Проблема Ляпунова и синтез оптимальных систем управления
Прямий (перший) метод Ляпунова — ефективний спосіб аналізу та синтезу динамічних систем керування. Центральним місцем методу є побудова функції Ляпунова. Для нелінійної динамічної системи це проблематично. Розглянуто спосіб побудови функцій Ляпунова як розв’язку рівняння Гамільтона–Якобі, яке зводит...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45131 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Проблема Ляпунова и синтез оптимальных систем управления / В.Ф. Задорожный // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 1. — С. 111–118. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859945791331762176 |
|---|---|
| author | Задорожный, В.Ф. |
| author_facet | Задорожный, В.Ф. |
| citation_txt | Проблема Ляпунова и синтез оптимальных систем управления / В.Ф. Задорожный // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 1. — С. 111–118. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Прямий (перший) метод Ляпунова — ефективний спосіб аналізу та синтезу динамічних систем керування. Центральним місцем методу є побудова функції Ляпунова. Для нелінійної динамічної системи це проблематично. Розглянуто спосіб побудови функцій Ляпунова як розв’язку рівняння Гамільтона–Якобі, яке зводиться до інтегрального рівняння типу Фредгольма.
The direct (first) Lyapunov method is an efficient method for analysis and synthesis of dynamic control systems. The construction of the Lyapunov function occupies the central place in this method, which is a challenge for nonlinear dynamical systems. A general mathematical scheme of construction of the Lyapunov function as a solution of the Hamilton-Jacoby equation is considered that is reduced to an equation of the type of the Fredholm equation.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:14:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 62-50
Â.Ô. ÇÀÄÎÐÎÆÍÛÉ
ÏÐÎÁËÅÌÀ ËßÏÓÍÎÂÀ È ÑÈÍÒÅÇ
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌ ÓÏÐÀÂËÅÍÈß
Êëþ÷åâûå ñëîâà: äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà, óñòîé÷èâîñòü ïî Ëÿïóíîâó, îïåðàòîð
Ãèëüáåðòà–Øìèäòà, ÿäåðíûé è äèññèïàòèâíûé îïåðàòîðû, êîìïàêò .
ÏÐÎÁËÅÌÀ ËßÏÓÍÎÂÀ, ÏÐÅÄÂÀÐÈÒÅËÜÍÛÅ ÐÅÇÓËÜÒÀÒÛ
Òåîðèÿ óñòîé÷èâîñòè, îñíîâû êîòîðîé èçëîæèë â 1892 ã. À.Ì. Ëÿïóíîâ [1],
óñïåøíî ðàçâèâàëèñü ìíîãèìè ìàòåìàòèêàìè è ìåõàíèêàìè [2]. Ïîñëå ïîÿâëå-
íèÿ îáùåé òåîðèè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ïðÿìîé ìåòîä Ëÿïóíîâà ýôôåêòèâíî
èñïîëüçîâàëñÿ è â äðóãèõ îáëàñòÿõ, íàïðèìåð â òåîðèè ñèíòåçà îïòèìàëüíûõ
ñèñòåì óïðàâëåíèÿ [3–5].
Ïðÿìîé ìåòîä, èëè ìåòîä ôóíêöèé Ëÿïóíîâà ñòàíîâèòñÿ ñòðîãèì îñíîâíûì
ìåòîäîì èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè ïðîãðàììíûõ ðåøåíèé äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì.
Îäíàêî öåíòðàëüíîé ïðîáëåìîé ìåòîäà îñòàåòñÿ ïðîáëåìà ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè
Ëÿïóíîâà (ôË). «Íàèâíûå» ñïîñîáû ïîäáîðà è èñêóññòâà ïîñòðîåíèÿ äîñòàòî÷íî
«õîðîøèõ» ôË îòõîäÿò íà çàäíèé ïëàí, òàê êàê â çàäà÷àõ îïòèìàëüíîãî ñèíòåçà
íóæíû ôË, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿëè áû íå òîëüêî äîñòàòî÷íûì, íî è íåîáõîäèìûì
óñëîâèÿì.
Â.È. Çóáîâ äîêàçàë, ÷òî äëÿ óäîâëåòâîðåíèÿ ýòèì óñëîâèÿì, íóæíî èñêàòü ôË,
êîòîðàÿ èìåëà áû ñîîòâåòñòâóþùóþ ïðîèçâîäíóþ â ñèëó ñèñòåìû íå âñþäó,
à òîëüêî ïî÷òè âñþäó [6]. À ýòî óæå äðóãîé óðîâåíü èññëåäîâàíèé.
Çàäà÷à èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè ïðîãðàììíûõ ðåøåíèé ðàññìàòðèâàåòñÿ
(ñëåäóÿ À.Ì. Ëÿïóíîâó) êàê çàäà÷à óñòîé÷èâîñòè íóëåâîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèé
âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ
� ( , )x X t x� , (1)
ãäå t T� � ��[ , )0 — âðåìÿ, x R n� , X t x X x t X x tn( , ) ( ( , ),... , ( , ))� 1 — n-ìåðíûå
âåêòîðû, X t( , )0 0� . Ïðàâûå ÷àñòè X îïðåäåëåíû è íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóå-
ìû â îáëàñòè
� � � �{ }( , ): , || ||t x t x0 � ( )0 � �� .
Ôóíêöèÿ Ëÿïóíîâà � â êëàññè÷åñêîé òåîðèè óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ ïðèíàäëå-
æèò êëàññó âåùåñòâåííûõ ôóíêöèé, íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ â îáëàñòè
� � � �{ }( , ): , || ||t x t t x� �� ( , )t� �� �� � 0 0
è óíè÷òîæàþùèõñÿ íà íåâîçìóùåííîì äâèæåíèè x � 0, ò.å. �( , )t 0 0� . Ïðè ýòîì
ïðîèçâîäíàÿ ôË � ïî âðåìåíè â ñèëó óðàâíåíèé âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ
� ( , )
( , ) ( , )
( , )�
� �
t x
t x
t
t x
x
X t x�
�
òàêæå íåïðåðûâíà â � � .
Ñèñòåìû âèäà (1), äëÿ êîòîðûõ ïðàâàÿ ÷àñòü X íå çàâèñèò ÿâíî îò t X X x: ( )� ,
íàçîâåì äèíàìè÷åñêèìè ñèñòåìàìè (ä.ñ.), êðîìå òîãî, ðåøåíèå x xt ( ) , x R n� �� —
íà÷àëüíîå çíà÷åíèå âåêòîðà ( , )x t0 0 0� , îïðåäåëåíî íà âñåé ïîëóïðÿìîé T � �[ , )0 .
Áóäåì èçó÷àòü òîëüêî àñèìïòîòè÷åñêóþ óñòîé÷èâîñòü.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 1 111
© Â.Ô. Çàäîðîæíûé , 2010
Îïðåäåëåíèå. Íóëåâîå ðåøåíèå ñèñòåìû (1) íàçîâåì óñòîé÷èâûì ïî Ëÿïóíî-
âó, åñëè ïî ëþáîìó � � 0 è äëÿ äàííîãî t0 0� ìîæíî óêàçàòü � � 0 òàêîå, ÷òî ïðè
|| ||x � � áóäåò || ||xt � � ïðè t t T0 � . Åñëè, êðîìå òîãî, || ||xt
0 ïðè t
� , òî íó-
ëåâîå ðåøåíèå ñèñòåìû (1) íàçûâàåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûì (à.ó.).
Çàìåòèì ñëåäóþùåå: 1) äëÿ äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû t0 âñåãäà ìîæíî ïîëîæèòü
ðàâíûì íóëþ; 2) òîëüêî ñòðåìëåíèå íîðìû || ||xt ê íóëþ ïðè t
� íå åñòü à.ó.
Óñòîé÷èâîñòü ïî Ëÿïóíîâó — óñòîé÷èâîñòü ïî îòíîøåíèþ ê íà÷àëüíûì âîç-
ìóùåíèÿì, íî íà áåñêîíå÷íîì îòðåçêå âðåìåíè, ýòèì îíà îòëè÷àåòñÿ îò òåîðèè çà-
âèñèìîñòè ðåøåíèé îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé. Òàêèì îáðàçîì, çäåñü ïðåäïîëàãàåòñÿ,
÷òî ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü âîçìóùåííîãî ïðîöåññà (1) îñòàåòñÿ òîæäåñòâåííîé ñà-
ìîé ñåáå ïðè ëþáîì t T� , ÷òî, êîíå÷íî, ïðîáëåìàòè÷íî.
Àñèìïòîòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü — ñàìûé âàæíûé âèä óñòîé÷èâîñòè, òàê êàê
îíà ñîõðàíÿåò ýòè ñâîéñòâà ä.ñ. è ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ ïîñòîÿííî äåéñòâóþùèõ
âîçìóùåíèÿõ ïðè ëþáîì t .
Èòàê, ïóñòü ä.ñ. çàïèñàíà â âèäå
� ( )x X x� , x X R n, � , (2)
ãäå X ( )0 0� , ò.å. x � 0 — ñòàöèîíàðíîå òðèâèàëüíîå ðåøåíèå, êîòîðîìó ñîîòâåò-
ñòâóåò â èñõîäíîé íåâîçìóùåííîé ñèñòåìå íåêîòîðîå ÷àñòíîå ðåøåíèå.
Ïóñòü ðåøåíèå x � 0 à.ó. äëÿ âñåõ íà÷àëüíûõ âîçìóùåíèé x èç îêðåñòíîñòè
íóëÿ� � R n . Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ âñåãäà ñóùåñòâóåò ôË �( )x òàêàÿ, ÷òî: à) �( )x �0,
ïðè || ||x � 0 è �( )0 0� ; á) ñóùåñòâóåò òàêàÿ çíàêîîïðåäåëåííàÿ ôóíêöèÿ w x( ) , çíà-
êoïðîòèâîïîëîæíàÿ ôóíêöèè � : ( )w x � 0 ïðè || ||x � 0, w( )0 0� , è ïðè ýòîì
� �
�
x
X w . (3)
Óðàâíåíèå (3) ëèíåéíîå â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïåðâîãî ïîðÿäêà, êîòîðîå ñóùåñ-
òâåííûì îáðàçîì ñîäåðæèò îñîáóþ òî÷êó x � 0, ñëåäîâàòåëüíî, èçâåñòíàÿ òåîðåìà
Ñ. Êîâàëåâñêîé çäåñü íåïðèìåíèìà. Îñíîâíîé ìåòîä ðåøåíèÿ óðàâíåíèé òàêîãî òèïà
ñîñòîèò â ïîèñêå õàðàêòåðèñòèêè ä.ñ. (2) è íà íèõ ñòðîÿòñÿ ðåøåíèÿ (3). Îäíàêî â
çàäà÷àõ óñòîé÷èâîñòè íåêîððåêòíî èñïîëüçîâàòü õàðàêòåðèñòèêè ä.ñ., îíè ïðîñòî íå-
èçâåñòíû. Èññëåäîâàòåëè ïîøëè, âîîáùå ãîâîðÿ, ïî ïóòè ïîäáîðà ïàðû ( , )� w , óäîâ-
ëåòâîðÿþùåé íåêîòîðîé òåîðåìå òèïà òåîðåìû Ëÿïóíîâà. Â ýòîì íàïðàâëåíèè ðåøå-
íî ìíîãî âàæíûõ ïðèêëàäíûõ çàäà÷. Îäíàêî âñå îíè äîñòàòî÷íû; êðîìå òîãî, ÷àñòî
òàê ïîñòðîåííûå ôË âûäåëÿþò âåñüìà ìàëóþ îáëàñòü íà÷àëüíûõ âîçìóùåíèé � , ÷òî
íå «óñòðàèâàåò» ïðèêëàäíóþ ñòîðîíó ðåøàåìîé çàäà÷è.
Êðîìå òîãî, â çàäà÷å îïòèìàëüíîãî ñèíòåçà î÷åíü âàæíî èìåòü îáùåå ðåøåíèå
óðàâíåíèÿ (2). Ýòî ïîñëåäíåå ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ïîëíûì èíòåãðàëîì óðàâíå-
íèÿ Ãàìèëüòîíà–ßêîáè
�
�
S
t
S
x
X 0, (4)
ãäå S — ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ [7]. Áóäåì èñêàòü åå äëÿ ñòàöèîíàðíîé ñèñòåìû
� ( ),
� ,
x X x
X
x
�
� �
� �
(5)
â âèäå
S e xt� � �( ) , (6)
ãäå � — íåêîòîðîå ïîêà íåîïðåäåëåííîå ÷èñëî, à ôóíêöèÿ � èùåòñÿ èç óðàâíåíèÿ
� �
�
��
x
X . (7)
Óðàâíåíèå (7) ëåãêî ïîëó÷èòü, åñëè ïîäñòàâèòü â (4) çíà÷åíèå S èç (6).
112 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 1
Êàê èçâåñòíî, äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïîëíîãî èíòåãðàëà óðàâíåíèÿ (4) íóæíî ôóíê-
öèþ Ãàìèëüòîíà H X i i
i
n
�
�
� �
1
, çàïèñàííóþ â ïåðåìåííûõ { }x, � , � � �� ( , , )1 � n ,
ïðåîáðàçîâàòü (êàíîíè÷åñêè) â ôóíêöèþ �H , ãäå îíà çàâèñåëà áû òîëüêî îò êîîðäè-
íàò, îáîçíà÷èì èõ q q qn� ( , , )1 � , è íå çàâèñåëà áû îò èìïóëüñîâ p p pn� ( , , )1 �
[7, c. 224].
Òåîðåìà ßêîáè. Åñëè íàéäåíî ðåøåíèå S q x( , ) óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà–ßêîáè
H
S q x
x
x t H q
�
�
�
�
�
� � �
( , )
, , ( ) , (8)
çàâèñÿùåå îò n ïàðàìåòðîâ qi è òàêîå, ÷òî det
2
�
S
q x
0, òî êàíîíè÷åñêîå óðàâíåíèå
� , ��
�
� �
�
H
x
x
H
, (5')
ðåøàåòñÿ ÿâíî â êâàäðàòóðàõ. Ïðè ýòîì ôóíêöèè q xi ( , )� , îïðåäåëåííûå óðàâíå-
íèÿìè
�
S q x
x
( , )
�, ÿâëÿþòñÿ è ïåðâûìè èíòåãðàëàìè.
Ïîñêîëüêó H x H q( , ) ( )� � � , òî â íîâûõ ïåðåìåííûõ óðàâíåíèÿ (5') èìåþò âèä
�q � 0, �p
H
q
�
�
, (9)
îòêóäà íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò òåîðåìà ßêîáè.
«Òåîðåìà ßêîáè ñâîäèò ðåøåíèå ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé (5) ê îòûñêàíèþ ïîëíîãî èíòåãðàëà óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîä-
íûõ (8). Ìîæåò ïîêàçàòüñÿ óäèâèòåëüíûì, ÷òî òàêîå ñâåäåíèå áîëåå ïðîñòîãî ê áî-
ëåå ñëîæíîìó äîñòàâëÿåò ýôôåêòèâíûé ìåòîä ðåøåíèÿ êîíêðåòíûõ çàäà÷. Ìåæäó
òåì, îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ýòî ñàìûé ñèëüíûé èç ñóùåñòâóþùèõ ìåòîäîâ òî÷íîãî èí-
òåãðèðîâàíèÿ, è ìíîãèå çàäà÷è âîîáùå íå ïîääàþòñÿ ðåøåíèþ äðóãèìè ìåòîäàìè»
(ñì. [7, ñ. 225]).
Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ñèíòåçà îïòèìàëüíûõ ñèñòåì óïðàâëåíèÿ, äëÿ çàäà÷ èãðû
ñáëèæåíèÿ–óêëîíåíèÿ â ïîçèöèîííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ èãðàõ [8, § 24], çàäà÷
òðàíñïîðòèðîâêè ïó÷êîâ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö [9] íåîáõîäèìî ðåøàòü óðàâíåíèå
âèäà (7). Äëÿ ýòîé öåëè âîñïîëüçóåìñÿ îñíîâíûì ïðèíöèïîì àíàëèçà, ò.å. ëèíåàðè-
çàöèåé.
ÄÈÑÑÈÏÀÒÈÂÍÛÅ ÑÈÑÒÅÌÛ
Èçâåñòíî, ÷òî íåëèíåéíîå âåêòîðíîå ïîëå X x( ) ä.ñ. ïîðîæäàåò ëèíåéíûé äèôôå-
ðåíöèàëüíûé îïåðàòîð L ïî çàêîíó
L f X
f
x
�
, (10)
ãäå f x( ) — ôóíêöèè, èìåþùèå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå
�
�
�
�
�
� �
f
xi i
n
1
ïî âñåì êîìïî-
íåíòàì âåêòîðà x.
Ïóñòü âåêòîðíîå ïîëå X òàêîå, ÷òî x � 0 à.ó. è íåêîòîðàÿ åãî îêðåñòíîñòü � —
îáëàñòü ïðèòÿæåíèÿ, à � � ��
— êîìïàêò ñ ãðàíèöåé
� . Ïîñëåäíÿÿ, êàê èç-
âåñòíî, ñîñòîèò èç öåëûõ òðàåêòîðèé. Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ãèëüáåðòîâî ôóíêöè-
îíàëüíîå ïðîñòðàíñòâî L2 ( )� íà êîìïàêòå � ñ îáû÷íîé ìåðîé Ëåáåãà. Ñêàëÿðíîå
ïðîèçâåäåíèå â ýòîì ïðîñòðàíñòâå çàäàäèì òàê: ( , )f g f g dx� !
�
, ïðè ýòîì
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 1 113
f L� 2 ( )� òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà || ||
_
f f f dx2 � � �
�
!
�
. Åñëè D L( ) — îáëàñòü
îïðåäåëåíèÿ îïåðàòîðà L , òî ìíîæåñòâî ôóíêöèé { }f L D L� "2 ( ) ( )� ïëîòíî â
L2 ( )� è åãî ìîæíî çàìêíóòü âî ââåäåííîé ìåòðèêå || ||� . Ðàññìîòðåííûé îïåðà-
òîð L ñòàíîâèòñÿ çàìêíóòûì. Îñòàâèì çà íèì òî æå îáîçíà÷åíèå è ââåäåì ìåò-
ðèêó
[ , ] ( , ) ( , )f f L f f f L f� � . (11)
 ìåòðèêå [ , ]� � îïåðàòîð L çàìêíóòûé ñàìîñîïðÿæåííûé. Åñëè x � 0 à.ó. è � —
îáëàñòü ïðèòÿæåíèÿ, òî îïåðàòîð L äèññèïàòèâåí [10], ò.å.
[ , ]f f 0. (12)
Äëÿ ëèíåéíûõ êîíå÷íîìåðíûõ ñòàöèîíàðíûõ ñèñòåì
�x Ax� , x R n� .
À.Ì. Ëÿïóíîâ äîêàçàë èçâåñòíóþ òåîðåìó, êîòîðóþ ïðî÷èòàåì òàê.
Òåðåìà Ëÿïóíîâà. Åñëè ñïåêòð �( )A îïåðàòîðà A ëåæèò â ëåâîé ïîëóïëîñêîñ-
òè, òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ ìåòðèêà â R n , ââîäèìàÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííîé ìàò-
ðèöåé B , ÷òî îïåðàòîð A â ýòîé ìåòðèêå ñòàíîâèòñÿ äèññèïàòèâíûì. Ìàòðèöà B
îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðåøåíèå ìàòðè÷íîãî óðàâíåíèÿ BA A B C� � �T , ãäå C — ëþáàÿ
ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà.
Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî îïåðàòîðû L è A î÷åíü ðàçíûå, õîòÿ îáà ëèíåéíû, îêàçû-
âàåòñÿ, ÷òî ñâîéñòâî äèññèïàòèâíîñòè â âîïðîñàõ à.ó. ëèíåéíûõ êîíå÷íîìåðíûõ
îïåðàòîðîâ ïåðåíîñèòñÿ íà áåñêîíå÷íîìåðíûå íåîãðàíè÷åííûå îïåðàòîðû L . Íèæå
äîêàæåì ýòî óòâåðæäåíèå, ðåøàÿ óðàâíåíèå (7), â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî äèññèïàòèâ-
íûé îïåðàòîð — îïåðàòîð Ãèëüáåðòà–Øìèäòà.
Ïðîáëåìà ïîñòðîåíèÿ ôË êàê íåêîòîðîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Ëÿïóíîâà
L w� � (13)
îáúÿñíÿåòñÿ äîñòàòî÷íî ïðîñòî. Èñïîëüçóÿ (13), çàïèøåì äèôôåðåíöèàëüíîå
óðàâíåíèå
d t
dt
w t
�[ ]
[ ]� , (14)
ãäå ñêîáêè [ ]t îáîçíà÷àþò íà ðåøåíèÿõ ñèñòåìû (2). Îòñþäà ïîëó÷àåì
� [ ] ( )t w d
t
� !
0
. (15)
Âîçíèêàåò âîïðîñ, êàê, íå çíàÿ ðåøåíèé ñèñòåìû (2), çàêëþ÷èòü, èìååò ëè
óðàâíåíèå (15) ðåøåíèå � ïðè çàäàííîì w ?
Äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëîãî îòðåçêà âðåìåíè #t ýòî âñåãäà òàê, ÷òî î÷åâèäíî. Íî
ïðÿìîé ìåòîä Ëÿïóíîâà — ýòî óñòîé÷èâîñòü íà áåñêîíå÷íîì èíòåðâàëå âðåìåíè,
ò.å. íóæíî a priori óêàçàòü òàêèå êðèòåðèè îöåíêè w, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óñëîâèå
w d � �
�
!
0
. (16)
Òàêîãî óñëîâèÿ ïîêà íåò. Â ýòîì ñóòü ïðîáëåìû. Íèæå óñëîâèå (16) çàìåíèì
ðåøåíèÿìè ñïåöèàëüíî ïîñòðîåííîãî îäíîðîäíîãî èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ è, òà-
êèì îáðàçîì, áóäóò íàéäåíû ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (7) êàê ñîñòàâëÿþùàÿ ÷àñòü
ðåøåíèÿ S óðàâíåíèÿ (4).
114 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 1
Ïîñêîëüêó
dS
dt
� 0 è S e xt� � �( ), òî ïðè à.ó. x � 0 íà ðåøåíèÿõ x xt ( ) ôóíêöèÿ
�[ ]t äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ � �[ ]t e t� � . Ñëåäîâàòåëüíî, ïðîèçâîäÿùàÿ
ôóíêöèÿ S ìîæåò èìåòü ôîðìó ñîëèòîííûõ ðåøåíèé. Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì
äîñòàòî÷íî ïðîñòóþ äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó � sinx � �
,
� �� �[ , ] . Íåòðóäíî ïî-
êàçàòü, ÷òî
� 0 à.ó., êðîìå òîãî, tg
�
�
��
�
��
�
�
�� — ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ.
Íàéäåì ðåøåíèå ñîïðÿæåííîãî óðàâíåíèÿ � cos�
�� :
� �
�
�
�
�
�
!0 e dg
cos
sin
ïðè g
0. Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå S ñîñòîèò èç ëèíåéíîãî ýêñïîíåíöèàëüíîãî
íåóñòîé÷èâîãî ðåøåíèÿ è íåëèíåéíîãî à.ó.
S e
t�
��
�
��
�
�
��
� �
�
0 tg ,
íàéäåííîå ðåøåíèå îïèñûâàåò îñîáîå äâèæåíèå ìàÿòíèêà. Íà ôàçîâîì ïîðòðåòå
îíî ñîîòâåòñòâóåò ñåïàðàòðèñå, èäóùåé èç òî÷êè �� ïðè t � �� â òî÷êó � ïðè
t
�� .
ÎÏÅÐÀÒÎÐ ÃÈËÜÁÅÐÒÀ–ØÌÈÄÒÀ  ÎÁËÀÑÒÈ ÏÐÈÒßÆÅÍÈß
Èç íåîáõîäèìûõ è äîñòàòî÷íûõ óñëîâèé à.ó. ñëåäóåò, ÷òî â îáëàñòè ïðèòÿæåíèÿ
� òî÷êè x � 0 âñåãäà ñóùåñòâóåò ïàðà ôóíêöèé ( , )� w , óäîâëåòâîðÿþùèõ òåîðåìå
Ëÿïóíîâà îá àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. Ïðè ýòîì èìååò ìåñòî óñëîâèå
� �
�
!�( ) [ ]x w t dtx
0
, x�� . (17)
Ââåäåì íàä îáëàñòüþ � ïðîñòðàíñòâî Ãèëüáåðòà L2 ( )� ñ îáû÷íîé ìåðîé dx.
Åñëè g L( ) ( )� � 2 � , òî || || | |g g dx2 2� � �!
�
è ýëåìåíò g ïðåäñòàâèì îáîáùåí-
íûì ðÿäîì Ôóðüå c xk k
k
( )
�
�
�
0
, c g g dxk k k� � !( , )
�
, à
k , k � 0 1 2, , ,... , — íå-
êîòîðîå ïîëíîå ìíîæåñòâî îðòîíîðìèðîâàííûõ ôóíêöèé â L2 ( )� . Ôîðìóëà (17)
ââîäèò â L2 ( )� ôóíêöèîíàë l g( ) ïî çàêîíó
l g g t d tx x( ) [ ] [ ]�
�
!
0
, (18)
d t w x x dtt t
[ ] ( ( ))� .
Òàê êàê g tx[ ] ñóììèðóåì ïî ìîäóëþ, òî, ïî êðàéíåé ìåðå, íà ïëîòíîì ìíîæåñ-
òâå íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé â L2 ( )� çàäàí ëèíåéíûé íåïðåðûâíûé ôóíêöèîíàë.
Èñïîëüçóÿ òåîðåìó Áàíàõà î ðàñïðîñòðàíåíèè ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà, ìîæåì
ñ÷èòàòü, ÷òî îïåðàòîð l g( ) çàäàí íà âñåì ïðîñòðàíñòâå L2 ( )� .
Åñëè ðàññìîòðåòü â ìîìåíò âðåìåíè t � 0 ñðàçó âñå òî÷êè x�� , òî î÷åâèäíî,
÷òî òàêèå ôóíêöèîíàëû îáðàçóþò ëèíåéíûé îïåðàòîð, îáîçíà÷èì åãî R :
Rg c x d x g Lk k t� ��!
�
( ) ( ), ( )2
0
� . (19)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 1 115
Òåîðåìà 1. Îïåðàòîð R — îïåðàòîð Ãèëüáåðòà–Øìèäòà.
Ðàññìîòðåííûé âàðèàíò ýòîé òåîðåìû ïðèâåäåí â [11].
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîêàæåì, ÷òî â îáëàñòè ïðèòÿæåíèÿ� èìååò ìåñòî îöåíêà
| | ( ) ( ) ( ) |
,
/
Rg c c x x d x Ck r t
r
t
k
t
k r
�
�
$
�$
�
�
$
�$
�!
�
0
1 2
| || ( )g x� .
Äåéñòâèòåëüíî, N-ìåðíàÿ ìàòðèöà K KN rq
N� || ||
0
, k dtrq
r q�
�
!
0
, r q N, , , , ,� 0 1 2 � ,
êàê ìàòðèöà Ãðàìà, óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:
1) îíà ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ, ò.å. ( , )K C CN 1
0� , C c cN� ( , , )0 � ;
2) èç 1) ñëåäóåò ( ( ), ( )) | | ( , )K c g c g K C K CN N N� � �� 1;
3) ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ( ( ),K C g g C g g K C g C g K C g CN N N1 2 1 2 1 0 1 1 0� � � � ( ))g1 .
Óñëîâèÿ 1)–3) ïîêàçûâàþò, ÷òî êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà 1) â êàæäîì åâêëèäîâîì
N -ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå âûïóêëàÿ. Êðîìå òîãî, èç (18) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ êàæäîé g èç
L2 ( )� è êàæäîé òî÷êè x�� èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî
sup ( ) ( )K g N xN g � , (20)
ãäå N g — îãðàíè÷åííîå ÷èñëî, êîòîðîå ñóùåñòâóåò ñîãëàñíî òåîðåìå î ñðåäíåì,
äëÿ êàæäîé g xt ( ) . Ñîãëàñíî ïðèíöèïó ðàâíîìåðíîé îãðàíè÷åííîñòè ñóùåñòâóåò
òàêàÿ êîíñòàíòà C , ÷òî
K g C gN ( ) || || 2 . (21)
Ñëåäîâàòåëüíî, èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî
| | || || ( )Rg C g x 2 � . (22)
Òåïåðü, ÷òîáû äîêàçàòü, ÷òî R — îïåðàòîð Ãèëüáåðòà–Øìèäòà, âîñïîëüçóåìñÿ
òåîðåìîé Õàëìîøà–Ñàíäåðà, êîòîðàÿ óòâåðæäàåò [11, c. 136], ÷òî R áóäåò îïåðà-
òîðîì Ãèëüáåðòà–Øìèäòà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ S x( )
â L2 ( )� , 0 � �S x( ) , ÷òî äëÿ g L� 2 | | || || ( )Rg g S x ïî÷òè âñþäó.
Ôóíêöèÿ �( )x êàê ôóíêöèÿ Ëÿïóíîâà óäîâëåòâîðÿåò ýòîìó óñëîâèþ, ïîýòîìó
(22) êîððåêòíî è òåîðåìà äîêàçàíà.
Êàê èçâåñòíî, îïåðàòîð Ãèëüáåðòà–Øìèäòà çàäàåòñÿ íåêîòîðûì ñèììåòðè÷-
íûì èíòåãðàëüíûì ÿäðîì �( , )x y , êîòîðîå ìîæíî çàïèñàòü
�
� �( , ) ( ) ( ), ,x y x y x yk k
k
k� �� � . (23)
Òåïåðü
Rg x y g y dyk k
k
k
.
( ) ( ) ( )� �!
� �
�
,
ãäå
k — ñîáñòâåííûå ÷èñëà îïåðàòîðà R , à �k — åãî ñîáñòâåííûå ôóíêöèè.
Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
�
f
x
X gw (24)
ìîæíî «èñòîêîîáðàçíî» ïðåäñòàâèòü ÿäðîì (23), êîòîðîå èíäóöèðóåòñÿ ôóíêöè-
åé w , ñîîòíîøåíèåì
f x x y g y dy x( ) ( , ) ( ) ,� �! � �
�
. (25)
Ïîñêîëüêó ïðàâàÿ ÷àñòü (25) óäîâëåòâîðÿåò (24), òî f x( ) — íåïðåðûâíàÿ ôóíê-
öèÿ äëÿ g L� 2 , ïîýòîìó ÿäðî � íåïðåðûâíî è, êðîìå òîãî, èç ïðèíàäëåæíîñòè
116 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 1
ôóíêöèè L2 ( )� èìååì � �( ) ( , )x x y d y� !
�
, à òàê êàê ÿäðî ïîëîæèòåëüíî ïî x è èç
åãî ñèììåòðèè ñëåäóåò, ÷òî îïåðàòîð R ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûé è ñîãëàñíî
òåîðåìå Ìåðñåðà (ñì. [12, ñ. 145]) ñïåêòð �( )R óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
k
k
� �� .
Òàêèì îáðàçîì, îïåðàòîð R ÿäåðíûé è åãî ñóììà ðÿäà íå çàâèñèò îò âûáîðà
îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìû { }
k x( ) â L2 ( )� (ñì., íàïðèìåð, [12, ñ. 126]). Âûáå-
ðåì
k , k � 0 1 2, , , ,� òàê, ÷òîáû îíè èìåëè ïðîèçâîäíûå â ñèëó ä.ñ. (âåêòîðíîãî
ïîëÿ) ïî âñåì êîîðäèíàòàì ( , , )x xn1 � , òîãäà, ïîäñòàâëÿÿ
k âìåñòî �
k
â ðÿä (23),
è, äèôôåðåíöèðóÿ ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè óðàâíåíèÿ (25), â ñèëó ïîëÿ X ïðèõîäèì
ê óðàâíåíèþ
g x y g y dyk k k
k
� � �!�
0 � ( ) ( ) ( )
�
, (26)
ãäå g gw� ��0 è �0 — íåêîòîðàÿ çàäàííàÿ ôóíêöèÿ, ( , )g �0 0� , �
k
k
x
X�
,
k �1 2, ,� .
Óðàâíåíèå (26) ëåãêî ðàçðåøèìî èçâåñòíûìè ñïîñîáàìè [13]. Îêàçûâàåòñÿ,
÷òî
k , k �1 2, ,� , — ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû K K K0 � � T , K K ij� || || ,
K dxij i j� !
�
�
. Ýòè ðàññóæäåíèÿ ðåçþìèðóåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 2. Â îáëàñòè ïðèòÿæåíèÿ� îïåðàòîð L äèññèïàòèâíûé â ìåòðèêå, ïî-
ðîæäàåìîé îïåðàòîðîì R .
Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî �( )*LR RL� � 0, åñëè� —
îáëàñòü ïðèòÿæåíèÿ òî÷êè x � 0.
ÇÀÄÀ×È ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÉ ÑÒÀÁÈËÈÇÀÖÈÈ
 çàäà÷àõ óïðàâëåíèÿ äèíàìè÷åñêèìè ñèñòåìàìè îñîáóþ ðîëü èãðàþò ïàðàìåò-
ðû, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ óïðàâëÿþò ñèñòåìîé. Îíè íàçûâàþòñÿ óïðàâëÿþùèìè è
òðàäèöèîííî èõ îáîçíà÷àþò u u u um� ( , , , )1 2 � , ãäå m n . Îíè ïðèíàäëåæàò íå-
êîòîðîé äîïóñòèìîé îáëàñòè U , êîòîðàÿ îãðàíè÷èâàåò ðåñóðñ óïðàâëåíèÿ: u U� .
Òàêèì îáðàçîì, äèíàìè÷åñêàÿ óïðàâëÿåìàÿ ñèñòåìà èìååò ñòàíäàðòíûé âèä
� ( , )x X x u� , x R n� , u U R m� � , (27)
ãäå ïðàâàÿ ÷àñòü òàêàÿ, ÷òî óäîâëåòâîðÿþòñÿ íåêîòîðûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ
è åäèíñòâåííîñòè ïðè íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ: t0 0� , x R n� �� 0 .
 çàäà÷àõ ñèíòåçà ÷àñòî âîçíèêàåò çàäà÷à îïòèìàëüíîé ñòàáèëèçàöèè. Òðåáóåò-
ñÿ íàéòè è òàêèå óïðàâëÿþùèå âîçäåéñòâèÿ u u um
0
1
0 0� ( ,... , ) , êîòîðûå îáåñïå÷èâà-
ëè áû àñèìòîòè÷åñêóþ óñòîé÷èâîñòü íåâîçìóùåííîãî ïðîãðàììíîãî äâèæåíèÿ â
ñèëó óðàâíåíèé (27). Äëÿ çàäàííîãî êðèòåðèÿ êà÷åñòâà I , êîòîðûé õàðàêòåðèçóåò
êà÷åñòâî óïðàâëåíèÿ, âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå ìèíèìóìà I u I u( ) ( )0 . Óäîáíî çàäà-
âàòü I íà ðåøåíèÿõ xt â âèäå íåêîòîðîãî èíòåãðàëà
I x t u t dt�
�
! ( [ ], [ ])
0
. (28)
Îñíîâíîé ðåçóëüòàò â ýòîì íàïðàâëåíèè ñôîðìóëèðîâàí â [1–3] è ñîñòîèò â
ñëåäóþùåì:
1) ôóíêöèÿ �( , ( ))x u x0 ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ;
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 1 117
2) ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
L
x
X�
�� ; (29)
3) äëÿ âñåõ u u� 0 , íî ïðèíàäëåæàùèõ U , L� �� � 0.
Ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è î÷åâèäíûì îáðàçîì òåïåðü ñâåëîñü ê ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ
Ãàìèëüòîíà–ßêîáè
�
�
�
x
X x u x u( , ) ( , ) , ïðè óñëîâèÿõ �( )0 0� , � �( , ) ( , )x u x u0 ,
u U� ; ÷òî, â ñâîþ î÷åðåäü, ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ñîîòâåòñòâóþùèõ (ñì. âûøå) èí-
òåãðàëüíûõ óðàâíåíèé Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà. Ïðè ýòîì ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî
ïîëó÷åííûå ðåøåíèÿ óäîâëåòâîðÿþò íå òîëüêî äîñòàòî÷íûì, íî è íåîáõîäèìûì
óñëîâèÿì, òàê êàê ïîñòðîåííîå òàêèì îáðàçîì óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà–ßêîáà áóäåò
îáîáùåííûì â ñìûñëå Êëàðêà [14].
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ë ÿ ï ó í î â À . Ì . Îáùàÿ çàäà÷à îá óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ. — Õàðüêîâ: Ìàòåìàòè÷åñêîå îáùåñòâî
Õàðüêîâà, 1892.
2. À í à ï î ë ü ñ ê è é Ë . Þ . , È ð ò å ã î â Â . Ä . , Ì à ò ð î ñ î â Â . Ì . Ñïîñîáû ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè
Ëÿïóíîâà. — Ì.: Èòîãè íàóêè è òåõíèêè. — 1975. — Ò. 2. — Ñ. 53–111.
3. Ë å ò î â À . Ì . Àíàëèòè÷åñêîå êîíñòðóèðîâàíèå ðåãóëÿòîðîâ // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. —
1960. — 21, ¹ 4. — Ñ. 436–441; ¹ 5. — Ñ. 561–568; ¹ 6. — Ñ. 661–665; 1961. — 22, ¹ 4. —
Ñ. 425–435; 1962. — 23, ¹ 11. — Ñ. 1405–1413.
4. Ã à ë ü ï å ð è í Å . Í . , Ê ð à ñ î â ñ ê è é Í . Í . Î ñòàáèëèçàöèè óñòàíîâèâøèõñÿ äâèæåíèé íåëèíåé-
íûõ óïðàâëÿåìûõ ñèñòåì // ÏÌÌ. — 1963. — 27, âûï. 6. — Ñ. 988–1004..
5. Ç ó á î â  . È . Ê òåîðèè àíàëèòè÷åñêîãî ïîñòðîåíèÿ ðåãóëÿòîðîâ // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. —
1963. — 24, ¹ 8. — Ñ. 1037–1041.
6. Ç ó á î â  . È . Óñòîé÷èâîñòü äâèæåíèÿ. — Ì.: Âûñø. øê., 1973. — 271 ñ.
7. À ð í î ë ü ä  . È . Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè. — Ì.: Íàóêà, 1974. — 431 ñ.
8. Ê ð à ñ î â ñ ê è é Í . Í . , Ñ ó á á î ò è í À . È . Ïîçèöèîííûå äèôôåðåíöèàëüíûå èãðû. — Ì.: Íàóêà,
1974. — 456 ñ.
9. P a r s a Z . , Z a d o r o z h n y V . Mathematical methods of optimization for charged particle beams //
J. Nonlinear Studies. — 2007. — 14, N 4. — P. 319–325.
10. Ç à ä î ð î æ í û é  . Ô . Óïðàâëÿåìûå äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû è îïåðàòîð Êàðëåìàíà // Êèáåðíåòèêà
è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2008. — ¹ 5. — Ñ. 54–61.
11. Õ à ë ì î ø Ï . , Ñ à í ä å ð  . Îãðàíè÷åííûå èíòåãðàëüíûå îïåðàòîðû â ïðîñòðàíñòâàõ L2. — Ì.:
Íàóêà, 1985. — 154 ñ.
12. Ã î õ á å ð ã È . Ö . , Ê ð å é í Ì . Ã . Ââåäåíèå â òåîðèþ ëèíåéíûõ íåñàìîñîïðÿæåííûõ îïåðàòîðîâ.
— Ì.: Íàóêà, 1965. — 448 ñ.
13. Ð è ñ ñ Ô . , Ñ å ê å ô à ë ü â è - Í à ä ü Á . Ëåêöèè ïî ôóíêöèîíàëüíîìó àíàëèçó. — Ì.: Èçä-âî èíîñòð.
ëèò., 1954. — 499 ñ.
14. Ê ë à ð ê Ô . Îïòèìèçàöèÿ è íåãëàäêèé àíàëèç. — Ì.: Íàóêà, 1968. — 280 ñ.
Ïîñòóïèëà 14.05.2009
118 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-45131 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:14:06Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Задорожный, В.Ф. 2013-06-07T19:40:42Z 2013-06-07T19:40:42Z 2010 Проблема Ляпунова и синтез оптимальных систем управления / В.Ф. Задорожный // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 1. — С. 111–118. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45131 62-50 Прямий (перший) метод Ляпунова — ефективний спосіб аналізу та синтезу динамічних систем керування. Центральним місцем методу є побудова функції Ляпунова. Для нелінійної динамічної системи це проблематично. Розглянуто спосіб побудови функцій Ляпунова як розв’язку рівняння Гамільтона–Якобі, яке зводиться до інтегрального рівняння типу Фредгольма. The direct (first) Lyapunov method is an efficient method for analysis and synthesis of dynamic control systems. The construction of the Lyapunov function occupies the central place in this method, which is a challenge for nonlinear dynamical systems. A general mathematical scheme of construction of the Lyapunov function as a solution of the Hamilton-Jacoby equation is considered that is reduced to an equation of the type of the Fredholm equation. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Проблема Ляпунова и синтез оптимальных систем управления Проблема Ляпунова та синтез оптимальних систем керування Lyapunov problem and synthesis of optimum control systems Article published earlier |
| spellingShingle | Проблема Ляпунова и синтез оптимальных систем управления Задорожный, В.Ф. Системный анализ |
| title | Проблема Ляпунова и синтез оптимальных систем управления |
| title_alt | Проблема Ляпунова та синтез оптимальних систем керування Lyapunov problem and synthesis of optimum control systems |
| title_full | Проблема Ляпунова и синтез оптимальных систем управления |
| title_fullStr | Проблема Ляпунова и синтез оптимальных систем управления |
| title_full_unstemmed | Проблема Ляпунова и синтез оптимальных систем управления |
| title_short | Проблема Ляпунова и синтез оптимальных систем управления |
| title_sort | проблема ляпунова и синтез оптимальных систем управления |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45131 |
| work_keys_str_mv | AT zadorožnyivf problemalâpunovaisintezoptimalʹnyhsistemupravleniâ AT zadorožnyivf problemalâpunovatasintezoptimalʹnihsistemkeruvannâ AT zadorožnyivf lyapunovproblemandsynthesisofoptimumcontrolsystems |