Зображення обкладинки

Построение и исследование нелинейной дифференциальной модели двухфазных сред

Сформульовано початково-крайову задачу для нелінійної системи одного параболічного рівняння вологопереносу–фільтрації та двох гіперболічних рівнянь теорії пружності. Отримано оцінки швидкості збіжності для неперервного за часом і повністю дискретно наближених розв’язків відповідної узагальненої зада...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :Кибернетика и системный анализ
Дата:2010
Автори: Скопецкий, В.В., Марченко, О.А., Самойленко, Т.А.
Формат: Стаття
Мова:Російська
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2010
Теми:
Системный анализ
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45146
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Построение и исследование нелинейной дифференциальной модели двухфазных сред / В.В. Скопецкий, О.А. Марченко, Т.А. Самойленко // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 2. — С. 92-104. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
_version_ 1859761796457431040
author Скопецкий, В.В.
Марченко, О.А.
Самойленко, Т.А.
author_facet Скопецкий, В.В.
Марченко, О.А.
Самойленко, Т.А.
citation_txt Построение и исследование нелинейной дифференциальной модели двухфазных сред / В.В. Скопецкий, О.А. Марченко, Т.А. Самойленко // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 2. — С. 92-104. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.
collection DSpace DC
container_title Кибернетика и системный анализ
description Сформульовано початково-крайову задачу для нелінійної системи одного параболічного рівняння вологопереносу–фільтрації та двох гіперболічних рівнянь теорії пружності. Отримано оцінки швидкості збіжності для неперервного за часом і повністю дискретно наближених розв’язків відповідної узагальненої задачі, побудованої за методом Гальоркіна. An initial–boundary-value problem for a nonlinear system of one moisture-transfer or filtration parabolic equation and two hyperbolic equations from the theory of elasticity is analyzed. The rate of convergence is estimated for a time-continuous and a completely discrete approximate solutions of the corresponding generalized problem set up by the Galerkin method.
first_indexed 2025-12-02T03:54:36Z
format Article
fulltext ÓÄÊ 519.64: 517.443: 519.254-37 Â.Ê. ÇÀÄÈÐÀÊÀ, Ñ.Ñ. ÌÅËÜÍÈÊÎÂÀ, Ë.Â. ËÓÖ ÎÏÒÈÌÀËÜÍÛÅ ÊÂÀÄÐÀÒÓÐÍÛÅ ÂÛ×ÈÑËÅÍÈß ÈÍÒÅÃÐÀËΠÎÒ ÁÛÑÒÐÎÎÑÖÈËËÈÐÓÞÙÈÕ ÔÓÍÊÖÈÉ Â ÑËÓ×ÀÅ ÑÈËÜÍÎÉ ÎÑÖÈËËßÖÈÈ Â ÈÍÒÅÐÏÎËßÖÈÎÍÍÎÌ ÊËÀÑÑÅ ËÈÏØÈÖÀ Êëþ÷åâûå ñëîâà: áûñòðîîñöèëëèðóþùèå ôóíêöèè, îïòèìàëüíûé ïî òî÷íîñòè àëãîðèòì. Ïðè ðåøåíèè òàêèõ êëàññîâ çàäà÷, êàê ñòàòèñòè÷åñêàÿ îáðàáîòêà ýêñïåðèìåí- òàëüíûõ äàííûõ, öèôðîâàÿ ôèëüòðàöèÿ, ðàñïîçíàâàíèå îáðàçîâ, ìîäåëèðîâàíèå îïòè÷åñêèõ ñèñòåì è ñèíòåçèðîâàííûõ ãîëîãðàìì, êðàåâûå çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ è äðóãèå, âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü â âû÷èñëåíèè èíòåã- ðàëîâ âèäà [1] I f x xdx1 0 1 ( ) ( )sin� �� � , I f x xdx2 0 1 ( ) ( )cos� �� � , (1) ãäå f x F( )� (F — íåêîòîðûé çàäàííûé êëàññ ôóíêöèé), � — ïðîèçâîëüíîå âå- ùåñòâåííîå ÷èñëî, | |� �� 2 è èíôîðìàöèÿ î f x( ) çàäàíà íå áîëåå ÷åì â N òî÷êàõ. Äàííàÿ ðàáîòà, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ äàëüíåéøèì ïðîäîëæåíèåì è ðàçâèòèåì ðåçóëü- òàòîâ, ïîëó÷åííûõ â [2], ïîñâÿùåíà íàõîæäåíèþ îïòèìàëüíûõ îöåíîê [3] è ïîñòðîå- íèþ îïòèìàëüíûõ ïî òî÷íîñòè êâàäðàòóðíûõ ôîðìóë âû÷èñëåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ôèíèòíûõ ôóíêöèé âèäà (1) â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî f x CL N( ) ,� , CL N, — èí- òåðïîëÿöèîííûé êëàññ ôóíêöèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ Ëèïøèöà (| ( ) ( )| | |f x f x L x x1 2 1 2� � � , x x 1 2 0 1, [ , ]� ) è çàäàííûõ 2N ôèêñèðîâàííûìè çíà÷å- íèÿìè { }fi N 0 1� è { }xi N 0 1� . Óêàçàííûé ñïîñîá çàäàíèÿ èñõîäíîé èíôîðìàöèè ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ñóæåíèÿ êëàññà F íà êëàññ FN . Îí ïðèáëèæàåò ê ðå- àëüíîé ñèòóàöèè, êîòîðàÿ âîçíèêàåò ïðè ðåøåíèè êîíêðåòíîé çàäà÷è [3].  ñòàòüå ðàññìîòðåí ñëó÷àé ñèëüíîé îñöèëëÿöèè ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè: | |� �� 2 è N � | |� . Îáîçíà÷èì R R f A� ( , , )� ðåçóëüòàò ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ I ( )� ñ ïî- ìîùüþ êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû À. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå õàðàêòåðèñòèêè: � � �( , , , ) ( , )f A f I Ri N{ } 0 1� � , � � � �( , , ) ( , , , )F A f A fN f F i N N � � �sup { } 0 1 , (2) � � � � �� �( , ) ( , , )F F AN A Ninf . Çäåñü �( , )I R — ïîãðåøíîñòü ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ: � �( , ) | ( ) |I R I R� � . Êâàäðàòóðíóþ ôîðìóëó A * , íà êîòîðîé äîñòèãàåòñÿ îïòèìàëüíàÿ îöåíêà �, íà- çîâåì îïòèìàëüíîé ïî òî÷íîñòè. Åñëè äëÿ êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû A * � � � �( , , , )*F A NN � � , òî A * íàçîâåì îïòèìàëüíîé ïî òî÷íîñòè ñ òî÷íîñòüþ äî �. Åñëè � � �� o O[ ], [ ] , òî A * íàçîâåì ñîîòâåòñòâåííî àñèìïòîòè÷åñêè îïòèìàëüíîé èëè îïòèìàëüíîé ïî ïîðÿäêó. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ è îáîñíîâàíèÿ îïòèìàëüíûõ ïî òî÷íîñòè è áëèçêèõ ê íèì êâàäðàòóðíûõ ôîðìóë âû÷èñëåíèÿ I ( )� â êëàññå F CN L N , áóäåì ïðèìåíÿòü ìå- òîä ãðàíè÷íûõ ôóíêöèé, êîòîðûé ñîñòîèò â ñëåäóþùåì [3, 4]. Ñòðîÿòñÿ âåðõíÿÿ (ìàæîðàíòà) è íèæíÿÿ (ìèíîðàíòà) ãðàíèöû âîçìîæíûõ çíà- ÷åíèé èíòåãðàëà I ( )� : ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 105 © Â.Ê. Çàäèðàêà, Ñ.Ñ. Ìåëüíèêîâà, Ë.Â. Ëóö, 2010 I I f FN � � �( ) ( )� �sup , I I f FN � � �( ) ( )� �inf ; I ( )� äîñòèãàþòñÿ íà f x FN �( ) — ñîîòâåòñòâåííî ìàæîðàíòå è ìèíîðàíòå îáëàñòè íåîïðåäåëåííîñòè âõîäíîé èíôîðìàöèè ôóíêöèé êëàññà F FN � . Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèþ f x ( ) íàçîâåì ìàæîðàíòîé (ìèíîðàíòîé) êëàññà ôóíêöèé FN , îïðåäåëåííûõ â íåêîòîðîé îáëàñòè D, åñëè 1) f x f x� �( ) ( ) ( f x f x� �( ) ( )) äëÿ âñåõ f F x DN� �, ; 2) f x FN � �( ) ( f x FN � �( ) ). ×åáûøåâñêèé öåíòð I * ( )� è ÷åáûøåâñêèé ðàäèóñ � �*( ) îáëàñòè íåîïðåäåëåí- íîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è (1), êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñîîòâåòñòâåííî îïòèìàëü- íóþ ïî òî÷íîñòè êâàäðàòóðíóþ ôîðìóëó âû÷èñëåíèÿ I ( )� è îïòèìàëüíóþ îöåíêó ïîãðåøíîñòè ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ I ( )� íà êëàññå FN , âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì [3]: I I I* ( ) ( ) ( ) � � � � �� � 2 , � � � �* ( ) ( ) ( ) � �� �I I 2 . (3) Ïðè äàííîé èíôîðìàöèè î çàäà÷å íèêàêàÿ êâàäðàòóðíàÿ ôîðìóëà íå ìîæåò äàòü òî÷íîñòü ìåíüøå, ÷åì � �* ( ). Äëÿ èíòåðïîëÿöèîííûõ êëàññîâ FN ÷åáûøåâ- ñêèé ðàäèóñ � �* ( ) ñîâïàäàåò ñ îïòèìàëüíîé îöåíêîé �. Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå. Ëåììà. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà I1 ( )� è f x CL N( ) ,� , f x fi i( ) � � 0, i N� �0 1, . Ïóñòü íà îòðåçêàõ �x x xi i i� ��1 èìååòñÿ ki êîëåáàíèé ôóíêöèè sin �x è âûïîëíåíî óñëîâèå À: | |� � �� � �� �1 óçëîâ xi âõîäÿò â ÷èñëî íóëåé sin �x. Òîãäà ïðè N � | |� ôóíêöèÿ p x( ) âèäà p x L x x x x x x x L x ik ik ik ik ik ik ( ) ( ) sin , ( ), ( � � � � � �sign � 1 2 1 � � �� � � � � � � � � 1 1 1 1 2 x x x x x xik ik ik ik) sin , ( ) ,sign � (4) ãäå k k x x x xi i i ik ii � � � � �0 1 0 1, , , , x x kik i� � �� � �� � � � � � � � � � � � �2 1 2 2 1 | | | | — íóëè sin �x íà �xi , k x x i Ni i i� �� � �� � �� � �� � �� | | | | , , � � � � 1 0 1, ÿâëÿåòñÿ ìàæîðàíòîé îáëàñòè íåîïðå- äåëåííîñòè ôóíêöèé êëàññà CL N, . Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì ìåòîäîì îò ïðîòèâíîãî. Ïóñòü ñó- ùåñòâóåò ôóíêöèÿ g x p x( ) ( )� , íà êîòîðîé äîñòèãàåòñÿ sup f x CL N I ( ) , ( ) � 1 � , ò.å. sup f x CL N I g x xdx ( ) , ( ) ( )sin � � �1 0 1 � � . Ïðåäñòàâèì ôóíêöèþ g x( ) â âèäå g x p x x g x p x i Ni i( ) ( ) ( ), ( ) ( ) , ,� � � � � �� 0 0 1. Òîãäà g x xdx p x xdx x xdx( )sin ( )sin ( )sin� � � �� � �� � � 0 1 0 1 0 1 � � � � � �� � � � �� � � � � � g x xdx x xdx x x x x i i i i i ( )sin ( )sin� � � 1 1 0 1N � � . 106 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 Ôóíêöèÿ �( )x äîëæíà áûòü òàêîé, ÷òîáû g x CL N( ) ,� . Äîêàæåì, ÷òî ïðè ýòîì � �( )sinx xdx x x i i� � � 1 0. (5) Äåéñòâèòåëüíî, � � � � �( )sin ( )sin (x xdx x xdx x x x x k k i i ik iki� � � ��� � � �1 1 0 1 x xdx x x i i )sin | | � � � � � � 2 � � � � � �( ) ( )sin ( )sin | | | | k x xdx x xdxi x x xi i i 1 2 3 2 � � � � � � � � � � � � � � � � �� ! " " " "" � 3 2 5 2 � � � � | | | | xi � � � � � � � � � � � � � � � ( )sin ( ) ( ) ( ) ( | | x xdx v k v v x x i i i 1 1 2 1 2 31 { � �) ( )}� v4 . Èññëåäóåì âîçìîæíîå ïîâåäåíèå � �( )sinx xdx� íà èíòåðâàëàõ x xi i, | | � � � � � � � �2 , � � � � � � � �2 3 2 3 2 5 2| | , | | , | | , | | � � � � � � � � � � è x xi i� �� � � � � �1 1 2 � �| | , . 1. Ïóñòü x x xi i� � � � � � �, | | � �2 . #1. Ïóñòü x x k ki i, | | | | , | | � � � � � � � �� � � ! " � � � � � � � � � � �2 2 2 1 2 , k � 0 1 2, , ...  ýòîì ñëó÷àå sin �x � 0 è ôóíêöèÿ �( )x äîëæíà áûòü óáûâàþùåé ñ îáëàñòüþ çíà÷åíèé: � � � �2 0L x x xi( ) ( )� , èíà÷å g x CL N( ) ,$ . Ïîñêîëüêó g x i Ni( ) , ,� � �0 0 1, p xi( ) � 0 , ñëåäîâàòåëüíî, �( )xi � 0 . Òàê êàê �( )x íå ìîæåò âîçðàñòàòü, çíà÷èò, �( )x � 0. Ó÷èòû- âàÿ, ÷òî sin �x � 0 , ïîëó÷àåì � � � � ( )sin | | x xdx x x i i � � � 0 2 . #2 . Ïóñòü x x k ki i, | | ( ) | | , | | � � � � � � � � �� � � ! " � � � � � � � � � � �2 2 1 2 3 2 , k � 0 1 2, , ...  ýòîì ñëó÷àå sin �x � 0 è ôóíêöèÿ �( )x íå óáûâàåò. Îíà ìîæåò áûòü òîëüêî âîçðàñòàþùåé (îá- ëàñòü åå çíà÷åíèé 0 2� � ��( ) ( )x L x xi , èíà÷å g x CL N( ) ,$ ). Ïîâòîðÿÿ àíàëîãè÷íûå ï. #1 ðàññóæäåíèÿ, ïîëó÷àåì, ÷òî è â ýòîì ñëó÷àå � � � � ( )sin | | x xdx x x i i � � � 0 2 . Òàêèì îáðàçîì, îêîí÷àòåëüíî èìååì v1 0( )� � . (6) 2. Ïóñòü x� � � � � � � � � �2 3 2| | , | | . Íà ýòîì èíòåðâàëå p x( ) ÿâëÿåòñÿ óáûâàþùåé, ñëåäî- âàòåëüíî, �( )x äîëæíà áûòü âîçðàñòàþùåé, èíà÷å g x CL N( ) ,$ . Òîãäà äëÿ ïðîèç- ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 107 âîëüíîãî � � � � � � � � �0 2 , | | � � � � � � � � | | | | � � � �� ! "" � � � � �� ! "" . (7) Ïî îïðåäåëåíèþ èíòåãðàëà � � � � � � � � � � ( )sin lim | | | | | | x xdx t i i � � � � �� ! ""% � � � 0 2 3 2 20 2 2 M i t� � � � �� ! "" � � � � ! " "sin | | � � � � � , � i t�� , �t t t M i i� � ��1 2 � � , ãäå M — êîëè÷åñòâî èíòåðâàëîâ äëèíû �t íà îò- ðåçêå � � � �2| | , | | � � � � � . Ïóñòü � i i i it t i t� � � �& � & �( ) , 0 1� �& i . Òàê êàê � � � �2 � � � �( )i ti& � � � �� &t M i i( ), ïîëó÷èì � � � � �� � � � ( )sin lim | | ( ) | | | | x xdx i t t i 2 3 2 0 2� % � � � � �� � & � ! "" � � � � �� ! "" � � � � ! " " � � � i M ii t t 0 2 2 sin | | ( )� � � & � � � � � � � � �� ! "" � � % � �lim � & � t i i M M i t M 0 0 2 � � � � � �| | ( ) sin | | ( i t ti� � � �� ! "" � � � � ! " " �& � �) � � � � � �� ! "" � � � � % � �lim � & � t i i M i t i 0 0 2 � � � � � �| | ( ) sin | | ( � � � �� ! "" � � � � ! " " � � � � � �� ! "" '& � & �i it i t) | | ( )� � � ' � � � � �� ! "" � � � � ! " " � � � �� sin | | ( )� � � i t ti& � � . Ïîñêîëüêó ( � �� � �� � � 0 2 , sin sin� � � � � � �� � � ! " � � � ! " � � �� � � ! " � � � ! " , ïîëó÷èì � � � � �� � � � ( )sin | | ( ) | | | | x xdx i t t i� � � � � �� % � lim � & � 0 2 3 2 ! "" � � � � � �� ! "" � � � � � � ' � � � � �20 2 | | ( )i ti i M & � ' � � � � �� ! "" � � � � ! " "sin | | ( )� � �2 i t ti& � � . Òàê êàê sin | | ( )� � �2 0� � � � �� ! "" � � � � ! " " �i ti& � , � � � � � �2 2 � � � �( )i ti& � , i M� �0 1, , è ó÷èòûâàÿ ñîîòíîøåíèå (7), îêîí÷àòåëüíî èìååì v2 0( )� � . (8) Ïî àíàëîãèè ñ äîêàçàòåëüñòâîì îöåíêè (8) ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî â ñëó÷àå x� � � � � � 3 2 5 2 � � � �| | , | | èìååì v3 0( )� � . 108 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 Ïîâòîðÿÿ ðàññóæäåíèÿ, àíàëîãè÷íûå ï. 1, ïîëó÷èì, ÷òî â ñëó÷àå x� � � � � � � �� �x xi i1 1 2 � �| | , èìååì v4 0( )� � . Òàêèì îáðàçîì, óòâåðæäåíèå (5) äîêàçàíî. Ñëåäîâàòåëüíî, sup f x CL N g x xdx ( ) , ( )sin � � � 0 1 áóäåò äîñòèãàòüñÿ òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè g x p x( ) ( ) .  ïðîòèâíîì ñëó÷àå äëÿ ëþáîé ôóíêöèè g x CL N( ) ,� èìååì g x xdx p x xdx( )sin ( )sin� � 0 1 0 1 � �� , ò.å. p x( ) ÿâëÿåò- ñÿ ôóíêöèåé, íà êîòîðîé äîñòèãàåòñÿ sup f x CL N I ( ) , ( ) � 1 � . Òåîðåìà 1. Ïóñòü f x CL N( ) ,� , f x fi i( ) � , i N� �0 1, , N � | |� , íà îòðåçêàõ �xi èìååòñÿ ki êîëåáàíèé ôóíêöèè sin �x è âûïîëíåíî óñëîâèå A. Òîãäà ôóíêöèè f x p x f f x x xi i i i i � � � � �( ) ( ) ( )* � � , (9) f x f f x x x p xi i i i i � � � � �( ) ( ) ( )*� � , (10) x xi�� , i N� �0 1, , �f f fi i i� ��1 , �x x x pi i i i x� ��1 , ( ) * îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíè- åì (3) ïðè L L f x i i i � � � � , ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ìàæîðàíòîé è ìèíîðàíòîé îá- ëàñòè íåîïðåäåëåííîñòè èñõîäíûõ äàííûõ CL N, , ïðè÷åì sup f x CL N I x f x xdx ( ) , ( ) ( )sin � �� �1 0 1 � , (11) inf ( ) ( )sin ( ) ,f x CL N I x f x xdx � �� �1 0 1 � . (12) Äîêàçàòåëüñòâî. Ëþáóþ ôóíêöèþ f x CL N( ) ,� , f x f i Ni i( ) , ,� � �0 1, ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå f x f x f f x x xi i i i( ) ( ) ( )� � � �1 � � , x xi�� , ãäå f x1 ( ) — íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ, ðàâíàÿ íóëþ â óçëàõ { }xi N 0 1� è òàêàÿ, ÷òîáû f x C L N ( ) , � . Òîãäà sup sup f x C f x CL N L N I x f x xdx f x ( ) ( ), , ( ) ( )sin ( )s � � � ��1 0 1 � in �xdx x x i N i i� �� � � � 1 0 1 � � � � � � � �sup f x C x x i x x L N i i i i f x xdx f xdx ( ) , ( )sin sin1 1 1 � � � � f x x x xdxi i i x x i N i i ( )sin� � � � �� � � � �� � � �� � � � 1 0 1 � � � �� � � 1 1 1 1 1 | | (cos cos ) cos | | (sin � � � � � �f x x x x xi i i i i i� � � � � � � � � � � � sin )�xi i N 0 1 � � � �sup f x C x x L N i i f x xdx ( ) , ( )sin1 1 � . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 109 Ïîñêîëüêó f x CL N( ) ,� , ôóíêöèÿ f x CL Ni1 ( ) ,� , ãäå L L f x i i i � � � � , i N� �0 1, . Òàê êàê ëåììà ñïðàâåäëèâà äëÿ ëþáîãî L , òî, èñïîëüçóÿ åå ðåçóëüòàò äëÿ L Li� íà êàæ- äîì îòðåçêå �xi , ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî sup sup f x C f x CL N Li N f x xdx f x xdx ( ) ( ), , ( )sin ( )sin � � �1 1� � � �� � �� �� � � x x x x i x x i N i i i i i i p x xdx 11 1 0 1 * ( )sin � , ãäå p xi * ( ) îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè (4) ïðè L Li� . Ñëåäîâàòåëüíî, sup f x CL N I ( ) , ( ) � 1 � äîñòèãàåòñÿ â ñëó÷àå, êîãäà f x f x( ) ( ) � , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Àíàëîãè÷íî ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ (10) ÿâëÿåòñÿ ìèíîðàíòîé îáëàñòè íåîïðåäåëåííîñòè èñõîäíûõ äàííûõ ôóíêöèé êëàññà CL N, , äîñòàâëÿþùåé inf f x CL N I x ( ) , ( ) � 1 (12). Òåîðåìà 2.  óñëîâèÿõ òåîðåìû 1 ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå äëÿ îïòèìàëüíîé îöåíêè � � � �( , ) ( ) inf ( ), ( ) ( ) , , C I IL N f x C f x C L N L N � � � � � 1 2 1 1sup � �� � �� � �� � �� � �� � �� � � � � � � � 2 2 2 1 L x xi i � � � � � � � | | | | | | sin | | ( )2 0 1 4 � � � � f L x Ai ii N � � � � � � � � � � , ãäå A L ( ) sin | | | | cos� � � � � � � � � � �� � �� � � �� ! "" � � � � ! " " 2 1 2 1 � � � � � 1 1 2 1� �� � �� � � � � � � � ! " " " " � � � � � �� ! " " " "" � � | | | | |� � � � � | | | cos �� � �� � � �� ! "" � � � � ! " " , ïðè÷åì êâàäðàòóðíàÿ ôîðìóëà R f x xdxik x x k k i N i k i ki 5 0 1 0 1 1 ( ) ( )sin* , , � �� � ��� � � � � , (13) ãäå f xik * ( ) — ÷åáûøåâñêèé öåíòð îáëàñòè íåîïðåäåëåííîñòè ôóíêöèé êëàññà CL N, íà îòðåçêàõ � �x xi k i k, ,, �1 , f x f f x k x x x f f x k ik i i i i k i k i i i * , , ( ) | | , , | | � � � � � � � � � � � � � � L x x k L f x k i i i � � �� � �� � � � � � � � � � � � � | | | | | | � � � � � � 1 1 2 1 2 � � � � � � � � � � � � � � � , , ( ) | | , , , , , x x x f f x k x x x i k i k i i i i k i � � 1 1 � � � � � � � � x x x f x i k i k i k i i , , , | | | | � � � �1 2 � � � � , x x x f x i k i k i k i i , , , | | | | � � � �1 2 � � � � , k xi i k, , îïðåäåëåíû â ëåììå, ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíîé êâàäðàòóðíîé ôîðìóëîé âû÷èñëåíèÿ I1 ( )� â êëàññå CL N, ïðè N � | |� . 110 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ îöåíêè ñíèçó ïîãðåøíîñòè ÷èñëåííîãî èíòåã- ðèðîâàíèÿ íà êëàññå CL N, îöåíèì ÷åáûøåâñêèé ðàäèóñ îáëàñòè íåîïðåäåëåííîñòè CL N, . Èñïîëüçóÿ äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3.13 â [3] è ñîîòíîøåíèÿ (11), (12), ïîëó÷èì � � � �( , ) ( ) inf ( ), ( ) ( ) , , C I IL N f x C f x C L N L N � � � � � 1 2 1 1sup � � � � � �� � � � �� �� � � � 1 2 0 1 0 1 f x xdx f x xdx( )sin ( )sin� � � �� � � � � � � �� 1 2 0 1 0 1 0 1 1 ( ( ) ( ))sin , , f x f x xdx x x k k i N i k i ki �� ���� � � � � � f x xdx x x k k i N i k i ki 1 0 1 0 1 0 1 1 ( )sin , , � , ãäå f x L x x x x x x L x i k i k i k i k i k 1 1 2 ( ) ( ) sin , ,, , , , , � � � �sign si � � gn sin | | , , ( , , , , � � � x f x x x x L x i k i i i k i k i k � � � �� ! "" � � � � � 1 � � � � � � � $ �x x x x x i N k k x i k i k i k i ) sin , , , , , , [ , , ,sign � 1 0 1 0 1 x x L x x x N N N N � � �� 1 1 1 ,[| | / ] , [| |/ , [| , ], ( ), sin � � � � �sign � � � �| / ] , [| | / ] , [ , ].x x N � � � � � � � � � � � � �1 1 Îêîí÷àòåëüíî èìååì f x xdx x x k k i N i k i ki 1 0 1 0 1 1 ( )sin , , � � � ��� � � � � � � �� 4 2 42 1 2 2L x x x f L x i k i k i k i � � � �� � � sin ( ) sin sin | , , ,� � � ik k i N i A � � � � ! " " � � � � � �� 0 1 0 1 ( )� , ãäå A L x x N N ( ) sin cos,[| |/ ] , [| |/ ] � � � � �� � � � � � � � �� �2 2 1 2 1 1 � � � ! " "� ���xN 1,[| |/ ] cos� � � � � � � � � ! " " � � �L x xN N � � � � � � �2 2 1 2 1 1 1 sin cos , [| |/ ] ,[| |� � / ] ,[| |/ ] cos � � � � 2 1 2 1� � � � ! " " � � � � � � ! " " ��xN . Òîãäà f x xdx L f L x Ai ik 1 0 1 2 24 1 2 4 ( )sin sin | | ( )� � � �� � � � � � � � � � � �� � � � �� � 0 1 0 1 k i N i � �� � �� � � �� � �� � � � � � � � � � �4 1 2 1 1 2 1 0 1L x xi i i N � � � � � | | | | � � � �� � �� � � �� � �� � � � � � � � � � � | | | | sin |� � � � � x xi i i N 1 0 1 21 � f L x Ai i | ( ) � � 4 � � � � �� � �� � �� � �� � �� � �� � � � � � � � 2 2 2 1 L x xi i � � � � � � � | | | | | | i N i i f L x A � � � � � � � � � � 0 1 2 4 sin | | ( ) � � � � � . (14) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 111 Íåîáõîäèìàÿ îöåíêà ñíèçó äîêàçàíà. Ïîëó÷èì ñîîòâåòñòâóþùóþ îöåíêó ñâåðõó äëÿ � �N L NC R( , , ), 5 . � � �N L N f x C i k x C R f x f x xdx L N i ( , , ) [ ( ) ( )] sin, ( ) , * , 5 � � � sup , , k i ki x k k i N � ��� � � � � � 1 0 1 0 1 � � � � � �� �� � � ( ) sin sin, , , , x x x xdxi k i k x x k k i k i ki sign � � 0 1 i N � � � � 0 1 � � � � �� ! "" � L x f L x x xdxi k i i i k xi 2 � � � , , | | sin sin � � � �sign , , k i kx � � � � � � �� �� � �L x x x xdxi k i k x x i k i k ( ) sin sin, , , , 1 1 sign � � � � � � � L x x x xdxN N xN ( ) sin sin, [| |/ ] , [| |/ ] , 1 1 1 � � � �� �sign [| |/ ]� � 1 � � � � �� 4 2 42 1 2 2L x x x f L x i k i k i k i � � � � � � sin ( ) sin sin | | , , ,� � � ik k i N i � � � � ! " " � � � � � �� 0 1 0 1 � � � � � � ! "� �L x x N N � � � �� � � �2 2 1 2 1 1 sin cos, [| |/ ] , [| |/ ] � � "� ���xN 1, [| |/ ] cos� � � � � �� 4 2 42 1 2 2L x x x f L x i k i k i k i � � � � � � sin ( ) sin sin | | , , ,� � � ik k i N i A � � � � ! " " � � � � � �� 0 1 0 1 ( )� . (15) Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû çàâåðøàåòñÿ ñðàâíåíèåì îöåíîê (14) è (15). ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Á à õ â à ë î â Í . Ñ . Îá îïòèìàëüíîñòè ëèíåéíûõ ìåòîäîâ ïðèáëèæåíèÿ îïåðàòîðîâ íà âûïóêëûõ êëàññàõ ôóíêöèé // ÆÂÌ è ÌÔ. — 1971. — 11, ¹ 4. — C. 1014–1018. 2. Ç à ä è ð à ê à  . Ê . , Ì å ë ü í è ê î â à Ñ . Ñ . , Ë ó ö Ë .  . Îïòèìàëüíûå êâàäðàòóðíûå è êóáàòóðíûå ôîðìóëû âû÷èñëåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ôèíèòíûõ ôóíêöèé îäíîãî êëàññà (ñëó÷àé ñèëüíîé îñöèëëÿöèè) // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2007. — ¹ 5. — C. 144–164. 3. Ç à ä è ð à ê à  . Ê . Òåîðèÿ âû÷èñëåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1983. — 212 ñ. 4. Ç à ä è ð à ê à  . Ê . , Ì å ë ü í è ê î â à Ñ . Ñ . Öèôðîâàÿ îáðàáîòêà ñèãíàëîâ. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1993. — 294 ñ. Ïîñòóïèëà 19.05.2009 112 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-45146
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn 0023-1274
language Russian
last_indexed 2025-12-02T03:54:36Z
publishDate 2010
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format dspace
spelling Скопецкий, В.В.
Марченко, О.А.
Самойленко, Т.А.
2013-06-08T06:34:45Z
2013-06-08T06:34:45Z
2010
Построение и исследование нелинейной дифференциальной модели двухфазных сред / В.В. Скопецкий, О.А. Марченко, Т.А. Самойленко // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 2. — С. 92-104. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.
0023-1274
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45146
532.546:539.3
Сформульовано початково-крайову задачу для нелінійної системи одного параболічного рівняння вологопереносу–фільтрації та двох гіперболічних рівнянь теорії пружності. Отримано оцінки швидкості збіжності для неперервного за часом і повністю дискретно наближених розв’язків відповідної узагальненої задачі, побудованої за методом Гальоркіна.
An initial–boundary-value problem for a nonlinear system of one moisture-transfer or filtration parabolic equation and two hyperbolic equations from the theory of elasticity is analyzed. The rate of convergence is estimated for a time-continuous and a completely discrete approximate solutions of the corresponding generalized problem set up by the Galerkin method.
ru
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
Кибернетика и системный анализ
Системный анализ
Построение и исследование нелинейной дифференциальной модели двухфазных сред
Побудова і дослідження нелінійної диференціальної моделі двофазових середовищ
Construction and analysis of a nonlinear differential model for two-phase media
Article
published earlier
spellingShingle Построение и исследование нелинейной дифференциальной модели двухфазных сред
Скопецкий, В.В.
Марченко, О.А.
Самойленко, Т.А.
Системный анализ
title Построение и исследование нелинейной дифференциальной модели двухфазных сред
title_alt Побудова і дослідження нелінійної диференціальної моделі двофазових середовищ
Construction and analysis of a nonlinear differential model for two-phase media
title_full Построение и исследование нелинейной дифференциальной модели двухфазных сред
title_fullStr Построение и исследование нелинейной дифференциальной модели двухфазных сред
title_full_unstemmed Построение и исследование нелинейной дифференциальной модели двухфазных сред
title_short Построение и исследование нелинейной дифференциальной модели двухфазных сред
title_sort построение и исследование нелинейной дифференциальной модели двухфазных сред
topic Системный анализ
topic_facet Системный анализ
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45146
work_keys_str_mv AT skopeckiivv postroenieiissledovanienelineinoidifferencialʹnoimodelidvuhfaznyhsred
AT marčenkooa postroenieiissledovanienelineinoidifferencialʹnoimodelidvuhfaznyhsred
AT samoilenkota postroenieiissledovanienelineinoidifferencialʹnoimodelidvuhfaznyhsred
AT skopeckiivv pobudovaídoslídžennânelíníinoídiferencíalʹnoímodelídvofazovihseredoviŝ
AT marčenkooa pobudovaídoslídžennânelíníinoídiferencíalʹnoímodelídvofazovihseredoviŝ
AT samoilenkota pobudovaídoslídžennânelíníinoídiferencíalʹnoímodelídvofazovihseredoviŝ
AT skopeckiivv constructionandanalysisofanonlineardifferentialmodelfortwophasemedia
AT marčenkooa constructionandanalysisofanonlineardifferentialmodelfortwophasemedia
AT samoilenkota constructionandanalysisofanonlineardifferentialmodelfortwophasemedia

Схожі ресурси