Оценивание параметров надежности в условиях недостаточной информации
Запропоновано алгоритм пошуку нижньої границі байєсівської оцінки параметру експоненціального розподілу за умов, коли відомо, що апріорний розподіл належить класу, який складається із всіх функцій розподілу, що мають однакові два квантилі. Ця задача виникає при аналізі чутливості байєсівських оцінок...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45201 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Оценивание параметров надежности в условиях недостаточной информации / А.Н. Голодников, Ю.М. Ермольев, П.С. Кнопов // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 3. — С. 109-125. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859784802897494016 |
|---|---|
| author | Голодников, А.Н. Ермольев, Ю.М. Кнопов, П.С. |
| author_facet | Голодников, А.Н. Ермольев, Ю.М. Кнопов, П.С. |
| citation_txt | Оценивание параметров надежности в условиях недостаточной информации / А.Н. Голодников, Ю.М. Ермольев, П.С. Кнопов // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 3. — С. 109-125. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Запропоновано алгоритм пошуку нижньої границі байєсівської оцінки параметру експоненціального розподілу за умов, коли відомо, що апріорний розподіл належить класу, який складається із всіх функцій розподілу, що мають однакові два квантилі. Ця задача виникає при аналізі чутливості байєсівських оцінок інтенсивностей відмов до вибору апріорного розподілу в експоненціальній моделі відмов.
The paper presents algorithms of seeking lower bound of Bayesian estimates of parameter of exponential distribution in case when it is known that prior distribution belongs to class of all distribution functions with fixed two quantiles. This problem arises in sensivity analysis of Bayesian estimates of failure rates to choice prior distribution in the exponential model of failure.
|
| first_indexed | 2025-12-02T09:35:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.248
À.Í. ÃÎËÎÄÍÈÊÎÂ, Þ.Ì. ÅÐÌÎËÜÅÂ, Ï.Ñ. ÊÍÎÏÎÂ
ÎÖÅÍÈÂÀÍÈÅ ÏÀÐÀÌÅÒÐÎÂ ÍÀÄÅÆÍÎÑÒÈ
 ÓÑËÎÂÈßÕ ÍÅÄÎÑÒÀÒÎ×ÍÎÉ ÈÍÔÎÐÌÀÖÈÈ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: áàéåñîâñêàÿ îöåíêà, îïòèìèçàöèÿ, íèæíÿÿ ãðàíèöà, ôóíêöèÿ
ðàñïðåäåëåíèÿ, êâàíòèëü.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Êðóïíåéøèå àâàðèè íà ÀÝÑ «Òðèìàéë Àéëåíä» â ÑØÀ è íà ×åðíîáûëüñêîé ÀÝÑ
êîðåííûì îáðàçîì èçìåíèëè ïîäõîä ê îáåñïå÷åíèþ áåçîïàñíîñòè íà àòîìíûõ ñòàí-
öèÿõ. Äî àâàðèè íà «Òðèìàéë Àéëåíä» â 1979 ã. Êîìèññèÿ ïî àòîìíîé ýíåðãèè
ÑØÀ (â íàñòîÿùåå âðåìÿ Êîìèññèÿ ïî ÿäåðíîìó ðåãóëèðîâàíèþ ÑØÀ (NRC)) îñó-
ùåñòâëÿëà ðåãóëèðîâàíèå ðàáîòû àòîìíûõ ñòàíöèé, îñíîâûâàÿñü íà äåòåðìèíèñòè÷åñ-
êîì ïîäõîäå, ïðè êîòîðîì èçó÷àëàñü ðàáîòà ñòàíöèè â êîíêðåòíûõ, ïðåäâàðèòåëüíî
çàäàííûõ ðåæèìàõ íîðìàëüíîé ýêñïëóàòàöèè è àâàðèé, è îöåíèâàëàñü ýôôåêòèâíîñòü
ïðèìåíåíèÿ ðàçëè÷íûõ çàùèòíûõ ìåðîïðèÿòèé. Ïîñëå ýòîé àâàðèè NRC ñóùåñòâåííî
èçìåíèëà ïîäõîä ê àíàëèçó áåçîïàñíîñòè ÀÝÑ, ñòèìóëèðîâàâ áóðíîå ðàçâèòèå âåðî-
ÿòíîñòíîãî àíàëèçà áåçîïàñíîñòè (ÂÀÁ), íàïðàâëåííîãî íå òîëüêî íà îöåíêó ïîñëåä-
ñòâèé àâàðèé, íî è íà îöåíêó âåðîÿòíîñòåé ýòèõ ïîñëåäñòâèé.
ÂÀÁ ñòàë ñèñòåìàòè÷åñêè ïðèìåíÿòüñÿ ñ ìîìåíòà ïðîâåäåíèÿ àíàëèçà ðàñïëàâëåí-
íîé àêòèâíîé çîíû â 1975 ã. [1]. Â ðåçóëüòàòå èññëåäîâàíèÿ áûëè îïðåäåëåíû ïîñëåäî-
âàòåëüíîñòè ñîáûòèé, êîòîðûå ïîòåíöèàëüíî ìîãëè ïðèâåñòè ê ñóùåñòâåííûì âûáðîñàì
ðàäèîàêòèâíûõ âåùåñòâ, îöåíåíû ðàäèîëîãè÷åñêèå ïîñëåäñòâèÿ ýòèõ ñîáûòèé è èõ âåðî-
ÿòíîñòè. Îñíîâûâàÿñü íà ðåçóëüòàòàõ ýòîãî èññëåäîâàíèÿ, NRC ïðèíÿëî ðåøåíèå î
âíåäðåíèè ÂÀÁ [2]. Áûëî èçäàíî ðóêîâîäñòâî ïî ÂÀÁ (the PRA Procedures Guide [3]),
â êîòîðîì ðàññìàòðèâàëèñü ðàçëè÷íûå àñïåêòû îöåíêè ðèñêà è ïðåäëàãàëèñü ìåòîäû
îöåíêè ðèñêà íà ÀÝÑ. Ìåòîäîëîãèÿ, èçëîæåííàÿ â ýòîì èçäàíèè, øèðîêî èñïîëüçîâà-
ëàñü ïðè àíàëèçå áåçîïàñíîñòè íà ÀÝÑ â 80- è 90-õ ãîäàõ ïðîøëîãî âåêà. Ìíîãèå èç åå
ïîëîæåíèé íå óòðàòèëè ñèëó è â íàñòîÿùåå âðåìÿ.
 1988 ã. NRC ïîòðåáîâàëà, ÷òîáû ÀÝÑ ïðîâåëè àíàëèç áåçîïàñíîñòè ñ èñïîëüçî-
âàíèåì ÂÀÁ. Ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé íà ïÿòè ÀÝÑ ðàññìîòðåíû â NUREG-1150 [4].
 ýòîì äîêóìåíòå óñîâåðøåíñòâîâàíà ìåòîäîëîãèÿ ÂÀÁ è íàìå÷åíû ïóòè èñïîëü-
çîâàíèÿ ðåçóëüòàòîâ àíàëèçà áåçîïàñíîñòè â ðåãóëÿòîðíîé ïîëèòèêå NRC. Ìåòîäî-
ëîãèÿ ÂÀÁ, èçëîæåííàÿ â NUREG-1150, àêòóàëüíà è â íàñòîÿùåå âðåìÿ. Îíà ïðåä-
íàçíà÷åíà äëÿ ãåíåðèðîâàíèÿ ñöåíàðèåâ àâàðèé è ïîëó÷åíèÿ êîëè÷åñòâåííûõ îöå-
íîê ðèñêà, òàêæå ïîçâîëÿåò âûÿâëÿòü âîçìîæíûå ñëàáûå ìåñòà â êîíñòðóêöèè ÀÝÑ.
Ïîñêîëüêó ðåçóëüòàòû àíàëèçà áåçîïàñíîñòè èñïîëüçóþòñÿ ïðè ëèöåíçèðîâàíèè
ñòàíöèè, òî îäíî èç îñíîâíûõ òðåáîâàíèé ê ÂÀÁ — îáåñïå÷åíèå âûñîêîãî óðîâíÿ
òî÷íîñòè ïîëó÷åííûõ îöåíîê.
Ñîãëàñíî Ðóêîâîäñòâó ïî áåçîïàñíîñòè ÌÀÃÀÒÝ [5] ÂÀÁ âûïîëíÿåòñÿ íà
òðåõ óðîâíÿõ. Íà ïåðâîì àíàëèçèðóþòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñîáûòèé, êîòîðûå ìî-
ãóò ïðèâåñòè ê ïîâðåæäåíèþ àêòèâíîé çîíû, è îöåíèâàåòñÿ âåðîÿòíîñòü åå ïîâðåæ-
äåíèÿ. Íà âòîðîì óðîâíå îïðåäåëÿþòñÿ ïóòè âîçìîæíûõ ðàäèîàêòèâíûõ âûáðîñîâ
çà ïðåäåëû ÀÝÑ è îöåíèâàåòñÿ èõ âåëè÷èíà è ÷àñòîòà ðåàëèçàöèè. Íà òðåòüåì óðîâ-
íå îöåíèâàåòñÿ âëèÿíèå àâàðèè íà çäîðîâüå, à òàêæå èíûå îáùåñòâåííûå ðèñêè:
çàãðÿçíåíèå òåððèòîðèè èëè ïðîäîâîëüñòâèÿ.
ÂÀÁ ïåðâîãî óðîâíÿ â íàñòîÿùåå âðåìÿ ïðîâåëè íà áîëüøåé ÷àñòè àòîìíûõ
ýëåêòðîñòàíöèé â ìèðå. Îäíàêî â ïîñëåäíèå ãîäû íîâûì ñòàíäàðòîì äëÿ ìíîãèõ
òèïîâ àòîìíûõ ýëåêòðîñòàíöèé ÿâëÿåòñÿ âûïîëíåíèå ÂÀÁ âòîðîãî óðîâíÿ. Ê íàñòî-
ÿùåìó âðåìåíè âûïîëíåíî îòíîñèòåëüíî ìàëî ÂÀÁ òðåòüåãî óðîâíÿ [5].
Ðåçóëüòàòû ÂÀÁ èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ðàçðàáîòêè ìåðîïðèÿòèé, íàïðàâëåííûõ íà
ñìÿã÷åíèå ïîñëåäñòâèé àâàðèé è êàê èñõîäíàÿ èíôîðìàöèÿ äëÿ ïëàíèðîâàíèÿ òåõ-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 109
© À.Í. Ãîëîäíèêîâ, Þ.Ì. Åðìîëüåâ, Ï.Ñ. Êíîïîâ, 2010
íîëîãè÷åñêîãî ðåãëàìåíòà ñòàíöèè, êîòîðûé ïðîâîäèòñÿ â öåëÿõ êîíòðîëÿ ðàáîòî-
ñïîñîáíîñòè åäèíèö îáîðóäîâàíèÿ è óñòðàíåíèÿ îáíàðóæåííûõ íåèñïðàâíîñòåé.
Ïðè ýòîì äëÿ ïðåäîòâðàùåíèÿ ëîæíîãî ñðàáàòûâàíèÿ ñèñòåì áåçîïàñíîñòè èñïûòûâàåìàÿ
åäèíèöà îáîðóäîâàíèÿ îòêëþ÷àåòñÿ îò äðóãèõ ñèñòåì, ÷òî ïîâûøàåò ðèñê. Åñëè ïðè èñïû-
òàíèè îáíàðóæèâàåòñÿ îòêàç åäèíèöû îáîðóäîâàíèÿ, òî ïðîâîäÿòñÿ ðåìîíòíûå ðàáî-
òû, åñëè ýòî âîçìîæíî ïðè ðàáîòå áëîêà íà ìîùíîñòè. Ðåçóëüòàòû ÂÀÁ èñïîëüçóþòñÿ
äëÿ èçó÷åíèÿ âêëàäà â ðèñê, êîòîðûé âîçíèêàåò ïðè âûâîäå èç ýêñïëóàòàöèè åäèíèö îáîðó-
äîâàíèÿ â öåëÿõ ïðîâåäåíèÿ èñïûòàíèé èëè òåõíè÷åñêîãî îáñëóæèâàíèÿ, à òàêæå äëÿ ìèíè-
ìèçàöèè ðèñêà ïóòåì îïòèìèçàöèè ïåðèîäè÷íîñòè è î÷åðåäíîñòè ïðîâåäåíèÿ îïåðàöèé
ïî èñïûòàíèþ è òåõíè÷åñêîìó îáñëóæèâàíèþ.
Îòïðàâíîé òî÷êîé àíàëèçà áåçîïàñíîñòè ÿâëÿåòñÿ ôîðìèðîâàíèå íàáîðà èñõîä-
íûõ ñîáûòèé, êîòîðûå ëèáî íåïîñðåäñòâåííî âûçûâàþò ïîâðåæäåíèå àêòèâíîé çîíû,
ëèáî ìîãóò ïðèâåñòè ê òàêèì ñîáûòèÿì â ñëó÷àå íåâûïîëíåíèÿ ôóíêöèé, ïðåäóñìîò-
ðåííûõ äëÿ ïðåäîòâðàùåíèÿ òàêèõ ïîâðåæäåíèé èëè îãðàíè÷åíèÿ èõ ðàçìåðîâ.
Ïîñëå òîãî êàê îòîáðàíû èñõîäíûå ñîáûòèÿ, ðàçðàáàòûâàåòñÿ ïåðå÷åíü ôóíê-
öèé áåçîïàñíîñòè, âûïîëíåíèå êîòîðûõ îáåñïå÷èâàåò ïðîåêòíîå ïðîòåêàíèå ðàñ-
ñìàòðèâàåìîé àâàðèè èëè óìåíüøåíèå åå ïîñëåäñòâèé. Îñíîâíûìè ôóíêöèÿìè áå-
çîïàñíîñòè ÿâëÿþòñÿ [5]: îïðåäåëåíèå èñõîäíîãî ñîáûòèÿ, îñòàíîâ ðåàêòîðà, îòâîä
îñòàòî÷íûõ òåïëîâûäåëåíèé è çàùèòà àêòèâíîé çîíû.
Äëÿ êàæäîé ôóíêöèè áåçîïàñíîñòè îïðåäåëÿþòñÿ òåõíîëîãè÷åñêèå ñèñòåìû (çà-
ùèòíûå, ëîêàëèçóþùèå ñèñòåìû áåçîïàñíîñòè è ñèñòåìû íîðìàëüíîé ýêñïëóàòà-
öèè), íåïîñðåäñòâåííî âûïîëíÿþùèå äàííóþ ôóíêöèþ áåçîïàñíîñòè. Â çàâèñèìîñòè
îò èñõîäíûõ ñîáûòèé è àâàðèéíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ýòè ôóíêöèè áåçîïàñíîñòè
ìîãóò áûòü ðåàëèçîâàíû ñèñòåìàìè áåçîïàñíîñòè, à â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ — ñèñòå-
ìàìè íîðìàëüíîé ýêñïëóàòàöèè. Êðîìå òîãî, îïðåäåëÿþòñÿ óïðàâëÿþùèå è îáåñïå-
÷èâàþùèå ñèñòåìû, íåîáõîäèìûå äëÿ ðàáîòû ýòèõ òåõíîëîãè÷åñêèõ ñèñòåì.
Öåíòðàëüíûì çâåíîì â ÂÀÁ ÿâëÿåòñÿ ðàçðàáîòêà ìîäåëåé íàäåæíîñòè ñèñòåì
áåçîïàñíîñòè ÀÝÑ. Ñèñòåìû áåçîïàñíîñòè, êàê ïðàâèëî, ñîñòîÿò èç íåñêîëüêèõ âçà-
èìîðåçåðâèðóþùèõ êàíàëîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ ñïîñîáåí âûïîëíèòü ôóíêöèþ
âñåé ñèñòåìû â ïîëíîì îáúåìå. Ïîñêîëüêó ñèñòåìû áåçîïàñíîñòè âûïîëíÿþò
ôóíêöèè áåçîïàñíîñòè ïðè âîçíèêíîâåíèè èñõîäíûõ ñîáûòèé, ÿâëÿþùèõñÿ ðåäêè-
ìè ñîáûòèÿìè, äëÿ íèõ õàðàêòåðíû äâà ðåæèìà ðàáîòû: ðåæèì îæèäàíèÿ è ðåæèì
âûïîëíåíèÿ çàäàííûõ ôóíêöèé áåçîïàñíîñòè.
Ïðè íîðìàëüíîé ðàáîòå ýíåðãîáëîêà ñèñòåìû áåçîïàñíîñòè íàõîäÿòñÿ â ðåæè-
ìå îæèäàíèÿ â ñîñòîÿíèè ãîòîâíîñòè ê âûïîëíåíèþ ñâîèõ ôóíêöèé áåçîïàñíîñòè
â ñëó÷àå âîçíèêíîâåíèÿ èñõîäíûõ ñîáûòèé. Ïðè âîçíèêíîâåíèè èñõîäíîãî ñîáû-
òèÿ ôîðìèðóåòñÿ òðåáîâàíèå íà ñðàáàòûâàíèå ñèñòåì áåçîïàñíîñòè, êîòîðûå íåïîñ-
ðåäñòâåííî âûïîëíÿþò çàäàííûå ôóíêöèè áåçîïàñíîñòè.
Ïîêàçàòåëåì, õàðàêòåðèçóþùèì íàäåæíîñòü ñèñòåìû áåçîïàñíîñòè ïî îòíîøå-
íèþ ê èñõîäíîìó ñîáûòèþ, âûñòóïàåò âåðîÿòíîñòü íåâûïîëíåíèÿ ñèñòåìîé çàäàí-
íûõ ôóíêöèé áåçîïàñíîñòè ïðè ïîñòóïëåíèè òðåáîâàíèÿ íà åå ñðàáàòûâàíèå. Ýòà
âåðîÿòíîñòü â îáùåì ñëó÷àå ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíûì ïîêàçàòåëåì, õàðàêòåðèçóþ-
ùèì íàäåæíîñòü ñèñòåìû áåçîïàñíîñòè ïî îòíîøåíèþ ê ðåæèìó îæèäàíèÿ è ðåæè-
ìó ðàáîòû âî âðåìÿ àâàðèè ïîñëå âîçíèêíîâåíèÿ èñõîäíîãî ñîáûòèÿ. Ìåòîäèêà
ðàñ÷åòà âåðîÿòíîñòè íåâûïîëíåíèÿ ñèñòåìîé çàäàííûõ ôóíêöèé áåçîïàñíîñòè
îñíîâûâàåòñÿ íà ìåòîäèêå ñèñòåìíûõ äåðåâüåâ îòêàçîâ, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ îïðå-
äåëÿþòñÿ ïîëíûå íàáîðû íåðàáîòîñïîñîáíûõ ñîñòîÿíèé ñèñòåìû.
Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ìåòîëîëîãèÿ ÂÀÁ èíòåíñèâíî èñïîëüçóåòñÿ âî âñåì ìèðå,
â íåé âñå åùå èìåþòñÿ îòäåëüíûå íåäîñòàòêè. Äëÿ äîðàáîòêè ñëàáûõ ìåñò ÂÀÁ
â Èíñòèòóòå êèáåðíåòèêè èì. Â.Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ Óêðàèíû â 2001–2003 ãã. âû-
ïîëíÿëñÿ ïðîåêò ÓÍÒÖ ¹ G033. Èññëåäîâàíèÿ â ðàìêàõ ýòîãî ïðîåêòà ïðîâîäè-
ëèñü ïî äâóì îñíîâíûì íàïðàâëåíèÿì.
1. Ðàçðàáîòêà ïðèíöèïèàëüíî íîâîãî ïîäõîäà ê îöåíèâàíèþ ïîêàçàòåëåé íà-
äåæíîñòè ñèñòåì ñ ó÷åòîì òàêèõ îñîáåííîñòåé ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ÀÝÑ, êàê çàâè-
ñèìîñòü ýôôåêòèâíîñòè âûïîëíåíèÿ ñèñòåìîé ôóíêöèé áåçîïàñíîñòè îò íàáîðà
îòêàçàâøèõ åäèíèö îáîðóäîâàíèÿ; çàâèñèìîñòü ïðîöåññà îòêàçà îáîðóäîâàíèÿ íå
òîëüêî îò âðåìåíè, íî è îò ñîñòîÿíèÿ ñðåäû; íåñîâåðøåíñòâî èíäèêàöèè îòêàçà è äð.
110 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3
2. Ðàçðàáîòêà ìåòîäîâ àíàëèçà ÷óâñòâèòåëüíîñòè áàéåñîâñêèõ îöåíîê ïàðàìåò-
ðîâ íàäåæíîñòè îáîðóäîâàíèÿ ÀÝÑ ê âûáîðó àïðèîðíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.
Èññëåäîâàíèÿ ïî ïåðâîìó íàïðàâëåíèþ îñíîâûâàëèñü íà ìåòîäå ìàëîãî ïà-
ðàìåòðà è ìåòîäàõ óñêîðåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ, ðàçðàáîòàííûõ È.Í. Êîâàëåíêî
è Í.Þ. Êóçíåöîâûì [6–10]. Ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé ïî ýòîìó íàïðàâëåíèþ èç-
ëîæåíû â [11, 12].
Èññëåäîâàíèÿ ïî âòîðîìó íàïðàâëåíèþ áàçèðîâàëèñü íà âû÷èñëèòåëüíûõ ìåòî-
äàõ îïòèìèçàöèè â ïðîñòðàíñòâå ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ, ðàçðàáîòàííûõ â [13–20].
Ïîäõîä ê àíàëèçó ÷óâñòâèòåëüíîñòè áàéåñîâñêèõ îöåíîê ïàðàìåòðîâ íàäåæíîñòè
îáîðóäîâàíèÿ ÀÝÑ ê âûáîðó àïðèîðíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ äåòàëüíî èçëîæåí
â [21]. Ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèÿ ÷óâñòâèòåëüíîñòè áàéåñîâñêèõ îöåíîê ïàðàìåòðîâ
íàäåæíîñòè íåêîòîðûõ åäèíèö îáîðóäîâàíèÿ ÀÝÑ, âûïîëíåííûõ â ðàìêàõ ýòîãî
ïðîåêòà, èçëîæåíû â [22, 23].
Îäèí èç ñïîñîáîâ ïðåîäîëåíèÿ ïðîáëåìû ìàëûõ âûáîðîê ñîñòîèò â èñïîëüçî-
âàíèè íå òîëüêî èíôîðìàöèè, ïîëó÷åííîé ïðè ïðîâåäåíèè òåêóùåãî èññëåäîâàíèÿ
íàäåæíîñòè îáîðóäîâàíèÿ, íî è â ïðèâëå÷åíèè ê àíàëèçó äîïîëíèòåëüíîé èíôîð-
ìàöèè èç ðàçëè÷íûõ èñòî÷íèêîâ. Ê òàêèì èñòî÷íèêàì îòíîñÿòñÿ ðåçóëüòàòû ïðåäû-
äóùèõ èññëåäîâàíèé àíàëîãè÷íîãî îáîðóäîâàíèÿ, ðåçóëüòàòû ñòåíäîâûõ èñïûòà-
íèé è èíæåíåðíûå ðàñ÷åòû.
 îòëè÷èå îò ìåòîäîâ âûáîðî÷íîé òåîðèè, áàéåñîâñêèé ïîäõîä äîïóñêàåò åñ-
òåñòâåííîå îáúåäèíåíèå äàííûõ èç ðàçëè÷íûõ èñòî÷íèêîâ äëÿ ïîëó÷åíèÿ îöåíîê
ïàðàìåòðîâ íàäåæíîñòè. Ïðè ýòîì êàæäûé èñòî÷íèê òðàêòóåòñÿ êàê âûáîðêà èç
îäíîé ïîïóëÿöèè. Åñëè ïðè êëàññè÷åñêîì ïîäõîäå ïàðàìåòðû ôóíêöèè ðàñïðåäå-
ëåíèÿ ñ÷èòàþòñÿ êîíñòàíòàìè, êîòîðûå íóæíî îöåíèòü, òî ïðè áàéåñîâñêîì ïàðà-
ìåòðû ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, êîòîðûå îïèñûâàþòñÿ íåêîòî-
ðîé àïðèîðíîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ. Íà ïðàêòèêå, êàê ïðàâèëî, èìåþùåéñÿ
àïðèîðíîé èíôîðìàöèè íåäîñòàòî÷íî äëÿ òî÷íîãî îïðåäåëåíèÿ àïðèîðíîé ôóíê-
öèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Â ýòèõ óñëîâèÿõ ïðîáëåìà âûáîðà àïðèîðíîé ôóíêöèè ðàñïðå-
äåëåíèÿ è âû÷èñëåíèÿ áàéåñîâñêèõ îöåíîê ñòàíîâèòñÿ íåòðèâèàëüíîé.
Äëÿ òîãî ÷òîáû èçáåæàòü ïðîèçâîëà ïðè âûáîðå àïðèîðíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëå-
íèÿ, áàçèðóÿñü íà èìåþùåéñÿ ÷àñòè÷íîé àïðèîðíîé èíôîðìàöèè, öåëåñîîáðàçíî èñ-
ïîëüçîâàòü �-ìèíèìàêñíûé ïîõîä, âïåðâûå ïðåäëîæåííûé Ðîáèíñîì [24] è ðàçâèò
Áåðãåðîì [25].  ðàìêàõ �-ìèíèìàêñíîãî ïîäõîäà ó÷èòûâàåòñÿ òîò ôàêò, ÷òî ïðè èñ-
ïîëüçîâàíèè áàéåñîâñêèõ ïðîöåäóð íà ïðàêòèêå ïðèõîäèòñÿ èìåòü äåëî íå ñ îäíîé àï-
ðèîðíîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ, à ñ öåëûì êëàññîì � òàêèõ ôóíêöèé, ïðè÷åì êàæ-
äóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ èç ýòîãî êëàññà ìîæíî âûáðàòü â êà÷åñòâå àïðèîðíîé.
Åñëè äëÿ ëþáîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ èç êëàññà � âû÷èñëèòü çíà÷åíèÿ íåêîòî-
ðîé àïîñòåðèîðíîé ôóíêöèè (íàïðèìåð, àïîñòåðèîðíûé ðèñê, ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå
è äð.), òî ïîëó÷èì öåëûé äèàïàçîí òàêèõ çíà÷åíèé. Ýòîò äèàïàçîí èñïîëüçóåòñÿ êàê ìåðà
ðîáàñòíîñòè [26–28]. Óçêèé äèàïàçîí îçíà÷àåò, ÷òî çíà÷åíèÿ àïîñòåðèîðíîé ôóíêöèè ñó-
ùåñòâåííî íå èçìåíÿåòñÿ ïðè ëþáîì âûáîðå àïðèîðíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ èç óêà-
çàííîãî êëàññà, ò.å. îíà ðîáàñòíà ïî îòíîøåíèþ ê âûáîðó àïðèîðíîé ôóíêöèè ðàñïðåäå-
ëåíèÿ. È, íàîáîðîò, êîãäà ýòîò äèàïàçîí øèðîêèé, òî çíà÷åíèÿ àïîñòåðèîðíîé ôóíêöèè
÷óâñòâèòåëüíû ê âûáîðó àïðèîðíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, ò.å. îíà íå ÿâëÿåòñÿ ðîáàñò-
íîé.  ïîñëåäíåì ñëó÷àå íåîáõîäèìî óäåëèòü îñîáîå âíèìàíèå íàèìåíåå áëàãîïðèÿòíîé
àïðèîðíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ â êëàññå � è èñïîëüçîâàòü �-ìèíèìàêñíûé ïîäõîä
äëÿ ïîèñêà ðîáàñòíîé îöåíêè.
 ðàìêàõ �-ìèíèìàêñíîãî ïîäõîäà âûáèðàåòñÿ îöåíêà, êîòîðàÿ ìèíèìèçèðóåò
ñóïðåìóì öåëåâîãî ôóíêöèîíàëà ïî ôóíêöèÿì ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðûå ïðèíàäëå-
æàò êëàññó � [26]. Ïðè íåçíà÷èòåëüíîÿ îáúåìå àïðèîðíîé èíôîðìàöèè êëàññ � àï-
ðèîðíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ áîëüøèì è ïîëó÷åííûå ñ ïîìîùüþ ýòî-
ãî ìåòîäà ðåçóëüòàòû áëèçêè ê ðåçóëüòàòàì, íàéäåííûì ïðè ìèíèìàêñíîì ïîäõîäå.
 äðóãîì ãðàíè÷íîì ñëó÷àå, êîãäà â íàëè÷èè èìååòñÿ äîñòàòî÷íàÿ àïðèîðíàÿ èí-
ôîðìàöèÿ, êëàññ � ìîæåò ñîñòîÿòü òîëüêî èç îäíîé àïðèîðíîé ôóíêöèè ðàñïðåäå-
ëåíèÿ è �-ìèíèìàêñíûé ïîäõîä ñîâïàäàåò ñ îáû÷íûì áàéåñîâñêèì ïîäõîäîì.
Äëÿ òîãî ÷òîáû èññëåäîâàòü ÷óâñòâèòåëüíîñòü áàéåñîâñêèõ îöåíîê ê âûáîðó
àïðèîðíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ èç êëàññà �, íåîáõîäèìî íàó÷èòüñÿ îòûñêèâàòü
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 111
íèæíþþ è âåðõíþþ ãðàíèöû äèàïàçîíà âîçìîæíûõ çíà÷åíèé öåëåâîãî ôóíêöèîíà-
ëà. Åñòåñòâåííûì âûáîðîì öåëåâîãî ôóíêöèîíàëà ìîæåò áûòü ìàòåìàòè÷åñêîå
îæèäàíèå ïàðàìåòðà � ïðè ôèêñèðîâàííûõ âûáîðî÷íûõ äàííûõ x
E x
f x dH
f x dH
{ }�
� � �
� �
|
( | ) ( )
( | ) ( )
�
�
�
�
�
.
Ïðè èñïîëüçîâàíèè êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè ïîòåðü ýòîò öåëåâîé ôóíêöèîíàë
ñîâïàäàåò ñ áàéåñîâñêîé îöåíêîé ��H îöåíèâàåìîãî ïàðàìåòðà �. Åñëè âû÷èñëèòü
çíà÷åíèÿ áàéåñîâñêîé îöåíêè ��H äëÿ ëþáîé àïðèîðíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ
H ��, òî ïîëó÷èì äèàïàçîí âîçìîæíûõ çíà÷åíèé ( , )� ��
� . Øèðèíà ýòîãî äèàïàçî-
íà ñëóæèò ìåðîé ÷óâñòâèòåëüíîñòè áàéåñîâñêîé îöåíêè ê âûáîðó àïðèîðíîãî
ðàñïðåäåëåíèÿ.
 äàííîé ñòàòüå óñîâåðøåíñòâóþòñÿ ìåòîäû îïòèìèçàöèè â ïðîñòðàíñòâå ôóíê-
öèé ðàñïðåäåëåíèÿ è ïðåäëàãàåòñÿ áûñòðûé òî÷íûé àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ íèæíåé
ãðàíèöû äëÿ äèàïàçîíà âîçìîæíûõ çíà÷åíèé áàéåñîâñêèõ îöåíîê ïàðàìåòðîâ íàäåæ-
íîñòè, êîòîðûé ó÷èòûâàåò ñïåöèôèêó ðåøàåìîé îïòèìèçàöèîííîé çàäà÷è.
1. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à ìèíèìèçàöèè äðîáíî-ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà
�
�
�
� �
� �
�
�
( )
( )
( )
( )
( )
infH
H
H
e dH
e dH
s t
s t
� � �
�
�
�
�
1
2
1
0
0
H��
, (1)
ãäå � — ïàðàìåòð ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî ìîäå-
ëèðóþòñÿ îòêàçû îáîðóäîâàíèÿ; t — ïðîäîëæèòåëüíîñòü ïðîìåæóòêà âðåìåíè,
íà êîòîðîì íàáëþäàþòñÿ îòêàçû; H ( )� — àïðèîðíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïà-
ðàìåòðà � , î êîòîðîé èçâåñòíî òîëüêî òî, ÷òî îíà ïðèíàäëåæèò êëàññó � .
Îáû÷íî îãðàíè÷åíèÿ íà ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ èìåþò äîñòàòî÷íî ïðîñòóþ
ñòðóêòóðó. Î÷åíü ÷àñòî ðàññìàòðèâàåòñÿ êëàññ � ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðûå
èìåþò ôèêñèðîâàííûå äâà êâàíòèëÿ: �1-êâàíòèëü, x�1
, è � 2 -êâàíòèëü, x�2
. Åñëè
ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ H x( ) íåïðåðûâíà, òî åå � -êâàíòèëü ( )0 1� �� ñîâïàäàåò
ñ êîðíåì óðàâíåíèÿ [29]
H x( )� �� . (2)
Åñëè ôóíêöèÿ H x( ) ðàçðûâíà, òî �-êâàíòèëü ñóùåñòâóåò íå äëÿ êàæäîãî � , ïî-
ñêîëüêó, êàê ïðàâèëî, ïðè çàäàííîì � íàéäåòñÿ ëèøü òàêîå x� , ÷òî
H x H x( ) ( )� ��
� 0 0 . (3)
 íåâûðîæäåííîì ñëó÷àå çíàìåíàòåëü ôóíêöèîíàëà �( )H â (1) ñòðîãî ïîëîæè-
òåëüíûé, ïîýòîìó ñóùåñòâóåò
u
x e dH x
x e dH x
H
s xt
s xt
�
�
�
�
�
�
�
inf
( )
( )
�
1
0
0
. (4)
Åñëè èçâåñòíî íàèìåíüøåå çíà÷åíèå (òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíèöà) äðîáíî-ëèíåé-
íîãî ôóíêöèîíàëà (1), ðàâíîå u� , òî çàäà÷à (1) ýêâèâàëåíòíà çàäà÷å
inf ( ) inf [ ( ) ( )]
H H
H H u H
� �
��
�
� �
� � �1 2 0. (5)
112 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3
Ïîñêîëüêó ôóíêöèîíàë �( )H ïîëîæèòåëüíûé è îãðàíè÷åííûé ñâåðõó, òî íàéäåò-
ñÿ ÷èñëî b � 0 òàêîå, ÷òî ïðè ëþáîì H �� çíà÷åíèÿ ôóíêöèîíàëà �( )H ïðèíàä-
ëåæàò îòðåçêó [ , ]0 b . Ñ ó÷åòîì ýòèõ çàìå÷àíèé íèæå ïðèâîäèòñÿ àëãîðèòì.
Øàã 1. Ïîëàãàåì s �1; a
1
0 0� ; a b
2
0 � .
Øàã 2. Âû÷èñëÿåì çíà÷åíèå
u
a a
s
s s
�
1
1
2
1
2
. (6)
Øàã 3. Ðåøàåì çàäà÷ó
w H u Hs
H
s�
�
inf [ ( ) ( )]
�
� �1 2 . (7)
Øàã 4. Åñëè ws � 0, òî ïîëó÷åíî ðåøåíèå çàäà÷è (5).  ïðîòèâíîì ñëó÷àå:
� åñëè ws � 0, òî ïîëàãàåì a u a as
s
s s
1 2 2
1� �
, ;
� åñëè ws � 0, òî ïîëàãàåì a a a us s s
s1 1
1
2
� �
, .
Ïîëàãàåì s s� 1 è ïåðåõîäèì íà øàã 2.
Èç ðåçóëüòàòîâ ðàáîòû [14] ñëåäóåò, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è (7) â ñëó÷àå, êîãäà
êëàññ � ñîñòîèò èç âñåõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ, èìåþùèõ çàäàííûå äâà êâàíòèëÿ,
äîñòèãàåòñÿ (èëè ñêîëü óãîäíî áëèçêî ïðèáëèæàåòñÿ) íà ñòóïåí÷àòûõ ôóíêöèÿõ
ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ÷èñëîì òî÷åê ðîñòà íå áîëüøå òðåõ. Ïîýòîìó ïðè ðåøåíèè çàäà-
÷è (5) â äàëüíåéøåì áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî êëàññ �3 âñåõ òðåõñòóïåí÷àòûõ
ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ H x x x x p p p( ) ( , , , , , )� 1 2 3 1 2 3 , ó êîòîðûõ �1-êâàíòèëü ðà-
âåí x�1
è � 2 -êâàíòèëü — x�2
. Çäåñü xi — òî÷êà ðîñòà, ñêà÷îê â êîòîðîé ðàâåí pi ,
i �1 2 3, , . Òàêèì îáðàçîì, ïðè ðåøåíèÿ çàäà÷è (1) ñ èñïîëüçîâàíèåì ìîäèôèöèðî-
âàííîãî àëãîðèòìà äîñòàòî÷íî íà øàãå 3 ðåøàòü âíóòðåííþþ çàäà÷ó
w H u Hs
H
s�
�
inf [ ( ) ( )]
�3
1 2� � . (8)
2. ÀËÃÎÐÈÒÌ ÐÅØÅÍÈß ÂÍÓÒÐÅÍÍÅÉ ÇÀÄÀ×È
Îïðåäåëèì ñëåäóþùèå ïîäìíîæåñòâà êëàññà �3 :
A H x x x p x x x p p x1 3 1 1 1 1 2 2 1 1 30 0
1 1
� �
�
� � �
{ ( ) : , , , ,� � �� � � �
x p� �
2 3 11, };
A H x x x p x x p p2 3 1 1 1 2 1 1 2 20 0
1 1
� �
�
� �
�{ ( ) : , , ,� � �� � � ,
x x p p p3 3 1 22
1� �
� , };
A H x x x p x x p p3 3 1 1 1 2 2 2 10 0 0
1 1
� �
�
� � �
{ ( ) : , , ,� � �� � ,
x x p3 3 22
1� �
� �, };
A H x x x p x x x p4 3 1 1 1 2 2 2 10 0
1 1 2
� �
� � �
�
{ ( ) : , , ,� � � �� � � ,
x x p p3 3 1 22
1� �
� �, };
A H x x x p x x x p5 3 1 1 1 2 2 2 10
1 1 2
� �
� �
�
{ ( ) : , , ,� � � �� � � ,
x x p3 3 22
1� �
� �, };
A H x x x p x x p6 3 1 1 1 2 2 1 2 10 1
1 2
� �
� �
{ ( ) : , , ,� � �� � � � ,
x x p p3 3 1 22
1� �
� �, };
A H x x x p x x x p p7 3 1 1 1 2 2 2 2 11 1 2
0� � �
� � �
{ ( ) : , , ,� � � �� � � ,
x x p p p3 3 1 22
1� �
� , };
A H x x x p x x x8 3 1 1 1 2 21 1 2
� � �
� �
{ ( ) : , , ,� � � �� �
p p x x p2 2 1 3 3 22
1�
� �
� ��, , };
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 113
A H x x x p x x p p p9 3 1 1 1 2 2 2 1 2 11 2
1� � �
� �
{ ( ) : , , ,� � �� � � ,
x x p p p3 3 1 22
1� �
� , };
A H x x x p x x x p p10 3 1 1 2 2 3 2 2 31 2
0 1 0� � � � � �
{ ( ) : , , , ,� � �� �
1 2 2� p }.
Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî �3
1
10
�
�i
iA� . Ñëåäîâàòåëüíî,
inf [ ( ) ( )] min inf [ ( )
, ,H
s
i H A
H u H H
i� � �
�
�3
1 2
1 10
1� � �
{ }�
u Hs�2 ( )] . (9)
Ñëó÷àé 1. s � 0. Ðàññìîòðèì ïîâåäåíèå ôóíêöèè g x e x uxt( ) ( )�
, îíà îáëà-
äàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: g u( )0 �
; g u( ) � 0; g x( ) � 0 ïðè x �� ;
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
g x te u
t
xxt( )
1
. Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ g x( ) âîçðàñòàåò ïðè x u
t
�
1
è óáûâàåò ïðè x u
t
�
1
.
1.1. Ìèíèìèçàöèÿ íà ìíîæåñòâå A1 . Ïðè ôèêñèðîâàííûõ u � 0 è t � 0 èìååì
C u t H u H
H A
1 1 2
1
* ( , ) inf ( ) ( )�
�
�
{ }� �
�
� �
inf [ ( ) ( ) (
0
0
1 1 1 1
1 2 1
1 1
1 2
x x x
p
x t x t
p e x u p e
�
�
� x u e x u
x t
2 11 2
2
) ( ) ( )].� �
� (10)
Ïîñêîëüêó g x g( ) ( )2 0� , òî äëÿ ëþáîãî x2 0� îïòèìàëüíûì ðåøåíèåì çàäà-
÷è (10) ÿâëÿåòñÿ:
x1 0* � ; (11)
p1 1
* � � ; (12)
x2
* — ëþáîå çíà÷åíèå èç èíòåðâàëà ( , )x x1 1� ; (13)
x x3 2
* � � ; (14)
p2 0* � ; (15)
p3 1
1* �
� ; (16)
C u t e x u u
x t
1 1 11 2
2
* ( , ) ( ) ( )�
� ��
� . (17)
1.2. Ìèíèìèçàöèÿ íà ìíîæåñòâå A2 . Ïðè ôèêñèðîâàííûõ u � 0 è t � 0 èìååì
C u t H u H
H A
2 1 2
2
* ( , ) inf ( ) ( )�
�
�
{ }� �
�
�
�
�
inf [ ( )
0
0
1 1 2
1 1
1
1 1 2 2
1
x x
p
p p
x t x
p e x u p e
�
��
� �
� �
� �
1
1
2
2
1 1 2
t x t
x u p p e x u( ) ( ) ( )].
(18)
Ïîñêîëüêó g x g( ) ( )�1
0� è g x g( ) ( )�2
0� , òî îïòèìàëüíûì ðåøåíèåì çàäà-
÷è (18) áóäåò:
x1 0* � ; (19)
p1 1 0* �
� ; (20)
x x2 1
* � � ; (21)
(22)
x x3 2
* � � ; (23)
p p p3 1 21* * *�
. (24)
114 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3
��
�
!
�
�
ñëó÷àå;ïðîòèâíîìâ0
),()(åñëè,0
2
2
1
1
12*
2
uxeuxe
p
txtx
��
����
(25)
1.3. Ìèíèìèçàöèÿ íà ìíîæåñòâå A3 . Ïðè ôèêñèðîâàííûõ u � 0 è t � 0 èìååì
C u t H u H
H A
3 1 2
3
* ( , ) inf ( ) ( )�
�
�
{ }� �
�
�
�
�
inf [ ( ) ( )
0
0
1 1 2 1
1 1
1 1
3 2
1
x x
p
x x
x t x
p e x u p e
�
�
�
� �
� �1
1
31 2 3
t x t
x u e x u( ) ( ) ( )].
(26)
Ïîñêîëüêó g x g( ) ( )�1
0� , òî îïòèìàëüíûì ðåøåíèåì çàäà÷è (26) ÿâëÿåòñÿ:
x1 0* � ; (27)
p1 1 0* �
� ; (28)
x x2 1
* � � ; (29)
p p2 2 1 0* *�
� ; (30)
(31)
p3 21* �
� ; (32)
(33)
1.4. Ìèíèìèçàöèÿ íà ìíîæåñòâå A4 . Ïðè ôèêñèðîâàííûõ u � 0 è t � 0 èìååì
C u t H u H
H A
4 1 2
4
* ( , ) inf ( ) ( )�
�
�
{ }� �
�
� �
�
inf [ ( )
0
0
1 1 2
1 1
1 2 2
2 2 1
1
x x
x x x
p
x t
e x u p e
�
� �
� �
�
x t x t
x u p e x u2
22 1 21( ) ( ) ( )].� � �
� (34)
Îïòèìàëüíûì ðåøåíèåì çàäà÷è (34) áóäåò:
x1 0* � ; (35)
p1 1
* � � ; (36)
(37)
(38)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 115
�
�
�
�
�
�
�
!
�
�
.ñëó÷àåïðîòèâíîìâ
)()1()()(
),()(åñëè
,)()1(
),(
1212
11
*
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
uuxeuxe
uxeuxe
uuxe
tuC
txtx
txtx
tx
����
��
��
��
�
��
��
�
��
�
!
�
�
ñëó÷àå;ïðîòèâíîìâ
,åñëè,
22*
3
uxx
x
��
�
�
�
�
�
!
�
.ñëó÷àåïðîòèâíîìâ)()(
,åñëè
,)()1()()(
),(
112
1212
*
3
1
1
2
2
2
1
1
uuxe
ux
uuxeuxe
tuC
tx
txtx
���
����
�
�
��
�
��
��
�
!
�
�
ñëó÷àå;ïðîòèâíîìâ),(èíòåðâàëàèççíà÷åíèåëþáîå
),()(åñëè,0
21
2
2
1
1
1*
2
��
���
��
xx
uxeuxex
x
txtx
��
�
!
�
�
ñëó÷àå;ïðîòèâíîìâ0
),()(åñëè,0
2
2
1
1
12*
2
uxeuxe
p
txtx
��
����
x x3 2
* � � ; (39)
p p3 1 21* *�
� ; (40)
(41)
1.5. Ìèíèìèçàöèÿ íà ìíîæåñòâå A5 . Ïðè ôèêñèðîâàííûõ u � 0 è t � 0 èìååì
C u t H u H
H A
5 1 2
5
* ( , ) inf ( ) ( )�
�
�
{ }� �
�
�
�
inf [ ( ) ( )
0
1 1 2 1
1 1
1 2 2
3 2
1
x x
x x x
x x
x t
e x u
�
� �
�
� � � e x u e x u
x t x t
2 3
2 2 31( ) ( ) ( )].� (42)
Îïòèìàëüíûì ðåøåíèåì çàäà÷è (42) ÿâëÿåòñÿ:
x1 0* � ; (43)
p1 1
* � � ; (44)
(45)
p2 2 1
* �
� � ; (46)
(47)
p3 21* ;�
� (48)
(49)
1.6. Ìèíèìèçàöìÿ íà ìíîæåñòâå A6 . Ïðè ôèêñèðîâàííûõ u � 0 è t � 0 èìååì
C u t H u H
H A
6 1 2
6
* ( , ) inf ( ) ( )�
�
�
{ }� �
�
�
inf [ ( )
0
1
1 1 2
1 1
2 1 2 1
3 2
1
x x
p
x x
x t
e x u p e
�
�
� � �
�
x t x t
x u p e x u�
� �2
2
31 1 2 3( ) ( ) ( )].
(50)
Îïòèìàëüíûì ðåøåíèåì çàäà÷è (47) ÿâëÿåòñÿ:
x1 0* � ; (51)
p1 1
* � � ; (52)
x x2 2
* � � ; (53)
(54)
116 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3
�
�
�
�
�
!
�
�
.ñëó÷àåïðîòèâíîìâ
)()1()()(
),()(åñëè,)()1(
),( 1212
11
*
4
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
uuxeuxe
uxeuxeuuxe
tuC
txtx
txtxtx
����
��
��
���
��
���
��
�
!
�
�
ñëó÷àå;ïðîòèâíîìâ
),()(åñëè,0
2
2
2
1
1
1*
2
�
���
��
x
uxeuxex
x
txtx
��
�
!
�
�
ñëó÷àå;ïðîòèâíîìâ
,åñëè,0
22*
3
uxx
x
��
�
�
�
��
!
�
�
.ñëó÷àåïðîòèâíîìâ
)()1()()(
,åñëè,)()(
),(
12
*
212
1
*
212
*
5
2
2
*
2
2
*
2
uuxeuxe
uxuuxe
tuC txtx
tx
����
���
�
�
�
�
!
�
ñëó÷àå;ïðîòèâíîìâ
,åñëè,
12
1*
2
2
��
�� � ux
p
(55)
(56)
(57)
1.7. Ìèíèìèçàöèÿ íà ìíîæåñòâå A7 . Ïðè ôèêñèðîâàííûõ u � 0 è t � 0 èìååì
C u t H u H
H A
7 1 2
7
* ( , ) inf ( ) ( )�
�
�
{ }� �
�
� �
�
�
inf [ ( )
x x x
p
p p
x t
p e x u p
� �
�
� �
�
�
1 2 2
1 1 2
2 2 1
1
1
0
1 2 2 1 2
2 2
2
1e x u p p e x u
x t x t
( ) ( ) ( )].�
� (58)
Îïòèìàëüíûì ðåøåíèåì çàäà÷è (58) ÿâëÿåòñÿ:
x x1 1
* � � ; (59)
(60)
x2
* — ëþáîå çíà÷åíèå èç èíòåðâàëà ( , )x x� �1 2
; (61)
p2 0* � ; (62)
x x3 2
* � � ; (63)
(64)
(65)
1.8. Ìèíèìèçàöèÿ íà ìíîæåñòâå A8 . Ïðè ôèêñèðîâàííûõ u � 0 è t � 0 èìååì
C u t H u H
H A
8 1 2
8
* ( , ) inf ( ) ( )�
�
�
{ }� �
�
�
�
�
inf [ ( ) (
x x x
p
x x
x t
p e x u p
� �
�
�
� �
� �
1 2 2
1 1 2
3 2
1
11 2 1 2 2 3
2 31) ( ) ( ) ( )].e x u e x u
x t x t
� (66)
Îïòèìàëüíûì ðåøåíèåì çàäà÷è (66) áóäåò:
x x1 1
* � � ; (67)
(68)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 117
�
!
�
�
�
ñëó÷àå;ïðîòèâíîìâ
,åñëè),,(èíòåðâàëàèççíà÷åíèåëþáîå
22*
3
uxx
x
��
�
!
�
ñëó÷àå;ïðîòèâíîìâ1
,åñëè,0
2
*
3
2
�
� ux
p
�
�
�
!
�
.ñëó÷àåïðîòèâíîìâ)()(
,åñëè,)()1(
),(
112
11*
6
2
2
22
2
uuxe
uxuuxe
tuC
tx
tx
���
��
�
��
�
�
��
�
!
�
�
ñëó÷àå;ïðîòèâíîìâ
),()(åñëè,0
1
2*
1
2
2
1
1
�
� ��
�� uxeuxe
p
txtx
��
�
!
�
�
ñëó÷àå;ïðîòèâíîìâ
),()(åñëè,
1
2*
3
2
2
1
1
� �
� � ��
�� uxeuxe
p
txtx
�
�
�
�
��
�
!
�
�
.ñëó÷àåïðîòèâíîìâ)()1()(
),()(åñëè
),()1()(
),(
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
11
22
*
7
uxeuxe
uxeuxe
uxeuxe
tuC
txtx
txtx
txtx
��
��
��
��
��
��
��
��
��
�
!
�
�
ñëó÷àå;ïðîòèâíîìâ
),()(åñëè,0
1
2*
1
2
2
1
1
�
� ��
�� uxeuxe
p
txtx
(69)
(70)
(71)
p3 21* ( )�
� , (72)
C u t p e x u p e x u
x t x t
8 1 2 1 2
1
1
2 1* * * *( , ) ( ) ( ) ( ) (
*
�
�
� �
� 2 3
3) ( ).
*
*e x u
x t
(73)
1.9. Ìèíèìèçàöèÿ íà ìíîæåñòâå A9 . Ïðè ôèêñèðîâàííûõ u � 0 è t � 0 èìååì
C u t H u H
H A
9 1 2
9
* ( , ) inf ( ) ( )�
�
�
{ }� �
�
�
�
inf [ ( )
� �
�
�
�
�
1 1 2
2 1 2 1
3 2
1
1
1
1 2
p
p p p
x x
x t
p e x u p e x u p p e x u
x t x t
�
�
2
2
31 1 2 3( ) ( ) ( )]. (74)
Îïòèìàëüíûì ðåøåíèåì çàäà÷è (74) âûñòóïàåò:
x x1 1
* � � ; (75)
(76)
x x2 2
* � � ; (77)
(78)
(79)
p p p3 1 21* * *�
; (80)
C u t p e x u p e x u
x t x t
9 1 2
1
1
2
2
* * *( , ) ( ) ( )�
� �
� � . (81)
1.10. Ìèíèìèçàöèÿ íà ìíîæåñòâå A10 . Ïðè ôèêñèðîâàííûõ u � 0 è t � 0 èìååì
C u t H u H
H A
10 1 2
10
* ( , ) inf ( ) ( )�
�
�
{ }� �
�
�
� �
inf [ ( )
0 1
0 1
2
2 2
3 2 2
3 2 2
1
1
p
p p
x x x
x t
e x u
�
�
�
�
��
p e x u p e x u
x t x t
2 2 2 2 3
2 31( ) ( ) ( )].� (82)
Ðåøåíèåì çàäà÷è (82) ÿâëÿåòñÿ:
x x1 1
* � � ; (83)
p1 2
* � � ; (84)
118 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3
�
�
�
��
!
�
�
;ñëó÷àåïðîòèâíîìâ
),(()(åñëè
],,(èíòåðâàëàèççíà÷åíèåëþáîå
2
2
2
1
1
21
*
2
�
��
��
��
x
uxeuxe
xx
x
txtx
��
�
!
�
�
ñëó÷àå;ïðîòèâíîìâ
),()(åñëè,0
21
*
2
2
2
1
1
��
��
�� uxeuxe
p
txtx
��
�
!
�
�
ñëó÷àå;ïðîòèâíîìâ
,åñëè,0
22*
3
uxx
x
��
��
�
!
�
ñëó÷àå;ïðîòèâíîìâ
,åñëè,0
1
2*
1
1
�
� � ux
p
��
�
!
�
ñëó÷àå;ïðîòèâíîìâ
,åñëè,1
*
12
*
1*
2
2
p
uxp
p
�
�
�
!
�
�
�
;ñëó÷àåïðîòèâíîìâ
,åñëè),,(èíòåðâàëàèççíà÷åíèåëþáîå
22*
3
uxx
x
��
(85)
p2 21* �
� ; (86)
x3
* � � ; (87)
p3 0* � ; (88)
(89)
2. Ñëó÷àé 2. s � 0 . Ïðè ôèêñèðîâàííûõ u t, è s èìååì
inf ( ) ( )
H A
H u H
�
�
1
1 2{ }� � inf [ ( ) (
0
0
1 1 1 2
1 2 1
1 1
1 2
� �
�
x x x
p
s x t s x t
p x e x u x e x
�
�
{ 2
u )]
� �
� �
�
1 2 2 1
2
2
2
2
1x e x u x e x us x t s x t
( ) ( ) ( )}.
Ðàññìîòðèì ïîâåäåíèå ôóíêöèè h x x e x us xt( ) ( )�
. Îíà ðàâíà íóëþ ïðè x � 0
è x u� . Ïðîèçâîäíàÿ ýòîé ôóíêöèè ðàâíà � �
h x e x tx s ut x suxt s( ) ( )1 2 1[ ] .
Êîðíè êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ tx s ut x su2 1 0
�( ) îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìó-
ëàì
z
s ut s ut ust
t
1
21 1 4
2
�
( ) ( )
è z
s ut s ut ust
t
2
21 1 4
2
�
( ) ( )
.
Âûðàæåíèå ïîä êîðíåì íåîòðèöàòåëüíîå. Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêó ïàðàìåòðû s,
u è t ïîëîæèòåëüíû, òî ( ) ( ) ( )s ut ust s ut ust s ut
�
�
�1 4 4 02 2 2 . Ñëåäîâà-
òåëüíî, íà èíòåðâàëàõ 0 1
x z è z x2
ôóíêöèÿ h x( ) óáûâàåò, à íà èíòåðâàëå
z x z1 2
âîçðàñòàåò. Òàêèì îáðàçîì, z zmin � 1 — òî÷êà ìèíèìóìà, à z zmax � 2
— òî÷êà ìàêñèìóìà ôóíêöèè h x( ) ; h x( ) � 0 ïðè x u� è h x( ) � 0 ïðè x u� .
2.1. Ìèíèìèçàöèÿ íà ìíîæåñòâå A1 . Ïðè ôèêñèðîâàííûõ u t, è s èìååì
C s u t H u H
H A
1 1 2
1
* ( , , ) inf ( ) ( )�
�
�
{ }� �
�
� �
inf [ ( ) ( )
0
0
1 1 1 1 1 2
1 2 1
1 1
1
x x x
p
s x t sp x e x u p x
�
�
� e x u x e x u
x t s x t
2
2
2
22 11( ) ( ) ( )].� � �
� (90)
Îïòèìàëüíûì ðåøåíèåì çàäà÷è (90) ÿâëÿåòñÿ:
(91)
p1 1
* � � ; (92)
x2
* — ëþáîå çíà÷åíèå èç èíòåðâàëà ( , )*x x1 1� ; (93)
p2 0* � ; (94)
x x3 2
* ;� � (95)
p3 11* �
� ; (96)
(97)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 119
��
�
!
�
�
�
ñëó÷àå;ïðîòèâíîìâ
,åñëè,0
22*
2
uxx
x
��
�
�
�
!
�
�
.ñëó÷àåïðîòèâíîìâ)(
,åñëè),()1()(
),(
1
1
22
2
1
1
2
22*
10
uxe
uxuxeuxe
tuC
tx
txtx
�
���
�
��
�
��
��
�
! �
�
ñëó÷àå;ïðîòèâíîìâ
,åñëè,0
min
min*
1
11
z
zxx
x
��
�
�
�
�
��
�
!
�
�
.ñëó÷àåïðîòèâíîìâ
)()1()(
,åñëè
),()1()(
),,(
2
2
2
min
1
2
2
21
1
1
1minmin1
min
11
*
1
uxexuzez
zx
uxexuxex
tusC
txstzs
txstxs
��
�
����
�
��
��
��
2.2. Ìèíèìèçàöèÿ íà ìíîæåñòâå A2 . Ïðè ôèêñèðîâàííûõ u t, è s èìååì
C s u t H u H
H A
2 1 2
2
* ( , , ) inf ( ) ( )�
�
�
{ }� �
�
�
�
�
inf [ ( )
0
0
1 1 1 2
1 1
1 1
1 1 2 2
1
x x
p
p p
s x t
p x e x u p
�
�
� �
x e x u p p e x x us x t x t s
� � � �
� �
1
1
1
2
2 2
1 1 2
( ) ( ) ( )].(98)
Îïòèìàëüíûì ðåøåíèåì çàäà÷è (98) ÿâëÿåòñÿ:
(99)
(100)
x x2 1
* � � ; (101)
(102)
x x3 2
* � � ; (103)
p p p3 1 21* * *�
. (104)
C s u t p x e x u p x e xs x t s x t
2 1 1 1 2
1
1
1* * * * *( , , ) ( ) ( ) (
*
�
� �
�
1
u )
� �
( ) ( )1 1 2
2
2 2
p p e x x u
x t s�
� � . (105)
2.3. Ìèíèìèçàöèÿ íà ìíîæåñòâå A3 . Ïðè ôèêñèðîâàííûõ u t, è s èìååì
C s u t H u H
H A
3 1 2
3
* ( , , ) inf ( ) ( )�
�
�
{ }� �
�
�
�
�
inf [ ( ) ( )
0
0
1 1 1 2 1
1 1
1 1
3 2
1
x x
p
x x
s x t
p x e x u p
�
�
�
� x e x u x e x us x t s x t
� �
� �
1
1
1
31 2 3 3
( ) ( ) ( )].(106)
Îïòèìàëüíûì ðåøåíèåì çàäà÷è (106) áóäåò:
(107)
(108)
x x2 1
* � � ; (109)
p p2 2 1 0* *�
� ; (110)
(111)
p3 21* �
� ; (112)
C s u t p x e x u p x es x t s x
3 1 1 1 2 1
1
1
* * * * *( , , ) ( ) ( ) ( )
*
�
�
�
� 1
1
t
x u( )�
( )( ) ( )* *
*
1 2 3 3
3� x e x us x t
. (113)
120 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3
��
�
! �
�
;ñëó÷àåïðîòèâíîìâ
,åñëè,),0[èíòåðâàëàèççíà÷åíèåëþáîå
min
min*
1
11
z
zxx
x
��
��
�
! �
�
"
ñëó÷àå;ïðîòèâíîìâ
,åñëè,0
1
min*
1
1
�
zx
p
��
�
!
�
�
ñëó÷àå;ïðîòèâíîìâ
),()(åñëè,0
*
11
*
12*
2
22
2
1
1
1
p
uxxeuxexp
p
stxtxs
�
� ����
��
��
�
! �
�
ñëó÷àå;ïðîòèâíîìâ
,åñëè,)[0,èíòåðâàëàèççíà÷åíèåëþáîå
min
min*
1
11
z
zxx
x
��
��
�
! �
�
ñëó÷àå;ïðîòèâíîìâ
,åñëè,0
1
min*
1
1
�
� zx
p
�
�
�
��
!
��
�
�
;åñëè,
,åñëè,
,åñëè,
2
22
2
min
minmin
*
3
ux
uxzx
zxz
x
�
��
�
2.4. Ìèíèìèçàöèÿ íà ìíîæåñòâå A4 . Ïðè ôèêñèðîâàííûõ u t, è s èìååì
C s u t H u H
H A
4 1 2
4
* ( , , ) inf ( ) ( )�
�
�
{ }� �
�
� �
�
inf [ ( )
0
0
1 1 1
1 1
1 2 2
2 2 1
1
x x
x x x
p
s x t
x e x u
�
� �
� �
� p x e x u p x e x us x t s x t
2 2 2 1 2
2
2
2
2
1
( ) ( ) ( )].� � �
� .(114)
Îïòèìàëüíûì ðåøåíèåì çàäà÷è (114) ÿâëÿåòñÿ:
(115)
p1 1
* � � ; (116)
x
z x z x
x z x x2
1 2
1 1 2
0*
min min
min
, ,
, ( , )�
� �
#
åñëè
åñëè
� �
� � � è
åñëè
x e x u e x x u
x z
s x t x t s
� � � �
�
� �
1
1
1
2
2 2
2
0
�
( ) ( ),
, min ( , ) ( ) ( );#
�
!
x x x e x u e x x us x t x t s
� � � � � �
� �
1 2 1
1
1
2
2 2
è
�
�
�
�
�
(117)
p2 2 1 0* �
� � ; (118)
x x3 2
* � � ; (119)
p p3 1 21* *�
� ; (120)
C s u t x e x u p x e xs x t s x t
4 1 1 1 2 2
1 2* * * * *( , , ) ( ) ( ) ( ) (
* *
�
� 2
* )
u
( ) ( )*1 1 2
2
2
2
�
� �
�p x e x us x t
. (121)
2.5. Ìèíèìèçàöèÿ íà ìíîæåñòâå A5 . Ïðè ôèêñèðîâàííûõ u t, è s èìååì
C s u t H u H
H A
5 1 2
5
* ( , , ) inf ( ) ( )�
�
�
{ }� �
�
�
�
inf [ ( ) (
0
1 1 1 2
1 1
1 2 2
3 2
1
x x
x x x
x x
s x t
x e x u
�
� �
�
� � � �1 2 2 2 3 3
2 31) ( ) ( ) ( )].x e x u x e x us x t s x t
(122)
Îïòèìàëüíûì ðåøåíèåì çàäà÷è (122) ÿâëÿåòñÿ:
(123)
p1 1
* � � ; (124)
x
z x z x
x z x x2
1 2
1 1 2
0*
min min
min
, ,
, ( , )�
� �
#
åñëè
åñëè
� �
� � � è
åñëè
x e x u e x x u
x z
s x t x t s
� � � �
�
� �
1
1
1
2
2 2
2
0
�
( ) ( ) ,
, min ( , ) ( ) ( ) ;#
�
x x x e x u e x x us x t x t s
� � � � � �
� �
1 2 1
1
1
2
2 2
è
!
�
�
�
�
�
(125)
p2 2 1
* �
� � ; (126)
x
z x z
x z x u3
2
2 2
0*
min min
min
, ,
, ,
,
�
�
�
åñëè
åñëè
åñëè
�
� �
x u�2
�
!
�
�
� ;
(127)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 121
��
�
! �
�
ñëó÷àå;ïðîòèâíîìâ
,åñëè,
min
min*
1
11
z
zxx
x
��
��
�
! �
�
ñëó÷àå;ïðîòèâíîìâ
,åñëè,
min
min*
1
11
z
zxx
x
��
p3 21* �
� ; (128)
C s u t x e x u x es x t s x
5 1 1 1 2 1 2
1 2* * * *( , , ) ( ) ( ) ( ) ( )
*
�
� � �
*
( )*t
x u2
( ) ( ) ( )* *
*
1 2 3 3
3� x e x us x t
. (129)
2.6. Ìèíèìèçàöèÿ íà ìíîæåñòâå A6 . Ïðè ôèêñèðîâàííûõ u t, è s èìååì
C s u t H u H
H A
6 1 2
6
* ( , , ) inf ( ) ( )�
�
�
{ }� �
�
�
inf [ ( )
0
1
1 1 1
1 1
2 1 2 1
3 2
1
x x
p
x x
s x t
x e x u p
�
�
� � �
� 2 1 2 3 3
2
2
2
31x e x u p x e x us x t s x t
� �
� �
( ) ( ) ( )].(130)
Îïòèìàëüíûì ðåøåíèåì çàäà÷è (130) ÿâëÿåòñÿ:
(131)
p1 1
* � � ; (132)
x x2 2
* � � ; (133)
p
x z x z x u
2
2 1
1
2 2 2
1
* min min, ( ) ( ),
,
�
� � �
� �
�
� � �åñëè èëè è
åñëè èx z x u� �2 2
�
!
� min ;
(134)
x
z x z
x z x u3
2
2 2
0*
min min
min
, ,
, ,
,
�
�
�
åñëè
åñëè
åñëè
�
� �
x u�2
�
!
�
�
� ;
(135)
p p3 1 21* *�
� ; (136)
C s u t x e x u p x e xs x t s x t
6 1 1 1 2
1
2
2
2
* * * *( , , ) ( ) ( ) (
*
�
�
� �
�
u )
( ) ( ) ( )* * *
*
1 1 2 3 3
3� p x e x us x t
. (137)
2.7. Ìèíèìèçàöèÿ íà ìíîæåñòâå A7 . Ïðè ôèêñèðîâàííûõ u t, è s èìååì
C s u t H u H
H A
7 1 2
7
* ( , , ) inf ( ) ( )�
�
�
{ }� �
�
� �
�
�
inf [ (
x x x
p
p p
s x t
p x e x
� �
�
� �
�
� �
1 2 2
1 1 2
2 2 1
1
1
1
0
1 u p x e x u p p x e x us x t s x t
) ( ) ( ) ( )].
2 2 2 1 2
2
2
2
2
1
� �
� (138)
Îïòèìàëüíûì ðåøåíèåì çàäà÷è (138) ÿâëÿåòñÿ:
x x1 1
* � � ; (139)
p
x z x e x u x es x t s x t
1
1 11 1
1
2* min, ( )
�
�
�
� � � � �
� � �åñëè èëè ( ),
, ( )min
x u
x z x e x u x es x t s
�
� � � �� �
2
1 1
1
12 20
�
�
åñëè è
x t
x u�
�
2
2
( );
!
�
�
�
(140)
(141)
122 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3
��
�
! �
�
"
ñëó÷àå;ïðîòèâíîìâ
,åñëè,
min
min*
1
11
z
zxx
x
�
��
�
! �
�
""
;ñëó÷àåïðîòèâíîìâ),(èíòåðâàëàèççíà÷åíèåëþáîå
,<åñëè,
21
21 minmin*
2
�� xx
xzxz
x
(142)
x x3 2
* � � ; (143)
p p p3 1 21* * *�
; (144)
C s u t p x e x u p x e xs x t s x t
7 1 2 2 2
1
1
1
2* * * * *( , , ) ( ) (
*
�
� �
� u )
( ) ( )* *1 1 2
2
2
2
p p x e x us x t
� �
� . (145)
2.8. Ìèíèìèçàöèÿ íà ìíîæåñòâå A8 . Ïðè ôèêñèðîâàííûõ u t, è s èìååì
C s u t H u H
H A
8 1 2
8
* ( , , ) inf ( ) ( )�
�
�
{ }� �
�
�
�
�
inf [ ( ) (
x x x
p
x x
s x t
p x e x u
� �
�
�
� �
� �
1 2 2
1 1 2
3 2
1
1
11 � �2 1 2 2 2 3 3
2 31
p x e x u x e x us x t s x t
) ( ) ( ) ( )] .(146)
Îïòèìàëüíûì ðåøåíèåì çàäà÷è (146) ÿâëÿåòñÿ:
x x1 1
* � � ; (147)
(148)
(149)
p p2 2 1
* *�
� ; (150)
x
x u
x z x u
z x
3
2
2 2
2
0*
min
min
, ,
, ,
,
�
� �
åñëè
åñëè
åñëè
�
� �
� �
!
�
�
� zmin ;
(151)
p3 21* �
� ; (152)
C s u t p x e x u p x es x t s x t
8 1 2 1 21
1
1
2* * * *( , , ) ( ) ( )
*
�
� �
� � ( )*x u2
( ) ( )* *
*
1 2 3 3
3� x e x us x t
. (153)
2.9. Ìèíèìèçàöèÿ íà ìíîæåñòâå A9 . Ïðè ôèêñèðîâàííûõ u t, è s èìååì
C s u t H u H
H A
9 1 2
9
* ( , , ) inf ( ) ( )�
�
�
{ }� �
�
�
�
inf [ (
� �
�
� �
�
�
1 1 2
2 1 2 1
3 2
1
1
1
1
1
p
p p p
x x
s x t
p x e x u ) ( )
p x e x us x t
2
2
2
2� �
�
( ) ( )]1 1 2 3 3
3p p x e x us x t
. (154)
Îïòèìàëüíûì ðåøåíèåì çàäà÷è (154) ÿâëÿåòñÿ:
x x1 1
* � � ; (155)
p
x u x e x u x e xs x t s x t
1
1 1 1
1
1 2
2
*
, ( ) (
�
�
�
� � � � � �
� �åñëè èëè
2
1 1
1
1 2
2
2 0
u
x u x e x u x e xs x t s x t
),
, ( ) (� � � � �
� �åñëè è �2
!
�
��
u );
(156)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 123
��
�
!
�
ñëó÷àå;ïðîòèâíîìâ
,åñëè,0
1
min2*
1
1
�
� �xz
p
�
�
�
��
!
�
�
�
;åñëè,
,åñëè,
,åñëè),èíòåðâàëàèççíà÷åíèåëþáîå
min
minmin
min,(
*
2
22
21
121
zxx
xzxz
xzxx
x
��
��
���
��
�
! �
�
ñëó÷àå;ïðîòèâíîìâ0
,<åñëè,0
21 min12*
2
���� xzx
p
x x2 2
* � � ; (157)
p
p x u x z
p z x
2
2 1
1
2 2
2
1
*
*
min
*
min
, ,
,
�
� �
� � �
�
åñëè èëè
åñëè
!
�
�� u;
(158)
(159)
p p p3 1 21* * *�
; (160)
C s u t p x e x u p x e xs x t s x t
9 1 2
1
1
1 2
2
2
* * *( , , ) ( ) (�
� � � �
� � u )
( ) ( )* * * *
*
1 1 2 3 3
3p p x e x us x t
. (161)
2.10. Ìèíèìèçàöèÿ íà ìíîæåñòâå A10 . Ïðè ôèêñèðîâàííûõ u t, è s èìååì
C u t H u H
H A
10 1 2
10
* ( , ) inf ( ) ( )�
�
�
{ }� �
�
�
� �
inf [ (
0 1
0 1
2
2 2
3 2 2
3 2 2
1
1
p
p p
x x x
s x t
x e x
�
�
� �
�
��
1
2 3
2 2 2 2 2 3 31
u p x e x u p x e x us x t s x t
) ( ) ( ) ( )].� (162)
Ðåøåíèåì çàäà÷è (162) ÿâëÿåòñÿ:
x x1 1
* � � ; (163)
p1 2
* � � ; (164)
(165)
(166)
(167)
(168)
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 äàííîé ðàáîòå ïðåäëîæåí àëãîðèòì ïîèñêà íèæíåé ãðàíèöû áàéåñîâñêèõ îöå-
íîê ïàðàìåòðà ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ â ñëó÷àå, êîãäà èçâåñòíî, ÷òî
àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå ïðèíàäëåæèò êëàññó �, âêëþ÷àþùåìó âñå ôóíêöèè
ðàñïðåäåëåíèÿ ñ îäèíàêîâûìè äâóìÿ êâàíòèëÿìè. Ýòà çàäà÷à âîçíèêàåò ïðè àíà-
ëèçå ÷óâñòâèòåëüíîñòè áàéåñîâñêèõ îöåíîê èíòåíñèâíîñòåé îòêàçîâ ê âûáîðó àï-
ðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ â ýêñïîíåíöèàëüíîé ìîäåëè îòêàçîâ.
Àëãîðèòì îñíîâûâàåòñÿ íà àíàëèòè÷åñêèõ ôîðìóëàõ ðåøåíèÿ ëèíåàðèçîâàí-
íîé çàäà÷è, ÷òî ïîçâîëÿåò ïîâûñèòü òî÷íîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è è ñóùåñòâåííî óñêî-
ðèòü ïðîöåññ åå ðåøåíèÿ.
124 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3
�
�
�
��
!
�
�
��
�
;åñëè,
,åñëè),,(èíòåðâàëàèççíà÷åíèåëþáîå
,åñëè,
minmin
min
*
3
2
22
2
zxz
uxzx
ux
x
�
��
�
�
�
�
��
!
��
�
�
;åñëè),,(èíòåðâàëàèççíà÷åíèåëþáîå
,åñëè,0
,åñëè,
2
2
2
2
min2
minmin
*
2
ux
uxz
zxz
x
�
�
�
�
�
��
�
!
�
ñëó÷àå;ïðîòèâíîìâ0
,åñëè,1
22*
2
ux
p
��
��
�
!
�
��
�
ñëó÷àå;ïðîòèâíîìâ),(èíòåðâàëàèççíà÷åíèåëþáîå
,åñëè,
*
2
*
3
2
x
ux
x
�
��
�
! �
�
.ñëó÷àåïðîòèâíîìâ0
,åñëè,1 2*
3
2
ux
p
��
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. U . S . N u c l e a r Regulatory Commission (USNRC), «Reactor Safety Study-An Assessment of Accident
Risks in U.S. Commercial Nuclear Power Plants2, WASH-1400 (NUREG-75/014), October 1975.
2. U . S . N u c l e a r Regulatory Commission, «NRC Statement on Risk Assessment and the Reactor Safety
Study Report (WASH-1400) in Light of the Risk Assessment Review Group Report,» January 18, 1979.
3. U . S . N u c l e a r Regulatory Commission, «PRA Procedures Guide, A Guide to the Performance of Pro-
babilistic Risk Assessments for Nuclear Power Plants,» Final Report, Vol. 1-2, NUREG/CR-2300, January
1983.
4. U . S . N u c l e a r Regulatory Commission, «Severe Accident Risks: An Assessment for Five U.S. Nuclear
Power Plants,» NUREG-1150, December 1990.
5. Î ö å í ê à áåçîïàñíîñòè è íåçàâèñèìàÿ ïðîâåðêà äëÿ àòîìíûõ ýëåêòðîñòàíöèé. Ðóêîâîäñòâî ïî
áåçîïàñíîñòè. Ñåðèÿ èçäàíèé ïî áåçîïàñíîñòè, ¹ NS-G-1.2, Ìåæäóíàðîäíîå àãåíñòâî ïî àòîìíîé
ýíåðãèè, Âåíà, 2004. — 99 ñ.
6. K o v a l e n k o I . N . Rare events in queueing systems — a Survey // Queueing Systems. — 1994. — 16,
N 1. — Ð. 1–49.
7. K o v a l e n k o I . N . Approximation of queues via small-parameter method // Advances in Queueing, CRC
Press, Boca Raton, 1995. — P. 481–506.
8. Ê î â à ë å í ê î È . Í . , Ê ó ç í å ö î â Í . Þ . Ìåòîäû ðàñ÷åòà âûñîêîíàäåæíûõñèñòåì. — Ì.: Ðàäèî
è ñâÿçü, 1988. — 176 ñ.
9. K o v a l e n k o I . N . , K u z n e t s o v N . Y u . , P e g g P h . A . Mathematical theory of reliability of time
dependent systems with practical applications. — Chichester: Wiley, 1997. — 303 p.
10. Ê ó ç í å ö î â Í . Þ . , Ì è õ à ë å â è ÷ Ê . Â . Àíàëèç íàäåæíîñòè ñèñòåì, îïèñûâàåìûõ äåðåâüÿìè
îòêàçà ñ ýôôåêòèâíîñòÿìè // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2003. — ¹ 5. — Ñ. 142–152.
11. K o v a l e n k o , I . N . Light-traffic analysis of some queueing models with losses // Simulation and Opti-
mization Methods in Risk and Reliability Theory. Nova Science Publishers, Inc, 2009. — P. 19–44.
12. K u z n e t s o v N . Y u . Fast simulation technique in reliability evaluation of a Markovian and Non-Marko-
vian systems // Ibid. — 2009. — P. 69–112.
13. Å ð ì î ë ü å â Þ . Ì . Î íåêîòîðûõ ïðîáëåìàõ ñòàòèñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ // Êèáåðíåòèêà.
— 1970. — ¹ 1. — Ñ. 3–7.
14. Å ð ì î ë ü å â Þ . Ì . Ìåòîäû ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. — Ì.: Íàóêà, 1976. — 240 c.
15. E r m o l i e v Y . , N e d e v a C . Stochastic optimization problems with partially known distribution func-
tions. — Laxenburg, Austria: International Institute for Applied Systems Analysis, 1982. — CP-62–60.
16. E r m o l i e v Y u . , G a i v o r o n s k i A . , N e d e v a S . Stochastic optimization problems with incom-
plete information on distribution functions // SIAM J. Control. Optim. — 1985. — 23, N 5. — P. 697–716.
17. Ã î ë î ä í è ê î â À . Í . Ìèíèìàêñíûé ïîäõîä ê Áàéåñîâó îöåíèâàíèþ // Èññëåäîâàíèå îïåðàöèé
(ìîäåëè, ñèñòåìû, ðåøåíèÿ). — 1979. — Âûï. 7. — Ñ. 36–41.
18. à î ë î ä í è ê î â À . Í . , Ñ ò î é ê î â à Ë . Ñ . ×èñëåííûé ìåòîä îöåíêè íåêîòîðûõ ôóíêöèîíàëîâ,
õàðàêòåðèçóþùèõ íàäåæíîñòü // Êèáåðíåòèêà. — 1978. — ¹ 2. — Ñ. 73–77.
19. Ã î ë î ä í è ê î â À . Í . , Ñ ò î é ê î â à Ë . Ñ . Îïðåäåëåíèå îïòèìàëüíîãî ïåðèîäà ïðåäóïðåäèòåëü-
íîé çàìåíû íà îñíîâå èíôîðìàöèè î ìàòåìàòè÷åñêîì îæèäàíèè è äèñïåðñèè âðåìåíè áåçîòêàçíîé
ðàáîòû ñèñòåìû // Òàì æå. — 1978. — ¹ 3. — Ñ. 110–118.
20. à î ë î ä í è ê î â À . Í . ×èñëåííûé ìåòîä ìèíèìèçàöèè âûïóêëûõ ôóíêöèîíàëîâ â êëàññå ôóíêöèé
ðàñïðåäåëåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåëèíåéíûì îãðàíè÷åíèÿì // Êèáåðíåòèêà. — 1982. — ¹ 3. —
Ñ. 93–98.
21. G o l o d n i k o v A . N . , K n o p o v P . S . , P e p e l y a e v V . A . Estimation of reliability parameters un-
der incomplete primary information // Theory and Decision. — 2004. — 57, N 4. — P. 331–344.
22. G o l o d n i k o v A . , K n o p o v P . , P e p e l y a e v V . Investigation of Bayesian estimates for binomial
failure models // Simulation and Optimization Methods in Risk and Reliability Theory. Nova Science Pub-
lishers Inc, 2009. — Ð. 173–220.
23. G o l o d n i k o v A . Investigation of sensitivity of Bayesian estimates for exponential failure models //
Ibid. — 2009. — P. 221–238.
24. R o b i n s H . Asymptotically sub-minimax solutions to compound statistical decision problems // Proc.
Second Berkeley Symp. Math Stat. Probab. — 1951, 1, University of California Press, Berkeley.
25. B e r g e r J . O . The robust Bayesian viewpoint (with discussion) // Robustness of Bayesian Analysis,
(J. Kadane, ed.). — Amsterdam: North Holl, 1984.
26. V i d a k o v i c B . Gamma-minimax: a paradigm for conservative robust Bayesians // Robustness of
Bayesian Inference. Editors Rios and Ruggeri. — Lecture Notes in Statistics. — 2000. — 152. —
P. 241–259.
27. R u g g e r i F . , S i v a g a n e s a n S . On a global sensitivity measure for Bayesian inference // Sankhya:
The Indian Journal of Statistics. — 2000. — 62, Ser. A, Pt. 1. — P. 110–127.
28. C a r o t a C . , R u g g e r i F . Robust Bayesian analysis given priors on partition sets // Test. — 1994. —
3, N 2. — P. 73–86.
29. à í å ä å í ê î Á .  . , Á å ë ÿ å â Þ . Ê . , Ñ î ë î â ü å â À . Ä . Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû â òåîðèè íà-
äåæíîñòè. — Ì.: Íàóêà, 1965. — 524 c.
Ïîñòóïèëà 28.12.2009
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 125
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-45201 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-02T09:35:32Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Голодников, А.Н. Ермольев, Ю.М. Кнопов, П.С. 2013-06-08T18:07:50Z 2013-06-08T18:07:50Z 2010 Оценивание параметров надежности в условиях недостаточной информации / А.Н. Голодников, Ю.М. Ермольев, П.С. Кнопов // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 3. — С. 109-125. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45201 619.248 Запропоновано алгоритм пошуку нижньої границі байєсівської оцінки параметру експоненціального розподілу за умов, коли відомо, що апріорний розподіл належить класу, який складається із всіх функцій розподілу, що мають однакові два квантилі. Ця задача виникає при аналізі чутливості байєсівських оцінок інтенсивностей відмов до вибору апріорного розподілу в експоненціальній моделі відмов. The paper presents algorithms of seeking lower bound of Bayesian estimates of parameter of exponential distribution in case when it is known that prior distribution belongs to class of all distribution functions with fixed two quantiles. This problem arises in sensivity analysis of Bayesian estimates of failure rates to choice prior distribution in the exponential model of failure. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Оценивание параметров надежности в условиях недостаточной информации Оцінювання параметрів надійності в умовах недостатньої інформації Estimation of reliability parameters under insufficient information Article published earlier |
| spellingShingle | Оценивание параметров надежности в условиях недостаточной информации Голодников, А.Н. Ермольев, Ю.М. Кнопов, П.С. Системный анализ |
| title | Оценивание параметров надежности в условиях недостаточной информации |
| title_alt | Оцінювання параметрів надійності в умовах недостатньої інформації Estimation of reliability parameters under insufficient information |
| title_full | Оценивание параметров надежности в условиях недостаточной информации |
| title_fullStr | Оценивание параметров надежности в условиях недостаточной информации |
| title_full_unstemmed | Оценивание параметров надежности в условиях недостаточной информации |
| title_short | Оценивание параметров надежности в условиях недостаточной информации |
| title_sort | оценивание параметров надежности в условиях недостаточной информации |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45201 |
| work_keys_str_mv | AT golodnikovan ocenivanieparametrovnadežnostivusloviâhnedostatočnoiinformacii AT ermolʹevûm ocenivanieparametrovnadežnostivusloviâhnedostatočnoiinformacii AT knopovps ocenivanieparametrovnadežnostivusloviâhnedostatočnoiinformacii AT golodnikovan ocínûvannâparametrívnadíinostívumovahnedostatnʹoíínformacíí AT ermolʹevûm ocínûvannâparametrívnadíinostívumovahnedostatnʹoíínformacíí AT knopovps ocínûvannâparametrívnadíinostívumovahnedostatnʹoíínformacíí AT golodnikovan estimationofreliabilityparametersunderinsufficientinformation AT ermolʹevûm estimationofreliabilityparametersunderinsufficientinformation AT knopovps estimationofreliabilityparametersunderinsufficientinformation |