О статистическом оценивании логарифмической производной меры в гильбертовом пространстве
Розглянуто задачу оцінювання логарифмічної похідної мір у гільбертовому просторі в статистичному аналізі за незалежними спостереженнями. Ці оцінки мають велике значення, тому що в нескінченновимірному просторі відсутній аналог теореми Гливенка–Капеллі. За допомогою методу непараметричного оцінювання...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2009 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44405 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О статистическом оценивании логарифмической производной меры в гильбертовом пространстве / Э.А. Надарая, Г.А. Сохадзе, А.Д. Шаташвили // Кибернетика и системный анализ. — 2009. — № 5. — С. 106-110. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860220014592786432 |
|---|---|
| author | Надарая, Э.А. Сохадзе, Г.А. Шаташвили, А.Д. |
| author_facet | Надарая, Э.А. Сохадзе, Г.А. Шаташвили, А.Д. |
| citation_txt | О статистическом оценивании логарифмической производной меры в гильбертовом пространстве / Э.А. Надарая, Г.А. Сохадзе, А.Д. Шаташвили // Кибернетика и системный анализ. — 2009. — № 5. — С. 106-110. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Розглянуто задачу оцінювання логарифмічної похідної мір у гільбертовому просторі в статистичному аналізі за незалежними спостереженнями. Ці оцінки мають велике значення, тому що в нескінченновимірному просторі відсутній аналог теореми Гливенка–Капеллі. За допомогою методу непараметричного оцінювання розглянута задача частково розв’язана для скінченновимірного і нескінченновимірного просторів.
The problem of estimation of the logarithmic derivative of measures is considered in a Hilbert space in the framework of statistical data analysis based on independent observations. The estimates obtained are of great importance since analogues of the Glivenko–Kapelli theorem are absent in an infinite-dimensional space. Applying the nonparametric estimation method, the problem stated is partially solved for finite-dimensional and infinite-dimensional spaces.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:18:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.21
Ý.À. ÍÀÄÀÐÀß, Ã.À. ÑÎÕÀÄÇÅ, À.Ä. ØÀÒÀØÂÈËÈ
Î ÑÒÀÒÈÑÒÈ×ÅÑÊÎÌ ÎÖÅÍÈÂÀÍÈÈ ËÎÃÀÐÈÔÌÈ×ÅÑÊÎÉ
ÏÐÎÈÇÂÎÄÍÎÉ ÌÅÐÛ Â ÃÈËÜÁÅÐÒÎÂÎÌ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ïðîèçâîäíàÿ ìåðû, íåçàâèñèìûå íàáëþäå-
íèÿ, ñòàòèñòè÷åñêèé àíàëèç, íåïàðàìåòðè÷åñêèå îöåíêè .
Èññëåäîâàíèÿ â òåîðèè âåðîÿòíîñòíûõ ðàñïðåäåëåíèé [1, 2], ïðîâîäèìûå â íà-
ñòîÿùåå âðåìÿ, ïîêàçàëè, ÷òî íàðÿäó ñ ìîìåíòíûìè ôóíêöèîíàëàìè îñîáóþ
âàæíîñòü ïðèîáðåòàåò èññëåäîâàíèå ëîãàðèôìè÷åñêîé ïðîèçâîäíîé ìåðû, êîòî-
ðàÿ ôèãóðèðóåò âî ìíîãèõ âîïðîñàõ è îñîáåííî â çàäà÷àõ, ãäå èññëåäóþòñÿ ãëàä-
êîñòè ìåð. Â ñâÿçè ñ ýòèì âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü óìåòü îöåíèâàòü ëîãàðèô-
ìè÷åñêóþ ïðîèçâîäíóþ ìåðû ïî íåçàâèñèìûì íàáëþäåíèÿì. Ýòà çàäà÷à ÿâëÿåò-
ñÿ âàæíîé åùå è ïîòîìó, ÷òî ïðîáëåìà îöåíèâàíèÿ, êàê èçâåñòíî èç ðåçóëüòàòîâ
ðàáîòû [3], ÿâëÿåòñÿ ñëîæíîé ââèäó îòñóòñòâèÿ ïðÿìîãî àíàëîãà òåîðåìû Ãëè-
âåíêî–Êàíòåëëè â áåñêîíå÷íîìåðíîì ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå.
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ÷àñòè÷íî ðàçðåøåíà ïîñòàâëåííàÿ âûøå çàäà÷à êàê äëÿ êî-
íå÷íîìåðíîãî, òàê è äëÿ áåñêîíå÷íîìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà. Ïðè ýòîì ïðèìåíÿåòñÿ
ïîäõîä òàê íàçûâàåìîãî íåïàðàìåòðè÷åñêîãî îöåíèâàíèÿ, ðàçâèòîãî â ðàáîòå [4].
Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû àâòîðû íàìåðåâàþòñÿ ïðèìåíÿòü äàëåå äëÿ îöåíêè
ôóíêöèè ïðàâäîïîäîáèÿ â áåñêîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå.
1. Ðàññìîòðèì îäíîìåðíûé âàðèàíò çàäà÷è. Âñþäó íèæå { , , }� � P — íåêîòî-
ðîå ôèêñèðîâàííîå ïîëíîå âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî, X X X n1 2, , ,� — âûáîð-
êà íåçàâèñèìûõ, îäèíàêîãî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ïðåäïîëîæèì,
÷òî íåèçâåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå èìååò âñþäó ïîëîæèòåëüíóþ ãëàäêóþ ïëîòíîñòü
p x C R( ) ( )� 1 . Òðåáóåòñÿ ïî äàííîé âûáîðêå îöåíèòü ëîãàðèôìè÷åñêóþ ïðîèçâîäíóþ
l x( ) ðàñïðåäåëåíèÿ �( ) ( )A p x dx
A
� � , A B R� ( ) .  ýòîì ñëó÷àå ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ïðî-
èçâîäíàÿ ñóùåñòâóåò è ðàâíà �p x p x( ) / ( ) . Êðèòåðèåì îöåíêè áóäåì ñ÷èòàòü ðàâíîìåð-
íóþ íîðìó. Ïîýòîìó íåîáõîäèìî ïîñòðîèòü ñòàòèñòèêó T x X X Xn n( , , , , )1 2 � òàêóþ,
÷òîáû lim sup | ( , , , , ) ( ) | (mod )
n x R
n nT x X X X l x P
� �
�1 2 0� . Êàê èçâåñòíî [4–6], äëÿ
îöåíêè íåïîñðåäñòâåííî ñàìîé ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ýôôåêòèâíûìè ÿâëÿþòñÿ
òàê íàçûâàåìûå ÿäåðíûå îöåíêè. Òàê, ïóñòü K x( ) — âñþäó ïîëîæèòåëüíàÿ, ðàâíî-
ìåðíî íåïðåðûâíàÿ íà R ÷åòíàÿ ôóíêöèÿ, ïðè ýòîì
R
K x dx� �( ) 1. Äëÿ òàêèõ ôóíê-
öèé áóäåì ñ÷èòàòü K CL� . Îöåíêó ïëîòíîñòè p x( ) ïðåäñòàâèì â âèäå � ( )p xn �
�
�
�
�
�n
i
n
n i
n
K x X
1
( ( )) ñ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ÷èñåë � n � è � n n� �
1 0. Ïî
òåîðåìå Ý. Íàäàðàÿ èç ðàáîòû [4] lim sup | � ( ) | (mod )
n x R
np p x P
� �
� 0 . Åñòåñòâåííî,
÷òî äëÿ îöåíêè ïðîèçâîäíîé ïëîòíîñòè ïðèìåíÿåòñÿ (ñì. [4, 6–8]) îöåíêà
� ( )� �p xn
�
�n
i
n
n i
n
K x X
2
1�
� �
( ( )) . Ýôôåêòèâíîñòü ýòîé îöåíêè ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì
ñëåäóþùåãî óòâåðæäåíèÿ.
106 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 5
© Ý.À. Íàäàðàÿ, Ã.À. Ñîõàäçå, À.Ä. Øàòàøâèëè, 2009
Ëåììà 1. Ïóñòü { , , }Y � � — èçìåðèìîå ïðîñòðàíñòâî ñ ìåðîé; { , , || || }B B
� —
ñåïàðàáåëüíîå, âåùåñòâåííîå áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî ñ áîðåëåâñêîé � -àëãåá-
ðîé
è íîðìîé || ||� B ; A — çàìêíóòûé (íå îáÿçàòåëüíî ëèíåéíûé è íå îáÿçàòåëüíî
îãðàíè÷åííûé) îïåðàòîð â B ñ ïëîòíîé îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ D A B( ) � . Ïóñòü
äàíî ñåìåéñòâî èçìåðèìûõ îòîáðàæåíèé F x Y B By y y
k
k1 2, , , ( ):� � � , y Yk � ,
k �1 2, , � , x B� . Òîãäà, åñëè ñåìåéñòâî { ( )}, , ,F xy y y nk1 2 1� �
ñõîäèòñÿ ïî íîðìå
|| ||� B ê ôóíêöèè F x( ) ïðè n � è � �n N , � �y y y Yn1 2, , ,� , ïðè êîòîðûõ
F D Ay y yn1 2, , , ( )� � , F D A� ( ) , òî ñåìåéñòâî { ( )}, , ,AF xy y y nn1 2 1� �
ñõîäèòñÿ ïî
íîðìå || ||� B ê AF x( ) .
Äîêàçàòåëüñòâî âûòåêàåò èç îïðåäåëåíèÿ çàìêíóòîãî îïåðàòîðà.
×òîáû ïðèìåíèòü ýòî óòâåðæäåíèå ê ðàññìàòðèâàåìîìó ñëó÷àþ, ñëåäóåò ó÷èòû-
âàòü, ÷òî îïåðàòîð A , äåéñòâóþùèé â C R( ) ïî ïðàâèëó ( )( )
( )
( )
( )Ap x
p x
p x
l x�
�
� , îïðå-
äåëåí íà ïëîòíîì ïîäìíîæåñòâå C R( ) è ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì. Êðîìå òîãî, â êà÷åñò-
âå èçìåðèìîãî ïðîñòðàíñòâà áóäåì èñïîëüçîâàòü { , , ( ) }R p x dx� . Òàêèì îáðàçîì,
ñ ó÷åòîì îöåíêè ïëîòíîñòè èç ðàáîòû [5] è óòâåðæäåíèÿ äàííîé ëåììû ìîæíî
óáåäèòüñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ñëåäóþùåé òåîðåìû.
Òåîðåìà 1. Ïóñòü K x CL D A( ) ( )� � , � n � ,
l n
n
n
2
0
ln
� ïðè n � . Òîãäà
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
� ( )
( ( ))
( ( ))
l x
K x X
K x X
n
n
i
n
n i
i
n
n i
�
�
�
�
�
�
� �
�
1
1
ñõîäèòñÿ â C R( ) ê l x( ) ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà.
Çàìå÷àíèå. Îáùíîñòü óòâåðæäåíèÿ ëåììû 1 îáåñïå÷èâàåò ñïðàâåäëèâîñòü òå-
îðåìû 1 è â ñëó÷àå, êîãäà ñõîäèìîñòü ðàññìàòðèâàåòñÿ îòíîñèòåëüíî ïðîñòðàíñòâà
L Rp ( ) , p �1.
Ýòî çàìå÷àíèå îòíîñèòñÿ è ê óòâåðæäåíèþ ïðîñòðàíñòâà R n (ñì. òåîðåìó 2).
2. Ðàññìîòðèì m-ìåðíûé ñëó÷àé. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èìååòñÿ âûáîðêà
X X X Xj j j j
m� ( , , , )1 2
� , j n�1 2, , ,� , íåçàâèñèìûõ è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ
ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ. Äëÿ îöåíêè íåèçâåñòíîé ïëîòíîñòè p x( ) ïðèìåíÿåòñÿ ñòà-
òèñòèêà èç [5], êîãäà � ( ) ( ( ))p x
n
K x Xn
n
m
i
n
n i�
�
�
�
�
1
, ãäå K x K x
j
m
j j( ) ( )�
�
�
1
,
x x x xm� ( , , , )1 2 � è K CLj � , j m�1 2, , ,� . Êàê èçâåñòíî, ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ïðîèç-
âîäíàÿ ïðåäñòàâëÿåò âåêòîð ñ êîìïîíåíòàìè
1
p x
p x
xi( )
( )�
�
. Ñëåäîâàòåëüíî, íåîáõîäè-
ìî îöåíèòü âûðàæåíèå l x
p x
p x( )
( )
( )�
1
grad .
 êà÷åñòâå ñòàòèñòèêè ðàññìîòðèì ôóíêöèþ
� ( )
( ( ))
(
l x
K x X
K
n
i
n
j
m
j n i i
j
i
n
j
m
j n
�
� �
� �
� �
� �
1 1
1 1
grad �
� ( ))x Xj i
j
. (1)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 5 107
Äëÿ ïðèìåíåíèÿ ëåììû 1 â êà÷åñòâå èçìåðèìîãî ïðîñòðàíñòâà âîçüìåì ïðîñòðàíñò-
âî { , , ( ) }R p x dxm m� . Îïåðàòîð A , äåéñòâóþùèé â C R n( ) ïî ïðàâèëó ( )( )Ap x �
� �
grad p x
p x
l x
( )
( )
( ) , îïðåäåëåí íà ïëîòíîì ïîäìíîæåñòâå D A C R n( ) ( )� è ÿâëÿåòñÿ
çàìêíóòûì. Ïðèìåíÿÿ óòâåðæäåíèå ëåììû 1 ñ ó÷åòîì ñîîòâåòñòâóþùåãî ðåçóëü-
òàòà èç [5], ëåãêî óáåäèòüñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ñëåäóþùåé òåîðåìû.
Òåîðåìà 2. Ïóñòü çàäàíû K x CL D Aj ( ) ( )� � , j �1 2, ,� , è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
÷èñåë � n òàêèõ, ÷òî � n � ,
� n n
n
2
0
ln
� ïðè n � . Òîãäà (1) ñõîäèòñÿ â C R n( ) ê
l x( ) ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà.
3. Ïåðåéäåì ê èçëîæåíèþ îñíîâíîãî ðåçóëüòàòà ñòàòüè, ñîñòîÿùåãî â èçó÷åíèè
îöåíîê ëîãàðèôìè÷åñêîé ïðîèçâîäíîé â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå.
Ïóñòü H — ñåïàðàáåëüíîå, âåùåñòâåííîå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî ñî ñêàëÿð-
íûì ïðîèçâåäåíèåì ( , )� � H è íîðìîé || ||� H ; � — áîðåëåâñêàÿ � -àëãåáðà â H .
Ïóñòü äàëåå äëÿ íåêîòîðîãî ñëó÷àéíîãî ýëåìåíòà X H� èìååòñÿ âûáîðêà
X X X n1 2, ,... , íåçàâèñèìûõ, îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ ýëåìåíòîâ ñî
çíà÷åíèÿìè â H . Îáîçíà÷èì � ðàñïðåäåëåíèå (ìåðó), ñîîòâåòñòâóþùåå ýëåìåí-
òó X . Äîïóñòèì, ÷òî � îáëàäàåò ëîãàðèôìè÷åñêîé ïðîèçâîäíîé âäîëü ïîñòîÿííî-
ãî íàïðàâëåíèÿ a H� . Íåîáõîäèìî íàéòè îöåíêó íåèçâåñòíîé ëîãàðèôìè÷åñêîé
ïðîèçâîäíîé l x a( , ) ïî âûáîðêå X X X n1 2, ,... , .
Íàïîìíèì, ÷òî ìåðà � îáëàäàåò ëîãàðèôìè÷åñêîé ïðîèçâîäíîé âäîëü ïîñòî-
ÿííîãî íàïðàâëåíèÿ a H� â òîì ñëó÷àå, åñëè îíà äèôôåðåíöèðóåìà ïî íàïðàâëå-
íèþ a è � ��� �a . Òîãäà l x a
d
d
xa( , ) ( )�
��
�
. Ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ìåðà � îá-
ëàäàåò ïðîèçâîäíîé âäîëü a , åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ ñ÷åòíî-àääèòèâíàÿ ìåðà ��a ,
÷òî äëÿ ëþáîé îãðàíè÷åííîé è îãðàíè÷åííî äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè
f x H R( ): � èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå
( ( ), ) ( ) ( ) ( )� � �
��� f x a dx f x dxH a
HH
� � ,
êîòîðîå íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì.
 ñëó÷àå ñóùåñòâîâàíèÿ ëîãàðèôìè÷åñêîé ïðîèçâîäíîé âäîëü a ñïðàâåäëèâà
ôîðìóëà
( ( ), ) ( ) ( ) ( , ) ( )� �
�� f x a dx f x l x a dxH
HH
� � ,
êîòîðàÿ èíîãäà ïðèíèìàåòñÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ëîãàðèôìè÷åñêîé ïðîèçâîäíîé
âäîëü a .
Ïóñòü { }Lm — òàêàÿ âîçðàñòàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîíå÷íîìåðíûõ ïîä-
ïðîñòðàíñòâ ïðîñòðàíñòâà H , ÷òî èõ îáúåäèíåíèå
m
mL
�
1
� ïëîòíî â H . Îáîçíà÷èì
Pm êîíå÷íîìåðíûé ïðîåêòîð ïðîñòðàíñòâà H íà Lm . Ïóñòü � �m mP�
�
1,
a P am m� , x P xm m� , l x P l P x P am
a
m m m m
m ( ) ( , )� . Òîãäà l xm
a
m
m ( ) ÿâëÿåòñÿ ëîãàðèô-
ìè÷åñêîé ïðîèçâîäíîé ìåðû �m â ïðîñòðàíñòâå Lm , è ïðè óñëîâèè, ÷òî p xm m( ) —
âñþäó ïîëîæèòåëüíàÿ è äèôôåðåíöèðóåìàÿ ïëîòíîñòü ìåðû �m , èìååì
l x
p x a
p x
m
a
m
m m m L
m m
m m( )
( ( ), )
( )
�
grad
.
Òàêóþ ëîãàðèôìè÷åñêóþ ïðîèçâîäíóþ ìîæíî îöåíèâàòü ïî âûáîðêå P X Xm
m
1 1
� ,
P X X P X Xm
m
m n n
m
2 2
� �, ,� .
108 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 5
Äëÿ êàæäîãî m ïî âûáîðêå X X Xm m
n
m
1 2
, , ... , ïîñòðîèì ýôôåêòèâíûå îöåíêè
� � ( )l l xn
m
m
a
m n
m� äëÿ l xm
a
m
m ( ) è ïîêàæåì èõ ñõîäèìîñòü ê l x a( , ) ïðè n , m � .
 ýòîì ñëó÷àå �ln
m ìîæíî ñ÷èòàòü îöåíêîé l x a( , ) .
Äëÿ óïðîùåíèÿ çàïèñè ðàññìîòðèì îäíó ôóíêöèþ K x CL( )� . Â óñëîâèÿõ òåî-
ðåìû 2 ïðè ôèêñèðîâàííîì m ñòàòèñòèêà
� ( )
( ( )) (
l x
a K x X K
n
m
m
n
i
n
s
m
n
s
n m
s
is
m
j
j s
m
�
�
� � �
�
� � �� �
1 1 1
�
�
n m
j
ij
m
j
m
n m
j
ij
m
i
n
x X
K x X
( ))
( ( ))
��
��
11
(2)
ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî ïðè n � ê l xm
a
m
m ( ) ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà. Èçâåñòíî [1],
÷òî ñòàòèñòèêà l xm
a
m
m ( ) ÿâëÿåòñÿ ìàðòèíãàëîì îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû èçìåðèìûõ
ïðîñòðàíñòâ { }Lm m m, ,� � è ñõîäèòñÿ ê l x a( , ) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà
ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî èíòåãðèðóåìîé ôóíêöèåé îòíîñèòåëüíî ìåðû � , ÷òî
â äàííîì ñëó÷àå çàâåäîìî âûïîëíåíî. Òàêèì îáðàçîì, èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ
òåîðåìà.
Òåîðåìà 3. Ïóñòü K x CL( )� , 0 1� �K x( ) , � n � ,
� n n
n
2
0
ln
� . Òîãäà ñòà-
òèñòèêà � ( )l xn
m
m , îïðåäåëåííàÿ ïî ôîðìóëå (2), ñõîäèòñÿ â C H( ) ê l x a( , ) ñ âåðîÿò-
íîñòüþ åäèíèöà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ çàäàííîãî � � 0 âûáåðåì ñíà÷àëà íàòóðàëüíîå ÷èñëî N1
òàêîå, ÷òî sup | ( ) ( , ) |
x H
m
a
ml P x l x am
�
�
�
2
ïðè m N� . Ýòî âîçìîæíî, ïîñêîëüêó l P xm
a
m
m ( )
ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åííîé ôóíêöèåé. Äàëåå âûáèðàåì òàêîå íàòóðàëüíîå
÷èñëî N 2 , ÷òîáû èìåëî ìåñòî ñîîòíîøåíèå sup | � ( ) ( ) |
x H
n
m
m m
a
ml P x l P xm
�
�
�
2
ïðè
n N� 2 ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà. Ñëåäîâàòåëüíî, îáúåäèíÿÿ ýòè äâà ìîìåíòà, ïîëó-
÷àåì
sup | � ( ) ( , ) |
x H
n
m
ml P x l x a
�
� � ïðè m n N N N, max{ , }� � 1 2 .
Äëÿ ïîëíîãî äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 3 îñòàåòñÿ ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ � ( )l xn
m
m
ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî èíòåãðèðóåìîé ïî m îòíîñèòåëüíî ìåðû � ñ âåðîÿòíîñòüþ
åäèíèöà.
Äëÿ çàäàííîãî �� 0 íåîáõîäèìî óêàçàòü òàêîå íå çàâèñÿùåå îò m ÷èñëî � � 0,
÷òîáû ïðè � �( )A � , A ��äëÿ ëþáîãî m ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà èìåëî ìåñòî ñî-
îòíîøåíèå
� ( ) ( )l x dxn
m
m
A
� �� � .
Çàìåòèì, ÷òî l xm
a
m
m ( ) ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî èíòåãðèðóåìîé ôóíêöèåé ïî ìå-
ðå � . Ïîýòîìó äëÿ
�
ln n
íàéäåòñÿ íå çàâèñÿùåå îò m òàêîå ÷èñëî � � 0, ÷òîáû ïðè
� �( )A � , A �� äëÿ ëþáîãî m èìåëî ìåñòî ñîîòíîøåíèå
l x dx
n
m
a
m
A
m ( ) ( )
ln
�
�
� � .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 5 109
Äàëåå ìîæíî çàïèñàòü
� ( ) ( ) ln ( ( ))l x dx K x Xn
m
m
A j
m
n m
j
ij
m
i
n
� �� ���
�
�
�
�
�
�
�
�� 11 �
�
!
!
!
"
#
$
$
$
��
'
, ( )a dxm
L
A
m
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
!
!
!
"
#
$
$
$��
��ln ( ( )) ,
j
m
n m
j
ij
m
i
n
mK x X a
11
�
'
L
m m
A
m
dx� ( )� �
�
�
�
�
�
�
�
�
���
��ln ( ( )) ( ) (
j
m
n m
j
ij
m
i
n
m
a
m m mK x X l x dxm
11
� � )
A
� �
� � ��ln ( ) ( ) ln
ln
n l x dx n
n
m
a
m
A
m �
�
� .
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìîæíî ïðèìåíèòü, íàïðèìåð, â ñëó÷àå, êîãäà â ãèëü-
áåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àéíûé ïðîöåññ x t( ) , â êà÷åñòâå íà-
áëþäåíèé èìååì òðàåêòîðèè ýòîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà è òðåáóåòñÿ îöåíèòü ãëàä-
êîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ òàêîãî ïðîöåññà. Ýòîìó âîïðîñó áóäåò ïîñâÿùåíà îòäåëüíàÿ
ðàáîòà.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ñ ê î ð î õ î ä À . Â . Èíòåãðèðîâàíèå â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå. — Ì.: Íàóêà, 1975. — 232 ñ.
2. Ä à ë å ö ê è é Þ . Ë . , Ô î ì è í Ñ .  . Ìåðû è äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ â áåñêîíå÷íîìåðíûõ
ïðîñòðàíñòâàõ. — Ì.: Íàóêà, 1983. — 383 ñ.
3. Ñ à ç î í î â Ñ . Â . Ê òåîðåìå Ãëèâåíêî–Êàíòåëëè // Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è åå ïðèìåíåíèÿ. — 1963. —
8, âûï. 3. — Ñ. 299–303.
4. N a d a r a y a E . Nonparametric estimation of probability densities and regression curves. — Kluver Aca-
demic Publishers, 1989. — 214 p.
5. Ì à í è ÿ à . Ì . Ñòàòèñòè÷åñêîå îöåíèâàíèå ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé. — Òáèëèñè: Òáèëèññêèé
óíèâåðñèòåò, 1974. — 240 ñ.
6. S c h u s t e r E . Estimation of a probability density function and its derivatives // Ann. Math. Stat. — 1969.
— 40, N 4. — P. 1187–1195.
7. Í à ä à ð å è ø â è ë è Ì . Ì . Íåïàðàìåòðè÷åñêàÿ îöåíêà ôóíêöèè ðåãðåññèè è ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëå-
íèÿ äëÿ îäíîé ìîäåëè // Ñîîáù. ÀÍ ÃÑÑÐ. — 1981. — 104, ¹ 2. — Ñ. 293–296.
8. Í à ä à ð à ÿ Ý . À . Î íåïàðàìåòðè÷åñêèõ îöåíêàõ ïðîèçâîäíûõ ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè è ôóíêöèè
ðåãðåññèè // Òàì æå. — 1969. — 55, ¹ 1. — Ñ. 29–32.
Ïîñòóïèëà 21.01.2009
110 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 5
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-44405 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:18:09Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Надарая, Э.А. Сохадзе, Г.А. Шаташвили, А.Д. 2013-06-01T08:27:01Z 2013-06-01T08:27:01Z 2009 О статистическом оценивании логарифмической производной меры в гильбертовом пространстве / Э.А. Надарая, Г.А. Сохадзе, А.Д. Шаташвили // Кибернетика и системный анализ. — 2009. — № 5. — С. 106-110. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44405 519.21 Розглянуто задачу оцінювання логарифмічної похідної мір у гільбертовому просторі в статистичному аналізі за незалежними спостереженнями. Ці оцінки мають велике значення, тому що в нескінченновимірному просторі відсутній аналог теореми Гливенка–Капеллі. За допомогою методу непараметричного оцінювання розглянута задача частково розв’язана для скінченновимірного і нескінченновимірного просторів. The problem of estimation of the logarithmic derivative of measures is considered in a Hilbert space in the framework of statistical data analysis based on independent observations. The estimates obtained are of great importance since analogues of the Glivenko–Kapelli theorem are absent in an infinite-dimensional space. Applying the nonparametric estimation method, the problem stated is partially solved for finite-dimensional and infinite-dimensional spaces. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ О статистическом оценивании логарифмической производной меры в гильбертовом пространстве Про статистичне оцінювання логарифмічної похідної міри в гільбертовому просторі On statistical estimation of the logarithmic derivative of a measure in a Hilbert space Article published earlier |
| spellingShingle | О статистическом оценивании логарифмической производной меры в гильбертовом пространстве Надарая, Э.А. Сохадзе, Г.А. Шаташвили, А.Д. Системный анализ |
| title | О статистическом оценивании логарифмической производной меры в гильбертовом пространстве |
| title_alt | Про статистичне оцінювання логарифмічної похідної міри в гільбертовому просторі On statistical estimation of the logarithmic derivative of a measure in a Hilbert space |
| title_full | О статистическом оценивании логарифмической производной меры в гильбертовом пространстве |
| title_fullStr | О статистическом оценивании логарифмической производной меры в гильбертовом пространстве |
| title_full_unstemmed | О статистическом оценивании логарифмической производной меры в гильбертовом пространстве |
| title_short | О статистическом оценивании логарифмической производной меры в гильбертовом пространстве |
| title_sort | о статистическом оценивании логарифмической производной меры в гильбертовом пространстве |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44405 |
| work_keys_str_mv | AT nadaraâéa ostatističeskomocenivaniilogarifmičeskoiproizvodnoimeryvgilʹbertovomprostranstve AT sohadzega ostatističeskomocenivaniilogarifmičeskoiproizvodnoimeryvgilʹbertovomprostranstve AT šatašviliad ostatističeskomocenivaniilogarifmičeskoiproizvodnoimeryvgilʹbertovomprostranstve AT nadaraâéa prostatističneocínûvannâlogarifmíčnoípohídnoímírivgílʹbertovomuprostorí AT sohadzega prostatističneocínûvannâlogarifmíčnoípohídnoímírivgílʹbertovomuprostorí AT šatašviliad prostatističneocínûvannâlogarifmíčnoípohídnoímírivgílʹbertovomuprostorí AT nadaraâéa onstatisticalestimationofthelogarithmicderivativeofameasureinahilbertspace AT sohadzega onstatisticalestimationofthelogarithmicderivativeofameasureinahilbertspace AT šatašviliad onstatisticalestimationofthelogarithmicderivativeofameasureinahilbertspace |