Условия единственности решения неоднородной системы нелинейных случайных уравнений над полем GF(3)

Розглянуто неоднорідну сумісну систему нелінійних випадкових рівнянь другого порядку над полем із трьох елементів. Знайдено необхідну і достатню умову, при якій вказана система рівнянь має єдиний розв’язок в заданій множині n-вимірних векторів при n → ∞ An inhomogeneous simultaneous system of second...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Кибернетика и системный анализ
Date:	2010
Main Authors:	Масол, В.И., Ромашова, Л.А.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2010
Subjects:	Кибернетика
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45141
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Условия единственности решения неоднородной системы нелинейных случайных уравнений над полем GF(3) / В.И. Масол, Л.А. Ромашова // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 2. — С. 23-36. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860084051166101504
author	Масол, В.И. Ромашова, Л.А.
author_facet	Масол, В.И. Ромашова, Л.А.
citation_txt	Условия единственности решения неоднородной системы нелинейных случайных уравнений над полем GF(3) / В.И. Масол, Л.А. Ромашова // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 2. — С. 23-36. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Кибернетика и системный анализ
description	Розглянуто неоднорідну сумісну систему нелінійних випадкових рівнянь другого порядку над полем із трьох елементів. Знайдено необхідну і достатню умову, при якій вказана система рівнянь має єдиний розв’язок в заданій множині n-вимірних векторів при n → ∞ An inhomogeneous simultaneous system of second-order nonlinear random equations over a field consisting of three elements is considered. A necessary and sufficient condition for the system to have a unique solution in a given set of n-dimensional vectors for n n → ∞
first_indexed	2025-12-07T17:18:23Z
format	Article
fulltext	ÓÄÊ 519.2 Â.È. ÌÀÑÎË, Ë.À. ÐÎÌÀØÎÂÀ ÓÑËÎÂÈß ÅÄÈÍÑÒÂÅÍÍÎÑÒÈ ÐÅØÅÍÈß ÍÅÎÄÍÎÐÎÄÍÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ ÑËÓ×ÀÉÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÍÀÄ ÏÎËÅÌ GF( )3 Êëþ÷åâûå ñëîâà: íåëèíåéíàÿ ñèñòåìà, ñëó÷àéíûå êîýôôèöèåíòû, ïîëå èç òðåõ ýëåìåíòîâ, åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ. 1. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È. ÔÎÐÌÓËÈÐÎÂÊÀ ÒÅÎÐÅÌÛ Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé íàä ïîëåì GF ( )3 : � � � � � � 3 1 1 2 1 2 1 2 j j n j j j ja x x b J( ) ( ) , ,� � � (1) ãäå J T T� �{ }1 2 1, , , ,� , � 3 — ñèìâîë ñóììèðîâàíèÿ â ïîëå GF ( )3 , óäîëåòâî- ðÿþùóþ óñëîâèþ (À). Óñëîâèå (À): 1) êîýôôèöèåíòû a j j1 2 ( )� , 1 1 2� � �j j n, ��J , — íåçàâèñèìûå ñëó- ÷àéíûå âåëè÷èíû, ïðèíèìàþùèå çíà÷åíèå a ñ âåðîÿòíîñòüþ P a a p j j { } 1 2 ( )� �� , a GF� ( )3 , a � 0, è çíà÷åíèå 0�GF ( )3 ñ âåðîÿòíîñòüþ P a p j j { } 1 2 1 2( )� �� 0 ; 2) ýëåìåíòû b ( )� , ��J , ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ðåçóëüòàò ïîäñòàíîâêè â ëåâóþ ÷àñòü ñèñòåìû (1) ôèêñèðîâàííîãî âåêòîðà x Vn ( )0 � , x x xn ( ) ( ) ( )( , , )0 1 0 0� � , èìåþ- ùåãî � �1 2( ) / ( ) /n n êîìïîíåíò, ðàâíûõ 1 1 2 2, � �GF GF( ) / , ( ) /3 3 , è n n n � �1 2( ) ( ) êîìïîíåíò, ðàâíûõ 0, 0�GF ( )3 , ãäå Vn — ñîâîêóïíîñòü âñåõ n-ìåðíûõ âåêòîðîâ íàä ïîëåì GF ( )3 . Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà x Vn� îáîçíà÷èì i t t( , )1 2 êîëè÷åñòâî êîìïîíåíò, ðàâíûõ t1, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò êîìïîíåíòû âåêòîðà x ( )0 , ðàâíûå t2 , ãäå t t GF i t t n1 2 1 23 0, ( ), ( , )� � � . Ïóñòü M x f n( , ( ))( )0 — cîâîêóïíîñòü âñåõ âåêòîðîâ x Vn� , îòëè÷àþùèõñÿ îò x ( )0 è óäîëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ i i f n( , ) ( , ) ( ),1 1 2 2 � (2) ãäå f n( ) — öåëîå íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî. Îáîçíà÷èì �n ÷èñëî ðåøåíèé ñèñòåìû (1), ïðèíàäëåæàùèõ ìíîæåñòâó M x f n( , ( ))( )0 . Âûçûâàåò èíòåðåñ íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ âåðîÿò- íîñòü ñîáûòèÿ �n � 0 ñòðåìèòñÿ ê 0 ïðè n � . Â [1] ïðèâåäåí îäèí èç âîçìîæíûõ âàðèàíòîâ óêàçàííûõ óñëîâèé äëÿ îäíîðîä- íîé íåëèíåéíîé ñèñòåìû. Âîïðîñ î ðàñïðåäåëåíèè ÷èñëà ðåøåíèé ñëó÷àéíîé ëè- íåéíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé íàä ïîëåì GF ( )3 ðàññìàòðèâàëñÿ â ðàáîòàõ [2–5]. Òåîðåìà. Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (À), (2) è f n o n n( ) ( ( )), ,� � � (3) ãäå � � �( ) ( ) ( )n n n� 1 2 ; p T� �� , , (4) ãäå � �� ( )n è ïðè n � En�� , En � òàê, ÷òî lim (min ( ( ); ) ( ) ( ) ) n nn n E n � � � � �� ln 3 2 (5) äëÿ ïðîèçâîëüíîãî �, ãäå � �const, 0 10� � �� , �( )u � 0 , u � 0 ; ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 23 © Â.È. Ìàñîë, Ë.À. Ðîìàøîâà, 2010 ( )( ) ( ) ,( )n A n nn f n � � 2 3 2� �ln ln , (6) ãäå � � � � max( , ), ,e A nn 3 12� . Òîãäà óñëîâèå T n An� (7) ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì äëÿ òîãî, ÷òîáû âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ �n � 0 óäîëåòâîðÿëà ñîîòíîøåíèþ P o nn{ }� � � � 0 1( ), . (8) Çàìå÷àíèå 1. Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî óñëîâèå (6) ñëåäóåò èç ñîîòíîøåíèÿ f n( ) , � 1596 1ln � . (9) Çàìå÷àíèå 2. Åñëè E nn Qn� 1 , ãäå Qn � , n � , è ïðè ýòîì âûïîëíÿåòñÿ En�� , n � , òî âìåñòî óñëîâèÿ (5) ìîæíî ïîòðåáîâàòü lim ( ( ) ( ) ( ) ) n nn E n � � � � � ln 3 2 . 2. ÂÑÏÎÌÎÃÀÒÅËÜÍÛÅ ÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈß Ëåììà 1. Ïóñòü � — ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, äîïóñêàþùàÿ ïðåäñòàâëåíèå � � �� 1 3 3� k , ãäå � �1 , ,� k — íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó- ÷àéíûå âåëè÷èíû; P ps{ }� � � 0 1 2 * , P a ps{ }� � � * , a GF a� �( ),3 0, s k�1,... , , 1� � k , 3 — îïåðàöèÿ ñóììèðîâàíèÿ â ïîëå GF ( )3 . Òîãäà âåðîÿòíîñòè ñîáûòèé � � 0 è � � a ðàâíû ñîîîòâåòñâåííî P p k{ }� � � 0 1 3 2 3 1 3( ) ,* P a p a GF ak{ }� � � � � 1 3 1 3 1 3 3 0( ) , ( ), .* (Çäåñü è äàëåå 0 10 � .) Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 1 ìîæíî ïîëó÷èòü êàê ñëåäñòâèå ïðèìåðà 1, ïðèâåäåí- íîãî â [2, § 8.2]. Îáîçíà÷èì i i i j i i* ( , ) ( , ), ( , ) ( , ),� � 1 0 2 0 0 1 0 2 I i i I i i I i i0 1 2� � �{ } { } {( , ), ( , ) , ( , ), ( , ) , ( , ),1 0 2 0 0 1 2 1 0 2 ( , ) .1 2 } (10) Ëåììà 2. Åñëè âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (À), òî äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ E n� ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû �n ñïðàâåäëèâî E S n Qn T� � 3 ( ; ), (11) S n Q n n s s is n n i I s ( ; ) ( ) ! ! ( ) � � � �� 1 0 20 1 1 0 � � � 1 1 1 2 2 ( ) ( ) ! ! n i I n s s i � � � � � �� s n i I n s s i Q 3 2 2 0 2 3 3 � �( ) ( ) ! ! , (12) Q p T � � � ( ( ) ), � � 1 1 2 1 3 2 (13) 24 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 ñóììèðîâàíèå ,� �� è �� îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî âñåì i I� 0 , i I� 1 è i I� 2 òàêèì, ÷òî i s i I � �� 10 , i s i I � �� 2 1 , i s i I � �� 3 2 ; â ðàâåíñòâå (12) ÷èñëà s s s1 2 3, , óäî- ëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿì s s s1 2 3 1 � , (14) �( ) ( );n s s f n �2 3 (15) � � � 2 2 2 2 2 � � � � � � � � � � � �� i n j n n j * ( ) ( ) ( ) � � � � ( ( , ) ( , )) ( ( , ) ( , )).i i i i2 2 11 1 2 2 1 (16) Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü �( )x — èíäèêàòîð ñîáûòèÿ, çàêëþ÷àþùåãîñÿ â òîì, ÷òî âåêòîð x, x Vn� , åñòü ðåøåíèå ñèñòåìû (1). Ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ (À) èìååì E E x Pn x x M x f n T x x M x f n � � � � � � �� : ( , ( )) : ( , ( )) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 { }A x x( ) ( )( , ) ,� 0 0� (17) ãäå A x x a x x x x j j n j j j j j j ( ) ( ) ( ) ( )( , ) (� �0 3 1 3 0 1 2 1 2 1 2 1 2� � � � � 2 0( ) ), ��J . Îáîçíà÷èì 2 êîëè÷åñòâî ñëàãàåìûõ â ñóììå A x x J( ) ( )( , ),� �0 � , äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå x x x xj j j j1 2 1 2 3 0 02 0 �( ) ( ) . Ñ ïîìîùüþ óñëîâèÿ (À) è ëåì- ìû 1 îò (17) ïðèõîäèì ê E pn T T x x x � � � � �� 3 1 2 1 3 10 2( ( ) ) : ( ) . Äëÿ ôèêñèðîâàííûõ âåêòîðîâ x è x ( )0 , èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðîâ 2 è i t t( , )1 2 , óáåæäàåìñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ðàâåíñòâà (16). Íàêîíåö, ñóììèðîâàíèå ïî âñåì x òàêèì, ÷òî x M x f n� ( ; ( ))( )0 , ýêâèâàëåíòíî ñóììèðîâàíèþ ïî âñåì i I� 0 , i I� 1 è i I� 2 , ïðèâåäåííîãî â ïðàâîé ÷àñòè (12), ïðè÷åì íåðàâåíñòâà (14) è (15) ãà- ðàíòèðóþò ïðèíàäëåæíîñòü âåêòîðîâ x ìíîæåñòâó M x f n( ; ( ))( )0 , ïîñêîëüêó èç (14) ñëåäóåò x x( )0 � , à èç ñîîòíîøåíèÿ (15) — èíàÿ çàïèñü óñëîâèÿ (2). Ëåììà 2 äîêàçàíà. Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ âåêòîðîâ x Vq n ( ) � , x x xq q n q( ) ( ) ( )( , , )� 1 � , q �1 2, , îáîçíà- ÷èì ic c c1 2 3 êîëè÷åñòâî êîìïîíåíò âåêòîðà x ( )1 , ðàâíûõ c1, êîòîðûì â âåêòîðå x 0 / /( )x 2 ñîîòâåòñòâóþò êîìïîíåíòû, ðàâíûå c2 / /c3 , ãäå c c c GF1 2 3 3, , ( )� , 0 1 2 3 � �i nc c c . Îáîçíà÷èì J 0 , J1 è J 2 ìíîæåñòâà J i i i i i i i i0 �{ }001 002 100 200 101 102 201 202, , , , , , , , J i i i i i i i i1 �{ }011 012 110 210 010 112 211 212, , , , , , , , J i i i i i i i i2 �{ }021 022 120 220 020 122 221 121, , , , , , , . Ïóñòü òàêæå i i i i i i k i i i i i1 2 12 12� � � � 100 200 001 002 010 020 101, , , 102 201 202 i i , (18) k i i i i k i i i i1 2� � 011 012 021 022 110 120 210 220, , (19) i i i i i i i i i123 � 111 112 121 122 221 212 222 211 . Ïîëîæèì, n — ÷èñëî ðåøåíèé ñèñòåìû (1), ïðèíàäëåæàùèõ ìíîæåñòâó M x( , )( )0 0 . Îáîçíà÷èì E n [ ]2 âòîðîé ôàêòîðèàëüíûé ìîìåíò ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû n . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 25 Ëåììà 3. Åñëè âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (À), òî E S n Qn T [ ] ( ; ),2 9� (20) ãäå S n Q n n s s js n n j J * ( ) ( ; ) ( ) ! ! � � � �� 1 0 0 1 1 � � � � � �� s n j J s n n s s j 2 1 1 3 2 0 1 2 2 0 2 � �� ( ) ( ) ( ) ! ! ( ) ! ! ,n s s j Q j J 3 3 2 � � �� (21) Q p T r r ( ) , ( ) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 1 4 1 2 1 3 � (22) ñóììèðîâàíèå � , �� è �� îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî âñåì j J� 0 , j J� 1 è j J� 2 òà- êèì, ÷òî j s j J � � � 1 0 , j s j J � � � 2 1 è j s j J � � � 3 2 ; â ðàâåíñòâå (21) ýëåìåíòû ìíîæåñòâ J 0 , J1 è J 2 óäîëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿì: i i k k i i i i i i1 12 1 12 1 �120 210 121 122 212 211 , (23) i i k k i i i i i i2 12 2 12 1 �012 021 112 121 221 212 , (24) i i k k i i i i i i1 2 1 2 1 �102 201 112 122 221 211 ; (25) � ( ) ( )( )1 1 2 12 123 1 2 1 2 2 � � � �� i i i i i i i k2 2 1 12 1 2 i k i k k( ) � � �� i i i i i i011 022 012 021 110 220 2 2 2� �� i i210 120 2 ( )( )i i i i i i011 022 111 211 122 222 ( )( )i i i i i i110 220 111 112 221 222 ( )( )i i i i i i012 021 121 221 112 212 ( )( )i i i i i i210 120 121 122 211 212 ( )( ),i i i i i i i i211 122 112 221 111 222 121 212 (26) � ( ) ( ) (2 2 12 2 12 1 123 2 2 2 � � � �� i i k k k i i k k i2 12 12 ) ( )(i i i i i i i i i i011 111 211 022 122 222 021 221 121 012 112 212 i i ), (27) � ( ) ( )(3 1 12 1 12 2 123 1 2 2 � � � �� i i k k k i i k k i1 12 12 ) ( )(i i i i i i i i i i110 111 112 220 221 222 120 121 122 210 211 212 i i ), (28) � �( ) ( ) (4 1 12 12 12 1 2 123 2 2 � � � �� k i k k k i ) k k i i1 2 123 12 ( )( )i i i i i i i i120 210 110 111 112 220 222 221 ( )( )i i i i i i i i110 220 210 211 212 120 121 122 ( )( )i i i i i i i i021 012 011 111 211 022 222 122 ( )( )i i i i i i i i011 022 012 112 212 021 121 221 ( )( ) ( )( ).i i i i i i i i212 121 111 222 122 211 112 221 (29) 26 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 Äîêàçàòåëüñòâî. Èñïîëüçóÿ óñëîâèå (À) è ñîîòíîøåíèå E E x xn � �[ ] * ( ) ( )( ) ( )2 1 2�� , ãäå ñóììèðîâàíèå � îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî âñåì âåê- òîðàì x ( )1 è x ( )2 , x Vq n ( ) � , q �12, , òàêèì, ÷òî x x( ) ( )1 2� , x x( ) ( )1 0� , x x( ) ( )2 0� , èìååì E P A x x y A xn T k k k � � �[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( , ) , ( ,2 1 0 12 1� � � � �� { { x x y k( ) ( ), ) , ,2 0 12 12� � �}} � �� P A x x x y P A T k k * ( ) ( ) ( ) ( ) , ( , , ) � � 1 12 1 2 0 12 1 2 { } { ( ) ( ) ( )( , )� x x yk k 0 � }, (30) ãäå ñèìâîë � / / � îáúåäèíåíèÿ /ñóììèðîâàíèÿ/ ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà âñå ðåøå- íèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé y y y y 1 3 2 3 12 12 0 0 � � � � � �� , íàä ïîëåì GF ( )3 ; äëÿ ��J A x x x a A x x E k k 12 1 2 0 3 12 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( , , ) , ( , ( ) � � � � �� ( ) ( )) , , , ( ) 0 3 12� �� E k a k ãäå E j j j j n x x x x j k j k j j ( ) ( ) ( ) ( ) (( , ), :12 1 2 1 2 3 01 2 1 2 1 2 � � � � { 0 0 12) , , ,� �k } E j j j j n x x x xk j k j k j j ( ) ( ) ( ) ( ) (( , ), :� � � � { 1 2 1 2 3 0 01 2 1 2 1 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ), , * * � �0 2 0 1 2 1 2 3 0 0x x x x j k j k j j } k �{ }12, , k * ,�{ }12 , k k* � . Ïóñòü ( )1 , ( )2 è ( )3 — êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ ñîîòâåòñòâåííî ìíîæåñòâ E ( )1 , E ( )2 è E ( )12 . Ïîëîæèì � �( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,1 1 2 2 2 3� � (31) � �( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), .3 1 3 4 1 2 3� � (32) Ñ ïîìîùüþ óñëîâèÿ (À) è ëåììû 1 ñîîòíîøåíèå (30) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå E pn T T k k � � [ ] * ( ) ( ) 2 1 1 4 9 1 2 1 3� � � � � � � � � � � � � � � � � �� . (33) Ñóììèðîâàíèå � â ïðàâîé ÷àñòè (33) ïî âñåì âåêòîðàì x ( )1 , x ( )2 òàêèì, ÷òî x x( ) ( )1 0� , x x( ) ( )2 0� è x x( ) ( )1 2� , ýêâèâàëåíòíî ñóììèðîâàíèþ ïî âñåì ïàðàìåò- ðàì j J� 0 , j J� 1 è j J� 2 , ïðèâåäåííîãî â ïðàâîé ÷àñòè (21). Íåðàâåíñòâà (23)–(25) ãàðàíòèðóþò âûïîëíåíèå ñîîòâåòñòâåííî ñîîòíîøåíèé x x( ) ( )1 0� , x x( ) ( )2 0� è x x( ) ( )1 2� . Íàêîíåö, èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèÿ âåëè÷èí ( )k , k �1 2 3 4, , , , è ic c c1 2 3 , c c c GF1 2 3 3, , ( )� , ìîæíî ïðîâåðèòü ñîîòíîøåíèÿ (26)–(29). Ïîêàæåì, íàïðèìåð, ñïðàâåäëèâîñòü ðàâåíñòâà (28). Â ñàìîì äåëå, èñõîäÿ èç (32), íàõîäèì, ÷òî ÷èñëî � ( )3 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìîùíîñòü ìíîæåñòâà âñåõ ïàð ( , )j j1 2 , 1 1 2� � �j j n , òà- êèõ, ÷òî x x x x j j j j1 2 1 2 1 1 3 0 02 0( ) ( ) ( ) ( ) � . Óêàçàííîå ìíîæåñòâî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå îáúåäèíåíèÿ ÷åòûðåõ íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ: M1, M 2 , M 3 , M 4 , ãäå M j j j j n x x x x j j j j1 1 2 1 2 1 1 0 01 0 1 2 1 2 � � � � � �{( , ), : ,( ) ( ) ( ) ( ) 0}, M j j j j n x x x x j j j j2 1 2 1 2 1 1 0 01 0 1 2 1 2 � � � � � �{( , ), : ,( ) ( ) ( ) ( ) 0}, ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 27 M j j j j n x x x x j j j j3 1 2 1 2 1 1 0 01 1 1 2 1 2 ={( , ), : ,( ) ( ) ( ) ( )� � � � � 2}, M j j j j n x x x x j j j j4 1 2 1 2 1 1 0 01 2 1 2 1 2 ={( , ), : ,( ) ( ) ( ) ( )� � � � �1}. Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ìîùíîñòè \| \|M t ìíîæåñòâ M t , t �1 2 3 4, , , , óäîëåòâîðÿ- þò ñîîòíîøåíèÿì \| \| ( ) ( ),M i i k i i i1 1 12 2 123 1 12 2 � � � �� \| \| ( )( ),M k k k k k i2 1 12 1 12 2 123 2 � � � �� \| \| ( )( )M i i i i i i3 � 110 112 111 120 121 122 ( )( ),i i i i i i220 221 222 210 211 212 (34) \| \| ( )( )M i i i i i i4 � 110 112 111 210 211 212 ( )( ).i i i i i i120 121 122 220 221 222 (35) Îòñþäà ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâà � ( ) \| \|3 1 4 � � � M t t ïîëó÷àåì (28). Ëåììà 3 äîêàçàíà. Ëåììà 4. Ïóñòü âûïîëíÿåòñÿ i j * . �1 (36) Òîãäà �2 1� ( ) .n (37) Äîêàçàòåëüñòâî. Â ñèëó (16) íàõîäèì � 2 2 2 � � � � � � � � � � � �� i n j n* ( ) ( ) � � � � � � � � 2 2 �( ) n j , îòêóäà ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ (36) ïîëó÷àåì (37). Ëåììà 4 äîêàçàíà. Ëåììà 5. Åñëè âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (À), (3), (5) è T n m� 0, (38) ãäå m0 �const, òî ïðè n � E an� � 1. (39) Çäåñü è äàëåå at — ôèêñèðîâàííîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, at � , t �1. Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, èñïîëüçóÿ (11) è (12), ìàòåìàòè÷åñêîå îæè- äàíèå E n� ïðåäñòàâèì â âèäå E Q Qn� � � �( ) ( ), 1 2 (40) ãäå 1 2� �( ) / ( ) /Q Q îáîçíà÷àåò ñóììó èç ïðàâîé ÷àñòè (12) ïðè äîïîëíèòåëü- íîì óñëîâèè íà îïðåäåëåííûå ðàâåíñòâîì (10) ïàðàìåòðû i* è j* : i j* * �1 / /* i j � 0 . Òàê êàê 2 0� �( )Q , òî äëÿ äîêàçàòåëüñòâà (39) äîñòàòî÷íî óáåäèòü- ñÿ, ÷òî ïðè n � ( ) 1 2� �Q a (41) äëÿ íåêîòîðîãî a2 . Ñ ýòîé öåëüþ ïðîâåðèì, ÷òî ïðè n � Q a� 3. (42) Äåéñòâèòåëüíî, ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ (À) ïðåäñòàâèì Q â âèäå Q Q Q� 1 2 , (43) Q p J p 1 1 3 1 2 1 3 2� � � � � � �, ( ( ) ), Q p J p 2 1 3 1 2 1 2 1 3 2� � � � � � � �, ( ( ) ). 28 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 Äëÿ ïàðàìåòðà ��J òàêîãî, ÷òî p � � 1 3 , èìååì Q1 1� . (44) Èñïîëüçóÿ (36) è (38), íàõîäèì Q n mn 2 2 01 2� � ( ) ( ). (45) Èç (5) ñëåäóåò, ÷òî �( ) ( )n n� ln 3 2 . Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü (45) ñòðåìèòñÿ ê 1 ïðè n � è Q2 0� (46) ïðè n � . Ñîîòíîøåíèÿ (43), (44) è (46) äîêàçûâàþò (42). Èñïîëüçóÿ (42), ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî ( ) ( ) 1 3 1 1� ��Q a , ãäå ( ) 1 1� îáîçíà÷à- åò ñóììó èç ïðàâîé ÷àñòè (12) ïðè äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèÿõ: i j * �1, Q �1. Îòñþäà ñ ïîìîùüþ (3) è (5) íàõîäèì ( ) ( ( )), . 1 4 3 1 10� � � Q a o n m (47) Èç (47) ñëåäóåò íåðàâåíñòâî (41), êîòîðîå ñ ó÷åòîì (40) äàåò (39). Ëåììà 5 äîêàçàíà. Îáîçíà÷èì X ìíîæåñòâî X i i i i i i�{ }121 122 212 211 221 112, , , , , . Ëåììà 6. Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ (23)–(25) è i i i k k k1 2 12 1 2 12 0� � � � � � . (48) 1. Åñëè èìååò ìåñòî õîòÿ áû îäíî èç ÷åòûðåõ óñëîâèé: 1) i211 �1, i221 �1 è i � 0, ãäå i X i i� \ ,{ }211 221 , 2) i211 �1, i112 �1 è i � 0, ãäå i X i i� \ ,{ }211 112 , 3) i122 �1, i112 �1 è i � 0, ãäå i X i i� \ ,{ }122 112 , 4) i122 �1, i221 �1 è i � 0, ãäå i X i i� \ ,{ }112 221 , òî � ( ) ,k �1 k �{ }2 3 4, , ; (49) 2. Åñëè èìååò ìåñòî õîòÿ áû îäíî èç ÷åòûðåõ óñëîâèé: i121 �1, i112 �1 è i � 0 , ãäå i X i i� \ ,{ }121 112 , i121 �1, i221 �1 è i � 0 , ãäå i X i i� \ ,{ }121 221 , i212 �1, i112 �1 è i � 0 , ãäå i X i i� \ ,{ }212 112 , i212 �1, i221 �1 è i � 0 , ãäå i X i i� \ ,{ }212 221 , òî � ( ) ,k �1 k �{ }1 3 4, , ; (50) 3. Åñëè èìååò ìåñòî õîòÿ áû îäíî èç ÷åòûðåõ óñëîâèé: i121 �1, i122 �1 è i � 0 , ãäå i X i i� \ ,{ }121 122 , i121 �1, i211 �1 è i � 0 , ãäå i X i i� \ ,{ }121 211 , i122 �1, i212 �1 è i � 0 , ãäå i X i i� \ ,{ }122 212 , i212 �1, i211 �1 è i � 0 , ãäå i X i i� \ ,{ }212 211 , òî � ( ) ,k �1 k �{ }1 2 4, , . (51) Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, â ñèëó (23)–(25) ñ ïîìîùüþ (48) ïîëó÷àåì i i i i121 122 212 211 �1, (52) i i i i112 121 221 212 �1, (53) i i i i112 122 221 211 �1. (54) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 29 Èñïîëüçóÿ (26)–(29) è (48), ïðèõîäèì ê ñîîòíîøåíèÿì: � ( ) ( )( );1 � i i i i i i i i211 122 112 221 111 222 121 212 (55) � ( ) ( )( );2 � i i i i i i i i111 211 122 222 221 121 112 212 (56) � ( ) ( )( );3 � i i i i i i i i111 112 221 222 121 122 211 212 (57) � ( ) ( )( )4 � i i i i i i i i211 122 112 221 111 222 121 212 ( )( ) ( )( ).i i i i i i i i212 121 111 222 122 211 112 221 (58) Ïóñòü i i211 221� �1 1, è i � 0, ãäå i X i i� \ , .{ }211 221 (59) Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà (52)–(54) è íà îñíîâàíèè (55) çàêëþ÷àåì � ( )1 0� . Äëÿ îñòàëüíûõ � ( )k , k �{ }2 3 4, , , ñ ó÷åòîì (56)–(59) íàõîäèì � ( )k i i� �211 221 1. Ñîîòíî- øåíèå (49) óñòàíîâëåíî. Àíàëîãè÷íî óáåæäàåìñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè (49) â óñëîâè- ÿõ 2)–4). Òàê æå, êàê (49), ïðîâåðÿþòñÿ íåðàâåíñòâà (50) è (51). Ëåììà 6 äîêàçàíà. Ëåììà 7. Åñëè âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå i i k k1 12 1 12 1 � , (60) òî � ( ) ( ) ;3 1� � n (61) åñëè âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå i i k k2 12 2 12 1 � , (62) òî � ( ) ( ) .2 1� � n (63) Äîêàçàòåëüñòâî. Èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèÿ ÷èñåë ( )k , k �12 3, , , è ic c c1 2 3 , ãäå c c c GF1 2 3 3, , ( )� , ìîæíî ïîëó÷èòü ïðåäñòàâëåíèÿ äëÿ ñóìì � ( )2 è � ( )3 , îòëè÷àþ- ùèåñÿ îò (27) è (28) ñîîòâåòñòâåííî, à èìåííî: � ( ) ( ) ( ) (2 2 12 2 12 2 2 2� � � �� i i n k k n� � � n k k) � � �� 2 12 2 ( )(i i i i i i i i i i011 111 211 022 122 222 021 221 121 012 112 212 i i ), (64) � ( ) ( ) ( ) (3 1 12 1 12 2 2 2� � � �� i i n k k n� � � n k k) � � �� 1 12 2 ( )(i i i i i i i i i i110 111 112 220 221 222 120 121 122 210 211 212 i i ). (65) Ïðîâåðèì, íàïðèìåð, ðàâåíñòâî (65). Èñïîëüçóÿ ââåäåííûå ðàíåå îáîçíà÷åíèÿ M t , t �1 2 3 4, , , , íàõîäèì, ÷òî ìîùíîñòü ìíîæåñòâà M1 ( )M 2 óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèþ \| \| ( ) ( ) M i i n k k n k k 1 1 12 1 12 1 12 2 2 � � � �� \| \| ( ) ( ) .M n n k k 2 1 12 2 2 � � � �� Îòñþäà ñ ó÷åòîì (34) è (35) ïîëó÷àåì (65). 30 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 Íà îñíîâàíèè (64) /(65)/ äëÿ � ( )2 / /( )� 3 èìååì, î÷åâèäíî, îöåíêó � ( ) ( ) ( ) (2 1 12 1 12 2 2 2� � � �� i i n k k n� � � n k k) � � �� 1 12 2 / ( ) ( )( )� 3 2 12 2 12 2 2 2� � � �� i i n k k n� � �( ) / n k k � � �� 2 12 2 , îòêóäà ñ ïîìîùüþ (62)/(60)/ ïðèõîäèì ê (63) /(61)/. Ëåììà 7 äîêàçàíà. Ïóñòü � �1 01 1 3 � � � � �� ! " � � �: :n m p , �2 01 1 3 1 2 � � � � �� ! " � � �: :n m p . Îáîçíà÷èì � è � ìîùíîñòè ñîîòâåòñòâåííî ìíîæåñòâ�1 è�2 . Òîãäà ïðè óñëî- âèè � � �p � 1 2 äëÿ 1 0� � � n m èìååì � � � n m0 . (66) Ïîëîæèì J J J J i i i* � � � � � �0 1 2 { } { } { }000 111 222 . Ëåììà 8. Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (À), (4), (38) è � ( ) ,k nE n � � � � � � � � � � ln 2 (67) ãäå � ( )k , k �12 3 4, , , , óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿì (26)–(29), � �const, 0 1� �� , En � ïðè n � . Òîãäà S n Q a e n E n n nn 2 4 5 11 3 2 7 7 3; * * ( ) ( )( ; ) exp� � � � ! " � � �� ln 2 n � � � � � �� 2 2exp ,{ }� (68) ãäå S n Q2 4; * ( ; ) îòëè÷àåòñÿ îò S n Q ( ; ) òåì, ÷òî ñóììèðîâàíèå � , �� è �� â ïðàâîé ÷àñòè (21) ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà âñå ïàðàìåòðû j��3 : � �3 2 12 3 4={ ln constj j J E n kk n, : , , , , , , ( )� � � � � � � � � � � � � � 0 1� �� }, � � �r ( ) ( )� �0 0 äëÿ r �1. Äîêàçàòåëüñòâî. Ñóììó S n Q2 4; * ( ; ) ðàçîáúåì íà êîíå÷íîå ÷èñëî ñëàãàåìûõ: S n Q S n Qt t 2 4 2 4 1 3 ; * ; ; * ( ; ) ( ; ).� � � (69) Çäåñü S n Q2 4 1; ; ( ; ) / ( ; ) /; ; S n Q2 4 2 è S n Q2 4 3; ; ( ; ) îòëè÷àþòñÿ îò S n Q2 4; ( ; ) äî- ïîëíèòåëüíûì óñëîâèåì i i k k1 12 1 12 1 � / , /i i k k i k1 12 1 12 2 20 1 � � è i i k k i k1 12 1 12 2 20 0 � �, ñîîòâåòñòâåííî. Íà îñíîâàíèè ëåììû 7 è ñîîòíîøåíèé (22), (38) è (67) çàêëþ÷àåì S n Q S n Qt t t2 4 2 4 1; ; * ; ; * ( ; ) ( ; ) ,� (70) ãäå Q a nt n n ( )exp� � � � ! " 6 17 2 7 � � , t �12, ; çäåñü è äàëåå çàïèñü S nr t2 1; ; * ( ; ) îáîçíà÷àåò ñóììó S n Qr t2; ; * ( ; ) äëÿ Q r t , ,� � �1 1 1. Óáåäèìñÿ, ÷òî äëÿ t �1 2, max ( ; ) . , ; ; * ( ) t t E n S n e n � � { } ln 1 2 2 4 1 2 3 2� � (71) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 31 Äåéñòâèòåëüíî, èç îöåíêè � ( )k nE n � � � � � � � � � � ln 2 , k �12 3 4, , , , âûòåêàåò, ÷òî âñå ïà- ðàìåòðû j j, ��3 , ó÷àñòâóþùèå â çàïèñè � ( )k , k �12 3 4, , , , ñîãëàñíî (26)–(29), íå ïðå- âûøàþò E nn ln . Îòñþäà ñ ïîìîùüþ ïîëèíîìèàëüíîé ôîðìóëû ïîëó÷àåì (71). Èç (70) è (71) äëÿ t �12, íàõîäèì S n Q a E n nt n n n 2 4 6 2 3 2 17 2 7 ; ; * * ( )( ; ) exp ( )� � � � �� ln ! � "� . (72) Ïîêàæåì, ÷òî S n Q a E nn n2 4 3 7 3 3 23 2 2; ; * ( ; ) exp ( )� � � � �� ! � " � � � � �ln � � . (73) Èñïîëüçóÿ (22), ïîëó÷àåì Q p T k k \| \| . ( ) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 1 4 1 2 1 3 2 � (74) Ñ ó÷åòîì íåðàâåíñòâ(38), (74) è ëåììû 6, óñëîâèå (48) êîòîðîé âûïîëíåíî ñî- ãëàñíî îïðåäåëåíèþ ñóììû S n Q2 4 3; ; * ( ; ) , ïðèõîäèì ê îöåíêå Q p n m ( \| \| ).� � � � � 1 0 3 6 1 3 (75) Ïðàâóþ ÷àñòü (75) ïðåäñòàâèì â âèäå ( \| \| ) ,* * � � � � � 1 1 2 0 3 6 1 3 n m p Q Q (76) ãäå Q1 * / /Q2 îòëè÷àåòñÿ îò Q òåì, ÷òî ��1 / /��2 . Ïðè âûïîëíåíèè óñëî- âèÿ (4) ìîæíî óñòàíîâèòü Q a1 8 9 2* exp .� � �{ }� (77) Äàëåå, äëÿ ��2 Q a2 9 6* .� � (78) Íà îñíîâàíèè (75)–(78) ñ ó÷åòîì (66) ïîëó÷àåì Q a n* exp .� 10 3 2 2� � �{ }� Îòñþäà ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî S n Q a S nn 2 4 3 11 2 4 33 2 1 2; ; * * ; ; ( ; ) ( ; )exp ,� � � �{ }� (79) ãäå äëÿ S n2 4 3 1; ; ( ; ) àíàëîãè÷íî (71) èìååì S n e E nn 2 4 3 1 4 3 2 ; ; * ( ) ( ; ) � � � ln . Èñïîëüçóÿ (79), ïðèõîäèì ê îöåíêå (73). Ñîîòíîøåíèÿ (69), (72) è (73) äîêàçûâàþò (68). Ëåììà 8 äîêàçàíà. 3. ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ ÒÅÎÐÅÌÛ Äîñòàòî÷íîñòü. Óáåäèìñÿ, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (7) èìååò ìåñòî ñîîòíî- øåíèå E o nn� � � ( ), .1 (80) Äëÿ îáîñíîâàíèÿ (80) äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè n � ( ) ( ), 1 1� �Q o (81) ( ) ( ), 2 1� �Q o (82) ãäå ñóììû ( ) 1� Q è ( ) 2� Q îïðåäåëåíû â (40). Â ñèëó (13) èìååì îöåíêó 32 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 Q T� ( )1 2 2� . Îòñþäà ñ ó÷åòîì (37) ïîëó÷àåì Q T n� exp .( ){ }2 1� � (83) Èñïîëüçóÿ (83) è ïîëèíîìèàëüíóþ ôîðìóëó, íàõîäèì ( ) exp ( ) .( ) 1 12 3� � Q T T nn{ ln }� � (84) Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (5) ñ ó÷åòîì ïðåäïîëîæåíèÿ (7) îò (84) ïðèõîäèì ê (81). Ïðîâåðèì (82). Äåéñòâèòåëüíî, èç ðàâåíñòâà i j* * � 0 ñëåäóåò i i i i( ) ( ) ( ) ( )1,0 2,0 0,1 0,2� � � � 0 , îòêóäà ñ ó÷åòîì (14) èìååì i i( ) ( )1,2 2,1 �1. Ñ ïî- ìîùüþ (16) íåòðóäíî ïîëó÷èòü 2 � f n( ) (85) ïðè óñëîâèè (2). Íåðàâåíñòâî (85) ïîçâîëÿåò óñòàíîâèòü îöåíêó Q T f n�exp ( ){ }2 � . Äàëåå, ïðèíè- ìàÿ âî âíèìàíèå (7), ïðåäïîëîæåíèå i j* * � 0 è ïîëèíîìèàëüíóþ ôîðìóëó, èìååì ( ) exp ( ) . ( ) ( ) 2 2 3 2� � Q n A n n A n f n n � �{ } (86) Èñïîëüçóÿ óñëîâèå (6), îò (86) ïðèõîäèì ê (82). Èç (40), (81) è (82) ñëåäóåò (80). Ñîîòíîøåíèå (80) è íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà äàþò P on{ }� � �0 1( ) ïðè n � . Äîñòàòî÷íîñòü äîêàçàíà. Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü ïðè n � cèñòåìà (1) èìååò ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà åäèíñòâåííîå ðåøåíèå x ( )0 , ò.å. P n{ }� � �0 0 ïðè n � . Ïîêàæåì, ÷òî òîãäà âû- ïîëíÿåòñÿ (7). Äîïóñòèì, ÷òî ðàâåíñòâî (7) íå âûïîëíÿåòñÿ. Òîãäà èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå (38), èñïîëüçóÿ êîòîðîå óáåäèìñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè òîãî, ÷òî P nn{ }� � � � 0 0, , (87) ò.å. ñ ïîëîæèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ ñóùåñòâóåò, ïî êðàéíåé ìåðå, îäíî ðåøåíèå, ïðèíàäëåæàùåå ìíîæåñòâó M x f n( , ( ))( )0 . Ñ ýòîé öåëüþ ïðîâåðèì ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâà: ( ) , ,E a nn� � � 1 12 (88) E E a nn n� �[ ] ( ) , .2 2 13 � � (89) Ñ ïîìîùüþ ëåììû 5 ïîëó÷àåì (88). Äàëåå, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå (11) è (42), íàõîäèì ( ) ( ; ) ) , .3 1 3 1 1 3 1 14 T n n n E S n a a n � � � �� (90) Ñîîòíîøåíèå (90) ïîçâîëÿåò çàêëþ÷èòü, ÷òî äëÿ äîêàçàòåëüñòâà (89) äîñòàòî÷- íî óáåäèòüñÿ, ÷òî 9 2 15 T n nE a n � � �[ ] , . (91) Èç îïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí �n è n ñëåäóåò E En n� [ ] [ ]2 2� (92) äëÿ n �1. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ îáîñíîâàíèÿ (91) äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü ñîîòíîøå- íèå 9 2 16 T n nE a � [ ] . (93) Äëÿ ýòîé öåëè ñóììó S n Q* ( ; ) (ñì. ðàâåíñòâà (20)–(22)) ïðåäñòàâèì â âèäå S n Q S n Q S n Q * * * * ( ; ) ( ; ) ( ; ),� 1 2 (94) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 33 ãäå S n Q1 ( ; ) îòëè÷àåòñÿ îò S n Q ( ; ) òåì, ÷òî ñóììèðîâàíèå â ïðàâîé ÷àñòè âûðàæåíèÿ (21) ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà âñå i, i J� , òàêèå, ÷òî � ( )k nE n � � � � � � � � � � ln 2 (95) äëÿ k �12 3 4, , , , ãäå � �const , 0 1� �� ; S n Q2 * ( ; ) — ñóììà, äîïîëíÿþùàÿ S n Q1 ( ; ) äî S n Q ( ; ) . Ñ ïîìîùüþ (4), (22) è (95) íàõîäèì S n Q S n Q1 1 11 * * ( ; ) ( ; ) ,� (96) ãäå Q T En n 1 8 2 exp{ }� � � � � � � � � ln . Íåðàâåíñòâà (38), (96) è S n n 1 1 9* ( ; ) � ïîçâîëÿþò çà- êëþ÷èòü, ÷òî S n Q a n 1 17 9* ( ; ) .� (97) Ñóììó S n Q2 ( ; ) ïðåäñòàâèì â âèäå S n Q S n Qr r 2 2 1 4 * ; * ( ; ) ( ; ),� � � (98) ãäå S n Qr2; ( ; ) îòëè÷àåòñÿ îò S n Q2 ( ; ) òåì, ÷òî âñå i, i J� , ó÷àñòâóþùèå â çàïèñè S n Q2 * ( ; ) , ñîãëàñíî (21) ïðèíèìàþò ëèøü òàêèå çíà÷åíèÿ, ÷òî ñóùåñò- âóåò íàáîð { } { }l lr1 1 4, , , ,� �# , äëÿ êîòîðîãî � ( )l nh E n � � � � � � � � � � ln 2 , � ( )k nE n � � � � � � � � � � ln 2 , ãäå k l lr�{ } { }1 4 1, , \ , ,� � , h r�1, ,� , r �1 4, , .� Äàëåå, ñóììó S n Qr2; ( ; ) äëÿ r �12 3, , çàïèøåì ñëåäóþùèì îáðàçîì: S n Q S n Qr t t r t t r r2 1 4 2 1 1; * ; ; , , * ( ; ) ( ; ),� � � � � � � � (99) ãäå S n Qr t tr2 1; ; , , ( ; ) � îáîçíà÷àåò ñóììó âñåõ ñëàãàåìûõ, ïðèíàäëåæàùèõ S n Qr2; ( ; ) è äëÿ êîòîðûõ � ( )t nl E n � � � � � � � � � � ln 2 , l r�12, , ,� , � ( )t nE n� � � � � � � � � � � ln 2 , � �t t t r{ } { }1 4 1, , \ , ,� � . Ïîêàæåì, ÷òî ïðè r �1 S n Q a n E nr n E n n n 2 18 2 5 3 23 2; ( ; ) exp ( )� � � � � � � { ln ln � � � � }( ).( ) ( )2 3� �n n n (100) Äåéñòâèòåëüíî, ñ ïîìîùüþ (4), (22), (38)è (99) äëÿ r �1 èìååì S n Q Q S nr r r t t 2 2 2 1 4 1; * ; * ; ; ( ; ) ( ; ),� � � (101) ãäå Q a nr n E nn 2 19 23 2; exp� � � � � � � { } ln � � . Íàéäåì îöåíêó äëÿ êàæäîãî ñëàãàåìîãî S r t2; ; * , t �12 3 4, , , , èç ïðàâîé ÷àñòè (101). 34 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 Èç íåðàâåíñòâà � ( )1 2 � � � � � � � � � � E nn ln è ñîîòíîøåíèÿ (26) ñëåäóåò, ÷òî âñå ïàðà- ìåòðû j j J i i i, \ , ,� { }010 020 000 , ó÷àñòâóþùèå â çàïèñè S n Q ( ; ), ñîãëàñíî (21) íå ïðåâûøàþò � E nn ln , îòêóäà, èñïîëüçóÿ ïîëèíîìèàëüíóþ ôîðìóëó, èìååì S n en E nn 2 1 1 1 2 6 3 2 ; ; ( ) ( ) ( ; ) .� � � � ln (102) Íà îñíîâàíèè (29) àíàëîãè÷íî (102) óñòàíàâëèâàåì S n en E nn 2 1 4 1 2 7 3 2 ; ; * ( ) ( ) ( ; ) .� � � � ln (103) Äëÿ òîãî ÷òîáû óáåäèòüñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè îöåíêè S n en n E nn 2 1 2 1 3 8 3 2 ; ; * ( ) ( ) ( ; ) ,� � � � ln (104) äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî ñîãëàñíî íåðàâåíñòâó � ( )2 2 � � � � � � � � � � E nn ln âñå ïàðàìåòðû j j J i i i, \ , ,� { }100 200 000 èç ïðàâîé ÷àñòè (21) íå ïðåâûøàþò � E nn ln . Àíàëîãè÷íî (104) â ñèëó (28) èìååì S n en n E nn 2 1 3 1 3 9 3 2 ; ; ( )( ; ) .� � � ln (105) Ñ ïîìîùüþ (101)–(105) ïîëó÷àåì S n a e E n n n nn 2 1 191 2 310 3 2 ; * ( ) ( ) ( )( ; ) ( ).� � � � �ln (106) Ñîîòíîøåíèÿ (101) è (106) äîêàçûâàþò (100). Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ r � 2 èìååò ìåñòî îöåíêà S n Q a n Er n E n n n 2 20 2 11 3 5 4 5 ; * ( ; ) exp ( )� � � � � � � { ln ln� � � � 2 n}. (107) Äåéñòâèòåëüíî, íà îñíîâàíèè (4), (22), (38) è (99) äëÿ r � 2 çàêëþ÷àåì, ÷òî S n Q Q S nr r r t t t t 2 2 2 1 4 1 2 1 2 1; * ; * ; ; , ( ; ) ( ; ),� � � � � (108) ãäå Q a nr n E nn 2 21 25 4 5 ; exp� � � � � � � { } ln � � . Ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâ � ( )t nE n 1 2 � � � � � � � � � � ln , � ( )t nE n 2 2 � � � � � � � � � � ln , 1 41 2� � �t t , è ñîîòíîøåíèé (26)–(29) óñòàíàâëèâàåì, ÷òî âñå ïàðàìåòðû j J i� \ { }000 èç ïðàâîé ÷àñòè (21) íå ïðåâûøàþò E nn ln . Ýòî ïîçâîëÿåò çàïèñàòü ñëåäóþùóþ îöåíêó: max ( ; ) .; ; , ( ) 1 4 2 2 1 2 1 2 12 3 2 1 � � � � t t t t E n S n e n� � ln (109) Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå (108) è (109), ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâó äëÿ r � 2 : S n a er E nn 2 221 13 3 2 ; * ( ) ( ; ) .� � � ln (110) Èç (108) è (110) ñëåäóåò (107). ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 35 Óáåäèìñÿ, ÷òî ïðè r � 3 S n Q a n Er n E n n n 2 23 2 14 3 7 2 7 ; * ( ; ) exp ( )� � � � � � � { ln ln� � � � 2 n}. (111) Íà îñíîâàíèè (4), (22), (38) è (99) äëÿ r � 3 çàêëþ÷àåì S n Q Q S nr r t t t r t t t2 2 1 4 2 1 2 3 1 2 3 1; * ; ; ; , , ( ; ) ( ; ),� � � � � � (112) ãäå Q a nr n E nn 2 24 27 2 7 ; exp� � � � � � � { } ln � � . Ïîêàæåì, ÷òî max ( ; ) .; ; , , * ( ) 1 4 2 3 1 2 3 1 2 3 15 3 2 1 � � � � � t t t t t t E n S n e n� � ln (113) Äåéñòâèòåëüíî, íåðàâåíñòâà � ( )t nE n 1 2 � � � � � � � � � � ln , � ( )t nE n 2 2 � � � � � � � � � � ln , � ( )t nE n 3 2 � � � � � � � � � � ln , 1 41 2 3� � � �t t t , ñîîòíîøåíèÿ (26)–(29) è ïîëèíîìèàëüíàÿ ôîðìóëà ïîçâîëÿþò àíàëîãè÷íî (109) ïîëó÷èòü (113). Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå (112) è (113), ïðèõîäèì ê îöåíêå äëÿ r � 3: S n a er E nn 2 241 16 3 2 ; * ( ) ( ; ) .� � � ln (114) Ñîîòíîøåíèÿ (112) è (114) äîêàçûâàþò (111). Äëÿ S n Q2 * ( ; ) c ó÷åòîì (98), (100), (107), (111) è ëåììû 8 óñòàíàâëèâàåì S n Q a n En n E n n n 2 25 2 2 173 2 * ( )( ; ) exp ( )� � � � � � � � � � � �{ ln ln } 3 2 1 1n o( ( )) a e E n nn 26 18 3 2 3 2 2 � � � � � ( ) exp . ln { }� (115) Ñ ïîìîùüþ (20), (94), (97) è (115) íàõîäèì (93). Ñîîòíîøåíèÿ (90)–(93) äîêà- çûâàþò (89). Òàêèì îáðàçîì, èç òîãî, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ (38), ïîëó÷èëè íåðàâåíñòâà (88) è (89), êîòîðûå ñîâìåñíî ñ îöåíêîé P E E En n n n{ }� � � �� 0 2 1 2 2 1( ( ) ( ) )[ ] (116) ïîçâîëÿþò ñäåëàòü âûâîä, ÷òî èìååò ìåñòî (87), à ýòî, â ñâîþ î÷åðåäü, ïðîòèâî- ðå÷èò òîìó, ÷òî ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå x ( )0 cèñòå- ìû (1) ïðè n � . (Íåðàâåíñòâî (116) äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ïðèíèìàþùåé öåëûå íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ, ïðèâåäåíî â [6].) Íåîáõîäèìîñòü óñëîâèÿ (7) óñòàíîâëåíà. Òåîðåìà äîêàçàíà. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ì à ñ î ë Â . È . , Ð î ì à ø î â à Ë . A . Íåêîòîðûå ñâîéñòâà ñèñòåì íåëèíåéíûõ ñëó÷àéíûõ óðàâíåíèé íàä ïîëåì GF(3) / Îáîçðåíèå ïðèêë. è ïðîìûøë. ìàòåìàòèêè. — 2008. — 15, ¹ 3. — Ñ. 563–564. 2. Ê î â à ë å í ê î È . Í . , Ë å â è ò ñ ê à ÿ À . À . , Ñ à â ÷ ó ê Ì . Í . Èçáðàííûå çàäà÷è âåðîÿòíîñòíîé êîìáèíàòîðèêè. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1986. — 223 ñ. 3. M è õ à é ë î â Â . Ã . Î ÷èñëå ðåøåíèé ñëó÷àéíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé, íå ñîäåðæàùèõ îïðåäåëåííîé êîìáèíàöèè çíàêîâ // Îáîçðåíèå ïðèêë. è ïðîìûøë. ìàòåìàòèêè. — 2007. — 14, ¹ 2. — Ñ. 249–250. 4. K o l c h i n V . F . Systems of random linear equations with small number of non-zero coefficients in finite fields // Probabilistic Methods in Discrete Mathematics. — 1997. — Ð. 295–304. 5. C o o p e r C . On the distribution of rank of a random matrix over a finite field // Random Structures and Algorithms. — 2001. — Ð. 1–18. 6. Ø è ð ÿ å â À . Í . Çàäà÷è ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé: Ó÷. ïîñîáèå. — Ì.: ÌÖÍÌÎ, 2006. — 416 ñ. Ïîñòóïèëà 12.03.2009 36 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-45141
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0023-1274
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T17:18:23Z
publishDate	2010
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Масол, В.И. Ромашова, Л.А. 2013-06-08T06:13:03Z 2013-06-08T06:13:03Z 2010 Условия единственности решения неоднородной системы нелинейных случайных уравнений над полем GF(3) / В.И. Масол, Л.А. Ромашова // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 2. — С. 23-36. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45141 519.2 Розглянуто неоднорідну сумісну систему нелінійних випадкових рівнянь другого порядку над полем із трьох елементів. Знайдено необхідну і достатню умову, при якій вказана система рівнянь має єдиний розв’язок в заданій множині n-вимірних векторів при n → ∞ An inhomogeneous simultaneous system of second-order nonlinear random equations over a field consisting of three elements is considered. A necessary and sufficient condition for the system to have a unique solution in a given set of n-dimensional vectors for n n → ∞ ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Кибернетика Условия единственности решения неоднородной системы нелинейных случайных уравнений над полем GF(3) Умови єдиності розв’язку неоднорідної системи нелінійних випадкових рівнянь над полем GF(3) Uniqueness conditions for the solution of an inhomogeneous system of nonlinear random equations over the field GF(3) Article published earlier
spellingShingle	Условия единственности решения неоднородной системы нелинейных случайных уравнений над полем GF(3) Масол, В.И. Ромашова, Л.А. Кибернетика
title	Условия единственности решения неоднородной системы нелинейных случайных уравнений над полем GF(3)
title_alt	Умови єдиності розв’язку неоднорідної системи нелінійних випадкових рівнянь над полем GF(3) Uniqueness conditions for the solution of an inhomogeneous system of nonlinear random equations over the field GF(3)
title_full	Условия единственности решения неоднородной системы нелинейных случайных уравнений над полем GF(3)
title_fullStr	Условия единственности решения неоднородной системы нелинейных случайных уравнений над полем GF(3)
title_full_unstemmed	Условия единственности решения неоднородной системы нелинейных случайных уравнений над полем GF(3)
title_short	Условия единственности решения неоднородной системы нелинейных случайных уравнений над полем GF(3)
title_sort	условия единственности решения неоднородной системы нелинейных случайных уравнений над полем gf(3)
topic	Кибернетика
topic_facet	Кибернетика
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45141
work_keys_str_mv	AT masolvi usloviâedinstvennostirešeniâneodnorodnoisistemynelineinyhslučainyhuravneniinadpolemgf3 AT romašovala usloviâedinstvennostirešeniâneodnorodnoisistemynelineinyhslučainyhuravneniinadpolemgf3 AT masolvi umoviêdinostírozvâzkuneodnorídnoísisteminelíníinihvipadkovihrívnânʹnadpolemgf3 AT romašovala umoviêdinostírozvâzkuneodnorídnoísisteminelíníinihvipadkovihrívnânʹnadpolemgf3 AT masolvi uniquenessconditionsforthesolutionofaninhomogeneoussystemofnonlinearrandomequationsoverthefieldgf3 AT romašovala uniquenessconditionsforthesolutionofaninhomogeneoussystemofnonlinearrandomequationsoverthefieldgf3

Условия единственности решения неоднородной системы нелинейных случайных уравнений над полем GF(3)

Institution

Similar Items