О работах киевской школы теоретической криптографии
Наведено огляд робіт фахівців київської школи теоретичної криптографії переважно за останні два десятиліття в областях криптографічних методів захисту інформації, криптоаналізу і пов’язаними з ними математичними проблемами. Наведено список доповiдей, заслуханих i обговорених на київському науковому...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45196 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О работах киевской школы теоретической криптографии / М.Н. Савчук // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 3. — С. 52-68. — Бібліогр.: 77 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-45196 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Савчук, М.Н. 2013-06-08T17:51:38Z 2013-06-08T17:51:38Z 2010 О работах киевской школы теоретической криптографии / М.Н. Савчук // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 3. — С. 52-68. — Бібліогр.: 77 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45196 681.3.06:519.248.681 Наведено огляд робіт фахівців київської школи теоретичної криптографії переважно за останні два десятиліття в областях криптографічних методів захисту інформації, криптоаналізу і пов’язаними з ними математичними проблемами. Наведено список доповiдей, заслуханих i обговорених на київському науковому семiнарi «Проблеми сучасної криптологiї» за 2001–2009 рр. We review the work of specialists of the Kiev school of theoretical cryptography mainly the last two decades in the areas of cryptographic methods of information security, cryptanalysis, and related mathematical problems. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Кибернетика О работах киевской школы теоретической криптографии Про роботи київської школи теоретичної криптографії On the work of the Kiev school of theoretical cryptography Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О работах киевской школы теоретической криптографии |
| spellingShingle |
О работах киевской школы теоретической криптографии Савчук, М.Н. Кибернетика |
| title_short |
О работах киевской школы теоретической криптографии |
| title_full |
О работах киевской школы теоретической криптографии |
| title_fullStr |
О работах киевской школы теоретической криптографии |
| title_full_unstemmed |
О работах киевской школы теоретической криптографии |
| title_sort |
о работах киевской школы теоретической криптографии |
| author |
Савчук, М.Н. |
| author_facet |
Савчук, М.Н. |
| topic |
Кибернетика |
| topic_facet |
Кибернетика |
| publishDate |
2010 |
| language |
Russian |
| container_title |
Кибернетика и системный анализ |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Про роботи київської школи теоретичної криптографії On the work of the Kiev school of theoretical cryptography |
| description |
Наведено огляд робіт фахівців київської школи теоретичної криптографії переважно за останні два десятиліття в областях криптографічних методів захисту інформації, криптоаналізу і пов’язаними з ними математичними проблемами. Наведено список доповiдей, заслуханих i обговорених на київському науковому семiнарi «Проблеми сучасної криптологiї» за 2001–2009 рр.
We review the work of specialists of the Kiev school of theoretical cryptography mainly the last two decades in the areas of cryptographic methods of information security, cryptanalysis, and related mathematical problems.
|
| issn |
0023-1274 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45196 |
| citation_txt |
О работах киевской школы теоретической криптографии / М.Н. Савчук // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 3. — С. 52-68. — Бібліогр.: 77 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT savčukmn orabotahkievskoiškolyteoretičeskoikriptografii AT savčukmn prorobotikiívsʹkoíškoliteoretičnoíkriptografíí AT savčukmn ontheworkofthekievschooloftheoreticalcryptography |
| first_indexed |
2025-11-26T01:40:53Z |
| last_indexed |
2025-11-26T01:40:53Z |
| _version_ |
1850604364977143808 |
| fulltext |
ÓÄÊ 681.3.06:519.248.681
Ì.Í. ÑÀÂ×ÓÊ
Î ÐÀÁÎÒÀÕ ÊÈÅÂÑÊÎÉ ØÊÎËÛ
ÒÅÎÐÅÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÊÐÈÏÒÎÃÐÀÔÈÈ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: êðèïòîãðàôèÿ, êðèïòîàíàëèç, âåðîÿòíîñòíàÿ êîìáèíàòîðè-
êà, âåðîÿòíîñòè íà àëãåáðàè÷åñêèõ ñòðóêòóðàõ, ñëó÷àéíûå ðàçìåùåíèÿ, ñòà-
òèñòè÷åñêèå êðèòåðèè, îöåíêè ñëîæíîñòè êðèïòîàëãîðèòìîâ, àñèìïòîòè÷åñ-
êèé àíàëèç.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
 ñèñòåìàõ çàùèòû èíôîðìàöèè ñóùåñòâåííàÿ ðîëü îòâåäåíà êðèïòîãðàôè÷åñêèì
ìåõàíèçìàì. Ïðåçèäåíò ÍÀÍ Óêðàèíû àêàäåìèê Á.Å. Ïàòîí è àêàäåìèê Â.Ì. Ãëóø-
êîâ, âîçãëàâëÿâøèé Èíñòèòóò êèáåðíåòèêè ÀÍ ÓÑÑÐ, îñîçíàâàëè íåîáõîäèìîñòü
ðàçâèòèÿ êðèïòîëîãè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé åùå â íà÷àëå 70-õ ãîäîâ ïðîøëîãî âåêà.
Ê êîíöó 40-õ ãîäîâ ïðîøëîãî âåêà â Ñîâåòñêîì Ñîþçå ãëàâíîå âíèìàíèå óäåëÿ-
ëè ñîçäàíèþ ñóãóáî òåõíè÷åñêèõ ñðåäñòâ øèôðîâàíèÿ. Íà ðóáåæå 40-50-õ ãîäîâ ñòà-
ëî ÿñíî, ÷òî áåç ñåðüåçíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îáîñíîâàíèÿ íàäåæíàÿ çàùèòà ãîñóäà-
ðñòâåííûõ òàéí íåâîçìîæíà. Òîãäà äëÿ óñîâåðøåíñòâîâàíèÿ êðèïòîãðàôè÷åñêîé
ñëóæáû ïðèâëåêëè ãðóïïó âåäóùèõ ìàòåìàòèêîâ. Îðãàíèçàòîðîì è íàó÷íûì ðóêîâî-
äèòåëåì ñëóæáû áûë Âëàäèìèð ßêîâëåâè÷ Êîçëîâ — âûäàþùèéñÿ ìàòåìàòèê, âïîñ-
ëåäñòâèè ÷ëåí-êîððåñïîíäåíò ÐÀÍ, àêàäåìèê Àêàäåìèè êðèïòîãðàôèè Ðîññèè.
Ïî èíèöèàòèâå Â.ß. Êîçëîâà â 1973 ã. â Èíñòèòóòå êèáåðíåòèêè ÀÍ ÓÑÑÐ áûëî
ñîçäàíî íàó÷íî-èññëåäîâàòåëüñêîå ïîäðàçäåëåíèå äëÿ ïðîâåäåíèÿ êðèïòîëîãè÷åñêèõ
èññëåäîâàíèé. Ñ íà÷àëà åãî ñîçäàíèÿ ýòèì ïîäðàçäåëåíèåì ðóêîâîäèë àêàäåìèê
È.Í. Êîâàëåíêî (ñ ñåðåäèíû 80-õ ãîäîâ âìåñòå ñ À.Ì. Ôàëåì). Ïîäðàçäåëåíèå çàíèìà-
ëîñü ðåøåíèåì ìàòåìàòè÷åñêèõ çàäà÷, îáóñëîâëåííûõ çàïðîñàìè êðèïòîãðàôèè. Çàäà-
÷è ôîðìóëèðîâàëèñü âåäóùèìè ñïåöèàëèñòàìè êðèïòîãðàôè÷åñêîé ñëóæáû, êîòîðûå
ðàáîòàëè â Ìîñêâå. Ïîäðàçäåëåíèå óñïåøíî ðàáîòàëî äî 1992 ãîäà.
 íåçàâèñèìîé Óêðàèíå â Èíñòèòóòå êèáåðíåòèêè ïðîäîëæàëè âåñòèñü àêòèâíûå
èññëåäîâàíèÿ â îáëàñòè êðèïòîãðàôèè. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû, à òàêæå èññëåäîâàíèÿ
ïî òåîðèè íàäåæíîñòè áûëè âûñîêî îöåíåíû.  2001 ãîäó íàó÷íîìó êîëëåêòèâó, îñíî-
âó êîòîðîãî ñîñòàâëÿëè ñïåöèàëèñòû Èíñòèòóòà êèáåðíåòèêè, ïðèñóæäåíà Ãîñóäà-
ðñòâåííàÿ ïðåìèÿ â îáëàñòè íàóêè è òåõíèêè çà öèêë ðàáîò ïî áåçîïàñíîñòè è íàäåæ-
íîñòè èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé. Êðîìå òîãî, Ãîñóäàðñòâåííûå ïðåìèè â îáëàñòè
íàóêè è òåõíèêè â 2004 ã. è 2009 ã. ïðèñóæäåíû íàó÷íûì êîëëåêòèâàì, â ñîñòàâ êîòî-
ðûõ âîøëè ñïåöèàëèñòû â îáëàñòè êðèïòîãðàôèè è ñòåãàíîãðàôèè.
Áîëüøóþ ïîääåðæêó êðèïòîëîãè÷åñêèì èññëåäîâàíèÿì â ó÷ðåæäåíèÿõ ÍÀÍ
Óêðàèíû îêàçûâàåò äèðåêòîð Èíñòèòóòà êèáåðíåòèêè èìåíè Â.Ì. Ãëóøêîâà, àêàäåìèê
ÍÀÍÓ È.Â. Ñåðãèåíêî. Ïî åãî èíèöèàòèâå â 2001 ã. áûëî ïðîâåäåíî çàñåäàíèå Ïðåçè-
äèóìà ÍÀÍ Óêðàèíû, ïîñâÿùåííîå ïðîáëåìàì çàùèòû èíôîðìàöèè è ðàçâèòèÿ êðèï-
òîëîãè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé, íà êîòîðîì ñ äîêëàäîì âûñòóïèë È.Í. Êîâàëåíêî.
Íà ñîçäàííîì â 2000 ã. ôàêóëüòåòå èíôîðìàöèîííîé áåçîïàñíîñòè Ôèçèêî-òåõ-
íè÷åñêîãî èíñòèòóòà ÍÒÓÓ «ÊÏÈ» áûëà ñîçäàíà êàôåäðà ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ
çàùèòû èíôîðìàöèè, êîòîðóþ âîçãëàâèë ó÷åíèê àêàäåìèêà È.Í. Êîâàëåíêî äîêòîð
ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê Ì.Í. Ñàâ÷óê. Ê ïðåïîäàâàíèþ íà êàôåäðå ñïåöèàëüíûõ
äèñöèïëèí ïðèâëå÷åíû êàê áûâøèå, òàê è íûíåøíèå ñîòðóäíèêè Èíñòèòóòà êèáåð-
íåòèêè.
Íà áàçå ýòîé êàôåäðû ñîãëàñíî ïîñòàíîâëåíèþ Ïðåçèäèóìà ÍÀÍ Óêðàèíû
áûë ñîçäàí â 2001 ã. ðåãóëÿðíî äåéñòâóþùèé íàó÷íûé ñåìèíàð «Ïðîáëåìû ñîâðå-
ìåííîé êðèïòîëîãèè». Òåìàòèêà äîêëàäîâ, êîòîðûå çàñëóøèâàþòñÿ íà ñåìèíàðå,
ÿâëÿåòñÿ âåñüìà ðàçíîñòîðîííåé è îõâàòûâàåò ðàçëè÷íûå àñïåêòû êàê ñèíòåçà, òàê
è àíàëèçà êðèïòîãðàôè÷åñêèõ ñèñòåì çàùèòû èíôîðìàöèè, ìàòåìàòè÷åñêèå çàäà÷è
òåîðåòè÷åñêîé êðèïòîãðàôèè. Îòìåòèì íåêîòîðûå èç íèõ.
52 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3
© Ì.Í. Ñàâ÷óê, 2010
– Ïîñòðîåíèå àëãåáðàè÷åñêèõ ìîäåëåé ñèììåòðè÷íûõ êðèïòîñèñòåì.
– Àíàëèç êðèïòîñòîéêîñòè àëãîðèòìîâ øèôðîâàíèÿ.
– Èññëåäîâàíèå çàäà÷ âåðîÿòíîñòíîé êîìáèíàòîðèêè è èõ ïðèìåíåíèå â
êðèïòîãðàôèè.
– Òåîðèÿ èíâàðèàíòíîñòè è ìåòîäû ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé íàä
êîíå÷íûìè ïîëÿìè, êîëüöàìè.
– Ìåòîäû ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ áóëåâûõ óðàâíåíèé ñ èñêàæåíèÿìè, à òàê-
æå ñèñòåì ñëó÷àéíûõ ïñåâäîáóëåâèõ óðàâíåíèé.
– Ìåòîäû ðåøåíèÿ ñèñòåì íåëèíåéíûõ áóëåâûõ óðàâíåíèé.
– Ñïåêòðàëüíûå ìåòîäû â ñòåãàíîãðàôèè.
– Ñõåìû çàùèòû èíôîðìàöèè â äèíàìè÷åñêèõ ñðåäàõ.
– Àëãîðèòìû ðåàëèçàöèè îïåðàöèé â ãðóïïå òî÷åê ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé.
– Ñðàâíèòåëüíûé àíàëèç ñòàíäàðòîâ öèôðîâîé ïîäïèñè Óêðàèíû è Ðîññèè,
îñíîâàííûõ íà ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ.
– Âåðîÿòíîñòíûå ìåòîäû òåñòèðîâàíèÿ íåïðèâîäèìîñòè ïîëèíîìîâ.
– Èññëåäîâàíèå ìåòîäîâ òåñòèðîâàíèÿ ãåíåðàòîðîâ ñëó÷àéíûõ ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòåé.
– Ñõåìû ðàçäåëåíèÿ ñåêðåòîâ.
– Ìåòîäû ðàñïðåäåëåíèÿ êëþ÷åé.
– Ñîçäàíèå ïðîãðàììíî-àïïàðàòíûõ êîìïëåêñîâ àðèôìåòèêè ìíîãîêðàòíîé
òî÷íîñòè è èõ ïðèìåíåíèå â êðèïòîãðàôèè.
– Àëãåáðàè÷åñêèå àòàêè íà ïîòîêîâûå øèôðû.
– Êðèòåðèè âûáîðà è àëãîðèòì ãåíåðèðîâàíèÿ äîëãîñðî÷íûõ êëþ÷åé äëÿ
ÃÎÑÒ 28147-89.
– Ïðåäëîæåíèÿ ïî ñîçäàíèþ íîâûõ áëî÷íûõ ñèììåòðè÷íûõ àëãîðèòìîâ øèô-
ðîâàíèÿ ñ öåëüþ èõ âíåäðåíèÿ â Óêðàèíå.
– Ýôôåêòèâíûå àëãîðèòìû êâàíòîâûõ âû÷èñëåíèé è èõ ïðèìåíåíèå â êðèïòî-
ãðàôèè.
– Èññëåäîâàíèå íîâûõ ìåòîäîâ ïîñòðîåíèÿ îäíîñòîðîííèõ ôóíêöèé.
(Ñïèñîê äîêëàäîâ ñåìèíàðà «Ïðîáëåìû ñîâðåìåííîé êðèïòîëîãèè», çàñëó-
øàííûõ è îáñóæäåííûõ ñ 2001 ã. ïî 2009 ã., ïðèâåäåí â êîíöå ñòàòüè.)
Îäíèì èç âàæíåéøèõ íàïðàâëåíèé, ñâÿçàííûõ ñ ìàòåìàòè÷åñêèìè çàäà÷àìè
êðèïòîãðàôè÷åñêîé çàùèòû èíôîðìàöèè, ÿâëÿåòñÿ âåðîÿòíîñòíî-êîìáèíàòîðíûé
ïîäõîä ñ ïðèìåíåíèåì ìåòîäîâ àáñòðàêòíîé àëãåáðû, òåîðèè ñëîæíîñòè è àñèìïòî-
òè÷åñêîãî àíàëèçà. Èñïîëüçîâàíèå õîðîøî ðàçðàáîòàííûõ àíàëèòè÷åñêèõ ìåòîäîâ,
ïðåäåëüíûõ òåîðåì òåîðèè âåðîÿòíîñòåé äàåò âîçìîæíîñòü ëó÷øå èññëåäîâàòü äè-
íàìèêó ðàçâèòèÿ ñëîæíûõ ñèñòåì êàê â ïðàêòè÷åñêîì, òàê è â òåîðåòè÷åñêîì îòíî-
øåíèè. Âåðîÿòíîñòíûé ïîäõîä ê êîìáèíàòîðíûì ïðîáëåìàì â òåîðåòèêî-ìíîæå-
còâåííîé ïîñòàíîâêå ïîçâîëÿåò äîñòè÷ü áîëüøåé ÿñíîñòè è ðàññìàòðèâàòü ìíîãî
ðàçëè÷íûõ êëàññîâ çàäà÷ ñ åäèíîé òî÷êè çðåíèÿ è ðåøàòü åäèíûìè ìåòîäàìè.
Ñðåäè ðàçíîîáðàçíûõ îáëàñòåé âåðîÿòíîñòíîé êîìáèíàòîðèêè âûäåëèì íåñêîëüêî
íàïðàâëåíèé.
– Âåðîÿòíîñòè íà àëãåáðàè÷åñêèõ ñòðóêòóðàõ. Òåîðèÿ èíâàðèàíòíîñòè.
– Òåîðèÿ êîäèðîâàíèÿ.
– Ñëó÷àéíûå ðàçìåùåíèÿ è èõ ïðèìåíåíèÿ â êðèïòîëîãèè.
– Ñëó÷àéíûå îòðàæåíèÿ, ïîäñòàíîâêè è ãðàôû.
– Ïîðÿäêîâûå ñòàòèñòèêè, ýêñòðåìàëüíûå çíà÷åíèÿ, îïòèìèçàöèÿ.
– Êîìáèíàòîðíûå ìåòîäû â òåîðèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ.
– Ñòàòèñòè÷åñêèå êðèòåðèè è èõ ïðèìåíåíèÿ â êðèïòîëîãèè.
– Àëãåáðàè÷åñêèå è êîìáèíàòîðíûå ìîäåëè ñèììåòðè÷íûõ êðèïòîñèñòåì.
– Êîìáèíàòîðíî-âåðîÿòíîñòíûå àëãîðèòìû è èõ ïðèìåíåíèÿ â êðèïòîëîãèè.
– Ñòàòèñòè÷åñêèå è àëãåáðàè÷åñêèå ìåòîäû â êðèïòîàíàëèçå.
– Àëãåáðàè÷åñêî-âåðîÿòíîñòíûå ïîäõîäû â àíàëèçå àñèììåòðè÷íûõ êðèïòîñèñòåì.
– Êëàññè÷åñêèå è ïîñòêâàíòîâûå ìîäåëè âû÷èñëåíèé.
Ïî ýòèì íàïðàâëåíèÿì ïðîâîäèëèñü èññëåäîâàíèÿ ñïåöèàëèñòàìè ðàçëè÷íûõ
ìàòåìàòè÷åñêèõ øêîë, â òîì ÷èñëå ñïåöèàëèñòàìè êèåâñêîé øêîëû òåîðåòè÷åñêîé
êðèïòîãðàôèè. Ïðèâåäåì êðàòêèé îáçîð íåêîòîðûõ ðàáîò ýòîé øêîëû (â îñíîâíîì
çà ïîñëåäíèå 10–20 ëåò).
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 53
ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÈ ÍÀ ÊÎÍÅ×ÍÛÕ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÑÒÐÓÊÒÓÐÀÕ
Àëãîðèòìû äåêîäèðîâàíèÿ èñêàæåííûõ ëèíåéíûõ êîäîâ íàä ïîëåì GF( )2 .
Èçâåñòíî, ÷òî äåêîäèðîâàíèå ëèíåéíûõ êîäîâ îáùåãî âèäà ÿâëÿåòñÿ NP-ïîëíîé
çàäà÷åé. Ïîèñê àëãîðèòìîâ äåêîäèðîâàíèÿ, êîòîðûå èìåþò ñðàâíèòåëüíî ñ ìåòî-
äîì ìàêñèìóìà ïðàâäîïîäîáèÿ ìåíüøóþ ñëîæíîñòü è ýôôåêòèâíû â ïðàêòè÷åñ-
êîì ïðèìåíåíèè, ïðåäñòàâëÿåò çíà÷èòåëüíûé èíòåðåñ îñîáåííî äëÿ ìåòîäîâ
çàùèòû èíôîðìàöèè è êðèïòîàíàëèçà. Íàèáîëüøèé èíòåðåñ â êðèïòîàíàëèçå ïðåä-
ñòàâëÿþò ñëó÷àè ñèëüíî èñêàæåííûõ ëèíåéíûõ êîäîâ áîëüøîé äëèíû, êîãäà âåðî-
ÿòíîñòü áåçîøèáî÷íîé ïåðåäà÷è ñèìâîëà áëèçêà ê 1/2. Ýòè àëãîðèòìû â äðóãîé
èíòåðïðåòàöèè èñïîëüçóþòñÿ òàêæå äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ
èñêàæåííîé ïðàâîé ÷àñòüþ â ïîëÿõ Ãàëóà. Ýôôåêòèâíûå ìåòîäû ðåøåíèÿ ñèñòåì
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ èñêàæåííûìè ïðàâûìè ÷àñòÿìè íàä êîíå÷íûìè ïîëÿìè,
êîëüöàìè, ãðóïïàìè — ýòî ìîùíûé àïïàðàò â êðèïòîàíàëèçå. Ïðåäëîæåííûé
â ðàáîòå [1] àëãîðèòì çíà÷èòåëüíî óìåíüøàåò îáúåì âû÷èñëåíèé ïî äåêîäèðîâà-
íèþ è ðåøåíèþ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé è ÿâëÿåòñÿ íîâûì øàãîì â ýòîé îá-
ëàñòè. Îñíîâíîé ðåçóëüòàò ðàáîòû [1] çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì.
Ïóñòü ëèíåéíûé êîä íàä ïîëåì CF ( )2 çàäàåòñÿ îáðàçóþùåé ìàòðèöåé A aij� ( ) ,
i N� 1, , j n� 1, , ñ ïîìîùüþ êîòîðîé èíôîðìàöèîííîå ñëîâî x x x xn� ( , , , )1 2 � êîäèðó-
åòñÿ â êîäîâîå ñëîâî y y yN� ( , , )1 � . Ýòî êîäîâîå ñëîâî ïåðåäàåòñÿ ïî äâîè÷íîìó
ñèììåòðè÷íîìó êàíàëó ñ âåðîÿòíîñòüþ áåçîøèáî÷íîé ïåðåäà÷è i -ãî ñèìâîëà pi . Ïðè
îïðåäåëåííûõ àñèìïòîòè÷åñêèõ ïðè n � � óñëîâèÿõ íà ðàñïðåäåëåíèå (íå îáÿçàòåëüíî
íåçàâèñèìûõ) ýëåìåíòîâ ñëó÷àéíîé ìàòðèöû A , íà âåðîÿòíîñòü áåçîøèáî÷íîé ïåðåäà÷è
pi è ÷èñëî óðàâíåíèé ñóùåñòâóåò àëãîðèòì äåêîäèðîâàíèÿ, èìåþùèé àñèìïòîòè÷åñêè
ñðåäíþþ ñëîæíîñòü L Cn n� �
�exp ( ) log{ }1 1� , C � �const 0. Àëãîðèòì îñíîâàí íà ïîý-
òàïíîì ñóììèðîâàíèè ñòðîê ïîäìàòðèö, îáðàçîâàííûõ ïîñëå ðàçáèåíèÿ ðàñøèðåííîé
ìàòðèöû A (ñ äîáàâëåíèåì ê ìàòðèöå A ïðèíÿòîãî ñëîâà â êà÷åñòâå ( )n � 1 -ãî ñòîëáöà),
ïîñëåäóþùåé ñîðòèðîâêè êàæäîé ïîëó÷åííîé òàêèì îáðàçîì ìàòðèöû, íîâûì ñóììèðî-
âàíèåì è ïîâòîðåíèåì ýòîé ïðîöåäóðû äî ïîëó÷åíèÿ ðÿäà óðàâíåíèé ñ îäíèì íåèçâåñò-
íûì. Ñïåöèàëüíûì îáðàçîì ïîäîáðàííûå ïàðàìåòðû íà êàæäîì ýòàïå àëãîðèòìà ïîçâî-
ëèëè ñíèçèòü ñëîæíîñòü äåêîäèðîâàíèÿ äî ñóáýêñïîíåíöèàëüíîé.
Àëãîðèòìû äåêîäèðîâàíèÿ èñêàæåííûõ ëèíåéíûõ êîäîâ, îñíîâàííûõ íà ñîð-
òèðîâêå è ñóììèðîâàíèè ñòðîê îáðàçóþùåé ìàòðèöû, ïðåäëîæåíû â ðàáîòàõ [2, 3].
Ñòðîÿòñÿ àëãîðèòìû äåêîäèðîâàíèÿ ýòîãî ëèíåéíîãî êîäà, êîòîðûå ïî ïðèíÿòîìó
ñëîâó y y yN� ( , , )1 0
� è çàðàíåå íåèçâåñòíîé îáðàçóþùåé ìàòðèöû âîññòàíàâëèâà-
þò èíôîðìàöèîííîå ñëîâî x x x xn� ( , , , )1 2 � è áàçèðóþòñÿ íà ñóììèðîâàíèè ñòðîê
ðàñøèðåííîé ìàòðèöû A , ñôîðìèðîâàííîé äîáàâëåíèåì ê îáðàçóþùåé ìàòðèöå
ïðèíÿòîãî ñëîâà, êàê ïîñëåäíåãî ñòîëáöà.
Îïèñàííûå àëãîðèòìû ïðèìåíÿþòñÿ äëÿ äåêîäèðîâàíèÿ ñåðèè ëèíåéíûõ êî-
äîâ M íàä GF ( )2 ñ îäíîé îáðàçóþùåé ìàòðèöåé äëÿ âñåõ êîäîâ ñåðèè è ðàçëè÷íû-
ìè èíôîðìàöèîííûìè ñëîâàìè, êîòîðûå ïðåîáðàçóþòñÿ â êîäîâûå ñëîâà è ïåðåäà-
þòñÿ ïî äâîè÷íîìó ñèììåòðè÷íîìó êàíàëó áåç ïàìÿòè ñ âåðîÿòíîñòüþ áåçîøèáî÷-
íîé ïåðåäà÷è pi
l , l M� 1, , i N� 1 0, , çàâèñÿùåé îò íîìåðîâ êîäà è ñèìâîëà.
Äëÿ äàííûõ ìåòîäîâ ïðîâîäèòñÿ àñèìïòîòè÷åñêèé àíàëèç, îòûñêèâàþòñÿ àñèì-
ïòîòè÷åñêèå îöåíêè ñëîæíîñòè àëãîðèòìîâ ïðè íåçàâèñèìûõ â ñîâîêóïíîñòè ýëå-
ìåíòàõ îáðàçóþùåé ìàòðèöû, êîãäà P { }aij � � �1 1 P{ /aij � � �0 1 2} � , i N� 1 0, ,
j n� 1, , è ñèëüíûõ èñêàæåíèÿõ: ïðè N n0 , � � , pi � 1 2/ , pi
l
� 1 2/ , i N� 1 0, ,
l M� 1, . Îïèñàííûå àëãîðèòìû îñîáåííî ýôôåêòèâíû ïðè ðàçðÿæåííûõ îáðàçóþ-
ùèõ ìàòðèöàõ è íåäîñòàòî÷íîé äëÿ äðóãèõ ìåòîäîâ ðàçìåðíîñòè êîäîâîãî ñëîâà.
Ïðèâåäåííûå àëãîðèòìû ìîæíî ïðèìåíÿòü äëÿ îöåíêè êðèïòîãðàôè÷åñêîé
óñòîé÷èâîñòè ñèñòåì çàùèòû èíôîðìàöèè, ïðè èõ âçëîìå ñ ïîìîùüþ êðèïòîãðàôè-
÷åñêîãî àíàëèçà, à òàêæå ïðè èññëåäîâàíèè ñâîéñòâ è ïàðàìåòðîâ ñëó÷àéíûõ ñèñ-
òåì óðàâíåíèé ñ èñêàæåíèÿìè íàä êîíå÷íûìè àëãåáðàè÷åñêèìè ñòðóêòóðàìè (ãðóï-
ïàìè, êîëüöàìè, ïîëÿìè Ãàëóà) è ðàçðàáîòêè ìåòîäîâ èõ ðåøåíèÿ.
Ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ àëãîðèòìîâ äåêîäèðîâàíèÿ.
 ðàáîòå [4] ðàññìàòðèâàþòñÿ äâà ìåòîäà äåêîäèðîâàíèÿ îïèñàííûõ âûøå ëè-
54 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3
íåéíûõ êîäîâ: ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ è ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî.
Àëãîðèòì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â ïåðåáîðå âñåõ 2n
èíôîðìàöèîííûõ ñëîâ X k( ), k n
� 1 2, , äëÿ êàæäîãî èç êîòîðûõ íàõîäèì ðàññòîÿíèå
Õåììèíãà �k
kAX Y� �|
~
|( ) , k n
� 1 2, , ìåæäó êîäîâûì AX k( ) è ïðèíÿòûì
~
Y ñëîâàìè.
Ñëîâî, êîòîðîå îòâå÷àåò ìèíèìàëüíîìó çíà÷åíèþ �k , è ÿâëÿåòñÿ èñêîìûì. Åñëè æå
ìèíèìóì äîñòèãíóò íà íåñêîëüêèõ âåêòîðàõ, òî îäíîçíà÷íîå âîññòàíîâëåíèå
èíôîðìàöèîííîãî ñëîâà ïðè çàäàííîé âåðîÿòíîñòè îøèáêè è äëèíå êîäà N íåâîçìîæíî.
Ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî äåêîäèðîâàíèÿ êîäà çàêëþ÷àåòñÿ â ïîèñêå ñëó÷àéíûì îáðà-
çîì íåèñêàæåííîé ñèñòåìû n óðàâíåíèé îò n ïåðåìåííûõ ñðåäè óðàâíåíèé, îïðåäåëÿ-
þùèõ êîä, â ðåøåíèè ýòîé ñèñòåìû â ñëó÷àå, åñëè îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû íå ðàâåí
íóëþ, è ïðîâåðêå ïîëó÷åííîãî ðåøåíèÿ X íà ñëó÷àéíî âûáðàííîé ( , )N n
-ïîäìàòðè-
öå A ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ñèìâîëàìè ïðèíÿòîãî ñëîâà
~
.*Y Åñëè ðàññòîÿíèå Õåììèí-
ãà �
� �|
~
|A X Y íå ïðåâûøàåò íåêîòîðîãî çàäàííîãî ïîðîãà C , òî X ñ÷èòàåì
äåêîäèðîâàííûì èíôîðìàöèîííûì ñëîâîì.  ñëó÷àÿõ, êîãäà îïðåäåëèòåëü ðàâåí
íóëþ èëè �*
� C , ïåðåõîäèì ê ïîèñêó íîâîé ñèñòåìû ñ n óðàâíåíèÿìè.
 [4] ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ýêñïåðèìåíòàëüíîãî èññëåäîâàíèÿ äâóõ óêàçàí-
íûõ àëãîðèòìîâ ïðè êîíå÷íûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ n , N è � , äàíî ñðàâíåíèå
ýòèõ àëãîðèòìîâ ïî íàäåæíîñòè è òðóäîåìêîñòè, à òàêæå ñðàâíåíèå ïîëó÷åííûõ
ýêñïåðèìåíòàëüíî õàðàêòåðèñòèê ñ àñèìïòîòè÷åñêèìè òåîðåòè÷åñêèìè çíà÷åíèÿìè.
Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ èñêàæåííîé ïðàâîé ÷àñòüþ íàä êîëüöàìè.
 ðàáîòàõ À.Í. Àëåêñåé÷óêà è Ñ. Ì. Èãíàòåíêî [5–7] èçó÷àþòñÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé ñ èñêàæåííîé ïðàâîé ÷àñòüþ íàä êîëüöîì âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ 2N . Òàêèå
ñèñòåìû óðàâíåíèé ÿâëÿþòñÿ êëàññè÷åñêèì îáúåêòîì èññëåäîâàíèé â êðèïòîãðàôèè
è, êàê ïðàâèëî, èñïîëüçóþòñÿ ïðè ïîñòðîåíèè êîððåëÿöèîííûõ àòàê íà ñèììåòðè÷-
íûå êðèïòîñèñòåìû (ãåíåðàòîðû ïñåâäîñëó÷àéíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, áëî÷íûå è
ïîòîêîâûå øèôðû). Â ñâÿçè ñ ðàçâèòèåì ìåòîäîâ ñèíòåçà è ðàñïðîñòðàíåíèåì ñôåðû
ïðèìåíåíèÿ íåäâîè÷íûõ ïðîãðàììíî-îðèåíòèðîâàííûõ ïîòî÷íûõ øèôðîâ â íàñòîÿ-
ùåå âðåìÿ íàáëþäàåòñÿ ïîâûøåííûé èíòåðåñ ñïåöèàëèñòîâ ê ñèñòåìàì óðàâíåíèé ñ
èñêàæåííîé ïðàâîé ÷àñòüþ íàä êîíå÷íûìè êîëüöàìè è ïîëÿìè ìîùíîñòè q � 2 .
 ñòàòüÿõ [5, 6] ïîëó÷åíû àíàëèòè÷åñêèå îöåíêè íàäåæíîñòè âîññòàíîâëåíèÿ
èñòèííîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ èñêàæåííîé ïðàâîé ÷àñòüþ íàä
êîëüöîì Z N/ ( )2 ìåòîäîì ìàêñèìóìà ïðàâäîïîäîáèÿ, ïðåäëîæåíû ìîäèôèêàöèè
ýòîãî ìåòîäà, êîòîðûå èìåþò ìåíüøóþ âðåìåííóþ ñëîæíîñòü ïî ñðàâíåíèþ ñ
êëàññè÷åñêèì âàðèàíòîì åãî ïðèìåíåíèÿ.  ðàáîòå [7] ïðåäëîæåí ìåòîä ïîñòðîå-
íèÿ íîâûõ àëãîðèòìîâ ðåøåíèÿ óêàçàííûõ ñèñòåì óðàâíåíèé ïî ïðîèçâîëüíîé êî-
íå÷íîé ñîâîêóïíîñòè òàêèõ èñõîäíûõ àëãîðèòìîâ. Ïðèâåäåíû àíàëèòè÷åñêèå âû-
ðàæåíèÿ íàäåæíîñòè è âðåìåííîé ñëîæíîñòè àëãîðèòìîâ, ïîëó÷åííûå äàííûì ìå-
òîäîì, ÷åðåç ñîîòâåòñòâóþùèå õàðàêòåðèñòèêè èñõîäíûõ àëãîðèòìîâ è îïèñàíà
ïðîöåäóðà ïîñòðîåíèÿ îïòèìàëüíûõ (ïî êðèòåðèþ ìèíèìóìà òðóäîåìêîñòè ïðè çà-
äàííîé íèæíåé ãðàíèöå íàäåæíîñòè) â îïðåäåëåííîì êëàññå àëãîðèòìîâ ðåøåíèÿ
óðàâíåíèé ñ èñêàæåííîé ïðàâîé ÷àñòüþ íàä êîëüöîì Z N/ ( )2 .
Èññëåäîâàíèÿ áóëåâûõ ìàòðèö è ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé íàä êîíå÷íûìè
ïîëÿìè è êîëüöàìè. Â ðàáîòå È.Í. Êîâàëåíêî [8] äîêàçûâàþòñÿ òåîðåìû èíâàðèàíò-
íîñòè äëÿ ñëó÷àéíîãî áóëåâîãî îïðåäåëèòåëÿ, èçó÷àþòñÿ çàäà÷è î ðàíãå ñëó÷àéíîé ìàò-
ðèöû, î ðàñïðåäåëåíèè ðàíãà ëèíèé ñëó÷àéíîé ìàòðèöû ñ ó÷åòîì ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè
ê ïðåäåëüíûì âåëè÷èíàì. À.À. Ëåâèòñêàÿ â [8] èññëåäóåò ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
íàä êîíå÷íûìè êîëüöàìè. Ðÿä ðåçóëüòàòîâ â òåîðèè èíâàðèàíòíîñòè ïîëó÷åíû â ðàáîòàõ
Â.È. Ìàñîëà. Îáçîð ðàáîò ïî èññëåäîâàíèþ ñèñòåì ñëó÷àéíûõ óðàâíåíèé íàä êîíå÷íû-
ìè àëãåáðàè÷åñêèìè ñòðóêòóðàìè äî 2004 ã. ïðèâåäåí â [12].
 ðàáîòå À.Í. Àëåêñåé÷óêà [9] ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà ðåøåò÷àòûõ ìîìåí-
òîâ (ñì. íèæå) ïîêàçàíî, ÷òî ïðåäåëüíîå (ïðè n � � , s � const) ðàñïðåäåëåíèå ÷èñëà
ðåøåíèé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé Ax � 0 íàä êîëüöîì âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ pd
( p — ïðîñòîå, d — íàòóðàëüíîå), ãäå A — ñëó÷àéíàÿ ðàâíîâåðîÿòíàÿ ìàòðèöà ðàç-
ìåðà ( )n s n� � , òîãäà è òîëüêî òîãäà îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ïîñëåäîâàòåëüíîñ-
òüþ ñâîèõ ìîìåíòîâ, êîãäà d � 2 .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 55
 ñòàòüå [10] ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé ðàñïðåäåëåíèÿ ðàíãà
( )n s n� � -ìàòðèöû A ñ íåçàâèñèìûìè â ñîâîêóïíîñòè ñòðîêàìè íàä ïîëåì èç q ýëå-
ìåíòîâ. Â òåðìèíàõ êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå ðàñïðåäåëåíèé ñòðîê ýòîé ìàòðèöû ïîëó-
÷åíû âåðõíèå è (â ñëó÷àå, êîãäà êîýôôèöèåíòû Ôóðüå — íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëà)
íèæíèå îöåíêè âåðîÿòíîñòåé çíà÷åíèé åå ðàíãà. Ïîëó÷åíà òàêæå âåðõíÿÿ ãðàíèöà
ðàññòîÿíèÿ ïî âàðèàöèè ìåæäó ðàñïðåäåëåíèÿìè ðàíãîâ ìàòðèöû A è ðàíãîâ ñëó÷àé-
íîé ðàâíîâåðîÿòíîé ìàòðèöû. Ñôîðìóëèðîâàíî óñëîâèå, ñîãëàñíî êîòîðîìó ýòî ðàñ-
ñòîÿíèå ïî âàðèàöèè ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè n � � , s � const , è ïîêàçàíî, ÷òî ýòî
óñëîâèå â íåêîòîðîì åñòåñòâåííîì ñìûñëå íå ìîæåò áûòü îñëàáëåíî. Ñòàòüÿ [10] îò-
ëè÷àåòñÿ îò ïðåäûäóùèõ ðàáîò ïî äàííîé òåìàòèêå áîëüøåé îáùíîñòüþ ïîñòàíîâêè
çàäà÷è è íîâûì ìåòîäîì èññëåäîâàíèÿ, ñâÿçàííûì ñ êîýôôèöèåíòàìè Ôóðüå, à ïîëó-
÷åííûå â íåé îöåíêè â ðÿäå ñëó÷àåâ ÿâëÿþòñÿ áîëåå òî÷íûìè ïî ñðàâíåíèþ ñ èçâåñ-
òíûìè îöåíêàì Ã.Â. Áàëàêèíà [11].
 îáçîðå [12] ïðèâåäåíû òàêæå ðåçóëüòàòû ïî èññëåäîâàíèþ ìàòðèö è èõ ðàí-
ãîâ, îïðåäåëèòåëåé, ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé íàä êîíå÷íûìè
àëãåáðàè÷åñêèìè ñòðóêòóðàìè
Èññëåäîâàíèå ëîãè÷åñêèõ, íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé, à òàêæå óðàâíåíèé íàä
ãðóïïàìè.  ðàáîòå [8] ââîäÿòñÿ ñèñòåìû ñëó÷àéíûõ ëîãè÷åñêèõ óðàâíåíèé è èñ-
ñëåäóåòñÿ âåðîÿòíîñòü ñîâìåñòèìîñòè, à òàêæå âåðîÿòíîñòü åäèíñòâåííîñòè ðåøå-
íèÿ íåëèíåéíûõ ñèñòåì ñëó÷àéíûõ óðàâíåíèé. Äëÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
â êîíå÷íîé àáåëåâîé ãðóïïå íàõîäÿòñÿ îöåíêè ñðåäíåãî ÷èñëà ðåøåíèé, ðàñïðåäåëå-
íèå ÷èñëà ðåøåíèé äëÿ ïðèìàðíîé ãðóïïû, èññëåäóþòñÿ ñëó÷àè öèêëè÷åñêîé ãðóïïû.
Ðåçóëüòàòû èìåþò àñèìïòîòè÷åñêèé õàðàêòåð. Äîêàçàííûå òåîðåìû ìîæíî ñ÷èòàòü îò-
êðûòèåì íîâîãî íàïðàâëåíèÿ èññëåäîâàíèé â äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêå. Íåëèíåéíûå
óðàâíåíèÿ íàä êîíå÷íûìè ïîëÿìè ðàññìàòðèâàëèñü â ðàáîòàõ Ìàñîëà Â.È. è åãî ó÷å-
íèêîâ. Òåîðåìû èíâàðèàíòíîñòè äëÿ ñèñòåì ñëó÷àéíûõ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé íàä
ïðîèçâîëüíûì êîíå÷íûì êîëüöîì ñ ëåâîé åäèíèöåé äîêàçûâàëèñü â ðàáîòå [74].
Âåðîÿòíîñòíûå ðàñïðåäåëåíèÿ íà ðåøåòêå. Ïðîáëåìà ìîìåíòîâ. Â ðàáîòàõ
À.Í. Àëåêñåé÷óêà [13, 14] ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé îáùåé ñõåìû íåçà-
âèñèìûõ ñëó÷àéíûõ ýëåìåíòîâ, ïðèíèìàþùèõ çíà÷åíèÿ â êîíå÷íîé ðåøåòêå. Ïîêà-
çàíî, ÷òî â òåðìèíàõ ýòîé ñõåìû âîçìîæíî îáùåå ôîðìóëèðîâàíèå ðÿäà âåðîÿòíî-
ñòíî-êîìáèíàòîðíûõ çàäà÷ (î ðàñïðåäåëåíèè âåðîÿòíîñòåé ÷èñëà íåïîêðûòûõ òî-
÷åê â îáîáùåííîé ñõåìå ðàçìåùåíèÿ ÷àñòèö êîìïëåêòàìè, ÷èñëà êîìïîíåíò
ñâÿçíîñòè ñëó÷àéíîãî ãèïåðãðàôà, ÷èñëà ðåøåíèé ñèñòåìû ñëó÷àéíûõ ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé íàä êîíå÷íûì êîëüöîì ñ åäèíèöåé è ò.ï.). Ïðåäëîæåí òàêæå ìåòîä äîêà-
çàòåëüñòâà òåîðåì î ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí � n , ïðè-
íèìàþùèõ çíà÷åíèÿ â ìíîæåñòâå (0, 1, ..., n), ê äèñêðåòíûì ðàñïðåäåëåíèÿì âåðî-
ÿòíîñòåé. Ìåòîä îñíîâàí íà èññëåäîâàíèè àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ îïðåäåëåí-
íûõ ÷èñëîâûõ õàðàêòåðèñòèê (ðåøåò÷àòûõ ìîìåíòîâ) ðàñïðåäåëåíèé � n .
Ðàññìîòðåíû ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ ýòîãî ìåòîäà â èññëåäîâàíèÿõ àñèìïòîòè÷åñ-
êîãî ïîâåäåíèÿ ðàñïðåäåëåíèé âåðîÿòíîñòåé ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà ðåøåíèé
ñèñòåìû íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ îäíîðîäíûõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé íàä êîíå÷íûì
ïîëåì, à òàêæå ÷èñëà êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè íåðàâíîâåðîÿòíîãî ñëó÷àéíîãî ãèïåð-
ãðàôà ñ íåçàâèñèìûìè ãèïåððåáðàìè. Â ñòàòüå [15] ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû, êîòîðûå
ðàçâèâàþò è äîïîëíÿþò ðÿä óòâåðæäåíèé, ïîëó÷åííûõ â [13, 14].  ÷àñòíîñòè, ââå-
äåíî ïîíÿòèå èíäåêñà ïîêðûòèÿ êîíå÷íîé îäíîðîäíîé ðåøåòêè ðàíãà n è äîêàçàíà
òåîðåìà îá àñèìïòîòè÷åñêîé íîðìàëüíîñòè ÷èñëà áëîêîâ â ñëó÷àéíîì ðàâíîâåðîÿò-
íîì ïîêðûòèè ýòîé ðåøåòêè. Ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ðåøåò÷àòûõ ìîìåíòîâ â [14] íàé-
äåí âèä ïðåäåëüíîãî ïðè n � � çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ èíäåêñà ïîêðûòèÿ ðåøåòêè
ïîäïðîñòðàíñòâà n-ìåðíîãî âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà íàä êîíå÷íûì ïîëåì.
Çàìåòèì, ÷òî ìåòîä ðåøåò÷àòûõ ìîìåíòîâ ðàçðàáîòàí â ïðîöåññå èññëåäîâàíèé,
íàïðàâëåííûõ íà ïîèñê îáùèõ äîñòàòî÷íûõ óñëîâèé îäíîçíà÷íîñòè ïðîáëåìû ìîìåí-
òîâ â êëàññå q-ðàñïðåäåëåíèé — äèñêðåòíûõ ðàñïðåäåëåíèé âåðîÿòíîñòåé, êîòîðûå ñî-
ñðåäîòî÷åíû íà ìíîæåñòâå ñòåïåíåé ÷èñëà q � 1ñ íåîòðèöàòåëüíûìè öåëûìè ïîêàçàòå-
ëÿìè [16]. Ïðèìåðîì q-ðàñïðåäåëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîå ïðè n � � ðàñïðåäåëåíèå
âåðîÿòíîñòåé ÷èñëà ðåøåíèé ñèñòåìû, êîòîðàÿ ñîñòîèò èç n s� ñëó÷àéíûõ îäíîðîä-
íûõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé îò n íåèçâåñòíûõ, íàä ïîëåì èç q ýëåìåíòîâ (s — öåëî÷èñ-
ëåííàÿ êîíñòàíòà). Äîëãîå âðåìÿ îñòàâàëñÿ îòêðûòûì âîïðîñ: îïðåäåëÿåòñÿ ëè óêàçàí-
56 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3
íîå ðàñïðåäåëåíèå îäíîçíà÷íî ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ñâîèõ ìîìåíòîâ? Ïîëîæèòåëü-
íûé îòâåò íà íåãî äàí â ñòàòüå [16], ãäå ïîëó÷åíû òàêæå äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ
îäíîçíà÷íîñòè ïðîáëåìû ìîìåíòîâ äëÿ ðàñïðåäåëåíèé âåðîÿòíîñòåé, ñîñðåäîòî÷åí-
íûõ íà ìíîæåñòâå âåêòîðîâ ( , , )( ) ( )q qn
t
n t
1
1
, qi � 1, n i N( )� 0 , i � 1 2, .
Èññëåäîâàíèå ìåòîäîâ ïîäñ÷åòà ÷èñëà ïîëíûõ îòîáðàæåíèé êîíå÷íûõ
ìíîæåñòâ. Ðàçðàáîòàííûå â ðàáîòàõ [17–19] ìåòîäû îöåíêè ÷èñëà òàê íàçûâàåìûõ
ïîëíûõ îòîáðàæåíèé ÿâëÿþòñÿ çíà÷èòåëüíûì ïðîäâèæåíèåì â ðåøåíèè çàäà÷è, êî-
òîðàÿ íà ïðîòÿæåíèè ïî÷òè òðåõ äåñÿòèëåòèé ñòîÿëà ïåðåä ñïåöèàëèñòàìè â îáëàñ-
òè ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè è êðèïòîãðàôè÷åñêèõ ìåòîäîâ çàùèòû èíôîðìàöèè.
Ïðåäëîæåí íîâûé ýôôåêòèâíûé ïîäõîä [20] ê îöåíêå ÷èñëà ïîëíûõ îòîáðàæåíèé
ìåòîäîì óñêîðåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ, êîòîðûé ïîçâîëèë îöåíèòü êîëè÷åñòâî ïîë-
íûõ îòîáðàæåíèé äëÿ N � 205 ñ îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ 5%. Ïðèâåäåíû òàê-
æå ýìïèðè÷åñêèå âåðõíèå è íèæíèå îöåíêè èõ êîëè÷åñòâà. Ýòà ïðîáëåìà ìîòèâè-
ðîâàíà çàäà÷àìè çàùèòû èíôîðìàöèè. Ïðè äåøèôðîâêå (âçëîìå) òàêèõ ñèñòåì
øèôðîâàíèÿ êàê, íàïðèìåð, «Ýíèãìà» áîëüøóþ ðîëü èãðàþò ïîëíûå îòîáðàæåíèÿ
(ïåðåñòàíîâêè áåç «ïàðàëëåëüíîñòè» — áåç «îñîáûõ» ñîâïàäåíèé).
Çàäà÷à î ðàñïðåäåëåíèè èäåíòèôèêàöèîííûõ êîäîâ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íå-
êîòîðîå êîëè÷åñòâî ïîëüçîâàòåëåé âûáèðàþò äëÿ ñåáÿ (íåçàâèñèìî îäèí îò äðóãî-
ãî) àäðåñ èëè êîä. Âîçíèêàåò âîïðîñ: ñ êàêîé âåðîÿòíîñòüþ íåñêîëüêî ïîëüçîâàòå-
ëåé áóäóò èìåòü îäèíàêîâûé àäðåñ? Èññëåäîâàíèå ýòîãî âîïðîñà î êîëëèçèÿõ ïðî-
âîäèòñÿ â ðàáîòå [21]. Îöåíêè òàêîé âåðîÿòíîñòè èìåþò âàæíîå çíà÷åíèå äëÿ
ïðàâèëüíîãî ïîñòðîåíèÿ íàäåæíûõ ïðîöåäóð äîñòóïà â àâòîìàòèçèðîâàííûõ è êîì-
ïüþòåðíûõ ñèñòåìàõ. Ñåé÷àñ ïðè áóðíîì ðàçâèòèè òåëåêîììóíèêàöèé, ãëîáàëüíûõ
êîìïüþòåðíûõ ñåòåé, ñèñòåì ýëåêòðîííûõ ïëàòåæåé âîïðîñ î ðàñïðåäåëåíèè êîäîâ
ïðèîáðåòàåò îñîáóþ àêòóàëüíîñòü. Íåóëó÷øàåìûå àñèìïòîòè÷åñêèå îöåíêè äëÿ
ìèíèìàëüíîãî ÷èñëà ïîëüçîâàòåëåé, ïðè êîòîðîì âåðîÿòíîñòü êîëëèçèè íå ìåíüøå
çàäàííîé, ïîëó÷åíû â ðàáîòå [76].
Âåðîÿòíîñòíûå ìåòîäû ãåíåðàöèè íåïðèâîäèìûõ ïîëèíîìîâ. Â ðàáî-
òå [22] ïðîâîäèòñÿ îáîáùåíèå âåðîÿòíîñòíûõ òåñòîâ îïðåäåëåíèÿ ïðîñòîòû öåëîãî
÷èñëà äëÿ ïðîâåðêè ïîëèíîìîâ íàä ïîëÿìè Ãàëóà íà íåïðèâîäèìîñòü. Îáîáùàþòñÿ
òåñòû Ôåðìà, Ñîëîâåÿ–Øòðàññåíà, Ìèëëåðà–Ðàáèíà, óêàçûâàþòñÿ îáëàñòè, â êîòî-
ðûõ ðàçðàáîòàííûå ìåòîäû ãåíåðàöèè íåïðèâîäèìûõ ïîëèíîìîâ áîëåå ýôôåêòèâ-
íû, ÷åì äåòåðìèíèðîâàííûå ìåòîäû.
ÒÅÎÐÈß ÑËÓ×ÀÉÍÛÕ ÐÀÇÌÅÙÅÍÈÉ
Áîëüøîé êëàññ êîìáèíàòîðíûõ çàäà÷ â çàâèñèìîñòè îò ïðèëîæåíèé, õàðàêòåðèñòèê,
êîòîðûå èçó÷àþòñÿ, òðàäèöèé, ìàòåìàòè÷åñêèõ øêîë è ðÿäà äðóãèõ ïðè÷èí ìîæåò
ôîðìóëèðîâàòüñÿ è èçó÷àòüñÿ â ðàçëè÷íûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ òåðìèíîëîãèÿõ, èíòåðïðå-
òèðîâàòüñÿ ñ ïîìîùüþ ðàçëè÷íûõ êîìáèíàòîðíûõ êîíôèãóðàöèé è ñõåì. Âàæíåéøè-
ìè òàêèìè êîìáèíàòîðíûìè êîíôèãóðàöèÿìè ÿâëÿþòñÿ ðàçìåùåíèÿ ÷àñòèö ïî ÿ÷åé-
êàì, âûáîðêè èëè óðíîâûå ñõåìû, îòîáðàæåíèÿ êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ è ãðàôû.
 çàâèñèìîñòè îò òîãî, ðàññìàòðèâàåì ëè ìû ÷àñòèöû èëè ÿ÷åéêè êàê óïîðÿäî-
÷åííûå èëè íåóïîðÿäî÷åííûå, êàê ðàçëè÷àþùèåñÿ èëè íå ðàçëè÷àþùèåñÿ ìåæäó
ñîáîé, èñõîäÿ èç îãðàíè÷åíèé íà ðàçìåùåíèå, áóäåì ïîëó÷àòü ðàçëè÷íûå ñõåìû
ðàçìåùåíèÿ. Cîîòâåòñòâåííî ðàçíûì áóäåò è êîëè÷åñòâî âñåõ âîçìîæíûõ ðàçìåùå-
íèé. Íàïðèìåð, åñëè ÿ÷åéêè ðàçëè÷àþòñÿ è íå óïîðÿäî÷åíû, à ÷àñòèöû íå ðàçëè÷à-
þòñÿ, òî ÷èñëî âîçìîæíûõ ðàçìåùåíèé áóäåò C
N n
n
� � 1
, ãäå N — ÷èñëî ÿ÷ååê, n —
÷èñëî ÷àñòèö. Ýòî ñîîòâåòñòâóåò êîììóòàòèâíîìó íåñèììåòðè÷íîìó N-áàçèñó â
òåðìèíàõ îòîáðàæåíèé, a òàêæå ñòàòèñòèêå Áîçå — Ýéíøòåéíà â ñòàòèñòè÷åñêîé
ôèçèêå. Íà ìíîæåñòâå âñåõ âîçìîæíûõ ðàçìåùåíèé çàäàííîé êîìáèíàòîðíîé ñõå-
ìû ìîæíî çàäàâàòü ðàçëè÷íûå âåðîÿòíîñòíûå ðàñïðåäåëåíèÿ è òàêèì îáðàçîì ïî-
ëó÷èòü áîëüøîå ðàçíîîáðàçèå ñëó÷àéíûõ ñõåì ðàçìåùåíèÿ ÷àñòèö, êàæäàÿ èç êîòî-
ðûõ, êàê ïðàâèëî, èìååò ðÿä ïðèëîæåíèé ê ïðèêëàäíûì çàäà÷àì â âû÷èñëèòåëüíîé
òåõíèêå, â ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäàõ çàùèòû èíôîðìàöèè, â îáëàñòè ôèçèêè, áèîëî-
ãèè è ò.ä. Âûâîäû è ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå äëÿ ñõåì ðàçìåùåíèé, èñïîëüçóþòñÿ
äëÿ èçó÷åíèÿ ðÿäà äèñêðåòíûõ ìîäåëåé è âåðîÿòíîñòíî-êîìáèíàòîðíûõ àëãîðèò-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 57
ìîâ, ïðèìåíÿåìûõ ïðè ñèíòåçå è àíàëèçå ñèñòåì êðèïòîãðàôè÷åñêîé çàùèòû èí-
ôîðìàöèè, â ðàçëè÷íûõ ìåòîäàõ êðèïòîàíàëèçà è ò.ä.
Ñõåìà ñëó÷àéíîãî ðàçìåùåíèÿ êîìïëåêòîâ ÷àñòèö ïî ÿ÷åéêàì.  ÿ÷åéêàõ
ðàçìåùàåòñÿ n êîìïëåêòîâ ÷àñòèö ïî m ÷àñòèö, â êàæäîì êîìïëåêòå ÷àñòèöû ðàçìå-
ùàþòñÿ â ÿ÷åéêàõ íå áîëåå ÷åì ïî îäíîé è âñå C
N
m âîçìîæíûõ ðàçìåùåíèé ðàâíî-
âåðîÿòíû, à ðàçìåùåíèÿ ÷àñòèö â ðàçëè÷íûõ êîìïëåêòàõ íåçàâèñèìû. (Åñëè m � 1,
òî èìååì êëàññè÷åñêóþ ñõåìó ðàçìåùåíèÿ.) Îáîçíà÷èì � r N m n( , , ) ñëó÷àéíóþ âå-
ëè÷èíó, ðàâíóþ ÷èñëó ÿ÷ååê, êîòîðûå ñîäåðæàò ðîâíî r ÷àñòèö ïîñëå ðàçìåùåíèÿ
âñåõ n êîìïëåêòîâ; � r N m n( , , ) — ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ðàâíàÿ ÷èñëó ÿ÷ååê, êîòîðûå
ñîäåðæàò íå áîëåå ÷åì r ÷àñòèö êàæäàÿ ïîñëå ðàçìåùåíèÿ n êîìïëåêòîâ;
� r N m k( , , ) — ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ðàâíàÿ íàèìåíüøåìó ÷èñëó ðàçìåùåííûõ êîì-
ïëåêòîâ, ïðè êîòîðîì â íåêîòîðûõ k ÿ÷åéêàõ ñîäåðæèòñÿ íå ìåíåå ÷åì ïî r ÷àñòèö.
Ïî ñõåìàì ðàçìåùåíèÿ ÷àñòèö êîìïëåêòàìè â ðàáîòàõ [8, 23] ïðîâåäåíû èñ-
ñëåäîâàíèÿ ñìåøàííûõ ôàêòîðèàëüíûõ è âòîðûõ ìîìåíòîâ, à òàêæå ðàñïðåäåëåíèé
ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ, ñâÿçàííûõ ñ âåëè÷èíàìè � r N m n( , , ) ,
� r N m n( , , ) , � r N m k( , , ) . Ïîëó÷åíî íîðìàëüíîå ïðèáëèæåíèå äëÿ ìíîãîìåðíîãî
ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñî ñëó÷àéíûìè ïàðàìåòðàìè. Äîêàçàíû òåî-
ðåìû î ïðåäåëüíûõ ãàóññîâñêèõ, ïóàññîíîâñêèõ ðàñïðåäåëåíèÿõ, à òàêæå ýêñïîíåí-
öèàëüíûõ, äâàæäû ýêñïîíåíöèàëüíûõ ïðåäåëüíûõ ðàñïðåäåëåíèÿõ äëÿ âðåìåíè
îæèäàíèÿ. Â ðàáîòå [25] ïðèâåäåí íàáîð ïðåäåëüíûõ òåîðåì äëÿ âðåìåíè îæèäàíèÿ
äî çàïîëíåíèÿ çàäàííûõ ïîäìíîæåñòâ ÿ÷ååê â çàäà÷å î ðàçìåùåíèè ÷àñòèö êîìï-
ëåêòàìè.  ðàáîòå [27] îáîáùàþòñÿ àñèìïòîòè÷åñêèå ðåçóëüòàòû äëÿ ìàêñèìàëüíîé
è ìèíèìàëüíîé ÷àñòîò â êëàññè÷åñêîé ñõåìå ðàçìåùåíèÿ íà ñëó÷àé ñõåìû
ðàçìåùåíèÿ ñëó÷àéíîãî ÷èñëà ÷àñòèö.
 ðàáîòå [8] ñ ïîìîùüþ êîìáèíàòîðíîãî àíàëèçà ðÿäîâ ïîëó÷åíû òî÷íûå ôîð-
ìóëû äëÿ ìîìåíòîâ ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà ìàêñèìóìà äâóõ è òðåõ íåçàâèñèìûõ
ãàóññîâñêèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, à òàêæå äëÿ öåíòðàëüíûõ ìîìåíòîâ ýòèõ âåëè÷èí.
Ðàçìåùåíèÿ êîìïëåêòîâ ÷àñòèö íà îêðóæíîñòè.  ðàáîòàõ [8, 23] îïðåäåëÿåò-
ñÿ è èçó÷àåòñÿ ñõåìà ðàçìåùåíèÿ êîìïëåêòîâ ÷àñòèö íà îêðóæíîñòè.  îòëè÷èå îò
êëàññè÷åñêîé ñõåìû ðàçìåùåíèÿ çäåñü ââîäÿòñÿ ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ñâÿçàííûå ñ õà-
ðàêòåðèñòèêàìè ïåðåñå÷åíèÿ êîìïëåêòîâ. Ñ ïîìîùüþ òåîðèè ðÿäîâ, ïðîèçâîäÿùèõ
ôóíêöèé è êîìáèíàòîðíî-âåðîÿòíîñòíîãî àíàëèçà èññëåäóåòñÿ ïðåäåëüíîå ïîâåäåíèå
ìîìåíòîâ è ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, äîêàçûâàåòñÿ ñõîäèìîñòü ðàñïðåäåëå-
íèé ê ãàóññîâñêèì, à òàêæå ê êîìïîçèöèè ïóàññîíîâñêèõ ðàñïðåäåëåíèé. Ïðèâåäåííàÿ
ñõåìà ðàçìåùåíèÿ èñïîëüçóåòñÿ ïðè àíàëèçå äàò÷èêîâ ïñåâäîñëó÷àéíûõ ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòåé, êîòîðûå, êàê èçâåñòíî, èìåþò îïðåäåëåííûé ïåðèîä.
Ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü âåêòîðíûõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ â ñõåìàõ ðàçìåùåíèÿ
ê ãàóññîâñêèì äèôôóçèîííûì ïðîöåññàì. Â ðàáîòàõ [8, 23] ðàçðàáîòàí ìåòîä äî-
êàçàòåëüñòâà ñëàáîé ñõîäèìîñòè âåêòîðíûõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ, ïîñòðîåííûõ ïî
ñõåìàì ðàçìåùåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå ôóíêöèé áåç ðàçðûâîâ âòîðîãî ðîäà. Ìåòîä îñíî-
âàí íà ïðèìåíåíèè îáùèõ ïðåäåëüíûõ òåîðåì òåîðèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ.  ðàáî-
òàõ [8, 23, 28] ðàçðàáîòàííûì ìåòîäîì äîêàçàíà ñõîäèìîñòü âåêòîðíûõ ñëó÷àéíûõ
ïðîöåññîâ ñ äâóìÿ òèïàìè íàïðàâëåííîñòè âðåìåíè, ïîñòðîåííûõ ïî ðàçëè÷íûì
ñõåìàì ðàçìåùåíèÿ, ê ãàóññîâñêèì äèôôóçèîííûì ïðîöåññàì. Ïîëó÷åíû ñëåäñòâèÿ
èç ôóíêöèîíàëüíûõ ïðåäåëüíûõ òåîðåì, îòíîñÿùèåñÿ ê àñèìïòîòè÷åñêîìó ïîâåäå-
íèþ ñîâìåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ÷òî äàåò åùå îäèí ñïîñîá äî-
êàçàòåëüñòâà ìíîãîìåðíûõ ãàóññîâñêèõ ïðåäåëüíûõ òåîðåì â ñõåìàõ ðàçìåùåíèÿ.
Íåðàâíîâåðîÿòíûå ñõåìû. Ðàçäåëèìûå ñòàòèñòèêè. Ðåãóëÿðíàÿ ñõåìà íåçà-
âèñèìîãî ðàçìåùåíèÿ n ÷àñòèö â N ïðîíóìåðîâàííûõ ÿ÷åéêàõ îïèñûâàåòñÿ ñëåäó-
þùèì îáðàçîì: êàæäàÿ ÷àñòèöà íåçàâèñèìî îò äðóãèõ ñ âåðîÿòíîñòüþ qk ïîïàäàåò
â ÿ÷åéêó ñ íîìåðîì k, k N� 1, , qk
k
N
�
�
� 1
1
; ïðè N � � , c c1 2, � const , 0 1 2� �c c âû-
ïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà 0 1 2� � � � � �c Nq Nq c
k
k
k
kmin max . Â ñòàòüå [28] ïðåä-
ëîæåííûì â ðàáîòàõ [8, 23] ìåòîäîì äîêàçàíà ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü ìíîãîìåðíûõ
ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ, ïîñòðîåííûõ â ðåãóëÿðíîé ñõåìå ïî ðàçäåëèìûì ñòàòèñòè-
58 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3
êàì â ïðîñòðàíñòâå ôóíêöèé áåç ðàçðûâîâ 2-ãî ðîäà ê âåêòîðíîìó ãàóññîâñêîìó
äèôôóçèîííîìó ïðîöåññó. Â [24] ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü ðàññìîòðåíà â ñõåìå ðàçìåùå-
íèÿ ÷àñòèö êîìïëåêòàìè ñî ñëó÷àéíûìè óðîâíÿìè (çàäàííûìè íà ÿ÷åéêàõ äðóãîé
ñõåìîé ðàçìåùåíèÿ).
Âàðèàöèîííûå ðÿäû âåðîÿòíîñòåé. Åñëè ïðè ðåàëèçàöèè ïîëèíîìèàëüíîé
ñõåìû ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ñëó÷àè ïîÿâëåíèÿ m ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ èñõîäîâ (âåê-
òîðîâ ( , , )i im1 � ), òî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ôèêñèðîâàííîãî � , 0 1� �� , ìîæíî îïðå-
äåëèòü âåëè÷èíó N ( )� êàê íàèìåíüøåå âîçìîæíîå ÷èñëî âåêòîðîâ òàêîå, ÷òî ñóììà
èõ âåðîÿòíîñòåé áóäåò íå ìåíøå � . Ôóíêöèÿ N ( )� çàâèñèò îò � , N , m è âåðîÿòíî-
ñòåé pi ïîëèíîìèàëüíîé ñõåìû, i N� 1, ,� . Òàêàÿ ìîäåëü èñïîëüçóåòñÿ, íàïðèìåð,
ïðè ãåíåðàöèè ñëó÷àéíûõ âûáîðîê áåç ïîâòîðåíèÿ, ñëó÷àéíûõ ðàçìåùåíèé êîì-
ïëåêòîâ ÷àñòèö ïî ÿ÷åéêàì, ïðè ïîñòðîåíèè ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé, íåêîòîðûõ ñõåì
êîììóòàöèè, ãåíåðàòîðîâ ñëó÷àéíûõ ÷èñåë è ò.ä.  ðàáîòå [26] èññëåäîâàíû íåêî-
òîðûå íåðàâíîâåðîÿòíûå âàðèàíòû ýòîé ñõåìû.
ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÍÎ-ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÍÛÅ ÀËÃÎÐÈÒÌÛ ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈß ÑÂÎÉÑÒÂ
(0,1)-ÏÎÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÍÎÑÒÅÉ È ÁÓËÅÂÛÕ ÔÓÍÊÖÈÉ
Èññëåäîâàíèå ñëó÷àéíûõ è ïñåâäîñëó÷àéíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. Îïðåäå-
ëåíèå ñòàòèñòè÷åñêèõ, êðèïòîãðàôè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê ñëó÷àéíûõ è ïñåâäîñëó-
÷àéíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, à òàêæå ãåíåðàòîðîâ òàêèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé —
îäíà èç âàæíåéøèõ çàäà÷ â ïîñòðîåíèè è ïðèìåíåíèè êðèïòîãðàôè÷åñêèõ ñðåäñòâ
è ìåòîäîâ çàùèòû èíôîðìàöèè.  ðàáîòå [29] ïîñòðîåíû ñòàòèñòè÷åñêèå àëãîðèò-
ìû îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ ïåðåêëþ÷åíèÿ íåêîòîðîãî àëüòåðíèðóþùåãî ñëó÷àéíîãî
ïðîöåññà. Â ðàáîòå [30] ðàññìàòðèâàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü áåðíóëëèåâñêèõ ñëó-
÷àéíûõ âåëè÷èí ut , t N� 1, , òàêèõ, ÷òî P( ) ( )ut t� � �0
1
2
1 � , | |�t � 1, t N� 1, ,
è èññëåäóåòñÿ ïîñòðîåííàÿ ñ ïîìîùüþ ut ïîñëåäîâàòåëüíîñòü áóëåâûõ ñëó÷àéíûõ âå-
ëè÷èí v u u u tt t t l t t l tmt
� � � � �� �1( ) ( ) ( )� � , t N� 1, , ãäå �( )t — íåñëó÷àéíàÿ
ôóíêöèÿ îò t ñî çíà÷åíèÿìè â { }0 1, , 1 1 2� � �l t l t( ) ( ) ... � � � �l t tmt
( ) 1.
 ðàáîòå [31] ïðåäëîæåí íîâûé ñòàòèñòè÷åñêèé êðèòåðèé ïðîâåðêè êà÷åñòâà
ñëó÷àéíûõ è ïñåâäîñëó÷àéíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. Îäíèì èç íàèáîëåå ýôôåêòèâ-
íûõ àëãîðèòìîâ ñæàòèÿ ÿâëÿåòñÿ ìåòîä êîíòåêñòíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. Ýòîò ìåòîä
ñæàòèÿ èíôîðìàöèè ìîæíî ïðèìåíèòü äëÿ ïðîâåðêè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íà ñëó-
÷àéíîñòü. Ñóòü àëãîðèòìà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî, ïðîñìàòðèâàÿ ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòü ñëåâà íàïðàâî, ìîæíî äåëàòü îïðåäåëåííûå ïðîãíîçû îòíîñèòåëüíî ñëåäóþ-
ùèõ ñèìâîëîâ. Êîëè÷åñòâîì ïðàâèëüíûõ ïðîãíîçîâ îïðåäåëÿþòñÿ âåðîÿòíîñòíûå
õàðàêòåðèñòèêè àëãîðèòìà. Òåîðåòè÷åñêèé è ýêñïåðèìåíòàëüíûé àíàëèç âàðèàíòà
òàêîãî àëãîðèòìà ïðèâåäåí â [67].
Ìíîãîìåðíûå ñòàòèñòè÷åñêèå êðèòåðèè ïðîâåðêè êà÷åñòâà ñëó÷àéíûõ è ïñåâ-
äîñëó÷àéíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, ïîñòðîåííûå íà îñíîâå ïðåäåëüíûõ òåîðåì î
ñëàáîé ñõîäèìîñòè âåêòîðíûõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ â ñõåìàõ ðàçìåùåíèÿ,
èññëåäóþòñÿ â ðàáîòå [68].
Î íåçàâèñèìîñòè ñòàòèñòè÷åñêèõ òåñòîâ.  ðàáîòå [32] ðàçðàáîòàíà àäåêâàò-
íàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü, ñôîðìóëèðîâàíî è îáîñíîâàíî îïðåäåëåíèå ïîïàðíîé
íåçàâèñèìîñòè è íåçàâèñèìîñòè â ñîâîêóïíîñòè ñòàòèñòè÷åñêèõ òåñòîâ, ïðåäíàçíà-
÷åííûõ äëÿ ïðîâåðêè êà÷åñòâà ãåíåðàòîðîâ ñëó÷àéíûõ, ïñåâäîñëó÷àéíûõ è îòäåëü-
íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, à òàêæå áëîêà ãåíåðàöèè ãàììû ïîòîêîâîãî øèôðà; ïðè-
âåäåíà ìåòîäèêà ïðîâåðêè íåçàâèñèìîñòè ñòàòèñòè÷åñêèõ òåñòîâ è ìåòîäèêà ôîð-
ìèðîâàíèÿ íàáîðà òàêèõ òåñòîâ.
 ðàáîòå [33] ðàññìàòðèâàþòñÿ âîïðîñû ãåíåðàöèè êëþ÷åâûõ ïàðàìåòðîâ ñ íå-
ðàâíîâåðîÿòíûì ðàñïðåäåëåíèåì.
Ñòàòèñòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå ñâîéñòâ áóëåâûõ ôóíêöèé.  ðàáîòå [34]
ïðåäëàãàþòñÿ ìåòîäû ñòàòèñòè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ ñïåöèàëüíûõ êðèïòîãðàôè÷åñ-
êèõ ñâîéñòâ ìíîãîìåðíûõ áóëåâûõ ôóíêöèé. Ñ ïîìîùüþ òàêèõ ôóíêöèé ìîæåò
îïèñûâàòüñÿ ôóíêöèîíèðîâàíèå óçëîâ äèñêðåòíûõ óñòðîéñòâ, êîíå÷íûõ àâòîìàòîâ,
êðèïòîãðàôè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé è ò.ä. Íàïðèìåð, áëî÷íûé øèôðàòîð â ðåæèìå
ýëåêòðîííîé êîäîâîé êíèãè ðåàëèçóåò òàêèå ìíîãîìåðíûå áóëåâû ôóíêöèè.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 59
Ïðè ïðîãðàììíîé èëè àïïàðàòíîé ðåàëèçàöèè ñëîæíûõ áóëåâûõ ôóíêöèé îò
ìíîãèõ ïåðåìåííûõ âîçíèêàåò ïðîáëåìà ïðîâåðêè ïðàâèëüíîñòè ðåàëèçàöèè, ò. å.
òîæäåñòâà áóëåâîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ íåêîòîðîé ýòàëîííîé áóëåâîé ôóíêöèè. Îñó-
ùåñòâèòü òàêóþ ïðîâåðêó ïðè áîëüøîì ÷èñëå ïåðåìåííûõ ïåðåáîðîì ïî âñåì âîç-
ìîæíûìè âõîäàì — ïðîáëåìàòè÷íî äàæå äëÿ ñîâðåìåííîé âû÷èñëèòåëüíîé òåõíè-
êè. Â [34] ïðåäëàãàþòñÿ è îáîñíîâûâàþòñÿ âåðîÿòíîñòíûå òåñòû, óñòàíàâëèâàþùèå
ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî òîæäåñòâåííîñòü èëè íåîäèíàêîâîñòü âåêòîðíîçíà÷íûõ áó-
ëåâûõ ôóíêöèé ìíîãèõ ïåðåìåííûõ ñ ïàðàìåòðàìè è çàäàííûìè äîâåðèòåëüíîé
âåðîÿòíîñòüþ è ìàêñèìàëüíûì ðèñêîì
.
ÍÎÂÛÅ ÌÅÒÎÄÛ Â ÊÐÈÏÒÎÀÍÀËÈÇÅ
Êðèïòîàíàëèç ïîòîêîâûõ øèôðàòîðîâ. Íåñêîëüêî ëåò íàçàä ïîÿâèëñÿ íîâûé
ìåòîä êðèïòîàíàëèçà, ñóòü êîòîðîãî çàêëþ÷àåòñÿ â óïðîùåíèè ñïåöèàëüíûì îá-
ðàçîì è ïîñëåäóþùåì ðåøåíèè ñèñòåìû óðàâíåíèé, êîòîðàÿ îïèñûâàåò ôóíêöè-
îíèðîâàíèå øèôðàòîðà (áèòû êëþ÷à ÿâëÿþòñÿ íåèçâåñòíûìè ïåðåìåííûìè ñèñ-
òåìû). Ýòîò ìåòîä íàçâàí àëãåáðàè÷åñêèìè àòàêàìè.
Ïåðâûå ñóùåñòâåííûå ðåçóëüòàòû â êðèïòîàíàëèçå ðåàëüíûõ øèôðàòîðîâ ñ
ïîìîùüþ àëãåáðàè÷åñêèõ àòàê áûëè äîñòèãíóòû â 2002 ãîäó. Êóðòóà Í. ïðåäëîæèë
«êîððåëÿöèîííóþ àòàêó âûñîêîãî ïîðÿäêà» íà ïîòîêîâûé øèôðàòîð «Toyocrypt»
(ïðåäëîæåííûé íà êîíêóðñ øèôðàòîðîâ «Cryptrec»). Íîâàÿ óëó÷øåííàÿ àëãåáðàè-
÷åñêàÿ àòàêà äàëà íîâóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ «Toyocrypt» ñî ñëîæíîñòüþ ðåøå-
íèÿ 249 îïåðàöèé. Ïîçäíåå ýòîò ïîäõîä áûë óñîâåðøåíñòâîâàí è «áûñòðàÿ àëãåáðà-
è÷åñêàÿ àòàêà» äàëà âîçìîæíîñòü âîññòàíàâëèâàòü êëþ÷ ýòîãî øèôðàòîðà çà 220
îïåðàöèé (ïðè íàëè÷èè îêîëî 300 Êá íåïðåðûâíîé ãàììû è ýòàïå ïðåäâàðèòåëüíî-
ãî ïîäñ÷åòà ñ 223 îïåðàöÿìè). Âïîñëåäñòâèè áûëà èññëåäîâàíà ðåçóëüòàòèâíàÿ àë-
ãåáðàè÷åñêàÿ àòàêà íà áëî÷íûå øèôðàòîðû.
 ðàáîòàõ [35, 36] ïðåäëîæåíî îïèñàíèå àëãåáðàè÷åñêîé àòàêè íà ïîòîêîâûå
øèôðàòîðû ñ ïîìîùüþ óñëîâíîé êîððåëÿöèè. Ýòî ïîçâîëèëî îáîáùèòü ïîíÿòèå íåëè-
íåéíîñòè k-ãî ïîðÿäêà áóëåâîé ôóíêöèè, êîòîðîå èñïîëüçóåòñÿ, â ÷àñòíîñòè, â êîððå-
ëÿöèîííûõ àòàêàõ âûñîêîãî ïîðÿäêà. Ïðèâåäåí ïðèìåð ôèëüòðóþùåé ôóíêöèè, êîòî-
ðàÿ ñèëüíî óÿçâèìà ê êîððåëÿöèîííîé àòàêå âûñîêîãî ïîðÿäêà ñ èñïîëüçîâàíèåì ââå-
äåííîé «÷àñòè÷íîé íåëèíåéíîñòè», íî ñëàáî óÿçâèìà ê àòàêå òàêîãî æå òèïà ñ
èñïîëüçîâàíèåì îáû÷íîé íåëèíåéíîñòè k-ãî ïîðÿäêà. Òàêæå ðàçðàáîòàí ýôôåêòèâíûé
àëãîðèòì (è íàïèñàíà ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïðîãðàììà) ïðîâåðêè áóëåâîé ôóíêöèè f x( )
íà íàëè÷èå àïïðîêñèìàöèé k-é ñòåïåíè, êîòîðûå ñèëüíî êîððåëèðóþò ñ f â òåðìèíàõ
óñëîâíîé êîððåëÿöèè.  ñëó÷àå ñóùåñòâîâàíèÿ õîðîøèõ àïïðîêñèìàöèé àëãîðèòì íà-
õîäèò ëó÷øóþ èç íèõ. Äëÿ êðèïòîàíàëèçà ïðèìåíÿëèñü òàêæå ìåòîäû ðåøåíèÿ ñèñòåì
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ èñêàæåííûìè ïðàâûìè ÷àñòÿìè íàä êîíå÷íûìè ïîëÿìè.
 ðàáîòå [36] èññëåäîâàëèñü àëãåáðàè÷åñêèå àòàêè íà ïîòîêîâûå øèôðàòîðû.
Áûëè ââåäåíû ïîíÿòèÿ óñëîâíîé êîððåëÿöèè è ÷àñòè÷íîé íåëèíåéíîñòè áóëåâûõ
ôóíêöèé, à òàêæå ðàñøèðåíû ïîíÿòèÿ àëãåáðàè÷åñêîãî èììóíèòåòà. Ýòî ïîçâîëèëî
óíèôèöèðîâàòü îïèñàíèå äåòåðìèíèðîâàííûõ è âåðîÿòíîñòíûõ ñöåíàðèåâ àëãåáðàè-
÷åñêèõ àòàê (îòìåòèì, ÷òî âåðîÿòíîñòíûå ñöåíàðèè èññëåäîâàëèñü âïåðâûå). Äàí ïðî-
ñòîé êðèòåðèé óÿçâèìîñòè ôóíêöèè ê âåðîÿòíîñòíîìó ñöåíàðèþ àòàêè â òåðìèíàõ
óñëîâíîé êîððåëÿöèè. Êîíñòðóêòèâíî ïîñòðîåíî îïðåäåëåííîå ìíîæåñòâî ôóíêöèé,
óÿçâèìûõ ê âåðîÿòíîñòíîìó ñöåíàðèþ àòàêè, è íà èõ ïðèìåðå ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ íåêî-
òîðûõ ôóíêöèé îñëîæíåíèÿ òàêîé ñöåíàðèé àòàêè ÿâëÿåòñÿ íàèáîëåå ýôôåêòèâíûì.
 ðàáîòå [37] ýêñïåðèìåíòàëüíî íàéäåí êëþ÷ ïîòîêîâîãî øèôðàòîðà
«SFINKS» ñ îñëàáëåííîé ôèëüòðóþùåé ôóíêöèåé ñ ïîìîùüþ âåðîÿòíîñòíîé àë-
ãåáðàè÷åñêîé àòàêè. Êëàññ òàêèõ óÿçâèìûõ ôóíêöèé äîñòàòî÷íî øèðîêèé è ñîäåð-
æèò ìíîãî ôóíêöèé, ñòîéêèõ îòíîñèòåëüíî èçâåñòíûõ íåàëãåáðàè÷åñêèõ ìåòîäîâ
êðèïòîàíàëèçà.  ðàáîòå [38] ââîäÿòñÿ íîâûå òåîðåòè÷åñêèå ïîíÿòèÿ äëÿ áóëåâûõ
ôóíêöèé: êîððåëÿöèÿ ïðè èçâåñòíîì çíà÷åíèè ôóíêöèè è ðàñøèðåíèå áóëåâîé
ôóíêöèè. Äîêàçàíî, ÷òî àëãåáðàè÷åñêàÿ àòàêà íà ïîòîêîâûå øèôðàòîðû áåç ïàìÿ-
òè ñâîäèòñÿ ê àïïðîêñèìàöèè óñëîæíÿþùèõ ôóíêöèé øèôðàòîðà íèçêîñòåïåííû-
ìè ïîëèíîìàìè â òåðìèíàõ ââåäåííîé êîððåëÿöèè. Ýòà êîððåëÿöèÿ ìîæåò áûòü
èñïîëüçîâàíà è äëÿ îïèñàíèÿ àëãåáðàè÷åñêèõ àòàê íà äðóãèå òèïû øèôðàòîðîâ.
60 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3
 [39] ïîëó÷åíû îöåíêè ìîùíîñòè êëàññîâ áóëåâûõ ôóíêöèé îò n ïåðåìåííûõ ñ àë-
ãåáðàè÷åñêèì èììóíèòåòîì íå âûøå k. Ðåçóëüòàòû ÿâëÿþòñÿ ïîëåçíûìè ïðè èññëå-
äîâàíèè àëãåáðàè÷åñêèõ àòàê íà ïîòîêîâûå øèôðàòîðû. Ñóòü àëãåáðàè÷åñêèõ àòàê
íà ïîòîêîâûå øèôðû ñîñòîèò â ïîíèæåíèè îïðåäåëåííûì ìåòîäîì ñòåïåíè ñèñòå-
ìû óðàâíåíèé, ñâÿçûâàþùèõ áèòû íåèçâåñòíîãî êëþ÷à ñ èçâåñòíûìè âûõîäíûìè
áèòàìè øèôðà. Âåðîÿòíîñòíûå ñöåíàðèè àòàêè ïðåäïîëàãàþò åùå áîëüøåå ïîíèæå-
íèå ñòåïåíè, íî ïðè ýòîì ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ èñòèííû óæå íå íà âñåõ àðãóìåí-
òàõ. Â ðàáîòå [40] èññëåäîâàíû òàêèå ñöåíàðèè è ââåäåíû ñîîòâåòñòâóþùèå ïîíÿ-
òèÿ, â òåðìèíàõ êîòîðûõ ëåãêî îïèñûâàåòñÿ ñòîéêîñòü óñëîæíÿþùåé áóëåâîé
ôóíêöèè ïîòîêîâîãî øèôðà ïðîòèâ òàêîãî âèäà àòàê.
Ðàçâèòèþ òåîðèè ñòàòèñòè÷åñêèõ ìåòîäîâ êðèïòîàíàëèçà ïîòî÷íûõ øèôðîâ
ïîñâÿùåíû ðàáîòû [41–44], â êîòîðûõ ïðåäëîæåíà è ïîäðîáíî èññëåäîâàíà âåðîÿò-
íîñòíàÿ ìîäåëü ôóíêöèîíèðîâàíèÿ â ðåæèìå ðåèíèöèàëèçàöèè íà÷àëüíîãî ñîñòîÿ-
íèÿ êîìáèíèðóþùèõ ãåíåðàòîðîâ ãàììû ñ íåðàâíîìåðíûì äâèæåíèåì ðåãèñòðîâ
ñäâèãà. Ïîêàçàíî, ÷òî ñòîéêîñòü òàêèõ ãåíåðàòîðîâ îòíîñèòåëüíî ðÿäà ñòàòèñòè÷åñ-
êèõ àòàê îïðåäåëÿåòñÿ íàáîðîì óñëîâíûõ âåðîÿòíîñòåé, äëÿ êîòîðûõ ïîëó÷åíû ÿâ-
íûå àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ [42, 44]. Ýòè âûðàæåíèÿ ïîçâîëÿþò óñòàíîâèòü òåñ-
íóþ ñâÿçü ìåæäó äâóìÿ, íà ïåðâûé âçãëÿä, ðàçëè÷íûìè êðèïòîàíàëèòè÷åñêèìè çà-
äà÷àìè: âîññòàíîâëåíèåì çíà÷åíèé êîìáèíèðóþùåé ôóíêöèè ãåíåðàòîðà ãàììû
ñ íåðàâíîìåðíûì äâèæåíèåì è âîññòàíîâëåíèåì ñîîáùåíèé, èñêàæåííûõ ïðè ïå-
ðåäà÷å ïî äèñêðåòíîìó êàíàëó ñâÿçè ñ îòâîäîì [45–47]. Íàëè÷èå òàêîé ñâÿçè äàåò
âîçìîæíîñòü ðàñïðîñòðàíèòü íà ðàññìàòðèâàåìûé êëàññ ãåíåðàòîðîâ ãàììû èçâåñò-
íûå ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå ðàíåå äëÿ ñèñòåì ñî ñëó÷àéíûì êîäèðîâàíèåì, â ÷àñò-
íîñòè ïîëó÷èòü îáùåå äîñòàòî÷íîå óñëîâèå îïòèìàëüíîñòè (ïî êðèòåðèþ ìèíèìó-
ìà íàäåæíîñòè âîññòàíîâëåíèÿ çíà÷åíèé) êîìáèíèðóþùåé ôóíêöèè ãåíåðàòîðà
ãàììû ñ íåðàâíîìåðíûì äâèæåíèåì ðåãèñòðîâ ñäâèãà [41, 44].
Íåêîòîðûå ñîâðåìåííûå ìåòîäû êðèïòîàíàëèçà ïîòî÷íûõ øèôðîâ èçó÷àëèñü
òàêæå â ðàáîòå [48].
Èññëåäîâàíèÿ áëî÷íûõ øèôðàòîðîâ. Íîâûå ïîäõîäû ê êðèïòîàíàëèçó áëî÷-
íûõ øèôðîâ è èõ óñòîé÷èâîñòè îòíîñèòåëüíî ëèíåéíîãî è äèôôåðåíöèàëüíîãî àíà-
ëèçà èññëåäóþòñÿ â ðàáîòàõ À.Í. Àëåêñåé÷óêà, Ë.Â. Êîâàëü÷óê.  ÷àñòíîñòè, ïðåäëî-
æåíî ïîíÿòèå «íåìàðêîâñêîãî» øèôðà, ïðè èñïîëüçîâàíèè êîòîðîãî áîëåå àäåêâàòíî
îïèñûâàþòñÿ íåêîòîðûå òèïû øèôðîâ. Ðàçðàáîòêå ìåòîäîâ îáîñíîâàíèÿ ïðàêòè÷åñ-
êîé ñòîéêîñòè íåìàðêîâñêèõ áëî÷íûõ øèôðîâ îòíîñèòåëüíî ðàçíîñòíîãî (äèôôåðåí-
öèàëüíîãî) è ëèíåéíîãî êðèïòîàíàëèçà ïîñâÿùåíû ïóáëèêàöèè [49–54]. Â ñòàòüå [49]
ïîëó÷åíû àíàëèòè÷åñêèå âåðõíèå ãðàíèöû ìàêñèìóìîâ âåðîÿòíîñòåé äèôôåðåíöè-
àëüíûõ è ëèíåéíûõ õàðàêòåðèñòèê øèôðà Ôåéñòåëÿ, ñîäåðæàùåãî êëþ÷åâîé ñóììà-
òîð ïî ìîäóëþ 2m (ïðèìåðîì òàêîãî øèôðà ÿâëÿåòñÿ ñòàíäàðò ÃÎÑÒ 28147–89).
Âûðàæåíèÿ äëÿ âåðõíèõ ãðàíèö ñîäåðæàò íîâûå ÷èñëîâûå ïàðàìåòðû óçëîâ çàìå-
íû äàííîãî øèôðà, êîòîðûå îòëè÷àþòñÿ îò êëàññè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ, òðàäèöèîí-
íî èñïîëüçóåìûõ äëÿ îöåíêè ïðàêòè÷åñêîé ñòîéêîñòè ìàðêîâñêèõ áëî÷íûõ øèô-
ðîâ îòíîñèòåëüíî ìåòîäîâ ðàçíîñòíîãî è ëèíåéíîãî êðèïòîàíàëèçà. Â [50, 51] ïî-
ëó÷åíû àíàëèòè÷åñêèå âåðõíèå îöåíêè âåðîÿòíîñòåé äèôôåðåíöèàëüíûõ
àïïðîêñèìàöèé ïðåîáðàçîâàíèé âèäà ( , ) ( )x k x k� � � , x, k m
�{ }0 1, , ãäå � — ïîä-
ñòàíîâêà íà ìíîæåñòâå {0, 1} m , à çíàê + îçíà÷àåò îïåðàöèþ ñëîæåíèÿ öåëûõ ÷èñåë,
ñîîòâåòñòâóþùèõ äâîè÷íûì âåêòîðàì, ïî ìîäóëþ 2m . Óêàçàííûå îöåíêè ïîñòðîå-
íû ïðè ðàçëè÷íûõ âàðèàíòàõ çàäàíèÿ ãðóïïîâûõ îïåðàöèé íà îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ
è îáëàñòè çíà÷åíèé èçó÷àåìûõ ïðåîáðàçîâàíèé. Äàëüíåéøèå óòî÷íåíèÿ ýòèõ îöå-
íîê äëÿ øèðîêîãî êëàññà òàê íàçûâàåìûõ îáîáùåííûõ ìàðêîâñêèõ øèôðîâ ïîëó-
÷åíû Ë.Â. Êîâàëü÷óê [53]. Íàèáîëåå òî÷íûå íà äàííûé ìîìåíò âåðõíèå ãðàíèöû
ïàðàìåòðîâ, õàðàêòåðèçóþùèõ ïðàêòè÷åñêóþ óñòîé÷èâîñòü ÃÎÑÒ-ïîäîáíûõ áëî÷-
íûõ øèôðîâ îòíîñèòåëüíî ìåòîäîâ ðàçíîñòíîãî è ëèíåéíîãî êðèïòîàíàëèçà, îïóá-
ëèêîâàíû â ñòàòüå [54]. Ýòè ãðàíèöû äàþò âîçìîæíîñòü îöåíèòü ñâåðõó ìàêñèìàëü-
íûå çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòåé äèôôåðåíöèàëüíûõ è ëèíåéíûõ õàðàêòåðèñòèê øèôðà
ÃÎÑÒ 28147–89 (ïðè îïðåäåëåííûõ, íå ñëèøêîì æåñòêèõ îãðàíè÷åíèÿõ íà âûáîð
åãî óçëîâ çàìåíû) ÷èñëàìè 2 56� è 2 42� ñîîòâåòñòâåííî.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 61
Ìåòîäû, ðàçâèòûå â [49–54], óñïåøíî ïðèìåíåíû â ðàáîòå [55] ê èññëåäîâà-
íèþ ñòîéêîñòè åùå îäíîãî âàæíîãî êëàññà áëî÷íûõ øèôðîâ, ïîñòðîåííûõ ñ èñ-
ïîëüçîâàíèåì êëþ÷åâîãî ñóììàòîðà ïî ìîäóëþ 2m , — øèôðó «Êàëèíà», êîòîðûé
ÿâëÿåòñÿ êàíäèäàòîì íà Íàöèîíàëüíûé ñòàíäàðò øèôðîâàíèÿ Óêðàèíû, è åãî àíà-
ëîãàì.  ÷àñòíîñòè, ïîëó÷åííûå â [55] îöåíêè âåðîÿòíîñòåé äèôôåðåíöèàëüíûõ è
ëèíåéíûõ õàðàêòåðèñòèê øèôðà «Êàëèíà» ïîçâîëÿþò áåç êàêèõ-ëèáî óïðîùàþùèõ
ïðåäïîëîæåíèé îáîñíîâàòü åãî ïðàêòè÷åñêóþ ñòîéêîñòü îòíîñèòåëüíî ìåòîäîâ
ðàçíîñòíîãî è ëèíåéíîãî êðèïòîàíàëèçà.
 ñòàòüå À.Í. Àëåêñåé÷óêà è À.Ñ. Øåâöîâà [56] ïîëó÷åíû íîâûå âåðõíèå ãðà-
íèöû íàäåæíîñòè ñòàòèñòè÷åñêèõ àòàê ïåðâîãî ïîðÿäêà íà ïðîèçâîëüíûå áëî÷íûå
øèôðû. Ýòè ãðàíèöû ïîçâîëÿþò ââåñòè îáîñíîâàííûå ïîêàçàòåëè ñòîéêîñòè áëî÷-
íûõ øèôðîâ îòíîñèòåëüíî øèðîêîãî êëàññà àòàê (ëèíåéíûõ, îáîáùåííûõ ëèíåé-
íûõ, áèëèíåéíûõ è äð.), íå ïðèáåãàÿ ê òðàäèöèîííûì ýâðèñòè÷åñêèì ïðåäïîëîæå-
íèÿì. Ïðè ýòîì â ñëó÷àå ëèíåéíîé ðàçëè÷àþùåé àòàêè íîâàÿ îöåíêà ñòîéêîñòè [56]
ÿâëÿåòñÿ íà îäèí-äâà ïîðÿäêà òî÷íåå ðàíåå èçâåñòíîé îöåíêè [57].
Äèôôåðåíöèàëüíûé àíàëèç ñòàíäàðòà ÃÎÑÒ 28147-89 ïðîâîäèëñÿ òàêæå â ðàáîòå [58].
 ðàáîòàõ Ñ.Â. ßêîâëåâà [59, 60] ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèÿ âàæíîé
÷àñòè ñòàíäàðòà ÃÎÑÒ 28147–89 — òàê íàçûâàåìûõ S -áëîêîâ, êîòîðûå ïðåäñòàâëÿ-
þò ñîáîé äîëãîñðî÷íûé ñåêðåòíûé êëþ÷. Áûëè ñôîðìóëèðîâàíû êðèòåðèè îòáîðà
ïîäñòàíîâîê â S-áëîêàõ, êîòîðûå ãàðàíòèðóþò, ñ îäíîé ñòîðîíû, âûñîêóþ íàäåæ-
íîñòü, à ñ äðóãîé — áîëüøóþ ìîùíîñòü êëþ÷åâîãî ïðîñòðàíñòâà, ïîñòðîåíû àë-
ãîðèòìû ãåíåðàöèè äîëãîñðî÷íûõ êëþ÷åé, èññëåäîâàíû S -áëîêè íà óñòîé÷èâîñòü
ê àòàêàì ëèíåàðèçàöèè, êîððåëÿöèîííîãî, ëèíåéíîãî, äèôôåðåíöèàëüíîãî àíàëè-
çà, à òàêæå ê äèôôåðåíöèàëüíûì àòàêàì ïî ïèòàíèþ è ïî âðåìåíè. Çàìåòèì, ÷òî
óòâåðæäåííûå àëãîðèòìû ãåíåðàöèè äîëãîñðî÷íûõ êëþ÷åé ñòàíäàðòà ÃÎÑÒ
28147–89 íè â Ðîññèè, íè â Óêðàèíå íå áûëè îïóáëèêîâàíû.
 ñòàòüå [61] ïðåäëîæåíà è ïðîàíàëèçèðîâàíà íîâàÿ êîíñòðóêöèÿ áëî÷íûõ øèô-
ðîâ — êàñêàäíàÿ ñõåìà Ôåéñòåëÿ, ïîëó÷åíû îöåíêè äèôôåðåíöèàëüíûõ è ëèíåéíûõ
õàðàêòåðèñòèê òàêîé ñõåìû. ßêîâëåâûì Ñ.Â. ïðîâåäåí ñðàâíèòåëüíûé àíàëèç äèçàéíà
øèôðà «Êàëèíà» è øèôðîâ AES è W. Èññëåäîâàíî ñîîòâåòñòâèå øèôðà «Êàëèíà» òðå-
áîâàíèÿì ê êàíäèäàòàì íà çàìåíó íàöèîíàëüíîãî ñòàíäàðòà øèôðîâàíèÿ.
Êðèïòîàíàëèç àëãîðèòìîâ øèôðîâàíèÿ, îñíîâàííûõ íà äåòåðìèíèðîâàí-
íîì õàîñå. Â ïîñëåäíåå âðåìÿ äåëàþòñÿ ïîïûòêè âîçìîæíîãî èñïîëüçîâàíèÿ â
êðèïòîãðàôèè íîâûõ ðåçóëüòàòîâ èç ðàçëè÷íûõ íàó÷íûõ íàïðàâëåíèé. Îäíèì èç
òàêèõ íàïðàâëåíèé ÿâëÿåòñÿ òåîðèÿ äåòåðìèíèðîâàííîãî õàîñà.
 ðàáîòàõ [62–64] ïðîàíàëèçèðîâàíû êðèïòîñèñòåìà ñ îòêðûòûì êëþ÷îì íà
îñíîâå êóñî÷íî-ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ, ïðèìåíÿåìîãî â õàîòè÷åñêîé äèíàìèêå, à
òàêæå ìîäèôèêàöèÿ êðèïòîñèñòåìû, â êîòîðîé èñïîëüçóåòñÿ óäàëåíèå ìëàäøèõ
ðàçðÿäîâ èçîáðàæåíèÿ ÷èñëà ñ ïëàâàþùåé çàïÿòîé â äâîè÷íîé ôîðìå (ñòàíäàðò
IEEE 754). Íà îñíîâàíèè ðåçóëüòàòîâ èññëåäîâàíèÿ ôóíêöèîíàëüíîñòè ñèñòåìû è
ñâîéñòâ èñïîëüçîâàííîãî îòîáðàæåíèÿ T x k xk ( ) (cos( ))�
1
�
�arccos ïîêàçàíà âîçìîæ-
íîñòü ïðîâåäåíèÿ óñïåøíîé è ýôôåêòèâíîé áåñêëþ÷åâîé àòàêè. Ïðåäñòàâëåí àëãî-
ðèòì âîññòàíîâëåíèÿ ñîîáùåíèÿ áåç çíàíèÿ ñåêðåòíûõ êëþ÷åé, à òàêæå óêàçàíû
îñíîâíûå íåäîñòàòêè, êîòîðûå ïðèâîäÿò ê âçëîìó ñèñòåìû.
Ëîêàëüíî-êîììóòàòèâíûå ñèììåòðè÷íûå øèôðû â àñèììåòðè÷íîé êðèï-
òîãðàôèè è èõ ñòîéêîñòü â ïîñòêâàíòîâîé ìîäåëè âû÷èñëåíèé.  ðàáîòàõ [65, 66]
ïðåäëîæåíî èñïîëüçîâàòü êîììóòàòèâíûå è ëîêàëüíî-êîììóòàòèâíûå ñèììåòðè÷íûå
øèôðû, ñòîéêèå ê àòàêàì íà îñíîâå îòêðûòîãî òåêñòà, äëÿ ïîñòðîåíèÿ îäíîñòîðîííèõ
ôóíêöèé è àñèììåòðè÷íûõ êðèïòîñõåì. Ñ ó÷åòîì ñâîéñòâ òàêèõ øèôðîâ áûëè ïîñòðî-
åíû àíàëîãè áîëüøèíñòâà èçâåñòíûõ àñèììåòðè÷íûõ ïðîòîêîëîâ (Äèôôè–Õåëëìàíà,
Ýëü–Ãàìàëÿ, Øíîðà è äð.). Ïðîàíàëèçèðîâàíà ñòîéêîñòü òàêèõ ôóíêöèé â êëàññè÷åñ-
êîé ìîäåëè âû÷èñëåíèé è äîêàçàíà èõ ïîñòêâàíòîâàÿ óÿçâèìîñòü ñâåäåíèåì çàäà÷è
îáðàùåíèÿ òàêîé ôóíêöèè ê ÷àñòíîìó ñëó÷àþ çàäà÷è î ñêðûòîé ïîäãðóïïå, êîãäà ñó-
ùåñòâóåò ðåøåíèå â ðàìêàõ êâàíòîâîé ìîäåëè âû÷èñëåíèé.
Èññëåäîâàíèå è ðàçðàáîòêà êðèïòîãðàôè÷åñêèõ ñòàíäàðòîâ.  Èíñòèòóòå
êèáåðíåòèêè ÍÀÍÓ â òå÷åíèå ðÿäà ëåò ïðîâîäèëèñü èññëåäîâàíèÿ ïî ãàðìîíèçàöèè
62 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3
åâðîïåéñêèõ êðèïòîãðàôè÷åñêèõ ñòàíäàðòîâ ñ öåëüþ èñïîëüçîâàíèÿ èõ â Óêðàèíå â óñëî-
âèÿõ óêðàèíñêîé íîðìàòèâíîé áàçû, òåõíè÷åñêèõ è îðãàíèçàöèîííûõ âîçìîæíîñòåé.  ñî-
îòâåòñòâèè ñ ïëàíàìè ãîñóäàðñòâåííîé ñòàíäàðòèçàöèè Óêðàèíû â 2004-2009 ãã. ïî
äîãîâîðàì ìåæäó Óêðàèíñêèì íàó÷íî-èññëåäîâàòåëüñêèì èíñòèòóòîì ñòàíäàðòèçàöèè,
ñåðòèôèêàöèè è èíôîðìàòèêè, Ãîñóäàðñòâåííûì êîìèòåòîì ïî âîïðîñàì òåõíè÷åñêîãî
ðåãóëèðîâàíèÿ è ïîòðåáèòåëüñêîé ïîëèòèêè Óêðàèíû è Òåõíè÷åñêèì êîìèòåòîì ïî ñòàí-
äàðòèçàöèè «Èíôîðìàöèîííûå òåõíîëîãèè» (ÒÊ-20) ñ ó÷àñòèåì ñïåöèàëèñòîâ Àíèñèìî-
âà À.Â., Ôàëÿ À.Ì, Òêà÷åíêî Â.Â. è äðóãèõ áûëè ðàçðàáîòàíû è ãàðìîíèçèðîâàíû âîñåìü
ñòàíäàðòîâ ISO/IEC ñ öåëüþ èõ ïðèíÿòèÿ â Óêðàèíå [69–71]. Â Èíñòèòóòå êèáåðíåòèêè
ÍÀÍÓ ïðîäîëæàþòñÿ ðàáîòû ïî èññëåäîâàíèþ è ãàðìîíèçàöèè äðóãèõ ñòàíäàðòîâ
ISO/IEC, èññëåäîâàëèñü è ðàçðàáàòûâàëèñü àëãîðèòìû öèôðîâîé ïîäïèñè [72]. À.È. Êî-
÷óáèíñêèì è À.Ñ. Øàòàëîâûì ðàçðàáîòàí íàöèîíàëüíûé ñòàíäàðò öèôðîâîé ïîäïèñè íà
ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ [73].
Íàó÷íûé ñåìèíàð «Ïðîáëåìû ñîâðåìåííîé êðèïòîëîãèè». Îáúåì íàñòîÿùåé
ñòàòüè íå ïîçâîëÿåò ïåðå÷èñëèòü âñå ðàáîòû ïî òåîðåòè÷åñêîé êðèïòîãðàôèè, êîòîðûå
çà ïîñëåäíèå äâàäöàòü ëåò âûïîëíÿëèñü äàæå òîëüêî ñïåöèàëèñòàìè êèåâñêîé êðèïòî-
ãðàôè÷åñêîé øêîëû. Õîòåëîñü îòìåòèòü ðàáîòû Àíèñèìîâà À.Â., Çàäèðàêè Â.Ê., Ìó-
õà÷åâà Â.À., Êî÷óáèíñêîãî À.È., Êóäèíà À.Ì. è ìíîãèõ äðóãèõ.  ýòîì íîìåðå æóðíàëà
îïóáëèêîâàíû ïîñëåäíèå ñòàòüè Àëåêñåé÷óêà À.Í., Åíäîâèöêîãî Ï.À., Ëåâèòñêîé À.À.
ïî òåîðåòè÷åñêîé êðèïòîãðàôèè [75–77]. Îïðåäåëåííîå ïðåäñòàâëåíèå î ðàçíîîáðàçèè
íàïðàâëåíèé èññëåäîâàíèé ìîãóò äàòü íàçâàíèÿ ïðèâåäåííûõ íèæå äîêëàäîâ íà êèåâ-
ñêîì íàó÷íîì ñåìèíàðå «Ïðîáëåìû ñîâðåìåííîé êðèïòîëîãèè» çà ïîñëåäíèå äåâÿòü
ëåò (ê ñîæàëåíèþ, íàçâàíèÿ íåêîòîðûõ äîêëàäîâ íå óäàëîñü âîññòàíîâèòü).
30.11.2001. Àëåêñåé÷óê À.Í., Ðîìàíîâ Î.È. (Êèåâ) «Ðåãóëÿðíûå êîíãðóåíöèè è ñòðîåíèå àëãåáðà-
è÷åñêèõ ìîäåëåé ñèììåòðè÷íûõ êðèïòîñèñòåì».
13.12.2001. Îëåéíèêîâ Ð.Â. (Õàðüêîâ) «Àíàëèç óñòîé÷èâîñòè è óñëîâèé ïðèìåíåíèÿ
ÃÎÑÒ-28147-89»; Ãîëîâàøè÷ Ñ.À. (Õàðüêîâ) «Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ âûñîêîñòîéêèõ ñèììåòðè÷íûõ øèô-
ðîâ è ñõåì èõ ïðèìåíåíèÿ».
27.12.2001. Àëåêñåé÷óê À.Í. (Êèåâ) «Ðåøåòî÷íûå» ìîìåíòû öåëî÷èñëåííûõ íåîòðèöàòåëüíûõ
ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è èõ ïðèìåíåíèå ïðè ðåøåíèè çàäà÷ âåðîÿòíîñòíîé êîìáèíàòîðèêè».
17.01.2002. Òåëèæåíêî À.Á. (Êèåâ) «Àëãîðèòìû ñëó÷àéíîãî ïîèñêà è èõ ïðèìåíåíèå â êðèïòîãðàôèè».
31.01.2002. Ñàâ÷óê Ì.Í. (Êèåâ) «Îá àëãîðèòìàõ ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ èñêàæåíèÿìè».
14.02.2002. Ðîìàíîâè÷ Ê.À. (Êèåâ) «Ìåòîäû ðåøåíèÿ ñëó÷àéíûõ ñèñòåì ïñåâäîáóëåâûõ óðàâíåíèé».
28.02.2002. Ôàëü À.Ì. (Êèåâ) «Ñðàâíèòåëüíûé îáçîð ìåæäóíàðîäíûõ ñòàíäàðòîâ êðèïòîãðàôèè».
14.03.2002. Êî÷óáèíñêèé À.È. (Êèåâ) «Ñðàâíåíèå ñòàíäàðòîâ Óêðàèíû è Ðîññèè íà ýëëèïòè÷åñêèõ
êðèâûõ».
28.03.2002. Îëåéíèêîâ Ð.Â. (Õàðüêîâ) «Äèôôåðåíöèàëüíûé êðèïòîàíàëèç ñòàíäàðòà øèôðîâàíèÿ
ÃÎÑÒ-28147-89».
11.04.2002. Ëåâèòñêàÿ À.À. (Êèåâ) «Òåîðåìû èíâàðèàíòíîñòè äëÿ ñëó÷àéíûõ íåëèíåéíûõ ñèñòåì
áóëåâûõ óðàâíåíèé».
25.04.2002. Áóäüêî Í.Í., Âàñèëåíêî Â.Ñ., Êîðîëåíêî Ì.Ï. (Êèåâ) «Êîíòðîëü è âîññòàíîâëåíèå öå-
ëîñòíîñòè èíôîðìàöèè â àâòîìàòèçèðîâàííûõ ñèñòåìàõ».
26.09.2002. Êîâàëåíêî È.Í. (Êèåâ) «Âîñïîìèíàíèÿ î êèåâñêîé è ìîñêîâñêîé ìàòåìàòè÷åñêîé è êè-
áåðíåòè÷åñêîé øêîëàõ. Âçãëÿä íà ñîâðåìåííîå ñîñòîÿíèå è ïåðñïåêòèâû â íåêîòîðûõ íàïðàâëåíèÿõ».
10.10.2002. Êîâàëü÷óê Ë.Â. (Êèåâ) «Ïñåâäîíåñâîäèìûå ïîëèíîìû. Âåðîÿòíîñòíîå òåñòèðîâàíèå
íåïðèâîäèìîñòè ïîëèíîìîâ» ×. ².
24.10.2002. Êîâàëåíêî È.Í. (Êèåâ) «Íåêîòîðûå çàäà÷è âåðîÿòíîñòíîé êîìáèíàòîðèêè».
07.11.2002. Êóäèí À.Ì. (Êèåâ) «Îöåíêà ñòîéêîñòè êðèïòîñèñòåì ñ èñïîëüçîâàíèåì ÷åáûøåâñêîãî
ðàäèóñà èíôîðìàöèè».
21.11.2002. Áóëûãèí Ñ.Â. (Êèåâ) «Îá îöåíêå îäíîé êðèïòîãðàôè÷åñêîé ôóíêöèè ñ èñïîëüçîâàíèåì
òåõíèêè àëãåáðî-ãåîìåòðè÷åñêèõ êîäîâ».
05.12.2002. Óôèìöåâà Â.Á. (Õàðüêîâ) «Ïðèìåíåíèå Q-ìàòðèö Ôèáîíà÷÷è â ñõåìàõ îáìåíà ñåòè
Ôåéñòåëÿ».
19.12.2002. Çàäèðàêà Â.Ê. (Êèåâ) «Ñïåêòðàëüíûå ìåòîäû â ñòåãàíîãðàôèè».
16.01.2003. Çàäèðàêà Â.Ê., Áîðîäàâêà Í.Â. (Êèåâ) «Î ïðîãðàììíîé ðåàëèçàöèè ñïåêòðàëüíîãî àë-
ãîðèòìà ïîñòðîåíèÿ öèôðîâîãî êîíòåéíåðà».
30.01.2003. Ëåáåäåâ Å.À. (Êèåâ) «Àëãîðèòìû ðàñ÷åòà îñíîâíûõ ðàñïðåäåëåíèé ïðèêëàäíîé ñòàòèñòèêè».
13.02.2003. Áåññàëîâ À.Â. (Êèåâ) «Ïðèìåíåíèå ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ â êðèïòîãðàôèè. Ñòàíäàðòû
öèôðîâîé ïîäïèñè íà ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ».
13.03.2003. Çàâàäñêàÿ Ë.À., Ìåëëèò À.Ñ. (Êèåâ) «Î êðèïòîàíàëèçå ïîòîêîâûõ ñõåì øèôðîâàíèÿ».
27.03.2003. Òóðáèí À.Ô., Âåëèêèé À.Ï. (Êèåâ) «Î ïðåîáðàçîâàíèè Ëîáàíîâà».
10.04.2003. Ãëàçóíîâ Í.Ì. (Êèåâ) «Àëãåáðàè÷åñêèå êðèâûå è êðèïòîãðàôèÿ».
24.04.2003. Ìåëëèò À. Ñ. (Êèåâ) «Î ðåàëèçàöèè àëãîðèòìà Ñàòà äëÿ ðàñ÷åòà ïîðÿäêà òî÷åê ýëëèï-
òè÷åñêîé êðèâîé»; Òîðáà Ñ.Í. (Êèåâ) «Ýôôåêòèâíîå ýêñïîíåíöèðîâàíèå òî÷åê ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé ñ
îïåðàöèåé äåëåíèÿ òî÷êè íà äâà».
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 63
19.10.2003. Àëåêñåé÷óê À.Í. (Êèåâ) «Àíàëèç óñòîé÷èâîñòè ðàíäîìèçèðîâàííûõ áëî÷íûõ øèôðà-
òîðîâ ê ìåòîäó ðàçíîñòíîãî êðèïòîàíàëèçà».
23.10.2003. Êîâàëü÷óê Ë.Â. (Êèåâ) «Âåðîÿòíîñòíîå òåñòèðîâàíèå íåïðèâîäèìîñòè ïîëèíîìîâ» ×. ²².
06.11.2003. Ìàñîë Â.È. (Êèåâ) «Àñèìïòîòèêà ðàñïðåäåëåíèé íåêîòîðûõ õàðàêòåðèñòèê ñëó÷àéíûõ
ìàòðèö íàä êîíå÷íûì ïîëåì».
20.11.2003. Àëåêñåé÷óê À.Í. (Êèåâ) «Ñëó÷àéíûå ïîêðûòèÿ îäíîðîäíîé êîíå÷íîé ðåøåòêè».
04.12.2003. Êîõàíîâñêèé À.È. (Êèåâ) «Ïðîáëåìíûå âîïðîñû çàùèòû èíôîðìàöèè â ñèñòåìàõ ýëåê-
òðîííîãî äîêóìåíòîîáîðîòà».
15.01.2004. Áîðîäàâêà Í.Â. (Êèåâ) «Ñòåãàíîãðàììû íà áàçå òåîðåìû î ñâåðòêå».
29.01.2004. Áðåäåëåâ Á. À. (Êèåâ) «Ñòåãàíîãðàôè÷åñêèå ñèñòåìû â ðàìêàõ ìîäåëåé ïàññèâíîãî è
àêòèâíîãî ïðîòèâíèêà».
12.02.2004. Çóáåíêî À. (Êèåâ) «Ñõåìû çàùèòû èíôîðìàöèè â äèíàìè÷åñêèõ ñðåäàõ».
26.02.2004. Êîíþøîê Ñ.Í. (Êèåâ) «Ïîñòðîåíèå ñõåì ðàñïðåäåëåíèÿ êëþ÷åé, èìåþùèõ òåîðåòè÷åñêóþ
ñòîéêîñòü, îñíîâàííóþ íà êîìáèíàòîðíûõ êîíôèãóðàöèÿõ».
11.03.2004. Êóäèí À.Ì., Äîâûäüêîâ À.À. (Êèåâ) «Ïîñòðîåíèå êîìïëåêñíûõ ñèñòåì çàùèòû äëÿ
ðàñïðåäåëåííûõ àâòîìàòèçèðîâàííûõ ñèñòåì ñ àðõèòåêòóðîé, êîòîðàÿ äèíàìè÷íî ìåíÿåòñÿ».
25.03.2004. Ñàâ÷óê Ì.Í. (Êèåâ) «Î êðèïòîãðàôè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ áóëåâûõ ôóíêöèé».
22.04.2004. Äîâûäüêîâ À.À. (Êèåâ) «Ïîäõîäû ê ìîäåëèðîâàíèþ ïîëèòèê áåçîïàñíîñòè êîìïüþòåð-
íûõ ñèñòåì».
30.09.2004. Êîâàëåíêî È.Í. (Êèåâ) «Îïûò ðàáîòû â îáëàñòè ïðèêëàäíîé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è
ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè».
14.10.2004. Àëåêñåé÷óê À.Í. (Êèåâ) «Ñòàòèñòè÷åñêèé ìåòîä êðèïòîàíàëèçà ãåíåðàòîðîâ ãàììû, ïî-
ñòðîåííûõ íà ëèíåéíûõ ðåãèñòðàõ ñ íåðàâíîìåðíûì äâèæåíèåì».
28.10.2004. Êîâàëü÷óê Ë.Â. (Êèåâ) «Ïðèìåíåíèå ìåòîäà Ïîëëàðäà äëÿ íàõîæäåíèÿ êîëëèçèé
õýø-ôóíêöèé».
11.11.2004. Áåññàëîâ À.Â. (Êèåâ) «Ìåòîä äåëåíèÿ òî÷åê íà 2 â ïðèìåíåíèè ê êðèïòîãðàôèè íà ýë-
ëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ».
25.11.2004. Êîâàëü÷óê Ë.Â. (Êèåâ), Áåçäåòíûé Â.Ò. (Êèåâ) «Ìåòîäèêà ïðîâåðêè "íåçàâèñèìîñòè"
òåñòîâ äëÿ òåñòèðîâàíèÿ ãåíåðàòîðîâ ïñåâäîñëó÷àéíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé».
23.12.2004. Âîëîøèí À.Ë. (Êèåâ) «Ëèíåéíàÿ ñõåìà ðàñïðåäåëåíèÿ ñåêðåòà íàä êîëüöîì âû÷åòîâ
ïî ïðèìàðíîìó ìîäóëþ».
20.01.2005. Àëåêñåé÷óê À.Í. (Êèåâ) «Óíèâåðñàëüíûå àëãåáðû è ñõåìû ðàñïðåäåëåíèÿ ñåêðåòîâ».
03.02.2005. Óñòèìåíêî Â.À. (Êèåâ) «Ïðîãóëêè íà ãðàôàõ è êðèïòîãðàôèÿ».
17.02.2005. Çàäèðàêà Â.Ê. (Êèåâ), Êóäèí À.Ì. (Êèåâ) «Ïðîãðàììíî-àïïàðàòíûé êîìïëåêñ àðèôìå-
òèêè ìíîãîêðàòíîé òî÷íîñòè».
03.03.2005. Àëåêñåé÷óê À.Í. (Êèåâ), Èãíàòåíêî Ñ.Ì. (Êèåâ) «Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ èñêà-
æåííûìè ïðàâûìè ÷àñòÿìè íàä êîëüöîì îñòàòêîâ ïî ìîäóëþ 2n».
17.03.2005. Êèíàõ È.ß. (Òåðíîïîëü) «Ìîäåëü ïàðàëëåëüíîé ðåàëèçàöèè îáùåãî ñèòà ÷èñëîâîãî
ïîëÿ»; Êàðïèíñêèé Á.Ç. (Òåðíîïîëü) «Âûñîêîïðîèçâîäèòåëüíûå ïîòî÷íûå øèôðû ïîâûøåííîé óñòîé-
÷èâîñòè ê àòàêàì».
31.03.2005. Ïîìåòóí Ñ.À. (Êèåâ) «Àëãåáðàè÷åñêèå àòàêè íà ïîòî÷íûå øèôðû»; Êóäèí À.Ì.
(Êèåâ) «Îá îäíîì ïîäõîäå ê àïïàðàòíîé ðåàëèçàöèè àëãîðèòìîâ ìíîãîñëîâíîé àðèôìåòèêè» ×. I.
14.04.2005. Êóäèí À.Ì. (Êèåâ) «Îá îäíîì ïîäõîäå ê àïïàðàòíîé ðåàëèçàöèè àëãîðèòìîâ ìíîãî-
ñëîâíîé àðèôìåòèêè» ×. 2.
29.09.2005. Êîâàëåíêî È.Í. (Êèåâ) «Î ðàáîòå Ìåæäóíàðîäíîé êîíôåðåíöèè «Ñîâðåìåííûå
ïðîáëåìû è íîâûå íàïðàâëåíèÿ â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé» è ñåêöèè «Âåðîÿòíîñòíûå è ñòàòèñòè÷åñêèå
ìåòîäû â êðèïòîãðàôèè» (â ×åðíîâöàõ); Çàäèðàêà Â.Ê. (Êèåâ) «Ñîîáùåíèå î 32-é êîíôåðåíöèè ïî
îïòèìèçàöèè âû÷èñëåíèé, ïîñâÿùåííîé Â.Ñ. Ìèõàëåâè÷ó (â Êàöèâåëè)»; Àíèñèìîâ À.Â. (Êèåâ)
«Î ðàáîòå â îáëàñòè ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ çàùèòû èíôîðìàöèè íà ôàêóëüòåòå êèáåðíåòèêè Êèåâñêî-
ãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà èìåíè Òàðàñà Øåâ÷åíêî».
13.10.2005. Àëåêñåé÷óê À.Í., Êîâàëü÷óê Ë.Â. (Êèåâ) «Âåðõíèå ãðàíèöû ìàêñèìàëüíûõ çíà÷åíèé
âåðîÿòíîñòåé äèôôåðåíöèàëüíûõ è ëèíåéíûõ õàðàêòåðèñòèê øèôðàòîðà Ôåéñòåëåâñêîãî òèïà, ñîäåðæà-
ùåãî ñóììàòîð ïî ìîäóëþ 2n».
27.10.2005. Ãîìîíàé Å.Â., Ôåñåíêî À.Â. (Êèåâ) «Ýôôåêòèâíûå àëãîðèòìû êâàíòîâûõ âû÷èñëåíèé
è èõ ïðèìåíåíèå â êðèïòîãðàôèè».
10.11.2005. Çàâàäñêèé È.À. (Êèåâ) «Ïîèñêîâûé àëãîðèòì Ãðîâåðà».
24.11.2005. Ïîëÿêîâ À.À. (Õàðüêîâ) «Ãåíåðèðîâàíèå ñèñòåìíûõ ïàðàìåòðîâ ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ».
08.12.2005. Ôåñåíêî À.Â. (Êèåâ) «Êâàíòîâûé àëãîðèòì Øîðà ôàêòîðèçàöèè öåëûõ ÷èñåë».
22.12.2005. Áàëàãóðà Ä.Ñ. (Êèåâ) «Àíàëèç, ñðàâíåíèå è óëó÷øåíèå êðèïòîãðàôè÷åñêèõ ïðîòîêîëîâ
óñòàíîâêè êëþ÷åé äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ â ÈÂÊ».
02.03.2006. ßêîâëåâ Ñ.Â. (Êèåâ) «Êðèòåðèè îòáîðà è àëãîðèòì ãåíåðèðîâàíèÿ äîëãîñðî÷íûõ êëþ-
÷åé ÃÎÑÒ 28147-89».
16.03.2006. Áðåäåëåâ Á.À. (Êèåâ) «Ñòåãàíîãðàôè÷åñêèé àëãîðèòì, óñòîé÷èâûé ê ðÿäó ñòàòèñòè÷åñ-
êèõ àòàê».
30.03.2006. Áåëåöêèé À.ß. (Êèåâ) «Ñåìåéñòâî ñèììåòðè÷íûõ áëîêîâûõ êðèïòîãðàôè÷åñêèõ àëãî-
ðèòìîâ çàùèòû èíôîðìàöèè».
13.04.2006. Ïîìåòóí Ñ.À. (Êèåâ) «Ïîñòðîåíèå àëãåáðàè÷åñêèõ àòàê ñ èñïîëüçîâàíèåì óñëîâíîé
êîððåëÿöèè».
27.04.2006. Áåëåöêèé À.ß. (Êèåâ) «Îáîáùåííûå êîäû Ãðåÿ è èõ èñïîëüçîâàíèå â ñõåìàõ çàùèòû
èíôîðìàöèè».
11.05.2006. Àíòîíîâ À.Â. (Õàðüêîâ) «Êðèïòîãðàôè÷åñêèå ôóíêöèè ñ ñåêðåòîì íà îñíîâå èíôîð-
ìàöèîííîé ìåðû ñëîæíîñòè îáðàùåíèÿ õàîòè÷åñêèõ îòîáðàæåíèé».
64 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3
02.11.2006. Êîâàëü÷óê Ë.Â. (Êèåâ) «Îáîáùåííûå ìàðêîâñêèå øèôðû: îöåíêà ñòîéêîñòè ê äèôôå-
ðåíöèàëüíîìó êðèïòîàíàëèçó».
16.11.2006. Àëåêñåé÷óê À.Í., Ïðîñêóðîâñêèé Ð.Â. (Êèåâ) «Ñòàòèñòè÷åñêàÿ àòàêà íà êîìáèíèðîâàííûå
ãåíåðàòîðû ãàììû ñ íåðàâíîìåðíûì äâèæåíèåì â ðåæèìå ðåèíèöèàëèçàöèè íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ».
30.11.2006. Áåëåöêèé À.ß. (Êèåâ) «RSB òåõíîëîãèÿ ïîñòðîåíèÿ ñèììåòðè÷íûõ áëîêîâûõ êðèïòîã-
ðàôè÷åñêèõ àëãîðèòìîâ».
14.12.2006. Ôåäþêîâè÷ Â.Å. (Êèåâ) «×àñòè÷íîå ñîâïàäåíèå ìíîæåñòâ áåç ðàçãëàøåíèÿ».
15.02.2007. Ôåäþêîâè÷ Â.Å. (Êèåâ) «Ìåòîäèêà äåìîíñòðàöèè ÷àñòè÷íîãî ñîâïàäåíèÿ ìíîæåñòâ».
01.03.2007. Ôàëü À.Ì. (Êèåâ) «Îáçîð ìåæäóíàðîäíûõ ñòàíäàðòîâ ïî áåçîïàñíîñòè èíôîðìàöèîí-
íûõ òåõíîëîãèé».
15.03.2007. Ãîðáåíêî È.Ä., Äîëãîâ Â.È., Îëåéíèêîâ Ð.Â. (Õàðüêîâ) «Ïðèíöèïû ïîñòðîåíèÿ è ñïå-
öèôèêàöèè áëîêîâîãî øèôðàòîðà «Êàëèíà», ïðåäñòàâëåííîãî íà êîíêóðñ».
29.03.2007. Êîøêèíà Í.Â. (Êèåâ) «Ìåòîäû ñèíõðîíèçàöèè öèôðîâûõ âîäÿíûõ çíàêîâ».
12.04.2007. Êóçíåöîâ Í.Þ. (Êèåâ) «Èñïîëüçîâàíèå óñêîðåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ
êîëè÷åñòâà «õîðîøèõ» ïåðåñòàíîâîê».
26.04.2007. Ôåñåíêî À.Â. (Êèåâ) «Êðèïòîàíàëèç ñèñòåì øèôðîâàíèÿ, ïîñòðîåííûõ íà îñíîâå äè-
íàìè÷åñêîãî õàîñà».
11.10.2007. Ïîìåòóí Ñ.À. (Êèåâ) «Îáîáùåííàÿ êîððåëÿöèÿ è íåëèíåéíîñòü âûñîêîãî ïîðÿäêà â
àëãåáðàè÷åñêèõ àòàêàõ íà ïîòîêîâûå øèôðàòîðû».
25.10.2007. Çàäèðàêà Â.Ê., Êóäèí À.Ì., Ëþäâè÷åíêî Â.À. (Êèåâ) «Êîìïüþòåðíûå òåõíîëîãèè
êðèïòîãðàôè÷åñêîé çàùèòû èíôîðìàöèè íà ñïåöèàëüíûõ íîñèòåëÿõ».
08.11.2007. Êîâàëü÷óê Ë.Â. (Êèåâ) «Ìåòîäû àíàëèçà è ñèíòåçà ñóùåñòâóþùèõ è ïåðñïåêòèâíûõ
áàéò-îðèåíòèðîâàííûõ ïîòîêîâûõ êðèïòîñèñòåì äëÿ çàùèòû ãîñóäàðñòâåííûõ èíôîðìàöèîííûõ ðåñóðñîâ».
22.11.2007. Ïîïåðåøíÿê Ñ.Â. (Êèåâ) «Ðàñïðåäåëåíèå ðàíãîâ ñëàáî- è ñèëüíîçàïîëíåííûõ ñëó÷àé-
íûõ ìàòðèö â ïîëå GF(2)»; Ñëîáîäÿí Í.Â. (Êèåâ) «Àïïðîêñèìàöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà ëîæíûõ ðåøå-
íèé ñèñòåìû íåëèíåéíûõ ñëó÷àéíûõ óðàâíåíèé â ïîëå GF(2) ðàñïðåäåëåíèåì Ïóàññîíà».
06.12.2007. Áîðèñåíêî À.À. (Ñóìû) «Àíàëèç êðèïòîãðàôè÷åñêîé ñòîéêîñòè èñòî÷íèêîâ äèñêðåò-
íîé èíôîðìàöèè».
20.12.2007. Êîâàë¸â À.Ì., Êîçëîâñêèé Â.À., Ñàâ÷åíêî À.ß., Ùåðáàê Â.Ô. (Äîíåöê, Êèåâ) «Íîâûå
ìåòîäû è àëãîðèòìû ïðåîáðàçîâàíèÿ èíôîðìàöèè íà îñíîâå àâòîìàòîïîäîáíûõ è õàîòè÷åñêèõ äèíàìè-
÷åñêèõ ñèñòåì äëÿ öèôðîâîé îáðàáîòêè, êîäèðîâàíèÿ, ñîõðàíåíèÿ è ýôôåêòèâíîé çàùèòû èíôîðìàöèè».
14.02.2008. Óñòèìåíêî Â.À. (Êèåâ, Äîíåöê) «Ýêñòðåìàëüíàÿ òåîðèÿ ãðàôîâ è åå êðèïòîãðàôè÷åñ-
êèå ïðèëîæåíèÿ».
28.02.2008. Àëåêñåé÷óê À.H., Êîâàëü÷óê Ë.Â., Øåâöîâ À.Ñ. (Êèåâ) «Îáîáùåííûå Ìàðêîâñêèå
øèôðû «Êàëèíà» è «Ìóõîìîð»: îöåíêà ïðàêòè÷åñêîé ñòîéêîñòè ê äèôôåðåíöèàëüíîìó è ëèíåéíîìó
êðèïòîàíàëèçó».
13.03.2008. Ñëîáîäÿí Ñ.À. (Èâàíî-Ôðàíêîâñê) «Òåîðåìû î íîðìàëüíîì ïðåäåëüíîì ðàñïðåäåëå-
íèè ÷èñëà ëîæíûõ ðåøåíèé ñèñòåìû íåëèíåéíûõ ñëó÷àéíûõ óðàâíåíèé â ïîëå GF(2)».
27.03.2008. Çàâàäñêàÿ Ë.À. (Êèåâ) «Î êðèïòîàíàëèçå ïîòîêîâîãî øèôðà RC-4».
10.04.2008. Ôåñåíêî À.Â. (Êèåâ) «Àòàêè êîìïðîìèñà íà ïîòîêîâûå êðèïòîñèñòåìû»; ßêîâëåâ Ñ.Â.
(Êèåâ) «Àòàêè ïî ïîáî÷íûì êàíàëàì íà ïîòîêîâûå øèôðàòîðû».
24.04.2008. Øàðàïîâ Â.Ã., Ôåäþêîâè÷ Â.Å. (Êèåâ) «Èíòåðàêòèâíûé ïðîòîêîë äåìîíñòðàöèè êðàò-
íîãî âõîæäåíèÿ ñòðîêè».
25.09.2008. Ïîìåòóí Ñ.À. (Êèåâ) «Àëãîðèòìû âåðîÿòíîñòíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ àòàê íà ïîòîêîâûå øèôðû».
09.10.2008. Ñàâ÷óê Ì.Í., Ôåñåíêî À.Â. (Êèåâ) «Èññëåäîâàíèå îäíîñòîðîííèõ ôóíêöèé, ïîñòðîåí-
íûõ íà ñèììåòðè÷íûõ øèôðàõ».
23.10.2008. ×åðíÿõîâè÷ Ê., ßðåì÷óê Þ. (Âèííèöà) «Ìåòîäû öèôðîâîé ïîäïèñè íà ýëëèïòè÷åñêèõ
êðèâûõ ñ óñêîðåííîé ïðîöåäóðîé ïðîâåðêè öèôðîâîé ïîäïèñè».
06.10.2008. Àëåêñåé÷óê À.Í. (Êèåâ) «Òåîðåòè÷åñêèå îñíîâû ñèíòåçà è îáîñíîâàíèÿ ñòîéêîñòè ðàí-
äîìèçèðîâàííûõ ñèììåòðè÷íûõ ñèñòåì øèôðîâàíèÿ è ïðîòîêîëîâ ïåðåäà÷è è ðàñïðåäåëåíèÿ êëþ÷åé».
20.11.2008. ßêîâëåâ Ñ.Â. (Êèåâ) «Ïîñòðîåíèå êîëëèçèé äëÿ õåø-ôóíêöèè ñòàíäàðòà ÃÎÑÒ Ð 34.311-95».
04.12.2008. Ôåäþêîâè÷ Â.Å. (Êèåâ) «Ïðîòîêîëû äîêàçàòåëüñòâà è àðãóìåíòà: ýëåìåíòàðíîå ââåäå-
íèå è ïðèìåðû ðåøàåìûõ çàäà÷».
18.12.2008. Ìîðîõîâåö Ì.Ê. (Êèåâ) «Äèàãíîñòè÷åñêèå ýêñïåðèìåíòû ñ êîíå÷íûìè àâòîìàòàìè».
12.03.2009. Ïîìåòóí Ñ.À. (Êèåâ) «Àëãîðèòìû ðåøåíèÿ ñèñòåì íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñî ñëàáîèñ-
êàæåííûìè ïðàâûìè ÷àñòÿìè».
26.03.2009. Ôåäþêîâè÷ Â.Å. (Êèåâ) «Àëãåáðàè÷åñêèå îïåðàöèè íàä øèôðîòåêñòîì ñèñòåìû
Paillier'a è ïðîòîêîë äîêàçàòåëüñòâà çíàíèÿ îòêðûòîãî òåêñòà (ïî ìàòåðèàëàì ðàáîò Paillier (Eurocrypt
1999), Paillier-Pointcheval (Asiacrypt 1999), Damgard-Jurik (PKC 2001))».
09.04.2009. Åíäîâèöêèé Ï.À. (Êèåâ) «Î ìåòîäå ãîëîñîâàíèÿ â ðåøåíèè ñèñòåì óðàâíåíèé».
23.04.2009. Íèêèòåíêî Ë.Ë. (Êèåâ) «Èññëåäîâàíèå êðèòåðèÿ ñòîéêîñòè ñòåãàíîñèñòåì ïðè ïàññèâ-
íûõ àòàêàõ».
15.10.2009. Êóäèí À.Ì. (Êèåâ) «Êðèïòîãðàôè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ íåøåííîíîâñêèõ èñòî÷íèêîâ
èíôîðìàöèè».
29.10.2009. Ðîìàøîâà Ë.À. (Êèåâ) «Î âåðîÿòíîñòè ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèé ñèñòåìû íåëèíåéíûõ
ñëó÷àéíûõ óðàâíåíèé íàä ïîëåì GF ( )3 â çàäàííîì ìíîæåñòâå».
26.11.2009. Ãëèí÷óê Ë.ß. (Ëóöê) «Êðèïòîñèñòåìà Øòåðíà-Áðîêî è åå ïðèìåíåíèå».
10.12.2009. ßêîâëåâ Ñ.Â. (Êèåâ) «Êàñêàäíûå ñõåìû Ôåéñòåëÿ è îöåíêà èõ ñòîéêîñòè».
24.12.2009. Åíäîâèöêèé Ï.À. (Êèåâ) «Óòî÷íåíèå àñèìïòîòè÷åñêîé àïïðîêñèìàöèè ðàçìåðà ãðóï-
ïû â ïàðàäîêñå äíåé ðîæäåíèé».
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 65
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ê î â à ë å í ê î È . Í . Îá àëãîðèòìå ñóáýêñïîíåíöèàëüíîé ñëîæíîñòè äåêîäèðîâàíèÿ ñèëüíî
èñêàæåííûõ ëèíåéíûõ êîäîâ // Äîï. ÀÍ ÓÐÑÐ. Ñåð. À. — 1988. — ¹ 10. — Ñ. 16–17.
2. K o v a l e n k o I . N . , S a v c h u k M . N . Some methods of decoding corrupted linear codes // Ðåãèñòðàöèÿ,
õðàíåíèå è îáðàáîòêà äàííûõ. — 1999. — 1, ¹ 2. — Ñ. 62–68.
3. K o v a l e n k o I . N . , S a v c h u k M . N . On a statistical algorithm to decode heavily corrupted linear codes //
Applied Probability and Stochastic Processes. — Berkeley: Kluwer Acad. Publ., 1999. — P. 73–82.
4. Å ô ð å ì î â Ê . , Ñ à â ÷ ó ê Ì . Îöåíêè ñëîæíîñòè è íàäåæíîñòè àëãîðèòìîâ äåêîäèðîâàíèÿ ñèëüíî
èñêàæåííûõ ëèíåéíûõ êîäîâ // IX Ìåæäóíàð. íàó÷.-ïðàêò. êîíô. «Áåçîïàñíîñòü èíôîðìàöèè â
èíôîðìàöèîííî-òåëåêîììóíèêàöèîííûõ ñèñòåìàõ» (Êè¿â, 17-19 ìàÿ 2006 ã.): Òåç. äîêë. — Êèåâ, 2006. — Ñ. 24.
5. À ë å ê ñ å é ÷ ó ê À . Í . Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ èñêàæåííîé ïðàâîé ÷àñòüþ íàä êîëüöîì
âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ 2 N // Çàõèñò ³íôîðìàö³¿. — 2001. — ¹ 4. — Ñ. 12–19.
6. À ë å ê ñ å é ÷ ó ê À . Í . , È ã í à ò å í ê î Ñ . Ì . Îöåíêè ýôôåêòèâíîñòè óíèâåðñàëüíûõ ìåòîäîâ
âîññòàíîâëåíèÿ èñêàæåííûõ ëèíåéíûõ ðåêóððåíò íàä êîëüöîì âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ 2 N // Çá³ðí.
íàóê. ïðàöü ²ÏÌÅ ÍÀÍ Óêðà¿íè. — Ê., 2003. — Âèï. 20. — Ñ. 40–48.
7. À ë å ê ñ å é ÷ ó ê À . Í . , È ã í à ò å í ê î Ñ . Ì . Ìåòîä îïòèìèçàöèè àëãîðèòìîâ ðåøåíèÿ ñèñòåì
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ èñêàæåííîé ïðàâîé ÷àñòüþ íàä êîëüöîì âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ 2 N //
Ðåºñòðàö³ÿ, çáåð³ãàííÿ ³ îáðîáêà äàíèõ. — 2005. — 7, ¹ 1. — Ñ. 21–29.
8. Ê î â à ë å í ê î È . Í . , Ë å â è ò ñ ê à ÿ À . À . , Ñ à â ÷ ó ê Ì . Í . Èçáðàííûå ãëàâû âåðîÿòíîñòíîé
êîìáèíàòîðèêè. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1986. — 224 ñ.
9. À ë å ê ñ å é ÷ ó ê À . Í . Óñëîâèÿ îäíîçíà÷íîñòè ïðîáëåìû ìîìåíòîâ â êëàññå q-ðàñïðåäåëåíèé //
Äèñêðåò. ìàòåìàòèêà. — 1999. — 11, âûï. 4. — Ñ. 48–57.
10. À ë å ê ñ å é ÷ ó ê À . Í . Íåàñèìïòîòè÷åñêèå ãðàíèöû ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ðàíãà ñëó÷àéíîé
ìàòðèöû íàä êîíå÷íûì ïîëåì // Òàì æå. — 2007. — 19, âûï. 2. — Ñ. 85–93.
11. Á à ë à ê è í à .  . Ñèñòåìû ñëó÷àéíûõ óðàâíåíèé íàä êîíå÷íûì ïîëåì // Òð. ïî äèñêðåò.
ìàòåìàòèêå. — 1998. — 2. — Ñ. 21–37.
12. Ë å â è ò ñ ê à ÿ À . À . Ñèñòåìû ñëó÷àéíûõ óðàâíåíèé íàä êîíå÷íûìè àëãåáðàè÷åñêèìè ñòðóêòóðàìè //
Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2005. — ¹ 1. — Ñ. 82–116.
13. À ë å ê ñ å é ÷ ó ê À . Í . Âåðîÿòíîñòíàÿ ñõåìà íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ ýëåìåíòîâ, ðàñïðåäåëåííûõ íà
êîíå÷íîé ðåøåòêå. I. Òî÷íûå ðàñïðåäåëåíèÿ ôóíêöèîíàëîâ îáúåäèíåíèÿ ñëó÷àéíûõ ýëåìåíòîâ //
Òàì æå. — 2004. — ¹ 5. — Ñ. 1–15.
14. À ë å ê ñ å é ÷ ó ê À . Í . Âåðîÿòíîñòíàÿ ñõåìà íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ ýëåìåíòîâ, ðàñïðåäåëåííûõ íà
êîíå÷íîé ðåøåòêå. II. Ìåòîä ðåøåòî÷íûõ ìîìåíòîâ // Òàì æå. — 2004. — ¹ 6. — Ñ. 44–65.
15. A l e k s e y c h u k À . N . Random covers of finite homogeneous lattices // Theory of Stoh. Processes. —
2006. — 12(28), N 1, 2. — P. 12–19.
16. À ë å ê ñ å é ÷ ó ê À . Í . Îá îäíîçíà÷íîñòè ïðîáëåìû ìîìåíòîâ â êëàññå q-ðàñïðåäåëåíèé // Äèñêðåò.
ìàòåìàòèêà. — 1998. — 10, âûï. 1. — Ñ. 95–110.
17. Ê î â à ë å í ê î È . Í . Îá îäíîé âåðõíåé îöåíêå ÷èñëà ïîëíûõ îòîáðàæåíèé // Êèáåðíåòèêà è
ñèñòåìíûé àíàëèç. — 1996. — ¹ 1. — Ñ. 81–85.
18. Ê î â à ë å í ê î ² . Ì . , Ê ó ï å ð Ê . Âåðõíÿ ãðàíèöÿ äëÿ ÷èñëà ïîâíèõ â³äîáðàæåíü // Òåîð³ÿ
éìîâ³ðíîñòåé ³ ìàò. ñòàòèñòèêà. — 1995. — 53. — Ñ. 69–75.
19. C o o p e r C . , G i l c h r i s t R . , K o v a l e n k o I . N . , N o v a c o v i c D . Deriving the number of good permu-
tations with applications to cryptography // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 1999. — ¹ 5. — P. 10–16.
20. Ê ó ç í å ö î â Í . Þ . Ïðèìåíåíèå óñêîðåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ê íàõîæäåíèþ êîëè÷åñòâà «õîðîøèõ»
ïåðåñòàíîâîê // Òàì æå. — 2007. — ¹ 6. — Ñ. 80–89.
21. Ã è ë ê ð è ñ ò Ð . , Ê î â à ë å í ê î È . Í . Îá îöåíêå âåðîÿòíîñòè îòñóòñòâèÿ êîëëèçèé íåêîòîðûõ
ñëó÷àéíûõ îòîáðàæåíèé // Òàì æå. — 2000. — ¹ 1. — Ñ. 132–138.
22. Ê î â à ë ü ÷ ó ê Ë . Â . Ïñåâäîíåïðèâîäèìûå ïîëèíîìû. Âåðîÿòíîñòíîå òåñòèðîâàíèå íåïðèâîäèìîñòè
// Òàì æå. — 2004. — ¹ 4 — Ñ. 168–176.
23. Ñ à â ÷ ó ê Ì . Í . Íåêîòîðûå ïðåäåëüíûå òåîðåìû â ñõåìå ðàâíîâåðîÿòíîãî ðàçìåùåíèÿ ÷àñòèö
êîìïëåêòàìè // Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàò. ñòàòèñòèêà. — 1983. — Âûï. 28. — Ñ. 122–130.
24. S a v c h u k M . Some limiting theorems in ball batch allocation scheme with random levels defined by an
another allocation scheme // Probabilistic Methods in Discrete Mathematics. — Ì.: Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé
è åå ïðèìåíåíèÿ, 1993. — Ñ. 428–436.
25. Ñ à â ÷ ó ê Ì . Í . Ïðåäåëüíîå ïîâåäåíèå ñëó÷àéíîãî âðåìåíè îæèäàíèÿ äî çàïîëíåíèÿ çàäàííîãî
ïîäìíîæåñòâà ÿ÷ååê â ñõåìå ðàâíîâåðîÿòíîãî ðàçìåùåíèÿ ÷àñòèö êîìïëåêòàìè // Ìîäåëè è ìåòîäû
èññëåäîâàíèÿ îïåðàöèé, òåîðèè ðèñêà è íàäåæíîñòè — Ê.: Èí-ò êèáåðíåòèêè ÍÀÍÓ, 1992. — Ñ. 3–10.
26. Ñ à â ÷ ó ê Ì . Í . Àñèìïòîòè÷åñêèé àíàëèç âàðèàöèîííîãî ðÿäà âåðîÿòíîñòåé ñåðèé ðàçëè÷íûõ
èñõîäîâ â ïîëèíîìèàëüíîé ñõåìå // Äîï. ÍÀÍ Óêðà¿íè. — 1999. — ¹ 3. — Ñ. 101–105.
27. Ñ à â ÷ ó ê Ì . Í . Î ïðåäåëüíûõ ðàñïðåäåëåíèÿõ ìàêñèìàëüíîé è ìèíèìàëüíîé ÷àñòîò â ñõåìå
ðàçìåùåíèÿ ñëó÷àéíîãî ÷èñëà ÷àñòèö ïî ÿ÷åéêàì // Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû ìîäåëèðîâàíèÿ è ñèñòåìíîãî
àíàëèçà â óñëîâèÿõ íåïîëíîé èíôîðìàöèè. — Ê.: Èí-ò êèáåðíåòèêè ÀÍ ÓÑÑÐ, 1991. — Ñ. 9–12.
28. Ñ à â ÷ ó ê Ì . Í . Ñõîäèìîñòü ìíîãîìåðíûõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ, ñâÿçàííûõ ñ ðàçäåëèìûìè
ñòàòèñòèêàìè â ñõåìàõ ðàçìåùåíèÿ, ê ãàóññîâñêèì äèôôóçèîííûì ïðîöåññàì // Àíàëèç
ñòîõàñòè÷åñêèõ ñèñòåì ìåòîäàìè èññëåäîâàíèÿ îïåðàöèé è òåîðåì íàäåæíîñòè. — Ê.: Èí-ò
êèáåðíåòèêè ÀÍ ÓÑÑÐ, 1987. — Ñ. 43–47.
66 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3
29. Ñ à â ÷ ó ê Ì . Í . , Ñ è í ÿ â ñ ê è é Â . Ô . Îá àëãîðèòìå îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðîâ
áåðíóëëèåâñêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 1999. — ¹ 1. — Ñ. 84–89.
30. Ñ à â ÷ ó ê Ì . Í . Àíàëèç îäíîãî ìåòîäà óëó÷øåíèÿ õàðàêòåðèñòèê ñëó÷àéíîé äâîè÷íîé ïîñëå-
äîâàòåëüíîñòè // Êèáåðíåòèêà è âû÷èñë. òåõíèêà. — 1998. — Âûï. 118. — Ñ. 57–61.
31. Ø à ð à ï î â  . Àëãîðèòì òåñòèðîâàíèÿ ñëó÷àéíûõ è ïñåâäîñëó÷àéíûõ ïîñëåäîâàòíëüíîñòåé ñ
èñïîëüçîâàíèåì êîíòåêñòíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ // Cá. òåç. äîêë. Õ Þáèëåéíîé ìåæäóíàð. íàó÷.-ïðàêò.
êîíô. «Áåçîïàñíîñòü èíôîðìàöèè â èíôîðìàöèîííî-òåëåêîììóíèêàöèîííûõ ñèñòåìàõ», òðàâ.
2007 ð., Êè¿â. — Ê.: ×Ï «ÅÊÌλ, ÍÈÖ «Òåç³ñ» ÍÒÓÓ «Êϲ», 2007. — Ñ. 30–31.
32. Ê î â à ë ü ÷ ó ê Ë . , Á å ç ä ³ ò í è é  . Ïåðåâ³ðêà íåçàëåæíîñò³ ñòàòèñòè÷íèõ òåñò³â, ïðèçíà÷åíèõ äëÿ
îö³íêè êðèïòîãðàô³÷íèõ ÿêîñòåé ÃÏ // Çàõèñò ³íôîðìàö³¿. — 2006. — ¹ 2 (29) — Ñ. 18–23.
33. Ê î â à ë ü ÷ ó ê Ë . , Ì å ë ü í è ê Ñ . , Á å ç ä å ò í û é Â . Âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè ãåíåðàöèè
êëþ÷åé ñ íåðàâíîìåðíûì ðàñïðåäåëåíèåì // Ðàä³îòåõí³êà (Õàðüê³â). — 2005. — 141. — C. 181–188.
34. Ñ à â ÷ ó ê Ì . Í . Èñïîëüçîâàíèå ìåòîäà Ìîíòå–Êàðëî äëÿ èäåíòèôèêàöèè áóëåâûõ ôóíêöèé
áîëüøîãî ÷èñëà ïåðåìåííûõ // Êèáåðíåòèêà è âû÷èñë. òåõíèêà. — 1998. — Âûï. 117. — Ñ. 3–7.
35. Ï î ì å ò ó í Ñ . À . Èññëåäîâàíèå àëãåáðàè÷åñêèõ àòàê íà ïîòîêîâûå è áëîêîâûå øèôðàòîðû. // Cá.
òåç. äîêë. Õ Þáèëåéíîé ìåæäóíàð. íàó÷.-ïðàêò. êîíô. «Áåçîïàñíîñòü èíôîðìàöèè â èíôîðìà-
öèîííî-òåëåêîììóíèêàöèîííûõ ñèñòåìàõ», òðàâ. 2007 ð., Êè¿â. — Ê.: ×Ï «ÅÊÌλ, ÍÈÖ «Òåç³ñ»
ÍÒÓÓ «Êϲ», 2007. — Ñ. 28–29.
36. Ï î ì å ò ó í Ñ . À . Îáîáùåííûå êîððåëÿöèÿ è íåëèíåéíîñòü âûñîêîãî ïîðÿäêà áóëåâûõ ôóíêöèé äëÿ
îïèñàíèÿ âåðîÿòíîñòíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ àòàê // Òðåòüÿ ìåæäóíàð. íàó÷. êîíô. ïî ïðîáë. áåçî-
ïàñíîñòè è ïðîòèâîäåéñòâèÿ òåððîðèçìó, ÌàÁÈÒ, îêò. 2007 — Ì., 2007. — Ñ. 153–163.
37. Ï î ì å ò ó í Ñ . À . ²ìîâ³ðí³ñíèé àëãåáðà¿÷íèé êðèïòîàíàë³ç øèôðàòîðà «SFINKS» ç ïåâíèì êëàñîì
ô³ëüòðóþ÷èõ ôóíêö³é // Ïðàâîâå, íîðìàò. òà ìåòðîë. çàáåçïå÷åííÿ ñèñòåìè çàõèñòó ³íôîðìàö³¿ â
Óêðà¿í³. — 2008. — ¹ 1 (16). — Ñ. 73–78.
38. Ï î ì å ò ó í Ñ . À . Àëãåáðà¿÷í³ àòàêè íà ïîòîêîâ³ øèôðàòîðè ÿê óçàãàëüíåííÿ êîðåëÿö³éíèõ àòàê //
Ñèñòåìí³ äîñë³äæåííÿ òà ³íôîðì. òåõíîëî㳿. — 2008. — ¹ 2. — Ñ. 29–40.
39. Ï î ì å ò ó í Ñ . À . Ïðî ê³ëüê³ñòü áóëåâèõ ôóíêö³é ³ç çàäàíèì àëãåáðà¿÷íèì ³ìóí³òåòîì // Ïðèêë.
ðàäèîýëåêòðîíèêà. — 2008. — ¹ 3. — Ñ. 322–325.
40. Ï î ì å ò ó í Ñ . À . Èññëåäîâàíèå âåðîÿòíîñòíûõ ñöåíàðèåâ àëãåáðàè÷åñêèõ àòàê íà ïîòîêîâûå
øèôðû // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 2009. — ¹ 1. — Ñ. 143–156.
41. À ë å ê ñ å é ÷ ó ê À . Í . , Ï ð î ñ ê ó ð î â ñ ê è é Ð .  . Íèæíÿÿ ãðàíèöà âåðîÿòíîñòè ðàçëè÷åíèÿ âíóòðåííèõ
ñîñòîÿíèé êîìáèíèðóþùåãî ãåíåðàòîðà ãàììû ñ íåðàâíîìåðíûì äâèæåíèåì // Ïðàâîâå, íîðìàò. òà ìåòðîë.
çàáåçïå÷åííÿ ñèñòåìè çàõèñòó ³íôîðìàö³¿ â Óêðà¿í³. — Âèï. 2 (13). — Êè¿â, 2006. — Ñ. 159–169.
42. À ë å ê ñ å é ÷ ó ê À . Í . , Ï ð î ñ ê ó ð î â ñ ê è é Ð .  . , Ñ ê ð û ï í è ê Ë .  . Ñòàòèñòè÷åñêàÿ àòàêà íà
êîìáèíèðóþùèé ãåíåðàòîð ãàììû ñ íåðàâíîìåðíûì äâèæåíèåì â ðåæèìå ðåèíèöèàëèçàöèè
íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ // Ìàòåìàòèêà è áåçîïàñíîñòü èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé: Ìàòåðèàëû
êîíô. â ÌÃÓ 25–27 îêò. 2006 ã. — Ì.: ÌÖÍÌÎ, 2007. — Ñ. 264–269.
43. Î ë å ê ñ ³ é ÷ ó ê À . Ì . , Ï ð î ñ ê ó ð î â ñ ü ê è é Ð .  . Îö³íêà ñåðåäíüî¿ éìîâ³ðíîñò³ ïîìèëêè áàéºñ³â-
ñüêîãî êðèòåð³þ äëÿ ïåðåâ³ðêè ã³ïîòåç â çàäà÷³ êðèïòîàíàë³çó êîìá³íóâàëüíîãî ãåíåðàòîðà ãàìè ç
íåð³âíîì³ðíèì ðóõîì // Òåîð³ÿ éìîâ³ðíîñòåé òà ìàò. ñòàòèñòèêà. — 2008. — Âèï. 78. — Ñ. 152–159.
44. À ë å ê ñ å é ÷ ó ê À . Í . Îïòèìàëüíûå óðàâíîâåøåííûå îòîáðàæåíèÿ â êîíñòðóêöèÿõ ãåíåðàòîðîâ
ãàììû ñ íåðàâíîìåðíûì äâèæåíèåì ðåãèñòðîâ ñäâèãà è ïðîòîêîëîâ ïåðåäà÷è êëþ÷åé ïî êàíàëó
ñâÿçè ñ îòâîäîì // Ðåºñòðàö³ÿ, çáåð³ãàííÿ ³ îáðîáêà äàíèõ. — 2008. — 10, ¹ 4 — Ñ. 47–56.
45. È â à í î â  . À . Î ìåòîäå ñëó÷àéíîãî êîäèðîâàíèÿ // Äèñêðåò. ìàòåìàòèêà. — 1999. — 11, âûï. 3. —
Ñ. 99–108.
46. À ë å ê ñ å é ÷ ó ê À . Í . Ñëó÷àéíîå êîäèðîâàíèå â êàíàëå ñâÿçè ñ àääèòèâíûì øóìîì, ðàñïðåäå-
ëåííûì íà êîíå÷íîé àáåëåâîé ãðóïïå // Çàõèñò ³íôîðìàö³¿. — 2002.— ¹ 3. — Ñ. 7–16.
47. À ë å ê ñ å é ÷ ó ê À . Í . Îïòèìàëüíîå ñëó÷àéíîå êîäèðîâàíèå ðàâíîâåðîÿòíûõ ñîîáùåíèé â q-è÷íîì
ñèììåòðè÷íîì êàíàëå // Òàì æå. — ¹ 4. — Ñ. 49–58.
48. Ç à â à ä ñ ê à ÿ Ë . , Ì å ë ë è ò À . , Ô à ë ü À . Î ìåòîäàõ êðèïòîàíàëèçà ïîòî÷íûõ øèôðîâ // Øîñòà
̳æíàð. íàóê.-ïðàêò. êîíô. «Áåçïåêà ³íôîðìàö³¿ â ³íôîðìàö³éíî-òåëåêîìóí³êàö³éíèõ ñèñòåìàõ»
(Êè¿â–2003): Òåçè äîï. — Êè¿â, 2003. — Ñ. 55.
49. A l e k s e y c h u k À . N . , K o v a l c h u k L . V . Upper bounds of maximum values of average differential
and linear characteristic probabilities of Feistel cipher with adder modulo 2m // Theory of Stoh. Pro-
cesses. — 2006. — 12 (28), N 1, 2. — P. 20–32.
50. Ê î â à ë ü ÷ ó ê Ë . Â . Âåðõíèå îöåíêè ñðåäíèõ âåðîÿòíîñòåé äèôôåðåíöèàëüíûõ àïïðîêñèìàöèé
áóëåâûõ îòîáðàæåíèé // Ìàòåðèàëû ìåæäóíàð. íàó÷. êîíô. ïî áåçîïàñíîñòè è ïðîòèâîäåéñòâèþ
òåððîðèçìó. Èíòåëëåêò. Öåíòð ÌÃÓ, 2–3 íîÿá. 2005 ã. — Ì.: ÌÖÍÌÎ, 2006. — Ñ. 163 — 167.
51. Ñ ê ð û ï í è ê Ë . Â . , Ê î â à ë ü ÷ ó ê Ë . Â . Âåðõíèå ãðàíèöû ñðåäíèõ âåðîÿòíîñòåé äèôôåðåíöèàëîâ
áóëåâûõ îòîáðàæåíèé // Çàõèñò ³íôîðìàö³¿. — 2006. — ¹ 3. — Ñ. 7–12.
52. À ë å ê ñ å é ÷ ó ê À . Í . Âåðõíèå ãðàíèöû ïàðàìåòðîâ, õàðàêòåðèçóþùèõ ñòîéêîñòü íåìàðêîâñêèõ
áëî÷íûõ øèôðîâ îòíîñèòåëüíî ìåòîäîâ ðàçíîñòíîãî è ëèíåéíîãî êðèïòîàíàëèçà // Òàì æå. —
2006. — ¹ 3. — Ñ. 20–28.
53. Ê î â à ë ü ÷ ó ê Ë .  . Îáîáùåííûå ìàðêîâñêèå øèôðû: ïîñòðîåíèå îöåíêè ïðàêòè÷åñêîé ñòîéêîñòè
îòíîñèòåëüíî äèôôåðåíöèàëüíîãî êðèïòîàíàëèçà // Ìàòåìàòèêà è áåçîïàñíîñòü èíôîðìàöèîííûõ
òåõíîëîãèé: Ìàòåðèàëû êîíô. â ÌÃÓ 25–27 îêò. 2006 ã. — Ì.: ÌÖÍÌÎ, 2007. — Ñ. 595–599.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 67
54. Î ë å ê ñ ³ é ÷ ó ê À . Ì . , Ê î â à ë ü ÷ ó ê Ë .  . , Ï à ë ü ÷ å í ê î Ñ .  . Êðèïòîãðàô³÷í³ ïàðàìåòðè âóçë³â
çàì³íè, ùî õàðàêòåðèçóþòü ñò³éê³ñòü ÃÎÑÒ-ïîä³áíèõ áëîêîâèõ øèôð³â â³äíîñíî ìåòîä³â ë³í³éíîãî
òà ð³çíèöåâîãî êðèïòîàíàë³çó // Çàõèñò ³íôîðìàö³¿. — 2007. — ¹ 2. — Ñ. 12–23.
55. À ë å ê ñ å é ÷ ó ê À . Í . , Ê î â à ë ü ÷ ó ê Ë . Â . , Ñ ê ð û í í è ê Å . Â . , Ø å â ö î â À . Ñ . Îöåíêè
ïðàêòè÷åñêîé ñòîéêîñòè áëî÷íîãî øèôðà «Êàëèíà» îòíîñèòåëüíî ìåòîäîâ ðàçíîñòíîãî, ëèíåéíîãî
êðèïòîàíàëèçà è àëãåáðàè÷åñêèõ àòàê, îñíîâàííûõ íà ãîìîìîðôèçìàõ // Ïðèêë. ðàäèîýëåêò-
ðîíèêà. — 2008. — 7, ¹ 3. — Ñ. 203–209.
56. À ë å ê ñ å é ÷ ó ê À . Í . , Ø å â ö î â À . Ñ . Ïîêàçàòåëè è îöåíêè ñòîéêîñòè áëî÷íûõ øèôðîâ îòíîñè-
òåëüíî ñòàòèñòè÷åñêèõ àòàê ïåðâîãî ïîðÿäêà // Ðåºñòðàö³ÿ, çáåð³ãàííÿ ³ îáðîáêà äàíèõ. — 2006. — 8,
âèï. 4. — Ñ. 53–63.
57. V a u d e n a y S . Decorrelation: a theory for block cipher security // J. Cryptology. — 2003. — 16, N 4. —
P. 249–286.
58. Ê î â à ë ü ÷ ó ê Ë . , Ï à ë ü ÷ å í ê î Ñ . Âåðõíèå îöåíêè âåðîÿòíîñòåé îáîáùåííûõ äèôôåðåíöèàëîâ
ðàóíäîâûõ ïðåîáðàçîâàíèé ÃÎÑÒ-ïîäîáíûõ øèôðîâ // XII Ìåæäóíàð. íàó÷.-ïðàêò. êîíô.
«Áåçîïàñíîñòü èíôîðìàöèè â èíôîðìàöèîííî-òåëåêîììóíèêàöèîííûõ ñèñòåìàõ», 19–22 ìàÿ
2009 ã., òåç. äîêë. — Ê.: ×Ï «ÅÊÌλ, ÍÈÖ «Òåçèñ» ÍÒÓÓ «ÊÏÈ», 2009. — Ñ. 22–23.
59. ß ê î â ë º â Ñ .  . Äîñë³äæåííÿ êðèòåð³¿â ÿêîñò³ òà ðîçðîáêà àëãîðèòìó ãåíåðàö³¿ äîâãîñòðîêîâèõ
êëþ÷îâèõ åëåìåíò³â øèôðàòîðà ÃÎÑÒ 28147–89 // IV Âñåóêð. íàóê.-ïðàêò. êîíô. ñòóäåíò³â,
àñï³ðàíò³â òà ìîëîäèõ â÷åíèõ «Òåõíîëî㳿 áåçïåêè ³íôîðìàö³¿» (Êè¿â, 14 êâ³ò. 2006 ð.): Çá³ðêà òåç
äîï. ó÷àñíèê³â. — Êè¿â, 2006. — Ñ. 34.
60. ß ê î â ë º â Ñ .  . Çáàëàíñîâàí³ êðèòå𳿠ÿêîñò³ äîâãîñòðîêîâèõ êëþ÷îâèõ åëåìåíò³â àëãîðèòìó øèôðó-
âàííÿ ÃÎÑÒ 28147–89 // ²íôîðì. òåõíîëî㳿 òà êîìï'þòåð. ³íæåíåð³ÿ. — 2009. — ¹ 1. — Ñ. 51–58
61. ß ê î â ë º â Ñ .  . Êàñêàäíà ñõåìà Ôåéñòåëÿ òà ¿¿ ñò³éê³ñòü äî äèôåðåíö³àëüíîãî òà ë³í³éíîãî
àíàë³çó // Ïðàâîâå, íîðìàò. òà ìåòðîë. çàáåçïå÷åííÿ ñèñòåìè çàõèñòó ³íôîðìàö³¿ â Óêðà¿í³. — Êè¿â,
2009. — Âèï. 1 (18). — Ñ. 103–108.
62. Ô å ñ å í ê î À .  . Àíàëèç êðèïòîñèñòåìû ñ îòêðûòûì êëþ÷îì íà îñíîâå êóñî÷íî-ëèíåéíîãî
èçîáðàæåíèÿ // Cá. òåç. äîêë. Õ Þáèëåéíîé ìåæäóíàð. íàó÷.-ïðàêò. êîíô. «Áåçîïàñíîñòü èíôîð-
ìàöèè â èíôîðìàöèîííî-òåëåêîììóíèêàöèîííûõ ñèñòåìàõ», òðàâ. 2007 ð., Êè¿â. — Ê.: ÍÈÖ «Òåç³ñ»
ÍÒÓÓ «Êϲ», 2007. — Ñ. 32–33.
63. Ô å ñ å í ê î À .  . Ïîñòðîåíèå áåñêëþ÷åâîé àòàêè íà êðèïòîñèñòåìó íà îñíîâå êóñî÷íî-ëèíåéíîãî
îòîáðàæåíèÿ // Ïðîáë. óïð. è èíôîðìàòèêè. — 2008. — ¹ 5. — Ñ. 149–156.
64. Ô å ñ å í ê î À .  . Ïîñòðîåíèå áåñêëþ÷åâîé àòàêè íà êðèïòîñèñòåìó íà îñíîâå êóñî÷íî-ëèíåéíîãî
îòîáðàæåíèÿ // Òàì æå. — 2009. — ¹ 1. — Ñ. 130–142.
65. Ñ à â ÷ ó ê Ì . Ì . , Ô å ñ å í ê î À .  . Äîñë³äæåííÿ ìîæëèâîñò³ âèêîðèñòàííÿ ñèìåòðè÷íèõ øèôð³â äëÿ
ïîáóäîâè ïîñòêâàíòîâèõ êðèïòîãðàô³÷íèõ ïðîòîêîë³â // Çá. ìàòåð³àë³â Øîñòî¿ ì³æíàð. êîíô.
«²ÍÒÅÐÍÅÒ–ÎѲÒÀ–ÍÀÓÊÀ–2008». — ³ííèöÿ: ÓͲÂÅÐÑÓ̖³ííèöÿ, 2008. — Ò. 2. — Ñ. 411–412.
66. Ñ à â ÷ ó ê Ì . Ì . , Ô å ñ å í ê î À .  . Ñèìåòðè÷í³ êîìóòàòèâí³ òà ëîêàëüíî-êîìóòàòèâí³ øèôðè äëÿ
ïîáóäîâè êëàñè÷íèõ òà ïîñòêâàíòîâèõ ïðîòîêîë³â // ²íôîðì. òåõíîëî㳿 òà êîìï'þòåð. ³íæåíåð³ÿ. —
2008. — ¹ 2 (12). — Ñ. 43–51.
67. Ñ à â ÷ ó ê Ì . Í . , Ø à ð à ï î â  . à . Àíàëèç îäíîãî ìåòîäà òåñòèðîâàíèÿ ñëó÷àéíûõ ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòåé, îñíîâàííîãî íà êîíòåêñòíîì ìîäåëèðîâàíèè // Ïðàâîâå, íîðìàò. òà ìåòðîë. çàáåç-
ïå÷åííÿ ñèñòåìè çàõèñòó ³íôîðìàö³¿ â Óêðà¿í³. — 2008. — Âèï. 1 (16). — Ñ. 82–89.
68. Ñ à â ÷ ó ê Ì . Í . , Ø à ð à ï î â  . à . Ìíîãîìåðíûé ñòàòèñòè÷åñêèé òåñò äëÿ äâîè÷íûõ ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòåé // Òàì æå. — 2009. — Âûï. 1 (18). — Ñ. 65–72.
69. Ä Ñ Ò Ó ISO/IEC 18014–1:2006. ²íôîðìàö³éí³ òåõíîëî㳿. Ìåòîäè çàõèñòó. Ïîñëóãè øòåìïåëþâàííÿ ÷àñó.
×. 1. Îñíîâí³ ïîëîæåííÿ (ÄÑÒÓ ISO/IEC 18014–2:2002.IDT) / À. Àí³ñ³ìîâ, Ò. Àâàíåñîâ, Â. Òêà÷åíêî, Î.
Ôàëü (ïåðåêëàä òà íàóê.-òåõí. ðåäàãóâàííÿ). — Êè¿â: Äåðæñïîæèâñòàíäàðò Óêðà¿íè, 2008. — 25 ñ.
70. Ä Ñ Ò Ó ISO/IEC 18014–2:2006. ²íôîðìàö³éí³ òåõíîëî㳿. Ìåòîäè çàõèñòó. Ïîñëóãè øòåìïåëþâàííÿ
÷àñó. ×. 2. Ìåõàí³çìè, ùî âèðîáëÿþòü íåçàëåæí³ òîêåíè (ÄÑÒÓ ISO/IEC 18014–2:2002.IDT) /
À. Àí³ñ³ìîâ, Ò. Àâàíåñîâ, Â. Òêà÷åíêî, Î. Ôàëü. — Êè¿â: Äåðæñïîæèâñòàíäàðò Óêðà¿íè, 2008. — 26 ñ.
71. Ä Ñ Ò Ó ISO/IEC 18014–3:2006. ²íôîðìàö³éí³ òåõíîëî㳿. Ìåòîäè çàõèñòó. Ïîñëóãè øòåìïåëþâàííÿ
÷àñó. ×. 3. Ìåõàí³çìè, ùî âèðîáëÿþòü çâ'ÿçàí³ òîêåíè (ÄÑÒÓ ISO/IEC 18014–3:2002.IDT).
À. Àí³ñ³ìîâ, Ò. Àâàíåñîâ, Â. Òêà÷åíêî, Î. Ôàëü. — Êè¿â: Äåðæñïîæèâñòàíäàðò Óêðà¿íè, 2008. — 32 ñ.
72. Ê î ñ ò è í À . À . , Ì î ë ä î â ÿ í Í . À . , Ô à ë ü À . Ì . Î ðåàëèçàöèè ïðîòîêîëîâ ñëåïîé ïîäïèñè è
êîëëåêòèâíîé ïîäïèñè íà îñíîâå ñòàíäàðòîâ öèôðîâîé ïîäïèñè // Ìàòåðèàëû VI Ñàíêò-Ïåòåðáóðã.
ìåæðåã. êîíô. «Èíôîðìàöèîííàÿ áåçîïàñíîñòü Ðîññèè (ÈÁÐЖ2009), Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, 28–30 îêò. —
ÑÏá.: ÑÏÎÈÑÓ, 2009. — C. 111.
73. Í à ö ³ î í à ë ü í è é ñòàíäàðò Óêðà¿íè. ²íôîðìàö³éí³ òåõíîëî㳿. Êðèïòîãðàô³÷íèé çàõèñò ³íôîðìàö³¿.
Öèôðîâèé ï³äïèñ, ùî ´ðóíòóºòüñÿ íà åë³ïòè÷íèõ êðèâèõ. Ôîðìóâàííÿ òà ïåðåâ³ðÿííÿ. ÄÑÒÓ 4145–2002.
— Êè¿â: Äåðæàâ. êîì³òåò Óêðà¿íè ç ïèòàíü òåõí. ðåãóëþâàííÿ òà ñïîæèâ. ïîë³òèêè, 2003. — 36 ñ.
74. Ë å â è ò ñ ê à ÿ À . À . Òåîðåìû èíâàðèàíòíîñòè äëÿ îäíîãî êëàññà ñèñòåì ñëó÷àéíûõ óðàâíåíèé íàä
ïðîèçâîëüíûì êîíå÷íûì êîëüöîì ñ ëåâîé åäèíèöåé // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2008. —
¹ 6. — Ñ. 106–115.
75. À ë å ê ñ å é ÷ ó ê À . Í . , Ø å â ö î â À . Ñ . Âåðõíèå îöåíêè íåñáàëàíñèðîâàííîñòè áèëèíåéíûõ àï-
ïðîêñèìàöèé ðàóíäîâûõ ôóíêöèé áëî÷íûõ øèôðîâ // Òàì æå. — 2010. — ¹ 3. — Ñ. 42–51.
76. Å í ä î â è ö ê è é Ï . À . Óòî÷íåíèå àñèìïòîòè÷åñêîé àïïðîêñèìàöèè ðàçìåðà ãðóïïû â ïàðàäîêñå
äíåé ðîæäåíèé // Òàì æå. — Ñ. 185–188.
77. Ë å â è ò ñ ê à ÿ À . À . Ðåøåíèå ïðîáëåìû èíâàðèàíòíîñòè âåðîÿòíîñòíûõ õàðàêòåðèñòèê çàâåäîìî
ñîâìåñòíûõ ñèñòåì ñëó÷àéíûõ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé íàä êîíå÷íûì êîììóòàòèâíûì êîëüöîì
ñ åäèíèöåé // Òàì æå. — Ñ. 28–41.
Ïîñòóïèëà 17.02.2010
68 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3
|