Зависимость показателей функционирования call-центра от распределения времени пребывания вызовов на орбите
Наведено опис процесу функціонування call-центру як системи масового обслуговування (СМО) з поверненнями. Розглядається залежність показників функціонування call-центру від розподілу часу перебування на циклі орбіти: марковського і двохфазного ерлангівського. Побудовано аналітичну модель СМО типу M/...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2009 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44355 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Зависимость показателей функционирования call-центра от распределения времени пребывания вызовов на орбите / С.В. Пустовая // Кибернетика и системный анализ. — 2009. — № 2. — С. 170-183. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859807866425180160 |
|---|---|
| author | Пустовая, С.В. |
| author_facet | Пустовая, С.В. |
| citation_txt | Зависимость показателей функционирования call-центра от распределения времени пребывания вызовов на орбите / С.В. Пустовая // Кибернетика и системный анализ. — 2009. — № 2. — С. 170-183. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Наведено опис процесу функціонування call-центру як системи масового обслуговування (СМО) з поверненнями. Розглядається залежність показників функціонування call-центру від розподілу часу перебування на циклі орбіти: марковського і двохфазного ерлангівського. Побудовано аналітичну модель СМО типу M/M/c///E2 . Виконано асимптотичний аналіз деяких параметрів систем M/M/c/0/2//M і M/M/c/0/2//E2 . Розроблено програму розв’язання систем M/M/c/0/N//E2 і M/M/c/0/N//M з використанням технології розріджених матриць.
The paper describes the operation of a call center as a retrial queuing system. The dependence of the performance indices on the Markovian and two-phase Erlang distribution of the calls’ sojourn time in the orbit is considered. An analytical model of an M/M/c/ / /E2 retrial queuing system is developed. An asymptotic analysis is performed for some characteristics of M/M/c/0/2//M and M/M/c/0/2//E2 systems. A software is developed forM/M/c/0/N//E2 and M/M/c/0/N//Msystems with the use of sparse matrices.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:17:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.872
Ñ.Â. ÏÓÑÒÎÂÀß
ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÜ ÏÎÊÀÇÀÒÅËÅÉ ÔÓÍÊÖÈÎÍÈÐÎÂÀÍÈß
CALL-ÖÅÍÒÐÀ ÎÒ ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈß ÂÐÅÌÅÍÈ ÏÐÅÁÛÂÀÍÈß
ÂÛÇÎÂÎÂ ÍÀ ÎÐÁÈÒÅ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñèñòåìà ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ ñ âîçâðàùåíèÿìè, call-öåíòð.
 íàñòîÿùåå âðåìÿ äëÿ äîñòèæåíèÿ óñïåõîâ â áèçíåñå êîìïàíèè óäåëÿþò áîëü-
øîå âíèìàíèå íåöåíîâûì ìåòîäàì êîíêóðåíöèè è, â ïåðâóþ î÷åðåäü, êà÷åñòâó
ïðåäëàãàåìûõ òîâàðîâ è óñëóã, èõ ñîîòâåòñòâèþ íóæäàì ïîòðåáèòåëåé. Ïðè ýòîì
âàæíî íå òîëüêî ïîëó÷èòü êà÷åñòâåííûé ïðîäóêò, íî è ïðåïîäíåñòè åãî êëèåíòó
òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû îí îñòàëñÿ óäîâëåòâîðåí îáñëóæèâàíèåì è îáðàòèëñÿ
â êîìïàíèþ ñíîâà.
Óñîâåðøåíñòâîâàòü ñïîñîáû âåäåíèÿ áèçíåñà è óñïåøíî ðåøèòü ïðîáëåìó èí-
äèâèäóàëüíîãî ïîäõîäà ê êëèåíòàì ïðè ìàññîâîì îáñëóæèâàíèè ïîçâîëÿþò ñðåä-
ñòâà, ðàçðàáîòàííûå íà îñíîâå ñîâðåìåííûõ èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé. Îäíèì
èç òàêèõ ñðåäñòâ ÿâëÿåòñÿ call-öåíòð (call center), ïðåäíàçíà÷åííûé äëÿ ñòðóêòóð,
êîòîðûå ðàáîòàþò ñ áîëüøèì êîëè÷åñòâîì êëèåíòîâ. Îñîáûé èíòåðåñ call-öåíòðû
ïðåäñòàâëÿþò äëÿ êîììåð÷åñêèõ ñòðóêòóð — áàíêîâ, òîðãîâûõ êîìïàíèé, îïåðàòî-
ðîâ ñâÿçè, îòåëåé, ñòðàõîâûõ è òåëåêîììóíèêàöèîííûõ ôèðì è ò.ï. Äëÿ ìíîãèõ èç
íèõ ÿâëÿþòñÿ î÷åâèäíûìè ïðåèìóùåñòâà èñïîëüçîâàíèÿ ñîâðåìåííûõ call-öåíòðîâ
òàêèå, êàê ïîâûøåíèå ïðîèçâîäèòåëüíîñòè ðàáîòû ïåðñîíàëà, îïòèìèçàöèÿ
îáñëóæèâàíèÿ è äð.
Ñòðóêòóðà call-öåíòðà. Call-öåíòð ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íàáîð ðåñóðñîâ (ïåðñî-
íàë, êîìïüþòåðû è òåëåêîììóíèêàöèîííîå îáîðóäîâàíèå) è ïðåäíàçíà÷åí äëÿ îá-
ñëóæèâàíèÿ çàÿâîê êëèåíòîâ c èñïîëüçîâàíèåì òåëåôîíà. Ýôôåêòèâíîñòü ðàáîòû
call-öåíòðà âî ìíîãîì çàâèñèò îò ïðîôåññèîíàëèçìà îïåðàòîðîâ è ðóêîâîäèòåëåé.
Call-öåíòðû, â ïåðâóþ î÷åðåäü, íóæíû òàì, ãäå îáû÷íûå ñðåäñòâà ñâÿçè íå ìîãóò
îáåñïå÷èòü áîëüøîå êîëè÷åñòâî ïîòåíöèàëüíûõ çàêàç÷èêîâ. Êðîìå òîãî, îáñëóæè-
âàíèå âûçîâîâ ÿâëÿåòñÿ ïåðâîé ñòóïåíüêîé ê îáùåíèþ ñ çàêàç÷èêàìè, îò êîòîðûõ
çàâèñèò, íàñêîëüêî êîððåêòíûì áóäåò îáñëóæèâàíèå åãî çàïðîñîâ â ðàìêàõ äàëü-
íåéøåé ñîâìåñòíîé ðàáîòû.
Ê íàèáîëåå âàæíûì çàäà÷àì â ðàáîòå call-öåíòðîâ ìîæíî îòíåñòè ñëåäóþùèå:
1) ïðàâèëüíûé ïðèåì è îáðàáîòêà ïîòîêà âõîäíûõ âûçîâîâ; 2) óïðàâëåíèå ðàáîòîé
â ðåàëüíîì ðåæèìå âðåìåíè, ÷òî ïîçâîëÿåò îïåðàòèâíî ðåàãèðîâàòü íà ñìåíó ïîòî-
êîâ âûçîâîâ è îáñëóæèâàòü èõ îïòèìàëüíûì êîëè÷åñòâîì ðåñóðñîâ; 3) îöåíêà ýô-
ôåêòèâíîñòè êàïèòàëîâëîæåíèé â call-öåíòð, êîòîðàÿ âûïîëíÿåòñÿ áëàãîäàðÿ íàëè-
÷èþ ñòàòèñòè÷åñêîé èíôîðìàöèè î ðàáîòå îïåðàòîðà, ãðóïïû îïåðàòîðîâ, çàãðó-
æåííîñòè ëèíèé ñîåäèíåíèÿ, âñåãî call-öåíòðà â öåëîì. Êðîìå òîãî, call-öåíòð
âûïîëíÿåò ñëåäóþùèå ôóíêöèè:
• êîíòðîëü êà÷åñòâà ðàáîòû îïåðàòîðà, ò.å. êà÷åñòâà îáñëóæèâàíèÿ àáîíåíòîâ;
• ïîâûøåíèå ñòåïåíè óäîâëåòâîðåíèÿ àáîíåíòîâ çà ñ÷åò áûñòðîé è êîððåê-
òíîé ðåàêöèè ñîòðóäíèêîâ call-öåíòðà íà çàïðîñû êëèåíòîâ;
• ïîâûøåíèå ñòåïåíè óäîâëåòâîðåíèÿ ðàáîòîé îïåðàòîðîâ call-öåíòðà çà ñ÷åò
ãðàìîòíîé îðãàíèçàöèè èõ ðàáî÷èõ ìåñò, àâòîìàòèçàöèè èëè óïðîùåíèÿ ðó-
òèííûõ ïðîöåäóð è ò.ä.;
• ýêîíîìèÿ ÷åëîâå÷åñêèõ ðåñóðñîâ è ðàçëè÷íûõ çàòðàò;
• óìåíüøåíèå êîëè÷åñòâà íåîáñëóæåííûõ âûçîâîâ è èõ êîíòðîëü.
170 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2
� Ñ.Â. Ïóñòîâàÿ, 2009
Îñíîâíîé ýôôåêò îò èñïîëüçîâàíèÿ call-öåíòðîâ — ñíèæåíèå çàòðàò ïî îáñëó-
æèâàíèþ êëèåíòîâ, ïîâûøåíèå êà÷åñòâà îáñëóæèâàíèÿ, ñîçäàíèå íîâûõ âèäîâ
óñëóã, êîòîðûå äàþò êîìïàíèè ïðåèìóùåñòâà ïåðåä êîíêóðåíòàìè.
 Óêðàèíå ïåðâûå call-öåíòðû ïîÿâèëèñü â áàíêàõ â íà÷àëå XXI ñòîëåòèÿ è âû-
òåñíèëè òðàäèöèîííûå ìíîãîêàíàëüíûå òåëåôîíû. Â çàâèñèìîñòè îò èñïîëüçóåìîé
òåõíîëîãèè ðûíîê òàêèõ öåíòðîâ âêëþ÷àåò òðè ñåãìåíòà: 1) èííîâàöèîííûé — âîç-
íèê â ðåçóëüòàòå äâèæåíèÿ IP-òåõíîëîãèé íàâñòðå÷ó òðàäèöèîííîé òåëåôîíèè;
2) òðàäèöèîííûé — âîçíèê â ðåçóëüòàòå ðàçâèòèÿ ÀÒÑ è åå ñëèÿíèÿ ñ IP-ïëàòôîð-
ìîé; 3) àëüòåðíàòèâíûé — ñôîðìèðîâàëñÿ ñàìîñòîÿòåëüíî íà áàçå îòêðûòûõ
ñèñòåì êîìïüþòåðíî-òåëåôîííîé èíòåãðàöèè.
Èäåíòèôèöèðîâàíèå êëèåíòà è âûÿâëåíèå öåëè åãî çàïðîñà âûïîëíÿåòñÿ ñ ïî-
ìîùüþ àâòîìàòè÷åñêîãî îïðåäåëèòåëÿ íîìåðà (ÀÎÍ), öèôðîâîãî êîäà (ïàðîëÿ),
íàáðàííîãî êëèåíòîì, èëè ïóòåì ïðÿìîãî îïðàøèâàíèÿ êëèåíòà. Ïîëó÷åííàÿ èí-
ôîðìàöèÿ èñïîëüçóåòñÿ ñèñòåìîé àâòîìàòè÷åñêîé (ACD, automatic call distribution)
èëè èíòåëëåêòóàëüíîé (ICR, intelligent call router) ìàðøðóòèçàöèè âûçîâîâ, êîòîðàÿ
«íàïðàâëÿåò» êëèåíòà ïî íóæíîìó àäðåñó — íà àâòîìàò èëè ê îïåðàòîðó.
Ïîñëå îïðåäåëåíèÿ öåëè çàïðîñà â àâòîìàòè÷åñêîì call-öåíòðå â ðåæèìå äèà-
ëîãà ñ êëèåíòîì îáùàåòñÿ àâòîîòâåò÷èê — óñòðîéñòâî èíòåðàêòèâíîãî ãîëîñîâîãî
îòâåòà (IVRU, interactive voice response unit). Ïðè «æèâîì» îáùåíèè êîìïüþòåð ïå-
ðåä íà÷àëîì ïåðåãîâîðîâ âûâîäèò íà ýêðàí ìîíèòîðà îïåðàòîðà äàííûå î êëèåíòå è
ñóòè åãî çàïðîñà. Â ðàñïîðÿæåíèå îïåðàòîðà ìîæåò, íàïðèìåð, ïðåäîñòàâëÿòüñÿ
ñëåäóþùàÿ èíôîðìàöèÿ: èìÿ êëèåíòà, åãî ïîñëåäíèå ñîãëàøåíèÿ, îïåðàöèè,
çàäîëæåííîñòü è äð.
Call-öåíòðû ïîñòåïåííî ïðèîáðåòàþò ïðèçíàêè øèðîêîãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ è
îïðåäåëåííîãî ñòàíäàðòà â ñîöèàëüíîé ñôåðå è ñôåðå îáñëóæèâàíèÿ. Òàêèì îáðà-
çîì, ïîñòðîåíèå àäåêâàòíîé ìîäåëè call-öåíòðà ñ öåëüþ îïðåäåëåíèÿ ïîêàçàòåëåé
ýôôåêòèâíîñòè íà ñòàäèè ïðîåêòèðîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ àêòóàëüíîé çàäà÷åé.
Èñïîëüçóåìûå ìåòîäû. Èíñòðóìåíòîì ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ
call-öåíòðà ÿâëÿþòñÿ ñðåäñòâà òåîðèè ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ (ÒÌÎ) [1], ñ ïî-
ìîùüþ êîòîðûõ ñòðîèòñÿ àíàëèòè÷åñêàÿ ìîäåëü call-öåíòðà. Íà ïðîòÿæåíèè ïî-
ñëåäíèõ 20 ëåò èíòåíñèâíî èçó÷àþòñÿ ñèñòåìû ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ ñ âîçâðà-
ùåíèÿìè (ïîâòîðåíèÿìè) [2, 3]. Èìåííî ýòè ìîäåëè àäåêâàòíî îïèñûâàþò ôóíêöè-
îíèðîâàíèå call-öåíòðà. Ñëåäóåò îòìåòèòü ìîíîãðàôèþ [4] ïî òåîðèè ñèñòåì
ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ (ÑÌÎ) ñ âîçâðàùåíèÿìè. Â òî æå âðåìÿ Àãþð [5] è äðó-
ãèå èññëåäîâàòåëè ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ call-öåíòðîâ óêàçûâàþò íà îòðèöàòåëü-
íûå ïîñëåäñòâèÿ â ñâÿçè ñ ïðåíåáðåæåíåì âîçâðàùåíèé ïðè ðàñ÷åòå îïòèìàëüíîãî
êîëè÷åñòâà îïåðàòîðîâ.
Ôóíêöèîíèðîâàíèå call-öåíòðà. Ïðîöåññ ôóíêöèîíèðîâàíèÿ call-öåíòðà â
îáùåì ñëó÷àå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñõåìû, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 1.
Íà âõîä call-öåíòðà ñ îïðåäåëåííîé èíòåíñèâíîñòüþ ïîñòóïàþò âûçîâû îò
àáîíåíòîâ, êîòîðûå íàçûâàþò ïåð-
âè÷íûìè. Åñëè â ìîìåíò èõ ïîñòóï-
ëåíèÿ êàêîé-ëèáî èç îïåðàòîðîâ ñâî-
áîäåí, òî âûçîâ ïîëó÷àåò îáñëóæèâà-
íèå, ïîñëå ÷åãî îñòàâëÿåò ñèñòåìó.
Åñëè âñå îïåðàòîðû çàíÿòû, òî âûçîâ
ðàçìåùàþò â î÷åðåäü. Íà ýòîì ýòàïå
àáîíåíò ìîæåò îòêàçàòüñÿ ñòàíîâèòü-
ñÿ â î÷åðåäü, îñòàâèòü ñèñòåìó íà-
âñåãäà èëè ñäåëàòü ïîâòîðíûé âûçîâ
÷åðåç íåêîòîðûé ïðîìåæóòîê âðåìå-
íè. Àáîíåíò, êîòîðûé íàõîäèòñÿ â
î÷åðåäè, äîæèäàåòñÿ íà îáñëóæèâà-
íèå èëè ïðåêðàùàåò îæèäàíèå è ïî-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2 171
Î÷åðåäü
1
2
ñ
...
Îïåðàòîðû
Ïåðâè÷íûå
âûçîâû
Âîçâðàùåíèå
âûçîâîâ
Âîçâðàùåíèå
âûçîâîâ
Óòåðÿííûå âûçîâû
Óòåðÿííûå âûçîâû
Ðèñ. 1. Ñõåìà ôóíêöèîíèðîâàíèÿ call-öåíòðà
âòîðÿåò âûçîâ èëè íàâñåãäà îñòàâëÿåò ñèñòåìó.  ðåàëüíûõ ñèñòåìàõ ðàçìåð î÷åðå-
äè îãðàíè÷åí âîçìîæíîñòÿìè òåëåêîììóíèêàöèîííîãî îáîðóäîâàíèÿ (íàïðèìåð,
êîëè÷åñòâîì òåëåôîííûõ ëèíèé, êîëè÷åñòâîì ëèíèé ãîëîñîâîãî îòâåò÷èêà è ò.ï.).
Èòàê, åñëè íà ìîìåíò ïîñòóïëåíèÿ âûçîâà â call-öåíòðå âñå îïåðàòîðû è âñå ìåñòà â
î÷åðåäè çàíÿòû, òî àáîíåíò óñëûøèò ñèãíàë «çàíÿòî» (ïðè ýòîì ãîâîðÿò, ÷òî ñèãíàë
áëîêèðóåòñÿ).
Èç ðèñ. 1 âèäíî, ÷òî âîçâðàùåíèÿ ÿâëÿþòñÿ îäíèì èç ñîñòàâíûõ âõîäíîãî ïî-
òîêà âûçîâîâ è èõ èãíîðèðîâàíèå ìîæåò ñóùåñòâåííî ïîâëèÿòü íà îñíîâíûå ïàðà-
ìåòðû ôóíêöèîíèðîâàíèÿ call-öåíòðà. Èìåííî ïîýòîìó èç âñåõ ðàçíîîáðàçíûõ àñ-
ïåêòîâ ôóíêöèîíèðîâàíèÿ call-öåíòðà íàèáîëåå èíòåðåñíûìè è âàæíûìè ÿâëÿþòñÿ
âîïðîñû, ñâÿçàíûå ñ ïîâòîðíûìè ïîïûòêàìè äîçâàíèâàíèÿ àáîíåíòîâ. Èòàê,
call-öåíòð ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìíîãîêàíàëüíóþ ÑÌÎ ñ âõîäíûìè ïîòîêàìè ïåð-
âè÷íûõ è ïîâòîðíûõ âûçîâîâ, ñ ìåñòàìè îæèäàíèÿ è îòêàçàìè.
 ðàáîòàõ [6, 7] äåòàëüíî ðàññìîòðåí ïðîöåññ ôóíêöèîíèðîâàíèÿ call-öåíòðà è
ïîñòðîåíà åãî àíàëèòè÷åñêàÿ ìîäåëü êàê ÑÌÎ òèïà M M c/ / / 0 ñ âîçâðàùåíèÿìè è
ïîòåðÿìè, ïîëó÷åíû àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ äëÿ ïîêàçàòåëåé ýôôåêòèâíîñòè åãî
ôóíêöèîíèðîâàíèÿ, à â ðàáîàòõ [7, 8] ïîñòðîåíà ñòàòèñòè÷åñêàÿ ìîäåëü. Ñ ïðàêòè÷åñ-
êîé òî÷êè çðåíèÿ, íàèáîëåå âàæíûìè ïîêàçàòåëÿìè êà÷åñòâà îáñëóæèâàíèÿ àáîíåí-
òîâ call-öåíòðà ÿâëÿþòñÿ ñòàöèîíàðíàÿ âåðîÿòíîñòü áëîêèðîâàíèÿ âûçîâà (ïðè ïî-
ñòóïëåíèè çàÿâêè âñå êàíàëû çàíÿòû), ñðåäíåå êîëè÷åñòâî âûçîâîâ íà öèêëå îðáèòû,
ñðåäíåå êîëè÷åñòâî çàíÿòûõ êàíàëîâ îáñëóæèâàíèÿ, âåðîÿòíîñòü óòåðè âûçîâà.
Call-öåíòð, êàê ñèñòåìà ñ âîçâðàùåíèåì âûçîâîâ, ïðèíàäëåæèò êëàññó ñèñòåì
ñ äèñêðåòíûìè ñîáûòèÿìè. Àíàëèòè÷åñêèìè ìåòîäàìè èõ ìîæíî èññëåäîâàòü,
ëèøü ïðåäâàðèòåëüíî óïðîñòèâ ñèñòåìó. Â [6–8] äëÿ óïðîùåíèÿ áûëè ðàññìîòðåíû
ýêñïîíåíöèàëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ âðåìåí îáñëóæèâàíèÿ è èíòåðâàëîâ ìåæäó
ïåðâè÷íûìè âûçîâàìè è âîçâðàùåíèÿìè.
Èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ýðëàíãîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå âûçîâîâ íà öèêëå îðáèòû
êàê áîëåå àäåêâàòíîå ðåàëüíîé òåëåôîííîé ñèñòåìå. À. Ê. Ýðëàíã îòìåòèë ÷ðåçâû-
÷àéíóþ ïðîñòîòó ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ è óâèäåë â íåì ìîùíîå ñðåä-
ñòâî èññëåäîâàíèÿ ÑÌÎ [9, ñ. 137]. Îí îòìåòèë, ÷òî ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëå-
íèå íå âñåãäà ïîçâîëÿåò àäåêâàòíî îïèñàòü íàñòîÿùóþ êàðòèíó ðàñïðåäåëåíèÿ âðå-
ìåíè îáñëóæèâàíèÿ (è ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè ìåæäó âõîäíûìè âûçîâàìè), è
ïîýòîìó ïðåäëîæèë ðàçëîæèòü ðàñïðåäåëåíèå âðåìåíè îáñëóæèâàíèÿ â âèäå
ñîñòàâëÿþùèõ ýêñïîíåíöèàëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé.
Àíàëèòè÷åñêàÿ ìîäåëü. Ðàñ-
ñìîòðèì call-öåíòð êàê ÑÌÎ òèïà
M M c E/ / / / / /0 2 , ò.å. êàê ñèñòåìó
ñ ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñïðåäåëåííûì
âõîäíûì ïîòîêîì âûçîâîâ, ýêñïî-
íåíöèàëüíî ðàñïðåäåëåííûìè âðå-
ìåíàìè îáñëóæèâàíèÿ, ñ c êàíàëà-
ìè, áåç ìåñò îæèäàíèÿ, ñ íåîãðàíè-
÷åííîé îðáèòîé, áåç ïîòåðü è ñ
äâóõôàçíûì ýðëàíãîâñêèì ðàñïðå-
äåëåíèåì ïîòîêà òðåáîâàíèé íà
îðáèòå (ðèñ. 2).
Ïóñòü íà ñ êàíàëîâ îáñëóæèâà-
íèÿ ïîñòóïàåò ïóàññîíîâñêèé ïîòîê ïåðâè÷íûõ âûçîâîâ ñ èíòåíñèâíîñòüþ � (ïëîò-
íîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ a x e x( ) � �� � ). Åñëè ïðè ïîñòóïëåíèè âûçîâà â ñèñòåìó êà-
êîé-ëèáî êàíàë îáñëóæèâàíèÿ ñâîáîäåí, òî âûçîâ íåìåäëåííî çàíèìàåò ýòîò êàíàë
è îñòàâëÿåò ñèñòåìó ïîñëå îáñëóæèâàíèÿ. Îäíàêî åñëè íà ìîìåíò ïðèõîäà íîâîãî
âûçîâà âñå ñ êàíàëîâ çàíÿòû, òî âûçîâ ôîðìèðóåò èñòî÷íèê ïîâòîðíûõ âûçîâîâ
(âîçâðàùåíèé) — îðáèòó.
172 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2
1
c
2
...
Ïåðâè÷íûå âûçîâû
Âîçâðàùåíèå j
Êàíàëû îáñëóæèâàíèÿ
Á
ë
î
ê
è
ð
î
â
àí
è
å
2 1
2�2�
Ðèñ. 2. ÑÌÎ òèïà M M c E/ / / / / /0 2
Êàæäûé òàêîé èñòî÷íèê îáðàçîâûâàåò äâóõôàçíûé ýðëàíãîâñêèé ïðîöåññ ïî-
âòîðíûõ âûçîâîâ ñ ïàðàìåòðîì � (ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ d x xe x( ) ( ) ( )� �2 2 2� � ).
Èíûìè ñëîâàìè, êàæäûé ïîâòîðíûé âûçîâ ïðîõîäèò äâå ôàçû äî òîãî, êàê ïîïàäåò
íà îáñëóæèâàíèå. Åñëè íà ìîìåíò ïîñòóïëåíèÿ ïîâòîðíîãî âûçîâà ñî âòîðîé ôàçû
ëþáîé êàíàë îáñëóæèâàíèÿ ñâîáîäåí, òî âûçîâ îáñëóæèâàåòñÿ è çàòåì îñòàâëÿåò
ñèñòåìó, à èñòî÷íèê âîçâðàùåíèé èñ÷åçàåò. Åñëè æå âñå êàíàëû çàíÿòû, òî âûçîâ
äåëàåò ïîïûòêó ñíîâà ïîëó÷èòü îáñëóæèâàíèå.
Ïóñòü âðåìåíà îáñëóæèâàíèÿ ðàñïðåäåëåíû ýêñïîíåíöèàëüíî ñ ïàðàìåòðîì �
(ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ b x e x( ) � �� � ). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èíòåðâàëû ìåæäó ïî-
ñòóïëåíèÿìè ïåðâè÷íûõ è ïîâòîðíûõ âûçîâîâ è âðåìåíà îáñëóæèâàíèÿ ÿâëÿþòñÿ
âçàèìíî íåçàâèñèìûìè.
Ôóíêöèîíèðîâàíèå ñèñòåìû ìîæíî îïèñàòü ñ ïîìîùüþ òðåõìåðíîãî ïðîöåññà
( ( ), ( ), ( ))X t Y t Z t , ãäå X t( ) — êîëè÷åñòâî çàíÿòûõ êàíàëîâ îáñëóæèâàíèÿ (äëÿ îä-
íîêàíàëüíîé ñèñòåìû — êàíàë çàíÿò/íå çàíÿò), Y t( ) è Z t( ) — êîëè÷åñòâî òðåáîâà-
íèé íà îðáèòå, êîòîðûå íàõîäÿòñÿ ñîîòâåòñòâåííî íà ïåðâîé è âòîðîé ôàçàõ â ìî-
ìåíò t; ñóììà Y t Z t( ) ( )� ïðåäñòàâëÿåò êîëè÷åñòâî òðåáîâàíèé íà îðáèòå â ìîìåíò
âðåìåíè t. Ïðîöåññ ( ( ), ( ), ( ))X t Y t Z t îïðåäåëåí íà ìíîæåñòâå ñîñòîÿíèé
S c� � �{ } { } { }0 1 0 1 0 1, ,... , , ,... , ,... .
Îäíîêàíàëüíàÿ ñèñòåìà. ÑÌÎ òèïà M M NL E/ / / / / /1 0 2 îïèñûâàåòñÿ òðåõ-
ìåðíûì ïðîöåññîì ( ( ), ( ), ( ))X t Y t Z t , îïðåäåëåííûì íà ìíîæåñòâå ñîñòîÿíèé
S � � �{ } { } { }0 1 0 1 0 1, , ,... , ,... .
Èíòåíñèâíîñòè ïåðåõîäîâ q
k i j g m n( , , )( , , )
, k g, ,� { }0 1 , i j m n, , , , ,...� { }0 1 , (èíôè-
òåçèìàëüíûå ïåðåõîäíûå èíòåíñèâíîñòè) ïðîöåññà ( ( ), ( ), ( ))X t Y t Z t çà ïðîìåæóòîê
âðåìåíè ( , ),t t dt t� � 0 , îïðåäåëÿþòñÿ òàê:
ïðè k � 0
q
j
i
i j
ij g m n( )( , , )
,
,
,
( ),
0
2
2
2 2
0
�
� � �
�
�
��
�
�
�
�
�
� � �
�
�
� � �
�
( , , ) ( , , ),
( , , ) ( , , ), ,
( , , ) ( ,
g m n i j
g m n i j j
g m n
1
1 1 1
0 i j i
g m n i j
� � �
�
1 1 1
0
, ), ,
( , , ) ( , , ),
â äðóãèõ ñëó àÿõ;
ïðè k � 1
q
j
i
g m
ij g m n( )( , , )
,
,
,
( ),
( , ,
1
2
2
0
�
� � �
�
�
��
�
�
�
�
�
�
� � �
n i j
g m n i j i
g m n i
) ( , , ),
( , , ) ( , , ), ,
( , , ) ( , ,
� �
� � � �
�
1 1
1 1 1 1
0 j
g m n i j
),
( , , ) ( , , ),� 1
â äðóãèõ ñëó àÿõ.
Îáîçíà÷èì p t P X t k Y t i Z t jkij ( ) ( ) , ( ) , ( )� � � �{ } âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ìî-
ìåíò t ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè ( , , )k i j , ò.å. â ñèñòåìå çàíÿòû k êàíàëîâ (äëÿ
îäíîêàíàëüíîé ñèñòåìû — êàíàë çàíÿò/íå çàíÿò) è íà îðáèòå íàõîäèòñÿ ( )i j� âûçî-
âîâ, i èç êîòîðûõ — íà ïåðâîé, j — íà âòîðîé ôàçå âûïîëíåíèÿ ïîâòîðíîé ïîïûòêè
îáñëóæèòüñÿ; pkij — ñîîòâåòñòâóþùèå ñòàöèîíàðíûå âåðîÿòíîñòè.
Äëÿ ñòàöèîíàðíîãî ðåæèìà îïðåäåëåííûå âåðîÿòíîñòè óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå
óðàâíåíèé Êîëìîãîðîâà ( pkij � 0 , åñëè � � � �k i j, , 0 ):
( ) ( ) , ,� � � � �� � � � � � �j i p p i pij ij i j2 2 1 20 1 0 1 1, i j� �0 0, ,
( ) ( ) (, , , ,� � � � � �� � � � � � � �� �i p p p j p iij ij i j i j2 1 21 0 1 1 0 1 1 2 1 1 1) , ,�p i j� � , i j� �0 0, ,
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2 173
÷
÷
è óñëîâèþ íîðìèðîâàíèÿ
pkij
jik �
�
�
�
�
��� �
000
1
1.
Ìíîãîêàíàëüíàÿ ñèñòåìà. ÑÌÎ òèïà M M c E/ / / / / /0 2 , êàê óæå îòìå÷àëîñü,
îïèñûâàåòñÿ òðåõìåðíûì ïðîöåññîì ( ( ), ( ), ( ))X t Y t Z t , îïðåäåëåííûì íà ìíîæå-
ñòâå ñîñòîÿíèé S c� � �{ } { } { }01 0 1 0 1, ,... , , ,... , ,... .
Âûïèøåì èíòåíñèâíîñòè ïåðåõîäîâ ïðîöåññà ( ( ), ( ), ( ))X t Y t Z t çà ïðîìåæóòîê
âðåìåíè ( , )t t dt� , t � 0 . Èç ñîñòîÿíèÿ ( , , )k i j , k c� 0, , i � 0 , j � 0 , çà âðåìÿ dt ñèñòå-
ìà ìîæåò ïåðåéòè â äðóãîå ñîñòîÿíèå ñ îïðåäåëåííîé âåðîÿòíîñòüþ (ðèñ. 3, 4):
• �dt — ïåðåõîäèò â ñîñòîÿíèå ( , , )k i j� 1 , k c� (ïîñòóïèë íîâûé ïåðâè÷íûé
âûçîâ è ñðàçó îáñëóæèëñÿ);
• j dt 2� — ïåðåõîäèò â ñîñòîÿíèå ( , , )k i j� �1 1 , k c j� �, 1 (îäèí èç ïîâòîð-
íûõ âûçîâîâ j, êîòîðûé íàõîäèòñÿ íà âòîðîé ôàçå âûïîëíåíèÿ ïîïûòîê îá-
ñëóæèòüñÿ, âûïîëíèë óäà÷íóþ ïîïûòêó îáñëóæèòüñÿ);
• i dt 2� — ïåðåõîäèò â ñîñòîÿíèå ( , , )k i j� �1 1 , i � 1 (îäèí èç i ïîâòîðíûõ âû-
çîâîâ, êîòîðûé íàõîäèòñÿ íà ïåðâîé ôàçå âûïîëíåíèÿ ïîïûòîê îáñëóæèòü-
ñÿ, ïåðåøåë êî âòîðîé ôàçå);
• k dt� — ïåðåõîäèò â ñîñòîÿíèå ( , , )k i j�1 , k � 0 (çàâåðøèëîñü îáñëóæèâàíèå
òðåáîâàíèÿ, îäèí èç êàíàëîâ îñâîáîäèëñÿ);
• �dt — ïåðåõîäèò â ñîñòîÿíèå ( , , )k i j� 1 , k c� (ïîñòóïèë íîâûé ïåðâè÷íûé
âûçîâ è, íàéäÿ âñå êàíàëû îáñëóæèâàíèÿ çàíÿòûìè, ïîøåë íà îðáèòó íà ïåð-
âóþ ôàçó).
Òîãäà èíòåíñèâíîñòè ïåðåõîäîâ q k i j g m n( , , )( , , ) , g k c, ,� 1 , i j m n, , , , ,...� { }0 1 (èí-
ôèòåçèìàëüíûå ïåðåõîäíûå èíòåíñèâíîñòè) ïðîöåññà ( ( ), ( ), ( ))X t Y t Z t èç ñîñòîÿ-
íèÿ ( , , )k i j â ñîñòîÿíèå ( , , )g m n îïðåäåëÿþòñÿ òàê:
ïðè 0 1� � � � �k c i j N,
q
j
i
k
i j k
kij g m n( )( , , )
,
,
,
,
( ),
�
� � � �
�
�
�
�
�
� � � �
2
2
2 2
0
�
�
�
�
�
�
� �
� � � �
( , , ) ( , , ),
( , , ) ( , , ), ,
(
g m n k i j
g m n k i j j
1
1 1 1
g m n k i j i
g m n k i j k
g m
, , ) ( , , ), ,
( , , ) ( , , ), ,
( , ,
� � � �
� � �
1 1 1
1 0
n k i j) ( , , ),�
â äðóãèõ ñëó àÿõ;
(1)
174 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2
k-1, i, j k, i, j
k, i+1, j
i*2�
k, i-1, j+1
�
k+1, i, j-1
j*2�
k+1, i, j
�
k�
, 1k c j� �
k c�
1i �
0k �
k c�
Ðèñ. 3. Ãðàô ïåðåõîäîâ ÑÌÎ òèïà
M M c NL E/ / / / / /0 2 èç ñîñòîÿíèÿ ( , , )k i j
k-1, i, j k, i, j
k, i+1, j-1
(i+1)2�
k, i-1, j
�
k-1, i, j+1 (j+1)2�
k+1, i, j
�
(k+1)�
k c�
0k �
k c�
1i �
0k � 1j �
Ðèñ. 4. Ãðàô ïåðåõîäîâ ÑÌÎ òèïà
M M c NL E/ / / / / /0 2 â ñîñòîÿíèå ( , , )k i j
÷
ïðè k c i j N� � �,
q
i
c
i c
g
cij g m n( )( , , )
,
,
,
( ),
( ,
�
� � �
�
�
��
�
�
�
�
�
�
� � �
2
2
0
m n c i j
g m n c i j i
g m n c
, ) ( , , ),
( , , ) ( , , ), ,
( , , ) (
� �
� � � �
� �
1
1 1 1
1, , ),
( , , ) ( , , ),
i j
g m n c i j�
â äðóãèõ ñëó àÿõ.
(2)
 ñòàöèîíàðíîì ðåæèìå ÑÌÎ òèïà M M c E/ / / / / /0 2 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå
óðàâíåíèé Êîëìîãîðîâà (ñîãëàñíî ðèñ. 3, 4) ( pkij � 0 , åñëè � � � �k i j, , 0)
( ) ( ) (, , , ,� � � � � �� � � � � � � �� �j i k p p k p ikij k i j k i j2 2 1 11 1 ) , ,2 1 1�pk i j� � �
� � �� � �( ) , , , ,j p pk i j k i j1 2 1 1 1� � , 0 1 0 0� � � � �k c i j, , , (3)
( ) ( ), , , ,� � � � �� � � � � �� � �i c p p i pcij c i j c i j2 1 21 1 1
� � � � � �� � �( ) , , , ,, , , ,j p p k c i jc i j c i j1 2 0 01 1 1� � (4)
è óñëîâèþ íîðìèðîâàíèÿ
pkij
jik
c
�
�
�
�
�
��� �
000
1. (5)
Àíàëèç íåêîòîðûõ ïîêàçàòåëåé ÑÌÎ M M M/ / / / / /1 0 2 è M M E/ / / / / /1 0 2 2
ïðè ìàëîé çàãðóçêå ñèñòåìû. ÑÌÎ òèïà M M M/ / / / / /1 0 2 îïèñûâàåòñÿ äâóìåð-
íûì ïðîöåññîì ( ( ), ( ))C t H t [7], ãäå C t( ) — êîëè÷åñòâî çàíÿòûõ êàíàëîâ îáñëóæè-
âàíèÿ (äëÿ îäíîêàíàëüíîé ñèñòåìû — êàíàë çàíÿò/êàíàë íå çàíÿò) â ìîìåíò t,
H t( ) — êîëè÷åñòâî òðåáîâàíèé íà îðáèòå â ìîìåíò t. Ïðîöåññ ( ( ), ( ))C t H t ÿâëÿåò-
ñÿ ìàðêîâñêèì è îïðåäåëåííûì íà ìíîæåñòâå ñîñòîÿíèé S c1 0 1 0 1� �{ } { }, ,... , , ,... .
Ïóñòü � — èíòåíñèâíîñòü ïîñòóïëåíèÿ âõîäíûõ âûçîâîâ, � — èíòåíñèâíîñòü
ïîâòîðíûõ âûçîâîâ, � — èíòåíñèâíîñòü îáñëóæèâàíèÿ âûçîâîâ ÑÌÎ òèïà
M M M/ / / / / /1 0 2 .
Îáîçíà÷èì p t P C t i H t jij ( ) ( ) , ( )� � �{ } âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ìîìåíò t ñèñ-
òåìà íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè ( , )i j , ò.å. â ñèñòåìå çàíÿòî i êàíàëîâ è íà îðáèòå íàõî-
äèòñÿ j âûçîâîâ; pij — ñîîòâåòñòâóþùèå ñòàöèîíàðíûå âåðîÿòíîñòè.
 ñòàöèîíàðíîì ðåæèìå ÑÌÎ òèïà M M M/ / / / / /1 0 2 îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþ-
ùåé ñèñòåìîé óðàâíåíèé ( pij � 0 , åñëè èëè � �j 0 , èëè � �j 2 ):
( ) , ,� � �� � �j p p jj j0 1 2
( ) ( ) , ,, ,� � � � �� � � � � �� �p p j p p jj j j j1 0 0 1 1 11 1 (6)
( )� � � �� � �p p p12 02 11,
pij
ji ��
�� �
0
2
0
1
1.
ÑÌÎ òèïà M M E/ / / / / /1 0 1 2 îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùåé ñèñòåìîé óðàâíåíèé
( pkij � 0 , åñëè � � � �k i j, , 0 èëè � � � �k i j, , 2 , èëè i j� � 2):
( ) ( ) , ,� � � �� � � � � � �j i p p i pij ij i j2 2 1 20 1 0 1 1, i j i j� � � �0 0 2, , ,
( ) ( ) ( ), , , ,� � � � � �� � � � � � �� �i p p i p j pij ij i j i2 1 2 1 21 0 1 1 1 0 j i jp� ��1 1 1� , , ,
i j i j� � � �1 1 2, , ,
( ) ,4 2120 020 021 110� � � � �� � � �p p p p (7)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2 175
÷
( ) ,� � �� � �1 2102 002 111p p p
p i j
kij
l
jik ���
��� � � �
0
2
0
2
0
1
1 2, .
Îäíî èç óðàâíåíèé ñèñòåì (6) è (7) (êðîìå ïîñëåäíåãî) ìîæíî îòáðîñèòü, çà-
ìåíèâ åãî ïîñëåäíèì óðàâíåíèåì — óñëîâèåì íîðìèðîâàíèÿ ñèñòåìû.
Îáîçíà÷èì
� � �� / , (8)
� � �� / . (9)
Ðàçäåëèì îáå ÷àñòè êàæäîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåì (6) è (7) íà �. Òîãäà ñ ó÷åòîì
(8) è (9) ñèñòåìà óðàâíåíèé (6) ïîëó÷èò âèä
( ) , ,� �� � �j p p jj j0 1 2
( ) ( ) , ,, ,� � � �� � � � � �� �1 1 11 0 0 1 1 1p p j p p jj j j j (10)
( ) ,� � �� � �1 12 02 11p p p
pij
ji
�
��
�� 1
0
2
0
1
.
Ñèñòåìà óðàâíåíèé (7) ñ ó÷åòîì îáîçíà÷åíèé (8) è (9) ïîëó÷èò âèä
( ) ( ) ,, ,� � � �� � � � � � �j i p p i pij ij i j2 2 1 20 1 0 1 1 i j i j� � � �0 0 2, , ,
( ) ( ) ( ), , ,� � � � � �� � � � � � �� �i p p i p j pij ij i j i2 1 1 2 1 21 0 1 1 1 0 , , , ,j i jp� ��1 0 1�
i j i j� � � �1 1 2, , ,
( )4 1 2120 020 021 110� � � �� � � �p p p p , (11)
( ) ,� � �� � �1 2102 002 111p p p
pkij
jik ���
��� �
0
2
0
2
0
1
1.
Ðàçëîæèì ñèñòåìû óðàâíåíèé, êîòîðûìè îïèñûâàþòñÿ ðàññìàòðèâàåìûå
ÑÌÎ, ïî ñòåïåíÿì ìàëîãî ïàðàìåòðà � � 0 ñ öåëüþ íàõîæäåíèÿ ðåøåíèÿ è âûðà-
æåíèé äëÿ âåðîÿòíîñòè ïîòåðè âûçîâà ïðè íåáîëüøîé íàãðóçêå ñèñòåìû.
Îáîçíà÷èì q1 âåðîÿòíîñòü ïîòåðè âûçîâà äëÿ ÑÌÎ òèïà M M M/ / / / / /1 0 1 è
q2 — äëÿ ÑÌÎ òèïà M M E/ / / / / /1 0 1 2 . Âåðîÿòíîñòü ïîòåðè âûçîâà îïðåäåëÿåòñÿ
ñëåäóþùèì îáðàçîì: âûçîâ ñ÷èòàåòñÿ óòåðÿííûì, åñëè êàíàë îáñëóæèâàíèÿ è ìåñ-
òî íà îðáèòå (èëè íà êàêîé-òî èç ôàç) çàíÿòû. Òîãäà
q P C t H t p
t
1 111 1� � � �
��
lim ( ) , ( ){ } , (12)
q P X t Y t Z t p p
t
2 101 1101 1� � � � � �
��
lim ( ) , ( ) ( ){ } . (13)
Ïóñòü
p p p p i jij ij ij ij( ) ... , , ,� � �� � � � �0 1 2 2 0 1, (14)
p p p p k i j i jkij kij kij kij
( ) , , , , ,� � �� � � � � � �0 1 2 2 0 1 1� . (15)
Çàìåíèì â óðàâíåíèÿõ ñèñòåì (10) è (11) âñå ïåðåìåííûå íà (14) è (15) ñîîò-
âåòñòâåííî. Òîãäà ñèñòåìà (10) ïîëó÷èò âèä
( )( ... ) ( .� � � � � �� � � � � � � �j p p p p p p
j j j j j j0
0
0
1
0
2 2
1
0
1
1
1
2 2 .. ), ,j � 2
176 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2
( )( ... )� � �� � � � �1
1
0
1
1
1
2 2p p p
j j j
� � � � � � � �� �� � � � �( ... ) ( ) (
, ,
p p p j p p
j j j j j0
0
0
1
0
2 2
0 1
0
0 1
11 p
j0 1
2 2
,
... )� � ��
� � � � �� � �� � �( ... ), ,
, , ,
p p p j
j j j1 1
0
1 1
1
1 1
2 2 1 (16)
( )( ... )� � �� � � � �1
12
0
12
1
12
2 2p p p
� � � � � � � �� � � � � �( ... ) ( ... )p p p p p p
02
0
02
1
02
2 2
11
0
11
1
11
2 2 ,
p p pij ij
ji
ij
jiji
0 1
0
2
0
1
2 2
0
2
0
1
0
2
0
1
1� � � �
�� ����
�� ��� � � �� ,
à ñèñòåìà óðàâíåíèé (11) ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó
( )( ... )� � � �� � � � �j i p p
ij ij
2 2
0
0
0
1
� � � � � �� � � �( ... ) ( ) (
, , , ,
p p i p p
ij ij i j i j1
0
1
1
0 1 1
0
0 1 1
1 2� � 1 � �... ),
i j i j� � � �0 0 2, , , (17)
( )( ... )� � �� � � � �i p p
ij ij
2 1
1
0
1
1
� � � � � �� � � �� � �( ... ) ( ) (
, , , ,
p p i p p
ij ij i j i j0
0
0
1
1 1 1
0
1 1
1 2
1
1 � � �... )
� � � � � �� � �( ) ( ... ) (
, , , , , , ,
j p p p p
i j i j i j
1 2
0 1
0
0 1
1
0 1
0
0
� � �
i j
i j i j� � � � � �
1
1 1 1 2
,
... ), , ,� ,
( )( ... )4 1
120
0
120
1� �� � � �p p
� � � � � � � �� � � � �( ... ) ( ... ) (p p p p p
020
0
020
1
021
0
021
1
110
02 p
110
1 � �... ) ,
( )( ... ) ( ... ) (� � � � �� � � � � � �1 2
102
0
102
1
002
0
002
1
11
p p p p p
1
0
111
1� �p � ... ),
p p p
kij
jik
kij
jik
kij
0
0
2
0
2
0
1
1
0
2
0
2
0
1
2 2
��� ���
��� ���� �� �
jik
i j
���
��� � � � �
0
2
0
2
0
1
1 2� , .
Ðàñêðîåì ñêîáêè â óðàâíåíèÿõ ñèñòåì (16) è (17) è ñãðóïïèðóåì ÷ëåíû ïðè ñî-
îòâåòñòâóþùèõ ñòåïåíÿõ �. Íàïðèìåð, ïåðâîå óðàâíåíèå èç (16) ïîëó÷èò âèä
j p p j p p j p p
j j j j j j
� � � � �
0
0
0
0
0
1
0
1
0
2
0
2 2� � � � � �( ) ( ) �
� � � �p p p
j j j1
0
1
1
1
2 2� � � , j � 1. (18)
Ïðèðàâíÿåì êîýôôèöèåíòû â ïðàâûõ è ëåâûõ ÷àñòÿõ óðàâíåíèé (16) è (17) ïðè
ñîîòâåòñòâóþùèõ ñòåïåíÿõ �. Íàïðèìåð, äëÿ (18) ïîëó÷èì �0 : j p p
j j
�
0
0
1
0� ,
� �1
0
0
0
1
1
1: p j p p
j j j
� � , �2 : p j p p
j j j0
1
0
2
1
2� �� , … Îòñþäà ïóòåì íåñëîæíûõ àðèô-
ìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé íàõîäèì âûðàæåíèÿ äëÿ ïåðåìåííûõ pij
l , p
kij
l , l � 0 1, , ...
Ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ pij
l , l � 0 1, ,... , èìåþò âèä
p p p pl l l
12
0
12 02
1
11
10� � �� �, ,
p p pl l
10
0
10 00
10� � �, ,
p p p pl l
02
0
12
0
02 11
11
2
1
2
� � �
� �
, ,
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2 177
p p p pl l
01
0
10
0
01 10
11 1
� � �
� �
, ,
p p p p pl l l
11
0
02
0
11 10
1
01
12� � �� �� , ,
p p i jij
ji
00
0 0
0
2
0
2
1 0� � � �
��
�� , , p p i jl
ij
l
ji
00
0
2
0
2
0� � � �
��
�� , .
Òîãäà ñ ó÷åòîì (14) ðåøåíèå ñèñòåìû (16) áóäåò èìåòü âèä
p00
2 31
1 1
2
( ) ...� �
�
�
�
�� � � � � ,
p01
2 31 1
( ) ...�
�
�
�
�� � � ,
p02
31
2
( )�
�
�� �� ,
p10
2 31
( ) ...� � �
�
�� � � � ,
p11
2 31
( ) ...� �
�
�
�� �
�
� ,
p12
3( )� �� ��
Ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ p
kij
l , l � 0 1, ,... , èìåþò âèä
p p pl l
100
0
100 000
10� � �, ,
p p p pl l
001
0
100
0
001 100
12
1
2
� � ��
�
, ,
p p p pl l l
120
0
120 020
1
110
10
1
4 1
� �
�
�� �, ( ),
�
p
p
p p p pl l l
111
0 120
0
111 120 011
1
101
4
2 1
1
2 1
4�
�
�
�
� ���
� �
�, ( l lp� ��1
111
1 ),
p p p p p pl l l l
102
0
111
0
102 111 002
1
102
12 2� � � �� �� �, ,
p p p p pl l l
020
0
120
0
120 120 020
11
4
1
4
� � � �
� �
, ( ),
p p p p p pl l l l
011
0
020
0
011 111 020 011
11
4
4� � � � �, ( ),
�
�
p p p p pl l l
110
0
011
0
110 010
1
100
11
1 2
� �
�
�� �, ( ),
�
p p p p pl l l l l
110 011 010
1
100
1
110
11
2 1
2�
�
� � �� � �
�
�( ),
p p p p p p pl l l l
002
0
102
0
011
0
002 102 011 002
2
1
4
2� � � � � ��
�
�, ( 1 ),
p p p p pl l l
010
0
110
0
010 110 010
11
2
1
2
� � � �
� �
, ( ),
p p i j k
kij
jik
000
0 0
0
2
0
2
0
1
1 0� � � � �
���
��� , ,
p p i j kl
kij
l
jik
000
0
2
0
2
0
1
0� � � � �
���
��� , .
178 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2
Òîãäà ñ ó÷åòîì (15) ðåøåíèå ñèñòåìû (17) áóäåò èìåòü âèä
p000
2
4 3 2
1
1
2 1
120 304 360 142 17
( )
( )
� �
�
� �
�
� � � �
� � �
�
�
�
� � � �
8 2 1 4 13
3
� � �
�
( ) ( )� �
�� ,
p001
2 31
2
1
2
( )�
�
�
�
�� � �� ,
p002
3 2
2
332 32 8 1
8 2 1 4 1
( )
( ) ( )
�
� � �
� � �
��
� � �
� �
�� ,
p010
2
3 2
3
1
2 2 1
24 40 28 5
4 2 1 4 1
( )
( ) ( ) ( )
�
� �
�
� � �
� � �
�
�
�
� � �
� �
�3 �� ,
p011
2
2
38 8 1
4 2 1 4 1
( )
( ) ( )
�
� �
� � �
��
� �
� �
�� ,
p020
31
4 2 1 4 1
( )
( )( )
...�
� � �
��
� �
� ,
p100
2 31
2 1
( )
( )
� � �
�
� �
�� � �
�
�
�� ,
p101
2
5 4 3 2
3
2
2 1
64 46 24 12 3 1
2 2 1
( )
( )
�
�
�
�
� � � � �
� �
�
�
�
� � � � �
� ( )4 1
3
�
�
�
�� ,
p110
2
4 3 2
3
1
2 1
24 24 8 3 1
2 2 1 4 1
( )
( ) ( )
�
�
�
� � � �
� � �
��
�
�
� � � �
� �
3 �� ,
p111 2
32 4 3
2 1 4 1
( )
( )
( ) ( )
�
� �
� �
��
�
� �
�� ,
p120
31
2 1 4 1
( )
( )( )
�
� �
��
� �
��
Ñîãëàñíî (12) è (13) èìååì
q p1 12
3 3� � � �( )� � �� ,
q p p2 101 110
2
2
34 4 3
2 1 4 1
2 4
� � �
�
� �
� �( ) ( )
( )
( ) ( )
(
� �
� �
� �
�
�
�
�
� �
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
3
2 1 4 12
3)
( ) ( )
�
�
� �
� �
�
8 6 1
2 1 4 1
2
3 3� �
� �
� �
( )( )
.
Òîãäà
lim lim
...
...� �
�
�� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
0
1
2 0
3
3
1
q
q
.
Èòàê, ïðè ìàëîé çàãðóçêå ñèñòåìû âåðîÿòíîñòü ïîòåðè âûçîâà â ñëó÷àå ýðëàí-
ãîâñêîãî è ìàðêîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèé íà îðáèòå ïî÷òè îäèíàêîâà.
Åñëè îáîçíà÷èòü âåðîÿòíîñòü çàíÿòîñòè êàíàëà ÷åðåç B1 è B2 äëÿ ÑÌÎ òèïîâ
M M M/ / / / / /1 0 2 è M M E/ / / / / /1 0 2 2 ñîîòâåòñòâåííî, òî
B p p p1 10 11 12
2 3 2 3 31 1
� � � � � � � �
�
� � �( ) ( ) ( )� � � � �
�
� �
�
�
� � �� ,
B p ij
ji
2 1
0
2
0
2
2 3 21
2 1
2
2 1
� � � �
�
�
�
�
�
��
�� ( )
( )
� � �
�
� �
�
�
�
�
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2 179
�
� � � � �
� �
�
64 46 24 12 3 1
2 2 1 4 1
5 4 3 2
3
3� � � � �
� � �
�
( ) ( )
�
�
�
� � � �
� �
�
1
2 1
24 24 8 3 1
2 2 1 4 1
2
4 3 2
3
3
�
�
� � � �
� � �
�
( ) ( )
�
�
� �
�
� �
� � �
�2 4 3
2 1 4 1
1
2 1 4 1
5 1
2
3 3
4� �
� �
�
� �
� �
�( )
( ) ( ) ( )( )
�
6 8 1
2 1 4 1
2
3
3� �
� � �
�
� �
� �( ) ( )
, i j� � 2.
Òîãäà
lim lim
( ) ( )
� �
�
�
� � �
� � �
�
� �
�
�
� � �
� �
�
0
1
2 0 4 2
3
35 16 8 1
2 1 4 1
B
B
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� 1.
Èòàê, ïðè ìàëîé çàãðóçêå ñèñòåìû âåðîÿòíîñòü çàíÿòîñòè êàíàëà â ñëó÷àå ýð-
ëàíãîâñêîãî è ìàðêîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèé íà îðáèòå ïî÷òè îäèíàêîâà äëÿ äàííûõ
ñèñòåì.
Ñèñòåìà ñ îãðàíè÷åííîé åìêîñòüþ îðáèòû. Ïîñêîëüêó äëÿ äàííîé ñèñòåìû
äîñòàòî÷íî ñëîæíî ïîëó÷èòü àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå, òî îãðàíè÷èì åìêîñòü îðáè-
òû áîëüøîé êîíñòàíòîé N (ìåòîä, ïðåäëîæåííûé Óèëêèíñîíîì (Wilkinson)), ò.å.
ðàññìîòðèì ÑÌÎ òèïà M M c N E/ / / / / /0 2 . Òîãäà ñèñòåìà óðàâíåíèé (3)–(5) áóäåò
êîíå÷íîé, à ÑÌÎ — ýðãîäè÷íîé ïðè ëþáûõ óñëîâèÿõ. Ôîðìóëû (1), (2) ïðåîáðàçó-
þòñÿ ê âèäó
ïðè 0 1� � �k c , i j N� �
q
j
i
k
i j k
kij g m n( )( , , )
,
,
,
,
( ),
�
� � � �
�
�
�
�
�
� � � �
2
2
2 2
0
�
�
�
�
�
�
� �
� � � �
( , , ) ( , , ),
( , , ) ( , , ), ,
(
g m n k i j
g m n k i j j
1
1 1 1
g m n k i j i j N
g m n k i j k
, , ) ( , , ), , ,
( , , ) ( , , ),
� � � � � �
� � �
1 1 1 1
1 0,
( , , ) ( , , ),g m n k i j�
â äðóãèõ ñëó àÿõ;
(19)
ïðè k c� , i j N� �
q
i
c
N c
c
i
cij g m n( )( , , )
,
,
,
( ),
( ),
(
�
� �
� �
� �
�
�
�
� �
� �
�
2
2
2� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � � � � �
c
g m n c i j i N i j N
),
( , , ) ( , , ), , ,
0
1 1 1
( , , ) ( , , ), , ,
( , , ) ( , , ),
(
g m n c i j i j N
g m n c i j
g
� � � � � �
� �
1 1 1 1
1
, , ) ( , , ), , ,
( , , ) ( , , ), , ,
( ,
m n c i j i N j
g m n c i j i j N
g m
� � �
� � �
0
0
, ) ( , , ), , ,n c i j i N j N� � � � �1 1
â äðóãèõ ñëó àÿõ.
(20)
Äëÿ ôîðìóë (3)–(5) ñîãëàñíî (6), (7) ( pkij � 0, åñëè � � � �k i j, , 0 èëè
� � � �k i j N, , , èëè i j N� � ) èìååì
( ) ( ) ( ), , , ,� � � � � �� � � � � � � �� �j i k p p k p ikij k i j k i j2 2 1 1 21 1 �pk i j, ,� � �1 1
� � �� � �( ) , , , ,j p pk i j k i j1 2 1 1 1� � , 0 1 0 0� � � � � � �k c i j i j N, , , ,
(21)
( ) ( ), , , ,� � � � �� � � � � �� � �i c p p i pcij c i j c i j2 1 21 1 1
180 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2
÷
÷
� � �� � �( ) , , , ,j p pc i j c i j1 2 1 1 1� � , k c i N j N i j N� � � � � � � � �, , , ,0 1 0 1 (22)
( ) , ,N c p pcN c N2 0 1 0� � �� � �� 2 1 1 1 0� �p pc N c N� ��, , , , , k c i N j� � �, , ,0 (23)
( ) , , , ,� � � �� � �� �c p p pc N c N c N0 1 0 1 12 , k c i j N� � �, , ,0 (24)
è óñëîâèå íîðìèðîâàíèÿ
p i j Nkij
j
M
i
M
k ���
��� � � �
000
1
1, . (25)
Ñèñòåìà (21)–(25) ìîæåò áûòü ðåøåíà íà êîìïüþòåðå ñ ïîìîùüþ ñòàíäàðòíûõ
ïðîöåäóð. Îäíàêî êîëè÷åñòâî ïàìÿòè, íåîáõîäèìîé ïîä âûäåëåíèå ìàòðèöû ñèñòå-
ìû, ÿâëÿåòñÿ çíà÷èòåëüíûì, õîòÿ áîëüøèíñòâî åå ýëåìåíòîâ — íóëåâûå. Ïîýòîìó
ðåøåíèå ñèñòåìû (21)–(25) áûëî âûïîëíåíî ïóòåì èñïîëüçîâàíèÿ òåõíîëîãèè ðàç-
ðåæåííûõ ìàòðèö (Sparse Matrixes) [10] â ñðåäå Matlab®. Ðàçðåæåííûìè íàçûâàþò
òàêèå ìàòðèöû, áîëüøèíñòâî ýëåìåíòîâ êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ íóëåâûìè. Ïðàêòè÷åñêè
ìàòðèöó ðàçìåðà n n� ìîæíî ñ÷èòàòü ðàçðåæåííîé, åñëè êîëè÷åñòâî åå íåíóëåâûõ
ýëåìåíòîâ èìååò ïîðÿäîê n. Ýëåìåíòû òàêèõ ìàòðèö çàïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðà-
çîì: åñëè çíà÷åíèå ýëåìåíòà íå ðàâíî íóëþ, òî îí âìåñòå ñî ñâîèìè èíäåêñàìè çà-
ïèñûâàåòñÿ, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå — íå çàïèñûâàåòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, ñîõðàíÿåòñÿ
áîëüøîé îáúåì îïåðàòèâíîé ïàìÿòè ìàøèíû.
Äëÿ ðàáîòû ñ ðàçðåæåííûìè ìàòðèöàìè ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü ÷èñëåííûå ìå-
òîäû, ïîçâîëÿþùèå óïðîùàòü àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè ñ íóëåâûìè ýëåìåíòàìè
(íàïðèìåð, ïîëó÷åíèå íóëÿ ïðè óìíîæåíèè íà íóëü èëè ïðîïóñê îïåðàöèé äîáàâëå-
íèÿ è âû÷èòàíèÿ ïðè èñïîëüçîâàíèè ýòèõ îïåðàöèé ñ íóëåâûìè ýëåìåíòàìè ìàò-
ðèö). Äëÿ òàêèõ ìàòðèö ñîçäàíî ðÿä ôóíêöèé, êîòîðûå îáåñïå÷èâàþò ýôôåêòèâíóþ
ðàáîòó ñ íèìè è óñòðàíÿþò òðèâèàëüíûå îïåðàöèè ñ íóëåâûìè ýëåìåíòàìè ìàòðèö.
Òåõíîëîãèÿ ðàçðåæåííûõ ìàòðèö ïîçâîëÿåò çíà÷èòåëüíî ñîêðàòèòü íå òîëüêî
èñïîëüçîâàíèå îïåðàòèâíîé ïàìÿòè êîìïüþòåðà, à è âðåìÿ âû÷èñëåíèÿ. Äîêàçàíî,
÷òî äëÿ ðàçðåæåííîé ìàòðèöû âðåìÿ îáðàáîòêè åå ýëåìåíòîâ ïðîïîðöèîíàëüíî
êîëè÷åñòâó åå íåíóëåâûõ ýëåìåíòîâ.
 òàáë. 1 ïîëó÷åíû ðåçóëüòàòû çàâèñèìîñòè âåðîÿòíîñòè çàíÿòîñòè êàíàëà
B P X t c
t
� �
��
lim ( ){ } îò çíà÷åíèÿ îãðàíè÷åíèÿ N äëÿ ñèñòåì M M c N E BE/ / / / / / ( )0 2
è M M c N M/ / / / / /0 (B M ) ïðè � � 0 5. , � � 1, c � 1è ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ �. Êàê âèä-
íî, ñ óâåëè÷åíèåì N ðàçíîñòü | |B BE M� ïî÷òè íå èçìåíÿåòñÿ è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé
äîâîëüíî ìàëóþ âåëè÷èíó.
 ðåçóëüòàòå ðàáîòû ïðîãðàììû áûëà ïîëó÷åíà ñëåäóþùàÿ çàâèñèìîñòü âåðî-
ÿòíîñòè çàíÿòîñòè êàíàëà B P X t c
t
� �
��
lim ( ){ } îò ñðåäíåãî âðåìåíè îæèäàíèÿ � �� 1/
íà îðáèòå è îò èíòåíñèâíîñòè � âõîäíîãî ïîòîêà (ðèñ. 5): ñ óâåëè÷åíèåì èíòåíñèâ-
íîñòè âõîäíîãî ïîòîêà âåðîÿòíîñòü çàíÿòîñòè êàíàëà óâåëè÷èâàåòñÿ. Ïðè âûñîêîé
íàãðóçêå ñèñòåìû, êîãäà � �/ ( )c � 1, âåðîÿòíîñòü çàíÿòîñòè êàíàëà ñòàíîâèòñÿ äî-
âîëüíî áîëüøîé. Èç ãðàôèêà âèäíî, ÷òî âîçâðàùåíèÿ âëèÿþò íà âåðîÿòíîñòü çàíÿ-
òîñòè êàíàëà — ñ óâåëè÷åíèåì äëèòåëüíîñòè ìåæäó âîçâðàùåíèÿìè âåðîÿòíîñòü
çàíÿòîñòè êàíàëà óìåíüøàåòñÿ.
Òàêæå ïîëó÷åíà çàâèñèìîñòü âåðîÿòíîñòè çàíÿòîñòè êàíàëà B îò ñðåäíåé èí-
òåíñèâíîñòè âîçâðàùåíèé � íà öèêëå îðáèòû â çàâèñèìîñòè îò òèïà ðàñïðåäåëåíèÿ
âûçîâîâ íà îðáèòå. Èç ðèñ. 6 âèäíî, ÷òî âåðîÿòíîñòü çàíÿòîñòè êàíàëà áîëüøå â
ñëó÷àå ýðëàíãîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, îäíàêî íà íåçíà÷èòåëüíóþ âåëè÷èíó — ïðè-
áëèçèòåëüíî íà 0,002–0,01. Ýòî ãîâîðèò î òîì, ÷òî ïðè íåêîòîðûõ ïàðàìåòðàõ ñèñ-
òåìû ìîæíî èñïîëüçîâàòü íà îðáèòå ýêñïîíåíöèàëüíîå âðåìÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, ïðè
êîòîðîì áóäåò àäåêâàòíî îïèñûâàòüñÿ îðáèòà ðåàëüíîé ñèñòåìû.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2 181
182 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Ðèñ. 5. Çàâèñèìîñòü B îò � è � ïðè c N� �5 50, , � � 1
4
2
� � 1 �
B
0,04
0,042
0,044
0,046
0,048
0,05
0,052
0,054
0,056
0,058
0,06
0 10 20
1
2
Ðèñ. 6. Çàâèñèìîñòü B îò � è ýðëàíãîâñêîãî (1) è ýêñïîíåíöèàëüíîãî (2) òèïîâ ðàñïðåäåëåíèé íà îðáèòå
ïðè N ñ� �50 5, , � � 2 (à) è � � 4 (á)
�
áà
�
BB
� N BM BE | |B BE M�
0,5 1 0,400000000 0,404444444 0,004444444
2 0,440000000 0,445869368 0,005869368
3 0,464285714 0,469735038 0,005449324
4 0,478991597 0,483285488 0,004293892
5 0,487804878 0,490871231 0,003066353
50 0,499999999 0,500000000 0,000000001
0,9 1 0,547339323 0,553420824 0,006081501
2 0,601861374 0,613777889 0,011916515
3 0,643809215 0,660405695 0,016596480
4 0,677050406 0,697037694 0,019987288
5 0,704013207 0,726269004 0,022255797
50 0,894909777 0,897889686 0,002979910
2 1 0,709677419 0,707070707 0,002606712
2 0,743455497 0,739669807 0,003785690
3 0,770581778 0,766268547 0,004313232
4 0,792778227 0,788202752 0,004575475
5 0,811233139 0,806481221 0,004751918
50 0,963709466 0,955768451 0,007941015
55 0,966722933 0,958899039 0,007823894
70 0,973362087 0,965941754 0,007420333
Ò à á ë è ö à 1
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ðàñêðûòû ïðèíöèïû ôóíêöèîíèðîâàíèÿ call-öåíòðà, ïî-
ñòðîåíà åãî àíàëèòè÷åñêàÿ ìîäåëü ñ äâóõôàçíûì ýðëàíãîâñêèì ðàñïðåäåëåíèåì íà
îðáèòå è âûïîëíåí ñðàâíèòåëüíûé àíàëèç ÑÌÎ òèïîâ M M c N M/ / / / / /0 è
M M c N E/ / / / / /0 2 . Âûïîëíåí àñèìïòîòè÷åñêèé àíàëèç íåêîòîðûõ ïàðàìåòðîâ
ñèñòåì M M c M/ / / / / /0 2 è M M c E/ / / / / /0 2 2 . Ïðè èññëåäîâàíèè ñèñòåìû èñ-
ïîëüçîâàëèñü òåõíîëîãèÿ ðàçðåæåííûõ ìàòðèö è ìåòîä ðÿäîâ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ã í å ä å í ê î Á . Â . , Ê î â à ë å í ê î È . Í . Ââåäåíèå â òåîðèþ ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ. — 3-å èçä.,
ïåð. è äîï. — Ì.: ÊîìÊíèãà, 2005. — 400 c.
2. Ê î á à Å .  . Îá óñëîâèè óñòîé÷èâîñòè ñèñòåìû îáñëóæèâàíèÿ M D/ / 1 ñ ïîâòîðÿþùèìèñÿ
çàÿâêàìè è îãðàíè÷åííûì âðåìåíåì ïðåáûâàíèÿ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2000. —
¹ 2. — Ñ. 184–186.
3. Ê î á à Å .  . Óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè íåêîòîðûõ òèïîâûõ ñèñòåì îáñëóæèâàíèÿ ñ âîçâðàùåíèåì
çàÿâîê // Òàì æå. — 2005. — 41, ¹ 1. — Ñ. 124 — 127.
4. F a l i n G . I . , T e m p l e t o n J . G . C . Retrial queues. — London: Chapmen & Hall, 1997. — 395 p.
5. A g u i r M . S . , K a r a e s m e n F . , A k s i n Z . , C h a u v e t F . The impact of retrials on call center
performance // OR Spectrum. — 2004. — 26, N 3 — P. 353–376.
6. P u s t o v a S . Modeling call center operation with taking into account repeated attempts of subscribers //
³ñíèê ÍÀÓ. — 2006. — 3, N 29. — Ñ. 21–24.
7. Ê î á à Î .  . , Ï ó ñ ò î â à Ñ .  . Àíàë³òè÷íà ìîäåëü ôóíêö³îíóâàííÿ call-öåíòðó // Äîï. ÍÀÍ
Óêðà¿íè. — 2007. — ¹ 2. — Ñ. 19–25.
8. Ï ó ñ ò î â à Ñ .  . Ñòàòèñòè÷íà ìîäåëü ôóíêö³îíóâàííÿ call-öåíòðó // Ìàòåð³àëè VIII ̳æíàðîä.
íàóê.-òåõí. êîíô. «À²À-2007». — Ò.1. — Êè¿â: ÍÀÓ, 2007. — Ñ. 13.61–13.64.
9. Ê ë å é í ð î ê Ë . Òåîðèÿ ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ. Ïåð. ñ àíãë. ïîä ðåä. Â. È. Íåéìàíà. — Ì.:
Ìàøèíîñòðîåíèå, 1979. — 432 ñ.
10. Ò ü þ à ð ñ î í Ð . Ðàçðåæåííûå ìàòðèöû. — Ì.: Ìèð, 1977. — 190 ñ.
Ïîñòóïèëà 26.06.2008
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 2 183
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-44355 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:17:30Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Пустовая, С.В. 2013-05-29T19:29:03Z 2013-05-29T19:29:03Z 2009 Зависимость показателей функционирования call-центра от распределения времени пребывания вызовов на орбите / С.В. Пустовая // Кибернетика и системный анализ. — 2009. — № 2. — С. 170-183. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44355 519.872 Наведено опис процесу функціонування call-центру як системи масового обслуговування (СМО) з поверненнями. Розглядається залежність показників функціонування call-центру від розподілу часу перебування на циклі орбіти: марковського і двохфазного ерлангівського. Побудовано аналітичну модель СМО типу M/M/c///E2 . Виконано асимптотичний аналіз деяких параметрів систем M/M/c/0/2//M і M/M/c/0/2//E2 . Розроблено програму розв’язання систем M/M/c/0/N//E2 і M/M/c/0/N//M з використанням технології розріджених матриць. The paper describes the operation of a call center as a retrial queuing system. The dependence of the performance indices on the Markovian and two-phase Erlang distribution of the calls’ sojourn time in the orbit is considered. An analytical model of an M/M/c/ / /E2 retrial queuing system is developed. An asymptotic analysis is performed for some characteristics of M/M/c/0/2//M and M/M/c/0/2//E2 systems. A software is developed forM/M/c/0/N//E2 and M/M/c/0/N//Msystems with the use of sparse matrices. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Зависимость показателей функционирования call-центра от распределения времени пребывания вызовов на орбите Залежність показників функціонування call-центру від розподілу часу перебування викликів на орбіті Dependence of the performance indices of a call center on the distribution of calls’ sojourn time in the orbit Article published earlier |
| spellingShingle | Зависимость показателей функционирования call-центра от распределения времени пребывания вызовов на орбите Пустовая, С.В. Системный анализ |
| title | Зависимость показателей функционирования call-центра от распределения времени пребывания вызовов на орбите |
| title_alt | Залежність показників функціонування call-центру від розподілу часу перебування викликів на орбіті Dependence of the performance indices of a call center on the distribution of calls’ sojourn time in the orbit |
| title_full | Зависимость показателей функционирования call-центра от распределения времени пребывания вызовов на орбите |
| title_fullStr | Зависимость показателей функционирования call-центра от распределения времени пребывания вызовов на орбите |
| title_full_unstemmed | Зависимость показателей функционирования call-центра от распределения времени пребывания вызовов на орбите |
| title_short | Зависимость показателей функционирования call-центра от распределения времени пребывания вызовов на орбите |
| title_sort | зависимость показателей функционирования call-центра от распределения времени пребывания вызовов на орбите |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44355 |
| work_keys_str_mv | AT pustovaâsv zavisimostʹpokazateleifunkcionirovaniâcallcentraotraspredeleniâvremeniprebyvaniâvyzovovnaorbite AT pustovaâsv zaležnístʹpokaznikívfunkcíonuvannâcallcentruvídrozpodílučasuperebuvannâviklikívnaorbítí AT pustovaâsv dependenceoftheperformanceindicesofacallcenteronthedistributionofcallssojourntimeintheorbit |