Интервальное оценивание альтернатив в задачах принятия решений
Побудовано інтервальні математичні моделі задач прийняття рішень в умовах інтервальної невизначеності. Для розв’язання задач, вихідні дані яких задані в інтервальному вигляді, запропоновано модифіковані методи на базі детермінованих методів прийняття рішень та інтервального аналізу. The article cons...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Datum: | 2009 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2009
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44347 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Интервальное оценивание альтернатив в задачах принятия решений / И.В. Гребенник, Т.Е. Романова, С.Б. Шеховцов // Кибернетика и системный анализ. — 2009. — № 2. — С. 106-115. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860092319778209792 |
|---|---|
| author | Гребенник, И.В. Романова, Т.Е. Шеховцов, С.Б. |
| author_facet | Гребенник, И.В. Романова, Т.Е. Шеховцов, С.Б. |
| citation_txt | Интервальное оценивание альтернатив в задачах принятия решений / И.В. Гребенник, Т.Е. Романова, С.Б. Шеховцов // Кибернетика и системный анализ. — 2009. — № 2. — С. 106-115. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Побудовано інтервальні математичні моделі задач прийняття рішень в умовах інтервальної невизначеності. Для розв’язання задач, вихідні дані яких задані в інтервальному вигляді, запропоновано модифіковані методи на базі детермінованих методів прийняття рішень та інтервального аналізу.
The article considers interval models of decision-making problems under interval uncertainty. The solution approach for realization of the models is provided based on deterministic methods of decision-making and interval analysis.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:23:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.81
È.Â. ÃÐÅÁÅÍÍÈÊ, Ò.Å. ÐÎÌÀÍÎÂÀ, Ñ.Á. ØÅÕÎÂÖÎÂ
ÈÍÒÅÐÂÀËÜÍÎÅ ÎÖÅÍÈÂÀÍÈÅ ÀËÜÒÅÐÍÀÒÈÂ
 ÇÀÄÀ×ÀÕ ÏÐÈÍßÒÈß ÐÅØÅÍÈÉ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: èíòåðâàëüíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü, ïðèíÿòèå ðåøåíèé,
ìíîãîôàêòîðíûå èíòåðâàëüíûå îöåíêè.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ñèñòåìû ïîääåðæêè ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé èñïîëüçóþòñÿ âî ìíîãèõ íàó÷íûõ è ïðè-
êëàäíûõ çàäà÷àõ. Îñíîâó ìàòåìàòè÷åñêîãî îáåñïå÷åíèÿ òàêèõ ñèñòåì ñîñòàâëÿþò
ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè è ìåòîäû ðåøåíèÿ ðàçëè÷íûõ êëàññîâ çàäà÷ ïðèíÿòèÿ
ðåøåíèé [1]. Íà ïðàêòèêå çíà÷èòåëüíóþ ÷àñòü ðåøåíèé ïðèõîäèòñÿ ïðèíèìàòü
â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè. Ýòà ïðîáëåìà àêòóàëüíà äëÿ îïòèìèçàöèîííûõ çà-
äà÷, ñâÿçàííûõ ñ ïðåîáðàçîâàíèåì ãåîìåòðè÷åñêîé èíôîðìàöèè, â òîì ÷èñëå çà-
äà÷ óïàêîâêè, ðàñêðîÿ è ïîêðûòèÿ [2], çàäà÷ öåëî÷èñëåííîãî ïðîãðàììèðîâà-
íèÿ [3] è äð.
Ñóùåñòâóþò ðàçëè÷íûå ìåòîäû ó÷åòà íåîïðåäåëåííîñòè ïðè ìàòåìàòè÷åñêîì
ìîäåëèðîâàíèè çàäà÷ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé [3–5]. Â äàííîì èññëåäîâàíèè ñ öåëüþ
ó÷åòà óñëîâèé íåîïðåäåëåííîñòè èñïîëüçóþòñÿ ìåòîäû èíòåðâàëüíîãî àíàëèçà [6].
Öåëü íàñòîÿùåé ñòàòüè — ïðèìåíåíèå èçâåñòíûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ äåòåðìè-
íèðîâàííûõ çàäà÷ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé â ñëó÷àå èíòåðâàëüíîé íåîïðåäåëåííîñòè.
Çäåñü è äàëåå ïîä èíòåðâàëüíîé íåîïðåäåëåííîñòüþ ïîíèìàåòñÿ ñèòóàöèÿ, êîãäà èñ-
õîäíûå äàííûå çàäà÷è ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé çàäàíû â èíòåðâàëüíîì âèäå.
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Ïîëàãàåì, ÷òî çíà÷åíèÿ êðèòåðèåâ { }k k kn1 2, ,... , îïðåäåëåíû ñ òî÷íîñòüþ äî íå-
êîòîðûõ èíòåðâàëîâ [ , ]a b Ri i � 1, i J nn� �{ }1 2, ,... , . Íåîáõîäèìî íàéòè ðåøåíèå
x X0 � , ëó÷øåå ïî âñåì çàäàííûì êðèòåðèÿì â óñëîâèÿõ èíòåðâàëüíîé íåîïðåäå-
ëåííîñòè.
Ñ öåëüþ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ äàííîé çàäà÷è âîñïîëüçóåìñÿ ýëå-
ìåíòàìè òåîðèè èíòåðâàëüíîãî àíàëèçà.
Ïóñòü { }k k k1 2( ), ( ),... , ( )x x xn — ìíîæåñòâî èíòåðâàëüíûõ îòîáðàæåíèé [6]
âèäà k E I Rsi iX: � � , i J n� . Çäåñü I Rs � �I R I Rs s — ïðîñòðàíñòâî öåíòðèðî-
âàííûõ èíòåðâàëîâ, ãäå
I R X x x
a b
R
b a
R a b Rs x x� � � � � � �
� �
� ��
�
�
�
�
, , , [ , ]� �
2 2
1 1 1 ,
I R X x X I Rs x s� � � � �
� �� � �{ }, |� , E I Rsi x iX x R� � � � � �{ }: , | |1 � � ,
çäåñü � i — âåðõíÿÿ îöåíêà «íåîïðåäåëåííîñòè» çàäàíèÿ êðèòåðèÿ k xi ( ) . Òîãäà
çàäà÷ó ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé â óñëîâèÿõ èíòåðâàëüíîé íåîïðåäåëåííîñòè ìîæíî
ñôîðìóëèðîâàòü â âèäå îïòèìèçàöèîííîé çàäà÷è
x x x x
x X
n
0
1 2�
�
arg ( ), ( ),... , ( )extr { }k k k , (1)
ãäå ýêñòðåìóì ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå îòíîøåíèÿ ïîðÿäêà è ñïîñîáà îïðåäåëåíèÿ
ìàêñèìóìà è ìèíèìóìà â ïðîñòðàíñòâå I Rs .
106 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2
© È.Â. Ãðåáåííèê, Ò.Å. Ðîìàíîâà, Ñ.Á. Øåõîâöîâ, 2009
Çàìå÷àíèå 1.  ñëó÷àå, êîãäà äëÿ âñåõ k i i k xx k x
i
( ) ( ), ( )� � �� âûïîëíÿåòñÿ ñî-
îòíîøåíèå � k xi ( ) � 0, çàäà÷à (1) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äåòåðìèíèðîâàííóþ ìíîãîêðè-
òåðèàëüíóþ çàäà÷ó ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé.
Îòíîøåíèå ïîðÿäêà â ïðîñòðàíñòâå I Rs ââîäèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì [6]:
�� � � � � �X x x, � I Rs , �� � � � � �Y y y, � I Rs ,
( ) (( ) ( ) ( )) ,
( ) (( ) (
� � � � � � � � � � �
� � � � � � � �
X Y x y x y
X Y x y
x y� �
x y x y� � �) ( )) ,� �
(2)
( ) (( ) ( ))� � � � � � � � �X Y x y x y� � .
Íà îñíîâå (2) ìèíèìóì èç n èíòåðâàëüíûõ ÷èñåë � � � � � �Z Z Zn1 2, , ... , îïðåäåëÿ-
åòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
� � � � � � � � ��Z Z Z Znmin , , ,{ }1 2 � , (3)
çäåñü
� � � �� � �
�
Z z z
i J
z
n
i
, min� � , åñëè z z z zn1 2� � � � �� ,
� � � � � � �� �
�
Z z z z i J j Ji
i J
i z j n nj
n
i j
min , , ,� , åñëè z z i J j ki i kj k
� � �, , ,
� � � � � �� �
�
�
�
Z z z
i J
i z z
k J
z
n
i j
r
ik
min , min� � � , åñëè z z z zi i ir1 2
� � � � �� ,
{z } {z }i i i nz z z z r n
r1 2 1 2 1, , ,� � � � � � �� � .
Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ìàêñèìóì èç n èíòåðâàëîâ. Äàííûé ïîäõîä ê îïðå-
äåëåíèþ ìèíèìóìà (ìàêñèìóìà) ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ è íà ñëó÷àé áåñêîíå÷íîãî ìíî-
æåñòâà öåíòðèðîâàííûõ èíòåðâàëîâ.
ÀÍÀËÈÇ ÎÑÎÁÅÍÍÎÑÒÅÉ ÈÍÒÅÐÂÀËÜÍÎÉ ÇÀÄÀ×È
Çàäà÷å ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé â óñëîâèÿõ èíòåðâàëüíîé íåîïðåäåëåííîñòè âèäà (1)
ïðèñóùè ìíîãèå îñîáåííîñòè äåòåðìèíèðîâàííûõ çàäà÷ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé.
Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (1) ïðåäëàãàåòñÿ ïîñòðîåíèå è èñïîëüçîâàíèå èíòåðâàëü-
íûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé, ðåàëèçàöèÿ êîòîðûõ îñíîâàíà íà ïðèìåíåíèè èçâåñò-
íûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ìíîãîêðèòåðèàëüíûõ çàäà÷ ïðè k X Ri : � 1, ìîäèôèöèðîâàí-
íûõ äëÿ ñëó÷àÿ èíòåðâàëüíûõ çíà÷åíèé ÷àñòíûõ êðèòåðèåâ k i x( ) â I Rs .
Ïðè ðåøåíèè ìíîãîêðèòåðèàëüíûõ çàäà÷ â ðÿäå ñëó÷àåâ èç âû÷èñëèòåëüíûõ ñî-
îáðàæåíèé öåëåñîîáðàçíî âûäåëåíèå èç ìíîæåñòâà àëüòåðíàòèâ îáëàñòè êîìïðîìèñ-
ñîâ. Ðàññìîòðèì èíòåðâàëüíûå ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè îïðåäåëåíèÿ îáëàñòè êîìïðî-
ìèññîâ X c íà ìíîæåñòâå äîïóñòèìûõ ðåøåíèé X . Åñëè ìíîæåñòâî X äèñêðåòíî è ñî-
äåðæèò íåáîëüøîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ, òî äëÿ ïîñòðîåíèÿ îáëàñòè êîìïðîìèññîâ X c
èñïîëüçóåòñÿ ïîïàðíîå ñðàâíåíèå àëüòåðíàòèâ x X� ïî èíòåðâàëüíûì îöåíêàì.
Äëÿ ëþáîãî ðåøåíèÿ x X� çàäàäèì îòîáðàæåíèå f Y: X � òàêîå, ÷òî
f Y( ) ( , )x Y Y Yn� � � � � �� � � �1 2 � , (4)
ãäå � � � �Y xi i
jk I Rs( ) , i J n� . Òîãäà îáðàçîì ìíîæåñòâà X áóäåò ìíîæåñòâî
Y I R� s
n
, ãäå I R I R I Rs ss
n
n
� � ��
� ��� ���
— n -ìåðíîå èíòåðâàëüíîå ïðîñòðàíñòâî [8].
Èíòåðâàëüíîå çàäàíèå êðèòåðèåâ â çàäà÷å (1) ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü ñëåäó-
þùèì îáðàçîì.
Ïóñòü X — ìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ ðåøåíèé, êàæäîå èç êîòîðûõ îöåíèâàåòñÿ
ìíîæåñòâîì êðèòåðèåâ { }k x k x k xn1 2( ), ( ),... , ( ) , k x Ri ( )� 1, i J n� . Ïîëàãàåì, ÷òî êî-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2 107
ëè÷åñòâî àëüòåðíàòèâ â ìíîæåñòâå X äîñòàòî÷íî âåëèêî. Íåîáõîäèìî íàéòè ðåøå-
íèå x X0 � , äîñòàâëÿþùåå ýêñòðåìàëüíûå çíà÷åíèÿ âñåì çàäàííûì êðèòåðèÿì:
x k x k x k x
x X
n
0
1 2�
�
arg ( ), ( ),... , ( )extr { }. (5)
Êàê èçâåñòíî, çàäà÷à (5) — êëàññè÷åñêàÿ çàäà÷à ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé â óñëîâèÿõ
îïðåäåëåííîñòè ïî ìíîæåñòâó êðèòåðèåâ { }k x k x k xn1 2( ), ( ),... , ( ) .
Âûïîëíèì ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà X ñëåäóþùèì îáðàçîì. Îáîçíà÷èì
� �
�
k k xi
x X
iarg min ( ), �� �
�
k k xi
x X
iarg max ( ), m
k k
i
i i
i
�
�
��
�
,
ãäå �i — øàã ðàçáèåíèÿ äëÿ çíà÷åíèé êðèòåðèÿ k xi ( ), i J nn� �{ }1 2, ,... , . Çàäà-
äèì íà ìíîæåñòâå X áèíàðíîå îòíîøåíèå � âèäà
� � � � � � x y X x y k x k k k y k ki i
j
i
j
i i
j
i
j, (( ( ) [ , )) ( ( ) [ , ))� 1 1 ,
j m i J k x k k k yi n i i
m
i
m
i
i i�
� � � � �
0 1 1
1
, ,... , , ( ( ) [ , ]) ( ( ) [k k
i
m
i
mi i
1
, ]). (6)
Çäåñü k j
i
j
i� � � , j m i Ji n� �0 1, ,... , , .
Òåîðåìà 1. Îòíîøåíèå � âèäà (6) ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè íà
ìíîæåñòâå X .
Ñïðàâåäëèâîñòü ýòîãî ôàêòà íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç ñïîñîáà ïîñòðîåíèÿ
ðàçáèåíèÿ ìíîæåñòâà X . Âñå ýëåìåíòû x X� , äëÿ êîòîðûõ ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøå-
íèå (6), îáðàçóþò êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè [ ]x . Ìíîæåñòâî âñåõ êëàññîâ ýêâèâà-
ëåíòíîñòè [ ]x ñîñòàâëÿåò ôàêòîð-ìíîæåñòâî X X� �� / ìíîæåñòâà X ïî îòíîøå-
íèþ �, ïðè ýòîì card X mi
i
n
� �
�
�
1
.
Êàæäîìó êëàññó ýêâèâàëåíòíîñòè [ ]x X� � ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå n-ìåðíûé
ýëåìåíò ïðîñòðàíñòâà I Rs
n âèäà
x � � � � �� � � �( , )X X X n1 2 � . (7)
Êàê ñëåäóåò èç ðàçáèåíèÿ ìíîæåñòâà X è îïðåäåëåíèÿ ðàâåíñòâà ýëåìåíòîâ
â èíòåðâàëüíîì ïðîñòðàíñòâå, êàæäîìó êëàññó ýêâèâàëåíòíîñòè [ ]x X� � áóäåò ñî-
îòâåòñòâîâàòü åäèíñòâåííûé èíòåðâàëüíûé ýëåìåíò x âèäà (7). Îáîçíà÷èì X ìíî-
æåñòâî âñåõ èíòåðâàëüíûõ ýëåìåíòîâ âèäà (7).
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó âûáîðà íàèëó÷øåãî èíòåðâàëüíîãî ýëåìåíòà x�X êàê çà-
äà÷ó ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé ïî ìíîæåñòâó êðèòåðèåâ. Ñ ó÷åòîì ââåäåííûõ îáîçíà÷åíèé
îñóùåñòâèì ïåðåõîä îò ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè çàäà÷è (5) ê èíòåðâàëüíîé ìàòåìà-
òè÷åñêîé ìîäåëè ñëåäóþùåãî âèäà:
x x x x
x
0
1 2�
�
arg ( ), ( ),... , ( )extr { }
X
k k k n . (8)
Çàìå÷àíèå 2.  ñëó÷àå, êîãäà äëÿ âñåõ k i i kk
i
( ) ( ), ( )x x
x
� � �� âûïîëíÿåòñÿ ñî-
îòíîøåíèå � ki ( )x
� 0, çàäà÷à (8) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äåòåðìèíèðîâàííóþ ìíîãîêðè-
òåðèàëüíóþ çàäà÷ó ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé.
Çàìå÷àíèå 3. Ìîäåëü (8) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îáîáùåíèå ìîäåëè (5) â
ñìûñëå ïðèíàäëåæíîñòè êàæäîé àëüòåðíàòèâû x X� îäíîìó èç êëàññîâ ýêâèâàëåí-
òíîñòè [ ]x X� � .
Çàäà÷å (8) ïðèñóùè ìíîãèå îñîáåííîñòè äåòåðìèíèðîâàííûõ çàäà÷ ïðèíÿòèÿ
ðåøåíèé.
Ðàññìîòðèì èíòåðâàëüíûå ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè îïðåäåëåíèÿ îáëàñòè êîìï-
ðîìèññîâ Xc íà ìíîæåñòâå äîïóñòèìûõ ðåøåíèé X. Åñëè ìíîæåñòâî X äèñêðåòíî
108 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2
è ñîäåðæèò íåáîëüøîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ, òî äëÿ ïîñòðîåíèÿ îáëàñòè êîìïðîìèññîâ
Xc èñïîëüçóåòñÿ ïîïàðíîå ñðàâíåíèå àëüòåðíàòèâ x�X ïî èíòåðâàëüíûì îöåíêàì.
Çàìåòèì, ÷òî X c â îáùåì ñëó÷àå íå ïðèíàäëåæèò Xc .
ÎÁËÀÑÒÜ ÊÎÌÏÐÎÌÈÑÑΠÄËß ÊÎÍÅ×ÍÎÃÎ ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ X
Ïîñòðîèì îáëàñòü êîìïðîìèññîâ Xc . Îñíîâó àëãîðèòìà ñîñòàâëÿåò ïîïàðíîå
ñðàâíåíèå ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà X ïî êàæäîìó èç êðèòåðèåâ k k k1 2, � �� n íà
îñíîâå ñîîòíîøåíèÿ (5).
Àëãîðèòì 1. Ïîñòðîåíèå îáëàñòè êîìïðîìèññîâ Xc äëÿ êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà
àëüòåðíàòèâ X .
1. Äëÿ âñåõ p q J n, � , p q� , âûáðàòü àëüòåðíàòèâû x x
p q, �X.
2. Äëÿ âñåõ i J n� ñðàâíèòü k i
p( )x è k i
q( )x .
Åñëè k ki
p
i
q( ) ( )x x� äëÿ âñåõ i J n� , òî àëüòåðíàòèâà x
q äîìèíèðóåò àëü-
òåðíàòèâó x
p.
Åñëè k ki
p
i
q( ) ( )x x� äëÿ âñåõ i J n� , òî àëüòåðíàòèâà x
p äîìèíèðóåò àëü-
òåðíàòèâó x
q .
针֌ x x
p q, �X íåñðàâíèìû, ò.å. ñóùåñòâóþò òàêèå i i J n1 2, � , ÷òî k i
p
1
( )x �
� k i
q
1
( )x è k ki
p
i
q
2 2
( ) ( )x x� èëè k ki
p
i
q
1 1
( ) ( )x x� è k ki
p
i
q
2 2
( ) ( )x x� , è âû-
âîä î äîìèíèðîâàíèè ýëåìåíòîâ x x
p q, �X ñäåëàòü íåëüçÿ.
Çäåñü ñèìâîë � îçíà÷àåò ïðåäïî÷òåíèå íà ìíîæåñòâå � çíà÷åíèé êðèòåðèåâ.
 ÷àñòíîñòè, êîãäà � I Rs , òî k ki
p
i
q( ) ( )x x� îçíà÷àåò, ÷òî k ki
p
i
q( ) ( )x x� ,
åñëè êðèòåðèé k i ìàêñèìèçèðóåòñÿ, è k ki
p
i
q( ) < ( )x x â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Ñîîò-
íîøåíèå k ki
p
i
q( ) ( )x x! îçíà÷àåò, ÷òî k ki
p
i
q( ) ( )x x� .
3. Ñôîðìèðîâàòü îáëàñòü êîìïðîìèññîâ X Xc � êàê ìíîæåñòâî âñåõ íåäîìè-
íèðóåìûõ àëüòåðíàòèâ ïî ðåçóëüòàòàì ñðàâíåíèÿ ýëåìåíòîâ x x
p q, �X,
p m�
1 2 1, ,... , , q m� 2,... , , ïî âñåì êðèòåðèÿì k Ki � , i J n� .
Âðåìåííàÿ ñëîæíîñòü àëãîðèòìà 1 èìååò îöåíêó � �
� �
n m m( )1
2
.
Ïî àíàëîãèè ñ ïðèáëèæåííîé îáëàñòüþ êîìïðîìèññîâ â äåòåðìèíèðîâàííîì
ñëó÷àå [7], êîãäà îïðåäåëèòü îáëàñòü êîìïðîìèññîâ íà êîíòèíóàëüíîì ìíîæåñòâå
X äîñòàòî÷íî ñëîæíî èëè êîãäà ìîùíîñòü êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà X è ìíîæåñòâà
êðèòåðèåâ äîñòàòî÷íî âåëèêà, öåëåñîîáðàçíî ñòðîèòü èíòåðâàëüíóþ ïðèáëèæåí-
íóþ îáëàñòü êîìïðîìèññîâ
~
Xc òàêóþ, ÷òî X X Xc c" "
~
.
Ïîñòðîåíèå îáëàñòè
~
Xc îñíîâàíî íà ðåøåíèè çàäà÷ îïòèìèçàöèè k i ( )x íà ìíî-
æåñòâå X. Ñóòü ðåøåíèÿ çàäà÷ îïòèìèçàöèè ñ èíòåðâàëüíûìè ôóíêöèÿìè öåëè ñî-
ñòîèò â óìåíüøåíèè äèàìåòðà (ðàäèóñà) èíòåðâàëà — çíà÷åíèÿ ôóíêöèè öåëè. Óêà-
çàííîå ñâîéñòâî ìîæåò áûòü ó÷òåíî â ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ çàäà÷ ìèíèìèçàöèè íà
îñíîâå ñîîòíîøåíèé (5), (6). Äëÿ ïåðåõîäà ê çàäà÷àì ìèíèìèçàöèè èíòåðâàëüíûõ
ôóíêöèé ââåäåì èíòåðâàëüíûå îòîáðàæåíèÿ ïîëåçíîñòè pi ( )x ÷àñòíûõ êðèòåðèåâ
k Ki � , i J n� , çàäà÷è (8) ñ öåëüþ íîðìàëèçàöèè èíòåðâàëüíûõ êðèòåðèåâ, ñëåäóÿ [7].
Èíòåðâàëüíîå îòîáðàæåíèå ïîëåçíîñòè pi ( )x ÷àñòíîãî êðèòåðèÿ k i ( )x äîëæíî
óäîâëåòâîðÿòü ñëåäóþùèì òðåáîâàíèÿì:
1) Y p p ( ) X
i i i pi
� � � � � � � �{ }( ) | , , ,x x x0 0 1 � ;
2) pi ( )x èíâàðèàíòíî ðàçìåðíîñòè ÷àñòíîãî êðèòåðèÿ k i ( )x ;
3) pi ( )x èíâàðèàíòíî âèäó ýêñòðåìóìà ÷àñòíîãî êðèòåðèÿ k i ( )x .
Ïîñëåäíåå òðåáîâàíèå îçíà÷àåò, ÷òî íåçàâèñèìî îò âèäà ýêñòðåìóìà (ìèíèìóì
èëè ìàêñèìóì) ÷àñòíîãî êðèòåðèÿ k i ( )x åãî íàèëó÷øåìó çíà÷åíèþ íà ìíîæåñòâå X
äîëæåí ñîîòâåòñòâîâàòü ìàêñèìàëüíûé ( p
i pi
( ) ,x � � �1 � ), à íàèõóäøåìó — ìèíèìàëü-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2 109
íûé ( p
i
( ) ,x � � �0 0 ) ðåçóëüòàò îòîáðàæåíèÿ pi ( )x . Çäåñü � pi
îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðàäèóñ
èíòåðâàëà, çàäàþùåãî ìàêñèìàëüíóþ ïîëåçíîñòü ðåøåíèÿ x�X, ñîîòâåòñòâóþùèé � i .
Óêàçàííûì òðåáîâàíèÿì îòâå÷àåò èíòåðâàëüíîå îòîáðàæåíèå âèäà
p ( )
k k
k k
i
i i
i i
i
x
x
�
#
$
%
%
&
'
(
(
( )
�
, (9)
ãäå k i ( )x — çíà÷åíèå ÷àñòíîãî êðèòåðèÿ, k ki i
, — ñîîòâåòñòâåííî íàèëó÷øåå
è íàèõóäøåå çíà÷åíèÿ ÷àñòíîãî êðèòåðèÿ k i ( )x íà îáëàñòè äîïóñòèìûõ ðåøåíèé
x�X, ïðè ýòîì
k
k k
k k
X
X
i
i i
i i
�
�
�
�max ( ), ( ) max,
min ( ), (
x
x
x x
x x
åñëè
åñëè ) min;�
�
�
)
)
k
k k
k k
X
X
i
i i
i i
�
�
�
�min ( ), ( ) max,
max ( ), (
x
x
x x
x x
åñëè
åñëè ) min;�
�
�
)
)
� i R� 1 îïðåäåëÿåò õàðàêòåð íåëèíåéíîñòè ôóíêöèè ïîëåçíîñòè pi ( )x â äåòåð-
ìèíèðîâàííîì ñëó÷àå [7], k i
— èíòåðâàë, ñîïðÿæåííûé èíòåðâàëó k i
[6].
Ðàññìîòðèì èíòåðâàëüíîå îòîáðàæåíèå � ( )pi x ïîòåðè ïîëåçíîñòè ÷àñòíîãî êðè-
òåðèÿ k Ki � êàê � ( ) , ( )p pi p ii
x x� � �
1 � , ãäå pi ( )x — îòîáðàæåíèå, ñîïðÿæåííîå
îòîáðàæåíèþ pi ( )x [6]. Î÷åâèäíî, ÷òî íåçàâèñèìî îò âèäà ýêñòðåìóìà ÷àñòíîãî
êðèòåðèÿ k i ( )x íàèëó÷øåìó ðåçóëüòàòó îòîáðàæåíèÿ � ( )pi x ñîîòâåòñòâóåò ìèíè-
ìàëüíîå çíà÷åíèå � �0 0, , à íàèõóäøåìó — çíà÷åíèå � �1, � pi
. Â äàëüíåéøåì îðèåí-
òèðóÿñü íà ðåøåíèå çàäà÷ ìèíèìèçàöèè èíòåðâàëüíûõ îòîáðàæåíèé, áóäåì
îñóùåñòâëÿòü âûáîð íàèëó÷øåãî ðåøåíèÿ èç ìíîæåñòâà X ñ ïîìîùüþ èíòåðâàëü-
íûõ îöåíîê ïîòåðè ïîëåçíîñòè � ( )pi x .
ÈÍÒÅÐÂÀËÜÍÀß ÏÐÈÁËÈÆÅÍÍÀß ÎÁËÀÑÒÜ ÊÎÌÏÐÎÌÈÑÑÎÂ
Ðàññìîòðèì îäèí èç âîçìîæíûõ ñïîñîáîâ ïîñòðîåíèÿ
~
Xc , êîòîðûé ìîæåò áûòü
ðåàëèçîâàí ñëåäóþùèìè àëãîðèòìàìè.
Àëãîðèòì 2. Ïîñòðîåíèå
~
Xc äëÿ äâóõ êðèòåðèåâ k i i( ), ,x �1 2, íà îñíîâå äå-
òåðìèíèðîâàííîãî ïîäõîäà [7].
1. Íà ìíîæåñòâå äîïóñòèìûõ ðåøåíèé X ïîñëåäîâàòåëüíîå ðåøåíèå çàäà÷
x x
x
i i i0 1 2� �
�
arg min � ( ), ,
X
p . (10)
2. Äëÿ êàæäîãî ðåøåíèÿ xi
0 îïðåäåëåíèå � ( )pi x , i �1 2, .
3. Âû÷èñëåíèå íàèëó÷øåãî è íàèõóäøåãî èíòåðâàëüíûõ çíà÷åíèé � ( ) �p p1 1
0
1
x � ,
� ( ) �p p2 2
0
2
x � , � ( ) �p p1 2
0
1x �
, � ( ) �p p2 1
0
2x �
ñ èñïîëüçîâàíèåì îòíîøåíèÿ ïîðÿäêà (5).
4. Ïîñòðîåíèå îáðàçà
~
Yc èíòåðâàëüíîé ïðèáëèæåííîé îáëàñòè êîìïðîìèññîâ
~
Xc â ïðîñòðàíñòâå Y âèäà ~
{( ( ), ( ))Y k kc � �1 2x x
� � � � � � � � ( ( ), ( ) , ( ), ( ) ) | � � ( ) �k kk k i i i1 21 2
x x x x x� � Y p p p
�, , }i 1 2 .
Àëãîðèòì 3. Ïîñòðîåíèå
~
Xc äëÿ n � 2 êðèòåðèåâ è êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà X.
1. Ôîðìèðîâàíèå ìíîæåñòâà * *� � �{ , , }ij ni j J i j, ïàð êðèòåðèåâ
*ij i j� ( )k k, , k k K k k ki j n, ,� � � �{ }1 2 � , card * �
n n( ) /1 2.
2. Ôîðìèðîâàíèå ìíîæåñòâà
~
X Xij
c � : ðåàëèçàöèÿ àëãîðèòìà 2 äëÿ âñåõ * *ij � ,
i j J i jn, � �, .
3. Ôîðìèðîâàíèå èíòåðâàëüíîé ïðèáëèæåííîé îáëàñòè êîìïðîìèññîâ
~ ~
, ,
X Xc �
� �i j J i j
ij
c
n
� .
110 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2
Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 2. Èíòåðâàëüíóþ ïðèáëèæåííóþ îáëàñòü êîìïðîìèññîâ â çàäà÷å (8)
ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
~ ~
, ,
X Xc �
� �i j J i j
ij
c
n
� .
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ñâîäèòñÿ ê ïðîâåðêå ñëåäóþùåãî ñîîòíîøåíèÿ:
X X Xc c" "
~
. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ïàðó êðèòåðèåâ k k Ki j, � . Ïîñòðîèì
ìíîæåñòâî
~
X ij
c êàê èíòåðâàëüíóþ ïðèáëèæåííóþ îáëàñòü êîìïðîìèññîâ äâóõêðè-
òåðèàëüíîé çàäà÷è ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé ñ êðèòåðèÿìè k ki j, , ïîëüçóÿñü àëãîðèò-
ìîì 2. Èç îïðåäåëåíèÿ îáëàñòè êîìïðîìèññîâ êàê ìíîæåñòâà íåäîìèíèðóåìûõ
àëüòåðíàòèâ è ñïîñîáà ïîñòðîåíèÿ ìíîæåñòâà
~
X ij
c ñëåäóåò ñïðàâåäëèâîñòü
ñîîòíîøåíèÿ X X Xc c
ij ij" "
~
� �i j J n, , i j� , ãäå Xc
ij — îáëàñòü êîìïðîìèññîâ
äâóõêðèòåðèàëüíîé çàäà÷è ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé ñ êðèòåðèÿìè k ki j, . Ïðèìåíÿÿ
òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííóþ îïåðàöèþ îáúåäèíåíèÿ ïî âñåì i j J n, � , i j� , ïîëó÷àåì
i j J i j
ij
c
i j J i j
ij
c
n n, , , ,
~
� � � �
" "� �X X X. Ïî îïðåäåëåíèþ äâå àëüòåðíàòèâû â ìíîæåñòâå X
íå ñðàâíèìû ìåæäó ñîáîé, åñëè îíè íå ñðàâíèìû õîòÿ áû ïî îäíîé ïàðå êðèòåðèåâ.
Òîãäà X Xc �
� �i j J i j
ij
c
n, ,
� . Ñëåäîâàòåëüíî,
~ ~
, ,
X Xc �
� �i j J i j
ij
c
n
� — èíòåðâàëüíàÿ
ïðèáëèæåííàÿ îáëàñòü êîìïðîìèññîâ çàäà÷è (8).
ÔÎÐÌÈÐÎÂÀÍÈÅ ÈÍÒÅÐÂÀËÜÍÛÕ ÎÖÅÍÎÊ ÀËÜÒÅÐÍÀÒÈÂ
Ðàññìîòðèì òåïåðü ñïîñîáû ôîðìèðîâàíèÿ èíòåðâàëüíûõ ìíîãîôàêòîðíûõ îöå-
íîê àëüòåðíàòèâ íà îñíîâå îòîáðàæåíèé îáîáùåííîé ïîëåçíîñòè àëüòåðíàòèâ.
Âûäåëèì ñëåäóþùèå ñëó÷àè [7].
1. Ïóñòü èçâåñòíû òî÷íûå çíà÷åíèÿ ai êîýôôèöèåíòîâ îòíîñèòåëüíîé âàæíî-
ñòè èíòåðâàëüíûõ êðèòåðèåâ k k k1 2, � �� n , à ñëåäîâàòåëüíî, èõ îòîáðàæåíèé ëî-
êàëüíîé ïîòåðè ïîëåçíîñòè � ( )pi x . Çäåñü
a Ri �
1, 0 1� �ai , i J n� , ai
i
n
�
�
+ 1
1
. (11)
Òîãäà àääèòèâíàÿ îáîáùåííàÿ èíòåðâàëüíàÿ îöåíêà ïîòåðè ïîëåçíîñòè ïðèìåò âèä
� ( ) � ( )P px x� �
�
+a i i
i
n
1
, (12)
à ðåøåíèå çàäà÷è îïðåäåëèòñÿ âûðàæåíèåì
x x
x
0 �
�
arg min � ( )
X
P . (13)
Äëÿ êàæäîé àëüòåðíàòèâû x�X â ñîîòâåòñòâèè ñ àääèòèâíîé ìîäåëüþ (12),
îòîáðàæåíèåì ñîïðÿæåíèÿ, îïåðàöèÿìè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà äåéñòâèòåëüíîå
÷èñëî � �R1, ââåäåííûìè â ïðîñòðàíñòâå I Rs , âèäà [6]
� � � �
�X x x, � , � � � � � � �X Y x y x y, � � , � � � �� � � � �X x x, | | ,
ãäå � � � � � �X x x, � I Rs , � � � � � �Y y y, � I Rs , ñôîðìèðóåì èíòåðâàëüíûå ìíîãî-
ôàêòîðíûå îöåíêè, ïî êîòîðûì íàéäåì ðåøåíèå x
0 . Ïîëó÷åííîå ðåøåíèå x
0
ñîîòâåòñòâóåò ìèíèìàëüíîé â ñìûñëå ñîîòíîøåíèÿ (6) èíòåðâàëüíîé îáîáùåííîé
îöåíêå ïîòåðè ïîëåçíîñòè àëüòåðíàòèâ x�X.
2. Ïóñòü çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè èíòåðâàëüíûõ
êðèòåðèåâ k k k1 2, � �� n èçâåñòíû ñ òî÷íîñòüþ äî èíòåðâàëîâ âèäà
� � �i i i� [ ]
min max
, , i J n� . (14)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2 111
Êàæäîìó èíòåðâàëó âèäà (14) ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå öåíòðèðîâàííûé èí-
òåðâàë � � � � � �A ai i ai
, � I Rs , i J n� , [6] ñëåäóþùèì îáðàçîì:
� � �
A a ai i a i a i ii i
[ ] =[ ]
min max
� � � �, , ,
ãäå
ai i i�
1
2
( )
min max
� � , � � �a i ii
�
1
2
( )
max min
.
Ñ öåëüþ âûïîëíåíèÿ äëÿ èíòåðâàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ îòíîñèòåëüíîé âàæ-
íîñòè êðèòåðèåâ óñëîâèé, àíàëîãè÷íûõ (11), îñóùåñòâèì íîðìàëèçàöèþ êîýôôè-
öèåíòîâ � �Ai ïî ôîðìóëå
A A i Ji i n
í í� � � � �� , , ãäå � í �
� �
�
+
1
1
Ai
i
n
.
Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëàìè èíòåðâàëüíîãî óìíîæåíèÿ, ââåäåííûìè â ïðîñòðàíñò-
âå I Rs [6].
Ïóñòü � � � � �X Y s, I R . Èíòåðâàëüíîå ïðîèçâåäåíèå � � � � �Y X çàäàåòñÿ ñëåäóþ-
ùèì îáðàçîì:
� � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � �
Y X Y X
Y X X Y
s
s s
, , ,
, ,
åñëè
åñëè
I
I I
1
2 1
3 10
,
| | , , , ,� � � � � � � � � � �
�
�
)
) y s v X X Yy s såñëè I I
s
x y
x y
�
� ,
� �
�
�
1 0
1 0
, ,
, ,
åñëè
åñëè
� �
� �
ãäå Isi , i �1 2 3, , , — ìíîæåñòâî òî÷åê � � �X sI R, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò ñîîòâåò-
ñòâóþùèì óñëîâèÿì
x x
�| |� 0; x x �| |� 0;
x x
x x
x
x
� ,
, �
�
�
| | , ,
| | , ,
�
�
0 0
0 0
åñëè
åñëè
� � � � � � � �A B ab a ba b b a� � � �, — îïåðàöèÿ ãèïåðáîëè÷åñêîãî óìíîæåíèÿ A è B.
Âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé èíòåðâàëüíîãî äåëåíèÿ [6], èìååì
A
A
B b
A Bi
i
b
i
í �
� �
� �
�
� � ��� �
1
2 2�
, | | | |b vb� , (15)
� � � � � � � � �
� � �
+ + +B b A ab i
i
n
i
n
i a
i
n
i
, ,� �
1 1 1
.
Ïîñêîëüêó a a
�| |� 0, òî ñîãëàñíî òàáëèöå óìíîæåíèÿ èíòåðâàëüíûõ ÷èñåë
ôîðìóëà (15) ïðèìåò ñëåäóþùèé âèä:
A
b
a b b a
i
b
i a b a i bi i
í �
� � �
1
2 2�
� � � �, .
Ñëåäîâàòåëüíî,
A a
i i i
í í í� , � , (16)
ãäå
a a ai
i
i i
i
n
a a
i
n
i i
í �
#
$
%
%
&
'
(
(
� �
+ +
1
1 1�
� � , � � �i
i
a i
i
n
i a
i
n
i i
a aí �
#
$
%
%
&
'
(
(
� �
+ +
1
1 1�
,
�i
i
i
n
a
i
n
a
i
�
#
$
%
%
&
'
(
(
#
$
%
%
&
'
(
(
� �
+ +
1
1
2
1
2
�
.
Ñ ó÷åòîì (16) îïðåäåëèì
i
n
i a
b
b bA a
b
b b
�
+ � �
�
1
2 2
2 21
2í í í, ,�
�
� �
112 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2
�
#
$
%
%
&
'
(
(
#
$
%
%
&
'
(
(
� � �
+ + +
1
2
1
2
1
2
1�i
i
i
n
a
i
n
i
i
n
aa a
i i
� �,
i
n
�
+
1
,
� � � �0 0, ,A ai a
í í í� , i J n� . (17)
Çàìå÷àíèå 4. Åñëè ïîëîæèòü âñå � ai
ðàâíûìè íóëþ, òî óñëîâèå (17) áóäåò ýê-
âèâàëåíòíî âûðàæåíèþ (11).
Ñ ó÷åòîì íîðìàëèçîâàííûõ èíòåðâàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ îòíîñèòåëüíîé âàæ-
íîñòè èíòåðâàëüíûõ êðèòåðèåâ ñîîòíîøåíèÿ, àíàëîãè÷íûå (12), (13), ïðèìóò âèä
� ( , ) � ( )P px xA Ai
i
n
i
í í� �
�
+
1
,
x x
x
0 �
�
arg min � ( , )
X
P A í , (18)
ãäå A A A An
í í í í� �
1 2
, , ,� I Rs
n .
3. Êîëè÷åñòâåííûå çíà÷åíèÿ âåñîâûõ êîýôôèöèåíòîâ îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè
êðèòåðèåâ íåèçâåñòíû, íî èíòåðâàëüíûå êðèòåðèè óïîðÿäî÷åíû ïî âàæíîñòè,
íàïðèìåð, ñëåäóþùèì îáðàçîì: k k k1 2� � �� n . Òàêîå çàäàíèå ïðåäïî÷òåíèé
÷àñòíûõ êðèòåðèåâ îçíà÷àåò, ÷òî � � � � � � � � �A A An1 2 � .
 ýòîé ñèòóàöèè èñïîëüçóåòñÿ ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíîé îïòèìèçàöèè, â ñîîò-
âåòñòâèè ñ êîòîðûì èç äâóõ ðåøåíèé u�X, � �X ïåðâîå ïðåäïî÷òèòåëüíî, ò.å.
u �� , åñëè [9]
� ( ) � ( )p p1 1u � � èëè
( � ( ) � ( )) ( � ( ) � ( ))p p p p1 1 2 2u u� � �� � , èëè
( � ( ) � ( )) ( � ( ) � ( )) ( � ( ) � ( ))p p p p p p1 1 2 2 3 3u u u� � � � �� � � è ò.ä.;
- �
t J n 1 òàêîå, ÷òî ( � ( ) � ( ), ) ( � ( ) � ( ))p p p pj j t t tj Ju u� � � � � �1 1 .
Âûáîð ðåøåíèÿ ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îäíîêðèòåðèàëüíûõ
çàäà÷ [7]
x x
x
i i
i
0
1
0
�
�
arg min � ( )
X
p , (19)
çäåñü i J n� , X X
0
0 .
4. Èíôîðìàöèÿ î ïðåäïî÷òåíèÿõ îòíîñèòåëüíî êðèòåðèåâ k k k1 2, � �� n , à ñëå-
äîâàòåëüíî, è î êîýôôèöèåíòàõ ai , i J n� , îòñóòñòâóåò.  ýòîì ñëó÷àå ñëåäóåò
èñïîëüçîâàòü ìîäåëü âèäà
x x
x
0
1 2
�
�
arg min max � ( )
, ,X
p
i= , n
i
�
. (20)
ÐÅÇÓËÜÒÀÒÛ ×ÈÑËÅÍÍÛÕ ÝÊÑÏÅÐÈÌÅÍÒÎÂ
Çàäàíû 10 àëüòåðíàòèâ { }x x1 10� �� , êîòîðûå îöåíèâàþòñÿ ïî òðåì èíòåðâàëüíûì
êðèòåðèÿì íà ìàêñèìóì k k k1 2 3, , . Ïðîèëëþñòðèðóåì íà äàííîì ïðèìåðå ïðåä-
ëîæåííûå â ñòàòüå ñïîñîáû ôîðìèðîâàíèÿ èíòåðâàëüíûõ îöåíîê àëüòåðíàòèâ è
âûáîð íà èõ îñíîâå îïòèìàëüíîãî ðåøåíèÿ (òàáë. 1).
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2 113
Ò à á ë è ö à 1
Êðèòå-
ðèé
Èíòåðâàëüíûå çíà÷åíèÿ êðèòåðèåâ
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
k1 �2, 0.02� �1, 0.04� �2, 0.01� �1, 0.03� �4, 0.02� �7, 0.01� �2, 0.02� �8, 0.01� �5, 0.01� �8, 0.01�
k 2 �4, 0.01� �3, 0.01� �4, 0.01� �3, 0.01� �3, 0.01� �1, 0.01� �1, 0.02� �8, 0.02� �5, 0.01� �8, 0.02�
k 3 �7, 0.03� �5, 0.01� �7, 0.03� �5, 0.02� �2, 0.03� �5, 0.02� �8, 0.01� �2, 0.03� �5, 0.02� �2, 0.01�
Èíòåðâàëüíûå îáëàñòü ñîãëàñèÿ è îáëàñòü êîìïðîìèññîâ èìåþò âèä X s �
�{ }x x x x x2 3 4 5 10, , , , , Xc �{ }x x x x x1 6 7 8 9, , , , .
Äàëåå äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (5) íà ìíîæåñòâå Xc ìîæåò áûòü ïðèìåíåí îäèí èç
ðàññìîòðåííûõ â ñòàòüå ïîäõîäîâ (ñëó÷àè 1–4).
Ðàññìîòðèì ðåàëèçàöèþ ìåòîäà ðåøåíèÿ çàäà÷è (5) íà ìíîæåñòâå X �
� �{ }xi i, , ... ,1 10 .
Ïóñòü
k 1 1000 0030
� � �. , . , k 2 1000 0010
� � �. , . , k 3 2000 0010
� � �. , . ;
k
1
8000 0010 � � �. . , k
2
8000 0020 � � �. , . , k
3
8000 0010 � � �. , . .
Çíà÷åíèÿ èíòåðâàëüíûõ îòîáðàæåíèé ïîëåçíîñòè è ïîòåðè ïîëåçíîñòè
èíòåðâàëüíûõ êðèòåðèåâ ïðèâåäåíû â òàáë. 2, 3.
Òàêèì îáðàçîì, ïðèáëèæåííàÿ îáëàñòü êîìïðîìèññîâ èìååò âèä
Xc �{ }x x x x x x x x x x1 2 3 4 5 6 7 8 9 10, , , , , , , , , .
Ðàññìîòðèì ñïîñîáû ôîðìèðîâàíèÿ èíòåðâàëüíûõ îöåíîê àëüòåðíàòèâ â çàâè-
ñèìîñòè îò ñòåïåíè çàäàíèÿ èíôîðìàöèè o êîýôôèöèåíòàõ âàæíîñòè êðèòåðèåâ
a a a1 2 3, , .
Ïóñòü èçâåñòíû òî÷íûå çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè
êðèòåðèåâ a a a1 2 302 03 05� � �. , . , . . Çíà÷åíèÿ èíòåðâàëüíîãî îòîáðàæåíèÿ îáîá-
ùåííîé ïîòåðè ïîëåçíîñòè (12) ïðèâåäåíû â òàáë. 4.
Ëó÷øèìè ðåøåíèÿìè ñîãëàñíî (13) ÿâëÿþòñÿ x x1 3, .
Èçâåñòíû èíòåðâàëüíûå çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ai îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè
êðèòåðèåâ. Ïóñòü A1 02 05� [ . , . ] , A2 02 04� [ . , . ] , A3 01 02� [ . , . ] . Òîãäà çíà÷åíèÿ öåíòðè-
ðîâàííûõ èíòåðâàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ ïðèìóò âèä � � � � �A1 0.3, 0.1 ,
� � � � �A2 0.3, 0.1 , � � � � �A3 0.2, 0.1 . Íîðìàëèçîâàííûå çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ âàæ-
íîñòè: A
1
í 0.179, 0.124� � � , A
2
í 0.149, 0.094� � � , A
3
í 0.074, 0.047� � � .
114 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2
Ò à á ë è ö à 2
Èíòåðâàëüíûå
îòîáðàæåíèÿ
Çíà÷åíèÿ èíòåðâàëüíûõ îòîáðàæåíèé ïîëåçíîñòè èíòåðâàëüíûõ êðèòåðèåâ
x
x
1
2
x
x
3
4
x
x
5
6
x
x
7
8
x
x
9
10
p1 ( )x
� 0.143,
0.002�
� 0.000, 0.001�
� 0.143,
0.003�
� 0.000, 0.000�
� 0.429,
0.003�
� 0.857,
0.005�
� 0.143,
0.002�
� 1.000,
0.006�
� 0.571,
0.004�
� 1.000,
0.006�
p2 ( )x
� 0.429, 0.001�
� 0.286, 0.000�
� 0.429, 0.001�
� 0.286, 0.000�
� 0.286, 0.000�
� 0.000, 0.000�
� 0.000, 0.001�
� 1.000, 0.003�
� 0.571, 0.001�
� 1.000, 0.003�
p3 ( )x
� 0.833, 0.003�
� 0.500, 0.000�
� 0.833, 0.003�
� 0.500, 0.002�
� 0.000, 0.003�
� 0.500, 0.002�
� 1.000, 0.000�
� 0.000, 0.003�
� 0.500, 0.002�
� 0.000, 0.000�
Ò à á ë è ö à 3
Èíòåðâàëüíûå
îòîáðàæåíèÿ
Çíà÷åíèÿ èíòåðâàëüíûõ îòîáðàæåíèé ïîòåðè
ïîëåçíîñòè èíòåðâàëüíûõ êðèòåðèåâ
x
x
1
2
x
x
3
4
x
x
5
6
x
x
7
8
x
x
9
10
� ( )p1 x
� 0.857, 0.098�
� 1.000, 0.101�
� 0.857, 0.097�
� 1.000, 0.100�
� 0.571, 0.097�
� 0.143, 0.095�
� 0.857, 0.098�
� 0.000, 0.094�
� 0.429, 0.096�
� 0.000, 0.094�
� ( )p2 x
� 0.571, 0,101�
� 0.714, 0,100�
� 0.571, 0.101�
� 0.714, 0.100�
� 0.714, 0,100�
� 1.000, 0,100�
� 1.000, 0.101�
� 0.000, 0.103�
� 0.429, 0.101�
� 0.000, 0103�
� ( )p3 x
� 0.167, 0.103�
� 0.500, 0.100�
� 0.167, 0,103�
� 0.500, 0,102�
� 1.000, 0.103�
� 0.500, 0.102�
� 0.000, 0.100�
� 1.000, 0.103�
� 0.500, 0.102�
� 1.000, 0.100�
Çíà÷åíèÿ èíòåðâàëüíîãî îòîáðàæåíèÿ îáîáùåííîé ïîòåðè ïîëåçíîñòè (18) äëÿ
àëüòåðíàòèâ { }x x1 10, ,� ïðèâåäåíû â òàáë. 5.
Ëó÷øèì ðåøåíèåì â ñîîòâåòñòâèè ñ ìîäåëüþ (18) ÿâëÿåòñÿ x9 .
Êîëè÷åñòâåííûå çíà÷åíèÿ âåñîâûõ êîýôôèöèåíòîâ íåèçâåñòíû, êðèòåðèè óïî-
ðÿäî÷åíû ïî âàæíîñòè k k k1 2 3� � . Ïðèìåíèì ïðèíöèï ïîñëåäîâàòåëüíîé îïòè-
ìèçàöèè. Òîãäà ñîãëàñíî ôîðìóëå (19) ëó÷øèìè àëüòåðíàòèâàìè ïî êðèòåðèþ k 1
ÿâëÿþòñÿ x x8 10, ; ëó÷øèìè àëüòåðíàòèâàìè ïî êðèòåðèþ k 2 ÿâëÿþòñÿ x x8 10, ;
ëó÷øåé àëüòåðíàòèâîé ïî êðèòåðèþ k 3 ÿâëÿåòñÿ x10 .
Èíôîðìàöèÿ î ïðåäïî÷òåíèÿõ îòíîñèòåëüíî êîýôôèöèåíòîâ âàæíîñòè è ïðåä-
ïî÷òåíèÿõ êðèòåðèåâ îòñóòñòâóåò. Èñïîëüçóåì ïðèíöèï ìèíèìàêñà. Òîãäà â ñîîò-
âåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (20) ëó÷øèì ðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿ x9 .
Âûâîäû. Â íàñòîÿùåé ñòàòüå ïðåäëîæåí ñïîñîá ôîðìèðîâàíèÿ èíòåðâàëüíûõ
ìíîãîôàêòîðíûõ îöåíîê àëüòåðíàòèâ äëÿ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé. Ïðåäëîæåííûé ïîä-
õîä ÿâëÿåòñÿ êîìáèíàöèåé èçâåñòíûõ ìåòîäîâ ìíîãîêðèòåðèàëüíîãî ïðèíÿòèÿ ðå-
øåíèé è ìåòîäîâ èíòåðâàëüíîãî àíàëèçà. Òàêîé ïîäõîä ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí
ïðè ðåøåíèè íàó÷íûõ è ïðèêëàäíûõ çàäà÷ óïàêîâêè, ðàñêðîÿ è ïîêðûòèÿ [2].
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ê è í è Ð . Ë . , Ð à é ô à Õ . Ïðèíÿòèå ðåøåíèé ïðè ìíîãèõ êðèòåðèÿõ: ïðåäïî÷òåíèÿ è çàìåùåíèÿ. —
Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü, 1981. — 560 ñ.
2. D y c k h o f f H . , S c h e i t h a u e r G . , T e r n o J . Cutting and packing. Annotated bibliographies in
combinatorial optimization / Ed. by M. Dell’Amico, F. Maffioli, S. Martello. — Chichester: John Wiley &
Sons, 1997. — P. 393–412.
3. Ñ å ð ã è å í ê î È .  . , Ñ å ì å í î â à Í .  . Çàäà÷è öåëî÷èñëåííîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ ñ íåîäíîçíà÷-
íî çàäàííûìè äàííûìè: òî÷íûå è ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. —
1995. — ¹ 6. — Ñ. 75–86.
4. Ï î ä è í î â ñ ê è é  .  . Çàäà÷à îöåíèâàíèÿ êîýôôèöèåíòîâ âàæíîñòè êàê ñèììåòðè÷åñêè ëåêñèêî-
ãðàôè÷åñêàÿ çàäà÷à îïòèìèçàöèè // Òàì æå. — 2003. — ¹ 3. — Ñ. 150–162.
5. Î â å ç ã å ë ü ä û å â À . Î . , Ï å ò ð î â Ê . Ý . Îöåíêà è ðàíæèðîâàíèå àëüòåðíàòèâ â óñëîâèÿõ èíòåð-
âàëüíîé íåîïðåäåëåííîñòè // Òàì æå. — 2005. — ¹ 5. — Ñ. 148–153.
6. Ñ ò î ÿ í Þ . à . Ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî öåíòðèðîâàííûõ èíòåðâàëîâ // Äîêë. ÍÀÍ Óêðàèíû.
Ñåð. A. — 1996. — ¹ 7. — Ñ. 23–25.
7. Î â å ç ã å ë ü ä û å â À . Î . , Ï å ò ð î â Ý . Ã . , Ï å ò ð î â Ê . Ý . Ñèíòåç è èäåíòèôèêàöèÿ ìîäåëåé ìíî-
ãîôàêòîðíîãî îöåíèâàíèÿ è îïòèìèçàöèè. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 2002. — 164 ñ.
8. Ð î ì à í î â à Ò . Å . Èíòåðâàëüíîå ïðîñòðàíñòâî I Rs
n . Èíòåðâàëüíûå óðàâíåíèÿ // Äîêë. ÍÀÍ Óêðà-
èíû. Ñåð.A. — 2000. — ¹ 9. — Ñ. 36–41.
9. Ï î ä è í î â ñ ê è é Â . Â . , Ã à â ð è ë î â Â . Ì . Îïòèìèçàöèÿ ïî ïîñëåäîâàòåëüíî ïðèìåíÿåìûì êðè-
òåðèÿì. — Ì.: Ñîâ. ðàäèî, 1975. — 192 ñ.
Ïîñòóïèëà 22.09.2008
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2 115
Ò à á ë è ö à 5
Îöåíêà ïîòåðè
ïîëåçíîñòè
Çíà÷åíèÿ èíòåðâàëüíîé îáîáùåííîé ïîòåðè ïîëåçíîñòè
x
x
1
2
x
x
3
4
x
x
5
6
x
x
7
8
x
x
9
10
� ( )P x
� 0.277, 0.207�
� 0.349, 0.254�
� 0.277, 0.207�
� 0.348, 0.254�
� 0.309, 0.224�
� 0.237, 0.174�
� 0.365, 0.263�
� 0.610, 0.441�
� 0.203, 0.156�
� 0.371, 0.280�
Ò à á ë è ö à 4
Îöåíêà ïîòåðè
ïîëåçíîñòè
Çíà÷åíèÿ èíòåðâàëüíîãî îòîáðàæåíèÿ îáîáùåííîé ïîòåðè ïîëåçíîñòè
x
x
1
2
x
x
3
4
x
x
5
6
x
x
7
8
x
x
9
10
� ( )P x
� 0.426, 0.101�
� 0.664, 0.100�
� 0.426, 0.101�
� 0.664, 0.101�
� 0.829, 0.101�
� 0.579, 0.100�
� 0.471, 0.100�
� 0.500, 0.101�
� 0.464, 0.100�
� 0.500, 0.100�
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-44347 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:23:44Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гребенник, И.В. Романова, Т.Е. Шеховцов, С.Б. 2013-05-29T18:54:44Z 2013-05-29T18:54:44Z 2009 Интервальное оценивание альтернатив в задачах принятия решений / И.В. Гребенник, Т.Е. Романова, С.Б. Шеховцов // Кибернетика и системный анализ. — 2009. — № 2. — С. 106-115. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44347 519.81 Побудовано інтервальні математичні моделі задач прийняття рішень в умовах інтервальної невизначеності. Для розв’язання задач, вихідні дані яких задані в інтервальному вигляді, запропоновано модифіковані методи на базі детермінованих методів прийняття рішень та інтервального аналізу. The article considers interval models of decision-making problems under interval uncertainty. The solution approach for realization of the models is provided based on deterministic methods of decision-making and interval analysis. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Интервальное оценивание альтернатив в задачах принятия решений Інтервальне оцінювання альтернатив в задачах прийняття рішень Interval estimation of alternatives in decision-making problems Article published earlier |
| spellingShingle | Интервальное оценивание альтернатив в задачах принятия решений Гребенник, И.В. Романова, Т.Е. Шеховцов, С.Б. Системный анализ |
| title | Интервальное оценивание альтернатив в задачах принятия решений |
| title_alt | Інтервальне оцінювання альтернатив в задачах прийняття рішень Interval estimation of alternatives in decision-making problems |
| title_full | Интервальное оценивание альтернатив в задачах принятия решений |
| title_fullStr | Интервальное оценивание альтернатив в задачах принятия решений |
| title_full_unstemmed | Интервальное оценивание альтернатив в задачах принятия решений |
| title_short | Интервальное оценивание альтернатив в задачах принятия решений |
| title_sort | интервальное оценивание альтернатив в задачах принятия решений |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44347 |
| work_keys_str_mv | AT grebennikiv intervalʹnoeocenivaniealʹternativvzadačahprinâtiârešenii AT romanovate intervalʹnoeocenivaniealʹternativvzadačahprinâtiârešenii AT šehovcovsb intervalʹnoeocenivaniealʹternativvzadačahprinâtiârešenii AT grebennikiv íntervalʹneocínûvannâalʹternativvzadačahpriinâttâríšenʹ AT romanovate íntervalʹneocínûvannâalʹternativvzadačahpriinâttâríšenʹ AT šehovcovsb íntervalʹneocínûvannâalʹternativvzadačahpriinâttâríšenʹ AT grebennikiv intervalestimationofalternativesindecisionmakingproblems AT romanovate intervalestimationofalternativesindecisionmakingproblems AT šehovcovsb intervalestimationofalternativesindecisionmakingproblems |