Равновесия Курно–Нэша и Бертрана–Нэша для гетерогенной дуополии дифференцированных продуктов
Знайдено аналітичні вирази рівноважних випусків, цін, прибутків у рівновагах Курно–Неша та Бертрана–Неша, коли всі параметри дуополії диференційованих продуктів мають різні значення.Показано, що знаки різниць між такими випусками, цінами, прибутками залежать від факту доповнюваності чи замінюваності...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45123 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Равновесия Курно–Нэша и Бертрана–Нэша для гетерогенной дуополии дифференцированных продуктов / В.М. Горбачук // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 1. — С. 29–37. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860174492639166464 |
|---|---|
| author | Горбачук, В.М. |
| author_facet | Горбачук, В.М. |
| citation_txt | Равновесия Курно–Нэша и Бертрана–Нэша для гетерогенной дуополии дифференцированных продуктов / В.М. Горбачук // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 1. — С. 29–37. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Знайдено аналітичні вирази рівноважних випусків, цін, прибутків у рівновагах Курно–Неша та Бертрана–Неша, коли всі параметри дуополії диференційованих продуктів мають різні значення.Показано, що знаки різниць між такими випусками, цінами, прибутками залежать від факту доповнюваності чи замінюваності продуктів. Введено поняття екзогенних, ендогенних, асиметричних диференційованих продуктів.
Analytical expressions for outputs, prices, and profits at the Cournot-Nash and Bertrand–Nash equilibria are found for the case when all duopoly parameters of differentiated products are different. It is shown that the signs of differences between such outputs, prices, and profits depend on the complementarity or substitutability of products. The concepts of exogenous, endogenous, and asymmetric differentiated products are introduced.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:59:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.8
Â.Ì. ÃÎÐÁÀ×ÓÊ
ÐÀÂÍÎÂÅÑÈß ÊÓÐÍΖÍÝØÀ È ÁÅÐÒÐÀÍÀ–ÍÝØÀ ÄËß
ÃÅÒÅÐÎÃÅÍÍÎÉ ÄÓÎÏÎËÈÈ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÐÎÂÀÍÍÛÕ ÏÐÎÄÓÊÒÎÂ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ðàâíîâåñèå, Êóðíî, Íýø, Áåðòðàí, ãåòåðîãåííàÿ äóîïîëèÿ,
ôèðìà, äèôôåðåíöèðîâàííûå ïðîäóêòû, êîíêóðåíöèÿ.
Ãëîáàëüíàÿ èíôëÿöèÿ âëèÿåò íà ñîñòîÿíèå ýêîíîìèêè ðàçëè÷íûõ ñòðàí è ðûíêè.
Öåíà íà òîïëèâî — îäèí èç îñíîâíûõ ýêîíîìè÷åñêèõ ïîêàçàòåëåé. Ïî îôèöèàëüíûì
äàííûì, â Óêðàèíå â 2007 ã. öåíà áåíçèíà A-95 âîçðîñëà îò 3,82 äî 5,11 UAH / ëèòð
(ïðè ôèêñèðîâàííîì îáìåííîì êóðñå USD = 5,05 UAH), à äèçåëüíîãî òîïëèâà — îò
3,71 äî 5,09 UAH / ëèòð [1]; â 2008 ã. öåíà äèçåëüíîãî òîïëèâà â Óêðàèíå ïðåâûñèëà
öåíó áåíçèíà A-95, â 2009 ã. öåíà ñæèæåííîãî ãàçà âûðîñëà ïî÷òè â äâà ðàçà. Ïðîô-
ñîþçû â ñòðàíàõ Åâðîïåéñêîãî Ñîþçà (ÅÑ) îðãàíèçîâàëè ìàññîâûå çàáàñòîâêè â ñâÿ-
çè ñ âûñîêèìè öåíàìè íà ìîòîðíûå òîïëèâà. Ïîñêîëüêó áèîòîïëèâî ÿâëÿåòñÿ àëüòåð-
íàòèâíûì (äèôôåðåíöèðîâàííûì) ïðîäóêòîì äëÿ îáû÷íûõ ìîòîðíûõ òîïëèâ [2],
ñòðàíû ÅÑ ïðèñòóïèëè ê îðãàíèçàöèè åãî ïðîìûøëåííîãî ïðîèçâîäñòâà â 1990-õ ãã.,
à Óêðàèíà â 2008 ã. âûøëà â ëèäåðû â Åâðîïå ïî ïîñåâàì ðàïñà [3]. Êàê ñëåäñòâèå
òàêèõ ïðîöåññîâ, ñîêðàùàþòñÿ ïëîùàäè ïðîäîâîëüñòâåííûõ êóëüòóð è âîçðàñòàþò
öåíû íà ïðîäóêòû ïèòàíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, èññëåäîâàíèå ðûíêîâ äèôôåðåíöèðîâàí-
íûõ ïðîäóêòîâ àêòóàëüíî êàê ñ òî÷êè çðåíèÿ ïðàêòèêè [4, 5], òàê è òåîðèè [5–10].
Îáîçíà÷èì 1 è 2 äâà äèôôåðåíöèðîâàííûõ ïðîäóêòà, òîãäà öåíà ïðîäóêòà i ðàâíà
P a b Q d Qi i i i i j� � � , i j, ,� 1 2, i j� , (1)
ãäå Qi — íåîòðèöàòåëüíîå êîëè÷åñòâî ïðîäóêòà i, à ai , bi , di — íåêîòîðûå ïà-
ðàìåòðû [6, 7]. Åñòåñòâåííî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ai � 0 è bi � 0. Ïðè di � 0 ïðî-
äóêò j íàçûâàþò çàìåíèòåëåì äëÿ ïðîäóêòà i, à ïðè di � 0 — äîïîëíèòåëåì. Ïðè
di � 0 öåíà ïðîäóêòà i íå çàâèñèò îò ïðîäóêòà j.
Ïðåäïîëîæèì, ïðîäóêò i ïðîèçâîäèòñÿ ôèðìîé i � 1 2, .
Ïðè êîíêóðåíöèè ïðîèçâîäèòåëè ïðîäóêòîâ ìîãóò ðåøàòü çàäà÷ó Êóðíî–Íýøà
(Cournot–Nash), ãäå ñòðàòåãèÿìè ÿâëÿþòñÿ âûïóñêè ôèðì [11–20],
� i i i i i i i j i i
Q
P c Q a b Q d Q c Q
i
� � � � � � �( ) ( ) max , i � 1 2, , (2)
è çàäà÷ó Áåðòðàíà–Íýøà (Bertrand–Nash), ãäå ñòðàòåãèè — öåíû ôèðì [12, 21],
� i i i i
P
P c Q
i
� � �( ) max , i � 1 2, .
Çäåñü ci — (ïîëîæèòåëüíûå) óäåëüíûå ïðîèçâîäñòâåííûå çàòðàòû äëÿ ïðîäóêòà i.
 îáùåì ñëó÷àå ai èíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê âåðõíÿÿ ãðàíèöà óäåëüíûõ çàòðàò è
öåíû: 0 � �c ai i .
 ëèòåðàòóðå ïî äàííîé òåìàòèêå ÷àñòî ïðåäïîëàãàåòñÿ íåêîòîðàÿ ãîìîãåííîñòü
äóîïîëèè, ò.å. âûïîëíÿåòñÿ õîòÿ áû îäíî èç ðàâåíñòâ a a1 2� , b b1 2� , c c1 2� , d d1 2�
â çàäà÷å (2) [6, 7]. Ïîòðåáíîñòè ïðàêòèêè âûíóæäàþò îòêàçûâàòüñÿ îò òàêèõ ïðåäïîëî-
æåíèé è àíàëèçèðîâàòü ãåòåðîãåííóþ äóîïîëèþ, êîãäà ýòè ðàâåíñòâà íå âûïîëíÿþòñÿ.
Ïîêàæåì, ÷òî ìîæíî íàéòè è îõàðàêòåðèçîâàòü ðåøåíèÿ çàäà÷ Êóðíî–Íýøà è
Áåðòðàíà–Íýøà äëÿ ãåòåðîãåííîé äóîïîëèè, íå ïðèáåãàÿ ê ÷èñëåííûì ìåòî-
äàì [14]. Åñëè âìåñòî ñîîòíîøåíèÿ (1) ðàññìàòðèâàòü, íàïðèìåð, äðîáíóþ
ôóíêöèþ öåíû [9]
P
a
e b Q d Q
i
i
i i i i j
�
� �
, i j, ,� 1 2, i j� ,
ãäå ei — äîñòàòî÷íî áîëüøèå ÷èñëà, òî çàäà÷è ñóùåñòâåííî óñëîæíÿþòñÿ.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 1 29
Â.Ì. Ãîðáà÷óê, 2010
Òåîðåìà 1. Åñëè âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ (1), (2),
� � �4 01 2 1 2b b d d , (3)
� j i j j j i ib a c d a c� � � � �2 0( ) ( ) , i j, ,� 1 2, i j� , (4)
òî â ðàâíîâåñèè Êóðíî–Íýøà äèôôåðåíöèðîâàííîé äóîïîëèè âûïóñê ôèðìû i
ñîñòàâëÿåò
Q
b a c d a c
b b d d
i
CN j i i i j j i�
� � �
�
�
2
4 1 2 1 2
( ) ( ) �
, i j, ,� 1 2 , i j� . (5)
Èç âîãíóòîñòè ïî Qi ôóíêöèè � i ñëåäóåò
0 2� � � � � � �� i i i i i i i jQ a c b Q d Q/ , i j, ,� 1 2 , i j� ,
îòêóäà ïîëó÷àåì
Q
a c d Q
b
b a c d a c d Q
b b
1
1 1 1 2
1
2 1 1 1 2 2 2 1
1 22
2
4
�
� �
�
� � � �( ) ( )
è ïðèõîäèì ê ñîîòíîøåíèÿì (5).
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Óñëîâèå (3) ÿâëÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííûì ñëåäñòâèåì åñòåñòâåííûõ íåðàâåíñòâ
| |d bi i� , i � 1 2, , (6)
ò.å. áîëüøåé çàâèñèìîñòè öåíû ïðîäóêòà i îò ñïðîñà íà ýòîò ïðîäóêò, ÷åì îò
ñïðîñà íà äèôôåðåíöèðîâàííûé ïðîäóêò j. Åñëè ïðîäóêòû îäíîðîäíûå, òî
d bi i� , i � 1 2, , (7)
è óñëîâèå (3) âûïîëíÿåòñÿ. Äèôôåðåíöèðîâàííûå ïðîäóêòû, óäîâëåòâîðÿþùèå
óñëîâèþ (6), íàçîâåì ýíäîãåííûìè äèôôåðåíöèðîâàííûìè ïðîäóêòàìè. Äèôôå-
ðåíöèðîâàííûå ïðîäóêòû, íå óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì (6) è (7), íàçîâåì ýêçî-
ãåííûìè äèôôåðåíöèðîâàííûìè ïðîäóêòàìè.
Çàìåòèì, ÷òî ïðè
a c a ci i j j� � � (8)
èç ñîîòíîøåíèÿ (4) ñëåäóåò óñëîâèå (3). Äëÿ äèôôåðåíöèðîâàííîé äóîïîëèè ðà-
âåíñòâî (8) ìîæåò âûïîëíÿòüñÿ ñ äîñòàòî÷íîé òî÷íîñòüþ. Åñëè âûïîëíÿþòñÿ
óñëîâèÿ (7) è (8), à òàêæå
b b1 2� , (9)
òî ôîðìóëà (5) ñâîäèòñÿ ê èçâåñòíîé ôîðìóëå âûïóñêà â ðàâíîâåñèè Êóð-
íî–Íýøà äëÿ îäíîðîäíîé äóîïîëèè [17].
Òåîðåìà 2. Ïðè óñëîâèÿõ (3), (4) öåíà íà ïðîäóêò i â ðàâíîâåñèè Êóðíî–Íýøà
ðàâíà
P
b b a c d a c
c
b
ci
CN i j i i i j j
i
i i
i�
� � �
� � � �
[ ( ) ( )]2
�
� �b Q ci i
CN
i , i j, ,� 1 2, i j� . (10)
Äåéñòâèòåëüíî, èìååì
P c a c b Q d QCN CN CN
1 1 1 1 1 1 1 2
� � � � � �
�
� � � � � �
�
( )( ) [ ( ) ( )]a c b b d d b b a c d a c1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 24 2
�
� � �
�
d b a c d a c1 1 2 2 2 1 12[ ( ) ( )]
30 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 1
�
� � � � � � �( )( ) ( )(a c b b d d b b d d a c b d b d1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 14 2 2 )
�
�
� � �
�
b b a c d a c
b QCN1 2 1 1 1 2 2
1 1
2[ ( ) ( )]
.
Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì ôîðìóëó äëÿ P2 .
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Ñîîòíîøåíèÿ (5) è (10) îáîáùàþò èçâåñòíûå â ëèòåðàòóðå [6, 7].
Ñëåäñòâèå 1. Ïðè óñëîâèÿõ (3), (4) â ðàâíîâåñèè Êóðíî–Íýøà îòíîøåíèå âû-
ïóñêîâ ñîñòàâëÿåò
Q
Q
b a c d a c
b a c d a c
CN
CN
1
2
2 1 1 1 2 2
1 2 2 2 1 1
2
2
�
� � �
� � �
�
( ) ( )
( ) ( )
�
�
1
2
,
(11)
à ðàçíîñòü öåí —
P P b Q b Q c c
b b
c cCN CN CN CN
1 2 1 1 2 2 1 2
1 1 2 2
1 2� � � � � �
�
� �
� �
. (12)
Ñëåäñòâèå 2. Ïðè óñëîâèÿõ (3), (4) ïðèáûëü â ðàâíîâåñèè Êóðíî–Íýøà îïðå-
äåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì
� i
CN
i
CN
i i
CN
i i
CN i iP c Q b Q
b
� � � �( ) ( )
( )2
2
2
�
, i j, ,� 1 2, i j� . (13)
Ñðàâíèâàÿ ôîðìóëû (13) è ôîðìóëû (18), (19) èç [17], íàõîäèì èíòåðïðåòàöèþ
îòíîøåíèÿ
�
i êàê âûïóñêà ôèðìû i äëÿ îäíîðîäíîé äóîïîëèè.
Ñëåäñòâèå 3. Ïðè óñëîâèÿõ (3), (4) ðàçíîñòü ïðèáûëåé â ðàâíîâåñèè Êóð-
íî–Íýøà ðàâíà
� �
1 2
1 1
2
2 2
2
2
CN CN b b
� �
�( ) ( )� �
. (14)
Ñëåäñòâèå 4. Ïðè óñëîâèÿõ (3), (4), (9) ðàçíîñòü ïðèáûëåé îïðåäåëÿåòñÿ ñîîò-
íîøåíèåì
� �
1 2 1 1 2 1 2
1 1 2 1 2CN CN CN CN CN CNb Q Q Q Q
b
� � � � �
� �
( )( )
( )(� � � � )
2
�
�
� � � � � � � �b b a c d a c b a c d a c1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 12 2( )[ ( ) ( ) ( ) (� � 1
2
)]
�
�
� � � � � �b b d a c b d a c1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2
2
2 2( )[( )( ) ( )( )]� �
è èìååò çíàê
sign sign( ) ( )� �
1 2 1 2
CN CN CN CNQ Q� � � ,
ñîâïàäàþùèé ñî çíàêîì ðàçíîñòè âûïóñêîâ â ðàâíîâåñèè Êóðíî–Íýøà.
Ñëåäñòâèå 5. Ïðè óñëîâèÿõ (3), (4), (6), (9) è îäèíàêîâîé ñòåïåíè îäíîðîäíîñ-
òè ïðîäóêòîâ
� �
d
b
d
b
1
1
2
2
ðàçíîñòü ïðèáûëåé â ðàâíîâåñèè Êóðíî–Íýøà ñîñòàâëÿåò
� �
1 2
1
2
1 2 1 1 2 2
2
2CN CN b a c a c
� �
� � � � �( ) ( )( )[( ) ( )]� �
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 1 31
è èìååò çíàê
sign sign( ) [( ) ( )]� �
1 2 1 1 2 2
CN CN a c a c� � � � � ,
ñîâïàäàþùèé ñî çíàêîì ðàçíîñòè ìåæäó ìàêñèìàëüíî âîçìîæíûìè öåíàìè è
óäåëüíûìè ïðîèçâîäñòâåííûìè çàòðàòàìè äèôôåðåíöèðîâàííûõ ïðîäóêòîâ.
×åì áëèæå çíà÷åíèå
ê 1, òåì îäíîðîäíåå (ìåíåå äèôôåðåíöèðîâàíû) ïðî-
äóêòû 1 è 2 [6, 7].
Òåîðåìà 3. Åñëè âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèå (6) è íåðàâåíñòâî
� i j i i i j j i j i ib a c d a c b a c� � � � � � � �( ) ( ) ( )� 0 , (15)
òî â ðàâíîâåñèè Áåðòðàíà–Íýøà äèôôåðåíöèðîâàííîé äóîïîëèè öåíà ïðîäóêòà i
ñîñòàâëÿåò
P
a b b c
i
BN i i i j i
�
� �� �( )3
, i j, ,� 1 2 , i j� ,
(16)
à âûïóñê ïðîäóêòà i îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíîé
Q
b a c b
i
BN j i i i i
�
� �[ ( ) ]� �
�
,
ãäå
� � � � � �b b d d b b1 2 1 2 1 23 0
. (17)
Îòìåòèì, ÷òî èç óñëîâèÿ (15) âûòåêàåò óñëîâèå (4), à èç óñëîâèÿ (6) ñëåäóþò
óñëîâèÿ (3) è (17). Èíûìè ñëîâàìè, äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ðàâíîâåñèÿ Áåðòðàíà–Íýøà
íóæíû áîëåå æåñòêèå óñëîâèÿ, ÷åì äëÿ ðàâíîâåñèÿ Êóðíî–Íýøà.
Çàìåòèì, ÷òî èç ñîîòíîøåíèé (1) ñëåäóåò
Q
a P d Q
b
b a P d a P d Q
b b
1
1 1 1 2
1
2 1 1 1 2 2 2 1
1 2
�
� �
�
� � � �( ) ( )
,
Q
b a P d a P
b b d d
a b a d b P d P
1
2 1 1 1 2 2
1 2 1 2
1 2 2 1 2 1 1�
� � �
�
�
� � �( ) ( ) 2
1 2 1 2b b d d�
,
(18)
îòêóäà ïîëó÷àåì
�
�
1 1 1
1 2 2 1 2 1 1 2� �
� � �
( )
( )
P c
a b a d b P d P
.
Òîãäà èç âîãíóòîñòè ïî P1 ôóíêöèè �1 ñëåäóåò
0
2
1 1
1 2 2 1 2 1 1 2 2 1� � � �
� � � �
�
�
/ P
a b a d b P d P b c
.
(19)
Àíàëîãè÷íî
0 22 1 1 2 1 2 2 1 1 2� � � � �a b a d b P d P b c ,
îòêóäà èìååì
P
b a c d a P
b
2
1 2 2 2 1 1
12
�
� � �( ) ( )
.
Ïîäñòàâëÿÿ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî â óðàâíåíèå (19), ïîëó÷àåì
0 2
2
1 2 2 1 2 1
1
1
1 2 2 2 1 1 2 1� � � � � � � �a b a d b P
d
b
b a c d a P b c[ ( ) ( )] ,
0 2 4 21 1 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1� � � � � � � �b a b a d b b P b d a c d d a P( ) ( ) ( ) b b c1 2 1,
P a b b a b d a b d b c d a d d b b c1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 12 2 2� � � � � � ,
32 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 1
P
a b b d d b a b a d c d b c
1
1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 12
�
� � � � �
�
( ) ( )
�
� � � � �
�
� �� � �a b b a c b c d a c a b b c1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 23 3[ ( ) ( )] (
1 )
.
Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ P2 . Ñîîòíîøåíèÿ (16) äîêàçàíû.
Ïîäñòàâëÿÿ ñîîòíîøåíèÿ (16) â óðàâíåíèå (18), ïîëó÷àåì
Q
a b a d b P d P
1
1 2 2 1 2 1 1 2�
� � �
�
�
�
� � � � � � �
( ) [ ( )] [ (a b a d b a b b c d a b b1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 23 3� � � � 1 2c )]
�
�
�
� � � � � � �
a b a d a b b b b b c a d b d1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2
2
1 2 1 2 2 13� � � �( ) 3 1 2 2 1b b c d
�
�
�
� � � � � � �( ) ( ) ( )
� � � �a b a d b d b b b c b c d1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 13 3
�
,
� �
Q a b a d b d b a c d a c1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1� � � � � � � �( )( ) { [ ( ) ( )]
� � � � � � �3 31 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2b b c b c d b b a c d a c[ ( ) ( )]}
� � � � � �3 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2b b a b a d b a b d b c d a d d( ) (
� � � � � � �c d d b b c b c d a b b b b c a b d b c d1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 23 3 1 ) �
� � � � � � �b a b b a b d a b d b c d d d a c b2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 13 3 2 2[ ( ) b c a b b2 1 1 1 2� �]
� � � � � � �b a b b a b d b c d d d a c b b c2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 12 2[ ( ) ]
� � � � � � � �b a c b b d d a b b b b c b d c a2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2[( )( ) ( )]
� � � � � � � � �b a c b b a c d a c b a c b2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1[ ( ) [ ( ) ( )] [ ( )� � 1 1� ] .
Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ Q2 .
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Ñëåäñòâèå 6. Ïðè óñëîâèÿõ (6) è (15) â ðàâíîâåñèè Áåðòðàíà–Íýøà îòíîøåíèå
âûïóñêîâ ñîñòàâëÿåò
Q
Q
b a c b
b a c b
BN
BN
1
2
2 1 1 1 1
1 2 2 2 2
�
� �
� �
[ ( ) ]
[ ( ) ]
� �
� �
, (20)
à îòíîøåíèå öåí —
P
P
a b b c
a b b c
BN
BN
1
2
1 1 1 2 1
2 2 2 1 2
3
3
�
� �
� �
� �
� �
( )
( )
. (21)
Ñîîòíîøåíèÿ (11), (12) è (20), (21) ìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ ïðîâåðêè êîíêó-
ðåíòíîñòè ñîîòâåòñòâåííî ïî Êóðíî–Íýøó è Áåðòðàíó–Íýøó äèôôåðåíöèðîâàííîé
äóîïîëèè, òàê êàê âûïóñêè ïðîäóêòîâ è èõ öåíû èçâåñòíû, à ïàðàìåòðû ai , bi , di ,
ci , i � 1 2, , è ôóíêöèè �i , � i , � îò ýòèõ ïàðàìåòðîâ ìîæíî îöåíèòü [22].
Òåîðåìà 4. Ïðè óñëîâèÿõ (6), (15) ïðèáûëü â ðàâíîâåñèè Áåðòðàíà–Íýøà îïðå-
äåëÿåòñÿ âåëè÷èíîé
�
� �
�
�
i
BN j i i i i i
BN
j
b a c b Q
b
�
� �
�
[ ( ) ] ( )
2
2
2
, i j, ,� 1 2 , i j� .
Ïîñêîëüêó â ñèëó òåîðåìû 3
�
� � �
1 1 1 1
1 1 1 2 1 1 2 13BN BN BNP c Q
a b b c c b a c
� � �
� � � �
( )
[ ( ) ] [ (
1 1 1
2
) ]� b �
�
,
îñòàåòñÿ ïîêàçàòü, ÷òî � � � �( ) ( )a c b a b b c c1 1 1 1 1 1 1 2 1 13� � � � � �
.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 1 33
Íå óìåíüøàÿ îáùíîñòè, ïðè i � 1 èìååì
� �a b b c c b b d d a b b a c1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 13� � � � � � � �( ) ( ) [ ( )
� � � � � �d a c b b c b b d d c1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 13 4( )] ( )
� � � � � � �a b b a d d a b b b b c a b d b c d b b c1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 13 �
� � � � � � �4 2 21 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2b b c c d d a b b a d d b b c a b d b c d c d d1 1 1 2� �
� � � � � � � �2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2b b a c d d a c b d a c a c b b( ) ( ) ( ) ( )( � �d d1 2 )
� � � � � � �b b a c d a c a c b1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1[ ( ) ( )] ( )� � .
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Ñëåäñòâèå 7. Ïðè óñëîâèÿõ (6), (15) ðàçíîñòü ïðèáûëåé â ðàâíîâåñèè Áåðòðà-
íà–Íýøà ðàâíà
� �
� � �
1 2
1
2
2
2
2
1
1 1
2
2 2BN BN
BN BN BN BQ
b
Q
b
b Q b Q
� � � �
�( ) ( ) [ ( ) ( N
b b
) ]2
1 2
.
Ñëåäñòâèå 8. Ïðè óñëîâèÿõ (6), (9), (15) ðàçíîñòü ïðèáûëåé â ðàâíîâåñèè Áåð-
òðàíà–Íýøà ðàâíà
� �
� � �
1 2
1
2
1
2
2
1
1 2 1BN BN
BN BN BN BN BNQ
b
Q
b
Q Q Q
� � � �
� �( ) ( ) ( )( Q
b
BN
2
1
)
�
�
� � � � � �( ) [ ( ) ] [ ( ) ]Q Q b a c b b a c bBN BN
1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2{ }� � � �
b1
è èìååò çíàê
sign sign( ) ( )� �
1 2 1 2
BN BN BN BNQ Q� � � ,
ñîâïàäàþùèé ñî çíàêîì ðàçíîñòè âûïóñêîâ ôèðì â ðàâíîâåñèè Áåðòðàíà–Íýøà.
 ñâîþ î÷åðåäü, çíàê ýòîé ðàçíîñòè ìîæíî îïðåäåëèòü èç îòíîøåíèÿ (20).
Ñëåäñòâèå 9. Ïðè óñëîâèÿõ (6), (9), (14), (15) èìååò ìåñòî
� �1 2 1 1 1 2 2 2� � � � �b a c d a c( ) ( ) ,
îòêóäà äëÿ ðàçíîñòè ïðèáûëåé â ðàâíîâåñèè Áåðòðàíà–Íýøà âûïîëíÿåòñÿ
� �
�
1 2
1 2 1 1 2 2BN BN
BN BNQ Q a c a c
� �
� � � �( )[( ) ( )]
,
ïðè÷åì ýòà ðàçíîñòü èìååò çíàê
sign sign( ) [( ) ( )]� �
1 2 1 1 2 2
BN BN a c a c� � � � � .
Ñðàâíèâàÿ ñëåäñòâèÿ 4 è 8, 5 è 9, âèäèì, ÷òî ïðåèìóùåñòâî ôèðìû â ðàâíîâå-
ñèÿõ Êóðíî–Íýøà è Áåðòðàíà–Íýøà îïðåäåëÿåòñÿ îäèíàêîâûìè ïðèçíàêàìè —
áîëüøèì ðàâíîâåñíûì âûïóñêîì è áîëüøåé ðàçíîñòüþ ìåæäó ìàêñèìàëüíî
âîçìîæíîé öåíîé è óäåëüíûìè ïðîèçâîäñòâåííûìè çàòðàòàìè äëÿ äèôôåðåíöèðî-
âàííûõ ïðîäóêòîâ.
Òåîðåìà 5. Ïðè óñëîâèÿõ (6) è (15) ðàçíîñòü öåí â ðàâíîâåñèÿõ Êóðíî–Íýøà è
Áåðòðàíà–Íýøà ñîñòàâëÿåò
P P
d d a c
i
CN
i
BN i i� �
�1 2 ( )
, i j, ,� 1 2, i j� ,
(22)
34 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 1
ïðè÷åì ýòà ðàçíîñòü èìååò çíàê
sign sign( ) ( )P P d dCN BN
1 1 1 2� � .
Ââèäó òåîðåì 2 è 4, ðàâåíñòâ (15) è (17) äëÿ i � 1 èìååì
P P
c b a b b b cCN BN
1 1
1 1 1 1 1 1 1 2 13
� �
� � � �
�
�
� �
�
� � � �
�
( ) ( )
�
3 1 2 1 1 1 1 1b b c b a� �
�
� � �
�
� �
�
�� � �c b a c b a a c b b d d a c1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1( ) ( )( ) ( )
,
÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Òåîðåìà 6. Ïðè óñëîâèÿõ (6) è (15) ðàçíîñòü âûïóñêîâ â ðàâíîâåñèÿõ Áåðòðà-
íà–Íýøà è Êóðíî–Íýøà ñîñòàâëÿåò
Q Q
d d
i
BN
i
CN� � 1 2 1�
�
, i j, ,� 1 2, i j� ,
(23)
ïðè÷åì ýòà ðàçíîñòü èìååò çíàê
sign sign( ) ( )Q Q d di
BN
i
CN� � 1 2 .
Ââèäó òåîðåì 2 è 4, ðàâåíñòâ (15) è (17) äëÿ i � 1 èìååì
Q Q
b a c b b b a cBN CN
1 1
2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1� �
� � �
�
� � �� � �
�
�( ) [ ( ) ]�
� b b1 2 1�
�
�
�
�
�
�
�
b b b b d d1 2 1 1 1 1 2 1 2 1� ��
�
� �
�
�
�
( )
,
÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Îòìåòèì, ÷òî ôîðìóëû (22) è (23) èìåþò ìåñòî êàê äëÿ çàìåíèòåëåé, òàê è äëÿ
äîïîëíèòåëåé. Åñëè òðàäèöèîííî ðàññìàòðèâàòü çàìåíèòåëè, òî â ðàâíîâåñèè Êóð-
íî–Íýøà öåíà äèôôåðåíöèðîâàííîãî ïðîäóêòà i âûøå ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàâíîâåñèåì
Áåðòðàíà–Íýøà, à âûïóñê — íèæå. Ïîýòîìó ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ ñîîòíîøåíèå
ïðèáûëåé â ýòèõ ðàâíîâåñèÿõ.
Òåîðåìà 7. Ïðè óñëîâèÿõ (6) è (15) ðàçíîñòü ïðèáûëåé â ðàâíîâåñèÿõ Êóð-
íî–Íýøà è Áåðòðàíà–Íýøà ñîñòàâëÿåò
� �
� �
�
i
CN
i
BN j i j j i i i i j jd d b a c b a c
� �
� � �( ) [ ( ) ( )]2
2
, i j, ,� 1 2, i j� ,
è èìååò çíàê
sign sign( ) ( )� �i
CN
i
BN
jd� � ,
êîòîðûé ïîëîæèòåëåí, êîãäà äèôôåðåíöèðîâàííûé ïðîäóêò i — çàìåíèòåëü äëÿ
ïðîäóêòà j, è îòðèöàòåëåí, êîãäà ïðîäóêò i — äîïîëíèòåëü äëÿ ïðîäóêòà j.
 ñèëó òåîðåì 5 è 6 äëÿ i � 1 èìååì
� �
1 1 1 1 1 1 1 1
CN BN CN CN BN BNP c Q P c Q� � � � � �( ) ( )
� �
�
�
�
�
�
�
�
� � � �P
d d a c
c Q P c Q
d dBN CN BN CN
1
1 2 1 1
1 1 1 1 1
1 2( )
( )
�
�
1
�
�
�
�
�
� �
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 1 35
� �
�
� � �P Q
d d a c Q
c Q P QBN CN
CN
CN BN CN
1 1
1 2 1 1 1
1 1 1 1
( )
� � � �
� �
c Q
d d P c d d d d a c Q
CN
BN CN
1 1
1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1
�
�
�
�
�
[ ( ) �
�
1 1 1( )]P cBN �
.
Òîãäà, ó÷èòûâàÿ òåîðåìû 1 è 2, ïîëó÷àåì
P c P
d d a c
c c b Q
d d a cBN CN CN
1 1 1
1 2 1 1
1 1 1 1
1 2 1 1� � �
�
� � � �
�( ) ( )
� �c1
�
� �b d d a c1 1 1 2 1 1�
( )
;
� �
� �
�
1 1
1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1
2
CN BN d d a c b d d a c
� �
� � � �{ }( ) [ ( )]� �
�
�
� � � �d d a c b d d a c1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1
2
{ }�
[ ( ) ] ( )� � �
�
.
(24)
Äàëåå, ââèäó ðàâåíñòâ (15) è (17) èìååì
� �( ) ( )( ) [ ( ) (a c b b b d d a c b b a c d a1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1� � � � � � � � 2 2� �c )]
� � � � � � � � �b b a c d d a c b b a c b d a c1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )
� � � �b d a c d d a c1 1 2 2 1 2 1 1( ) ( ) ;
� � �1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1[ ( ) ] ( ) ( )� � �a c b d d a c b d a c d� � � � � � � d a c2 1 1( )� �
� � � � � � � �� �1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2d d a c d d a c b d a c( ) ( )( ) ( )� �
� � � � � � � �[ ( ) ( )] ( ) ( )2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1
2b a c d a c b d a c b d d a c
� � � � � � � �d b a c d a c b a c b b a c a1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2{[ ( ) ( )] ( ) ( )( c2 )�
� � � � � � � �b d a c d b a c b a c b a c2 2 1 1
2
1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2( ) ( ) ( )[ ( )} {� d a c2 1 1( )]� �}
� � � �d b a c b a c1 1 1 2 2 2 2 1 1[ ( ) ( )]� � .
Ïîäñòàâëÿÿ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî â óðàâíåíèå (24), ïîëó÷àåì
� �
� �
�
1 1
2 1
2
2 2 1 1 1 1 2 2
2
CN BN d d b a c b a c
� �
� � �( ) [ ( ) ( )]
,
÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Ñëåäñòâèå 10. Åñëè ñóùåñòâóþò àñèììåòðè÷íûå äèôôåðåíöèðîâàííûå ïðî-
äóêòû 1 è 2 ñ d1 0� è d2 0� (ïðîäóêò 2 ÿâëÿåòñÿ çàìåíèòåëåì äëÿ ïðîäóêòà 1, à ïðî-
äóêò 1 — äîïîëíèòåëåì äëÿ ïðîäóêòà 2), òî � �
1 1
0CN BN� � , � �
2 2
0CN BN� � .
Âîïðîñ ñóùåñòâîâàíèÿ íîâîãî êëàññà àñèììåòðè÷íûõ äèôôåðåíöèðîâàííûõ
ïðîäóêòîâ â ðåàëüíîñòè ÿâëÿåòñÿ ïðåäìåòîì îòäåëüíûõ èññëåäîâàíèé, ïðè êîòîðûõ
áóäóò ïîëåçíû òåîðåìû 5–7.
Îñíîâíîé âûâîä ñîñòîèò â òîì, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå ãåòåðîãåííîé äóîïîëèè
äëÿ ðàçíîñòè ïðèáûëåé â ðàâíîâåñèÿõ Êóðíî–Íýøà è Áåðòðàíà–Íýøà ôàêò çàìåíÿ-
åìîñòè èëè äîïîëíèòåëüíîñòè äèôôåðåíöèðîâàííûõ ïðîäóêòîâ âàæíåå, ÷åì ñòå-
ïåíü
èõ îäíîðîäíîñòè [23].
36 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 1
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. www.me.gov.ua
2. à å ë å ò ó õ à à . Ïðîáëåìà áèîäèçåëÿ â Óêðàèíå — íå òåõíîëîãè÷åñêàÿ, à ýêîíîìè÷åñêàÿ // Ýêñïåðò.
Óêðàèíà. — 2007. — 3 ñåíòÿáðÿ.
3. Ä à â û ä î â È . Áèîòîïëèâíûé ïðèäàòîê Åâðîïû. Óêðàèíà äåëàåò ñòàâêó íà ðàïñ // Íåçàâèñèìàÿ
ãàçåòà. — 2008. — 10 àïðåëÿ.
4.  å ë è ê è é À . Ï . , à î ð á ó ë ³ í  . Ï . , Ñ å ð ã ³ º í ê î ² .  . Ïðî ï³äõîäè òà ïðèíöèïè
äîñë³äæåííÿ åêîíîì³÷íî¿ áåçïåêè òà äåÿê³ ðåçóëüòàòè ¿õ ïðàêòè÷íîãî çàñòîñóâàííÿ // Óïðàâëÿþùèå
ñèñòåìû è ìàøèíû. — 1997. — ¹ 4–5. — Ñ. 5–16.
5. Ì è õ à ë å â è ÷ Ì . Â . , Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . Ìîäåëèðîâàíèå ïåðåõîäíîé ýêîíîìèêè. — Ê.: Íàóê.
äóìêà, 2005. — 670 ñ.
6. D i x i t A . K . A model of duopoly suggesting a theory of entry barriers // Bell J. Economics. — 1979. —
10, N 1. — P. 20–32.
7. S i n g h N . , V i v e s X . Price and quantity competition in a differentiated duopoly // RAND J.
Economics. — 1984. — 15, N 4. — P. 546–554.
8. C h i k r i i A . Conflict-controlled processes. — Dordrecht; Boston; London: Kluwer Acad. Publ., 1997. —
424 p.
9. O l i g o p o l y dynamics — models and tools / T. Puu, I. Sushko (Eds.) — Berlin; Heidelberg; New York:
Springer-Verlag, 2002. — 313 p.
10. Ë ÿ ø å í ê î ² . Ì . , Ê î ð î á î â à Ì .  . , Ñ ò î ë ÿ ð À . Ì . Îñíîâè ìàòåìàòè÷íîãî ìîäåëþâàííÿ
åêîíîì³÷íèõ, åêîëîã³÷íèõ òà ñîö³àëüíèõ ïðîöåñ³â. — Òåðíîï³ëü: Áîãäàí, 2006. — 304 ñ.
11. C o u r n o t A . Researches into the mathematical principles of the theory of wealth. English edition of
Cournot (1838) translated by N.T. Bacon. — New York: A.M. Kelley, 1971. — 213 p.
12. N a s h J . Equilibrium points in n-person games // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. — 1950. — 36. —
P. 48–49.
13. Å ð ì î ë ü å â Þ . Ì . , Ó ð ÿ ñ ü å â Ñ . Ï . Î ïîèñêå ðàâíîâåñèÿ ïî Íýøó â èãðàõ ìíîãèõ ëèö //
Êèáåðíåòèêà. — 1982. — ¹ 3. — Ñ. 85–88.
14. à î ð á à ÷ ó ê  . Ì . Ìåòîäû ñòîõàñòè÷åñêîé è íåãëàäêîé îïòèìèçàöèè â çàäà÷àõ ïîèñêà ðàâíîâåñèé
ïî Íýøó: Àâòîðåô. … êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê. — Êèåâ: Èí-ò êèáåðíåòèêè èì. Â.Ì. Ãëóøêîâà
ÀÍ ÓÑÑÐ, 1985. — 16 ñ.
15. Ã î ð á à ÷ ó ê Â . Ì . Ïîèñê ðàâíîâåñèé Íýøà â óñëîâèÿõ íåñòàöèîíàðíîñòè íåãëàäêèõ ôóíêöèé
âûèãðûøà // Ìàòåìàòè÷åñèå ìåòîäû àíàëèçà è îïòèìèçàöèè ñëîæíûõ ñèñòåì, ôóíêöèîíèðóþùèõ
â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè — Ê.: Èí-ò êèáåðíåòèêè èì. Â.Ì. Ãëóøêîâà ÀÍ Óêðàèíû, 1986. —
Ñ. 8–12.
16. G o r b a c h u k V . Methods for Nash equilibria search // Nonsmooth analysis and its applications to
mathematical economics. — Baku: Ac. Sci. USSR, 1991. — P. 65.
17. Ã î p á à ÷ ó ê Â . Ì . Îáîáùåííîå pàâíîâåñèå Êópíî–Øòàêåëüáåpãà–Hýøà // Êèáåpíåòèêà è ñèñòåì-
íûé àíàëèç. — 2006. — ¹ 1. — Ñ. 3–9.
18. à î ð á à ÷ ó ê  . Ì . , à à ð ê ó ø à Í . ² . гâíîâàãè Êóðíî–Íåøà çà àñèìåòðè÷íî¿ íåâèçíà÷åíîñò³ òà
óçàãàëüíåí³ ð³âíîâàãè Êóðíî–Øòàêåëüáåðãà–Íåøà // ³ñí. Êè¿â. óí-òó. Ñåp.: ô³ç.-ìàò. íàóêè. —
2007. — ¹ 1. — Ñ. 143–148.
19. à î ð á à ÷ ó ê  . Ì . , à à ð ê ó ø à Í . ² . гâíîâàãà Êóðíî–Íåøà çà óìîâ àñèìåòðè÷íî¿ íåâèç-
íà÷åíîñò³ ÿê óçàãàëüíåíà ð³âíîâàãà Êóðíî–Øòàêåëüáåðãà–Íåøà // PDMU-2007 (21–23 òðàâíÿ
2007 ð., ×åðí³âö³, Óêðà¿íà). — Ê.: Êè¿â. íàö. óí-ò ³ìåí³ Òàðàñà Øåâ÷åíêà, 2007. — Ñ. 94.
20. à î ð á à ÷ ó ê  . Ì . Ðàâíîâåñèå Êóðíî–Íýøà ïðè àñèììåòðè÷íîé íåîïðåäåëåííîñòè êàê îáîá-
ùåííîå ðàâíîâåñèå Êóðíî–Øòàêåëüáåðãà–Íýøà // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2007. —
¹ 4. — Ñ. 3–10.
21. B e r t r a n d J . Revue de la theorie mathematique de la richesse sociale et des recherches sur les principles
mathematiques de la theorie des richesses // J. des Savants. — 1883. — P. 499–508.
22. à ð è ö å í ê î Î . à . , ß ñ ò ð å ì ñ ü ê è é Î . ² . Àíàë³ç âçàºìîçàëåæíîñò³ «ö³íà — îáñÿã ïðîäàæó» ÿê
çàñ³á âèçíà÷åííÿ ð³âíÿ ìîíîïîëüíî¿ âëàäè // Áàíê. ñïðàâà. — 2005. — 5. — Ñ. 3–16.
23. à î ð á à ÷ ó ê  . Ì . , à à ð ê ó ø à Í . ² . гâíîâàãè Êóðíî–Íåøà òà Áåðòðàíà–Íåøà äëÿ äèôå-
ðåíö³éîâàíèõ ïðîäóêò³â // PDMU-2009 (Ñõ³äíèöÿ, 27–30 êâ³òíÿ 2009 ð.) — Ê.: Êè¿â. íàö. óí-ò ³ìåí³
Òàðàñà Øåâ÷åíêà, 2009. — Ñ. 85–86.
Ïîñòóïèëà 02.06.2008
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 1 37
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-45123 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:59:24Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Горбачук, В.М. 2013-06-07T19:08:41Z 2013-06-07T19:08:41Z 2010 Равновесия Курно–Нэша и Бертрана–Нэша для гетерогенной дуополии дифференцированных продуктов / В.М. Горбачук // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 1. — С. 29–37. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45123 519.8 Знайдено аналітичні вирази рівноважних випусків, цін, прибутків у рівновагах Курно–Неша та Бертрана–Неша, коли всі параметри дуополії диференційованих продуктів мають різні значення.Показано, що знаки різниць між такими випусками, цінами, прибутками залежать від факту доповнюваності чи замінюваності продуктів. Введено поняття екзогенних, ендогенних, асиметричних диференційованих продуктів. Analytical expressions for outputs, prices, and profits at the Cournot-Nash and Bertrand–Nash equilibria are found for the case when all duopoly parameters of differentiated products are different. It is shown that the signs of differences between such outputs, prices, and profits depend on the complementarity or substitutability of products. The concepts of exogenous, endogenous, and asymmetric differentiated products are introduced. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Кибернетика Равновесия Курно–Нэша и Бертрана–Нэша для гетерогенной дуополии дифференцированных продуктов Рівноваги Курно–Неша та Бертрана–Неша для гетерогенної дуополії диференційованих продуктів The Cournot–Nash and Bertrand–Nash equilibria for a heterogeneous duopoly of differentiated products Article published earlier |
| spellingShingle | Равновесия Курно–Нэша и Бертрана–Нэша для гетерогенной дуополии дифференцированных продуктов Горбачук, В.М. Кибернетика |
| title | Равновесия Курно–Нэша и Бертрана–Нэша для гетерогенной дуополии дифференцированных продуктов |
| title_alt | Рівноваги Курно–Неша та Бертрана–Неша для гетерогенної дуополії диференційованих продуктів The Cournot–Nash and Bertrand–Nash equilibria for a heterogeneous duopoly of differentiated products |
| title_full | Равновесия Курно–Нэша и Бертрана–Нэша для гетерогенной дуополии дифференцированных продуктов |
| title_fullStr | Равновесия Курно–Нэша и Бертрана–Нэша для гетерогенной дуополии дифференцированных продуктов |
| title_full_unstemmed | Равновесия Курно–Нэша и Бертрана–Нэша для гетерогенной дуополии дифференцированных продуктов |
| title_short | Равновесия Курно–Нэша и Бертрана–Нэша для гетерогенной дуополии дифференцированных продуктов |
| title_sort | равновесия курно–нэша и бертрана–нэша для гетерогенной дуополии дифференцированных продуктов |
| topic | Кибернетика |
| topic_facet | Кибернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45123 |
| work_keys_str_mv | AT gorbačukvm ravnovesiâkurnonéšaibertrananéšadlâgeterogennoiduopoliidifferencirovannyhproduktov AT gorbačukvm rívnovagikurnonešatabertrananešadlâgeterogennoíduopolíídiferencíiovanihproduktív AT gorbačukvm thecournotnashandbertrandnashequilibriaforaheterogeneousduopolyofdifferentiatedproducts |