íàçûâàåòñÿ ðàâíîâåñèåì ïî Áåðæå â èãðå G X R i Ni i� � � �, ; ,
åñëè x R x yi i N i
* *
\( , ) � �y XN i N i\ \ , i N� , ò.å. â ðàâíîâåñèè ïî Áåðæå äîïîëíÿþ-
ùàÿ êîàëèöèÿ N i\ { } êàæäîãî èãðîêà i N� âûáèðàåò íàèáîëåå ïðåäïî÷òèòåëüíûå
äëÿ íåãî ñòðàòåãèè (îäèí — çà âñåõ, âñå — çà îäíîãî). Ìíîæåñòâî ðàâíîâåñèé ïî
Áåðæå èãðû G îáîçíà÷èì BE G( ).
Ïóñòü Ri
NE N i( \ ) — îòíîøåíèå NE-ïðåäïî÷òåíèÿ äîïîëíÿþùåé êîàëèöèè
N i\ { } èãðîêà i N� , ïîðîæäåííîå îòíîøåíèåì Ri (xR yi
NE N i( \ ) , åñëè xR y x yi i i� � ).
Î÷åâèäíî, ÷òî ðàâíîâåñèå ïî Áåðæå x * ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò
îòíîøåíèÿ Ri
NE N i( \ ) .  ñëó÷àå îòñóòñòâèÿ ìàêñèìàëüíîãî ýëåìåíòà öåëåñîîáðàçíî
èñêàòü ìàæîðàíòó.  ÷àñòíîñòè, ýòî ìîæåò áûòü òîãäà, êîãäà îòíîøåíèÿ ïðåäïî÷òå-
íèÿ èãðîêîâ ïîðîæäåíû âåêòîðíûìè ôóíêöèÿìè âûèãðûøà èãðîêîâ.
174 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 1
Ïóñòü S R Ri
NE N i
i
NE N i
i
NE N i( \ ) ( \ ) ( \ )\ ( )� �1 — îòíîøåíèå NE-äîìèíèðî-
âàíèÿ äîïîëíÿþùåé êîàëèöèè N i\ { } èãðîêà i N� , ïîðîæäåííîå îòíîøåíèåì
R N ii
NE ( \ ). Íà îñíîâàíèè òåîðåìû 1 î÷åâèäíà åãî ñâÿçü ñ îòíîøåíèåì äîìèíè-
ðîâàíèÿ S i èãðîêà i N� , xS N i y xS y x yi
NE
i i i( \ ) ( ) ( )� � � .
Íàçîâåì ñèòóàöèþ x * ìàæîðàíòíûì ðàâíîâåñèåì ïî Áåðæå, åñëè
y S xi
NE N i( \ ) * � �y X , � �i N (èõ ìíîæåñòâî îáîçíà÷èì MBE G( )). Î÷åâèäíî,
BE G MBE G( ) ( )� . Åñëè èñïîëüçîâàòü îòíîøåíèå äîìèíèðîâàíèÿ S i èãðîêà
i N� , íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî
x MBE x y S x y X i Ni N i i N i N i
* *
\
*
\ \( , ) ,� � � � � . (2)
 òåðìèíàõ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè ìíîæåñòâî ìàæîðàíòíûõ ðàâíîâå-
ñèé ïî Áåðæå îïðåäåëÿåòñÿ êàê
MBE G x X s x y x y X i Ni i N i N i N i( ) | (( , ), ) ,*
\
*
\ \� � � � � �{ }0 .
Ðàññìîòðåííûå ïðèíöèïû îïòèìàëüíîñòè îòëè÷àþòñÿ êàê óðîâíåì òîëåðàí-
òíîñòè èãðîêîâ, òàê è óðîâíåì àãðåãàöèè ñòðàòåãèé. Â ðàâíîâåñèÿõ Íýøà òîëåðàí-
òíîñòü èãðîêîâ ìèíèìàëüíà, ïîñêîëüêó êàæäûé ó÷èòûâàåò ëèøü ñîáñòâåííûå èí-
òåðåñû è èíäèâèäóàëüíî âûáèðàåò ñâîè ñòðàòåãèè. Â êîàëèöèîííûõ ðàâíîâåñèÿõ
òîëåðàíòíîñòü èãðîêîâ óâåëè÷èâàåòñÿ, ïîñêîëüêó êàæäûé ó÷èòûâàåò èíòåðåñû
÷ëåíîâ ñâîåé êîàëèöèè è ñòðàòåãèè âûáèðàåò âñÿ êîàëèöèÿ êîîïåðàòèâíî.  Ïàðå-
òî-îïòèìàëüíûõ ñèòóàöèÿõ òîëåðàíòíîñòü èãðîêîâ ìàêñèìàëüíà, òàê êàê êàæäûé
ó÷èòûâàåò èíòåðåñû âñåõ, íî è ñòðàòåãèè èãðîêè âûáèðàþò êîëëåêòèâíî.  ðàâíî-
âåñèÿõ ïî Áåðæå òîëåðàíòíîñòü èãðîêîâ ïåðåðàñòàåò âî âçàèìíûé àëüòðóèçì, ñòðà-
òåãèè êîîïåðàòèâíî âûáèðàåò äîïîëíèòåëüíàÿ êîàëèöèÿ êàæäîãî èãðîêà.
 äàííîé ðàáîòå ðàçâèâàåòñÿ ïðèíöèï èíäèâèäóàëüíîé îïòèìàëüíîñòè [1],
ñîãëàñíî êîòîðîìó êàæäûé èãðîê âûáèðàåò ñâîè ñòðàòåãèè èíäèâèäóàëüíî, íî
ó÷èòûâàåò ïðè ýòîì ïðåäïî÷òåíèÿ âñåõ äðóãèõ èãðîêîâ. Äëÿ åãî ôîðìàëèçàöèè â
èãðå G àãðåãèðóåì îòíîøåíèÿ äîìèíèðîâàíèÿ S i èãðîêîâ i N� â îòíîøåíèå äî-
ìèíèðîâàíèÿ âñåãî èõ ñîîáùåñòâà S SN
j N
j� �
�
. Ïóñòü S
N
NE i( ){ } — îòíîøåíèå
NE-äîìèíèðîâàíèÿ èãðîêà i N� , ïîðîæäåííîå àãðåãèðîâàííûì îòíîøåíèåì
äîìèíèðîâàíèÿ S N . Î÷åâèäíî,
xS y xS y x y x S y
N
NE i
N N i N i
j N
j
( )
\ \( ) ( ) ( ( ) ){ } � � � � � �
�
� � � �
�
( ) ( , )( )\ \ \x y x y S yN i N i i N i
j N
j .
Ñèòóàöèþ x * íàçîâåì èíäèâèäóàëüíî-îïòèìàëüíûì ðàâíîâåñèåì (èõ ìíî-
æåñòâî îáîçíà÷èì IOE G( )), åñëè y S x
N
NE i( ){ } � �y X , � �i N . Î÷åâèäíî,
x IOE G y x S xi N i
j N
j� � �
�
( ) ( , )( )\
* * � �y Xi i , � �i N , à â òåðìèíàõ õàðàêòå-
ðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé x IOE G s y x x
j N
j i N i� � �
�
( ) min (( , ), )\
* * 0� �y Xi i , � �i N .
Ïðèìåíåíèå èíäèâèäóàëüíî-îïòèìàëüíûõ ðàâíîâåñèé ìîòèâèðóåòñÿ ñëåäó-
þùèì ñöåíàðèåì èãðû. Êàæäûé èãðîê ðåøàåò, ÷òî îí ïîòåíöèàëüíî ãîòîâ ó÷è-
òûâàòü èíòåðåñû îñòàëüíûõ ïðè âûáîðå ñâîèõ ñòðàòåãèé. Èãðîêè ñîñòàâëÿþò íå-
îáÿçàòåëüíîå ñîãëàøåíèå (èãðîêè ïðèñëóøèâàþòñÿ ê íàó÷íî îáîñíîâàííûì ðå-
êîìåíäàöèÿì êîìïåòåíòíûõ ëèö) î òîì, ÷òî îíè áóäóò ïðèäåðæèâàòüñÿ ñèòóàöèè
x xi i N
* *( )� � . Çàòåì èãðîêè íåçàâèñèìî îäèí îò äðóãîãî ïðèíèìàþò ðåøåíèå î
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 1 175
âûáîðå ñâîèõ ñòðàòåãèé.  òîì, è òîëüêî òîì ñëó÷àå, åñëè îñíîâîé ñîãëàøåíèÿ
áóäåò èíäèâèäóàëüíî-îïòèìàëüíîå ðàâíîâåñèå, êàæäîìó èãðîêó i N� îòäåëüíî
áóäåò íåâûãîäíî âûáèðàòü ñòðàòåãèþ y Xi i� , îòëè÷íóþ îò xi
* . Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ
òåì, ÷òî åãî ëè÷íûå èíòåðåñû è èíòåðåñû äðóãèõ èãðîêîâ, êîòîðûå îí ó÷èòûâà-
åò, íå óëó÷øàòñÿ. Çàëîãîì ñòàáèëüíîñòè òàêîãî ñîãëàøåíèÿ ìîæåò áûòü êàê ëî-
ÿëüíîñòü êàæäîãî èãðîêà ïî îòíîøåíèþ ê äðóãèì, òàê è ëè÷íàÿ ýêîíîìè÷åñêàÿ
âûãîäà. Íàïðèìåð, åñëè èãðîêè — ýòî ôèðìû À è Â íà ôèíàíñîâîì ðûíêå, òî
ïðèîáðåòåíèå àêöèé ôèðìû À ôèðìîé  îçíà÷àåò ó÷åò ôèðìîé  èíòåðåñîâ ôèð-
ìû À, ïðèíîñÿùèé ñîîòâåòñòâóþùóþ ýêîíîìè÷åñêóþ âûãîäó.
Ðàññìîòðèì ñâîéñòâà èíäèâèäóàëüíî-îïòèìàëüíûõ ðàâíîâåñèé.
Òåîðåìà 2. Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå îòíîøåíèå:
IOE G NE G MNE G KNE G PO G BE G MBE GQ( ) ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( )� { }.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Q N k k K� �{ }( ) — íåêîòîðîå ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà
èãðîêîâ íà êîàëèöèè N k N( ) � , k K� : N i N j( ) ( )� ��, i j� ; �
k K
N k
�
�( ) N .
Äîêàæåì âêëþ÷åíèå KNE G IOE GQ ( ) ( )� . Ïóñòü x KNE GQ
* ( )� . Ïðåäïîëîæèì
ïðîòèâíîå, ÷òî x IOE G* ( ) . Òîãäà � �i N , � �y Xi i : ( , )( )\
* *y x S xi N i
j N
j�
�
.
Âûáåðåì êîàëèöèþ N k( ), ê êîòîðîé ïðèíàäëåæèò i-é èãðîê. Îáîçíà÷èì
y y xN k i N k( ) ( )\
*( , )� . Îòñþäà ñëåäóåò
( , )( ) ( , )(( ) \ ( )
* *
( ) \ ( )
*y x S x y x SN k N N k
j N
i N k N N k
l K
N�
�
� �
( )
*)l x
( , )( ) \ ( )
*
( )
*y x S xN k N N k N k .
Ñîãëàñíî (1) ïîëó÷èì x KNE GQ
* ( ) , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò íà÷àëüíîé ïîñûëêå.
Ïîñêîëüêó KNE G MNE GQ ( ) ( )� , êîãäà êàæäûé èãðîê ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îò-
äåëüíóþ êîàëèöèþ N i i( ) � { }, i N� , è NE G MNE G( ) ( )� , òî
NE G MNE G IOE G( ) ( ) ( )� � . Åñëè êîàëèöèÿ îäíà è âêëþ÷àåò â ñåáÿ âñåõ
èãðîêîâ, ò.å. | |K �1; N k N( ) � , k K� , òî KNE G PO GQ ( ) ( )� è ïîýòîìó
PO G IOE G( ) ( )� .
Ïóñòü x MBE G* ( )� . Òîãäà ñîãëàñíî (2) ( , )*
\
*x y S xj N j j � �y XN j N j\ \ ,
� �j N . Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå: x IOE G* ( ) . Òîãäà � �i N , � �y Xi i :
( , )( )\
* *y x S xi N i
l N
l�
�
. Äëÿ j N� , j i� , âûáåðåì y y xN j i N i j\ \ ,
*( , )� { } . Îòñþäà
( , )( ) ( , )*
\
* *
\
*x y S x x y S xj N j
l N
l j N j j�
�
, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò íà÷àëüíîé ïîñûë-
êå. Òàêèì îáðàçîì, MBE G IOE G( ) ( )� . Îòíîøåíèå BE G MBE G( ) ( )� ñëåäóåò
èç îïðåäåëåíèé.
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Íà îñíîâàíèè èçâåñòíûõ ðåçóëüòàòîâ î ñóùåñòâîâàíèè ìàæîðàíò [8] è ïî-
ñêîëüêó IOE G PO G( ) ( )� , ñïðàâåäëèâî ïðèâåäåííîå äàëåå ñëåäñòâèå.
Ñëåäñòâèå. Ïóñòü ìíîæåñòâî ñèòóàöèé X èãðû G ïðèíàäëåæèò íåêîòîðîìó
êîìïàêòíîìó òîïîëîãè÷åñêîìó ïðîñòðàíñòâó. Åñëè îòíîøåíèå äîìèíèðîâàíèÿ
S i êàæäîãî èãðîêà i N� ïîëóîòêðûòî ñíèçó (íèæíåå ñå÷åíèå { }y X xS yi� | — îò-
êðûòîå ìíîæåñòâî) è íà ëþáîì êîíå÷íîì ïîäìíîæåñòâå T X� òðàíçèòèâíîå çà-
ìûêàíèå S i (ïåðåñå÷åíèå âñåõ òðàíçèòèâíûõ îòíîøåíèé, ñîäåðæàùèõ S i ) ÿâëÿ-
åòñÿ ñòðîãèì ÷àñòè÷íûì ïîðÿäêîì (àíòèðåôëåêñèâíî è òðàíçèòèâíî), òî
IOE G( ) ��.
176 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 1
Èñïîëüçóåì õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè îòíîøåíèé äîìèíèðîâàíèÿ èãðîêîâ
äëÿ ïàðàìåòðèçàöèè ìíîæåñòâà èíäèâèäóàëüíî-îïòèìàëüíûõ ðàâíîâåñèé.
Òåîðåìà 3. Åñëè ñèòóàöèÿ x IOE G* ( )� , òî âñåãäà ñóùåñòâóþò òàêèå âåêòî-
ðû ïàðàìåòðîâ � � � � �i i i i
j
j N
j N
i
j
i
jM j N� � � �
�
�
�
�
�
�
!
�!
�
�
!
�!
�
�
"( ) ; ,1 0 , i N� , â
÷àñòíîñòè ñ êîìïîíåíòàìè � �i
j
i
j n� �1/ , j N� , ÷òî ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå íå-
ðàâåíñòâà:
min ( (( , ), ) ) min ( )\
* *
j N
j i N i i
j
j N
i
j
is y x x y X
� �
� � # � � �1 1� � i i N, � � . (3)
Ëþáîå ðåøåíèå ñèñòåìû íåðàâåíñòâ (3) ïðè çàäàííûõ � i iM� , i N� , ÿâëÿåòñÿ
èíäèâèäóàëüíî-îïòèìàëüíûì ðàâíîâåñèåì.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü x * óäîâëåòâîðÿåò (3) ïðè
íåêîòîðûõ çíà÷åíèÿõ � i iM� , i N� . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî � �i N , � �y Xi i ñó-
ùåñòâóåò j N� òàêîå, ÷òî 1 1� � # �s y x xj i N i i
j
i
j(( , ), )\
* *
� � , ò .å .
s y x xj i N i(( , ), )\
* * � 0. Ñëåäîâàòåëüíî, min (( , ), )\
* *
j N
j i N is y x x
�
� 0, à ïîýòîìó
s y x xN i N i(( , ), )\
* * � 0 � �y Xi i , � �i N . Òàêèì îáðàçîì, y S i x
N
NE ( ) * � �y X ,
� �i N è x IOE G* ( )� .
Äîêàæåì íåîáõîäèìîñòü. Äëÿ ýòîãî âîçüìåì âåêòîðû � �i i
j
j N� �( ) , i N� ,
ñ êîìïîíåíòàìè � i
j n�1 / , i j N, � . Íåñëîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî � i iM� , i N� . Èç
òîãî, ÷òî x IOE G* ( )� , ñëåäóåò y S i x
N
NE ( ) * � �y X , � �i N , ò.å. � �i N ,
� �y Xi i , � �j N : s y x xj i N i(( , ), )\
* * � 0, à çíà÷èò , 1�
� � � �s y x xj i N i i
j
i
j(( , ), )\
* *
� �1 . Ïîñêîëüêó � �i N çíà÷åíèå 1� �� i
j
� �( ) /n n1 � �j N , òî � �y Xi i ñïðàâåäëèâî
min ( ( , ) ) ( ) / min ( )\
*
j N
j i N i i
j
j N
i
js y x n n
� �
� � # � � �1 1 1� � .
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Ïàðàìåòðû � i iM� ïîçâîëÿþò èãðîêó i N� âûðàçèòü ñâîå ïðåäïî÷òåíèå íà
ìíîæåñòâå îòíîøåíèé äîìèíèðîâàíèÿ S j , j N� , âñåõ èãðîêîâ. Òàê, íàïðè-
ìåð, åñëè îí ñ÷èòàåò, ÷òî äëÿ íåãî íàèáîëåå âàæíû èíòåðåñû èãðîêà j N0 � , òî åìó
ñëåäóåò âûáðàòü � i
j0 1� , � i
j � 0, j N� , j j� 0 . Âàðüèðóÿ ïàðàìåòðàìè � i iM� ,
i N� , ìîæíî íàõîäèòü òå èëè èíûå èíäèâèäóàëüíî-îïòèìàëüíûå ðàâíîâåñèÿ, ðå-
øàÿ íåðàâåíñòâà (3). Â òî æå âðåìÿ êàæäîå èíäèâèäóàëüíî-îïòèìàëüíîå ðàâíîâå-
ñèå õàðàêòåðèçóåòñÿ íåêîòîðûì ìíîæåñòâîì ïàðàìåòðîâ � i iM� , i N� , è ñîîòâå-
òñòâåííî ïðåäïî÷òåíèÿìè íà ìíîæåñòâå îòíîøåíèé äîìèíèðîâàíèÿ âñåõ èãðîêîâ.
Òàêèì îáðàçîì, òåîðåìà 3 äàåò âîçìîæíîñòü ïðåäñòàâèòü ìíîæåñòâî èíäèâèäó-
àëüíî-îïòèìàëüíûõ ðàâíîâåñèé IOE G( ) (è ñîîòâåòñòâåííî ìíîæåñòâà MNE G( ),
KNE GQ ( ), PO G( ), MBE G( )) êàê ðåøåíèÿ ñèñòåìû íåðàâåíñòâ (3) ïðè ðàçëè÷íûõ
çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ.
Èññëåäóåì ñâÿçü ìåæäó çíà÷åíèÿìè ïàðàìåòðîâ è ñâîéñòâàìè ðåøåíèé ñèñ-
òåìû íåðàâåíñòâ (3).
Òåîðåìà 4.Ïóñòü Q N k k K� �{ }( ) — íåêîòîðîå ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà èãðîêîâ
N íà íåïåðåñåêàþùèåñÿ êîàëèöèè. Äëÿ x KNE GQ
* ( )� íåîáõîäèìî, ÷òîáû ñèòóà-
öèÿ x * óäîâëåòâîðÿëà íåðàâåíñòâàì (3) ñî çíà÷åíèÿìè ïàðàìåòðîâ:
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 1 177
� �i
j
i
jN k j N k j N N k i N k k K� � � � � � �1 0/ | ( )| , ( ); , \ ( ), ( ), .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü x KNE GQ
* ( )� . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî � �k K,
� �y XN k N k( ) ( ) âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî min (( , ),
( )
( ) \ ( )
*
j N k
j N k N N ks y x
�
x * ) � 0,
ò.å. � �y XN k N k( ) ( ) ñóùåñòâóåò j N k� ( ) òàêîå, ÷òî s y xj N k N N k(( , ),( ) \ ( )
*
x * ) � 0.  ÷àñòíîñòè, � �i N è � �y Xi i ñóùåñòâóåò j N k� ( ) òàêîå, ÷òî
s y x xj i N i(( , ), )\
* * � 0, îòêóäà ñëåäóåò 1 1� � � �s y x xj i N i i
j
i
j(( , ), )\
* *
� � .
Ïîñêîëüêó � �i N k( ) çíà÷åíèå 1 1� � �� i
j N k N k(| ( )| ) / | ( )| � j �N k( ), òî
min ( ( , ) ) (| ( )| ) /| ( )| mi
( )
\
*
j N k
j i N i i
js y x N k N k
�
� � # � �1 1� n ( )
( )j N k
i
j
�
�1 � � �y Xi i .
Îöåíèì ïîëó÷åííûå íåðàâåíñòâà ñíèçó. Òàê êàê ïðè ðàñøèðåíèè îáëàñòè îïðå-
äåëåíèÿ ìèíèìóì ôóíêöèè íå âîçðàñòàåò, ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà:
min ( (( , ), ) ) min ( ((\
* *
( )j N
j i N i i
j
j N k
j is y x x s y
� �
� � # �1 1� , ), ) ) .\
* *x x y XN i i
j
i i� � ��
Òàêèì îáðàçîì, min ( (( , ), ) ) min ( )\
* *
( )j N
j i N i
j
j N k
i
js y x x
� �
� � # �1 1� �
� �y Xi i , � �i N k( ), � �k K, îòêóäà ñëåäóåò (3), ïîñêîëüêó � i
j � 0,
j N N k� \ ( ), i N k� ( ) � �k K.
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Îñîáóþ ðîëü èãðàþò ïàðàìåòðû � i
i , êîòîðûå õàðàêòåðèçóþò ïðåäïî÷òåíèå
èãðîêà i N� ñîáñòâåííûõ èíòåðåñîâ (îòíîøåíèÿ äîìèíèðîâàíèÿ). Ïðåäïîëîæèì,
÷òî ìíîæåñòâà MNE G( ), KNE GQ ( ), PO G( ), MBE G( ) — íåïóñòûå.
Äëÿ èíäèâèäóàëüíî-îïòèìàëüíîãî ðàâíîâåñèÿ x îáîçíà÷èì M xi ( ) ìíîæåñ-
òâî çíà÷åíèé âåêòîðà ïàðàìåòðîâ � i iM� , ïðè êîòîðîì x óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå
íåðàâåíñòâ (3). Îòìåòèì, ÷òî èç òåîðåìû 4 ñëåäóåò M xi ( ) � $ , i N� . Òîãäà, åñëè
x MNE G� ( ), ðàâíîâåñèå ñòàáèëüíî äëÿ n èãðîêîâ; � � ��� �i i
j
j N iM x( ) ( );
� i
i �1; � i
j � 0, j N i� \ { }, i N� , ïîýòîìó
i N
i
i n
�
" �� . Åñëè x KNE GQ� ( ), òî ðàâíî-
âåñèå ñòàáèëüíî äëÿ | |K êîàëèöèé, � �� i ( ) ( );� i
j
j N iM x� � � i
j N k�1/| ( )| ,
j N k� ( ); � i
j � 0, j N N k� \ ( ), i N k� ( ) � �k K, ïîýòîìó
i N
i
i K
�
" �� | |.  ñëó÷àå,
êîãäà x PO G� ( ), ðàâíîâåñèå ñòàáèëüíî äëÿ îäíîãî àãåíòà èãðû, êîòîðûì ÿâëÿåò-
ñÿ âñå ìíîæåñòâî èãðîêîâ, � � � ��
�
"� � �i i
j
j N i
i N
i
iM x( ) ( ) : 1. Ðàâíîâåñèå Áåð-
æå x MBE G� ( ) íåñòàáèëüíî äëÿ âñåõ èãðîêîâ, � � ��� �i i
j
j N iM x( ) ( ) :
i N
i
i
�
" �� 0. Èíûå èíäèâèäóàëüíî-îïòèìàëüíûå ðàâíîâåñèÿ èìåþò ïðîìåæóòî÷-
íûå çíà÷åíèÿ âåëè÷èíû
i N
i
i
�
" � íà èíòåðâàëå ( , )0 n â çàâèñèìîñòè îò
òîëåðàíòíîñòè èãðîêîâ.
Íà îñíîâàíèè ïðèâåäåííûõ âûâîäîâ ìîæíî âûäâèíóòü ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî
ïðåäïî÷òåíèå êàæäîãî èãðîêà ñîáñòâåííûõ èíòåðåñîâ õàðàêòåðèçóåò ñòàáèëüíîñòü
èíäèâèäóàëüíî-îïòèìàëüíîãî ðàâíîâåñèÿ, êîòîðàÿ îöåíèâàåòñÿ âåëè÷èíîé
i N
i
i
�
" � .
Ïîñêîëüêó èíäèâèäóàëüíî-îïòèìàëüíîå ðàâíîâåñèå ìîæåò áûòü îäíîâðå-
178 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 1
ìåííî ðàâíîâåñèåì Íýøà, êîàëèöèîííûì ðàâíîâåñèåì, îïòèìàëüíîé ïî Ïàðåòî
ñèòóàöèåé, ðàâíîâåñèåì Áåðæå è ò.ä., òî âàæíû êàê ìàêñèìàëüíàÿ, òàê è ìèíè-
ìàëüíàÿ îöåíêè åãî ñòàáèëüíîñòè. Ìàêñèìàëüíûé óðîâåíü ñòàáèëüíîñòè èíäèâè-
äóàëüíî-îïòèìàëüíîãî ðàâíîâåñèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé àãðåãèðîâàííóþ õàðàêòå-
ðèñòèêó òîãî, íàñêîëüêî áåñêîìïðîìèññíûìè ìîãóò áûòü èãðîêè â ñèòóàöèè ðàâ-
íîâåñèÿ. Â òî æå âðåìÿ ìèíèìàëüíûé óðîâåíü ñòàáèëüíîñòè — àãðåãèðîâàííàÿ
õàðàêòåðèñòèêà òîëåðàíòíîñòè èãðîêîâ, íåîáõîäèìîé äëÿ óäåðæàíèÿ ðàâíîâåñèÿ.
Äëÿ íàõîæäåíèÿ ìàêñèìàëüíîãî (ìèíèìàëüíîãî) óðîâíÿ ñòàáèëüíîñòè èí-
äèâèäóàëüíî-îïòèìàëüíîãî ðàâíîâåñèÿ x ñôîðìóëèðóåì îïòèìèçàöèîííóþ çàäà-
÷ó îòíîñèòåëüíî � i
j , i j N, � , â êîòîðîé ñèòóàöèÿ x ÿâëÿåòñÿ ïàðàìåòðîì:
� ( ) max � ( ) minmax min
� � � �x x
i N
i
i
i N
i
i� �
$
%
&
&
'
(
)
)
� �
" " ,
min ( (( , ), ) ) min ( ) ,\
j N
j i N i i
j
j N
i
j
i is y x x y X
� �
� � # � � �1 1� � � �i N , (4)
� �i
j
j N
i
ji j N i N
� � �
�
"0 1, , ; , . (5)
Ôóíêöèþ � : ( ) [ , ]max
� IOE G n
0 ( � : ( ) [ , ]min
� IOE G n
0 ) íàçîâåì êðèòåðèåì
ìàêñèìàëüíîé (ìèíèìàëüíîé) ñòàáèëüíîñòè èíäèâèäóàëüíî-îïòèìàëüíîãî ðàâ-
íîâåñèÿ x èãðû G. Îãðàíè÷åíèÿ (4), (5) îïèñûâàþò ñîãëàñíî òåîðåìå 1 óñëî-
âèÿ èíäèâèäóàëüíîé îïòèìàëüíîñòè ñèòóàöèè x X� .
Ïðèíöèï èíäèâèäóàëüíîé îïòèìàëüíîñòè îáîáùàåò êëàññè÷åñêèå ïðèíöèïû
îïòèìàëüíîñòè â íåêîîïåðàòèâíûõ èãðàõ è ðàñøèðÿåò êëàññ êîíôëèêòíî-ðàçðå-
øèìûõ èãð. Åãî ïðèìåíåíèå îáîñíîâàíî ïî êðàéíåé ìåðå â äâóõ ñëó÷àÿõ. Âî-ïåð-
âûõ, åñëè êîíôëèêò ìåæäó èãðîêàìè íå ðàçðåøèòñÿ ñ ïîìîùüþ êëàññè÷åñêèõ ïðè-
íöèïîâ îïòèìàëüíîñòè; òîãäà èíäèâèäóàëüíî-îïòèìàëüíûå ðàâíîâåñèÿ ïðåäñòàâ-
ëÿþò ñîáîé îïðåäåëåííûé êîìïðîìèññ êàæäîãî èãðîêà ñ äðóãèìè, êîòîðûé
íåâûãîäíî íàðóøàòü íè îäíîìó èç èãðîêîâ. Âî-âòîðûõ, åñëè ñïîñîá ðåøåíèÿ êîí-
ôëèêòà ìåæäó èãðîêàìè îïðåäåëÿåòñÿ íà îñíîâå îáùåé ìîäåëè ðàâíîâåñèé, ïî-
ñòðîåííîé ïî ïðèíöèïó èíäèâèäóàëüíîé îïòèìàëüíîñòè; òîãäà íàðÿäó ñ èçâåñòíû-
ìè êðèòåðèÿìè âûáîðà ðàâíîâåñèé (äîìèíèðîâàíèå ïî âûèãðûøó, äîìèíèðîâàíèå
ïî ðèñêó [5]) ìîæåò áûòü ïðèìåíåí êðèòåðèé ñòàáèëüíîñòè.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ì à ù å í ê î Ñ . Î . Èññëåäîâàíèå ñòàáèëüíîñòè ðàâíîâåñèé íà îñíîâå ïðèíöèïà
èíäèâèäóàëüíîé îïòèìàëüíîñòè // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2007. — ¹ 4. —
Ñ. 162–169.
2. Ï î ä è í î â ñ ê è é Â . Â . , Í î ã è í Â . Ä . Ïàðåòî-îïòèìàëüíûå ðåøåíèÿ ìíîãîêðèòåðèàëüíûõ
çàäà÷. — Ì.: Íàóêà, 1982. — 255 ñ.
3. Ì ó ë å í Ý . Òåîðèÿ èãð ñ ïðèìåðàìè èç ìàòåìàòè÷åñêîé ýêîíîìèêè. — Ì.: Ìèð, 1985. —
200 ñ.
4. Ì à ù å í ê î Ñ . Î . Пâíîâàãà çà Íåøåì ó áàãàòîêðèòåðŸàëüíŸé ãðŸ // Ÿñí. ÊèÂâ. óí-òó.
Ñåð. ôŸç.-ìàò. íàóêè. — 2001. — 3. — C. 214–222.
5. Õ à ð ø à í ü è Ä æ . , Ç å ë ü ò å í Ð . Îáùàÿ òåîðèÿ âûáîðà ðàâíîâåñèÿ â èãðàõ. — Ñ.-Ï.:
Ýêîíîì. øê., 2001. — 424 ñ.
6. Â è ë ê à ñ Ý . É . Îïòèìàëüíîñòü â èãðàõ è ðåøåíèÿõ. — Ì.: Íàóêà, 1990. — 256 ñ.
7. Æ ó ê î â ñ ê è é  . È . , × è ê ð è é À . À . Ëèíåéíî-êâàäðàòè÷íûå äèôôåðåíöèàëüíûå èãðû.
— Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1994. — 320 ñ.
8. Í à ó ì î â Ã . Å . Ñóùåñòâîâàíèå îïòèìàëüíîãî âûáîðà íà êîìïàêòíîì ìíîæåñòâå àëüòåðíàòèâ
// Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. — 1985. — ¹ 3. — Ñ. 5–27.
Ïîñòóïèëà 07.05.2008
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 1 179
|