Зображення обкладинки

К решению задач управления на импульсных и хевисайдовских классах управляющих функций

Досліджено задачі оптимального керування на імпульсних і хевісайдівських класах керуючих функцій. Отримано формули для градієнта функціонала як за величиною, так і, що більш важливо, за часом початку їхнього впливу. Формули дозволяють використовувати методи скінченновимірної оптимізації першого поря...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :Кибернетика и системный анализ
Дата:2009
Автор: Айда-заде, К.Р.
Формат: Стаття
Мова:Російська
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2009
Теми:
Системный анализ
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44409
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:К решению задач управления на импульсных и хевисайдовских классах управляющих функций / К.Р. Айда-заде // Кибернетика и системный анализ. — 2009. — № 5. — С. 137-145. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
_version_ 1859649550137950208
author Айда-заде, К.Р.
author_facet Айда-заде, К.Р.
citation_txt К решению задач управления на импульсных и хевисайдовских классах управляющих функций / К.Р. Айда-заде // Кибернетика и системный анализ. — 2009. — № 5. — С. 137-145. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
collection DSpace DC
container_title Кибернетика и системный анализ
description Досліджено задачі оптимального керування на імпульсних і хевісайдівських класах керуючих функцій. Отримано формули для градієнта функціонала як за величиною, так і, що більш важливо, за часом початку їхнього впливу. Формули дозволяють використовувати методи скінченновимірної оптимізації першого порядку для розв’язання розглянутих задач. Наведено результати експериментів. Optimal control problems over impulse and Heaviside classes of control functions are investigated. Formulas are obtained for the target functional gradient with respect to the quantity and, what is more important, to the time of the beginning of an impact. The formulas allow one to use first-order finite-dimensional optimization methods for solving mentioned problems. Results of numerical experiments are presented.
first_indexed 2025-12-07T13:32:01Z
format Article
fulltext ÓÄÊ 517.977.58 Ê.Ð. ÀÉÄÀ-ÇÀÄÅ Ê ÐÅØÅÍÈÞ ÇÀÄÀ× ÓÏÐÀÂËÅÍÈß ÍÀ ÈÌÏÓËÜÑÍÛÕ È ÕÅÂÈÑÀÉÄÎÂÑÊÈÕ ÊËÀÑÑÀÕ ÓÏÐÀÂËßÞÙÈÕ ÔÓÍÊÖÈÉ1 Êëþ÷åâûå ñëîâà: èìïóëüñíîå óïðàâëåíèå, ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà, êóñî÷íî-ïîñòîÿí- íîå óïðàâëåíèå, ãðàäèåíò ôóíêöèîíàëà. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Ïðè óïðàâëåíèè ìíîãèìè òåõíè÷åñêèìè îáúåêòàìè è òåõíîëîãè÷åñêèìè ïðî- öåññàìè ïðàêòè÷åñêàÿ ðåàëèçàöèÿ ñ äîñòàòî÷íîé òî÷íîñòüþ íåïðåðûâíûõ èëè êóñî÷íî-íåïðåðûâíûõ âî âðåìåíè çàäàííûõ óïðàâëÿþùèõ âîçäåéñòâèé ÷àñòî íå- âîçìîæíà. Ïîýòîìó âàæíîå çíà÷åíèå èìåþò çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ â òåõíè÷åñêè ëåãêî è äîñòàòî÷íî òî÷íî ðåàëèçóåìûõ êëàññàõ óïðàâëÿþùèõ ôóíêöèé [1–7].  äàííîé ðàáîòå èññëåäóþòñÿ çàäà÷è óïðàâëåíèÿ íà êëàññàõ ôóíêöèé Äèðàêà è Õåâèñàéäà.  íàñòîÿùåå âðåìÿ òåîðèÿ èìïóëüñíîãî óïðàâëåíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàçâèâà- þùèéñÿ ðàçäåë îïòèìèçàöèè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Ïîëó÷åííûå â [1–4] íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè äëÿ ðàçëè÷íûõ âèäîâ ñèñòåì è îïðåäåëåíèÿ èìïóëüñíûõ ðåæè- ìîâ êàê ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ îáîáùåííûõ ôóíêöèé íåóäîáíû äëÿ ÷èñëåííûõ ðàñ÷åòîâ.  äàííîé ðàáîòå äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà çàäàíî ÷èñëî èìïóëüñíûõ âîçäåéñòâèé, ïîëó÷åíû íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè è êîíñòðóêòèâíûå ôîðìóëû äëÿ ãðàäèåíòà ôóíê- öèîíàëà êàê îòíîñèòåëüíî ìîùíîñòåé èìïóëüñîâ, â îòëè÷èå îò ìíîãèõ äðóãèõ ðàáîò, òàê è âðåìåíè èõ âîçäåéñòâèÿ íà ñèñòåìó, ïîçâîëÿþùèå äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷ èñïîëüçîâàòü ìåòîäû îïòèìèçàöèè ïåðâîãî ïîðÿäêà.  ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëÿõ ìíîãèõ óïðàâëÿåìûõ ïðîöåññîâ â êà÷åñòâå óïðàâ- ëÿþùèõ âîçäåéñòâèé èñïîëüçóþòñÿ ôóíêöèè Õåâèñàéäà. ßñíî, ÷òî òàêèå óïðàâëå- íèÿ ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì êóñî÷íî-ïîñòîÿííûõ ôóíêöèé, íî óïðàâëåíèÿ èç êëàññà ôóíêöèé Õåâèñàéäà ïðåäñòàâëÿþò ñàìîñòîÿòåëüíûé èíòåðåñ ñ ïðàêòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ, òàê êàê ìíîãèå óïðàâëÿåìûå ïðîöåññû íà ïðàêòèêå òàêîâû, ÷òî êàæ- äîå óïðàâëÿþùåå âîçäåéñòâèå ïðèíèìàåò ïîñòîÿííîå âî âðåìåíè çíà÷åíèå è âêëþ- ÷àåòñÿ òîëüêî îäèí ðàç.  ðàáîòå ïîëó÷åíû íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè êàê ïî çíà÷åíèÿì, òàê è, ÷òî íàèáîëåå âàæíî, ïî âðåìåíè íà÷àëà âîçäåéñòâèÿ óïðàâëåíèé, ñîäåðæàùèå ôîðìóëû äëÿ ãðàäèåíòà ôóíêöèîíàëà â ïðîñòðàíñòâå îïòèìèçèðóåìûõ ïàðàìåòðîâ è ïîçâîëÿþùèå äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ èñïîëüçîâàòü ìåòîäû êîíå÷íîìåðíîé îïòèìèçàöèè ïåðâîãî ïîðÿäêà. Ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ. 1. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È Ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ: J u f x t dt x T u t T u t ( ) ( , ) ( ( )) ( ( )) min ( ) � � � ��� � �1 0 0 2 1 3 2� � , (1) � ( ) ( ( ), ) ( ) ( ), , ( ) ,x t f x t t b t u t t T x xi i ij ij j L � � � � � � 1 00 0 i n�1, . (2) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 5 137 1 Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå INTAS (Ãðàíò ¹ 06-1000017-8909) â ðàìêàõ ïðîãðàììû ñîòðóäíè÷åñòâà INTAS ñ Þæíî-Êàâêàçñêèìè Ðåñïóáëèêàìè, 2006. © Ê.Ð. Àéäà-çàäå, 2009 Çäåñü � �1 2, , T è íà÷àëüíûé âåêòîð x0 çàäàíû; x t x t x t x tn( ) ( ( ), ( ),... , ( ))� 1 2 — ôà- çîâûé âåêòîð; ôóíêöèîíàë �2 ( )u , ôóíêöèè � 1 ( )x , f x t0 ( , ) , f x t f x tn1 ( , ),... , ( , ) , b ti ( )� ( ( ),... , ( ))b t b ti iL1 , i n�1, , ñ÷èòàþòñÿ èçâåñòíûìè è ïîëàãàåòñÿ, ÷òî îíè íåïðåðûâíû âìåñòå ñ ïðîèçâîäíûìè ïî ñâîèì àðãóìåíòàì. Çàäà÷à (1), (2) èññëåäóåòñÿ íà äâóõ êëàññàõ óïðàâëÿþùèõ âîçäåéñòâèé u tij ( ) , i n�1,... , , j L�1,... , . Óïðàâëÿþùèå âîçäåéñòâèÿ èç êëàññà èìïóëüñíûõ ôóíêöèé: u t q tij ij j( ) ( )� � � , i n j L� �1 1,... , , ,.. , . (3) Çäåñü �( )� — �-ôóíêöèÿ Äèðàêà, qij — ìîùíîñòü âîçäåéñòâèÿ íà i-þ ôàçîâóþ ïåðåìåííóþ â ìîìåíò âðåìåíè � j . Ïóñòü óïðàâëÿþùèå âîçäåéñòâèÿ, îïðåäåëÿå- ìûå êîíå÷íîìåðíûì âåêòîðîì u q E n L� � �( , ) ,( )� 1 q q qi i iL� ( ,... , )1 , i n�1, , � � �� ( )1 � L , óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì îãðàíè÷åíèÿì, èñõîäÿ èç òåõíè÷åñ- êèõ èëè òåõíîëîãè÷åñêèõ óñëîâèé: q Q q q q T i ij j L i n j ij j j j j 2 11 10 0 �� � � � � � � � , , , [ , ] , � � � � 1 1, , , ,n j L� (4) ãäå Q q q L j j , , , ,� — çàäàííûå âåëè÷èíû. Óïðàâëÿþùèå âîçäåéñòâèÿ èç êëàññà �-ôóíêöèé Õåâèñàéäà: u t q t t t t jij ij j j j j ( ) ( ), ( ) , , , , ,...� � � � � � � �� � � � � � 0 1 1 , , , .L i n�1 (5) Çäåñü qij — ìîùíîñòü âîçäåéñòâèÿ íà i-þ ôàçîâóþ ïåðåìåííóþ ñ íà÷àëîì â ìî- ìåíò âðåìåíè � j . Ïóñòü óïðàâëÿþùèå âîçäåéñòâèÿ, îïðåäåëÿåìûå ïàðàìåòðàìè u q E L n� � �( , ) ,( )� 1 q q qL� ( ,... , )1 , � � �� ( )1 � L , q Ei n� , óäîâëåòâîðÿþò ñëåäó- þùèì îãðàíè÷åíèÿì: q q q T i n j L ij ij ij i� � � � � �, , , , ,0 1 1� . (6) Çäåñü q q L ij ij, , çàäàíû, òàêèì îáðàçîì êàæäàÿ êîìïîíåíòà óïðàâëåíèÿ u tij ( ) — êóñî÷íî-ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ [5, 6] è îïðåäåëÿåòñÿ âðåìåíåì âêëþ÷åíèÿ � j è âå- ëè÷èíîé âîçäåéñòâèÿ qij , i n�1, , j L�1, . Ýòè çàäà÷è, ñ îäíîé ñòîðîíû, ìîæíî îòíåñòè ê êëàññó ïàðàìåòðè÷åñêèõ çàäà÷ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ, ñ äðóãîé, îíè îáðàçóþò ñïåöèàëüíûé êëàññ çàäà÷ êîíå÷- íîìåðíîé îïòèìèçàöèè, â êîòîðûõ äëÿ âû÷èñëåíèÿ öåëåâîé ôóíêöèè J u I q( ) ( , )� � òðåáóåòñÿ ðåøèòü çàäà÷ó Êîøè (2) è âû÷èñëèòü èíòåãðàë, ó÷àñòâóþùèé â (1). 2. ÇÀÄÀ×À ÈÌÏÓËÜÑÍÎÃÎ ÓÏÐÀÂËÅÍÈß (1)–(4) Äëÿ ïðèìåíåíèÿ êîíå÷íîìåðíûõ ìåòîäîâ îïòèìèçàöèè ïåðâîãî ïîðÿäêà äëÿ îïðå- äåëåíèÿ îïòèìàëüíîãî âåêòîðà ( , )* *q � íèæå ïîëó÷åíû àíàëèòè÷åñêèå ôîðìóëû ãðàäèåíòà öåëåâîãî ôóíêöèîíàëà grad J u I q I qq( ) ( ( , ), ( , ))� � �� �� â çàäà÷å (1)–(4). Ñîãëàñíî åé ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà–Ïîíòðÿãèíà è ñî- îòâåòñòâóþùóþ ñîïðÿæåííóþ ñèñòåìó [6]: H x u t f x t t f x t t b ti i n i i ij( , , , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) (� � � �� � � � 1 0 1 ) ( ),u tij j L i n �� 11 138 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 5 � ( ) ( ( ), ) ( ) ( ( ), ) ,� � �i i k n k k i t f x t t x t f x t t x � � � � �� 1 0 1 (7) � �i i T x T x T i n( ) ( ( )) ( ) , , ,� � � �2 1 1 � ãäå �( ) .t E n� Äëÿ êëàññà êóñî÷íî-íåïðåðûâíûõ äîïóñòèìûõ óïðàâëåíèé ïðèðà- ùåíèå ôóíêöèîíàëà (1) ïðè ïðèðàùåíèè �u t( ) óïðàâëåíèÿ u t( ) ìîæåì çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì [8]: � � � �J u I q J u u J u t b t u dti ij T j L ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � � 01 � � i n 1 � � ��3 2 2( ( ) ( )) (|| || )� � � �u u u o u . (8) Ñíà÷àëà ïîëó÷èì ôîðìóëû îòíîñèòåëüíî �I qq ( , )� , i n�1, , j L�1, . Ïðèðàùåíèå ôóíêöèîíàëà ïðè ïðèðàùåíèè óïðàâëÿþùåãî âîçäåéñòâèÿ � �q ijij u q� ( , )0 , � �ij ijq q� ( ,... , ,... , )0 0 çàïèøåì òàê: � � � �q T i ij ij jij I q t b t q t dt q q( , ) ( ) ( ) ( ) ( (� � � � � � � � �� 3 2 , ) ( , ))� � ��2 q � � � � o q b q q q qi j ij j ij(|| || ) ( ) ( ) ( ( , ) ( ,� � � � �� � � � � �3 2 2 )) (|| || )� o q� . Ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè íà �q ij è ïåðåéäÿ ê ïðåäåëó ïðè �qij � 0, ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî o q qij(|| || ) /� � � 0, áóäåì èìåòü dI q dq b q qij i j ij j ij ( , ) ( ) ( ) ( , )� � � � � � � � � � 3 2� , i n j L� �1 1, , , . (9) Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîëó÷èòü ôîðìóëû äëÿ �I qq ( , )� , j L�1, , èñïîëüçóåì � -ôóíêöèþ � � � � � ( ) / , [ , ], , [ , ], t t t � � � � � � 1 0 ãäå � 0 — ìàëûé ïàðàìåòð; ÿñíî, ÷òî � � ( ) lim ( )t t� �0 . Äàäèì � ïðèðàùåíèå � j � � . Òîãäà � -ôóíêöèÿ ïîëó÷èò ïðèðàùåíèå �� � � � � � � j t t t t j j j j j( ) , [ , ], / , [ , ] , , � � � � 0 1 1 � � � � � � � [ , ].� � j j Äëÿ ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèîíàëà ïðè � �� � j u j� ( , )0 , � �j j� �� ( ,... , ,.... , )0 0 , èñ- ïîëüçóÿ (7), ïîëó÷àåì � �� � � � � j J u t b t q t dti ij ij j T i n ( ) ( ) ( ) ( )� �� � 01 � � � ��3 2 2( ( ) ( )) (|| || )� � � �u u u o u � � � � � i n ij i j ij j i ij q t b t t b t d j j 1 � � � � � � ( ) ( ) ( ) ( )� � t � � � � � � � � � � � � � �� � � �3 2 2( ( , ) ( , )) (| | || )� � � �q q o u . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 5 139 Ðàçëàãàÿ ôóíêöèè � i ijt b t( ) ( ) â ðÿä Òåéëîðà, èìååì � � � � � � j j i j ij j i ijt b t t b t dt � � � �[ ( ) ( ) ( ) ( )]� � [( ( )( ( )) ( ( )( ( ))� � � � � � i ij j i ij j t b t t b t o j j � � �� � � � � 2 2 ( )]�� j dt2 � � � � � � � � � � � � � � � j i ij i ij j t b t t b t j j j j ( )( ( )) ( ( ) ( )) 2 2 o j( )��2 . Ó÷èòûâàÿ ýòî â ôîðìóëå (8), ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè íà �� j è ïåðåéäÿ ê ïðåäåëó ïðè �� j � 0, � 0, íàõîäèì dI q d q b q j ij i n i j ij j j ( , ) ( ( ) ( )) ( , )� � � � � � � �� � � � �� 1 3 2� � j j L, ,�1 . (10) Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè �� � è � �� âûðàæåíèÿ êîìïîíåíò ãðàäèåíòà �I qq ( , )� , j L�1, , ñîâïàäàþò ñ (9). Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàíà ñëåäóþ- ùàÿ òåîðåìà. Òåîðåìà 1. Êîìïîíåíòû ãðàäèåíòà ôóíêöèîíàëà ïî ïàðàìåòðàì óïðàâëÿþùèõ èìïóëüñíûõ âîçäåéñòâèé â çàäà÷å (1)–(4) îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè (7), (9), (10). Çàìå÷àíèå 1. Åñëè ïðîöåññ âìåñòî (2) îïèñûâàåòñÿ íåëèíåéíîé ñèñòåìîé äèô- ôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé x t f x t t f x t q t t ti i ij j L ij j( ) ( ( ), ) ( ( ), , ) ( ), ( ,� � � � 1 0� � T x x i ni i], ( ) , ,0 10� � , òî àíàëîãè÷íî (7), (10), (15) íåñëîæíî ïîëó÷èòü ôîðìóëû äëÿ ãðàäèåíòà ôóíê- öèîíàëà ïî êîìïîíåíòàì óïðàâëÿþùèõ èìïóëüñíûõ âîçäåéñòâèé â ñëåäóþùåì âèäå: dI q dq f x q q q ij ij j ij j ij i j ( , ) ( ( ) , , ) ( ) ( ,� � � � � �� � � � � 3 2� � ) , , , , � � � q i n j L ij 1 1 , dI q d q f x q j ij i n ij j ij j i j j ( , ) ( ( ( ), , ) ( )) � � � � � � ��� � � 1 ' 3 2� � � ( , )q j � � , j L�1, . Çäåñü �( )t E n� — ðåøåíèå ñîïðÿæåííîé çàäà÷è, àíàëîãè÷íîé (7), íî â äàííîì ñëó÷àå îíà èìååò âèä � ( ) ( ( ), ) ( ) ( ( ), ) � � �i i k k n k i t f x t t x t f x t t x � � � � � � � � 1 0 1 f x t q t x t kj kj i j j L ( ( ), , ) ( ) � � � ! ! " # $ $� � � 1 , � �i i T x T x T i n( ) ( ( )) ( ) , ,� � � �2 1 1 � . 3. ÓÏÐÀÂËÅÍÈß ÍÀ ÊËÀÑÑÅ ÔÓÍÊÖÈÉ ÕÅÂÈÑÀÉÄÀ Äëÿ ïîëó÷åíèÿ âûðàæåíèÿ �I qq ( , )� äàäèì àðãóìåíòó q ij ïðèðàùåíèå �qij , ò.å. � �q ijij u q� ( , )0 , � �ij ijq q� ( ,... , ,... , )0 0 , i n�1, , j L�1, . Òîãäà, èñïîëüçóÿ (8), ïðèðàùåíèå ôóíêöèîíàëà (1) çàïèøåì 140 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 5 � �q i ij ij T jij I q t b t q t dt( , ) ( ) ( ) ( )� � � �� �� 0 � � � � �� � �3 2 2 1 1( ( , ) ( , )) (|| || ), , , ,� � � �q q q o q i n j L . (11) Ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè íà �q ij è ïåðåéäÿ ê ïðåäåëó ïðè �qij � 0, ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî o q qij(|| || ) /� � � 0, áóäåì èìåòü dI q dq t b t dt q qij i T ij ij j ( , ) ( ) ( ) ( , )� � � � � � � � �� 3 2� , i n j L� �1 1, , , . (12) Äëÿ ïîëó÷åíèÿ âûðàæåíèÿ �I qq ( , )� , j L�1, , äàäèì � j ïðèðàùåíèå �� j , ñíà÷à- ëà ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî �� j � 0. Òîãäà ïðèðàùåíèå ôóíêöèè Õåâèñàéäà áóäåò ðàâíî � � � � � � � � � � � � � ( ) ( ) ( ) , [ , ], , t t t t t j j j j j j j � � � � � � 0 1 [ , ].� � �j j j� � � � � Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèîíàëà, ïîëó÷àåìîãî çà ñ÷åò ïîëîæèòåëü- íîãî ïðèðàùåíèÿ �� j àðãóìåíòà � j , ò.å. � �� � j u j� ( , )0 , � �j j� �� ( ,... , , , )0 0� , èìååì � �� � � � � j I q t b t q t dti ij ij T j L i n j( , ) ( ) ( ) ( )� �� �� 011 � � � �� � � �3 2 2( ( , ) ( , )) (|| || )� � � �q q o u � � � � � �q t b t dt q qij i n i ij j j j 1 3 2 2 � � � � � � � � � � �( ) ( ) ( ( , ) ( , )) (|| || )� � o u� . (13)  ñëó÷àå îòðèöàòåëüíîãî çíà÷åíèÿ ïðèðàùåíèÿ � j , ò.å. ïðè �� j � 0, ïðèðàùå- íèå ôóíêöèè Õåâèñàéäà ðàâíî: � � � � � � � � � � � ( ) , [ | | , ] , , [ | | , ] , t t t j j j j j j j � � � � � � 0 1 à ïðèðàùåíèå ôóíêöèîíàëà ìîæíî çàïèñàòü � � � � � � � � j j j j I q q t b t dtij i n i ij( , ) ( ) ( ) | | � � � � � � � �� � 1 � � � � � � �� � � �3 2 2( ( , ) ( , )) (|| || )� � � �q q o u . (14) Èñïîëüçóÿ òåîðåìó î ñðåäíåì çíà÷åíèè, ïðèðàùåíèå ôóíêöèîíàëà (13), (14) çà- ïèøåì â ñëåäóþùåì âèäå: � �J u q t b t j j ij i n i ij t j� � � �( ) ( ) ( ) | |� % � � � 1 � � �� � � �3 2 2( ( , ) ( , )) (|| || )� � � �q q o u , ãäå � ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ �� j � 0, à ïðè �� j � 0. Ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè íà �� j è ïåðåéäÿ ê ïðåäåëó ïðè �� j � 0, íåçàâèñèìî îò çíàêà �� j ïîëó÷èì dI q d q b q j j ij i n i j ij j j ( , ) ( ) ( ) ( , ) , � � � � � � � � � � � � � � 1 3 2 1 � , L . (15) Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 5 141 Òåîðåìà 2. Ãðàäèåíò ôóíêöèîíàëà çàäà÷è (1), (2), (5), (6) â ïðîñòðàíñòâå óïðàâëÿþùèõ ïàðàìåòðîâ ( , ) ( )q E n L� � �1 ïðè âûïîëíåíèè íàëîæåííûõ âûøå óñëî- âèé íà ôóíêöèè, ó÷àñòâóþùèõ â çàäà÷å, îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëàìè (21), (27). Çàìå÷àíèå 2. Åñëè ïðîöåññ îïèñûâàåòñÿ íåëèíåéíîé ñèñòåìîé äèôôåðåíöè- àëüíûõ óðàâíåíèé � ( ) ( ( ), ( ), ), ( , ] , ( ) , ,x t f x t u t t t T x x i ni i i i� � � �0 0 10 , ãäå êîìïîíåíòû óïðàâëÿþùåãî âîçäåéñòâèÿ u t( ) èç êëàññà ôóíêöèé Õåâèñàé- äà (5), òî àíàëîãè÷íî (12), (15) íåñëîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùèå ôîðìóëû äëÿ êîìïîíåíò ãðàäèåíòà ôóíêöèîíàëà: dI q dq f x t u t t q t dt ij i ij i T j ( , ) ( ( ), ( ), ) ( ) � � � � � � � � � � 1 3 �2 1 1 ( , ) , , , , q q i n j L ij � � � � , dI q d q f x t u t t q t j ij i n i ij i ( , ) ( ( ), ( ), ) ( ) � � �� � � � ! " #� 1 1 $ � � � �t j j q � � � � 3 2� ( , ) , j L�1, , ãäå �( )t E n� — ðåøåíèå ñëåäóþùåé ñîïðÿæåííîé çàäà÷è: � ( ) ( ( ), ) ( ) ( ( ), ( ), � � �i i k k n kt f x t t x t f x t u t t � � � � � 1 0 1 1 ) �xi , � �i i T x T x T i n( ) ( ( )) ( ) , ,� � � �2 1 1 � . 4. ÐÅÇÓËÜÒÀÒÛ ×ÈÑËÅÍÍÛÕ ÝÊÑÏÅÐÈÌÅÍÒÎÂ Ñ ïîìîùüþ ôîðìóë ãðàäèåíòà èñïîëüçóåì ñëåäóþùèé èòåðàöèîííûé àëãîðèòì äëÿ îïðåäåëåíèÿ îïòèìàëüíûõ çíà÷åíèé óïðàâëÿþùèõ âîçäåéñòâèé è ìîìåíòîâ èõ âêëþ÷åíèÿ, îñíîâàííûé íà ìåòîäàõ êîíå÷íîìåðíîé ìèíèìèçàöèè ïåðâîãî ïîðÿäêà. Øàã 1. Äëÿ íà÷àëüíîãî çíà÷åíèÿ âåêòîðà u q0 0 0� ( , )� êàêèì-ëèáî ÷èñëåííûì ìåòîäîì ðåøàåòñÿ çàäà÷à Êîøè è îïðåäåëÿåòñÿ x t0 ( ) . Øàã 2. Äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî ðåøåíèÿ x t0 ( ) ÷èñëåííûì ìåòîäîì íàõîäèòñÿ ðåøåíèå ñîïðÿæåííîé çàäà÷è Êîøè �0 ( )t . Øàã 3. Ñ ïîìîùüþ ïîëó÷åííûõ â ðàáîòå ôîðìóë âû÷èñëÿþòñÿ êîìïîíåíòû âåêòîðà ãðàäèåíòà ôóíêöèîíàëà. Øàã 4. Ïðèìåíÿÿ, íàïðèìåð, ìåòîä ïðîåêöèè ãðàäèåíòà íà îãðàíè÷åíèÿ (4) (èëè ñîîòâåòñòâåííî íà (6)), âû÷èñëÿåòñÿ íîâîå ïðèáëèæåíèå u q E n L1 1 1� � �( , ) ;( )� ( , ) Pr [( , ) (( , ) )]( ), ( ) ,q q J qq� � � �� 1 4 6 0 0 0� & , ãäå Pr( ), ( )4 6 — îïåðàòîð ïðîåêòèðîâàíèÿ â ( )n L�1 ïðîñòðàíñòâå íà ñîîòâåòñòâó- þùèå îãðàíè÷åíèÿ (4) èëè (6), �0 — øàã îäíîìåðíîé ìèíèìèçàöèè. Ïðè íåâû- ïîëíåíèè óñëîâèé îïòèìàëüíîñòè äëÿ çíà÷åíèé u1 ïðè u u0 1� øàãè 1–4 âûïîë- íÿþòñÿ ïîâòîðíî. Ïðèâåäåì ÷èñëåííûå ðåçóëüòàòû ïðèìåíåíèÿ ïîëó÷åííûõ ôîðìóë â ñëåäóþ- ùèõ òåñòîâûõ çàäà÷àõ. Çàäà÷à 1. �( ) ( ) ( ) ( ), , ( )x t t x t t q t t x� � � � �1 0 1 0 1� � , J u I q x t dt q( ) ( , ) ( ) , ( ) , ( , ) ,� � � � �� �2 0 1 2 20 4 8 01 0 2 0 10� �q . 142 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 5 Òî÷íîå ðåøåíèå äàííîé çàäà÷è íåèçâåñòíî. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè èñïîëü- çîâàëñÿ ìåòîä Ðóíãå–Êóòòà ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà ïðè h � 0 002, .  ïðîèçâîëüíî âçÿòîé òî÷êå ( , ) ( ; , )q � � 6 0 7 âåêòîð ãðàäèåíòà, ðàññ÷èòàííûé ïî ôîðìóëàì (9), (10), ðàâåí: grad I q( , ) ( , ; , )� � 14794 4 6961 . Äëÿ ñðàâíåíèÿ èñïîëüçîâàëèñü òàêæå öåíòðàëüíàÿ, ïðàâàÿ è ëåâàÿ ñõåìû ðàç- íîñòíûõ àïïðîêñèìàöèé ïðîèçâîäíûõ: � � � �F x F x h F x h h O h( ) ( ( ) ( )) / ( ) ( )2 2 , (16) � � � �F x F x h F x h O h( ) ( ( ) ( )) / ( ) , (17) � � �F x F x F x h h O h( ) ( ( ) ( )) / ) ( ) . (18) Çíà÷åíèÿ êîìïîíåíò ãðàäèåíòà: �I qq ( , )� ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ hq ïî÷òè íå ìåíÿëèñü è ðàâ- íû 14785, , à çíà÷åíèÿ êîìïîíåíòû �I qq ( , )� , êàê âèäíî èç òàáë. 1, ñóùåñò- âåííî çàâèñÿò îò h� è íàè- ëó÷øåå çíà÷åíèå ïîëó÷å- íî ñ ïîìîùüþ öåíòðàëü- íîé ñõåìû ïðè h� � 0 2, , ò.å. îíî áëèçêî ê çíà÷å- íèþ, ðàññ÷èòàííîìó ïî ôîðìóëå (10).  òàáë. 2 ïðèâåäåíû ñðàâíèòåëüíûå çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíûõ �I qq ( , )� äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé óïðàâëÿþùèõ ïàðàìåò- ðîâ. Èç òàáë. 1, 2 ñëåäóåò, ÷òî â çàäà÷àõ èìïóëüñíîãî óïðàâëåíèÿ ïîëó÷åíèå ïðîèç- âîäíûõ ôóíêöèîíàëà ïî óïðàâëÿþùèì âîçäåéñòâèÿì ìåòîäàìè ðàçíîñòíîé àïïðîê- ñèìàöèè ñâÿçàíî ñî ñëîæíîñòÿìè (íåò óñòîé÷èâîñòè, äîñòàòî÷íîé òî÷íîñòè).  òàáë. 3 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ, ïîëó÷åííûå ñ ïî- ìîùüþ ìåòîäà ïðîåêöèè ñîïðÿæåííûõ ãðàäèåíòîâ ïðè ðàçëè÷íûõ íà÷àëüíûõ çíà- ÷åíèÿõ óïðàâëÿþùåãî âåêòîðà ñ òî÷íîñòüþ îïòèìèçàöèè � 0 001, . Çàäà÷à 2 [10]. � ( ) , � ( ) ( ),x tx t x x x t x t q t1 1 2 2 2 2 12 4 1 0 1� � � � � � �� � , x x1 20 1 0 0( ) , ( )� � , J u I q x q( ) ( , ) ( ( ) ) , ( ) , ( , ) ,� � � � � � �2 2 2 21 1 0 01 5 0 01 0 5 q � 0, 0 1� �� . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 5 143 Ò à á ë è ö à 1 . Çíà÷åíèÿ �I q� �( , ) , âû÷èñëåííûå ïî ðàçíîñòíûì ñõåìàì h� Öåíòðàëüíàÿ (16) Ëåâàÿ (17) Ïðàâàÿ (18) 0,2 4,2493 10,4552 1,9566 0,1 2,1838 5,2553 0,8877 0,02 1,5092 2,1213 0,8970 0,01 1,4879 1,7940 1,1819 0,002 1,4812 1,5424 1,4199 0,001 1,4618 2,3447 0,5788 Ò à á ë è ö à 2 . Çíà÷åíèÿ êîìïîíåíò ãðàäèåíòà ôóíê- öèîíàëà ïî � ( , )q � Öåíòðàëüíàÿ, h� � 0 2, Àíàëèòè÷åñêàÿ (15) (2; 8) 1,8711 1,9870 (1; 0,5) 1,9818 1,8246 (3; 0,7) 1,9389 1,8394 (1,5; 0,8) 1,5979 1,6634 Ò à á ë è ö à 3 . ×èñëåííûå ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ çàäà÷è 1 ( , )q 0 0� ( , )* *q � J 0 J* ×èñëî èòåðàöèé (6; 0,7) (8,000; 0,7779) 2,5639 1,0499 9 (4; 0,6) (8,000; 0,7799) 7,1852 1,0493 6 (2; 0,9) (7,959; 0,7839) 15,8539 1,0478 3 (2; 0,8) (8,000; 0,7799) 15,6761 1,0492 7 (8; 0,2) (7,968; 0,7779) 35,3643 1,0487 2 (4; 0,5) (8,000; 0,7819) 7,4929 1,0489 5 Òî÷íîå îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå äëÿ äàííîé çàäà÷è íåèçâåñòíî.  òàáë. 4 ïðåä- ñòàâëåíû çíà÷åíèÿ ãðàäèåíòà ôóíêöèîíàëà çàäà÷è, ðàññ÷èòàííûå ïî öåíòðàëüíîé ñõåìå ðàçíîñòíîé àïïðîêñèìàöèè ïðîèçâîäíûõ è ôîðìóëàì (12), (15).  òàáë. 5 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è äëÿ ðàçëè÷íûõ íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ óïðàâëÿþùèõ âîçäåéñòâèé. Íà ðèñ. 1 èçîáðàæåíà òðàåêòîðèÿ ñèñòåìû, ñîîòâåòñòâóþùàÿ îïòèìàëüíîìó óïðàâëåíèþ. Ïîñëå âêëþ÷åíèÿ óïðàâëåíèÿ â ìîìåíò �* òðàåêòîðèÿ (õàðàêòåð) ïðî- öåññà çàìåòíî ìåíÿåòñÿ [10]. ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Â íàñòîÿùåé ðàáîòå ïîëó÷åíû ôîðìóëû äëÿ ãðàäèåíòà ôóíêöèîíàëà â çàäà÷å îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ îáúåêòàìè, îïèñûâàåìûìè îáûêíîâåííûìè äèôôåðåí- öèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè, ãäå óïðàâëåíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ èìïóëüñíûìè ôóíêöèÿ- ìè è ôóíêöèÿìè Õåâèñàéäà. Ïîëó÷åííûå ôîðìóëû äëÿ ãðàäèåíòà öåëåâîãî ôóíêöèîíàëà çàäà÷è ïîçâîëÿþò ïðèìåíèòü ìåòîäû îïòèìèçàöèè ïåðâîãî ïîðÿäêà äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ýòèõ çàäà÷. Ó÷èòûâàÿ ïðîñòîòó ðåàëèçàöèè ðàññìîòðåííûõ óïðàâëÿþùèõ âîçäåéñòâèé è èõ øèðîêîå èñïîëüçîâàíèå â òåõíèêå, ïðåäëàãàåìûé ïîäõîä ê ðåøåíèþ ñîîòâå- òñòâóþùèõ çàäà÷ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ìîæåò íàéòè øèðîêîå ïðèìåíåíèå â ñèñòåìàõ óïðàâëåíèÿ ýòèìè îáúåêòàìè. 144 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 5 Ò à á ë è ö à 4 . Çíà÷åíèÿ ãðàäèåíòà ôóíêöèîíàëà çàäà÷è 2 ( , )q 0 0� Ïî ðàçíîñòíîé ñõåìå Ïî ôîðìóëàì (11), (12) (2; 0,8) ( 14,263; 200,354) ( 14,054; 201,146) (3; 0,4) 12,339; 149,822) ( 12,194; 149,701) (8; 0,1) (2535,570; 62548,154) (2504,266; 62236,170) (8; 0,8) ( 9,751; 617,934) ( 9,589; 620,389) (5; 0,3) (255,901; 4994,199) (252,711; 4981,822) Ò à á ë è ö à 5 . Ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è 2 ¹ ( , )q 0 0� ( , )* *q � J 0 J* ×èñëî èòåðàöèé 1 (2; 0,8) (4,998; 0,490) 186,174 1,335 � 10 6 24 2 (3; 0,4) (4,997; 0,490) 2,472 1,796 � 10 5 7 3 (8; 0,1) (5,000; 0,490) 8764,857 9,291 � 10 6 8 4 (8; 0,8) (5,00; 0,490) 112,429 2,132 � 10 5 7 5 (5; 0,3) (4,990; 0,490) 360,846 1,935 � 10 6 2 1,5 0,5 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 t � * x(t) x2(t) x1(t) Ðèñ. 1 ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. B e n s o u s s a n A . , L i o n s J . L . Controle impulsionnel et inequtions quasivariatonelles. — Paris: Du- nod, 1987. — 600 p. 2. L i o n s J . L . Controle des systemes distributes singuliers. — Paris: Gauthier Willars, 1987. — 364 p. 3. Ì è ë ë å ð Á . Ì . Óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè â çàäà÷àõ îáîáùåííîãî óïðàâëåíèÿ. I. Íåîáõîäèìûå óñëî- âèÿ îïòèìàëüíîñòè. II. Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. — 1992. — ¹ 3. — Ñ. 50–58; ¹ 4. — Ñ. 39–48. 4. Ê î ë î ê î ë ü í è ê î â à à . À . Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà îïòèìàëüíîñòè îñîáûõ è èì- ïóëüñíûõ ðåæèìîâ // Òàì æå. — 1990. — ¹ 6. — Ñ. 48–57. 5. T h e c o n t r o l handbook / Ed. W.S. Levine. — New York: CDC Press. IEEE Press, 1996. — 470 p. 6. Ï ø å í è ÷ í û é Á . Í . Ìåòîä ëèíåàðèçàöèè. — Ì.: Íàóêà, 1983. — 135 ñ. 7. Á ó ò ê î â ñ ê è é À . à . , Ï ó ñ ò û ë ü í è ê î â Ë . Ì . Òåîðèÿ ïîäâèæíîãî óïðàâëåíèÿ ñèñòåìàìè ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè. — Ì.: Íàóêà. — 1980. — 382 ñ. 8. À é ä à - ç à ä å Ê . Ð . , Ð à ã è ì î â À . Á . Î ðåøåíèè çàäà÷ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ íà êëàññå êó- ñî÷íî-ïîñòîÿííûõ ôóíêöèé // Àâòîìàòèêà è âû÷èñë. òåõíèêà. — 2000. — ¹ 1. — Ñ. 27–36. 9. À é ä à - ç à ä å Ê . Ð . Ê ðåøåíèþ çàäà÷ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ íà êëàññå êóñî÷íî-ïîñòîÿííûõ ôóíêöèé // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2005. — ¹ 4. — Ñ. 153–162. 10. Ä û õ ò à  . À . Îïòèìèçàöèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ñ ðàçðûâíûìè òðàåêòîðèÿìè è èìïóëüñíûìè óï- ðàâëåíèÿìè // Ñîðîñîâñêèé îáðàçîâàòåëüíûé æóðíàë. — 1999. — ¹ 8. — Ñ. 110–115. Ïîñòóïèëà 04.12.2008
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-44409
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn 0023-1274
language Russian
last_indexed 2025-12-07T13:32:01Z
publishDate 2009
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format dspace
spelling Айда-заде, К.Р.
2013-06-01T08:40:18Z
2013-06-01T08:40:18Z
2009
К решению задач управления на импульсных и хевисайдовских классах управляющих функций / К.Р. Айда-заде // Кибернетика и системный анализ. — 2009. — № 5. — С. 137-145. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
0023-1274
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44409
517.977.58
Досліджено задачі оптимального керування на імпульсних і хевісайдівських класах керуючих функцій. Отримано формули для градієнта функціонала як за величиною, так і, що більш важливо, за часом початку їхнього впливу. Формули дозволяють використовувати методи скінченновимірної оптимізації першого порядку для розв’язання розглянутих задач. Наведено результати експериментів.
Optimal control problems over impulse and Heaviside classes of control functions are investigated. Formulas are obtained for the target functional gradient with respect to the quantity and, what is more important, to the time of the beginning of an impact. The formulas allow one to use first-order finite-dimensional optimization methods for solving mentioned problems. Results of numerical experiments are presented.
Работа выполнена при поддержке INTAS (Грант № 06-1000017-8909) в рамках программы сотрудничества INTAS с Южно-Кавказскими Республиками, 2006.
ru
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
Кибернетика и системный анализ
Системный анализ
К решению задач управления на импульсных и хевисайдовских классах управляющих функций
До розв’язання задач керування на імпульсних і хевісайдівських класах керуючих функцій
To the solution of control problems over impulse and Heaviside classes of control functions
Article
published earlier
spellingShingle К решению задач управления на импульсных и хевисайдовских классах управляющих функций
Айда-заде, К.Р.
Системный анализ
title К решению задач управления на импульсных и хевисайдовских классах управляющих функций
title_alt До розв’язання задач керування на імпульсних і хевісайдівських класах керуючих функцій
To the solution of control problems over impulse and Heaviside classes of control functions
title_full К решению задач управления на импульсных и хевисайдовских классах управляющих функций
title_fullStr К решению задач управления на импульсных и хевисайдовских классах управляющих функций
title_full_unstemmed К решению задач управления на импульсных и хевисайдовских классах управляющих функций
title_short К решению задач управления на импульсных и хевисайдовских классах управляющих функций
title_sort к решению задач управления на импульсных и хевисайдовских классах управляющих функций
topic Системный анализ
topic_facet Системный анализ
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/44409
work_keys_str_mv AT aidazadekr krešeniûzadačupravleniânaimpulʹsnyhihevisaidovskihklassahupravlâûŝihfunkcii
AT aidazadekr dorozvâzannâzadačkeruvannânaímpulʹsnihíhevísaidívsʹkihklasahkeruûčihfunkcíi
AT aidazadekr tothesolutionofcontrolproblemsoverimpulseandheavisideclassesofcontrolfunctions

Схожі ресурси