Об одной задаче сближения для дискретной системы со случайными возмущениями
На основі методу розв’язуючих функцій доведено загальні достатні умови скінченності гарантованого часу досягнення циліндричної термінальної множини квазілінійним конфліктно керованим процесом із випадковими збуреннями. Для процесу з простою матрицею отримано умови скінченості майже всюди та скінчено...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45148 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об одной задаче сближения для дискретной системы со случайными возмущениями / К.Г. Дзюбенко, A.A. Чикрий // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 2. — С. 113-125. — Бібліогр.: 33 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859640982879862784 |
|---|---|
| author | Дзюбенко, К.Г. Чикрий, А.А. |
| author_facet | Дзюбенко, К.Г. Чикрий, А.А. |
| citation_txt | Об одной задаче сближения для дискретной системы со случайными возмущениями / К.Г. Дзюбенко, A.A. Чикрий // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 2. — С. 113-125. — Бібліогр.: 33 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | На основі методу розв’язуючих функцій доведено загальні достатні умови скінченності гарантованого часу досягнення циліндричної термінальної множини квазілінійним конфліктно керованим процесом із випадковими збуреннями. Для процесу з простою матрицею отримано умови скінченості майже всюди та скінченості з додатньою ймовірністю гарантованого часу досягнення.
Based on the method of resolving functions, general sufficient conditions for the finiteness of the guaranteed time of attainment of a cylinder terminal set by a quasi-linear conflict-controlled process with random disturbances are proved. For a process with simple matrix, finiteness almost sure and finiteness with positive probability conditions for guaranteed time of attainment are found.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:21:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 518.9
Ê.Ã. ÄÇÞÁÅÍÊÎ, A.A. ×ÈÊÐÈÉ
ÎÁ ÎÄÍÎÉ ÇÀÄÀ×Å ÑÁËÈÆÅÍÈß ÄËß ÄÈÑÊÐÅÒÍÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ
ÑÎ ÑËÓ×ÀÉÍÛÌÈ ÂÎÇÌÓÙÅÍÈßÌÈ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: äèñêðåòíàÿ ñèñòåìà, êîíôëèêòíî óïðàâëÿåìûé ïðîöåññ, ñëó-
÷àéíîå âîçìóùåíèå, ãàðàíòèðîâàííîå âðåìÿ äîñòèæåíèÿ, ìíîãîçíà÷íîå îòîáðà-
æåíèå, óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà.
 íàñòîÿùåå âðåìÿ äîñòàòî÷íî õîðîøî ðàçâèòà òåîðèÿ äèíàìè÷åñêèõ èãð. Ñóùåñòâó-
þùèå ïîäõîäû — ïðÿìûå ìåòîäû Ë.Ñ. Ïîíòðÿãèíà [1], ïðàâèëî ýêñòðåìàëüíîãî ïðè-
öåëèâàíèÿ Í.Í. Êðàñîâñêîãî [2], ìåòîä ïîëóãðóïïîâûõ îïåðàòîðîâ Á.Í. Ïøåíè÷íîãî
[3], òåõíèêà, ñâÿçàííàÿ ñ îñíîâíûìè óðàâíåíèÿìè òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ èãð
Ð. Àéçåêñà [4], ìåòîä ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé [5] è ðÿä äðóãèõ ýôôåêòèâíûõ ïðîöå-
äóð ïîçâîëÿþò èññëåäîâàòü øèðîêèå êëàññû êîíôëèêòíî óïðàâëÿåìûõ ïðîöåññîâ íà
ïðåäìåò èãðîâîãî ñáëèæåíèÿ òðàåêòîðèé. Âåñüìà ðàçíîîáðàçíû è óáåäèòåëüíû ìåòî-
äû óêëîíåíèÿ îò âñòðå÷è: ìåòîä ìàíåâðà îáõîäà Ë.Ñ. Ïîíòðÿãèíà–Å.Ô. Ìèùåíêî,
ìåòîäû ïîñòîÿííûõ è ïåðåìåííûõ íàïðàâëåíèé, ìåòîä èíâàðèàíòíûõ ïîäïðîñ-
òðàíñòâ, ðåêóðñèâíûé ìåòîä. Ñîîòâåòñòâóþùèé îáçîð ñîäåðæèòñÿ â [6].
Ïîýòîìó åñòåñòâåííûì îáðàçîì âîçíèêàåò âîïðîñ î âíåñåíèè â ìîäåëü
êîíôëèêòíî óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà íå òîëüêî äåòåðìèíèðîâàííîé [7], íî è ñòî-
õàñòè÷åñêîé íåîïðåäåëeííîñòè. Ýòî ìîæíî ñäåëàòü ïî-ðàçíîìó. Òàê, â ðàáîòàõ [8–10]
ðàññìàòðèâàåòñÿ ñèòóàöèÿ, êîãäà âìåñòî íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ ïðîöåññà èçâåñòíà ëèøü
åãî ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, ÷òî ïðèâîäèò ê èçó÷åíèþ óðàâíåíèÿ Ôîê-
êåðà–Ïëàíêà–Êîëìîãîðîâà [8, 10, 11], ðåøåíèåì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ òåêóùåãî ñîñòîÿíèÿ ïðîöåññà. Ïðèìåðû îïòèìèçàöèè òàêèõ íåïðåðûâíûõ
ïðîöåññîâ ñîäåðæàòñÿ â [8] (íà îñíîâå ïðèíöèïà ìàêñèìóìà Ïîíòðÿãèíà) è â [10],
ãäå ýòî îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ íåîáõîäèìûõ óñëîâèé ýêñòðåìóìà Ìèëþòè-
íà–Äóáîâèöêîãî. Ïîñêîëüêó íàõîæäåíèå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Ôîê-
êåðà–Ïëàíêà–Êîëìîãîðîâà â íåïðåðûâíîì âàðèàíòå — äîâîëüíî òðóäíàÿ ïðîáëåìà, òî
÷àñòî ïðèáåãàþò ê äèñêðåòèçàöèè íà÷àëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ èëè âðåìåíè. Ïîëíàÿ
êàðòèíà âîçìîæíûõ ôîðìàëèçàöèé â ýòîì êëàññå ïðåäñòàâëåíà â [11]. Ïðèìåðû
ïîäîáíîãî ðîäà èññëåäîâàíèé äëÿ èãðîâûõ ïîñòàíîâîê ñîäåðæàòñÿ â [12, 13].
Óïîìÿíóòûå çàäà÷è ñî ñòîõàñòè÷åñêîé íåîïðåäåëåííîñòüþ ÷àñòî íàçûâàþò
çàäà÷àìè ïîèñêà [14].  ðàáîòàõ [15–18] ïðåäëîæåíà áèëèíåéíàÿ ìîäåëü ïîèñêà,
ãäå ñòîõàñòè÷åñêàÿ ïåðåõîäíàÿ ìàòðèöà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé áëîê óïðàâëåíèÿ,
÷èñëî ñîñòîÿíèé êîíå÷íî, à âðåìÿ äèñêðåòíî. Ïðè ýòîì êðèòåðèé êà÷åñòâà —
âåðîÿòíîñòü îáíàðóæåíèÿ èëè ñðåäíåå âðåìÿ îáíàðóæåíèÿ îáúåêòà. Äèñêðåòíûé
ïðèíöèï ìàêñèìóìà èëè äèíàìè÷åñêîå ïðîãðàììèðîâàíèå ïîçâîëÿåò îïòèìèçè-
ðîâàòü ïðîöåññ ïîèñêà, â òîì ÷èñëå ñ ó÷àñòèåì ãðóïïèðîâîê äâèæóùèõñÿ îáúåêòîâ
ïðè ðàçëè÷íûõ èíôîðìàöèîííûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ.
Ïðèâíåñåíèå íåîïðåäåëåííîñòè â ìîäåëü ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåíî
ñ ïîìîùüþ ñìåøàííûõ ñòðàòåãèé èãðîêîâ [19, 20]. Øèðîêèé ñïåêòð èññëåäîâàíèé
ðàçëè÷íîãî êëàññà ñòîõàñòè÷åñêèõ èãð ñîäåðæèòñÿ â ðàáîòàõ [21–26]. Ïî-âèäèìîìó,
îäíèì èç íàèáîëåå åñòåñòâåííûõ ïóòåé èññëåäîâàíèÿ ñòîõàñòè÷åñêèõ êîíôëèêòíî
óïðàâëÿåìûõ ïðîöåññîâ (ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ èãð) ÿâëÿåòñÿ ðàñ-
ñìîòðåíèå â èñõîäíîé ïîñòàíîâêå ñòîõàñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ Èòî ñ óïðàâëÿþùèì
âîçäåéñòâèåì èëè ââåäåíèå â ïðàâóþ ÷àñòü äåòåðìèíèðîâàííîé äèíàìè÷åñêîé
ñèñòåìû ñëó÷àéíîãî âîçìóùåíèÿ. Ýòè èññëåäîâàíèÿ ñîäåðæàòñÿ, â ÷àñòíîñòè, â [27].
Ïðè ýòîì ìîãóò ïðèìåíÿòüñÿ ðàçëè÷íûå ìåòîäèêè äëÿ îïòèìèçàöèè.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 113
© Ê.Ã. Äçþáåíêî, A.A. ×èêðèé, 2010
 äàííîé ðàáîòå â êà÷åñòâå áàçîâîãî ìåòîäà èñïîëüçóåòñÿ èçâåñòíûé â òåîðèè
äèíàìè÷åñêèõ èãð ìåòîä ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé [5, 28] äëÿ èññëåäîâàíèÿ äèñêðåò-
íûõ ñèñòåì ñî ñëó÷àéíûìè âîçìóùåíèÿìè. Ñïîñîáíîñòü âû÷èñëÿòü ðàçðåøàþùèå
ôóíêöèè â àíàëèòè÷åñêîì âèäå äëÿ äîñòàòî÷íî øèðîêîãî êëàññà çàäà÷ ïîçâîëÿåò
äåëàòü çàêëþ÷åíèÿ î âîçìîæíîñòè âûâîäà òðàåêòîðèè ïðîöåññà íà çàäàííîå ìíî-
æåñòâî ñ ó÷åòîì âåðîÿòíîñòíûõ õàðàêòåðèñòèê ñëó÷àéíîãî âîçìóùåíèÿ.
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Ïóñòü äèíàìèêà êîíôëèêòíî óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà â êîíå÷íîìåðíîì åâêëèäîâîì
ïðîñòðàíñòâå R d îïèñûâàåòñÿ êâàçèëèíåéíîé ñèñòåìîé ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé
z t( )�1 = Az t u t v t t( ) ( ( ), ( )) ( )� �� � , z z( )0 0� , t N� 0 . (1)
Çäåñü N — ìíîæåñòâî âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, N N0 0� �{ }, d N� , A — êâàä-
ðàòíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà d , z R d
0 � . Âåêòîðû z t R d( )� , t N� 0 , îïèñûâàþò ñî-
ñòîÿíèÿ ñèñòåìû, u t( ) è v t( ) — ïàðàìåòðû óïðàâëåíèÿ èãðîêîâ, êîòîðûå â êàæ-
äûé ìîìåíò âðåìåíè âûáèðàþòñÿ èç ìíîæåñòâ U è V , ÿâëÿþùèõñÿ êîìïàêòàìè
â ïðîñòðàíñòâå R d :
u t( ) �U , v t( ) �V , t N� 0 .
Ôóíêöèÿ �:U V R d� � — áëîê óïðàâëåíèÿ. Ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ �( )t , t N� 0 ,
ñî çíà÷åíèÿìè â R d ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñëó÷àéíûå âîçìóùåíèÿ. Òåðìèíàëüíîå
ìíîæåñòâî ïðåäïîëàãàåòñÿ öèëèíäðè÷åñêèì:
M M M* � �0 , (2)
ãäå M 0 — ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî â R d , M — êîìïàêò, ïðèíàäëåæàùèé
îðòîãîíàëüíîìó äîïîëíåíèþ M
0
� ê M 0 â ïðîñòðàíñòâå R d .
Öåëè ïåðâîãî (u ) è âòîðîãî (v ) èãðîêîâ ïðîòèâîïîëîæíû. Ïåðâûé ñòðåìèòñÿ
âûâåñòè òðàåêòîðèþ ïðîöåññà (1) íà ìíîæåñòâî (2) çà êðàò÷àéøåå âðåìÿ, à âòî-
ðîé — ìàêñèìàëüíî îòñðî÷èòü ìîìåíò ïîïàäàíèÿ òðàåêòîðèè íà ìíîæåñòâî M *
èëè âîîáùå èçáåæàòü ýòîé âñòðå÷è. Ïðèìåì ñòîðîíó ïåðâîãî èãðîêà è îöåíèì, ÷òî
îí ìîæåò ãàðàíòèðîâàòü ñåáå â èãðå (1), (2). Âçàèìíàÿ èíôîðìèðîâàííîñòü î
âûáîðå óïðàâëåíèé áóäåò óòî÷íåíà äàëåå.
Ìíîæåñòâî ðåàëèçàöèé E ñëó÷àéíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè �( ),t t N� 0 , îáû÷íî
áåñêîíå÷íî. Íàïðèìåð åñëè â êàæäûé ìîìåíò �( )t ïðèíèìàåò êîíå÷íîå ÷èñëî çíà-
÷åíèé, òî ìíîæåñòâî ðåàëèçàöèé ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èìååò ìîùíîñòü êîíòè-
íóóìà [29, ñ. 22]. Çàôèêñèðóåì íåêîòîðûé ýëåìåíò �
*
( ) �E è ðàññìîòðèì óæå äå-
òåðìèíèðîâàííûé ïðîöåññ (1), ãäå ñëó÷àéíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü �( ) çàìåíåíà íà
íåêîòîðóþ åå ôèêñèðîâàííóþ ðåàëèçàöèþ �
*
( ) :
z t( )�1 = Az t u t v t t( ) ( ( ), ( )) ( )
*
� �� � , z z( )0 0� , t N� 0 . (3)
Äëÿ êîíôëèêòíî óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (3), (2) óñòàíîâèì äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ
ïðèâåäåíèÿ òðàåêòîðèè íà ìíîæåñòâî (2) çà íåêîòîðîå ãàðàíòèðîâàííîå âðåìÿ [5].
Ïðè ýòîì áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ïåðâûé èãðîê èñïîëüçóåò êîíòðóïðàâëåíèÿ, ò.å.
u t u z v t( ) ( , ( ))� 0 , t N� 0 . (4)
ÑÕÅÌÀ ÌÅÒÎÄÀ ÐÀÇÐÅØÀÞÙÈÕ ÔÓÍÊÖÈÉ
Ïóñòü � — îðòîïðîåêòîð, äåéñòâóþùèé èç R d íà M
0
� . Ïîëîæèâ
�� �( , ) ( , ):U v u v u U� � , ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ
W s v( , ) = � �A U vs ( , ) , s N� 0 , v V� ;
W s( ) = W s v
v V
( , )
�
� , s N� 0 .
114 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2
Ïóñòü âûïîëíåíî ñëåäóþùåå óñëîâèå.
Óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà [1, ñ. 344]. Ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå W s( ) èìååò íå-
ïóñòûå îáðàçû äëÿ âñåõ s N� 0 .
Âûáåðåì â îòîáðàæåíèè W s( ) íåêîòîðûé ñåëåêòîð �( )s è çàôèêñèðóåì åãî.
Îáîçíà÷èì
� � �( , , ( ), ( ))
*
t z0 = �A zt
0 + � �A st s
s
t
� �
�
�
1
0
1
*
( ) + �( )t s
s
t
� �
�
�
1
0
1
, t N� .
Ââåäåì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
A t s v( , , ) = � � � �{ : ( , ) ( ) ( , , ( ), ( )) }
*
� � � � � �� � � � � � � � � �0 1 1 0W t s v t s M t z ,
s t� �0 1, , t N� , v V� . (5)
Åãî îïîðíàÿ ôóíêöèÿ [30, 31] â íàïðàâëåíèè +1 èìååò âèä
�( , , )t s v = sup A t s v( , , ) , s t� �0 1, , t N� , v V� . (6)
Î÷åâèäíî, �( , , ) [ , )t s v � � � � � �0 { } äëÿ s t� �0 1, , t N� , v V� . Êðîìå òîãî, â
ñèëó âêëþ÷åíèé �( ) ( )s W s� , s N� , âûïîëíåíî 0� A t s v( , , ) äëÿ âñåõ âîçìîæíûõ
çíà÷åíèé àðãóìåíòîâ. Åñëè � � �( , , ( ), ( ))
*
t z M0 � , òî èç âûðàæåíèé (5), (6)
ñëåäóåò, ÷òî
A t s v( , , ) � [ , )0 �� , s t� �0 1, , v V� ,
à ñîîòâåòñòâóþùàÿ ðàçðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ �( , , )t s v � � � äëÿ óêàçàííûõ çíà÷åíèé
s è v . Åñëè æå � � �( , , ( ), ( ))
*
t z M0 � , òî ôóíêöèÿ (6) ïðèíèìàåò êîíå÷íûå çíà-
÷åíèÿ.
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ
T z( , ( ), ( ))*0 � � = min : ( , , )t N t s v
v V
s
t
� �
�
�
�
�
�
���
�
inf � 1
0
1
. (7)
Åñëè íåðàâåíñòâî â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ íå âûïîëíÿåòñÿ íè ïðè îäíîì t N� , òî
ïîëîæèì T z( , ( ), ( ))
*0 � � � � � . Áóäåì îáîçíà÷àòü T T z� ( , ( ), ( ))
*0 � � .
Óñëîâèå âûïóêëîçíà÷íîñòè [28]. Ñóùåñòâóåò òàêîé ñåëåêòîð �( ) , ÷òî ïðè
çàäàííûõ z0 è �
*
( ) îòîáðàæåíèå A T s v( , , ) , s T� �0 1, , v V� , âûïóêëîçíà÷íî.
Ëåììà 1. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (3), (2) âûïîëíåíî
óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà, M âûïóêëî è T T z� � � �( , ( ), ( ))
*0 � � äëÿ íà÷àëüíîãî ñî-
ñòîÿíèÿ z0 , ðåàëèçàöèè ñëó÷àéíîãî âîçìóùåíèÿ �
*
( ) è ñåëåêòîðà �( ) , ïðè÷åì âû-
ïîëíåíî óñëîâèå âûïóêëîçíà÷íîñòè. Òîãäà òðàåêòîðèÿ ïðîöåññà (3) ìîæåò áûòü ïðè-
âåäåíà íà òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî (2) â ìîìåíò T ñ ïîìîùüþ óïðàâëåíèÿ âèäà (4).
Äîêàçàòåëüñòâî. Çàôèêñèðóåì íåêîòîðóþ ôóíêöèþ v s( ) , s T� �0 1, , ñî çíà÷å-
íèÿìè â V . Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé � � �( , , ( ), ( ))
*
T z M0 � . Èç óñëîâèÿ âû-
ïóêëîçíà÷íîñòè è íåðàâåíñòâà â (7) ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ íå çàâèñÿùàÿ
îò v ôóíêöèÿ äèñêðåòíîãî àðãóìåíòà �s T( ) (�s T A T s v( ) ( , , )� , s T� �0 1, ), ÷òî âû-
ïîëíåíî
�s
s
T
T( ) �
�
�
1
0
1
. (8)
 ÷àñòíîñòè, òàêóþ ôóíêöèþ ìîæíî ïîñòðîèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì, îïèðàÿñü
íà ðàçðåøàþùóþ ôóíêöèþ
�
�
�s
v V
T
T
T s v( )
( )
( , , )�
�
1
inf , (9)
ãäå � �
�
( ) ( , , )T T s v
v V
s
T
�
�
�
inf
1
.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 115
Ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
U T s v u U A u v T s T M T zT s
s( , , ) { : ( , ) ( ) ( ) ( ,� � � � � � �� �� � � � �1
01 � �, ( ), ( )) }
*
� � ,
s T� �0 1, , v V� . (10)
Îíî èìååò íåïóñòûå îáðàçû â ñèëó ïðåäûäóùèõ ïîñòðîåíèé.  êà÷åñòâå óïðàâ-
ëåíèé ïåðâîãî èãðîêà íà êàæäîì øàãå âûáåðåì ñåëåêòîð
u s v U T s v( , ) ( , , )� , s T� �0 1, , v V� . (11)
Òîãäà, ó÷èòûâàÿ ïðåäñòàâëåíèå ïðîåêöèè ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (3) â âèäå
�z T( ) = �A zT
0 + � �A u s v sT s
s
T
� �
�
�
1
0
1
( ( ), ( )) + � �A sT s
s
T
� �
�
�
1
0
1
*
( ) ,
ïðèáàâèâ è âû÷òÿ èç ïðàâîé ÷àñòè âåëè÷èíó �( )t s
s
t
� �
�
�
1
0
1
, ïîëó÷èì
�z T( )� � � �( , , ( ), ( ))
*
T z0 1
0
1
�
�
�
�
�
!
"
"
�
�
�s
s
T
T( ) + �s
s
T
T M( )
�
�
0
1
� M . (12)
 ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå ó÷òåíû ñîîòíîøåíèÿ (8), (9) è âûïóêëîñòü ìíîæåñòâà M.
 ñëó÷àå � � �( , , ( ), ( ))
*
T z M0 � ïîëîæèì �s T( ) � 0, s T� �0 1, , è âûáåðåì
óïðàâëåíèÿ íà êàæäîì øàãå â ñîîòâåòñòâèè c ìíîæèòåëÿìè, ïîëó÷åííûìè â ðåçóëüòàòå
ñîîòíîøåíèé (10), (11). Òîãäà èç (12) ñëåäóåò, ÷òî �z T( )� �� � �( , , ( ), ( ))
*
T z M0 . �
Êàê âèäíî èç ñõåìû ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé, âûáîð âåêòîðîâ �( ) íå-
ïîñðåäñòâåííî íå ñâÿçàí ñ ðåàëèçàöèåé ñëó÷àéíûõ âîçìóùåíèé. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî
äëÿ çàäàííîãî íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ z0 ñóùåñòâóåò òàêîé ñåëåêòîð �( ) , ÷òî ïðè
ëþáîé ðåàëèçàöèè ñëó÷àéíûõ âîçìóùåíèé �
*
( ) �E âûïîëíåíû ïðåäïîëîæåíèÿ
ëåììû 1 è, êðîìå òîãî, sup
�
� �
*
( )
*
( , ( ), ( ))
�
� � �
E
T z
0
. Îòñþäà ñðàçó æå ñëåäó-
åò, ÷òî êàæäàÿ ðåàëèçàöèÿ ñëó÷àéíûõ âîçìóùåíèé äî ìîìåíòà îêîí÷àíèÿ èãðû ñî-
ñòîèò èç êîíå÷íîãî ÷èñëà âåêòîðîâ. Áîëåå òîãî, âåðîÿòíîñòü p j
*
êàæäîé ðåàëèçàöèè
�
*
( )j ñëó÷àéíûõ âîçìóùåíèé ìîæíî ëåãêî âû÷èñëèòü (íàïðèìåð, ïðè íåçàâèñè-
ìûõ �( )1 ,…, �( )k ). Òîãäà ñðåäíåå ãàðàíòèðîâàííîå âðåìÿ äîñòèæåíèÿ ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé âåëè÷èíó MT p T zj j
j
�
* *
( , ( ), ( ))0 � � . Ýòî ñðåäíåå ãàðàíòèðîâàííîå âðåìÿ
ðåàëèçóåòñÿ ñ ïîìîùüþ ñìåøàííîé ñòðàòåãèè, çàêëþ÷àþùåéñÿ â èñïîëüçîâàíèè
÷èñòûõ ñòðàòåãèé, ïðåäîñòàâëÿåìûõ ëåììîé, ñ âåðîÿòíîñòÿìè p j
*
, ñîîòâåòñòâóþ-
ùèìè ðåàëèçàöèÿì �
*
( ) ñëó÷àéíûõ âîçìóùåíèé � ( ) .
Ñëó÷àé sup
�
� �
*
( )
*
( , ( ), ( ))
�
� � �
E
T z
0
ïðåäñòàâëÿåòñÿ áîëåå òðóäíûì. Ïîä-
ðîáíåå îí èññëåäóåòñÿ íà ïðèìåðå ïðîöåññà (3) ñ ïðîñòîé ìàòðèöåé.
ÌÎÄÅËÜ ÏÐÎÑÒÎÃÎ ÄÂÈÆÅÍÈß
Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü �( ) èìååò ïðîèçâîëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, �
*
( ) — ëþ-
áàÿ åå ðåàëèçàöèÿ. Ðàññìàòðèì ñïåöèàëüíûé ñëó÷àé ïðîöåññà (3):
A E�
,
�R ;
�( , )u v u v� � , u U� , v V�
(E — åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà m m� ). Òîãäà (3) ïðèíèìàåò âèä
z t( )�1 =
�z t u t v t t( ) ( ) ( ) ( )
*
� � � , t N� 0 . (13)
116 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2
Òàêæå ïóñòü äëÿ íåêîòîðûõ a #1 è � # 0
U aK� 1 , V K� 1 , M 0 = { }
�
0 , M � �K1 , (14)
ãäå
�
0 — íóëåâîé âåêòîð â R d , || || — åâêëèäîâà íîðìà â R d , K x R d
1 � �{ :
|| || }x $1 . Òîãäà M
0
� = R d , � � E , �( , )U v aK v� �1 , W s v( , ) =
s aK v( )1 � , s N� 0 ,
v V� . Âûïîëíåíî óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà
W s( ) = W s v
v K
( , )
� 1
� =
s
v K
aK v( )1
1
�
�
� =
s aK K( * )1 1 =
s a K( )� � �1 1 , s N� 0
(X Y X y
y Y
* ( )� �
�
� — ãåîìåòðè÷åñêàÿ ðàçíîñòü ìíîæåñòâ X è Y ). Òàêæå âû-
ïîëíåíî óñëîâèå âûïóêëîçíà÷íîñòè ïðè ëþáîì êîíå÷íîì çíà÷åíèè T t� äëÿ ñå-
ëåêòîðîâ � 0 0( )s � , s t� �0 1, , â ñèëó ñëåäóþùåãî óòâåðæäåíèÿ.
Ëåììà 2. Äëÿ ïðîöåññà, îïðåäåëÿåìîãî (13), (14), ìíîæåñòâî
A t s v( , , ) = { : ( , ) ( ( ) ( , , ( ), ( ))) }� � � � ��� � � � � � �0 1 0 0W t s v M t t z
âûïóêëî ïðè âñåõ s t� �0 1, , t N� , v K� 1 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Çàïèøåì ðàññìàòðèâàåìîå ìíîæåñòâî â âèäå
A t s v( , , ) = �
� �
�� � � � �
�
�
�
�
� � � �
�
�
0 1
1 1 0
1
0
1
: ( ) ( )
*
t s t t k
k
t
aK v K z k
!
"
" � �
�
�
%
�%
�
�
%
�%
.
Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíûå � �1 2, ( , , )� A t s v , íå ðàâíûå íóëþ îäíîâðåìåííî, è
x x K1 2 1, �� , óäîâëåòâîðÿþùèå ñîîòíîøåíèÿì �
�i i
t t k
k
t
x z k� �
�
�
�
�
!
"
"�
� �
�
�
0
1
0
1
*
( )
� �aK v1 , i �{ }1 2, . Îáîçíà÷èì
( )t = � � �( , , ( ), ( ))
*
t z0 0 =
t z0 �
�t k
k
t
k� �
�
�
1
0
1
*
( ) .
 ñèëó âûïóêëîñòè aK v1 � äëÿ ëþáîãî � � ( , )0 1 âûïîëíåíî
� ��
K v x t1 1 1� & �( ( ) ) + ( ) ( ( ))1 2 2� �� �
x t =
= ( ( ) )�� � �1 21� �
��
�� � �
� �
�� � �
1
1 2
1
2
1 2
2
1
1
1� �
�
�
� �
�
�
�
��
!
""( )
( )
( )
( )x x t .
Ââèäó âûïóêëîñòè �K1 âåðíî
��
�� � �
� �
�� � �
1
1 2
1
2
1 2
2
1
1
1� �
�
�
� �( )
( )
( )
x x ��K1 . Ñëå-
äîâàòåëüíî, èìååò ìåñòî �� � �1 21� � �( ) A t s v( , , ) . �
Ëåììà 3. Äëÿ ïðîöåññà, îïðåäåëÿåìîãî (13), (14), ìíîæåñòâî A t s v( , , ) çàìêíó-
òî ïðè âñåõ s t� �0 1, , t N� , v K� 1 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü v K� 1 , t N� , s t� �{ }0 1, ... , , è ïóñòü � �* lim�
��n
n ,
ãäå �n � A t s v( , , ) , n N� . Íàéäóòñÿ x aKn � 1 , y Kn �� 1 , n N� , òàêèå, ÷òî
�
t s
n n nx v y t� � � � �1 ( ) ( ( )) , n N� . (15)
 ñèëó êîìïàêòíîñòè ìíîæåñòâ aK1 è �K1 íàéäåòñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü
n k( ) , k N� , è x aK* � 1 , y K* �� 1 òàêèå, ÷òî lim ( )
*
k
n kx x
��
� , lim ( )
*
k
n ky y
��
� .
Òîãäà ïåðåõîä ê ïðåäåëó â (15) äëÿ n n k� ( ) âëå÷åò
�
t s x v y t� � � � �1 ( ) ( ( ))* * * ,
ò.å. �* ( , , )� A t s v . �
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 117
Ïîñêîëüêó 0 ñîäåðæèòñÿ â A t s v( , , ) î÷åâèäíûì îáðàçîì, A t s v( , , ) ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé ëèáî çàìêíóòûé èíòåðâàë ñ íà÷àëîì â íóëå, ëèáî [ , )0 � � .
ÂÐÅÌß ÃÀÐÀÍÒÈÐÎÂÀÍÍÎÃÎ ÄÎÑÒÈÆÅÍÈß ÒÅÐÌÈÍÀËÜÍÎÃÎ ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ
Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà äàåò ôîðìóëó äëÿ ãàðàíòèðîâàííîãî âðåìåíè äîñòèæåíèÿ â
ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå.
Òåîðåìà 1. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (13), (2) âûïîëíåíû
óñëîâèÿ (14). Òîãäà ãàðàíòèðîâàííîå âðåìÿ ñáëèæåíèÿ, êîíå÷íîå èëè áåñêîíå÷íîå,
çàäàåòñÿ ôîðìóëîé
T z( , ( ))
*0 � � ' 'min : ( ) ( )
*
t z s at t s
s
t
i
i
t
� � $ � �
�
�
% � �
�
�
�
�
1 10
1
0
1
0
1
�
�
�%
�
�
%
�%
.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ãàðàíòèðîâàííîå âðåìÿ äîñòèæåíèÿ T z( , ( ))*0 � íàõîäèò-
ñÿ êàê
T z( , ( ))
*0 � = min t t s v
v Vs
t
� �
�
�
�
�
�
���
�
1 1
0
1
: ( , , )inf � .
Çàôèêñèðóåì t N� . Îáîçíà÷èì
( )t = � � �( , , ( ), ( ))
*
t z0 0 . Èìåþò ìåñòî ïðåä-
ñòàâëåíèÿ:
�( , , )t s v = sup { : ( ) ( ( )) }�
� �
� � � � � �� �0 1
1 1
t s aK v K t =
= sup { : ( ) }�
�
��� � � �� � � �0 1 1
1 1
t s t sv t aK K , s t� �0 1, , v K� 1 .
Ïðè êàæäîì � � 0 ìíîæåñòâî
��t s aK K� � �1
1 1 åñòü øàð â R d ðàäèóñà
' '
��
t s
a
� � �1
ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò. || ( )) ||
�
t s v t� � � $1
$ �� �| |
��t s a1 ðàâíîñèëüíî êâàäðàòíîìó îòíîñèòåëüíî � íåðàâåíñòâó
�
� �
�2 2 2 1 12 1(|| ( ) || ) | | (( ) ( ( ), ) )t t v at s t s� � � � �� � � �
� � $� �| | ( || || ) .( )
2 1 2 2 0t s a v (16)
Ïîñêîëüêó â ñëó÷àå | | ( ) | |
�t $ âûïîëíåíî � � �( , , ( ), ( ))
*
t z M0 � , èç âûðàæåíèé
(5), (6) ñëåäóåò, ÷òî A t s v( , , ) � [ , )0 � � , s t� �0 1, , t N� , v V� , à ñîîòâåòñòâóþùàÿ
ðàçðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ �( , , )t s v � � � äëÿ óêàçàííûõ çíà÷åíèé s è v . Ðàññìîòðèì
ñëó÷àé || ( ) ||
�t # . Êîðíè ñîîòâåòñòâóþùåãî (16) êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ ðàâíû:
�12 =
| |
|| ( ) ||
( ) ( ( ), )
�
�
t s
t s
t
t v a
� �
� �
�
� � (
�
�
�
�
1
2 2
11
( � � � � �� �(( ) ( ( ), ) ) (|| ( ) || ) ( || || )1 1 2 2 2 2 2t s t v a t a v
�
�
!
" .
Ìåíüøèé êîðåíü �1 óðàâíåíèÿ îòðèöàòåëåí, áîëüøèé êîðåíü �2 ïîëîæèòåëåí
è íåðàâåíñòâî (16) âûïîëíåíî ïðè � � ��[ , ]1 2 . Òîãäà � �( , , )t s v � 2 ,
A t s v( , , ) [ , ]� 0 2� , s t� �0 1, , t N� , v K� 1 .
Ïðè v � 0 áîëüøèé êîðåíü ðàâåí �2 =
| |
|| ( ) ||
( || ( ) || )
�
�
t s
t
a a t
� �
�
�
1
2 2
=
�
�
� �a
t
t s| |
|| ( ) ||
�
1
. Ïðè v � 0 min ( , , )
\v K
t s v
� 1 0{ }
� äîñòèãàåòñÿ ïðè v
t
t
t s
t s
� �
�
�
� �
� �
( ) ( )
|| ( ) ( ) ||
1
1
1
1
=
118 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2
� � �( )
( )
|| ( ) ||
1 t s t
t
è ðàâåí
( ) | |
|| ( ) ||
a
t
t s�
�
� �1 1
�
. Îáúåäèíÿÿ ñëó÷àè v � 0 è v � 0 , çàêëþ÷àåì,
÷òî ïðè || ( ) ||
�t #
min ( , , )
v K
t s v
� 1
� = min
| |
|| ( ) ||
,
( ) |
|| ( ) ||
a
t
a
t
t s t s
�
�
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
1 11
!
"
"
=
( ) | |
|| ( ) ||
a
t
t s�
�
� �1 1
�
.
 èòîãe ïðè ëþáîì t N� min ( , , )
v K
t s v
�
� � �
1
� , s t� �0 1, , åñëè ' '
�( )t $ , è
min ( , , )
v K
t s v
�
�
1
�
( ) | |
|| ( ) ||
a
t
t s�
�
� �1 1
�
, s t� �0 1, , åñëè || ( ) ||
�t # . Ïðè || ( ) ||
�t # íåðàâåí-
ñòâî min ( , , )
v V
s
t
t s v
��
�
�
� 1
0
1
ðàâíîñèëüíî || ( ) || ( ) | |
�
t a t s
s
t
� $ � � �
�
�
1 1
0
1
. Ýòî íåðàâåíñòâî
âûïîëíåíî è â ñëó÷àå || ( ) ||
�t $ , ïîñêîëüêó a #1, ïîýòîìó
T z( , ( ))
*0 � � min : || ( ) || ( ) | |t t a t s
s
t
� � $ �
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
1 1 1
0
1
�
,
îòêóäà ñëåäóåò óòâåðæäåíèå òåîðåìû. �
Ïóñòü äëÿ ñëó÷àéíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè �( )t , t N� 0 , çàäàíû êîíå÷íîìåðíûå
ðàñïðåäåëåíèÿ F x xt t nn� �( ),..., ( ) ( )
1 1) )� , t Nk � 0 , x Rk
d� , k n�1, , n N� , óäîâëåòâî-
ðÿþùèå ñâîéñòâó ñîãëàñîâàííîñòè:
F x xt t t t nn n n l� � � �( ),..., ( ), ( ),..., ( ) ( ,
1 1 1� �
) ) � �) )� � � � ) = F x xt t nn� �( ),..., ( ) ( )
1 1) )� ,
t Nk � 0 , k n l� �1, ; x Rk
d� , k n�1, ; l N� , n N� .
Çäåñü � � �( ) ( , )t t� è z t z t( ) ( , )� � ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê ñëó÷àéíûå ôóíêöèè àðãó-
ìåíòîâ t N� 0 è ��* .  êà÷åñòâå ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé åñòåñò-
âåííî âûáðàòü * = ( )R d N 0 = {�( ): } �N R d
0 — ìíîæåñòâî âñåõ d-ìåðíûõ
âåêòîðíûõ ôóíêöèé íà N 0 . Êàæäîå ýëåìåíòàðíîå ñîáûòèå ��* èíòåðïðåòèðó-
åòñÿ êàê îòäåëüíàÿ òðàåêòîðèÿ, ÿâëÿþùàÿñÿ ðåàëèçàöèåé ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà
�( )t . Ïóñòü B ( )* — ìèíèìàëüíàÿ �-àëãåáðà, ïîðîæäåííàÿ öèëèíäðè÷åñêèìè
ìíîæåñòâàìè { }� �( ) : ( ) , , � � �* t x k nk k 1 , ãäå t Nk � 0 , x Rk
d� , k n�1, , n N�
(íåðàâåíñòâà äëÿ âåêòîðîâ âûïîëíåíû ïî êîìïîíåíòàì). Âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà
P( ) íà ýòèõ öèëèíäðè÷åñêèõ ìíîæåñòâàõ çàäàíà êîíå÷íîìåðíûìè ðàñïðåäåëå-
íèÿìè ñëó÷àéíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè �( )t :
P t x k nk k( ( ) : ( ) , , ){ }� � � � �* 1 = F x xt t nn� �( ) ,..., ( ) ( )
1 1) )� ,
t Nk � 0 , x Rk
d� , k n�1, , n N� ,
è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì ñîãëàñîâàííîñòè, R d — ïîëíîå ñåïàðàáåëüíîå ìåòðè-
÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî. Òåîðåìà Êîëìîãîðîâà î ïðîäîëæåíèè ìåðû ãàðàíòèðóåò
åäèíñòâåííîå ïðîäîëæåíèå ìåðû P( ) íà �-àëãåáðó B ( )* [32, ñ. 110].
Äëÿ ñëó÷àéíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè �( ) ïîëîæèì
T z( , ( ))0 � � ' 'min : ( ) ( )t z s at t s
s
t
i
i
t
� � $ � �
�
�
%
�
� �
�
�
�
�
1 10
1
0
1
0
1
�
�
%
�
�
%
�%
, (17)
èìåÿ â âèäó, ÷òî (17) âûïîëíåíî íà ðåàëèçàöèÿõ ïðè êàæäîì ��* .
Ïóñòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû �( )t , t N� 0 , íåçàâèñèìû è èìåþò îäèíàêîâûå
ðàñïðåäåëåíèÿ âèäà P t k( ( ) )� �� = pk , k k�1, * , t N� 0 , ãäå k N* � ; �k
dR� ,
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 119
pk # 0 , k k�1, * ; pk
k
k
�
�
1
1
*
. Ïðè êàæäîì n N� 0 ïåðå÷èñëèì âñå âîçìîæíûå íàáîðû
çíà÷åíèé { ( ), , }� t t n� 0 êàê {( , ... , ): ( ) , ... , , , }( ) ( )
*� �k k n k t k t n0 1 0� �{ } . Òîãäà ìà-
òåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå T z( , ( ))0 � , êîíå÷íîå èëè áåñêîíå÷íîå, èìååò âèä
M T z( , ( ))0 � = T z p
k t
k
t
n
n
k k n
( )
( ) ( )
*
( , ( , ... , , , ... ))
���
��
100
0 0 0� � k k np( ) ( )0 � ,
ãäå T z k k n( , ( , ... , , , ... ))( ) ( )0 0 0� � íàõîäèòñÿ ñîãëàñíî (17) ïðè � �( ) ( )l k l� , l n� 0, ;
�( )l � 0 , l n� �1.  îáùåì ñëó÷àå ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé ôóíêöèè � ( ) ìàòå-
ìàòè÷åñêîå îæèäàíèå T z( , ( ))0 � , êîíå÷íîå èëè áåñêîíå÷íîå, èìååò âèä
M T z( , ( ))0 � = � �T z P d( , ( )) ( )0 � � +
*
.
ÓÑËÎÂÈß ÊÎÍÅ×ÍÎÑÒÈ ÂÐÅÌÅÍÈ ÃÀÐÀÍÒÈÐÎÂÀÍÍÎÃÎ ÄÎÑÒÈÆÅÍÈß
Êîíå÷íîñòü ãàðàíòèðîâàííîãî âðåìåíè äîñòèæåíèÿ (17) ñâÿçàíà ñ ïðåäåëüíûì
ïîâåäåíèåì ñóìì
�t s
s
t
s� �
�
�
1
0
1
( ) , t N� . Íàéäåì óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ T z( , ( ))0 �
êîíå÷íî ñ ïîëîæèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ.  ñëó÷àå | |
#1 lim || ||
t
t z
� �
� � �
0 äëÿ
âñåõ z0 0�
�
, è â ñèëó ôîðìóëû (17) òðóäíî ãàðàíòèðîâàòü êîíå÷íîñòü T z( , ( ))0 �
ñ êàêîé-ëèáî ïîëîæèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ. Ïîýòîìó îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíè-
åì ñëó÷àÿ
� �[ , ]1 1 .
Òåîðåìà 2. Ïóñòü d N� , �( )t , t N� 0 , — íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå
ñëó÷àéíûå âåêòîðû â R d . Åñëè îäíîâðåìåííî âûïîëíåíû óñëîâèÿ
�1 è M �( )0 0�
�
ëèáî
� �1 è M | ( ) |� 0 � � � , òî T z( , ( ))0 � êîíå÷íî ñ âåðîÿòíîñòüþ 1.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü
�1 è M �( )0 0�
�
. Óðàâíåíèå (17) ïðèíèìàåò âèä
T z( , ( ))0 � � min : ( )t
t
z
t
k a
tk
t
� � $ � �
�
�
%
�%
�
�
%
�%�
�
1
1 1
10
0
1
�
�
.
Ïî óñèëåííîìó çàêîíó áîëüøèõ ÷èñåë lim ( )
t
k
t
t
k
� � �
�
�
1
0
1
� M� ( )0 0�
�
ï.í. è T z( , ( ))0 �
êîíå÷íî ï.í. Ïóñòü
� �1 è M || ( ) ||� 0 � � � .  ñëó÷àå t n� 2 , n N� :
1
2
1 2 1
0
2 1
n
sn s
s
n
( ) ( )� �� �
�
�
�
1
2
1 22 2 1
0
1
n
kn k
k
n
( ) ( )� �� �
�
�
�
1
2
1 2 12 2 1 1
0
1
n
kn k
k
n
( ) ( )( )� � �� � �
�
�
�
� � � �
�
�
1
2
1
2
0
1
n
k
k
n
� ( )
1
2
1
2 1
0
1
� �
�
�
n
k
k
n
� ( ) � � � �
1
2
0
1
2
0 0M M� �( ) ( )
�
, n � � ï.í.
Çäåñü èñïîëüçîâàí óñèëåííûé çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
{ }�( ),2 0k k N� è { }�( ),2 1 0k k N� � . Ïðè t n� �2 1, n N� , èìååì
1
2 1
1 2
0
2
n
sn s
s
n
�
� ��
�
( ) ( )�
1
2 1
0
n �
��( )
n
n n
k
k
n
2 1
1
2
1�
�
�
� ( )
n
n n
k
k
n
2 1
1
2 1
0
1
�
� �
�
�
� ( )
� � � �
� �
0
1
2
0
1
2
0 0M M� �( ) ( ) , n � � ï.í. �
120 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2
Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà îáåñïå÷èâàåò êîíå÷íîå ãàðàíòèðîâàííîå âðåìÿ äîñòèæå-
íèÿ è åãî îöåíêó â ñëó÷àå, êîãäà âñå �( )t ï.í. îãðàíè÷åíû ïî ìîäóëþ îïðåäåëåííîé
âåëè÷èíîé.
Òåîðåìà 3. Ïóñòü d N� è âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
1)
� �( , )1 1 ;
2) �( )t , t N� 0 , — ñëó÷àéíûå âåêòîðû â R d ;
3) b a� � � �( , ( | | ) )0 1 1�
;
4) || ( , ) ||� �t b$ , t N� 0 ï.í.
Òîãäà ãàðàíòèðîâàííîå âðåìÿ äîñòèæåíèÿ T z( , ( ))0 � ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 êîíå÷-
íî è íå ïðåâûøàåò t
c c z
* max ,
ln ( ) ln ( | | )
ln | |
�
� � ��
�
��
!
""
�
�
�
�
!
"
"
0
0
Int
�
�1, ãäå c
a b
�
� �
�
1
1 | |
,
Int( ) — öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Â óñëîâèÿõ òåîðåìû âåðíû íåðàâåíñòâà
1 1
0
1
t
s bt s
s
t
�� �
�
�
$( )
ï.í., t N� . Ïðè t t� * âûïîëíåíî | | ( || || )
�t z c c0 � � � . Òîãäà ïðè t t� * ñ âåðî-
ÿòíîñòüþ 1
|| ( ) ||
�t t s
s
t
z s0
1
0
1
� $� �
�
�
| | || ||
| |
| |
| |
| |
| |
�
t
t
t
t
z b c c b0
1
1
1
1
�
�
�
� � � �
�
�
�
= �
�
� �
�
� �
�
�
a b
bt
t1
1
1
1
1| |
( | | )
| |
| |
= ( ) | |a i
i
t
� �
�
�
1
0
1
� .
Ñëåäîâàòåëüíî, T z t( , ( )) *
0 � $ ï.í. �
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà óñëîâèÿ êîíå÷íîñòè T z( , ( ))0 � ñ ïîëîæèòåëüíîé âåðîÿò-
íîñòüþ â ñëó÷àå
� �( , )1 1 èñïîëüçóåì ñëåäóþùèå òðè ëåììû. Äëÿ ñîáûòèé An ,
n N� , ñîáûòèå lim An ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïðîèçîøëî áåñêîíå÷íîå ÷èñëî An .
Ëåììà 4. Ïóñòü X , X n , n N� , — ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû è lim
n
nX X
� �
� ï.í.
Òîãäà äëÿ ëþáîãî îòêðûòîãî O R,
P X On( lim ){ }� � lim ( )
n
nP X O
� �
� � P X O( )� .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ëþáîå îòêðûòîå O R, . X X O
n
n� �
� �
lim òîãäà
è òîëüêî òîãäà, êîãäà I X On{ }� �1 íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà. Òîãäà
lim
n
X O X OI I
n� �
� ��{ } { } ï.í. è
P X On(lim ){ }� � M I X On
(lim ){ }� � M I X O( ){ }� � P X O( )� .
Òàêæå âñëåäñòâèå òåîðåìû Ëåáåãà îá îãðàíè÷åííîé ñõîäèìîñòè
M I
n
X On
( lim )
� �
� �{ } lim ( )
n
X OM I
n� �
� �{ } lim ( )
n
nP X O
� �
� . �
Ëåììà 5. Ïóñòü d N� è âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
1)
� �( , )1 1 ;
2) �( )t , t N� 0 , — íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåêòîðû
â R d ;
3) M || ( ) ||� 0 � � � .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 121
Îáîçíà÷èì S sn
n s
s
n
� �
�
�
0
( ) ,
~
( )S sn
s
s
n
�
�
�
0
, n N� 0 . Òîãäà ñóùåñòâóåò
lim
~ ~
n
nS S
� �
� ï.í. è äëÿ ëþáîãî îòêðûòîãî O R,
P S On(lim
~
){ }� � lim (
~
)
n
nP S O
� �
� � P S O(
~
)� $ P S On(lim ){ }� . (18)
Äîêàçàòåëüñòâî. Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ñ÷èòàåì, ÷òî M �( )0 0# (ñëó÷àé
�( )t � 0 ï.í., t N� 0 , òðèâèàëåí). Ñõîäèìîñòü â ñðåäíåì äëÿ
~
S n óñòàíàâëèâàåòñÿ ïî
êðèòåðèþ Êîøè. Äëÿ âñåõ n N� 0 èìååì
sup
m n
m nM S S
#
� �
~ ~
sup
m n
s
s n
m
M s
# � �
$
�
1
( ) M
m n
s
s n
m
�
( ) | |0
1
sup
# � �
�
�
�
�M n�
( )
| |
| |
0
1
1 ,
îòêóäà lim
~ ~
n m n
m nM S S
� � #
� �sup 0 . Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò ñëó÷àéíàÿ âåëè÷è-
íà
~
S òàêàÿ, ÷òî
~
S n ñõîäèòñÿ ê
~
S â ñðåäíåì è âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà
M S Sn
~ ~
� $
M n|| ( ) ||
| |
| |
�
0
1
1
�
� , n N� 0 .
Òîãäà äëÿ ëþáîãî � # 0
P S Sn
n
( ||
~ ~
|| )� # $
�
�
�
0
M S Sn
n
||
~ ~
||�
$
�
�
�0
M n
n
|| ( ) ||
| |
| |
�
0
1
1
0�
�
�
�
=
�
�
� � �
| | || ( ) ||
( | | )
�
M 0
1 2
.
Èòàê,
~
lim
~
S S
n
n�
� �
ï.í. Ðàâåíñòâà â (18) ñëåäóþò èç ëåììû 4. Ïðèìåíèâ ëåììó
Ôàòó äëÿ âåëè÷èí I S On{ }� [33, ñ. 233] è îäèíàêîâóþ ðàñïðåäåëeííîñòü âåëè÷èí S n ,
~
S n , äëÿ ëþáîãî îòêðûòîãî O R, ïîëó÷èì
P S On(lim ){ }� � M I S On
(lim ){ }� � lim ( )M I S On{ }� � lim ( )P S On � �
= lim (
~
)
n
nP S O
� �
� � P S O(
~
)� . �
Ëåììà 6. Ïóñòü d N� è âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
1)
� �( , )1 1 ;
2) �( )t , t N� 0 , — íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåêòî-
ðû â R d ;
3) M || ( ) ||� 0 � � � ;
4) P( || ( ) || )� �0 0� # , � # 0 .
Òîãäà lim ( )
n
t
t
n
P t
� � �
�
�
�
�
�
!
"
"
�
� �
0
P tt
t
� �
�
�
�
�
�
�
�
!
"
"
#
0
0( ) , � # 0 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñíîâà áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ñ÷èòàåì M || ( ) ||� 0 0# .
 ñèëó ëåììû 5 ðÿä
�t
t
t
�
�
0
( ) ñõîäèòñÿ ï.í. è äëÿ ëþáîãî � # 0
122 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2
lim ( )
n
t
t
n
P t
� � �
�
�
�
�
�
!
"
"
�
� �
0
P tt
t
� �
�
�
�
�
�
�
�
!
"
"
�
0
( )
� � � � �P t t Nt t( || ( ) || ( | ) | , )
� �
�
��� � �1 2
0
� � � �
�
�
�- P t
t
t
0
1( || ( ) || ( | ) | )� �
�
��� � � �
� � � �
�
�
( ( || ( ) || ( | )))
|| ( ) ||
( |
P
Mt� �
�
�
�
�
�� �
��
0 1 1
0
1
0 1
�
� �
�
)
| t
t t
�
�
�
�
!
"
"
�
�
�
-
0
0
(ïðè t t� 0 ïðèìåíåíî íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà). Çäåñü t0 âûáðàíî òàê, ÷òî
| |
( | | )
|| ( ) || |
/
/
�
�
t
M
0 2
1 21
0
�
�
, à ðàññìàòðèâàåìîå áåñêîíå÷íîå ïðîèçâåäåíèå ñ ÷ëåíàìè,
ìåíüøèìè 1, ñõîäèòñÿ â ñèëó | | /
t
t
2
0�
�
� � � . �
Îáîçíà÷èì B x R x RR
d� � �{ }: | | , R # 0 . Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà äàeò îöåíêó ñíè-
çó äëÿ âåðîÿòíîñòè ãàðàíòèðîâàííîãî ñáëèæåíèÿ çà êîíå÷íîå âðåìÿ.
Òåîðåìà 4. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ ëåììû 6. Òîãäà
P T z( ( , ( )) )0 � � � � � lim ( )
| |n
t
t
n
P t
a
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
!
"
"
#
�
�
0
1
1
0 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü �
�*
| |
�
�
�
�
a 1
1
. Ðàññìîòðèì ëþáîå � �� ( , )*0 . Ñó-
ùåñòâóåò òàêîå t N0 � , ÷òî | | || ||
| |
*
� �t
z
a
0
0
1
1
�
�
�
�
�
�
!
" � � . Òîãäà
|| || ( ) | |
� �t i
i
t
z a0
0
1
1$ � � �
�
�
, t t� 0 . Òàêæå âñëåäñòâèå ëåìì 5 è 6
P S Bn( lim ){ }� �� P S B(
~
)� � = P tt
t
� �
�
�
�
�
�
�
�
!
"
"
#
0
0( ) .
Îäíîâðåìåííîå âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâ || || ( ) | |
� �t i
i
t
z a0
0
1
1$ � � �
�
�
è
|| ||S t� �1 � âëå÷eò
�
�t t s
s
t
i
i
t
z s a0
1
0
1
0
1
1� $ � �� �
�
�
�
�
( ) ( ) | | . Òîãäà â ñèëó ïðîèç-
âîëüíîñòè âûáîðà � �� ( , )*0 è ëåììû 5 èìååì
P T z( ( , ( )) )0 � � � � � sup { }
� �
�
�
� �
( , )*
(lim )
0
P S Bn sup
� �
� �
� �
�
�
�
�
�
�
!
"
"
�
( , )*
( )
0 0
P tt
t
� �
�
�
�
�
!
"
"
� �
�
�
�
�
�
�
� � �
P t P tt
t
n
t
t
n
� �
� �
0 0
( ) lim ( )* *
!
"
"
# 0 . �
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 123
Òåîðåìà 5. Ïóñòü d N� è âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
1)
� �( , )1 1 ;
2) lim ( )( )
n
n t
t
n
D t D
� �
�
�
�
2
0
, ãäå D , D t( ) , t N� 0 , — íåíóëåâûå íåîòðèöàòåëü-
íî îïðåäåëåííûå ñèììåòðè÷íûå ìàòðèöû d d� ;
3) �( )t , t N� 0 , — íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåêòîðû â R d ;
4) �( ) ~ ( , ( ))t N D t
�
0 , t N� 0 ;
5) F x( ) , x R d� , — ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ N D( , )
�
0 .
Òîãäà P T z( ( , ( )) )0 � � � � � dF x
B
( )
*
#+ 0
�
, ãäå �
�*
| |
�
�
�
�
a 1
1
.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ëþáîå � �� ( , )*0 . Ïîäîáíî äîêàçàòåëüñòâó òåî-
ðåìû 4 äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî äëÿ S tn
n t
t
n
� �
�
� ( )
0
ñ âåðîÿòíîñòüþ íå ìåíåå
dF x
B
( )
�
+ âûïîëíåíî S Bn � � äëÿ áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà n N� . S n èìååò ðàñïðåäåëåíèå
N D tn t
t
n
( , ( ))( )
�
0 2
0
�
�
. Ïðè n � � ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ S n ñëàáî ñõîäèòñÿ ê F ( )
âñëåäñòâèå ñõîäèìîñòè ñîîòâåòñòâóþùèõ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé.  ñèëó
íîðìàëüíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ dF x
B
( ) �
.
+ 0
�
, ãäå . � � �B x R xd
� �{ }: || || — ãðàíèöà
B� . Òîãäà lim ( )
n
nP S B
� �
� �� dF x
B
( )
�
+ [33, ñ. 400]. Ñëåäîâàòåëüíî,
P S Bn(lim ){ }� �� M I S Bn
(lim ){ }� �
�
lim ( )M I S Bn{ }� �
�
� � �lim ( )P S Bn � dF x
B
( ) #+ 0
�
.
Çäåñü ïðèìåíåíà ëåììà Ôàòó äëÿ âåëè÷èí I S Bn{ }� �
. Â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè âû-
áîðà � �� ( , )*0 ýòî âëå÷åò P T z( ( , ( )) )0 � � � � � sup { }
� �
�
�
� �
( , )*
(lim )
0
P S Bn
� #+ dF x
B
( )
*
0
�
. �
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ï î í ò ð ÿ ã è í Ë . Ñ . Èçáðàííûå íàó÷íûå òðóäû. T. 2. — Ì.: Íàóêà, 1988. — 575 ñ.
2. Ê ð à ñ î â ñ ê è é Í . Í . , Ñ ó á á î ò è í À . È . Ïîçèöèîííûå äèôôåðåíöèàëüíûå èãðû. — Ì.: Íàóêà,
1974. — 456 ñ.
3. Ï ø å í è ÷ í û é Á . Í . , Î ñ ò à ï å í ê î Â . Â . Äèôôåðåíöèàëüíûå èãðû. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1992. —
264 ñ.
4. À é ç å ê ñ Ð . Äèôôåðåíöèàëüíûå èãðû. — Ì.: Ìèð, 1967. — 480 ñ.
5. C h i k r i i A . A . Conflict-Controlled Proccesses. — Boston; London; Dordrecht: Kluwer Academ. Publ.,
1997. — 424 p.
6. C h i k r i i A . A . The Problem of Avoidance for Controlled Dynamic Objects // Int. J. of Math., Game The-
ory and Algebra, Nova Sci. Publ. — 1998. — 7, N 2/3. — P. 81–95.
7. Ê ó í ö å â è ÷ Â . Ì . Óïðàâëåíèå â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëeííîñòè: ãàðàíòèðîâàííûå ðåçóëüòàòû â
çàäà÷àõ óïðàâëåíèÿ è èäåíòèôèêàöèè. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 2006. — 262 ñ.
8. Ï î í ò ð ÿ ã è í Ë . Ñ . , Á î ë ò ÿ í ñ ê è é Â . Ò . , Ã à ì ê å ð ë è ä ç å Ð . Â . , Ì è ù å í ê î Å . Ô . Ìàòå-
ìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ îïòèìàëüíûõ ïðîöåññîâ. — Ì.: Íàóêà, 1969. — 384 ñ.
124 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2
9. × è ê ð è é Ã . Ö . Î ïîèñêå íåïîäâèæíîé öåëè äâèæóùèìñÿ îáúåêòîì // Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è
ìåõàíèêà. — 1984. — 48, ¹ 4. — C. 580–583.
10. Õ å ë ë ì à í Î . Ââåäåíèå â òåîðèþ îïòèìàëüíîãî ïîèñêà. — Ì.: Íàóêà, 1985. — 248 ñ.
11. Ò è õ î í î â Â . È . , Ì è ð î í î â Ì . À . Ìàðêîâñêèå ïðîöåññû. — Ì.: Ñîâ. ðàäèî, 1977. — 487 ñ.
12. × è ê ð è é À . À . Äèñêðåòíàÿ èãðîâàÿ çàäà÷à ïîèñêà äâèæóùèõñÿ îáúåêòîâ // Äîêë. ÀÍ ÓÑÑÐ. —
1984. — ¹ 10. — Ñ. 341–345.
13. × è ê ð è é À . À . , à ð è ö å â ñ ê è é À . Ý . Íåïðåðûâíàÿ çàäà÷à ïîèñêà ñ äèñêðåòíûì ðàñïðåäåëåíèåì
ñîñòîÿíèÿ // Òàì æå. — 1985. — ¹ 9. — Ñ. 153–157.
14. À í ä ð è à í î â  . Þ . , Ï å ò ð î â Í . Í . Ïîèñê ñ ïðîòèâîäåéñòâèåì // Òð. ÈÌÌ. Äèíàìè÷åñêèå
ñèñòåìû è ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ: Ê 80-ëåòèþ àêàä. Í.Í. Êðàñîâñêîãî. — Åêàòåðèíáóðã, 2005. — 11,
¹ 1. — Ñ. 17–25.
15. Ï ø å í è ÷ í û é Á . Í . , × è ê ð è é À . À . , Ð å ä ü ê î â ñ ê è é Í . Í . è äð. Äèñêðåòíàÿ çàäà÷à ïîèñêà. —
Êèåâ, 1984. — 30 ñ. — (Ïðåïð. ÀÍ ÓÑÑÐ Èí-ò êèáåðíåòèêè èì. Â.Ì. Ãëóøêîâà; 84–12).
16. K l i m e n k o Y e . V . , C h i k r i i A . A . Search methods for moving evaders // Facta Universitatis, University
of Nis
v
, Yugoslavia. — 1994. — 1, N 4. — P. 451–460.
17. × è ê ð è é À . À . , Ä ç þ á å í ê î Ê . Ã . Áèëèíåéíûå ìàðêîâñêèå ïðîöåññû ïîèñêà äâèæóùèõñÿ
îáúåêòîâ // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 1997 — ¹ 1. — Ñ. 92–107.
18. Ä ç þ á å í ê î Ê . Ã . , × è ê ð è é À . À . Îá îäíîé ïîëóìàðêîâñêîé ìîäåëè ïîèñêà äâèæóùèõñÿ
îáúåêòîâ // Òàì æå. — 2006. — ¹ 5. — Ñ. 5–15.
19. Ê ð à ñ î â ñ ê è é Í . Í . , Ñ ó á á î ò è í À . È . , Ð î ñ ñ î õ è í  . Ô . Ñòîõàñòè÷åñêèå ñòðàòåãèè â äèôôå-
ðåíöèàëüíûõ èãðàõ // Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ. — 1975. — 220, ¹ 5. — Ñ. 652–656.
20. Ò ð å ò ü ÿ ê î â  . È . Ê òåîðèè ñòîõàñòè÷åñêèõ èãð // Òàì æå. — 1983. — 269, ¹ 3. — Ñ. 251–254.
21. J a s k i e w i c z A . N o w a k A . S . On the optimality equation for zero-sum ergodic stochastic games //
Math. Methods of Oper. Res. — 2001. — 54, N 2. — P. 291–301.
22. N a j i m K . , P o z n y a k A . S . , G o m e z E . Adaptive policy for two finite Markov chains zero sum sto-
chastic game with unknown transition matrices and average payoff // Automatica. — 2001. — 37, N 7. —
P. 1007–1018.
23. F l e s c h J . , T h u i j s m a n F . , V r i e z e O . J . Optimality in different strategy classes in zero-sum stochas-
tic games // Math. Methods of Oper. Res. — 2002. — 56, N 2. — P. 315–322.
24. K a l u s k i J . An n-person stochastic game with coalitions // The Int. Conf. on Appl. Math. ded. to the
65-th Anniversary of B.N. Pschenichnyi. — Kiev, 2002. — P. 62.
25. Y e u n g D . W . K . , P e t r o s i a n L . A . Subgame consist cooperative solutions in stochastic differential
games // J. Optimiz. Theory and Appl. — 2004. — 120, N 3. — P. 651–666.
26. Ç à â ü ÿ ë î â à Ò .  . Ðîáàñòíîå óïðàâëåíèå ñèñòåìàìè ñëó÷àéíîé ñòðóêòóðû // Òåç. äîêë. Ìåæäóíàð.
ñåìèíàðà «Òåîðèÿ óïðàâëåíèÿ è òåîðèÿ îáîáùåííûõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà–ßêîáè»:
Ê 60-ëåòèþ àêàä. À.È. Ñóááîòèíà. — Åêàòåðèíáóðã, 2005. — Ñ. 71–72.
27. × å ð í î ó ñ ü ê î Ô . Ë . , Ê î ë ì à í î â ñ ê è é  . Á . Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå ïðè ñëó÷àéíûõ
âîçìóùåíèÿõ. — Ì.: Íàóêà, 1978. — 342 ñ.
28. × è ê ð è é À . À . , Ð à ï ï î ï î ð ò È . Ñ . , × è ê ð è é Ê . À . Ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ è èõ ñåëåêòîðû
â òåîðèè êîíôëèêòíî óïðàâëÿåìûõ ïðîöåññîâ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2007. —
¹ 5. — Ñ. 129–144.
29. Í à ò à í ñ î í È . Ï . Òåîðèÿ ôóíêöèé âåùåñòâåííîé ïåðåìåííîé. — Ì.: Íàóêà, 1974. — 480 ñ.
30. Ð î ê à ô å ë ë å ð Ð . Âûïóêëûé àíàëèç. — Ì.: Ìèð, 1973. — 472 c.
31. Ç ã ó ð î â ñ ê è é Ì . Ç . , Ì å ë ü í è ê  . Ñ . Íåëèíåéíûé àíàëèçõ è óïðàâëåíèå áåñêîíå÷íîìåðíûìè
ñèñòåìàìè. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1999. — 630 ñ.
32. à è õ ì à í È . È . , Ñ ê î ð î õ î ä À .  . Ââåäåíèå â òåîðèþ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. — Ì.: Íàóêà,
1977. — 568 ñ.
33. Ø è ð ÿ å â À . Í . Âåðîÿòíîñòü. — Ì.: ÌÖÍÌÎ, 2004. — 928 ñ.
Ïîñòóïèëà 05.06.2009
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 125
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-45148 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:21:53Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Дзюбенко, К.Г. Чикрий, А.А. 2013-06-08T06:41:34Z 2013-06-08T06:41:34Z 2010 Об одной задаче сближения для дискретной системы со случайными возмущениями / К.Г. Дзюбенко, A.A. Чикрий // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 2. — С. 113-125. — Бібліогр.: 33 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45148 518.9 На основі методу розв’язуючих функцій доведено загальні достатні умови скінченності гарантованого часу досягнення циліндричної термінальної множини квазілінійним конфліктно керованим процесом із випадковими збуреннями. Для процесу з простою матрицею отримано умови скінченості майже всюди та скінченості з додатньою ймовірністю гарантованого часу досягнення. Based on the method of resolving functions, general sufficient conditions for the finiteness of the guaranteed time of attainment of a cylinder terminal set by a quasi-linear conflict-controlled process with random disturbances are proved. For a process with simple matrix, finiteness almost sure and finiteness with positive probability conditions for guaranteed time of attainment are found. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Об одной задаче сближения для дискретной системы со случайными возмущениями Про одну задачу зближення для дискретної системи з випадковими збуреннями An approach problem for a discrete system with random disturbances Article published earlier |
| spellingShingle | Об одной задаче сближения для дискретной системы со случайными возмущениями Дзюбенко, К.Г. Чикрий, А.А. Системный анализ |
| title | Об одной задаче сближения для дискретной системы со случайными возмущениями |
| title_alt | Про одну задачу зближення для дискретної системи з випадковими збуреннями An approach problem for a discrete system with random disturbances |
| title_full | Об одной задаче сближения для дискретной системы со случайными возмущениями |
| title_fullStr | Об одной задаче сближения для дискретной системы со случайными возмущениями |
| title_full_unstemmed | Об одной задаче сближения для дискретной системы со случайными возмущениями |
| title_short | Об одной задаче сближения для дискретной системы со случайными возмущениями |
| title_sort | об одной задаче сближения для дискретной системы со случайными возмущениями |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45148 |
| work_keys_str_mv | AT dzûbenkokg obodnoizadačesbliženiâdlâdiskretnoisistemysoslučainymivozmuŝeniâmi AT čikriiaa obodnoizadačesbliženiâdlâdiskretnoisistemysoslučainymivozmuŝeniâmi AT dzûbenkokg proodnuzadačuzbližennâdlâdiskretnoísistemizvipadkovimizburennâmi AT čikriiaa proodnuzadačuzbližennâdlâdiskretnoísistemizvipadkovimizburennâmi AT dzûbenkokg anapproachproblemforadiscretesystemwithrandomdisturbances AT čikriiaa anapproachproblemforadiscretesystemwithrandomdisturbances |