О некоторых направлениях исследований, инициированных работами академика И.Н. Коваленко
Наведено огляд деяких напрямків досліджень, які були ініційовані І.М. Коваленком та знайшли відображення у сумісних роботах з автором даної статті. До них відносяться: метод «штучних» моментів регенерації, асимптотична нечутливість, метод Монте-Карло та методи зменшення дисперсії оцінок, принцип мон...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45200 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О некоторых направлениях исследований, инициированных работами академика И.Н. Коваленко / Н.Ю. Кузнецов // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 3. — С. 101-108. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859518665250045952 |
|---|---|
| author | Кузнецов, Н.Ю. |
| author_facet | Кузнецов, Н.Ю. |
| citation_txt | О некоторых направлениях исследований, инициированных работами академика И.Н. Коваленко / Н.Ю. Кузнецов // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 3. — С. 101-108. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Наведено огляд деяких напрямків досліджень, які були ініційовані І.М. Коваленком та знайшли відображення у сумісних роботах з автором даної статті. До них відносяться: метод «штучних» моментів регенерації, асимптотична нечутливість, метод Монте-Карло та методи зменшення дисперсії оцінок, принцип монотонних відмов.
A review of some research guidelines which were initiated by I.N. Kovalenko and used in joint articles with the author is given. These are: method of «artificial» regeneration moments, asymptotic insensitivity, Monte Carlo method and variance reduction methods, principle of monotone failures.
|
| first_indexed | 2025-11-25T20:53:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.21
Í.Þ. ÊÓÇÍÅÖÎÂ
Î ÍÅÊÎÒÎÐÛÕ ÍÀÏÐÀÂËÅÍÈßÕ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÉ,
ÈÍÈÖÈÈÐÎÂÀÍÍÛÕ ÐÀÁÎÒÀÌÈ ÀÊÀÄÅÌÈÊÀ È.Í. ÊÎÂÀËÅÍÊÎ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìåòîä «èñêóññòâåííûõ» ìîìåíòîâ ðåãåíåðàöèè, àñèìïòîòè-
÷åñêàÿ èíâàðèàíòíîñòü, ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî, óñêîðåííîå ìîäåëèðîâàíèå, ïðèíöèï
ìîíîòîííûõ îòêàçîâ.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Äàííóþ ñòàòüþ ÿ ïîñâÿùàþ ñâîåìó Ó÷èòåëþ àêàäåìèêó ÍÀÍ Óêðàèíû, äîêòîðó
ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, äîêòîðó òåõíè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîðó, ëàóðåàòó ãî-
ñóäàðñòâåííûõ ïðåìèé ÑÑÑÐ, ÓÑÑÐ è Óêðàèíû Èãîðþ Íèêîëàåâè÷ó Êîâàëåíêî.
Èãîðü Íèêîëàåâè÷ ñòîÿë ó èñòîêîâ ðàçâèòèÿ ñîâðåìåííîé ìàòåìàòè÷åñêîé òåî-
ðèè íàäåæíîñòè, ðåçóëüòàòû åãî èññëåäîâàíèé ëåãëè â îñíîâó ìíîãî÷èñëåííûõ
íîâûõ íàó÷íûõ íàïðàâëåíèé, ÷òî ïðèíåñëî åìó ìèðîâóþ èçâåñòíîñòü è ïðèçíà-
íèå. Èãîðü Íèêîëàåâè÷ ùåäðî äåëèëñÿ èäåÿìè ñî ñâîèìè ó÷åíèêàìè, ÷òî ñûãðà-
ëî êëþ÷åâóþ ðîëü ïðè ïîäãîòîâêå è çàùèòå äåñÿòè äîêòîðñêèõ è ñâûøå 30 êàí-
äèäàòñêèõ äèññåðòàöèé.
Àâòîðó ïîñ÷àñòëèâèëîñü ïîçíàêîìèòüñÿ ñ Èãîðåì Íèêîëàåâè÷åì åùå â 1973 ã.,
áóäó÷è ñòóäåíòîì òðåòüåãî êóðñà ôàêóëüòåòà êèáåðíåòèêè Êèåâñêîãî íàöèîíàëüíî-
ãî óíèâåðñèòåòà èìåíè Òàðàñà Øåâ÷åíêî. Èäåè È.Í. Êîâàëåíêî íà äîëãèå ãîäû
ïðåäîïðåäåëèëè îáëàñòü íàó÷íûõ èíòåðåñîâ àâòîðà.
Öåëü íàñòîÿùåé ñòàòüè — îáçîð íåêîòîðûõ íàïðàâëåíèé èññëåäîâàíèé, èíèöèè-
ðîâàííûõ È.Í. Êîâàëåíêî è íàøåäøèõ ñâîå îòðàæåíèå â ñîâìåñòíûõ ðàáîòàõ ñ àâòî-
ðîì äàííîé ñòàòüè, ê íàñòîÿùåìó ìîìåíòó èõ íàñ÷èòûâàåòñÿ óæå 16, â òîì ÷èñëå òðè
êíèãè. Òåìàòèêó èññëåäîâàíèé óñëîâíî ìîæíî ðàçáèòü íà ÷åòûðå íàïðàâëåíèÿ:
� ìåòîä «èñêóññòâåííûõ» ìîìåíòîâ ðåãåíåðàöèè;
� àñèìïòîòè÷åñêàÿ íå÷óâñòâèòåëüíîñòü;
� ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî è ìåòîäû ïîíèæåíèÿ äèñïåðñèè îöåíîê;
� ïðèíöèï ìîíîòîííûõ îòêàçîâ.
Ðàññìîòðèì êàæäîå èç ýòèõ íàïðàâëåíèé â îòäåëüíîñòè.
ÌÅÒÎÄ «ÈÑÊÓÑÑÒÂÅÍÍÛÕ» ÌÎÌÅÍÒÎÂ ÐÅÃÅÍÅÐÀÖÈÈ
Ñóùåñòâîâàíèå âëîæåííîãî ïðîöåññà âîññòàíîâëåíèÿ çíà÷èòåëüíî îáëåã÷àåò àíà-
ëèç ñëîæíûõ ñèñòåì.  òåîðèè ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ ïðèíÿòî ñ÷èòàòü, ÷òî òà-
êîé ïðîöåññ ñóùåñòâóåò ëèøü â òîì ñëó÷àå, êîãäà îñíîâíîé ìàðêîâñêèé ïðî-
öåññ, îïèñûâàþùèé ïîâåäåíèå ñèñòåìû, ëèíåé÷àòûé. Áîëåå îáùèé ñëó÷àé, êîãäà
â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè îäíîâðåìåííî ôóíêöèîíèðóåò õîòÿ áû äâà ýëåìåíòà ñ
«íåìàðêîâñêèì» õàðàêòåðîì îòêàçîâ, èññëåäîâàòü ïðèíöèïèàëüíî ñëîæíåå, òàê
êàê íå óäàåòñÿ ïîñòðîèòü âëîæåííóþ öåïü Ìàðêîâà ñ êîíå÷íûì èëè ñ÷åòíûì
ìíîæåñòâîì ñîñòîÿíèé. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ È.Í. Êîâàëåíêî, ñèñòåìà íàçûâà-
åòñÿ ñóùåñòâåííî ìíîãîëèíåéíîé, åñëè åå ïîâåäåíèå ìîæíî îïèñàòü ìàðêîâñêèì
ïðîöåññîì âèäà
� � � � �( ) ( ( ); ( ), , ( )),| ( )|t t t t tt� �1 0� ,
ïðè÷åì äëÿ ëþáîãî ôèêñèðîâàííîãî t � 0 ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 | ( )|� t � 2 . Çäåñü
�( )t — äèñêðåòíàÿ êîìïîíåíòà, îòîáðàæàþùàÿ ñîñòîÿíèå ñèñòåìû, �1 ( ),t �
� , ( )| ( )|� � t t — äîïîëíèòåëüíûå íåïðåðûâíûå ïåðåìåííûå, ïðèíèìàþùèå çíà÷å-
íèÿ â [ , )0 � è ââîäèìûå äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðîöåññ �( )t , t � 0 , ñòàë ìàðêîâñêèì, à
| ( )|� t — ÷èñëî äîïîëíèòåëüíûõ ïåðåìåííûõ ïðè ñîñòîÿíèè ñèñòåìû �( )t . Ïðè
ýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî çíà÷åíèå | ( )|� t íå ìîæåò áûòü óìåíüøåíî ïóòåì ðàñ-
øèðåíèÿ ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèé äèñêðåòíîé êîìïîíåíòû �( )t .
Íà ïðîòÿæåíèè ìíîãèõ ëåò ó÷åíûå ðàçíûõ ñòðàí ïûòàëèñü ïîäîáðàòü êëþ÷è ê
ðåøåíèþ ïðîáëåìû èññëåäîâàíèÿ ñóùåñòâåííî ìíîãîëèíåéíûõ ñèñòåì. Ëèøü
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 101
� Í.Þ. Êóçíåöîâ, 2010
â êîíöå 70-õ – íà÷àëå 80-õ ãîäîâ ïðîøëîãî ñòîëåòèÿ óäàëîñü äîñòè÷ü ñóùåñòâåííî-
ãî ïðîãðåññà. Áûëè ðàçðàáîòàíû ïîäõîäû, ïîçâîëÿþùèå ïîëó÷àòü ðåçóëüòàòû è
â ñëó÷àå ñóùåñòâåííî ìíîãîëèíåéíûõ ñèñòåì. Çäåñü ñëåäóåò óïîìÿíóòü ìåòîä ðàñ-
ùåïëåíèÿ ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà [1], ìåòîä îáíîâëåíèé [2], ìåòîä ðåêóððåíòíûõ
ìàðêîâñêèõ öåïåé [3] è ïðîöåññû ìàðêîâñêîãî âîññòàíîâëåíèÿ [4]. Â ýòîì ðÿäó
îäíî èç ïåðâûõ ìåñò ïî ïðàâó çàíèìàåò ðàáîòà È.Í. Êîâàëåíêî [5], â êîòîðîé ïðåä-
ëîæåí ïðèíöèïèàëüíî íîâûé ìåòîä ïîñòðîåíèÿ «èñêóññòâåííûõ» ìîìåíòîâ ðåãåíå-
ðàöèè äëÿ ïðîöåññîâ, îïèñûâàþùèõ ïîâåäåíèå ñóùåñòâåííî ìíîãîëèíåéíûõ ñèñòåì.
Ïðè ýòîì îòêðûëèñü øèðîêèå ïåðñïåêòèâû îáîáùåíèÿ ðåçóëüòàòîâ, ïîëó÷åííûõ äëÿ
ñèñòåì, îïèñûâàåìûõ ðåãåíåðèðóþùèìè ïðîöåññàìè, íà ñèñòåìû, èññëåäîâàíèå êî-
òîðûõ åùå äî íåäàâíåãî âðåìåíè ïðåäñòàâëÿëîñü ñîâåðøåííî ìàëîïåðñïåêòèâíûì.
 ÷àñòíîñòè, ñ ïîìîùüþ ìåòîäà «èñêóññòâåííûõ» ìîìåíòîâ ðåãåíåðàöèè äëÿ ìíîãî-
÷èñëåííûõ ñèñòåì îáñëóæèâàíèÿ è ðåçåðâèðîâàííûõ ñèñòåì äîêàçàíû [6, 7] ïðåä-
åëüíûå òåîðåìû î ðàñïðåäåëåíèè ïåðâîãî ìîìåíòà íàñòóïëåíèÿ ðåäêîãî ñîáûòèÿ
(ïîòåðè òðåáîâàíèÿ, îòêàçà ñèñòåìû).
Ïðîèëëþñòðèðóåì èäåþ ìåòîäà ïîñòðîåíèÿ «èñêóññòâåííûõ» ìîìåíòîâ ðåãå-
íåðàöèè íà ïðèìåðå m íåçàâèñèìûõ ïðîöåññîâ âîññòàíîâëåíèÿ, îïðåäåëÿåìûõ
ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ F x i mi ( ), , ,� 1 � .
Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ïðîñòîé ïðîöåññ âîññòàíîâëåíèÿ ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëå-
íèÿ F x( ) âðåìåíè � ìåæäó ïîñëåäîâàòåëüíûìè ìîìåíòàìè âîññòàíîâëåíèÿ. Îáîçíà-
÷èì �( )t âåëè÷èíó ïåðåñêîêà, ò.å. âðåìÿ îò ìîìåíòà t äî ñëåäóþùåãî ïîñëå t ìîìåí-
òà âîññòàíîâëåíèÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóþò � �� �0 0, è T � � òàêèå, ÷òî
äëÿ ëþáîãî t T� è ëþáîãî áîðåëåâñêîãî ìíîæåñòâà A [ , ]0 �
P{ }� �( )t A dz
A
� � . (1)
Èç ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî t T� è äëÿ ëþáîãî áîðåëåâñêî-
ãî ìíîæåñòâà A �[ , ]0
P P{ } { }� �� � � ��( ) ( , ) ( ) ( , )t A A U t A
�
�
0 1 , (2)
ãäå � �( , )0 — ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííàÿ â [ , ]0 � ; äëÿ êàæ-
äîãî t T� U t A( , ) — íåêîòîðàÿ âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà, çàäàííàÿ íà -àëãåáðå áîðå-
ëåâñêèõ ìíîæåñòâ èç [ , )0 � . Èç ñîîòíîøåíèÿ (2) ñëåäóåò, ÷òî ïðè t T� ñ âåðîÿò-
íîñòüþ �� �( )t èìååò ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå â [ , ]0 � .
Ïóñòü òåïåðü èìååòñÿ m íåçàâèñèìûõ ïðîöåññîâ âîññòàíîâëåíèÿ, îïðåäåëÿå-
ìûõ ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ F x i mi ( ), , ,� 1 � . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî
i m� 1, ,� � i t( ) óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèþ (1), ãäå � i t( ) — âåëè÷èíà ïåðåñêîêà â
ìîìåíò t ó i-ãî ïðîöåññà âîññòàíîâëåíèÿ. Ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { }t nn , � 0 ,
îïðåäåëÿåìóþ ïî ñëåäóþùåé ðåêóððåíòíîé ñõåìå:
t t t t R i m t T R nn n i n n0 10 1 1� � � � � � � � � �
, : ( ) , , ,
�
inf { } , (3)
ãäå R � 0 — íåêîòîðîå ôèêñèðîâàííîå êîíå÷íîå ÷èñëî. Èç ïîñòðîåíèÿ ïîñëåäî-
âàòåëüíîñòåé { }
n n, � 1 è { }t nn , � 1 ñëåäóåò, ÷òî â êàæäûé èç ìîìåíòîâ t n ñîîò-
íîøåíèå (2) ñïðàâåäëèâî äëÿ âñåõ � i t i m( ), , ,� 1 � . Ââåäåì íåçàâèñèìûå â ñî-
âîêóïíîñòè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû I n , ïðèíèìàþùèå çíà÷åíèå 1 ñ âåðîÿòíîñòüþ
( )�� m è 0 — ñ âåðîÿòíîñòüþ 1
( )�� m . Ïîñòðîèâ ðåàëèçàöèþ äàííûõ ñëó÷àéíûõ
âåëè÷èí, ïîëó÷èì íîâóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { }t k
* , êîòîðàÿ îáðàçóåòñÿ ïî ïðàâè-
ëó: t tn k
{ }* , åñëè I n � 1. Ìîìåíòû { }t k
* íàçûâàþòñÿ «èñêóññòâåííûìè» ìîìåíòà-
ìè ðåãåíåðàöèè. Â êàæäûé èç ìîìåíòîâ t k
* âñå � i t i m( ), , ,� 1 � , íåçàâèñèìû è
ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíû â èíòåðâàëå ( , )0 � . Ýòî ñëåäóåò èç èíòåðïðåòàöèè ñî-
îòíîøåíèÿ (2).
Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå óêàçûâàåò ïðîñòûå óñëîâèÿ, ãàðàíòèðóþùèå âûïîë-
íåíèå ñîîòíîøåíèÿ (1).
Ëåììà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî M� � � è ñóùåñòâóþò òàêèå ÷èñëà a b c, ,
( , )0 0� � � � �a b c , ÷òî äëÿ ëþáûõ � �, ( )a b� � �� �
F F c( ) ( ) ( )� � � �
�
. (4)
Òîãäà ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå (1).
102 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3
Òåîðåìà. Åñëè óñëîâèÿ ëåììû âûïîëíåíû äëÿ êàæäîãî èç m ïðîöåññîâ âîññòà-
íîâëåíèÿ, òî ïðè îïðåäåëåííîì âûáîðå R M( )* *t tk k�
� �1 .
Òàêèì îáðàçîì, ïðè åñòåñòâåííûõ è äîñòàòî÷íî ïðîñòî ïðîâåðÿåìûõ óñëîâèÿõ
òèïà (4) óäàåòñÿ ñòðîèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü «èñêóññòâåííûõ» ìîìåíòîâ ðåãåíåðà-
öèè ñ êîíå÷íûì ñðåäíèì âðåìåíåì ìåæäó ïîñëåäîâàòåëüíûìè ìîìåíòàìè.
Èäåÿ ïîñòðîåíèÿ «èñêóññòâåííûõ» ìîìåíòîâ ðåãåíåðàöèè ðåàëèçîâàíà â [6, 7]
è äëÿ ïðîöåññîâ âåñüìà îáùåãî âèäà, êîãäà ïîñëå ìîìåíòîâ îáðàùåíèÿ � i t( ) â íóëü
ñëåäóþò èìïóëüñû (â èíòåðïðåòàöèè — âîññòàíîâëåíèå ýëåìåíòîâ) ñ ìàëîé ñðåä-
íåé äëèòåëüíîñòüþ, ïðè÷åì âî âðåìÿ ýòèõ èìïóëüñîâ ïðîöåññû { }� i t( ) ìîãóò èçìå-
íÿòüñÿ «èñêàæåííûì» îáðàçîì. Ýòî òèïè÷íàÿ ñõåìà äëÿ îïèñàíèÿ ôóíêöèîíèðîâà-
íèÿ ðåçåðâèðîâàííûõ ñèñòåì ñ âîññòàíîâëåíèåì.
Îáðàòèì âíèìàíèå íà âàæíîå ñâîéñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîâåäåíèå ñèñòåìû
îïèñûâàåòñÿ ñëó÷àéíûì ïðîöåññîì �( ),t t � 0 , è ïðè ýòîì óäàëîñü ïîñòðîèòü ïîñëå-
äîâàòåëüíîñòü { }t k
* «èñêóññòâåííûõ» ìîìåíòîâ ðåãåíåðàöèè. Îáîçíà÷èâ Bk íåêîòî-
ðîå ñîáûòèå, ñâÿçàííîå ñ òðàåêòîðèåé ïðîöåññà â [ , )* *t tk k�1 , ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî
ñîáûòèÿ B
k
è Bk j� íåçàâèñèìû ïðè j � 2 . Â òî æå âðåìÿ ñîáûòèÿ Bk è Bk�1 ìîãóò
áûòü çàâèñèìû. Èìåííî äàííîå ñâîéñòâî ïîçâîëèëî äîêàçàòü ðÿä ïðåäåëüíûõ òåî-
ðåì [6, 7] î ðàñïðåäåëåíèè ïåðâîãî ìîìåíòà íàñòóïëåíèÿ ðåäêîãî ñîáûòèÿ â ñèñòå-
ìàõ, äëÿ êîòîðûõ íåâîçìîæíî ïîñòðîåíèå ðåãåíåðèðóþùåãî ïðîöåññà â îáû÷íîì
ñìûñëå.
ÀÑÈÌÏÒÎÒÈ×ÅÑÊÀß ÍÅ×ÓÂÑÒÂÈÒÅËÜÍÎÑÒÜ
Ïðè ðåøåíèè ìíîãèõ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ âîçíèêàåò ïîòðåáíîñòü â ïîñòðîåíèè
êîëè÷åñòâåííûõ îöåíîê áëèçîñòè èñêîìûõ ïîêàçàòåëåé íàäåæíîñòè ñèñòåì ñ íå-
çíà÷èòåëüíî îòëè÷àþùèìèñÿ õàðàêòåðèñòèêàìè. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ òàêèõ îöåíîê
èíîãäà óäàåòñÿ èñïîëüçîâàòü àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû [8–10]. Îäíàêî èõ ïðàêòè-
÷åñêîå ïðèìåíåíèå îãðàíè÷åíî äâóìÿ ôàêòîðàìè: ñëîæíîñòüþ ðåàëüíûõ ñèñòåì
è íåäîñòàòî÷íîé äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ òî÷íîñòüþ ïîëó÷àåìûõ îöåíîê. Ìå-
òîä æå Ìîíòå-Êàðëî âîîáùå íå ïîçâîëÿåò óëîâèòü ðàçëè÷èå ìåæäó ñèñòåìàìè ñ
íåçíà÷èòåëüíî îòëè÷àþùèìèñÿ õàðàêòåðèñòèêàìè.
È.Í. Êîâàëåíêî ïðåäëîæèë íîâûé ìåòîä [11, 12] ïîñòðîåíèÿ ÷èñëåííûõ îöå-
íîê íåïðåðûâíîñòè õàðàêòåðèñòèê ñèñòåì ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ è ðåçåðâèðî-
âàííûõ ñèñòåì, îñíîâàííûé íà ñîâìåñòíîì èñïîëüçîâàíèè ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäå-
ëèðîâàíèÿ âñïîìîãàòåëüíîé öåïè Ìàðêîâà è àíàëèòè÷åñêîì âû÷èñëåíèè íåêîòî-
ðûõ ôóíêöèîíàëîâ îò åå òðàåêòîðèé.
Ðàññìàòðèâàåòñÿ îäíîðîäíàÿ öåïü Ìàðêîâà { }� n n, � 0 , ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèÿ
â èçìåðèìîì ïðîñòðàíñòâå ( , )X F , 0
X — íåêîòîðîå âûäåëåííîå ñîñòîÿíèå (ñî-
ñòîÿíèå ðåãåíåðàöèè). Ïåðåõîäíóþ ôóíêöèþ îáîçíà÷èì
P A y A y An n( | ) | ,�
�
P{ }� � 1 F.
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî â ñîñòîÿíèå 0 öåïü Ìàðêîâà { }� n n, � 0 âîçâðàùàåòñÿ ñ âå-
ðîÿòíîñòüþ 1, ñðåäíåå âðåìÿ âîçâðàùåíèÿ êîíå÷íî è âûïîëíåíî óñëîâèå àïåðèî-
äè÷íîñòè. Îáîçíà÷èì
( )A ýðãîäè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå { }� n n, � 0 .
Ðàññìîòðèì òàêæå öåïü Ìàðêîâà { }� n n( ) ,0 0� ñ ïåðåõîäíîé ôóíêöèåé P A y0 ( | ) ,
ýðãîäè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå
0 ( )A êîòîðîé èçâåñòíî. Ïóñòü P A y P A y1 ( | ) ( | )�
P A y0 ( | ) . Ïîëîæèì
P A y y P A y P A y1 ( | ) ( ) [ ( | ) ( | )]�
�
� ,
ãäå �( )y � 0, à P A y� ( | ) — âåðîÿòíîñòíûå ìåðû ïðè ëþáîì y X
, äëÿ êîòîðîãî
�( )y � 0 . Çàäà÷à ñîñòîèò â îöåíêå âåëè÷èíû
a f x dx f x dx
X X
�
� �( ) ( ) ( ) ( )
0 , (5)
ãäå f x( ) — çàäàííàÿ ôóíêöèÿ, îáà èíòåãðàëà â ïðàâîé ÷àñòè (5) êîíå÷íû.
Ïðè óêàçàííûõ óñëîâèÿõ â ðàáîòàõ [11, 12] ïîëó÷åíà ÿâíàÿ àíàëèòè÷åñêàÿ ôîð-
ìóëà äëÿ ðàñ÷åòà ïîïðàâêè a, â êîòîðóþ âõîäÿò âåëè÷èíû, âû÷èñëÿåìûå ìåòîäîì
Ìîíòå-Êàðëî êàê ôóíêöèîíàëû òðàåêòîðèé íåêîòîðîé âñïîìîãàòåëüíîé öåïè
Ìàðêîâà.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 103
Äàííîå íàïðàâëåíèå èññëåäîâàíèé ïðîäîëæàåò ðàáîòà [13], â êîòîðîé ïðåäëî-
æåí íîâûé ìåòîä îöåíêè áëèçîñòè íåñòàöèîíàðíîãî è ñòàöèîíàðíîãî êîýôôèöèåí-
òîâ ãîòîâíîñòè âîññòàíàâëèâàåìîé ñèñòåìû.
Ðàññìîòðèì âîññòàíàâëèâàåìóþ ñèñòåìó ìîíîòîííîé ñòðóêòóðû, ñîñòîÿùóþ
èç m íåçàâèñèìî ôóíêöèîíèðóþùèõ ýëåìåíòîâ, èìåþùèõ ïîêàçàòåëüíî ðàñïðåäå-
ëåííûå äëèòåëüíîñòè áåçîòêàçíîé ðàáîòû ñ ïîñòîÿííûìè èíòåíñèâíîñòÿìè îòêàçà
ýëåìåíòîâ { }� i . ×èñëî êàíàëîâ è äèñöèïëèíà âîññòàíîâëåíèÿ îòêàçàâøèõ ýëåìåí-
òîâ ìîæåò áûòü ïðîèçâîëüíîé. Ïðè ýòîì íå íàêëàäûâàþòñÿ êàêèå-ëèáî îãðàíè÷å-
íèÿ íà ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ äëèòåëüíîñòåé âîññòàíîâëåíèÿ ýëåìåíòîâ, çà èñ-
êëþ÷åíèåì êîíå÷íîñòè ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé. Êðîìå òîãî, çàäàí êðèòåðèé (íà-
ïðèìåð, ñòðóêòóðíàÿ ôóíêöèÿ), ïîçâîëÿþùèé îïðåäåëÿòü, ÿâëÿåòñÿ ëè òåêóùåå
ñîñòîÿíèå îòêàçîâûì. Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèîíèðîâàíèå ñèñòåìû îïèñûâàåòñÿ
àëüòåðíèðóþùèì ïðîöåññîì âîññòàíîâëåíèÿ, ïåðâàÿ ôàçà êîòîðîãî ñîîòâåòñòâóåò
èñïðàâíîñòè âñåõ m ýëåìåíòîâ è èìååò ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì
� ��
�
� i
i
m
1
, à âòîðàÿ ôàçà (ïåðèîä çàíÿòîñòè) — èíòåðâàë âðåìåíè, êîãäà õîòÿ áû
îäèí èç ýëåìåíòîâ íåèñïðàâåí.  íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè âñå ýëåìåíòû
ïðåäïîëàãàþòñÿ èñïðàâíûìè.
Ïóñòü K t( ) — íåñòàöèîíàðíûé êîýôôèöèåíò ãîòîâíîñòè, ò.å. âåðîÿòíîñòü òîãî,
÷òî ñèñòåìà èñïðàâíà â ìîìåíò t. Ñòàöèîíàðíûé êîýôôèöèåíò ãîòîâíîñòè îáîçíà÷èì
K K� �( ) . Äëÿ ðàçíîñòè K t K( )
È.Í. Êîâàëåíêî [13] ïîëó÷èë àíàëèòè÷åñêóþ ôîð-
ìóëó â âèäå áûñòðî ñõîäÿùåãîñÿ çíàêîïåðåìåííîãî ðÿäà, ñîäåðæàùóþ íåêîòîðûå ïà-
ðàìåòðû, âû÷èñëåíèå êîòîðûõ íå ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåíî ïî ÿâíûì àíàëèòè÷åñêèì
ôîðìóëàì. Â òî æå âðåìÿ óäàëîñü ïðåäëîæèòü ýôôåêòèâíóþ ñõåìó îöåíêè ýòèõ ïàðà-
ìåòðîâ ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî. Äàííàÿ ñõåìà ðåàëèçîâàíà äëÿ êîíêðåòíîãî êëàññà ðå-
çåðâèðîâàííûõ ñèñòåì, îòêàçîâûå ñîñòîÿíèÿ êîòîðûõ îïðåäåëÿþòñÿ ìíîæåñòâîì ìè-
íèìàëüíûõ îòêàçîâûõ ñå÷åíèé. Ïðåäëîæåííûé ïîäõîä ïîçâîëÿåò, â ÷àñòíîñòè, îöå-
íèòü ñêîðîñòü âõîæäåíèÿ ñèñòåìû â ñòàöèîíàðíûé ðåæèì.
Ìåòîäû ðàñ÷åòà ïîïðàâîê íàõîäÿò ïðèìåíåíèå è äëÿ ðåøåíèÿ îïòèìèçàöèîí-
íûõ çàäà÷ òåîðèè íàäåæíîñòè, èãðàþùèõ îñîáåííî âàæíóþ ðîëü íà ýòàïàõ ïðîåê-
òèðîâàíèÿ ñèñòåì.  ÷àñòíîñòè, áîëüøîå çíà÷åíèå èìåþò èññëåäîâàíèÿ, íàïðàâëåí-
íûå íà îöåíêó âëèÿíèÿ íàäåæíîñòè ðàçëè÷íûõ ãðóïï ýëåìåíòîâ íà íàäåæíîñòü ñèñ-
òåìû â öåëîì. Òàêèå èññëåäîâàíèÿ ïîçâîëÿþò âûÿâèòü «ñëàáûå ìåñòà» ñèñòåì,
à òàêæå îáîñíîâàòü òðåáîâàíèÿ ê íàäåæíîñòè ñîñòàâëÿþùèõ ñèñòåìó ýëåìåíòîâ äëÿ
îáåñïå÷åíèÿ òðåáóåìîé íàäåæíîñòè ñèñòåìû â öåëîì. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà
çàäà÷è ñîñòîèò â ñëåäóþùåì [14].
Ïóñòü èìååòñÿ ñèñòåìà ôèêñèðîâàííîé ñòðóêòóðû, ñîñòîÿùàÿ èç m ýëåìåíòîâ.
Âñå ýëåìåíòû ðàçáèòû íà n ãðóïï îäíîòèïíûõ â êàæäîé ãðóïïå ýëåìåíòîâ. Ïðåäïî-
ëîæèì, ÷òî äëèòåëüíîñòè áåçîòêàçíîé ðàáîòû ýëåìåíòîâ i-é ãðóïïû ( )1� �i n èìå-
þò ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñî ñðåäíèì
i . Íå êîíêðåòèçèðóÿ îñòàëüíûå
õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû è, â ÷àñòíîñòè, ìíîæåñòâî ñîñòîÿíèé åå íåèñïðàâíîñòè,
îáîçíà÷èì P n( , , )
1 � âåðîÿòíîñòü îòêàçà ñèñòåìû â ôèêñèðîâàííîì ïðîìåæóòêå
[ , ]0 T ïðè çàäàííûõ { }
i . Ïóñòü, äàëåå, çàäàíà ôóíêöèÿ �
( , , )1 � n , îïðåäåëÿþ-
ùàÿ çàòðàòû íà èçãîòîâëåíèå ñèñòåìû ñî ñðåäíèìè äëèòåëüíîñòÿìè áåçîòêàçíîé
ðàáîòû ýëåìåíòîâ
1 , ,� n . Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ýòà ôóíêöèÿ ñòðîãî âûïóêëàÿ,
ìîíîòîííî âîçðàñòàþùàÿ è íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ïî êàæäîé ïåðåìåííîé.
Òðåáóåòñÿ ðåøèòü ñëåäóþùóþ çàäà÷ó íåëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ:
�
( , , ) min1 � n � (6)
ïðè îãðàíè÷åíèÿõ
P qn( , , )
1 � � , (7)
i i i n
� ��( , ],0 1 , (8)
ãäå q i ni
� � ��( , ), ( , ],0 1 0 1
, — íåêîòîðûå ôèêñèðîâàííûå ÷èñëà.
 ðàáîòå [14] ïðåäëîæåí ìåòîä ðåøåíèÿ äàííîé çàäà÷è, îñíîâàííûé íà ïî-
ñòðîåíèè êîëè÷åñòâåííûõ îöåíîê íåïðåðûâíîñòè ñ èñïîëüçîâàíèåì óñêîðåííîãî
ìîäåëèðîâàíèÿ è ìåòîäîâ ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ.  êà÷åñòâå êðèòå-
ðèÿ, îöåíèâàþùåãî ñòåïåíü âëèÿíèÿ íàäåæíîñòè ðàçëè÷íûõ ãðóïï ýëåìåíòîâ íà
104 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3
P n( , , )
1 � , âûáèðàåòñÿ ãðàäèåíò
� �
�
�
�
�
�
�
��
�
�
��P
P Pn n
n
( , , )
, ,
( , , )
1
1
1�
�
�
.
Ïðè âû÷èñëåíèè ãðàäèåíòà êëþ÷åâûì ÿâëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå
P P Ai i i n n i n( , , , , , , ) ( , , ) ( , ,
�
�
1 1 1 1 1� � � �
�� � � ) ( )� o � ,
ïðè÷åì êîýôôèöèåíò Ai n( , , )
1 � ïðè � âû÷èñëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ñïåöèàëüíîãî
àëãîðèòìà ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ, ò.å.
�
�
� � � �
P
A i nn
i
i n i n
( , , )
( , , ) ( , , ),
�
1
1 1 1
�
� �M ,
è àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ðåàëèçàöèé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí { }�
i n( , , )1 � èçâåñòåí.
Äàëåå, äëÿ ðåøåíèÿ îïòèìèçàöèîííîé çàäà÷è (6)–(8) èñïîëüçóþòñÿ ìåòîäû ñòî-
õàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ [15].
 ðàáîòå [16] ïðèâåäåí îáçîð ðåçóëüòàòîâ, îòíîñÿùèõñÿ ê àñèìïòîòè÷åñêîé íå-
÷óâñòâèòåëüíîñòè ñòàöèîíàðíûõ õàðàêòåðèñòèê ñèñòåì ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ
ïðè âîçìóùåíèè òåõ èëè èíûõ ïàðàìåòðîâ. Øèðîêî èçâåñòíà òåîðåìà È.Í. Êîâà-
ëåíêî, óñòàíàâëèâàþùàÿ íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå íåçàâèñèìîñòè ñòàöè-
îíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ñîñòîÿíèé îäíîãî êëàññà ðåçåðâèðîâàííûõ
ñèñòåì îòíîñèòåëüíî âèäà ðàñïðåäåëåíèÿ âðåìåíè âîññòàíîâëåíèÿ ýëåìåíòîâ ïðè
ôèêñèðîâàííîì ñðåäíåì âðåìåíè. Âîçíèêàåò çàäà÷à ðàñ÷åòà ïîïðàâîê ê ñòàöèîíàð-
íûì âåðîÿòíîñòÿì ñîñòîÿíèé â ñëó÷àå, êîãäà âûïîëíåíî óñëîâèå, áëèçêîå ê äàííî-
ìó óñëîâèþ íå÷óâñòâèòåëüíîñòè. Äëÿ ðàñ÷åòà ïîïðàâîê ñ òî÷íîñòüþ äî o( )� â [16]
ïîëó÷åíà ÿâíàÿ àíàëèòè÷åñêàÿ ôîðìóëà, ñîäåðæàùàÿ íåêîòîðûå ïàðàìåòðû, äëÿ
âû÷èñëåíèÿ êîòîðûõ ðàçðàáîòàíû ýôôåêòèâíûå ìåòîäû ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðî-
âàíèÿ. Ñðåäè äðóãèõ ðåçóëüòàòîâ, ïðèâåäåííûõ â [16], îòìåòèì ìåòîä ðàñ÷åòà ñòà-
öèîíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé ñîñòîÿíèé ñèñòåìû GI G n/ / / 0 , ó êîòîðîé ðåêóððåíòíûé
ïîòîê âõîäÿùèõ òðåáîâàíèé â îïðåäåëåííîì ñìûñëå áëèçîê ê ïóàññîíîâñêîìó. Ïðè
ýòîì «îïîðíîé» ñèñòåìîé ÿâëÿåòñÿ ñèñòåìà Ýðëàíãà M G n/ / / 0 , äëÿ êîòîðîé
ñòàöèîíàðíûå âåðîÿòíîñòè íàõîäÿòñÿ â ÿâíîì âèäå.
Ñðåäè íàèáîëåå çíà÷èìûõ ðåçóëüòàòîâ, ïîëó÷åííûõ â äàííîé îáëàñòè â ïî-
ñëåäíåå âðåìÿ, îòìåòèì ðàáîòó [17], â êîòîðîé èññëåäîâàíû òðè ñëó÷àÿ àñèìïòîòè-
÷åñêîé íå÷óâñòâèòåëüíîñòè âåðîÿòíîñòè ïîòåðè òðåáîâàíèÿ â ñèñòåìå GI G n/ / / 0
îò âèäà ðàñïðåäåëåíèÿ âðåìåíè îáñëóæèâàíèÿ.
ÌÅÒÎÄ ÌÎÍÒÅ-ÊÀÐËÎ È ÌÅÒÎÄÛ ÏÎÍÈÆÅÍÈß ÄÈÑÏÅÐÑÈÈ ÎÖÅÍÎÊ
Íà÷àëî èíòåíñèâíîãî ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî (ìåòîäà ñòàòèñòè÷åñêîãî
ìîäåëèðîâàíèÿ) äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ðåàëüíûõ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ ïðèõî-
äèòñÿ íà ñåðåäèíó 40-õ ãîäîâ ïðîøëîãî ñòîëåòèÿ. Âîçìîæíîñòü ïðèìåíåíèÿ ìå-
òîäà Ìîíòå-Êàðëî ê ðåøåíèþ äåòåðìèíèðîâàííûõ çàäà÷ áûëà çàìå÷åíà åùå
Å. Ôåðìè, Äæ. ôîí Íåéìàíîì è Ñ. Óëàìîì. Åãî ñóòü ñîñòîèò â èñïîëüçîâàíèè
ðåàëèçàöèé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ, îïèñû-
âàþùèõ ïîâåäåíèå ñèñòåìû, âû÷èñëåíèè íåêîòîðûõ ôóíêöèîíàëîâ îò òðàåêòî-
ðèé ýòèõ ïðîöåññîâ è ïîñòðîåíèè îöåíêè ïóòåì óñðåäíåíèÿ ïî êîëè÷åñòâó ðåà-
ëèçàöèé [18, 19]. Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë è öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà ãàðàí-
òèðóþò ñõîäèìîñòü ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 îöåíêè ê òî÷íîìó çíà÷åíèþ è ïîçâîëÿþò
îöåíèòü ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè.
Íà ïåðâûõ ïîðàõ ñ÷èòàëîñü, ÷òî ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî óíèâåðñàëåí è ìîæåò èñ-
ïîëüçîâàòüñÿ âî âñåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ñëîæíîñòü çàäà÷è íå ïîçâîëÿåò ïðèìåíèòü àíà-
ëèòè÷åñêèé ïîäõîä. Îäíàêî îêàçàëîñü, ÷òî ïðè îöåíêå âåðîÿòíîñòåé, ñâÿçàííûõ ñ
âîçíèêíîâåíèåì ðåäêèõ ñîáûòèé (íàïðèìåð, àâàðèÿ íà àòîìíîé ýëåêòðîñòàíöèè),
ýòîò ìåòîä ìàëîýôôåêòèâåí, ïîñêîëüêó äëÿ äîñòèæåíèÿ íåîáõîäèìîé òî÷íîñòè îí
òðåáóåò ÷ðåçìåðíûõ çàòðàò âðåìåíè íà ìîäåëèðîâàíèå.  òî æå âðåìÿ èññëåäîâàíèå
îïàñíîñòè âîçíèêíîâåíèÿ èìåííî ðåäêèõ ñîáûòèé ñ áîëüøèì ýêîíîìè÷åñêèì è
ýêîëîãè÷åñêèì óùåðáîì ïðåäñòàâëÿåò íàèáîëüøèé èíòåðåñ.
Óêàçàííûé íåäîñòàòîê ñòèìóëèðîâàë èññëåäîâàíèÿ, íàïðàâëåííûå íà ïîèñê
ìåòîäîâ ïîíèæåíèÿ äèñïåðñèè îöåíîê (à ñëåäîâàòåëüíî, è âðåìåíè ìîäåëèðîâà-
íèÿ), ïîëó÷èâøèõ íàçâàíèå ìåòîäîâ óñêîðåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. Îäíà èç ïåðâûõ
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 105
èäåé â ýòîì íàïðàâëåíèè ïðèíàäëåæèò È.Í. Êîâàëåíêî [20, 21]. Îí ïðåäëîæèë ñõå-
ìó ìîäåëèðîâàíèÿ, ñîãëàñíî êîòîðîé õàðàêòåðèñòèêà íàäåæíîñòè ñèñòåìû a
ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ðÿäà (àíàëèòè÷åñêàÿ ÷àñòü ìåòîäà)
a ci
i
i r
�
�
�
� �
(9)
ïî ñòåïåíÿì ìàëîãî ïàðàìåòðà � � 0 , ïðè÷åì êîýôôèöèåíòû { }ci îò � íå çàâèñÿò
è ìîãóò áûòü âû÷èñëåíû ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî: ci i� M� (ñòàòèñòè÷åñêàÿ ÷àñòü
ìåòîäà).  êà÷åñòâå � ìîæíî âûáèðàòü âåëè÷èíó, êîòîðîé ïðîïîðöèîíàëüíû èí-
òåíñèâíîñòè îòêàçà ýëåìåíòîâ.  ñëó÷àå âûñîêîé íàäåæíîñòè ýëåìåíòîâ (ò.å. ïðè
ìàëûõ çíà÷åíèÿõ �) äëÿ äîñòèæåíèÿ âûñîêîé òî÷íîñòè îöåíêè äîñòàòî÷íî âçÿòü
ëèøü íåñêîëüêî ïåðâûõ ÷ëåíîâ ðÿäà (9). Ìåòîäû, èñïîëüçóþùèå óêàçàííóþ
èäåþ, ïîëó÷èëè íàçâàíèå àíàëèòèêî-ñòàòèñòè÷åñêèõ.
Ôóíäàìåíò ñîâðåìåííîé òåîðèè àíàëèòèêî-ñòàòèñòè÷åñêèõ ìåòîäîâ çàëîæåí â
ðàáîòå [22]. Áûëà ïðåäëîæåíà îáùàÿ ñõåìà, îïèñûâàþùàÿ ïðîöåññ ðàçâèòèÿ àâà-
ðèéíîé ñèòóàöèè â ðåçåðâèðîâàííûõ ñèñòåìàõ ðàíãîâîé ñòðóêòóðû. Ñóòü ïîäõîäà
ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ïîâåäåíèå ñèñòåìû îïèñûâàåòñÿ íåïðåðûâíûì ñïðàâà ìàð-
êîâñêèì ïðîöåññîì �( ), ,t t � 0 ïðèíèìàþùèì çíà÷åíèÿ â èçìåðèìîì ïðîñòðàíñòâå
( , )X F . Âûäåëÿþòñÿ ïîäìíîæåñòâà ñîñòîÿíèé Z Z Zr0 1� � �� , ãäå Z X0 � , à Zr
— ìíîæåñòâî ñîñòîÿíèé îòêàçà ñèñòåìû. Ïîëîæèì
�i it t Z�
inf : ( ){ }, i r� 1, ,� .
Î÷åâèäíî, ÷òî
1 2� � �� r .  [22] ðàçðàáîòàí àëãîðèòì ôîðñèðîâàííîãî ïî-
ñòðîåíèÿ ìîìåíòîâ { }
i òàêèõ, ÷òî
r T� , ãäå [ , ]0 T — ïðîìåæóòîê âðåìåíè, â êîòî-
ðîì èññëåäóåòñÿ ïîâåäåíèå ñèñòåìû. Ïðè ýòîì îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèå
íîðìèðóþùèå ìíîæèòåëè. Äîêàçàíî, ÷òî îöåíêà àñèìïòîòè÷åñêè íåñìåùåííàÿ.
Äàííûé àíàëèòèêî-ñòàòèñòè÷åñêèé ìåòîä ïîñòðîåíèÿ àñèìïòîòè÷åñêè íåñìå-
ùåííûõ îöåíîê íåïîñðåäñòâåííî íà ìîäåëè ñèñòåìû áûë îáîáùåí â [12, 23]. Åãî
ìîäèôèêàöèÿ äëÿ ðàçëè÷íûõ êëàññîâ ðåçåðâèðîâàííûõ ñèñòåì ñ âîññòàíîâëåíèåì
ïîçâîëÿåòñÿ ñòðîèòü íåñìåùåííûå îöåíêè, ïðè÷åì óìåíüøåíèå äèñïåðñèè ñîñòàâ-
ëÿåò â ñðåäíåì äâà ïîðÿäêà, à â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ è çíà÷èòåëüíî áîëüøå. Ïðèíöè-
ïû èññëåäîâàíèÿ ñèñòåì ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî è íåêîòîðûìè ìåòîäàìè óñêîðåí-
íîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ñì. â [24–26].
ÏÐÈÍÖÈÏ ÌÎÍÎÒÎÍÍÛÕ ÎÒÊÀÇÎÂ
Ïðèíöèï ìîíîòîííûõ îòêàçîâ, ïîëó÷èâøèé øèðîêèå ïðàêòè÷åñêèå ïðèìåíåíèÿ â
ïîñëåäíèå ãîäû, áûë ñôîðìóëèðîâàí È.Í. Êîâàëåíêî åùå â 1965 ã. [27]. Îí ïî-
çâîëÿåò ñóùåñòâåííî óïðîñòèòü ðàñ÷åòû íàäåæíîñòè ñèñòåì ïðè ñîõðàíåíèè âû-
ñîêîé òî÷íîñòè. Ñóòü ïðèíöèïà ìîíîòîííûõ îòêàçîâ ñîñòîèò â ñëåäóþùåì.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îòêàç ñèñòåìû íàñòóïàåò ïðè îòêàçå r åå ýëåìåíòîâ. Òîãäà
ïîñëåäîâàòåëüíûå ñîñòîÿíèÿ, îïðåäåëÿåìûå ÷èñëîì îòêàçàâøèõ ýëåìåíòîâ, îáðàçó-
þò öåïî÷êó, íà÷èíàþùóþñÿ íóëåì è çàêàí÷èâàþùóþñÿ ÷èñëîì r. Òàêîé öåïî÷êîé
áóäåò, íàïðèìåð, 0 1 2 3 2 1 1� � � � � � �
�� r r. Ìîíîòîííàÿ öåïî÷êà èìå-
åò âèä 0 1 2 3 1� � � � �
�� r r, ò.å. ýòî íàèêðàò÷àéøèé ïóòü, êîòîðûé ïðîõî-
äèò ñèñòåìà èç àáñîëþòíî èñïðàâíîãî ñîñòîÿíèÿ â îòêàçîâîå. Îêàçàëîñü, ÷òî ñ âîç-
ðàñòàíèåì íàäåæíîñòè ýëåìåíòîâ âåðîÿòíîñòü âîçíèêíîâåíèÿ ìîíîòîííîé îòêàçî-
âîé öåïî÷êè âîçðàñòàåò, â òî âðåìÿ êàê âåðîÿòíîñòü âîçíèêíîâåíèÿ íåìîíîòîííîé
îòêàçîâîé öåïî÷êè ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. Èíà÷å ãîâîðÿ, åñëè q — âåðîÿòíîñòü îòêàçà
ñèñòåìû â òå÷åíèå îäíîãî ïåðèîäà ðåãåíåðàöèè, òî q q q� �0 1, ãäå q0 è q1 — âå-
ðîÿòíîñòè îòêàçà ïî ìîíîòîííîé è íåìîíîòîííîé òðàåêòîðèÿì ñîîòâåòñòâåííî.
 ïîäàâëÿþùåì áîëüøèíñòâå ðåàëüíûõ ïðàêòè÷åñêèõ ñèòóàöèé q o q1 0� ( ) , ò.å. âû-
÷èñëåíèå âåðîÿòíîñòè q ñâîäèòñÿ ê âû÷èñëåíèþ âåðîÿòíîñòè ìîíîòîííîãî îòêà-
çà q0 , êîòîðàÿ âû÷èñëÿåòñÿ ëèáî â ÿâíîì âèäå, ëèáî ïî àñèìïòîòè÷åñêîé ôîðìóëå,
ëèáî îäíèì èç ìåòîäîâ óñêîðåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ.
Øèðîêîå ïðèìåíåíèå ïðèíöèï ìîíîòîííûõ îòêàçîâ íàøåë ïðè âûâîäå àñèìïòî-
òè÷åñêèõ âûðàæåíèé äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âðåìåíè áåçîòêàçíîé ðàáîòû ñèñòåì, ïîâå-
äåíèå êîòîðûõ îïèñûâàåòñÿ ðåãåíåðèðóþùèì ïðîöåññîì [28, 29]. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî
ïðè äîñòàòî÷íî ïðîñòûõ óñëîâèÿõ âðåìÿ áåçîòêàçíîé ðàáîòû èìååò àñèìïòîòè÷åñ-
êè ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì, ïðîïîðöèîíàëüíûì q. Çàìåíà q
íà q0 ñóùåñòâåííî óïðîùàåò ðàñ÷åòû ïðè ñîáëþäåíèè èõ âûñîêîé òî÷íîñòè. Äëÿ
êîíêðåòíîãî êëàññà ñèñòåì îáñëóæèâàíèÿ ñ îãðàíè÷åííîé èíòåíñèâíîñòüþ âõîäÿ-
106 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3
ùåãî ïîòîêà È.Í. Êîâàëåíêî ïðåäëîæèë [30] ýôôåêòèâíûé ìåòîä îöåíêè èíòåíñèâ-
íîñòè ïîòîêà íåìîíîòîííûõ îòêàçîâ.
Ïðèíöèï ìîíîòîííûõ îòêàçîâ ìîæåò ýôôåêòèâíî èñïîëüçîâàòüñÿ è ïðè îöåíêå
íàäåæíîñòè ñèñòåì, ïîâåäåíèå êîòîðûõ íå ìîæåò áûòü îïèñàíî ðåãåíåðèðóþùèì
ïðîöåññîì [31]. Ñóòü äàííîãî ïîäõîäà ñîñòîèò â ñëåäóþùåì.
Ïóñòü �( ),t t � 0 , — íåïðåðûâíûé ñïðàâà ìàðêîâñêèé ïðîöåññ, îïèñûâàþùèé
ïîâåäåíèå íåêîòîðîé ñèñòåìû, ñîäåðæàùåé â ñâîåì ñîñòàâå âîññòàíàâëèâàåìûå
ýëåìåíòû (åñëè âñå ýëåìåíòû íåâîññòàíàâëèâàåìûå, òî ëþáîé îòêàç ìîíîòîííûé).
Îáîçíà÷èì E ìíîæåñòâî îòêàçîâûõ ñîñòîÿíèé. Òðåáóåòñÿ îöåíèòü P T( ) — âåðîÿò-
íîñòü îòêàçà ñèñòåìû â ïðîìåæóòêå [ , ]0 T .
Ââåäåì ïîíÿòèå ìîíîòîííîãî îòêàçà. Ïóñòü �( ) ,t x t T� � . Îáîçíà÷èì B t x( , )
ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî �( )u E
äëÿ íåêîòîðîãî u t T
( , ] è â èíòåðâàëå ( , ]t u
íå áûëî âîññòàíîâëåíî íè îäíîãî ýëåìåíòà ñèñòåìû (ìîíîòîííûé îòêàç èç ñîñòîÿ-
íèÿ x â ìîìåíò t). Äëÿ òîãî ÷òîáû â ïðîìåæóòêå [ , ]0 T ïðîèçîøåë îòêàç ñèñòåìû, íå-
îáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû â [ , ]0 T ïðîèçîøåë ìîíîòîííûé îòêàç (ñîáûòèå
B x( , )
0 0 , ãäå
�
0 0 00� �, ( )x ), ëèáî â íåêîòîðûé ìîìåíò
1 îêîí÷èëîñü âîññòà-
íîâëåíèå îäíîãî èç ýëåìåíòîâ è â ( , ]
1 T ïðîèçîøåë ìîíîòîííûé îòêàç (ñîáûòèå
B x( , )
1 1 , ãäå x1 1� �
( )), ëèáî â ìîìåíò
2 îêîí÷èëîñü âîññòàíîâëåíèå ýëåìåíòà è
â ( , ]
2 T ïðîèçîøåë ìîíîòîííûé îòêàç (ñîáûòèå B x( , )
2 2 , ãäå x2 2� �
( )) è ò.ä.
Äàííûé ïîäõîä ïîçâîëÿåò ñâåñòè âû÷èñëåíèå P T( ) ê âû÷èñëåíèþ âåðîÿòíîñòåé
Q x B xi i i i( , ) ( , )
� P{ } ìîíîòîííîãî îòêàçà â íåêîòîðûõ òî÷êàõ { }( , )
i ix .
Àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ñëó÷àéíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
�
V x� ( ; ,�
0 0 ,
� �1 1, , , , )x x� ñîñòîèò â ñëåäóþùåì.
1. Ïîëàãàåì
�
0 0 00� �, ( )x .
2. Ìîäåëèðóåì ñëó÷àéíûé ïðîöåññ �( )t â ïðîìåæóòêå [ , ]
0 T ïðè óñëîâèè, ÷òî
ñîáûòèå B x( , )
0 0 íå ïðîèçîøëî, è íàõîäèì
1 — ïåðâûé ìîìåíò îêîí÷àíèÿ âîñ-
ñòàíîâëåíèÿ îäíîãî èç ýëåìåíòîâ.
3. Åñëè
1 � T, òî àëãîðèòì îêîí÷åí è â ýòîì ñëó÷àå � � 0 . Åñëè æå
1 � T, òî
ïîëàãàåì x1 1� �
( ) .
4. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî k ïîñòðîåí ìîìåíò
k T� è íàéäåíî ñî-
ñòîÿíèå xk k� �
( ) . Òîãäà ìîäåëèðóåì ñëó÷àéíûé ïðîöåññ �( )t â ïðîìåæóòêå
[ , ]
k T ïðè óñëîâèè, ÷òî ñîáûòèå B xk k( , )
íå ïðîèçîøëî è íàõîäèì
k�1 — ïåðâûé
ìîìåíò îêîí÷àíèÿ âîññòàíîâëåíèÿ îäíîãî èç ýëåìåíòîâ. Åñëè
k T� �1 , òî àëãîðèòì
îêîí÷åí è â ýòîì ñëó÷àå � � k. Åñëè æå
k T� �1 , òî ïîëàãàåì xk k� ��1 1�
( )
è àëãîðèòì ïîâòîðÿåì, óâåëè÷èâàÿ k íà åäèíèöó.
Ïðè ôèêñèðîâàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
�
V íåñìåùåííîé îöåíêîé âåðîÿòíîñòè
P T( ) ñëóæèò âåëè÷èíà
p V Q xj j
j
( ) – [ ( , )]
�
�
�
�1 1
0
�
.
Óñðåäíÿÿ ïî ðåàëèçàöèÿì
�
V, ñòðîèì îöåíêó ñ çàäàííûìè äîñòîâåðíîñòüþ è
òî÷íîñòüþ. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé { }Q xj j( , )
ìîíîòîííîãî îòêàçà ìîãóò
èñïîëüçîâàòüñÿ ñàìûå ðàçíîîáðàçíûå ìåòîäû — îò àíàëèòè÷åñêèõ äî ìåòîäîâ
óñêîðåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 íàñòîÿùåì îáçîðå çàòðîíóòû ëèøü íåêîòîðûå íàïðàâëåíèÿ èññëåäîâàíèé,
îñíîâû êîòîðûõ çàëîæåíû â ðàáîòàõ È.Í. Êîâàëåíêî. Ýòè èäåè îñòàâèëè ãëóáî-
êèé ñëåä â îòå÷åñòâåííîé è ìèðîâîé íàóêå, îíè àêòóàëüíû äî ñèõ ïîð è ýôôåê-
òèâíî èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ïîëó÷åíèÿ âñå íîâûõ ðåçóëüòàòîâ. Àâòîð ãëóáîêî áëàãî-
äàðåí Èãîðþ Íèêîëàåâè÷ó íå òîëüêî çà ïîñòîÿííóþ ïîääåðæêó è íîâûå íåñòàí-
äàðòíûå èäåè, êîòîðûìè îí ùåäðî äåëèëñÿ, íî è çà êîíñòðóêòèâíóþ êðèòèêó,
ñïîñîáñòâîâàâøóþ òâîð÷åñêîìó ðîñòó àâòîðà.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. N u m m e l i n E . A splitting technique for �-recurrent Markov chains. — Helsinki: Inst. Math., Helsinki
Univ. Technol. Espoo, 1976.
2. Áîðîâêîâ À.À. Òåîðåìû ýðãîäè÷íîñòè è óñòîé÷èâîñòè äëÿ îäíîãî êëàññà ñòîõàñòè÷åñêèõ óðàâíåíèé è èõ
ïðèëîæåíèÿ // Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è åå ïðèìåíåíèÿ. — 1978. — 23, âûï. 2. — C. 241–262.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 107
3. A t h r e y a K . B . , N e y P . E . A new approach to the limit theory of recurrent Markov chains // Trans.
Amer. Math. Soc. — 1978. — 245, N 1. — P. 493–501.
4. Ê î ð î ë þ ê  . Ñ . , Ò ó ð á è í À . Ô . Ïðîöåññû ìàðêîâñêîãî âîññòàíîâëåíèÿ â çàäà÷àõ íàäåæíîñòè
ñèñòåì. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1982. — 235 ñ.
5. Ê î â à ë å í ê î È . Í . Ïðåäåëüíûå òåîðåìû òåîðèè íàäåæíîñòè // Êèáåðíåòèêà. — 1977. — ¹ 6. —
Ñ. 106–116.
6. Ê î â à ë å í ê î È . Í . , Ê ó ç í å ö î â Í . Þ . Ïîñòðîåíèå âëîæåííîãî ïðîöåññà âîññòàíîâëåíèÿ äëÿ
ñóùåñòâåííî ìíîãîìåðíûõ ïðîöåññîâ òåîðèè ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ è åãî ïðèìåíåíèå ê ïîëó÷åíèþ
ïðåäåëüíûõ òåîðåì. — Êèåâ, 1980. — 60 ñ. — (Ïðåïð. ÀÍ Óêðàèíû / Èí-ò êèáåðíåòèêè; ¹ 80-12).
7. K o v a l e n k o I . N . , K u z n e t s o v N . Y u . Renewal process and rare events limit theorems for essentially
multidimensional queueing processes // Math. Operationsforsch. und Statist. — 1981. — 12, N 2. — P. 211–224.
8. Ç î ë î ò à ð å â  . Ì . Î íåïðåðûâíîñòè ñòîõàñòè÷åñêèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, ïîðîæäàåìûõ ðåêóð-
ðåíòíûìè ïðîöåäóðàìè // Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è åå ïðèìåíåíèÿ. — 1975. — 20, âûï. 4. — Ñ. 834–847.
9. Á î ð î â ê î â À . À . Òåîðåìû ýðãîäè÷íîñòè è óñòîé÷èâîñòè äëÿ îäíîãî êëàññà ñòîõàñòè÷åñêèõ óðàâ-
íåíèé è èõ ïðèìåíåíèÿ // Òàì æå. — 1978. — 23, âûï. 2. — Ñ. 241–262.
10. Ê à ë à ø í è ê î â  .  . Êà÷åñòâåííûé àíàëèç ïîâåäåíèÿ ñëîæíûõ ñèñòåì ìåòîäîì ïðîáíûõ ôóíê-
öèé. — Ì.: Íàóêà, 1978. — 248 ñ.
11. Ê î â à ë å í ê î È . Í . Ê ðàñ÷åòó ïîïðàâîê ê õàðàêòåðèñòèêàì ÑÌÎ // Ïðîáëåìû óñòîé÷èâîñòè
ñòîõàñòè÷åñêèõ ìîäåëåé. Òð. ñåìèíàðà. — Ì.: ÂÍÈÈÑÈ. — 1986. — Ñ. 45–48.
12. Ê î â à ë å í ê î È . Í . , Ê ó ç í å ö î â Í . Þ . Ìåòîäû ðàñ÷åòà âûñîêîíàäåæíûõ ñèñòåì. — Ì.: Ðàäèî
è ñâÿçü, 1988. — 176 ñ.
13. Ê î â à ë å í ê î È . Í . , Ê ó ç í å ö î â Í . Þ . Èññëåäîâàíèå îòêëîíåíèÿ íåñòàöèîíàpíîãî êîýôôè-
öèåíòà ãîòîâíîñòè âîññòàíàâëèâàåìîé ñèñòåìû îò åãî ñòàöèîíàpíîãî çíà÷åíèÿ // Êèáåpíåòèêà è
ñèñòåìíûé àíàëèç. — 1999. — ¹ 2. — Ñ. 79–92.
14. Ê î â à ë å í ê î È . Í . , Ê ó ç í å ö î â Í . Þ . , Í à ê î í å ÷ í û é À . Í . Îïòèìèçàöèÿ õàðàêòåðèñòèê
íàäåæíîñòè ñèñòåì íà îñíîâå èñïîëüçîâàíèÿ êîëè÷åñòâåííûõ îöåíîê íåïðåðûâíîñòè è ìåòîäîâ
óñêîðåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ // Ïðîáëåìû óñòîé÷èâîñòè ñòîõàñòè÷åñêèõ ìîäåëåé. Òð. ñåìèíàðà. —
Ì.: ÂÍÈÈÑÈ. — 1988. — Ñ. 79–84.
15. Å ð ì î ë ü å â Þ . Ì . Ìåòîäû ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. — Ì.: Íàóêà, 1976. — 239 ñ.
16. Ê î â à ë å í ê î È . Í . , Ê ó ç í å ö î â Í . Þ . Àñèìïòîòè÷åñêàÿ íå÷óâñòâèòåëüíîñòü ñèñòåì ìàññî-
âîãî îáñëóæèâàíèÿ / Ï. Ôðàíêåí, Ä. Êåíèã, Ó. Àðíäò, Ô. Øìèäò. Î÷åðåäè è òî÷å÷íûå ïðîöåññû. —
Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1984. — Ñ. 250–270.
17. K o v a l e n k o I . N . , A t k i n s o n J . B . , M y k h a l e v y c h K . V . Three cases of light traffic insensi-
tivity of the loss probability in a GI/G/m/0 loss system to the shape of the service time distribution //
Queueing Systems. — 2003. — 45, N 3. — P. 245–271.
18. H a m m e r s l e y J . M . , H a n d s c o m b D . C . Monte Carlo methods. — London: Methuen, 1964.
19. Á ó ñ ë å í ê î Í . Ï . Ìîäåëèðîâàíèå ñëîæíûõ ñèñòåì. — Ì.: Íàóêà, 1978. — 400 ñ.
20. Ê î â à ë å í ê î È . Í . Íåêîòîðûå âîïðîñû òåîðèè íàäåæíîñòè ñëîæíûõ ñèñòåì // Êèáåðíåòèêó — íà
ñëóæáó êîììóíèçìó. — Ì.: Ýíåðãèÿ. — 1964. — 2. — Ñ. 194–205.
21. Ê î â à ë å í ê î È . Í . Àñèìïòîòè÷åñêèé ìåòîä îöåíêè íàäåæíîñòè ñëîæíûõ ñèñòåì // Î íàäåæíîñòè
ñëîæíûõ ñèñòåì. — Ì.: Ñîâ. ðàäèî, 1966. — Ñ. 205–223.
22. Ê î â à ë å í ê î È . Í . Ê ðàñ÷åòó õàðàêòåðèñòèê âûñîêîíàäåæíûõ ñèñòåì àíàëèòèêî-ñòàòèñòè÷åñêèì
ìåòîäîì // Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 1980. — 2, ¹ 4. — Ñ. 5–8.
23. Ê î â à ë å í ê î È . Í . , Ê ó ç í å ö î â Í . Þ . Ìåòîäû óñêîðåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ õàðàêòåðèñòèê âûñîêî-
íàäåæíûõ ñèñòåì // Ñòàòèñòèêà è óïðàâëåíèå ñëó÷àéíûìè ïðîöåññàìè. — Ì.: Íàóêà, 1989. — Ñ. 77–86.
24. Ê î â à ë å í ê î È . Í . , Ê ð è â ó ö à  . à . , Ê ó ç í å ö î â Í . Þ . Îïûò ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ
ìåòîäîâ ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ â òåîðèè íàäåæíîñòè // Êèáåðíåòèêà. — 1987. — ¹ 5. —
Ñ. 111–117.
25. Ê î â à ë å í ê î È . Í . , Ê ó ç í å ö î â Í . Þ . , Ê ð è â ó ö à  . à . Ìåòîä ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäå-
ëèðîâàíèÿ (ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî) // Íàäåæíîñòü è ýôôåêòèâíîñòü â òåõíèêå. — Ì.: Ìàøèíîñòðî-
åíèå, 1987. — 2. — Ñ. 208–250.
26. K o v a l e n k o I . N . , K u z n e t s o v N . Y u . , P e g g P h . A . Mathematical theory of reliability of time
dependent systems with practical applications. — Chichester: Wiley, 1997. — 303 p.
27. Ê î â à ë å í ê î È . H . Îá îöåíêå íàäåæíîñòè ñëîæíûõ ñèñòåì // Âîïpîñû pàäèîýëåêòpîíèêè. —
1965. — 12, ¹ 9. — Ñ. 50–68.
28. Ñ î ë î â ü å â À . Ä . Àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ìîìåíòà ïåðâîãî íàñòóïëåíèÿ ðåäêîãî ñîáûòèÿ â
ðåãåíåðèðóþùåì ïðîöåññå // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Òåõí. êèáåðíåòèêà. — 1971. — ¹ 6. — C. 79–89.
29. Ã í å ä å í ê î Ä . Á . , Ñ î ë î â ü å â À . Ä . Îöåíêà íàäåæíîñòè ñëîæíûõ âîññòàíàâëèâàåìûõ ñèñòåì //
Òàì æå. — 1975. — ¹ 3. — C. 121–128.
30. Ê î â à ë å í ê î È . Í . Îöåíêà èíòåíñèâíîñòè ïîòîêà íåìîíîòîííûõ îòêàçîâ â ñèñòåìå îáñëóæè-
âàíèÿ ( ) / /� � G m // Óêð. ìàòåì. æóðí. — 2000. — 52, ¹ 9. — C. 1219–1225.
31. Ê î â à ë å í ê î È . Í . , Ê ó ç í å ö î â Í . Þ . Ïðèíöèï ìîíîòîííûõ îòêàçîâ è åãî ïðèìåíåíèå
ê ðàñ÷åòó õàðàêòåðèñòèê íàäåæíîñòè ñòðóêòóðíî ñëîæíûõ ñèñòåì // Ñòîõàñòè÷åñêèå ìîäåëè ñèñòåì.
— Êèåâ: Âîåííàÿ àêàäåìèÿ ÏÂÎ ñóõîïóòíûõ âîéñê, 1986. — Ñ. 25–45.
Ïîñòóïèëà 22.11.2009
108 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-45200 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-25T20:53:04Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кузнецов, Н.Ю. 2013-06-08T18:04:42Z 2013-06-08T18:04:42Z 2010 О некоторых направлениях исследований, инициированных работами академика И.Н. Коваленко / Н.Ю. Кузнецов // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 3. — С. 101-108. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45200 519.21 Наведено огляд деяких напрямків досліджень, які були ініційовані І.М. Коваленком та знайшли відображення у сумісних роботах з автором даної статті. До них відносяться: метод «штучних» моментів регенерації, асимптотична нечутливість, метод Монте-Карло та методи зменшення дисперсії оцінок, принцип монотонних відмов. A review of some research guidelines which were initiated by I.N. Kovalenko and used in joint articles with the author is given. These are: method of «artificial» regeneration moments, asymptotic insensitivity, Monte Carlo method and variance reduction methods, principle of monotone failures. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ О некоторых направлениях исследований, инициированных работами академика И.Н. Коваленко Про деякі напрямки досліджень, ініційовані роботами академіка І.М. Коваленка On some research guidelines initiated by articles of Academician I.N. Kovalenko Article published earlier |
| spellingShingle | О некоторых направлениях исследований, инициированных работами академика И.Н. Коваленко Кузнецов, Н.Ю. Системный анализ |
| title | О некоторых направлениях исследований, инициированных работами академика И.Н. Коваленко |
| title_alt | Про деякі напрямки досліджень, ініційовані роботами академіка І.М. Коваленка On some research guidelines initiated by articles of Academician I.N. Kovalenko |
| title_full | О некоторых направлениях исследований, инициированных работами академика И.Н. Коваленко |
| title_fullStr | О некоторых направлениях исследований, инициированных работами академика И.Н. Коваленко |
| title_full_unstemmed | О некоторых направлениях исследований, инициированных работами академика И.Н. Коваленко |
| title_short | О некоторых направлениях исследований, инициированных работами академика И.Н. Коваленко |
| title_sort | о некоторых направлениях исследований, инициированных работами академика и.н. коваленко |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45200 |
| work_keys_str_mv | AT kuznecovnû onekotoryhnapravleniâhissledovaniiiniciirovannyhrabotamiakademikainkovalenko AT kuznecovnû prodeâkínaprâmkidoslídženʹínícíiovanírobotamiakademíkaímkovalenka AT kuznecovnû onsomeresearchguidelinesinitiatedbyarticlesofacademicianinkovalenko |