Моделирование процессов конвекции–диффузии на основе многомерного интегро-дифференциального уравнения с вырождающейся параболичностью

Моделирование процессов конвекции–диффузии на основе многомерного интегро-дифференциального уравнения с вырождающейся параболичностью

Розглянуто початково-крайову задачу третього роду для багатовимірного інтегро-диференційного рівняння параболічного типу з виродженням. Для неявної двошарової різницевої схеми на основі методу покомпонентного розщеплення побудовано нелінійну монотонну різницеву схему підвищеного порядку апроксимації...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :Кибернетика и системный анализ
Дата:2009
Автори: Акименко, В.В., Наконечный, А.Г., Трофимчук, О.Ю.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2009
Теми:
Системный анализ
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44345
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Моделирование процессов конвекции–диффузии на основе многомерного интегро-дифференциального уравнения с вырождающейся параболичностью / В.В. Акименко, А.Г. Наконечный, О.Ю. Трофимчук // Кибернетика и системный анализ. — 2009. — № 2. — С. 83-96. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-44345
record_format dspace
spelling Акименко, В.В.
Наконечный, А.Г.
Трофимчук, О.Ю.
2013-05-29T18:47:16Z
2013-05-29T18:47:16Z
2009
Моделирование процессов конвекции–диффузии на основе многомерного интегро-дифференциального уравнения с вырождающейся параболичностью / В.В. Акименко, А.Г. Наконечный, О.Ю. Трофимчук // Кибернетика и системный анализ. — 2009. — № 2. — С. 83-96. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.
0023-1274
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44345
519.633.6
Розглянуто початково-крайову задачу третього роду для багатовимірного інтегро-диференційного рівняння параболічного типу з виродженням. Для неявної двошарової різницевої схеми на основі методу покомпонентного розщеплення побудовано нелінійну монотонну різницеву схему підвищеного порядку апроксимації (вище першого), що задовольняє принципу максимуму. Для похибки різницевого розв’язку схеми отримано апріорні оцінки і доведено достатні умови збіжності її до нуля. Досліджено чисельну похибку різницевого розв’язку.
The initial–boundary-value problem for a multidimensional integro-differential equation with degenerated parabolicity is considered. Based on the maximum-principle theorem and splitting method, a nonlinear monotonic high-order (higher than the first) numerical scheme is constructed for an implicit two-layer scheme. For the error of a numerical solution, a priori estimates are obtained and the sufficient convergence conditions are proved. A posteriori estimates for the numerical error of the solution are investigated.
ru
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
Кибернетика и системный анализ
Системный анализ
Моделирование процессов конвекции–диффузии на основе многомерного интегро-дифференциального уравнения с вырождающейся параболичностью
Моделювання процесів конвекції–дифузії на основі багатовимірного інтегро-диференційного рівняння параболічного типу з виродженням
Modeling convection–diffusion processes based on a multidimensional integro–differential equation with degenerated parabolicity
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Моделирование процессов конвекции–диффузии на основе многомерного интегро-дифференциального уравнения с вырождающейся параболичностью
spellingShingle Моделирование процессов конвекции–диффузии на основе многомерного интегро-дифференциального уравнения с вырождающейся параболичностью
Акименко, В.В.
Наконечный, А.Г.
Трофимчук, О.Ю.
Системный анализ
title_short Моделирование процессов конвекции–диффузии на основе многомерного интегро-дифференциального уравнения с вырождающейся параболичностью
title_full Моделирование процессов конвекции–диффузии на основе многомерного интегро-дифференциального уравнения с вырождающейся параболичностью
title_fullStr Моделирование процессов конвекции–диффузии на основе многомерного интегро-дифференциального уравнения с вырождающейся параболичностью
title_full_unstemmed Моделирование процессов конвекции–диффузии на основе многомерного интегро-дифференциального уравнения с вырождающейся параболичностью
title_sort моделирование процессов конвекции–диффузии на основе многомерного интегро-дифференциального уравнения с вырождающейся параболичностью
author Акименко, В.В.
Наконечный, А.Г.
Трофимчук, О.Ю.
author_facet Акименко, В.В.
Наконечный, А.Г.
Трофимчук, О.Ю.
topic Системный анализ
topic_facet Системный анализ
publishDate 2009
language Russian
container_title Кибернетика и системный анализ
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format Article
title_alt Моделювання процесів конвекції–дифузії на основі багатовимірного інтегро-диференційного рівняння параболічного типу з виродженням
Modeling convection–diffusion processes based on a multidimensional integro–differential equation with degenerated parabolicity
description Розглянуто початково-крайову задачу третього роду для багатовимірного інтегро-диференційного рівняння параболічного типу з виродженням. Для неявної двошарової різницевої схеми на основі методу покомпонентного розщеплення побудовано нелінійну монотонну різницеву схему підвищеного порядку апроксимації (вище першого), що задовольняє принципу максимуму. Для похибки різницевого розв’язку схеми отримано апріорні оцінки і доведено достатні умови збіжності її до нуля. Досліджено чисельну похибку різницевого розв’язку. The initial–boundary-value problem for a multidimensional integro-differential equation with degenerated parabolicity is considered. Based on the maximum-principle theorem and splitting method, a nonlinear monotonic high-order (higher than the first) numerical scheme is constructed for an implicit two-layer scheme. For the error of a numerical solution, a priori estimates are obtained and the sufficient convergence conditions are proved. A posteriori estimates for the numerical error of the solution are investigated.
issn 0023-1274
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44345
citation_txt Моделирование процессов конвекции–диффузии на основе многомерного интегро-дифференциального уравнения с вырождающейся параболичностью / В.В. Акименко, А.Г. Наконечный, О.Ю. Трофимчук // Кибернетика и системный анализ. — 2009. — № 2. — С. 83-96. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT akimenkovv modelirovanieprocessovkonvekciidiffuziinaosnovemnogomernogointegrodifferencialʹnogouravneniâsvyroždaûŝeisâparaboličnostʹû
AT nakonečnyiag modelirovanieprocessovkonvekciidiffuziinaosnovemnogomernogointegrodifferencialʹnogouravneniâsvyroždaûŝeisâparaboličnostʹû
AT trofimčukoû modelirovanieprocessovkonvekciidiffuziinaosnovemnogomernogointegrodifferencialʹnogouravneniâsvyroždaûŝeisâparaboličnostʹû
AT akimenkovv modelûvannâprocesívkonvekcíídifuzíínaosnovíbagatovimírnogoíntegrodiferencíinogorívnânnâparabolíčnogotipuzvirodžennâm
AT nakonečnyiag modelûvannâprocesívkonvekcíídifuzíínaosnovíbagatovimírnogoíntegrodiferencíinogorívnânnâparabolíčnogotipuzvirodžennâm
AT trofimčukoû modelûvannâprocesívkonvekcíídifuzíínaosnovíbagatovimírnogoíntegrodiferencíinogorívnânnâparabolíčnogotipuzvirodžennâm
AT akimenkovv modelingconvectiondiffusionprocessesbasedonamultidimensionalintegrodifferentialequationwithdegeneratedparabolicity
AT nakonečnyiag modelingconvectiondiffusionprocessesbasedonamultidimensionalintegrodifferentialequationwithdegeneratedparabolicity
AT trofimčukoû modelingconvectiondiffusionprocessesbasedonamultidimensionalintegrodifferentialequationwithdegeneratedparabolicity
first_indexed 2025-11-26T09:15:10Z
last_indexed 2025-11-26T09:15:10Z
_version_ 1850619319319265280
fulltext ÓÄÊ 519.633.6 Â.Â. ÀÊÈÌÅÍÊÎ, À.Ã. ÍÀÊÎÍÅ×ÍÛÉ, Î.Þ. ÒÐÎÔÈÌ×ÓÊ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ ÏÐÎÖÅÑÑΠÊÎÍÂÅÊÖÈÈ–ÄÈÔÔÓÇÈÈ ÍÀ ÎÑÍÎÂÅ ÌÍÎÃÎÌÅÐÍÎÃÎ ÈÍÒÅÃÐÎ-ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÎÃÎ ÓÐÀÂÍÅÍÈß Ñ ÂÛÐÎÆÄÀÞÙÅÉÑß ÏÀÐÀÁÎËÈ×ÍÎÑÒÜÞ Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìíîãîìåðíîå èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, íà÷àëü- íî-êðàåâàÿ çàäà÷à, âûðîæäåííàÿ ïàðàáîëè÷íîñòü, íåëèíåéíàÿ ìîíîòîííàÿ ñõå- ìà, ìåòîä ðàñùåïëåíèÿ, ïðèíöèï ìàêñèìóìà. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Äàííàÿ ðàáîòà ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëæåíèåì [1–8] è ïîñâÿùåíà ïðîáëåìå ïîñòðîåíèÿ ìîíîòîííûõ ðàçíîñòíûõ ñõåì ïîâûøåííîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè (âûøå ïåðâîãî) äëÿ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ âûðîæäàþùåéñÿ ïàðàáîëè÷íîñòüþ ñïåöè- àëüíûìè íåëèíåéíûìè ðàçíîñòíûìè ìåòîäàìè ìîíîòîííîãî ñãëàæèâàíèÿ. Ñâîé- ñòâó ìîíîòîííîñòè ðàçíîñòíûõ ðåøåíèé äëÿ óðàâíåíèé ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà â íàñòîÿùåå âðåìÿ óäåëÿåòñÿ áîëüøîå âíèìàíèå, ÷òî îòðàæåíî â ðàáîòàõ [9–12]. Ðàññìîòðåíà íà÷àëüíî-êðàåâàÿ çàäà÷à ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè òðåòüåãî ðîäà â ïàðàëëåëåïèïåäå äëÿ ìíîãîìåðíîãî èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïàðàáîëè- ÷åñêîãî òèïà èç [3]. Êîýôôèöèåíò ïàðàáîëè÷íîñòè îáðàùàåòñÿ â íîëü â ïðîèçâîëüíûõ îãðàíè÷åííûõ è çàìêíóòûõ ïîäîáëàñòÿõ ïàðàëëåëåïèïåäà. Íà îñíîâå äâóõöèêëè÷åñêîãî ìåòîäà ïîêîìïîíåíòíîãî ðàñùåïëåíèÿ [5, 8, 11], ìåòîäèêè ïîñòðîåíèÿ íåëèíåéíûõ ñãëà- æèâàþùèõ îïåðàòîðîâ äëÿ ëîêàëüíî-îäíîìåðíûõ íåÿâíûõ ðàçíîñòíûõ ñõåì èç [5, 8] ïî- ñòðîåíà íåÿâíàÿ äâóõñëîéíàÿ íåëèíåéíàÿ ðàçíîñòíàÿ ñõåìà, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ïðèíöèïó ìàêñèìóìà. Îñîáåííîñòüþ ñõåìû ÿâëÿåòñÿ èñïîëüçîâàíèå òîëüêî íåëèíåéíûõ ñãëàæèâà- þùèõ îïåðàòîðîâ è ñîõðàíåíèå ïîâûøåííîãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè (âûøå ïåðâîãî) â ñëó÷àå âûðîæäàþùåéñÿ ïàðàáîëè÷íîñòè.  íàñòîÿùåé ñòàòüå ïðåäïîëàãàåòñÿ âûïîëíå- íèå óñëîâèé ãëàäêîñòè äëÿ êîýôôèöèåíòîâ óðàâíåíèÿ, íà÷àëüíûõ è ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ðàññìàòðèâàåìîé êðàåâîé çàäà÷è, äîñòàòî÷íûõ äëÿ óäîâëåòâîðåíèÿ òåîðåì ñóùåñòâîâà- íèÿ è åäèíñòâåííîñòè îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ èç [3, 13]. Íà îñíîâå ïîñòðîåííûõ ìàæî- ðàíòíûõ îöåíîê äëÿ íåâÿçêè ðàçíîñòíîãî è àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèé äîêàçàíà ñõîäè- ìîñòü ðàçíîñòíîãî ðåøåíèÿ íåëèíåéíîé çàäà÷è ê îáîáùåííîìó ðåøåíèþ èñõîäíîé íà- ÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è. Äëÿ òåñòèðîâàíèÿ ìîíîòîííîé ðàçíîñòíîé ñõåìû ïðîâåäåíû ÷èñëåííûå ýêñïå- ðèìåíòû äëÿ íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è äëÿ äâóõìåðíîãî èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíî- ãî óðàâíåíèÿ íà ïðèìåðå ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî èìïóëüñà ñî ñãëàæåí- íûì ôðîíòîì. Ðàññìîòðåíû ñëó÷àè âûðîæäàþùåéñÿ ïàðàáîëè÷íîñòè âî âíóòðåí- íèõ ïîäîáëàñòÿõ ïðÿìîóãîëüíèêà. Äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé ðàçíîñòíîãî ÷èñëà Ðåéíîëüäñà è ðàçëè÷íûõ ïàðàìåòðîâ ñãóùàþùåéñÿ ñåòêè ïðîâåäåí ñðàâíèòåëüíûé àíàëèç ïîãðåøíîñòåé ðàçíîñòíûõ ðåøåíèé. ÍÀ×ÀËÜÍÎ-ÊÐÀÅÂÀß ÇÀÄÀ×À ÄËß ÈÍÒÅÃÐÎ-ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÎÃÎ ÓÐÀÂÍÅÍÈß Ñ ÂÛÐÎÆÄÀÞÙÅÉÑß ÏÀÐÀÁÎËÈ×ÍÎÑÒÜÞ Ðàññìîòðèì èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà â îá- ëàñòè Q TT � �� ( , )0 u L u r x t g t u t d f x tt � � ��( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )� � � � , (1) L u k x t u x t ux x x pp ( ) ( ( , ) ) ( , )� � � �� �� � � �� � � � � 11 , ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2 83 Â.Â. Àêèìåíêî, À.Ã. Íàêîíå÷íûé, Î.Þ. Òðîôèì÷óê, 2009 ãäå � � �{ }x x x n| � , ,0 1� � � . Îïðåäåëèì ïîäîáëàñòü �� �� : � |� � {x x � �� � � �� � , ,x p� �� � 1 }, ãäå 0 � � �� , � �� � �� � �x . Êîýôôèöèåíòû k x t� ( , ) óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì: 1) k x t� ( , ) � 0, x �� � � � , t T ( , )0 ; (2) 2) 0 0� ��k x t( , ) , x � ~ \� � � � , t T ( , )0 . (3) Çäåñü �, 0 0� — çàäàííûå êîíñòàíòû, � � — îãðàíè÷åííûå çàìêíóòûå îáëàñòè. Îïðåäåëèì Q TT � � � �� ( , )0 , ~ ~ ( , )Q TT � �� 0 . Ïî ñóòè, � � — îáëàñòè âûðîæäåíèÿ ïàðàáîëè÷íîñòè, � �\ � — îáëàñòè ïðèãðàíè÷íîãî «âÿçêîãî» ñëîÿ, ~ � — îáëàñòü ñ íåâûðîæäåííîé ïàðàáîëè÷íîñòüþ, k x t� ( , ) — êóñî÷íî-ïîñòîÿííàÿ íåîòðèöà- òåëüíàÿ ôóíêöèÿ. Íà÷àëüíûå è ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ èìåþò âèä u xt| ( )� �0 � , � � �� � � � � � � u n q s t u( , ) � 0, (4) ãäå � — ãðàíèöà îáëàñòè � (s �), n — âíåøíÿÿ ïî îòíîøåíèþ ê ãðàíèöå � íîðìàëü. Êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèÿ (1) èçìåðèìû è óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì: f L QT 2 1, ( ) , � L2 ( )� , � �� � 2 1 1 � � p , ( )� �� x i p i � � 1 1, (5) max | | | | , max | | | |, , 0 2 0 2 2 � � � � � � t T t T r g� � � , 0 0 q s t Q( , ) . (6) Çäåñü � �1 2 0 0, , Q � — çàäàííûå êîíñòàíòû, | | | | ,� 2 � — íîðìà èç [13]. Ñîãëàñíî òåîðåìå 1 èç [3] îáîáùåííîå ðåøåíèå çàäà÷è (1)–(4) ïðè óñëîâèÿõ (5), (6) ñó- ùåñòâóåò è åäèíñòâåííî íà êëàññå ôóíêöèé u x t( , ) L Q V QT T2 2 1( ) ( ~ ) � � (L2 , V 2 1 — íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà [13]). ÀÏÏÐÎÊÑÈÌÀÖÈß È ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÐÀÇÍÎÑÒÍÎÉ ÑÕÅÌÛ Àïïðîêñèìèðóåì îáëàñòü Q TT � �� ( , )0 ñ ïîìîùüþ ðàâíîìåðíîé ñåòêè �h hp1... � ={( ,... , , ) , , , , ,|x x t x i h i N k p t ji pi j ki k k k k jp k1 1 0 1� � � � �, j M� 0, }, ãäå øàãè ñåò- êè óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì 0 0� � � �h hk k k k � � �, � . Äëÿ àïïðîêñèìàöèè óðàâíå- íèÿ (1) ñ ðàçðûâíûìè êîýôôèöèåíòàìè k x t� ( , ) èñïîëüçóåì èíòåãðî-èíòåðïîëÿ- öèîííûé ìåòîä èç [14]. Îáîçíà÷èì A ðàçíîñòíûé îïåðàòîð, àïïðîêñèìèðóþùèé L èç (1). Äëÿ àïïðîêñèìàöèè èíòåãðàëüíîãî îïåðàòîðà èñïîëüçóåì ôîðìóëó òðà- ïåöèé èç [15] r x t g t u t d r w y i i j p ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ... � � � � � � � � 1 0 , (7) ãäå w — âåêòîð êîýôôèöèåíòîâ äëÿ èíòåãðàëüíîãî îïåðàòîðà è ôóíêöèè g x t( , ) â ñî- îòâåòñòâèè ñ ÷èñëåííûì ìåòîäîì êâàäðàòóð, ( , ) ... ... ... w y w y i i i i i i p p p � � 1 1 1 — ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå, �0 1 2 2� � �O h hp( )� — ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè. Çàïèøåì îäíî- ðîäíóþ êîíñåðâàòèâíóþ ðàçíîñòíóþ ñõåìó ñ âåñàìè � (0 1 � ) äëÿ çàäà÷è (1)–(4): By E A y E A y w y r w y r� ( ) � ( ( ) ) ( ( , � )� ( )( , )� � � � � � � ��� � � � � �1 1 ) � � �� � �( � ( ) )F F1 , (8) F U f x x t i i j i i j p p1 1... [ ( ,... , , )],� y i i i i p p1 1 0 ... ...( )� � � . (9) 84 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2 Çäåñü E — åäèíè÷íûé îïåðàòîð, A A p � � � � � 1 — ñóììàðíûé ðàçíîñòíûé îïåðàòîð, �, U — øàáëîííûå ôóíêöèîíàëû èç [14], îáåñïå÷èâàþùèå ïîðÿäîê àïïðîêñèìà- öèè O h hp( ) 1 2 2� �� â ñëó÷àå ðàçðûâíûõ êîýôôèöèåíòîâ óðàâíåíèÿ. Åñëè ìíîæåñ- òâî � � � �, òî äëÿ àïïðîêñèìàöèè îïåðàòîðà L ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïîïóëÿðíóþ ìîíîòîííóþ ñõåìó íàïðàâëåííûõ ðàçíîñòåé ïîðÿäêà O h hp( ) 1 2 2� �� À.À. Ñàìàð- ñêîãî [12, 14] ñ ïîëîæèòåëüíûì ðàçíîñòíûì îïåðàòîðîì A � 0, àïïðîêñèìèðóþ- ùèì îïåðàòîð L è ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (4). Òîãäà èç [3] ñëåäóåò, ÷òî ïðè � � 1 (äëÿ ìîíîòîííîé ñõåìû ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè O h hp( )� � � � 1 2 2 � ) ðåøåíèå çàäà- ÷è (1)–(5) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå � ( , ) ( ( , )) y B y w B y w B r B r B f� � � � � � � � � � � � �� � � � �1 1 1 1 1 1 � � � �( , ) ( ( , )) w B f w B r B r � � � � � � � � � � � � 1 1 1 1 � . (10) Ñõåìà (10) èìååò ðåøåíèå ïðè îãðàíè÷åíèÿõ íà � | ( , ( ) )|1 01 1� � � ��� �w E A r a , (11) ãäå a1 0� �const . Ñõåìà (10) ýêîíîìè÷íà, ïîñêîëüêó ïðèâîäèò ê íåîáõîäèìîñòè âû÷èñëåíèÿ òðåõ âûðàæåíèé ñ òðåõäèàãîíàëüíûìè ðàçíîñòíûìè îïåðàòîðàìè ( )E A y� �� 1 , ( )E A r� �� 1 , ( )E A f� �� 1 îäíèì èç âàðèàíòîâ ìåòîäà ïðîãîíêè [14]. Åñëè ìíîæåñòâî � � � �, òî â ýòîé îáëàñòè ðàçíîñòíîå ÷èñëî Ðåéíîëüäñà R � � è ñõåìó íàïðàâëåííûõ ðàçíîñòåé èñïîëüçîâàòü íåëüçÿ. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (1)–(5) ðàññìîòðèì íåÿâíóþ ëèíåéíóþ íåìîíîòîííóþ îäíîðîäíóþ äâóõñëîéíóþ ñõåìó Êðàíêà–Íèêîëñîíà ïîðÿäêà O h hp( )�2 1 2 2� � �� , àïïðîêñèìèðóþùóþ óðàâíåíèå (1) íà âðåìåííîì èíòåðâàëå [ , ]t tj j� �1 1 è ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ äëÿ ãðàíè÷íûõ óñëî- âèé ïîðÿäêà O h( )� : By E A y E A y w y y r F� ( ) � ( ) ( , � )� � � � � � �� � � � � � 2 , (12) y i i i i p p1 1 0 ... ...( )� � � , l y�1 0� � , l y�2 0� � . (13) Çäåñü l�1, l�2 — ãðàíè÷íûå îïåðàòîðû, äåéñòâóþùèå íà øàáëîíàõ i� � 0, i� � 1 è i N� �� �1, i N� �� ñîîòâåòñòâåííî. Èñïîëüçîâàòü óðàâíåíèå (1) äëÿ ïîâûøåíèÿ ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè ãðàíè÷íûõ óñëîâèé (4) (êàê ýòî ðåêîìåíäîâàíî â [14]) â äàííîì ñëó÷àå âåñüìà çàòðóäíèòåëüíî èç-çà ïðèñóòñòâèÿ èíòåãðàëüíîãî ÷ëåíà â óðàâíåíèè (1). Ïàðàìåòð j ïðèíèìàåò òîëüêî íå÷åòíûå çíà÷åíèÿ. Âõîäÿùèå â A A p � � � � � 1 ðàçíîñòíûå îïåðàòîðû A� , ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (4) è ñåòî÷íûå ôóíê- öèè — êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèÿ (12) çàïèñûâàþòñÿ ñ ïîìîùüþ èíäåêñíûõ îáî- çíà÷åíèé â âèäå ( ) ( ) ( (... ... A y z y y G yi i i i j i i i j ip p � � �� � � �1 1 1 1 1 � � �� � � �1 � yi� ) � � �G y y i j i i� � � � ( ))1 , (14) ( � ) � ( � ) �l y y h q yi� ��1 0 1 0 01� � � � , (15) ( � ) ( � ) � �l y h q y yi N N N N� �� � � � �2 11� �� � � , (16) G U k x x mh x t h i j i i i jp� � � � � �� � � 1 2 1 [ ( ,... , ,... , , )] / , (17) z Y x x t h i i j i i j p p� � �� 1 1 2 ... [ ( ,... , , )] / ( )� , (18) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2 85 ãäå Y — øàáëîííûé ôóíêöèîíàë èç [14], îáåñïå÷èâàþùèé ïîðÿäîê àïïðîêñèìà- öèè O h hp( ) 1 2 2� �� . Âñþäó â äàëüíåéøåì â ðàçíîñòíûõ âûðàæåíèÿõ áóäåì îïóñ- êàòü èíäåêñû, êîòîðûå íå èçìåíÿþòñÿ. Äëÿ ðåøåíèÿ ðàçíîñòíîé çàäà÷è (12), (13) ñ îïåðàòîðàìè (7), (14)–(18) ìîæíî èñïîëüçîâàòü ôàêòîðèçîâàííûå ñõåìû èç [14] (â ÷àñòíîñòè, ïðîäîëüíî-ïîïåðå÷íûé ìåòîä Ïèñìåíà–Ðýêôîðäà). Íî äëÿ ôàêòî- ðèçîâàííûõ ñõåì íåëüçÿ ïðèìåíèòü ìåòîäèêó íåëèíåéíîãî ìîíîòîííîãî ñãëàæè- âàíèÿ èç [5, 8], ïîñêîëüêó îíà èñïîëüçóåòñÿ òîëüêî äëÿ ëîêàëüíî-îäíîìåðíûõ ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé. Ïîýòîìó ïðèìåíèì ê ñõåìå (12) äâóõöèêëè÷åñêèé ìåòîä ïîêîìïîíåíòíîãî ðàñùåïëåíèÿ Ã.È. Ìàð÷óêà [11] ñ ïðÿìûì (� � 1 2, ,.. , p) è îá- ðàòíûì (� � �p p, ,... ,1 1) äåéñòâèåì ëîêàëüíî-îäíîìåðíûõ îïåðàòîðîâ A� : ( , ) ( – , )( /( )) ( ( )/ (E A y E A yj p j p� �� � � � � � �0 5 0 51 1 1 1� �� � � � 1 1)) ( , )� � p , (19) y y h w y yj p j p j p j( / ( )) ( / ( )) ( / ( )) ((( ,� � � � � � �� � �1 1 1 1 1 1 1� / ( )) ) )p r F� �1 2� , (20) ( , ) ( – , )( ( )/ ( )) ( ( )E A y E A yj p p j p� �� � � � � � �0 5 0 52 1 1� �� � � � / ( )) ( , )p p� �1 1� . (21) Ìåòîä ðàñùåïëåíèÿ èñêëþ÷àåò èç ëîêàëüíî-îäíîìåðíûõ ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé èíòåãðàëüíûé ÷ëåí è ôóíêöèþ F, ÷òî ïîçâîëÿåò ïðèìåíÿòü â äàëüíåéøåì íåëèíåéíîå ñãëàæèâàíèå (íà îñíîâå ïðèíöèïà ìàêñèìóìà) ê ëîêàëüíî-îäíîìåðíûì óðàâíåíèÿì ðàñùåïëåííîé ñèñòåìû è îòäåëüíî ðåøàòü èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå Ôðåäãîëüìà âòîðî- ãî ðîäà [14]. Ïîòðåáóåì, ÷òîáû B E A L E� ��� � �0 5 1, , L1 0� �const . Òîãäà ñóùåñ- òâóåò îãðàíè÷åííûé îáðàòíûé îïåðàòîð B B L� � � � 1 1 11: | | | | / . Âûðàçèì ðåøåíèå � ( )y y j� �1 èç ñèñòåìû (19)–(21) è çàïèøåì åãî â âèäå � �y T y� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �2 2 2 1 1� � ��� � � � ( , )w y T r T F p p p , (22) �T T T p p � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � �1 1 , T E A E A� � �� �� � �( , ) ( – , )0 5 0 51 , (23) � � � 1 1 1 1 1 1 0 5� � �� � � � � , (( , ) ( , ))( /( )) ( / ( ))w y y w y Tj p j p j p � � � � � � � � � �r O( )�2 . Äâóõöèêëè÷åñêèé ìåòîä ïîêîìïîíåíòíîãî ðàñùåïëåíèÿ íå óõóäøàåò ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè ñõåìû (12), òàê êàê èìååò ïîãðåøíîñòü O h hp( )�2 1 2 2� � �� äàæå â ñëó÷àå íåêîììóòèðóþùèõ ìåæäó ñîáîé îïåðàòîðîâ A� . Îäíàêî ïðè äîêàçà- òåëüñòâå âòîðîãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè äëÿ ñõåìû ðàñùåïëåíèÿ òèïà (19)–(21) â ðàáîòå [11] óñòàíàâëèâàþòñÿ äîñòàòî÷íî æåñòêèå îãðàíè÷åíèÿ íà ïàðàìåòð � 0 5 1, | | | |� �A � , (24) ãäå | | | |A — íîðìà ðàçíîñòíîãî îïåðàòîðà èç [14]. Èç (24) ñëåäóþò îãðàíè÷åíèÿ íà êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèÿ (1) 0 5 4 1 2, ( | | [ ( , )] | | /� � �U k x x t hi i j Cp �� � �| | [ ( , )] | | / ) ~ ,U x x t h Ci i j Cp �� �1 0 1� (25) ãäå ~ C0 0� �const — êîíñòàíòà, | | | |y C — ñåòî÷íàÿ íîðìà èç [14]. Îãðàíè÷åíèÿ (24), (25) âñòðå÷àþòñÿ, êàê ïðàâèëî, â ÿâíûõ ðàçíîñòíûõ ñõåìàõ è ñóùåñòâåííî ñíèæàþò ýôôåêòèâíîñòü íåÿâíîé ðàçíîñòíîé ñõåìû. Óñëîâèÿ (24), (25) ìîæíî îáîéòè, åñëè ïðè âûâîäå îöåíêè ñóììàðíîé àïïðîêñèìàöèè ñõåìû (19)–(21) íå èñïîëüçîâàòü ðàçëîæåíèå ðàçíîñòíîãî îïåðàòîðà B E A� ��� �� �1 10 5( , ) ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó � � �� 0 5, | | | |A , à âîñïîëüçîâàòüñÿ òîæäåñòâîì B E A A A B� � � � �� � �� �� �1 2 2 3 3 10 5 0 25 0125– , , – , , (26) 86 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2 â êîòîðîì èñïîëüçîâàíî ñâîéñòâî êîììóòàòèâíîñòè ðàçíîñòíûõ îïåðàòîðîâ B A A B� � � �� , B A A B� � � � � ��1 1 è ðàâåíñòâî B E B A� � ��� ��1 10 5– , . Ïîäñòàâèì (26) â (23) è çàïèøåì âûðàæåíèå (22) â âèäå � ( ) ( ) ( , )( )y E A A y E A F w y E A r� � � � � � � �2 2 2 22 2 2� � � � � � � � , ãäå ïîãðåøíîñòü � �2 3� O( ) . Ïîäñòàâèì ñþäà ðàçíîñòíîå âûðàæåíèå ( ) ( , )E A y y F w y r� � � � �� � � � � 3 , (27) ãäå � � � � 3 2 2 1 � � � � � � � � � � � �O h p , è ïîëó÷èì óðàâíåíèå ( � ) / ( ) , ( � ) , ( , � )y y A y y w y y r F� � � � � � � � � � 2 0 5 0 5 0� � , (28) ãäå � � � � 0 2 2 1 � � � � � � � � � � � �O h p . Èç (28) ñëåäóåò, ÷òî ñõåìà (7), (14)–(21) àïïðîêñèìèðó- åò èñõîäíîå óðàâíåíèå (1) ñ ñóììàðíûì ïîðÿäêîì O h p � � � 2 2 1 � � � � � � � � � � � , ñîâïàäàþùèì ñ ïîðÿäêîì àïïðîêñèìàöèè íåðàñùåïëåííîé ñõåìû (12), (13). Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà óñòîé÷èâîñòè ñõåìû (19)–(21) âîñïîëüçóåìñÿ òåîðèåé �-óñòîé÷èâîñòè äâóõñëîéíûõ ðàçíîñòíûõ ñõåì äëÿ íåñàìîñîïðÿæåííûõ îïåðàòîðîâ A� èç [14]. Ðàçëîæèì îïåðàòîð A A A� � �� � íà ñóììó êîñîñèììåòðè÷åñêîãî A A A� � �� �0 5, ( )* è ñàìîñîïðÿæåííîãî A A A� � �� �0 5, ( )* îïåðàòîðîâ. Ïîëüçóÿñü (14)–(18), ìîæíî çàïèñàòü äàííûå îïåðàòîðû ñ ïîìîùüþ èíäåêñíûõ îáîçíà÷åíèé â âèäå ( ) , (( ) ( )...A y z z y z z yi i i i i i ip� � � � �� � � � �1 0 5 1 1 1� � � �� � � i� �1 ) , ( ) ( ( ) ( ))...A y G y y G y yi i i i i i i ip� � �� � � � � �1 1 1 1� � � � � �� � � � � � �� � � �0 5 1 1 1 1, (( ) ( ) )z z y z z yi i i i i i� � � �� � � � � � . Ïîñêîëüêó B L E� � �1 0, äëÿ ïðîèçâîëüíîãî óðàâíåíèÿ èç ïîäñèñòåìû (19) ñïðàâåäëèâî òîæäåñòâî ( , ) (( /( )) ( / ( )) ( ( )/ ( )y y yj p j p j p� � � � � � � � � ��1 1 1 1 1 1 1� � � ) ( ( )/ ( )), )y j p� � � � �1 1 1� � � � � �2 1 1 1 1� � � �( , )A B y B yj j , ãäå èñïîëüçóåòñÿ ðàâåíñòâî B E B A� � ��� ��1 10 5– , . Òàê êàê ðàçíîñòíûé îïåðàòîð, àïïðîêñèìèðóþùèé äèôôóçèîííûé ÷ëåí â óðàâíåíèè, ÿâëÿåòñÿ íåîòðèöàòåëü- íî-îïðåäåëåííûì, äëÿ äîêàçàòåëüñòâà óñòîé÷èâîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû äîñòàòî÷- íî íàëîæèòü ñëåäóþùèå îãðàíè÷åíèÿ: 0 5 0 5 1 0, | | | | , | | ( [ ( ,... , , )]) | |*A A Y x x t Li i j x Cp� � �� � � , L0 0� , (29) ( [ ( , )])Y x x ti i j xp �� �1 0 �� ! ( ,... , )x xi ip1 �, ! t Tj [ , ]0 , (30) èëè âìåñòî (30): 0 5 0 25 1 , | ( , )| , | | ( [ ( , )]) | | | |� � �� � � A y y Y x x t yi i j x Cp � | |2 �( )| | | |1 1 2L y , 0 11� �L , (31) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2 87 åñëè " ( ,... , )x xi ip1 �, t Tj [ , ]0 òàêèå, ÷òî ( [ ( ,... , , )])Y x x ti i j xp �� �1 0� , ãäå L L0 1, — êîíñòàíòû, íå çàâèñÿùèå îò h hp1 � , �, êâàäðàò íîðìû âåêòîðà îïðå- äåëÿåòñÿ êàê | | | | ( , ) ... ... y y y y i i i i p p 2 2 1 1 � � � . Óñëîâèÿ (30) èëè (31) (â çàâèñèìîñòè îò çíàêà ðàçíîñòíîé ïðîèçâîäíîé êîýôôèöèåíòîâ �� ) ÿâëÿþòñÿ äîñòàòî÷íûìè äëÿ ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè îïåðàòîðîâ B L E� � �1 0 , ñóùåñòâîâàíèÿ îáðàò- íûõ îïåðàòîðîâ B B L� � � � 1 1 11: | | | | / . Åñëè âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (30) èëè (31), òî äëÿ ðåøåíèÿ ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ïîäñèñòåìû (19) (ïðè � � 1) ñïðàâåäëèâà îöåíêà | | | | ( � )| | | | exp( � )| |( / ( )) ( )y L y L yj p p j� � � � 1 2 1 21 2 2� � ( ) | |j�1 2 , (32) � , ( ), / , ( ). L L L � 0 30 310 1 2 åñëè âûïîëíåíî åñëè âûïîëíåíî # $ % &% Àíàëîãè÷íûå îöåíêè ïîëó÷àåì ïðè ðàññìîòðåíèè îñòàëüíûõ óðàâíåíèé ïîä- ñèñòåìû (19). Âûðàçèì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ( , )( /( ))w y j p� �1 1 èç (20) è ïðåîáðà- çóåì óðàâíåíèå (20) ê âèäó y y r w yj p j p j p( / ( )) ( / ( )) ( / ( ))( , ) / (� � � � � �� � �1 1 1 1 1 12 1� �( , ))w r F� �2� (33) � �2 12� �r w F w r( , ) / ( ( , )) . Èç (33) ñëåäóåò, ÷òî ðåøåíèå y j p( / ( ))� �1 1 ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî ïðè îãðà- íè÷åíèè | ( , )|1 02� � �� w r L , (34) ãäå L2 0� �const — çàäàííàÿ êîíñòàíòà. Èç (32), (33) ïîëó÷àåì îöåíêó | | | | exp( ~ )| | | | exp(( /( )) ( / ( ))y C yj p j p� � � � �1 1 1 1 12 2� � ~ )| | | |C F1� (35) � ��exp(( ~ � ) ) | | | | exp( ~ )| | | |( )2 21 1 1C pL y C Fj� � � , ~ | | | | | | | | /C w r L1 2� . (36) Ðàññìàòðèâàÿ óðàâíåíèÿ (21) ïîñëåäîâàòåëüíî, â îáðàòíîì ïîðÿäêå ïî � � �p p, ,.. ,1 1, è èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâà (32)–(36), ïîëó÷àåì îöåíêó äëÿ y j�1 | | | | exp(( ~ � ) )| | | | exp(( ~( ) ( )y C pL y Cj j� � � � �1 1 1 12 2 2� � pL F j� ) )| | | |( )� . (37) Èç (37) ïîëó÷àåì îêîí÷àòåëüíóþ îöåíêó äëÿ y j( )�1 ïðè íå÷åòíîì j | | | | exp( ( )( ~ � ))| | | | | |( ) ( ) (y j C pL y Fj k� � � � �1 1 0 2 11 2� � ) ( )/ | |� � � � k j 1 1 2 � � � � ��exp( ( ~ � )( )) | | | |( )� �C pL j k yj 1 1 02 2 (38) � � � � � � �2 1 2 2 2 1 1 1 2 � �exp( ~ ) | | | |( ) ( )/ TC Fj k k k j , ãäå � �� �exp( ( ~ � ))C pL1 ; âåðõíèé èíäåêñ áåç ñêîáîê îçíà÷àåò âîçâåäåíèå â ñòå- ïåíü. Ïîëó÷åííàÿ îöåíêà îòðàæàåò äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè ñõåìû è èñïîëüçóåòñÿ äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñõîäèìîñòè ðàçíîñòíîãî ðåøåíèÿ. Èç îöåíêè (38) ñëåäóåò îãðàíè÷åííîñòü ðàçíîñòíîãî ðåøåíèÿ íà ïðîèçâîëüíîì îãðàíè÷åí- íîì èíòåðâàëå âðåìåíè. Íà îñíîâå èçëîæåííîãî âûøå ñïðàâåäëèâà òåîðåìà. 88 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2 Òåîðåìà 1. Ðàçíîñòíàÿ ñõåìà ðàñùåïëåíèÿ (19)–(21) ñ èñïîëüçîâàíèåì âûðà- æåíèé (7), (9), (14)–(18), (33) àïïðîêñèìèðóåò çàäà÷ó (1), (4) (ñ êîýôôèöèåíòàìè, óäîâëåòâîðÿþùèìè óñëîâèÿì (2), (3), (5), (6)) ñ ïîðÿäêîì � �1 2 1 2 2� � �'�O h hp( ) âî âíóòðåííèõ òî÷êàõ ñåòêè è ïîðÿäêîì �2 1� � �O h hp( )� â ãðàíè÷íûõ òî÷êàõ è ÿâëÿåòñÿ �-óñòîé÷èâîé ïðè îãðàíè÷åíèÿõ (29)–(31), (34). Äëÿ ðàçíîñòíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è ñïðàâåäëèâà àïðèîðíàÿ îöåíêà (38). Óñëîâèÿ òåîðåìû 1 äîñòàòî÷íû äëÿ ïîëó÷åíèÿ óñòîé÷èâîãî íåìîíîòîííîãî ÷èñ- ëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è (1)–(6) ñ ïîðÿäêîì àïïðîêñèìàöèè � �1 2 1 2 2� � � �O h hp( )� . Îäíàêî äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîöåññîâ êîíâåêöèè–äèôôóçèè ñóùåñòâåííûì ÿâëÿåò- ñÿ «ôèçè÷åñêîå» òðåáîâàíèå ìîíîòîííîñòè ðàçíîñòíîãî ðåøåíèÿ (óäîâëåòâîðÿþ- ùåãî ïðèíöèïó ìàêñèìóìà). Äàëåå ðàññìàòðèâàåòñÿ àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ íåëèíåé- íîé ìîíîòîííîé ñõåìû íà îñíîâå áàçîâîé ðàçíîñòíîé ñõåìû (19)–(21). ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÕ ÎÏÅÐÀÒÎÐΠÌÎÍÎÒÎÍÍÎÃÎ ÑÃËÀÆÈÂÀÍÈß ÄÂÓÕÑËÎÉÍÎÉ ÑÕÅÌÛ ÂÒÎÐÎÃÎ ÏÎÐßÄÊÀ Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî âÿçêèé ñëîé (îáëàñòü � �\ � ) ïîêðûò ñåòêîé ñ øàãîì h� ��� . Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìîíîòîííûõ ñãëàæèâàþùèõ îïåðàòîðîâ âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäè- êîé èç [5, 8]. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (19) ñ íîìåðîì � â ðàçâåðíóòîì âèäå. Äëÿ ñãëàæèâàíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ ïðèìåíèì íåëèíåéíûå ðàçíîñòíûå îïåðàòîðû, èñïîëüçóåìûå â íåÿâíûõ ñõåìàõ â [8]. Äëÿ óäîáñòâà îáî- çíà÷èì � ... ... ( / ( ))y yi i i i j p p� � �� � � � 1 1 1 , y yi i i i j p p� � �� � � � � 1 1 1 1 ... ... ( ( )/ ( )) è áóäåì èñêàòü ðåøåíèå ðàç- íîñòíîãî óðàâíåíèÿ â âèäå � � ( )y a y b yi i i i i� � � � ��� � � �1 � , � / ( � )y b a q h0 0 0 01� � � � , (39) ( ) ( � ) ( � � )� � � � � � � � � � � � �y c a y b c a y bi i i i i i i i i� � � � � � � 1 2 , (40) � � � � � �1 � � �( � ) � c a y bi i i i , � � � � � �2 � � �( � � ) ,a y b ci i i i (41) � max( � , ),c c yi i i� � � � � �1 1 � � c c yi i i� � � � � �min ( , )1 1 (i N� �� �1 1, ), (42) � max( � , , )c y y y0 0 0 1� , � c y y y0 0 0 1� min ( � , , ) , (43) b C E y E y C y E bi i i i ii i i i i� � � � � � � � � � � � � �� � �� � � � � �1 1 11[( ) � ] / (44) /( ( ) ),1 1� � �C a E i ii� � � � � a C C a Ei ii i i� � � � � � � �� � � � �1 1 1/ ( ( ) ), a h q bN N� ��� �� � �1 1 11 1 0/ ( � ), , (45) C z Gi i i� � �� � � �� �0 5, ( ) , E z Gi i i� � �� � � �� � � �0 5 1, ( ) , (46) ãäå èíäåêñ � — íîìåð ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé, �( )x — ôóíêöèÿ Õåâèñàé- äà, a, b — ïðîãîíî÷íûå êîýôôèöèåíòû, C i� � , E i� � — âñïîìîãàòåëüíûå êîýôôè- öèåíòû. Ôèêñèðîâàííûå èíäåêñû ó âñåõ êîýôôèöèåíòîâ îïóùåíû. Äëÿ âûïîëíå- íèÿ óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè ìåòîäà ïðîãîíêè äîñòàòî÷íî íàëîæèòü îãðàíè÷åíèÿ íà ïàðàìåòðû ñõåìû � �� �| | [ ( ,... , , )]| | /( ) ~ Y x x t h Ci i j Cp1 2 10 � , (47à) C i� � � 0, E i� � � 0, (47á) ãäå ~ C0 0� �const . Òîãäà ïðîãîíî÷íûå êîýôôèöèåíòû óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ 0 1 �a i� . Èç ôîðìóë ïðîãîíêè è ñâîéñòâ îïåðàòîðîâ � � y ñëåäóåò, ÷òî ñåòî÷- ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2 89 íàÿ ôóíêöèÿ � y èç (39) íà äàííîì âðåìåííîì ñëîå óäîâëåòâîðÿåò ïðèíöèïó ìàê- ñèìóìà. Ðàññìîòðèì ïåðâûé èíòåðâàë [ , ]/( )t tj j p p� � �1 1 , íà êîòîðîì çíà÷åíèÿ ôóíêöèè ñ ïðåäûäóùåãî âðåìåííîãî ñëîÿ è â òî÷êàõ i N1 10� , ìîæíî ñ÷èòàòü ãðàíè÷íûìè. Ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíûì. Òîãäà îïåðàòîð � � y ãàðàíòèðóåò, ÷òî � y âî âíóòðåííèõ òî÷êàõ òåêóùåãî âðåìåííîãî ñëîÿ íå ïðèìåò çíà÷åíèÿ ìåíüøå, ÷åì ìèíèìàëüíîå (áîëüøå, ÷åì ìàêñèìàëüíîå) ãðàíè÷íîå çíà- ÷åíèå ôóíêöèè. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé òåîðåìû 1 è óñëîâèé (47à), (47á) ðå- øåíèå çàäà÷è (39)–(46) ñóùåñòâóåò, åäèíñòâåííî, îãðàíè÷åíî. Àíàëîãè÷íûå óòâåðæäåíèÿ ñïðàâåäëèâû è äëÿ îñòàëüíûõ óðàâíåíèé ïîäñèñòå- ìû (19), à òàêæå äëÿ óðàâíåíèé ïîäñèñòåìû (21). Ñëåäîâàòåëüíî, ñ ó÷åòîì îãðàíè- ÷åíèé (47à), (47á) ðåøåíèå ñèñòåìû (19)–(21) íà ðàññìàòðèâàåìîì âðåìåííîì ñëîå y i i j p1 1 ... � ñóùåñòâóåò, åäèíñòâåííî è îãðàíè÷åíî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñõîäèìîñòè ðàçíîñòíîãî ðåøåíèÿ ñãëàæåííîé ñõåìû (39)–(46) âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäèêîé èç [5, 8] ïîñòðîåíèÿ îöåíêè äëÿ îïåðàòîðîâ � � y. Ðàññìîòðèì îäíî óðàâíåíèå ïîäñèñòåìû (19) èëè (21) ñ ôèêñèðîâàííûì íî- ìåðîì � è ñîîòâåòñòâóþùåå ýòîìó íîìåðó âûðàæåíèå (39) â ãðàíè÷íîé òî÷êå i� � 0. Ïóñòü ( )� � y 0 0� . Ñëó÷àé � �y c a y b c1 0 0 0 0 0 0� � � � � � � , � c y y y0 0 0 1� min ( � , , ) èñêëþ÷åí, òàê êàê � ( � ) � �y h q y y1 0 0 01� � �� . Ðàññìîòðèì ñëó÷àé � � �y c a y1 0 0 0� � � � � �b c0 0 0� , � max( � , , )c y y y0 0 0 1� . Ïîñêîëüêó � ( � ) � �y h q y y1 0 0 01� � �� è y h q y y1 0 0 01� � �( )� , åäèíñòâåííûé âîçìîæíûé âàðèàíò â äàííîì ñëó÷àå �c y0 1� . Âî âñåõ ïðåäûäóùèõ óçëàõ ñåòêè (íà ïðåäûäóùèõ âðåìåííûõ ñëîÿõ) îïðåäåëåíà ñåòî÷íàÿ ôóíêöèÿ y i i j p1... êàê ðåøåíèå óñòîé÷èâîé ðàçíîñòíîé çàäà÷è (19)–(21). Äëÿ ýòîé ñåòî÷íîé ôóíêöèè y i i j p1... íà äàííîì ìíîæåñòâå òî÷åê ñåòêè ìåòîäîì ãëàäêîãî âîñïîëíåíèÿ ìîæíî ïîñòðîèòü ôóíêöèþ ~( , , , ),y x x t h hp p1 1 � � � ïðèíàäëåæà- ùóþ ïðîñòðàíñòâó äîñòàòî÷íî ãëàäêèõ ôóíêöèé è ñõîäÿùóþñÿ â íîðìå äàííîãî ïðîñòðàíñòâà ê u x x t L Q V Qp T k T k( ,... , , ) ( ) ( ~ )( ) ( ) 1 2 2 1 � � ïðè ( , )h hp1 0 �� � . Ðàññìîò- ðèì ðàçíîñòíîå âûðàæåíèå � � ( � )c y y y h q h q y0 0 1 0 0 0 1 11 0� � � � � �� � � . (48) Îòñþäà ïîëó÷àåì îöåíêó äëÿ ñãëàæèâàþùåãî îïåðàòîðà 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0� � � � � � � �( ) � � ( � � ) � � � ( � � )� � � �y c y c y c h q h q c y � (49) � � � � � � � �h q c y h q y h q y O h hx t� � � � �� �� ( � � ) � ~ � ~ ( ( )0 0 0 2 0 0 2 1 ) ~ � � �� . Àíàëîãè÷íî ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé ( )� � � y N � 0 â äðóãîé ãðàíè÷íîé òî÷êå i N� �� . Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì îöåíêó äëÿ ñãëàæèâàþùåãî îïåðàòîðà â ãðàíè÷- íûõ óçëàõ ñåòêè |( ) | | ~ | ( ),� � � � �� � � � �y O h hi i N� � �0 2 . (50) Èç íåðàâåíñòâ (48), (49) ñëåäóåò, ÷òî îöåíêà (50) ñïðàâåäëèâà è â ñëó÷àå îäíî- ðîäíûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé âòîðîãî ðîäà (ïðè q0 0� ). Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ âíóòðåííþþ òî÷êó îáëàñòè i N� �� �1 1, . Íàëîæèì îãðàíè÷åíèÿ íà êîýôôèöèåíòû ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé (19), (21): Y x x ti i jp [ ( ,... , , )]�� 1 0� . (51) Ïîñêîëüêó êîýôôèöèåíò ïàðàáîëè÷íîñòè ìîæåò îáðàùàòüñÿ â íîëü, óñëîâèå (51) ãàðàíòèðóåò âûïîëíåíèå óñëîâèÿ (47á). Åñëè êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèÿ (1) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ Y x x ti i jp [ ( ,... , , )]�� 1 0� , òî çà ñ÷åò çàìåíû ïåðåìåííûõ â ýòîì óðàâíåíèè ( � �x x� � ìîæíî äîáèòüñÿ âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ (51). 90 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2 Åñëè ïàðàìåòðû (46) ðàññìàòðèâàåìîãî ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì E i� � � 0, C i� � � 0, ( ) ,1 0� � �E Ci i� �� � òî ñõåìà (39)–(46) óäîâëåòâîðÿåò êëàññè÷åñêîé òåîðåìå ïðèíöèïà ìàêñèìóìà [14]. Òîãäà ðàçíîñòíîå ÷èñëî Ðåéíî- ëüäñà ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ ìåíüøå åäèíèöû: Re � �( , [ ( , )] / [ ( ,... , ,0 5 1 1 h Y x x t U K x x mhi i j i ip� � � �� � � ... , , )])x ti jp � 1. Ïðè ïàðàáîëè÷íîñòè ýòî óñëîâèå ìîæåò íàðóøàòüñÿ, ïîýòîìó ðàññìîòðèì ñëó- ÷àé, êîãäà Re � 1 (U K x x mh x ti i i jp [ ( ,... , ,... , , )]� ��1 0� � ) ëèáî U K x xi i[ ( ,... ,� �1 � � �mh x ti jp� ,... , , )] 0.  ýòîì ñëó÷àå äëÿ êîýôôèöèåíòîâ (46) ïðîèçâîëüíîãî óðàâ- íåíèÿ ïîäñèñòåìû (19) ñïðàâåäëèâî E i� � � 0, C i� � � 0. Òîãäà ñâîéñòâà ðàçíîñòíîé ñõåìû (39)–(46) ñ êóñî÷íî-ïîñòîÿííûìè, âûðîæäàþùèìèñÿ êîýôôèöèåíòàìè ïàðà- áîëè÷íîñòè K � ñîâïàäàþò ñî ñâîéñòâàìè ðàçíîñòíîé ñõåìû (3) ñ íåâûðîæäàþùè- ìèñÿ êîýôôèöèåíòàìè ïàðàáîëè÷íîñòè èç [8]. Ïóñòü ( )� � � y i � 0, íàïðèìåð � � � � y c y ci i i i i i� � � � � � � �� � � � � �1 0. (52) Èç ôîðìóë ïðîãîíêè äëÿ � yi� èìååì ( ( ) )( ) ( )1 1 1� � � � � � ��C a E y c C y ci i i i i i i i� � �� � � � � � � � � � � � E a c b ci i i i i� � � � � � ( ) � � � � � � � � � ��( ) ( )y c C y yi i i i i� � � � �� � 1 � � � � � �� �E y y C a E yi i i i i i i� � � �� � � � � � � ( ) ( ( ) )( )1 11 1 � . Ðàññìàòðèâàÿ âñå âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ ( )� � � y i � �1 0, ( )� � � y i � �1 0 , ( )� � � y i � �1 0, êàê â [8] äëÿ ñãëàæèâàþùåãî îïåðàòîðà â ðàñùåïëåííîé ñõåìå äëÿ äâóìåðíîãî óðàâíåíèÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà, ïîëó÷àåì îöåíêó 0 2� � �( ) ( ~ ) (( ) )� � � �� � � �y O hi i , ãäå ~ �� — ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ, èìåþùàÿ ïîðÿäîê ìàëîñòè O h(( ) )� � 1 2 . Àíàëîãè÷íî ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé � � � � y c y ci i i i i i� � � � � � � �� � � � � �1 0. Îêîí÷àòåëüíàÿ îöåíêà äëÿ íåëèíåéíîãî ñãëàæèâàþùåãî îïåðàòîðà ( )� � � y i èìååò âèä |( ) | | ( ~ ) | (( ) )� � � �� � � �y O hi i� � 2 . (53) Îöåíêè ( ~ )�� �i äëÿ ñãëàæèâàþùèõ ôóíêöèîíàëîâ ( )� � � y i ðàçíîñòíûõ óðàâ- íåíèé ïîäñèñòåì (19), (21) ïîñòðîåíû ñ ïîìîùüþ ãëàäêîãî âîñïîëíåíèÿ ~( ,.. , , , ,.. , , )y x x t h hp p1 1 � , êîòîðîå àïïðîêñèìèðóåò ðàçíîñòíîå óñòîé÷èâîå ðåøåíèå y i i j p1 1 ... � çàäà÷è (39)–(42). Ïîýòîìó â ìàæîðàíòíûõ îöåíêàõ (50), (53) ( ) � �� �i � 0 ïðè ( ,.. , , )h hp1 0� � è ñîîòâåòñòâåííî |( ) |� � � y i � 0. Ïîëó÷åííûå îöåíêè äëÿ íåëèíåé- íûõ ñãëàæèâàþùèõ îïåðàòîðîâ áóäóò èñïîëüçîâàíû äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñõîäèìîñ- òè ðàçíîñòíîãî ðåøåíèÿ îáùåé çàäà÷è. ÑÕÎÄÈÌÎÑÒÜ ÐÀÇÍÎÑÒÍÎÃÎ ÐÅØÅÍÈß ÎÁÙÅÉ ÇÀÄÀ×È Êàæäîå óðàâíåíèå ïîäñèñòåìû (19) èëè (21) ñ íîìåðîì � ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñèñ- òåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ òðåõäèàãîíàëüíîé ìàòðèöåé B E A� ��� � 0 5, . Òðåõäèà- ãîíàëüíóþ ìàòðèöó B� ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ âåðõíåé äâóõäèà- ãîíàëüíîé S � è íèæíåé äâóõäèàãîíàëüíîé D� : B S D� � �� , ãäå ýëåìåíòû ( )s ij� � 0 òîëüêî äëÿ ( ; , , ),i j i j N� � � � �� � 0 ( ; , , , )i j i N j N� � � � � �� � � � �1 0 1 1 , ýëåìåíòû ( ) , , ( , , ), , , ( ,d i j i j N a i j i Ni j i� � � � � � � � �� � � � � � � � � � 1 0 1 1 � � � � � , , ), , . j N i j � � # $ % & % 0 1 0 äëÿ îñòàëüíûõ ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2 91 ãäå ai� — ñîîòâåòñòâóþùèå ïðîãîíî÷íûå êîýôôèöèåíòû äëÿ êàæäîé ðàçíîñòíîé çàäà÷è (ïîñêîëüêó ó ïðîãîíî÷íûõ êîýôôèöèåíòîâ ai� èíäåêñû i i� �� �1 1, ,... ïî îñòàëüíûì ïðîñòðàíñòâåííûì ïåðåìåííûì ôèêñèðîâàíû è âûñòóïàþò êàê ïàðà- ìåòðû, èõ çäåñü íå óêàçûâàåì). Èç îãðàíè÷åíèé (23), (47à), (47á) äëÿ ñõåìû (39)–(46) ñëåäóþò íåðàâåíñòâà: ( , ) ( max( ))( , )D y y a y y i i� � � � �1 , ( , ) ( max( )) ( , )D y D y a y y i i� � � � �1 2 , C C C C Ei i i� � � � � � ~ ( ( ~ ) )0 01 1 . Îòñþäà ïîëó÷àåì îöåíêè max( ) ~ i ia C � � 0 , D C E D C D C C� � �� � � � � � �� �( ~ ) , | | | | ( ~ ), | | | | ( ~ ) ~ 1 0 1 10 0 1 0 1 2 , ãäå ~ C0 — êîíñòàíòà èç (27à). Òîãäà ïðîöåäóðà ñãëàæèâàíèÿ èçìåíèò óðàâíåíèÿ ïîäñèñòåì (19) è (21). Åñëè çíà÷åíèå ñåòî÷íîé ôóíêöèè — ðåøåíèÿ çàäà÷è íà äàííîì øàãå àëãîðèòìà ðàñùåïëåíèÿ îáîçíà÷èòü �y, à èçâåñòíîå çíà÷åíèå äàííîé ôóíêöèè ñ ïðåäûäóùåãî øàãà — êàê y, òî ïðîöåäóðó ñãëàæèâàíèÿ íà êàæäîì øàãå àëãîðèòìà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå B y E A y S y� � � �� � � � �( , )0 5 � . (54) Òîãäà äëÿ ïîãðåøíîñòè � i i i i i ip p p y u 1 1 1... ... ...� � ðåøåíèÿ ðàçíîñòíîé çàäà÷è (19)–(21), (39)–(46), (54) (ñ ó÷åòîì ñãëàæèâàþùèõ îïåðàòîðîâ) ïîëó÷àåì óðàâíå- íèå � � ( , � ) � / ~ [ � � ( , � ) �� � � � �� � � � �T w T T r w u Tu w T u T � � � � 2 22 1 2 1r w T F w F T r w/ ~ � ( , ) � / ~]� � �2 21 2 1� � � � � �� � � � � �� � ( , � ) � ( )T y w y T r D y T D y p 1 1 1 1 1 1 12� � � �� � � � � � � 2 p � , (55) �T T p 1 1 � � � � � � � � � � � � � , �T Tp p 2 1 1 � � � � � � � � �� � � � � � , � � �T T T� 1 2 , ~ ( , )w w r� �1 � , �� � �y T D y D yp pp p p� � � � � � � � � �� � � � � � � ��� � � � � � � 1 1 1 1 1 1 . Ñ ó÷åòîì âûðàæåíèé (22), (23), (26), (27), ñïðàâåäëèâûõ äëÿ ñåòî÷íîé ôóíêöèè u i i j p1... , à òàêæå ñîîòíîøåíèÿ 1 1/ ~ ( , ) / ~w w r w� � � ðàññìîòðèì ðàçíîñòíîå âûðàæåíèå � � ( , � ) � / ~ � ( , ) � / ~u Tu w T u T r w T F w F T r w� � � � � � � 2 2 22 1 1 2 1� � � � ( )u E A A u� � � �2 2 2� � � � � � � � � �2 2 2 2� � � � � �( ) ( , ( ) )( ) / ~ ( , ) / ~E A F w E A u E A r w w F r w O � ( )�3 � (56) � � � � � � � �[ � ( , ) ] ( , )( , ) / ~ (u u Au F w u r w r w u u r w O � � 2 2 2 2 2� � � � � ��3 2) � , ãäå � � � � � � � � � � � � � � � �O h p 2 2 1 — ïîðÿäîê ìàëîñòè ðàçíîñòíîãî âûðàæåíèÿ (56). Èç ýòîé ôîðìóëû, ñ ó÷åòîì îäíîðîäíûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé, îöåíîê ïîãðåøíîñòè íåëè- íåéíûõ ñãëàæèâàþùèõ îïåðàòîðîâ (50), (53), ñëåäóåò àïðèîðíàÿ îöåíêà äëÿ ïî- ãðåøíîñòè ðàçíîñòíîãî ðåøåíèÿ �( )j�1 92 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2 | | | | exp( ( ~ � ))| | | | | | | |( ) ( ) ( )� � � � �j j jC pL� � � � �1 1 1 12 2 � �� � �2 22 1 1 ~ exp( � ) | | ~ | |( )C pL j p � �� � � � � �2 22 1 2 1 1 � � �� � L C C pL j p ~ ~ exp( � ) | | ~ | |( ) � � �� � �exp( ( ~ � ))| | | | | | | | | | ~( ) ( ) (2 21 1 1� � � � ��C pL Cj j j 1 1 ) | | �� � p , ãäå C C pL L C� �2 2 12 2 1 ~ exp( � )( ~ )� � . Îòñþäà ïîëó÷àåì îêîí÷àòåëüíóþ îöåíêó äëÿ �( )j ïðè ïðîèçâîëüíîì ÷åòíîì çíà÷åíèè j: | | | | exp( ( ~ � )( / ))| | | |( ) / � � � �j k k j C pL j k C � � � � �2 2 21 2 1 2 exp( ( ~ � )( / )) / 2 21 1 2 � C pL j k k j � � � � � (57) � � � � � | | ~ | | exp( ( ~ � )) | | | |( ) ( ) / � � �� � 2 1 1 2 1 2 2k p k k j T C pL 2 2 11 2 � ��� � � � � � � � � �� C k p k j | | ~ | |( ) / �� � . Ïîñêîëüêó îöåíêè (50), (53) èìåþò ïîðÿäîê ~ (( ) )� �� �� �O h 2 , à C O� �( )1 � â (57), èç îöåíêè (57) ñëåäóåò óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòü ðàçíîñòíîãî ðåøåíèÿ: | | | |� j � 0 ïðè ( / )h� �2 0� , ( ,.. , , )h hp1 0� � . Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìîæíî îáúåäèíèòü â òåîðåìå. Òåîðåìà 2. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 1. Ðàçíîñòíàÿ ñõåìà äâóõöèê- ëè÷åñêîãî ðàñùåïëåíèÿ (19)–(21) ñî ñãëàæèâàþùèìè îïåðàòîðàìè èç (39)–(46) ïðè îãðàíè÷åíèÿõ (47à), (47á), (51) ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâîé, ìîíîòîííîé è óñëîâíî ñõîäÿ- ùåéñÿ ïðè ( / )h� �2 0� äëÿ ( ,... , , )h hp1 0� � . Ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè ñõåìû ñîâïàäà- åò ñ ïîðÿäêîì àïïðîêñèìàöèè èñõîäíîé ñõåìû (28) è îöåíêàìè äëÿ ñãëàæèâàþùèõ îïåðàòîðîâ � � y (50), (53). Äëÿ ïîãðåøíîñòè ðàçíîñòíîãî ðåøåíèÿ ñïðàâåäëèâà àï- ðèîðíàÿ îöåíêà (57). ÐÅÇÓËÜÒÀÒÛ ×ÈÑËÅÍÍÛÕ ÐÀÑ×ÅÒΠÄëÿ ïðîâåäåíèÿ ÷èñëåííîãî àíàëèçà ïðèìåíèìîñòè ðàçðàáîòàííîé ðàçíîñòíîé ñõåìû ê ìîäåëèðîâàíèþ ïðîöåññîâ ïåðåíîñà è äèôôóçèè ðàññìîòðåíà çàäà÷à äëÿ äâóìåðíîãî óðàâíåíèÿ òóðáóëåíòíîé äèôôóçèè èç [8], ìîäåëèðóþùåãî ïîâî- ðîò è äèôôóçèþ â äâóìåðíîé îáëàñòè x1 50 300 �[ , ] , x2 300 300 �[ , ] , âîêðóã íó- ëåâîé òî÷êè, èìïóëüñà ñ ãëàäêèì ôðîíòîì, îïèñûâàåìûì ýëëèïñîèäàëüíîé ôóíêöèåé. Ïîâîðîò ïðîèñõîäèò ñ ÷àñòîòîé � 0 005, îáîðîòîâ â ñåêóíäó, ñ êîýô- ôèöèåíòàìè ñêîðîñòè � � 1 22� � x , � � 2 12� x . Êîýôôèöèåíòû äèôôóçèè: k x1 1� �exp ( )� , k x x x x 2 1 2 1 2 0 0 200 200 0 1 0 200 200 � � � , [ , ], [ , ] , , [ , ], [ , 0]. # $ & Êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèÿ (1): r x t( , ) � 1, g x t( , ) � 1.  ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ (4) q s t( , ) � 0. Çà âðåìÿ T � 50 íà÷àëüíûé èìïóëüñ ïåðåìåùàåòñÿ ïî êðóãó, â IV êâàä- ðàíòå, íà óãîë � / 2 (ñì. ðèñóíêè â [8]). Òî÷íîå ðåøåíèå çàäà÷è: u x x t x x t x x t x y t ( , , ) ( , , ), (( ( )) ( ( )) ) ( 1 2 1 2 1 0 2 2 0 2 � � � � � � / ) , , (( ( )) ( ( )) ) ( / ) , � � �0 1 0 2 2 0 2x x t x y t� � � � # $ % &% � �( , , ) , (cos( (( ( )) ( ( )) )) ),x x t x x t x y t1 2 1 0 2 2 0 22 5 1� � � � � x t t y t t0 0150 0 01 150 0 01 250( ) sin ( , ) , ( ) cos ( , ) , /� � � �� � � � 0. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2 93 Íà÷àëüíîå çíà÷åíèå: �( , ) ( , , )x x u x x1 2 1 2 0� . Ïðîâåäåíû ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ îòêëîíåíèé ÷èñëåííûõ ðåøåíèé îò àíàëèòè÷åñêîãî: 1) äëÿ íåÿâíîé íåëèíåéíîé ìîíîòîííîé äâóõñëîéíîé ñõåìû ñ èñïîëüçîâàíèåì ðàçíîñòíûõ îïåðàòîðîâ íàïðàâëåííûõ ðàçíîñòåé èç [1, 6] (ñõå- ìà I); 2) äëÿ íåÿâíîé íåëèíåéíîé ìîíîòîííîé ñõåìû (19)–(21) ñî ñãëàæèâàþùèìè îïåðàòîðàìè (39)–(46) (ñõåìà II). Îáå ñõåìû ïðèáëèçèòåëüíî ýêâèâàëåíòíû ñ òî÷êè çðåíèÿ ÷èñëà çàòðà÷èâàåìûõ îïåðàöèé, ïîñêîëüêó ïðèíàäëåæàò îäíîìó ñåìåéñòâó ðàçíîñòíûõ ñõåì. Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ïðèâåäåíû â òàáë. 1. Äëÿ àíàëèçà îòêëîíå- íèé èñïîëüçîâàëèñü îöåíêè: )1 1 2 1 1 1 1 21 � � � � � � � � � � � � � � �� | ( , , )| / ( *y u x x T N ik M i k k N i N | ( , , )| )* *u x x T i k1 2 , )2 1 2 1 2 � �u x x T y u x x T i k i k M i k ( , , ) / ( , , )* * * * * * , , )3 1 2 1 2 � �max | ( , , ) | / | ( , , )| , * * i k i k ik M i k u x x T y u x x T , ( , ) max | ( , , )|* * , x x u x x T i k i k i k1 2 1 2� arg . Çäåñü N * — êîëè÷åñòâî óçëîâ ïðîñòðàíñòâåííîé ñåòêè, ïîêðûâàþùèõ íîñèòåëü èìïóëüñíîé ðàçíîñòíîé ôóíêöèè y ik M , â êîòîðûõ y ik M � 0 (äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ïðèìåðà). Îöåíêà )1 õàðàêòåðèçóåò ñðåäíåå îòíîñèòåëüíîå îòêëîíåíèå ðåøåíèÿ ðàç- íîñòíîé çàäà÷è îò òî÷íîãî ðåøåíèÿ. Îöåíêà )2 õàðàêòåðèçóåò îòíîñèòåëüíîå îò- êëîíåíèå ðåøåíèÿ ðàçíîñòíîé çàäà÷è îò òî÷íîãî ðåøåíèÿ â òî÷êå ìàêñèìóìà è ïî- çâîëÿåò ñäåëàòü âûâîä î ïîãðåøíîñòè àìïëèòóäû ðàçíîñòíîãî ðåøåíèÿ. Îöåíêà )3 õàðàêòåðèçóåò ìàêñèìàëüíîå îòíîñèòåëüíîå îòêëîíåíèå ðåøåíèÿ ðàçíîñòíîé çàäà÷è îò òî÷íîãî ðåøåíèÿ íà ìíîæåñòâå óçëîâ ïðîñòðàíñòâåííîé ñåòêè. Ðàñ÷åòû ïðîâåäåíû íà ñãóùàþ- ùèõñÿ ñåòêàõ äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷å- íèé ðàçíîñòíûõ ÷èñåë Ðåéíîëüäñà äëÿ âòîðîãî ëîêàëüíî-îäíîìåðíîãî ó ð à â í å í è ÿ Re1 1 10 5� ( , [ ] /h Y � / [ ])U k1 1� . Çíà÷åíèÿ Re1 èçìåíÿ- ëèñü ñ ïîìîùüþ ÷èñëîâîãî ïàðàìåò- ðà � (ñì. òàáë. 1): Re1 50 80* � (äëÿ � � 0 001, ) , Re1 500 800* � (äëÿ � � 0 01, ), Re1 1010* (äëÿ � � 0 1, ).  òàáë. 1 èñïîëüçóþòñÿ áåçðàçìåð- íûå ïàðàìåòðû ñåòêè h h x* / �� �1 � h x2 / �, � �* /� T, ãäå �, ,h h1 2 — ÷èñëåííûå ïàðàìåòðû, �x � 300 — õà- ðàêòåðíûé ðàçìåð îáëàñòè íà ïëîñ- êîñòè. Ðåçóëüòàòû ìîäåëèðîâàíèÿ ïðî- öåññà êîíâåêöèè–äèôôóçèè ñ íåëî- êàëüíûì (èíòåãðàëüíûì) èñòî÷íèêîì äëÿ èìïóëüñíîé ôóíêöèè â äâóìåðíîé ïëîñêîñòè, ïðèâåäåííûå â òàáë. 1, ñâèäåòåëüñòâóþò î ñëåäóþùåì. 94 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2 Ò à á ë è ö à 1 . Çíà÷åíèÿ îöåíîê ïîãðåø- íîñòè ðàçíîñòíûõ ðåøåíèé � Íîìåð ñõåìû h * ,� 0 05, �� � 0 04, h * ,� 0 03, �* ,� 0 02 h * ,� 0 015, �* ,� 0 01 Îöåíêà ) 1 0,1 I 0,0401 0,0375 0,0336 II 0,0339 0,0216 0,0124 0,01 I 0,0400 0,0375 0,0335 II 0,0333 0,0211 0,0121 0,001 I 0,0390 0,0374 0,0334 II 0,0330 0,0209 0,0118 Îöåíêà ) 2 0,1 I 0,753 0,634 0,451 II 0,295 0,024 0,021 0,01 I 0,745 0,624 0,439 II 0,283 0,020 0,018 0,001 I 0,732 0,609 0,427 II 0,266 0,016 0,015 Îöåíêà ) 3 0,1 I 0,759 0,655 0,513 II 0,698 0,397 0,242 0,01 I 0,751 0,644 0,500 II 0,694 0,395 0,233 0,001 I 0,732 0,625 0,476 II 0,687 0,389 0,220 1. Îöåíêà óñðåäíåííîé îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ )1 äëÿ íåÿâíîé íåëèíåéíîé ìîíîòîííîé ñõåìû ðàñùåïëåíèÿ (19)–(21), (39)–(46) (ñõå- ìà II) â ñëó÷àå âûðîæäàþùåéñÿ äèôôóçèè óìåíüøàåòñÿ ïðèìåðíî â 2,7 ðàçà ïðè óìåíüøåíèè øàãîâ ðàçíîñòíîé ñåòêè â 3,3 ðàçà. Äëÿ ñõåìû I óìåíüøåíèå ïîãðåø- íîñòè ïðîèñõîäèò ïðèìåðíî â 1,2 ðàçà. Ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå ñðåäíåå îòíîñè- òåëüíîå îòêëîíåíèå ðàçíîñòíîãî ðåøåíèÿ îò òî÷íîãî äëÿ ñõåìû I ïðàêòè÷åñêè íå çàâèñèò îò óâåëè÷åíèÿ Re1 è ñîñòàâëÿåò ïðèáëèçèòåëüíî 3,7% îò òî÷íîãî ðåøåíèÿ. Äëÿ ñõåìû II, â ñëó÷àå áîëüøèõ çíà÷åíèé Re1, ïðè áåçðàçìåðíûõ ïàðàìåòðàõ h* ,� 0 015, �* ,� 0 01 ýòîò ïîêàçàòåëü ñîñòàâëÿåò 1,2% òî÷íîãî ðåøåíèÿ. 2. Îöåíêà îòíîñèòåëüíîãî îòêëîíåíèÿ ìàêñèìóìà èìïóëüñíîé ôóíêöèè ÷èñ- ëåííîãî ðåøåíèÿ îò àíàëèòè÷åñêîãî )2 äëÿ ñõåìû II óìåíüøàåòñÿ áîëåå ÷åì â 10 ðàç (ïðèáëèçèòåëüíî ñ 30% äî 2,5%) ïðè óìåíüøåíèè ïàðàìåòðîâ ñåòêè óæå â äâà ðàçà. Ïðè h* ,� 0 015, �* ,� 0 01 îòêëîíåíèå ðàçíîñòíîãî ðåøåíèÿ ñîñòàâëÿåò 1,5–2% òî÷íîãî ðåøåíèÿ. Äëÿ ñõåìû I äàííûé ïîêàçàòåëü óìåíüøàåòñÿ â 1,6 ðàçà ïðè óìåíüøåíèè ïàðàìåòðîâ ñåòêè â 3,3 ðàçà. Îòêëîíåíèå ïðèíèìàåò ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå 40% îò òî÷íîãî ðåøåíèÿ! Äàííàÿ îöåíêà íå çàâèñèò ñóùåñòâåííî îò çíà- ÷èòåëüíîãî óâåëè÷åíèÿ ðàçíîñòíîãî ÷èñëà Ðåéíîëüäñà äëÿ îáåèõ ñõåì. 3. Îöåíêà ìàêñèìàëüíîãî îòíîñèòåëüíîãî îòêëîíåíèÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ îò òî÷íîãî )3 äëÿ ñõåìû II óìåíüøàåòñÿ ïðèìåðíî â 2,8 ðàçà ïðè óìåíüøåíèè øàãîâ ðàçíîñòíîé ñåòêè â 3,3 ðàçà. Ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå )3 ïðè h* ,� 0 015, �* ,� 0 01ñî- ñòàâëÿåò 22%. Ýòà ïîãðåøíîñòü íàáëþäàåòñÿ íà ôðîíòå èìïóëüñà è ñâÿçàíà ñ áîëü- øèì ãðàäèåíòîì íà÷àëüíîé ôóíêöèè â òî÷êàõ äàííîé îáëàñòè. Äëÿ ñõåìû I îöåíêà )3 óìåíüøàåòñÿ ïðèìåðíî â 1,7 ðàçà. Ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå îòêëîíåíèÿ ðàçíîñ- òíîãî ðåøåíèÿ — 48% òî÷íîãî ðåøåíèÿ. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû äëÿ ñõåìû II ñâèäåòåëüñòâóþò î âûñîêîé ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè ê íóëþ îòíîñèòåëüíûõ îòêëîíåíèé åå ðàçíîñòíîãî ðåøåíèÿ îò òî÷íîãî (â äâà-ïÿòü ðàç áûñòðåå ïî ñðàâíåíèþ ñî ñõåìîé I) è âîçìîæíîñòüþ ïðàêòè÷åñêîãî èñïîëüçîâàíèÿ ñõåìû äëÿ ðàññìîòðåííîãî êëàññà çàäà÷ ïðè çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ ñåòêè h* ,� 0 01, �* ,� 0 01â ñëó÷àå áîëüøèõ çíà÷åíèé ðàçíîñòíîãî ÷èñëà Ðåéíîëüäñà è ïðè âûðîæäàþùåéñÿ ïàðàáîëè÷íîñòè. Ïðè ýòèõ çíà÷åíèÿõ ñåòêè ðàçíîñòíîå ðå- øåíèå â òî÷êå ìàêñèìóìà èìååò ïîãðåøíîñòü ïðèìåðíî 2%. Äàëüíåéøåå óìåíüøå- íèå ìàêñèìàëüíîãî îòêëîíåíèÿ ðàçíîñòíîãî ðåøåíèÿ îò òî÷íîãî, ïî-âèäèìîìó, âîçìîæíî ïðè áîëåå òî÷íîé àïïðîêñèìàöèè ôðîíòà èìïóëüñà çà ñ÷åò èñïîëüçîâà- íèÿ äèíàìè÷åñêè àäàïòèðóþùèõñÿ (íåðàâíîìåðíûõ) ñåòîê. Áîëåå ìåäëåííàÿ ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè ïîãðåøíîñòè ðàçíîñòíîãî ðåøåíèÿ äëÿ ñõåìû I îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ ðàçíîñòíîãî ÷èñëà Ðåéíî- ëüäñà è â ñëó÷àå ïîëíîãî âûðîæäåíèÿ äèôôóçèè ðàçíîñòíàÿ ñõåìà I, ïîñòðîåííàÿ ñ ïîìîùüþ îïåðàòîðîâ íàïðàâëåííûõ ðàçíîñòåé, èìååò ïåðâûé ïîðÿäîê àïïðîêñè- ìàöèè ïî ïðîñòðàíñòâåííûì ïåðåìåííûì. Äëÿ ñõåì ïåðâîãî ïîðÿäêà õàðàêòåðíî çíà÷èòåëüíîå «ðàçìûâàíèå» èìïóëüñíîé ôóíêöèè, äî 50% åå àìïëèòóäû (ñì. ãðà- ôèêè â [5, 6, 8]). Ïîâûøåíèå òî÷íîñòè ðàçíîñòíîãî ðåøåíèÿ çà ñ÷åò äàëüíåéøåãî óìåíüøåíèÿ ïàðàìåòðîâ ðàçíîñòíîé ñåòêè ïðèâîäèò ê çíà÷èòåëüíîìó ðîñòó îáúåìîâ âû÷èñëåíèé è ñóùåñòâåííî îãðàíè÷èâàåò èñïîëüçîâàíèå äàííîé ñõåìû â ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷àõ. ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Ïðîâåäåííûå ðàñ÷åòû äåìîíñòðèðóþò ýôôåêòèâíîñòü ïðèìåíåíèÿ íà ïðàêòèêå ðàçðàáîòàííîé íåëèíåéíîé ìîíîòîííîé ðàçíîñòíîé ñõåìû ñ òî÷êè çðåíèÿ òî÷- íîñòè, ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè ðàçíîñòíîãî ðåøåíèÿ íà ñãóùàþùèõñÿ ñåòêàõ è ÷èñ- ëà çàòðà÷èâàåìûõ îïåðàöèé âû÷èñëèòåëüíîãî àëãîðèòìà äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2 95 íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ ìíîãîìåðíûõ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà â ñëó÷àå âûðîæäàþùåéñÿ ïàðàáîëè÷íîñòè âíóòðè çàìêíó- òûõ îãðàíè÷åííûõ ïîäîáëàñòåé. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. À ê è ì å í ê î  .  . Ïðèíöèï ìàêñèìóìà è íåëèíåéíûå ìîíîòîííûå ñõåìû äëÿ óðàâíåíèé ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè — 1999. — 39, ¹ 4. — Ñ. 618–629. 2. À ê è ì å í ê î  .  . Íåëèíåéíûå ìîíîòîííûå ñõåìû ïîâûøåííîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè äëÿ óðàâíåíèé ïåðåíîñà // Òàì æå. — 1999. — 39, ¹ 5. — Ñ. 838–849. 3. À ê è ì å í ê î  .  . , Í à ê î í å ÷ í û é À . à . , Ò ð î ô è ì ÷ ó ê Î . Þ . Ìîäåëü îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ äëÿ ñèñòåìû èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ âûðîæäàþùåéñÿ ïàðàáîëè÷- íîñòüþ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2007. — ¹ 6. — Ñ. 90–102. 4. À ê è ì å í ê î  .  . , Í à ê î í å ÷ í û é À . à . Ìîäåëè îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ïðîöåññàìè ìåæðåãèîíàëüíîé ìèãðàöèè â óñëîâèÿõ ðèñêîâ // Òàì æå. — 2006. — ¹ 3. — Ñ. 107–122. 5. À ê è ì å í ê î  .  . Ìîäåëèðîâàíèå äâóõìåðíûõ ïðîöåññîâ ïåðåíîñà ïðè ïîìîùè íåëèíåéíûõ ìîíîòîííûõ ñõåì âòîðîãî ïîðÿäêà // Òàì æå. — 2003. — ¹ 6. — Ñ. 75–93. 6. À ê è ì å í ê î  .  . Î ïðèìåíåíèè íåëèíåéíûõ ìîíîòîííûõ ñõåì ïîâûøåííîãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè â ìîäåëüíîé çàäà÷å ðàñïðîñòðàíåíèÿ àòìîñôåðíîé ïðèìåñè // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 1999. — ¹ 3. — Ñ. 98–110. 7. À ê è ì å í ê î  .  . , Ó ë ü ø è í  . À . Î ïîñòðîåíèè ìîíîòîííûõ ðàçíîñòíûõ ñõåì äëÿ óðàâíåíèé ýëëèïòè÷åñêîãî è ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïîâ ìåòîäàìè ëèíåéíîé ðåãóëÿðèçàöèè // Ìàò. ìîäåëèðîâàíèå. — 1998. — 10, ¹ 2. — Ñ. 79–88. 8. À ê è ì å í ê î  .  . Íåëèíåéíîå ìîíîòîííîå ñãëàæèâàíèå íåÿâíîé ðàçíîñòíîé ñõåìû äëÿ óðàâíåíèÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 2000. — ¹ 3. — Ñ. 98–106. 9. Ï ð ó ñ î â  . À . , Ä î ð î ø å í ê î À . Å . , × å ð í û ø Ð . È . , à ó ê Ë . Í . Ýôôåêòèâíàÿ ðàçíîñòíàÿ ñõåìà ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è êîíâåêòèâíîé äèôôóçèè // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2007. — ¹ 3. — Ñ. 64–76. 10. Ô å ð ä è ã à ë î â Ë . Þ . ×èñëåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ èäåàëüíîé æèäêîñòè, èìåþùåé çàâèõðåííîñòü, ïðîïîðöèîíàëüíóþ ôóíêöèè òîêà // Òàì æå. — 2004. — ¹ 4. — Ñ. 176–183. 11. Ì à ð ÷ ó ê à . È . Ìåòîäû ðàñùåïëåíèÿ. — Ì.: Íàóêà, 1988. — 264 ñ. 12. Ñ à ì à ð ñ ê è é À . À . ,  à á è ù å â è ÷ Ï . Í . ×èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ êîíâåê- öèè–äèôôóçèè. — Ì.: ÓÐÑÑ, 2004. — 246 ñ. 13. Ë à ä û æ å í ñ ê à ÿ Î . À . , Ñ î ë î í í è ê î â Î . À . , Ó ð à ë ü ö å â à Í . Í . Ëèíåéíûå è êâàçè- ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà. — Ì.: Íàóêà, 1967. — 736 ñ. 14. Ñ à ì à ð ñ ê è é À . À . Òåîðèÿ ðàçíîñòíûõ ñõåì. — Ì.: Íàóêà, 1989. — 616 ñ. 15.  å ð ë à í ü À . Ô . , Ñ è ç è ê î â  . Ñ . Èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ: ìåòîäû, àëãîðèòìû, ïðîãðàììû. Ê.: Íàóê. äóìêà, 1986. — 544 ñ. Ïîñòóïèëà 19.09.2008 96 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2

Схожі ресурси