Периодические решения для класса нелинейных эволюционных уравнений гиперболического типа
Конструктивно обґрунтовано існування періодичних розв’язків для класу нелінійних еволюційних рівнянь гіперболічного типу. Одержано нові апріорні оцінки. Розглянуто приклади, що ілюструють результати роботи. The existence of periodic solutions is constructively grounded for a class of nonlinear hyper...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2009 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44407 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Периодические решения для класса нелинейных эволюционных уравнений гиперболического типа / П.О. Касьянов, Н.В. Задоянчук, В.В. Ясинский // Кибернетика и системный анализ. — 2009. — № 5. — С. 118-128. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859676774407864320 |
|---|---|
| author | Касьянов, П.О. Задоянчук, Н.В. Ясинский, В.В. |
| author_facet | Касьянов, П.О. Задоянчук, Н.В. Ясинский, В.В. |
| citation_txt | Периодические решения для класса нелинейных эволюционных уравнений гиперболического типа / П.О. Касьянов, Н.В. Задоянчук, В.В. Ясинский // Кибернетика и системный анализ. — 2009. — № 5. — С. 118-128. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Конструктивно обґрунтовано існування періодичних розв’язків для класу нелінійних еволюційних рівнянь гіперболічного типу. Одержано нові апріорні оцінки. Розглянуто приклади, що ілюструють результати роботи.
The existence of periodic solutions is constructively grounded for a class of nonlinear hyperbolic evolution equations. A priori estimations are obtained. Examples illustrating the presented results are given.
|
| first_indexed | 2025-11-30T16:22:57Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 517.9, 504.052
Ï.Î. ÊÀÑÜßÍÎÂ, Í.Â. ÇÀÄÎßÍ×ÓÊ, Â.Â. ßÑÈÍÑÊÈÉ
ÏÅÐÈÎÄÈ×ÅÑÊÈÅ ÐÅØÅÍÈß ÄËß ÊËÀÑÑÀ ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ
ÝÂÎËÞÖÈÎÍÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÃÈÏÅÐÁÎËÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÒÈÏÀ1
Êëþ÷åâûå ñëîâà: äèôôåðåíöèàëüíî-îïåðàòîðíîå óðàâíåíèå, � 0 -ïñåâäîìîíîòîí-
íîå îòîáðàæåíèå, ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ïðè èññëåäîâàíèè ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé íåëèíåéíûõ ïðîöåññîâ è ïîëåé ôè-
çèêè, õèìè÷åñêîé êèíåòèêè, ãåîôèçèêè â çàäà÷àõ òåîðèè îïòèìàëüíîãî óïðàâëå-
íèÿ âîçíèêàþò òàêèå ìàòåìàòè÷åñêèå îáúåêòû, êàê îïåðàòîðíûå äèôôåðåíöèàëü-
íûå óðàâíåíèÿ [1–20].  ôèçèêå è ìåõàíèêå èìïóëüñîì ê èçó÷åíèþ ýâîëþöèîí-
íûõ óðàâíåíèé è âêëþ÷åíèé âòîðîãî ïîðÿäêà ñòàëè ïðèêëàäíûå çàäà÷è,
ñâÿçàííûå ñ ôàçîâûìè ïåðåõîäàìè è îäíîñòîðîííåé ïðîâîäèìîñòüþ ãðàíèö âå-
ùåñòâ, ðàñïðîñòðàíåíèåì ýëåêòðîìàãíèòíûõ, àêóñòè÷åñêèõ, âèáðî-, ãèäðî- è ñåé-
ñìîàêóñòè÷åñêèõ âîëí, êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêèìè ýôôåêòàìè [2, 8, 10]. Èññëåäî-
âàíèå óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ âîëíîâûå ïðîöåññû ñ «íåëèíåéíûì òðåíèåì»,
äîñòàòî÷íî ñëîæíî è òðåáóåò îñîáîé òåõíèêè [7]. Ïîñëåäíèå ðàáîòû â äàííîì
íàïðàâëåíèè îõâàòûâàþò êâàçèëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ñ îäíîðîäíûìè ãðàíè÷íûìè
óñëîâèÿìè è ëèíåàðèçîâàííûå óðàâíåíèÿ ñ íåëèíåéíûìè óñëîâèÿìè íà ãðàíèöå
îáëàñòè, êîòîðûå ñâîäÿòñÿ ê íåëèíåéíûì äèôôåðåíöèàëüíî-îïåðàòîðíûì óðàâ-
íåíèÿì è âêëþ÷åíèÿì. Îäíàêî ëèíåàðèçîâàííûå îáúåêòû íå âñåãäà àäåêâàòíî
îïèñûâàþò èññëåäóåìûé ïðîöåññ. Ïîýòîìó âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü â ðàññìîò-
ðåíèè ýâîëþöèîííûõ âêëþ÷åíèé è âàðèàöèîííûõ íåðàâåíñòâ ñ ïðèíöèïèàëüíî
áîëåå óçêèì íàáîðîì ñâîéñòâ.  [1] èçó÷àëèñü òàêèå îáúåêòû äëÿ ìîíîòîííûõ
îòîáðàæåíèé, â [3, 4] — äëÿ îòîáðàæåíèé ñ ïîëóîãðàíè÷åííîé âàðèàöèåé. Ïîñ-
ëåäíèå ðàçðàáîòêè ïî äàííîé òåìàòèêå êàñàþòñÿ îïåðàòîðíûõ äèôôåðåíöèàëü-
íûõ óðàâíåíèé è âêëþ÷åíèé ñ ãëîáàëüíî îãðàíè÷åííîé ïî ôàçîâîé ïåðåìåííîé
íåìîíîòîííîé íåëèíåéíîñòüþ [5, 6].
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ðàññìàòðèâàþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèå ðåøåíèÿ ýâîëþöèîííûõ
óðàâíåíèé ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà ñ W�0
-ïñåâäîìîíîòîííûìè îòîáðàæåíèÿìè.
Öåëü ðàáîòû çàêëþ÷àåòñÿ â ðàçâèòèè äàííîé òåîðèè äëÿ ýâîëþöèîííûõ óðàâíåíèé
âòîðîãî ïîðÿäêà ñ W�0
-ïñåâäîìîíîòîííûìè îòîáðàæåíèÿìè, à òàêæå â ïîëó÷åíèè
íîâûõ òåîðåì î ðàçðåøèìîñòè è îáîñíîâàíèè êîíñòðóêòèâíûõ ìåòîäîâ àïïðîêñè-
ìàöèè òàêèõ ðåøåíèé. Ðåçóëüòàòû ðàáîòû ìîãóò áûòü ïðèìåíåíû, â ÷àñòíîñòè, äëÿ
èññëåäîâàíèÿ ïðîöåññîâ äèíàìèêè ñòðóêòóðû ñèñòåìû çíàíèé, íàêîïëåííûõ áîëü-
øèìè ãðóïïàìè ëþäåé â ïðîöåññå öåëåíàïðàâëåííîãî îáó÷åíèÿ [7, 16, 21, 22].
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Ïóñòü V — ðåôëåêñèâíîå áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì äåéñòâèòåëüíûõ ÷è-
ñåë; H — ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ñî ñêàëÿð-
íûì ïðîèçâåäåíèåì ( , )� � , îòîæäåñòâëåííîå ñ ñîïðÿæåííûì ïðîñòðàíñòâîì H * .
Òîãäà ïîëó÷èì öåïî÷êó íåïðåðûâíûõ è ïëîòíûõ âëîæåíèé
V H V� � *,
ãäå V * — ñîïðÿæåííîå ñ V ïðîñòðàíñòâî îòíîñèòåëüíî ( , )� � .
118 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 5
1 Ðàáîòà ÷àñòè÷íî ïîääåðæàíà ÃÔÔÈ–ÁÔÔÈ, ãðàíò ¹ Ô29.1/025.
© Ï.Î. Êàñüÿíîâ, Í.Â. Çàäîÿí÷óê, Â.Â. ßñèíñêèé, 2009
Ââåäåì îáîçíà÷åíèå S T� [ , ]0 — êîíå÷íûé èíòåðâàë âðåìåíè,
X L S H L S Vp p� �
0
( ; ) ( ; ) ,
X L S H L S Vq q
* *( ; ) ( ; )� �
0
, Y Y L S H� �* ( ; )2 ,
ãäå p0 2� , 1 0
p p ,
1 1 1 1
1
0 0p q p q
� � � � .
Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî W y X y X� � � �{ }| * ÿâëÿåòñÿ ðåôëåêñèâíûì áàíàõî-
âûì ïðîñòðàíñòâîì [13] îòíîñèòåëüíî íîðìû || || || || || ||
*
y y yW X
X
� � � , ãäå �y —
ïðîèçâîäíàÿ ýëåìåíòà y X� â ñìûñëå ïðîñòðàíñòâà ðàñïðåäåëåíèé D S V* *( ; ) [1].
Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ �� X è f X� * : f f f� �0 1, f L S Hq0 0
� ( ; ) , f L S Vq1 � ( ; )*
ðàññìîòðèì
� �
� � �
� �� �f f f d f dX
S
H
S
V, , ( ( ), ( )) ( ), ( ) (� � � � � � � � � �0 1 f d
S
( ), ( ))� � � � � .
Çäåñü
� � � � �, : *
V V V � — êàíîíè÷åñêîå ñïàðèâàíèå, ñîâïàäàþùåå íà H V� ñî
ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì ( , )� � â H [13].
Äëÿ îòîáðàæåíèé A B X X, : *� ðàññìîòðèì çàäà÷ó
�� � � � �
� � � � � �
u A u B u f
u u T u u T u C S V u
( ) ( ) ,
( ) ( ), ( ) ( ), ( ; ),0 0 � �
�
�
� W C S H( ; ),
(1)
ãäå f X� * — ïðîèçâîëüíûé ôèêñèðîâàííûé ýëåìåíò. Öåëü äàííîé ðàáîòû ñî-
ñòîèò â äîêàçàòåëüñòâå ðàçðåøèìîñòè ïðîáëåìû (1).
ÊËÀÑÑÛ ÎÄÍÎÇÍÀ×ÍÛÕ ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈÉ ÏÑÅÂÄÎÌÎÍÎÒÎÍÍÎÃÎ ÒÈÏÀ
Ïóñòü X , X * , W — ïðîñòðàíñòâà, îïèñàííûå ðàíåå. Ðàññìîòðèì êëàññû îäíî-
çíà÷íûõ îòîáðàæåíèé.
Îïðåäåëåíèå 1. Îòîáðàæåíèå A X X: *� íàçûâàåòñÿ:
1) �-ïñåâäîìîíîòîííûì íà W, åñëè äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
{ }y Wn n� �1 òàêîé, ÷òî y yn � ñëàáî â X ïðè n �� , � � �y yn ñëàáî â X * ïðè
n �� , èç íåðàâåíñòâà
lim ( ),
n
n n XA y y y
��
� �
0 (2)
ñëåäóåò, ÷òî ìîæíî âûäåëèòü òàêóþ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü { {y yn k n nk
} }� ��1 1 ,
÷òî
lim ( ) , ( ),
k
n n X XA y y w A y y w w W
k k
��
� � �
� � � � ; (3)
2) � 0 -ïñåâäîìîíîòîííûì íà W, åñëè äëÿ ïðîèçâîëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
{ }y Wn n� �1 òàêîé, ÷òî y yn � ñëàáî â X , A y dn( ) � ñëàáî â X * , � � �y yn ñëàáî
â X * ïðè n �� , èç íåðàâåíñòâà (2) ñëåäóåò, ÷òî ìîæíî âûäåëèòü òàêóþ ïîäïîñëå-
äîâàòåëüíîñòü { } { }y yn k n nk � ��1 1 , ÷òî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî (3).
Çàìåòèì, ÷òî èäåÿ ïåðåõîäà ê ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòÿì â îïðåäåëåíèè îäíî-
çíà÷íîãî ïñåâäîìîíîòîííîãî îïåðàòîðà ïðèíàäëåæèò È.Â. Ñêðûïíèêó [19].
Óòâåðæäåíèå 1 [18, c. 65]. Ïóñòü A B X X, : *� — �-ïñåâäîìîíîòîííûå íà W
îòîáðàæåíèÿ. Òîãäà îòîáðàæåíèå C A B� � (C y A y B y( ) ( ) ( )� � � �y X ) ÿâëÿåòñÿ
�-ïñåâäîìîíîòîííûì íà W.
Çàìå÷àíèå 1. Äëÿ � 0 -ïñåâäîìîíîòîííûõ îòîáðàæåíèé âûïîëíÿåòñÿ àíàëîãè÷-
íîå óòâåðæäåíèå ïðè óñëîâèè, ÷òî îäèí èç îïåðàòîðîâ îãðàíè÷åí [11, c. 306].
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 5 119
Îïðåäåëåíèå 2. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî äåéñòâèòåëüíàÿ ôóíêöèÿ äâóõ ïåðåìåííûõ
C : � � �� �� � ïðèíàäëåæèò êëàññó � , åñëè C r( ; ) :1 � ��� � ÿâëÿåòñÿ íåïðå-
ðûâíîé ôóíêöèåé ïðè êàæäîì r1 0� , ïðè÷åì
� � �� � � � � �1
1 2 1 20 0 0C r r r r( ; ) , , .
Îïðåäåëåíèå 3. Îòîáðàæåíèå A X X: *� íàçûâàåòñÿ îïåðàòîðîì ñ ( , )X W -ïî-
ëóîãðàíè÷åííîé âàðèàöèåé (( , )X W -ï.î.â.), åñëè � �R 0, � �y y X1 2, òàêèõ, ÷òî
|| ||y Ri X
, i �1 2, , ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
� � �
� � � �Ay y y A y y y C R y yX X W1 1 2 2 1 2 1 2, , ( ; || || )' . (4)
Çäåñü C �� , à ïîëóíîðìà || ||� W
' êîìïàêòíàÿ îòíîñèòåëüíî || ||� W íà W è íåïðå-
ðûâíàÿ îòíîñèòåëüíî || ||� X íà X .
Îïðåäåëåíèå 4. Îïåðàòîð A X X: *� íàçûâàåòñÿ ðàäèàëüíî íåïðåðûâíûì, åñëè
äëÿ ëþáûõ ôèêñèðîâàííûõ u X, �� äåéñòâèòåëüíàÿ ôóíêöèÿ s A u s X�
� �( ),� �
íåïðåðûâíà íà [ , ]0 1 .
Îïðåäåëåíèå 5. Îïåðàòîð A X X: *� íàçûâàåòñÿ äåìèíåïðåðûâíûì, åñëè èç
u un � â X ñëåäóåò, ÷òî Aun ñëàáî ñõîäèòñÿ ê Au â X *.
Çàìå÷àíèå 2. Îïåðàòîðû ñ ( ; )X W -ï.î.â. âïåðâûå ââåäåíû Þ.À. Äóáèíñêèì
â [9], à äëÿ ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé — â ðàáîòàõ [10, 11].
Óòâåðæäåíèå 2 [18, c. 67]. Èìååò ìåñòî èìïëèêàöèÿ
A — ðàäèàëüíî íåïðåðûâíûé îïåðàòîð ñ ( ; )X W -ï.î.â �
� A — � 0 -ïñåâäîìîíîòîííûé íà W îïåðàòîð.
Ëåììà 1. Ïóñòü A A X X1 2, : *� — îïåðàòîðû ñ ( ; )X W -ï.î.â. Òîãäà èõ ñóì-
ìà A X X: *� òàêæå ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì ñ ( ; )X W -ï.î.â.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü äëÿ îïåðàòîðà A X Xi : *� , íåêîòîðîé ôóíêöèè
Ci : � � �� �� � èç îïðåäåëåíèÿ 3 è ïîëóíîðìû || ||�
i
, êîìïàêòíîé îòíîñèòåëü-
íî || ||� W íà W è íåïðåðûâíîé îòíîñèòåëüíî || ||� X íà X , âûïîëíÿåòñÿ (4), i �1 2, .
Ïîëîæèì
� � � �r t C r t t c r t t c r tA, ( , ) ~ ( , ) ~ ( , ) ,0 1 2
ãäå äëÿ âñåõ r t, � 0
~ ( , ) :
sup
( , )
, ,
, ,
( , ]c r t
C r s
s
t
t
i s t
i
�
�
�
�
�
�
�
�
� 0
0
0 0
i �1 2, .
Çàìåòèâ, ÷òî äëÿ r � 0 ôóíêöèÿ � �� � � �t c r ti
~ ( , ) ìîíîòîííî íå óáûâàþ-
ùàÿ, íåïðåðûâíàÿ � �r 0, ~ ( , )c r t
i
� 0 ïðè t� 0� , è ïîëîæèâ || || : || || || ||� � � � �1 2 ,
ïîëó÷èì, ÷òî äëÿ âñåõ R � 0 è y y X1 2, � òàêèõ, ÷òî || ||y Ri X
, i �1 2, , ñïðàâåäëè-
âî íåðàâåíñòâî
� � �A y y y X1 1 2,
�
� � � � � �A y y y y y c R y yX2 1 2 1 2 1 1 1 2 1, || || ~ ( , || || )
� � � �|| || ~ ( , || || )y y c R y y1 2 2 2 1 2 2
�
� � � �A y y y C R y yX A2 1 2 1 2, ( ; || || ) .
Ôóíêöèÿ CA óäîâëåòâîðÿåò âñåì ñâîéñòâàì îïðåäåëåíèÿ 3, ïîëóíîðìà | | | |� —
êîìïàêòíàÿ îòíîñèòåëüíî | | | |� W íà W è íåïðåðûâíàÿ îòíîñèòåëüíî | | | |� X íà X .
Ëåììà äîêàçàíà.
Îïðåäåëåíèå 6. Îòîáðàæåíèå A X X: *� íàçûâàåòñÿ êîýðöèòèâíûì, åñëè ñó-
ùåñòâóåò îïðåäåëåííàÿ íà [ , )0 � äåéñòâèòåëüíàÿ ôóíêöèÿ � òàêàÿ, ÷òî lim ( )
s
s
��
� ��� è
� � � �Au u u u u XX X X, (|| || ) || ||� .
120 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 5
Îïðåäåëåíèå 7. Îòîáðàæåíèå A X X: *� íàçûâàåòñÿ ìîíîòîííûì, åñëè
� � � � � �Au A u u XX� � �, ,0 .
Îïðåäåëåíèå 8. Ïóñòü D A X( ) � — íåïóñòîå ìíîæåñòâî. Îïåðàòîð
A D A X: ( ) *� íàçûâàåòñÿ ìàêñèìàëüíî ìîíîòîííûì, åñëè îí ìîíîòîíåí íà D A( )
è èç òîãî, ÷òî
� � � � � �f Au u u D AX, ( )� 0 ,
ñëåäóåò ��D A( ) , A f� � , ãäå f X� * , �� X , à D A( ) — îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ
îïåðàòîðà A .
Îïðåäåëåíèå 9. Îòîáðàæåíèå A X X: *� íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèåì òèïà
Âîëüòåððà, åñëè äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ôèêñèðîâàííûõ u X, �� , t S� èç ðàâåíñòâà
u s s( ) ( )� � äëÿ ïî÷òè âñåõ s t�[ , ]0 ñëåäóåò, ÷òî ( )( ) ( )( )Au s A s� � äëÿ ïî÷òè âñåõ
s t�[ , ]0 .
Îïðåäåëåíèå 10. Îòîáðàæåíèå A X X: *� íàçûâàåòñÿ ëîêàëüíî îãðàíè÷åí-
íûì, åñëè � �y X � �m 0, M � 0: || ( ) ||A M� �
äëÿ âñåõ � �� �
X y mX: || || .
Îïðåäåëåíèå 11. Îòîáðàæåíèå A X X: *� íàçûâàåòñÿ êîíå÷íîìåðíî ëîêàëü-
íî îãðàíè÷åííûì, åñëè äëÿ ïðîèçâîëüíîãî êîíå÷íîìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà F X�
ñóæåíèå A íà F ëîêàëüíî îãðàíè÷åíî.
Îïðåäåëåíèå 12. Îòîáðàæåíèå A X X: *� íàçûâàåòñÿ êâàçèîãðàíè÷åííûì,
åñëè äëÿ íåêîòîðîãî íåïóñòîãî îãðàíè÷åííîãî ïîäìíîæåñòâà B X� è íåêîòîðîãî
k � 0 èç íåðàâåíñòâà
�
A y y kX( ), � �y B ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå òàêîãî K � 0,
÷òî || ( ) || *A y K
X
� �y B .
Ïðèâåäåì êëàññû � 0 -ïñåâäîìîíîòîííûõ íà W îòîáðàæåíèé.
Îïðåäåëåíèå 13. Îòîáðàæåíèå A X X: *� íàçûâàåòñÿ îïåðàòîðîì âàðèàöè-
îííîãî èñ÷èñëåíèÿ íà W, åñëè îíî äîïóñêàåò ïðåäñòàâëåíèå âèäà A y A y y( ) ( , )� ,
ãäå îòîáðàæåíèå A X X X: *� � óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâàì:
à) äëÿ ëþáîãî w W� A w( , )� — ðàäèàëüíî íåïðåðûâíûé îïåðàòîð
ñ ( , )X W -ï.î.â.;
á) äëÿ ëþáîãî ôèêñèðîâàííîãî w W� îòîáðàæåíèå W y A y w X� �� ( , ) *
îãðàíè÷åííîå;
â) èç òîãî, ÷òî y yn � ñëàáî â W ïðè n �� ,
� � � �A y y A y y y yn n n n X( , ) ( , ), 0, n �� ,
ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå òàêîé ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè { } { }y yn k n nk � ��1 1 , ÷òî
� �w W A y w A y wnk
( , ) ( , )� ñëàáî â X * ïðè k �� ;
ã) åñëè y yn � ñëàáî â W ïðè n �� è A y w d wn( , ) ( )� ñëàáî â X * ïðè n ��
� �� X , òî íàéäåòñÿ òàêàÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü { } { }y yn k n nk � ��1 1, äëÿ êîòîðîé
� �
�A y w y d w yn n X Xk k
( , ), ( ), ïðè k �� � �w X .
Óòâåðæäåíèå 3 [18, c. 69]. Ïóñòü A A X X1 2, : *� — îïåðàòîðû âàðèàöè-
îííîãî èñ÷èñëåíèÿ íà W. Òîãäà A A A� �1 2 — îïåðàòîð âàðèàöèîííîãî èñ÷èñ-
ëåíèÿ íà W.
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÐÅÇÓËÜÒÀÒÛ
Ëåììà 2. Ïóñòü A X X1 : *� — ðàäèàëüíî íåïðåðûâíûé îïåðàòîð ñ ( ; )X W -ï.î.â.,
A X X2 : *� óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì:
1) îïåðàòîð A W X2 : *� îãðàíè÷åí;
2) åñëè y yn � ñëàáî â W ïðè n �� ,
� � � �A y A y y yn n X2 2 0( ) ( ), , n �� ,
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 5 121
òî íàéäåòñÿ òàêàÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü { } { }y yn k n nk � ��1 1, äëÿ êîòîðîé
A y A ynk2 2( ) ( )� ñëàáî â X * ïðè k �� ;
3) åñëè y yn � ñëàáî â W ïðè n �� è A y dn2 2( ) � ñëàáî â X * ïðè n �� ,
òî íàéäåòñÿ òàêàÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü { } { }y yn k n nk � ��1 1 , äëÿ êîòîðîé
� �
� �A y y d yn n X Xk k2 2
0( ), , ïðè k �� .
Òîãäà A A A� �1 2 ( ( ) ( , ) ( ) ( )A y A y y A y A y� � �1 2 , A u A A u( , ) ( ) ( )� �� �1 2
� �u X, )� ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ íà W.
Äîêàçàòåëüñòâî. Óñëîâèå à). Äëÿ êàæäîãî ��W A X X( , ): *� � � — ðàäèàëü-
íî íåïðåðûâíûé îïåðàòîð ñ ( ; )X W -ï.î.â. Ðàäèàëüíàÿ íåïðåðûâíîñòü — ñëåäñòâèå
òàêîãî æå ñâîéñòâà äëÿ A1. Äàëåå, � �
y y X y RX1 2 1, : || || , || ||y RX2
èìååì
� � � �A y A y y y X( , ) ( , ),� �1 2 1 2
�
� � � � � �( ( ) ( )) ( ( ) ( )),A y A A y A y y X1 1 2 1 2 2 1 2� �
�
� � � � � �A y A y y y C R y yX W1 1 1 2 1 2 1 2( ) ( ), ( , || || )' .
Óñëîâèå á) íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç óñëîâèÿ 1 ëåììû 2.
Óñëîâèå â). Ïóñòü y yn � ñëàáî â W X� ïðè n �� ,
0 1 1�
� � � �
� � � �A y y A y y y y A y A y y y nn n n n X n n X( , ) ( , ), ( ) ( ), , � .
Òîãäà èç óñëîâèÿ 1 äàííîé ëåììû è òåîðåìû Áàíàõà–Àëàîãëó âûòåêàåò, ÷òî ñó-
ùåñòâóåò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü { } { }y ym m n n� �1 è ýëåìåíò d X2 � * òàêèå, ÷òî
A y dm2 2( ) � ñëàáî â X * . Èç óñëîâèÿ 3 ëåììû 2 ïîëó÷èì, ÷òî ñóùåñòâóåò ïîä-
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { } { }y yk k m m� òàêàÿ, ÷òî
� � � �
� �
� �A y A y y y A y y A y yk k X k k X k X2 2 2 2( ) ( ), ( ), ( ),
�
� � �
� �
� �A y y y d y d yk X X X2 2 2 0( ), , , .
Ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó óñëîâèÿ 2 äàííîé ëåììû íàéäåòñÿ òàêàÿ ïîäïîñëåäîâà-
òåëüíîñòü { } { }y yn l k kl � �1 , ÷òî A y A ynl2 2( ) ( )� ñëàáî â X *, åñëè l ��� . Òà-
êèì îáðàçîì, äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ôèêñèðîâàííîãî w W�
A y w A w A y A w A y A y wn nl l
( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )� � � � �1 2 1 2
ñëàáî â X *, åñëè l ��� .
Óñëîâèå ã). Ïóñòü y yn � ñëàáî â W, A y dn( , ) ( )� �� ñëàáî â X * äëÿ êàæäîãî
��W . Ïîñêîëüêó A y A A yn n( , ) ( ) ( )� �� �1 2 , òî A y dn2 ( )
~
( )� � ñëàáî â X *, ãäå
~
( ) ( ) ( )d d A� � �� � 1 . Íî òîãäà, â ñèëó óñëîâèÿ 3 äàííîé ëåììû, èìååì, ÷òî ñóùåñ-
òâóåò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü { } { }y yn k n nk � ��1 1 òàêàÿ, ÷òî
� �
� �
� �A y y d y d A yn n X X Xk k2 1( ),
~
( ), ( ) ( ),� � �
èëè
� �
� � �
�A y y A A y y d yn n X n n X Xk k k k
( , ), ( ) ( ), ( ),� � �1 2 .
Ëåììà äîêàçàíà.
Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå ÿâëÿåòñÿ ïðÿìûì ñëåäñòâèåì ëåììû 2.
Ëåììà 3. Ïóñòü A X X1 : *� — îïåðàòîð èç ëåììû 2, A Y Y2 : *� — äåìè-
íåïðåðûâíûé îïåðàòîð, îãðàíè÷åííûé êàê òàêîé, ÷òî äåéñòâóåò èç W â X * , è ïðî-
ñòðàíñòâî W êîìïàêòíî âëîæåíî â Y . Òîãäà îïåðàòîð A A A� �1 2 — îïåðàòîð âà-
ðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ îïåðàòîðà A Y Y2 : *� ïðîâåðèì âûïîëíåíèå óñëîâèé
ëåììû 2:
1) îïåðàòîð A W X2 : *� îãðàíè÷åí ïî óñëîâèþ ëåììû;
2) ïóñòü y yn � ñëàáî â W, òîãäà y yn � ñèëüíî â Y , òàê êàê W êîìïàêòíî âëî-
æåíî â Y ; ïîñêîëüêó îïåðàòîð A Y Y2 : *� äåìèíåïðåðûâíûé, A y A yn2 2( ) ( )� ñëà-
122 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 5
áî â Y X* *� ïðè n �� è âûïîëíÿåòñÿ
� � � �A y A y y yn n Y2 2 0( ) ( ), ; ïîýòîìó
íàéäåòñÿ òàêàÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü { } { }y yn k n nk � ��1 1 , äëÿ êîòîðîé
A y A ynk2 2( ) ( )� ñëàáî â X * ;
3) ïóñòü y yn � ñëàáî â W ïðè n �� è A y dn2 2( ) � ñëàáî â X * ïðè n �� ;
òîãäà çà ñ÷åò êîìïàêòíîñòè âëîæåíèÿ W â Y è äåìèíåïðåðûâíîñòè A Y Y2 : *�
èìååì y yn � ñèëüíî â Y è A y A yn2 2( ) ( )� ñëàáî â Y X* *� ; ñëåäîâàòåëüíî,
A y d2 2( ) � ,
� �
� �
� �A y y A y y A y yn n X n n Y Y2 2 2( ), ( ), ( ),
�
� �
� � �A y y d y nX X2 2( ), , , .
Ñîãëàñíî ëåììå 2 îïåðàòîð A A A� �1 2 (A y A y y A y A y( ) ( , ) ( ) ( )� � �1 2 ,
A u A u A( , ) ( ) ( )� �� �2 1 ) ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ íà W.
Ëåììà äîêàçàíà.
Òåîðåìà 1 [12, òåîðåìà 3.1]. Ïóñòü � �: ( ) *D X� — ðàäèàëüíî íåïðåðûâíûé
ìàêñèìàëüíûé ìîíîòîííûé îïåðàòîð ñ ëèíåéíîé îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ D X( )� �
è A X X: *� óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:
à) A — � 0 -ïñåâäîìîíîòîííûé íà W ;
á) A — êâàçèîãðàíè÷åííûé è êîíå÷íîìåðíî ëîêàëüíî îãðàíè÷åííûé;
â) A — îñëàáëåííî êîýðöèòèâíûé, ò.å.
� � � �
� � �f X R A y f y* : ( ) ,0 0.
Òîãäà äëÿ ëþáîãî f X� * óðàâíåíèå
�y A y f� � (5)
èìååò ðåøåíèå y D� ( )� , êîòîðîå ìîæíî ïîëó÷èòü ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ñèíãóëÿð-
íûõ âîçìóùåíèé.
Òåîðåìà 2. Ïóñòü îïåðàòîð A X X: *� óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì à)–â) òåîðå-
ìû 1, à îïåðàòîð B X X: *� — îïåðàòîð ño ñâîéñòâîì
( )( ) ( ) ,Bu t B u t u X t S� � � � �0 ,
ãäå B V V0 : *� — ëèíåéíûé îãðàíè÷åííûé ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûé îïåðà-
òîð. Òîãäà ïðè ëþáîì f X� * çàäà÷à (1) èìååò ðåøåíèå. Åñëè A åùå è ñòðîãî
ìîíîòîííûé, òî ýòî ðåøåíèå åäèíñòâåííî.
Çàìå÷àíèå 3. Åñëè ôóíêöèÿ u C S V� ( ; ) ñ � �u X óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ
�� � � � �u Au Bu f (â D S V* *( ; )), òî �� �u X * è � � �u W C S H( ; ) . Ïîýòîìó óñëîâèå
� � �u u T( ) ( )0 èìååò ñìûñë.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðè ðàññìîòðåíèè çàäà÷è (1) öåëåñîîáðàçíî ââåñòè ïðîñò-
ðàíñòâî
X u u X u s ds
S
0 0�
�
�
�
� �
!
"
�| , ( ) ,
êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì ïîäïðîñòðàíñòâîì â X . Èñïîëüçóÿ òåîðåìó Õà-
íà–Áàíàõà, íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ñîïðÿæåííîå ê X 0 ïðîñòðàíñòâî X 0
* ìîæíî
òðàêòîâàòü êàê ôàêòîð-ïðîñòðàíñòâî ïðîñòðàíñòâà X * ïî ïîäïðîñòðàíñòâó ýëå-
ìåíòîâ, îáðàùàþùèõñÿ â íîëü íà X 0 . Åñëè w X� * ïðåâðàùàåòñÿ â íîëü íà X 0 ,
òî äëÿ ��D S( ) è x V� â ñèëó âêëþ÷åíèÿ � �� x X 0 èìååì
( ( ), ) ( ( ), ) ( ( ), ( ) )� � � � � � � ��w x w x w s s x ds
S
� � � 0,
ò.å. w ïîñòîÿííàÿ. (Çäåñü �w ( )� — çíà÷åíèå ðàñïðåäåëåíèÿ w D S V' ( ; )* *� íà ýëå-
ìåíòå ��D S( ) è w( )�� — çíà÷åíèÿ w D S V� * *( ; ) íà � �� D S( ) .) Îáðàòíî, êàæ-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 5 123
äàÿ ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ w X� * îáðàùàåòñÿ â íîëü íà X 0 . Èòàê, ïðîñòðàíñòâî
X 0
* ñîñòîèò èç êëàññîâ ôóíêöèé èç X * , êîòîðûå îòëè÷àþòñÿ ëèøü íà ïîñòîÿí-
íóþ ôóíêöèþ. Â êàæäîì òàêîì êëàññå ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ýëåìåíò
w X� * , êîòîðûé èìååò ñâîéñòâî w s ds
S
( )� � 0. Ïîýòîìó ñîïðÿæåííîå ê X 0 ïðîñò-
ðàíñòâî X 0
* ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ ïðîñòðàíñòâîì
( ) | , ( )* *X w w X w s ds
S
0 0�
�
�
�
� �
!
"
� .
Ïðè ýòîì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ìåæäó ýëåìåíòàìè w X� 0
* è u X� 0 çàäàåòñÿ
ôîðìóëîé
� � �w u w s u s ds
S
, ( ( ), ( )) .
Ïóñòü I 0 — (íåïðåðûâíîå) âëîæåíèå X 0 â X è I X X0 0
* * *: � — ñîïðÿæåííûé
ê I 0 îïåðàòîð. Äëÿ w X� * è u X� 0 èìååì
� �
� �
�I w u w I u w u0 0
* , , , , (6)
è î÷åâèäíî, ÷òî I w w0
* � äëÿ w X� 0
* .
Ïîñëå ïðåäâàðèòåëüíûõ çàìå÷àíèé äàäèì íîâîå ôîðìóëèðîâàíèå çàäà÷è (1).
Ïóñòü R X X0 0: � — îïåðàòîð, îïðåäåëåííûé ñîîòíîøåíèåì
( )( ) ( ) ,R t s ds X
t
0
0
0� � �� �� . (7)
Åñëè u C S V� ( ; ) è � �u X 0 , òî R u u u0 0� � � , ãäå u0 — íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ íà
èíòåðâàëå S ôóíêöèÿ. Ïóñòü, äàëåå, C I AI BR X X� � �0 0 0 0 0
* *( ) : è g I f X� �0 0
* * .
Ïîêàæåì, ÷òî çàäà÷à (1) ýêâèâàëåíòíà çàäà÷å
� � � �� � �C g X, 0 . (8)
1. Ïóñòü u — ðåøåíèå çàäà÷è (1). Òîãäà � �u X 0 è �� �u X 0
* . Èìååì
�� � � � �� � � � � �� � � � � �u Cu u I AI BR u I u Au Bu Bu0 0 0 0 0
* *( ) ( )
� �� � � � � �I u Au Bu I f g0 0
* *( ) ,
ò.å. � � �u — ðåøåíèå çàäà÷è (8).
2. Ïóñòü � — ðåøåíèå çàäà÷è (8). Ïîëîæèì u R1 0� �. Òîãäà � �u1 � è
u u T1 10( ) ( )� , à òàêæå �� � � � � �u g C X1 0� � * è � � �u u T1 10( ) ( ) . Äàëåå,
�� � � � �� � � � � �� � � � �u Cu u I AI BR u I u Au Bu1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1
* *( ) ( ) I f0
* ,
ïîýòîìó
�� � � � � �u Au Bu f f1 1 1 1
ïðè íåêîòîðîé ñîîòâåòñòâóþùåé ïîñòîÿííîé ôóíêöèè f X1 � *. Äëÿ u u B f� � �
1
1
1
èìååì u u T( ) ( )0 � , � � �u u T( ) ( )0 ,
�� � � � � �� � � � � �u Au Bu u Au Bu f f1 1 1 1 ,
ò.å. u — ðåøåíèå çàäà÷è (1). (Îïåðàòîð B X X� �1: * ñóùåñòâóåò â ñèëó åãî
îïðåäåëåíèÿ.)
Ïðèâåäåííûå ðàññóæäåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî ñóùåñòâóåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå
îáðàòèìîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ðåøåíèÿìè çàäà÷è (1) è ðåøåíèÿìè çàäà÷è (8). Òå-
ïåðü ðåøèì (8) ñ ïîìîùüþ òåîðåìû 1.
124 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 5
Äëÿ ëþáîãî �� X 0 èìååì
� � � ��BR B R t R t dt
S
0 0 0 0� � � �, ( ( )( ), ( ) ( ))
� � �
1
2
0 00 0 0 0 0 0{ }( ( )( ), ( )( )) (( ( )( ), ( )( ))B R T R T B R R� � � � 0, (9)
òàê êàê ñîãëàñíî (7) ( )( ) ( )( )R T R0 0 0 0� �� � . Èç (6), (9) è îïðåäåëåíèÿ îïåðà-
òîðà C ñëåäóåò, ÷òî äëÿ u X, �� 0
� �
�C A� � � �, , ,
� � � �
� � �Cu C u Au A u� � � �, , .
Ðàññìîòðèì îïåðàòîð I AI X X0 0 0
* * *: � . Ïîêàæåì, ÷òî îí óäîâëåòâîðÿåò óñëî-
âèÿì à)–â) òåîðåìû 1.
Óñëîâèå à). Ïóñòü y yn � ñëàáî â X 0 , � � �y yn ñëàáî â X * . Èìååì
lim , lim , ( ) lim*
n
n n
n
n n
n
I AI y y y AI y I y y
�� �� �
� � �
� � �0 0 0 0
�
� �
Ay y yn n, 0.
Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò { } { }y yn nk
� òàêàÿ, ÷òî
lim , ) lim , ( )*
k
n n
k
n nI AI y y w AI y I y w
k k k k
�� ��
� � �
� � �0 0 0 0
�
� � �
� � �
� �
��
lim , ) ( ), ,*
k
n nAy y w A y y w I AI y y w
k 0 0 � �w X 0 .
Óñëîâèå á). Êâàçèîãðàíè÷åííîñòü è ëîêàëüíàÿ êîíå÷íîìåðíàÿ îãðàíè÷åííîñòü
C íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóþò èç óñëîâèé òåîðåìû 2.
Óñëîâèå â). Èìååì � �g X 0
* (g I f f X� �0
* *, ) � � �R y0: , || ||y RX �
� � �
� � �
� �
I AI y g y AI y f I y Ay f y0 0 0 0 0* , , , .
Èòàê, òðåáóåìûå óñëîâèÿ äëÿ îïåðàòîðà I AI X X0 0 0
* * *: � âûïîëíÿþòñÿ.
Äîêàæåì, ÷òî îïðåäåëåííûé íà W X X0 0 0� � � �{ }� � �| , * ñîîòíîøåíèåì
�� � �� � �, W0 , (10)
îïåðàòîð � êàê îòîáðàæåíèå èç X 0 â X 0
* ÿâëÿåòñÿ ðàäèàëüíî íåïðåðûâíûì è
ìàêñèìàëüíî ìîíîòîííûì. Òåì ñàìûì äëÿ çàäà÷è (8) âûïîëíÿþòñÿ âñå óñëîâèÿ
òåîðåìû 1. Èç ýòîé òåîðåìû ñëåäóþò ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è (8) è åå îäíîçíà÷íàÿ
ðàçðåøèìîñòü â ñëó÷àå ñòðîãîé ìîíîòîííîñòè C , îòêóäà âûòåêàåò ñïðàâåäëè-
âîñòü óòâåðæäåíèé òåîðåìû 2.
Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû óñòàíîâèì ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.
Ëåììà 4. Îïåðàòîð � : *W X0 0� , îïðåäåëåííûé ôîðìóëîé (10), êàê îòîáðàæå-
íèå èç X 0 â X 0
* ðàäèàëüíî íåïðåðûâíûé è ìàêñèìàëüíî ìîíîòîííûé.
Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Äëÿ �, w W� 0 è h��
1 èìååì
� � �( )� �� � �hw h w ,
îòêóäà ñëåäóåò ðàäèàëüíàÿ íåïðåðûâíîñòü � .
2. Äëÿ u W� 0 èìååì
u T u u s ds
S
( ) ( ) ( )� � � ��0 0,
ïîýòîìó
� � � � � ���u u u s u s ds u T u
S
, ( ( ), ( )) ( | ( ) | | ( ) | )
1
2
0 02 2 ,
ò.å. ëèíåéíûé îïåðàòîð � — ìîíîòîííûé.
3. Ïóñòü äëÿ çàäàííûõ �� X 0 è w X� 0
*
� � � �w u u� , � 0 � �u W0 . (11)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 5 125
Íåîáõîäèìî ïîêàçàòü, ÷òî � �� w , è ïîýòîìó ��W0 . Ïðåæäå âñåãî âûáåðåì
u x� �� , ãäå ��D S( ) è x V� . Òîãäà u W� 0 ,
0
� �� � � � �
� � #
$
%%
�� � ��w x x w s s s w s
S
� � � � � � �, , ( ( ) ( ) ( ) ( )) ,ds x
&
'
(( �
�
�� � � �
� � � � ��� � � � � �x x w w x, , ( ( ) ( ), ) ;
�w ( )� è ��� �( ) — ñîîòâåòñòâåííî çíà÷åíèÿ ðàñïðåäåëåíèé �w è ��� íà ýëåìåíòå
��D S( ) . Ïîñëåäíÿÿ îöåíêà ïîêàçûâàåò, ÷òî ( ( ) ( ), )� � ��w x� � � íå çàâèñèò îò x.
Ýòî âîçìîæíî òîëüêî â ñëó÷àå � � ��w ( ) ( )� � � . Ïîýòîìó � � �� w u0 ÿâëÿåòñÿ ïîñòî-
ÿííîé ôóíêöèåé íà èíòåðâàëå S . Îòñþäà è èç (11) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ êàæäîãî
u W� 0 èìååò ìåñòî
0
1
2
0 02 2
� � � � � � � � � �� � � �u u T u T u, ( | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | )
� � � �( ( ), ( ) ( )) ( | ( ) | | ( ) | )u T T0 0
1
2
02 2� � � � .
Òàê êàê äëÿ ëþáîãî x V� ôóíêöèÿ u t t Tt
T
x( ) � � �
#
$
%
%
&
'
(
(
2
2
6
ïðèíàäëåæèò W0 ,
â ïîñëåäíåì íåðàâåíñòâå u( )0 ìîæåò áûòü ëþáûì ýëåìåíòîì èç V . Ïîýòîìó äàííîå
íåðàâåíñòâî âîçìîæíî òîëüêî ïðè � �( ) ( )0 � T è äëÿ ïîñòîÿííîé ôóíêöèè ïîëó÷àåì
u t dt t w t dt T
S S
0 0 0( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )� �� � � � � �� � � ;
ýòî îçíà÷àåò, ÷òî u0 0� è � �� w . Òåì ñàìûì óñòàíîâëåíî, ÷òî � — ìàêñèìàëü-
íûé ìîíîòîííûé îïåðàòîð.
Ëåììà äîêàçàíà.
Òåîðåìà äîêàçàíà.
ÏÐÈÌÅÐÛ
Ïðèâåäåì íåêîòîðûå ìîäåëüíûå ïðèìåðû ñ îïåðàòîðàìè òèïà Ëåðå–Ëèîíñà,
èëëþñòðèðóþùèå äàííóþ òåîðèþ. Ðàññìîòðèì îãðàíè÷åííóþ îáëàñòü ) � �
n
ñ äîñòàòî÷íî ãëàäêîé ãðàíèöåé *) [17, c. 338], S T� [ , ]0 , Q T� �) ( ; )0 ,
+ )T T� * � ( ; )0 . Ïóñòü m�� , N1 (ñîîòâåòñòâåííî N 2 ) — ÷èñëî äèôôåðåíöè-
ðîâàíèé ïî x ïîðÿäêà íå áîëüøå ÷åì m�1 (ñîîòâåòñòâåííî ðàâíûõ m) è
{ }A x m
�( , , ) | |
— ñåìåéñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ íà
)� �R R
N N1 2 . Ïóñòü òàêæå
D u D u kk � �{ }� �, | | — äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî x,
�u u Du D um� �{ }, , ,�
1 ,
A x u D x t A x u x t D x tm m
� � � �( , , ): , ( , ( , ), ( , ))� .
Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî f X L S H m� � �* ( ; ( ))2 ) [1, c. 44] ðàññìîòðèì çàäà÷ó
*
*
� �
,
2
2
1
y x t
t
D A x y x t D y x t
m
m( , )
( ) ( ( , ( , ), ( , ))
| |
| |
� ) ( , ) ( , )� �- y x t f x t â Q ,
y x y x T
y x t
t
y x t
tt t T
( , ) ( , ),
( , ) ( , )
0
0
�
*
*
�
*
*� �
â ) , (12)
D y x t ( , ) � 0 â +T ïðè | |
m .
Äîïóñòèì, ÷òî p p0 2� � , H L� 2 ( )) , V H m�
0
( )) . Òîãäà X L S V� 2 ( ; ) ,
X L S V* *( ; )� 2 , Y L S H� 2 ( ; ) . Ïðè òàêèõ óñëîâèÿõ íà ïàðàìåòðû çàäà÷è çàïè-
126 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 5
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 5 127
øåì (12) ñëåäóþùèì îáðàçîì:
�� � � � �
� � � �
�
�
�
y A y B y f
y y T y y T
( ) ( ) ,
( ) ( ), ( ) ( ).0 0
(13)
Ýëåìåíò y òàêîé, ÷òî � � � � � �y W y L S V y L S V{ }2
2( ; ) | ( ; )* — ðåøåíèå çàäà-
÷è (13), íàçûâàåòñÿ îáîáùåííûì ðåøåíèåì çàäà÷è (12).
Îïðåäåëåíèå îïåðàòîðà A. Ïóñòü A x
�( , , ) , çàäàííûå â )� �R R
N N1 2 ,
óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì:
äëÿ ïî÷òè âñåõ x�)
�
� , ( , , )� A x íåïðåðûâíî íà R R
N N1 2� ;
� �
�
� , ( , , )x A x èçìåðèìî íà ) ; (14)
� � �u X A x u D L Qm, ( , , ) ( )� � �
2 . (15)
Òîãäà äëÿ âñåõ u X� îòîáðàæåíèå
w a u w A x u D u D wdxdtm
Qm
� � �,
( , ) ( , , )
| |
�
íåïðåðûâíî íà X è
� � �
� � �A u X a u w A u w w X( ) : ( , ) ( ),* . (16)
Óñëîâèÿ äëÿ A. Àíàëîãè÷íî [17, ñåêöèè 2.2.5, 2.2.6, 3.2.1] èìååì
A u A u u A u A u A u( ) ( , ), ( , ) ( , ) ( )� � �� �1 2 ,
ãäå
� � �,
�
A u w A x u D D w dx dtm
Qm
1 ( , ), ( , , )
| |
� � �
,
� � �,
�
A u w A x u D u D w dx dtm
Qm
2
1
( ), ( , , )
| |
� .
Äîáàâèì ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
� � �
� � � � �A u u u A u u u X1 1 0( , ), ( , ), ,� � � � ; (17)
åñëè u uj � â X , � �u uj � â X * ,
� � � �A u u A u u u uj j j j1 1 0( , ) ( , ), , (18)
òî A x u D u A x u D uj
m
j
m
� �( , , ) ( , , )� â L Q2 ( ) .
Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ äëÿ (17), (18) [17, òåîðåìà 2.2.8]:
A x
m
� �
�
�
| |
( , , )
| |
, | |
�
, � �� ��
1
,
äëÿ ïî÷òè âñåõ x�) è îãðàíè÷åííûõ | |
;
( ( , , ) ( , , )) ( ) ,
| |
* * *A x A x
m
�
� � � � �
�
, � � � .0 ,
äëÿ ïî÷òè âñåõ x�) è �
.
Äîñòàòî÷íîå óñëîâèå êîýðöèòèâíîñòè:
A x c
m
� � �
| |
( , , ) | |
�
, � 2 äëÿ áîëüøèõ | |� .
Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ äëÿ (15) [17, c. 332]:
| ( , , ) | [ | | | | ( )] , ( )A x c k x k L
�
�
� � � 2 ) . (19)
Óòâåðæäåíèå 4 [14, ïðåäëîæåíèå 8.2]. Ïóñòü îïåðàòîð A X X: *� , îïðåäåëåí-
íûé ñ ïîìîùüþ (16), óäîâëåòâîðÿåò (14), (15), (17), (18) è óñëîâèþ êîýðöèòèâíîñòè. Òîã-
äà A — �-ïñåâäîìîíîòîííûé íà W. Áîëåå òîãî, ïðè âûïîëíåíèè (19), îí îãðàíè÷åí.
Îïðåäåëåíèå îïåðàòîðà B0 .  êà÷åñòâå îïåðàòîðà B0 âîçüìåì ýíåðãåòè÷åñ-
êîå ðàñøèðåíèå �- â H
0
1 ( )) :
B C0 0
2( ) ( )� � �� � � �- ) .
Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïåðå÷èñëåííûõ óñëîâèÿõ çàäà÷à (12) èìååò îáîáùåííîå
ðåøåíèå y C S H m� ( ; ( ))
0
) òàêîå, ÷òî � �y C S L( ; ( ))2 ) , �� �y X * .
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ã à å â ñ ê è é Õ . , Ã ð å ã å ð Ê . , Ç à õ à ð è à ñ Ê . Íåëèíåéíûå îïåðàòîðíûå óðàâíåíèÿ è îïåðàòîð-
íûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. — Ì.: Ìèð, 1978. — 337 ñ.
2. Ë è î í ñ Æ . - Ë . Íåðàâåíñòâà â ìåõàíèêå è ôèçèêå. — Ì.: Íàóêà, 1980. — 384 ñ.
3. Ç à ä î ÿ í ÷ ó ê Í . Â . , Ê à ñ ü ÿ í î â Ï . Î . Ìåòîä Ôàåäî–Ãàëüîðêiíà äëÿ íåëiíiéíèõ åâîëþöiéíèõ
ðiâíÿíü II ïîðÿäêó ç îïåðàòîðàìè Âîëüòåðà // Íåë³í³éí³ êîëèâàííÿ. — 2007. — ¹ 2. — C. 204–228.
4. Ç à ä î ÿ í ÷ ó ê Í .  . , Ê à ñ ü ÿ í î â Ï . Î . Ïðî ðîçâ’ÿçí³ñòü äèôåðåíö³àëüíî-îïåðàòîðíèõ ð³âíÿíü
²² ïîðÿäêó ç íåêîåðöèòèâíèìè îïåðàòîðàìè // Äîï. ÍÀÍ Óêðà¿íè. — 2006. — ¹ 12. — C. 15–19.
5. P a p a g e o r g i o u N . S . Existence of solutions for the second order evolution inclusions // J. Appl. Math.
Stoch. Analysis. — 1994. — 7, N 4. — P. 525–535.
6. P a p a g e o r g i o u N . S . , Y a n n a k a k i s N . Second order nonlinear evolution inclusions. II: Structure
of the solution set // Acta Mathematica Sinica, Engl. Ser. — 2006. — 22, N 1. — P. 195–206.
7. S e l l G . R . , Y o u Y u . Dynamics of evolutionary equations. — New York: Springer, 2002. — 670 p.
8. Ä å é í å ê à Â . Ñ . , Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . , Ñ ê î ï å ö ê è é Â . Â . Ìîäåëè è ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷
ñ óñëîâèÿìè ñîïðÿæåíèÿ. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1998. —– 614 ñ.
9. Ä ó á è í ñ ê è é Þ . À . Íåëèíåéíûå ýëëèïòè÷åñêèå è ïàðàáîëè÷åñêèå óðàâíåíèÿ // Èòîãè íàóêè è
òåõíèêè (ÂÈÍÈÒÈ). Ñîâð. ïðîáë. ìàòåìàòèêè. — 1976. — ¹ 9. — Ñ. 5–130.
10. Ç ã ó ð î â ñ ê è é Ì . Ç . , Ì å ë ü í è ê Â . Ñ . , Í î â è ê î â À . Í . Ïðèêëàäíûå ìåòîäû àíàëèçà è óï-
ðàâëåíèÿ íåëèíåéíûìè ïðîöåññàìè è ïîëÿìè. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 2004. — 590 ñ.
11. Ç ã ó ð î â ñ ê è é Ì . Ç . , Ê à ñ ü ÿ í î â Ï . Î . , Ì å ë ü í è ê Â . Ñ . Äèôôåðåíöèàëüíî-îïåðàòîðíûå âêëþ-
÷åíèÿ è âàðèàöèîííûå íåðàâåíñòâà â áåñêîíå÷íîìåðíûõ ïðîñòðàíñòâàõ. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 2008. — 464 ñ.
12. Ê à ñ ü ÿ í î â Ï . Î . , Ì å ë ü í è ê  . Ñ . Î ðàçðåøèìîñòè äèôôåðåíöèàëüíî-îïåðàòîðíûõ âêëþ÷å-
íèé è ýâîëþöèîííûõ âàðèàöèîííûõ íåðàâåíñòâ, ïîðîæäåííûõ îòîáðàæåíèÿìè w�0
-ïñåâäîìîíîòîí-
íîãî òèïà // Óêð. ìàò. â³ñí. — 2007. — 4, ¹ 4. — Ñ. 535–581.
13. K a s y a n o v P . O . , M e l ’ n i k V . S . , P i c c i r i l l o A . M . On some approximations and main topo-
logical descriptions for special classes of Banach spaces with integrable derivatives // Methods of Func-
tional Analisys and Topology. — 2008. — 14, N 3. — P. 255–270.
14. K a s y a n o v P . O . , M e l ’ n i k V . S . , T o s c a n o S . Periodic solutions for nonlinear evolution equa-
tions with W�0
-pseudomonotone maps // Íåë³í³éí³ êîëèâàííÿ. — 2006. — ¹ 2. — Ñ. 187–212.
15. K a s y a n o v P . O . , M e l ’ n i k V . S . , Y a s i n s k y V . V . Evolution inclusions and inequalities in Ba-
nach spaces with W� �pseudomonotone maps. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 2007. — 308 ñ.
16. K a p u s t y a n O . V . , M e l ’ n i k V . S . , V a l e r o J . , Y a s i n s k y V . V . Global attractors for multi-
valued dynamical systems. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 2008. — 208 ñ.
17. Ë è î í ñ Æ . - Ë . Íåêîòîðûå ìåòîäû ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ êðàåâûõ çàäà÷. — Ì.: Ìèð, 1972. — 587 ñ.
18. Ì å ë ü í è ê Â . Ñ . , Ò î ñ ê à í î Ë . Î íåëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíî-îïåðàòîðíûõ óðàâíåíèÿõ â áà-
íàõîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ ñ îòîáðàæåíèÿìè ïñåâäîìîíîòîííîãî òèïà. 1 // Ñèñòåìí³ äîñë³äæåííÿ òà
³íôîðì. òåõíîëî㳿. — 2004. — ¹ 3. — P. 63–81.
19. Ñ ê ð û ï í è ê È .  . Ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ ýëëèïòè÷åñêèõ êðàåâûõ çàäà÷. — Ì.: Íàóêà, 1990. — 442 ñ.
20. × è ê ð è é À . À . Êîíôëèêòíî óïðàâëÿåìûå ïðîöåññû. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1992. — 381 ñ.
21. ß ñ ³ í ñ ü ê è é  .  . Ñèñòåìíå ìîäåëþâàííÿ ïðîöåñ³â íàêîïè÷åííÿ òà äèñèïàö³¿ çíàíü // Ñèñòåìí³
äîñë³äæåííÿ òà ³íôîðì. òåõíîëî㳿. — 2007. — ¹ 3. — P. 111–121.
22. Ñ è í å ð ã å ò è ÷ å ñ ê à ÿ ïàðàäèãìà. Ñèíåðãåòèêà îáðàçîâàíèÿ. — Ì.: Ïðîöåññ-òðàäèöèÿ, 2007. — 592 ñ.
Ïîñòóïèëà 09.12.2008
128 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 5
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-44407 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T16:22:57Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Касьянов, П.О. Задоянчук, Н.В. Ясинский, В.В. 2013-06-01T08:34:21Z 2013-06-01T08:34:21Z 2009 Периодические решения для класса нелинейных эволюционных уравнений гиперболического типа / П.О. Касьянов, Н.В. Задоянчук, В.В. Ясинский // Кибернетика и системный анализ. — 2009. — № 5. — С. 118-128. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44407 517.9, 504.052 Конструктивно обґрунтовано існування періодичних розв’язків для класу нелінійних еволюційних рівнянь гіперболічного типу. Одержано нові апріорні оцінки. Розглянуто приклади, що ілюструють результати роботи. The existence of periodic solutions is constructively grounded for a class of nonlinear hyperbolic evolution equations. A priori estimations are obtained. Examples illustrating the presented results are given. Работа частично поддержана ГФФИ–БФФИ, грант № Ф29,1/025. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Периодические решения для класса нелинейных эволюционных уравнений гиперболического типа Періодичні розв’язки для класу нелінійних еволюційних рівнянь гіперболічного типу Periodic solutions for a class of nonlinear hyperbolic evolution equations Article published earlier |
| spellingShingle | Периодические решения для класса нелинейных эволюционных уравнений гиперболического типа Касьянов, П.О. Задоянчук, Н.В. Ясинский, В.В. Системный анализ |
| title | Периодические решения для класса нелинейных эволюционных уравнений гиперболического типа |
| title_alt | Періодичні розв’язки для класу нелінійних еволюційних рівнянь гіперболічного типу Periodic solutions for a class of nonlinear hyperbolic evolution equations |
| title_full | Периодические решения для класса нелинейных эволюционных уравнений гиперболического типа |
| title_fullStr | Периодические решения для класса нелинейных эволюционных уравнений гиперболического типа |
| title_full_unstemmed | Периодические решения для класса нелинейных эволюционных уравнений гиперболического типа |
| title_short | Периодические решения для класса нелинейных эволюционных уравнений гиперболического типа |
| title_sort | периодические решения для класса нелинейных эволюционных уравнений гиперболического типа |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44407 |
| work_keys_str_mv | AT kasʹânovpo periodičeskierešeniâdlâklassanelineinyhévolûcionnyhuravneniigiperboličeskogotipa AT zadoânčuknv periodičeskierešeniâdlâklassanelineinyhévolûcionnyhuravneniigiperboličeskogotipa AT âsinskiivv periodičeskierešeniâdlâklassanelineinyhévolûcionnyhuravneniigiperboličeskogotipa AT kasʹânovpo períodičnírozvâzkidlâklasunelíníinihevolûcíinihrívnânʹgíperbolíčnogotipu AT zadoânčuknv períodičnírozvâzkidlâklasunelíníinihevolûcíinihrívnânʹgíperbolíčnogotipu AT âsinskiivv períodičnírozvâzkidlâklasunelíníinihevolûcíinihrívnânʹgíperbolíčnogotipu AT kasʹânovpo periodicsolutionsforaclassofnonlinearhyperbolicevolutionequations AT zadoânčuknv periodicsolutionsforaclassofnonlinearhyperbolicevolutionequations AT âsinskiivv periodicsolutionsforaclassofnonlinearhyperbolicevolutionequations |