Дифференциально-операторные включения и мультивариационные неравенства с отображениями псевдомонотонного типа
Розглянуто диференціально-операторні включення та мультиваріаційні нерівності в банахових просторах з квазімонотонними відображеннями. Досліджено функціонально-топологічні властивості розв’язуючого оператора. Обґрунтовано метод Фаедо–Гальоркіна для некоерцитивних відображень, а також метод Дубінсько...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45149 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Дифференциально-операторные включения и мультивариационные неравенства с отображениями псевдомонотонного типа / П.О. Касьянов // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 2. — С. 126-134. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-45149 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Касьянов, П.О. 2013-06-08T06:44:43Z 2013-06-08T06:44:43Z 2010 Дифференциально-операторные включения и мультивариационные неравенства с отображениями псевдомонотонного типа / П.О. Касьянов // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 2. — С. 126-134. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45149 517.9 Розглянуто диференціально-операторні включення та мультиваріаційні нерівності в банахових просторах з квазімонотонними відображеннями. Досліджено функціонально-топологічні властивості розв’язуючого оператора. Обґрунтовано метод Фаедо–Гальоркіна для некоерцитивних відображень, а також метод Дубінського та метод скінчених різниць для диференціально-операторних включень в банахових просторах з псевдомонотонними відображеннями. Отримано важливі апріорні оцінки. Differential-operator inclusions and multivariation inequalities in Banach spaces with quasimonotone maps are considered. The functional-topological properties for resolvable operators are investigated. The Faedo–Galerkin method for noncoercive maps and the method of finite differences and Dubinsky method for differential-operator inclusions in Banach spaces with pseudomonotone maps are substantiated. Important a priori estimates are obtained. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Дифференциально-операторные включения и мультивариационные неравенства с отображениями псевдомонотонного типа Диференціально-операторні включення і мультиваріаційні нерівності з відображеннями псевдомонотонного типу Differential-operator inclusions and multivariation inequalities with pseudomonotone maps Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Дифференциально-операторные включения и мультивариационные неравенства с отображениями псевдомонотонного типа |
| spellingShingle |
Дифференциально-операторные включения и мультивариационные неравенства с отображениями псевдомонотонного типа Касьянов, П.О. Системный анализ |
| title_short |
Дифференциально-операторные включения и мультивариационные неравенства с отображениями псевдомонотонного типа |
| title_full |
Дифференциально-операторные включения и мультивариационные неравенства с отображениями псевдомонотонного типа |
| title_fullStr |
Дифференциально-операторные включения и мультивариационные неравенства с отображениями псевдомонотонного типа |
| title_full_unstemmed |
Дифференциально-операторные включения и мультивариационные неравенства с отображениями псевдомонотонного типа |
| title_sort |
дифференциально-операторные включения и мультивариационные неравенства с отображениями псевдомонотонного типа |
| author |
Касьянов, П.О. |
| author_facet |
Касьянов, П.О. |
| topic |
Системный анализ |
| topic_facet |
Системный анализ |
| publishDate |
2010 |
| language |
Russian |
| container_title |
Кибернетика и системный анализ |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Диференціально-операторні включення і мультиваріаційні нерівності з відображеннями псевдомонотонного типу Differential-operator inclusions and multivariation inequalities with pseudomonotone maps |
| description |
Розглянуто диференціально-операторні включення та мультиваріаційні нерівності в банахових просторах з квазімонотонними відображеннями. Досліджено функціонально-топологічні властивості розв’язуючого оператора. Обґрунтовано метод Фаедо–Гальоркіна для некоерцитивних відображень, а також метод Дубінського та метод скінчених різниць для диференціально-операторних включень в банахових просторах з псевдомонотонними відображеннями. Отримано важливі апріорні оцінки.
Differential-operator inclusions and multivariation inequalities in Banach spaces with quasimonotone maps are considered. The functional-topological properties for resolvable operators are investigated. The Faedo–Galerkin method for noncoercive maps and the method of finite differences and Dubinsky method for differential-operator inclusions in Banach spaces with pseudomonotone maps are substantiated. Important a priori estimates are obtained.
|
| issn |
0023-1274 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45149 |
| citation_txt |
Дифференциально-операторные включения и мультивариационные неравенства с отображениями псевдомонотонного типа / П.О. Касьянов // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 2. — С. 126-134. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kasʹânovpo differencialʹnooperatornyevklûčeniâimulʹtivariacionnyeneravenstvasotobraženiâmipsevdomonotonnogotipa AT kasʹânovpo diferencíalʹnooperatornívklûčennâímulʹtivaríacíinínerívnostízvídobražennâmipsevdomonotonnogotipu AT kasʹânovpo differentialoperatorinclusionsandmultivariationinequalitieswithpseudomonotonemaps |
| first_indexed |
2025-11-25T21:05:28Z |
| last_indexed |
2025-11-25T21:05:28Z |
| _version_ |
1850548121906446336 |
| fulltext |
ÓÄÊ 517.9
Ï.Î. ÊÀÑÜßÍÎÂ
ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÎ-ÎÏÅÐÀÒÎÐÍÛÅ ÂÊËÞ×ÅÍÈß
È ÌÓËÜÒÈÂÀÐÈÀÖÈÎÍÍÛÅ ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ
Ñ ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈßÌÈ ÏÑÅÂÄÎÌÎÍÎÒÎÍÍÎÃÎ ÒÈÏÀ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: äèôôåðåíöèàëüíî-îïåðàòîðíîå âêëþ÷åíèå, ìóëüòèâàðèàöèîí-
íîå íåðàâåíñòâî, êâàçèìîíîòîííîå îòîáðàæåíèå, ìåòîä Ôàýäî–Ãàëåðêèíà, ìå-
òîä êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ïðè èññëåäîâàíèè íåëèíåàðèçèðîâàííûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ãåîôèçè÷åñ-
êèõ è ñîöèîýêîíîìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ è ïîëåé, êîòîðûå ñîäåðæàò äèôôåðåíöè-
àëüíûå óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ñ ìíîãîçíà÷íîé èëè ðàçðûâíîé
çàâèñèìîñòüþ ìåæäó îïðåäåëÿþùèìè ïàðàìåòðàìè çàäà÷è, ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ
ìåòîä ñâåäåíèÿ òàêèõ îáúåêòîâ ê äèôôåðåíöèàëüíî-îïåðàòîðíûì âêëþ÷åíèÿì
è ýâîëþöèîííûì ìóëüòèâàðèàöèîííûì íåðàâåíñòâàì â áåñêîíå÷íîìåðíûõ ïðîñò-
ðàíñòâàõ [1–20]. Ïðè òàêîì ïîäõîäå óñëîâèÿ íà ïàðàìåòðû èñõîäíîé çàäà÷è ãà-
ðàíòèðóþò êîíêðåòíûå ñâîéñòâà äëÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ýíåðãåòè÷åñêèõ ðàñøèðåíèé
è îïåðàòîðîâ Íåìûöêîãî â ïîðîæäåííîé çàäà÷å. Ïîñëåäíèå èññëåäîâàíèÿ â ýòîì
íàïðàâëåíèè ïîçâîëÿþò íàõîäèòü ðåøåíèå äëÿ òàêèõ çàäà÷ ïðè íååñòåñòâåííî
æåñòêèõ óñëîâèÿõ íà ôóíêöèè âçàèìîäåéñòâèÿ èñõîäíûõ çàäà÷, ñâÿçàííûõ ñ ðàâ-
íîìåðíîé êîýðöèòèâíîñòüþ, ãëàäêîñòüþ, ëèíåéíîñòüþ (ñì. ðàáîòû À.À. Òîëñòî-
íîãîâà, Þ.È. Óìàíñêîãî, Â. Áàðáþ, Â.Ñ. Ìåëüíèêà, È.Â. Ñêðèïíèêà, N.S. Papa-
georgiou, À.Ã. Áàñêàêîâà, Â.Â. Îáóõîâñêîãî è äðóãèõ ìàòåìàòèêîâ). Òàêèì îáðà-
çîì, àäåêâàòíîå îñëàáëåíèå ýòèõ óñëîâèé ÿâëÿåòñÿ, áåçóñëîâíî, àêòóàëüíîé
çàäà÷åé. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïðè èññëåäîâàíèè âàæíûõ ôóíêöèîíàëüíî-òîïîëîãè-
÷åñêèõ ñâîéñòâ ðàçðåøàþùåãî îïåðàòîðà äèôôåðåíöèàëüíî-îïåðàòîðíûõ âêëþ÷åíèé
è ìóëüòèâàðèàöèîííûõ íåðàâåíñòâ, îáîñíîâàíèè âûñîêîòî÷íûõ àëãîðèòìîâ ïîèñêà
ïðèáëèæåííûõ ðåøåíèé ïîÿâëÿþòñÿ íîâûå ïðîáëåìû. Îíè ñâÿçàíû ñ èçó÷åíèåì
íîâûõ êëàññîâ ýíåðãåòè÷åñêèõ ðàñøèðåíèé è îïåðàòîðîâ Íåìûöêîãî äëÿ äèôôåðåí-
öèàëüíûõ îïåðàòîðîâ èç èñõîäíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé, èññëåäîâàíèåì ñòðóê-
òóðû ñîîòâåòñòâóþùèõ ôàçîâûõ è ðàñøèðåííûõ ôàçîâûõ ïðîñòðàíñòâ, äîêàçà-
òåëüñòâîì íîâûõ òåîðåì âëîæåíèÿ è àïïðîêñèìàöèè, òåîðåì î áàçèñå äëÿ òàêèõ
ïðîñòðàíñòâ, îáîáùåíèåì òåîðåìû Êè Ôàíÿ äëÿ ìóëüòèñòðàòåãèé, ðàçðàáîòêîé
íåêîýðöèòèâíîé òåîðèè äëÿ äèôôåðåíöèàëüíî-îïåðàòîðíûõ âêëþ÷åíèé ñ îòîáðà-
æåíèÿìè ïñåâäîìîíîòîííîãî òèïà.
ÊËÀÑÑÛ ÌÍÎÃÎÇÍÀ×ÍÛÕ ÊÂÀÇÈÌÎÍÎÒÎÍÍÛÕ ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈÉ
Ðàññìîòðèì êëàññû ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé êâàçèìîíîòîííîãî òèïà.  ïðèëî-
æåíèÿõ òàêèå îòîáðàæåíèÿ åñòåñòâåííûì îáðàçîì âîçíèêàþò êàê ýíåðãåòè÷åñêèå
ðàñøèðåíèÿ è îïåðàòîðû Íåìûöêîãî äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ èç ìàòåìàòè-
÷åñêèõ ìîäåëåé øèðîêîãî êëàññà ãåîôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ è ïîëåé, êîòîðûå ñîäåð-
æàò, â ÷àñòíîñòè, äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ñ ìíî-
ãîçíà÷íîé èëè ðàçðûâíîé íåëèíåéíîñòüþ è íåëèíåéíîé íåìîíîòîííîé (â îáùåì
ñëó÷àå) ãëàâíîé ÷àñòüþ äèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà. Êëàññû äèôôåðåíöèàëüíûõ
îïåðàòîðîâ, «ðàñøèðåíèÿ» êîòîðûõ óäîâëåòâîðÿþò òîìó èëè èíîìó ñâîéñòâó, äå-
òàëüíî ðàññìîòðåíû â ðàáîòàõ Z. Liu, Z. Denkowsky, S. Migorsky, Ì.Ç. Çãóðîâñêîãî,
Â.Ñ. Ìåëüíèêà, Õ. Ãàåâñêîãî, Ê. Ãðåãåðà, Ê. Çàõàðèàñà, P. Panagiotopoulos, Æ.-Ë. Ëè-
îíñà, Ã. Äþâî è äð.
126 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2
© Ï.Î. Êàñüÿíîâ, 2010
Ïóñòü X — äåéñòâèòåëüíîå ðåôëåêñèâíîå áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî, X * — åãî
òîïîëîãè÷åñêè ñîïðÿæåííîå, � � � �� � �, :X X X � — êàíîíè÷åñêàÿ äâîéñòâåííîñòü
ìåæäó X è X � , 2X �
— ñîâîêóïíîñòü âñåõ íåïóñòûõ ïîäìíîæåñòâ ïðîñòðàíñòâà
X � , îòîáðàæåíèå A X X: �
�
2 — ìíîãîçíà÷íîå. Ðàññìîòðèì âåðõíþþ è ñîîòâåò-
ñòâåííî íèæíþþ îïîðíóþ ôóíêöèþ
[ ( ), ] sup , , [ ( ), ] inf ,
( ) ( )
A y d A y d
d A y
X
d A y
� � � ��
� � � � � � X ,
ãäå y X, � . Ïóñòü òàêæå
|| ( ) || sup || || , || ( ) || inf || |
( ) ( )
A y d A y d
d A y
X d A y�
� �� |
X � .
Ñâîéñòâà òàêèõ îòîáðàæåíèé äåòàëüíî èññëåäîâàíû â ðàáîòàõ Ì.Ç. Çãóðîâñêîãî,
Â.Ñ. Ìåëüíèêà è èõ ó÷åíèêîâ [1–4].
Äàëåå ñëàáóþ ñõîäèìîñòü îáîçíà÷èì êàê «
w
� �� ». Îáîçíà÷èì C X� ( )* ñîâî-
êóïíîñòü âñåõ íåïóñòûõ çàìêíóòûõ âûïóêëûõ îãðàíè÷åííûõ ïîäìíîæåñòâ èç ïðî-
ñòðàíñòâà X �.
Îïðåäåëåíèå 1. Ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå A X X: �
�
2 íàçûâàåòñÿ:
ìîíîòîííûì, åñëè [ ( ), ] [ ( ), ]A y y y A y y y1 1 2 2 1 2
�
� � y y X1 2, ;
�
( )-êîýðöèòèâíèì, åñëè
[ ( ), ]
|| ||
( )
A y y
y X
�
� �� ïðè || ||y X ��� ;
õåìèíåïðåðûâíûì (ñâåðõó), åñëè ôóíêöèÿ X x A x y� �� [ ( ), ] ïîëóíåïðå-
ðûâíà ñâåðõó íà X äëÿ ëþáîãî y X .
Ïóñòü W — íåêîòîðîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî, íåïðåðûâíî âëîæåííîå
â X , Y — ðåôëåêñèâíîå èëè ñåïàðàáåëüíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî, Y � —
ñîïðÿæåííîå ê íåìó, U — íåïóñòîå, âûïóêëîå, *-ñëàáî çàìêíóòîå ìíîæåñòâî â Y * .
Ðàññìîòðèì ïàðàìåòðèçèðîâàííîå ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå A X U X: � �
� .
Îïðåäåëåíèå 2. Ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå A X U C X: ( )� � �
� íàçûâàåòñÿ:
� 0 -êâàçèìîíîòîííûì íà W U� , åñëè äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
{ }y a W Un n n, � � �0 òàêîé, ÷òî y yn
w� �� 0 â W, a an � 0 �-ñëàáî â Y � ,
d dn
w� �� 0 â X * ïðè n ��� , ãäå d A y an n n ( , ) � �n 1, èç íåðàâåíñòâà
lim ,
n
n n Xd y y
��
�
� �0 0 ñëåäóåò, ÷òî äëÿ íåêîòîðîé ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè
{ } { }y d y dn n k n n nk k
, ,� ��
1 1 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
lim , [ ( , ), ]
k
n n Xd y w A y a y w
k k
��
�
� �
0 0 0 � w X ;
îãðàíè÷åííûì, åñëè äëÿ êàæäîãî L � 0 ñóùåñòâóåò òàêîå l � 0, ÷òî
� � � � ��{ }y u X U y L u L A y u lX U, : || || , || || || ( , ) || .
Îïðåäåëåíèå 3. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî îòîáðàæåíèå A X U C X: ( )� � �
� óäîâëåò-
âîðÿåò ñâîéñòâó S k íà W U� : åñëè èç òîãî, ÷òî y yn � 0 ñëàáî â W, U u u Un� � 0
�-ñëàáî â Y � , d dn � �-ñëàáî â X * (d A y un n n ( , ) � �n 1), è èç òîãî, ÷òî
�
� �d y yn n X, 0 0 ïðè n �� , ñëåäóåò d A y u ( , )0 0 .
Îïðåäåëåíèå 4. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî îòîáðàæåíèå A X U C X: ( )� � �
� óäîâëåò-
âîðÿåò ñâîéñòâó ( )� íà X U� : åñëè äëÿ ëþáîãî k � 0, ëþáîãî îãðàíè÷åííîãî ìíî-
æåñòâà B X U� � , ëþáîãî y X0 è äëÿ íåêîòîðîãî ñåëåêòîðà d A
( ( , ) ( , )d y u A y u � ( , )y u B), ñâÿçàííûõ ñîîòíîøåíèåì �
� �d y u y y kX( , ), 0
� ( , )y u B , ñóùåñòâóåò òàêîå C � 0, ÷òî || ( , ) ||d y u C
X � � � ( , )y u B .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 127
Ñ êàæäûì ìíîãîçíà÷íûì îòîáðàæåíèåì A X C X: ( )� �
� ñâÿæåì îòîáðàæåíèå
A X U C X: ( )� � �
� , A y u A y( , ) ( )� , y X , u U .
Îïðåäåëåíèå 5. Ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå A X C X: ( )� �
� óäîâëåòâîðÿåò
ñâîéñòâó S k íà W (ñâîéñòâó ( )� ), åñëè ñîîòâåòñòâóþùåå îòîáðàæåíèå
A X U C X: ( )� � �
� óäîâëåòâîðÿåò ñâîéñòâó S k íà W U� (ñâîéñòâó ( )� íà X U� ).
Îïðåäåëåíèå 6. Ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå A X C X: ( )� �
� íàçûâàåòñÿ:
� 0 -ïñåâäîìîíîòîííûì íà W (W�0
-ïñåâäîìîíîòîííûì), åñëè ñîîòâåòñòâóþ-
ùåå îòîáðàæåíèå A X U C X: ( )� � �
� � 0 -êâàçèìîíîòîííîå íà W U� ;
îãðàíè÷åííûì, åñëè ñîîòâåòñòâóþùåå îòîáðàæåíèå A X U X: � �
� îãðàíè-
÷åííîå.
Êëàññû òàêèõ îòîáðàæåíèé äåòàëüíî èçó÷åíû â ðàáîòàõ [1–20].
ÏÀÐÀÌÅÒÐÈÇÈÐÎÂÀÍÍÛÅ ÌÓËÜÒÈÂÀÐÈÀÖÈÎÍÍÛÅ ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ
Ñ ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈßÌÈ ÒÈÏÀ Sk
Ðàññìîòðèì ôóíêöèîíàëüíî-òîïîëîãè÷åñêèå ñâîéñòâà ðàçðåøàþùåãî îïåðàòîðà
äëÿ êëàññà ìóëüòèâàðèàöèîííûõ íåðàâåíñòâ â áåñêîíå÷íîìåðíûõ ïðîñòðàíñòâàõ,
êîòîðûå îïèñûâàþò ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè íåëèíåéíûõ ñòàöèîíàðíûõ ãåîôèçè-
÷åñêèõ ïðîöåññîâ è ïîëåé ðàçëè÷íîé ïðèðîäû, ñîäåðæàùèõ äèôôåðåíöèàëüíûå
óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ñ ðàçðûâíîé è ìíîãîçíà÷íîé çàâèñèìîñ-
òüþ ìåæäó îïðåäåëÿþùèìè ïàðàìåòðàìè èñõîäíîé çàäà÷è. Äëÿ ìíîãîçíà÷íîãî
îòîáðàæåíèÿ A X U X: � �
� , íåïóñòîãî çàìêíóòîãî â ïðîñòðàíñòâå X âûïóêëîãî
ìíîæåñòâà K è âûïóêëîãî ôóíêöèîíàëà �: K �� ïàðàìåòðèçèðîâàííûì ìóëüòè-
âàðèàöèîííûì íåðàâåíñòâîì íàçîâåì îáúåêò
[ ( , ), ] ( ) ( ) ,A y u y y f y KX� � � � � �
�
� �
� � � , (1)
ãäå f X � , u U .
Äëÿ ôèêñèðîâàííûõ u U , f X � â êà÷åñòâå K u f( , ) îáîçíà÷èì ñîâîêóïíîñòü
ðåøåíèé îïåðàòîðíîãî íåðàâåíñòâà (1) èç ìíîæåñòâà K .
 [1, 4, 13, 18] ðàçðàáàòûâàåòñÿ ìíîãîçíà÷íûé ìåòîä øòðàôà äëÿ ìóëüòèâàðèà-
öèîííûõ íåðàâåíñòâ ñ îòîáðàæåíèÿìè òèïà S k è � 0 -êâàçèìîíîòîííûìè îòîáðàæå-
íèÿìè, èçó÷àþòñÿ ñâîéñòâà ðàçðåøàþùåãî îïåðàòîðà.  ÷àñòíîñòè, äîêàçàíî, ÷òî
êîãäà ïðîñòðàíñòâî X êîìïàêòíî âëîæåíî â íåêîòîðîå ðåôëåêñèâíîå áàíàõîâî
ïðîñòðàíñòâî W, K X� , ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå A X U X: � �
� óäîâëåòâîðÿåò
ñâîéñòâó S k , ôóíêöèîíàë �:W �� — âûïóêëûé, ïîëóíåïðåðûâíûé ñíèçó,
u un � �-ñëàáî â Y �, f fn � ñèëüíî â X � , òî
n m n
m m
w
K u f K u f
� �
�
1
� � ( , ) ( , ) , ãäå
Q w — ñëàáîå çàìûêàíèå ìíîæåñòâà Q X� â X .
Áîëåå òîãî, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå u U , ÷òî îòîáðàæåíèå X y A y u� � ( , ) ÿâ-
ëÿåòñÿ �-êîýðöèòèâíûì è îãðàíè÷åííûì, òî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî f X � ìíîæåñòâî
K u f( , ) íåïóñòîå è ñëàáî çàìêíóòîå â X .
 êà÷åñòâå ïðèìåðà ìîæíî ðàññìîòðåòü çàäà÷ó óïðàâëåíèÿ êîýôôèöèåíòàìè ãëàâ-
íîé ÷àñòè ýëëèïòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñ óñëîâèÿìè Äèðèõëå íà ãðàíèöå â êëàññå îáîá-
ùåííî ñîëåíîèäàëüíûõ óïðàâëåíèé. Ïóñòü n � 2, � � �
n — îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü
ñ äîñòàòî÷íî ðåãóëÿðíîé ãðàíèöåé �, X H�
0
1 ( )� — äåéñòâèòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî Ñî-
áîëåâà, X H�
� 1 ( )� , ( , ) ( )u L�
2 �
— ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â W W L� �� 2 ( )� ,
(( , ))u � — ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â H
0
1 ( )� , a b� — ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòî-
ðîâ a b n, � , || || (( , ))
( )
u u u
H 0
1 �
� , u X . Ïóñòü òàêæå � �1 2, — çàäàííûå ôóíê-
128 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2
öèè èç L� ( )� òàêèå, ÷òî
� �1 2( ) ( )x x� ïî÷òè âñþäó (ï.â.) â � . (2)
Ïîëîæèì
U u x
u u L i j n
x u
ij i j n
ji ij
i
0 1
1
1
� �
� � �
�� �
�
� [ ( )]
( ) , , ,
( )
,
�
� j x x i j n( ) ( ) , ,� � �
�
�
�
��
�
�
�
��� 2 1ï.â. â �
.
Ìíîæåñòâî U0 ñîñòîèò èç ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åííûõ ñèììåòðè÷íûõ êâàäðàò-
íûõ ìàòðèö. Ïóñòü òàêæå Y L n n� �[ ( )]1 � . Òîãäà Y L n n* [ ( )]� �
�� . Ðàññìîòðèì
ìíîæåñòâî
V L i nn
n n
i� � � � ��
�{ div }� [ , , , ] [ ( )] : , , ,u u u u1 2 0 1 2� �� .
Áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî ôóíêöèîíàëüíûé ïàðàìåòð � ÿâëÿåòñÿ äîïóñòèìûì, åñëè
� V U� 0 . Ìíîæåñòâî âñåõ äîïóñòèìûõ ïàðàìåòðîâ îáîçíà÷èì êàê U. Ìíîæåñòâî
U ñåêâåíöèàëüíî êîìïàêòíîå â �-ñëàáîé òîïîëîãèè ïðîñòðàíñòâà [ ( )]L n n
�
�� . Ðàñ-
ñìîòðèì îïåðàòîð A X U X: � � � ,
A y x y
x
u x
y
xii j
n
ij
j
( , ) ( ( ) ) ( )
,
� ��
�
!
!
!
!
"
#
$
$
%
&
'
�
(div
1
'
.
Ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå A X U X: � � � óäîâëåòâîðÿåò ñâîéñòâó S k . Çà
ñ÷åò (2) êàê A, òàê è
A íå ÿâëÿþòñÿ �-êâàçèìîíîòîííûìè â îáùåì ñëó÷àå. Áîëåå
òîãî, ïîëîæèâ � ( ) ( , ) |y A y U� { }� � , y X , ïîëó÷èì îãðàíè÷åííîå ìíîãîçíà÷-
íîå îòîáðàæåíèå, êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåò ñâîéñòâó S k , íî íå ÿâëÿåòñÿ �-ïñåâäîìî-
íîòîííûì;
A òàêæå íå �-ïñåâäîìîíîòîííî. Äîñòàòî÷íîå óñëîâèå, êîòîðîå îáåñïå-
÷èâàåò �-êîýðöèòèâíîñòü � , èìååò, íàïðèìåð, òàêîé âèä:
) �� 0: äëÿ ïî÷òè âñåõ x x x � �� � � �2 1 0( ) , ( ) . (3)
Çàìåòèì, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (3) � íå ÿâëÿåòñÿ
-êîýðöèòèâíûì.
Ðàññìîòðèì âûïóêëûé ïîëóíåïðåðûâíûé ñíèçó ôóíêöèîíàë � : � �� òàêîé,
÷òî �( ) ( )u L 1 � äëÿ âñåõ u W .  êà÷åñòâå * : � �� îáîçíà÷èì ñóáäèôôåðåíöè-
àë �. Äëÿ ôèêñèðîâàííûõ f X * è � � � �[ ( )] ,u x Uij i j n1 ðàññìîòðèì çàäà÷ó
!
!
!
!
"
#
$
$
%
&
'
'
� �
�
(
x
u x
y
x
y x f x
ii j
n
ij
j,
( ) ( ( )) ( )
1
* äëÿ ïî÷òè âñåõ x � ,
y x( ) � 0 ï.â. íà �.
Ìíîæåñòâî îáîáùåííûõ ðåøåíèé òàêîé çàäà÷è îáîçíà÷èì êàê K f X( , )� � .
 ýòîì ñëó÷àå èìåþò ìåñòî âñå ïðèâåäåííûå âûøå óòâåðæäåíèÿ.
Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ñóùåñòâåííî îáîáùàþò ñîîòâåòñòâóþùèå òåîðåìû èç
ðàáîò À.À. Êîâàëåâñêîãî, Â.Å. Êàïóñòÿíà, Î.Ï. Êîãóò, À.À. Ïàíêîâà, Z. Denkowski,
S. Migorski, D. Bucur è äðóãèõ, ïîçâîëÿÿ îñëàáèòü óñëîâèå
-êîýðöèòèâíîñòè íà
�-êîýðöèòèâíîñòü, óñëîâèå � 0 -ïñåâäîìîíîòîííîñòè è çàìêíóòîñòè ãðàôèêà —
íà óñëîâèå S k è � 0 -êâàçèìîíîòîííîñòü, óñëîâèå îäíîçíà÷íîñòè îïåðàòîðà øòðà-
ôà — íà ìíîãîçíà÷íîñòü â îáùåì ñëó÷àå.
ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÎ-ÎÏÅÐÀÒÎÐÍÛÅ ÂÊËÞ×ÅÍÈß
 ÁÅÑÊÎÍÅ×ÍÎÌÅÐÍÛÕ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀÕ
 ðàáîòàõ [1–3, 11–20] êîíñòðóêòèâíî èçó÷àþòñÿ äèôôåðåíöèàëüíî-îïåðàòîðíûå
âêëþ÷åíèÿ ñ íåêîýðöèòèâíûìè îòîáðàæåíèÿìè âîëüòåððîâñêîãî òèïà, îïèñûâàþ-
ùèå íîâûå ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè íåëèíåéíûõ ãåîôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ è ïî-
ëåé, â ÷àñòíîñòè ïüåçîýëåêòðè÷åñêèõ ïðîöåññîâ, êîòîðûå òðåáóþò ðàçðàáîòêè
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 129
ñîîòâåòñòâóþùåé íåêîýðöèòèâíîé ñõåìû èññëåäîâàíèÿ è âûñîêîòî÷íûõ àëãîðèò-
ìîâ ïîèñêà ïðèáëèæåííûõ ðåøåíèé. Ïóñòü ( ; ; )V H Vi i
� — ýâîëþöèîííûå òðîéêè
òàêèå, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà *� � +V V V1 2 , * ïëîòíî â ïðîñò-
ðàíñòâàõ V, V1, V2 è H,
X L S H L S H L S V L S Vr r p p� + + +
1 2 1 21 2( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ),
X L S V L S V L S H L S Hq q r r
� � �� � � �
1 2 2 11 2( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; )
' '
,
W y X y X� , �{ | },
ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè íîðìàìè, ïðè ïðåäïîëîæåíèè 2 0 1 2� � - ��p r r: max ,{ } ,
1- � - � �p ri i , q ri i� �' 1, p q r ri i i i
� � � �1 1 1 1 1' , i �1 2, . Îòìåòèì, ÷òî � �� �, -ñïà-
ðèâàíèå íà X X� � ñîâïàäàåò ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì â H L S H1 2� ( ; ) íà
H X1 � .  ðàáîòàõ [1, 2] èçó÷àþòñÿ ñòðóêòóðíûå ñâîéñòâà ââåäåííûõ ôàçîâûõ
ïðîñòðàíñòâ è ðàñøèðåííûõ ôàçîâûõ ïðîñòðàíñòâ îáîáùåííûõ ðåøåíèé äèôôå-
ðåíöèàëüíûõ âêëþ÷åíèé è ìóëüòèâàðèàöèîííûõ íåðàâåíñòâ, êîòîðûå îïèñûâàþò
ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè íåëèíåéíûõ ãåîôèçè÷åñêèõ è ñîöèîýêîíîìè÷åñêèõ ïðî-
öåññîâ è ïîëåé.
Îïðåäåëåíèå 7. Îòîáðàæåíèå A X X: �
� íàçûâàåòñÿ îïåðàòîðîì òèïà Âîëü-
òåððû, åñëè äëÿ ïðîèçâîëüíûõ u Y, � , t T ( , ]0 èç ðàâåíñòâà u s s( ) ( )� � äëÿ ïî÷òè
âñåõ s t [ , ]0 ñëåäóåò, ÷òî [ ( ), ] [ ( ), ]A u At t� � �� �� � � t X òàêèõ, ÷òî � t s( ) � 0 äëÿ
ïî÷òè âñåõ s S t \ [ , ]0 .
 êà÷åñòâå H X( )� îáîçíà÷èì ñîâîêóïíîñòü ïîäìíîæåñòâ X � ñ òàêèì ñâîé-
ñòâîì: B H X �( ), åñëè äëÿ ïðîèçâîëüíîãî èçìåðèìîãî ìíîæåñòâà E S� è ïðîèç-
âîëüíûõ u B, � âûïîëíÿåòñÿ u u BE�
( )� � . Çäåñü è äàëåå äëÿ d X �
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî V òàêîå, ÷òî V V � 1,
V V � 2 íåïðåðûâíî è ïëîòíî,V H � êîìïàêòíî è ïëîòíî. Äëÿ i �1 2, ïîëîæèì
X L S H L S V X X Xi r pi i, , ,( ; ) ( ; ) , � + � +1 2 ,
X L S H L S V X X Xi r qi i, , ,'
( ; ) ( ; ) ,
� � � � �� � � �1 2 ,
W y X y X W W Wi i i, , , ,| , � , � +�{ } 1 2 .
Äëÿ ìíîãîçíà÷íîãî (â îáùåì ñëó÷àå) îòîáðàæåíèÿ A X X: �
� ðàññìàòðèâàåòñÿ
, � �
� �
�
�
�
u A u f
u a u W C S H
( ) ,
( ) , ( ; ),0
(4)
ãäå a H è f X �— ïðîèçâîëüíûå ôèêñèðîâàííûå ýëåìåíòû.
 ðàáîòå [20] äîêàçàíî, ÷òî êîãäà a � 0, âëîæåíèå V H� — êîìïàêòíî,
A X C X H X: ( ) ( )� +� �
� — îãðàíè÷åííîå îòîáðàæåíèå òèïà Âîëüòåððû, ÷òî
óäîâëåòâîðÿåò ñâîéñòâó S k íà W , äëÿ íåêîòîðîãî � � 0 îòîáðàæåíèå A I� � �-êî-
ýðöèòèâíî, òî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî f X * ñóùåñòâóåò ïî êðàéíåé ìåðå îäíî ðåøå-
íèå (4), êîòîðîå ìîæíî ïîëó÷èòü ìåòîäîì Ôàýäî–Ãàëåðêèíà.
Åñëè a . 0, òî óñëîâèå êîýðöèòèâíîñòè íåîáõîäèìî óñèëèòü: äëÿ íåêîòîðûõ
� A � 0 è c � 0 èìååì
[ ( ), ] || ( ) || || ||
|| ||
A y y c A y y
y
A Y
X
� �
�
� ��
�
2
ïðè || ||y X ��� .
130 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2
�
�
�
� �
ñëó÷àå.ïðîòèâíîìâ0
,,1
)(,âñåõïî÷òèäëÿ)()())((
E
Sdd EEE
�
�
�
 ðàáîòàõ [1, 2, 11–14] ðàññìîòðåíû òàêæå ìåòîä Äóáèíñêîãî è ìåòîä êîíå÷-
íûõ ðàçíîñòåé äëÿ äèôôåðåíöèàëüíî-îïåðàòîðíûõ âêëþ÷åíèé ñ îòîáðàæåíèÿìè
âîëüòåððîâñêîãî òèïà ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ïðèëîæåíèÿìè ê ìàòåìàòè÷åñêèì ìîäå-
ëÿì íåëèíåéíûõ ãåîôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ, â ÷àñòíîñòè ê äèíàìè÷åñêèì êîíòàêò-
íûì çàäà÷àì.
Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì îãðàíè÷åííóþ îáëàñòü � � �
n ñ äîñòàòî÷íî ãëàäêîé
ãðàíèöåé !� , S T� [ , ]0 , Q T� �� ( ; )0 , � �T T� ! � ( ; )0 . Äëÿ a b, � ïîëîæèì
[ , ] ( ) | [ , ]a b a b� �
{ }� � �1 0 1 . Ïóñòü � �, : � �� — òàêèå äåéñòâèòåëüíûå ôóíê-
öèè, ÷òî
� � � � �C s s s C s( | | ) ( ) ( ) ( | | )1 1� � � s � äëÿ íåêîòîðîãî C � 0. Ïðåäïîëî-
æèì, ÷òî � ïîëóíåïðåðûâíà ñâåðõó è � ïîëóíåïðåðûâíà ñíèçó.
Ïóñòü V H�
0
1 ( )� — äåéñòâèòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî Ñîáîëåâà, V H�
� 1 ( )� —
åãî ñîïðÿæåííîå, H L� 2 ( )� , X L S V� 2 ( ; ) , a H , f X �. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ
çàäà÷ó:
!
!
�
�
y x t
t
y x t y x t y x t y x t
( , )
[ ( , ), ( , )] [ ( ( , )), ( ( , ))]/ / � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
f x t Q
y x a x
y x t T
( , ) ,
( , ) ( ) ,
( , ) .
â
â
â
0
0
�
�
(5)
Ïðè ïåðå÷èñëåííûõ óñëîâèÿõ çàäà÷à (5) èìååò ïî êðàéíåé ìåðå îäíî îáîáùåííîå
ðåøåíèå y W .
 ðàáîòàõ [2, 9, 16, 17, 20] èçó÷åíû ôóíêöèîíàëüíî-òîïîëîãè÷åñêèå ñâîéñòâà
ðàçðåøàþùåãî îïåðàòîðà ýâîëþöèîííîãî âêëþ÷åíèÿ ñ îòîáðàæåíèÿìè òèïà S k è
w�0
-êâàçèìîíîòîííûìè îòîáðàæåíèÿìè, èññëåäîâàíà çàâèñèìîñòü ìíîæåñòâà ðå-
øåíèé îò ôóíêöèîíàëüíûõ ïàðàìåòðîâ çàäà÷è. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ïðîäåìîí-
ñòðèðîâàíû íà ïðèìåðå äèíàìè÷åñêîé êîíòàêòíîé çàäà÷è ñ íåëèíåéíûì òðåíèåì.
Ïóñòü Y — ðåôëåêñèâíîå èëè ñåïàðàáåëüíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî, Y �—
ñîïðÿæåííîå ê íåìó, U — íåïóñòîå, âûïóêëîå, �-ñëàáî çàìêíóòîå ìíîæåñòâî â Y � ,
A X U X: � �
� — ìíîãîçíà÷íîå (â îáùåì ñëó÷àå) îòîáðàæåíèå. Äëÿ ôèêñèðîâàí-
íûõ f X �, u U , a H îáîçíà÷èì K f a u( , , ) ñîâîêóïíîñòü ðåøåíèé çàäà÷è
, � �
� �
�
�
�
y A y u f
y a y W C S H
( , ) ,
( ) , ( ; ).0
Êîãäà A X U C X: ( )� � �
� — îãðàíè÷åííîå � 0 -êâàçèìîíîòîííîå íà W U� îòîá-
ðàæåíèå, { }f a u y X H U Wm m m m m, , , �
�� � � �1 : f fm � ñèëüíî â X �, a am �
ñèëüíî â H, u um � � -ñëàáî â Y �, y ym � ñëàáî â X ïðè m��� è � �m 1
y K f a um m m m ( , , ), äîêàçàíî, ÷òî y K f a u ( , , ) .
Ïîêàçàíî òàêæå, ÷òî êîãäà ïðîñòðàíñòâîVi , i �1 2, , — ðàâíîìåðíî âûïóêëîå, âëî-
æåíèåV H� — êîìïàêòíîå, A X U C X H X: ( ) ( )� � +� �
� — îãðàíè÷åííîå îòîáðà-
æåíèå, êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåò ñâîéñòâó S k íà W U� , äëÿ êàæäîãî u U îòîáðàæåíèå
A u( , )� ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì òèïà Âîëüòåððû, { }f a u y X H U Wm m m m m, , , �
�� � � �1 :
f fm � ñèëüíî â X � , a am � ñèëüíî â H, u um � �-ñëàáî â Y � , y ym � ñëàáî â X
ïðè m��� è � �m 1 y K f a um m m m ( , , ) , òî y K f a u ( , , ) .
Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû îáîáùàþò òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ ñî-
îòâåòñòâóþùèìè ðåçóëüòàòàìè èç ðàáîò N.S. Papageorgiou, Z. Denkowski, S. Mig-
´orski, Q.H. Ansari, S. Carl, D. Motreanu è äðóãèõ, ïîçâîëÿÿ îñëàáèòü óñëîâèå
-êî-
ýðöèòèâíîñòè íà îñëàáëåííóþ �-êîýðöèòèâíîñòü, óñëîâèå îáîáùåííîé ïñåâäîìî-
íîòîííîñòè — íà w�0
-ïñåâäîìîíîòîííîñòü èëè óñëîâèå S k , óñëîâèå
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 131
îãðàíè÷åííîñòè — íà «êâàçèîãðàíè÷åííîñòü» è èññëåäîâàòü ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ íå-
êîòîðûå ôóíêöèîíàëüíî-òîïîëîãè÷åñêèå ñâîéñòâà ðàçðåøàþùåãî îïåðàòîðà äëÿ òà-
êèõ çàäà÷. Ðåçóëüòàòû äàííîãî ðàçäåëà âìåñòå ñ òåîðåìàìè èç ðàáîò [1–20] îõâàòû-
âàþò íîâûå êëàññû äèôôåðåíöèàëüíî-îïåðàòîðíûõ âêëþ÷åíèé ñ ìíîãîçíà÷íûìè
îòîáðàæåíèÿìè òèïà S k .
ÝÂÎËÞÖÈÎÍÍÛÅ ÌÓËÜÒÈÂÀÐÈÀÖÈÎÍÍÛÅ ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ
Ñ ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈßÌÈ ÏÑÅÂÄÎÌÎÍÎÒÎÍÍÎÃÎ ÒÈÏÀ
 ðàáîòàõ [1, 3, 5, 10, 13–15, 19] ðàññìàòðèâàþòñÿ ñëàáûå è ñèëüíûå ðåøåíèÿ
ýâîëþöèîííûõ ìóëüòèâàðèàöèîííûõ íåðàâåíñòâ ñ �-êîýðöèòèâíûìè îòîáðàæåíè-
ÿìè. Ðàññìîòðåíû ïðèìåðû îäíîñòîðîííèõ çàäà÷ è çàäà÷ ñî ñâîáîäíîé ãðàíèöåé
ñ äèôôåðåíöèàëüíûì îïåðàòîðîì òèïà Ëåðå–Ëèîíñà, êîòîðûå äåìîíñòðèðóþò
ïîëó÷åííûå îáîáùåíèÿ.
Ïóñòü * — ñåïàðàáåëüíîå ëîêàëüíî âûïóêëîå ëèíåéíîå òîïîëîãè÷åñêîå ïðî-
ñòðàíñòâî, *� — åãî òîïîëîãè÷åñêè ñîïðÿæåííîå, ( , )f � — ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäå-
íèå (êàíîíè÷åñêîå ñïàðèâàíèå) ýëåìåíòîâ f �* è � *. Ïóñòü çàäàíû òðè ïðîñò-
ðàíñòâà — V H, , V � , ïðè÷åì âëîæåíèÿ * *� � �V , * *� � �H , * *� �� �V íå-
ïðåðûâíûå è ïëîòíûå; H — ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî, V — ñåïàðàáåëüíîå
ðåôëåêñèâíîå áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî, V � — ñîïðÿæåííîå ê V ïðîñòðàíñòâî. Ïðåä-
ïîëîæèì, ÷òî ìíîæåñòâî *— ïëîòíîå â ïðîñòðàíñòâå V V+ �. Ïóñòü çàäàíî ñåìåé-
ñòâî îïåðàòîðîâ { }G s
s
( ) �0
òàêîå, ÷òî { }G s s( ) �0 — íåïðåðûâíàÿ ïîëóãðóïïà íà
V H V, , ,� || ( ) || ( ; )G s L H H �1� �s 0,
0— èíôèíèòåçèìàëüíûé ãåíåðàòîð ïîëóãðóï-
ïû { }G s s( ) �0 ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ D V( ; )0 (ñîîòâåòñòâåííî D H( ; )0 èëè
D V( ; )0 � ) â V (ñîîòâåòñòâåííî â H èëè V � ). Ïîëîæèì
D V V V
w w D V V
( ; , )
( , ) ( ; )
0
0 0�
� � �
�
� +
�
� íåïðåðûâíà íà â òîïîëîãèè
èíäóöèðîâàííîé èç ïðîñòðàíñòâà
, .
V
�
�
�
��
�
�
�
��
 ñëó÷àå, êîãäà V íå ñîäåðæàòñÿ â H, ïðåäïîëîæèì, ÷òî
V D V+ �( ; )0 ïëîòíîå â D V V( ; , )0 � ,
V D V+ � �( ; )0 ïëîòíîå â D V V( ; , )0� � .
Äîïîëíèòåëüíî ïðåäïîëîæèì, ÷òî K ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì ïîäìíîæåñòâîì èç V
òàêèì, ÷òî äëÿ êàæäîãî � K ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü � j K D + ( )0 òàêàÿ,
÷òî � �j � â V è lim ( , )
j
j j
��
�0� � � 0; ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå A V C V: ( )� �
�
ÿâëÿåòñÿ � 0 -ïñåâäîìîíîòîííûì íà V, ëîêàëüíî êîíå÷íîìåðíî îãðàíè÷åííûì, îíî
óäîâëåòâîðÿåò ñâîéñòâó (�) è äëÿ íåêîòîðîãî y K D0 + ( )0
[ ( ), ]
|| ||
A y y y
y V
� ���0 ïðè || ||y V �� ; � �: ( )V C V� � ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííûì,
îãðàíè÷åííûì, õåìèíåïðåðûâíûì ñâåðõó ìíîãîçíà÷íûì îïåðàòîðîì «øòðàôà»,
êîòîðûé ñîîòâåòñòâóåò ìíîæåñòâó K , òîãäà äëÿ ïðîèçâîëüíîãî f V � , ëþáîãî
� 0
çàäà÷à
0
0
y A y y f
y D
�� � �
�
�
�
��
( ) ( ) ,
( ),
1
(6)
èìååò ðåøåíèå. Áîëåå òîãî, ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { }y D
� ( )0 òà-
êàÿ, ÷òî:
132 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2
a) äëÿ êàæäîãî
� 0 y
— ðåøåíèå çàäà÷è (6);
á) ñóùåñòâóåò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü { } { }y y
� òàêàÿ, ÷òî äëÿ íåêîòîðî-
ãî y V y y
� ñëàáî â V;
â) y ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è
( , ) [ ( ), ] ( , ) ( ),0 0� � � � �
�
�
� + �y A y y f y K D y K .
Ïî ñðàâíåíèþ ñ ñóùåñòâóþùèìè ðåçóëüòàòàìè â äàííîì íàïðàâëåíèè èññëå-
äîâàíèé ïðåäëîæåííûé ïîäõîä èìååò ñëåäóþùèå ïðåèìóùåñòâà: ìíîãîçíà÷íûé
ìåòîä øòðàôà ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü áîëåå øèðîêèé êëàññ àïïðîêñèìàöèîííûõ
çàäà÷, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ íàõîäÿò ðåøåíèÿ èñõîäíîé çàäà÷è; â ïðåäñòàâëåííûõ
òåîðåìàõ îñëàáëÿåòñÿ ñèëüíîå óñëîâèå
-êîýðöèòèâíîñòè; ïîëó÷åíû íîâûå
àïðèîðíûå îöåíêè äëÿ ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè ïðèáëèæåííûõ ðåøåíèé èñõîäíîé
çàäà÷è.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Äëÿ øèðîêîãî êëàññà ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé íåëèíåéíûõ ãåîôèçè÷åñêèõ è ñîöèî-
ýêîíîìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ è ïîëåé, êîòîðûå ñîäåðæàò, â ÷àñòíîñòè, äèôôåðåíöè-
àëüíûå óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ñ ðàçðûâíîé èëè ìíîãîçíà÷íîé çà-
âèñèìîñòüþ ìåæäó îïðåäåëÿþùèìè ïàðàìåòðàìè, â ðàáîòàõ [1–20] ðàçðàáîòàí
äèôôåðåíöèàëüíî-îïåðàòîðíûé ïîäõîä. Îáîñíîâàí ìíîãîçíà÷íûé ìåòîä øòðàôà
äëÿ ïàðàìåòðèçèðîâàííûõ ìóëüòèâàðèàöèîííûõ íåðàâåíñòâ ñ îòîáðàæåíèÿìè òè-
ïà S k è êâàçèìîíîòîííûìè îòîáðàæåíèÿìè; ðàçðàáîòàíà íåêîýðöèòèâíàÿ ñõåìà
èññëåäîâàíèÿ ýâîëþöèîííûõ âêëþ÷åíèé ñ ìíîãîçíà÷íûìè îòîáðàæåíèÿìè òèïà
S k â áàíàõîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ; èçó÷åíû ôóíêöèîíàëüíî-òîïîëîãè÷åñêèå ñâîé-
ñòâà ðàçðåøàþùåãî îïåðàòîðà. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìîãóò áûòü èñïîëüçîâà-
íû ïðè êîíñòðóêòèâíîì è êà÷åñòâåííîì èññëåäîâàíèè íåëèíåéíûõ ïðîöåññîâ
ðàçíîé ïðèðîäû, â ÷àñòíîñòè ïðè èçó÷åíèè äèíàìè÷åñêèõ êîíòàêòíûõ çàäà÷
ñ «íåëèíåéíûì òðåíèåì», ïüåçîýëåêòðè÷åñêèõ ïðîöåññîâ, ïîëåé íåëèíåàðèçèðî-
âàííîé òåîðèè âÿçêîóïðóãîñòè.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ç ã ó ð î â ñ ê è é Ì . Ç . , Ê à ñ ü ÿ í î â Ï . Î . , Ì å ë ü í è ê Â . Ñ . Äèôôåðåíöèàëüíî-îïåðàòîðíûå
âêëþ÷åíèÿ è âàðèàöèîííûå íåðàâåíñòâà â áåñêîíå÷íîìåðíûõ ïðîñòðàíñòâàõ. — Ê.: Íàóê. äóìêà,
(ïðîåêò «Íàóêîâà êíèãà»), 2008. — 464 ñ.
2. Z g u r o v s k y M . Z . , M e l n i k V . S . Nonlinear analysis and control of physical processes and fields.
— Berlin: Springer, 2004. — 508 ð.
3. Ç ã ó ð î â ñ ê è é Ì . Ç . , Í î â è ê î â À . Í . Àíàëèç è óïðàâëåíèå îäíîñòîðîííèìè ôèçè÷åñêèìè ïðî-
öåññàìè. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1996. — 328 ñ.
4. Çã ó ð î â ñ ê è é Ì . Ç . , Ì å ë ü í è ê Â . Ñ . Ìåòîä øòðàôà äëÿ âàðèàöèîííûõ íåðàâåíñòâ ñ ìíîãî-
çíà÷íûìè îòîáðàæåíèÿìè. I // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2000. — ¹ 4. — Ñ. 57–69.
5. Äå é í å ê à Â . Ñ . , Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . , Ñ ê î ï å ö ê è é Â . Â . Ìîäåëè è ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷
ñ óñëîâèÿìè ñîïðÿæåíèÿ. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1998. — 614 ñ.
6. Ñ ê ð û ï í è ê È .  . Ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ ýëëèïòè÷åñêèõ êðàåâûõ çàäà÷. — Ì.: Íàóêà, 1990. —
442 ñ.
7. × è ê ð è é À . À . Êîíôëèêòíî óïðàâëÿåìûå ïðîöåññû. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1992. — 381 ñ.
8. P e r e s t y u k N . A . , P l o t n i k o v V . A . , S a m o i l e n k o A . M . , S k r y p n i k V . N . Impulse dif-
ferential equations with multivalued and discontinuous raght-hand side. — Kyiv: Inst. of math. NAS of
Ukraine, 2007. — 427 ð.
9. È â à í å í ê î  . È . , Ì å ë ü í è ê  . Ñ . Âàðèàöèîííûå ìåòîäû â çàäà÷àõ óïðàâëåíèÿ äëÿ ñèñòåì
ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1988. — 324 ñ.
10. D e n k o w s k i Z . , M i g ´ o r s k i S . , P a p a g e o r g i o u N . S . An introduction to nonlinear analysis.
Applications. — Boston; Dordrecht; London: Kluwer Acad. Publ., 2003. — 689 p.
11. Ç à ä î ÿ í ÷ ó ê Í .  . , Ê à ñ ü ÿ í î â Ï . Î . Ïðî ðîçâ’ÿçí³ñòü íåë³í³éíèõ åâîëþö³éíèõ ð³âíÿíü
ç Ì -ïñåâäîìîíîòîííèìè íåêîåðöèòèâíèìè â³äîáðàæåííÿìè // ³ñí. Êè¿â. óí-òó. Ñåð.: ìàòåìàòèêà,
ìåõàí³êà. — 2008. — Âèï. 19. — C. 7–12.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 133
12. K a s y a n o v P . O . , M e l n i k V . S . , V a l e r o J . On the method of approximation for evolutionary in-
clusions of pseudomonotone type // Bull. Amer. Math. Soc. — 2008. — 77, N 1. — P. 115–143.
13. Ê à ñ ü ÿ í î â Ï . Î . , Ì å ë ü í è ê  . Ñ . Î ðàçðåøèìîñòè äèôôåðåíöèàëüíî-îïåðàòîðíûõ âêëþ÷å-
íèé è ýâîëþöèîííûõ âàðèàöèîííûõ íåðàâåíñòâ, ïîðîæäåííûõ îòîáðàæåíèÿìè w�0
-ïñåâäîìîíîòîí-
íîãî òèïà // Óêð. ìàò. â³ñí. — 2007. — 4, ¹ 4. — Ñ. 535–581.
14. Ê à ñ ü ÿ í î â Ï . Î . , Ì å ë ü í è ê  . Ñ . Åâîëþö³éí³ íåðiâíîñòi ç íåêîåðöèòèâíèìè w�0
-ïñåâäîìîíî-
òîííèìè âiäîáðàæåííÿìè òèïó Âîëüòåððè // Óêð. ìàò. æóðí. — 2008. — 60, ¹ 11. — Ñ. 1499–1519.
15. Ê à ñ ü ÿ í î â Ï . Î . Ïðî ðîçâ’ÿçí³ñòü êëàñó åâîëþö³éíèõ âàð³àö³éíèõ íåð³âíîñòåé ç w�0
-ïñåâäîìîíî-
òîííèìè â³äîáðàæåííÿìè // Íàóê. â³ñò³ ÍÒÓÓ «Êϲ». — 2007. — ¹ 5. — Ñ. 142–147.
16. Ê à ñ ü ÿ í î â Ï . Î . Ïåð³îäè÷í³ ðîçâ’ÿçêè äëÿ êëàñó äèôåðåíö³àëüíî-îïåðàòîðíèõ âêëþ÷åíü ç â³äîá-
ðàæåííÿìè òèïó S k // Òàì æå. — 2008. — ¹ 6. — Ñ. 144–148.
17. Ê à ñ ü ÿ í î â Ï . Î . Ìåòîä Ôàåäî–Ãàëüîðê³íà äëÿ åâîëþö³éíèõ âêëþ÷åíü ç íåêîåðöèòèâíèìè
w�-ïñåâäîìîíîòîííèìè â³äîáðàæåííÿìè // Äîï. ÍÀÍ Óêðà¿íè. — 2009. — ¹ 1. — Ñ. 14–20.
18. Ê à ñ ü ÿ í î â Ï . Î . Ïðî ðîçâ’ÿçí³ñòü îäíîãî êëàñó ïàðàìåòðèçîâàíèõ ìóëüòèâàð³àö³éíèõ íåð³âíîñ-
òåé // Òàì æå. — 2009. — ¹ 2. — Ñ. 20–25.
19. Ê à ñ ü ÿ í î â Ï . Î . Ïðî ñëàáêó ðîçâ’ÿçí³ñòü êëàñó åâîëþö³éíèõ âàð³àö³éíèõ íåð³âíîñòåé â íåñê³í-
÷åííîâèì³ðíèõ ïðîñòîðàõ // Òàì æå. — 2009. — ¹ 3. — Ñ. 19–24.
20. Ka s y a n o v P . O . , M e l ’ n i k V . S . , T o s c a n o S . Initial time value problem solutions for evolution
inclusions with S k type operators // Ñèñòåì. äîñë³äæ. òà ³íôîðì. òåõíîëî㳿. — 2009. — ¹ 1. —
C. 116–130.
Ïîñòóïèëà 22.10.2009
|