Об одной задаче оптимального управления стохастическим полем
Досліджено задачу оптимального керування розв’язком стохастичного диференціального рівняння з дробовим вінерівським полем. Доведено відповідні леми та теорему. The problem of optimal control over the solution of a stochastic differential equation with a fractional Wiener sheet is investigated. The c...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45135 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об одной задаче оптимального управления стохастическим полем / Т.В. Пепеляева // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 1. — С. 157-162. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860264468580139008 |
|---|---|
| author | Пепеляева, Т.В. |
| author_facet | Пепеляева, Т.В. |
| citation_txt | Об одной задаче оптимального управления стохастическим полем / Т.В. Пепеляева // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 1. — С. 157-162. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Досліджено задачу оптимального керування розв’язком стохастичного диференціального рівняння з дробовим вінерівським полем. Доведено відповідні леми та теорему.
The problem of optimal control over the solution of a stochastic differential equation with a fractional Wiener sheet is investigated. The corresponding lemmas and theorem are proved.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:59:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.21
Ò.Â. ÏÅÏÅËßÅÂÀ
ÎÁ ÎÄÍÎÉ ÇÀÄÀ×Å ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÃÎ
ÓÏÐÀÂËÅÍÈß ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÈÌ ÏÎËÅÌ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñòîõàñòè÷åñêîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, äðîáíîå âèíå-
ðîâñêîå ïîëå, îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå.
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ðàññìàòðèâàåòñÿ ñòîõàñòè÷åñêîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå
ñ äðîáíûì âèíåðîâñêèì ïîëåì ñ ïàðàìåòðàìè Õàðñòà ( , ) ( , / ) ,H H � � 0 1 2 2 à òàêæå
çàäà÷à óïðàâëåíèÿ ðåøåíèåì òàêîãî óðàâíåíèÿ.  [1, 2] èññëåäîâàí äðîáíûé âè-
íåðîâñêèé ïðîöåññ ñ ïàðàìåòðîì Õàðñòà H � ( / , )1 2 1 è ñîîòâåòñòâóþùåå ñòîõàñ-
òè÷åñêîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå. Îäíàêî ïðè ðåøåíèè íåêîòîðûõ çàäà÷
ôèíàíñîâîé ìàòåìàòèêè äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ñòîõàñòè÷åñêèõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì
èñïîëüçóåòñÿ íå ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, à ïîëå.  äàííîé ñòàòüå íàéäåíû óñëîâèÿ ñó-
ùåñòâîâàíèÿ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ïîëÿìè. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìîãóò
ïðèìåíÿòüñÿ â ýêîíîìèêå, ãèäðîëîãèè, òåëåêîììóíèêàöèÿõ è äðóãèõ îáëàñòÿõ, ãäå
âîçíèêàþò çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñòîõàñòè÷åñêèìè äèíàìè÷åñêèìè ñèñ-
òåìàìè.
Ïóñòü ( , , )� � P — âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî, �z , z A� , A � [ , ]0 1 2 , — äâóïà-
ðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî �-ïîäàëãåáð �, ïðè÷åì � � �z z1
, åñëè z z1 � , ãäå âûðà-
æåíèå z z1 � îçíà÷àåò ïîêîîðäèíàòíîå íåðàâåíñòâî ìåæäó z t s1 1 1� ( , ) è z t s� ( , ).
Îáîçíà÷èì L2
20 1([ , ] ) ïðîñòðàíñòâî �z -èçìåðèìûõ ïîëåé � �� �{ }( , ), ( , )t s t s A ,
òàêèõ, ÷òî
0
1
2
0
1
�E dtdst s| ( ) |,� � .
Ïóñòü òàêæå L([ , ] )0 1 2 — ïðîñòðàíñòâî �z -èçìåðèìûõ ïîëåé � �� �{ }( , ), ( , )t s t s A ,
äëÿ êîòîðûõ ñïðàâåäëèâî
P E dtdst s| ( ) |,� � 2
0
1
0
1
1
�
�
�
��
�
�
�
��
� .
Äëÿ ôóíêöèé èç êëàññîâ L2
20 1([ , ] ) è L([ , ] )0 1 2 îïðåäåëåí ñòîõàñòè÷åñêèé
èíòåãðàë:
I E t s dW t s( ) | ( , ) | ( , )� ��
2
0
1
0
1
.
Èíòåãðàë I ( )� èìååò ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:
1) åñëè ��L2
20 1([ , ] ) , òî ïðîöåññ { }I t s At s, ( ), ( , )� � — êâàäðàòè÷íî èíòåãðè-
ðîâàííûé ìàðòèíãàë;
2) EI t s At s, ( ) , ( , )� � �0 , ��L2
20 1([ , ] );
3) EI E d dt s
st
, ( ) | ( , ) |2 2
00
� � � � � ��
� , ( , )t s A� , ��L2
20 1([ , ] ) .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 1 157
© Ò.Â. Ïåïåëÿåâà, 2010
Ïóñòü B z
H H',
— äðîáíîå âèíåðîâñêîå ïîëå ñ ïàðàìåòðàìè Õàðñòà
( , ) ( , / ) ,H H � � 0 1 2 2 ò.å. B z
H H',
— ãàóññîâñêîå ïîëå, ñ êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèåé
R z z E B BH H' z
H H'
z
H H'
,
, ,
( , ) ( , )� � �
�
� � � � � � � � � � �
1
4
2 2 2 2 2 2( | | ) ( | | )t t t t s s s sH H H H' H' H'
,
z t s z t s� � � � �( , ), ( , ) .
Çàìåòèì, ÷òî ïðè H H� � �1 2/ B z
H H',
— îáû÷íîå âèíåðîâñêîå ïîëå.
Ïóñòü ( , )C � — èçìåðèìîå ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ íà A ôóíêöèé f ñ ïîòî-
êîì �-àëãåáð � � �z f z z z�{ }( ),1 1 , � � ��{ }f z z A( ), .
Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå
� � �( , ) , , ,
( , )
,
t s a x y u dx dy B
st
t s
H H'
� � � 0
00
( ) , ( , )t s A� , (1)
ãäå a — � z -èçìåðèìûé ôóíêöèîíàë, u A U:
~
� — óïðàâëåíèå, íå çàâèñÿùåå îò áó-
äóùåãî. Ïóñòü U — êëàññ âñåõ óïðàâëåíèé, äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóåò ðåøåíèå óðàâ-
íåíèÿ (1), � — íàèìåíüøàÿ �-àëãåáðà áîðåëåâñêèõ ïîäìíîæåñòâ èç A , � ~
U
— �-àë-
ãåáðà áîðåëåâñêèõ ïîäìíîæåñòâ èç
~
U , (
~
, )~U
U
� — ìåòðè÷åñêèé êîìïàêò.
Çàäà÷à îïòèìèçàöèè óïðàâëåíèÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (1) ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû
íàéòè óïðàâëåíèå u* â êëàññå äîïóñòèìûõ óïðàâëåíèé, ìèíèìèçèðóþùåå ñòîè-
ìîñòü óïðàâëåíèÿ F, êîòîðîå çàäàåòñÿ êàê
F u E f t s t s u t s t s dtdsu u( ) ( , , ( , ), , , ,�
0
1
0
1
� �( ( )) ,
ãäå f z u( , , )� — íåïðåðûâíàÿ íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ, ( , , )
~
z u A C U� � � � ,
� u z( ) — ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1), ñîîòâåòñòâóþùåå óïðàâëåíèþ u u z zu� ( , ( ))� .
Ïóñòü Z F u
u U
�
�
inf ( ). Âåëè÷èíó Z íàçîâåì îïòèìàëüíîé ñòîèìîñòüþ óïðàâëåíèÿ
â êëàññå U . Óïðàâëåíèå � íàçûâàåòñÿ îïòèìàëüíûì â U, åñëè ñòîèìîñòü F u( ) ïðè
u � � äîñòèãàåò ìèíèìóìà.
Íàéäåì óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ðåøåíèåì óðàâíå-
íèÿ (1).
Ñîãëàñíî [3] äðîáíîå âèíåðîâñêîå ïîëå B H H', äîïóñêàåò èíòåãðàëüíîå ïðåä-
ñòàâëåíèå
B K z z dWz
H H'
H H'
s
z
t
,
, ,� �
00
( ) ' ,
ãäå K z z K s s K t tH H' H H', ( , ) ( , ) ( , )� � � � , à K s sH ( , )� è K t tH' ( , )� çàäàíû â [2].
ßäðî K
H H',
îïðåäåëÿåò îïåðàòîð K
H H',
â L2
20 1([ , ] ) êàê
K h s t I t s I tH H'
H H' H H' H H' H
,
, / / / , / /( , ) � � � � � �2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2s hH'� / , h L� 2
20 1([ , ] ),
ãäå I f x y x u y f u dud
y
� � � �
� �
, ( , ) ,� � �� �
1 1 1
00
� �( ) ( )
( ) ( ) ( )
x
, � — ôóíêöèÿ Ýé-
ëåðà, � �, � 0, f L� ([ , ] )0 1 2 .
158 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 1
Îáðàòíûé îïåðàòîð K
H H',
�1 îïðåäåëÿåòñÿ êàê
K h t s t s D t s
H H'
H H' H H' H H'
,
/ / / , / /( , )� � � � � � ��1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2/ ,D hH H'
,
ãäå D f x y
x y
f u
x u y
y
� �
� �� �
, ,
,
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
�
� �
�
� � � �
1
1 1
2
0
� �
0
x
dud .
Ïóñòü a t s x u( , , , ) óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:
1) a t s x u( , , , ) — ����� ~
U
-èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ;
2) � �( , )t s A ôóíêöèÿ a t s x u( , , , ) ��� ~
U
-èçìåðèìà;
3) � �( , )t s A , x C� ôóíêöèÿ a t s x u( , , , ) íåïðåðûâíà íà
~
U;
4) � �( , )t s A , x C� ìíîæåñòâî a t s x U a t s x u u U( , , ,
~
) ( , , , ),
~
� �{ } âûïóêëî è çà-
ìêíóòî;
5) � �L 0 òàêîå, ÷òî | ( , , , ) | ( || || )a t s x u L x2 21� � ;
6) � �M 0 òàêîå, ÷òî
K a x u d d M x
st
�
�
�
!
"
#
#
� �1
00
2
21( )� � � �, , , ( || || ),
ãäå || ||x — íîðìà â C([ , ] )0 1 2 .
Âîïðîñ ñóùåñòâîâàíèÿ ñëàáîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1) èññëåäîâàí â ðàáîòå [3],
ãäå áûë ïîëó÷åí ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.
Òåîðåìà 1. Ïóñòü âûïîëíåíî óñëîâèå 5) äëÿ a t s x u( , , , ) . Òîãäà óðàâíåíèå (1)
èìååò ñëàáîå ðåøåíèå.
Ïðèìåíèì òåîðåìó Ãèðñàíîâà äëÿ äðîáíîãî âèíåðîâñêîãî ïîëÿ [3]. Îíà ôîð-
ìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Òåîðåìà 2. Ïóñòü ïîëå
� �{ }z z A, èìååò èíòåãðèðîâàííóþ òðàåêòîðèþ è
~ , ,
,
B B u dyz
H H'
z
H H'
z
y� �
[ ]0
.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
1)
[ , ]
/ , / ( ( ))
0
1 2 1 2 2
z
y
H H'
u d y I L A � � � ïî÷òè íàâåðíîå;
2) E� �1, ãäå
� �
�
�
�
�
�
!
"
# �
�
�
�
exp ( )
,
,,
K u dy z dW
H H'
z
y z
1
00 1 2
1
2
[ ][ ]
!
"
#
�
�
�
�
K u dy z dz
H H'
z
y,
,,
( )
1
0
2
0 1 2 [ ][ ]
.
Òîãäà
~ ,
B z
H H'
— �z -äðîáíîå âèíåðîâñêîå ïîëå c ïàðàìåòðàìè Õàðñòà ( , )H H �
ïî íîâîé âåðîÿòíîñòè
~
P, îïðåäåëåííîé êàê
dP
dP
~
� � .
Ïîëîæèì a t s x a t s x u t xu ( , , ) ( , , , ( , ))� , ( , ) [ , ]t s � 0 1 2 , x C� , u U�
~
.
Çàôèêñèðóåì âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî ( , , )� � P0 ñ âèíåðîâñêèì ïîëåì
W W Pz z� �( , , )0 .
Îïðåäåëèì ìíîæåñòâî D êàê
D a u Uu� �exp ( ),
,
,{ }�
0 0
1 1 ,
ãäå
� � � � �
0 0
1 1 1
000 1 2
,
,
,
[ , ]
( ) ( , , )a K a W d du H H'
st
u�
�
�
!
"
�
# �dW t s( , )
�
�
�
!
"
#
�
1
2
1
00
2
0 1 2
K a W d d dtds
H H' u
st
,
[ , ]
( , , )� � � � .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 1 159
Äîêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâî ïëîòíîñòåé D — ñëàáûé êîìïàêò â ïðîñòðàíñòâå
L1
20 1([ , ] ). Ïîêàæåì, ÷òî D — ðàâíîìåðíî èíòåãðèðîâàííîå è ñëàáî çàìêíóòîå ìíî-
æåñòâî â L1
20 1([ , ] ).
Ëåììà 1. Ñóùåñòâóåò êîíñòàíòà � * �1 òàêàÿ, ÷òî
sup exp ( )*
,
,
u U
uE a
�
� �0 0 0
1 1{ }� � .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì
exp ( ) exp ( , , )
,
,
,
{ }�� � � � � � �
0 0
1 1 1
00
a K a d du H H' u
st
�
�
�
�
!
"
#
#
�
�
�
��
[ , ]
( , )
0 1 2
dW t s
�
�
�
!
"
#
#
�
1
2
1
00
2
0 1 2
� � � � � �K a d d dtds
H H'
s
u
t
,
[ , ]
( , , )
�
�
�
��
�
�
�
�
!
"
#
#
�
exp ( , , ) (
,
[ , ]
� � � � � �K a d d dW t
H H' u
st
1
000 1 2
, )s �
�
�
��
�
�
�
!
"
#
#
�
1
2
1
00
2
0 1 2
K a d d dtds
H H'
s
u
t
,
[ , ]
( , , )� � � � � � �
�
�
�
!
"
#
#
�
1
2
1
00
2
0 1 2
K a d d dtds
H H' u
st
,
[ , ]
( , , )� � � � � � �
�
�
�
!
"
#
#
�
1
2
1
00
2
0 1 2
� � � � � �K a d d dtds
H H' u
st
,
[ , ]
( , , )
�
�
�
��
�
� �
� �
�
�
exp ( ) ( , )
,
,
,
� �
� �
� � � �
0 0
1 1
2
1
00
2
a K a d du H H' u
st !
"
#
#
�
�
��
�
�
�
��
�
2
0 1 2[ , ]
dtds
� �
�
�
�
�
�
exp ( ) ( | ( , ) | )
,
,� �
� �
0 0
1 1
2
0
1
0
1
2
2
1a M W t s dtdsu
�
�
�
�
��
.
Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî âûòåêàåò èç ñâîéñòâà 6) ôóíêöèîíàëà a.
Ïóñòü
� � � � �
t s t s H H'
st
u
y
W K a W d d, , ,
( , , )� �
�
�
!
"
#�
1
00 00
#
( , )y dyd . (2)
Èç ñîîòíîøåíèÿ (2), ñâîéñòâà 6) ôóíêöèîíàëà a è íåðàâåíñòâà Èåíñåíà ïîëó÷àåì
| | ( , , ), , ,
W K a W d dt s t s H H'
st
u
y
2
00 00
� �
�
�
�
� � � � �
1
!
"
#
#
�
�
!
"
#
#
�( , )y dyd
2
� �
�
�
!
�
2 22 2
00 00
| | ( , , ), ,
� � � � �
t s H H'
st
u
y
K a W d d
1
"
#
#
�
�
!
"
#
#
�( , )y dyd
2
160 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 1
� �
�
�
!
"
#
#
�
2 22 2 1
00
| | ( , , ) ( ,, ,
� � � � �
t s H H' u
y
K a W d d y )
�
�
!
"
#
#
�
2
00
st
dyd
� � 2 22 2 2
00
| | | |, ,
� � �� �t s
st
M W d d .
Ñîãëàñíî íåðàâåíñòâó Ãðîíóîëà–Áåëëìàíà èìååì
| | ( | | ) exp, ,W M Mt s t s
2 2 2 22 2� ��
�{ },
îòêóäà
E auexp ( ){ }�� �
�
�
�
�
�
� �E a M M Mu t sexp ( ) ( ( | | ) exp ),
[
� �
� �
�
�
2
2 2 2
0
2
1 2 2{ }
, ]1 2
�
�
�
�dtds
�
�
�
� � h E a M M du t s( ) exp ( ) ( ) exp | |
[ , ]
,� � � � � �
2 2
0 1
22
2
{ } tds
�
�
�
,
ãäå h M M M( ) exp exp�
� �
� ��
�
�
�
�
��
�
�
�
��
2
2 2
2
2 2{ } .
Ðàññìîòðèì ñòîõàñòè÷åñêîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå
d f t s u t s dtds dWz t s� � �� �( , , , ( , , )) , , ( , ) [ , ] [ , ]t s � �0 1 0 1 . (3)
Äëÿ óðàâíåíèÿ (3) ïëîòíîñòü �
( )
( )
00
t s
f
,
( ) îïðåäåëåíà â ðàáîòå [4] ñëåäóþùèì îáðàçîì:
�
( )
( )
( ) (
00
0
1
0
1
1
2
t s
f f t s W u dW t s f t s W u
,
( ) , , , ( , ) | , , ,� � ) |2
0
1
0
1
dtds , ( , ) [ , ] .t s � 0 1 2 (4)
 [4] äîêàçàíî, ÷òî E f
t s
exp ( )
,
{ }
( )
( )� �
00
1� äëÿ � � 0.
Äëÿ ôóíêöèè K a y d dy
H H' n
st
,
( )
�
1
00
� , , óñëîâèÿ 1)–5) âûïîëíåíû. Òîãäà
E a t s W E K au
t s
H H'
s
nexp ( ( , , )) exp
,
{ } (
( )
( )
,
� � �� � � �
00
1
0
, ,y W d dy
t
)
0
1
�
�
!
"
#
#
�
�
��
�
�
�
��
� .
Ïî òåîðåìå 2 äëÿ äðîáíûõ âèíåðîâñêèõ ïîëåé
� �P dw a P dwu( ) exp ( ) ( ){ }� � 0 .
Òîãäà
E a h E M M Wu t s0 0
2 2 22exp ( ) ( ) exp ( )exp | |,{ } { { } }�� � � � �� � . (5)
Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ôóíêöèÿ h( )� îãðàíè÷åíà â îêðåñòíîñòè òî÷êè � �1.
Âîçüìåì � �1, áëèçêîå ê 1, òîãäà ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå â ïðàâîé ÷àñòè íå-
ðàâåíñòâà (5) êîíå÷íî è E a Cu0 exp ( ){ }�� �
� , ãäå êîíñòàíòà C çàâèñèò ëèøü
îò � è M .
Ëåììà äîêàçàíà.
Äîêàæåì çàìêíóòîñòü ìíîæåñòâà D â ïðîñòðàíñòâå L1. Îïðåäåëèì ìíîæåñòâî
G ñëåäóþùèì îáðàçîì:
G a E an n� �{ }: exp ( )
,
,�
0 0
1 1 1 .
Ïðèâåäåì ôîðìóëèðîâêó ëåììû èç [4], êîòîðàÿ ïîíàäîáèòñÿ â äàëüíåéøåì.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 1 161
Ëåììà 2. Ïóñòü � n n$ �0 1 2, , ,� , — ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí
òàêèõ, ÷òî � �n � ïî âåðîÿòíîñòè ïðè n � � . Åñëè E E cn� �� � , òî
lim | |
n
nE
��
� �� � 0.
Ëåììà 3. Ïóñòü ìíîæåñòâî G çàìêíóòî â ñìûñëå ñõîäèìîñòè ïî âåðîÿòíîñòè.
Òîãäà ìíîæåñòâî D çàìêíóòî â L1.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ýëåìåíòîâ exp ( )
,
,�
0 0
1 1 a Dn � ñõî-
äèòñÿ ê ��L1 ïî âåðîÿòíîñòè. Èìååì E anexp { ( )}
,
,�
0 0
1 1 1� è E� �1, òîãäà ñîãëàñíî
ëåììå 2
lim |exp ( ) |
,
,
n
nE a
��
� �� �
0 0
1 1 0,
îòêóäà ñëåäóåò çàìêíóòîñòü ìíîæåñòâà D â ïðîñòðàíñòâå L1.
Ëåììà äîêàçàíà.
Ñëåäîâàòåëüíî, èç ëåìì 1 è 3 âûòåêàåò, ÷òî ìíîæåñòâî D ñëàáî êîìïàêòíî
â ïðîñòðàíñòâå L1. Ôóíêöèîíàë F u( ) íåïðåðûâåí. Òîãäà èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ
òåîðåìà.
Òåîðåìà 3. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1)–6) äëÿ ôóíêöèîíàëà a t s x u( , , , )
è ìíîæåñòâî G çàìêíóòî â ñìûñëå ñõîäèìîñòè ïî âåðîÿòíîñòè. Òîãäà ñóùåñòâóåò
óïðàâëåíèå u U% � òàêîå, ÷òî
F u F u
u U
( ) inf ( )%
�
� .
Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû âûòåêàåò èç òåîðåìû î òîì, ÷òî íåïðåðûâíàÿ íà
êîìïàêòå ôóíêöèÿ äîñòèãàåò ñâîåãî ìèíèìóìà íà êîìïàêòå.
Äàííàÿ òåîðåìà äàåò óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ïîëÿ-
ìè, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò ñòîõàñòè÷åñêèì óðàâíåíèÿì ñ äðîáíûì âèíåðîâñêèì
ïîëåì.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ä å ð è å â à Å . Í . , Ï å ï å ë ÿ å â à Ò .  . Îá îäíîé çàäà÷å óïðàâëåíèÿ ñëó÷àéíûìè ïðîöåññàìè // Êè-
áåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2004. — ¹ 1. — Ñ. 116–121.
2. Ï å ï å ë ÿ å â à Ò .  . Îá îäíîé çàäà÷å óïðàâëåíèÿ ñòîõàñòè÷åñêîé ñèñòåìîé íà ôèíàíñîâîì ðûíêå //
Òåîðèÿ îïòèìàëüíûõ ðåøåíèé. — 2004. — ¹ 3. — Ñ. 133–141.
3. E r r a o u i M . , N u a l a r t D . , O u k n i n e Y o . Hyperbolic stochastic partial differential equation with
additive fractional brownian sheet. — Barcelona, 2002. — 19 p. — (Math. Prepr. Ser.; N 307).
4. Ê í î ï î â Ï . Ñ . Îïòèìàëüíûå îöåíêè ïàðàìåòðîâ ñòîõàñòè÷åñêèõ ñèñòåì. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1981.
— 151 ñ.
Ïîñòóïèëà 15.09.2009
162 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-45135 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:59:02Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Пепеляева, Т.В. 2013-06-07T19:51:46Z 2013-06-07T19:51:46Z 2010 Об одной задаче оптимального управления стохастическим полем / Т.В. Пепеляева // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 1. — С. 157-162. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45135 519.21 Досліджено задачу оптимального керування розв’язком стохастичного диференціального рівняння з дробовим вінерівським полем. Доведено відповідні леми та теорему. The problem of optimal control over the solution of a stochastic differential equation with a fractional Wiener sheet is investigated. The corresponding lemmas and theorem are proved. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Об одной задаче оптимального управления стохастическим полем Про одну задачу оптимального керування стохастичним полем A problem of optimal control of a stochastic sheet Article published earlier |
| spellingShingle | Об одной задаче оптимального управления стохастическим полем Пепеляева, Т.В. Системный анализ |
| title | Об одной задаче оптимального управления стохастическим полем |
| title_alt | Про одну задачу оптимального керування стохастичним полем A problem of optimal control of a stochastic sheet |
| title_full | Об одной задаче оптимального управления стохастическим полем |
| title_fullStr | Об одной задаче оптимального управления стохастическим полем |
| title_full_unstemmed | Об одной задаче оптимального управления стохастическим полем |
| title_short | Об одной задаче оптимального управления стохастическим полем |
| title_sort | об одной задаче оптимального управления стохастическим полем |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45135 |
| work_keys_str_mv | AT pepelâevatv obodnoizadačeoptimalʹnogoupravleniâstohastičeskimpolem AT pepelâevatv proodnuzadačuoptimalʹnogokeruvannâstohastičnimpolem AT pepelâevatv aproblemofoptimalcontrolofastochasticsheet |