О сходимости последовательностей нечетких персептивных элементов, заданных на разных пространствах возможностей
Досліджено властивості збіжності послідовностей нечітких персептивних елементів, заданих на різних просторах можливостей, і отримано результати, застосовні до дослідження теоретико-можливісного аналогу закону великих чисел для збіжності за можливістю і збіжності з необхідністю 1. The paper analyzes...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Datum: | 2010 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45151 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О сходимости последовательностей нечетких персептивных элементов, заданных на разных пространствах возможностей / А.С. Бычков, Е.В. Иванов // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 2. — С. 142-151. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859606057585737728 |
|---|---|
| author | Бычков, А.С. Иванов, Е.В. |
| author_facet | Бычков, А.С. Иванов, Е.В. |
| citation_txt | О сходимости последовательностей нечетких персептивных элементов, заданных на разных пространствах возможностей / А.С. Бычков, Е.В. Иванов // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 2. — С. 142-151. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Досліджено властивості збіжності послідовностей нечітких персептивних елементів, заданих на різних просторах можливостей, і отримано результати, застосовні до дослідження теоретико-можливісного аналогу закону великих чисел для збіжності за можливістю і збіжності з необхідністю 1.
The paper analyzes the properties of the convergence of sequences of fuzzy perceptive elements defined on different possibility spaces. The results are applied to investigating a possibilistic analog of the law of large numbers for convergence in possibility and convergence with necessity 1.
|
| first_indexed | 2025-11-28T04:33:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.21, 519.713
À.Ñ. ÁÛ×ÊÎÂ, Å.Â. ÈÂÀÍÎÂ
Î ÑÕÎÄÈÌÎÑÒÈ ÏÎÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÍÎÑÒÅÉ
ÍÅ×ÅÒÊÈÕ ÏÅÐÑÅÏÒÈÂÍÛÕ ÝËÅÌÅÍÒÎÂ,
ÇÀÄÀÍÍÛÕ ÍÀ ÐÀÇÍÛÕ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀÕ ÂÎÇÌÎÆÍÎÑÒÅÉ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: òåîðèÿ âîçìîæíîñòåé, íå÷åòêàÿ ëîãèêà, ñõîäèìîñòü
ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íå÷åòêèõ ïåðñåïòèâíûõ ýëåìåíòîâ.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
 ðàáîòàõ [1–3] äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ íåîïðåäåëåííîñòåé ïðåäëàãàåòñÿ ïðèìåíÿòü
òåîðèþ âîçìîæíîñòåé.  [4] ââîäèòñÿ ïîíÿòèå íå÷åòêèõ ïåðñåïòèâíûõ ýëåìåí-
òîâ, îáîáùàþùåå íå÷åòêèå ýëåìåíòû òåîðèè Çàäå. Îñíîâû òåîðèè âîçìîæíîñòåé
çàëîæåíû â [5, 6]. Â ýòèõ ðàáîòàõ ðàññìàòðèâàåòñÿ ïîíÿòèå ìåð âîçìîæíîñòè,
íåîáõîäèìîñòè è îñíîâíûå àêñèîìû ïîñòðîåíèÿ ïðîñòðàíñòâà âîçìîæíîñòåé.
Èç ìîíîãðàôèè [1] èçâåñòåí òåîðåòèêî-âîçìîæíîñòíûé àíàëîã çàêîíà áîëüøèõ
÷èñåë äëÿ ñõîäèìîñòè ðàñïðåäåëåíèé, íî äëÿ äðóãèõ îñíîâíûõ âèäîâ ñõîäèìîñòè â
òåîðèè âîçìîæíîñòåé (ïî âîçìîæíîñòè è ñ íåîáõîäèìîñòüþ 1) íå áûëî èçâåñòíî,
èìååò ëè ìåñòî òàêîé àíàëîã.
 íàñòîÿùåé ðàáîòå èññëåäóþòñÿ ñâîéñòâà ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
íå÷åòêèõ ïåðñåïòèâíûõ ýëåìåíòîâ, çàäàííûõ íà ðàçíûõ âîçìîæíîñòíûõ ïðîñòðàí-
ñòâàõ è ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ïðèìåíÿþòñÿ ê èññëåäîâàíèþ òåîðåòèêî-âîçìîæ-
íîñòíîãî àíàëîãà çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë äëÿ ñõîäèìîñòè ïî âîçìîæíîñòè è ñ íåîá-
õîäèìîñòüþ 1.
ÒÅÎÐÈß ÂÎÇÌÎÆÍÎÑÒÅÉ
Ïóñòü X — íåïóñòîå ìíîæåñòâî (ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé), A —
êëàññ ïîäìíîæåñòâ Õ , êîòîðûé ñîäåðæèò � è X (ìíîæåñòâî ñîñòàâíûõ ñîáû-
òèé), �( )X — áóëåàí ìíîæåñòâà X .
Îïðåäåëåíèå 1. Ïîëíîñòüþ àääèòèâíîé ìåðîé âîçìîæíîñòè íà êëàññå ìíî-
æåñòâ A íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ P: [ , ]A � 01 , êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
P A P At
t T t T
t
� �
�
�
�
�
�
�� sup ( ) äëÿ êàæäîãî ñåìåéñòâà { }A t Tt | � ìíîæåñòâ èç êëàññà A òàêî-
ãî, ÷òî At
t T�
�� A .
Ìåðà âîçìîæíîñòè P íàçûâàåòñÿ íîðìèðîâàííîé, åñëè P X( ) � 1 è P( )� � 0 .
 äàëüíåéøåì, åñëè íå ñêàçàíî èíà÷å, ìåðû âîçìîæíîñòè áóäóò ñ÷èòàòüñÿ íîð-
ìèðîâàííûìè è ïîëíîñòüþ àääèòèâíûìè.
Îïðåäåëåíèå 2. Ð-ìîäåëüþ òåîðèè âîçìîæíîñòåé íàçûâàåòñÿ òðîéêà ( , , )X PA ,
ãäå { }0 2, X X� �A , P — ìåðà âîçìîæíîñòè íà êëàññå ìíîæåñòâ A , Ð- ìîäåëü,
òàêæå áóäåì íàçûâàòü ïðîñòðàíñòâîì âîçìîæíîñòåé.
Çàòåì íàì ïîíàäîáèòñÿ òåõíèêà ïðîäîëæåíèÿ ìåðû âîçìîæíîñòè ñ îäíîãî
êëàññà ìíîæåñòâ íà áîëåå øèðîêèé êëàññ ìíîæåñòâ. Ïðîáëåìà ïðîäîëæåíèÿ ìåðû
âîçìîæíîñòè ðàññìàòðèâàëàñü ìíîãèìè àâòîðàìè [1, 2, 7, 8]. Èñïîëüçóåì ñëåäóþ-
ùèé âàðèàíò òåîðåìû î ïðîäîëæåíèè [7].
142 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2
© À.Ñ. Áû÷êîâ, Å.Â. Èâàíîâ, 2010
Îïðåäåëåíèå 3. Ôóíêöèÿ P A P A A A
t T
t t
t T
* ( ) ( )�
�
�
�
��
�
�
�
��� �
inf sup � , ãäå íèæíÿÿ
ãðàíü áåðåòñÿ ïî ñåìåéñòâàì ìíîæåñòâ ( )At t T� èç êëàññà A , êîòîðûå ïîêðûâàþò
ìíîæåñòâî A , íàçûâàåòñÿ âíåøíåé ìåðîé âîçìîæíîñòè, ñîîòâåòñòâóþùåé ôóíêöèè
P: [ , ]A � 01 .
Òåîðåìà 1 (î ïðîäîëæåíèè ìåðû âîçìîæíîñòè):
1) ôóíêöèþ P , îïðåäåëåííóþ íà êëàññå ìíîæåñòâ A � 2X , ìîæíî ïðîäîë-
æèòü äî ìåðû âîçìîæíîñòè íà �( )X òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ïðîèçâîëüíî-
ãî ñåìåéñòâà ìíîæåñòâ ( )A j j J� , A j �A è ìíîæåñòâà A �A âûïîëíÿåòñÿ èìïëè-
êàöèÿ A A j
j J
�
�
� � P A P A
j J
j( ) ( )�
�
sup ;
2) åñëè P èìååò íåêîòîðîå ïðîäîëæåíèå P äî ìåðû âîçìîæíîñòè íà �( )X , òî
P * ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëæåíèåì P äî ìåðû âîçìîæíîñòè íà �( )X è
� � �A X P A P A( ) ( )* .
Ñëåäñòâèå 1. Åñëè êëàññ ìíîæåñòâ A çàìêíóò îòíîñèòåëüíî êîíå÷íûõ ïåðåñå-
÷åíèé è P — ìåðà âîçìîæíîñòè, òî P * ÿâëÿåòñÿ åå (íàèáîëüøèì) ïðîäîëæåíèåì äî
ìåðû âîçìîæíîñòè íà �( )X .
Ïðîñòðàíñòâî âîçìîæíîñòåé ( , , )X PA íàçîâåì ðåãóëÿðíûì, åñëè A � �( )X è
ìåðà âîçìîæíîñòè P X L: ( )� � ïîëíîñòüþ àääèòèâíà è íîðìèðîâàíà.
Ïóñòü çàäàíî ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî M � ( , )M d .
Îïðåäåëåíèå 4. Íå÷åòêèì ïåðñåïòèâíûì ýëåìåíòîì � íà ïðîñòðàíñòâå âîç-
ìîæíîñòåé ( , , )X PA íàçûâàåòñÿ A-èçìåðèìàÿ òîòàëüíàÿ ôóíêöèÿ � : X � M .
Îïðåäåëåíèå 5.  ñëó÷àå, êîãäà A � �( )X , ðàñïðåäåëåíèåì íå÷åòêîãî ïåðñåï-
òèâíîãî ýëåìåíòà � íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ f y P y� �( ) � �{ }, y �M .
Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:
• M M k
k
�
�
�
�
1
� — ìíîæåñòâî êîðòåæåé èç ýëåìåíòîâ M (ñëîâ â àëôàâèòå M);
• M � — ìíîæåñòâî ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ýëåìåíòîâ M (�-ñëîâ â àëôàâèòå M) ;
• a b* — êîíêàòåíàöèÿ êîðòåæåé (ñëîâ) a è b , ãäå a M� � , b M M� �� � ;
• a b� — îòíîøåíèå «áûòü ñòðîãèì ïðåôèêñîì», ò.å. � � ��c M M � a c b* � ;
• � ��
�
�( ) ( )M M n
n 1
� — ìíîæåñòâî ñëîâ ôèêñèðîâàííîé êîíå÷íîé äëèíû,
� � � �
� �� �( ) ( ) ( )M M M .
Äëÿ ïàð ìíîæåñòâ A M� �� ( ) , B M� �� ( ) ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:
• len( )A n� , åñëè A M n� , A � � ;
• A B a b a A b B M� � � � � � �{ }| , ( )� — êîíêàòåíàöèÿ âñåõ ïàð ýëåìåíòîâ;
• Pref { }n
nB a M b a b B( ) | *� � � � — ìíîæåñòâî ïðåôèêñîâ äëèíû n ;
• Suff { }( ) | * *B w u M u w A� � � � — ìíîæåñòâî ñóôôèêñîâ.
Îïðåäåëèì ñëåäóþùèå ìíîæåñòâà:
1) FDM — ìíîæåñòâî ïîëíîñòüþ àääèòèâíûõ íîðìèðîâàííûõ ìåð âîçìîæ-
íîñòè íà �( )M , eãî ýëåìåíòû áóäåì íàçûâàòü (íå÷åòêèìè) ðàñïðåäåëåíèÿìè;
2) FD
M
� — ìíîæåñòâî ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ðàñïðåäåëåíèé (ýëåìåíòîâ FDM );
3) FS
M
� — ìíîæåñòâî ïîëíîñòüþ àääèòèâíûõ íîðìèðîâàííûõ ìåð âîçìîæíîñ-
òè íà � �( )M , åãî ýëåìåíòû áóäåì íàçûâàòü (íå÷åòêèìè) ðàñïðåäåëåíèÿìè
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 143
4) FS
M
� — ìíîæåñòâî ïîëíîñòüþ àääèòèâíûõ íîðìèðîâàííûõ ìåð âîçìîæíîñ-
òè Q� íà �� ( )M , êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ Q Y Q Y M� ��( ) ( * ) äëÿ âñåõ
Y M� �� ( ) , åãî ýëåìåíòû áóäåì íàçûâàòü ñèñòåìàìè êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëå-
íèé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
ÑÕÎÄÈÌÎÑÒÜ ÏÎÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÍÎÑÒÅÉ ÏÅÐÑÅÏÒÈÂÍÛÕ ÝËÅÌÅÍÒÎÂ
Îïðåäåëèì òîòàëüíûé îïåðàòîð Fin:FS FS
M M
� � � ðàâåíñòâîì
( ( ))( ) ( * )Fin Q Y Q Y M� � , Y M� �� ( ) .
Ââåäåì íà ìíîæåñòâå M � òîïîëîãèþ: îòêðûòûå ìíîæåñòâà èìåþò âèä W M* � ,
ãäå W M� � (òîïîëîãèÿ ïðîèçâåäåíèÿ). Ìíîæåñòâà èç BT u M u M
M
0 � �{ }* | *�
áóäåì ñ÷èòàòü (îòêðûòûìè) øàðàìè. Êëàññ îòêðûòûõ ìíîæåñòâ îáîçíà÷èì
BT U M U MM � � �{ }* , ( )� � .
Óòâåðæäåíèå 1. Âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:
1) êëàññ BTM çàìêíóò îòíîñèòåëüíî êîíå÷íûõ îáúåäèíåíèé è ïåðåñå÷åíèé;
2) òîòàëüíàÿ ôóíêöèÿ Q BT LM�
0 : � , îïðåäåëåííàÿ ðàâåíñòâîì
Q U M Q U�
�0 ( * ) ( )� � , ÿâëÿåòñÿ ìåðîé âîçìîæíîñòè íà BTM , îáîçíà÷èì åå Inf ( )Q� ;
3) äëÿ Q FS�
��
M
è Q FS�
��
M
, Fin( )Q Q� � � òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
Q QBTM� | ( )� �Inf .
Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Ñëåäóåò èç ðàâåíñòâà U M U M U U M1 2 1 2* * ( )*
� � �
� �� ,
ãäå � îáîçíà÷àåò � èëè � ,
2. Ïóñòü U M U M* *
� �� äëÿ íåêîòîðûõ U M U Mk n� �, , ñ÷èòàåì k n� .
Òîãäà U M U M U M Un k
n n* ( * ) ( * )! � � � Pref Pref� � , ñëåäîâàòåëüíî,
Q U Q U� �� ( ) ( ) . Ïîýòîìó ôóíêöèÿ Q�
0 êîððåêòíî îïðåäåëåíà.
Ðàññìîòðèì ñåìåéñòâî ìíîæåñòâ Y U M BT t Tt t M� � �* ,� , òàêîå, ÷òî
Y Y U M BTt
t T
M� � �
�
� *
� .
Ïóñòü n U� len( ) . Òîãäà U U Mi
n U
i
i� !
*
( )len
� , ãäå îáúåäèíåíèå ïî òàêèì i ,
÷òî len( )U ni � , è ñîîòâåòñòâåííî
Q Y Q U Q U M Q U
i
i
n U
i
i
t
i
�
0 ( ) ( ) ) )
( )� � � � �� �
!
�sup ( sup ( sup
len
�
�
�
�
T
t
t T
tQ U Q Y( sup) ( )�
0 .
Ñëåäîâàòåëüíî, Q�
0 ÿâëÿåòñÿ ïîëíîñòüþ àääèòèâíîé ìåðîé âîçìîæíîñòè íà
BTM .
3. Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü Fin ( )Q Q� � � . Òîãäà Q U M Q U�
�( * ) ( )� ��
� �Inf ( )( * )Q U M � .
Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü Q QBTM� | ( )� �Inf . Òîãäà Q U� �( )
� ��Inf ( )( * ) ( * )Q U M Q U M�
�
� , îòêóäà ïî îïðåäåëåíèþ Fin ( )Q Q� � � .
Óòâåðæäåíèå äîêàçàíî.
Ââåäåì òàêîå îáîçíà÷åíèå: åñëè � n X M: � — ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íå÷åòêèõ
ïåðñåïòèâíûõ ýëåìåíòîâ, òî íå÷åòêèé ïåðñåïòèâíûé ýëåìåíò � �
( ) :n X M� îïðå-
äåëÿåòñÿ êàê � � �( ) ( ) ( ( ), ( ),... )n x x x� 1 2 .
144 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2
Óòâåðæäåíèå 2. Ïóñòü ( , , )X PX2 — ïðîñòðàíñòâî âîçìîæíîñòåé,
� n X M: � — ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íå÷åòêèõ ïåðñåïòèâíûõ ýëåìåíòîâ, �: X M� —
íå÷åòêèé ïåðñåïòèâíûé ýëåìåíò. Òîãäà P FD� � M , P FS
n�
�
( )
�
M
è
Fin ( )
( )
P FS
n� � �
M
.
Äîêàçàòåëüñòâî î÷åâèäíî.
Îïðåäåëåíèå 6. Ïàðà ( , )PS � , ãäå PS — ðåãóëÿðíîå ïðîñòðàíñòâî âîçìîæíîñ-
òåé ( , , )X PX2 , � : X M� — íå÷åòêèé ïåðñåïòèâíûé ýëåìåíò, íàçûâàåòñÿ ìî-
äåëüþ ðàñïðåäåëåíèÿ Q FD� M , åñëè Q P" � .
Àíàëîãè÷íî ïàðà ( , )( )PS n� , � �
( ) :n X M� íàçûâàåòñÿ ìîäåëüþ ðàñïðåäåëå-
íèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Q FS�
��
M
.
Ìîäåëüþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàñïðåäåëåíèé Q FDn( ) �
M
� íàçûâàåòñÿ ïàðà
( , )( )PS n� , � �
( ) :n X M� òàêàÿ, ÷òî � � "n Q Pn n
N � .
Ìîäåëüþ ñèñòåìû êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Q FS�
��
M
íàçûâàåòñÿ ïàðà ( , )( )PS n� òàêàÿ, ÷òî Q P
n� � Fin ( )
( )� .
Îïðåäåëåíèå 7. Ìîäåëüþ ñõîäèìîñòè ñ íåîáõîäèìîñòüþ 1 ñèñòåìû êîíå÷íî-
ìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Q� íàçûâàåòñÿ òàêàÿ ìîäåëü ( , )( )PS n�
ñèñòåìû ðàñïðåäåëåíèé Q� , â êîòîðîé � ( )n ñõîäèòñÿ ñ íåîáõîäèìîñòüþ 1.
Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ïîíÿòèÿ ìîäåëè ðàñõîäèìîñòè ñ íåîáõîäèìîñòüþ 1
è ìîäåëè ñõîäèìîñòè (ðàñõîäèìîñòè) ñ ïîëîæèòåëüíîé íåîáõîäèìîñòüþ.
Ïóñòü ( , , )X PA — ïðîñòðàíñòâî âîçìîæíîñòåé, â êîòîðîì êëàññ ìíîæåñòâ A
çàìêíóò îòíîñèòåëüíî êîíå÷íûõ ïåðåñå÷åíèé, à P — íîðìèðîâàííàÿ ìåðà
âîçìîæíîñòè.
Ïóñòü P * — âíåøíÿÿ ìåðà âîçìîæíîñòè, ñîîòâåòñòâóþùàÿ P .
Îïðåäåëèì ôóíêöèþ P LX
* :2 � äëÿ êàæäîãî D X� ðàâåíñòâîì
P D P A A , P A P A D*
*( ) ( )| ( ) ( \ )}� � #sup{ A
(â ýòîé çàïèñè ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî sup� � 0 ).
Ëåììà 1. (Î ïðîäîëæåíèè ìåðû âîçìîæíîñòè ñ óñëîâèåì.)
Ïóñòü D — ïîäìíîæåñòâî X , � �L . Òîãäà P ìîæíî ïðîäîëæèòü äî ìåðû âîç-
ìîæíîñòè P íà 2X òàêîé, ÷òî P D( ) � � òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà � � P D* ( ) è âû-
ïîëíÿåòñÿ õîòÿ áû îäíî èç ñëåäóþùèõ ýêâèâàëåíòíûõ óñëîâèé:
1) åñëè A , ( )Bt t T� — ìíîæåñòâà èç êëàññà A òàêèå, ÷òî A D Bt
t T
� �
�
� , òî
P A P B
t T
t( ) ( )� $
�
� sup ;
2) � � # � �A P A P A D P AA ( ) ( \ ) ( )*� ;
3) P D* ( ) � � .
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì óòâåðæäåíèå ëåììû äëÿ óñëîâèÿ 1.
Íåîáõîäèìîñòü. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðîäîëæåíèå P ñóùåñòâóåò. Âûáåðåì
ìíîæåñòâà A Bt, �A, òàêèå, ÷òî A D Bt
t T
� �
�
� . Òîãäà P A P D P B
t T
t( ) ( ) ( )� $ �
�
sup
� $
�
� sup
t T
tP B( ) , a òàêæå � � �P D P D( ) ( )* .
Äîñòàòî÷íîñòü. Ïîëîæèì A AD D� �{ }. Îïðåäåëèì ôóíêöèþ P1 íà êëàññå
AD ðàâåíñòâàìè P D1 ( ) � � è P A P A1 ( ) ( )� ïðè A �A . Ïóñòü A D è ( )At
D
t T� — ýëå-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 145
ìåíòû AD . Äîêàæåì, ÷òî èç âêëþ÷åíèÿ A AD
t
D
t T
�
�
� ñëåäóåò
P A P AD
t T
t
D
1 1( ) ( )�
�
sup .
Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ÷åòûðå ñëó÷àÿ:
1) ýëåìåíòû A D è ( )At
D
t T� ïðèíàäëåæàò A . Òîãäà A A AD
t
D D
t T
� �
�
( )� è
P A P A A P AD
t T
t
D D
t T
t
D
1 1 1( ) ( ) ( )� � �
� �
sup sup ;
2) A DD � , à ýëåìåíòû ( )At
D
t T� ïðèíàäëåæàò A , òîãäà ìíîæåñòâà At
D îáðàçó-
þò ïîêðûòèå ìíîæåñòâà D , ïîýòîìó P A P D P AD
t
t
D
1 1( ) ( ) ( )*� � �
�
� sup
A
;
3) A D �A è ñðåäè ýëåìåíòîâ ( )At
D
t T� åñòü ìíîæåñòâî D . Ïóñòü T T0 � —
ìíîæåñòâî èíäåêñîâ t òàêèõ, ÷òî At
D �A (âîçìîæíî, ïóñòîå). Òîãäà ïî óñëîâèþ
ëåììû P A P A P A P AD D
t T
t
D
t T
t
D
1 1
0
( ) ( ) ( ) ( )� � $ �
� �
� sup sup ;
4) A DD � è ñðåäè ýëåìåíòîâ ( )At
D
t T� åñòü ìíîæåñòâî D , òîãäà
P A P AD
t T
t
D
1 1( ) ( )�
�
sup .
Òàêèì îáðàçîì, âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ òåîðåìû î ïðîäîëæåíèè ìåðû âîçìîæ-
íîñòè äëÿ ôóíêöèè P íà êëàññå AD , ïîýòîìó ñóùåñòâóåò ïðîäîëæåíèå P1 äî ìåðû
âîçìîæíîñòè P íà 2X . Ìåðà âîçìîæíîñòè P ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëæåíèåì P è óäîâëåò-
âîðÿåò óñëîâèþ P D( ) � � .
Äîêàæåì, ÷òî èç óñëîâèÿ 1 ñëåäóåò óñëîâèå 2.
Ïóñòü A �A è P A( ) # � , ( )Bt t T� — ïðîèçâîëüíîå ïîêðûòèå ìíîæåñòâà A D\
ýëåìåíòàìè êëàññà A . Òîãäà A D Bt
t T
\ �
�
� , A D Bt
t T
� �
�
� è ïî óñëîâèþ 1
P A P B
t T
t( ) ( )� $
�
� sup . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî P A( ) # � , ïîëó÷àåì P A P B
t T
t( ) ( )�
�
sup .
Òàêèì îáðàçîì, P A P A D( ) ( \ )*� , îòêóäà P A D P A* ( \ ) ( )� .
Äîêàæåì, ÷òî èç óñëîâèÿ 2 ñëåäóåò óñëîâèå 3.
Èç óñëîâèÿ 2 âûòåêàåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà A �A òàêîãî, ÷òî
P A P A D( ) ( \ )*# , âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî P A( ) � � . Òîãäà P D P A* ( ) ( ) |� sup{
A �A, P A P A D( ) ( \ )*# �} � .
Äîêàæåì, ÷òî èç óñëîâèÿ 3 ñëåäóåò óñëîâèå 1.
Ïóñòü P D* ( ) � � è A , ( )Bt t T� — ìíîæåñòâà èç êëàññà A òàêèå, ÷òî
A D Bt
t T
� �
�
� .
Òîãäà A D Bt
t T
\ �
�
� , ò.å. ìíîæåñòâà ( )Bt t T� îáðàçóþò ïîêðûòèå ìíîæåñòâà
A D\ , ïîýòîìó P A D P B
t T
t
* ( \ ) ( )�
�
sup . Åñëè P A P A D( ) ( \ )*� , òî
P A D P B
t T
t
* ( \ ) ( )�
�
sup . Åñëè æå P A P A D( ) ( \ )*# , òî ïî óñëîâèþ 3 P A( ) � � .
 îáîèõ ñëó÷àÿõ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî P A P B
t T
t( ) ( )� $
�
� sup .
Ëåììà äîêàçàíà.
146 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2
Ñëåäñòâèå 2. Åñëè A �A , òî P A P A* ( ) ( )� .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó P èìååò ïðîäîëæåíèå äî ìåðû âîçìîæíîñòè íà
2X è ëþáîå òàêîå ïðîäîëæåíèå P óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ P A P A( ) ( )� , òî
P A P A P A*
*( ) ( ) ( )� � .
Ïðèìå÷àíèå. Ôóíêöèÿ P* ìîæåò íå áûòü ìåðîé âîçìîæíîñòè, êàê ïîêàçûâàåò
ñëåäóþùèé ïðèìåð. Ïîëîæèì X � { }01, , A � �{ }, X , P( )� � 0 , P X( ) � 1. Òîãäà
P P* *( ) ( ){ } { }0 1 1� � è P P* *( ) ( ){ } { }0 1 0� � , íî P* ( , ){ }0 1 1� .
Îïðåäåëåíèå 8. Ðàñïðåäåëåíèå Q FD� M íàçûâàåòñÿ âûðîæäåííûì, åñëè
Q y( ){ } # 0 íå áîëåå ÷åì äëÿ îäíîãî ýëåìåíòà y M� .
Óòâåðæäåíèå 3. Âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:
1) êàæäîå ðàñïðåäåëåíèå Q FD� M èìååò ìîäåëü;
2) êàæäîå ðàñïðåäåëåíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Q FS�
��
M
èìååò ìîäåëü.
Äîêàçàòåëüñòâî:
1) ïîëîæèì X y p y M p Q y� � �{ { } }( , )| , ( ) , P A p
y p A
( )
( , )
�
�
sup , �(( , ))y p y� , òîã-
äà P Y P y p y p Y Q y y Y Q Y� �( ) ( , ) | (( , )) sup{ | ( )� � � � �{ } { } } , Y M� ;
2) äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî ï. 1.
Óòâåðæäåíèå äîêàçàíî.
Ëåììà 2. Ïóñòü Q� — ñèñòåìà êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòè.  ýòîì ñëó÷àå êàæäàÿ åå ìîäåëü ÿâëÿåòñÿ ìîäåëüþ ñõîäèìîñòè ñ íåîáõîäè-
ìîñòüþ 1 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ êàæäîé ðàñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñ-
òè ( )yn âûïîëíÿåòñÿ lim ( ( ,.. , ) )
n
nQ y y
� �
� �{ }1 0 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò ðàñõîäÿùàÿñÿ ïî-
ñëåäîâàòåëüíîñòü y y y M0
1
0
2
0� �( , , ... ) � òàêàÿ, ÷òî � � #
� �
�lim ( ( , , )
n
nQ y y{ )}
1
0 0 0� .
Ïóñòü Q* — âíåøíÿÿ ìåðà âîçìîæíîñòè, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ìåðå âîçìîæíîñòè
Inf ( )Q� . Òîãäà Q y Q y y M Q
n
n
n
*
( )( ) ( )(( ,... , )* ) lim{ } inf Inf {%
#
�
� �
�� �
0
1
� ( ,... , )y yn1 }
äëÿ ïðîèçâîëüíîãî y M( )% � � . Îòñþäà Q y* ( ){ }0 0� #� , è ïîñêîëüêó Q* èìååò ìî-
äåëü, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ìîäåëüþ Q� , òî Q� èìååò ìîäåëü, êîòîðàÿ íå ÿâëÿåòñÿ ìî-
äåëüþ ñõîäèìîñòè ñ íåîáõîäèìîñòüþ 1, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ è çàâåð-
øàåò äîêàçàòåëüñòâî íåîáõîäèìîñòè.
Äîñòàòî÷íîñòü. Äëÿ êàæäîé ðàñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ( )yn âûïîëíÿ-
åòñÿ ðàâåíñòâî lim ( ( ,... , ) )
n
nQ y y
� �
� �{ }1 0 è ïîýòîìó Q y y* ( ( , ,... ) ){ }1 2 0� . Ïîñ-
êîëüêó äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ïðîäîëæåíèÿ Q� ìåðû âîçìîæíîñòè Inf ( )Q� íà áóëåàí
ìíîæåñòâà M � âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî Q y y Q y y� { } { }( , , ... ) ( , , ... )*
1 2 1 2� , òî
Q y y� { }( , , ... )1 2 0� . Ñëåäîâàòåëüíî, ïðîèçâîëüíàÿ ìîäåëü ñèñòåìû êîíå÷íîìåð-
íûõ ðàñïðåäåëåíèé Q� ÿâëÿåòñÿ ìîäåëüþ ñõîäèìîñòè ñ íåîáõîäèìîñòüþ 1.
Ëåììà äîêàçàíà.
Ñëåäñòâèå 3. Åñëè ïðîñòðàíñòâî M ïîëíî è îãðàíè÷åíî, òî óñëîâèå ëåììû
ìîæíî çàìåíèòü: Q y y d y yN
n m N
n m�
#
�{ } sup( ,... , ) ( , )
,
1 0 ïðè N � � äëÿ ïðîèçâîëü-
íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ( )yn .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü äëÿ êàæäîé ðàñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ( )yn
âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî lim ( ( ,... , ) )
n
nQ y y
� �
� �{ }1 0 . Òîãäà
lim {( ,... , )} ( , )
,N
N
n m N
n mQ y y d y y
� �
�
#
�1 sup
�
� �
�
� � #
lim ( ,... , ) lim ( , )
,N
N
N n m N
n mQ y y d y y{ } sup1 ,
ïîñêîëüêó ïðîñòðàíñòâî M îãðàíè÷åíî.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 147
Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü yn ñõîäèòñÿ, òî èç ïîëíîòû ïðîñòðàíñòâà M ïîëó÷àåì
ðàâåíñòâî lim ( , )
,N n m N
n md y y
� � #
�sup 0 . Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü yn ðàñõîäèòñÿ, òî
lim ( ,... , )
N
NQ y y
� �
� �{ }1 0 .  îáîèõ ñëó÷àÿõ Q y y d y yN
n m N
n m�
#
�{ } sup( ,... , ) ( , )
,
1 0 .
Íàîáîðîò, åñëè Q y y d y yN
n m N
n m�
#
�{ } sup( ,... , ) ( , )
,
1 0 äëÿ êàæäîé ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòè ( )yn , òî äëÿ êàæäîé ðàñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ( )yn âûïîëíÿåò-
ñÿ íåðàâåíñòâî lim ( , )
,N n m N
n md y y
� � #
#sup 0 , îòêóäà Q y yN� �{ }( ,... , )1 0 .
Ñëåäñòâèå äîêàçàíî.
Êàê ïîêàçûâàåò ïðèìåð, óñëîâèå ëåììû 2 íå ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ ñóùåñòâî-
âàíèÿ ìîäåëè ñõîäèìîñòè ïî âîçìîæíîñòè (ò.å. íàëè÷èå ìîäåëè ñõîäèìîñòè ïî âîç-
ìîæíîñòè ÿâëÿåòñÿ ëèøü äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì äëÿ òîãî, ÷òîáû êàæäàÿ ìîäåëü
ñõîäèìîñòè âûñòóïàëà ìîäåëüþ ñõîäèìîñòè ñ íåîáõîäèìîñòüþ 1).
Ïðèìåð 1. Ñèñòåìà êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, êîòî-
ðàÿ íå èìååò ìîäåëè ñõîäèìîñòè ïî âîçìîæíîñòè, è ïðè ýòîì âñå åå ìîäåëè ÿâëÿ-
þòñÿ ìîäåëÿìè ñõîäèìîñòè ñ íåîáõîäèìîñòüþ 1.
Ïîëîæèì M � { }01, ñ äèñêðåòíîé ìåòðèêîé è
Q y y
y y
y y
n
n
n
� �
� � �
� � #
�
�
�
( ( ,... , ) )
, ... ,
, ... .
{ }1
1
1
1 1
0 1
Òîãäà â êàæäîé ðàñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ( )yn èìååòñÿ áîëåå îäíîé
åäèíèöû, ñëåäîâàòåëüíî, lim ( ( ,... , ) )
n
nQ y y
� � � �{ }1 0 . Ïî ëåììå 2 êàæäàÿ ìîäåëü
Q� ÿâëÿåòñÿ ìîäåëüþ ñõîäèìîñòè ñ íåîáõîäèìîñòüþ 1.
Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íå÷åòêèõ ïåðñåïòèâíûõ ýëåìåíòîâ � n èìååò ðàñ-
ïðåäåëåíèå Q� . Òîãäà äëÿ êàæäîãî n � 1P d Q
p
n p n
n{sup } { }( , ) ( )� �� �� � �1 0 1 1, ïîý-
òîìó P d
p
n p n{sup }( , )� �� � �1 1ïðè n � � , çíà÷èò, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü � n íå ÿâëÿ-
åòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé ïî âîçìîæíîñòè. Ïîñêîëüêó ïðîñòðàíñòâî M ïîëíîå, òî � n
íå ÿâëÿåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ ïî âîçìîæíîñòè. Ñëåäîâàòåëüíî, Q� íå èìååò ìîäåëè ñõî-
äèìîñòè ïî âîçìîæíîñòè.
Ëåììà 3. Ïóñòü Q� — ñèñòåìà êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòè.  ýòîì ñëó÷àå îíà èìååò ìîäåëü ñõîäèìîñòè ñ íåîáõîäèìîñòüþ 1 òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ êàæäîãî � # 0 , k N� è ýëåìåíòîâ y y Mk1 ,... , � ñóùåñòâóåò
ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü y yk k� �1 2, ,... òàêàÿ, ÷òî
lim ( ,... , ) ( ,... , )
n
n kQ y y Q y y
� �
� �� #{ } { }1 1� .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðèìåíèì ëåììó 1 ê ñëó÷àþ, êîãäà X M� � , A � BT
M
0 , D —
ìíîæåñòâî ðàñõîäÿùèõñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. Ìåðó âîçìîæíîñòè P ïîëîæèì
ðàâíîé Inf ( )Q� . Òîãäà P y y Q y y
n
n
* ( , ,... ) lim ( ,... , ){ } { }1 2 1�
� �
� è óñëîâèåì ñóùåñ-
òâîâàíèÿ ìîäåëè ñõîäèìîñòè ñ íåîáõîäèìîñòüþ 1 äëÿ Q� ÿâëÿåòñÿ óñëîâèå
� � �A P A D P AA * ( \ ) ( ) , ò.å. êàæäîãî k N� è ýëåìåíòîâ y y Mk1 ,... , � ,
sup{ { }lim ( ,... , ) | ( , ,... )
n
n k ky y y y
� �
� �1 1 2 — ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü} =
� �Q y yk{ }( ,.. , )1 . Îòñþäà ïîëó÷àåì óñëîâèå ëåììû.
Ëåììà äîêàçàíà.
148 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2
Ëåììà 4. Ïóñòü Q� — ñèñòåìà êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòè. Òîãäà îíà èìååò ìîäåëü ðàñõîäèìîñòè ñ íåîáõîäèìîñòüþ 1, åñëè è òîëüêî åñëè
äëÿ êàæäîãî � # 0, k N� è ýëåìåíòîâ y y Mk1 ,... , � ñóùåñòâóåò ðàñõîäÿùàÿñÿ ïîñëå-
äîâàòåëüíîñòü y yk k� �1 2, ,... òàêàÿ, ÷òî lim ( ,... , ) ( ,... , )
n
n kQ y y Q y y
� �
� �� #{ } { }1 1� .
Äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó ïðåäûäóùåé ëåììû.
Ñëåäóþùèé ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî óñëîâèÿ ëåìì 3 è 4 íå ÿâëÿþòñÿ âçàèìíî
èñêëþ÷àþùèìè.
Ïðèìåð 2. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòè, êîòîðàÿ èìååò ìîäåëü ñõîäèìîñòè ñ íåîáõîäèìîñòüþ 1 è ìîäåëü ðàñõî-
äèìîñòè ñ íåîáõîäèìîñòüþ 1.
Îïðåäåëèì ñèñòåìó Q� òàêèì îáðàçîì, ÷òî Q y yn� �( ( ,... , ) ){ }1 1 äëÿ êàæäîãî
n � 1 è y y Mn1 ,... , � . Òîãäà Q� ÿâëÿåòñÿ ñèñòåìîé êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ïîñêîëüêó äëÿ ïðîèçâîëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè yn è èíäåê-
ñà k âûïîëíÿåòñÿ lim ( ( ,... , ) ) ( ,... , )
n
n kQ y y Q y y
� �
� ��{ } { }1 1 , òî ïî ëåììàì 3 è 4 Q�
èìååò êàê ìîäåëü ñõîäèìîñòè ñ íåîáõîäèìîñòüþ 1, òàê è ìîäåëü ðàñõîäèìîñòè ñ
íåîáõîäèìîñòüþ 1.
ÍÅ×ÅÒÊÈÅ ÀÍÀËÎÃÈ ÇÀÊÎÍÀ ÁÎËÜØÈÕ ×ÈÑÅË
Ñ ïîìîùüþ ïîëó÷åííûõ âûøå ðåçóëüòàòîâ îïðåäåëèì, èìååò ëè ìåñòî òåîðåòè-
êî-âîçìîæíîñòíûé àíàëîã çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë.
Îïðåäåëåíèå 9. Äâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íå÷åòêèõ ïåðñåïòèâíûõ ýëåìåíòîâ:
� n X R: � è � �n X: R , çàäàííûå íà ïðîñòðàíñòâàõ âîçìîæíîñòåé ( , , )X PX2 è
( , , )X PX 2 , íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè ïî êîíå÷íîìåðíûì ðàñïðåäåëåíèÿì,
åñëè äëÿ ëþáûõ n � 1, y yn1 ,... , �R âûïîëíÿåòñÿ P y yn n{ }� �1 1� � �,... ,
� � �P y yn n{ }� �1 1 ,... , .
Òåîðåìà 2. Ïóñòü � n — ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðå-
äåëåííûõ íå÷åòêèõ ïåðñåïòèâíûõ ýëåìåíòîâ íà ïðîñòðàíñòâå âîçìîæíîñòåé
( , , )X PX2 . Òîãäà:
1) ñóùåñòâóåò ïðîñòðàíñòâî âîçìîæíîñòåé ( , , )X PX 2 è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
íå÷åòêèõ ïåðñåïòèâíûõ ýëåìåíòîâ � n íà íåì, ýêâèâàëåíòíàÿ ïî êîíå÷íîìåðíûì
ðàñïðåäåëåíèÿì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè � n òàêàÿ, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
1
1n
i
i
n
�
�
&
ñõîäèòñÿ ñ íåîáõîäèìîñòüþ 1;
2) åñëè ðàñïðåäåëåíèå f� ïåðñåïòèâíîãî ýëåìåíòà �1 íå âûðîæäåííî, òî ñó-
ùåñòâóåò ïðîñòðàíñòâî âîçìîæíîñòåé ( , , ) X PX2 è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íå÷åòêèõ
ïåðñåïòèâíûõ ýëåìåíòîâ � n íà íåì, ýêâèâàëåíòíàÿ ïî êîíå÷íîìåðíûì ðàñïðåäåëå-
íèÿì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè � n , òàêàÿ, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
1
1n
i
i
n
�
�
& ðàñõîäèòñÿ ñ
ïîëîæèòåëüíîé íåîáõîäèìîñòüþ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëîæèì, Q� — ñèñòåìà êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé ïî-
ñëåäîâàòåëüíîñòè � �n i
i
n
n
�
�
&1
1
.
1. Âîñïîëüçóåìñÿ ëåììîé 3. Ïóñòü âûáðàíû ïðîèçâîëüíûå � # 0 , k N� è
ýëåìåíòû z z Mk1 ,... , � . Ïîñêîëüêó sup
y
f y� ( ) � 1, òî ñóùåñòâóåò y* , äëÿ êîòîðîãî
f y� �( )* # !1 . Ïîëîæèì z
y jz
j
j
j
� �
�
�1
1
*
ïðè j k� . Ïðè n k# èìååì
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 149
Q z zn� { }( ,... , )1 � � �P y i ni i{ }� , ...1 , ãäå z
i
yi j
j i
�
�
&1
� �i n1... . Ïîýòîìó
y iz i zi i i� ! ! !( )1 1 è, ó÷èòûâàÿ íåçàâèñèìîñòü � n è îïðåäåëåíèå ýëåìåíòîâ
z j kj� �1 , , ïîëó÷àåì
Q z z f z f z z f nz zn n n� !� ' ! ' ' !{ }( ,... , ) ( ) ( ) ... ( )1 1 2 1 12� � � �
� ' ' '�Q z z f y f yk{ }( ,... , ) ( ) ... ( )* *
1 � � .
Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî lim ( ,... , ) ( ,... , ) ( )
n
n kQ z z Q z z
� �
� �� ' !{ } { }1 1 1 � è
lim ( ,... , ) ( ,... , )
n
n kQ z z Q z z
� �
� �� �{ } { }1 1� .
Êðîìå òîãî, z y
y jz
j
y
j z y
j
j
j j
� ! �
�
�
! �
!
�1
1 1
*
*
*
*( )
ïðè j k� , ïîýòîìó
( (| | ... | |* * *z y
n
n
n
n
k
k
z y
k
n
z yn k k! �
! !
! �
! � ! �
1 2
1 1
0 ïðè n � � ,
îòñþäà ñëåäóåò ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè zn . Ïîñêîëüêó � # 0 è z z Mk1 ,.. , �
âûáðàíû ïðîèçâîëüíî, òî ïî ëåììå 3 Q� èìååò ìîäåëü (( , ), )X P n � ñõîäèìîñ-
òè ñ íåîáõîäèìîñòüþ 1.
Ïîëîæèì � � � � ! ! !n n nn n( )1 1 , n � 1. Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ yi âûïîëíÿåòñÿ ðà-
âåíñòâî
P y i n P z i n P z ii i i i i i � � � � � � � �{ } { } {� � �, ... , ... , .1 1 1.. , ...n P y i ni i} { }� � �� 1 ,
ãäå z yi j
j
i
�
�
&
1
, i n� 1... . Ïîýòîìó � n ýêâèâàëåíòíà ïî êîíå÷íîìåðíûì ðàñïðåäå-
ëåíèÿì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè � n .
2. Ïîñêîëüêó ðàñïðåäåëåíèå �1 íå âûðîæäåííî, òî ñóùåñòâóþò âåùåñòâåííûå
÷èñëà a b, , a b� òàêèå, ÷òî f a�1
0( ) # è f b�1
0( ) # . Ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
y a b
k
k k
� ) �
�1
2 2( * ) R
� , ãäå ) è * îáîçíà÷àþò êîíêàòåíàöèþ ýëåìåíòîâ äëÿ îáðàçî-
âàíèÿ ñëîâà èëè �-ñëîâà. Ïîëîæèì z
n
yn i
i
n
�
�
&1
1
. Òîãäà
Q z z P y i n f yn i i
i n
i�
�
� � � �( ( ,... , ) ) , ... min (
...
{ } { }1
1
1� � ) ( ) ( )� 'f a f b� �
è ñîîòâåòñòâåííî lim ( ( ,... , ) ) ( ) ( )
n
nQ z z f a f b
� �
� � ' #{ }1 0� � .
Ïîëîæèì n s� � � � �2 1 2 2 22( ... ) , p s� �2 1 . Òîãäà
| |z z
n p
y
n p
n
y
n p
yn p n i
i
n p
i
i
n
i
i
�
�
�
� �
! �
�
!
�*
*
*
*
*
*�
�& &1 1
1 1 n
n p
i
i
np
n
y
�
�
�
& &!
*
*
*
*
*
*�
1 1
�
�
! �*
*
* *
*
*�
�
!
�
! �
�
�
1
2 2
2
2 2 1 2
1
1n p
pa
p
n
n
a b
p
n p
a b s
s
( )
| |
( ) s s
a b a b
�
!
�
!
!
1 2
1
3 1 2 2
| |
/
| |
.
Ïîýòîìó äëÿ êàæäîãî n , sup
p
n p nz z
a b
#
� ! �
!
0 6
| |
| |
, çíà÷èò, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü zn
ðàñõîäèòñÿ. Òîãäà ïî ëåììå 2 íå êàæäàÿ ìîäåëü Q� ÿâëÿåòñÿ ìîäåëüþ ñõîäè-
ìîñòè ñ íåîáõîäèìîñòüþ 1, è ñëåäîâàòåëüíî, Q� èìååò ìîäåëü (( , ), ) X P n�
ðàñõîäèìîñòè ñ ïîëîæèòåëüíîé íåîáõîäèìîñòüþ. Àíàëîãè÷íî ï. 1 äåëàåì âûâîä,
150 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2
÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü � ! ! !� � �n n nn n( )1 1 , n � 1, ýêâèâàëåíòíà ïî êîíå÷íî-
ìåðíûì ðàñïðåäåëåíèÿìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè � n .
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Òåîðåìà 3. Ïóñòü � n X: � R — ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî
ðàñïðåäåëåííûõ íå÷åòêèõ ïåðñåïòèâíûõ ýëåìåíòîâ íà îäíîì ïðîñòðàíñòâå âîçìîæ-
íîñòåé. Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü � �n i
i
n
n
�
�
&1
1
ñõîäèòñÿ ïî âîçìîæíîñòè òîãäà, è
òîëüêî òîãäà, êîãäà ðàñïðåäåëåíèå � n âûðîæäåíî.
Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî �n ñõîäèòñÿ ñ íåîáõîäè-
ìîñòüþ 1, íî ðàñïðåäåëåíèå � n íå âûðîæäåííî. Òîãäà ïî êðèòåðèþ òèïà Êîøè äëÿ
ñõîäèìîñòè ñ íåîáõîäèìîñòüþ 1 âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå � #c 0 :
lim | |
n m n
m nP c
� � #
! #
�
�
�
�
�
�sup � � 0 . Ïóñòü f y( ) — ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íå÷åòêîãî
ïåðñåïòèâíîãî ýëåìåíòà � n . Ïîñêîëüêó ðàñïðåäåëåíèå íå âûðîæäåííî, òî âûáåðåì
ïàðó òî÷åê y y1 2� , äëÿ êîòîðûõ f yi( ) # 0 , i � 1 2, . Òîãäà ïðè m n� 2 äëÿ íåêîòîðî-
ãî � # 0 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
P y y P y y ym n n m{| | | |/ } , ( ) /� � � �! � ! � � � � �1 2 1 1 22 2{ }
� � � � � � � � #�P y y f y f yn n n{ } { }� � � �1 1 1 2 2 1 2... , ... min ( ), ( ) � .
Ïîëîæèâ c y y� !| |/1 2 4 , ïîëó÷èì, ÷òî äëÿ êàæäîãî n � 1 ñóùåñòâóåò x Xn � � , äëÿ
êîòîðîãî sup
m n
m n n nx x c
#
! #| ( ) ( )|� � , ñëåäîâàòåëüíî, lim ( | | )
n m n
m nP c
� � #
! # �sup � � � —
ïðîòèâîðå÷èå. Òàêèì îáðàçîì, ðàñïðåäåëåíèå � n âûðîæäåíî.
Äîñòàòî÷íîñòü. Åñëè P Mn{ }� � � 0 , òî óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî. Ïóñòü ðàñïðå-
äåëåíèå � n âûðîæäåíî, P y
n� ( ){ } � 0 è � �y y0 , P y
n� ( ){ }
0
0# . Òîãäà íå÷åòêèå ïåð-
ñåïòèâíûå ýëåìåíòû � n è �n ðàâíû ñ íåîáõîäèìîñòüþ 1 êîíñòàíòå y0 , ïîýòîìó
P c
m n
m n( | | )sup
#
! # �� � 0 ïðè c # 0 .
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Òåîðåìû 2 è 3 ïîêàçûâàþò, ÷òî äëÿ ñõîäèìîñòè ïî âîçìîæíîñòè è äëÿ ñõîäè-
ìîñòè ñ íåîáõîäèìîñòüþ 1 òåîðåòèêî-âîçìîæíîñòíûé àíàëîã çàêîíà áîëüøèõ
÷èñåë íå âûïîëíÿåòñÿ.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ïîëó÷åíû êðèòåðèè ñóùåñòâîâàíèÿ ìîäåëè ñõîäèìîñòè è ðàñõîäè-
ìîñòè ñ íåîáõîäèìîñòüþ 1 äëÿ ñèñòåì êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòåé íå÷åòêèõ ïåðñåïòèâíûõ ýëåìåíòîâ (ëåììû 2–4). Êðîìå òîãî, äîêàçàíû òåîðåìû
î íåâûïîëíåíèè òåîðåòèêî-âîçìîæíîñòíîãî àíàëîãà çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë äëÿ ñõîäè-
ìîñòè ïî âîçìîæíîñòè è ñõîäèìîñòè ñ íåîáõîäèìîñòüþ 1.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ï û ò ü å â Þ . Ï . Âîçìîæíîñòü. Ýëåìåíòû òåîðèè è ïðèìåíåíèå — Ì.: Ýäèòîðèàë, ÓÐÑÑ, 2000. — 190 ñ.
2. Á è ÷ ê î â Î . Ñ . , Ê î ë å ñ í ³ ê î â Ê . Ñ . Ïîáóäîâà (PN)–ìîäåë³ òåî𳿠ìîæëèâîñòåé // ³ñí. Êè¿â. óí-òó.
Ñåð. ô³ç.-ìàò. íàóêè. — 2007. — ¹ 1. — Ñ. 134–138.
3. Á û ÷ ê î â À . Ñ . Îá îäíîì ðàçâèòèè òåîðèè âîçìîæíîñòåé // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. —
2007. — ¹ 5. — Ñ. 67–72
4. Á è ÷ ê î â Î . Ñ . Äî òåî𳿠ìîæëèâîñòåé òà ¿¿ çàñòîñóâàííÿ // Äîï. ÍÀÍ Óêðà¿íè. — 2007. — ¹ 5. — Ñ. 7–12.
5. Z a d e h L . A . Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility // Fuzzy Sets and Systems. — 1978. — 1. — P. 3–28.
6. Ä þ á ó à Ä . , Ï ð à ä À . Òåîðèÿ âîçìîæíîñòåé. Ïðèëîæåíèÿ ê ïðåäñòàâëåíèþ çíàíèé â èíôîðìàòèêå.
— Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü, 1990. — 288 ñ.
7. W a n g Z . , K l i r G . J . Fuzzy Measure Theory. — New York: Plenum Press, 1992. — 275 p.
8. B o y e l L . , C o o m a n G . d e , K e r r e E . E . On the extension of P-consintent mappings // Proc. FAPT’95,
Gent. — 1995. — P. 88–98.
Ïîñòóïèëà 19.03.2009
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 151
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-45151 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-28T04:33:31Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бычков, А.С. Иванов, Е.В. 2013-06-08T06:49:48Z 2013-06-08T06:49:48Z 2010 О сходимости последовательностей нечетких персептивных элементов, заданных на разных пространствах возможностей / А.С. Бычков, Е.В. Иванов // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 2. — С. 142-151. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45151 519.21, 519.713 Досліджено властивості збіжності послідовностей нечітких персептивних елементів, заданих на різних просторах можливостей, і отримано результати, застосовні до дослідження теоретико-можливісного аналогу закону великих чисел для збіжності за можливістю і збіжності з необхідністю 1. The paper analyzes the properties of the convergence of sequences of fuzzy perceptive elements defined on different possibility spaces. The results are applied to investigating a possibilistic analog of the law of large numbers for convergence in possibility and convergence with necessity 1. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ О сходимости последовательностей нечетких персептивных элементов, заданных на разных пространствах возможностей Про збіжність послідовностей нечітких персептивних елементів, заданих на різних просторах можливостей Convergence of sequences of fuzzy perceptive elements defined on different possibility spaces Article published earlier |
| spellingShingle | О сходимости последовательностей нечетких персептивных элементов, заданных на разных пространствах возможностей Бычков, А.С. Иванов, Е.В. Системный анализ |
| title | О сходимости последовательностей нечетких персептивных элементов, заданных на разных пространствах возможностей |
| title_alt | Про збіжність послідовностей нечітких персептивних елементів, заданих на різних просторах можливостей Convergence of sequences of fuzzy perceptive elements defined on different possibility spaces |
| title_full | О сходимости последовательностей нечетких персептивных элементов, заданных на разных пространствах возможностей |
| title_fullStr | О сходимости последовательностей нечетких персептивных элементов, заданных на разных пространствах возможностей |
| title_full_unstemmed | О сходимости последовательностей нечетких персептивных элементов, заданных на разных пространствах возможностей |
| title_short | О сходимости последовательностей нечетких персептивных элементов, заданных на разных пространствах возможностей |
| title_sort | о сходимости последовательностей нечетких персептивных элементов, заданных на разных пространствах возможностей |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45151 |
| work_keys_str_mv | AT byčkovas oshodimostiposledovatelʹnosteinečetkihperseptivnyhélementovzadannyhnaraznyhprostranstvahvozmožnostei AT ivanovev oshodimostiposledovatelʹnosteinečetkihperseptivnyhélementovzadannyhnaraznyhprostranstvahvozmožnostei AT byčkovas prozbížnístʹposlídovnosteinečítkihperseptivnihelementívzadanihnaríznihprostorahmožlivostei AT ivanovev prozbížnístʹposlídovnosteinečítkihperseptivnihelementívzadanihnaríznihprostorahmožlivostei AT byčkovas convergenceofsequencesoffuzzyperceptiveelementsdefinedondifferentpossibilityspaces AT ivanovev convergenceofsequencesoffuzzyperceptiveelementsdefinedondifferentpossibilityspaces |