Подход к разрешению проблемы единственности решения игровых задач
Запропоновано нове поняття сильної рівноваги, що доповнює відому базову систему конфліктних рівноваг та істотно збільшує можливість знаходження в будь-якій ігровій задачі єдиної найсильнішої рівноваги (розв’язку). На прикладах статичних і динамічних ігрових задач демонструється ефективність цієї рів...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2009 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44348 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Подход к разрешению проблемы единственности решения игровых задач / Э.Р. Смольяков // Кибернетика и системный анализ. — 2009. — № 2. — С. 116-127. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859680070840352768 |
|---|---|
| author | Смольяков, Э.Р. |
| author_facet | Смольяков, Э.Р. |
| citation_txt | Подход к разрешению проблемы единственности решения игровых задач / Э.Р. Смольяков // Кибернетика и системный анализ. — 2009. — № 2. — С. 116-127. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Запропоновано нове поняття сильної рівноваги, що доповнює відому базову систему конфліктних рівноваг та істотно збільшує можливість знаходження в будь-якій ігровій задачі єдиної найсильнішої рівноваги (розв’язку). На прикладах статичних і динамічних ігрових задач демонструється ефективність цієї рівноваги.
A new concept of a strong conflict equilibrium is proposed, which supplements the well-known fundamental system of conflict equilibria and increases the possibility of finding a unique strongest equilibrium (solution) in any game problem. The efficiency of the new equilibrium is demonstrated for static and dynamic game problems.
|
| first_indexed | 2025-11-30T18:16:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 517.9
Ý.Ð. ÑÌÎËÜßÊÎÂ
ÏÎÄÕÎÄ Ê ÐÀÇÐÅØÅÍÈÞ ÏÐÎÁËÅÌÛ ÅÄÈÍÑÒÂÅÍÍÎÑÒÈ
ÐÅØÅÍÈß ÈÃÐÎÂÛÕ ÇÀÄÀ×1
Êëþ÷åâûå ñëîâà: êîíôëèêòíûå ðàâíîâåñèÿ, èãðû è ïðîáëåìà åäèíñòâåííîñòè
ðåøåíèÿ.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
 íàñòîÿùåé ðàáîòå äëÿ ëþáûõ êîíôëèêòíûõ çàäà÷ (â ÷àñòíîñòè, äëÿ ëþáûõ èã-
ðîâûõ çàäà÷ — àíòàãîíèñòè÷åñêèõ, íåêîîïåðàòèâíûõ, êîîïåðàòèâíûõ, ñòàòè÷åñ-
êèõ è äèíàìè÷åñêèõ) ïðåäëàãàåòñÿ íîâîå ïîíÿòèå ðàâíîâåñèÿ, ñóùåñòâåííî ðàñ-
øèðÿþùåå âîçìîæíîñòè íàõîæäåíèÿ åäèíñòâåííîãî íàèñèëüíåéøåãî ðàâíîâåñèÿ
(ðåøåíèÿ). Îïðåäåëåíî ìåñòî ýòîãî ðàâíîâåñèÿ â èåðàðõè÷åñêîì ðÿäó èçâåñòíûõ
ðàâíîâåñèé è íà ìîäåëüíûõ ñòàòè÷åñêèõ è äèíàìè÷åñêèõ çàäà÷àõ ïðîäåìîíñòðèðî-
âàíà åãî âûñîêàÿ ýôôåêòèâíîñòü ñ òî÷êè çðåíèÿ ðàçðåøåíèÿ ïðîáëåìû åäèíñòâåí-
íîñòè ðåøåíèÿ.
 òåîðèè êîíôëèêòíûõ ðàâíîâåñèé [1], ðàñïîëàãàþùåé îáøèðíîé áàçîâîé ñèñ-
òåìîé ïîíÿòèé ðàâíîâåñèÿ (â îòëè÷èå îò êëàññè÷åñêîé òåîðèè èãð, íå ðåøàâøåé
ïðîáëåìû íè ñóùåñòâîâàíèÿ, íè åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ íèêàêèõ èãðîâûõ çàäà÷
âñëåäñòâèå îãðàíè÷åííîñòè âîçìîæíîñòåé êëàññè÷åñêèõ ïîíÿòèé ðàâíîâåñèÿ è íå-
äîñòàòî÷íîñòè èõ ÷èñëà [2–4]), äîêàçàíî, ÷òî ëþáûå êîíôëèêòíûå çàäà÷è âñåãäà
èìåþò ðåøåíèå, ïðè÷åì â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ (çà èñêëþ÷åíèåì ñëó÷àåâ êà-
êîé-ëèáî ñèììåòðèè â çàäà÷àõ) îíî äîëæíî áûòü åäèíñòâåííûì. Äàííàÿ òåîðèÿ
ïðåäîñòàâèëà ìåõàíèçì íàõîæäåíèÿ ðåøåíèÿ â ëþáûõ çàäà÷àõ. Îäíàêî ïðîáëåìà
åäèíñòâåííîñòè (â îòñóòñòâèå êàêîé-ëèáî ñèììåòðèè â çàäà÷å) âñå æå îñòàåòñÿ äî
êîíöà íå ðåøåííîé, âåðîÿòíî, ïîòîìó, ÷òî äî ñèõ ïîð íå íàéäåíà ïîëíàÿ ñèñòåìà
áàçîâûõ ðàâíîâåñèé. Ïðåäëàãàåìîå â ðàáîòå íîâîå ïîíÿòèå ðàâíîâåñèÿ, äîïîëíÿþ-
ùåå óæå èçâåñòíûå, ÷òî äåìîíñòðèðóåòñÿ íà ïðèìåðàõ, îêàçûâàåòñÿ âåñüìà ïîëåç-
íûì ïðè ïîèñêå åäèíñòâåííîãî ðåøåíèÿ. Îäíàêî åãî íàõîæäåíèå â çàäà÷àõ áîëåå
òðóäîåìêî, ÷åì îïðåäåëåíèå ëþáûõ èç èçâåñòíûõ ðàâíîâåñèé.  ñâÿçè ñ ýòèì ïðè-
ìåíÿòü ýòî ðàâíîâåñèå íà ïðàêòèêå ðåêîìåíäóåòñÿ òîãäà, êîãäà âñå èçâåñòíûå òèïû
ðàâíîâåñèé íàéäåíû è ñ èõ ïîìîùüþ íå óäàëîñü íàéòè åäèíñòâåííîå íàèñèëüíåé-
øåå ðàâíîâåñèå.
Äåìîíñòðàöèÿ âîçìîæíîñòåé íàõîæäåíèÿ åäèíñòâåííîãî íàèñèëüíåéøåãî ðàâ-
íîâåñèÿ ïðîâîäèòñÿ êàê â îòíîøåíèè ñòàòè÷åñêèõ èãðîâûõ çàäà÷, òàê è äèíàìè÷åñ-
êèõ (äèôôåðåíöèàëüíûõ èãð).
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È È ÁÀÇÎÂÀß ÑÈÑÒÅÌÀ ÐÀÂÍÎÂÅÑÈÉ
Ñôîðìóëèðóåì â îáùåì âèäå íåêîòîðûå ðàâíîâåñèÿ èç áàçîâîé ñèñòåìû [1], áåç
êîòîðûõ íåâîçìîæíî ïîíÿòü ñìûñë è ðîëü ïðåäëàãàåìîãî íîâîãî ïîíÿòèÿ �D -ðàâ-
íîâåñèÿ, îãðàíè÷èâøèñü, áåç ïîòåðè îáùíîñòè, ñëåäóþùèì äîïóùåíèåì.
Äîïóùåíèå 1. Ïóñòü Qi , i N�1, , — ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà, G — êîìïàêòíîå
ìíîæåñòâî â èõ ïðîèçâåäåíèè Q QN1 � �� è íà ìíîæåñòâå G îïðåäåëåíû íåïðåðûâ-
íûå ôóíêöèè (ôóíêöèîíàëû) J qi ( ), i N�1, , q q q GN� �1� .
 êàêîì áû âèäå íè ñòàâèëàñü êîíôëèêòíàÿ çàäà÷à (íàïðèìåð, êàê àíòàãîíèñ-
òè÷åñêàÿ, íåêîîïåðàòèâíàÿ èëè êîîïåðàòèâíàÿ èãðà â ñòàòè÷åñêîé èëè äèíàìè÷åñ-
116 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2
1 Ðàáîòà âûïîëíåíà ïî ïðîãðàììå «Ôóíäàìåíòàëüíûå îñíîâû èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé è ñèñòåì»
ÐÀÍ, ïðîåêò ¹ 1-3.
© Ý.Ð. Ñìîëüÿêîâ, 2009
êîé ïîñòàíîâêå), ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ëþáàÿ êîàëèöèÿ Pk , ñîñòàâëåííàÿ èç ïðîèç-
âîëüíîãî ÷èñëà k ó÷àñòíèêîâ, âûáèðàÿ ñòðàòåãèþ (ñîñòîÿíèå) qPk
èç ïðîåêöèè
PrQPk
G ìíîæåñòâà G íà ïðîñòðàíñòâî QPk
èëè èç äîñòóïíîãî ýòîé êîàëèöèè ñå÷å-
íèÿ G qPN k
( )
�
, ãäå qPN k�
— ïðîèçâîëüíàÿ ñòðàòåãèÿ îñòàëüíûõ ( )N k� ó÷àñòíèêîâ,
âñåãäà çàèíòåðåñîâàíà â äîñòèæåíèè ìàêñèìóìà ñâîåé ïëàòåæíîé ôóíêöèè
J q JP
i P
ik
k
( ) �
�
� .
Îïðåäåëåíèå 1. Ñèòóàöèþ q q q GP Pk N k
� � �� �
�
( , ) íàçîâåì êîàëèöèîííî APk
-ýêñ-
òðåìàëüíîé äëÿ êîàëèöèè Pk , ñîñòîÿùåé èç k ó÷àñòíèêîâ, åñëè G q qP PN k k
( )
�
� �� èëè
êàæäîìó ñîñòîÿíèþ q G q qP P Pk N k k
�
�
� �( )\ êîàëèöèè Pk ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåò-
ñòâèå ïî êðàéíåé ìåðå îäíî ñîñòîÿíèå � ( )q G qP PN k k�
� îñòàëüíûõ N k� ó÷àñòíèêîâ,
òàê, ÷òîáû
J q q q J qP P P P Pk k N k k k
( , � ) ( )
�
� � . (1)
Ñèòóàöèþ q G�� íàçîâåì àáñîëþòíûì (èëè ïîëíûì [1]) �A -ðàâíîâåñèåì, åñëè
îíà êîàëèöèîííî ýêñòðåìàëüíà äëÿ ëþáîé êîàëèöèè Pk , 1� k N . Ìíîæåñòâî âñåõ
êîàëèöèîííî ýêñòðåìàëüíûõ äëÿ êîàëèöèè Pk ñèòóàöèé q� îáîçíà÷èì APk
, ïðè÷åì
ìíîæåñòâî âñåõ àáñîëþòíûõ ðàâíîâåñèé �A ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå � �A A
P
P
k
k� ,
1 1� � �k N .
Ìíîæåñòâî ðàâíîâåñèé �A â çàäà÷àõ ñ òðåìÿ è áîëåå ó÷àñòíèêàìè ÷àñòî îêàçûâà-
åòñÿ ïóñòûì, ïîýòîìó íà åãî îñíîâå íåâîçìîæíî ñîçäàòü êàêîé-ëèáî áàçîâîé ñèñòåìû
êîíôëèêòíûõ ðàâíîâåñèé, îáåñïå÷èâàþùåé ñóùåñòâîâàíèå ðàâíîâåñèÿ â ëþáîé çàäà-
÷å. Îäíàêî, êàê ïîêàçàíî â [1], ïîäîáíîé îñíîâîé ìîæåò ñëóæèòü ïîíÿòèå A-ðàâíîâå-
ñèÿ [1], ñóùåñòâóþùåãî (ïî êðàéíåé ìåðå â ëþáîé �-àïïðîêñèìàöèè) â ëþáûõ êîí-
ôëèêòíûõ çàäà÷àõ, íåçàâèñèìî îò êëàññà èñïîëüçóåìûõ â íèõ ïëàòåæíûõ ôóíêöèé è
ìíîæåñòâ, êîòîðîå ìîæíî ïîëó÷èòü êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé îïðåäåëåíèÿ 1.
Îïðåäåëåíèå 1a. Òî÷êó (ñèòóàöèþ) q G�� íàçîâåì Ai -ýêñòðåìàëüíîé, åñëè
ëþáîé ñòðàòåãèè q G q qi
i
i� � �( ) \ i-ãî èãðîêà ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå ïî
êðàéíåé ìåðå îäíó äîïóñòèìóþ ñòðàòåãèþ � � ( ) ( )q q q G qi i
i i� �
�
îñòàëüíûõ èãðîêîâ,
òàê, ÷òîáû èìåëî ìåñòî îòíîøåíèå
J q q q J qi
i
i i i( � , ) ( )
� � , (1a)
à ñèòóàöèþ q A
i
N�
�
� �
1� íàçîâåì A-ðàâíîâåñèåì [1].
Îïðåäåëåíèå 2. Ñèòóàöèþ q APk
� � , ãäå ïîä èíäåêñîì Pk ïîäðàçóìåâàåòñÿ
ëþáàÿ êîíêðåòíàÿ êîàëèöèÿ èç k ó÷àñòíèêîâ, íàçîâåì BPk
-ýêñòðåìàëüíîé, åñëè äëÿ
ýòîé êîíêðåòíîé êîàëèöèè âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
max ( , ) ( )
( )q A q
P P P P
PN k Pk Pk
N k k N k N k
J q q J q
�
� � � �
�
� �� ; (2)
íàçîâåì ýòó ñèòóàöèþ BPk
-ðàâíîâåñèåì, åñëè îíà óäîâëåòâîðÿåò âñåì âîçìîæ-
íûì c
N
k ðàâåíñòâàì (2), îòâå÷àþùèì ÷èñëó âñåõ âîçìîæíûõ êîàëèöèé, êîòîðûå
ìîæíî ñîñòàâèòü èç k ó÷àñòíèêîâ. Ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâî âñåõ BPk
-ðàâíîâå-
ñèé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïåðåñå÷åíèå âñåõ ìíîæåñòâ ñèòóàöèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ
c
N
k ðàâåíñòâàì (2), êîòîðûå â ñîâîêóïíîñòè ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê íåêîòîðîå
«âåêòîðíîå» ðàâåíñòâî.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2 117
Îïðåäåëåíèå 3. Ñèòóàöèþ q BPk
� � íàçîâåì DPk
-ýêñòðåìàëüíîé, ãäå ïîä èí-
äåêñîì Pk ïîäðàçóìåâàåòñÿ ëþáàÿ êîíêðåòíàÿ êîàëèöèÿ èç k ó÷àñòíèêîâ, åñëè äëÿ
ýòîé êîíêðåòíîé êîàëèöèè âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
max ( ) ( )
q B
P P
P k
k k
J q J q
�
�� (3)
èëè, ÷òî òî æå ñàìîå (ñ ó÷åòîì (2)), ðàâåíñòâî
D J JP
q A
P
q A q
Pk
Pk QPk
Pk
k
PN k Pk Pk
N
�
� �
�
�
Arg Argmax ( max
Pr ( ) k
q( )) , (3a)
è íàçîâåì ýòó ñèòóàöèþ DPk
-ðàâíîâåñèåì, åñëè îíà óäîâëåòâîðÿåò âñåì âîçìîæ-
íûì c
N
k ðàâåíñòâàì (3) èëè (3a), êîòîðûå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê âåêòîðíûå
ðàâåíñòâà.
Îïðåäåëåíèå 4. Ñèòóàöèþ q APk
� � íàçîâåì CPk
-ðàâíîâåñèåì, åñëè «âåêòîð-
íîå» ðàâåíñòâî
max ( , ) ( )
( )q G q
P P P P
PN k Pk
N k k N k N k
J q q J q
�
� � � �
�
� �� (4)
âûïîëíÿåòñÿ äëÿ êàæäîé êîíêðåòíîé êîàëèöèè Pk , ïðåäñòàâëÿÿ ñîáîé ñèñòåìó èç c
N
k
ðàâåíñòâ. Ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâî CPk
-ðàâíîâåñíûõ ñèòóàöèé çàäàåòñÿ ïåðåñå÷åíè-
åì âñåõ òåõ ìíîæåñòâ ñèòóàöèé, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óêàçàííûì c
N
k ðàâåíñòâàì
(ïðè âûïîëíåíèè òðåáîâàíèÿ ( )q APk
� � , âåêòîðíî çàäàâàåìûì ðàâåíñòâîì (4).
Îïðåäåëåíèå 5. Ñèòóàöèþ q CPk
� � íàçîâåì DPk
-ðàâíîâåñèåì, åñëè îíà óäîâ-
ëåòâîðÿåò «âåêòîðíîìó» ðàâåíñòâó
max ( ) ( )
q C
P P
Pk
k k
J q J q
�
�� , (5)
ïðåäñòàâëÿþùåìó ñîáîé c
N
k ðàâåíñòâ, îäíîâðåìåííîå óäîâëåòâîðåíèå êîòîðûõ
îçíà÷àåò, ÷òî ìíîæåñòâî ñèòóàöèé DPk
ìîæåò áûòü íàéäåíî êàê ðåçóëüòàò ïåðå-
ñå÷åíèÿ âñåõ ìíîæåñòâ ñèòóàöèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ ýòèì c
N
k ðàâåíñòâàì.
Îïðåäåëåíèå 6. Ñèòóàöèþ q A� � íàçîâåì �BPk
-ðàâíîâåñèåì, åñëè îíà óäîâëåò-
âîðÿåò «âåêòîðíîìó» ðàâåíñòâó
max ( , ) ( )
( )q A q
P P P P
PN k Pk Pk
N k k N k N k
J q q J q
�
� � � �
�
� ��
�
, (6)
ãäå ïîä �APk
ïîäðàçóìåâàåòñÿ ïåðåñå÷åíèå âñåõ c
N
k ìíîæåñòâ âèäà APk
, îòâå÷àþ-
ùèõ êàæäîé êîíêðåòíîé êîàëèöèè èç k ó÷àñòíèêîâ.
Îïðåäåëåíèå 7. Ñèòóàöèþ q BPk
�� � íàçîâåì �DPk
-ðàâíîâåñèåì, åñëè îíà óäîâ-
ëåòâîðÿåò «âåêòîðíîìó» ðàâåíñòâó
max ( ) ( )
q B
P P
Pk
k k
J q J q
�
��
�
. (7)
Îïðåäåëåíèå 8. Ñèòóàöèþ q A�� íàçîâåì C 0 -ðàâíîâåñèåì, åñëè
J q J q q k Nk
q A q
i
k
k
k
k
( ) max ( , ), ,
( )
�
�
�� �
�
1 , (8)
ãäå q q q q qk
k k N� �
( , , , , , )1 1 1� � .
118 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2
Çàìåòèì, ÷òî ñèòóàöèÿ q G� � íàçûâàåòñÿ ðàâíîâåñíîé ïî Íýøó [2] (èëè, êîðî-
÷å, C -ðàâíîâåñèåì), åñëè â îïðåäåëåíèè 8 ìíîæåñòâî A çàìåíèòü ìíîæåñòâîì G.
Îïðåäåëåíèå 9. Ñèòóàöèþ q APk
� � íàçîâåì �DPk
-ðàâíîâåñèåì, åñëè îíà óäîâ-
ëåòâîðÿåò âåêòîðíîìó ðàâåíñòâó
� �
� �
�
�
�
D JP
q A q
P
q A qk
Pk Pk PN k
k
PN k Pk Pk
Arg Argmax ( max
( ) ( )
J qPN k�
( )) , (9)
ïðåäñòàâëÿþùåìó ñîáîé c
N
k îäíîâðåìåííî óäîâëåòâîðÿþùèõñÿ ðàâåíñòâ.
Îïðåäåëåíèå 9à. Ñèòóàöèþ q Ak
� � íàçîâåì �Dk -ýêñòðåìàëüíîé, åñëè
� � �
� ��
D J J q kk
q A q
k
q A q
k
k k
k k
k k
Arg Argmax ( max ( )), ,
( ) ( )
1 2, ,� N . (9a)
Íàçîâåì ñèòóàöèþ q� áàçîâûì �D -ðàâíîâåñèåì, åñëè q Dkk
N�
�
� �
1� .
Çàìåòèì òàêæå, ÷òî áàçîâàÿ ñèñòåìà A-, �B -, B-, C-, �D -, D-, D-ðàâíîâåñèé èç [1]
ïîëó÷àåòñÿ â êà÷åñòâå ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ èç îïðåäåëåíèé 1–7, åñëè â íèõ ðàññìàòðè-
âàòü òîëüêî êîàëèöèè P1, ñîñòîÿùèå èç îäíîãî ó÷àñòíèêà. Ñëåäîâàòåëüíî, áàçîâûå
ðàâíîâåñèÿ ñòðîÿòñÿ íà îñíîâå îïðåäåëåíèé (1)–(7) òî÷íî òàê æå, êàê îïðåäåëå-
íèå 1a îáðàçîâàíî èç îïðåäåëåíèÿ 1. Îòìåòèì, ÷òî äàëüíåéøåå ðàñøèðåíèå áàçîâîé
ñèñòåìû ðàâíîâåñèé [1] ïîëó÷åíî â ðàáîòàõ [5–8].
ÑÒÀÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÈÃÐÎÂÛÅ ÇÀÄÀ×È
Ïîñêîëüêó â ñàìîì îïðåäåëåíèè �D -ðàâíîâåñèå (9) ñîäåðæèò ýëåìåíòû îïðåäå-
ëåíèÿ D-ðàâíîâåñèÿ, âûÿñíèì îòíîøåíèÿ ìåæäó ýòèìè ðàâíîâåñèÿìè. ×òîáû
íå óñëîæíÿòü äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóþùåé òåîðåìû íåñóùåñòâåííûìè îáñòî-
ÿòåëüñòâàìè, ñâÿçü ìåæäó ýòèìè ðàâíîâåñèÿìè óñòàíàâëèâàåòñÿ òîëüêî äëÿ ñëó-
÷àÿ áàçîâûõ D- è �D -ðàâíîâåñèé.
Òåîðåìà 1. Áàçîâîå �D -ðàâíîâåñèå ñîäåðæèò â ñåáå áàçîâîå D-ðàâíîâåñèå.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî èç ñàìèõ îïðåäåëåíèé D- è
�D -ðàâíîâåñèé ñëåäóåò, ÷òî îíè, êîãäà ñóùåñòâóþò, ñîäåðæàòñÿ âî ìíîæåñòâå A ,
ïîñêîëüêó D- è �D -ðàâíîâåñíûå ñèòóàöèè îïðåäåëÿþòñÿ â êîíå÷íîì èòîãå íà ïåðå-
ñå÷åíèè ìíîæåñòâ Ai , ò.å. íà A .
Ïîêàæåì, ÷òî � �D D .  ñëó÷àå ðàññìîòðåíèÿ òîëüêî áàçîâûõ ðàâíîâåñèé àð-
ãóìåíò ôóíêöèîíàëà J k â (3à) è (9a) îäèíàêîâ. Îäíàêî â ñëó÷àå áàçîâîãî D-ðàâíî-
âåñèÿ ìíîæåñòâî PrQ k
k
A çíà÷åíèé àðãóìåíòà ôóíêöèîíàëà J k â (3à) âêëþ÷àåò â
ñåáÿ ìíîæåñòâî A qk
k( )� çíà÷åíèé àðãóìåíòà J k â (9a). Îòñþäà ñëåäóåò � �D D .
 ñàìîì äåëå, ïóñòü q� — D-ðàâíîâåñíàÿ ñèòóàöèÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â òî÷êå qk
�
ôóíêöèîíàë J k , ñîãëàñíî (3à), äîñòèãàåò ìàêñèìóìà íà ìíîæåñòâå PrQ k
k
A . Åñëè
ó÷åñòü, ÷òî ñå÷åíèå A qk
k( )� ìíîæåñòâà Ak â òî÷êå q q qk
k� � �� ( , ) ïðåäñòàâëÿåò ñî-
áîé ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà PrQ k
k
A ; maxJ k íà ýòîì ïîñëåäíåì ìíîæåñòâå äîñ-
òèãàåòñÿ, ñîãëàñíî (3à), â òî÷êå qk
� , è åñëè ðàññìàòðèâàòü òî÷êó ( , )q qk
k� � íå íà ìíî-
æåñòâå PrQ k
k
A , à íà åãî ïîäìíîæåñòâå A qk
k( )� , òî íà ýòîì ïîäìíîæåñòâå îíà òàê-
æå îáåñïå÷èâàåò ìàêñèìóì ôóíêöèîíàëó J k . Ýòî îçíà÷àåò, ñîãëàñíî (9a), ÷òî
ñèòóàöèÿ ( , )q qk
k� � ÿâëÿåòñÿ òàêæå è �D -ðàâíîâåñèåì. �
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî A-ðàâíîâåñèå (ïî êðàéíåé ìåðå, â �-àïïðîêñèìàöèè) ñóùåñòâóåò
â ëþáîé çàäà÷å [1] è ëþáàÿ ñèòóàöèÿ èç ìíîæåñòâà G A\ âñåãäà ìîæåò áûòü óëó÷-
øåíà äëÿ ñåáÿ õîòÿ áû îäíèì ó÷àñòíèêîì, âïîëíå åñòåñòâåííî ïðåíåáðå÷ü ýòèì íå-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2 119
ñóùåñòâåííûì ìíîæåñòâîì è çàíîâî èññëåäîâàòü èãðó, îïðåäåëÿÿ â íåé ðàâíîâåñèÿ
òèïà (1)–(8) è ëþáûå äðóãèå, ïðèíèìàÿ çà èñõîäíîå èãðîâîå ìíîæåñòâî óæå íå ìíî-
æåñòâî G, à ìíîæåñòâî A , è íàçûâàÿ íàéäåííûå íà íåì ðàâíîâåñèÿ ðàâíîâåñèÿìè
1-é èòåðàöèè. Çàòåì íà ìíîæåñòâå A1, êàê íà èñõîäíîì èãðîâîì ìíîæåñòâå, ìîæíî
ïîñòàâèòü âòîðóþ âñïîìîãàòåëüíóþ çàäà÷ó, è ò.ä. Âñëåäñòâèå òîãî ÷òî ëþáîå ìíî-
æåñòâî A k íèêîãäà íå áûâàåò ïóñòûì (â �-àïïðîêñèìàöèè), ýòà èòåðàöèîííàÿ ñõå-
ìà ïîçâîëÿåò â ëþáîé êîíôëèêòíîé çàäà÷å íàéòè íàèñèëüíåéøåå ðàâíîâåñèå, êî-
òîðîå áëàãîäàðÿ íîâîìó ïîíÿòèþ �D -ðàâíîâåñèÿ ïî÷òè âñåãäà îêàçûâàåòñÿ åäè-
íñòâåííûì. Ñìûñë ïîäîáíîãî èòåðàöèîííîãî ïîäõîäà ê ðåøåíèþ çàäà÷è â òîì,
÷òî íà êàæäîé ñëåäóþùåé èòåðàöèè òå ðàâíîâåñèÿ, êîòîðûå áûëè ïóñòûìè íà
ïðåäûäóùåé èòåðàöèè, ìîãóò îêàçàòüñÿ íå ïóñòûìè è òåì ñàìûì ïîçâîëÿò âûÿ-
âèòü íàèñèëüíåéøåå ðàâíîâåñèå. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî, íàïðèìåð, â çàäà÷àõ ñ
äâóìÿ ó÷àñòíèêàìè íà êàæäîé ñëåäóþùåé ( )k
1 -é èòåðàöèè âñå òèïû ðàâíîâåñèé,
óñèëèâàþùèå A k -ðàâíîâåñèå, ñòàíîâÿòñÿ áîëåå ñëàáûìè (ò.å. áîëåå ìíîãî÷èñëåí-
íûìè), â òî âðåìÿ êàê A k
1-ðàâíîâåñèÿ óñèëèâàþòñÿ (ìíîæåñòâî A k
1 íå ìîæåò
áûòü áîëüøå ìíîæåñòâà A k ).  çàäà÷àõ ñ ÷èñëîì ó÷àñòíèêîâ áîëüøå äâóõ ýòè ñâÿçè
ìåæäó ðàâíîâåñèÿìè íà ðàçíûõ èòåðàöèÿõ ìîãóò íàðóøàòüñÿ äëÿ ñèëüíûõ ðàâíîâå-
ñèé íåêîòîðûõ òèïîâ (ñì. òåîðåìó 2), ÷òî, îäíàêî, ñëó÷àåòñÿ âåñüìà ðåäêî.
Ñëåäóþùóþ òåîðåìó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îáîáùåíèå òåîðåìû 3.1.4 èç [1]
â ðàìêàõ ïðåäïðèíÿòîãî â äàííîé ðàáîòå ðàñøèðåíèÿ ìíîæåñòâà ïîíÿòèé êîíôëèêòíî-
ãî ðàâíîâåñèÿ.
Òåîðåìà 2.  ëþáîé êîíôëèêòíîé çàäà÷å íà îñíîâå áàçîâîé ñèñòåìû êîíôëèêò-
íûõ ðàâíîâåñèé èìååòñÿ âîçìîæíîñòü èòåðàöèîííî ñòðîèòü íîâûå ðàâíîâåñèÿ. Ïîñ-
ëå òîãî êàê íàéäåíû âñå áàçîâûå ðàâíîâåñèÿ (ðåøåíèå «íóëåâîé èòåðàöèè»), çàäà÷à
ðåøàåòñÿ çàíîâî, íî íå íà ìíîæåñòâå G, à íà ìíîæåñòâå A , ÷òî ïîçâîëÿåò íàéòè åùå
îäíó ñèñòåìó ðàâíîâåñèé («ïåðâîé èòåðàöèè»), è ò.ä. Â ðåçóëüòàòå íàõîäÿòñÿ ïîñëå-
äîâàòåëüíîñòè èç ðàâíîâåñèé A C B B D D D kk k k k k k k, , , , , , , , , ,� � � 0 1 2 � , ïðè÷åì
èòåðàöèè A k è C k èç áàçîâûõ ðàâíîâåñèé A è C 0 îáðàçóþò çàìêíóòûå êîëüöà èç
ïîïàðíî âëîæåííûõ îäíî â äðóãîå ðàâíîâåñèé; è âñåãäà A Ak k� �1 , ò.å. ñ óâåëè÷å-
íèåì èíäåêñà k ìíîæåñòâà A k ñóæàþòñÿ (óñèëèâàþòñÿ), à ïîñëåäîâàòåëüíûå èòåðà-
öèè ðàâíîâåñèÿ ïî Íýøó íà ìíîæåñòâàõ A k ðàñøèðÿþòñÿ (îñëàáëÿþòñÿ), ò.å.
C C kk k� � �1 1 2 3, , , ,� . Èòåðàöèè ðàâíîâåñèé (3)–(8), êàê ïðàâèëî, îñëàáëÿþòñÿ,
õîòÿ â îòäåëüíûõ ñëó÷àÿõ ìîãóò è óñèëèâàòüñÿ (òîëüêî â çàäà÷àõ ñ äâóìÿ ó÷àñòíè-
êàìè âñåãäà îñëàáëÿþòñÿ âñå òèïû ðàâíîâåñèé, óñèëèâàþùèå A-ðàâíîâåñèÿ). Â ëþ-
áûõ çàäà÷àõ âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå ñâÿçè ìåæäó ðàâíîâåñèÿìè:
Çàìå÷àíèå.  çàäà÷àõ ñ äâóìÿ ó÷àñòíèêàìè êîëüöåâàÿ ñòðóêòóðà ðàâíîâåñèé
îêàçûâàåòñÿ ñóùåñòâåííî áîëåå áîãàòîé çà ñ÷åò òîãî, ÷òî íà êàæäîé ñëåäóþùåé
èòåðàöèè âñåãäà ðàñøèðÿåòñÿ íå òîëüêî C 0 -ðàâíîâåñèå, ñîâïàäàþùåå ñ �B -ðàâíîâå-
ñèåì, íî è äðóãèå òèïû ðàâíîâåñèé. Âñëåäñòâèå ýòîãî âñå ðàâíîâåñèÿ òèïîâ B Ck k, ,
D D Dk k k, , ,� k �1 2, ,� , ñîäåðæàòñÿ âî ìíîæåñòâå A�. Ïîèñê íàèñèëüíåéøåãî ðàâ-
120 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2
������
��
��
111
1
1
11
1
11
0
;
;
CAB
D
B
DD
D
CD
CAB
D
B
DD
D
CD
CG
����
��
��
���
�
��
����
��
��
���
�
��
�
íîâåñèÿ ìîæíî íà÷àòü ñ òîãî, ÷òî ñíà÷àëà íàéòè ïðåäåëüíîå ìíîæåñòâî A k , à çàòåì
íà íåì èñêàòü íàèñèëüíåéøåå ðàâíîâåñèå, ÷òî çíà÷èòåëüíî ïðîùå, ÷åì ïðîâîäèòü
ïîèñê íà èñõîäíîì ìíîæåñòâå A .  îáùåì ñëó÷àå ïîèñê íàèñèëüíåéøåãî ðàâíîâå-
ñèÿ â çàäà÷àõ ñ ëþáûì ÷èñëîì ó÷àñòíèêîâ ñóùåñòâåííî óïðîùàåòñÿ èìåííî èç-çà
òîãî, ÷òî íà êàæäîé ñëåäóþùåé èòåðàöèè ñëàáåéøèå èç ðàâíîâåñèé (òèïà A k ) óñèëè-
âàþòñÿ (ìíîæåñòâà A k ñóæàþòñÿ), à îñòàëüíûå, áîëåå ñèëüíûå, òèïû ðàâíîâåñèé
ïî÷òè âñåãäà îñëàáëÿþòñÿ (ìíîæåñòâà �B , B , C, D, �D , D ïî÷òè âñåãäà ðàñøèðÿ-
þòñÿ). Åñëè êàêèå-ëèáî èç òèïîâ ðàâíîâåñèÿ áûëè ïóñòûìè íà ïðåäûäóùåé èòåðà-
öèè, òî íà ñëåäóþùåé îíè ìîãóò îêàçàòüñÿ íå ïóñòûìè.
 ïðèâåäåííûõ äàëåå ïðèìåðàõ âñå èçâåñòíûå ñèëüíûå ðàâíîâåñèÿ îêàçûâàþò-
ñÿ ïóñòûìè, è òîëüêî íîâîå ïîíÿòèå �D -ðàâíîâåñèÿ ïîçâîëÿåò íàéòè åäèíñòâåííîå
íàèñèëüíåéøåå ðàâíîâåñèå.
Ïðèìåð 1. Ðàññìîòðèì êîíôëèêòíóþ (èãðîâóþ) çàäà÷ó ñ äâóìÿ ó÷àñòíèêàìè,
â êîòîðîé íàéòè íàèñèëüíåéøåå ðàâíîâåñèå ïîìîãàåò ïðåäëàãàåìîå �D -ðàâíîâåñèå.
Ïóñòü êàæäûé èç èãðîêîâ ìàêñèìèçèðóåò ñâîþ (ìàòðè÷íóþ) ïëàòåæíóþ ôóíêöèþ
J q q J q q1 1 2 2 1 2
8 10 6
1 4 12
7 2 9
3 11 5
( , ) , ( ,�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
) �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
5 2 9
11 12 7
1 10 4
8 6 3
.
Îáà èãðîêà ðàñïîëàãàþò ÷åòûðüìÿ ñòðàòåãèÿìè: ïåðâûé èãðîê âûáèðàåò îäíó
èç ÷åòûðåõ ñòðîê, à âòîðîé — îäèí èç ÷åòûðåõ ñòîëáöîâ. Èãðîâîå ìíîæåñòâî G
â ýòîé çàäà÷å ñîñòîèò èç òåõ 12 ñèòóàöèé aij â ïðèâåäåííûõ ìàòðèöàõ, â ýëåìåíòàõ
êîòîðûõ âïèñàíû çíà÷åíèÿ ïëàòåæíûõ ôóíêöèé. Íàéäåì íàèáîëåå ñèëüíîå (èç ñó-
ùåñòâóþùèõ â ýòîé èãðîâîé çàäà÷å) ðàâíîâåñèå, ïðè÷åì ñíà÷àëà íàéäåì ìàòðè-
öû A1, A2 , A :
A A1 2�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
� � �
� �
�
� �
�
,
�
� �
� �
� � �
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
, A .
Íàõîäèì äàëåå áàçîâûå ðàâíîâåñèÿ:
� � � � � �B B a a a a B B a a a a1 1 14 22 34 42 2 2 11 23 34 42( , , , ), ( , , , ),
� � �B B a a( , )34 42 ,
C a a C a a a a C1 14 22 2 11 23 34 42� � ��( , ), ( , , ),, ,
� � � � � � � � � �� � �D D a D D a D D D D a1 1 42 2 2 23 42, , , .
Òàêèì îáðàçîì, ïðåäâàðèòåëüíî â êà÷åñòâå íàèñèëüíåéøåãî ðàâíîâåñèÿ îòìå-
òèì ñèòóàöèþ a42 , íàéòè êîòîðóþ óäàëîñü òîëüêî ñ ïîìîùüþ íîâîãî ïîíÿòèÿ
�D -ðàâíîâåñèÿ. Äëÿ ïîäòâåðæäåíèÿ ïîëó÷åííîãî ðåçóëüòàòà îïðåäåëèì òàêæå âñå
ðàâíîâåñèÿ 1-é èòåðàöèè, èñïîëüçóÿ òåîðåìó 2, ò.å. ðàññìàòðèâàÿ âñïîìîãàòåëüíóþ
èãðó íà ìíîæåñòâå A ñ ïëàòåæíûìè ôóíêöèÿìè
J q q J q q
1
1
1 2 2
1
1
8 6
4 12
9
11
( , ) , ( ,�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
� � �
� � �
2
5 9
12 7
4
6
) �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
� � �
� � �
.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2 121
Íàèñëàáåéøåå A1-ðàâíîâåñèå âî âñïîìîãàòåëüíîé èãðå çàäàåòñÿ ìàòðèöàìè
A A
1
1
2
1�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
� � �
� � �
� � �
� �
� �
� � �
�
,
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�� �
� � �
� � �
� � �
� � �
, A1 ,
à áàçîâûå ðàâíîâåñèÿ 1-é èòåðàöèè èìåþò âèä
� � � � � � � � �B B B B a a a a B B
1
1
1
1
2
1
2
1
11 23 34 42
1 1( , , , ) ,
C a a C a a a a C a a
1
1
34 42 2
1
11 23 34 42
1
23 42� � �( , ), ( , , ), ( , ), ,
� � � � � � � � �D D D D a D D
1
1
1
1
2
1
2
1
23
1 ,
D a D a D
1
1
42 2
1
23
1� � ��, , ,
� �D a a1
23 42( , ).
Èòàê, ïîñêîëüêó ñîãëàñíî òåîðåìå 2 è çàìå÷àíèþ ðàâíîâåñèå � �D a42 ñèëüíåå
ðàâíîâåñèÿ � �D a a1
23 42( , ), ñèòóàöèÿ a42 ÿâëÿåòñÿ íåìíîãî áîëåå ñèëüíûì ðàâíî-
âåñèåì, ÷åì ñèòóàöèÿ a23 . Âñå îñòàëüíûå ñèòóàöèè îêàçûâàþòñÿ ñóùåñòâåííî áî-
ëåå ñëàáûìè. È õîòÿ ñèòóàöèÿ a23 , â îòëè÷èå îò ñèòóàöèè a42 , îêàçàëàñü åùå è
�D 1-, è D 1-ðàâíîâåñíîé, ýòî íå äåëàåò åå ñòðàòåãè÷åñêè áîëåå ñèëüíûì ðàâíîâåñè-
åì, ÷åì ñèòóàöèÿ a42 , ïîñêîëüêó íà íóëåâîé èòåðàöèè ñèòóàöèÿ a23 íå ÿâëÿëàñü íè
�D -, íè D-, íè �D -ðàâíîâåñíîé. Òàêèì îáðàçîì, ñî ñòðàòåãè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ
(ò.å. ñ ïîçèöèé âçàèìíûõ óãðîç) ñèòóàöèÿ a42 íåìíîãî ñèëüíåå ñèòóàöèè a23 .
Çàìåòèì, ÷òî äàæå òîò ôàêò, ÷òî â ñèòóàöèè a23 îáà ó÷àñòíèêà ïîëó÷àþò âûèã-
ðûøè á�ëüøèå, ÷åì â ñèòóàöèè a42 , ñî ñòðàòåãè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ íå äàåò ýòîé
ñèòóàöèè ïðåèìóùåñòâ ïåðåä ïîñëåäíåé. Ïîñêîëüêó îáå ýòè ñèòóàöèè ïî÷òè ýêâè-
âàëåíòíû, ñ÷èòàòüñÿ ñ íèìè íåîáõîäèìî ïî÷òè êàê ñ ðàâíûìè. Ýòî ñòàíîâèòñÿ
îñîáåííî âàæíûì ïðè ðàññìîòðåíèè èãðû êàê êîîïåðàòèâíîé, â êîòîðîé èãðîêè,
ñêîîïåðèðîâàâøèñü, çàèíòåðåñîâàíû âûáðàòü ñèòóàöèþ a23 , â êîòîðîé îíè ïî-
ëó÷àþò ìàêñèìàëüíûé êîîïåðàòèâíûé äîõîä â ðàçìåðå 19. Îäíàêî òîò ôàêò, ÷òî
êîîïåðàòèâíûé äîõîä îêàçàëñÿ â äàííîì ñëó÷àå èìåííî â ñèòóàöèè a23 , íå äàåò
ýòîé ñèòóàöèè íèêàêîãî ïðåèìóùåñòâà ïåðåä ñèòóàöèåé a42 . Cïðàâåäëèâûé äå-
ëåæ êîîïåðàòèâíîãî äîõîäà íå çàâèñèò îò òîãî, â êàêîé ñèòóàöèè îí ðåàëèçóåò-
ñÿ, à ðàññ÷èòûâàåòñÿ òîëüêî â çàâèñèìîñòè îò íàèñèëüíåéøèõ (íàèñèëüíåéøåé)
ðàâíîâåñíûõ ñèòóàöèé, êàêîâûìè â äàííîì ñëó÷àå îêàçàëèñü ïî÷òè îäèíàêîâî
ðàâíîâåñíûå ñèòóàöèè a42 è a23 . Ñïðàâåäëèâûé äåëåæ êîîïåðàòèâíîãî äîõîäà â
ðàññìàòðèâàåìîé èãðå çàäàåòñÿ (ñîãëàñíî òåîðåìå 2 èç [8]) ôîðìóëàìè:
x1 19 11 12 36 1214�
�( ) / , , x2 19 6 7 36 6 86�
�( ) / , .
Îòìåòèì òàêæå, ÷òî âûïîëíåíèå 2-é è ïîñëåäóþùèõ èòåðàöèé â ýòîé çàäà÷å íå
èìååò ñìûñëà, òàê êàê êàæäûé ýëåìåíò ìàòðèöû A1 ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì ýëå-
ìåíòîì â ñîîòâåòñòâóþùèõ åìó ñòðîêå è ñòîëáöå (ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìàòðèöà A1 èã-
ðàåò ðîëü ïðåäåëüíîé ìàòðèöû A� ).
Ðàññìîòðèì åùå îäíó èãðó ñ äâóìÿ ó÷àñòíèêàìè, â êîòîðîé íàéòè íàèñèëüíåé-
øåå ðàâíîâåñèå (ðåøåíèå) ïîìîãàåò ïðåäëîæåííîå �D -ðàâíîâåñèå.
122 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2
Ïðèìåð 2. Ïóñòü êàæäûé èç èãðîêîâ ìàêñèìèçèðóåò ñâîþ (ìàòðè÷íóþ) ïëà-
òåæíóþ ôóíêöèþ
J q q J q q1 1 2 2 1 2
10 8 2 4
11 3
1 7
5 9 12 6
( , ) , ( ,�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
) �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
12 8 5 9
6 11
4 2
10 3 1 7
.
Íàéäåì íàèáîëåå ñèëüíîå (èç ñóùåñòâóþùèõ â ýòîé êîíôëèêòíîé çàäà÷å) ðàâ-
íîâåñèå, ïðè÷åì ñíà÷àëà íàéäåì ìàòðèöû A1, A2 , A :
A A1 2�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� � �
� � �
�
� � �
� �
� �
,
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� � �
� � � �
� �
, A .
Íàõîäèì äàëåå áàçîâûå ðàâíîâåñèÿ (2)–(9a):
� � � � � �B a a a B a a a B a1 11 21 41 2 12 21 44 21( , , ), ( , , ) , ,
B a a a a B a a a a B a1 11 21 33 41 2 12 21 23 44 21� � �( , , , ), ( , , , ), ,
C a a C a a C1 11 41 2 21 44� � ��( , ), ( , ), ,
� � � � � �� � � ��D a D a D D a D a D1 21 2 12 1 21 2 23, , , , , ,
D a D a D D1 11 2 44� � �� � ��, , , .
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî âñå ñèëüíûå ðàâíîâåñèÿ D, �D , D, è äàæå íîâîå �D , îêàçà-
ëèñü ïóñòûìè, à íåïóñòîé ÿâëÿåòñÿ òîëüêî îòíîñèòåëüíî ñëàáàÿ B-ðàâíîâåñíàÿ ñè-
òóàöèÿ a21. Äàëüíåéøèé ïîèñê íàèñèëüíåéøåãî ðàâíîâåñèÿ ïðîâåäåì ñ ïîìîùüþ
èòåðàöèé (èñïîëüçóÿ òåîðåìó 2).
Íàéäåì âñå ðàâíîâåñèÿ 1-é èòåðàöèè, ðàññìàòðèâàÿ âñïîìîãàòåëüíóþ èãðó
òîëüêî íà ìíîæåñòâå A , ò.å. êàê èãðó ñ ïëàòåæíûìè ôóíêöèÿìè
J q q J q q
1
1
1 2 2
1
1
10 8
11
5 6
( , ) , ( ,�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� � �
� � � �
� �
2
12 8
6
10 7
) �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� � �
� � � �
� �
.
Íàèñëàáåéøåå A1-ðàâíîâåñèå â ýòîé âñïîìîãàòåëüíîé èãðå çàäàåòñÿ ìàòðèöàìè
A A
1
1
2
1�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
� � �
� � � �
� � �
� �
� � �
� � � �
,
� �
� � �
� � �
� � � �
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
, A1 ,
à áàçîâûå ðàâíîâåñèÿ (2)–(8) 1-é èòåðàöèè èìåþò âèä
� � � � � � � � �B B B B B B a a a
1
1
2
1 1
1
1
2
1 1
12 21 44( , , ),
C a C a a a C a
1
1
21 2
1
12 21 44
1
21� � �, ( , , ), ,
� � � � � � � � ��D D a D D a D D
1
1
1
1
21 2
1
2
1
12
1 1, , ,
D a D a D D a a
1
1
21 2
1
12
1 1
21 44� � �� � �, , , ( , ).
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2 123
Èç íàéäåííûõ âî âñïîìîãàòåëüíîé çàäà÷å (íà 1-é èòåðàöèè) äâóõ �D 1-ðàâíî-
âåñíûõ ñèòóàöèé ( , )a a21 44 âûäåëÿåòñÿ îäíî íàèáîëåå ñèëüíîå ðàâíîâåñèå a21, òàê
êàê òîëüêî îíî ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî B- è C1-ðàâíîâåñíûì.
ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÈÃÐÛ
Ïóñòü i-é èãðîê, i �1 2, , âûáèðàÿ ñìåøàííóþ ñòðàòåãèþ q u ti i( , ), ñòðåìèòñÿ ïîëó÷èòü
ìàêñèìóì ôóíêöèîíàëà
J q dt f u x t dq dq ii
T W t
i( ) ( , , ) , ,
( )
� �� � � 0 1 2 1 2, (10)
ïðè îãðàíè÷åíèÿõ:
� ( , , )
( )
x f u x t dq dq
W t
� � � 1 2 , (11)
x t x j n x t x k K nj j k k
( ) , , , ( ) , ,0
0
1
11 1� � � � � , (12)
( , , )u u t W E E T1 2 1 2� � � � . (13)
Ïðèìåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: x x x En
n� �( , , )1 � ; Ei , i �1 2, , — êîíå÷íî-
ìåðíûå ïðîñòðàíñòâà; W — êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî â E E T1 2� � , W t( ) — ñå÷åíèå
ìíîæåñòâà W â ìîìåíò t T t t� � [ , ]0 1 ; K — ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà èíäåêñîâ
{ , }1 n ; U Wi Ei
�
�
Pr — ïðîåêöèÿ ìíîæåñòâà W íà Ei ; E E E� �
�
1 2 ; Qi — ìíîæåñòâî
ñìåøàííûõ ñòðàòåãèé q u ti i( , ) i-ãî ó÷àñòíèêà â çàäà÷å (10), (11) ñ íà÷àëüíûì óñëî-
âèåì x t x( )0
0� è çàìåíîé ìíîæåñòâà W íåêîòîðûì êîìïàêòíûì ìíîæåñòâîì
U U1 2� (ìíîæåñòâî Qi ñîãëàñíî òåîðåìàì 4.2.1 è 4.2.6 èç [9] — âûïóêëûé êîìïàêò
â *-ñëàáîé òîïîëîãèè ïðîñòðàíñòâà L T C Ui1
� ( , ( ))); P tqi
( ) — íîñèòåëü ìåðû q ti ( , )�
â ìîìåíò t T� , ò.å. òàêîå íàèìåíüøåå çàìêíóòîå ìíîæåñòâî â Ui , äîïîëíåíèå êîòî-
ðîãî èìååò q ti ( , )� -ìåðó íóëü.
Äîïóùåíèå 2. Ïóñòü T t t� [ , ]0 1 — îãðàíè÷åííûé ôèêñèðîâàííûé îòðåçîê âå-
ùåñòâåííîé îñè E1; ìíîæåñòâî W — êîìïàêò â E E T1 2� � ; îòîáðàæåíèå f
�
�
� � � �
( , , , , ) :f f f f U E T En
n n
0
1
0
2
1
2
� òàêîâî, ÷òî ôóíêöèÿ f u x
�
( , , )� èçìåðèìà
(ïî Ëåáåãó) ïðè âñåõ u U� , x E n� , à ôóíêöèÿ f t
�
( , , )� � ïðè êàæäîì t T� íåïðåðûâíî
äèôôåðåíöèðóåìà; ôóíêöèÿ | |f
�
ìàæîðèðóåòñÿ íà T ôóíêöèåé s t x( )( | | )
1 , ãäå
s t( ) — íåêîòîðàÿ èíòåãðèðóåìàÿ ôóíêöèÿ; x t T E n( ) : � — àáñîëþòíî íåïðåðûâíàÿ
ôóíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óðàâíåíèþ (11); êðîìå òîãî, ôóíêöèÿ f
�
óäîâëåòâîðÿåò
ñ èíòåãðèðóåìîé ôóíêöèåé b t( ) óñëîâèþ Ëèïøèöà
| ( , , ) ( , , ) | ( ) | |f u x t f u x t b t x x
� �
� � �
äëÿ âñåõ u U� , x x E t Tn, ,� � .
Ïóñòü G — ïîäìíîæåñòâî êîìïàêòíîãî ìíîæåñòâà Q Q1 2� , îáðàçîâàííîå òîëü-
êî òàêèìè ñòðàòåãèÿìè qi , êîòîðûå ïîçâîëÿþò îáåñïå÷èòü óäîâëåòâîðåíèå îãðàíè-
÷åíèé (12), (13), ïðè÷åì îãðàíè÷åíèÿ (12) ââîäÿò â çàäà÷ó (10)–(13) íåÿâíóþ çàâè-
ñèìîñòü ìåæäó ñòðàòåãèÿìè, à îãðàíè÷åíèÿ (13) — ÿâíóþ, â ñâÿçè ñ òåì, ÷òî ïî-
÷òè (â ñìûñëå ìåðû Ëåáåãà) â êàæäûé ìîìåíò t T� ìåðû q ti ( , )� ìîãóò áûòü
âûáðàíû ëèøü òàê, ÷òîáû ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå P tq q1 2
( ) èõ íîñèòåëåé P tq1
( ) è
P tq2
( ) îêàçûâàëîñü âî ìíîæåñòâå W t( ). Òîëüêî òàêèå ìåðû ñ÷èòàþòñÿ äîïóñòèìû-
ìè. Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî G — ìíîæåñòâî òîëüêî òàêèõ ïàð ìåð q t1 ( , )� è
124 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2
q t2 ( , )� , ïðîèçâåäåíèå íîñèòåëåé êîòîðûõ â êàæäûé ìîìåíò t T� ëåæèò â W t( ), ò.å.
P t P t W tq q1 2
( ) ( ) ( )� � ; PrQi
G — ïðîåêöèÿ ìíîæåñòâà G íà ïðîñòðàíñòâî Q
i
.
Çàìåòèì, ÷òî äëÿ äèíàìè÷åñêèõ çàäà÷, â îòëè÷èå îò ñòàòè÷åñêèõ, áîëåå ïëîäîò-
âîðíûì, ÷åì ïîíÿòèå A-ðàâíîâåñèÿ, îêàçûâàåòñÿ íåçíà÷èòåëüíîå åãî ñóæåíèå, ïî-
ðîæäàåìîå äèíàìèêîé, êîòîðîå íàçâàíî A c-ðàâíîâåñèåì [1, ñ. 202].
Îïðåäåëåíèå 10. Ñèòóàöèþ q Q�� íàçîâåì Ai
c-ýêñòðåìàëüíîé, åñëè ïðè çà-
äàííîé ñòðàòåãèè q tk
� ( ) äîïóñòèìîé îêàçûâàåòñÿ òîëüêî îäíà ñòðàòåãèÿ q ti
� ( ) èëè
åñëè êàæäîé äîïóñòèìîé ñòðàòåãèè q Q q qi k i� � �( ) \ i-ãî èãðîêà ìîæíî ïîñòàâèòü
â ñîîòâåòñòâèå ïî êðàéíåé ìåðå îäíó äîïóñòèìóþ ñòðàòåãèþ � �q q qk k i�
äðóãîãî
èãðîêà, òàê, ÷òîáû èìåëî ìåñòî îòíîøåíèå
J q q J qi k i i( � , ) ( )� �
ïðè óñëîâèè, ÷òî íåíóëåâîå (â ñìûñëå Ëåáåãà) ìíîæåñòâî â T, íà êîòîðîì
� ( )q t qk k� � , ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà èç T, íà êîòîðîì q t q ti i( ) ( )� � .
Ìíîæåñòâî âñåõ Ai
c-ýêñòðåìàëüíûõ ñèòóàöèé îáîçíà÷èì Ai
c , à ñèòóàöèè q� �
� �A A A c
1 2�
�
íàçîâåì A c-ðàâíîâåñíûìè.
Äëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ èãð ïîíÿòèå A c-ðàâíîâåñèÿ ãîðàçäî ïëîäîòâîðíåå ïî-
íÿòèÿ A-ðàâíîâåñèÿ, ïîñêîëüêó â îòíîøåíèè ïåðâîãî ïîëó÷åíû íåîáõîäèìûå óñëî-
âèÿ ðàâíîâåñíîñòè (òåîðåìà 5.3.1 èç [1]), àíàëîãè÷íûå íåîáõîäèìûì óñëîâèÿì
îïòèìàëüíîñòè äëÿ âàðèàöèîííûõ çàäà÷, ÷òî ïîçâîëÿåò èñêàòü âñåâîçìîæíûå ðàâ-
íîâåñèÿ â äèôôåðåíöèàëüíûõ èãðàõ, îïèðàÿñü íà ïðåäâàðèòåëüíî íàéäåííûå
ðàâíîâåñèÿ âî âñïîìîãàòåëüíûõ «ëîêàëüíûõ» çàäà÷àõ. Ýòè çàäà÷è ÿâëÿþòñÿ óæå íå
äèíàìè÷åñêèìè, à ñòàòè÷åñêèìè, êîòîðûå ñóùåñòâåííî ïðîùå èñõîäíîé äèôôåðåí-
öèàëüíîé èãðû. «Ëîêàëüíûå» çàäà÷è ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé èãðîâûå çàäà÷è ñ ïëàòåæ-
íûìè ôóíêöèÿìè, ðîëü êîòîðûõ èñïîëíÿþò ãàìèëüòîíèàíû èç íåîáõîäèìûõ óñëî-
âèé îïòèìàëüíîñòè A c-ðàâíîâåñèÿ.
Ðàññìîòðèì àíòàãîíèñòè÷åñêóþ äèôôåðåíöèàëüíóþ èãðó, â êîòîðîé ïðåäëàãà-
åìîå íîâîå �D -ðàâíîâåñèå ïîçâîëÿåò âûäåëèòü íàèñèëüíåéøèå ðàâíîâåñèÿ.
Ïðèìåð 3. Ïóñòü ïåðâûé èãðîê, âûáèðàÿ óïðàâëÿþùóþ ïåðåìåííóþ u t1 ( ),
ìàêñèìèçèðóåò, à âòîðîé, âûáèðàÿ óïðàâëÿþùóþ ïåðåìåííóþ u t2 ( ), ìèíèìèçèðóåò
ôóíêöèîíàë
J x dt� �
0
1
(14)
ïðè îãðàíè÷åíèÿõ:
� , ( ) , [ ; ]x
u
u
x t� � �2
1
0 0 0 1 , (15)
W u u u u u u u a u a a�
� � � {( , ): | | , | | , | | , | | ,1 2 1 2 2 1 1 21 1 0 1/ }2 . (16)
Èñïîëüçóÿ íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ñëàáûõ ðàâíîâåñèé èç òåîðå-
ìû 5.2.4 [1], ãàìèëüòîíèàí çàäà÷è (14)–(16) â ÷èñòûõ ñòðàòåãèÿõ ( ( ), ( ))u t u t1 2 çàïè-
øåì â âèäå H x p u u�
1 2 1/ è èç óðàâíåíèÿ (5.3.4) òåîðåìû 5.3.1 [1] ïîëó÷èì
� , ( )p
H
x
p1 1 0� � �
�
�
.
Èíòåãðèðóÿ ýòî óðàâíåíèå, íàõîäèì ìíîæèòåëü Ëàãðàíæà p p t t1 1 1: ( ) � � . Ïî-
ñêîëüêó p t1 0( ) ïðè âñåõ t T� �[ , ]0 1 , â êà÷åñòâå ïëàòåæíîé ôóíêöèè â «ëîêàëüíîé»
èãðå â êàæäûé ìîìåíò t ìîæíî ðàññìàòðèâàòü îäíó è òó æå ôóíêöèþ f u u� 2 1/ ,
îïðåäåëåííóþ íà ìíîæåñòâå W.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2 125
Íàéäåì áàçîâóþ ñèñòåìó ðàâíîâåñèé [1] â «ëîêàëüíîé» çàäà÷å (ðèñ. 1):
A EKME GRTG UW NQ1 � � � � ,
A HUWH FNQF GRSG EKLE2 � � � � ,
A A A EKLE GRSG NQ UW� �1 2� � � � ,
B NQ UW B GS EL NP UV B NP UV1 2� � �� � � � �, [ ) [ ), [ ) [ ),
C NQ UW C E G C1 2� � ��� �, , ,
D Q W D E G D1 2� � ��� �, , ,
� � � � � � � � ��D D Q W D D N U D D1 1 2 2� �, , ,
� �D NP UV[ ) [ )� .
Íàèáîëåå ñèëüíûì èç èçâåñòíûõ áàçîâûõ
ðàâíîâåñèé îêàçàëîñü ðàâíîâåñèå B �
� [ ) [ )NP UV� , ïðåäñòàâëÿþùåå ñîáîé äîâîëüíî
øèðîêîå ìíîæåñòâî, â êàæäîé òî÷êå êîòîðîãî
çíà÷åíèÿ ïëàòåæíîãî ôóíêöèîíàëà ðàçëè÷íû.
Èç áîëåå ñèëüíûõ ðàâíîâåñèé íåïóñòûì îêàçà-
ëîñü òîëüêî ïðåäëàãàåìîå íîâîå �D -ðàâíîâå-
ñèå, ñîâïàâøåå â äàííîé çàäà÷å ñ B-ðàâíîâåñè-
åì è ïîêàçàâøåå, ÷òî ìíîæåñòâî [ ) [ )NP UV�
ÿâëÿåòñÿ, ïî ñóùåñòâó, íå òîëüêî ñëàáûì B-ðàâ-
íîâåñèåì, íî è âåñüìà ñèëüíûì �D -ðàâíîâåñè-
åì. Îäíàêî �D -ðàâíîâåñèå âñå æå íåäîñòàòî÷-
íî ñèëüíîå, ÷òîáû âûäåëèòü èç ìíîæåñòâà
B-ðàâíîâåñèé åñëè íå ïàðó ñèììåòðè÷íûõ òî-
÷åê, òî õîòÿ áû íåêîòîðîå ïîäìíîæåñòâî. Ýòî óêàçûâàåò íà òî, ÷òî äàæå ñ âêëþ÷å-
íèåì �D -ðàâíîâåñèÿ â óæå èçâåñòíóþ áàçîâóþ ñèñòåìó ðàâíîâåñèé îíà âñå åùå íå
âïîëíå ïîëíàÿ è íåîáõîäèì ïîèñê íîâûõ ïîíÿòèé êîíôëèêòíîãî ðàâíîâåñèÿ. Ïîä-
òâåðäèòü ýòîò âûâîä ïîçâîëÿåò ðàññìîòðåíèå ñëåäóþùèõ èòåðàöèé ñ èñïîëüçîâà-
íèåì òåîðåìû 2.
Íàéäåì ðàâíîâåñèÿ íà 1-é èòåðàöèè èñõîäíîé èãðû, ïðèíÿâ ìíîæåñòâî A çà
èãðîâîå ìíîæåñòâî âî âñïîìîãàòåëüíîé èãðå (ò.å. èñêëþ÷èâ èç ðàññìîòðåíèÿ íå
ïðåäñòàâëÿþùåå èíòåðåñà äëÿ èãðîêîâ ìíîæåñòâî G A\ ). Ïîëó÷àåì:
A A A KLXK RSX R NQ UW A A
1
1
2
1 1
2
1� � � �, ,� � � ,
B NQ UW B LX SX NP UV
1
1
2
1� � �� � � �, [ ) [ ),
B NP UV1 � [ ) [ )� ,
C NQ UW C NP UV S L
1
1
2
1� �� � � �, [ ) [ ) ,
C NP UV B1 � �[ ) [ )� ,
D D Q W D D U N D D
1
1
1
1
2
1
2
1 1 1� � � � � ��� �, , ,
� �D NP UV1 [ ) [ )� .
Ïåðâîå îñëàáëåíèå ïóñòîãî ìíîæåñòâà C-ðàâíîâåñèé, ò.å. ìíîæåñòâî C1, òå-
ïåðü íå ïóñòîå (÷òî ïðåäïîëàãàëîñü ïðè èñïîëüçîâàíèè 1-é èòåðàöèè). Îäíàêî ìíî-
æåñòâî C1, ñîâïàâøåå ñ ìíîæåñòâîì B, íå ïîçâîëèëî åãî ñóçèòü, à ëèøü óêàçàëî íà
126 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2
u2
u1
U T
H G
E F
M N
Q
Z
P
R
V
W
K
Z � Y �
S
X
L
Y
X �
Ðèñ. 1
òî, ÷òî ìíîæåñòâî ñèòóàöèé [ ) [ )NP UV� ÿâëÿåòñÿ íå òîëüêî B-ðàâíîâåñèåì, íî è
íåñêîëüêî áîëåå ñèëüíûì C1-ðàâíîâåñèåì. Áîëåå ñèëüíûå ðàâíîâåñèÿ
( �D D D1 1 1, , ), íåñìîòðÿ íà èõ îñëàáëåíèå íà ýòîé èòåðàöèè ïî ñðàâíåíèþ ñ «íóëå-
âîé» èòåðàöèåé, ñíîâà îêàçàëèñü ïóñòûìè, ïðè÷åì ìíîæåñòâî �D 1 íà 1-é èòåðàöèè
òîæå íå ðàñøèðèëîñü è ñîâïàëî ñî ìíîæåñòâîì �D .
Íàéäåì ðàâíîâåñèÿ 2-é èòåðàöèè, ïðèíèìàÿ ìíîæåñòâî A1 çà èñõîäíîå èãðîâîå:
A A A XKYX RY X R UW NQ
1
2 1
2
2� � � �, � � � ,
A A B NQ UW2
2
2
1
2� �, � ,
B XY X Y NZ U Z B NZ UZ
2
2 2� � � � � � �� � � �[ ) [ ), [ ) [ ),
C NQ UW C XY X Y NZ UZ
1
2
2
2� � � � �� � � �, [ ) [ ),
C NZ UZ D D2 2 2� � � ��� �, ,
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî áåñêîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èòåðàöèé ñõîäèòñÿ ê ìíî-
æåñòâó B C D NQ UW� � �� � � � [ ) [ )� , ïðè÷åì ìíîæåñòâî íàèñèëüíåéøèõ ðàâíî-
âåñíûõ ñèòóàöèé [ ) [ )NP UV� çàäàåòñÿ íàèñèëüíåéøèì íåïóñòûì ðàâíîâåñèåì íà
ìèíèìàëüíîé èòåðàöèè (ò.å. â äàííîé çàäà÷å — �D -ðàâíîâåñèåì). Òîò ôàêò, ÷òî ñó-
çèòü ìíîæåñòâî [ ) [ )NP UV� íàèñèëüíåéøèõ ðàâíîâåñèé íå óäàëîñü, ãîâîðèò î òîì,
÷òî äàæå ñ ó÷åòîì íîâîãî ïîíÿòèÿ ðàâíîâåñèÿ áàçîâàÿ ñèñòåìà ðàâíîâåñèé îñòàåòñÿ
íåïîëíîé è íåîáõîäèì ïîèñê íîâûõ ïîíÿòèé ðàâíîâåñèÿ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ñìîëüÿêîâ Ý.Ð. Òåîðèÿ êîíôëèêòíûõ ðàâíîâåñèé. — Ì.: Åäèòîðèàë ÓÐÑÑ, 2005. — 304 ñ.
2. Nash J. Non-cooperative games // Ann. Math. — 1951. — 54, N 2. — P. 286–295.
3. Âîðîáüåâ Í.Í. Îñíîâû òåîðèè èãð. Áåñêîàëèöèîííûå èãðû. — Ì.: Íàóêà, 1984. — 496 ñ.
4. Âàéñáîðä Ý.Ì., Æóêîâñêèé Â.È. Ââåäåíèå â äèôôåðåíöèàëüíûå èãðû íåñêîëüêèõ ëèö è èõ ïðè-
ëîæåíèÿ. — Ì.: Ñîâ. ðàäèî, 1980. — 304 ñ.
5. Ñìîëüÿêîâ Ý.Ð. Ïîíÿòèÿ êîàëèöèîííûõ êîíôëèêòíûõ ðàâíîâåñèé // Äèô. óðàâíåíèÿ. — 2006. — 42,
¹ 11. — Ñ. 1539–1548.
6. Ñìîëüÿêîâ Ý.Ð. Ðàñøèðåííàÿ áàçîâàÿ ñèñòåìà êîíôëèêòíûõ ðàâíîâåñèé // Äîêë. ÐÀÍ. — 2006. —
409, ¹ 2. — Ñ. 163–166.
7. Ñìîëüÿêîâ Ý.Ð. Óñèëåííûå ðàâíîâåñèÿ äëÿ êîíôëèêòíûõ çàäà÷ // Òàì æå. — 2007. — 415, ¹ 3. —
Ñ. 318–321.
8. Ñìîëüÿêîâ Ý.Ð. Ïîíÿòèå ñïðàâåäëèâîãî äåëåæà â êîîïåðàòèâíûõ èãðàõ è åãî ïîèñê // Êèáåðíåòèêà è
ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2008. — ¹ 6. — Ñ. 131–141.
9. Âàðãà Äæ. Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå äèôôåðåíöèàëüíûìè è ôóíêöèîíàëüíûìè óðàâíåíèÿìè. — Ì.:
Íàóêà, 1977. — 624 ñ.
Ïîñòóïèëà 03.04.2008
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2 127
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-44348 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T18:16:00Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Смольяков, Э.Р. 2013-05-29T18:57:36Z 2013-05-29T18:57:36Z 2009 Подход к разрешению проблемы единственности решения игровых задач / Э.Р. Смольяков // Кибернетика и системный анализ. — 2009. — № 2. — С. 116-127. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44348 517.9 Запропоновано нове поняття сильної рівноваги, що доповнює відому базову систему конфліктних рівноваг та істотно збільшує можливість знаходження в будь-якій ігровій задачі єдиної найсильнішої рівноваги (розв’язку). На прикладах статичних і динамічних ігрових задач демонструється ефективність цієї рівноваги. A new concept of a strong conflict equilibrium is proposed, which supplements the well-known fundamental system of conflict equilibria and increases the possibility of finding a unique strongest equilibrium (solution) in any game problem. The efficiency of the new equilibrium is demonstrated for static and dynamic game problems. Работа выполнена по программе «Фундаментальные основы информационных технологий и систем» РАН, проект № 1-3. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Подход к разрешению проблемы единственности решения игровых задач Підхід до вирішення проблеми єдиності розв’язку ігрових задач An approach to solution uniqueness in game problems Article published earlier |
| spellingShingle | Подход к разрешению проблемы единственности решения игровых задач Смольяков, Э.Р. Системный анализ |
| title | Подход к разрешению проблемы единственности решения игровых задач |
| title_alt | Підхід до вирішення проблеми єдиності розв’язку ігрових задач An approach to solution uniqueness in game problems |
| title_full | Подход к разрешению проблемы единственности решения игровых задач |
| title_fullStr | Подход к разрешению проблемы единственности решения игровых задач |
| title_full_unstemmed | Подход к разрешению проблемы единственности решения игровых задач |
| title_short | Подход к разрешению проблемы единственности решения игровых задач |
| title_sort | подход к разрешению проблемы единственности решения игровых задач |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44348 |
| work_keys_str_mv | AT smolʹâkovér podhodkrazrešeniûproblemyedinstvennostirešeniâigrovyhzadač AT smolʹâkovér pídhíddoviríšennâproblemiêdinostírozvâzkuígrovihzadač AT smolʹâkovér anapproachtosolutionuniquenessingameproblems |